UNIVERSITE CATHOLIQUE DE LOUVAIN INSTITUT D’ADMINISTRATION ET DE GESTION.
Diplˆome d’´etudes compl´ementaires en Administration des entreprises.
Gestion de la Production et des Op´erations. Daniel DE WOLF.
PROD 2800
2000/2001.
Table des mati`eres
1
Introduction
7
1.1
Objectifs du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.2
D´efinition de la gestion de production . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.3
Classification des syst`emes productifs . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.1
Organisation de type s´erie unitaire . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.2
Organisation en ateliers sp´ecialis´es . . . . . . . . . . . . 11
1.3.3
Organisation en lignes de production . . . . . . . . . . . 11
1.3.4
Les industries de process . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4
Plan du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5
Formulation en mod`eles math´ematiques . . . . . . . . . . . . . . 12
1.6
Exercices de formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
I
Les d´ecisions op´erationnelles
19
2
Ordonnancement en ateliers sp´ecialis´es
21
2.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2
Ordonnancement sur une machine . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3
2.4
2.2.1
Le diagramme de Gantt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.2
La r`egle T.O.M. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Ordonnancement avec deux centres de production . . . . . . . . . 25 2.3.1
Cas o`u toutes les tˆaches sont a` ex´ecuter sur A puis B . . . 25
2.3.2
Cas de tˆaches ne s’effectuant pas dans le mˆeme ordre . . . 26
Ordonnancement sur trois machines . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3
Table des mati`eres
4 2.5 3
La gestion calendaire de stock
31
3.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2
Les politiques de gestion de stock . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3
Les coˆuts associ´es aux stocks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.3.1
Les coˆuts de possession . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3.2
Les coˆuts de rupture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.3.3
Les coˆuts de commande . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.4
Gestion calendaire de stock a` rotation nulle . . . . . . . . . . . . 36
3.5
Cas d’une loi de demande continue . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.6
Les cons´equences e´ conomiques de la solution optimale . . . . . . 42
3.7
Cas de stocks a` rotation non nulle . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.8 4
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.7.1
D´etermination de la solution optimale . . . . . . . . . . . 48
3.7.2
Cas d’une loi de demande discr`ete . . . . . . . . . . . . . 50
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
La gestion par point de commande
53
4.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.2
D´etermination de la quantit´e e´ conomique de commande . . . . . . 54
4.3
D´etermination du point de commande . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.4
Cas d’une demande al´eatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.5
4.4.1
D´etermination de q et s . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.4.2
Cons´equences e´ conomiques du choix . . . . . . . . . . . 61
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
II
Les d´ecisions tactiques
65
5
La planification de la production
67
5.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.2
La planification des besoins en composants . . . . . . . . . . . . 68
Table des mati`eres 5.3
6
7
5.3.1
D´etermination des besoins nets d’un composant . . . . . . 70
5.3.2
D´etermination de la couverture des besoins nets . . . . . . 71
5.3.3
Utilisation en cascade de la logique de calcul . . . . . . . 72
Ajustement charge-capacit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.5
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
La programmation dynamique.
87
6.1
Le probl`eme du voyageur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.2
Un probl`eme d’affectation de ressources rares . . . . . . . . . . . 91
6.3
Application a` la planification de la production. . . . . . . . . . . 93
6.4
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
Les techniques de juste a` temps
101
7.1
Origine et principe du JAT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
7.2
Les deux approches du JAT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
7.4
7.5
8
Principes de base de la MRP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.4
7.3
III
5
7.2.1
Augmenter la r´eactivit´e du syst`eme logistique . . . . . . . 103
7.2.2
La rationalisation de la production . . . . . . . . . . . . . 103
Les facteurs cl´es du JAT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 7.3.1
Recherche d’un plus grande r´eactivit´e . . . . . . . . . . . 104
7.3.2
Maˆıtrise des al´eas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
La m´ethode Kanban . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 7.4.1
Syst`eme Kanban a` une boucle . . . . . . . . . . . . . . . 105
7.4.2
Syst`eme Kanban a` deux boucles . . . . . . . . . . . . . . 107
7.4.3
D´etermination du nombre d’´etiquettes . . . . . . . . . . . 108
Exercice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Les d´ecisions strat´egiques
111
L’ordonnancement de projets
113
8.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
Table des mati`eres
6
9
8.2
Formulation et repr´esentation du probl`eme . . . . . . . . . . . . 115
8.3
Calcul de l’ordonnancement au plus tˆot . . . . . . . . . . . . . . 119
8.4
Chemin critique et calcul des marges . . . . . . . . . . . . . . . 120
8.5
L’ordonancement par la m´ethode PERT . . . . . . . . . . . . . . 122
8.6
Prise en compte des contraintes disjonctives . . . . . . . . . . . . 124
8.7
La minimisation des coˆuts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
8.8
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
Conception d’un centre de production
133
9.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
9.2
Configuration d’un centre de production . . . . . . . . . . . . . . 134 9.2.1
Configuration en ateliers sp´ecialis´es . . . . . . . . . . . . 134
9.2.2
Configuration en ligne de production . . . . . . . . . . . 137
9.2.3
Configuration a` poste fixe . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
9.3
D´ecisions de capacit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
9.4
D´ecisions de localisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
9.5
9.4.1
Utilisation de la programmation math´ematique . . . . . . 148
9.4.2
Utilisation de variables binaires . . . . . . . . . . . . . . 151
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
A Formulaire pour la gestion de production
157
A.1 La gestion calendaire de stock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 A.2 La gestion par point de commande . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 A.2.1 Cas de l’univers certain. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 A.2.2 Cas d’une demande al´eatoire . . . . . . . . . . . . . . . 159 A.3 Equilibrage d’une chaˆıne de production . . . . . . . . . . . . . . 160 A.4 Calcul d’annuit´es
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
B Tables pour la gestion de stocks
161
B.1 Table de la loi Poisson(λ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 B.2 Table de la loi normale Z ∼ N (0, 1) . . . . . . . . . . . . . . . . 166 B.3 Table pour le calcul de Ir (S) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
Chapitre 1 Introduction 1.1
Objectifs du cours
L’objectifducours estdedonnerune formationdebase a` l’approchequantitative des probl`emes de gestion de l’entreprise tels que : • la planification de la production; • l’ordonnancement de projets; • la gestion des stocks; • la gestion de la capacit´e,. . . Pour cela, on essayer de d´evelopper une double comp´etence : • La capacit´e de formuler ces probl`emes en des mod`eles math´ematiques : c’est-`a-dire, partant de probl`emes e´ nonc´es de mani`ere litt´eraire, de les traduire sous formes d’´equations math´ematiques (cfr section 1.5 a` la fin de ce chapitre). • La connaissance d’outils de r´esolution de ces probl`emes : en effet, une fois le probl`eme formul´e, souvent on tombe sur un probl`eme classique (tel celui de la gestion de stock), pour lequel il existe des m´ethodes de r´esolution adapt´ees. Comme r´ef´erences, nous utiliserons les livres de Giard [5] et Baglin et al [1] pour tous les mod`eles classiques de gestion de la production. Pour ce qui est de la formulation en mod`eles math´ematiques, une tr`es bonne r´ef´erence est le livre de Williams [14]. Pour les techniques d’optimisation appliqu´ees aux probl`emes de gestion, nous suivrons Hillier et Liberman [7] ainsi que Norbert et al [12]. Une autre bonne r´ef´erence est Lacaze [8]. 7
Chapitre 1. Introduction
8
1.2
D´efinition de la gestion de production
Pour pouvoir donner une d´efinition de la gestion de production, il faut d’abord d´efinir ce que l’on entend par la production. La production consiste en une transformation de ressources (humaines ou mat´erielles) en vue de la cr´eation de biens ou services : • La production d’un bien s’effectue par une succession d’op´erations consommant des ressources et transformant les caract´eristiques de la mati`ere. Un exemple classique est la production de voitures. • La production d’un service s’effectue par une succession d’op´erations consommant des ressources sans qu’il n’y ait n´ecessairement transformation de mati`ere. Des exemples classiques sont la mise a` disposition de produits aux consommateurs (la vente), le traitement de dossier (par un notaire), la maintenance d’´equipements. On peut alors d´efinir la gestion de production comme suit. D´efinition 1.1 La gestion de la production consiste en la recherche d’une organisation efficace de la production des biens et services. La gestion de production consiste donc a` l’obtention d’un produit donn´e dont les caract´eristiques sont connues en mettant en œuvre un minimum de ressources. En gestion de production, on consid´erera, g´en´eralement, comme donn´ees les caract´eristiques du produit que sont : • la d´efinition du produit; • le processus de fabrication; • la demande a` satisfaire. Ces trois caract´eristiques du produit rel`event des sciences de l’ing´enieur et de la gestion commerciale. Nous verrons cependant au chapitre 8 la gestion de projets qui est souvent utilis´ee pour optimiser le processus de conception d’un nouveau produit. Nous verrons aussi au chapitre 9 comment optimiser le processus de fabrication. Les outils de la gestion de la production sont un ensemble de techniques ˆ d’analyse et de r´esolution des probl`emes de mani`ere a` produire au moindre cout. Nous verrons dans ce cours un certain nombre de probl`emes types rencontr´es en gestion de production. Pour situer ces diff´erents probl`emes entre eux, on classifie souvent les d´ecisions de gestion en trois classes :
Section 1.2. D´efinition de la gestion de production
9
1. Les d´ecisions strat´egiques : il s’agit de la formulation de la politique a` long terme pour l’entreprise (c’est-`a-dire a` un horizon de plus de deux ans). Entrent dans ces d´ecisions : • la d´efinition du portefeuille d’activit´es; • la d´efinition des ressources stables : aussi bien humaines (engagement, licenciement, pr´eretraite,. . . ) que mat´erielles (d´ecisions d’investissement, de cession, de fermeture,. . . ); 2. Les d´ecisions tactiques : il s’agit des d´ecisions a` moyen terme parmi lesquelles on trouve la planification de la production a` 18 mois. Il s’agit de produire au moindre coˆut pour satisfaire la demande pr´evisible en s’inscrivant dans le cadre fix´e le plan strat´egique de l’entreprise (donc a` ressources mat´erielles et humaines connues). 3. les d´ecisions op´erationnelles : il s’agit des d´ecisions degestion quotidienne pour faire face a` la demande au jour le jour, dans le respect des d´ecisions tactiques. Parmi ces d´ecisions, on trouve : • la gestion de stocks; • la gestion de la main d’œuvre; • la gestion des e´ quipements. Ces trois classes de d´ecisions de gestion de production se diff´erencient par au moins trois e´ l´ements : 1. par l’horizon de temps consid´er´e : • les d´ecisions op´erationnelles se prennent au jour le jour; • les d´ecisions tactiques concernent la planification a` 18 mois; • les d´ecisions strat´egiques concernent la planification a` long terme. 2. par le niveau d’agr´egation : • les d´ecisions op´erationnelles se prennent au niveau d’un atelier; • les d´ecisions tactiques se prennent au niveau d’une usine; • les d´ecisions strat´egiques se prennent au niveau de l’ensemble de l’entreprise. 3. par le niveau de responsabilit´e : • les d´ecisions op´erationnelles sont prises par les agents de maˆıtrise; • les d´ecisions tactiques sont prises par les cadres; • les d´ecisions strat´egiques sont prises par la direction g´en´erale.
Chapitre 1. Introduction
10
1.3
Classification des syst`emes productifs
On peut classer les modes d’organisation de la production en quatre grandes classes : • l’organisation en s´erie unitaire; • l’organisation en ateliers sp´ecialis´es; • l’organisation en ligne de production; • l’organisation en industries de process. Nous examinerons dans chaque cas, le type de ressources a` mettre en œuvre et le probl`eme principal de leur utilisation.
1.3.1
Organisation de type s´erie unitaire
D´efinition 1.2 La production de type “s´erie unitaire” est une production mobilisant sur une p´eriode assez longue l’essentiel des ressources d’une entreprise pour r´ealiser un nombre tr`es limit´e de projets. Comme exemples, on peut citer la construction de navires de grande taille (qui se font, le plus souvent, en quelques exemplaires), les grands travaux publics (tel que le creusement d’un tunnel sous la manche ou la construction d’un pont suspendu,. . . ). En ce qui concerne les ressources mobilis´ees, on fait le plus souvent appel a` un personnel hautement qualifi´e vu le caract`ere non r´ep´etitif des tˆaches. En ce qui concerne le probl`eme d’ordonnancement, le probl`eme majeur est l’arbitrage entre la recherched’un coˆutcomp e´ titif et le respect des d´elais. Eneffet, d’une part, les commandes seront rapidement honor´ees si beaucoup de ressources sont mises en œuvre. Mais, d’autre part, le coˆut des ressources est g´en´eralement croissant avec leur niveau d’utilisation : la location de machines suppl´ementaires et l’engagement d’int´erimaires coˆutent g´en´eralement plus cher que l’utilisation des ressources propres de l’entreprise. Nous verrons cela en d´etails au chapitre 8. Danslesdeuxcas, l’ordonnancementdestˆaches, c’est-`a-direlad´etermination de l’ordre d’ex´ecution des tˆaches) est essentiel. En effet, non seulement l’ordre d’ex´ecution des tˆaches d´etermine la date de livraison, mais, comme nous le verrons au chapitre 8, il influence les coˆuts dans la mesure o`u une mauvaise coordination s’accompagne souvent de chˆomage technique pour certaines ressources et du paiement de p´enalit´es pour non respect des d´elais.
Section 1.3. Classification des syst`emes productifs
1.3.2
11
Organisation en ateliers sp´ecialis´es
D´efinition 1.3 On parle d’organisation en ateliers sp´ecialis´es lorsque tous les e´ quipements assurant une fonction sp´ecialis´ee sont r´eunis en un mˆeme lieu. Comme exemple, on peut citer un atelier d’emboutissage des tˆoles de voitures ou un atelier de peinture dans une usine d’assemblage automobile. En ce qui concerne les ressources mobilis´ees, la main d’œuvre est plutˆot qualifi´ee et les e´ quipements sont polyvalents. En ce qui concerne le probl`eme de l’organisation efficace des ressources, deux probl`emes principaux sont a` consid´erer : • Lors de la conception de l’atelier, le probl`eme principal est la gestion des coˆuts de manutention entre les diff´erents postes de travail. Afin de diminuer ces coˆuts on d´etermine la meilleure localisation des machines les unes par rapport aux autres dans l’atelier. Ceci fait appel aux m´ethodes d’agencement dans l’espace (cfr chapitre 9 consacr´e a` la configuration d’un centre de production). • Lors de la gestion quotidienne de l’atelier, le probl`eme principal est de d´eterminer l’ordre d’ex´ecutions des diff´erentes tˆaches sur une ou plusieurs machines. Nous verrons cela en d´etails au chapitre 2 consacr´e a` l’ordonnancement en ateliers sp´ecialis´es.
1.3.3
Organisation en lignes de production
D´efinition 1.4 On parle d’organisation en lignes de production lorsque qu’un flux r´egulier de produits passe d’un poste a` l’autre, l’ordre de passage e´ tant fix´e. Comme exemple, on peut citer les lignes d’assemblage d’automobiles. En ce qui concerne les ressources mises en œuvre, les e´ quipements sont g´en´eralement tr`es sp´ecialis´es. En ce qui concerne l’organisation efficace des ressources, le probl`eme majeur consiste en l’´equilibrage de la chaˆıne : c’est-`adire a` d´efinir les tˆaches a` r´ealiser a` chaque poste de mani`ere a` avoir le mˆeme temps de r´ealisation a` chaque poste (cfr chapitre 9). En effet, un mauvais e´ quilibrage de la chaˆıne entraˆınera une sous-utilisation des ressources puisque la chaˆıne tourne a` la vitesse de l’´el´ement le plus lent. Deux autres probl`emes sont tr`es importants dans ce mode d’organisation de la production. Il s’agit de : la fiabilit´e de la chaˆıne (un maillon d´efectueux et toute la chaˆıne s’arrˆete) et de la fiabilit´e du syst`eme d’informations.
Chapitre 1. Introduction
12
1.3.4
Les industries de process
D´efinition 1.5 On parle d’industries de process lorsque le mode d’organisation est caract´eris´e par un flux r´egulier et important de mati`eres premi`eres destin´ees a` eˆ tre transform´ees en mati`eres plus e´ labor´ees. Comme exemples, on peutciter lasid´erurgie, la p´etrochimie, lesecteurdelachimie lourde, le secteur agro-alimentaire, etc. . . En ce qui concerne l’organisation efficace des ressources, vues l’importance et la r´egularit´e de la demande, le probl`eme d’organisation au coˆut minimum est g´en´eralement assez simple. Il peut eˆ tre r´esolu par la programmation lin´eaire.
1.4
Plan du cours
Partie I : les d´ecisions op´erationnelles. • L’ordonnancement en ateliers sp´ecialis´es. • La gestion calendaire de stocks.
• La gestion de stocks par point de commande. Partie II : les d´ecisions tactiques. • La planification de la production. • La programmation dynamique.
• Les techniques de juste-`a-temps. Partie III : les d´ecisions strat´egiques. • La gestion de projets : application a` la conception de nouveaux produits. • Conception de centres de production : localisation, choix de la capacit´e, choix du processus.
1.5
Formulation en mod`eles math´ematiques
Terminons ce chapitre en introduisant la notion de mod`ele math´ematique. Par mod`ele math´ematique, on entend la repr´esentation par des e´ quations math´ematiques d’un probl`eme de la vie r´eelle. Nous allons illustrer la construction d’un
Section 1.5. Formulation en mod`eles math´ematiques
13
mod`ele math´ematique sur un exemple tr`es simplifi´ede planification de laproduction tir´e de Williams [14]. Une usine peut produire cinq produits (not´es PROD1 a` PROD5). La marge b´en´eficiaire unitaire, c’est-`a-dire la diff´erence entre le prix de vente et le coˆut de production d’un produit, est donn´ee pour chacun des produits au tableau 1.1. Produit PROD1 PROD2 PROD3 PROD4 PROD5 Marge 550 600 350 400 200 Tableau 1.1: Profit net par produit Chaque produit n´ecessite le passage par trois e´ tapes de fabrication. Les temps requis a` chaque e´ tape sont donn´es pour chaque produit au tableau 1.2. Produit PROD1 PROD2 PROD3 PROD4 PROD5 ´ Etape 1 12 20 0 25 15 ´ Etape 2 10 8 16 0 0 ´Etape 3 20 20 20 20 20 Tableau 1.2: Temps de fabrication Enfin, il faut tenir compte des ressources en facteurs disponibles donn´ees au tableau 1.3. Les deux premi`eres e´ tapes sont effectu´ees sur machine tandis que la ´ Etape ´ Etape 1 ´ Etape 2 ´ Etape 3
Ressources en facteurs 3 machines 2 machines 8 personnes
Tableau 1.3: Ressources en facteurs troisi`eme ne n´ecessite que l’intervention de main d’œuvre. En ce qui concerne les deux premi`eres e´ tapes, l’usine travaille en deux pauses de huit heures par jour, et ceci, au maximum six jours par semaine. En ce qui concerne la troisi`eme, chaque personne travaille une pause de 8 heures par jour et ceci au maximum 6 jours par semaine. La question que se pose le gestionnaire de l’usine est la suivante. Quelles sont les quantit´es a` fabriquer de chaque produit pour maximiser le profit net ? La construction d’un mod`ele est, en g´en´eral, une op´eration en trois e´ tapes : 1. le choix des variables de d´ecisions,
Chapitre 1. Introduction
14
2. l’expression de l’objectif en fonction de ces variables, 3. l’expression des contraintes en fonction de ces variables. La premi`ere e´ tape consiste donc en le choix des variables de d´ecision. D´efinition 1.6 On appelle variable de d´ecision toute quantit´e utile a` la r´esolution du probl`eme dont le mod`ele d´etermine la valeur. G´en´eralement, elles sont not´ees par les lettres de la fin de l’alphabet (x, y, z, etc...). Ici, on note simplement par xi , la quantit´e du produit i fabriqu´ee par semaine, i allant de un a` cinq. Une premi`ere remarque importante s’impose. Il est fondamental de bien pr´eciser les unit´es selon lesquelles sont exprim´ees les variables. En effet, l’ordre de grandeur des coefficients de l’objectif et des contraintes d´epend de ces unit´es. La deuxi`eme e´ tape consiste en la formulation de l’objectif. D´efinition 1.7 L’objectif est la quantit´e que l’on veut minimiser ou maximiser. Ici, il s’agit de la somme des contributions de chacune des productions au profit net de l’usine. Elle s’exprime simplement par : max z = 550x1 + 600x2 + 350x3 + 400x4 + 200x5 La troisi`eme e´ tape consiste en la formulation des contraintes. D´efinition 1.8 Les contraintes sont toutes les relations entre les variables qui limitent les valeurs possibles que peuvent prendre ces variables. Ici, il y a trois contraintes : • La premi`ere concerne la limite d’utilisation des machines a` l’´etape 1. Il y a trois machines, utilis´ees en deux pauses de huit heures et ceci au maximum six jours par semaine, ce qui donne un nombre maximum d’heures par semaine1 : 3 × (2 × 8) × 6 = 288 heures disponibles. Une unit´e de produit 1 demande 12 heures sur machine a` l’´etape 1. Si x1 unit´es de produit 1 sont produites par semaine, cela demande 12 x1 heures sur la machine 1. Par un raisonnement semblable pour les autres produits, on obtient finalement la contrainte :
1
12x1 + 20x2 + 0x3 + 25x4 + 15x5 ≤ 288.
Remarquez ici l’importance d’avoir pr´ecis´e que les quantit´es produites l’´etaient par semaine.
Section 1.5. Formulation en mod`eles math´ematiques
15
• La deuxi`eme contrainte concerne la limite d’utilisation des machines a` la deuxi`eme e´ tape. Le nombre maximum d’heures d’utilisation vaut : 2 × (2 × 8) × 6 = 192 heures, et la contrainte s’exprime comme : 10x1 + 8x2 + 16x3 + 0x4 + 0x5 ≤ 192. • La troisi`eme contrainte concerne la limite d’utilisation des hommes a` la troisi`eme e´ tape. Le nombre maximum d’heures prest´ees en une semaine par les 8 hommes est de : 8 × (1 × 8) × 6 = 384 heures. Et donc la contrainte s’exprime comme : 20x1 + 20x2 + 20x3 + 20x4 + 20x5 ≤ 384. • Enfin, il nefaut pas oublier lescontraintes, presque toujourspr´esentes, disant que l’on ne peut pas produire des quantit´es n´egatives : x1 , x2 , . . .x5 ≥ 0. Enfin, g´en´eralement on conclut l’´etape de construction du mod`ele, en regroupant l’objectif et les contraintes. On obtient le programme math´ematique suivant : max z = 550x1 + 600x2
s.c.q.
+ 350x3
12x1 + 20x2 + 10x1 +
+ 400x4
+ 200x5
0x3 + 25x4 + 15x5 ≤ 288
8x2 + 16x3 +
0x4 +
0x5 ≤ 192
20x1 + 20x2 + 20x3 + 20x4 + 20x5 ≤ 384 x1
,
x2
,
x3
,
x4
,
x5 ≥
0
Remarquons qu’il s’agit d’un programme lin´eaire car il n’y pas de terme du type x21 ou x1 x2 qui rendraient le probl`eme non lin´eaire. Remarquons e´ galement que si les quantit´es produites avaient dˆu eˆ tre enti`eres (par exemple, la production d’avions), on aurait eu un programme en nombres entiers.
Chapitre 1. Introduction
16
1.6
Exercices de formulation
Pour chacun des e´ nonc´es qui suivent, on demande de formuler math´ematiquement le probl`eme (choix des variables, expression de l’objectif et des contraintes). 1.1. Un probl`eme de choix d’investissements. Un e´ pargnant peut investir 1000 EURO. Il a le choix entre trois investissements possibles : A, B et C. Les valeurs attendues et les valeurs minimales garanties apr`es un an sont donn´ees au tableau 1.4 par EURO investi. L’´epargnant souhaite un int´erˆet Type valeur valeur d’investissement attendue garantie A 1, 4 0, 9 B 1, 2 1, 2 C 1, 6 0, 5 Tableau 1.4: Valeurs attendue et minimum garantie. minimum garanti de 5% sur un an. Cependant, il a promis d’investir au moins 600 EURO sur B et C ensemble. Comment l’´epargnant pourrait-il r´epartir son investissement pour maximiser la valeur attendue globale apr`es un an ? L’int´erˆet minimal doit porter sur la somme disponible. 1.2. Un probl`eme de chargement d’un haut fourneau. Une fonderie re¸coit une commande de 1000 tonnes d’acier. Cet acier doit r´epondre aux caract´eristiques suivantes : il doit contenir au moins 0,45 % de mangan`ese (Mn) tandis que son pourcentage en silicium (Si) doit se situer entre 3,25 et 5,50. Pour couler cet acier, la fonderie dispose en quantit´es illimit´ees de trois types de minerais : A, B et C. Leurs teneurs en Si et Mn sont reprises au tableau 1.5. Le proc´ed´e de production de l’acier est tel qu’une addition Minerai Si Mn
A B 4% 1% 0,45 % 0,5 %
C 0,6 % 0,4 %
Tableau 1.5: Teneurs en Silicium et Mangan`ese des diff´erents minerais. directe de mangan`ese est envisageable. Ce mangan`ese est disponible au prix de 8 millions la tonne. Quant aux minerais, ils coˆutent respectivement 21 millions les mille tonnes pour le type A, 25 millions par mille tonnes pour B, et 15 millions par mille tonnes pour C. Si la fonderie envisage de vendre
Section 1.6. Exercices de formulation
17
l’acier produit 0,45 million la tonne, quel doit eˆ tre son plan de production pour maximiser son profit, sachant que le coˆut de fonte d’une tonne de minerai est de 0,005 million ? Le coˆut de fonte ne s’applique pas au mangan`ese ajout´e. 1.3. Un probl`eme de planification sur coˆut variable. Un industriel cherche a` e´ tablir son plan de production pour les quatre mois a` venir, sachant que les demandes sont d´ej`a connues et se chiffrent a` 900, 1100 1700 et 1300 articles, respectivement. En r´egime normal, la production est de 1200 articles par mois. A l’aide d’heures suppl´ementaires, ce niveau standard peut eˆ tre e´ lev´e jusqu’`a 400 articles en plus, mais il faut compter, dans ce cas, un surcoˆut de 7 EURO par article. La situation est telle qu’il peut se permettre en r´egime normal de produire moins de 1200 articles par mois. Cela n’aura aucune incidence sur les coˆuts de production, ceux-ci e´ tant fixes en r´egime normal, mais l’effet sur les coˆuts de stockage peut eˆ tre b´en´efique. Les coˆuts de stockage sont de 3 EURO par article en stock en fin de mois. Comment l’industriel doit-il planifier sa production pour minimiser les coˆuts variables, c’est-`a-dire les coˆuts occasionn´es par les heures suppl´ementaires et le stockage ? 1.4. Affectation d’avions a` des lignes a´eriennes. Une compagnie a´erienne r´egionaled´esireaffectersaflotted’avionsaux4lignesqu’elleexploite(lignes A, B, C et D). Le nombre de passagers d´esirant effectuer chaque jour un parcours sur chaque ligne est donn´e au tableau 1.6. La compagnie dispose de deux types d’avions : 8 petits avions de 40 places et 3 avions moyens de 180 places. Les avions, qu’ils soient du mod`ele petit ou moyen, peuvent effectuer un trajetaller-retour par jour. Lecoˆutd’exploitation journalier d’un avion d´epend de sa taille et de la ligne a` laquelle il est affect´e. Ces coˆuts sont donn´es au au tableau 1.6. On d´esire minimiser le coˆut d’exploitation Ligne A Demande 100 Coˆut d’un petit avion 40 Coˆut d’un moyen avion 200
B C 200 150 30 70 100 300
D 300 40 350
Tableau 1.6: Demande et coˆuts d’exploitation des avions par ligne en satisfaisant la demande. Formuler math´ematiquement le probl`eme de la meilleure affectation de la flotte de cette compagnie. Vos variables peuventelles prendre toutes les valeurs r´eelles non n´egatives ? 1.5. Production de denr´ees p´erissables. Une compagnie produit 2 denr´ees p´erissables, P et Q, qu’un grossiste lui ach`ete au prix respectif de 42 EURO
Chapitre 1. Introduction
18
et 48 EURO l’unit´e. Chaque soir, les denr´ees sont achemin´ees chez le grossiste. Pour le transport, la compagnie dispose d’une camionnette dont la capacit´e permet d’acheminer 2000 kg par jour. Lorsque la production quotidienne exc`ede cette quantit´e, la compagnie fait appel a` un transporteur ind´ependant. Si elle utilise sa propre camionnette, cela lui revient a` deux EURO par kilo tandis que le transporteur ind´ependant demande trois EURO par kilo. Les produits P et Q sont fabriqu´es a` partir de 2 composantes M et N selon les proportions pr´esent´ees au tableau 1.7. Consid´erons une journ´ee o`u Produit
Poids de M (kg par unit´e) 4 2
P Q
Poids de N (kg par unit´e) 3 1
Poids total (kg par unit´e) 7 3
Tableau 1.7: Composition des produits la compagnie dispose de 3 200 kg de M et de 2 400 kg de N. Les ressources de la compagnie en e´ quipement et en main d’œuvre lui permettent de traiter 5 400 kg de denr´ees durant la journ´ee. Formulez le probl`eme sachant que la compagnie cherche a` maximiser son profit net. Les prix des composants N et M sont identiques et n’entrent donc pas en ligne de compte. 1.6. Probl`eme de livraison de marchandises. Une firme poss`ede trois usines situ´ees a` Anvers, Li`ege et Mons, respectivement. Leurs capacit´es de production mensuelles sont de 25 unit´es pour Anvers, 15 pour Li`ege et 15 pour Mons. Le directeur des ventes remarque que, pour la fin du mois, il doit livrer 20, 12, 9 et 14 unit´es a` quatre clients situ´es a` Bruxelles, Charleroi, Namur et Ostende respectivement. Les coˆuts de transport d’une unit´e entre les usines et les clients sont a` donn´es au tableau 1.8. Coˆut de transport Bruxelles
Charleroi Namur
Ostende
Anvers
100
150
180
90
Li`ege
120
170
80
210
Mons
70
30
90
140
Tableau 1.8: Coˆuts unitaires de transport. Comment ce directeur doit-il organiser le transport entre les usines et les clients pour en minimiser les frais de transport, tout en satisfaisant les commandes ? Les coˆuts de production sont identiques dans les trois usines et n’entrent donc pas en consid´eration.
Partie I Les d´ecisions op´erationnelles
19
Chapitre 2 Ordonnancement en ateliers sp´ecialis´es 2.1
Introduction
Rappelons qu’on parle d’ateliers sp´ecialis´es lorsque l’ensemble des e´ quipements n´ecessaires pour assurer une fonction d´etermin´ee sont rassembl´es dans un mˆeme atelier. Le probl`emede gestion quotidienne estded´eterminer l’ordred’ex e´ cution d’un certain nombre de tˆaches, la r´ealisation d’une tˆache n´ecessitant le passage sur une ou plusieures machines. Par exemple, l’emboutissage de plusieurs types de porti`eres de voitures demande le passage sur une mˆeme presse, l’ordre de passage des diff´erents types de porti`eres sur la presse n’´etant pas d´etermin´e a` l’avance. Parmi les mod`eles d’ordonnancement en ateliers sp´ecialis´es, on distingue • Les mod`eles statiques pour lesquels on recherche l’ordonnancement optimal d’un ensemble donn´e de tˆaches sur une p´eriode donn´ee : autrement dit, au cours de la p´eriode consid´er´ee, aucune nouvelle tˆache non pr´evue ne peut eˆ tre prise en compte dans l’ordonnancement; • Les mod`eles dynamiques d’ordonnancement qui se caract´erisent au contraire par des arriv´ees successives de tˆaches, le plus souvent dans un univers al´eatoire. Dans ce chapitre, nous allons nous limiter aux mod`eles statiques et voir successivement le probl`eme d’ordonnancement sur 1 machine, sur 2 machines. Enfin, nous verrons la g´en´eralisation au probl`eme sur m machines dont la r´esolution demande le recours a` la programmation en nombres entiers.
21
Chapitre 2. Ordonnancement en ateliers sp´ecialis´es
22
2.2
Ordonnancement sur une machine
Illustrons le probl`eme sur l’exemple suivant tir´e de Giard [5]. On a cinq tˆaches a` effectuer sur la machine A. Le tableau 2.1 pr´esente les diff´erentes tˆaches ainsi que leurs temps op´eratoires. Il s’agit de d´eterminer l’ordre dans lequel on va Tˆache (i)
1
Temps op´eratoire (ti )
2
50 150
3
4
80
5
200 30
Tableau 2.1: Temps op´eratoires (en centi`emes d’heures) effectuer ces diff´erentes tˆaches. Il est clair que, quel que soit l’ordre choisi, le temps op´eratoire total est le mˆeme : il s’agit de la somme des temps op´eratoires. Il faudra donc d´efinir un autre crit`ere entre tous les ordonnancements possibles. Un ordonnancement possible est illustr´e a` la table 2.2. Ordre (j)
1
2
3
4
5
Tˆache programm´ee(i)
3
4
1
5
2
Temps d’ex´ecution (Tj )
80 200
50 30
150
Tableau 2.2: Un ordonnancement possible
2.2.1
Le diagramme de Gantt
Illustrons tout d’abord une technique de visualisation d’un ordonnancement, le graphique de Gantt. Celui-ci est construit a` la figure 2.1 pour l’ordonnancement du tableau 2.2. 1
3
2
4
3
1
4
5
5
2
machine A
Figure 2.1: Diagramme de Gantt Le diagramme de Gantt permet de visualiser a` la fois :
temps (heures)
Section 2.2. Ordonnancement sur une machine
23
• l’utilisation des moyens productifs; • l’avancement de l’ex´ecution des tˆaches. En effet, une ligne horizontale illustre l’´evolution du temps (ici en heures, mais cela peut eˆ tre sur l’ensemble d’une semaine ou d’un mois). Ensuite, pour chaque moyen productif (ici, il y a seulement la machine A), on trace une ligne horizontale en dessous de la ligne du temps. Chaque tˆache a` effectuer sur la machine est repr´esent´ee par un segment dont la longueur est proportionnelle a` la dur´ee d’ex´ecution de la tˆache. On indiquera le num´ero de la tˆache au dessus du segment tandis qu’une machine au repos est indiqu´ee par un Z. Si l’on veille a` aligner verticalement l’origine du temps pour chaque machine, une ligne verticale indique donc a` tout moment a` quelle tˆache est occup´ee chacune des machines. Un tableau mural peut eˆ tre ainsi d’un grand recours pour les agents de maˆıtrise responsable de l’affectation des moyens humains et mat´eriels.
2.2.2
La r`egle T.O.M.
Comme nous l’avons indiqu´e plus haut, tous les ordonnancements possibles conduisent au mˆeme temps total d’ex´ecution des tˆaches. Dans l’exemple, l’ex´ecution des 5 tˆaches n´ecessite 510 centi`emes d’heure. La question qui se pose est alors : comment choisir parmi les n! ordonnancements possibles ? Notons Aj le temps d’ach`evement de la tˆache programm´ee en position j. Le temps d’ach`evement d’une tˆache est la somme des temps d’ex´ecution de la tˆache avec ceux des tˆaches pr´ec´edentes. Par exemple, A4 = T1 + T2 + T3 + T4 En g´en´eral : Aj =
j X
Th
h=1
Le calcul des diff´erents temps d’ach`evement des tˆaches est repris au tableau 2.3. Ordre (j)
1
2
3
4
5
Tj
80
200
50
30
150
Aj
80
280 330
360 510
Tableau 2.3: Temps d’ach`evement des tˆaches
Chapitre 2. Ordonnancement en ateliers sp´ecialis´es
24
Le temps d’ach`evement moyen vaut alors : n 1X 80 + 280 + 330 + 360 + 510 A¯ = Aj = = 312 5 j=1 5
En g´en´eral : n 1X A¯ = Aj n j=1
j n X 1X = Th n j=1 h=1
=
n 1X Tj (n + 1 − j) n j=1
Il s’agit donc d’une somme pond´er´ee des temps op´eratoires, chaque temps op´eratoire e´ tant pond´er´e par un facteur d’autant plus grand qu’il se trouve ex´ecut´e plus tˆot dans l’ordonnancement. La r`egle d’ordonnancement qui minimise le temps d’ach`evement moyen est celle du temps op´eratoire minimum : il s’agit d’ex´ecuter les tˆaches par ordre croissant de dur´ee : T1 ≤ T2 ≤ . . . ≤ Tj ≤ . . . ≤ Tn En anglais, on parle de “SOT rule” pour “Shortest Operation Time”. L’application de cette r`egle donne l’ordonnancement illustr´e au tableau 2.4. Cette application donne le temps d’ach`evement moyen minimum : A¯ = 218 Ordre (j)
1
2
3
4
5
Tˆaches (i)
5
1
3
4
5
Tj
30
50
80
150 200
Aj
30
80 160
310 510
Tableau 2.4: Application de la r`egle TOM On peut montrer que la r`egle T.O.M. revient a` minimiser le retard moyen, le retard d’une tˆache e´ tant la diff´erence entre le moment o`u la tˆache est termin´ee et celui o`u elle aurait e´ t´e termin´ee si l’on l’avait commenc´e en premier lieu.
