E j emplo plo #02: 02: (Re (R esol solución ución del del exame xamen) Solución: El primer paso es dividir el sistema en una serie de elementos finitos identificando sus puntos extrem xtremos como como “nudos”, una tuberí tubería a debe estar estar plen plenam amente ente ide identi ntifficada en la red por su nudo inicial y final estableciendo implícitamente la dirección del flujo del caudal caudal en la la tuberí tubería. a. Se Se debe enumerar nudos y tubería tuberí a como se muestra.
Donde: -
Número de tuberías rí as
-
Numeración de nudos
-
Dire Di rección cción fl flujo de cauda udal.
L a sol soluci ución ón se real realizará en en dos eta etapa pas: s: E tapa 1: Ana A nallizando zando el siste sistem ma sin sin la la intervenci intervención ón de la bom bomba en la la red, con la la
final nalidad dad de obtener obtener la la presi presión ón en en el el nudo #6. E tapa #2: dependiendo de la presión obtenida en la primera etapa. Si la presión es
mayor o igua i gual a cero entonces entonces no no es nece necesa sari rio o la la incl inclusi usión ón de la bom bomba ba en la red y el proceso culmina, caso contrario se vuelve a realizar los cálculos de presiones y caudales conside considerando rando el el aporte aporte de la bom bomba en el siste sistem ma. La L a presi presión ón (negati (negativo) vo) que resulta resulta en el nudo #6 de la la prim pri mera etapa es lo lo que debe elevar la l a bomba en esta etapa #2. Realizando los cálculos.
E tapa tapa #1:
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2.0 Argumentos 2.1 Defi finien niendo do la Re Red (RE (R E D) Cada fila representa la conectividad de la tubería en la red. Donde: Columna #1: Número del nudo inicial Columna #2: Número del nudo final Columna #3: Longitud de la tubería en metros [m] Columna #4: Diámetro de la tubería en milímetros [mm] Columna #5: Sumatoria de los coeficientes de pérdidas locales
RED
:=
1
3
4
5
1 2
1 2
2 3
30 0 30 0
25 4 25 4
0 0
3
2
4
40 0
25 4
0
4
3
4
50 0
25 4
0
5
4
5
40 0
25 4
0
6
3
5
30 0
25 4
0
7
5
6
35 0
25 4
0
2.2 Cota Topográfica del terreno (CT) [msnm] CT
2
2.3 Demanda en nudos(Qd) [lt/s] Qd
:=
2.4 Rugosidad absoluta de la tubería [m]
:=
1
−
1
k s := 0.0 0.06⋅ 10
1 2
500 470
1 2
0 40
3
470
3
40
4
470
4
20
5
470
5
10
6
530
6
35
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2.5 Viscocidad cinemática [m2/s] −
ν :=
1.14 .14⋅ 10
6
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2.0 Argumentos 2.1 Defi finien niendo do la Re Red (RE (R E D) Cada fila representa la conectividad de la tubería en la red. Donde: Columna #1: Número del nudo inicial Columna #2: Número del nudo final Columna #3: Longitud de la tubería en metros [m] Columna #4: Diámetro de la tubería en milímetros [mm] Columna #5: Sumatoria de los coeficientes de pérdidas locales
