1.51. Desarrolle un diagrama de flujo de efectivo para la siguiente situación: Pagos de igual suma suma durante 4 años empezando empezando 1 año a partir del momento momento actual actual equivalente equivalente a gastar $4500 $4500 ahora, $3300 dentro dentro de 3 años y $6800 cinco años a partir de ahora si l a tasa de interés es 8% anual. 6800
3300
0
1
2
3
4
5
Calcular el futuro dentro de 5 años a partir de ahora: F=P*(1+ i)t F= [4500*(1.08) 5] + [3300*(1.08) 2] + 6800 F=$17267.1
Calcular los pagos iguales durante 4 años F * i R R
(1 i ) t 1 17261 .1* 0.08 (1.08) 4 1
R 3830 .60 $/año
1.52 A una tasa tasa de 8.5% anual, estime estime el tiempo que que toma duplicar duplicar $500 si el interés interés es (a) compuesto y (b) no compuesto. (c) ¿Cuántos años tardara duplicar $1000 al 8.5% compuesto anual? DATOS
a)
b)
b)
1.53 José espera espera comprar un bote bote en 5 años y considera considera que puede duplicar duplicar el tamaño del portafolio de acciones que ha apartado como su “fondo para el bote”. Estime la tasa de retorno a la cual debe crecer su portafolio si el interés es (a) simple y (b) compuesto. Datos: i =?simple y compuesto
P=P F=2P t = 5años
P
2P
a. Simple F P (1 it ) i
( F / P ) 1
t = 5 años
t
2P i P
1
5 i 0.2 20% b. Compuesto F i
t
P * (1 i ) F P
i
5
i
1
2P P
t
1
0.1487 14.87%
b)
1.53 José espera espera comprar un bote bote en 5 años y considera considera que puede duplicar duplicar el tamaño del portafolio de acciones que ha apartado como su “fondo para el bote”. Estime la tasa de retorno a la cual debe crecer su portafolio si el interés es (a) simple y (b) compuesto. Datos: i =?simple y compuesto
P=P F=2P t = 5años
P
2P
a. Simple F P (1 it ) i
( F / P ) 1
t = 5 años
t
2P i P
1
5 i 0.2 20% b. Compuesto F i
t
P * (1 i ) F P
i
5
i
1
2P P
t
1
0.1487 14.87%
Si utiliza interés simple tendrá una tasa de retorno del 20%, y para el interés compuesto una tasa de retorno de 14.87% para duplicar su portafolio. 1.54 clarisa clarisa trabaja hace muchos muchos años y ha puesto todos todos los aportes que que su empleador ha depositado en un fondo de retiro en una inversión que rinde en la actualidad exactamente 12% anual. Todo el interés se reinvierte en la cuenta de retiro. a) ¿cuál es el tiempo tiempo de duplicaci duplicación ón por cada dólar dólar d el fondo de retiro retiro de clarisa? clarisa? b) Un programa programa especial permite a los empleados empleados obtener obtener un préstamo préstamo contra contra el valor actual de su fondo de retiro. Pero la inflación se considera y reduce el valor del fondo para para efectos del del préstamo. préstamo. Clarisa tiene tiene un valor de $ 30,000 ahora. ahora. Si ella solicita un préstamo cuando la suma es duplicada a $ 60,000, ¿cuál es la suma máxima que puede obtener en préstamo contra su fondo de retiro? Suponga que el retorno compuesto del 12% actual continua y la inflación anual se estima en 4% compuesto anualmente.
$ 30,000
$ 60,000
0
a) i = 12% 12% anu anual P =$1 F = $2
t=
log 2 log1 log1 0.12
b) P = $ 30 30,00 ,000 F = $ 60,000 i = 12% anual I = 4% anual
6.12
F = P1 i t=
t
log F log P log1 i
t = 6.12 años.