Section 2.3. Ordonnancement avec deux centres de production
2.3
25
Ordonnancement avec deux centres de production
Chaque tˆache n´ecessite pour son ex´ecution le passage sur deux machines : les machines. Soient tiA et tiB , les temps d’ex´ecution de la tˆache i sur les machines A et B respectivement. On va utiliser comme crit`ere d’ordonnancement la minimisation du temps total d’ex´ecution des tˆaches sur les deux machines. On va distinguer deux cas : • le cas o`u toutes les tˆaches sont a` ex´ecuter sur A puis B; • le cas o`u toutes les tˆaches n’ont pas le mˆeme ordre de passage sur les deux machines.
2.3.1
Cas o`u toutes les tˆaches sont a` ex´ecuter sur A puis B
Supposons donc que cinq tˆaches soient a` ex´ecuter sur les machines A puis B. Les temps op´eratoires (en centi`emes d’heure) sont repris au tableau 2.5. Tˆaches (i)
1
2
3
4
5
tiA
50
150
80
200
30
tiB
60
50
150
70
200
Tableau 2.5: Ordonnancement sur deux machines L’ordonnancement optimal est illustr´e a` la figure 2.2. Remarquez que durant l’ex´ecution de la premi`ere tˆache sur A, la machine B dort. On a donc int´erˆet a` mettre en tˆete la tˆache de temps tiA le plus faible. De fa¸con similaire, lors de l’ex´ecution de la derni`ere tˆache sur la machine B, la machine A dort. On a donc int´erˆet a` mettre en fin la tˆache de dur´ee d’ex´ecution tiB minimum. En se basant sur ces deux observations, Johnson (1954) a d´efini l’algorithme suivant decalcul de l’ordonnancement qui minimise le temps d’ex´ecution detoutes les tˆaches. L’algorithme de Johnson (1954) remplit progressivement un tableau d’affectation comme suit : 1. Rechercher la tˆache i de temps d’ex´ecution tij minimum. 2. Si j = A, placer cette tˆache a` la premi`ere place disponible; Si j = B, placer cette tˆache a` la derni`ere place disponible. 3. Supprimer la tˆache i des tˆaches encore a` programmer, retour en 1.
Chapitre 2. Ordonnancement en ateliers sp´ecialis´es
26
Appliquons ceci a` l’exemple. D’abord, la tˆache 5 (t5A = 30) est mise en premi`ere position. Puis, la tˆache 1 (t1A = 50) est mise en deuxi`eme position. Puis la tˆache 2 (t2B = 50) est mise en derni`ere position. Puis la tˆache 4 (t2B = 70) est mise en avant derni`ere position. Enfin, la tˆache 3 est mise a` la derni`ere place disponible. On obtient le graphique de Gantt de la figure 2.2 o`u le passage d’une tˆache d’une machine a` l’autre est visualis´e a` l’aide d’une fl`eche verticale. 5
1
3
4
2
machine A 5
1
3
4
2
machine B 0,3 0,8
1,6 1
2,3 2,9 2 3
3,6
4,4
5,1 5,6 5 temps (heures)
4
Figure 2.2: Diagramme de Gantt
2.3.2
Cas de tˆaches ne s’effectuant pas dans le mˆeme ordre
Dans ce cas plus g´en´eral, certaines tˆaches ne n´ecessitent que le passage sur une machine, d’autres sur les deux dans un ordre ou l’autre. Les donn´ees num´eriques sont reprises au tableau 2.6. Tˆaches a` effectuer sur A puis B Tˆaches (i)
1
2
3
4
5
6
tiA
50
80
10
50 30
70
tiB
30
60
30
0
0
0
Tˆaches a` effectuer sur B puis A Tˆaches (i)
7
8
9
10 11
tiB
90
20
10
40 10
tiA
70
30 100
0
0
Tableau 2.6: Illustration de l’algorithme de Jackson L’ordonnancement qui minimise le temps total d’ex´ecution des tˆaches sur
Section 2.3. Ordonnancement avec deux centres de production
27
les deux machines est obtenu par l’algorithme de Jackson (1957) qui est une g´en´eralisation de l’algorithme de Johnson. Il consiste tout simplement a` : 1. Faire une partition de l’ensemble des n tˆaches en • l’ensemble A des tˆaches ne n´ecessitant que le passage sur A : A = {4, 5, 6}
• l’ensemble B des tˆaches ne n´ecessitant que le passage sur B : B = {10, 11}
• l’ensemble AB des tˆaches n´ecessitant le passage sur A puis B : AB = {1, 2, 3}
• l’ensemble BA des tˆaches n´ecessitant le passage sur B puis A : BA = {7, 8, 9}.
2. et ensuite calculer un ordonnancement pour chaque sous-ensemble : • l’ordonnancement optimal pour AB par l’algorithme de Johnson : 3, 2, 1.
• l’ordonnancement optimal pour BA par l’algorithme de Johnson : 9, 8, 7.
• un ordonnancementarbitraire pour A (par exemple, par la r`egle TOM) : 5, 4, 6.
• un ordonnancement arbitraire pour B (par exemple, par la r`egle TOM) : 11, 10.
3. Remarquons que l’on a int´erˆet a` d´ebuter le plus vite possible sur A les tˆaches qui doivent ensuite aller sur B et a` mettre en derni`ere place sur A celles qui doivent d’abord aller sur B. Ceci conduit a` combiner ces ordonnancement de la mani`ere suivante : • Pour la machine A : la s´equence optimale pour le sous-ensemble AB, puis les tˆaches de A, puis la s´equence optimale du sous-ensemble BA : 3, 2, 1, 5, 4, 6, 9, 8, 7.
• Pour la machine B : la s´equence optimale pour le sous-ensemble BA, puis les tˆaches de B, puis la s´equence optimale du sous-ensemble AB : 9, 8, 7, 11, 10, 3, 2, 1.
On obtient le diagramme de Gantt de la figure 2.3.
Chapitre 2. Ordonnancement en ateliers sp´ecialis´es
28
3
2
1
5
4
6
9
8
7
machine A 10
98
90
7
140 170
11 10
3
220
2
290
390 420
1
490
Z
machine B 10 30
120 130 170 200
260 290
Figure 2.3: Algorithme de Jackson
2.4
Ordonnancement sur trois machines
L’algorithme de Johnson ne s’applique qu’en pr´esence de deux machines. Cependant, lecas detrois machinespeutseramener aucas dedeux machinessila machine B est compl`etement domin´ee par la machine A ou par la machine C, c’est-`a-dire si l’on se trouve dans le cas o`u minimum tiA ≥ maximum tiB , soit dans le cas o`u minimum tiC ≥ maximum tiB . Prenons un exemple. On cherche l’ordonnancement minimisant le temps d’ach`evement total de sept tˆaches n´ecessitant le passage sur trois machines. Les temps op´eratoires sont donn´es au tableau 2.7. tˆaches 1 Assemblage 20 Inspection 4 Exp´edition 7
2 12 1 11
3 4 19 16 9 12 4 18
5 14 5 18
6 7 12 17 7 8 3 6
Tableau 2.7: Temps op´eratoires avec trois machines Lorsque l’on se trouve dans un ce ces deux cas, on reformule alors le probl`eme en un probl`eme a` deux machines, la premi`ere groupant les machines A et B (d’o`u
Section 2.4. Ordonnancement sur trois machines
29
les temps op´eratoires tiAB = tiA + tiB ) et la seconde groupant les machines B et C (d’o`u les temps op´eratoires tiBC = tiB + tiC ). On applique alors l’algorithme de Johnson a` ce probl`eme a` deux machines pour d´eterminer l’ordonnancement optimal. On peut alors tracer le diagramme de Gantt correspondant au probl`eme original, c’est-`a-dire celui avec trois machines. Remarquez que le regroupement n’a servi qu’`a calculer l’ordonnancement. Dans le cas de l’exemple ci-dessus on peut v´erifier que l’´etape “Inspection” est domin´ee par l’´etape “Assemblage”. On peut donc r´eduire le probl`eme au probl`eme d’ordonnacement a` deux machines suivant : tˆaches
1
2
3
4
5
6
7
Assemblage + Inspection
24
13
28 28
19
19 25
Inspection + Exp´edition
11
12
13 30
23
10 14
dont l’ordonnancement optimal est donn´e par : Place 1
2 3
4
5
6 7
tˆache
4 7
3
2
1 6
5
Son diagramme de Gantt est donn´e par la figure 2.4. 4
5
7
3
2
1
6
Z
Assemblage
5
Z
4 Z 7
Z
Z
3
2 Z
1 Z 6 Z
Inspection 5
Z
Z
4
7
Z 3 2
Z 1 Z 6
Expédition
14
19
30 37 42 47 55 60 66 75 78 79 90 98 102 109 110 117 120
Figure 2.4: Ordonnancements avec 3 machines Dans le cas de trois machines dont la machine centrale n’est pas domin´ee, on aura recours a` la programmation en nombres entiers.
Chapitre 2. Ordonnancement en ateliers sp´ecialis´es
30
2.5
Exercices
2.1. Usinage de pi`eces sur des machines. On veut organiser la production de deux lots de pi`eces Pa et Pb qui doivent eˆ tre usin´ees sur la machine M1 puis sur la machine M2 . Avant d’usiner chaque lot, il faut proc´eder au r´eglage de chaque machine. Les dur´ees des tˆaches de r´eglage et d’usinage de chacun des lots sur les deux machines sont donn´ees au tableau ci-dessous. Machine M1 M2
R´eglage A Usinage A R´eglage B Usinage B 1 2 2 2 1 3 6 1
Onveutminimiser letempstotal d’ex´ecutiondespi`eces. Expliquezpourquoi l’algorithme de Johnson ne s’applique pas. Faites une e´ num´eration explicite de tous les ordonnancements possibles et tracez le diagramme de Gantt dans chacun des cas. 2.2. Ordonnancement avec trois ateliers. Cinq tˆaches doivent passer par les ateliers de montage, de finition et d’exp´edition. Les temps op´eratoires figurent au tableau suivant. Tˆaches Montage Finition Exp´edition
1 7 1 5
2 2 1 2
3 4 2 4
4 3 2 6
5 5 1 5
On cherche l’ordonnancement qui minimise le temps d’ach`evement total des cinq tˆaches.
Chapitre 3 La gestion calendaire de stock 3.1
Introduction
Une production sans stock est quasi inconcevable vu les nombreuses fonctions que remplissent les stocks. En effet, la constitution de stocks est n´ecessaire s’il y a : 1. non co¨ıncidence dans le temps et l’espace de la production et de la consommation : le stock est indispensable dans ce cas car il est impossible de produire l`a et quand la demande se manifeste. Les exemples classiques sont les jouets et la confiserie pour la non co¨ıncidence dans le temps, et les supermarch´es pour la non co¨ıncidence dans l’espace. 2. incertitude sur le niveau de demande ou sur le prix : s’il y a incertitude sur la quantit´e demand´ee, on va constituer un stock de s´ecurit´e qui permet de faire face a` une pointe de demande. S’il y a incertitude sur le prix, on va constituer un stock de sp´eculation. Par exemple, les compagnies p´etroli`eres ach`etent plus que n´ecessaire en p´etrole brut lorsque le prix de celui-ci est relativement bas. 3. risquedeprobl`emesenchaˆıne: ils’agiticid’´eviterqu’unepanne a` unposte ne se r´epercute sur toute la chaˆıne : un retard d’ex´ecution au poste pr´ec´edent ou une gr`eve des transports n’arrˆetera pas imm´ediatement l’ensemble du processus de production s’il y a des stocks tampons. 4. pr´esence de coˆuts de lancement : dans ce cas, travailler par lots permet une e´ conomie d’´echelle sur les coˆuts de lancement mais, en revanche, provoque une augmentation des coˆuts de possession du stock. La gestion des stocks pose cependant de multiples probl`emes : tenue d’inventaires, valorisation du stock, d´efinition des capacit´es de stockage et enfin, disponibilit´e satisfaisante du stock. Nous allons nous concentrer sur ce dernier aspect. 31
Chapitre 3. La gestion calendaire de stock
32
3.2
Les politiques de gestion de stock
Les politiques de gestion de stock visent a` r´epondre aux deux grandes questions : 1. Quand d´eclencher l’approvisionnement du stock? La r´eponse a` cette question est diff´erente suivant la politique de gestion adopt´ee : • En gestion de stock par point de commande, l’approvisionnement du stock est d´eclench´e lorsque l’on observe que le stock descend en dessous d’un niveau s, le point de commande. • En gestion calendaire, l’approvisionnement du stock est d´eclench´e a` intervalles r´eguliers T , par exemple, chaque jour ou chaque semaine. • En gestion calendaire conditionnelle, l’approvisionnement du stock est d´eclench´e a` intervalles r´eguliers T , mais uniquement lorsque l’on observe que le stock descend en dessous d’un niveau s, le point de commande. 2. Combien commander ? La r´eponse a` la question ”Combien ?” d´epend e´ galement du type de gestion de stock appliqu´ee : • En cas de gestion par point de commande, on commande une quantit´e fixe, not´ee q et appell´ee quantit´e e´ conomique de commande. Comme nous le verrons au chapitre 4, sa d´etermination r´esulte d’un calcul d’optimisation. • En cas de gestion calendaire de stock, la quantit´e command´ee est e´ gale a` la diff´erence entre le stock r´esiduel observ´e R et S, le niveau de recompl`etement du stock. Nous allons nous attacher a` deux politiques particuli`eres : • La politique de gestion calendaire des stocks, not´ee (T, S) avec T l’intervalle entre deux commandes et S, le niveau de recompl`etement du stock. • La politique de gestion par point de commande, quantit´e e´ conomique de commande, not´ee (q, s) avec q, la quantit´e e´ conomique a` commander r´eguli`erementet s, lepointdecommandequid´ eclenchel’approvisionnement du stock.
Section 3.3. Les coˆ uts associ´es aux stocks
3.3
33
Les coˆuts associ´es aux stocks
Un stock constitu´e pour satisfaire une demande future. En cas de demande al´eatoire, il peut y avoir non co¨ıncidence entre la demande et le stock. Deux cas sont e´ videmment possibles : • une demande sup´erieure au stock : on parle alors de rupture de stock; • une demande inf´erieure au stock : on aura alors un stock r´esiduel. Le crit`ere de gestion g´en´eralement retenu en gestion des stocks est celui de la minimisation des coˆuts. Nous noterons cette fonction par la lettre C, suivie, entre parenth`eses, de la ou des variables de commande du syst`eme. Par exemple, si la variable de commande est la quantit´e command´ee, nous noterons l’objectif C(q). Ces variables de commandes d´eterminent en g´en´eral trois variables d’´etat du syst`eme : Ir , la rupture moyenne, c’est-`a-dire le nombre moyen de demandes non satisfaites au cours d’une p´eriode, auquel est associ´e un coˆut unitaire de rupture, not´e cr ; Ip , le stock moyen poss´ed´e au cours d’une p´eriode, auquel est associ´e un coˆut de possession unitaire, cp ; Ic , le nombre moyen de commandes pass´ees au cours d’une p´eriode, auquel est ˆ de commande unitaire, cc . associ´e un cout La fonction de coˆut s’´ecrit donc en g´en´eral comme une fonction de ces trois variables d’´etat : C = cr Ir + cp Ip + ccIc . Nous allons examiner un peu plus en d´etail chacun des trois coˆuts partiels.
3.3.1
Les coˆuts de possession
Les coˆuts de possession comprennent : 1. les coˆuts de d´etention d’un article en stock durant une certaine p´eriode en fonction des conditions financi`eres d’acquisition et des e´ ventuelles conditions de reprise. 2. les coˆuts de stockage qui sont les d´epenses de logistique, de conservation du stock.
34
Chapitre 3. La gestion calendaire de stock
Comme signal´e plus haut, en pr´esence d’une demande al´eatoire, il peut y avoir non co¨ıncidence du stock et de la demande, et donc une rupture ou un stock r´esiduel. Les cons´equences de ce stock r´esiduel seront bien diff´erentes selon que l’on se trouve dans • le cas du stock a` rotation nulle, c’est-`a-dire lorsque le stock r´esiduel est sans utilit´e pour l’entreprise. Ceci se pr´esente notamment : – en cas d’obsolescence technique ou commerciale : par exemple, les vˆetements de modes,. . . – en cas o`u la consommation a un d´elai maximum : par exemple, les primeurs, les journaux,. . . Dans ce cas, le coˆut de possession d’un article se calcule comme le coˆut d’acquisition d’un article moins la valeur de r´ecup´eration (solde). Prenons un exemple. Un quotidien achet´e 0,9 EURO par le libraire et dont l’invendu est repris 0,75 EURO par le grossiste : le coˆut de possession est de 0,9 - 0,75 = 0,15 EURO. • le cas du stock a` rotation non nulle, c’est-`a-dire lorsque l’invendu peut eˆ tre vendu a` une p´eriode ult´erieure. C’est l’exemple des boˆıtes de petits pois en e´ picerie non vendues une p´eriode qui le seront aux p´eriodes suivantes. Dans ce cas, le coˆut de possession li´e a` l’immobilisation du capital. En gelant la somme d’argent correspondant au coˆut d’achat de l’article invendu, la soci´et´e se prive du revenu d’un placement financier qu’elle aurait pu r´ealiser. Ce coˆut est appel´e coˆut d’opportunit´e. Le taux d’opportunit´e est la rentabilit´e du meilleur investissement que l’entreprise aurait pu faire. Prenons un exemple. Si le taux d’opportunit´e est de 6 % l’an, une boˆıte de petits pois achet´ee 1,20 EURO et restant en rayon un mois entier a cout´e 1,20 × 6 % × 1/12 = 0,006 EURO. L’autre partie du coˆut de possession concerne les coˆuts de stockage. Ces coˆuts de stockage, comprennent, en g´en´eral des frais fixes, tels que le coˆut de location d’entrepˆots, ainsi que des frais variables, tels que le coˆut de manutention. Le coˆut unitaire de stockage que l’on doit prendre en consid´eration dans la fonction objectif est le coˆut moyen de l’ensemble de ces frais. Malheureusement, ce ce coˆut moyen d´epend du volume d’activit´e et ne peut donc pas eˆ tre consid´er´e comme une constante. Cette difficult´e fait que souvent on n’inclut pas de coˆut de stockage dans le coˆut de possession et le coˆut de possession se r´eduit donc au seul coˆut d’immobilisation du capital.
Section 3.3. Les coˆ uts associ´es aux stocks
3.3.2
35
Les coˆuts de rupture
La rupture se pr´esente lorsque la demande exc`ede le stock constitu´e au cours de la p´eriode. Les cons´equences de cette rupture sont diff´erentes selon que la demande est interne ou externe. En cas de demande externe, la demande non satisfaite peut eˆ tre perdue (on parle de ventes manqu´ees) ou report´ee (on parle de ventes diff´er´ees) : • dans le cas de ventes manqu´ees, le coˆut de rupture est le manque a` gagner de la non fourniture d’une unit´e, g´en´eralement la marge b´en´eficiaire sur cet article. Prenons un exemple. Un journal achet´e 0,90 EURO par le libraire et revendu 1,20 EURO a un coˆut de rupture de 1,20 - 0,90 = 0,30 EURO. • En cas de ventes diff´er´es, le coˆut de rupture n’inclut pas la marge car la vente sera r´ealis´ee plus tard. Ce coˆut de rupture est le coˆut administratif d’ouverture d’un dossier et e´ ventuellement un coˆut commercial (on fait une ristourne pour ne pas perdre le client). Prenons un exemple. Un garagiste qui n’a plus de stock le v´ehicule d´esir´e par son client va lui proposer une voiture de location gratuite durant le d´elai d’attente pour ne pas perdre le client. Le coˆut de rupture correspond ici a` la prise en charge par le garage de la location de la voiture. En cas de demande interne, on ne parle plus de stock de distribution mais bien de stock de fabrication. Dans ce cas, la rupture entraˆıne un chˆomage technique des postes en aval. Le coˆut de rupture correspond au coˆut financier du chˆomage technique.
3.3.3
Les coˆuts de commande
A nouveau, il faut ici distinguer le cas d’une demande interne et celui d’une demande externe : • En casdestockdefabrication, lecoˆutdecommandeest lecoˆutdelancement de la production. Il s’agit du r´eglage des machines, etc . . . Normalement, ce coˆut est ind´ependant de la quantit´e fabriqu´ee. • En cas de stock d’approvisionnement, le coˆut de commande est le coˆut administratif de gestion de la commande : e´ tablissement d’un bordereau, contrˆole de livraison, liquidation comptable,. . . . Normalement, ce coˆut est e´ galement ind´ependant de la quantit´e command´ee.
36
3.4
Chapitre 3. La gestion calendaire de stock
Gestion calendaire de stock a` rotation nulle
Pour rappel, on se trouve dans le cas d’un stock a` rotation nulle lorsqu’il n’y a pas de report possible des invendus aux p´eriodes suivantes. On va ici d´eterminer le niveau du stock initial S, qui est donc ici la variable de commande. En effet, la p´eriode de r´evision calendaire, c’est-`a-dire l’intervalle entre deux approvisionnements, not´e T est g´en´eralement fix´e par la nature de l’approvisionnement. Par exemple, un pˆatissier met en fabrication des gˆateaux chaque jour. Le libraire commande des journaux chaque jour, des p´eriodiques chaque semaine ou chaque mois. Nous allons illustrer les choses sur l’exemple du pˆatissier tir´e de Giard [5] qui est un exemple o`u la demande suit une loi de probabilit´e discr`ete. Supposons un couˆ t de fabrication de 25 F l’unit´e et un prix de vente de 60 F l’unit´e. Supposons que la vente quotidienne de ce gˆateau soit de 2,5 en moyenne et supposons que la demande, que nous noterons X, suive une loi de Poisson. Le tableau 3.1 reprend la x 0 1 2 3 4 P (X = x) 0, 0821 0, 2052 0, 2565 0, 2138 0, 1336 x 5 6 7 8 9 P (X = x) 0, 0668 0, 0278 0, 0099 0, 0031 0, 0009 Tableau 3.1: Distribution de la loi de Poisson distribution de probabilit´e du nombre X de clients par jour pour ce produit. Dans ce tableau x indique une valeur possible de la demande et P (X = x) indique la probabilit´e d’occurence de cette valeur. Ainsi on a 8,21 % de chances d’observer aucun client un jour donn´e. Les invendus de la journ´ee sont donn´es. La question que se pose le pˆatissier est la suivante : combien mettre de gˆateaux en fabrication chaque jour pour maximiser son b´en´efice ? Le coˆut de possession, cp , li´e a` l’invendu en fin de journ´ee est 25 F, c’est-`a-dire le coˆut de production. Tandis que le coˆut de rupture, cr , li´e a` une vente manqu´ee est e´ gal a` la marge, c’est-`a-dire : 60 F - 25 F = 35 F. On doit d´eterminer S, le stock initial, de mani`ere a` minimiser : C(S) = cp Ip (S) + cr Ir (S) = 25Ip (S) + 35Ir (S) avec Ip (S), le stock moyen r´esiduel en fin de journ´ee et Ir (S), nombre moyen de ruptures sur la journ´ee.
Section 3.4. Gestion calendaire de stock `a rotation nulle
37
En cas de coˆut convexe (on peut v´erifier que le coˆut est bien une fonction convexe de S), le stock optimal S ∗ est celui pour lequel le coˆut de gestion C(S ∗ ) est inf´erieur a` celui des stocks imm´ediatement inf´erieur ou sup´erieur :
ou encore
C(S ∗ ) < C(S ∗ + 1) C(S ∗ ) < C(S ∗ − 1)
C(S ∗ + 1) − C(S ∗ ) > 0
(3.1)
C(S ∗ ) − C(S ∗ − 1) < 0
Remarquez que les conditions (3.1) sont l’´equivallent pour une fonction continue de dire que la d´eriv´ee premi`ere doit eˆ tre n´egative avant S ∗ et positive apr`es S ∗ . On va donc e´ tudier l’´evolution de la diff´erence de coˆut de stocks successifs : C(S + 1) − C(S) L’´etude de C(S + 1) − C(S) passe par celle de Ir (S + 1) − Ir (S), car, comme nous allons le voir, on peut exprimer cette variation de coˆut en fonction de la seule variation de rupture moyenne. On va donc e´ tudier Ir (S + 1) − Ir (S). Calculons, par exemple, la rupture moyenne Ir (S = 4) associ´ee au stock initial S = 4. On doit donc calculer l’esp´erance math´ematique de X − 4 pour des valeurs de X sup´erieures a` 4 : Ir (S = 4) =
∞ X
(x − 4)P (X = x)
∞ X
(x − 5)P (X = x)
x=5
Calculons, demˆeme, larupturemoyenne Ir (S = 5) associ´eeaustockinitial S = 5 : Ir (S = 5) =
x=6
En g´en´eral : Ir (S) =
∞ X
x=S+1
(x − S)P (X = x)
Int´eressons nous maintenant a` la diff´erence de ces ruptures moyennes pour deux stocks initiaux cons´ecutifs : Ir (S = 4) − Ir (S = 5) = = =
∞ X
x=5 ∞ X x=5 ∞ X x=5
(x − 4)P (X = x) − (x − 4)P (X = x) − 1 · P (X = x)
= P (X > 4)
∞ X
x=6 ∞ X x=5
(x − 5)P (X = x) (x − 5)P (X = x)
Chapitre 3. La gestion calendaire de stock
38
On en conclut que la diminution de rupture moyenne Ir (S) occasionn´ee par une augmentation d’une unit´e du stock a` partir de S est e´ gale a` la probabilit´e que la demande soit strictement sup´erieure ou e´ gale au stock initial S. Il est facile de montrer que ceci est vrai quelle que soit la forme la distribution de probabilit´e discr`ete : Ir (S + 1) − Ir (S) = −P (X > S)
(3.2)
Les tableaux de l’annexe B donne le calcul de P (X > x) en fonction de λ, la valeur du param`etre de la loi de Poisson. Commeannonc´eplus haut,il estpossiblederamenerlafonctiondecoˆ utcomme une fonction de la seule variable d’´etat Ir (S). Pour cela, nous allons e´ tablir la relation entre Ir (S) et Ip (S). Le stock moyen sur lequel porte le coˆut de possession est le stock moyen observ´e en fin de p´eriode qui correspond donc a` l’invendu. On observera un stock r´esiduel si la demande observ´ee x est inf´erieure a` S, le stock initial. Son niveau moyen est calcul´e par l’exp´erence math´ematique suivante : Ip (S) = =
S−1 X x=0 ∞ X
(S − x)P (X = x) =
(S − x)P (X = x) −
x=0 ∞ X
= S
x=0
P (X = x) −
¯ + Ir (S) = S−X
∞ X
S X
(S − x)P (X = x)
x=0 ∞ X
(S − x)P (X = x)
x=S+1
xP (X = x) +
x=0
∞ X
x=S+1
(x − S)P (X = x)
¯ note la moyenne de la demande X. D’o`u la relation entre Ip et Is : o`u X ¯ + Ir (S) Ip (S) = S − X
(3.3)
qui peut s’interpr´eter en disant que le stock moyen r´esiduel Ip (S) est e´ gal au stock ¯ − Ir (S)). de d´epart S diminu´e de la demande moyenne satisfaite (X La cons´equence de la relation (3.3) est que l’on peut exprimer le coˆut total C(S) en fonction du seul coˆut de rupture Ir : ³
´
¯ + Ir (S) C(S) = cr Ir + cp Ip = cr Ir + cp S − X D’o`u l’expression de C(S) :
¯ + (cr + cp )Ir (S) C(S) = cp (S − X)
(3.4)
Section 3.4. Gestion calendaire de stock `a rotation nulle
39
Revenons maintenant au probl`eme de la d´etermination de la solution optimale, c’est-`a-dire au stock initial S ∗ qui minimise : ¯ + (cr + cp )Ir (S) C(S) = cp (S − X) On a donc que : ¯ + (cr + cp )Ir (S + 1) C(S + 1) − C(S) = cp (S + 1 − X) ¯ − (cr + cp )Ir (S) −cp (S − X) = cp + (cr + cp )(Ir (S + 1) − Ir (S)) Compte tenu de la relation (3.2) : C(S + 1) − C(S) = cp − (cr + cp )P (X > S) Les conditions d’optimalit´e (3.1) deviennent ici :
cp − (cp + cr )P (X > S ∗ )
> 0
cp − (cp + cr )P (X > S ∗ − 1) < 0
ou encore S ∗ optimal si : P (X > S ∗ ) <
cp < P (X > S ∗ − 1) cp + cr
Appliquons ceci au cas de l’exemple : cp 25 = = 0, 417 cp + cr 25 + 35 En consultant le tableau donnant P (X > S) (cfr Annexe B), on trouve : P (X > 2) = 0, 4562, et P (X > 3) = 0, 2424. D’o`u S∗ = 3 On en conclut qu’il est optimale de produire chaque matin 3 gˆateaux.
(3.5)
Chapitre 3. La gestion calendaire de stock
40
3.5
Cas d’une loi de demande continue
Nousallonsillustrercecassurunexemple e´ galementtir´edeGiard[5]. Consid´erons un marchand de journaux qui vent un quotidien a` 3,5 F l’unit´e, qui lui-mˆeme l’acqui`ere a` 2,8 F aupr`es de son grossiste qui lui reprend les invendus au prix de 2,6 F l’unit´e. Le coˆut de rupture, cr , est li´e a` l’invendu et vaut donc la marge b´en´eficiaire, 3,5 F - 2,8 F = 0,7 F tandis que le coˆut de possession, cp , vaut la perte enregistr´ee par invendu, c’est-`a-dire 2,8 F - 2,6 F = 0,2 F. On suppose que les ventes quotidiennes suivent approximativement une loi ¯ = 300 et d’´ecart type σ = 20. La question qui se pose normale de moyenne X est la suivante : quel est le nombre d’exemplaires a` commander S de mani`ere a` minimiser le coˆut de gestion : C(S) = cp Ip (S) + cr Ir (S) Le coˆut de gestion s’´ecrit dans le cas d’une loi continue de la mani`ere suivante : C(S) = cp
Z S 0
(S − x)f (x)dx + cr
Z ∞ S
(x − S)f (x)dx
La condition d’optimalit´e s’´ecrit dans le cas d’une loi continue : C 0 (S ∗ ) = 0 Comme dans le cas discret, on peut ramener ce coˆut a` une fonction du seul nombre moyen de ruptures. En effet, la relation (3.3) entre Ir (S) et Ip (S) e´ tablie dans le cas discret reste valable : Ip (S) = =
Z S
(S − x)f (x)dx
Z0∞ 0
(S − x)f (x)dx −
¯+ = S−X
Z ∞ S
Z ∞ S
(S − x)f (x)dx
(x − S)f (x)dx
¯ + Ir (S) = S−X
On en d´eduit a` nouveau l’expression de C(S) en fonction du seul Ir (S) : ¯ + (cp + cr )Ir (S) C(S) = cp (S − X) Il faut maintenant e´ tudier la d´eriv´ee premi`ere de Ir (S). Par application de la formule de Leibnitz (cfr Giard [5][Page 90]), on d´emontre le r´esultat suivant : Z ∞ dIr (S) =− f (x)dx = −P (X > S), dS S
(3.6)
Section 3.5. Cas d’une loi de demande continue
41
c’est-`a-dire exactement le mˆeme r´esultat analytique que la relation (3.2) e´ tablie dans le cas discret. On peut maintenant passer a` la d´etermination de la solution optimale. On doit donc d´eterminer le S qui minimise : ¯ + (cr + cp )Ir (S) C(S) = cp (S − X) On calcule la d´eriv´ee de C(S) en utilisant la relation (3.6) : dC(S) = cp − (cr + cp )P (X > S) dS On annule la d´eriv´ee. D’o`u l’on tire : S ∗ optimal si P (X > S ∗ ) =
cp cr + cp
(3.7)
Cet optimum est un minimum car la d´eriv´ee seconde de C(S) est positive. La d´eriv´ee de P (X > S) par rapport a` S est clairement n´egative. Appliquons ceci au cas de l’exemple : P (X > S ∗ ) =
cp 0, 2 = = 0, 2222 cr + cp 0, 2 + 0, 7
Comme on ne dispose que de la table de la normale r´eduite, il faut r´eduire la variable al´eatoire X en lui retranchant sa moyenne et en la divisant par son e´ cart type. On obtient : P
µ
¶
X −µ S ∗ − 300 > = 0, 2222 σ 20
Par lecture dans la table de la normale r´eduite, on d´etermine : tS = 0, 7655 =
S ∗ − 300 20
D’o`u finalement : S ∗ = 315, 3 ≈ 315.
L’approvisionnement p´eriodique optimal est donc de S ∗ = 315. Avant de passer au cas de stocks a` rotation non nulle, examinons quelques indicateurs que l’on peut d´eduire de la solution optimale.
Chapitre 3. La gestion calendaire de stock
42
3.6
Les cons´equences e´ conomiques de la solution optimale
La rupture de stock Le premier indicateur n’est autre que la rupture de stock Ir (S). Cet indicateur permet en effet d’´evaluer les d´efaillances du syst`eme et une valeur trop importante de cet indicateur peut conduire a` remettre en cause la solution propos´ee. Dans le cas (discret) de la production de gˆateau, le calcul de Ir (s) s’effectue comme suit : Ir (S) = =
X
x>S
(x − S)P (X = x)
x>S
xP (X = x) − S
X
X
P (X = x)
x>S
D’o`u finalement : Ir (S) =
X
x>S
xP (X = x) − SP (x > S)
Le premier terme correspond a` un calcul tronqu´e de la moyenne. Pour la distribution de Poisson de param`etre λ, on montre que : X
x>S
xP (X = x) = λP (X > S − 1)
D’o`u l’on tire finalement : Ir (S) = λP (X > S − 1) − SP (X > S)
(3.8)
Ce qui nous donne dans le cas de l’exemple : Ir (S ∗ = 3) = 2, 5P (X > 2) − 3P (X > 3) = 2, 5 × 0, 4562 − 3 × 0, 2424 = 0, 413. Dans le cas de la vente de journaux (loi de demande continue), le calcul de Ir (S) s’effectue par l’int´egrale suivante : Ir (S) = =
Z ∞ ZS∞ S
(x − S)f (x)dx xf(x)dx − S
Z ∞ S
f (x)dx
Section 3.6. Les cons´equences ´economiques de la solution optimale D’o`u l’on tire Ir (S) =
Z ∞ S
43
xf (x)dx − SP (x > S)
Le premier terme correspond a` nouveau a` un calcul tronqu´e de la moyenne. On peut montrer que si X suit une distribution normale N(µ, σ), on obtient la formule suivante : Ir (S) = σ [f (tS ) − tS P (t > tS )] avec :
¯ S−X e−tS /2 tS = et f (tS ) = √ σ 2π Appliquons ceci aux donn´ees num´eriques de l’exemple pour lequel ts = 0, 7655. L’application de la formule donne donc : 2
f (tS = 0, 7655) =
e−0,7655 √ 2π
2 /2
= 0, 29762
La probabilit´e P (t > 0, 7655) est donn´ee dans la table de la normale r´eduite et vaut 0,2218. Donc : Ir (S) = 20(0, 29762 − 0, 7655 × 0, 2218) = 2, 556. L’annexe B.3 donne directement la valeur de [f (tS ) − tS P (t > tS )]. Le stock moyen poss´ed´e Le stock moyen poss´ed´e, Ip (S), correspond dans le cas de stock a` rotation nulle au stock r´esiduel moyen. Cet indicateur permet de se faire une id´ee du gˆachis engendr´e par la politique choisie. Cet indicateur s’obtient a` partir de la rupture moyenne aussi bien dans le cas discret que dans le cas continu par la relation (3.3) rappel´ee ci-dessous : ¯ + Ir (S) Ip (S) = S − X Pour le pˆatissier, on aura donc : Ip (S ∗ = 3) = (3 − 2, 5) + 0, 413 = 0, 913 gˆateaux. Pour le marchand de journaux, on aura : Ip (S ∗ = 315) = (315 − 300) + 2, 556 = 17, 556 journaux. Remarquez que, dans les deux cas, le stock r´esiduel se calcule comme le stock initial diminu´e de la demande satisfaite.