RED
:=
1
3
4
5
1 2
1 2
2 3
30 0 30 0
25 4 25 4
0 0
3
2
4
40 0
25 4
0
4
3
4
50 0
25 4
0
5
4
5
40 0
25 4
0
6
3
5
30 0
25 4
0
7
5
6
35 0
25 4
0
2.2 Cota Topográfica del terreno (CT) [msnm] CT
2
2.3 Demanda en nudos(Qd) [lt/s] Qd
:=
2.4 Rugosidad absoluta de la tubería [m]
:=
1
−
1
k s := 0.0 0.06⋅ 10
1 2
500 470
1 2
0 40
3
470
3
40
4
470
4
20
5
470
5
10
6
530
6
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2.5 Viscocidad cinemática [m2/s] −
ν :=
1.14 .14⋅ 10
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2.6 Reservorios que abastecen a la red (RSV) Son los nudos de cota piezométrica conocida y los argumentos son: Donde: Columna #1: Número de nudo de cota piezométrica conocida Columna #2: Cota piezométrica [m] RSV :=
1 1
2 1
50 0
2.7 Def Defini nie endo bom bombas en la la re red (BM (BM B) Se debe definir el número de la tubería y la altura de agua(presión de agua) adicional con la cual colabora la bomba a la red Donde: Columna #1: Número de tubería La ecuación de la bomba es de la forma:
γ
= a(Qac^2) + b(Qac) + c, se debe ingresar:
Columna #2: Coeficiente "a" de la ecuación siempre negativo Columna #3: Coeficneinte "b" de la ecuación de la bomba Columna #4: Coeficiente "c" de la ecuación de la bomba BMB
:=
1 1
2 7
3 0
4 0
0
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Método del Gradiente Hidráulico - Resultados Generales Método del Gradiente Hidráulico - Iteraciones Método del Gradiente Hidráulico - Resultados
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3. Proceso de cálculo Para realizar el cálculo de presiones y caudales en la red, es necesario el siguiente planteamiento d matrices atrices y vectores vectores teniendo niendo en ceunta que: Número de nudos de cota piezom piezométrica étrica desconoci desconocida da:: NN := rows(CT CT ) − rows( RS RSV)
NN = 5
Número de tuberías (tramos) NT := rows(RE RED)
NT = 7
Número de nudos nudos decota piezom piezométrica étrica conocida conocida NS := rows(RS R SV)
NS = 1
3.1 Resultados generales Tod Todas las las matrice ices obtenida idas en esta sección ión se mantien ienen constante en todo el procedime imeint into de diseño. 3.1.1 Obteni Obtenie endo la matriz tri z de conecti conectivi vida dad d tota totall (At), (A t), su dim dimensi ensión ón es NT* NT *(NN (NN+NS) asociad asociada a a ca uno de los nudos de la red, con solo dos elementos diferentes de cero en la i-ésima fila
