UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA
Ejercicios de Probabilidades 1.
Una línea de producción clasifica sus
produ productos ctos en defectu defectuoso osos s ”D” y no defec defectuo tuoso so “N”. De un almacé almacén n donde donde guard guardan an la produ producció cción n diaria diaria de ésta ésta línea, línea, se extrae extraen n artícul artículos os hasta hasta observ observar ar tres defect defectuos uosos os consecutivos o hasta que se hayan verificado cinco artículos. Construir el espacio muestral.
2.
Sean
cualesquie cualesquiera ra en el espacio espacio muestral muestral
Ω.
A,
B
y
C
tres
eventos
Exprese cada uno de los siguientes eventos en
términos de operaciones entre A, B y C. a) Ocurre Ocurre exac exactam tamen ente te uno uno de los los even eventos tos b) Ocurre Ocurre por por lo meno menos s uno uno de los los tres evento eventos s c) Ocurren Ocurren exacta exactame mente nte dos dos de los los event eventos. os. d) Ocurren Ocurren por por lo menos menos dos evento eventos. s. e) Ocur Ocurre ren n todo todos s los los even eventos tos.. f)
No ocur ocurre re nin ningu guno no de los los eve event ntos os
g) No ocur ocurre re A, o no ocurre ocurre B, B, o no no ocurr ocurre e C. h) Ocurren Ocurren a lo más más dos dos de los evento eventos s
3.
La tasa de desempleo para el siguiente
períod período o está está pronos pronostica ticado do por un model modelo o económ económico. ico. El pronós pronóstico tico del mode modelo lo puede puede describirse con uno de los cinco eventos: A1 : “el desempleo será del 10% o más” A2 : “el desempleo será del 8% o más, pero menos del 10%” A3 : “el desempleo será del 6% o más, pero menos del 8%” A4 : “el desempleo será del 4% o más, pero menos del 6%” A5 : “el desempleo será menos del 4%” Tome Bi para representar el desempleo actual de acuerdo a las mismas cinco clasificaciones ( por ejemplo B1 = “el desempleo actual es del 10% o más“). a) Son mutuamente excluyentes los eventos A 1, A 2, ...,A 5.? b) Son colectivamente exhaustivos? c) ¿Qué indican los siguientes eventos en palabras?
A2
B3
;
A3
4.
A4 ;
Ai
B j ;
Ai
B j (i > j)
Un inversionista planea escoger dos de
las cinco oportunidades de inversión que le han recomendado. Describa el espacio muestral que represente las opciones posibles.
5.
Para cada uno de los siguientes
eventos, indique si el tipo de probabilidad involucrada es un ejemplo de una probabilidad clásica, probabilidad por frecuencia relativa o una probabilidad subjetiva. a) Que el siguiente lanzamiento de una moneda no cargada caiga en sello. b) Que el Sporting Cristal gane la copa Libertadores de América el año siguiente. c) Que el microbús que lleva a los docentes los Lunes a primera hora llegue más de 10 minutos tarde. d) Que la suma de las caras de los dados sea 7 e) Que Alan García gane las próximas elecciones presidenciales. f)
Que haya huelga de profesores el próximo ciclo.
6.
En los últimos años, las compañías de
tarjetas de crédito han hecho un esfuerzo agresivo para atraer nuevas cuentas de estudiantes universitarios. Suponga que una muestra de 200 estudiantes de su universidad apuntó la siguiente información en términos de si el estudiante poseía una tarjeta de créditos y/o una tarjeta de crédito de viajes y entretenimiento:
Tarjeta de crédito Bancaria Si No
a)
Tarjetas de crédito de viajes y entretenimiento Si No
60 15
60 65
De un ejemplo de un evento simple.
b) De un ejemplo de un evento conjunto. c) ¿Cuál es el complemento de tener una tarjeta de crédito bancaria?
7.
Sean A y B dos eventos en
Ω
tales que
P(A) = 0,2 ; P( B ) = 0,4 y P( A B ) = 0,3 Calcular:
a) P ( A ∪ B ) b) P ( A ∩ B ) c) P ( A ∩ B ) d) P( A ∩ B ) e) P ( A ∪ B ) 8.
Se va a entrevistar a un grupo selecto
de empleados de Backus y Johnston con respecto a un nuevo plan de pensiones. Se
efectuarán entrevistas detalladas a cada uno de los empleados seleccionados en la muestra. Los empleados se clasificaron como siguen:
Clasificación
Evento Nº de empleados
Supervisores De mantenimiento De Producción Gerencia Secretarial
A B C D E
120 50 1460 302 68
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la primera persona seleccionada sea un empleado de mantenimiento? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la primera persona seleccionada sea una secretaria? c) ¿Cuál es la probabilidad de que la primera persona seleccionada sea alguien de mantenimiento o una secretaria? d) ¿Cuál es la probabilidad de que la primera persona seleccionada sea un supervisor o un empleado de mantenimiento o un trabajador de producción o un gerente o una secretaria? e) ¿Estos eventos son mutuamente excluyentes?