Chapitre 3. La gestion calendaire de stock
44 Le coˆut moyen
Le coˆut moyen C(S) correspond tout simplement a` la valeur prise a` l’optimum par la fonction objectif. Il peut eˆ tre calcul´e par la relation (3.4) mais il est plus instructif de calculer les coˆuts partiels : C(S) = cr Ir (S) + cp Ip (S) Pour l’exemple du pˆatissier, on obtient : C(S) = 35 × 0, 4132 + 25 × 0, 9132 = 14, 46 + 22, 83 = 37, 29 Pour l’exemple du marchand de journaux, on obtient : C(S) = 0, 7 × 2, 556 + 0, 2 × 17, 556 = 1, 7892 + 3, 5112 = 5, 3004 La marge nette moyenne La marge nette moyenne, not´ee B(S), est e´ gale au produit de la marge unitaire, mu , par la demande moyenne, diminu´e du coˆut de stockage : ¯ − C(S) B(S) = muX L’application de cette relation a` l’exemple num´erique du pˆatissier donne : ¯ − C(S) B(S) = mu X = 35 × 2, 5 − 37, 29 = 50, 21 F. tandis que pour le marchand de journaux, elle donne : ¯ − C(S) B(S) = muX = 0, 7 × 300 − 5, 004 = 204 F. Nous allons maintenant passer au cas de stock a` rotation non nulle.
Section 3.7. Cas de stocks `a rotation non nulle
3.7
45
Cas de stocks a` rotation non nulle
Pour rappel, on parle de stocks a` rotation non nulle lorsque les invendus d’une p´eriode seront vendus aux p´eriodes suivantes. C’est de loin le cas le plus r´epandu. La variable de commande du syst`eme est ici S, le niveau de recompl`etement, c’est-`a-dire le niveau du stock que l’on cherche a` retrouver p´eriodiquement. Remarquons une diff´erence fondamentale avec le cas de stocks a` rotation nulle. En effet, la commande a` passer pour un approvisionnement en d´ebut de p´eriode n’est plus fixe. Deux cas sont possibles : • Il reste un stock r´esiduel positif : dans ce cas, on commande la diff´erence entre S et le stock r´esiduel; • Le stock r´esiduel est nul : dans ce cas, on commande S augment´e des demandes non satisfaites de la p´eriode pr´ec´edente qui ont pu eˆ tre report´ees. Pour illustrer le processus de d´etermination de S ∗, le niveau optimal de recompl`etement, c’est-`a-dire celui qui minimise le coˆut : C(S) = cp Ip (S) + cr Ir (S), nous consid´erons l’exemple suivant de la ventes d’ampoules d’´eclairage tir´e de Giard [5]. On suppose que la demande hebdomadaire d’ampoules de 60 Watt suit une loi normale de moyenne 300 et d’´ecart type 20. Le r´eapprovisionnement se fait en d´ebut de semaine chez le grossiste au prix d’achat de 3 F l’unit´e. Les ampoules sont vendues au prix de 3,5 F l’unit´e. On suppose un taux d’opportunit´e annuel de 20 %. D’o`u un coˆut de possession annuel par ampoule en stock de : 3 F × 0, 2 = 0, 6 F. Pour arriver a` un coˆut de possession hebdomadaire, il faut tenir compte du nombre de semaines sur lesquelles la demande s’exprime. Ici, on suppose le magasin ouvert 52 semaines par an : 0, 6 F /52 = 0, 0115 F Remarquons qu’`a la diff´erence du cas de stock a` rotation nulle, la perte li´ee a` une ampoule en stock n’est plus son prix d’achat mais la perte financi`ere due au gel en stock de son prix d’achat.
Chapitre 3. La gestion calendaire de stock
46
Calculons maintenant le coˆut unitaire de rupture : il correspond a` la marge non r´ealis´ee par ampoule : 3, 5 F − 3 F = 0, 5 F. La question qui se pose est la suivante : quel est le niveau de recompl`etement optimal S ∗ ? Pourle calcul dustockmoyenposs´ed´e, il faudradistinguer deuxcas defigure: 1. le cas o`u la demande observ´ee est sup´erieure au niveau de recompl`etement; 2. le cas o`u la demande observ´ee est inf´erieure au niveau de recompl`etement. Supposons, pour fixer les id´ees, qu’un niveau de recompl`etement de 320 ait e´ t´e choisi. 1. Cas d’une demande inf´erieure a` S : dans ce cas, il n’y a pas de rupture de stock. C’est l’exemple d’une demande observ´ee de 310. Le stock de fin de p´eriode vaut donc : 320 − 310 = 10 ampoules. En ce qui concerne l’´evolution du stock, on peut supposer que la demande de 310 ampoules est e´ galement r´epartie sur toute la semaine et on peut faire une interpolation lin´eaire comme a` la figure 3.1
S = 320
S = 10
x = 310
T = 5 jours
Figure 3.1: Evolution du stock On en d´eduit le stock moyen poss´ed´e : Ip (S) =
320 + 10 S + (S − x) = 2 2
On en conclut donc que : Si x < S : Ip (S) =
S + (S − x) x =S− 2 2
(3.9)
Section 3.7. Cas de stocks `a rotation non nulle
47
2. Cas d’une demande sup´erieure a` S : dans ce cas, on observe une rupture de stock. C’est le cas, par exemple, d’une demande observ´ee de 350. On va maintenant d´eterminer a` partir de quand le stock est nul. La demande, comme dans le cas sans rupture, est suppos´ee uniform´ement r´epartie sur la semaine de cinq jours (cfr figure 3.2). La demande journali`ere est donc S = 320 x = 350 S=0
} x − S = 30 T = 5 jours
Figure 3.2: Evolution du stock en cas de rupture 350 5
= 70 ampoules par jour. Et l’´evolution du stock moyen poss´ed´e peut eˆ tre obtenue par : S(t) = 320 − 70t. Ce stock est nul pour : t=
320 S = 4, 57 jours = 70 x/T
Le stock moyen poss´ed´e vaut : (320 + 0)/2 = 160 sur 4,57 jours. D’o`u le stock moyen poss´ed´e : 4, 57 5 − 4, 57 +0 5 5 320 320 SS = = 2 350 2x
Ip (S) = 160
En g´en´eral : SS 2x Cette formuledonneunesolution analytique auprobl`emedelad´etermination du niveau optimal de recompl`etement S ∗ assez difficile a` mettre en œuvre. Une hypoth`ese simplificatrice, a` savoir que la rupture se produit en fin de p´eriode permet d’effectuer des calculs simplifi´es. Sous cette hypoth`ese, le stock varie entre S et 0 et donc : S Si x > S : Ip (S) = (3.10) 2 Si x > S : Ip (S) =
Chapitre 3. La gestion calendaire de stock
48
3.7.1
D´etermination de la solution optimale
Sous cette hypoth`ese simplificatrice, nous allons pouvoir d´eterminer le niveau de recompl`etement optimal. Le coˆut de gestion s’´ecrit : C(S) = cp Ip (S) + cr Ir (S) Pour le calcul du stock moyen poss´ed´e Ip (S), il faut dissocier le cas o`u la demande x est inf´erieure a` S de celui o`u elle est sup´erieure a` S : Ip (S) =
Z S 0
x S (S − )f (x)dx + 2 2
Z ∞ S
f (x)dx
Tandisquelenombremoyenderuptures, Ir (S), peutsecalculercommel’int´ egrale: Ir (S) =
Z ∞ S
(x − S)f (x)dx
On peut maintenant tirer l’expression de Ip (S) en fonction de Ir (S) : Z S
Z
x S ∞ Ip (S) = (S − )f (x)dx + f (x)dx 2 2 S 0 Z ∞ Z S S 1 = f (x)dx + (S − x)f (x)dx 2 0 2 0 ·Z ∞ ¸ Z ∞ S 1 = + (S − x)f (x)dx − (S − x)f (x)dx 2 2 0 S ¯ S S X Ir (S) = + − + 2 2 2 2 On obtient donc la relation suivante : Ip (S) = S −
¯ X Ir (S) + 2 2
(3.11)
On peut donc exprimer C(S) en fonction du seul Ir (S) : C(S) = cp Ip (S) + cr Ir (S) = cp [S −
¯ X Ir (S) + ] + cr Ir (S) 2 2
D’o`u finalement : ¯ X cp ) + (cr + )Ir (S) 2 2 Dans le cas d’une loi de demande continue, il suffit d’annuler la d´eriv´ee premi`ere C(S) = cp (S −
dC(S) cp dIr (S) = cp + (cr + ) dS 2 dS cp = cp + (cr + )[−P (X > S ∗ )] = 0 2
Section 3.7. Cas de stocks `a rotation non nulle
49
d’o`u P (X > S ∗ ) =
cp cr + cp /2
(3.12)
Appliquons ceci aux donn´ees num´eriques de notre exemple de ventes d’ampoules e´ lectriques. Par la relation (3.12) : P (X > S ∗ ) =
0, 01154 = 2, 28% 0, 5 + 0, 01154/2
La lecture dans la table normale r´eduite nous donne : tS = 2 =
S − 300 20
D’o`u, le niveau optimal de recompl`etement : S ∗ = 340. Tout comme dans le cas de stock a` rotation nulle, on peut d´eduireles principaux indicateurs de la solution optimale choisie : • Le nombre moyen de rupture se calcule par la formule suivante : Ir (S) = σ [f (tS ) − tS P (t > tS )] avec :
2 ¯ S−X e−tS /2 √ tS = et f (tS ) = σ 2π Appliquons ceci aux donn´ees num´eriques de l’exemple pour lequel ts = 2. On obtient : Ir (S ∗ ) = 0, 159
• Le stock moyen poss´ed´e se calcule a` partir de la formule Ip (S) = S −
¯ X Ir (S) + 2 2
dont l’application donne ici : Ip (S ∗ ) = 340 −
300 0, 159 + = 190, 08 2 2
• Le coˆut moyen de stockage se calcule comme C(S ∗ ) = cp Ip (S ∗ ) + cr Ir (S ∗ ) = 0, 0115 × 190, 08 + 0, 5 × 0, 159 = 2, 27
Chapitre 3. La gestion calendaire de stock
50
3.7.2
Cas d’une loi de demande discr`ete
Terminons ce chapitre en voyant les formules de calcul dans le cas d’une loi de demande discr`ete pour la gestion de stock a` rotation non nulle. Le stock moyen poss´ed´e se calcule dans le cas discret comme suit : Ip (S) = =
S−1 X 0 S−1 X 0
∞ X x S (S − )P (X = x) + P (X = x) 2 S 2
x S (S − )P (X = x) + P (X ≥ S) 2 2
Exprimons ce stock moyen poss´ed´e en fonction du stock r´esiduel moyen de fin de p´eriode : Ip (S) =
S−1 X 0
(
∞ S S x SX + − )P (X = x) + P (X = x) 2 2 2 2 S
S 1X [ (S − x)P (X = x) + S] 2 0 ∞ ∞ S 1X 1X = + (S − x)P (X = x) − (S − x)P (X = x) 2 2 0 2 S
=
D’o`u finalement :
¯ X Ir (S) + , (3.13) 2 2 c’est-`a-dire exactement la mˆeme formule que celle obtenue dans le cas continu. Ip (S) = S −
On peut donc exprimer C(S) en fonction du seul Ir (S) : C(S) = cp Ip (S) + cr Ir (S) ¯ X Ir (S) = cp [S − + ] + cr Ir (S) 2 2 D’o`u finalement : C(S) = cp (S −
¯ X cp ) + (cr + )Ir (S) 2 2
Dans le cas discret, le niveau optimal de recompl`etement S ∗ est d´etermin´e par la formule suivante : P (X > S ∗ ) <
cp < P (X > S ∗ − 1) cr + cp /2
(3.14)
Section 3.8. Exercices
3.8
51
Exercices
3.1. Achat de pi`eces de rechange. L’ing´enieur en chef d’une usine passe la commande d’un mod`ele de pi`eces d´etach´ees d’une machine pour laquelle il craint un approvisionnement difficile. Les cons´equences d’un arrˆet de la machine a` cause d’un retard de livraison de la pi`ece sont particuli`erement on´ereuses : le coˆut d’un arrˆet de la production pour manque de pi`ece est de 25.000 F. En achetant cette pi`ece en mˆeme temps que la machine, le coˆut d’approvisionnement unitaire est de 1.000 F. L’exp´erience pass´ee de l’ing´enieur l’incite a` estimer la distribution des pannes sur la dur´ee de vie du mat´eriel, par une loi de Poisson de param`etre 1. La possession de pi`ece au del`a de la dur´ee de vie de la machine est sans valeur vu l’obsolescence technique rapide de la machine. (a) Quelle est la politique optimale a` suivre ? (b) On calculera les cons´equences de cette politique de commande de pi`eces de rechange que sont le nombre moyen de pi`eces r´esiduelles et le nombre moyen d’arrˆets de la machine. (c) On en d´eduira le coˆut de gestion du stock C(S). 3.2. Ventes d’hebdomadaires. Un libraire commande r´eguli`erement un hebdomadaire aupr`es de son grossiste. Son coˆut d’achat est de 12 F et son prix de vente 16 F. On suppose que les ventes hebdomadaires suivent une loi normale de moyenne 30 et d’´ecart type 5. (a) Quel est le nombre d’exemplaires a` commander aupr`es de son grossiste chaque semaine si le coˆut de reprise est de 10 F ? (b) On calculera les cons´equences de cette politique que sont le nombre moyen de ventes manqu´ees et le nombre moyen d’invendus. (c) On en d´eduira la marge nette moyenne B(S). 3.3. Ventes de calculatrices. Un e´ tablissement sp´ecialis´e dans la distribution de calculatrices e´ lectroniques a un produit vendu couramment tout au long de l’ann´ee. Il s’agit d’une calculatrice scientifique qui est achet´ee 45 F et revendue 55 F. Le taux d’opportunit´e utilis´e est de 20 %. La demande hebdomadaire de ce mod`ele est d’environ 5 calculatrices, et il y a tout lieu de penser que le mod`ele de Poisson est utilisable. La soci´et´e est ouverte 52 semaines par an, les d´elais d’approvisionnement sont n´egligeables, les demandes non satisfaites sont consid´er´ees comme perdues. La p´eriode de r´evision calendaire T est de deux semaines. (a) On demande de calculer le niveau optimal derecompl´etement du stock.
52
Chapitre 3. La gestion calendaire de stock (b) On calculera les cons´equences de cette politique que sont le nombre moyen de ventes manqu´ees et le stock moyen poss´ed´e. (c) On en d´eduira la marge nette moyenne B(S).
3.4. Ventes de r´eveils e´ lectroniques. La soci´et´e commercialise e´ galement un r´eveil e´ lectronique qui connaˆıt une grande popularit´e. La demande sur une semaine suit approximativement une loi normale de moyenne 100 et d’´ecarttype 30. La mˆeme politique de gestion calendaire est suivie. Les donn´ees de coˆut sont les mˆemes que celles des calculatrices. La p´eriode de r´evision calendaire T est aussi de deux semaines. (a) Calculez le niveau de recompl`etement optimal. (b) Calculez les cons´equences decette politique que sont le nombre moyen de ventes manqu´ees et le stock moyen poss´ed´e. (c) En d´eduire la marge nette moyenne B(S). 3.5. Ventes de sapins de No¨el. Un producteur de sapin de no¨el doit d´ecider de la quantit´e a` mettre en production chaque ann´ee. Les ventes annuelles concentr´eessurlapremi`erequinzaineded´ecembresuiventuneloinormalede moyenne 30.000 et d’´ecart type 200. Le coˆut de production est de 10 EURO l’unit´e et le prix de vente de 24 EURO. Le producteur travaille uniquement sur commande de sorte qu’il ne coupe que les arbres demand´es l’ann´ee courante. Quelle quantit´e doit-il mettre en production pour minimiser son coˆut de gestion ? On suppose un taux d’opportunit´e de 10 % l’an.
Chapitre 4 La gestion par point de commande 4.1
Introduction
La gestion calendaire se caract´erise, comme nous l’avons vu au chapitre 3 par : • des commandes a` intervalles fixes dont la p´eriodicit´e est not´ee T ; • un niveau de commande variable : qui vaut la diff´erence entre S, le niveau de recompl`etement et R, le stock r´esiduel. La gestion par point de commande se caract´erise, elle, au contraire par : • un montant de commande constant : cette quantit´e e´ conomique de commande sera not´ee q; • une p´eriodicit´e de commande variable (lorsqu’on est en univers al´eatoire) : on commande lorsque le stock passe en dessous du point de commande, s. On examinera successivement les deux cas de figures que sont : 1. La gestion (q, s) en univers certain. Comme, dans ce cas, la demande est certaine, on commande avant rupture de stock et il n’y a pas de coˆut de rupture. La variable de d´ecision q, la valeur constante de la commande, sera d´etermin´ee de mani`ere a` minimiser le coˆut de gestion qui ne comprend que deux termes : C(q) = cc Ic(q) + cp Ip (q) 2. La gestion (q, s) en univers incertain. Dans ce cas, le coˆut de rupture intervient aussi. Les variables de d´ecision que sont q, le montant des commandes et s, le point de commande seront d´etermin´ees de mani`ere a` minimiser le coˆut de gestion qui comprend trois termes : C(q, s) = cc Ic(q, s) + cp Ip (q, s) + cr Ir (q, s) 53
Chapitre 4. La gestion par point de commande
54
4.2
D´etermination de la quantit´e e´ conomique de commande
Nous allons illustrer la d´etermination de la quantit´e e´ conomique de commande en univers certain sur un exemple tir´e de Giard [5] . Il s’agit d’un ustensile de cuisine achet´e par un supermarch´e au prix unitaire de 30 F. Les ventes annuelles, que nous noterons D sont estim´ees a` 2 400 unit´es. Cette demande est consid´er´ee comme uniforme sur l’ann´ee : c’est-`a-dire qu’elle ne subit pas de variations saisonni`eres. Vu le caract`ere certain de la demande et du d´elai d’obtention (ici de 20 jours ouvrables), onpeut e´ vitertouteruptured’approvisionnementenpassantcommande a` temps. On consid`ere que l’ann´ee comporte 48 semaines de 6 jours ouvrables, soit 288 jours. Le coˆut de passation d’une commande de 300 F et est ind´ependant de la quantit´e command´ee. Le coˆut de possession annuel unitaire peut eˆ tre calcul´e en tenant compte du taux d’opportunit´e annuel ici suppos´e de 20 % comme : 30 × 0, 2 = 6 F. La question qui se pose est la suivante : Quelle est la quantit´e q constante a` commander p´eriodiquement pour que le coˆut annuel moyen soit minimum ? Avantded´eterminer laquantit´eoptimale, raisonnons surune valeurquelconque de q, par exemple, q = 400. En cas de demande uniforme sur l’ann´ee, on doit passer commande tous les 400 1 = ann´ee, 2 400 6 c’est-`a-dire tous les deux mois. La p´eriode e´ conomique de commande est donc : q τ= D Le nombre moyen de commandes par an vaut : Ic(q) =
D q
D’o`u le coˆut de commande : ccIc(q) = cc
D 2 400 = 300 = 1 800 F. q 400
Passons maintenant au calcul du stock moyen poss´ed´e. Pour minimiser le coˆut de possession, on passe commande de mani`ere a` ce que le stock soit nul au moment o`u arrivent les nouveaux articles. Le stock varie donc entre 400 et 0. Le stock moyen poss´ed´e vaut donc : Ip =
q 400 = . 2 2
Section 4.2. D´etermination de la quantit´e ´economique de commande
55
Le coˆut annuel de possession vaut donc : cp Ip (q) = 6
400 = 1 200 F. 2
D’o`u le coˆut annuel de gestion : C(q = 400) = 6
400 2 400 + 300 = 3 000 F. 2 400
Nous pouvons maintenant faire une mod´elisation du probl`eme pour une quantit´e command´ee quelconque q. Rappelons les hypoth`eses simplificatrices du mod`ele : • une demande certaine et distribu´ee uniform´ement. • un d´elai de r´eapprovisionnement certain. Ces deux hypoth`eses impliquent qu’il n’y a pas besoin de stock de s´ecurit´e pour faire face a` une pointe de demande impr´evue. On cherche donc a` d´eterminer la valeur de la seule variable de d´ecision, c’est-`a-dire q, la commande p´eriodique, qui minimise le coˆut de gestion qui ne comprend que deux termes : C(q) = cp Ip (q) + cc Ic(q) On peut g´en´eraliser les calculs de l’exemple ci-dessus. On obtient : C(q) = cp Ip (q) + ccIc (q) q D = cp + cc 2 q q 2 400 = 6 + 300 2 q Il est facile de calculer l’optimum d’une telle fonction. Il suffit d’annuler sa d´eriv´ee premi`ere : 1 D C 0 (q) = cp − cc 2 = 0 2 q D’o`u le point optimum : ∗
q =
s
2Dcc cp
(4.1)
Chapitre 4. La gestion par point de commande
56
Cette quantit´e est appel´ee quantit´e de Wilson. V´erifions qu’il s’agit bien d’un minimum en calculant la d´eriv´ee seconde : C”(q) = 2cc
D >0 q3
Remarquez qu’au point optimum, on a e´ galit´e des coˆuts de commande et de possession. En effet : D D cc Ic(q ) = cc = cc q 2Dc = c q ∗
cp
∗
q cp Ip (q∗ ) = cp = cp 2
q
2Dcc cp
2
=
s
Dcc cp 2
s
Dcc cp 2
Appliquons ceci a` l’exemple num´erique. La quantit´e e´ conomique de commande vaut donc : q∗ =
s
2 2 400 300 = 489, 9 ∼ 490 6
D’o`u la dur´ee optimale de consommation : τ∗ =
q∗ 490 = = 0, 204 ann´ees. D 2 400
Examinons les cons´equencesde lapolitiqueoptimale. Le stockmoyen d´etenu vaudra : q∗ 490 ∗ Ip (q ) = = = 245. 2 2 Et le nombre moyen annuel de commandes vaudra : Ic(q∗ ) =
D 2 400 = = 4, 898 q∗ 490
De ces deux quantit´es, on d´eduit le coˆut annuel de gestion : C(q∗ ) = cp Ip (q∗ ) + cc Ic(q ∗ ) 490 2.400 = 6 + 300 2 490 = 2 939, 39 F.
Section 4.3. D´etermination du point de commande
4.3
57
D´etermination du point de commande
La question qui se pose maintenant est : “Quand commander ?” Comme le d´elai d’obtention est de 20 jours ouvrables, c’est-`a-dire L=
20 = 0, 069 ann´ee, 288
la demande durant cette p´eriode s’´el`eve a` : D × L = 2 400 ×
20 = 166, 67 articles. 288
que l’on arrondi au point de commande s = 167. Lechef derayon va donc passercommande d`es qu’ilvoit qu’ilreste 167articles en rayon de mani`ere a` ce que le stock soit nul au moment de la livraison (voir figure 4.1). niveau du stock q ∗ quantit´e e´conomique de commande 490
s point de commande 167
L
L
temps
Figure 4.1: Point de commande En g´en´eral, le point de commande est tel que s = DL avec D = demande annuelle; L = d´elai d’obtention exprim´e en ann´ee.
(4.2)
Chapitre 4. La gestion par point de commande
58
4.4
Cas d’une demande al´eatoire
Rappelons les hypoth`eses de base de la gestion par point de commande en univers certain : • On a une demande certaine uniform´ement r´epartie sur l’ann´ee; • On a un d´elai de livraison certain. Nous allons g´en´eraliser ce mod`ele de la mani`ere suivante : • On suppose que la demande est connue en probabilit´e mais reste statique (c’est-`a-dire que les caract´eristiques de la distribution restent stables dans le temps.) • Nous maintenons l’hypoth`ese d’un d´elai d’obtention certain. Ce qui est le plus souvent le cas. Nous illustrons ce cas sur l’exemple introductif, a` savoir la vente d’ustensiles de cuisine mais en consid´erant cette fois que la demande annuelle suit une normale de moyenne 2 400 et d’´ecart type 189,74. Le coˆut de rupture vaut la marge qui est ici de 10 F. Le coˆut de possession annuel reste de 6 F. Passons au probl`eme de la d´etermination de q et s. Tout d’abord, remarquons que pendant le d´elai d’obtention de 20 jours la demande est al´eatoire. Calculons les param`etres de sa distribution. Tout d’abord, le d´elai d’obtention de 20 jours s’exprime en fraction d’ann´ee comme : 20 ann´ees. 288 La demande XL en 20 jours suit une loi Normale L=
• de moyenne : • de variance :
µL = Lµ =
20 × 2 400 = 167 288
σL2 = Lσ 2 =
20 × (189, 74)2 . 288
En effet, les param`etres de la demande durant 20 jours se d´eduisent des param`etres des ventes annuelles en multipliant la moyenne et la variance (et non l’´ecart type) par L. Donc, on obtient un e´ cart type de : σL =
s
20 × 189, 74 = 50. 288
Section 4.4. Cas d’une demande al´eatoire
4.4.1
59
D´etermination de q et s
La fonction de coˆut a` minimiser fait intervenir les trois variables d’´etat que sont : • le nombre moyen de commandes, Ic ; • le stock moyen annuel, Ip ; • la rupture moyenne annuelle, Ir . C(q, s) = cc Ic (q, s) + cp Ip (q, s) + cr Ir (q, s) Nous allons obtenir une solution approch´ee au probl`eme en effectuant une d´etermination ind´ependante de s et de q en se basant sur l’observation suivante. Dans l’expression de C, le nombre moyen de commande d´epend essentiellement de la quantit´e command´ee q tandis que le nombre moyen de ruptures d´epend essentiellement du point de commande s. On peut donc r´ecrire cette expression comme : C(q, s) = cc Ic (q) + cp Ip (q, s) + cr Ir (s) On voit que le terme qui lie le probl`eme en la variable q et le probl`eme en la variable s est le stock moyen poss´ed´e Ip qui d´epend a` la fois de q et de s. On va d´eterminer une solution approch´ee en s´eparant le probl`eme a` deux variables en deux probl`emes a` une variables de la mani`ere suivante. Le principe pour obtenir cette solution approch´ee est de r´esoudre ind´ependamment les deux probl`emes suivant : 1. D´eterminer la quantit´e e´ conomique q en arbitrant entre le coˆut de commande et le coˆut de possession a` partir de la demande moyenne. 2. D´eterminer le point de commande s en arbitrant entre le coˆut de rupture et le coˆut de possession en utilisant la gestion calendaire pendant le d´elai d’obtention L, en retenant comme s le niveau de recompl`etement optimal. Le probl`eme delad´etermination delaquantit´e e´ conomique decommande n’est rien d’autre que le probl`eme e´ tudi´e en univers certain si l’on remplace la demande annuelle certaine par la demande annuelle moyenne : D = µ = 2 400. En minimisant le coˆut de gestion : C(q) = cc Ic(q) + cp Ip (q),
Chapitre 4. La gestion par point de commande
60
la solution trouv´ee dans le cas certain e´ tait de : q∗ = 490. Le probl`eme de la d´etermination du stock de s´ecurit´e est quant a` lui r´esolu en prenant pour point de commande s le niveau de recompl`etement S qui minimise le coˆut d’une gestion calendaire durant le d´elai d’obtention L : C(S) = cp Ip (S) + cr Ir (S) avec Ir (S), le nombre moyen d’articles non fournis durant L et Ip (S), le stock moyen poss´ed´e durant L. En moyenne, on rencontre le probl`eme de gestion calendaire : 2 400 = 4, 9 fois l’an 490 ou encore tous les
490 = 58, 81 jours. 2 400 Remarquons que le stock moyen poss´ed´e Ip (S) correspond a` une immobilisation sur 59 jours et non sur les 20 jours donc le coˆut unitaire de possession est de : 288
c0p = 6 × 0, 2042 F/article/59 jours. En effet, un article encore en stock a` l’issue des 20 jours du d´elai d’obtention augmentera d’une unit´e la valeur du stock durant toute la dur´ee d’´ecoulement de la suivante commande, c’est-`a-dire durant 59 jours. D’o`u la fonction objectif : C(S) = 6 × 0, 2042Ip (S) + 10Ir (S) En utilisant la gestion calendaire, on d´eduit : c0p P (X > S ) = cr + c0p /2 6 × 0, 2042 = = 0, 115 10 + 6 × 0, 2042/2 ∗
La demande X durant le d´elai d’obtention de 20 jours est une N(167,50). On lit dans la table de la normale N(0,1) : P (Z > 1, 2004) = 0, 115 D’o`u 1, 2004 =
S ∗ − 167 50
D’o`u finalement S ∗ = 227
Section 4.4. Cas d’une demande al´eatoire
4.4.2
61
Cons´equences e´ conomiques du choix
Le stockde s´ecurit´e estd´efini comme diff´erence entreleniveauderecompl e` tement et la demande moyenne durant L et vaut ici : 227 − 167 = 60 articles. Le nombre moyen de commandes d´epend uniquement de q et se calcule par la formule : D 2400 Ic(q) = = = 4, 898 commandes. q 490 Le nombre moyen de ruptures au cours d’un cycle, not´e Irc, se calcule par la formule de la gestion calendaire : Irc (s = 227) = σ × g(tS = 1, 2) = 50 × 0, 0561 = 2, 81 Or le nombre de cycles est e´ gal au nombre de commandes Ic(q). Le nombre moyen de ventes manqu´ees par an s’´el`eve donc a` : Ir (s, q) = Ic(q)Irc(s) = 4, 898 × 2, 81 = 13, 76 articles Le calcul du stock moyen poss´ed´e est plus compliqu´e car il d´epend a` la fois de s et de q. On peut montrer (voir Giard [5], chapitre 4, relation (20), p 277) que : 1. en cas de ventes manqu´ees perdues : Ip (s, q) =
q I c(s) + (s − DL) + r 2 2
Le coˆut de gestion correspondant vaut : C(s, q) = cc
D q cp D + cp ( + s − DL) + ( + cr )Irc (s) q 2 2 q
2. en cas de ventes manqu´ees diff´er´ees : Ip (s, q) =
q DL c + (s − DL) + I (S) 2 2q r
o`u Irc (s) note le nombre moyen de ruptures par cycle (durant le d´elai d’obtention). Le coˆut de gestion correspondant vaut : C(s, q) = cc
D q cp L D + cp ( + s − DL) + ( + cr ) Irc (s) q 2 2 q
Chapitre 4. La gestion par point de commande
62
Dans le cas pr´esent, les ventes manqu´ees sont suppos´ees perdues pour le supermarch´e et donc le stock moyen poss´ed´e se calcule par la formule suivante : q Irc(s) Ip (s, q) = + (s − DL) + 2 2 490 2, 81 = + 60 + 2 2 = 306, 405 On en d´eduit le coˆut de gestion total suivant : C(s, q) = cc Ic (q) + cp Ip (q, s) + cr Ic (q)Irc (s) 2 400 2 400 = 300 + 6 × 306, 4 + 10 2, 81 490 490 = 1 469, 39 + 1 838, 43 + 137, 63 = 3 445, 45 La marge nette moyenne annuelle est obtenue en soustrayant a` la marge annuelle sur la demande moyenne le coˆut de gestion annuel : B(s, q) = mu D − C(s, q) = 24 000 − 3 445, 45 = 20 554, 54 On utilise e´ galement un indicateur appell´e le taux de rotation du stock. D´efinition 4.1 On d´efinit le taux de rotation du stock comme le quotient de la demande moyenne sur le stock moyen poss´ed´e. Dans le cas de l’exemple, il se calcule comme suit : r=
D 2 400 = = 7, 83 Ip 306, 4
Le lecteur int´eress´e touvera dans Giard [5] de nombreuses am´eliorations du mod`ele vu ici, notamment : • La politique optimale (q, s) dans le cas de demande et d´elai d’obtention al´eatoires, • La prise en compte de l’interd´ependance entre articles, • La prise en compte de rabais uniformes, • La prise en compte de rabais progressifs, • ...
Section 4.5. Exercices
4.5
63
Exercices
4.1. Vente de verre de cristal. Le rayon cristal d’un grand magasin vend chaque semaine 150 boˆıtes du mod`ele “Elite”. Le coˆut d’achat d’une boˆıte de verres est de 8 EURO. Le coˆut associ´e a` une commande est e´ valu´e a` 30 EURO. Le d´elai de livraison est de deux semaines. Le coˆut de possession utilis´e ne fait intervenir qu’un coˆut d’opportunit´e, lequel se calcule a` l’aide d’un taux annuel de 15 %. On suppose que la demande est une certaine et qu’il n’est pas possible d’avoir de rupture de stock. On suppose e´ galement que l’ann´ee comporte 52 semaines, le magasin restant ouvert toute l’ann´ee. (a) Calculez la commande optimale. (b) Quel est l’intervalle entre deux passations de commandes successives ? (c) D´eterminez le point de commande. (d) Calculez le coˆut de gestion de stock correspondant a` cette solution optimale. 4.2. Vente de verre de cristal en univers al´eatoire. La demande hebdomadaire de boˆıtes de verres en cristal n’est maintenant plus consid´er´ee comme certaine, mais comme al´eatoire. Elle suit une loi normale de moyenne 150 et d’´ecart-type 50. Le coˆut d’achat d’une boˆıte de verres est toujours de 8 EURO, et le coˆut associ´e a` une commande est toujours e´ valu´e a` 30 EURO. Le prix de vente d’une boˆıte de verres est de 10 EURO. Le d´elai de livraison est toujours de deux semaines. Le taux annuel est de 15 %. Le magasin est ouvert 52 semaines par an. (a) D´eterminez la quantit´e a` commander r´eguli`erement. (b) Calculez le nouveau point de commande. (c) D´eterminez le nombre moyen annuel de boˆıtes de verres que le grand magasin n’a pas e´ t´e en mesure de vendre. (d) D´eterminez le stock moyen poss´ed´e. (e) En d´eduire le coˆut de gestion annuel. 4.3. Vente de verres plat. Un vitrier doit d´ecider de la commande de verre plat 4 mm a` passer aupr`es de son grossiste. La demande pour le verre plat est suppos´ee uniforme sur l’ann´ee. Il vend 200 m2 par an a` un prix de vente unitaire de 30 EURO par m2 , lui-mˆeme l’ach`ete aupr`es de son grossiste a` 20 EURO par m2 . Le d´elai d’obtention est d’une semaine. Le coˆut de passation d’une commande est de 200 EURO. Il est ind´ependant de la quantit´e command´ee. Le taux d’int´erˆet annuel est de 10 %.
64
Chapitre 4. La gestion par point de commande (a) Quelle est la quantit´e a` commander r´eguli`erement ? (b) A partir de quel niveau de stock faut-il passer commande ?
4.4. Vente par correspondance. Une soci´et´e sp´ecialis´ee dans le vente par correspondance a un article peu vendu. Il s’agit d’un matelas orthop´edique. La demande mensuelle de cet article suit une loi de Poisson de moyenne 8. L’acheteur responsable de l’approvisionnement h´esite entre trois syst`emes : (a) La gestion calendaire avec une p´eriode de r´evision calendaire de deux mois. Lecoˆutdecommandeestestim´ e a` 20EURO,leproduit estachet´e 200 EURO et revendu 350 EURO (y compris le coˆut moyen de transport vers le client de 50 EURO). La r´egularit´e de l’approvisionnement permet d’avoir un d´elai d’obtention insignifiant. Une demande non satisfaite est diff´er´ee avec un coˆut de 10 EURO (frais administratifs). (b) Une gestion dutype quantit´e e´ conomique decommande -pointdecommande avec les mˆemes coˆuts que pr´ec´edemment, mais avec cette fois, du fait de l’irr´egularit´e de l’approvisionnement, un d´elai d’obtention de 15 jours environ. (c) Servir d’interm´ediaire en r´epercutant au fournisseur la commande, ce qui permet a` l’entreprise de vente par correspondance de percevoir une commission de 50 EURO. L’entreprise estime que la rentabilit´e marginale de son capital est de 24 %. Apr`es e´ tude du b´en´efice net dans les trois cas, que pr´econisez-vous ?
Partie II Les d´ecisions tactiques
65
Chapitre 5 La planification de la production 5.1
Introduction
La planification de la production consiste en la r´egulation a` moyen terme de la production. C’est donc une d´ecision tactique. Elle fait le lien entre les d´ecisions op´erationnelles a` court terme et les d´ecisions strat´egiques a` long terme. La planification de la production s’adresse uniquement au cas de la production en s´erie. Elle ne s’applique donc pas au cas de la production en s´erie unitaire. Il existe deux types d’approches en planification de la production : • la planification des besoins en composants qui vise a` e´ tablir une programmation pr´evisionnelle des composants; • la planification juste a` temps dont le principe fondamental est de produire la quantit´e strictement n´ecessaire aux besoins imm´ediats du client. La planification des besoins en composants ou M.R.P. (Material Requirement Planning) cherche a` e´ tablir la programmation de la production sur base d’un syst`eme d’information. Partant des donn´ees physiques (stocks disponibles, livraisons attendues, demandes pr´evisionnelles, capacit´es de production,. . . ) et des donn´ees comptables (coˆuts de production, d’approvisionnement, de rupture), on e´ tablit un plan de production qui d´etermine pour chaque p´eriode les quantit´es a` produire par produit, les quantit´es fabriqu´ees dans chaque centre productif, le niveau de stock en produits semi-finis et finis et l’utilisation des facteurs travail et machines. L’utilisation des techniques d’optimisation aboutit a` une programmation pr´evisionnelle : on utilisera la programmation dynamique lorsque l’on a une demande dynamique certaine ne portant que sur un seul article et la programmation lin´eaire dans le cas statique portant sur plusieurs produits.