• "-1" en la columna correspondiente al nodo inicial del tramo i • "1" en la columna correspondiente al nodo final del tramo i
At :=
for for i ∈ 1 .. NT ni ← RED
i, 1
nf ← RED
i, 2
At
i , ni
← −1
←1 i , nf
At
⎛ −1 1 0 0 0 ⎜ 0 −1 1 0 0 ⎜ 0 −1 0 1 0 At = ⎜ 0 0 −1 1 0 ⎜ ⎜ 0 0 0 −1 1 ⎜ 0 0 −1 0 1 ⎝ 0 0 0 0 −1
0 ⎞ 0⎟ 0⎟ 0⎟
⎟
0⎟ 0⎟ 1 ⎠
At de la matr matriiz At se obtiene las matr atriices A12 yA10.
3.1.2 3.1.2 Matri Matriz z de conectivi ctivida dad d A12 A12 asociad sociada a acadauno delos nudos nudos dela red de cota pi piezométrica étrica desconoc sconociida, de dim dimensi nsión NT NT*NN Universidad Nacional San Cristóbal de Huamanga Escuela Profesional de Ingeniería Civil
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Los nudos de cotapiezométrica desconocida son(NCPD):
NCPD := submatrix(NODE , rows(RSV) + 1, rows(NODE) , 1, 1)
⎛ 2 ⎞ ⎜ 3⎟ NCPD = ⎜ 4 ⎟ ⎜ 5⎟ ⎝ 6 ⎠
y la matriz A12 resulta: A12 :=
〈( NCPD1, 1)〉
⎛ 1 0 0 0 ⎜ −1 1 0 0 ⎜ −1 0 1 0 A12 = ⎜ 0 −1 1 0 ⎜ ⎜ 0 0 −1 1 ⎜ 0 −1 0 1 ⎝ 0 0 0 −1
A12 ← At
for n ∈ 2 .. rows(NCPD) i ← NCPD
n, 1
〈i〉
(
A12 ← augment A12, At
)
A12
0
0
0
0⎟ 0⎟ 0⎟
⎟
0⎟ 0⎟ 1 ⎠
T
su traspuesta es A21:
⎛ 1 −1 −1
0 ⎞
A21 := A12 0 ⎞
⎜0 A21 = ⎜ 0 ⎜0
1
0 −1 0 −1 0
0
1
1 −1 0
0
0
0
1
1
⎟ ⎟ −1 ⎟
⎝ 0
0
0
0
0
0
1 ⎠
0
3.1.3 Matriz topológica tramo a nodo, que asocia a las tuberías con los nodos de cota piezométrica conocida(Los reservorios) de dimensión NT*NS Los nudos de cota piezométrica conocida son(NCPC): 〈1〉
NCPC := RSV NCPC = ( 1 )
la matriz A10 resulta:
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A10 :=
〈( NCPC1, 1)〉
A10 ← At
if rows(NCPC) ≥ 2 for n ∈ 2 .. rows(NCPC) i ← NCPC
n, 1
〈i〉
(
A10 ← augment A10, At
)
A10 A10
⎛ −1 ⎞ ⎜0⎟ ⎜0⎟ A10 = ⎜ 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜0⎟ ⎜0⎟ ⎝ 0 ⎠
A10 es la matriz topológica tramo a nodo, para los NS nodos de cota piezométrica conocida, su dimensión es NT*NS con un valor igual a -1 en las filas correspondientes a los tramos conectados los reservorios(Nudos de cota piezométrica conocida) 3.1.4 Vector de Cotas piezométricas fijas, cuya dimensión es NS*1 〈2〉
Ho := RSV
Ho = ( 500 )
3.1.5 Vector de consumo, de dimensión NN*1 En este vector no interviene los nudos de cota piezométrica conocida.
q :=
submatrix(Qd, rows(RSV) + 1, rows(Qd) , 1, 1) 1000
⎛ 0.04 ⎞ ⎜ 0.04 ⎟ q = ⎜ 0.02 ⎟ ⎜ 0.01 ⎟
en m3/s
⎝ 0.035 ⎠ 3.1.6 matriz identidad, de dimensión NT*NT
3.1.7 matriz diagonal M, de dimensión NT*NT
I := identity(NT) Ndw := 2⋅ I
⎛ 1 ⎜0 ⎜0 I = ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎝ 0
0 0 0 0 0 0 ⎞
⎛ 2 ⎜0 ⎜0 Ndw = ⎜ 0 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎝ 0
1 0 0 0 0 0⎟ 0 1 0 0 0 0⎟ 0 0 1 0 0 0⎟ 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
