FACULTAD DE EDUCACIÓN
CARLOS ARTURO RAMIREZ CAÑIZALEZ
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DEL CHOCÓ “DIEGO LUIS CÓRDOBA”
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INTRODUCCIÓN OBJETIVOS
CAPÍTULO I: INTRODUCCION LA LOGICA. LOGICA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. . . . . PROPOSICIONES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6 6
1.1.1 1.1 DEFIN FINICIÓ ICIÓN. N. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 NOTACIÒN PARA LAS PROPORCIONES. . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 ESQUEMAS PR PROPOSICIONALES LES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4 TAUTOLOGIA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6 6 8 11
CAPITULO II: TEORIA GENERAL DE CONJUNTOS. CONJUNTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DEFIN DEFINICI ICIONE ONES: S: NOTACI NOTACIÓN ÓN DE CONJUN CONJUNTOS TOS.. . . . . . . . . . . . . FORMAS FORMAS DE NOMBRA NOMBRAR R UN CONJU CONJUTO. TO. . . . . . . . . . . . . . . . . . POR ESTENCIÒN, POR COMPRENCIÓN. . . . . . . . . . . . . . . . . IGUALDAD DE CONJUNTOS. CONJUNTOS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . OPERA OPERACIO CIONES NES ENTR ENTR CO CONJU NJUNTO NTOS. S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . NUMER NUMEROS OS DE ELEMEN ELEMENTOS TOS DE UN CONJUN CONJUNTO. TO. . . . . . . . . ..
15 15 16 16 17 22 26
1. 1.1
2. 2.1 2.1 2.2 2.2 2.3 2.3 2.4 2.4
CAPITULO III 3. CONJUNTOS NUMERICOS. NUMERICOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.1 NUMER NUMEROS OS NATUR NATURALE ALES. S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.2 3.2 NUMER NUMEROS OS ENTERO ENTEROS. S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.3 3.3 NUMER NUMEROS OS RACION RACIONALE ALES. S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.4 3.4 NUMER NUMEROS OS IRRACI IRRACIONA ONALES LES.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.5 3.5 NUMER NUMEROS OS REAL REALES. ES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 35 3.5.1 OPERACIONES OPERACIONES CON NUMEROS REALES. REALES. . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 36 3.6 3.6 NUMER NUMEROS OS COMP COMPLEJ LEJOS. OS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 37 3.6.1 OPERACIONES OPERACIONES CON NUMEROS COMPLEJOS. COMPLEJOS. . . . . . . . . . . . . . 38 38 CAPITOLO IV REALES. REALES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. 4.1 4.1 PAR PAR OR ORDE DENA NADO DO O PARE PAREJA JA OR ORDE DENA NADA DA.. . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 4.2 PRODU PRODUCTO CTO CARTE CARTECIA CIANO NO DE DOS CONJUN CONJUNTOS TOS . . . . . . . . . 4.2.1 DEFINICIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 4.3 DEFIN DEFINICI ICIÓN ÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
42 42 43 43 44
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INTRODUCCIÓN OBJETIVOS
CAPÍTULO I: INTRODUCCION LA LOGICA. LOGICA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. . . . . PROPOSICIONES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.1.1 1.1 DEFIN FINICIÓ ICIÓN. N. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 NOTACIÒN PARA LAS PROPORCIONES. . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 ESQUEMAS PR PROPOSICIONALES LES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4 TAUTOLOGIA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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CAPITULO II: TEORIA GENERAL DE CONJUNTOS. CONJUNTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DEFIN DEFINICI ICIONE ONES: S: NOTACI NOTACIÓN ÓN DE CONJUN CONJUNTOS TOS.. . . . . . . . . . . . . FORMAS FORMAS DE NOMBRA NOMBRAR R UN CONJU CONJUTO. TO. . . . . . . . . . . . . . . . . . POR ESTENCIÒN, POR COMPRENCIÓN. . . . . . . . . . . . . . . . . IGUALDAD DE CONJUNTOS. CONJUNTOS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . OPERA OPERACIO CIONES NES ENTR ENTR CO CONJU NJUNTO NTOS. S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . NUMER NUMEROS OS DE ELEMEN ELEMENTOS TOS DE UN CONJUN CONJUNTO. TO. . . . . . . . . ..