67
Chapitre 5. La planification de la production
68
5.2
La planification des besoins en composants
Illustrons le principe de la planification des besoins en composants sur un exemple tir´e de Giard [5] : il s’agit d’un exemple d’assemblage de trois v´ehicules a` moteur. La planification des besoins en composants n´ecessite l’existence des e´ l´ements suivants : 1. Une nomenclature compl`ete : c’est-`a-dire une codification de tous les composants qui permet d’´ecrire le sch´ema arborescent du tableau 5.1. Dans l’exemple, pour faire une voiture (T27), il faut une boˆıte de vitesse (E1001), elle mˆeme constitu´ee d’un engrenage (E2010), lui-mˆeme constitu´e de divers e´ l´ements (E3047 et E3052). Niveau 0 -E1001 (1) T27 -E1010 (1) ... -E1001 (1) T28 -E1020 (1) ... -E1004 (1) -E1020 (1) T29 ...
Niveau 1 E1001
(
-E2010 (1) ...
E1004
(
-E2040 (1) ... ...
Niveau 2 -E3047 (1) E2010 -E3052 (1) ... -E3047 (2) E2040 -E3052 (2) ... ...
Tableau 5.1: D´ecomposition en composants 2. Un plan directeur de production : le plan directeur de production est le plan de mise a` disposition de produits finaux. Il peut e´ galement comporter le plan de mise a` disposition de sous-ensembles ou de composants vendus comme pi`eces d´etach´ees. Le plan directeur de production donn´e au tableau 5.2 pr´evoit uniquement la mise a` disposition des produits finaux. P´eriode Demande T 27 Demande T 28 Demande T 29
17 18 7 11 10 9 4 8
19 6 4 3
20 21 15 8 10 7 5 12
22 11 14 2
23 24 12 7 8 8 8 7
Tableau 5.2: Plan directeur de production.
Section 5.2. La planification des besoins en composants
69
3. Un syst`eme d’information sur les stocks qui pemet de connaˆıtre l’´etat exact du stock de chaque composant en d´ebut de chaque p´eriode. Les stocks initiaux sont donn´es au tableau 5.3. Element E1001 E1004 E2010 E2040 E3047
S15 17 4 10 0 0
LA16 0 0 20 0 0
LA17 30 11 0 17 0
Tableau 5.3: Stock initiaux et livraisons attendues. 4. Un fichier des livraisons attendues : c’est-`a-dire donnant le nombre de pi`eces r´esultant de commandes du pass´e qui n’ont pas encore e´ t´e livr´ees. Elles sont donn´ees au tableau 5.3. 5. Un fichier des d´elais d’obtention : le d´elai d’obtention e´ tant la somme des temps op´eratoire, de lancement de production et d’attente entre deux productions. Il s’agit d’un temps pour une production d’un lot de taille standard auquel on peut ajouter un d´elai de s´ecurit´e. Les d´elais d’obtention sont donn´es au tableau 5.4. Element T 27 T 28 T 29 E1001 E1004 E2010 E2040 E3047
D´elai d’obtention 1 semaine 1 semaine 1 semaine 1 semaine 2 semaines 1 semaine 2 semaines 1 semaine
Tableau 5.4: D´elais d’obtention. 6. Fichier des capacit´es des centres de production pour chaque p´eriode de l’horizon de planification. 7. Existence de r`egles de priorit´e en cas de surcharge.
Chapitre 5. La planification de la production
70
5.3
Principes de base de la MRP
La logique de calcul de la MRP consiste a` l’utilisation en cascade • de la d´etermination des besoins nets d’un composant; • de la mani`ere de couvrir ces besoins.
5.3.1
D´etermination des besoins nets d’un composant
Illustrons ceci sur l’exemple du composant de niveau un E1001. Pour ce composant, sa demande e´ mane des demandes de T27 et T28. Au niveau 0, les lancements programm´es sont d´etermin´es conform´ement au plan directeur de production donn´e au tableau 5.2. On suppose ici un d´elai d’assemblage d’une semaine pour les trois mod`eles (voir tableau 5.4). On suppose e´ galement qu’au niveau z´ero, il n’y a pas de stock initial ni de livraisons attendues. Au niveau z´ero, on fait du lot par lot, c’est-`a-dire que l’on met en production exactement la demande. Ceci conduit aux lancements de productions de niveau z´ero du tableau 5.5. P´eriode
16 17
18
19 20
21
22 23
Lancements T 27
7
11
6
15
8
11
12
7
Lancements T 28
10
9
4
10
7
14
8
8
Lancements T 29
4
8
3
5
12
2
8
7
Tableau 5.5: Lancements de production de niveau z´ero. On peut en d´eduire les besoins bruts du composant E1001 puisqu’il est utilis´e a` raison de un par T27 et de un par T28. Les besoins bruts du composant E1001 sont donn´es au tableau 5.6. Ces besoins bruts ne correspondent pas a` la production P´eriode
16 17
18 19
20
21 22
23
Besoins Bruts pour T27
7
11
6
15
8
11 12
7
Besoins Bruts pour T28
10
9
4
10
7
14
8
8
10 25
15
25 20
15
Besoins Bruts totaux
17 20
Tableau 5.6: Besoins bruts en composant E1001.
Section 5.3. Principes de base de la MRP
71
qu’il est n´ecessaire de mettre en route, compte tenu du stock initial disponible pour cette r´ef´erence et des e´ ventuelles livraisons attendues. Les livraisons attendues sont des quantit´es r´esultant de pr´ec´edents ordres de lancement de production mais qui n’ont pas encore e´ t´e livr´ees. La position initiale du stock en p´eriode 16 est la position finale du stock en fin de p´eriode 15. Ces informations sont reprises au tableau 5.7. P´eriode
15 16
17 18
19
20 21
22
23
Besoins bruts
17
20 10
25
15 25
20
15
Livraisons attendues
0
30
0
0
0
0
0
0
0
10
0
-
-
-
-
-
0
0
0
25
20
15
Stocks final Besoins nets
17
15 25
Tableau 5.7: Besoins nets en composant E1001. Formalisons math´ematiquement la d´etermination des besoins nets, c’est-`a-dire ceux qui vont n´ecessiter de nouveaux ordres de lancement de production. La position du stock en fin de p´eriode t, not´ee P St , se calcule comme la position du stock en fin de p´eriode pr´ec´edente, accrue des livraisons attendues en d´ebut de p´eriode t, not´ees LAt , et diminu´ee de la demande de la p´eriode (les besoins bruts, not´es BBt ) : + P St = [P St−1 + LAt − BBt ] o`u [x]+ = max{0, x}. Les besoins nets de la p´eriode t, not´es BNt , se calculent comme la diff´erence entre les besoins bruts et la somme des livraisons attendues et du niveau initial du stock de la p´eriode. Bien sˆur, il n’y a de besoin de mise en production que si le r´esultat est positif ce qui conduit a` la formule suivante : BNt = [BBt − LAt − P St−1 ]+ Les besoins nets pour le composant E1001 sont d´etermin´es au tableau 5.7
5.3.2
D´etermination de la couverture des besoins nets
En planification de la production, on suppose que les besoins nets sont connus suffisamment a` l’avance pour e´ viter toute rupture. La d´etermination de la quantit´e a` livrer pour satisfaire les besoins nets repose donc sur un arbitrage entre • les coˆuts de lancement de production;
Chapitre 5. La planification de la production
72 • les coˆuts de possession.
Nous verrons au chapitre 6 une m´ethode qui permet de faire cet arbitrage : il s’agit de la programmation dynamique. A ce niveau-ci, nous allons faire du lot par lot, ce qui conduit aux lancements de production illustr´es au tableau 5.8. P´eriode
16
17
18 19
20
21 22
23
Livraisons attendues
0
30
0
0
0
0
0
0
Besoins nets
0
0
0
25
15
25 20
15
Lancements de production
30
0
25 15
25
20 15
0
Tableau 5.8: Lancement de production en composant E1001. Pour d´eterminer les lancements de production, on a tenu compte du d´elai d’obtention, suppos´e ici de 1 semaine. Remarquez que le lancement de 30 en p´eriode 16 provient non pas d’une livraison programm´ee de p´eriode 17 mais bien d’une livraison attendue de p´eriode 17. Remarquez e´ galement que, dans la d´etermination des lancements de production, il faudra tenir compte des capacit´es de production. Dans le cas o`u ces capacit´es sont d´epass´ees, on proc´edera a` un ajustement charge-capacit´e comme nous le verrons plus loin.
5.3.3
Utilisation en cascade de la logique de calcul
Maintenant que cet e´ ch´eancier de lancement de production est d´etermin´e pour le composant de niveau un E1001, il va eˆ tre utilis´e a` un niveau sup´erieur pour calculer l’´ech´eancier des demandes brutes des composants de niveau sup´erieur. Ainsi, le composant E1001 (par exemple, une boˆıte de vitesse) utilise le composant de niveau un E2010 (un engrenage). On applique la d´emarche de calcul que nous venons de voir en cascade : • a` toutes les r´ef´erences de niveau 0 (produits finaux); • puis a` celles de niveau 1; • puis a` celles de niveau 2; • . . . etc.
Section 5.3. Principes de base de la MRP
P´eriode
73
16 17
18
19 20
21
22 23
T 27
7
11
6
15
8
11
12
7
T 28
10
9
4
10
7
14
8
8
T 29
4
8
3
5
12
2
8
7
Tableau 5.9: Lancements programm´es de niveau z´ero. Illustrons ceci sur l’exemple. Au niveau 0, les lancements programm´es (cfr tableau 5.9) sont d´etermin´es conform´ement au plan directeur de production. Au niveau 1, les lancements du composant E1001, de d´elai de fabrication L=1, sont d´etermin´es conform´ement au tableau 5.10. Ce composant est utilis´e a` raison P´eriode
15 16
17
18 19
20 21
22
23
Besoins Bruts pour T27
7
11
6
15
8
11
12
7
Besoins Bruts pour T28
10
9
4
10
7
14
8
8
Total
17
20
10 25
15 25
20
15
Livraisons attendues
0
30
0
0
0
0
0
0
0
10
0
0
0
0
0
0
Besoins nets
0
0
0
25
15 25
20
15
Lancements de production
30
0
25 15
25 20
15
-
Stocks
17
Tableau 5.10: Lancements en composant E1001. d’une unit´e par produit T27 et d’une unit´e par produit T28. Toujours au niveau 1, les lancements du composant E1004 (de d´elai de fabrication L=2) sont d´etermin´es conform´ement au tableau 5.11. Ce composant est utilis´e a` raison d’une unit´e par produit T29. Au niveau 2, les lancements du composant E2010 (de d´elai de fabrication L=1) sont d´etermin´es conform´ement au tableau 5.12. Ce composant est utilis´e a` raison d’une unit´e par composant de niveau 1 E1001. Toujours au niveau 2, les lancements du composant E2040 (de d´elai de fabrication L=2) sont d´etermin´es conform´ement au tableau 5.13. Ce composant est utilis´e a` raison d’une unit´e par composant de niveau un E1004. Au niveau 3, leslancements du composant E3047 (de d´elai de fabrication L=1) sont d´etermin´es conform´ement au tableau 5.14. Ce composant est utilis´e a` raison
Chapitre 5. La planification de la production
74
P´eriode
15 16
17
18 19
20 21
22
23
Besoins Bruts pour T 29
4
8
3
5
12
2
8
7
Livraisons attendues
0
11
0
0
0
0
0
0
0
3
0
0
0
0
0
0
0
0
0
5
12
2
8
7
0
5
12
2
8
7
-
-
Position de stocks
4
Besoins nets Lancements de production
11
Tableau 5.11: Lancements en composant E1004.
P´eriode
16
17 18
19
20 21
22
Besoins Bruts pour E1001
30
0
25
15
25 20
15
Livraisons attendues
20
0
25
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
15
25 20
15
0
25 15
25
20 15
0
Position de stocks
15
10
Besoins nets Lancements de production
20
Tableau 5.12: Lancements en composant E2010.
P´eriode
16
17 18
19 20
21
Besoins Bruts pour E1004
0
5
12
2
8
7
Livraisons attendues
0
17
0
0
0
0
0
12
0
0
0
0
0
0
0
2
8
7
0
2
8
7
0
0
Position de stocks
15
0
Besoins nets Lancements de production
17
Tableau 5.13: Lancements en composant E2040.
Section 5.4. Ajustement charge-capacit´e
P´eriode
16
17 18
19 20
21
Besoins Bruts pour E2010
0
25 15
25 20
15
Besoins Bruts pour E2040
0
4
14
0
0
Total
0
29 31
39 20
15
Livraisons attendues
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Besoins nets
0
29 31
39 20
15
Lancements de production
29
31 39
20 15
-
Position de stocks
15
75
0
16
Tableau 5.14: Lancements en composant E3047. d’une unit´e par composant de niveau deux E2010 et de deux unit´es par composant de niveau deux E2040.
5.4
Ajustement charge-capacit´e
Lorsque leslancements de production sont d´etermin´es, on peut calculer lescharges r´esultantes pour les diff´erents ateliers. Pour que ce plan de production soit r´ealisable, il faut que la charge r´esultante respecte les capacit´es de production. Si ce n’est pas le cas, un ajustement “charge-capacit´e” est effectu´e. Illustrons ceci sur un second exemple tir´e e´ galement de Giard [5]. Supposons qu’une entreprise assemble trois produits A, B et C dans un atelier d’assemblage final (niveau 0). Cette production s’effectue a` partir de trois sous-ensembles F,G et Hassembl´esdansunautre atelierd’assemblageinterm´ediaire. Cessous-ensembles font appel aux composants V,W,X et Y dont X est achet´e a` l’ext´erieur tandis que V,W et Y sont fabriqu´es dans l’atelier d’usinage. La nomenclature est reprise au tableau 5.15. Pour cet exemple, on suppose qu’il n’y a pas de probl`eme de capacit´e au niveau 0. Le tableau 5.16 donne les capacit´es de production des ateliers de niveau 1 (assemblage interm´ediaire de F, G et H) et de niveau 2 (usinage de V, W et Y). Le plan directeur de production, donn´e au tableau 5.17, comporte les livraisons pr´evues en produits finaux mais aussi les demandes comme pi`eces d´etach´ees en sous-ensembles et en composants. Les livraisons attendues et les positions initiales de stock sont reprises au tableau 5.18.
Chapitre 5. La planification de la production
76
A utilise
(
1F 1G
1F B utilise 1G 1H C utilise
(
1G 1H
F utilise
G utilise
(
H utilise
1V 1W 2X
1W 2X 1V 1W 1X 1Y
Tableau 5.15: Nomenclature.
Janvier
F´evrier
Mars
Avril
Mai
Juin
Ass. interm.
1.150 h
1.150 h
1.150 h
1.250 h
1.250 h
1.280 h
Usinage
1.630 h
1.600 h
1.700 h
1.650 h
1.650 h
1.700 h
Juillet
Aoˆut
Septembre
Octobre
Novembre
D´ecembre
Ass. interm.
1.250 h
1.200 h
1.200 h
1.200 h
1.200 h
1.200 h
Usinage
1.600 h
1.650 h
1.650 h
1.650 h
1.650 h
1.650 h
Tableau 5.16: Capacit´es de production.
Section 5.4. Ajustement charge-capacit´e
Janvier
F´evrier
Produits finis A 10.300 12.800 B 12.600 13.400 C 17.400 20.100 Sous-ensembles F 1.500 1.400 G 1.700 1.200 H 2.000 2.300 Composants V 4.000 3.500 W 700 1.000 X 3.000 2.500 Y 1.600 1.700 Juillet
Aoˆut
Produits finis A 10.600 11.000 B 12.000 11.600 C 21.500 20.900 Sous-ensembles F 1.800 2.000 G 1.400 1.300 H 2.100 2.000 Composants V 3.500 3.400 W 1.000 1.000 X 2.500 2.500 Y 1.500 1.500
Mars
77
Avril
Mai
Juin
9.700 10.500 12.000 10.700 16.300 17.500
9.700 10.100 18.000
10.000 11.5000 19.000
1.500 1.700 1.800
1.600 1.600 1.900
2.100 1.800 2.100
1.800 1.500 2.000
3.800 1.100 2.500 1.100
3.100 900 2.500 1.500
3.600 1.100 2.500 1.500
3.600 1.300 2.500 1.500
Septembre
Octobre
Novembre
D´ecembre
13.000 10.000 11.200 11.000 20.100 19.000
10.000 11.000 19.500
10.000 11.000 19.500
1.600 1.200 2.000
1.400 1.400 2.000
1.600 1.800 2.000
1.600 1.700 2.000
3.500 1.000 2.500 1.500
3.500 1.000 2.500 1.500
3.500 1.000 2.500 1.500
3.500 1.000 2.500 1.500
Tableau 5.17: Plan directeur de production.
78
Chapitre 5. La planification de la production Janvier F´evrier Produits finis A 10.000 0 B 12.500 0 C 17.300 0 Sous-ensembles F 27.400 23.000 G 48.200 0 H 31.400 0 Composants V 56.600 55.500 W 91.200 0 X 154.000 0 Y 31.800 0 Livraisons attendues
D´ecembre Produits finis A 300 B 100 C 100 Sous-ensembles F 500 G 700 H 4.800 Composants V 500 W 500 X 1.000 Y 300 Position du stock
Tableau 5.18: Livraisons attendues et position du stock. Le coˆut horaire dans chacun des ateliers est donn´e au tableau 5.19.
Assemblage final Assemblage interm´ediaire Usinage
(Francs/heure) 90 F/h 100 F/h 150 F/h
Tableau 5.19: Coˆut horaire des ateliers. Les temps op´eratoires unitaires, les d´elais d’obtention ainsi que le coˆut des mati`eres premi`eres ajout´ees aux diff´erents e´ tapes de fabrication sont repris au tableau 5.20. Calculons les lancements du niveau assemblage final. Comme a` ce niveau, il n’y a pas de probl`emes de capacit´e, les productions programm´ees couvriront exactement les besoins nets. En tenant compte du d´elai d’obtention d’un mois, on obtient les lancements du tableau 5.21. D´eterminons maintenant les lancements de production de niveau 1. Les productions A et B utilisent 1 sous-ensemble F. A ces besoins bruts pour A et B au mois de Janvier (= 12.800 + 13.400), il faut ajouter les besoins bruts pour
Section 5.4. Ajustement charge-capacit´e
79
Temps op´eratoire
D´elai (mois)
Coˆut mati`eres premi`eres
Produits finis A 0,020 h/un B 0,010 h/un C 0,020 h/un Sous-ensembles F 0,005 h/un G 0,010 h/un H 0,020 h/un Composants V 0,005 h/un W 0,010 h/un Y 0,010 h/un X -
Produits finis A 1 mois B 1 mois C 1 mois Sous-ensembles F 2 mois G 1 mois H 1 mois Composants V 2 mois W 1 mois Y 1 mois X 1 mois
Produits finis A 5 F/un B 6 F/un C 6,5 F/un Sous-ensembles F 1 F/un G 2 F/un H 1 F/un Composants V 0,5 F/un W 0,75 F/un Y 1 F/un X 2 F/un
Tableau5.20: Tempsop´eratoires, d´elaisd’obtentionetcoˆutdesmati`erespremi`eres. pi`eces d´etach´ees (=1.500). Remarquez qu’il n’y a pas de d´ecallage pour les pi`eces d´etach´ees par rapport au plan directeur de production. Le total disponible pour satisfaire ces besoins bruts (27.900) r´esulte de l’addition de la position du stock au mois pr´ec´edent (500) et des livraisons attendues (27.400). Le niveau du stock en fin Janvier (200) r´esulte de la diff´erence entre le total disponible (27.900) et les besoins bruts (27.700). En Mars, les besoins nets de 22.600 unit´es r´esultent de la diff´erence entre les besoins bruts de 22.700 et le stock initial disponible de 100. Ces besoins nets seront couverts par une production lanc´ee deux mois plus tˆot (il faut tenir compte du d´elai de fabrication de deux mois pour F). On obtient le tableau des lancements de production illustr´e au tableaux 5.22 et 5.23. On peut maintenant calculer la charge de travail r´esultante pour l’atelier d’assemblage interm´ediaire (niveau 1). Une production de 22.600 de F au mois de Janvier occasionne une charge de : 22.600 × 0, 005 = 113 heures. Pour G, une production de 38.300 au mois de Janvier occasionne une charge de : 38.300 × 0, 01 = 383 heures. Pour H, une production de 29.900 au mois de Janvier occasionne une charge de : 29.900 × 0, 02 = 598 heures.
Chapitre 5. La planification de la production
80 Lancements de A
F´evrier
Mars
Avril
Mai
Juin
BBt 10.300 12.800 LAt 10.000 P St 300 0 0 BNt 0 12.800 LPt 10.000 12.800 9.700 Lancements de A (suite)
D´ecembre
Janvier
9.700
10.500
9.700
10.000
0 9.700 10.500
0 10.500 9.700
0 9.700 10.000
0 10.000 10.600
Aoˆut
Septembre
Octobre
Novembre
D´ecembre
BBt 10.600 11.000 LAt P St 0 0 BNt 10.600 11.000 LPt 11.000 13.000 Lancements de B
13.000
10.000
10.000
10.000
0 13.000 10.000
0 10.000 10.000
0 10.000 10.000
0 10.000 -
F´evrier
Mars
Avril
Mai
Juin
BBt 12.600 13.400 LAt 12.500 P St 100 0 0 BNt 0 13.400 LPt 12.500 13.400 12.000 Lancements de B (suite)
12.000
10.700
10.100
11.500
0 12.000 10.700
0 10.700 10.100
0 10.100 11.500
0 11.500 12.000
Juillet
D´ecembre
Janvier
Aoˆut
Septembre
Octobre
Novembre
D´ecembre
BBt 12.000 11.600 LAt P St 0 0 BNt 12.000 11.600 LPt 11.600 11.200 Lancements de C
Juillet
11.200
11.000
11.000
11.000
0 11.200 11.000
0 11.000 11.000
0 11.000 11.000
0 11.000 -
F´evrier
Mars
Avril
Mai
Juin
BBt 17.400 20.100 LAt 17.300 P St 100 0 0 BNt 0 20.100 LPt 17.300 20.100 16.300 Lancements de C (suite)
16.300
17.500
18.000
19.000
0 16.300 17.500
0 17.500 18.000
0 18.000 19.000
0 19.000 21.500
Aoˆut
Septembre
Octobre
Novembre
D´ecembre
21.500 20.900
20.100
19.000
19.500
19.500
0 0 21.500 20.900 20.900 20.100
0 20.100 19.000
0 19.000 19.500
0 19.500 19.500
0 19.500 -
D´ecembre
Janvier
Juillet
BBt LAt P St BNt LPt
Tableau 5.21: Lancement de production (niveau 0).
Section 5.4. Ajustement charge-capacit´e
81
D´etermination des lancements de F D´ec.
Janvier
F´evrier
Mars
Avril
Mai
12.800 9.700 10.500 BB pour B 13.400 12.000 10.700 BB pour pdt 1.500 1.400 1.500 BB totaux 27.700 23.100 22.700 LA 27.400 23.000 PS 500 200 100 0 BN 0 0 22.600 LP 22.600 21.400 23.600 D´etermination des lancements de F (suite)
9.700 10.100 1.600 21.400
10.000 11.500 2.100 23.600
0 21.400 24.400
0 23.600 24.400
Octobre
Novembre
10.600 11.000 13.000 12.000 11.600 11.200 1.800 1.800 2.000 24.400 24.400 26.200
10.000 10.000 11.000 11.000 1.600 1.400 22.600 22.400
10.000 11.000 1.600 22.600
0 0 0 BN 24.400 24.400 26.200 LP 26.200 22.600 22.400 D´etermination des lancements de G
0 0 22.600 22.400 22.600 -
0 22.600 -
BB pour A
Juin BB pour A BB pour B BB pour pdt BB totaux
Juillet
Aoˆut
Septembre
LA PS
D´ec. BB pour A BB pour B BB pour C BB pour pdt BB totaux LA PS BN LP
700
Janvier
F´evrier
12.800 13.400 20.100 1.700 48.000 48.200 900 0 38.300
Mars
Avril
Mai
9.700 12.000 16.300 1.200 39.200
10.500 9.700 10.700 10.100 17.500 18.000 1.700 1.600 40.400 39.400
10.000 11.500 19.000 1.800 42.300
0 38.300 40.400
0 0 40.400 39.400 39.400 42.300
0 42.300 45.600
Tableau 5.22: Lancement de production de niveau 1 a` capacit´e infinie (partie 1).
Chapitre 5. La planification de la production
82
D´etermination des lancements de G (suite) BB pour A BB pour B BB pour C BB pour pdt BB totaux
Juin
Juillet
Aoˆut
Septembre
Octobre
Novembre
10.600 12.000 21.500 1.500 45.600
11.000 11.600 20.900 1.400 44.900
13.000 11.200 20.100 1.300 45.600
10.000 11.000 19.000 1.200 41.200
10.000 11.000 19.500 1.400 41.900
10.000 11.000 19.500 1.800 42.300
0 0 41.200 41.900 41.900 42.300
0 42.300 -
LA
0 0 0 BN 45.600 44.900 45.600 LP 44.900 45.600 41.200 D´etermination des lancements de H PS
D´ec.
Janvier
F´evrier
Mars
Avril
Mai
13.400 12.000 10.700 BB pour C 20.100 16.300 17.500 BB pour pdt 2.000 2.300 1.800 BB totaux 35.500 30.600 30.000 LA 31.400 PS 4.800 700 0 0 BN 0 29.900 30.000 LP 29.900 30.000 30.000 D´etermination des lancements de H (suite)
10.100 18.000 1.900 30.000
11.500 19.000 2.100 32.600
0 30.000 32.600
0 32.600 35.500
Octobre
Novembre
12.000 11.600 11.200 21.500 20.900 20.100 2.000 2.100 2.000 35.500 34.600 33.300
11.000 11.000 19.000 19.500 2.000 2.000 32.000 32.500
11.000 19.500 2.000 32.500
0 0 0 35.500 34.600 33.300 34.600 33.300 32.000
0 0 32.000 32.500 32.500 32.500
0 32.500 -
BB pour B
Juin BB pour B B pour C BB pour pdt BB totaux
Juillet
Aoˆut
Septembre
LA PS BN LP
Tableau 5.23: Lancement de production de niveau 1 a` capacit´e infinie (suite).
Section 5.4. Ajustement charge-capacit´e
83
La charge d´ecoulant du plan directeur de production s’´el`eve donc en Janvier a` : 113 + 383 + 598 = 1.094 heures, pour une capacit´e de 1.150 heures. On respecte donc la contrainte de capacit´e. Un calcul similaire (cfr tableau 5.24) montre un exc´edent de capacit´e pour tous Assemblage interm´ediaire Janvier F´evrier Assemblage F 113 107 Assemblage G 383 404 Assemblage H 598 600 Heures assemblage 1.094 1.111 Heures disponibles 1.150 1.150 Exc`es de charge Assemblage interm´ediaire (suite) Juin Juillet Assemblage F 131 113 Assemblage G 449 456 Assemblage H 692 666 Heures assemblage 1.272 1.235 Heures disponibles 1.280 1.250 Exc`es de charge
Mars 118 394 600 1.112 1.150
Aoˆut 112 412 640 1.164 1.200
Avril 122 423 652 1.197 1.250
Mai 122 456 710 1.288 1.250 38
Septembre Octobre 113 419 423 650 650 1.182 1.200 1.200
Tableau 5.24: Charge de niveau 1. les mois sauf en Mai pour lequel il y a un d´epassement de charge de 38 heures. L’exc´edent de charge (38h) doit eˆ tre report´e de Mai a` une p´eriode ant´erieure par la constitution d’un stock. Comme on a un exc´edent de 53 h le mois pr´ec´edent, la totalit´e de l’exc´edent est report´e au mois pr´ec´edent. Dans le cas o`u il n’y aurait pas eu assez d’heures disponibles le mois pr´ec´edent, on aurait report´e encore plus en amont jusqu’`a report complet de l’exc`es de charge. La question qui se pose maintenant est la suivante : lequel des 3 sousensembles F, G ou H fera l’objet d’un transfert d’activit´e ? On va constituer le stock de valeur e´ conomique la plus faible possible. Ce calcul se fait au moyen du prix derevient descomposants. Parexemple, Vutilise 0,5 Fdemati`ere premi`ere
84
Chapitre 5. La planification de la production
et 0,005 heure a` 150 F/h. D’o`u les prix de revient unitaires : pV = 0, 5 + 0, 005 × 150
= 1, 25 F
pW = 0, 75 + 0, 010 × 150 = 2, 25 F pY = 1, 00 + 0, 010 × 150
= 2, 50 F
On peutalors calculerle prix derevient auniveau 1. Parexemple, le sous-ensemble F utilise 1 Franc de mati`ere premi`ere, 0,005 h × 100 Francs/h de travail, 1 unit´e de V (`a 1,25 Franc),1 unit´e de W (`a 2,25 Francs) et 2 unit´es de X (`a 2 Francs). Les prix de revient unitaires sont donc de : pF = 1 + 0, 005 × 100 + 1 × 1, 25 + 1 × 2, 25 + 2 × 2 = 9, 00 F pG = 2 + 0, 010 × 100 + 1 × 2, 25 + 2 × 2 = 9, 25 F pH = 1 + 0, 020 × 100 + 1 × 1, 25 + 1 × 2, 25 + 1 × 2 + 1 × 2, 5 = 11, 00 F Pour assembler 1 unit´e de F, il faut 0,005 h. Donc 200 sous-ensembles de F sont assembl´es par heure. On en d´eduit les valeurs de la production d’une heure de chacun des sous-ensembles : vphF = 9, 00 × 200 = 1.800 Francs/h vphG = 9, 25 × 100 = 925 Francs/h vphH = 11, 00 × 50 = 550 Francs/h En conclusion, il est plus int´eressant de stocker H bien qu’il ait un prix de revient unitaire plus e´ lev´e ! Le temps op´eratoire unitaire e´ tant de 0,02 h, les 38 heures d´eplac´ees correspondent a` : 38/0, 02 = 1.900 unit´es On retranche donc 1.900 a` la production initialement d´ecid´ee (35.500) pour Mai et on ajoute cette valeur a` la production initialement d´ecid´ee d’Avril (32.600). On obtient l’ajustement de niveau 1 illustr´e au tableau 5.25. Il est a` remarquer que, dans le cas pr´esent, l’exc´edent de capacit´e du mois d’Avril e´ tait suffisant pour produire tout l’exc`es de charge du mois de Mai. Dans le cas contraire, on aurait du reporter l’exc`es de charge sur les mois pr´ec´edents jusqu’`a couverture compl`ete de l’exc`es de charge. On proc´edera alors de mani`ere semblable pour le niveau deux (voir exercices ci-dessous). Et ainsi de suite pour tous les autres niveaux.
Section 5.4. Ajustement charge-capacit´e
Assemblage interm´ediaire Janvier F´evrier Lancements F 22.600 21.400 Lancements G 38.300 40.400 Lancements H 29.900 30.000 Assemblage F 113 107 Assemblage G 383 404 Assemblage H 598 600 Heures d’assemblage 1.094 1.111 Heures disponibles 1.150 1.150 Exc`es de charge Ajustement Report de H Lancements de F 22.600 21.400 Lancements de G 38.300 40.400 Lancements de H 29.900 30.000 Assemblage interm´ediaire (suite) Juin Juillet Lancements F 26.200 22.600 Lancements G 44.900 45.600 Lancements H 34.600 33.300 Assemblage F 131 113 Assemblage G 449 456 Assemblage H 692 666 Heures d’assemblage 1.272 1.235 Heures disponibles 1.280 1.250 Exc`es de charge Ajustement Report de H Lancements F 26.200 22.600 Lancements G 44.900 45.600 Lancements H 34.600 33.300
85
Mars 23.600 39.400 30.000 118 394 600 1.112 1.150
Avril 24.400 42.300 32.600 122 423 652 1.197 1.250
23.600 39.400 30.000
+38 +1.900 24.400 42.300 34.500
Aoˆut 22.400 41.200 32.000 112 412 640 1.164 1.200
22.400 41.200 32.000
Mai 24.400 45.600 35.500 122 456 710 1.288 1.250 38 -38 -1.900 24.400 45.600 33.600
Septembre Octobre 22.600 41.900 42.300 32.500 32.500 113 419 423 650 650 1.182 1.200 1.200
22.600 41.900 32.500
Tableau 5.25: Ajustement charge-capacit´e de niveau 1.
42.300 32.500
Chapitre 5. La planification de la production
86
5.5
Exercices
5.1. Planning de production d’un moteur. Un industriel cherche a` e´ tablir son planning deproduction pour lesquatrepremiers mois del’ann´eed’un moteur C intervenantdans l’assemblagedes trois typesdemachines MA, MBetMC. Le plan directeur de production pr´evoit la mise a` disposition les six premiers mois de l’ann´ee des quantit´es suivantes pour les trois types de machines : Mois MA MB MC
Janvier F´evrier Mars 3 1 2 1 3 1 2 4 1
Avril Mai 1 7 5 4 5 6
Juin 3 2 0
Le moteur doit eˆ tre mont´e dans l’avant dernier mois d’assemblage pour MA et MB et dans le dernier mois d’assemblage pour MC. Le stock en d´ebut de janvier est de 2 moteurs C et on pr´evoit une livraison de 5 moteurs C en janvier. D´eterminez les besoins nets de moteurs C pour les quatre premiers mois de l’ann´ee. 5.2. A partir de l’ajustement charge-capacit´e de niveau 1 donn´e au tableau 5.25, d´eduire les besoins bruts pour les composants de niveau 2 (V, W, X, et Y). Ensuite, calculer les besoins nets pour ces composants et en d´eduire les lancements de production pour ces composants a` capacit´e infinie. 5.3. V´erifier si les charges r´esultantes n’exc`edent pas la capacit´e de l’atelier de niveau 2. Si c’est le cas, on proc´edera a` un ajustement charge-capacit´e de niveau deux.
Chapitre 6 La programmation dynamique. La programmation dynamique a pour but de traiter les mod`eles o`u une s´equence optimale de d´ecisions doit eˆ tre prise. Elle est largement utilis´ee en planification de la production. En particulier, pour r´esoudre le probl`eme non r´esolu au chapitre 5 de la d´etermination des lancements de production a` partir des besoins nets d’un composant. Il s’agit de faire l’arbitrage entre les coˆuts de lancement de production et les coˆuts de possession du stock. Nous verrons comment ce probl`eme peut eˆ tre formul´e comme un probl`eme dynamique. L’id´ee g´en´erale des proc´edures de r´esolution en programmation dynamique est la suivante. On part d’un sous probl`eme, celui de derni`ere e´ tape, dont la r´esolution esttriviale. Ensuite, et enproc´edant a` rebours, on e´ tendprogressivement le probl`eme en incluant les e´ tapes pr´ec´edentes et en calculant la politique optimale a` chaque e´ tape en se basant sur la politique optimale de l’´etape suivante. Cette proc´edure sera appliqu´ee a` la planification de la production.
6.1
Le probl`eme du voyageur
Un exemple purement fictif, tir´e de Hillier et Lieberman [7], va nous permettre d’introduire la terminologie employ´ee en programmation dynamique. Il s’agit du probl`eme du voyageur devant traverser l’ouest am´ericain il y a plus d’un si`ecle. Son point de d´epart et sa destination sont connus. Il effectue son voyage en quatre e´ tapes. A chaque e´ tape, il a le choix de se diriger vers plusieurs e´ tats. A la figure 6.1, on a repr´esent´e chaque e´ tat par un cercle. Son e´ tat de d´epart est l’´etat 1 et son e´ tat d’arriv´ee est l’´etat 10. Le voyageur souscrit a` chaque e´ tape une police d’assurance dont le coˆut refl`ete le degr´e d’ins´ecurit´e du voyage. Ceux-ci sont donn´es au tableau 6.1. Il va donc d´eterminer son itin´eraire de mani`ere a` choisir la route la plus sˆure en minimisant la somme des polices d’assurance pour le passage d’´etat en e´ tat.
87
Chapitre 6. La programmation dynamique.