⎟ 0⎟ 0⎟ 1 ⎠
0 0 0 0 0 0 ⎞ 2 0 0 0 0 0⎟ 0 2 0 0 0 0⎟ 0 0 2 0 0 0⎟
⎟
0 0 0 2 0 0⎟ 0 0 0 0 2 0⎟ 0 0 0 0 0 2 ⎠
los elementos de la diagonal principal son iguales al coeficiente"m", que depende de qué ecuación para la pérdida de carga se esté utilizando, en este caso utilizaré la de Darcy-Weisbach, para lo cual m=2 Universidad Nacional San Cristóbal de Huamanga Escuela Profesional de Ingeniería Civil
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3.1.6 Ordenando el coeficiente de las ecuaciones para cada tubería BOMB :=
f (x, y) ← 0 BOMB ← matrix(NT , 3, f ) for i ∈ 1 .. rows(BMB) t ← BMB
i, 1
BOMB
t, 1
BOMB
t, 2
← BMBi , 2 ← BMBi , 3
← BMBi , 4 t, 3
BOMB
⎛ 0 ⎜0 ⎜0 BOMB = ⎜ 0 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎝ 0
0 0 ⎞ 0 0⎟ 0 0⎟ 0 0⎟
⎟
0 0⎟ 0 0⎟ 0 0 ⎠
BOMB
3.2 Valores iniciales para las iteraciones. 3.2.1 Caudales que circulan en cada tubería f (x, y) := 0.2 Q := matrix(rows(RED) , 1, f ) T
Q = ( 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2)
3.2.2 Diámetro de la tuberías [m] 〈4〉
D :=
RED
1000
T
D = ( 0.254 0.254 0.254 0.254 0.254 0.254 0.254)
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4. Pr oceso Iterativo:
El caudal inicial es Q, luego se toma el caudal resultante Qnext para cada nueva iteración cambiando de signo si alguno resultase negativo
4.1 Iteración #1 El caudal para la iteración actual es:
Qac := Q
⎛ 0.2 ⎞ ⎜ 0.2 ⎟ ⎜ 0.2 ⎟ Qac = ⎜ 0.2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0.2 ⎟ ⎜ 0.2 ⎟ ⎝ 0.2 ⎠ 1. Obteniendo la matriz A11 Esta matriz contiene en su diagonal principal el siguiente valor: αi ⋅ Qi
mi− 1
+ βi +
1.1 Obteniendo el coeficiente α :=
γi Qi
α
for i ∈ 1 .. NT 4 Qac Re ←
i, 1
π⋅ D
⋅ν
i, 1
fa ← 0.01
⎛ 1
fa ← root
⎝
+ 2 ⋅ log
fa
⎛
k s
3.7⋅ D
⎝
i, 1
0.08262686⋅ fa⋅ RED
α
i, 1
i, 3
←
(Di, 1)
5
+
2.51
⎞ ⎞
Re⋅ fa
, fa
⎠ ⎠
⎛ 355.534 ⎞ ⎜ 355.534 ⎟ ⎜ 474.046 ⎟ α = ⎜ 592.557 ⎟ ⎜ ⎟ 474.046 ⎜ ⎟ ⎜ 355.534 ⎟ ⎝ 414.79 ⎠
α
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1.2 Pérdida de carga localizadas β :=
for i ∈ 1 .. NT 8 ⋅ Qac
β
i, 1
i, 1
← 2
(
9.807 ⋅ π ⋅ D
)
4
⋅ RED ,
i 5
i, 1
β T
β = (0 0 0 0 0 0 0)
1.3 Cuando existe bombas en la red γ :=
for i ∈ 1 .. NT
(
γ ← BOMB
)
⋅ Qac , i, 1 i 1
i
2
+ BOMB , ⋅ Qac , + BOMB , i 2 i 1 i 3
γ T
γ = (0 0 0 0 0 0 0)
La matriz A11 resulta: A11 :=
for i ∈ 1 .. NT A11
(
)
← α , ⋅ Qac , i, i i 1 i 1
2− 1
γ
i, 1
+ β, + i 1 Qac i, 1
A11
⎛ 71.107 ⎜ 0 ⎜ 0 A11 = ⎜ 0 ⎜ ⎜ 0 ⎜ 0 ⎝ 0
0
0
0
0
0
71.107
0
0
0
0
0
94.809
0
0
0
0
0
118.511
0
0
0
0
0
94.809
0
0
0
0
0
71.107
0
0
0
0
0
⎞ 0 ⎟ 0 ⎟ 0 ⎟ ⎟ 0 ⎟ 0 ⎟ 82.958 ⎠ 0
• Vector de cargas piezométricas ⎡ Hnext := − ⎣
