1
2
Competencia
Indicadores
ales y procedimentales de la Lógica Matemática para solucionar problemasIdentifica de la realidad, magnitudes de manera proporciona proporcionales acertada, lesresponsable a partir de ylos proactiva. medios de comunicac
Día Mundial de la Población Como todos los años, el 11 de julio se conmemora el Día Mundial de la Población1. Al 30 de junio del año 2015, en el Per !ramos !ramos 31 millones 151 mil "#3 $ersonas. $ersonas. %acia el 2021, año del bicentenari bicentenarioo de nuestra inde$endencia inde$endencia nacional su$eraremos los 33 millones & $ara el año 2050 2050 se esti estima ma 'ue 'ue lle( lle(ar ar)) a #0 mill millon ones es de *abitantes. Aun'ue el ritmo de crecimiento se *a desacelerado, la $oblación *a se(uido en aumento & se(uir) creciendo $or muc*os años m)s. +ntre el 2015 & 2021, cada año se sumar)n 333 mil nueas $ersonas.
Población & -erritorio Cu)l es la su$er/icie donde iimos Somos el decimonoveno (!" pa#s más e$tenso del mundo con% millón &' mil &) *m &. Dónde se concentra la $oblación A nivel nacional, la densidad poblacional es de &+,& ab.-m/0 siendo mayor en los departamentos ubicados en la costa% costa% 1rovin 1rovincia cia Con Consti stituc tucion ional al del Callao Callao () !+!,2 ab.-m/", seguido del departamento de Lima (&'&,+ ab.-m/", ab.-m/", Lambaye3ue, Lambaye3ue, ('4, ab.-m/", ab.-m/", La Liberta Libertad, d, (4&,! (4&,! ab ab.- .-m/" m/",, 1iura 1iura (,4 (,4 ab ab.- .-m/" m/",, y 5umbes (2,! ab.-m/". 1or el contrario, son los departamentos de la selva los 3ue presentan la menor densidad poblacional% Madre de 6ios 6ios,, (,) (,) ab. ab. -m/ -m/", ", Lore Loreto to (&,' (&,' ab. ab.- -m/ m/", ", 7cayali (+,' ab.-m/" y Ama8onas, (2,' ab.-m/". 9ecuperado de%
ttps%--:::.inei.gob.pe-media-Menu9ecursivo-publicac ttps%--:::. inei.gob.pe-media-Menu9ecursivo-publicaciones;digitales-
3
RAZONESYPROPORCI ONES La siguiente tabla muestra los ingresos obtenidos por >uan en el primer trimestre del a?o por concepto de comisión en la venta de productos orgánicos.
Mes
n(reso 4 &22 & 22 )22
Bbservamos 3ue%
Los ingresos de los meses de mar8o y enero se di/erencian en S- & +22.
5ambiDn%
uan en mar8o es el tri$le de su ingreso de enero.
Los ingresos de mar8o y enero son $ro$orcionales a y .
1or cada soles de ingreso de mar8o, en enero obtuvo sol.
1or cada + soles obtenido enero, en febrero obtuvo de 4 soles de ingreso.
Los ingresos de enero y febrero est)n en la relación de + a 4, respectivamente.
zón 1. Ra
F
1.1 7a8ón aritm!tica La ra8ón aritmDtica (r" de las cantidades a y b se calcula mediante la sustracción. a 9 b : r 0 siendo r el valor de ra8ón aritmDtica
4 1.2 7a8ón (eom!trica La ra8ón geomDtrica (" de las cantidades a y b se calcula mediante la división. , donde es el valor de la ra8ón geomDtrica. <=emplo% Los ingresos semanales de un evaluador de programas de educación en salud y un psicólogo organi8acional en empresas privadas están en la relación de a respectivamente. Si el psicólogo organi8acional gana S- 2 menos 3ue el evaluador de programas. 6eterminar, cuánto gana al mes cada uno de ellosJ 9esolución e% ingreso semanal del evaluador de programas de educación en salud p% ingreso semanal del psicólogo organi8acional en empresas privadas •
•
•
•
Ingresos en la relación de a
r oporci ón 2. P
Analicemos la siguiente situación% Antonio es un pensionista de la administración pEblica 3ue recibe mensualmente S-+2, de los cuales aorra S- &20 por su parte eatri8 pertenece al 6ecreto Ley !!!2 y recibe S- )2 más 3ue Antonio, y mensualmente aorra S- '20 mientras 3ue Carlos traba=a en el Conse=o Nacional de la Magistratura y su remuneración mensual es S- '22, de los cuales aorra S+'2.