88 2
5 8
1
3
10
6 9
4
7
Figure 6.1: Probl`eme du voyageur
1
5
6 7
8 9 10
2
3
4
2
7
4 6
5
1 4
2
4
3
3
3
2 4
6
6 3
4
4
1 5
7
3 3
8
3
9
4
Tableau 6.1: Coˆuts d’assurance pour aller d’un e´ tat a` l’autre Notezd’abord que l’approche tr`es simple qui consiste a` chaque e´ tape a` choisir la police la moins ch`ere ne conduit pas a` une solution globalement la moins ch`ere. En effet, en suivant cette strat´egie, on choisirait le chemin 1 → 2 → 6 → 9 → 10 avec un coˆut total d’assurance de 13. Cependant en sacrifiant un peu a` la premi`ere e´ tape, on peut gagner aux e´ tapes ult´erieures. En effet, par exemple la route 1 → 4 → 6 → 9 → 10 permet un coˆut total de 11. Une autre m´ethode serait d’´evaluer toutes les routes possibles. Cependant sur ce petit exemple, elles sont d´ej`a au nombre de 3 × 3 × 2 = 18 et lorsque le nombre d’´etapes et/ou le nombre d’´etats croˆıt, cela devient vite un travail prohibitif.
C’est ici qu’intervient la programmation dynamique qui permet de calculer la solutionoptimale sansfairedel’´enum´erationexplicite. Laprogrammation dynamique commence avec une petite portion du probl`eme original, trouve la solution optimale pour cette portion du probl`eme. Ensuite on e´ largit progressivement le probl`eme, en d´eterminant la nouvelle solution optimale a` partir de la pr´ec´edente. Pour le probl`eme du voyageur, on consid`ere le probl`eme de fin de voyage, lorsqu’il n’y a plus qu’une e´ tape a` faire. Pour ce probl`eme la solution optimale est e´ vidente : le voyageur doit aller directement a` sa destination, l’´etat 10. A l’it´eration suivante, on e´ largit d’une unit´e le nombre d’´etapes a` effectuer. On peut ensuite d´eduire la strat´egie optimale pour la troisi`eme e´ tape en fonction de la strat´egie optimale pour
Section 6.1. Le probl`eme du voyageur
89
la derni`ere e´ tape. Enprogrammation dynamique, deux types devariables sont associ´ees a` chaque e´ tape. La variable st indique l’´etat du syst`eme au d´ebut de l’´etape t. Cette variable doit contenir toute l’information r´esultant des choix effectu´es aux e´ tapes pr´ec´edentes. La variable xt indique la d´ecision strat´egique prise a` l’´etape t. Ainsi, dans notre exemple, notons st l’´etat de d´epart de l’´etape t tandis que xt note la destination de l’´etape t. On note par ft (st , xt ) le coˆut total de la meilleure strat´egie pour les e´ tapes restantes, si l’on se trouve au d´ebut de l’´etape t dans l’´etat du syst`eme st et que l’on prend xt comme d´ecision strat´egique a` l’´etape t. Notons par x∗t la valeur de xt qui minimise ft (st , xt ) et ft∗ (st ) la valeur minimum correspondante. On a donc que : ft∗ (st ) = min ft (st , xt ) = ft (st , x∗t ) xt
Ainsi, dans notre exemple, ft (st , xt ) note le coˆut total de la meilleure strat´egie pour les e´ tapes restantes si le voyageur est dans l’´etat st a` l’´etape t et s´electionne comme e´ tat suivant l’´etat xt . La programmation dynamique va d´eterminer successivement f4∗ (s4 ), f3∗ (s3 ), chaque e´ tat possible st a` l’´etape t et utiliser par exemple f1∗ (s1 ). Nous allons maintenant appliquer ceci a` l’exemple du voyageur. Pour t = 4, c’est-`a-dire lorsque le voyageur n’a plus qu’une e´ tape a` effectuer pour rejoindre sa destination, sa route est enti`erement d´etermin´ee par son e´ tat courant s4 (ici s4 = 8 ou 9) et sa destination finale x4 = 10. Le tableau 6.2 reprend les coˆuts minimaux de la derni`ere e´ tape ainsi que la d´ecision optimale en fonction de l’´etat de d´epart. f2∗ (s2 ), f1∗ (s1 ) pour f2∗ (s2 ) pour calculer
s x∗4 f4∗ (s) 8 10 3 9 10 4 Tableau 6.2: Coˆuts minimaux de la derni`ere e´ tape Lorsque le voyageur a encore deux e´ tapes a` effectuer (t = 3), la solution requi`ere un peu plus de calculs. Si, par exemple, le voyageur est dans l’´etat 5, il peutaller a` l’´etape3 vers l’´etat8 ou9 a` uncoˆutrespectifde c5,8 = 1 ou c5,9 = 4. S’il choisit l’´etat 8, le coˆut additionnel qu’il va encourir pour rejoindre sa destination a` partir de l’´etat 8 est donn´e dans la table 6.2, il s’agit de f4∗ (8) = 3, de sorte que son coˆut total est de 1 + 3 = 4. Semblablement, s’il choisit l’´etat 9, il devra additionner 4 + 4 = 8. Et donc l’´etat qu’il va choisir comme destination est l’´etat 8, donc x∗3 = 8, qui donne un coˆut minimum pour le chemin qui reste a` parcourir
90
Chapitre 6. La programmation dynamique.
de f3∗ (5) = 4. On proc`ede de mˆeme pour les autres e´ tats possibles a` l’´etape 3, c’est-`a-dire les e´ tats s3 = 6 et s3 = 7 et on obtient les valeurs donn´ees dans la table 6.3. x3 = 8 x3 = 9 x∗3 f3∗ (s3 ) s3 = 5 1 + 3 = 4 4 + 4 = 8 8 4 s3 = 6 6 + 3 = 9 3 + 4 = 7 9 7 s3 = 7 3 + 3 = 6 3 + 4 = 7 8 6 Tableau 6.3: Coˆuts minimaux de la troisi`eme e´ tape La solution pour le probl`eme o`u il reste trois e´ tapes (t = 2) est obtenue de mani`ere similaire. Elle est illustr´ee a` la table 6.4. Les e´ tats destination sont cette fois au nombre de trois : il s’agit de x2 = 5, x2 = 6 ou x2 = 7 tandis que les e´ tats de d´epart possibles sont s2 = 2, s2 = 3 ou s2 = 4. Pour les e´ tats de d´epart 2 ou 4, la destination optimale peut eˆ tre au choix 5 ou 6 puisque le coˆut total est le mˆeme. x2 = 5 x2 = 6 x2 = 7 x∗2 f2∗ (s2 ) s2 = 2 7 + 4 = 11 4 + 7 = 11 6 + 6 = 12 5 ou 6 11 s2 = 3 3 + 4 = 7 2 + 7 = 9 4 + 6 = 10 5 7 s2 = 4 4 + 4 = 8 1 + 7 = 8 5 + 6 = 11 5 ou 6 8 Tableau 6.4: Coˆut minimaux de la deuxi`eme e´ tape Enfin, pour terminer, le probl`eme de premi`ere e´ tape (t = 1), le coˆut minimum de la police optimale est a` nouveau donn´e en fonction de l’´etat destination de l’´etape comme la somme du coˆut de premi`ere e´ tape plus le coˆut minimum des e´ tapes ult´erieures. On obtient les r´esultats de la table 6.5. x1 = 2 x1 = 3 x1 = 4 x∗1 f1∗ (s1 ) s1 = 1 2 + 11 = 13 4 + 7 = 11 3 + 8 = 11 3 ou 4 11 Tableau 6.5: Coˆut minimaux de la premi`ere e´ tape On peut maintenant identifier une politique optimale. Pour t = 1, le voyageur doit donc se diriger initialement vers l’´etat 3 ou 4. Supposons qu’il choisisse x∗1 = 3. Pour t = 2, la strat´egie optimale pour s2 = 3 est x∗2 = 5 (voir tableau 6.4), ce qui dans l’´etape t = 3 conduit a` l’´etat s3 = 5. La strat´egie optimale pour s3 = 5 consite a` choisir x∗3 = 8 (voir tableau 6.3). On se retrouve en s4 = 8 et on choisit x∗4 = 10 a` l’´etape 4 (voir tableau 6.2). Une des routes optimales est donc 1 → 3 → 5 → 8 → 10
donnant un coˆut total minimum de f1∗ (1) = 11.
Section 6.2. Un probl`eme d’affectation de ressources rares
6.2
91
Un probl`eme d’affectation de ressources rares
Nous illustrons le fait que le champs d’application de la m´ethode de r´esolution est tr`es large sur un deuxi`eme exemple e´ galement tir´e de Hillier et Lieberman [7] : il s’agit du probl`eme de l’organisation mondiale de la sant´e. On suppose que l’O.M.S. dispose de 5 e´ quipes m´edicales disponibles qu’elle peut affecter a` 3 pays pour accroˆıtre leur niveau des soins. L’O.M.S. doit d´eterminer combien d’´equipes elle affecte a` chacun des trois pays de mani`ere a` maximiser l’efficacit´e g´en´erale de l’affectation. La mesure de l’efficacit´e est donn´ee en terme d’ann´ees-homme de vie suppl´ementaire. Ce qui est e´ quivalent a` l’augmentation de l’esp´erance de vie fois la population du pays. Ces donn´ees sont reprises au tableau 6.6. On suppose que chaque pays doit b´en´eficier d’au moins une e´ quipe. Nombre d’´equipes 1 2 3
Pays 1 45 70 90
Pays 2 Pays 3 20 50 45 70 75 80
Tableau 6.6: Milliers d’ann´ees-homme suppl´ementaires La r´esolution de ce probl`eme n´ecessite la prise de trois d´ecisions : Combien affecter d’´equipes m´edicales a` chacun des ces trois pays ? Bien qu’il n’y ait pas de succession temporelle, on peut imaginer que les trois e´ tapes d’un processus dynamique consistent en l’affectation successive aux trois pays puisque lorsqu’une e´ quipe est affect´ee a` un pays, elle n’est plus disponible pour les autres pays. On a donc identifi´e les e´ tapes. Commentidentifierles e´ tats. Autrementdit, quelleestl’informationn´ecessaire a` une e´ tape pour pouvoir d´eterminer la politique optimale ? Il s’agit simplement du nombre d’´equipes m´edicales qui restent disponibles. Notons st le nombre d’´equipes encore disponibles au d´ebut de l’´etape t. Notons pt (xt ) la mesure de l’efficacit´e de l’allocation de xt e´ quipes m´edicales au pays t. Si, comme pr´ec´edemment, on note par ft (st , xt ) la contribution a` l’objectif des e´ tapes ult´erieures a` t et de l’´etape t si l’on est dans l’´etat st et que l’on prend la d´ecision xt , on peut e´ crire : ∗ ft (st , xt ) = pt (xt ) + ft+1 (st − xt )
avec ft∗ (st ) = max ft (st , xt ) xt
Remarquez la relation de r´ecurrence liant st et st+1 : st+1 = st − xt .
Chapitre 6. La programmation dynamique.
92
∗ La relation de r´ecurrence liant fn∗ et fn+1 s’´ecrit donc :
n
o
∗ ft∗(st ) = max pt (xt ) + ft+1 (st − xt ) . xt
A l’´etape t = 3, les e´ tats possibles vont de 1 (il faut au moins une e´ quipe pour le pays 3) juqu’`a 3 (on a au moins affect´e une e´ quipe au pays 1 et une e´ quipe au pays 2). A la derni`ere e´ tape, on a int´erˆet a` affecter toutes les e´ quipes encore disponibles (voir tableau 6.7). s3 x∗3 f3∗(s3 ) 1 1 50 2 2 70 3 3 80 Tableau 6.7: Calculs de l’´etape 3 A l’´etape 2, les e´ tats possibles vont de 2 (il faut au moins une e´ quipe pour le pays 2 et une e´ quipe pour le pays 3) a` 4 (on a au moins attribu´e une e´ quipe au pays 1). De mˆeme, il faut veiller a` garder au moins une e´ quipe disponible pour le dernier pays. A la deuxi`eme e´ tape, au gain de l’´etape, il faut ajouter le gain r´esultant pour l’´etape 3 avec s3 = s2 − x2 . Le d´etail des calculs est donn´e au tableau 6.8. s2 x2 = 1 x2 = 2 x2 = 3 x∗2 f2∗ (s2 ) 2 20 + 50 = 70 − 1 70 3 20 + 70 = 90 45 + 50 = 95 − 2 95 4 20 + 80 = 100 45 + 70 = 115 = 75 + 50 = 125 3 125 Tableau 6.8: Calculs de l’´etape 2 De mˆeme a` l’´etape 1, au gain de l’´etape, il faut ajouter ceux des e´ tapes suivantes avec s2 = s1 − x1 . Le d´etail des calculs est donn´e au tableau 6.9. s1 x1 = 1 x1 = 2 x1 = 3 x∗1 f1∗ (s1 ) 5 45 + 125 = 170 70 + 90 = 165 90 + 70 = 160 1 170 Tableau 6.9: Calculs de l’´etape 1 La solution optimale est donc x∗1 = 1 qui donne s2 = 5 − 1 = 4 pour la deuxi`eme e´ tape ou encore x∗2 = 3, ce qui donne s3 = 4 − 3 = 1 pour l’´etape 3 de sorte que x∗3 = 1, ce qui donne un gain de 170 000 hommes-ann´ees.
Section 6.3. Application `a la planification de la production.
6.3
93
Application a` la planification de la production.
Nous allons maintenant voir comment la programmation dynamique permet de r´esoudre des probl`emes de planification de la production en pr´esence de coˆuts de production non convexes. Illustrons ceci sur un exemple. La demande pr´evisionnelle d’un composant est donn´ee au tableau 6.10. La fabrication de ce composant n´ecessite un certain nombre de r´eglages ind´ependants du nombre d’unit´es fabriqu´ees. Le coˆut de lancement cc est de 150. Le coˆut direct d´epend de la main d’œuvre disponible. Le coˆut est de 200 en heures normales, de 250 en heures suppl´ementaires. Le tableau 6.10 donne la production maximale en heures normales et heures suppl´ementaires. On une capacit´e de stockage limit´ee P´eriode t Capacit´e de production a` 200 Capacit´e de production a` 250 Demande pr´evisionnelle
1 2 3 2
2 2 3 1
3 3 3 4
4 3 3 2
5 3 3 4
Tableau 6.10: Demande pr´evisionnelle et capacit´e de production a` 2 unit´es. Le coˆut de stockage est de 10 par unit´e stock´ee par mois. Le d´elai de fabrication est n´egligeable (L = 0). On s’interdit toute rupture de stock. Nous allons tout d’abord formuler le probl`eme en un probl`eme de programmation dynamique. Pour cela, d´efinissons la variable d’´etat de la p´eriode t suivante : st = stock au d´ebut de la p´eriode t. D´efinissons aussi la variable de d´ecision de la p´eriode t suivante : xt = production a` la p´eriode t. On d´efinit la fonction ft (st , xt ) comme e´ tant le coˆut de la meilleure planification pour les p´eriodes restantes si on est dans l’´etat st au d´ebut de la p´eriode t et que l’on d´ecide de produire xt a` la p´eriode t. Ce coˆut est la somme du coˆut de production de l’´etape t, d’un coˆut de possession du stock pendant le mois t ainsi que du coˆut des e´ tapes ult´erieures : ∗ ft (st , xt ) = cpt (xt ) + cs st + ft+1 (st + xt − dt )
o`u dt note la demande pr´evisionnelle qui est donn´ee au tableau 6.10. La fonction cpt (xt ) d´enote le coˆut de production a` l’´etape t. Ce dernier est la somme d’un coˆut fixe de lancement est de cc = 150, pour autant qu’il y ait production, et d’un coˆut
Chapitre 6. La programmation dynamique.
94
direct de main d’œuvre qui est de 200 par unit´e produite en heures normales, de 250 par unit´e produite en heures suppl´ementaires. Remarquez qu’en pr´esence de coˆut de lancement le coˆut de production n’est pas convexe. Ceci peut eˆ tre v´erifi´e a` la figure 6.2 qui illustre la fonction de coˆut pour t = 5.
cp5(x5 ) 1500 1250
250
1000 750
200
550 350 350
1
2
3
4
5
6
x5
Figure 6.2: Coˆut non convexe. La capacit´e de stockage est limit´ee a` 2 unit´es. Ce qui limitera a` trois les e´ tats du monde possibles a` chaque e´ tape. Nous allons maintenant r´esoudre le probl`eme par la programmation dynamique. A l’´etape 5, on a d5 = 4. Ce qui explique qu’il faut au moins produire 4 unit´es si s5 = 0 mais pas plus de 6 sinon le stock final sera sup´erieur a` deux unit´es. De plus la capacit´e de production est limit´ee a` six unit´es. On obtient les coˆuts suivants des diff´erentes strat´egies : d5 = 4 x5 = 2 x5 = 3 x5 = 4 x5 = 5 x5 = 6 x∗5 f5∗ (s5) s5 = 0
−
−
1.000
1.250
1.500
4
1.000
s5 = 1
−
760
1.010
1.260
−
3
760
s5 = 2
570
770
1.020
−
−
2
570
Section 6.3. Application `a la planification de la production.
95
Par exemple le coˆut de 1.000 si s5 = 0 et x5 = 4 r´esulte du seul coˆut de production qui se calcule comme suit : 150 + 3 × 200 + 250 = 1000. Le coˆut de 760 si s5 = 1 et x5 = 3 r´esulte de la somme du coˆut de stockage d’une unit´e pendant un mois et du coˆut de production des trois unit´es : 1 × 10 + 150 + 3 × 200 = 760. A l’´etape 4, on ajoute au coˆut de production de l’´etape, le coˆut des e´ tapes ult´erieures. Ainsi, dans le cas o`u s4 = 0 et x4 = 2, le coˆut correspond a` l’application de la formule : f4 (s4 , x4 ) = cp4 (x4 ) + f5∗ (s4 + x4 − d4 ) = (150 + 400) + 1.000 = 1.550 On obtient le tableau de coˆuts suivant : d4 = 2 x4 = 0 x4 = 1 x4 = 2 x4 = 3 x4 = 4 x∗4 f4∗ (s4) s4 = 0
−
−
1.550
1.510
1.570
3
1.510
s4 = 1
−
1.360
1.320
1.330
−
2
1.320
s4 = 2
1.020
1.130
1.140
−
−
0
1.020
A l’´etape 3, on d´etermine semblablement le tableau de coˆuts suivant : d3 = 4 x3 = 2 x3 = 3 x3 = 4 x3 = 5 x3 = 6 x∗3 f3∗ (s3) s3 = 0
−
−
2.510
2.570
2.520
4
2.510
s3 = 1
−
2.270
2.330
2.280
−
3
2.270
s3 = 2
2.080
2.090
2.040
−
−
4
2.040
A l’´etape 2, on a une capacit´e de production a` 200 limit´ee a` deux unit´es. On obtient le tableau de coˆuts suivant : d2 = 1 x2 = 0 x2 = 1 x2 = 2 x2 = 3 x∗2 f2∗ (s2 ) s2 = 0
−
2.860
2.820
2.840
2
2.820
s2 = 1
2.520
2.630
2.600
−
0
2.520
s2 = 2
2.290
2.410
−
−
0
2.290
Chapitre 6. La programmation dynamique.
96
A l’´etape 1, la demande est de 2 et on a le tableau de coˆuts suivant : d1 = 2 x1 = 2 x1 = 3 x1 = 4 x∗1 f1∗(s1 ) s1 = 0
3.370
3.320
3.340
3
3.320
On peut ensuite d´eterminer la politique optimale en partant de s1 = 0. En premi`ere e´ tape, la strat´egie optimale est de produire 3. La demande e´ tant de 2, on se retrouve avec un stock initial s2 = 1. La strat´egie optimale pour la deuxi`eme p´eriode est dans ce cas de ne produire rien du tout. On se retrouve avec un stock initial s3 = 0. Lastrat´egieoptimaleestdeproduire x3 = 4, c’est-`a-dire lademande de la p´eriode. On se retrouve avec un stock initial s4 = 0. La strat´egie optimale est dans ce cas de produire x4 = 3, soit une unit´e de plus que la demande. On se retrouve avec un stock initial s5 = 1 et on produit x5 = 3. La planification optimale est donc la suivante : t= 1 2 3 4 5 dt
2 1 4 2 4
st
0 1 0 0 1
x∗t
3 0 4 3 3
Remarquez qu’en p´eriode 2, on a pr´ef´er´e ne pas produire la seule unit´e demand´ee car une unit´e en premi`ere e´ tape mˆeme en heures suppl´ementaires et avec un coˆut de stockage revient mois cher (260) qu’une unit´e en heure normale a` la p´eriode 2 (350). Remarquez aussi qu’en p´eriode 4, on produit une unit´e de plus que la demande pour e´ viter de produire a` 250 en p´eriode 5 la quatri`eme unit´e demand´ee cette p´eriode. Il y a, en effet, une unit´e disponible a` 200 (+ 10 de coˆut de stockage) au mois pr´ec´edent. Signalons pour terminer qu’il existe un algorithme plus efficace dans le le cas o`u il n’y a pas de coˆut fixe et que les coˆuts marginaux sont croissants. En effet, dans ce cas, le coˆut de production devient convexe en fonction de la quantit´e produite et une proc´edure plus efficace consiste a` 1. satisfaire la demande de la premi`ere p´eriode en utilisant les moyens de production les plus avantageux de la p´eriode, et calculer les capacit´es r´esiduelles; 2. satisfaire la demande de la deuxi`eme p´eriode en utilisant les moyens de production les plus avantageux de la seconde p´eriode ou de la p´eriode pr´ec´edente, puis modifier en cons´equence les capacit´es de production r´esiduelles;
Section 6.3. Application `a la planification de la production.
97
3. satisfaire la demande de la troisi`eme p´eriode en utilisant les moyens de production les plus avantageux de la p´eriode 3 ou des p´eriodes pr´ec´edentes, puis modifier en cons´equence les capacit´es de production r´esiduelles; etc. . . Nous appliquons cette proc´edure au mˆeme exemple en supposant qu’il n’y a pas de coˆut fixe de lancement de production. En p´eriode 1, la demande est de 2. Elle est satisfaite par : -une production en p´eriode 2 a` 200 F (2 unit´es). Les demandes et capacit´es r´esiduelles sont donn´ees par : P´eriode t
1
2
3 4
5
Capacit´e r´esiduelle a` 200 F 0
2
3 3
3
Capacit´e r´esiduelle a` 250 F 3
3
3 3
3
1
4 2
4
Demande r´esiduelle
0
En p´eriode 2, la demande est de 1. Elle est satisfaite par : -une production en p´eriode 2 a` 200 F (1 unit´e). Les demandes et capacit´es r´esiduelles sont donn´ees par : P´eriode t
1
2
3 4
5
Capacit´e r´esiduelle a` 200 F 0
1
3 3
3
Capacit´e r´esiduelle a` 250 F 3
3
3 3
3
0
4 2
4
Demande r´esiduelle
0
En p´eriode 3, la demande est de 4. Elle est satisfaite par : -une production en p´eriode 3 a` 200 F (3 unit´es); -une production a` 200 F en p´eriode 2 (1 unit´e). Les demandes et capacit´es r´esiduelles sont donn´ees par : P´eriode t
1
2
3 4
5
Capacit´e r´esiduelle a` 200 F 0
0
0 3
3
Capacit´e r´esiduelle a` 250 F 3
3
3 3
3
0
0 2
4
Demande r´esiduelle
0
En p´eriode 4, la demande est de 2. Elle est satisfaite par : -une production en p´eriode 4 a` 200 F (2 unit´es).
Chapitre 6. La programmation dynamique.
98
Les demandes et capacit´es r´esiduelles sont donn´ees par : P´eriode t
1
2
3 4
5
Capacit´e r´esiduelle a` 200 F 0
0
0 1
3
Capacit´e r´esiduelle a` 250 F 3
3
3 3
3
0
0 0
4
Demande r´esiduelle
0
En p´eriode 5, la demande est de 4. Elle est satisfaite par : -une production en p´eriode 5 a` 200 F (3 unit´es); -une production a` 200 F en p´eriode 4 (1 unit´e). Les demandes et capacit´es r´esiduelles sont donn´ees par : P´eriode t
1
2
3 4
5
Capacit´e r´esiduelle a` 200 F 0
0
0 0
0
Capacit´e r´esiduelle a` 250 F 3
3
3 3
3
0
0 0
0
Demande r´esiduelle
0
Par diff´erence avecles capacit´es initiales, on obtient lescapacit´es utilis´ees a` chaque e´ tape et donc le plan optimal de production et stockage suivant : P´eriode t 1
2
3
4 5
dt
2
1
4
2 4
st
0
0
1
0 1
x∗t
2
2
3
3 3
o`u st repr´esent le stock initial de p´eriode t. Remarquez que, par rapport au cas avec coˆut de lancement, on a encore avanc´e des productions (une unit´e de demande de p´eriode 3 produite a` la p´eriode 2, et une unit´ede demandede p´eriode5 produite a` la p´eriode 4) pour b´en´eficierdes capacit´es encore disponible en heures normales qui coˆutent moins cher que la production en heures suppl´ementaires. Mais la deuxi`eme cause d’anticipation de production, a` savoir e´ viter de mettre en route une production pour une faible quantit´e, a disparu. On produit bien une unit´e en p´eriode 2 qui coˆute moins cher que de la produire en p´eriode 1 et de la stocker durant un mois.
Section 6.4. Exercices
6.4
99
Exercices
6.1. Plan de production hebdomadaire optimal. Une soci´et´e de construction automobile assemble trois types de v´ehicules T100, T110 et T180 qui utilisent tous le mˆeme moteur M200. Le d´elai d’assemblage pour les engins T100 et T110 est de deux semaines, celui de T180 de trois semaines. Le moteur M200 est mont´e durant la deuxi`empe semaine d’assemblage et ceci pour les trois v´ehicules. Au d´ebut de la douzi`eme semaine, les commandes a` honorer sont les suivantes : P´eriode t 13 T 100 3 T 110 1 T 180 2
14 1 3 2
15 16 2 1 1 0 0 2
17 1 2 1
18 3 2 0
Lafabrication dumoteurM200demandeunesemaineetlecoˆ utdelancement dans l’atelier moteurs est estim´e a` 500 F. Le coˆut variable unitaire est de 300 F pour les trois premi`eres unit´es produites au cours d’une semaine et de 400 F pour les unit´es suivantes. La capacit´e de stockage est limit´ee a` deux moteurs et le coˆut unitaire hebdomadaire de stockage est de 50 F. (a) D´eterminer les besoins nets en M200 pour les p´eriodes 13 a` 16, sachant qu’au d´ebut de semaine 13, il ne reste aucun M200 en stock. (b) D´eterminer le plan de production optimal du moteur M200 pour les semaines 12 a` 15, sachant qu’au d´ebut de semaine 12, il ne reste aucun M200 en stock. 6.2. Planification de la production de vˆetements. Une soci´et´e sp´ecialis´ee dans la fabrication de vˆetements de pluie d´ecide de lancer pour la rentr´ee un nouveau mod`ele d’imperm´eable. Les services commerciaux estiment que la demande pour la p´eriode de ventes e´ tal´ees sur les mois de novembre a` mars devrait correspondre aux estimations suivantes : P´eriode Demande
novembre d´ecembre 16.200 47.500
janvier f´evrier 28.100 16.600
mars 2.000
Le planning de production est e´ tabli en tenant compte de la possibilit´e de produire le mod`ele pendantles mois de septembre a` f´evrier. Pendant un mois quelconque, la production en heures normales s’effectue a` un coˆut moyen de 150 F, et de 175 F si l’on fait appel a` une premi`ere tranche d’heures suppl´ementaires, et a` 200 F si on fait appel a` une seconde tranche d’heures suppl´ementaires. La production quotidienne en heures normales est de 1000
Chapitre 6. La programmation dynamique.
100
imperm´eables par jour, a` laquelle peut s’ajouter 100 imperm´eables par jour si l’on fait appel a` la premi`ere tranche d’heures suppl´ementaires et autant pour la seconde. Le nombre de jours ouvrables est donn´e au tableau suivant Mois Jours
septembre octobre 22 23
novembre d´ecembre 19 21
janvier f´evrier 20 20
Le coˆut de lancement est consid´er´e comme n´egligeable. Le coˆut de stockage durant un mois d’un article est de 2 % de son coˆut de production. (a) D´eterminer les capacit´es disponibles par mois pour les trois tranches de coˆut de production. (b) D´eterminer les lancements de production sachant que le d´elai de fabrication est d’un mois. 6.3. Fabrication en heures suppl´ementaires etau moyen d’int´erimaires. Une soci´et´e dispose d’une certaine capacit´e de production en heures normales (coˆut direct de 1.000 F) et heures suppl´ementaires (coˆut direct de 1.400 F). Elle peut aussi faire appel a` des int´erimaires (coˆut de 1.800 F). La capacit´e de stockage est limit´ee a` 10 unit´es. Les capacit´es de production ainsi que les demandes pr´evisionnelles sont donn´ees au tableau suivant : P´eriode t 1 Production a` 1.000 F 15 Production a` 1.400 F 2 Production a` 1.800 F 5 Demande 12
2 12 2 5 17
3 4 10 15 1 3 5 5 13 21
5 15 3 5 18
Donnez la politique optimale de production et de stockage sachant que le taux annuel de possession utilis´e est de 24 %. Le coˆut de stockage se r´eduit au seul coˆut d’immobilisation du capital. 6.4. Ventes de livres. Un e´ diteur de livres e´ ducatifs doit d´ecider du nombre de vendeurs qu’il envoie dans chacune des r´egions du pays pour maximiser le nombre de ventes. Le tableau qui suit donne l’augmentation du nombre de ventes dans chaque r´egion en fonction du nombre de vendeurs envoy´es. Nombre de vendeurs R´egion 1 1 4 2 6 3 9 4 11
R´egion 2 3 6 8 10
R´egion 3 5 7 12 12
Il y a 6 vendeurs mais il est d´ecid´e d’en envoyer au mois un dans chaque r´egion. Formuler et r´esoudre par la programmation dynamique.
Chapitre 7 Les techniques de juste a` temps 7.1
Origine et principe du JAT
Comme le souligne Baglin et al [1], les techniques de juste a` temps trouvent leur origine dans les nouvelles exigences du march´e : • La variabilit´e de la demande : l’augmentation du nombre de mod`eles et la diminution de la dur´ee de vie des produits n´ecessitent une adaptation plus rapide des produits. • Le d´elai admissible par les clients est plus court : on ne peut donc plus produire a` la commande, c’est-`a-dire lancer une commande sp´eciale avec des d´elais longs. • La concurrence internationale impose de produire une bonne qualit´e a` un prix tr`es bas. En conclusions, ilfaut produire a` lademandeduclient, sansd´elaietencomprimant au maximum le couˆ t de fabrication. Il y a donc conflit entre la gestion en grande s´erie (qui permet de r´eduire les coˆuts de fabrication) et la gestion a` la carte (qui est beaucoup plus souple). L’id´ee du JAT est de chercher a` concilier les avantages de la grande s´erie (flux rapides et importants) avec ceux de la petite s´erie (grande adaptabilit´e). La logique fondamentale du JAT est la suivante : Production = Demande Autrement dit, on produit la quantit´e strictement n´ecessaire aux besoins imm´ediats du client. Le principe est appliqu´e de proche en proche jusqu’aux fournisseurs. Ceci entraˆıne la suppression des stocks interm´ediaires : on parle de gestion en flux
101
102
Chapitre 7. Les techniques de juste `a temps
tendus. La suppression des stocks apparaˆıt donc comme une cons´equence de la logique du JAT. Ceci va a` l’encontre des politiques traditionnelles d’organisation de la production. Le mode d’organisation traditionnel a pour objectif essentiel la recherche de la plus grande productivit´e du syst`eme. Ses cons´equences sont : 1. Pour raison d’´economie d’´echelle, on a des unit´es de fabrication de grande taille organis´ees en ateliers sp´ecialis´es. On a donc des flux importants et discontinus entre ces unit´es n´ecessitant des stock interm´ediaires. 2. Pour raison de coˆut, on met en place des capacit´es de production correspondant a` la demande moyenne qui sont satur´ees en permanence : la variabilit´e de la demande n´ecessite donc des stock de produits finis. 3. On lancedegrandess´eriespouramortir lecoˆutdelancement. Cequientraˆıne aussi des stocks importants. 4. Pour diminuer le coˆut de manutention, on transporte en grande quantit´e (camions, containers complets). Ce qui occasionne e´ galement des stocks e´ lev´es de mati`eres qui ne sont pas imm´ediatement consomm´ees. 5. Pour d´ecoupler les probl`emes, on constitue des stocks interm´ediaires. 6. A chaque stade du produit, on ajoute un d´elai d’obtention pour tenir compte des arrˆets fr´equents (contrˆole, maintenance,. . . ). Onenconclutque chacun a` tendance a` gonflerlesstocks. LeJATdevantceconstat, plutˆot que d’essayer de g´erer l’ing´erable propose de supprimer les stocks. Le fonctionnement en JAT appelle cependant les remarques suivantes : 1. Souvent, les usines ne fonctionnent que partiellement en flux tendus : en flux tendus au moment o`u l’on personnalise le produit, avec des stocks d’approvisionnement pour les pi`eces standards. 2. Les flux de production peuvent eˆ tre tir´es non par des commandes clients mais par le plan directeur de production. 3. Le JAT n´ecessite tout de mˆeme l’´etablissement d’un plan directeur de production et le calcul des besoins.
Section 7.2. Les deux approches du JAT
7.2
103
Les deux approches du JAT
Le JAT a donc un double objectif : • augmenter la r´eactivit´e du syst`eme logistique : diminuer le d´elai, diversifier la production,. . . • diminuer le coˆut global de production : en e´ liminant les gaspillages inutiles.
7.2.1
Augmenter la r´eactivit´e du syst`eme logistique
Le but est ici de pouvoir r´epondre rapidement aux variations quantitative et qualitative de la demande. Le moyen utilis´e est le suivant : pour raccourcir le cycle de fabrication, on r´eduit les stocks. • Pour r´eduire les stocks de mati`ere premi`ere, les fournisseurs doivent livrer plus souvent. • Pour r´eduire les stocks d’en-cours de production, on doit r´eduire le temps entre ateliers. • Pour r´eduire les stocks de produits finis, on doit pouvoir changer souvent de fabrication. Remarquez que, pour r´eduire les stocks, il faut s’attaquer a` leur cause : les pannes machines, les temps de r´eglage longs, etc. . .
7.2.2
La rationalisation de la production
Le but est ici d’am´eliorer la performance globale en e´ liminant les gaspillages. Le principe fondamental est que les seuls temps utiles sont ceux pendant lesquels le produit voit sa valeur s’accroˆıtre. Ainsi, les op´erations suivantes sont non productives : d´eplacer, stocker, grouper, contrˆoler,. . . Pour pouvoir diminuer ces op´erations improductives, il faut s’attaquer a` leurs causes : les d´efauts de fabrication, les retards, les pannes, les lenteurs administratives,. . . Onpeuticiciter l’imagedeTaichiOhno(deToyota) quiditque, pourtraverser une rivi`ere sans encombre, dans l’approche traditionnelle : on augmente le niveau de l’eau et on passe au dessus des e´ paves, dans l’approche JAT : on drague le fleuve, ce qui permet un niveau d’eau plus faible. En conclusions, en s’attaquant aux causes de dysfonctionnement, on am´eliore la productivit´e globale du syst`eme et on am´eliore la qualit´e des produits.
Chapitre 7. Les techniques de juste `a temps
104
7.3
Les facteurs cl´es du JAT
La r´eussite du passage d’une organisation classique a` une organisation JAT n´ecessite des m´ethodes de gestion tr`es r´eactives ainsi que la maˆıtrise des al´eas.
7.3.1
Recherche d’un plus grande r´eactivit´e
On atteindra une plus grande r´eactivit´e en augmentant la flexibilit´e de la production. On peut d´efinir la flexibilit´e comme la capacit´e du syst`eme de production a` s’adapter en permanence a` la demande. On distingue deux types de flexibilit´e : • La flexibilit´e quantitative estla capacit´e defaireface a` pointes de demande: – il faut surdimensionner la capacit´e, par exemple, en gardant les anciennes machines lors d’un renouvellement. – il faut faire appel a` la flexibilit´e de la main d’œuvre : appel aux temporaires, a` la sous-traitance, aux heures suppl´ementaires,. . . • La flexibilit´e qualitative est la capacit´e de traiter une grande vari´et´e de produits : – il faut pouvoir passer rapidement d’un produit a` l’autre : on utilisera des machines a` commandes num´eriques. – la polyvalence du personnel est e´ galement souhaitable.