F 1 = 30,000 1 0.12 F 1 = $ 60,000 F 2 = 30,000 1 0.04 F 2 = $ 38,138.65
SUMA MAXIMA MAXIMA de préstamo préstamo = $ 60,000 60,000 - $ 38,138.65 38,138.65 SUMA MAXIMA de préstamo = $ 21861.35
6.12
6.12
1.55 Seleccione uno o más aspec tos que usted haya aprendido en este capítulo; plantee y resuelva un problema propio de ingeniería económica. Necesito saber: ¿Cuánto dinero debo precisamente antes de mi decima cuota si preste $12,500 con intereses del 18% anual capitalizable mensual par a un plazo de 19años? Datos: Po= $12,500 I= 0.18/anual Capitalizable mensual Plazo= 12meses
Solución: 12 cuotas niveladas ó
R= 12,500
0.18 / 12
1 (1 0.18 / 12)
12
R= $1,146
1 (1 0.18 / 12) 12 9 S= 1,146 0.18 / 12
Renta
interes
Octavo mes $3,337.38 antes del noveno mes 3,337.38 + (3,337.38)(0.18/12), antes de la novena cuota es $3,387.44 dólares. 2.1 construya los diagramas de flujo efectivo y derive las formulas para los factores enumerados a continuación para cantidad es de principio de año en lugar de la convención de final de año. El valor P debe tener lugar al mismo tiempo que para la convención de final de año. 1. P/F o factor FVPPU 2. P/A o factor FRC-SU 3. F/A o factor FCCSU Solución: P/F =
0
1
2
….
t -1
Por inducción matemática es evidente que la formula puede generalizarse para n años de la siguiente manera: ;F=1
P/A
0
1
2
3
F/A ;
4 …. t -1
2.2 Encuentre el valor numérico correcto para los siguientes factores de las tablas de interés. 1- ( F/P , 10% , 28 ) F = ( 1 + і ) ⁿ = ( 1 + 0.10 ) 28 F =14.4210
2- ( A/F , 1% , 1 ) A = = (1+і)ⁿ -1
0.01 ( 1 + 0.01 ) 1 - 1
A =1.00
3- ( A/P , 30% , 22 ) A = і(1+і)ⁿ (1+і)ⁿ -1
=
0.30 (1 + 0.30 )22 ( 1 + 0.30 ) 22 - 1
=
(1 + 0.10 )25 - 1 0.10( 1 + 0.10) 25
A = 0.30094
4- ( P/A , 10% , 25 ) P = і (1 +і ) -1 і(1+і)ⁿ
P = 9.0770
5- ( P/F , 16% , 35 ) P = 1 = (1+і)ⁿ
1 ( 1 + 0.16)
35
P = 0.0055
2.3 Construya diagrama de flujo de efectivo para las siguientes transacciones: Año K Depósitos $
0 10, 000
1 200
2 400
3.10 400+300(K-3)
10000 2200
700 200
0
400
1
1000
1300
1600
1900
400
2
3
4
5
7
8
9
10
2.4 Construya un diagrama de flujo de efec tivo para la siguiente transacción. Año, K Transacción
0 $-6000
1 1000
2-8 2000-1000(K-2)
6000 1000
0
1
2000
2
1900
3
1800 1700
4
5
1600
6
1500
1400
7
8
2.5. Construya un diagrama de flujo de efectivo para la siguiente transacción.
Diagrama.
2.6 Encuentre el valor de (F/G, 10%,10), mediante los factores F/A y A/G Datos: i =10% n=10 años F A
1 0.110 1 0.1
19.54
1 n 3.72 G i (1 i ) n 1
A
F=P (A/G, i, n) F= P (1+i) n F= 19.54 (1+0.1) 10= 50.68 F=3.72 (1+0.1) 10=9.65 F/G = 60.33
2.7 Encuentre el valor del factor para convertir un gradiente con n=10 en un valor presente mediante una tasa de interés del 16% anual.
P G
(1 0.16) 10 (0.16)(10) 1
P
(0.16) 2 (1 0.16) 10
G
16.04
2.8 ¿Cual es la diferencia entre a) una serie g eométrica y una serie escalonada; b) un gradiente y una serie escalonada y c) un gradiente una serie geométrica? R= A) la diferencia entre una serie geométrica y una serie escalonada es el incremento que se da en cada periodo, en la escalonada el incremen to es igual en cada periodo, y en la geométrica es de manara exponencial. B) Un gradiente es el valor del incremento anual en una serie escalonada, y una serie escalonada es el conjunto de incrementos que se dan en un periodo determinado de años. C) Una serie geométrica es un conjunto de incrementos que se producen en n periodos, y un gradiente es solo el valor del incremento que se da en una serie escalonada.