9.
Si P(A) = 0,4 ; P(B) = 0,5
; P(C) =
0,7 ; P ( A ∩ B ) = 0,2 ; P(A ∩ C) = 0,2 ; P (B ∩C) = 0,4 y P ( A ∩B ∩C) = 0,1. Hallar:
a) P ( A ∪ B ∪ C) b) P ( A ∪ B ∪
c
)
10.
¿Cuáles
de
los
siguientes
casos
representan tres eventos que son colectivamente exhaustivos y mutuamente excluyentes:
a) P(A) = 0,6 ; P(B) = 0,2 ; P(C) = 0,1 y P(A ∩B) = 0 b) P(A) = 0,1 ; P(B) = 0,4 ; P(C) = 0,5 ; P(A ∪ B) = P(C) ; P(A ∪C) = 0,6 ; P(B ∩C)=0
11.
Un
dado
tiene
3
caras
negras
numeradas con 1, 2, 3 ; y las otras caras son blancas numeradas con 4, 5, 6. Si se lanza este dado, ¿Cuál es la probabilidad de que aparezca un número par o una cara blanca? 12.
Un estudio de 200 cadenas de tiendas
de abarrotes reveló estos ingresos, después del pago de impuestos:
Ingreso después de impuestos
Nº de empresas
Menos de $1 millón $1 millón a $20 millones $20 millones a más a)
102 61 37
¿Cuál es la probabilidad de que una cadena especial tenga menos de $1
millón de dólares en ingresos después de pagar impuestos? b)
¿Cuál es la probabilidad de que una cadena de tiendas de abarrotes tenga
un ingreso entre $1 millón y $20 millones, o un ingreso de $20 millones o más? 13.
Por cada 10000 autos asegurados, se
roban 800 al año, se descomponen 250 y 130 de los autos robados resultan averiados. ¿cuál es la probabilidad que un auto nuevo asegurado se pierda en el primer año? ¿cuál es la probabilidad que lo roben o lo averíen? 14.
Utilizando los datos del problema 6, si
un estudiante es seleccionado aleatoriamente. ¿cuál es la probabilidad que : a)
tenga una tarjeta de crédito bancaria?
b)
No tenga una tarjeta de crédito bancaria?
c)
Tenga una tarjeta de crédito bancaria y no tenga una tarjeta de crédito de
viajes y entretenimiento? d)
No tenga ninguna de las dos tarjetas?
e)
No tenga una tarjeta de crédito bancaria o tenga una tarjeta de crédito de
viajes y entretenimiento? f)
Suponga que el estudiante tiene una tarjeta de crédito bancaria. ¿cuál es la
probabilidad tenga una tarjeta de crédito de viajes y entretenimiento? 15.
El director de una gran agencia de
empleo desea estudiar las diversas características de sus solicitantes de trabajo. Se ha seleccionado una muestra de 200 solicitantes para su análisis. Setenta solicitantes habían tenido sus trabajos actuales durante al menos cinco años; 80 de los solicitantes son graduados universitarios; 25 de los graduados universitarios duraron en sus trabajos al menos 5 años. a) Cuál es la probabilidad que un solicitante escogido aleatoriamente: a.1) Sea un graduado universitario? a.2) Sea un graduado universitario y haya tenido su trabajo actual menos de 5 años? b) Dado que un empleado es un graduado universitario ¿cuál es la probabilidad que haya durado en su trabajo menos de 5 años?. c) Determine si ser graduado universitario y haber durado en el trabajo al menos 5 años son estadísticamente independientes (sugerencia: establezca una tabla de 2 x 2)
16.
El
gerente
de
mercadeo
de
SOFTCOMP está tratando de estimar su proyección de venta para el próximo año. El ha limitado sus estimados a 20000 , 25000 , 30000, 35000 ó
40000 computadoras. Más
adelante estableció que estaba completamente indeciso entre la venta de 30000 y 35000 y que no podía decidir cuál era más probable. Sin embargo, cree que unas ventas de 35000 son dos veces más probables que 40000 y que unas ventas de 30000 son 4 veces más probables que 20000. Finalmente decidió que unas ventas de 25000 son sólo un 50% más probables que las de 35000. a)
¿Cuál es la probabilidad de vender 30000 ó 35000 computadoras?
b)
¿Cuál es la probabilidad de vender más de 40000, ó menos de 200000
computadoras? 17.
Durante un período específico, el 80%
de las acciones ordinarias de una empresa que incluye sólo 10 compañías ha aumentado en valor comercial. Si un inversionista escoge aleatoriamente tres de esas acciones. Determine la probabilidad que: a)
Sólo una de las tres acciones aumente sus cotización.
b)
Sólo dos acciones aumenten su cotización.
c)
Por lo menos dos acciones aumenten su cotización.