7.3.2
Maˆıtrise des al´eas
Il faut ici se pr´emunir contre les causes des stocks que sont les pi`eces re¸cues d´efectueuses, les pannes machine, ainsi les retards de livraison. On visera ici le z´ero d´efaut pour les pi`eces fabriqu´ees. En effet, en l’absence de stock, le d´efaut d’une pi`ece livr´ee interrompt la chaˆıne de montage. Le z´ero d´efaut sera recherch´e par la pr´evention plutˆot que par le contrˆole a` posteriori. Il faut e´ galement assurer la fiabilit´e des e´ quipements. En effet, l’arrˆet d’une machine entraˆıne l’arrˆet de toutes les machines en aval faute d’approvisionnement. De mˆeme pour les machines en amont qui, autrement, constitueront des stocks. La fiabilit´e est obtenue par des proc´edures de maintenance pr´eventive. Enfin, il existe relation plus e´ troite entre le client et le fournisseur car le fournisseur d’une usine JAT est g´en´eralement plus conscient des cons´equences de l’envoi d’une pi`ece d´efectueuse pour le client.
Section 7.4. La m´ethode Kanban
7.4
105
La m´ethode Kanban
L’id´ee de la m´ethode est que la production soit tir´ee par l’aval : chaque poste ne travaille que pour satisfaire une demande du poste aval. L’information sur la demande du poste aval est transmise par un document appel´e Kanban (´etiquette) donnant : • la description de la pi`ece et de l’op´eration a` effectuer; • le lieu d’origine et de destination de la pi`ece; • la quantit´e par conteneur. Cette technique utilise en effet des conteneurs standards pour la circulation entre les postes. L’´etiquette est donc un ordre de fabrication des pi`eces qui • descend le flux de pi`eces (lors de la fabrication); • remonte ce flux une fois les pi`eces consomm´ees. Le rythme de fabrication est donc e´ gal a` la vitesse de circulation des e´ tiquettes qui est, elle-mˆeme, d´etermin´ee par le rythme de consommation des pi`eces. Par exemple, si la consommation vient a` se tarir, les e´ tiquettes ne remontent plus et la fabrication s’arrˆete. Pour un bon fonctionnement du syst`eme, il faut une capacit´e suffisante des postes amont pour r´epondre a` la demande : ceci n´ecessite donc en g´en´eral de pr´evoir une surcapacit´e. On distingue deux types de syst`emes Kanban : • le syst`eme a` une boucle est utilis´e lorsque les conteneurs sont conserv´es aupr`es du poste de travail. • le syst`eme a` deux boucles lorsqu’il y a passage par un stock interm´ediaire.
7.4.1
Syst`eme Kanban a` une boucle
Le fonctionnement du syst`eme Kanban a` une boucle est le suivant (cfr figure 7.1) : • L’´etiquette est appos´ee sur le conteneur de pi`eces qui viennent d’ˆetre fabriqu´ees en amont (a);
Chapitre 7. Les techniques de juste `a temps
106 (a)
(b) Transport
POSTE AMONT
entre postes
POSTE AVAL
(d) (c)
Conteneur avec étiquette
Etiquette libre
Figure 7.1: Syst`eme Kanban a` une boucle. • Elle accompagne le conteneur au poste suivant et reste sur le conteneur en attente (b); • Au momento`u leconteneur estmis enfabrication surle posteaval, le Kanban est lib´er´e et retourne au poste amont (c); • Il entre dans le planning du poste amont (d) d’o`u il sort au moment d’une nouvelle fabrication. On peut faire les remarques suivantes sur le fonctionnement du syst`eme kanban a` une boucle : 1. Tout conteneur rempli poss`ede obligatoirement une e´ tiquette (c’est-`a-dire son ordre de fabrication). 2. Une e´ tiquette libre (c’est-`a-dire non attach´ee a` un conteneur) repr´esente un ordre de fabrication pour une quantit´e fixe de pi`eces sur un poste de travail d´etermin´e. 3. Le nombre d’´etiquettes en circulation entre deux postes fixe les stocks d’en cours de fabrication : en effet, le volume des en cours, c’est-`a-dire le nombre de conteneurs entre les postes, est inf´erieur ou e´ gal au nombre d’´etiquettes en circulation. 4. En observant son planning d’´etiquettes en attente, le responsable du poste amont peut choisir ses priorit´es de fabrication d’apr`es les besoins des agents des diff´erents postes aval qu’il fournit.
Section 7.4. La m´ethode Kanban
7.4.2
107
Syst`eme Kanban a` deux boucles
Le syst`eme a` deux boucles est n´ecessaire lorsque les pi`eces ne peuvent eˆ tre stock´ees dans l’atelier par manque de place ou en cas de postes e´ loign´es. On utilise un magasin interm´ediaire pour stocker les conteneurs (cfr figure 7.2). P
POSTE AMONT
P
(d) P
P
P P
(b) P
T
T
P
POSTE AVAL
(a)
P
(c)
T
P P
Conteneur avec étiquette de production
T
Conteneur avec étiquette de transfert
Figure 7.2: Syst`eme kanban a` deux boucles. On utilisera, dans ce cas, le principe de double e´ tiquetage : • une e´ tiquette de production circule entre le poste en amont et le magasin; • une e´ tiquette de transfert circule entre le magasin et le poste aval. Son principe de fonctionnement est le suivant : • Lorsque le poste aval entame un conteneur de pi`eces, il d´etache l’´etiquette de transfert qui est remise a` un manutentionnaire qui va chercher un nouveau conteneur plein dans le magasin interm´ediaire (a). • Quand le manutentionnaire sort le conteneur du magasin, il d´etache l’´etiquette de production et la remplace par une e´ tiquette de transfert (b). • L’´etiquette de production d´etach´ee est renvoy´ee vers le planning du poste amont (c). • Les e´ tiquettes sont alors plac´ees sur les conteneurs sortant de la production du poste amont (d).
Chapitre 7. Les techniques de juste `a temps
108
7.4.3
D´etermination du nombre d’´etiquettes
Un probl`eme fondamental est la d´etermination du nombre d’´etiquettes a` mettre en circulation. Ce nombre doit, en effet, r´esulter d’un compromis entre : • un nombre pas trop e´ lev´e : sinon on g´en`ere des stocks interm´ediaires; • un nombre pas trop faible : sinon le poste aval risque de tomber en rupture. Les donn´ees du probl`eme sont les suivantes : • Cu , la consommation du poste aval en unit´es par minute; • Qe, la taille e´ conomique des lots fabriqu´es en amont; • k, la capacit´e d’un conteneur; • Tr , le d´elai de r´eaction du syst`eme lorsque le stock atteint le seuil de lancement d’une production. Ce d´elai de r´eaction comprend – le retour du ticket d’alerte vers l’amont, – l’attente au planning amont, – le r´eglage de la machine amont, – la production du premier conteneur, – le transport du conteneur jusqu’au poste aval. Le principe utilis´e pour d´eterminer le nombre d’´etiquettes est le suivant : le nombre de conteneurs dans la boucle correspond au strict minimum pour que le syst`eme fonctionne sans rupture pour le poste aval. Illustrons ceci sur un exemple tir´e de Baglin et al [1]. Soit D = 2000 pi`eces, la demande moyenne du poste aval par journ´ee de 8 heures de travail. On en d´eduit une consommation en unit´es par minute de : Cu =
2000 = 4, 1667 8 × 60
Soit k = 100 pi`eces, la capacit´e d’un conteneur plein. Soit Tr , temps de r´eaction qui r´esulte d’un temps de retour du ticket de 30 minutes (le ramassage des tickets s’effectue toutes lesheures, donc un temps moyen d’une demi heure), d’une attente moyenne de 10 minutes au planning du poste amont, d’un r´eglage de la machine de 10 minutes, d’un temps de production de 0,1 minute par pi`ece (donc 10 minutes pour 100 pi`eces), d’un temps de transport de l’amont vers l’aval de 35 minutes : Tr = 30 + 10 + 10 + 10 + 35 = 95
Section 7.4. La m´ethode Kanban
109
Pendant le temps de r´eaction, la consommation du poste aval est de : Tr Cu = 95 × 4, 1667 = 395, 83 Il en r´esultera qu’il faut au moins 4 e´ tiquettes en permanence dans le syst`eme : N≥
Tr Cu = 3, 96 k
Si l’on veut prendre une marge de s´ecurit´e de α = 10 % : (1 + α)Tr Cu 1, 1 × 395, 83 = = 4, 3541. k 100 Il faudra donc au moins 5 e´ tiquettes en permanence dans le syst`eme. N≥
Supposons maintenant que le temps de lancement en fabrication justifie une production par lot (cette taille e´ conomique est d´etermin´ee en arbitrant entre le coˆut de lancement et le coˆut de possession) au poste amont de taille optimale : Qe = 600 pi`eces, c’est-`a-dire a` 6 conteneurs (Qe/k). Il faudra donc attendre d’avoir six e´ tiquettes accroch´ees au planning du poste amont avant de pouvoir lancer en fabrication de quoi remplir le premier conteneur. Il faudra donc ajouter ces 6 conteneurs aux 5 pr´ec´edents. Le nombre de conteneurs dans la boucle correspond donc en g´en´eral a` la somme : • du stock correspondant au seuil d’alerte, c’est-`a-dire au stock permettant de faire fonctionner le poste aval durant Tr , augment´e d’une marge de s´ecurit´e α: (1 + α)Cu Tr • du lot e´ conomique Qe produit par le poste amont : Qe le tout divis´e par k, la capacit´e d’un conteneur : (1 + α)CuTr + Qe k Le r´esultat est arrondi a` l’entier sup´erieur. Ce qui donne ici : N=
N=
(1 + α)CuTr + Qe 435 + 600 = = 10, 35 k 100
Ce qui correspond a` 11 conteneurs de 100 pi`eces.
(7.1)
Chapitre 7. Les techniques de juste `a temps
110
7.5
Exercice
7.1. Flux tendus. Un atelier de fabrication de sous-ensembles approvisionne la chaˆıne de montage de petits articles e´ lectrom´enagers situ´ee dans un bˆatiment proche. La r´egularit´e de la production incite la direction a` mettre en place un syst`eme d’appel par l’aval entre ces deux postes. Les caract´eristiques de la production sont les suivantes : l’atelier fonctionne 8 heures par jour, la chaˆıne consomme 2 000 sous-ensembles par jour, il faut une heure pour r´egler la machine de l’atelier et cinq secondes pour produire une pi`ece, la taille e´ conomique des lots en amont s’´el`eve a` 500 pi`eces, la capacit´e des conteneurs est de 250 pi`eces, la manutention d’un conteneur d’un poste a` l’autre n´ecessite dix minutes, le ramassage des tickets s’effectue lors de l’approvisionnement de la chaˆıne, c’est-`a-dire toutes les heures, le temps d’attente moyen au planning amont peut eˆ tre estim´e a` trente minutes. On retiendra pour l’ensemble des calculs un coefficient de s´ecurit´e de 20 pourcents. (a) V´erifier l’´equilibre entre la charge et la capacit´e puis d´eterminer le nombre de tickets a` mettre en circulation dans la boucle. (b) Ond´ecidemaintenantder´eduirelatailledess´ eriesdefabricationde500 a` 250. Calculer le nombre de lancements r´ealis´es par jour. Comparezle a` celui obtenu avec les hypoth`eses de la question (a). Quelles am´eliorations devrait-on r´ealiser pour pouvoir fonctionner ainsi ? Que deviennent alors les param`etres du syst`eme pr´ec´edemment calcul´es ?
Partie III Les d´ecisions strat´egiques
111
Chapitre 8 L’ordonnancement de projets 8.1
Introduction
Lors detout projet de grande envergure (construction d’un bateau, d’un avion, d’un bˆatiment,...), un probl`eme crucial qui se pose est celui du calendrier d’ex´ecution des tˆaches. Le probl`eme est de d´eterminer dans quel ordre doivent s’enchaˆıner les diverses tˆaches de mani`ere a` minimiser le temps total d’ex´ecution du projet. Prenons unexemple . Onveutconstruireunnouveaubˆ atimentpourlafacult´ede mani`ere a` pouvoir d´em´enager au plus tˆot. Certaines tˆaches ne peuvent s’ex´ecuter qu’apr`es que d’autres soient termin´ees. Par exemple, on ne peut commencer les fondations que lorsque le terrassement est fini. On ne peut monter les murs que lorsque les fondations sont termin´ees. D’autres tˆaches peuvent s’ex´ecuter simultan´ement. Par exemple, les travaux d’´electricit´e et de plomberie peuvent eˆ tre men´es de pair. Les donn´ees sont reprises au tableau 8.1 pour cet exemple. No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
tˆache terrassement fondations colonnes porteuses charpente toiture couverture ma¸connerie plomberie, e´ lectricit´e coulage dalle b´eton chauffage plˆatre finitions
dur´ee (jours) 5 4 2 2 3 5 3 3 4 10 5
pr´ealables 1 2 3 4 3 2 7 8 et 6 9 et 5 10
Tableau 8.1: Construction d’un bˆatiment On doit tenir compte, dans les probl`emes d’ordonnancement, de divers types 113
Chapitre 8. L’ordonnancement de projets
114 de contraintes.
• Les contraintes de localisation temporelle expriment la localisation d’une tˆache dans le temps : une tˆache ne peut commencer avant une telle date, ou apr`es une telle date (par exemple, en raison des conditions climatiques). • Les contraintesde succession temporelle expriment lesrelations d’ant´eriorit´e entre les tˆaches : une telle tˆache ne peut commencer avant la terminaison compl`ete d’une autre (par exemple, on ne coule pas les fondations si le terrassement n’est pas fini). • Les contraintes disjonctives expriment le fait que deux tˆaches ne peuvent avoirlieu enmˆemetempssansquel’on puissedirelaquelledoit eˆ tre effectu´ee avant l’autre (par exemple, une mˆeme grue est utilis´ee sur deux chantiers diff´erents). Le probl`eme d’ordonnancement avec des contraintes de localisation temporelle et de succession temporelle seulement est appel´e probl`eme central d’ordonnancement. Il s’agit donc de d´eterminer le calendrier de d´ebut de chacune des tˆaches de mani`ere a` terminer le chantier au plus vite en respectant les contraintes temporelles. Nous allons voir que, aussi bien pour sa formulation que pour sa r´esolution, ce probl`eme utilise la notion math´ematique de graphe de r´eseau. On peut, en effet, repr´esenter le probl`eme sur un graphe de r´eseau et, ensuite, r´esoudre le probl`eme graphiquement. De plus, la pr´esentation du r´esultat de calcul (l’ordonnancement destˆaches)serabeaucoup plusclairesurcegraphiquequesuruntableaudechiffres. Ilexistedeuxm´ethodesder´esolutionpourceprobl`eme. Ils’agitrespectivement de • la m´ethode du potentiel d´evelopp´ee en France dans les ann´ees 60 et qui, comme nous allons le voir, associe a` chaque tˆache un nœud du r´eseau, tandis que les relations d’ant´eriorit´e sont repr´esent´ees par des arcs entre les tˆaches; • la m´ethode PERT d´evelopp´ee parall`element aux Etats Unis d’Am´erique et qui, elle, associe chaque tˆache a` un arc du r´eseau, et chaque relation d’ant´eriorit´e a` un nœud. Algorithmiquement, les deux m´ethodes de r´esolution sont e´ quivalentes. Elles se distinguent seulement par la mani`ere d’´ecrire le graphe de r´eseau.
Section 8.2. Formulation et repr´esentation du probl`eme
8.2
115
Formulation et repr´esentation du probl`eme
Fixons-nous les notations suivantes. Nous avons n tˆaches a` ex´ecuter, indic´ees i = 1, . . .n. La variable a` d´eterminer pour chaque tˆache est son temps de d´ebut d’ex´ecution, not´e ti pour la tˆache i. Utilisons e´ galement la notation di pour d´esigner la dur´ee d’ex´ecution de la tˆache i (qui est ici une donn´ee). Les contraintes temporelles que l’on consid`ere dans le probl`eme central d’ordonnancement sont de deux types : • les contraintes de localisation temporelle qui expriment que la tˆache i ne peut d´ebuter avant une certaine date ou apr`es une certaine date : (
t i ≥ li ti ≤ u i
• Les contraintes de succession temporelle qui expriment soit qu’une tˆache j ne peut commencer avant qu’une tˆache i ne soit finie : tj ≥ ti + di , soit que l’on doit commencer la tˆache j au plus tard un certain laps de temps apr`es la tˆache i : tj ≤ ti + e i . Ce second cas de figure se rencontre, par exemple, dans le cas du lissage de la dalle de b´eton : celui-ci doit eˆ tre effectu´e avant que le ciment ne soit sec. On associe donc au probl`eme central d’ordonnancement un graphe dont les sommets repr´esentent les diverses tˆaches du probl`eme d’ordonnancement. On ajoute un nœud 0 qui correspond a` la date de d´ebut de chantier et un nœud n + 1 qui correspond a` la fin de chantier. Les arcs du r´eseau repr´esentent les diverses contraintes temporelles. Nous allons voir que ces diverses contraintes peuvent toutes se mettre sous la forme suivante t(j) − t(i) ≥ dij
(8.1)
o`u t(i) est la fonction potentiel au nœud i. En effet, reprenons les diverses formes de contraintes temporelles : ti ≥ li ti ≤ ui tj ≥ ti + di tj ≤ ti + ei
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
t(i) − t(0) ≥ li t(0) − t(i) ≥ −ui t(j) − t(i) ≥ di t(i) − t(j) ≥ −ei
Chapitre 8. L’ordonnancement de projets
116
Enfin, nous devons exprimer que chacune des tˆaches ne peut commencer avant le d´ebut du chantier, c’est-`a-dire que ti ≥ 0, ∀i ∈ N . Elles s’expriment par : t(i) − t(0) ≥ 0, ∀i ∈ N Nous devons aussi exprimer que toutes les tˆaches doivent eˆ tre finies avant la fin du chantier, c’est-`a-dire que ti + di ≤ tn+1 , ∀i ∈ N. Elles s’expriment par : t(n + 1) − t(i) ≥ di, ∀i ∈ N Le probl`eme central d’ordonnancement se formule donc par : min
t(n + 1)
(8.2)
s.c.q. t(j) − t(i) ≥ dij , ∀(i, j) ∈ A o`u A note l’ensemble des arcs du r´eseau, chaque arc correspondant a` une contrainte du type (8.1). 3
2
4 0
0
1
5
4
2
5 3
2
2
6
10
5
4 7
3
8
3
10
11
5
12
4 9
Figure 8.1: graphe associ´e. Reprenons l’exemple. On peut construire syst´ematiquement le graphe associ´e au probl`eme d’ordonnancement de la mani`ere suivante (voir figure 8.1) : 1. On relie d’abord toutes les tˆaches qui peuvent eˆ tre effectu´ees sans pr´ealable au nœud 0, d´ebut de chantier par un arc de longueur nulle. Dans l’exemple, seule la tˆache 1 est dans ce cas. 2. Ensuite, on prend une tˆache d´ej`a dans le graphe et on examine si elle pr´ec`ede d’autres. Par exemple, la tˆache 1 doit pr´ec´eder la tˆache 2. On doit donc avoir t2 ≥ t1 + d 1 . On trace le nœud 2 et on le relie au nœud 1 par un arc de longueur d1 .
Section 8.2. Formulation et repr´esentation du probl`eme
117
3. Enfin, quand toutes les tˆaches sont dans le graphe, pour les seules tˆaches qui ne sont suivies d’aucune autre, on les relie au nœud n + 1, fin de chantier, avec un arcde longueur e´ gale a` la dur´ee dela tˆache. Ici, seulela tˆachefinition est dans ce cas, et il faut que cette tˆache soit finie pour la fin du chantier. Disons un mot de la repr´esentation des trois autres types de contraintes non pr´esents dans l’exemple. Supposons, par exemple, que la tˆache 3 ne puisse commencer avant le temps 10 : t3 ≥ 10 ⇔ t3 ≥ t0 + 10. Ceci se repr´esente en joignant l’origine 0 au nœud 3 par un arc de longueur 10. Ensuite, supposons que la tˆache 5 doive eˆ tre commenc´ee avant le temps 40 : t5 ≤ 40 ⇔ t0 ≥ t5 − 40. Ceci se repr´esente en joignant le nœud 5 au nœud 0 par un arc de “longueur” -40. Enfin, supposons que la tˆache 9 doive commencer au plus tard 5 jours apr`es le d´ebut de la tˆache 8 : t9 ≤ t8 + 5 ⇔ t8 ≥ t9 − 5. Ce qui est repr´esente par un arc de “longueur” -5 entre les nœuds 9 et 8 a` la figure 8.2. -40
10
3
2
0
1
5
2
5 3
2
4 0
4
2
6
10
5
4 7
3
8
10
11
5
12
4
3
9 -5
Figure 8.2: Trois autres types de contraintes. Avant de voir l’algorithme qui permet de r´esoudre le probl`eme d’ordonnancement, nous allons dire un mot des conditions sous lesquelles ce probl`eme est r´ealisable. En effet, les contraintes temporelles peuvent venir de divers services et eˆ tre incompatibles entres elles.
Chapitre 8. L’ordonnancement de projets
118
2 d1 1
d2 d3
3
Figure 8.3: Circuit de longueur positive. Supposons que nous ayons la situation suivante. La tˆache 1, qui dure d1 jours, doit eˆ tre termin´ee avant que la tˆache 2 ne commence. La tˆache 2, qui dure d2 jours, doit eˆ tre termin´ee avant que la tˆache 3 ne commence. La tˆache 3, qui dure d3 jours, doit eˆ tre termin´ee avant que la tˆache 1 ne commence. Il est clair qu’un tel probl`eme va conduire a` une impossibilit´e. Cette situation est repr´esent´ee a` la figure 8.3. On voit ici que le graphe contient un circuit (cycle avec tous lesarcs dans lemˆeme sens)dont lasomme des longueurs des arcs est positive. En effet, e´ crivons les contraintes correspondantes : t1 + d1 ≤ t2 t2 + d2 ≤ t3 t3 + d3 ≤ t1 En sommant et en simplifiant, on obtient la condition suivante : d1 + d2 + d3 ≤ 0 On peut alors montrer le r´esultat suivant. Lemme 8.1 Les contraintes temporelles sont compatibles entre elles si et seulement si le graphe associ´e ne comporte aucun circuit de longueur (somme des longueurs des arcs le constituant) positive. Remarquez qu’un cycle avec une somme des longueurs n´egative ne pose pas de probl`eme. Par exemple, la tˆache 8 de longueur 3 doit eˆ tre finie avant que ne commence la tˆache 9 et la tˆache 9 doit commencer en d´eans les 5 jours de d´ebut de la tˆache 8 : t8 + 3 ≤ t9 t9 − 5 ≤ t8 Ceci se repr´esente, comme vu ci-dessus, par une fl`eche de 8 vers 9 de longueur 3 et une fl`eche retour de longueur -5. Ceci ne pose pas de probl`eme. En effet, en sommant les deux contraintes, on obtient -2 ≤ 0.
Section 8.3. Calcul de l’ordonnancement au plus tˆot
8.3
119
Calcul de l’ordonnancement au plus tˆot
Nous allons maintenant voir un algorithme de calcul de l’ordonnancement au plus tˆot. L’ordonnancement au plus tˆot d´etermine les dates de d´ebut au plus tˆot, pour les diff´erentes tˆaches, tout en respectant les contraintes temporelles. Ces dates au plus tˆot sont not´ees t(i). La date au plus tˆot de d´ebut de chantier est t(0) = 0, c’est-`a-dire decommencer tout de suite. Ensuite, on va marquer progressivement les nœuds. Supposons maintenant qu’un certain nombre de sommets ont d´ej`a e´ t´e marqu´es, c’est-`a-dire que t(i), i ∈ T ⊂ N , les temps au plus tˆot ont d´ej`a e´ t´e d´etermin´es pour ces nœuds. On peut marquer un nouveau nœud j si tous ses pr´ed´ecesseurs
i
dij
j
Figure 8.4: Pr´ed´ecesseurs de j. directs sont marqu´es. Notons P (j), l’ensemble des pr´ed´ecesseurs directs de j dans le graphe. Cet ensemble est d´efini par P (j) = {i|(i, j) ∈ A} Il faut satisfaire les contraintes temporelles suivantes t(j) ≥ t(i) + dij , ∀i ∈ P (j) La plus petite valeur admissible pour t(j) est donc t(j) = max {t(i) + dij } i∈P (j)
(8.3)
Reprenons notre exemple. La tˆache 1 peut commencer au plus tˆot en 0 puisqu’elle est reli´ee au au nœud 0, d´ebut de chantier, par un arc de longueur nulle. La tˆache 2 peut commencer d`es la fin de la tˆache 1, c’est-`a-dire t(2) = t(1) + d1 = 5 et ainsi de suite, on marque t(3) = 9, t(4) = 11, ...
Chapitre 8. L’ordonnancement de projets
120
Lorsqu’un sommet (comme le sommet 9) a plus d’un pr´ed´ecesseur (8 et 6), on d´etermine la date au plus tˆot par un maximum : t(9) = max {t(6) + d6 , t(8) + d8 } = 16 On arrive ainsi a` d´eterminer la dur´ee totale minimum qui est ici de 35 jours. L’ordonnancement au plus tˆot est indiqu´e a` la figure 8.5 o`u le temps de d´ebut au plus tˆot est indiqu´e au dessus des nœuds. 9 3
11 4
13 5
2 0 0
5 2
0 1 0
5
2
2
4
11
3
6
30
20 10
11 10
4
9 7
12 8 3
5
35 5
12
16 4 9 3
Figure 8.5: Ordonnancement au plus tˆot.
8.4
Chemin critique et calcul des marges
Certaines tˆaches sont telles que si on retarde leur date de d´ebut, cela aura des r´epercussions sur la date de fin de chantier. Par exemple, si on retarde la date de d´ebut de la tˆache 11 (finition), cela va directement retarder la date de fin de chantier. De mˆeme, si on retarde la tˆache 10 (plˆatre), cela va retarder la date de d´ebut de la tˆache 11 (finition) qui elle-mˆeme retarde la date de fin de chantier. Par contre, si on retarde le d´ebut de la tˆache 5 (couverture), cela n’aura pas de r´epercussion, car ce n’est pas a` partir de ce nœud que son successeur (10) a e´ t´e marqu´e mais bien a` partir du nœud 9. On voit donc que l’on peut retarder la date de d´ebut de la tˆache 5 sans cons´equence sur la date de fin de chantier jusqu’`a un certain point. En effet t(5) = 13, t(10) = 20, et d5 = 3. Autrement dit, la date de d´ebut de la tˆache 5 peut eˆ tre retard´ee jusqu’`a la valeur : t(10) − d5 = 20 − 3 = 17 sans retarder la date de d´ebut de la tˆache 10. On dit que 17 est la date de d´ebut au plus tard de la tˆache 5. C’est-`a-dire que la tˆache 5 peut eˆ tre commenc´ee a` cette date au plus tard sans allonger la dur´ee totale minimale des travaux. On voit directement que l’on a deux sortes de tˆaches.
Section 8.4. Chemin critique et calcul des marges
121
• Les tˆaches critiques sont celles qui servent a` marquer de proche en proche le sommet n + 1 a` partir du sommet 0. Elles forment ce que l’on appelle le chemin critique qui donne l’ensemble des tˆaches a` surveiller en premier si l’on veut respecter le d´elai minimum de r´ealisation du projet. Le chemin critique, illustr´e en hachur´e a` la figure 8.6, peut eˆ tre d´etermin´e de la mani`ere suivante. Partant du nœud n + 1, on ne retient que les sommets qui ont permis de joindre n+1 a` partir du nœud 1. Il s’agit, dans l’exemple, des nœuds 12,11,10,9,6,3,2,1 et 0. 9 3 4 0 0 0
0
0 1 0
5
5 2 5 4
11
2
9
2
4 15
2
17
10
20
12 3 8
10 20 4 16 9
13
16
5
11 3
3
11 6
9 7
13 5 30 10
11 30
5
35 12 35
Figure 8.6: Ordonnancement au plus tard. • Pour toutes les autres tˆaches, c’est-`a-dire les tˆaches non critiques, on peut d´eterminer la dateded´ebutauplus tard dela mani`eresuivante. Onproc`ede par marquage a` partir de t(n + 1) = t(n + 1). On peut marquer un sommet i si tous ses successeurs directs sont marqu´es. L’ensemble des successeurs directs, not´es S(i), est d´efini comme S(i) = {j|(i, j) ∈ A} On peut alors calculer la date ded´ebutau plus tard de la tˆache i par la formule suivante t(i) = min {t(j) − dij } j∈S(i)
On obtient ainsil’ordonnancement auplus tardillustr´e endessous des nœuds a` la figure 8.6. On peut alors d´efinir la marge d’une tˆache comme la diff´erence entre son temps de d´ebut au plus tard et au plus tˆot : m(i) = t(i) − t(i)
(8.4)
et donc la marge m(i) est strictement positive pour les tˆaches non critiques tandis qu’elle est nulle pour les tˆaches critiques.
Chapitre 8. L’ordonnancement de projets
122
8.5
L’ordonancement par la m´ethode PERT
La m´ethode PERT (pour Program Evaluation Review Technique) s’est d´evelopp´ee, parall`element a` la m´ethode du potentiel, aux Etats-Unis en 1958 pour la planification de la construction des sous-marins Polaris. Elle se distingue de la m´ethode du potentiel par le fait que les tˆaches ne sont plus associ´ees aux nœuds mais bien aux arcs du r´eseau. L’algorithme de r´esolution est tr`es semblable a` celui de la m´ethode du potentiel. La diff´erence majeure r´eside donc dans la construction du graphe : le graphe de la m´ethode PERT est souvent plus difficile a` construire que celui de la m´ethode du potentiel car on peut eˆ tre amen´e a` introduire des arcs fictifs qui ne correspondent a` aucune tˆache. Dans la m´ethode PERT,chaque tˆache est donc associ´ee a` un arc du graphe. La longueur de l’arc correspondant a` la dur´ee de la tˆache en question. Les sommets sont utilis´es pour traduire les relations de succession temporelle. Ainsi, si la tˆache j doit suivre la tˆache i, l’extr´emit´e terminale de l’arc repr´esentant la tˆache i co¨ıncidera avec l’extr´emit´e initiale de l’arc repr´esentant la tˆache j. Ceci permet de tracer le graphe pour l’exemple d´ej`a consid´er´e pour la m´ethode du potentiel. Ceci est fait a` la figure 8.7 o`u l’on a not´e, a` cˆot´e de chaque arc, d’une part, le num´ero correspondant a` la tˆache, d’autre part, la dur´ee de la tˆache. 4, 2 5, 3
3, 2 1, 5
2, 4
10, 10
6, 5 7, 3
11, 5
9, 4 8, 3
Figure 8.7: Graphe associ´e pour la m´ethode PERT. Si, sur cet exemple, le graphe de la m´ethode du potentiel et celui de la m´ethode PERT sont tr`es proches, il n’en va pas toujours de mˆeme. La construction du graphe PERT pose divers probl`emes qui am`enent a` ajouter des arcs fictifs qui ne correspondent a` aucune tˆache. Un premier probl`eme se rencontre lorsque l’on veut tenir compte des contraintes de localisation temporelle. Par exemple, supposons qu’une tˆache i ne peut commencer avant une date li. Il faut introduire un arc joignant l’origine des travaux a` l’origine de l’arc repr´esentant la tˆache i et ayant pour longueur la date en question li. On est donc amen´e, dans ce cas, a` ajouter un arc fictif qui ne correspond a` aucune tˆache.
Section 8.5. L’ordonancement par la m´ethode PERT
123
Un second probl`eme, plus d´elicat, se rencontre pour les contraintes de succession temporelle. En effet, supposons que la tˆache 1 pr´ec`ede les tˆaches 2 et 3 et que la tˆache 4 pr´ec`ede la tˆache 3. On pourrait tracer le graphe de la figure 8.8. Mais ce graphe introduit une contrainte suppl´ementaire qui dit que la tˆache 4 doit 1
2 3
4
Figure 8.8: Introduction d’un contrainte. pr´ec´eder la tˆache 2. Pour r´esoudre la difficult´e, il faut a` nouveau ajouter un arc fictif entre l’extr´emit´e de la tˆache 1 et le d´ebut de la tˆache 3. Ceci est illustr´e a` la figure 8.9. 1
2
4
3
Figure 8.9: Arc fictif. Les datesded´ebutauplus tˆotdes tˆaches vont e´ galement eˆ trescalcul´ees par marquage des sommets du graphe. L’application a` l’exemple donne l’ordonnancement illustr´e a` la figure 8.10. 11
4, 2
3, 2 1, 5 0
5, 3
2, 4 5
13
6, 5 9
20
30
10, 10
7, 3 9, 4 12
8, 3
16
Figure 8.10: Ordonnancement au plus tˆot.
35 11, 5
Chapitre 8. L’ordonnancement de projets
124
8.6
Prise en compte des contraintes disjonctives
Venons-en maintenant au troisi`eme type de contraintes g´en´erales : les contraintes disjonctives. On veut pouvoir indiquer que deux tˆaches ne peuvent avoir lieu en mˆeme temps sans que l’on puisse dire, a` priori, laquelle doit eˆ tre effectu´ee avant l’autre. C’est le cas lorsque l’on partage une mˆeme ressource entre plusieurs chantiers. Par exemple, une mˆeme grue. Consid´erons les tˆaches i et j, dont on note ti et tj , leurs dates respectives de d´ebut d’ex´ecution. On peut e´ crire la relation d’exclusion sous la forme : soit
(
ti + di ≤ tj si i est r´ealis´ee avant j tj + dj ≤ ti si j est r´ealis´ee avant i
(8.5)
Si on n’a qu’une seule contrainte disjonctive, on peut e´ videmment r´esoudre deux probl`emes d’ordonnancement : un o`u l’on impose que i soit r´ealis´ee avant j, l’autre o`u l’on impose que j soit r´ealis´ee avant i. Ensuite, on prend le temps d’ex´ecution leplus court. Mais cettem´ethode d’´enum´eration explicite detoutesles possibilit´es devient vite impraticable lorsque le nombre de contraintes disjonctives croˆıt. On peut alors le r´esoudre le probl`eme grˆace au recours a` la programmation en nombres entiers. En effet, pour chaque disjonction entre les tˆaches i et j, on introduit la variable binaire xij qui vaut 1 si la tache i est r´ealis´ee avant la tˆache j et 0 si la tˆache j est r´ealis´ee avant la tˆache i. On va alors remplacer (8.5) par les contraintes suivantes (
ti + di ≤ tj + M (1 − xij ) tj + dj ≤ ti + M xij
(8.6)
avec M une borne sup´erieure sur la date de fin des travaux. V´erifions que ce syst`eme avec, bien sˆur, la contrainte suppl´ementaire que xij est binaire (0/1) exprime exactement la disjonction. Consid´erons d’abord le cas xij = 1. Le syst`eme (8.6) devient (
ti + di ≤ tj tj + dj ≤ ti + M
La premi`ere in´equation exprime bien que la tˆache i doit eˆ tre finie avant que ne d´ebute la tˆache j. La seconde est toujours v´erifi´ee, vu la d´efinition de M . Consid´erons maintenant le cas xij = 0. Le syst`eme (8.6) devient (
ti + di ≤ tj + M tj + dj ≤ ti
La premi`ere in´equation toujours v´erifi´ee, vu la d´efinition de M . La seconde exprime bien que la tˆache j doit eˆ tre finie avant que ne d´ebute la tˆache i.