2.9 halle el valor numérico de los siguientes factores (a) mediante interpolación y (b) utilizando la fórmula apropiada: 1. (F/P:16%:20) (F/P;16%,23) Por interpolación Utilizando fórmula F = P(F/P;16%;23) F = P*(1+ i)n F = 1(30.7114) F = 1(1.16)23 F = 30.7114 F = 30.3762
2. (P/A:16.3%:15) (F/P;16%,23) Por interpolación Utilizando fórmula P = A (P/A:16.3%:15) P = 1(5.5029) P = 5.5029
(1 i ) 2 1 P A * n i * (1 i ) (1.163) 15 1 P 1* 15 0.163 * (1.163) P = 5.4980
3. (A/G:12.7%:20) (F/P;16%,23) Por interpolación Utilizando fórmula
1 n A G * n i (1 i ) 1
A = G(A/G:12.7%:20)
A = 1(5.8638)
1
A 1 *
A = 5.8638
20
0.127 (1.127 ) A = 5.8592
20
1
4. (A/F:28%:30) (F/P;16%,23) Por interpolación Utilizando fórmula A = F(A/F:28%:30)
A = 1(0.00019) A = 0.00019
(1 i ) 1 0.28 A 1 * 20 (1.28) 1 A = 0.00017 A F *
i
n
2.10. Halle el valor numérico de los siguientes factores ( a ) mediante interpolación y ( b ) utilizando la formula apropiada. 1. (F/A. 2%. 92) 2. (P/F. 15%. 39) 3. (P/G. 16%. 21) 4. (A/G. 23%. 20)
1. (F/A. 2%. 92) utilizando la formula de la tabla A -4 al 2% factores de interés compuesta discreta. Factor. 247.1567 X 278.0850
n. 90 92 95
Utilizando la formula.
2. (P/F. 15%. 39)
n. 38 39 40
factor. 0.0049 x 0.0037
Utilizando la formula.
3. (P/G. 16%. 21)
%. 15% 16% 18%
factor. 34.645 x 26.300
Utilizando la formula.
4. (A/G. 23%. 20)
%. 20% 23% 25%
factor. 4.464 x 3.767
Utilizando la formula.
2.11 Cuál es el presente de un valor futuro de $7000 en el año 20 si la tasa de interés es 15% anual.
DATOS
F=7000
P=? i=15% anual
0
20 años
El valor presente de un costo futuro de $7000 en el año 20 a una tasa de es
anual
2.12 ¿Cuánto dinero podría una persona estar dispuesta a gastar ahora en lugar de gastar $40, 000 dentro de cinco años si la tasa de interés es 12% anual? Datos: P
F = 40, 000
P =? F = $40, 000 i = 12% anual t = 5años P P
F
(1 i )t
0
1
2
3
4
5
40000 (1 0.12) 5
P $22,697
La persona podría gastar $22, 697 en lugar de gastar 40, 000 dentro de 5 años.
2.13 Un anuncio en el periódico ofrece en venta un do cumento por pagar con segunda hipoteca para la venta. El documento por $ 25,000 se vence en 7 años a partir de ahora. Si una persona obtener una tasa de retorno de 20% en cualquier inversión que realice, ¿Cuánto pagaría por el documento? i =20%
P=$25,000 F= ¿ t = 7años
P
t = hoy
2P
t = 7 años
F P * (1 i ) t F 25,000(1 0.2)
7
F $89,579.52
2.14 Una pareja de casado esta planeando comprar un nuevo vehiculo para un negocio de deportes dentro de 5 años. Ellos esperan que el vehiculo cueste $ 32,000 en el momento de la compra. Si ellos desean que la cuota inicial sea la mitad del costo, ¿Cuanto deben ahorrar cada año si pueden obtener 10% anual sobre sus ahorros?
Datos Costo total de vehículo= $ 32,000
cos tototaldel vehiculo 2 32000 cuotainici al 2 cuotainici l $16000 cuotainici al
F 16000
t= 5 años i=10% F=$16000 $2620.76 $2620.76 Diagrama de flujo $2620.76 $2620.76 $262 0.76
t= 0
1
2
3
4
5
Formula a utilizar R
F (i )
(1 i ) t 1
Operación R
16000 (0.10) (1 0.10) 5 1
R $2,620.76
Respuesta La cuota que tiene que dar la pareja es de $2,620. 76 anualmente por 5 años para poder dar la cuota inicial del vehículo.