15 15 16 16 17 22 26
1. 1.1
2. 2.1 2.1 2.2 2.2 2.3 2.3 2.4 2.4
CAPITULO III 3. CONJUNTOS NUMERICOS. NUMERICOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.1 NUMER NUMEROS OS NATUR NATURALE ALES. S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.2 3.2 NUMER NUMEROS OS ENTERO ENTEROS. S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.3 3.3 NUMER NUMEROS OS RACION RACIONALE ALES. S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.4 3.4 NUMER NUMEROS OS IRRACI IRRACIONA ONALES LES.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.5 3.5 NUMER NUMEROS OS REAL REALES. ES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 35 3.5.1 OPERACIONES OPERACIONES CON NUMEROS REALES. REALES. . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 36 3.6 3.6 NUMER NUMEROS OS COMP COMPLEJ LEJOS. OS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 37 3.6.1 OPERACIONES OPERACIONES CON NUMEROS COMPLEJOS. COMPLEJOS. . . . . . . . . . . . . . 38 38 CAPITOLO IV REALES. REALES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. 4.1 4.1 PAR PAR OR ORDE DENA NADO DO O PARE PAREJA JA OR ORDE DENA NADA DA.. . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 4.2 PRODU PRODUCTO CTO CARTE CARTECIA CIANO NO DE DOS CONJUN CONJUNTOS TOS . . . . . . . . . 4.2.1 DEFINICIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 4.3 DEFIN DEFINICI ICIÓN ÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
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4.4 4.4 RELAC RELACIÓN IÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 4.4.1 DEFINICIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 4.4.2 DEFINICIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4.4.3 CLASES DE RELACIONES SOBRE UN CONJUNTOS . . . . . . 47 CAPITOLO V 5. CO CONC NCEP EPTO TOS S BÁS BÁSIC ICOS OS DE ÁLGE ÁLGEBR BRA A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 5.1 5.1 TEORÍA TEORÍA DE EXPONE EXPONENTE NTES S . . . . . . . . . .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 5.2 5.2 NO NOTAC TACIÓN IÓN CIENTÍ CIENTÍFIC FICA A . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 5.3 5.3 EXPRES EXPRESION IONES ES ALGEBR ALGEBRAIC AICAS AS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 5.3.1 CLASIFICACIONES CLASIFICACIONES DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS. . . . . 58 5.3.2 OPERACIONES OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS. ALGEBRAICAS. .. . . . . 60 5.3.3 MULTIPLICACIÓN MULTIPLICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS ALGEBRAICAS .. . . . . . 62 5.4. PRODUCTO PRODUCTOS S NOTAB NOTABLES LES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 5.5. DIVISION DIVISIONES ES DE EXPRESIO EXPRESIONES NES ALGEBRAI ALGEBRAICAS CAS . . . . . . . . . . . 66 5.6. DIVISION DIVISIONES ES SINTÉT SINTÉTICA ICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 5.7. FACTORIZA FACTORIZACIÓN CIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 71 5.7.1 EXPRESIONES ALGEBRAICAS IRREDUCIBLES IRREDUCIBLES . . . . .. . . . . . 72 5.7.2 CASOS DE FACTORIZACIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 CAPITOLO VI 6. ECUA ECUACI CION ONES ES DE UNA UNA VARI VARIAB ABLE LE . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 6.1 6.1 ECUAC ECUACION IONES ES . . . .... . . . . . . . . . . . . . . . . .... . . . . . . . . . . .... . . . . . 80 6.2 6.2 ECUAC ECUACION IONES ES LINEA LINEALES LES DE UNA VARIAB VARIABLE LE . . . . . . . .. . . . . . 82 6.3 ECUAC ECUACION IONES ES CUADR CUADRATI ATICAS CAS DE UNA VARIAB VARIABLE LE . .. . . . . . . 85 6.3.1 POR FACTORIZACIÓN FACTORIZACIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 6.3.2 POR FORMULA FORMULA CUADRATICA O FORMULA FORMULA GENERAL GENERAL . . . . . . 88 7.
BIBL BIBLIO IOGR GRAF AFÍA ÍA . . . . . . . . .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
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OBJETIVOS
Manejo correcto de las proposiciones y conectivos lógicos.
Construir tablas de verdad.
Utilizar correctamente el álgebra proposicional.
Utilizar correctamente las operaciones entre conjuntos.
Aplicar
la teoría de conjuntos en la solución de problemas.
Diferenciar correctamente los distintos conjuntos numéricos.
Efectuar operaciones de edición, sustracción, multiplicación y división de expresiones algebraicas.
Resolver operaciones algebraicas con ayuda de las leyes formales de la potenciación.
Distinguir las diferentes clases de relación.