−1
A21 ⋅ Ndw
⋅ A11
−1
⋅ A12
− 1⎤
−1
⎦ ⋅ A21 ⋅ Ndw
(
⋅ Qac + A11
−1
)
⋅ A10 ⋅ Ho + q − A21 ⋅ Qac
T
Hnext = ( 493.6 496.899 507.216 513.917 524.701 )
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• Vector de caudales en las tuberías Qnext :=
−1
I − Ndw
−1
⋅ Qac − Ndw
⋅ A11
−1
⋅ ( A12 ⋅ Hnext + A10 ⋅ Ho)
⎛ 0.145 ⎞ ⎜ 0.077 ⎟ ⎜ 0.028 ⎟ Qnext = ⎜ 0.056 ⎟ ⎜ ⎟ 0.065 ⎜ ⎟ ⎜ −0.02 ⎟ ⎝ 0.035 ⎠ • Comparando los caudales(en listros): ⎛ −55 ⎞ ⎜ −123.193 ⎟ ⎜ −171.807 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → ( Qnext − Qac )⋅ 1000 = ⎜⎜ −143.529 ⎟⎟ ⎜ −135.336 ⎟ ⎜ −180.336 ⎟ ⎝ −165 ⎠
• la norma del vector es: Error :=
(
⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → Qnext − Qac )
Error = 0.383
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4. Pr oceso Iterativo:
El caudal inicial es Q, luego se toma el caudal resultante Qnext para cada nueva iteración cambiando de signo si alguno resultase negativo
4.1 Iteración #2 El caudal para la iteración actual es:
⎛ 0.145 ⎞ ⎜ 0.077 ⎟ ⎜ 0.028 ⎟ Qac := ⎜ 0.056 ⎟ ⎜ ⎟ 0.065 ⎜ ⎟ ⎜ 0.02 ⎟ ⎝ 0.035 ⎠ 1. Obteniendo la matriz A11 Esta matriz contiene en su diagonal principal el siguiente valor: αi ⋅ Qi
mi− 1
+ βi +
1.1 Obteniendo el coeficiente α :=
γi Qi
α
for i ∈ 1 .. NT 4 Qac Re ←
i, 1
π⋅ D
⋅ν
i, 1
fa ← 0.01
⎛ 1
fa ← root
⎝
+ 2 ⋅ log
fa
⎛
k s
3.7⋅ D
⎝
i, 1
0.08262686⋅ fa⋅ RED
α
i, 1
i, 3
←
(Di, 1)
5
+
2.51
⎞ ⎞
Re⋅ fa
, fa
⎠ ⎠
⎛ 362.708 ⎞ ⎜ 382.608 ⎟ ⎜ 580.07 ⎟ α = ⎜ 660.15 ⎟ ⎜ ⎟ 519.283 ⎜ ⎟ ⎜ 459.333 ⎟ ⎝ 491.123 ⎠
α
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1.2 Pérdida de carga localizadas β :=
for i ∈ 1 .. NT 8 ⋅ Qac
β
i, 1
i, 1
← 2
(
9.807 ⋅ π ⋅ D
)
4
⋅ RED ,
i 5
i, 1
β T
β = (0 0 0 0 0 0 0)
1.3 Cuando existe bombas en la red γ :=
for i ∈ 1 .. NT
(
γ ← BOMB
)
⋅ Qac , i, 1 i 1
i
2
+ BOMB , ⋅ Qac , + BOMB , i 2 i 1 i 3
γ T
γ = (0 0 0 0 0 0 0)
La matriz A11 resulta: A11 :=
for i ∈ 1 .. NT A11
(
)
← α , ⋅ Qac , i, i i 1 i 1
2− 1
γ
i, 1
+ β, + i 1 Qac i, 1
A11
⎛ 52.593 ⎜ 0 ⎜ 0 A11 = ⎜ 0 ⎜ ⎜ 0 ⎜ 0 ⎝ 0
0
0
0
0
0
29.461
0
0
0
0
0
16.242
0
0
0
0
0
36.968
0
0
0
0
0
33.753
0
0
0
0
0
9.187
0
0
0
0
0
⎞ 0 ⎟ 0 ⎟ 0 ⎟ ⎟ 0 ⎟ 0 ⎟ 17.189 ⎠ 0
• Vector de cargas piezométricas ⎡ Hnext := − ⎣
−1
A21 ⋅ Ndw
⋅ A11
−1
⋅ A12
− 1⎤
−1
⎦ ⋅ A21 ⋅ Ndw
(
⋅ Qac + A11
−1
)
⋅ A10 ⋅ Ho + q − A21 ⋅ Qac
T
Hnext = ( 492.374 490.868 491.499 490.967 490.365 )
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• Vector de caudales en las tuberías Qnext :=
−1
I − Ndw
⎛
0.145
−1
⋅ Qac − Ndw
⋅ A11
−1
⋅ ( A12 ⋅ Hnext + A10 ⋅ Ho)
⎞
0.064