Section 8.7. La minimisation des coˆ uts
8.7
125
La minimisation des coˆuts
Jusqu’`a pr´esent, on a consid´er´e la dur´ee de chaque tˆache comme donn´ee. Or la dur´ee d’une tˆache particuli`ere i peut varier en fonction, par exemple, de l’embauche de personnel suppl´ementaire, de l’achat ou de la location de mat´eriel suppl´ementaire. On voit donc que l’on pourra, en g´en´eral, r´eduire la dur´ee de chaque tˆache moyennant un coˆut suppl´ementaire. Nous allons voir ici comment arbitrer entre les deux crit`eres : diminution de la dur´ee d’ex´ecution des tˆaches et donc du chantier et, d’autre part, augmentation des coˆuts d’ex´ecution des tˆaches. Consid´erons la tˆache i. Sa dur´ee d’ex´ecution di peut varier entre une dur´ee minimale (incompressible) di et une dur´ee maximum di. Pour la dur´ee minimum,
ci
ci
c¯i
d¯i
di
di
Figure 8.11: Coˆut d’ex´ecution de la tˆache i. le coˆut d’op´eration de la tˆache i est not´e ci tandis que pour la dur´ee maximum il est not´e ci. Si l’on admet que le coˆut varie lin´eairement en fonction de la dur´ee, on obtient le graphique de la figure 8.11. La pente de la droite est donn´ee par : mi =
ci − ci di − di
Pour une dur´ee di comprise entre les bornes inf´erieure et sup´erieure, le coˆut de la tˆache i est alors ci = ci + mi(di − di ) Si on r´ep`ete la mˆeme op´eration pour chacune des tˆaches, l’objectif de la minimisation du coˆut total d’ex´ecution des tˆaches peut s’´ecrire: min z =
n X i=1
[ci + mi(di − di )]
Chapitre 8. L’ordonnancement de projets
126
=
n X i=1
(ci − midi) +
n X
midi
i=1
Le premier terme e´ tant constant, il revient au mˆeme de minimiser le seul second terme et on obtient l’objectif suivant : min z 0 =
n X
mi di,
i=1
les di e´ tant, cette fois, des variables pour le probl`eme. Nous avons donc comme variables du probl`eme : ti = le temps de d´ebut de la tˆache i; di = la dur´ee d’ex´ecution de la tˆache i; tf = le temps de fin de chantier. Moyennant ce choix de variables, le probl`eme de minimisation des coˆuts d’ex´ecution des tˆaches se formule donc comme suit : min z 0 =
s.c.q
ti tj
tf tf d
i
n X
mi d i
i=1
≥ li
(localisation temporelle)
≥ ti + di
(succession temporelle)
≥ ti + di
(fin de chantier)
≤λ
(borne sur tf )
P (λ)
≤ di ≤ di (bornes sur la dur´ee)
On peut alors r´esoudre ce probl`eme en fonction du param`etre λ. En ajoutant letermeconstantque nousavionsn´eglig´e,on obtientungraphiquedu genredecelui repr´esent´e a` la figure 8.12. Ce graphique appelle plusieurs commentaires. Tout d’abord, le param`etre λ doit eˆ tre sup´erieur a` une certaine valeur minimum λ qui correspond au temps d’ex´ecution minimum lorsque toutes les tˆaches critiques sont a` leur dur´ee minimum di. Ensuite, remarquons que la fonction c(λ) est convexe, d´ecroissante et lin´eaire par morceaux. Enfin, a` partir d’une certaine valeur λ de λ, on aura syst´ematiquement di = di et l’objectif devient constant. Comment va-t-on alors choisir le temps optimum ? A voir la forme de la courbe 8.12, il vaudrait mieux prendre λ = λ, le temps maximum. Mais ceci ne tient compte que des coˆuts directs d’ex´ecution des tˆaches.
Section 8.7. La minimisation des coˆ uts
127
c(λ)
λ
λ¯
λ
Figure 8.12: Coˆut d’ex´ecution en fonction de λ. Il existe aussi des coˆuts indirects li´es a` la dur´ee du chantier. Ce sont les frais d’assurances, les salaires de l’encadrement, les frais de location du mat´eriel, et les p´enalit´es par jour de retard. Tous ces frais sont e´ videmment croissants avec la dur´ee du chantier. Si on additionne les deux courbes (coˆuts directs et coˆuts indirects), comme a` la figure 8.13, on obtient la courbe de coˆut total dont on peut d´eterminer le minimum.
c(λ) coˆuts totaux
coˆut indirect co uˆ t direct λ
λ¯
λ
Figure 8.13: Coˆuts totaux. On a donc arbitr´e entre les deux objectifs de • diminution des coˆuts • diminution du temps d’ex´ecution. Nous verrons une application de ceci dans les exercices qui suivent.
Chapitre 8. L’ordonnancement de projets
128
8.8
Exercices
8.1. Equipement d’un ensemble minier. L’´equipement d’un ensemble minier comporte les tˆaches suivantes dont la dur´ee est exprim´ee en trimestres. No 1 2 3 4 5 6 7 8
tˆache dur´ee pr´ealables Construction d’un port provisoire 3 Commande d’une piste 6 Commande de mat´eriel portuaire 2 Pose d’une voie ferr´ee 4 1 Construction du port d´efinitif 2 1 Construction d’une cit´e administrative 7 1 Construction de l’installation mini`ere 4 2 et 4 Equipement portuaire d´efinitif 3 3 et 5
(a) Construire le graphe relatif a` la m´ethode du potentiel. (b) Calculer les dates de d´ebut au plus tˆot, les dates de d´ebut au plus tard. D´eterminer le chemin critique. (c) Comment modifier le graphe si, on veut que la tˆache 7 ne commence pas avant 8 trimestres ? (d) Comment modifier le graphe si on veut en plus que la tˆache 8 ne commence pas apr`es 4 trimestres ? 8.2. Construction d’un bˆatiment. Consid´erons lesdiff´erentes tˆaches a` effectuer pour construire un bˆatiment. Elles sont reprises ci-dessous. No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
tˆache dur´ee pr´ealables fondations 6 murs 10 1 plomberie int´erieure 5 2 e´ lectricit´e 7 2 toit 6 2 plomberie ext´erieure 4 5 menuiserie 8 3 et 4 sols 4 7 peinture int´erieure 5 7 finitions int´erieures 6 8 et 9 peinture ext´erieure 9 6 finitions ext´erieures 2 11
Section 8.8. Exercices
129
(a) Tracez le graphe relatif a` la m´ethode du potentiel. (b) Calculez les dates de d´ebut au plus tˆot, les marges et d´eterminez le chemin critique. (c) Les tˆaches9(peinture int´erieure)et11 (peintureext´erieure)doivent eˆ tre disjointes car effectu´ees par les mˆemes ouvriers. Comment r´esoudre cette disjonction ? La date de fin des travaux est-elle affect´ee ? 8.3. Lancement d’un nouveau produit. Une entreprise d´ecide de commercialiser un nouveau produit. La planification de ce lancement fait apparaˆıtre les tˆaches reprises au tableau 8.2 avec leur dur´ee (en semaines) et leurs pr´ealables. (a) Tracer le graphe correspondant a` la m´ethode PERT. (b) Calculez lesdatesded´ebutauplustˆot,auplus tardet lechemin critique. (c) L’entreprise voudrait r´eduire la dur´ee totale d’ex´ecution des travaux. Pour cela, il est possible de r´eduire la dur´ee des tˆaches 5 et 11 de une ou deux semaines au prix d’un coˆut suppl´ementaire de 100 000 EURO par semaine de r´eduction pour la tˆache 5 et de 200 000 EURO par semaine pour la tˆache 11. De combien peut-on r´eduire la dur´ee totale des travaux et a` quel coˆut ? No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
tˆache S´election des e´ quipements Choix de la m´ethode de production Proc´edures de contrˆole de qualit´e Choix des mati`eres premi`eres R´eception des e´ quipements Commande des mati`eres premi`eres R´eception des mati`eres premi`eres Essais de production Premi`ere fourniture aux magasins Conception du conditionnement Production du conditionnement R´eunion des vendeurs Formation des vendeurs
dur´ee pr´ealables 1 2 1 2 2 2 1 7 1 1 4 3 6 2 5,3 et 7 6 8 et 11 4 1 5 10 1 11 1 12
Tableau 8.2: Lancement d’un nouveau produit
Chapitre 8. L’ordonnancement de projets
130
8.4. Lancement d’un nouveau produit. Une soci´et´e met a` l’´etude le lancement d’un nouveau produit. Ce lancement n´ecessite la r´ealisation de 10 tˆaches rep´er´ees par les lettres A a` J, et dont les caract´eristiques sont donn´ees a` la table 8.3. tˆache dur´ee ancˆetre(s) A 7 C,F B C
3 6
D,H,G J
D E F G H I J
3 2 5 4 5 7 4
D J et I G et H E et B
observations Recouvrement possible avec C de 3 semaines Ne peut commencer avant le d´ebut de la 14`eme semaine.
Tableau 8.3: Lancement d’un nouveau produit (a) Etablir le graphique de la m´ethode du potentiel. (b) V´erifier sur le graphique que le probl`eme est soluble (expliquer succinctement pourquoi). (c) Calculer les dates de d´ebut au plus tˆot, au plus tard, les marges. (d) Donner tous les chemins critiques. tˆache coˆut C 10.000 EURO F 15.000 EURO B 5.000 EURO I 6.000 EURO Tableau 8.4: R´eduction possible de la dur´ee (e) Le directeur commercial souhaite raccourcir la dur´ee d’ex´ecution du projet d’une semaine. Les tˆaches sur lesquelles il est possible d’agir ainsi que le coˆut correspondant a` leur diminution de dur´ee d’une semaine sont donn´es a` la table 8.4. Que sugg´erez-vous ?
Section 8.8. Exercices
131
8.5. Minimisation des coˆuts. On consid`ere un chantier de construction qui fait intervenir cinq tˆaches dont les dur´ees et les tˆaches pr´ealables sont donn´ees au tableau 8.5. Tˆache
dur´ee coˆut
tˆaches
(jours)
pr´ealables
1
4
-
2
6
-
3
5
1
4
8
2 et 3
5
7
4
Tableau 8.5: Minimisation des coˆuts (a) Tracer le graphe correspondant a` la m´ethode du potentiel. (b) D´eterminer les dates de d´ebut au plus tˆot au plus tard et le chemin critique. (c) Ecrire ce probl`eme d’ordonnancement sous forme d’un programme lin´eaire dont les variables seront les dates ti de d´ebut des tˆaches et tf , la date de fin du chantier. (d) Les tˆaches supportent des frais directs (main d’œuvre, heures machine) dontlesmontantssontrespectivementde30000, 40000,50000, 50000 et 10 000 EURO. D’autre part, les dur´ees des tˆaches 3 et 5 peuvent eˆ tre r´eduites jusqu’`a 3 et 5 jours au prix d’accroissements de coˆuts de 20 000 et 10 000 EURO par jour. Ecrire le programme exprimant la minimisation du coˆut direct pour une dur´ee totale tf donn´ee. On commencera par exprimer les coˆuts directs c3 et c5 des tˆaches 3 et 5 comme fonctions affines des dur´ees d3 et d5 qui deviennent variables. (e) Ond´esire e´ tudier, enfonctionduparam`etre tf , lesvariationsducoˆutminimal direct total CD obtenu a` l’aide du programme pr´ec´edent. Donner la forme de la courbe repr´esentant les variations de ce coˆut en fonction de tf . (f) D´eterminer num´eriquement l’´evolution du coˆut direct CD en fonction de tf en partant du r´esultat de la question (b) et en r´eduisant progressivement la dur´ee tf de fa¸con a` ce que le coˆut direct soit toujours minimal.
132
Chapitre 8. L’ordonnancement de projets (g) En plus des coˆuts directs, l’entreprise supporte aussi des frais indirects. Ces frais indirects comportent les salaires de l’encadrement, des frais de location de mat´eriel, des frais d’assurance et des frais financiers pour un montant total de 10 000 + 5 000 tf et aussi une p´enalit´e de 10 000 EURO par jour de retard au del`a du 22`eme jour. D´ecrire sur un mˆeme graphique l’´evolution du coˆut indirect CI , du coˆut direct CD et du coˆut total en fonction de la dur´ee de fin de chantier. Quelle valeur donner a` cette dur´ee ?
Chapitre 9 Conception d’un centre de production 9.1
Introduction
Les d´ecisions d’implantation d’un centre de production incluent 1. la d´ecision de localisation du centre qui d´epend de : • la localisation des clients : il faut minimiser les coˆuts de transport vers ceux-ci; • la disponibilit´e et le coˆut de la main d’œuvre; • la disponibilit´e des mati`eres premi`eres;
• les aides nationales et locales a` l’investissement; • la volont´e de p´en´etrer un march´e local difficile;
• la qualit´e des hˆopitaux, la qualit´e du cadre de vie,. . . A titred’exemple, onpeutciter lalocalisationd’unenouvelle usineTOYOTA pr`es de Valenciennes, qui est situ´ee au cœur de l’Europe et dans le pays europ´een le plus protectionniste en faveur de ses marques nationales. 2. le choix de la capacit´e de production qui d´epend : • de la pr´evision de la demande a` long terme;
• de la volont´e de l’entreprise de dominer un march´e;
• de la possibilit´e de r´epondre rapidement a` des variations de demande. Vu l’incertitude sur la demande, on implante souvent une nouvelle usine par phases successives. Ce sera le cas de la nouvelle usine de Toyota pr`es de Valenciennes. 3. la configuration du centre de production : il s’agit de d´eterminer comment les diff´erents e´ quipements et postes de travail doivent eˆ tre dispos´es. 133
Chapitre 9. Conception d’un centre de production
134
9.2
Configuration d’un centre de production
Il s’agit donc ici de d´eterminer la mani`ere de disposer les e´ quipements et les postes de travail les uns par rapport aux autres . Il existe au moins trois types de configurations possibles : 1. La configuration en ateliers sp´ecialis´es est utilis´ee lorsqu’il y a une grande vari´et´e d’articles diff´erents a` produire. On peut alors regrouper dans un atelier l’ensemble des machines assurant une fonction donn´ee. Par exemple, dans un garage, l’atelier de peinture, l’atelier carrosserie,. . . 2. La configuration en terme de produit est utilis´ee lorsqu’il y a une demande importante et continue de quelques produits. On organise la production soit enligne (c’estlecas deslignesd’assemblage d’automobiles)soit enindustrie de process (c’est le cas des raffineries de p´etrole). 3. On parle de configuration a` poste fixe lorsque l’op´erateur doit se d´eplacer entre deux op´erations. On peut citer comme exemples : • un client qui se d´eplace entre les diff´erents rayons d’un super march´e; • un magasinier qui se d´eplace entre les diff´erents rayonnages d’un magasin de stockage de carrelage.
9.2.1
Configuration en ateliers sp´ecialis´es
Illustrons cette configuration par l’exemple d’une maternit´e qui regroupe les diff´erents services concern´es sur un mˆeme e´ tage d’un hˆopital : • accueil • salle d’attente • consultation pr´enatale • consultation p´ediatrie • e´ chographie • chambres de maternit´e • salle d’accouchement Une question cruciale pour une bonne organisation de ce type de configuration est la localisation relative de ces diff´erents services. On doit tenir compte de :
Section 9.2. Configuration d’un centre de production
135
1. du volume de trafic entre deux services de sorte que deux services avec un flux important soient localis´es proches l’un de l’autre (par exemple, la consultation maternit´e et le service e´ chographie); 2. du fait que certains services doivent avoir acc`es a` l’ext´erieur (par exemple, l’accueil); 3. du fait que certains services ne peuvent changer de place (par exemple, la chaufferie). 4. du fait qu’il peut y avoir incompatibilit´e (par exemple, la salle d’accouchement ne doit pas eˆ tre situ´ee a` cot´e de l’accueil) ou n´ecessit´e absolue de mitoyennet´e (par exemple, la salle d’accouchement a int´erˆet a` se trouver pr`es des couveuses). Une matrice de proximit´e peut eˆ tre utilis´ee pour indiquer la proximit´e voulue : A S I G
: : : : : X :
Absolument n´ecessaire Sp´ecialement important Important G´en´eralement proche sans importance a` e´ viter
La figure 9.1 illustre cette matrice dans le cas de la maternit´e. ACCUEIL G SALLE D'ATTENTE I CONSULTATIONS
X S
ECOGRAPHIE A SALLE ACCOUCHEMENT
Figure 9.1: Matrice de proximit´e On peut e´ galement, plutˆot que de noter la proximit´e, donner une matrice de flux entre les diff´erents services. On peut alors concevoir une localisation des diff´erentes services qui minimise la somme des flux entre services pond´er´ee par la distance entre ces services.
Chapitre 9. Conception d’un centre de production
136
Formulation en un probl`eme d’affectation quadratique : Supposons n services a` localiser a` une des n placespossibles. On choisitici comme variables : xij = 1 si le service i est en place j, = 0 sinon. Dans ce cas, l’objectif peut s’´ecrire de la mani`ere suivante : min
n X n X n X n X
wik djl xij xkl
i=1 k=1 j=1 l=1
avec djl la distance entre les localisations j et l et wik , le poids dans la matrice de proximit´e : 4 3 2 1 0 -1
: : : : : :
Absolument n´ecessaire Sp´ecialement important Important G´en´eralement proche sans importance a` e´ viter
Expliquons la forme de cette fonction : l’objectif minimise la somme des distances entre les paires de lieux (j, l), pond´er´ee par l’importance d’une localisation proche des paires de services (i, k), pour autant que xij et xkl soient e´ gaux a` un, c’est-`a-dire que le service i soit en lieu j et le service k en lieu l . Les contraintes sont de deux types : • “Toute place est occup´ee :”
n X i=1
xij = 1, ∀j = 1, . . .n
La contrainte indique que chaque place j est occup´ee par exactement un service i • “Toute fonction est plac´ee :” n X
j=1
xij = 1, ∀i = 1, . . .n
La contrainte indique que chaque service i est plac´e a` une place j. Il faut bien sˆur e´ galement imposer le caract`ere entier des variables : xij ∈ {0, 1}, ∀i, j.
Section 9.2. Configuration d’un centre de production
9.2.2
137
Configuration en ligne de production
Lorsqu’un produit est fabriqu´e en grande quantit´e, on peut gagner en efficacit´e en organisant la production en ligne. A titre d’exemple, on peut citer les usines d’assemblage automobiles ou les tunnels de lavage de voitures (car-wash). Le probl`eme principal r´eside dans l’´equilibrage de la chaˆıne : il faut que les diff´erentes op´erations prennent le mˆeme temps car la chaˆıne tourne a` la vitesse de l’op´eration la plus lente. Une ligne d’assemblage est dite parfaitement e´ quilibr´ee si chaque poste de travail (main d’œuvre et e´ quipement) est occup´e a` 100 %. Illustrons ceci sur l’exemple suivant. Un appareil e´ lectrom´enager est constitu´e de 11 composants, not´es B1 a` B11, de 3 sous-ensembles not´es SA1 a` SA3. Le tableau 9.1 fournit les tˆaches, leurs dur´ees et leurs pr´ealables. Le temps total Label Temps Objet Pr´ed´ecesseurs A 2 placer le chassis sur la chaˆıne B 7 attacher B4 sur chassis A C 5 attacher B2 sur B1 D 2 attacher B3 sur B1 E 15 tester SA1 C,D F 7 attacher SA1 sur chassis A,E G 6 attacher B6 a` B5 H 4 attacher SA2 au chassis B,G I 9 attacher B7 au chassis A J 10 attacher B9 a` B8 K 4 attacher B10 a` B8 L 8 attacher B11 a` B8 J,K M 6 attacher SA3 au chassis A,L N 15 tester l’appareil tous Total 100 Tableau 9.1: Equilibrage d’une chaˆıne d’assemblage est de 100 minutes au minimum. On dispose de cinq op´erateurs. On peut tracer un graphe de pr´es´eance qui n’est rien d’autre que le graphe de la m´ethode du potentiel o`u chaque tˆache est repr´esent´ee par son label et sa dur´ee. On a repr´esent´e ce graphe a` la figure 9.2.
Chapitre 9. Conception d’un centre de production
138
C,5 Poste 1
E,15
Poste 2
D,2
F,7 B,7
A,2
H,4
N,15
Poste 3 I,9
G,6
Poste 5
J,10 M,6
L,8 K,4 Poste 4
opérateur 1 opérateur 2 opérateur 3 opérateur 4 opérateur 5 A,B,C,D 16 min
E,F 22 min
G,H,I 19 min
J,K,L 22 min
Figure 9.2: Une affectation possible
M,N 21 min
Section 9.2. Configuration d’un centre de production
139
Une affectationpossibledestˆachesauxop´erateurs estobtenueentra¸cantcinq sous-ensembles, correspondant aux tˆaches des cinq op´erateurs, tout en respectant les contraintes de pr´es´eance. Le temps total de montage, pour le choix fait a` la figure 9.2, est de : 5 op´erateurs × 22 minutes par cycle = 110 homme-minutes. Il y a donc un temps mort de 10 minutes, ce qui correspond a` un pourcentage de : 10 = 9, 1% 110 Une mesure de la qualit´e de la solution est pr´ecis´ement ce rapport du temps mort sur le temps total de montage. Ce rapport est appel´e retard d’´equilibre et se calcule par la formule suivante : RE = avec n c T
= = = =
nc − T nc
nombre de postes de travail, temps d’un cycle = inverse de la fr´equence, temps total requis par un article somme des temps individuels.
Remarquons qu’ici on n’a pas atteint l’objectif d’un e´ quilibrage parfait qui impliquerait deconstruire 3articles par heureavecuntempsdecyclede20minutes. Remarquons qu’il n’est pas toujours possible d’atteindre l’´equilibre parfait de la chaˆıne puisque les tˆaches ne sont pas divisibles a` l’infini. Voyons maintenant comment r´esoudre le probl`eme. Trouver l’affectation qui minimise RE est un probl`eme en nombres entiers particuli`erement difficile a` r´esoudre. Une heuristique qui permet de trouver rapidement une solution est la suivante. On se fixe une dur´ee maximum pour chaque poste de travail. Ici fixons nous une dur´ee maximum de 19 minutes. On va alors remplir ces postes de la mani`ere suivante : Pas1. Attribuer un score a` chaque tˆache et classer les tˆaches par score d´ecroissant. Ici, comme SCORE 1, nous allons tout simplement prendre la dur´ee des tˆaches : E, N, J, I, L, B, F, G, M, C, H, K, A, D Pas 2. Mettre a` jour l’ensemble des tˆaches disponibles (c’est-`a-dire les tˆaches dont tous lespr´ed´ecesseursimm´ediats sontaffect´es). Au d´ebut, cesontcelles sans pr´ed´ecesseur : S = {J, G, C, K, A, D}
Chapitre 9. Conception d’un centre de production
140
Pas 3. Affecter la tˆache avec le score le plus e´ lev´e dans le premier poste o`u la capacit´e et les contraintes de pr´es´eance ne sont pas viol´ees : J au poste 1. Aller en au Pas 2. On remplit alors progressivement le tableau suivant. Poste 1 J,10 G,6 A,2 18
Poste 2 Poste 3 C,5 I,9 K,4 B,7 L,8 D,2 19 16
Poste 4 M,6 H,4
Poste 5 Poste 6 E,15 F,7
10
15
7
Poste 7 N,15
15
Le d´etail des it´erations est repris ci-dessous : S S S S S S
= {G, C, K, A, D} : G en 1; = {C, K, A, D} : C en 2; = {K, A, D} : K en 2; = {L, A, D} : L en 2; = {A, D} : A en 1; = {I, B, M, D} : I en 3;
S S S S S S S
= {B, M, D} : B en 3; = {M, H, D} : M en 4; = {H, D} : H en 4; = {D} : D en 2; = {E} : E en 5; = {F } : F en 6; = {N} : N en 7
On peut alors calculer le retard d’´equilibre de cette solution : RE =
nc − T 7 × 19 − 100 = = 24, 81% nc 7 × 19
On voit que la solution n’est pas d’une tr`es grande qualit´e. On peut utiliser plutˆot un second score qui consiste a` aditionner a` la dur´ee de la tˆache, celles de toutes les tˆaches qui la suivent. Ainsi, a` la dur´ee de la tˆache A, on ajoute le temps des tˆachesF, B, I, M, H et N. Le calcul du second score donne les r´esultatssuivants : A B C D E F G H I J K L M N 50 26 42 39 37 22 25 19 24 39 33 29 21 15 Le classement des tˆaches suivant ce second score est le suivant : A, C, D, J, E, K, L, B, G, I, F, M, H, N
Section 9.2. Configuration d’un centre de production
141
On remplit le tableau comme suit Poste 1 A,2 C,5 D,2 J,10 19
Poste 2 E,15 K,4
19
Poste 3 Poste 4 L,8 G,6 B,7 I,9 H,4 15
19
Poste 5 F,7 M,6
Poste 6 N,15
13
15
Le d´etail des it´erations est donn´e ci-dessous. S S S S S S S
= {A, C, D, J, K, G} : A en 1; = {C, D, J, K, B, G, I} : C en 1; = {D, J, K, B, G, I} : D en 1; = {J, E, K, B, G, I} : J en 1; = {E, K, B, G, I} : E en 2; = {K, B, G, I, F } : K en 2; = {L, B, G, I, F } : L en 3;
S S S S S S S
= {B, G, I, F, M} : B en 3; = {G, I, F, M } : G en 4; = {I, F, M, H} : I en 4; = {F, M, H} : F en 5; = {M, H} : M en 5; = {H} : H en 4 = {N} : N en 6.
On peut alors calculer le retard d’´equilibre de cette solution : RE =
9.2.3
19 × 6 − 100 = 12, 3% 19 × 6
Configuration a` poste fixe
Lorsque l’op´erateur voyage entre les diff´erentes op´erations, on parle de conception a` poste fixe. Comme exemples, on peut citer : • les magasins en self-service o`u le client se d´eplace de rayon en rayon; • les entrepˆots de stockage de carrelages, de tapis-pleins, etc. . . • une centrale de stockage interm´ediaire d’une soci´et´e de distribution; • une infirmi`ere qui se d´eplace d’une chambre a` l’autre dans un hˆopital,. . . Le probl`eme principal r´eside dans la localisation des aires de stockage de mani`ere a` minimiser soit • le coˆut total de manipulation en mettant les produits les plus utilis´es aux endroits les plus accessibles; • le temps maximum d’acc`es dans le cas, par exemple, de la localisation de centres d’intervention d’urgence.
Chapitre 9. Conception d’un centre de production
142 Cas d’un entrepˆot :
Illustrons ce cas par l’exemple de la soci´et´e Sommer qui produit en grandes s´eries ses diff´erentes r´ef´erences de tapis pleins qui sont vendues en quelques unit´es a` ses clients qui sont les centres de bricolage et les surfaces sp´ecialis´ees en revˆetement de sol. On approvisionne le stock en grandes quantit´es (de l’ordre de 200 rouleaux d’un mˆeme type). On d´estocke, a` la demande, en petites quantit´es (un ou deux rouleaux). Le stockage est rendu n´ecessaire par la diff´erence entre la taille e´ conomique d’un lot a` la production et la taille moyenne d’un lot demand´e. Pour le placement optimal des rouleaux, on a int´erˆet a` placer les articles ayant le plus fort taux de rotation de stock aux emplacements les plus accessibles. Il y a deux mani`ere de stocker : • Stocker a` des places d´edi´ees : une r´ef´erence donn´ee sera toujours a` la mˆeme place. Ce qui facilite le contrˆole et l’information. L’inconv´enient est que l’on perd beaucoup de place car chaque emplacement est rempli a` 50 % en moyenne. • Stocker a` la premi`ere place disponible : ceci n´ecessite un syst`eme informatique de localisation : chaque lot est localis´e par le num´ero de l’all´ee, la distance dans l’all´ee, et la hauteur dans le rayon. La solution adopt´ee chez Sommer est le d´edicacement par zone : on place le produit danslapremi`ereplacedisponible dansune zone(assezlarge) correspondant a` son taux de rotation. Ceci est donc un compromis entre une capacit´e de stockage r´eduite et la rapidit´e d’acc`es aux produits a` forte rotation de stock. Cas des centres d’intervention d’urgence : Dans ce second cas, l’objectif est de minimiser le temps d’acc`es au client le plus e´ loign´e. Par exemple, dans un service hospitalier, on veut localiser le local des infirmi`eres de mani`ere a` avoir un temps de r´eaction aupr`es de chaque patient aussi court que possible. La solution, dans ce cas, est de construire un e´ tage circulaire avec le local des infirmi`eres au centre. Remarquez qu’ici souvent la solution impliquera des localisations multiples afin de bien couvrir une zone : par exemple, dans le cas des pompiers, on aura diverses antennes d´elocalis´ees permettant d’atteindre rapidement des villages d´ecentr´es.
Section 9.3. D´ecisions de capacit´e
9.3
143
D´ecisions de capacit´e
Nous allons illustrer les d´ecisions de choix d’une capacit´e sur l’exemple d’une boulangerie industrielle qui fournit les supermarch´es de sa r´egion et qui s’attend a` une croissance de la demande. Une d´ecision strat´egrique est a` prendre : Quelle capacit´e lui donner ? Remarquez que le mˆeme genre de d´ecision est a` prendre dans des exemples non commerciaux tel que le traitement des d´echets m´enagers. En effet, la r´eglementation europ´eenne pr´evoit de limiter progressivement le d´eversement en d´echarge des ordures m´enag`eres. Si la construction d’un incin´erateur s’impose, a` nouveau, une d´ecision cruciale est a` prendre : Quelle capacit´e lui donner ? Nous illustrerons les choses sur l’exemple d’une boulangerie industrielle. Les donn´ees num´eriques sont les suivantes : 1. Mod´elisation de la demande : il y a incertitude sur la demande future du produit. Si le succ`es du produit est important, une capacit´e suppl´ementaire de 5 000 unit´es par semaine sera n´ecessaire pour un profit de 40 000 EURO par semaine hors frais d’amortissement du capital. Si le succ`es du produit est mitig´e, une capacit´e de 2 000 unit´es par semaine sera suffisante et la compagnie fera un profit de 16 000 EURO par semaine. La demande est connue au bout d’un an. 2. Donn´ees de coˆut d’investissement. Une capacit´e de 2 000 unit´es par semaine peut eˆ tre construite pour 800 000 EURO. Une capacit´e de 5 000 unit´es par semaine peut eˆ tre construite pour 1,5 millions d’EURO. Une capacit´e de 2 000 peut eˆ tre e´ tendue a` une capacit´e de 5 000 pour 1 million d’EURO. Les surcapacit´es sont sans valeur. 3. La dur´ee de vie des e´ quipements est de 20 ans. 4. Le facteur d’annualisation, n´ecessaire car les profits sont r´epartis dans le futur, est de 25 % l’an. 5. La probabilit´e de succ`es du lancement du produit est estim´ee a` 20 % sur base d’exp´eriences d’introduction d’autres produits. Les diff´erents choix possibles peuvent eˆ tre utilement illustr´es sur un arbre de d´ecision tel que celui de la figure 9.3. Un carr´e repr´esente une d´ecision. Un cercle repr´esente un e´ tat du monde. Pour le choix d’une capacit´e, on va s´electionner la capacit´e d’esp´erance de profit la plus e´ lev´ee.
Chapitre 9. Conception d’un centre de production
144
Investiss. Profit. 1,500,000 40,000
haute demande
00
faible demande
0 e5
r ui
tr
ns
1, 800,000 40,000
co
ute e ha and m de
construire 2000
ne
1,500,000 16,000
étendre à 5000
rie
rester à 2000
faible demande
nc
ons
800,000 16,000
800,000 16,000
tru
ire 0
0
Figure 9.3: Arbre de d´ecision D´efinition 9.1 On appelle valeur nette pr´esente, la somme actualis´ee des profits futurs moins l’investissement initial. Appliquons ceci a` l’exemple. Consid´erons la construction initiale de 5 000 en cas de demande forte : (40 000 × 52) ×
20 X
j=1
Ã
1 1, 25
!j
− 1 500 000
On peut d´emonter la formule suivante pour le calcul d’annuit´es : n µ X
j=1
1 1+i
¶j
"
1 − (1 + i)−n = i
#
Appliquons ceci a` notre exemple : 20 X
j=1
Ã
1 1, 25
!j
"
#
1 − (1, 25)−20 = = 3, 953883 0, 25
On obtient donc une valeur nette au bout d’un an de : 40 000 × 52 × 3, 953883 − 1 500 000 = 6 724 077. Consid´erons maintenant la construction initiale de 5 000 en cas de demande faible : Ã !j 20 X 1 (16 000 × 52) × − 1 500 000 = 1 789 631. j=1 1, 25
Section 9.3. D´ecisions de capacit´e
145
Consid´erons la construction initiale de 2 000 augment´ee de 3 000, en cas de demande forte. L’investissement initial de 2 000 rapporte 16 000 EURO durant la premi`ere ann´ee et l’investissement de deuxi`eme ann´ee rapporte 40 000 EURO les 19 ann´ees suivantes : 1 (16 000 × 52) − 800 000 1, 25 Ã
20 X
1 + (40 000 × 52) 1, 25 j=2
!j
− 1 000 000 000 Ã
19 1 X 1 = −134 400 + ( (40 000 × 52) 1, 25 j=1 1, 25
!j
1 1, 25 − 1 000 000 000)
= 5 625 677.
Consid´erons maintenant la construction de 2000 en cas de demande faible : (16 000 × 52) ×
20 X
j=1
Ã
1 1, 25
!j
− 800 000 = 2 489 631.
Les r´esultats dans les diff´erents cas sont r´esum´es au tableau 9.2. D´ecision
demande
VNP
construire 5 000
forte
6 724 077
construire 5 000
faible
1 789 631
construire 2 000 + 3 000
forte
5 625 677
construire 2 000
faible
2 489 631
construire 0
forte
0
construire 0
faible
0
Tableau 9.2: Calcul de la VNP On peut alors calculer les profits esp´er´es dans chacun des trois cas : • Construire 5 000 : E(V N P ) = 0, 2 × 6 724 077 + 0, 8 × 1 789 631 = 2 776 520 EU RO. • Construire 2 000 : E(V N P ) = 0, 2 × 5 625 677 + 0, 8 × 2 489 631 = 3 116 840 EU RO.
Chapitre 9. Conception d’un centre de production
146 • Construire 0 :
E(V NP ) = 0 EU RO.
En conclusions, il vaut mieux construire une petite capacit´e et e´ tendre apr`es un an si n´ecessaire. Remarquons que le r´esultat d´epend crucialement de la probabilit´e de succ`es du produit. Si la probabilit´e est de 50 %, il devient plus int´eressant de construire d`es le d´ebut une capacit´e de 5 000 (voir exercice 9.3 ). Soulignons ici l’importance de bien choisir la capacit´e. Si l’on choisit une capacit´e trop faible, on perd des clients et on permet aux concurrents de rentrer sur le march´e. A l’inverse, si l’on choisit une capacit´e trop grande, on rentabilise moins bien une usine sous-utilis´ee, on inonde le march´e et on fait baisser le prix et on risque de rencontrer des difficult´es de remboursement des emprunts. Ceci illustre toute l’importance d’une bonne pr´evision a` long terme : que ce soient les pr´evisions de ventes dans le secteur automobile, les pr´evisions de ventes d’´electricit´e, etc. . . . Une parade devant l’incertitude sur la demande est donc la construction par phases successives d’usines d’assemblage et des centrales e´ lectriques.
9.4
D´ecisions de localisation
La d´ecision de localisation d’un centre de production doit eˆ tre analys´ee en tenant compte de plusieurs crit`eres : 1. la facilit´e d’acc`es, les coˆuts de transport; 2. la disponibilit´e, qualification et le coˆut de la main d’œuvre; 3. le coˆut de construction, les taxes locales; 4. l’attraction des clients; 5. la disponibilit´e des mati`eres premi`eres; 6. les attitudes des autorit´es locales et nationales. L’importance relative de ces crit`eres d´epend du type d’activit´e a` localiser : • localiser un super-march´e : les coˆuts de transport et l’attraction des clients sont pr´epond´erants; • localiser une usine : le coˆut de la main d’œuvre et la disponibilit´e des mati`eres premi`eres sont pr´epond´erants.
Section 9.4. D´ecisions de localisation
147
Les mod`eles de localisation optimale consid`erent g´en´eralement un seul crit`ere. Deux techniques sont appliqu´ees suivant l’objectif poursuivi : la technique de gravit´e si on veut minimiser les coˆuts totaux de transport ou celle de discr´etisation si on veut minimiser le temps d’acc`es au client le plus e´ loign´e : • La technique du centre de gravit´e. Si l’on veut minimiser le nombre total de tonnes-kilom`etres de produit transport´e, on a int´erˆet a` se situer au centre de gravit´e des clients et fournisseurs. Par exemple, dans la localisation d’une usine de production de b´etons, on a int´erˆet a` se situer au centre de gravit´e des carri`eres et des gros clients. • La m´ethode de discr´etisation. Lorsque le crit`ere temps d’acc`es est le plus important, on aura recours le plus souvent a` des emplacements multiples afin d’avoir un bon acc`es a` tous. Par exemple, lors de la localisation d’un centre d’intervention de pompiers, on veut minimiser le temps d’acc`es au client le plus e´ loign´e. Ce qui conduit a` implanter des antennes d´ecentralis´ees. Nous allons maintenant voir comment calculer le centre de gravit´e. A la figure 9.4, on a repr´esent´e la localisation dans le plan des diff´erents clients et des diff´erents fournisseurs de mati`ere premi`ere. Notons :
Cl1
MP2
MP1 Cln
Cl2
MPm
Figure 9.4: Centre de gravit´e MPi , Clj , ri, Rj ,
le nombre de tonnes de mati`ere premi`ere a` aller chercher en i; le nombre de tonnes de produits finis a` conduire chez le client j; le coˆut de transport d’une tonne de mati`ere premi`ere venant de i; le coˆut de transport d’une tonne de produit fini chez j.