Aplicar
los distintos casos de productos notables en la solución de
ejercicios.
Expresar un polinomio como el producto de dos o más factores.
Resolver ecuaciones lineales y cuadráticas.
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INTRODUCCIÓN
El estudio y la práctica de las matemáticas proporcionan al educando una serie de ventajas que van desde el marco exclusivo del pensamiento, hasta el de las experiencias diarias y vitales. El dominio y el manejo de las ciencias matemáticas no solo son necesarios para ayudar a resolver las dificultades y problemas que la vida plantea de continuo, sino también son instrumentos fundamentales para el análisis y comprensión de las demás ramas del saber.
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CAPÍTULO I
I. INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA
1.1 PROPOSICIONES 1.1.1. Definición: Intuitivamente una proposición es todo enunciado declarativo que está libre de ambigüedad y que tiene la propiedad de que es verdadero o falso, pero no ambos. Si una proposición es verdadera se le asigna el valor de verdad (V) y si es falsa se le asigna el valor de verdad (F). Así pues: i.
Cada proposición debe tener el valor de verdad (V) ó el valor de verdad (F).
ii.
Ninguna proposición debe tener ambos valores de verdad.
Iii.
Ninguna proposición podrá carecer de uno de dichos valores de verdad.
1.1.2. NOTACIÓN PARA LAS PROPOSICIONES
Representamos las proposiciones por letras minúsculas p, q, r, s etc. y las llamaremos letras proposicionales. Cuando no se le dé un significado específico, cada letra proposicional representará una proposición arbitraria.
Una proposición p tiene un valor de verdad que es V ó F pero no ambos a la vez.
Todas las proposiciones matemáticas son de este tipo, es decir, toman uno de los valores V ó F.
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Ejemplo 1: Dados los siguientes enunciados: i. 13 es un número primo ii. 3 + 5 = 17 iii. x + 4 = 6 iv. 16 = 4 (i), (ii) y (iv) son proposiciones, donde sabemos que verdaderas y (ii) es falsa.
(i) y (iv) son
La expresión (iii) no es una proposición puesto que no puede asignársele un valor de verdad. Las proposiciones anteriores suelen llamarse proposiciones simples, pues no poseen términos de enlace o conectivos. Las proposiciones compuestas son aquellas que se obtienen combinando proposiciones simples mediante términos de enlaces. Ejemplo 2: Son proposiciones compuestas. i. 2 es un número primo y 6 es un múltiplo de 3. ii. Si un número es par, entonces su cuadrado es un número par. iii. 3 + 5 = 17 ó 32 = 9 De cualquier proposición o conjunto de proposiciones se puede formar otras mediante la utilización de términos de enlace o conectivos proposicionales. Estos términos de enlace son: i. La conjunción y (∧) ii. La disyunción o (∨) iii. El condicional sí…. entonces ( →) iv. El bicondicional sí y solo sí ( ↔) v) La negación no (∼) Los operadores y, o, si…., entonces, si y solo sí, actúan sobre dos proposiciones a la vez y por tanto son operadores binarios en tanto que el operador no actúa sobre solo una proposición. En todos estos casos se obtienen proposiciones compuestas. 7
1.1.3. ESQUEMAS PROPOSICIONALES Un esquema proposicional o fórmula es toda combinación de letras proposicionales y operadores. Ejemplo 3: Son esquemas proposicionales: i.) ∼p ii.) p y q v.) p si y solo si q
iii.) p o q
iv.) si p entonces q
i.) Se leerá: No p y para evitar distorsiones gramaticales la leemos. No es el caso que p. ii.) p ∧ q (iii.) p ∨ q (iv.) p→q (vi.) p↔q El valor de verdad de una proposición compuesta depende del valor verdad de las proposiciones componentes: El valor de verdad de ∼p es siempre distinto del valor de verdad de p. La negación de una proposición falsa es una proposición verdadera. P V F
∼p F V
Definición 1: Conjunción. Sean p, q dos proposiciones, la proposición compuesta p y q (p ∧q) se llama la conjunción de p con q y se define así: El valor de verdad de p ∧ q es V si tanto p como q tienen valor V y, caso contrario, cuando al menos una de ellas tienen valor F, entonces el valor de verdad de la conjunción es F. Esta información puede resumirse en forma de una tabla de verdad así:
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P V V F F
Q V F V F
p∧q V F F F
Definición 2: Disyunción (p∨q) El valor de verdad de p ∨q es V cuando una de las proposiciones p, q tiene valor V o ambas tienen valor V, y tienen valor F, cuando tanto p como q tiene valor F. Dicho de otra manera, la disyunción p ∨q de dos proposiciones p, q es V cuando al menos una de ellas tiene valor V. P V V F F
Q V F V F
p∨q V V V F
Definición 3: Condicional (p ⇒ q) Sea p y q dos proposiciones, la proposición compuesta si p entonces q se llama la condicional de p con q y se define mediante la siguiente tabla de verdad: P Q p⇒q V V V V F F F V V F F V De la tabla se deduce que la condicional p ⇒ q es falsa cuando p es V y q es F. En la condicional “p ⇒ q”, p se llama antecedente y q consecuente. Para aclarar la tabla anterior consideramos el siguiente ejemplo: Juan le dice a su esposa “Si hago el negocio, entonces te compro una moto”.