2.15 Si la pareja en el problema anterior esp era heredar algún dinero dentro de 2 años, ¿cuánto dinero deben ellos tener para reservar una cantidad global en ese momento con el fin de asegurar su pago inicial? Suponga que i = 10% anual. Datos: i = 10%anual t = 3 años F=$16, 000 P=F(1+i) -t P=16000(1+0.1)-3
P = $12021.04 2.16 Si una persona compra una pieza de equipo que tiene un costo de $23000, ¿qué cantidad de dinero tendrá que producir cada año para recuperar su inversión en 6 años si (a) obtiene el dinero en préstamo a una tasa de interés del 15 % anual, o (b) paga el equipo con dinero que había ahorrado y que estaba ganando 10 % anual de interés? Datos: P = 23000 i1 = 0.15 i2 = 0.10 t = 6 años F P * (1 i ) t
(1 i ) t 1 F R * i (1 0.15) 6 1 0.15
(23000) * (1 0.15) 6 R * R $ 6077.448
(1 0.1) 6 1 23000 R * 0.1 R $ 2980.96 2.17. Cuanto dinero tendría un empleado dentro de 12 años si toma su prima de n avidad de $2500 que recibe cada año y (a) la coloca debajo del colchón ( b ) la coloca en una cuenta corriente que produce intereses al 3 % anual o ( c ) compra acciones en un fondo mutuo que produce el 16 % anual. Datos
F =? t=12 años P = $ 2500 Diagrama.
(a)
F = np F= 12(2500) F= $ 30,000 (b)
(C)
2.18 ¿Cuánto dinero puede una persona obtener en préstamo ahora si promete reembolsarlo en 10 pagos de final de año de $3000, empezando dentro de un año, a una tasa de interés del 18% anual? DATOS
F
P=? R=$3000
0
1
2….
9
10 años
2.19 Para mantenerse al día con el número creciente de sus cuentas por cobrar, una persona está considerando la compra de un nuevo computador. Si toma el camino “barato” puede comprar un sistema básico ahora por $6000 y luego actualizar el sistema al final del año 1 por $2000 y nuevam ente al final del año 3 por $2800 en forma alternativa, puede comprar hoy un sistema de primera clase que proporciona el mismo nivel de servicio que el sistema barato mejorado durante la misma longitud de tiempo. Si la persona puede invertir dinero al 20% anual. ¿Cuánto podría gastar ahora por el sistema de primera clase? Datos:
6000
P =? i = 20% P0 = 6000 F1=2000 F3=2800
2000
0
1
2800
2
3
F
P
P
6000
P
$12505.067
(1 i )t 2000 (1 0.2)
1
2800 (1 0.2)3
Una persona podría gastar $12505.067 ahora por el sistema de primera clase. 2.20 ¿Cuál es el valor futuro e n el año 25 de $3000 en t = 0, $7500 en t = 4 años y $5200 en t= 12 años, si la tasa de interés es 15% anual? i =15% P1=$ 3000 P2=$ 7500 P3=$ 5200 t= 25 años
F 1 P * (1 i ) t 25 F 1 3000 (1 0.15)
F 1 $98,756.86
P1
F1
t=0
F 2
F 2
7500(1 0.15) 21 $141,161.38
F 2
P * (1 i )
t = 25 años
t
P2
t=0
F2
t=4
t = 25 años
P3
F 3 P * (1 i ) t 13 F 3 5200(1 0.15)
t=0
t = 12
F3
t = 25 años
F 3 $31994 .50
2.21 Cuánto dinero seria acumulado en el año 10 si se depositan $1,000 en los años 0,2,4,6,8, y 10 a una tasa de interés del 12% anual.
Datos i = 12% R= $1,000
Diagrama de flujo F= ?