5 Notamos 3ue% • Antonio gasta mensualmente 2 soles. • Los gasto de eatri8, tambiDn, ascienden a S- 2.
+2 K &2 2
eatri8
2 K '2 2
Ambos gastan la misma cantidad de dinero% +2 K &2 2 K '2
As# mismo% •
•
•
•
Antonio aorró &2 soles de los S- +2 3ue recibió. Antonio aorra S- + por cada soles 3ue recibe.
0
Carlos aorra &2 soles de los S- +2 3ue recibió. Carlos aorra S- + por cada soles 3ue recibe.
0
5anto Antonio como Carlos aorran S- + por cada S- de sus remuneraciones mensuales.
Antonio y Carlos aorran en la misma proporción%
&. Pro$orción aritm!tica ulio, dise?ador y gestor de proyectos urbanoGar3uitectónicos sostenibles, recibe una comisión de S-42 por dos plano, cuántos planos tendrá 3ue elaborar para recibir S- 42J 9esolución
⇒
9espuesta% >ulio tendrá 3ue elaborar 2 planos.
6
MAGNI TUDES PROPORCI ONALES
3.1 Ma(nitud
3.2 Cantidad
CA<-DAD
Longitud Prea 5iempo NQ de obreros
m ) m& & oras ' obreros
3.3 7elaciones entre dos ma(nitudes 6os magnitudes son proporcionales cuando al variar el valor de una de ellas, el valor correspondiente de la otra magnitud tambiDn var#a. Se pueden relacionar de dos maneras% 3.3.1 Ma(nitudes directamente $ro$orcionales 6os magnitudes son directamente proporcionales si al aumentar o disminuir los valores de una de ellas, los valores correspondientes de la otra magnitud tambiDn aumentan o disminuyen en la misma proporción. As# mismo, la Asociación @ondo de Investigadores y
7 As#, cuando duplicamos el valor de una de ellas, entonces, tambiDn se duplica el correspondiente valor de la otra magnitud0 o cuando triplicamos una de ellas, entonces, tambiDn se triplica el correspondiente valor de la otra magnitud, etc.
<=emplo% Si compro libros cada uno a S-20 al anali8ar cómo var#a el valor del costo total, cuando var#a el nEmero de libros, se tendrá%
Costo total <> de libros
2
2
&22 +
+2 !
Se observa% Costo total NQ de libros
(constante de proporcionalidad"
7e$resentación (r)/ica de dos ma(nitudes directamente $ro$orcionales
8
nter$retación (r)/ica • La gráfica de dos magnitudes 61 es una recta 3ue pasa por el origen de las coordenadas. •
3.3.2 Ma(nitudes inersamente $ro$orcionales P 6os magnitudes son inversamente proporcionales si al aumentar o disminuir los valores de una de ellas, los valores correspondientes de la otra magnitud disminuyen o aumentan en la misma proporción.
<> de $intores <> de días
)2
& 2
Se observa% (NQ de pintores"(NQ de d#as"
→
) 2
2 &
&
9
←
(constante de proporcionalidad"
7e$resentación (r)/ica de dos ma(nitudes inersamente $ro$orcionales
nter$retación (r)/ica • •
La gráfica de & magnitudes I1 es una rama de ipDrbola e3uilátera.