⎜ ⎟ ⎜ 0.041 ⎟ ⎟ 0.019 Qnext = ⎜ ⎜ 0.04 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 4.61 × 10− 3 ⎟ ⎜ ⎟ 0.035 ⎝ ⎠ • Comparando los caudales(en listros): ⎛ −6.134 × 10− 12 ⎞ ⎜ −12.932 ⎟ ⎜ ⎟ 12.932 ⎜ ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → − Q Qac 1000 36.543 − ⋅ = ⎜ ⎟ ( next ) ⎜ ⎟ −24.61 ⎜ ⎟ − 15.39 ⎜ ⎟ − 12 ⎝ 2.699 × 10 ⎠
• la norma del vector es: Error :=
(
⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → Qnext − Qac )
Error = 0.05
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4. Pr oceso Iterativo:
El caudal inicial es Q, luego se toma el caudal resultante Qnext para cada nueva iteración cambiando de signo si alguno resultase negativo
4.1 Iteración #3 El caudal para la iteración actual es:
⎛
0.145
⎞
0.064
⎜ ⎟ 0.041 ⎜ ⎟ ⎟ 0.019 Qac := ⎜ ⎜ 0.04 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 4.61 × 10− 3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0.035 ⎠ 1. Obteniendo la matriz A11 Esta matriz contiene en su diagonal principal el siguiente valor: αi ⋅ Qi
mi− 1
+ βi +
1.1 Obteniendo el coeficiente α :=
γi Qi
α
for i ∈ 1 .. NT 4 Qac Re ←
i, 1
π⋅ D
⋅ν
i, 1
fa ← 0.01
⎛ 1
fa ← root
⎝
+ 2 ⋅ log
fa
⎛
k s
3.7⋅ D
⎝
i, 1
0.08262686⋅ fa⋅ RED
α
i, 1
i, 3
←
(Di, 1)
5
+
2.51
⎞ ⎞
Re⋅ fa
, fa
⎠ ⎠
⎛ 362.708 ⎞ ⎜ 390.125 ⎟ ⎜ 549.181 ⎟ α = ⎜ 772.287 ⎟ ⎜ ⎟ 551.006 ⎜ ⎟ ⎜ 616.931 ⎟ ⎝ 491.123 ⎠
α
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1.2 Pérdida de carga localizadas β :=
for i ∈ 1 .. NT 8 ⋅ Qac
β
i, 1
i, 1
← 2
(
9.807 ⋅ π ⋅ D
)
4
⋅ RED ,
i 5
i, 1
β T
β = (0 0 0 0 0 0 0)
1.3 Cuando existe bombas en la red γ :=
for i ∈ 1 .. NT
(
γ ← BOMB
)
⋅ Qac , i, 1 i 1
i
2
+ BOMB , ⋅ Qac , + BOMB , i 2 i 1 i 3
γ T
γ = (0 0 0 0 0 0 0)
La matriz A11 resulta: A11 :=
for i ∈ 1 .. NT A11
(
)
← α , ⋅ Qac , i, i i 1 i 1
2− 1
γ
i, 1
+ β, + i 1 Qac i, 1
A11
⎛ 52.593 ⎜ 0 ⎜ 0 A11 = ⎜ 0 ⎜ ⎜ 0 ⎜ 0 ⎝ 0
0
0
0
0
0
24.968
0
0
0
0
0
22.516
0
0
0
0
0
14.673
0
0
0
0
0
22.04
0
0
0
0
0
2.844
0
0
0
0
0
⎞ 0 ⎟ 0 ⎟ 0 ⎟ ⎟ 0 ⎟ 0 ⎟ 17.189 ⎠ 0
• Vector de cargas piezométricas ⎡ Hnext := − ⎣
−1
A21 ⋅ Ndw
⋅ A11
−1
⋅ A12
− 1⎤
−1
⎦ ⋅ A21 ⋅ Ndw
(
⋅ Qac + A11
−1
)
⋅ A10 ⋅ Ho + q − A21 ⋅ Qac
T
Hnext = ( 492.374 491.009 491.241 490.921 490.319 )
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• Vector de caudales en las tuberías Qnext :=
−1
I − Ndw
⎛
0.145
−1
⋅ Qac − Ndw
⋅ A11
−1
⋅ ( A12 ⋅ Hnext + A10 ⋅ Ho)
⎞
0.059
⎜ ⎟ ⎜ 0.046 ⎟ Qnext = ⎜ 1.594 × 10− 3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0.027 ⎟ ⎜ 0.018 ⎟ ⎜ ⎟ 0.035 ⎝ ⎠ • Comparando los caudales(en listros): ⎛ −1.207 × 10− 11 ⎞ ⎜ ⎟ −4.662 ⎜ ⎟ 4.662 ⎜ ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → − Q Qac 1000 17.406 − ⋅ = ⎜ ⎟ ( next ) ⎜ −12.744 ⎟ ⎜ ⎟ 13.134 ⎜ ⎟ − 13 ⎝ −6.106 × 10 ⎠
• la norma del vector es: Error :=
(
⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → Qnext − Qac )
Error = 0.026
Método del Gradiente Hidráulico - Iteraciones
Método del Gradiente Hidráulico - Resultados
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4. Pr oceso Iterativo:
El caudal inicial es Q, luego se toma el caudal resultante Qnext para cada nueva iteración cambiando de signo si alguno resultase negativo
4.1 Iteración #4 El caudal para la iteración actual es:
⎛
0.145
⎞
0.059
⎜ ⎟ 0.046 ⎜ ⎟ Qac := ⎜ 1.594 × 10− 3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0.027 ⎟ ⎜ 0.018 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0.035 ⎠ 1. Obteniendo la matriz A11 Esta matriz contiene en su diagonal principal el siguiente valor: αi ⋅ Qi
mi− 1
+ βi +
1.1 Obteniendo el coeficiente α :=
γi Qi
α
for i ∈ 1 .. NT 4 Qac Re ←
i, 1
π⋅ D
⋅ν
⎛
i, 1
⎛ 1
fa ← root
+ 2 ⋅ log
fa
⎛
k s
3.7⋅ D
⎝
i, 1
0.08262686⋅ fa⋅ RED
α
i, 1
⎞
393.704
fa ← 0.01
⎝
362.708
i, 3
←
(Di, 1)
5
+
2.51
⎞ ⎞
Re⋅ fa
, fa
⎠ ⎠
⎜ ⎟ ⎜ 540.989 ⎟ α = ⎜ 1.341 × 103 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 583.33 ⎟ ⎜ 467.73 ⎟ ⎜ ⎟ 491.123 ⎝ ⎠
α
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1.2 Pérdida de carga localizadas β :=
for i ∈ 1 .. NT 8 ⋅ Qac
β
i, 1
i, 1
← 2
(
9.807 ⋅ π ⋅ D
)
4
⋅ RED ,
i 5
i, 1
β T
β = (0 0 0 0 0 0 0)
1.3 Cuando existe bombas en la red γ :=
for i ∈ 1 .. NT
(
γ ← BOMB
)
⋅ Qac , i, 1 i 1
i
2
+ BOMB , ⋅ Qac , + BOMB , i 2 i 1 i 3
γ T
γ = (0 0 0 0 0 0 0)
La matriz A11 resulta: A11 :=
for i ∈ 1 .. NT A11
(
)
← α , ⋅ Qac , i, i i 1 i 1
2− 1
γ
i, 1
+ β, + i 1 Qac i, 1
A11
⎛ 52.593 ⎜ 0 ⎜ 0 A11 = ⎜ 0 ⎜ ⎜ 0 ⎜ 0 ⎝ 0
0
0
0
0
0
23.229
0
0
0
0
0
24.885
0
0
0
0
0
2.137
0
0
0
0
0
15.75
0
0
0
0
0
8.419
0
0
0
0
0
⎞ 0 ⎟ 0 ⎟ 0 ⎟ ⎟ 0 ⎟ 0 ⎟ 17.189 ⎠ 0
• Vector de cargas piezométricas ⎡ Hnext := − ⎣
−1
A21 ⋅ Ndw
⋅ A11
−1
⋅ A12
− 1⎤
−1
⎦ ⋅ A21 ⋅ Ndw
(
⋅ Qac + A11
−1
)
⋅ A10 ⋅ Ho + q − A21 ⋅ Qac
T
Hnext = ( 492.374 491.098 491.128 490.862 490.26 )
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• Vector de caudales en las tuberías Qnext :=
−1
I − Ndw
⎛
0.145
−1
⋅ Qac − Ndw
⋅ A11
−1
⋅ ( A12 ⋅ Hnext + A10 ⋅ Ho)
⎞
0.057
⎜ ⎟ 0.048 ⎜ ⎟ Qnext = ⎜ −6.093 × 10− 3 ⎟ ⎜ ⎟ 0.022 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0.023 ⎜ ⎟ 0.035 ⎝ ⎠ • Comparando los caudales(en listros): ⎛ 3.053 × 10− 12 ⎞ ⎜ ⎟ −2.04 ⎜ ⎟ 2.04 ⎜ ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → Q Qac 1000 4.499 − ⋅ = ⎜ ⎟ ( next ) ⎜ ⎟ −5.053 ⎜ ⎟ 5.053 ⎜ ⎟ − 13 ⎝ −6.106 × 10 ⎠
• la norma del vector es: Error :=
(
⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → Qnext − Qac ) −3
Error = 8.924 × 10
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