$1000
t= 0
$1000
1
2
$1000
3
$1000
4
5
6
$1000
7
8
$1000
9
10
Fórmula F P(1 i)
t
Solución F 1 1000(1 0.12)10 $3105 .85 F 2 1000(1 0.12) 8 $2475 .96 F 3 1000(1 0.12) 6 $1973.82 F 4 1000(1 0.12) 4 $1573 .52 F 5 1000 (1 0.12) 2 $1254 .04 F 6 1000(1 0.12) 0 $1000.00
∑= $11,383. 55 $11,384 2.22 ¿Cuánto dinero se debe depositar en el año 6 si se depositan $ 5000 ahora y se desea tener $ 12000 al final del año 11? Supóngase que los depósitos ganan interés del 6% anual. i = 6 % anual 5,000 12,000 X 0
6
11 años
2.23¿Cuánto dinero podría obtener en préstamo ahora una recién creada compañía de software si promete rembolsar el préstamo con 3 pagos iguales de $7000 en los años 2, 6 y 10 si la tasa de interés sobre el préstamo es del 13% anual? Datos: R = 7000
i = 0.13
t = 2, 6, 10 años
1 (1 i ) t P R * i 1 (1 0.13) 2 P 7000 * 0.13 P $ 11676.72 1 (1 0.13) 6 P 7000 * 0.13 P $ 27982.85 1 (1 0.13) 10 7000 * P 0.13 P $ 37983.704 Respuesta Será acumulado en el año 10, $11,384.
2.24 Si una persona obtiene un préstamo de $11000 ahora para comprar una moto de 250CC ¿cuánto tendrá que pagar al final del año 3 para cancelar el préstamo si hace un pago de $3000 al final del año 1? Supóngase que i=10% anual. Datos: P = $11000 i = 10% anual F P * (1 i ) t F 11000(1 0.1) 3 F $14,641
F P * (1 i )
t
F 11000(1 0.1) 1 F $12100 3000 Ff $9100
F P * (1 i ) t F 9100(1 0.1)
2
F $11011
2.25 Si una persona está pagando un préstamo de $10,000 efectuando pagos iguales al final de cada año durante 5 años. ¿Cuánta reducción del principal obtendrá en (a) el segundo pago y (b) el último pago si la tasa de interés sobre el préstamo es 17% anual?
DATOS
$10000 R
0
t 0 1 2 3 4 5
1
2
Deuda
Cuota
10000 8574.36 6906.36 4954.80 2671.48
3125.64 3125.64 3125.64 3125.64 3125.64
a) Reducción de
3
4
1425.64 1668 1951.56 2283.31 2671.49
5 años
1700 1457.64 1174.08 842.32 454.15
Saldo 10000 8574.36 6906.36 4954.80 2671.49 0
b) Reducción de
2.26 Una tienda de descuento de muebles está planteado una expansión que costará $250, 000 dentro de 3 años. Si la compañía planea reservar dinero al final de cada uno de los próximos 3 años, ¿cuánto de be reservar en el año 1 si cada uno de los siguientes 2 depósitos será el doble que el primero? Supóngase que los depósitos ganarán interés del 10% anual. F3
Datos: F3=$250, 000 t = 3años R=? P=? R2=R3=2R1 P P
P
R1
R2 R3
F
(1 i ) t 250000 (1 0.1) 3
P $187,828.70
F 3 R1 * (1 0.1) 2 2 R1 * (1 0.1)1 2 R1
250000 5.41 R1 R1 $46210 .72 R 2 R 3 2 * R1 $92421 .44
La tienda deberá reservar al final de los próximos 3 años $46210.72 para el primero y 92421.44 para los otros 2.
2.27 ¿Cuánto dinero habrá en una cuenta de jubilación si se invierten $9000 anualmente durante 35 años a una tasa de interés de 6 ½% anual? i =6.5 %
R=$ 9000 t= 35 años
1 i t F R i 1 1 0.064 35 1 F 9000 0 . 065 F $1,116,312.21
R1
R2
R3
F
t =0
t =1 t=3
t =35años
2.28 Debido a la buena calificación de crédito de una compañía, un distribuidor le permitirá comprar productos que cuestan hasta $15,000 sin cobro de interés siempre que la compañía rembolse el préstamo e n el término de 2 años. Si ésta compra materiales por valor de $15,000 ahora y rembolsa la cantidad total en una cantidad global al final del año 2. ¿Cuál es la cantidad del descuento efectivo que se obtiene si la tasa de interés es 15½% anual? Datos P= 15,000.00 t= 2 años i = 0% i = 15½% Diagrama de flujo
F=$20,010. 38
i=15% Ahorro=$5.010. 38
$15,0000
$15,000
t=0
1
Formula F P(1 i)
Solución
t
2
i=0%
F
i 15
1
2%
15000(1 0.155) 2 $20,010.38
2 00 F i 0% 15000(1 0) $15,000.