3.# An)lisis com$aratio de ma(nitudes? MA;<-=D Bbra Bbra Bbra NEmero de d#as NEmero de d#as NEmero de d#as NEmero de obreros NEmero de obreros NEmero de obreros NEmero de oras diarias NEmero de oras diarias Oastos 1recio
7+@AC<
MA;<-=D NEmero de oras diarias 9endimiento 6ificultad Bbrero NEmero de oras diarias 9endimiento NEmero de oras diarias 9endimiento 6ificultad 9endimiento 6ificultad NEmero de art#culos 6emanda
10 9emuneración Prea de un terreno Acciones
NEmero de d#as de traba=o 1recio 7tilidades
3.5 Pro$orcionalidad com$uesta La proporcionalidad compuesta nos permite resolver problemas en los 3ue intervienen más de dos magnitudes 3ue mantienen entre s# relaciones de proporcionalidad . (CDspedes, @arfán, Oarc#a, OutiDrre8 y Medina, , et al. &22, p. '". Cuando en un problema se presentan más de dos magnitudes, es recomendable e$presarlas a travDs de una sola fórmula proporcional. As# tenemos 3ue% •
Si en un problema se presentan las magnitudes% A, , C, 6 y <, estas se deben anali8ar dos a dos, tomando a una de ellas como referencia, para el análisis y manteniendo a las otras en su valor constante.
•
Si se presentan las magnitudes A,,C,6 y <0 además se relacionan de la siguiente manera% A DP A P C A DP 6 A DP <
<> <> días <> de *4d +/iciencia Com$lejidad in(enieros $lanos ' !2 ) & &2 n & + 6e las relaciones entre las magnitudes%
11 (NQingenieros"(NQ de d#as"(NQ de -d"(
Con los valores numDricos, tenemos% n+ 9espuesta% + d#as
3." Caso es$ecial? 97<6AS
9ecuperado de% ttps%--l+.googleusercontent.com-G@alRlBMM-54a@es4=TeI-AAAAAAAAA'7-T8BBaiabbs-s&2-trenengrana=es.=pg
A mayor nEmero de dientes, menor nEmero de vueltas. A menor nEmero de dientes, mayor nEmero de vueltas. 1or lo tanto%
<> ueltas P <> dientes
<> ueltas <> dientes:B
<=emplo% Se tienen & ruedas engranadas, la más grande tiene )) dientes y engrana con otra rueda 3ue tiene 2 dientes. Si la más grande da 2 vueltas por minuto, cuántas vueltas dará la más pe3ue?a en + minutosJ ())"(2" (2"($" $ && vueltas 9pta. 1or lo tanto, en + minutos dará '' vueltas.
12
hoja de desafíos nº 6 .
7es$uesta% &. @abio,
13 Planteamiento & desarrollo
7es$uesta% . 7n estudio referente a la vida Etil de los monitores LC6 de las computadoras estableció 3ue e$iste una relación inversa entre esta vida Etil y las oras diarias de uso de estos monitores. Si un monitor 3ue es usado ) oras por d#a tiene una vida Etil de )2 222 oras, Cuántas oras de vida Etil tendrá un monitor 3ue es usado ' oras por d#aJ Planteamiento & desarrollo
7es$uesta%
+.
7es$uesta% .
14
7es$uesta% ). La asistente de recursos umanos de una empresa calcula los aportes al seguro de salud de los empleados en forma proporcional al monto de sus salarios. Si en la boleta de pago de un traba=ador de la empresa 3ue gana S- '22 figura un aporte al seguro de salud de S- &+. 6etermina el salario de un traba=ador cuyo aporte al seguro de salud es de S- &4. Planteamiento & desarrollo
7es$uesta% 4.
7es$uesta% '.