18.
Un banco tiene 50 cuentas de crédito,
8 de las cuales están atrasadas en sus pagos. Si se selecciona al azar 5 cuentas de las 50. ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos una cuenta de las cuentas escogidas corresponden a un cliente atrasado en sus pagos?
19.
una compañía comercial tiene 130
sucursales localizadas en las tres regiones del país y se dedican a la venta de diversos artículos tal como aparece en el cuadro:
Regiones Carros repuestos Art. Eléctricos Total Costa 50 20 30 100 Sierra 10 5 10 25 Selva 1 0 4 5 Total 61 25 44 130
Se selecciona al azar, una sucursal para colocar en el mercado un nuevo producto que pueda ser vendido por cualquiera de las sucursales. Determine la probabilidad que: a) La sucursal seleccionada no esté localizada en la selva o venda repuestos. b) No venda carros o artefactos eléctricos y esté localizada en la Costa o la Selva.
20.
En
el
Centro
Preuniversitario
“Francisco Aguinaga Castro”, el 70% de los alumnos son de Ciencias y el 30% de Letras; de los alumnos de Ciencias el 60% son varones y de los de Letras el 40% son varones. Si se elige aleatoriamente un alumno, calcular la probabilidad de que: a) sea un alumno varón b) sea un alumno varón, si es de Ciencias c) sea un alumno de Ciencias, si es varón d) sea un alumno de Ciencias y varón 21.
El Departamento de crédito de la Caja
Rural “Cruz del Perdón” sabe por experiencia que la probabilidad de que un acreedor deje de pagar un préstamo es de 0,04. También se encontró que dado un incumplimiento de pago de préstamo hay una probabilidad de 0,40 de que se pidiera el préstamo para salir de vacaciones. Además, La caja rural sabe que la probabilidad de incumplimiento es la misma para empleados estatales que para el resto de la población. a)
¿cuál es la probabilidad de que un prestatario pida prestado para financiar sus
vacaciones y luego no cumpla? b)
Si la probabilidad de que se haga un préstamo a un empleado es de 0,02 ¿Cuál
es la probabilidad que un prestatario sea empleado estatal y no cumpla con el pago?
22.
Todos los miembros de un club son
economistas o abogados, 40% de los miembros son abogados mientras que el 30% de las mujeres son economistas. El 50% de los economistas y el 30% de los abogados ganan más de $ 60000 por año. Sin embargo solamente el 20% de las mujeres economistas y el 10% de las mujeres abogados ganan más de 60000 por año. a) Si se escoge aleatoriamente un miembro del club. ¿cuál es la probabilidad que gane más de $60000 por año? b) Si se escoge aleatoriamente una mujer. ¿Cuál es la probabilidad que ella gane más de $60000 por año?
23.
De todos los alumnos “cachimbos” de
la UNP se sabe que el 40% provienen de centros secundarios privados y el 60% de centros estatales. La oficina central de asuntos académicos señala que al final del ciclo salieron invictos el 40% de los alumnos que vinieron de centros privados y sólo el 30% de los que vinieron de centros estatales. Se elige un alumno “cachimbo” al azar y se sabe que salió invicto. ¿Cuál es la probabilidad que el alumno hubiera asistido a un centro estatal?.
24.
Una compañía de desarrollo urbano
está considerando la posibilidad de construir un centro comercial en un sector de Piura. Un elemento vital en esta consideración es un proyecto de una autopista que une este sector con
el centro de la ciudad. Si el Consejo Provincial aprueba esta autopista, hay una probabilidad de 0,90 de que la compañía construya el Centro Comercial en tanto que si la autopista no es aprobada, la posibilidad es de sólo 0,20. basándose en la información disponible, el presidente de la compañía estima que hay una probabilidad de 0,60 que la autopista sea aprobada. a)
¿Cuál es la probabilidad que la compañía construya el centro
comercial? b)
Dado que el centro comercial fue construido. ¿Cuál es la probabilidad
de que la autopista haya sido aprobada? 25.
Un aparato especial para medir el
contenido alcohólico en la sangre de una persona arrojó el siguiente resultado: de 500 voluntarios, 240 estaban borrachos (el nivel de alcohol en la sangre era de 0,0015 o más). Los mismos 500 voluntarios se sometieron a una prueba sanguínea inmediatamente después, encontrándose 280 personas con un nivel de 0,0015 o más. Después se determinó que 180 personas resultaron estar borrachos en ambas pruebas. ¿Qué porcentaje de personas resultaron estar ebrios sin que lo indicara el aparato?. Supóngase que una persona realmente estuviera borracha y que pasara la prueba en el aparato. Según la información dada anteriormente. ¿Cuál es la probabilidad que la prueba resultara positiva?