Ahorro
$20,010.38 $15,000 00 $5,010.38 La compañía obtuvo un descuento efectivo de $5,010. 38
2.29 ¿Cuál tasa de interés compuesta es equiv alente a una tasa de interés simple anual de 15% durante un periodo de 20 años?
2.30 Una secuencia de flujo de efectivo se inicia en el año 1 en $1000 y aumenta en $100 cada año hasta el año 7. Haga lo siguiente (a) Trace el diagrama de flujo efectivo, (b) determine la cantidad de flujo efectivo en el año 7, (c) localice el valor presente del gradiente en el diagrama, (d) determine el valor de n para el gradiente. 1500 a) 1000
0
1
1100
2
1200
3
1300
4
1600
1400
5
6
7
b) De acuerdo con el diagrama el valor efe ctivo en el año 7 es $1600 c) El valor presente del gradiente en el diagrama es en el año cero (0) d) el valor de n es 7.
2.31 Una compañía que fabrica auto parte tiene presupuestado $300000 para adquirir cierto repuesto durante los próximos 5 años. Si la com pañía espera gastar $50,000 en el año 1.¿Qué tanto incremento anual espera la compañía en el costo de este repuesto? Suponga que los 300,000 están depositados en una cuenta que produce 12% de interés anual.
$300,000
12 % interés anual
F= 528,702.20
PT
0
1
2
3
4
5 años
F = P ( 1 + ) t = 300,000 ( 1 + 0.12) 5 F = 528,702.20 PT PT PG PG
= = = =
$ 300,000 PPB + PG PT - PPB 300,000 – 50,000 [ 1- ( 1+0.12) -5] 0.12 PG = $ 119,761.90
PG = G і
[ 1- ( 1+ і) – t ] - _t_ і ( 1+ і) – t
G= __P G 1 – (1+ і) – t - t_ і ( 1+ і)
–t
= 119,761.90 ( 0.12) 1 – (1+ 0.12) – 5 - 5_ 0.12 (1+0.12) 5
G = $ 18,722.43 2.32 Para el flujo efectivo que se muestra a continuación, calcule (a) el valor anual uniforme equivalente en los años 1 hasta e l 4 y (b) el valor presente en el año 0. Suponga que i= 14% anual.
Datos: t=4 R=? i = 14% a) Calcular el valor futuro F=P*(1+ i)t F= [4000*(1.14) 3] + [3200*(1.14) 2] +[2400*(1.14)] + 1600 F=$ 14420.9
3200
0
1
2
2400
3
1600
4
Calcular el valor anual uniforme durante 4 años iniciando en el año 1: F * i R R
(1 i ) t 1 14420 .9 * 014 (1.14) 4 1
R 2930 .40 $/año
R =2930.40
0
1
2
3
4
b) Calcular el valor presente en el año cero: P P
F
(1 i ) 2 14420.9 (1.14) 4
P 8538.33 $
P=8538.33
F = 4420.9
0
1
2
3
4
2.33 Para la secuencia del flujo efectivo descrita por (500+30K), donde K está expresada en años, (a) trace el diagrama de flujo de efectivo para los años 1 hasta el 9, (b) determine el valor de G, (c) determine la cantidad de flujo efectivo en el año 5, (d) determine el valor presente del flujo de efectivo en los años 1 -14 si i = 12% anual.ç a) Datos ($500+30K) 710 650 590
P
530
560
b) Datos G=? FG=$770 PB=$530 t = 9 años G G
FG PB t 1
$770 $530 9 1
G $30
c) Datos
FG5=? t = 5 años PB=$530
620
680
740
770
FG 5 G * (t 1) PB FG 5 $30 * (5 1) $530 FG 5 $650
d) Datos P=? i=12% anual t= 14 años G = 30 PG PG
G 1 (1 i )
i
t
i
(1 i ) t t
1 (1 0.12) 14 14 * 0.12 0.12 (1 0.12)14 30
PG $941
(1 i ) t 1 Po R * t i * (1 i ) (1 0.12)14 1 Po 530 * 14 0.12 * (1 0.12) Po $3513 PTOTAK PG Pr $4454
620 560
590
2
3
680
710
6
7
740
770
8
9
800
830
10
11
860
890
12
13
920
650
530
1
4
5
14
2.34 La factura de servicios en un pequeño centro de reciclaje de papel ha estado aumentando en $428 anual. Si el costo de los servicios en el año 1 fue $3,000.¿Cuál es el valor anual uniforme equivalente hasta el año 8 s i la tasa de interés es 15% anual?