15
7es$uesta% !. 1ara garanti8ar el me=or funcionamiento del engrana=e, el ingeniero industrial tiene 3ue ensamblar dos ruedas de && y + dientes. As# mismo, asegurar 3ue una de las dos ruedas engranadas tiene 3ue dar 2 vueltas más 3ue la otra en el transcurso de minutos. 6etermina la velocidad de cada una de ellas en rev-min. Planteamiento & desarrollo
7es$uesta% 2. 1ara la elaboración de un proyecto multifamiliar el nEmero de ar3uitectos asignados es 61 a la elaboración del nEmero planos e inversamente proporcional al tiempo 3ue tienen para reali8arlos. Si ) ar3uitectos elaboran 2 planos en + d#as, Cuántos ar3uitectos se necesitan para elaborar &2 planos en ' d#asJ
Planteamiento & desarrollo
7es$uesta% . 6os =ubilados del sector educación reciben mensualmente una pensión, 3ue es 61 a las ra#ces cuadradas del nEmero de a?os 3ue laboraron en el magisterio. Si el primero laboró a?os más 3ue el segundo y sus pensiones están en la ra8ón de 2 a &, Cuántos a?os laboró el segundoJ Planteamiento & desarrollo
16
7es$uesta% &.
7es$uesta% .
7es$uesta% +.
17 7es$uesta% . Bco estudiantes de Ar3uitectura pueden elaborar una ma3ueta de un condominio en 2 d#as.
7es$uesta%
).
7es$uesta% 4. 5res personas ganan un auto *ia Bptima en el bingo organi8ado por el consorcio Tirgen del Carmen.
18 7es$uesta% '.
7es$uesta% !. Los ingresos de un practicante en turismo y oteler#a durante tres meses consecutivos son directamente proporcionales a &, y +. Si la suma de los ingresos asciende a S- ) &42. 6etermine los ingresos del primer mes. Planteamiento & desarrollo
7es$uesta% &2.
19
7es$uesta% &. 7na donación de 2 22 tarros de lece fueron entregados en 1uente 1iedra, deben ser distribuidos entre los comedores populares F
7es$uesta% &&. La oficina de desarrollo del talento umano de una empresa decide premiar a un e3uipo de traba=adores con un monto de dinero 3ue sea proporcional a la ra#8 cuadrada de los meses laborados por cada uno de ellos. Si uno de los integrantes del e3uipo recibió S-. & 22 y se sabe 3ue traba=o 4 meses, Cuánto recibirá otro integrante 3ue traba=ó + a?osJ Planteamiento & desarrollo
7es$uesta% &.
20 EMPLEADO
HORAS EXTRAS
FALTAS
Celso
180
3
Daniela
144
2
Fausto
160
1
Saúl
168
4
Cuánto le corresponde a 6anielaJ Planteamiento & desarrollo
7es$uesta%
&+. 7n prestigioso empresario decide repartir su erencia de S-4) 222 entre sus tres ermanos% >osD, Marco y Adriano, de manera 61 al nEmero de sus i=os e I1 al monto de sus deudas. Cuánto le corresponde a cada ermanoJ >osD Marco Adriano
NQ WI>BS +
MBN5B 6< 6<76AS (S-" &222 )222 '222
Planteamiento & desarrollo
7es$uesta%
21 &.
HORAS EXTRAS
M!"TOS DE TARDA!$AS
Co%ina
120
4
Delia
216
6
Fe%nan&a
240
3
San&%a
168
8
Cuánto le corresponde a SandraJ
Planteamiento & desarrollo
7es$uesta%
@;7EFA Código de bibliote ca
511.3 C95 510 "#$ 511.3 3 511.3 *3
LIBROS, REVISTAS, ARTÍCULOS, TESIS, PÁGINAS WEB.
Céspedes, C. (2005). Lógica y Matemática. Lima: Universidad César Vallejo-r!jillo. "iller, C%. (2013). Matemática razonamiento y aplicaciones. (12aed) "é&i'o *!r!la+rada, . (2005). Razonamiento matemático Propedéutico. *erraer, /. (2005). Lógica Matemática. (13. ed.). "é&i'o: diorial *ondo de C!l!ra 'onmi'a.