Le centre de gravit´e est le point (x∗ , y∗ ) qui minimise la somme des coˆuts de transport des mati`eres premi`eres et des produits finaux en supposant des distances
Chapitre 9. Conception d’un centre de production
148
en ligne droite et des coˆuts lin´eaires :
∗
x
y
∗
=
m X
=
i=1 m X
rixiM Pi +
i=1 m X
riM Pi +
riyi M Pi i=1 m X
+
ri M Pi +
i=1
9.4.1
m X
j=1 m X
j=1 m X
j=1 m X
Rj xj Clj Rj Clj Rj yj Clj Rj Clj
j=1
Utilisation de la programmation math´ematique
Pour terminer ce chapitre, nous allons illustrer, sur un exemple, l’utilit´e de la programmation math´ematique dans les d´ecisions de localisation. Les diff´erentes donn´ees du probl`eme sont reprises aux tableaux 9.3 et 9.4. Les coˆuts de transport entre les diff´erentes usines et les diff´erents clients sont donn´es en EURO par kg. Les demandes des clients sont donn´ees en millions de kg par jour. Les coˆuts de production sontdonn´es enEUROpar kg. Les capacit´es deproduction sont donn´ees en millions de kg par jour. Vers le le client 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Coˆut de l’usine (EURO/kg) A B C 0,021 0,039 0,035 0,024 0,029 0,034 0,019 0,040 0,029 0,048 0,027 0,026 0,037 0,024 0,032 0,029 0,023 0,041 0,020 0,041 0,032 0,041 0,034 0,019 0,050 0,034 0,018 0,047 0,035 0,018
Demande du client (106 kg/jour) 0,5 0,8 0,5 0,9 0,9 0,8 0,6 0,6 0,8 0,7
Tableau 9.3: Coˆuts de transport et demandes On veut d´eterminer le plan de distribution qui minimise les coˆuts de production et les coˆuts de transport.
Section 9.4. D´ecisions de localisation
149
Usine Coˆut de production (EURO/kg) Capacit´e de production (106 kg/jour)
A B 0,347 0,326 1,8 4
C 0,351 1,6
Tableau 9.4: Coˆuts et capacit´es de production Nous allons formuler le probl`eme comme un probl`eme de programmation math´ematique : • Choix des variables. Notons xij , le nombre de millions de kg produits a` l’usine i et livr´es au client j. • Expression de l’objectif. Il s’exprime simplement par : min
3 X 10 X
cij xij
i=1 j=1
avec cij , le coˆut de fourniture d’un million d’unit´es de l’usine i vers le client j. Ce coˆut est la somme du coˆut de production et du coˆut de transport. • Expression des contraintes. Elles sont de deux types : – “Respecter la capacit´e de l’usine i, soit CAPi” : 10 X
j=1
xij ≤ CAPi
– “Satisfaire la demande du client j, soit DEMj ” : 3 X
xij = DEMj
i=1
La solution optimale peut eˆ tre trouv´ee par l’algorithme du Simplexe puisqu’il s’agit d’un probl`eme purement lin´eaire. Examinons maintenant le probl`eme de la localisation d’une nouvelle usine. Supposons que l’usine C doive eˆ tre remplac´ee. Les alternatives possibles sont : 1. Accroˆıtre l’usine B a` 6 millions de kg par jour. 2. Construire une nouvelle C de 2 millions de kg/jour. 3. Construire une nouvelle C de 4 millions de kg/jour.
Chapitre 9. Conception d’un centre de production
150
Les alternatives coˆut fixe coˆut marginal 6 millions B 18 millions EURO 0,326 2 millions C 18 millions EURO 0,335 4 millions C 34 millions EURO 0,320 Tableau 9.5: Donn´ees de coˆut des alternatives Leurs coˆuts respectifs sont donn´es au tableau 9.5. Effectuons une comparaison des 3 alternatives et de la situation actuelle. Il s’agit de r´esoudre successivement quatre probl`emes lin´eaires not´es (LP1) a` (LP4) au tableau 9.6. Dans la colonne “coˆut journalier”, on donne la somme du coˆut de production et du coˆut de transport, hors frais fixes d’investissement.
(LP1) (LP2) (LP3) (LP4)
Les alternatives coˆut journalier situation actuelle 2 561 600 6 millions B 2 547 300 2 millions C 2 533 100 4 millions C 2 469 700
coˆut fixe 18 millions 18 millions 34 millions
Tableau 9.6: Donn´ees de coˆut des alternatives Une premi`ere conclusion qui peut eˆ tre tir´ee de ce tableau est que (LP2) peut eˆ tre e´ limin´e car ayant un coˆut fixe identique a` celui de (LP3), une alternative qui a un coˆut journalier inf´erieur. Calculons l’´economie de (LP3) sur 300 jours de production par rapport a` la situation actuelle : (2 561 600 − 2 533 100) × 300 = 8 555 000 Soit une e´ conomie de 8,555 millions par an pour un investissement initial de 18 millions d’EURO. Cet investissement est certainement rentable, quel que soit le facteur d’actualisation. Calculons maintenant l’´economie additionnelle de (LP4) par rapport a` (LP3) : (2 533 100 − 2 469 700) × 300 = 19 020 000 Soit un e´ conomie additionnelle de 19,020 millions par an pour un investissement additionnel de 16 millions d’EURO. A nouveau, cet investissement est hautement profitable. On choisira donc la solution (LP4) : construire la nouvelle usine C a` 4 millions de kg par jour. Remarquons que, dans la solution de (LP4), l’usine A n’est plus utilis´ee du tout et peut eˆ tre ferm´ee.
Section 9.4. D´ecisions de localisation
9.4.2
151
Utilisation de variables binaires
Enfin, terminons ce chapitre en illustrant l’importance de l’utilisation de variable binaires dans les d´ecisions de choix de capacit´e. Prenons l’exemple de l’ouverture e´ ventuelle d’une nouvelle usine D de 2 millions de capacit´e. La d´ecision d’ouverture de la nouvelle usine peut eˆ tre mod´elis´e par la variable binaire : y4 ∈ {0, 1} avec y4 valant 1 si l’usine D est ouverte et z´ero sinon. Cette variable binaire interviendra dans la contrainte de capacit´e de la nouvelle usine comme suit : 10 X
j=1
x4j ≤ 2y4
En effet, si l’usine D est ferm´ee, le membre de droite est nul et rien ne peut sortir de l’usine. Cette variable interviendra aussi dans la fonction objectif. En effet, a` la somme des coˆuts de transport, on peut ajouter le coˆut fixe du nouvel investissement. Ceci conduit a` l’expression suivante pour l’objectif : min z =
4 X 10 X
cij xij +
i=1 j=1
4 X
Ki yi
i=2
o`u Ki est le coˆut fixe d’ouverture de l’usine i. Remarquez aussi que les variable binaires peuvent eˆ tre utilis´ees pour d´ecider du niveau de la capacit´e d’une nouvelle usine parmi un nombre discret de valeurs possibles. Ainsi, si l’usine D peut avoir comme capacit´e 2 millions ou 5 millions d’unit´es, on peut e´ crire : 10 X
j=1
x4j ≤ 2y4 + 5y40
avec la contrainte suppl´ementaire que y4 + y40 = 1, ce qui va assurer qu’une seule des deux capacit´es est s´electionn´ee. Remarquez enfin que l’utilisation de variables binaire conduit a` un probl`eme en nombres entiers. Il s’agit d’un probl`eme plus difficile a` r´esoudre que lesprobl`emes lin´eaires (LP1) a` (LP4). Il peut eˆ tre r´esolu par application d’une m´ethode de programmation en nombres entiers telle que la m´ethode de “branch and bound”.
Chapitre 9. Conception d’un centre de production
152
9.5
Exercices
9.1. Equilibrage d’une chaˆıne. Pour l’exemple de la section 9.2.2, (a) au moyen d’un heuristique au choix, d´eterminer une r´epartition entre 7 op´erateurs de temps de cycle maximum de 18 minutes. (b) calculer le retard d’´equilibre de la chaˆıne ainsi obtenue. 9.2. Montage en chaˆıne d’une lampe. Le montage d’une lampe de bureau n´ecessite la r´ealisation de7 tˆaches(not´ees A a` G) dont lestemps e´ l´ementaires demontage sontdonn´esendeuxi`eme colonnedu tableau9.7. Les contraintes d’ant´eriorit´e sont donn´ees en troisi`eme colonne du tableau 9.7. L’objectif de production est de 9 000 lampes par mois. Un mois est constitu´e de 20 jours de 8 heures par jour (60 secondes par minute). Tˆache Temps (secondes)
Pr´ealables
A
22
-
B
14
A
C
27
-
D
40
B,C
E
9
-
F
41
D,E
G
12
F
Tableau 9.7: Montage de lampes a` la chaˆıne. (a) D´eterminez le temps maximum de cycle de la chaˆıne d’assemblage pour respecter cet objectif. Autrement dit, une lampe doit sortir de la chaˆıne toute les c secondes pour respecter cet objectif. On demande de d´eterminer c. (b) Repr´esentez sur un graphique de r´eseau les relations d’ant´eriorit´e. (c) Calculez le SCORE 2 pour chacune des tˆaches de montage. Pour rappel, le SCORE 2 est la somme du temps de la tˆache et de toutes les tˆaches qui la suivent. (d) En utilisant ce SCORE 2, d´eterminez, en utilisant l’heuristique vue au cours, une affectation des 7 tˆaches aux postes de travail successifs de la chaˆıne. (e) Calculez le retard d’´equilibre de votre solution.
Section 9.5. Exercices
153
9.3. Choix d’une capacit´e. Pour les donn´ees d’investissement de la section 9.3 mais avec une probabilit´e de succ`es du produit de 50 %, (a) recalculer les valeurs pr´esentes nettes des trois investissements; (b) expliquer pourquoi la d´ecision optimale change; (c) illustrer l’importance de faire une analyse de sensibilit´e a` cette probabilit´e de succ`es. 9.4. Restructuration d’un groupe sid´erurgique. Un groupe sid´erurgique, vu l’exc`es structurel de capacit´e, d´ecide de restructurer sa filiale de production de coke. Cette filiale travaille uniquement pour 4 gros clients situ´es a` Bruxelles, Charleroi, Namur et Ostende, respectivement. Actuellement, la demande de ses clients est satisfaite a` partir de 3 usines situ´ees a` Anvers, Li`ege et Mons, respectivement. Les coˆuts de transport d’une tonne de coke entre les usines et les villes sont donn´es au tableau 9.8. Coˆut de transport Bruxelles
Charleroi Namur
Ostende
Anvers
100
150
180
90
Li`ege
120
170
80
210
Mons
70
30
90
140
Tableau 9.8: Coˆuts unitaires de transport. Les capacit´es annuelles existantes de ces usines sont de 55, 35 et 40 millions de tonnes respectivement. La fermeture d’une des usines deproduction repr´esente un coˆut (correspondant a` une demi ann´ee de salaires) de 25 millions d’EURO pour Anvers, de 15 pour Li`ege et de 15 pour Mons. Ce coˆut est a` comparer au coˆut de paiement des salaires si l’on maintient l’usine en activit´e (50, 30 et 30 millions d’EURO respectivement). Le directeur examine les fiches de commandes des derni`eres ann´ees et estime que, pour l’ann´ee prochaine, il devra livrer 20, 12, 9 et 14 millions de tonnes de coke a` ses quatre clients. Sachantquel’approvisionnementd’unclientpeutsefaire a` partirdeplusieurs usines, lafirme doitd´eterminer quelles usines elle maintientouvertes l’ann´ee prochainedemani`ere a` minimiserlasomme descoˆutsdefermeture, descoˆuts salariaux des usines maintenues en activit´e et des coˆuts de transport vers les clients. Formulez math´ematiquement le probl`eme.
154
Chapitre 9. Conception d’un centre de production
9.5. Optimisation deflux de transports. L’entrepriseBˆatimentTravaux Publics Nantes Atlantique a 3 chantiers en cours : C1, C2, C3. Elle poss`ede 2 unit´es de production de b´eton, B1 et B2, et 2 carri`eres, G1 et G2, o`u sont produits les gravillons qui entrent dans la fabrication du b´eton. Si la production interne ne suffit pas, il est possible de faire appel a` la sous-traitance pour la production de gravillons (unit´e G3) et/ou pour la production de b´eton (unit´e B3). Dans la mesure du possible, on e´ vite d’utiliser la sous-traitance. Il faut 1/2 tonne de gravillons pour 1 tonne de b´eton. Les quantit´es de b´eton a` fournir dans la p´eriode aux chantiers C1, C2 et C3 sont respectivement 100, 200 et 130 tonnes. Les capacit´es de production en gravillons des unit´es G1 et G2 sont respectivement 75 et 60 tonnes pendant la p´eriode. La carri`ere du sous-traitant G3 peut fournir 100 tonnes au maximum. Les capacit´es de production en b´eton des unit´es B1 et B2 sont respectivement de 60 et 120 tonnes. Le sous-traitant B3 a une capacit´e de 600 tonnes pendant la mˆeme p´eriode. Les centrales a` b´eton B1, B2 et B3 utilisent uniquement les gravillons provenant de G1, G2 ou G3. EURO/tonne vers B1 de G1 100 de G2 60 de G3 120
vers B2 vers B3 80 85 70 65 180 140
Tableau 9.9: Coˆuts de transport des gravillons Les coˆuts de transport unitaire (en EURO/tonne) des gravillons sont donn´es a` la table 9.9 tandis que les coˆuts de transport unitaire (en EURO/tonne) des b´etons sont donn´es a` la table 9.10. EURO/tonne vers C1 de B1 40 de B2 25 de B3 40
vers C2 vers C3 50 60 30 30 45 60
Tableau 9.10: Coˆuts de transport des b´etons On veut d´eterminer comment satisfaire les commandes accept´ees a` coˆut de transport minimum, tout en n’ayant recours a` la sous-traitance que pour les capacit´es manquantes de fa¸con interne. Formulez le probl`eme.
Bibliographie [1] BAGLIN G´erard, Olivier BRUEL, Alain GARREAU, Michel GREIF et Christian VAN DELFT, Management Industriel et Logistique, Economica, Paris, 1996. [2] BROOKE Anthony, David KENDRICK et Alexander MEERAUS, GAMS User’s guide Release 2.25, The Scientific Press, San Francisco, 1992. ´ [3] CHVATAL Va˘sek, Linear Programming, Freeman and Company, 1983. [4] EXCEL, Guide de l’utilisateur, Microsoft, 1992. [5] GIARD Vincent, Gestion de la production, Economica, Paris, 1988. [6] GUERRIEN Bernard, Initiation aux math´ematiques, Economica, 1991. [7] F.S. HILLIER et G.S. LIEBERMAN, Introduction to Operations Research, 6`eme e´ dition, Mac Graw-Hill International Editions, Singapour, 1995. [8] LACAZE Dominique, Optimisation appliqu´ee a` la gestion et a` l’´economie, Economica, 1990. [9] D. G. LUENBERGER, Linear and NonlinearProgramming, Addison-Wesley, 1984. [10] J.O. MAC CLAIN, L.J. THOMAS et J.B. MAZZOLA, Operations Management: Production of Goods and Services, Prentice Hall, 1992. [11] NEMHAUSER, G.L. et L.A. WOLSEY, Integer and Combinatorial Optimization, Wiley, New York, 1988. [12] Y. NORBERT, R. OUELLET et R. PARENT, La recherche op´erationnelle, Ga¨etan Morin Editeur, Montr´eal-Paris, 1995. [13] SIMMONARD Michel, La programmation lin´eaire, Dunod 1972. [14] M.P. WILLIAMS, Model building in Mathematical Programming, John Wiley, 1990. 155
156
Bibliographie
[15] M.P.WILLIAMS, ModelsolvinginMathematicalProgramming , JohnWiley, 1992. [16] XPRESS-MP, User Guide and Reference Manual, Release 10, Dash Associate, 1997.
Annexe A Formulaire pour la gestion de production A.1
La gestion calendaire de stock
Coˆut de gestion : C(S) = cp Ip (S) + cr Ir (S) + cc 1 avec Ip (S) = stock moyen poss´ed´e : ¯ + Ir (S) (cas de stock a` rotation nulle) Ip (S) = S − X Ip (S) =
S−
¯ X 2
+
Ir (S) 2
(cas de stock a` rotation non nulle)
et Ir (S) = nombre moyen de demandes non satisfaites : Ir (S) = λP (X > S − 1) − SP (X > S)
si X ∼Poisson(λ)
Ir (S) =
si X ∼ N(µ, σ)
avec :
σ [f (tS ) − tS P (t > tS )]
2 ¯ S−X e−tS /2 tS = et f (tS ) = √ σ 2π
Politique optimale en stock a` rotation nulle : S ∗ tel que P (X > S ∗ ) < S ∗ tel que
cp < cp +cr ∗
P (X > S ∗ − 1)
P (X > S ) =
cp cr +cp
si X ∼ Poisson(λ) si X ∼ N (µ, σ)
Politique optimale en stock a` rotation non nulle : S ∗ tel que P (X > S ∗ ) < S ∗ tel que
cp c cr + 2p ∗
< P (X > S ∗ − 1)
P (X > S ) =
cp c cr + 2p
157
si X ∼ Poisson(λ) si X ∼ N(µ, σ)
Annexe A. Formulaire pour la gestion de production
158
Cons´equences e´ conomiques du choix optimal : • coˆut de gestion :
C(S ∗) = cr Ir (S ∗ ) + cp Ip (S ∗ ) + cc 1
• marge nette moyenne :
¯ − C(S ∗) B(S ∗ ) = mu X
avec mu , la marge unitaire.
A.2 A.2.1
La gestion par point de commande Cas de l’univers certain.
Coˆut de gestion en univers certain : C(q) = ccIc (q) + cp Ip (q) Niveau optimal de commande : ∗
q =
s
2cc D cp
o`u D est la demande annuelle, et cp , le coˆut unitaire de possession durant un an en stock. Point de commande : s = DL avec L = d´elai d’approvisionnement, exprim´e en ann´ee. Cons´equences du choix optimal : Ic (q), le nombre moyen de commande par an donn´e par : Ic (q) =
D q∗
Ip (q), le stock moyen poss´ed´e donn´e par : Ip (q) =
q∗ 2
Section A.2. La gestion par point de commande
A.2.2
159
Cas d’une demande al´eatoire
La quantit´e optimale a` commander q ∗ est d´etermin´ee en arbitrant entre le coˆut de commande et le coˆut de possession : ∗
q =
s
2cc D cp
a` partir de D, la demande moyenne annuelle donn´ee par : D= λ D= µ
si X ∼ Poisson(λ) si X ∼ N (µ, σ)
Le point de commande s∗ est d´etermin´e en arbitrant entre le coˆut de rupture et le coˆut de possession en utilisant la gestion calendaire pendant le d´elai d’obtention : s∗ tel que P (XL > s∗ ) < s∗ tel que
c0p cr +
c0p 2
< P (XL > s∗ − 1)
P (XL > s∗ ) =
c0p cr +
si XL ∼ Poisson(λL ) si XL ∼ N(µL , σL )
c0p 2
avec XL , la demande durant le d´elai d’obtention L et c0p , le coˆut unitaire de possession entre deux commandes : c0p = cp
q∗ . D
Cons´equences du choix optimal : • Le stock de s´ecurit´e est la diff´erence entre le point de commande et la demande moyenne durant L : s∗ − DL • Le nombre moyen de commandes : Ic (q∗ ) =
D q∗
• Le nombre moyen de ruptures par commande, not´e Irc, se calcule par : Irc (s∗ ) = λP (XL > s∗ − 1) − s∗P (XL > s∗ )
si XL ∼ Poisson(λL )
Irc (s∗ ) =
si XL ∼ N(µL , σL )
σg(ts )
d’o`u le nombre moyen de ventes manqu´ees par an, Ir (s∗ , q ∗ ), donn´e par : Ir (s∗ , q∗ ) = Ic (q ∗)Irc (s∗ ).
Annexe A. Formulaire pour la gestion de production
160
• Le stock moyen poss´ed´e en cas de ventes manqu´ees perdues : Ip (s∗ , q∗ ) =
q∗ I c (s∗ ) + (s∗ − DL) + r , 2 2
o`u Irc(s∗) note les ruptures par cycle (durant le d´elai d’obtention). • Le stock moyen poss´ed´e en cas de ventes manqu´ees diff´er´ees : Ip (s∗ , q∗ ) =
q∗ DL + (s∗ − DL) + ∗ Irc(s∗ ), 2 2q
o`u Irc(s∗) note les ruptures par cycle (durant le d´elai d’obtention). • Le coˆut de gestion annuel est le suivant : C(s∗ , q∗ ) = ccIc(q∗ ) + cp Ip (q ∗, s∗) + cr Ir (s∗ , q∗ ) • La marge nette moyenne annuelle est obtenue en soustrayant a` la marge annuelle sur la demande moyenne le coˆut de gestion annuel : B(s∗ , q ∗ ) = muD − C(s∗ , q ∗ ).
A.3
Equilibrage d’une chaˆıne de production
Le retard d’´equilibre : nc − T nc nombre de postes de travail, temps d’un cycle, temps total requis par un article. RE =
avec n c T
A.4
= = =
Calcul d’annuit´es n µ X t=1
avec n i
= =
1 1+i
¶t
"
1 − (1 + i)−n = i
nombre d’ann´ees, taux d’actualisation annuel.
#
Annexe B Tables pour la gestion de stocks B.1
Table de la loi Poisson(λ) λ x
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,45
0,5
0
0,0488
0,0952
0,1393
0,1813
0,2212
0,2592
0,2953
0,3297
0,3624
0,3935
1
0,0012
0,0047
0,0102
0,0175
0,0265
0,0369
0,0487
0,0616
0,0754
0,0902
2
0,0000
0,0002
0,0005
0,0011
0,0022
0,0036
0,0055
0,0079
0,0109
0,0144
3
0,0000
0,0000
0,0000
0,0001
0,0001
0,0003
0,0005
0,0008
0,0012
0,0018
4
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0001
0,0001
0,0002
5
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
Donne la probabilit´e P [Poisson(λ) > x]
161
Annexe B. Tables pour la gestion de stocks
162
λ x
0,55
0,6
0,65
0,7
0,75
0,8
0,85
0,9
1
1,5
0
0,4231
0,4512
0,4780
0,5034
0,5276
0,5507
0,5726
0,5934
0,6321
0,7769
1
0,1057
0,1219
0,1386
0,1558
0,1734
0,1912
0,2093
0,2275
0,2642
0,4422
2
0,0185
0,0231
0,0283
0,0341
0,0405
0,0474
0,0549
0,0629
0,0803
0,1912
3
0,0025
0,0034
0,0044
0,0058
0,0073
0,0091
0,0111
0,0135
0,0190
0,0656
4
0,0003
0,0004
0,0006
0,0008
0,0011
0,0014
0,0018
0,0023
0,0037
0,0186
5
0,0000
0,0000
0,0001
0,0001
0,0001
0,0002
0,0003
0,0003
0,0006
0,0045
6
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0001
0,0009
7
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0002
8
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
Donne la probabilit´e P [Poisson(λ) > x]
Section B.1. Table de la loi Poisson(λ)
163
λ x
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
5,5
6
6,5
0
0,8647
0,9179
0,9502
0,9698
0,9817
0,9889
0,9933
0,9959
0,9975
0,9985
1
0,5940
0,7127
0,8009
0,8641
0,9084
0,9389
0,9596
0,9734
0,9826
0,9887
2
0,3233
0,4562
0,5768
0,6792
0,7619
0,8264
0,8753
0,9116
0,9380
0,9570
3
0,1429
0,2424
0,3528
0,4634
0,5665
0,6577
0,7350
0,7983
0,8488
0,8882
4
0,0527
0,1088
0,1847
0,2746
0,3712
0,4679
0,5595
0,6425
0,7149
0,7763
5
0,0166
0,0420
0,0839
0,1424
0,2149
0,2971
0,3840
0,4711
0,5543
0,6310
6
0,0045
0,0142
0,0335
0,0653
0,1107
0,1689
0,2378
0,3140
0,3937
0,4735
7
0,0011
0,0042
0,0119
0,0267
0,0511
0,0866
0,1334
0,1905
0,2560
0,3272
8
0,0002
0,0011
0,0038
0,0099
0,0214
0,0403
0,0681
0,1056
0,1528
0,2084
9
0,0000
0,0003
0,0011
0,0033
0,0081
0,0171
0,0318
0,0538
0,0839
0,1226
10
0,0000
0,0001
0,0003
0,0010
0,0028
0,0067
0,0137
0,0253
0,0426
0,0668
11
0,0000
0,0000
0,0001
0,0003
0,0009
0,0024
0,0055
0,0110
0,0201
0,0339
12
0,0000
0,0000
0,0000
0,0001
0,0003
0,0008
0,0020
0,0045
0,0088
0,0160
13
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0001
0,0003
0,0007
0,0017
0,0036
0,0071
14
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0001
0,0002
0,0006
0,0014
0,0030
15
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0001
0,0002
0,0005
0,0012
16
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0001
0,0002
0,0004
17
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0001
0,0002
18
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0001
19
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
Donne la probabilit´e P [Poisson(λ) > x]
Annexe B. Tables pour la gestion de stocks
164
λ x
7
7,5
8
8,5
9
9,5
10
11
12
13
0
0,9991
0,9994
0,9997
0,9998
0,9999
0,9999
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1
0,9927
0,9953
0,9970
0,9981
0,9988
0,9992
0,9995
0,9998
0,9999
1,0000
2
0,9704
0,9797
0,9862
0,9907
0,9938
0,9958
0,9972
0,9988
0,9995
0,9998
3
0,9182
0,9409
0,9576
0,9699
0,9788
0,9851
0,9897
0,9951
0,9977
0,9989
4
0,8270
0,8679
0,9004
0,9256
0,9450
0,9597
0,9707
0,9849
0,9924
0,9963
5
0,6993
0,7586
0,8088
0,8504
0,8843
0,9115
0,9329
0,9625
0,9797
0,9893
6
0,5503
0,6218
0,6866
0,7438
0,7932
0,8351
0,8699
0,9214
0,9542
0,9741
7
0,4013
0,4754
0,5470
0,6144
0,6761
0,7313
0,7798
0,8568
0,9105
0,9460
8
0,2709
0,3380
0,4075
0,4769
0,5443
0,6082
0,6672
0,7680
0,8450
0,9002
9
0,1695
0,2236
0,2834
0,3470
0,4126
0,4782
0,5421
0,6595
0,7576
0,8342
10
0,0985
0,1378
0,1841
0,2366
0,2940
0,3547
0,4170
0,5401
0,6528
0,7483
11
0,0533
0,0792
0,1119
0,1513
0,1970
0,2480
0,3032
0,4207
0,5384
0,6468
12
0,0270
0,0427
0,0638
0,0909
0,1242
0,1636
0,2084
0,3113
0,4240
0,5369
13
0,0128
0,0216
0,0342
0,0514
0,0739
0,1019
0,1355
0,2187
0,3185
0,4270
14
0,0057
0,0103
0,0173
0,0274
0,0415
0,0600
0,0835
0,1460
0,2280
0,3249
15
0,0024
0,0046
0,0082
0,0138
0,0220
0,0335
0,0487
0,0926
0,1556
0,2364
16
0,0010
0,0020
0,0037
0,0066
0,0111
0,0177
0,0270
0,0559
0,1013
0,1645
17
0,0004
0,0008
0,0016
0,0030
0,0053
0,0089
0,0143
0,0322
0,0630
0,1095
18
0,0001
0,0003
0,0007
0,0013
0,0024
0,0043
0,0072
0,0177
0,0374
0,0698
19
0,0000
0,0001
0,0003
0,0005
0,0011
0,0020
0,0035
0,0093
0,0213
0,0427
20
0,0000
0,0000
0,0001
0,0002
0,0004
0,0009
0,0016
0,0047
0,0116
0,0250
21
0,0000
0,0000
0,0000
0,0001
0,0002
0,0004
0,0007
0,0023
0,0061
0,0141
22
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0001
0,0001
0,0003
0,0010
0,0030
0,0076
23
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0001
0,0001
0,0005
0,0015
0,0040
24
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0002
0,0007
0,0020
25
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0001
0,0003
0,0010
26
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0001
0,0005
27
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0001
0,0002
28
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0001
29
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
Donne la probabilit´e P [Poisson(λ) > x]
Section B.1. Table de la loi Poisson(λ)
165
λ x
14
15
16
17
18
0
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
2
0,9999
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
3
0,9995
0,9998
0,9999
1,0000
1,0000
4
0,9982
0,9991
0,9996
0,9998
0,9999
5
0,9945
0,9972
0,9986
0,9993
0,9997
6
0,9858
0,9924
0,9960
0,9979
0,9990
7
0,9684
0,9820
0,9900
0,9946
0,9971
8
0,9379
0,9626
0,9780
0,9874
0,9929
9
0,8906
0,9301
0,9567
0,9739
0,9846
10
0,8243
0,8815
0,9226
0,9509
0,9696
11
0,7400
0,8152
0,8730
0,9153
0,9451
12
0,6415
0,7324
0,8069
0,8650
0,9083
13
0,5356
0,6368
0,7255
0,7991
0,8574
14
0,4296
0,5343
0,6325
0,7192
0,7919
15
0,3306
0,4319
0,5333
0,6285
0,7133
16
0,2441
0,3359
0,4340
0,5323
0,6249
17
0,1728
0,2511
0,3407
0,4360
0,5314
18
0,1174
0,1805
0,2577
0,3450
0,4378
19
0,0765
0,1248
0,1878
0,2637
0,3491
20
0,0479
0,0830
0,1318
0,1945
0,2693
21
0,0288
0,0531
0,0892
0,1385
0,2009
22
0,0167
0,0327
0,0582
0,0953
0,1449
23
0,0093
0,0195
0,0367
0,0633
0,1011
24
0,0050
0,0112
0,0223
0,0406
0,0683
25
0,0026
0,0062
0,0131
0,0252
0,0446
26
0,0013
0,0033
0,0075
0,0152
0,0282
27
0,0006
0,0017
0,0041
0,0088
0,0173
28
0,0003
0,0009
0,0022
0,0050
0,0103
29
0,0001
0,0004
0,0011
0,0027
0,0059
30
0,0001
0,0002
0,0006
0,0014
0,0033
31
0,0000
0,0001
0,0003
0,0007
0,0018
32
0,0000
0,0000
0,0001
0,0004
0,0010
33
0,0000
0,0000
0,0001
0,0002
0,0005
34
0,0000
0,0000
0,0000
0,0001
0,0002
35
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0001
36
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0001
37
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
Annexe B. Tables pour la gestion de stocks
166
B.2
Table de la loi normale Z ∼ N(0, 1) P zi
zj 0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,0
0,5000
0,4960
0,4920
0,4880
0,4840
0,4801
0,4761
0,4721
0,4681
0,4641
0,1
0,4602
0,4562
0,4522
0,4483
0,4443
0,4404
0,4364
0,4325
0,4286
0,4247
0,2
0,4207
0,4168
0,4129
0,4090
0,4052
0,4013
0,3974
0,3936
0,3897
0,3859
0,3
0,3821
0,3783
0,3745
0,3707
0,3669
0,3632
0,3594
0,3557
0,3520
0,3483
0,4
0,3446
0,3409
0,3372
0,3336
0,3300
0,3264
0,3228
0,3192
0,3156
0,3121
0,5
0,3085
0,3050
0,3015
0,2981
0,2946
0,2912
0,2877
0,2843
0,2810
0,2776
0,6
0,2743
0,2709
0,2676
0,2643
0,2611
0,2578
0,2546
0,2514
0,2483
0,2451
0,7
0,2420
0,2389
0,2358
0,2327
0,2296
0,2266
0,2236
0,2206
0,2177
0,2148
0,8
0,2119
0,2090
0,2061
0,2033
0,2005
0,1977
0,1949
0,1922
0,1894
0,1867
0,9
0,1841
0,1814
0,1788
0,1762
0,1736
0,1711
0,1685
0,1660
0,1635
0,1611
1,0
0,1587
0,1562
0,1539
0,1515
0,1492
0,1469
0,1446
0,1423
0,1401
0,1379
1,1
0,1357
0,1335
0,1314
0,1292
0,1271
0,1251
0,1230
0,1210
0,1190
0,1170
1,2
0,1151
0,1131
0,1112
0,1093
0,1075
0,1056
0,1038
0,1020
0,1003
0,0985
1,3
0,0968
0,0951
0,0934
0,0918
0,0901
0,0885
0,0869
0,0853
0,0838
0,0823
1,4
0,0808
0,0793
0,0778
0,0764
0,0749
0,0735
0,0721
0,0708
0,0694
0,0681
1,5
0,0668
0,0655
0,0643
0,0630
0,0618
0,0606
0,0594
0,0582
0,0571
0,0559
1,6
0,0548
0,0537
0,0526
0,0516
0,0505
0,0495
0,0485
0,0475
0,0465
0,0455
1,7
0,0446
0,0436
0,0427
0,0418
0,0409
0,0401
0,0392
0,0384
0,0375
0,0367
1,8
0,0359
0,0351
0,0344
0,0336
0,0329
0,0322
0,0314
0,0307
0,0301
0,0294
1,9
0,0287
0,0281
0,0274
0,0268
0,0262
0,0256
0,0250
0,0244
0,0239
0,0233
2,0
0,0228
0,0222
0,0217
0,0212
0,0207
0,0202
0,0197
0,0192
0,0188
0,0183
2,1
0,0179
0,0174
0,0170
0,0166
0,0162
0,0158
0,0154
0,0150
0,0146
0,0143
2,2
0,0139
0,0136
0,0132
0,0129
0,0125
0,0122
0,0119
0,0116
0,0113
0,0110
2,3
0,0107
0,0104
0,0102
0,0099
0,0096
0,0094
0,0091
0,0089
0,0087
0,0084
2,4
0,0082
0,0080
0,0078
0,0075
0,0073
0,0071
0,0069
0,0068
0,0066
0,0064
2,5
0,0062
0,0060
0,0059
0,0057
0,0055
0,0054
0,0052
0,0051
0,0049
0,0048
2,6
0,0047
0,0045
0,0044
0,0043
0,0041
0,0040
0,0039
0,0038
0,0037
0,0036
2,7
0,0035
0,0034
0,0033
0,0032
0,0031
0,0030
0,0029
0,0028
0,0027
0,0026
2,8
0,0026
0,0025
0,0024
0,0023
0,0023
0,0022
0,0021
0,0021
0,0020
0,0019
2,9
0,0019
0,0018
0,0018
0,0017
0,0016
0,0016
0,0015
0,0015
0,0014
0,0014
3,0
0,0013
0,0013
0,0013
0,0012
0,0012
0,0011
0,0011
0,0011
0,0010
0,0010
Donne la probabilit´e P (Z > zi + zj )
Section B.3. Table pour le calcul de Ir (S)
B.3
167
Table pour le calcul de Ir (S)
g(tS ) ti
tj 0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
-3
3,0005
3,0104
3,0202
3,0304
3,0403
3,0505
3,0603
3,0702
3,0804
3,0903
-2,9
2,9004
2,9105
2,9204
2,9305
2,9406
2,9504
2,9606
2,9704
2,9805
2,9904
-2,8
2,8006
2,8107
2,8207
2,8308
2,8405
2,8506
2,8607
2,8705
2,8805
2,8906
-2,7
2,7010
2,7109
2,7209
2,7309
2,7409
2,7508
2,7608
2,7708
2,7809
2,7909
-2,6
2,6014
2,6115
2,6214
2,6312
2,6414
2,6513
2,6612
2,6711
2,6811
2,6910
-2,5
2,5020
2,5120
2,5218
2,5318
2,5419
2,5517
2,5617
2,5716
2,5817
2,5915
-2,4
2,4027
2,4126
2,4225
2,4326
2,4425
2,4524
2,4624
2,4721
2,4821
2,4920
-2,3
2,3037
2,3137
2,3234
2,3334
2,3434
2,3531
2,3632
2,3730
2,3828
2,3929
-2,2
2,2049
2,2146
2,2246
2,2344
2,2445
2,2543
2,2641
2,2740
2,2839
2,2938
-2,1
2,1064
2,1164
2,1261
2,1359
2,1457
2,1556
2,1654
2,1753
2,1852
2,1949
-2
2,0084
2,0183
2,0280
2,0378
2,0476
2,0574
2,0672
2,0771
2,0868
2,0967
-1,9
1,9111
1,9207
1,9305
1,9402
1,9499
1,9597
1,9694
1,9792
1,9889
1,9987
-1,8
1,8143
1,8240
1,8335
1,8433
1,8529
1,8625
1,8723
1,8820
1,8916
1,9013
-1,7
1,7182
1,7279
1,7374
1,7470
1,7566
1,7661
1,7758
1,7853
1,7951
1,8047
-1,6
1,6232
1,6327
1,6422
1,6516
1,6611
1,6706
1,6801
1,6896
1,6992
1,7088
-1,5
1,5293
1,5387
1,5479
1,5574
1,5667
1,5761
1,5855
1,5949
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1,6138
-1,4
1,4366
1,4458
1,4551
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1,4922
1,5013
1,5107
1,5200
-1,3
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-1,2
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-1,1
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-1
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0
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0,4402
0,4456
Annexe B. Tables pour la gestion de stocks
168 g(tS ) ti
tj 0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
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0
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0,0008
0,0008
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3
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0,0003
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0,0004
0,0003
Donne g(tS ) = [f (tS ) − tS P (t > tS )]