= 15%
F= 528 702.20 G = 428
PT
| 0
PG =
428 0.15
1
2
3
4
5
6
7
8 años
1- ( 1+ 0.15) – 8 - _8_ + 3000 8 0.15 ( 1+ 0.15)
1 - ( 1+0.15) -8 0.12
P G = $ 22,,169.205
FG =
428 0.15
( 1+ 0.15) 0.15
FG =
$ 16,340.524
RG =
428
RG =
$ 1,190.57
8
-1 - 8
1 8____ 0.15 (1+0.15) 8 -1
Uniforme equivalente hasta los ocho años
2.35 Los ingresos de ciertos derechos minerales han seguido un gradiente en descens o durante los últimos 4 años. El primer recibo fue $10,500 y el segundo fue $9,800 a) ¿En cuantos años a partir de ahora llegará a cero la corriente de ingresos? b) ¿Cuál es el valor futuro (en el último año en que se recibe el dinero) de la serie restante de recibos, a una tasa de interés del 11% anual?
a) Diagrama de flujo
b) F=?
a) $10,500 $9800
0
t=0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
AHORA
Datos G $10,500 $9,800 $700 solución Numerodeaños
$9,800 14 $700
b) fórmula F
G i
1 i t 1 t i
solución
$700 1 0.11 1 13 F 0.11 0.11 13
F
$84,074.05
Respuestas a) A partir de ahora, que en el diagrama de flujo esta ubicado en el año 2 el tiempo que tardaría en llegar a cero la corriente de ingresos sería dentro de 14 años. b) El valor futuro (en el último año en que se recibe el dinero) de la serie restante de recibos a una tasa de interés del 11% anual sería de $84,074. 05.
2.36 Para el flujo de efectivo que se muestra a continuación, determine el valor de G que hará que el valor anual equivalente sea igual a $ 800 a una tasa de interés del 20 % anual. P= 800 200+2G
15
16
0
200
200 +G
1
2
200+3G
3
4 años
PB = 200 i = 20 % anual t = 4 años
2.37. Halle el valor de G para el flujo de efectivo en el problema 2.36, si el valor futuro (año 4) del flujo de efectivo es $ 3000 a una tasa de interés de 18% anual.
Diagrama.
i= 18% anual G=?
2.38 Una compañía de drogas importante anticipa que en años futuros podría estar involucrada en una litigación relacionada con los efectos laterales percibidos de una de sus drogas antidepresivas con el fin de preparar un fondo destinad o para este fin la compañía desea tener $20 millones disponibles dentro de 5años. La compañía espera
reservar $5 millones el primer año y cantidades uniformemente crecientes en cada uno de los cuatro años siguientes la compañía puede ganar 11anualmente en el dinero que reserva .¿En cuanto debe aumentar dicho valorada año para alcanzar su meta de 20 millones al final de 5años.
$ 20 millones
P
$ 5 millones | 0
1
2
3
4
5 años
= 11% PB =P F = P ( 1+ + ) t = 5,000,000 ( 1 + 0.11 )4 F = 7,590,352.05 FT FG FG FG
= = = =
FG =
G
FG +F FT -F 20,000,000 - 7,590,352.05 12,409,647.95 G
( 1+ )
t
-1 - t
= __ F G x ____ ( 1+ ) t -1 - t
=
12,409,647.95 x 0.11 ( 1+ 0.11) 4 -1 - 4 0.11
G = 1,923,350.22
2.39 Suponga que a una persona se le dijo que preparara una tabla de valores de factor (como los de la portada de este libro) para calcular el valor presente de una serie geométrica. Determine los primeros tres valores (es decir, para n = 1, 2 y 3) para una tasa de interés del 10% anual y una tasa escalonada del 6% anual.
DATOS P(n=1,2 y 3)=?
Nota: este cálculo se repite para n=2 y 3
N 1 2 3
Serie geométrica Factor P/D 0.90909 1.78512 2.62930
2.40 calcule el valor presente de una serie geométrica de pagos en donde la cantidad en el año 1 es 500 y cada cantidad siguiente aumenta en 10% anual. Utilice una tasa de interés del 15% anual y un período de tiempo de 7 años. Datos: D = 500 E = 10 i = 15%
(1 E ) t 1 D * t (1 i ) P E i (1 0.1) 7 500 * 1 7 (1 0.15) P 0.1 0.15 P 2674.05 2.41 El valor presente de una serie geométrica de flujos de efectivo resultó ser $65,000. Si la serie se extendía a 15 años y la tasa de interés fue de 18% anual, ¿Cuál fue la tasa escalonada si el flujo de efectivo en el año 1 fue $6000? i =18 % anual P=$ 65000 E =? t= 15 años D= 6000
1 E 1 D 1 i t
t
P
E i
1 E 15 1 E 0.18 11.97 D 1 E 15 11.97 P
i≠E
10.83 E 1.95 65000
11.97 501.10(1 E )15 1 E 0.8
E = 0.152 E = 15.2%
2.42 Con miras a tener dinero disponible para reemplazar su vehículo familiar, una pareja planea tener $38,000. 00 disponibles en 6 años invirtiendo en el f ondo mutuo global. Si ellos planean aumentar sus ahorros en %7 cada año, ¿Cuánto deben invertir en el año 1 si esperan ganar 14% anual sobre su inversión? Datos F=$38,000. 00 t= 6 años E=7% anual i=14%
$38 000.00
Diagrama de flujo P D
t= 0
1
2
3
4
5
6
Formula F
P
(1 i ) t
1 E t 1 D t 1 i P i E despejando D D
P (i E )
(1 E ) t 1 t (1 i )
Solución P
D
38000 (1 0.14)
6
$17,312.29
17.312.29 (0.14 0.07)
(1 0.07) 1 6 (1 0.14) 6
$3,831.51
Respuesta La pareja debe invertir en el año uno $3,831. 51 si espera ganar 14% anual sobre su inversión para poder tener disponible $38,000 en un periodo de 6 años.
2.43 Halle el valor presente de una serie de flujo de efectivo que empieza en 800 en el año 1 y aumenta en 10% anual durante 20 años. Suponga que la tasa de interés es del 10% anual. Datos: D=800 E = 10%=i
P=D(t/1-E) P=800(20/1-0.1) P=17777.78
Diagrama de flujo P
800
t= 0
E=i=10%
1
2
3
4
5
….20 años
2.44 Suponga que una persona desea empezar a ahorrar dinero para el futuro. Si invierte $1,000 al final del año 1 y aumenta sus ahorros en 8% cada año.¿cuánto tendrá en su cuenta dentro de 10 años si esta gana intereses a una del 8% anual?
F PB = 1000
0
1
2
3
4
5
6
7
8
= 8% E =8% F = p B ( F / A , 8 % , 10 ) + G ( F / G , 8 % , 10)
F PB = PB
( 1+
)
t
-1
= 1000
( 1+ 0.08 ) 10 - 1 0.08
9
10
F PB =
$ 14,486.56
FG
=
t 1+ E
FG
=
F t ot al F t ot al F total
D
= 1000
__10 1+0.08
$ 9,259.26 =
= =
F PB + F G 14,486.56 + 9,259.26 $ 23,745.82
2.45 una compañía esta planeando hacer depósitos de tal manera que cada uno es 6 % mas grande que el anterior. Que tan grande debe ser el segundo deposito (Al final del segundo año) si los depósitos se extienden hasta el año 15 y el cuarto deposito e s 1250. Utilice una tasa de interés 18 % anual.
Formula: P = D (1+ i) t Despejando: D=
D=
P
1 i t 1250
1 0.06 3t
D = 1049 .52