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Veamos las distintas posibilidades:
Juan hace el negocio y le compra la moto a su esposa. En este caso mantiene su promesa; por lo tanto su proposición fue verdadera.
Juan hace el negocio, pero no le compra la moto a su esposa. En este caso, rompió su promesa, por ende su proposición fue falsa.
Juan no hace el negocio, pero a pesar de ello le compra la moto a su esposa (no rompiendo su promesa) por tanto su proposición fue verdadera.
Juan no hace el negocio y no le compró la moto a su esposa; por tanto no rompió su promesa y su proposición fue verdadera.
El valor de verdad p →q también queda determinado por el valor de la proposición ∼p∨q. Ejercicio: Elaborar la tabla de verdad. Definición 4: Bicondicinal (p q) El Bicondicional p⇔q de dos proposiciones p, q es V si p y q tienen ambas el mismo valor de verdad. Este bicondicional se puede definir mediante la siguiente tabla: P V V F F
Q V F V F
P⇔ q V F F V
Cuando dos proposiciones tienen el mismo valor de verdad también se dice que son equivalentes: 1.1.4. TAUTOLOGÍAS. Definición. Una tautología es una proposición compuesta que es verdadera para todos los posibles valores de verdad de las proposiciones componentes. 10
Ejemplo: Construir una tabla de verdad para ∼[p∧(∼p)] Solución: Se toman como encabezamiento, p, ∼p, p∧∼p y ∼[p∧(∼p)]. p V F
∼p F V
P∧(∼p) ∼[p∧(∼p)] F V F V
Como ∼[p∧(∼p)] es verdadera, para todos los posibles valores de verdad de p, entonces es una tautología. Ejercicio: 1. Construir en cada caso una tabla de verdad y verificar si es una tautología: i. (p∧p)⇒p ii. [(p⇒p) ∧ (q⇒r)] ⇒ (p⇒r) iii. [(∼p) ∧ (p ∧ q)] ⇒ q iv. p ∧ [(∼p) ∧(∼p)] v. (p∨q) ⇒ p) vi. (p∧q) ⇒ (p∨q) vii. (p∧q) ⇒ q) viii. [p∧(∼p) ⇒ q ix. (p⇒q) ⇒ ∼ [p∧(∼q)] Lo contrario a tautología se llama contradicción o una falacia. Ahora dos proposiciones compuestas son lógicamente equivalentes cuando tienen la misma tabla de verdad, esto es cuando los valores de verdad en la columna final son los mismos. 2. Mostrar que: i. ii. iii. iv.
[ (∼p) ∨ ( ∼q)] es lógicamente equivalente a ∼ (p∧q) p∧ (∼q) lógicamente equivalente a ∼ (∼p⇒q) p⇒ (∼q) es lógicamente equivalente a ( ∼p) ∨ (∼q) ∼(p⇒q) es lógicamente equivalente a p ∧∼q) 11
3. Mostrar que la conjunción y la disyunción de una proposición consigo misma es lógicamente equivalente a la proposición. 4. So p tiene valor V, q tiene valor F y r tiene valor V, determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: a. [p ⇒(q∨r)]⇔ [(p ⇒q)∨(p⇒r)] b. ∼(p∧q) ⇒ (∼p∨∼q) c. ∼(p∨q) ⇔ ∼[ p∧(q ⇒ r)] d. [(p ∧ q) ∧r ] ⇒[( p∧q) ∨∼r ] e. p ⇔ ∼[(p ⇒r) ∧(q ⇒r)] 5. Si p representa la proposición 13 es un número primo y q representa 26 es un número compuesto, obtener la traducción al lenguaje usual de cada uno de los esquemas proposicionales siguientes: I. ∼(∼p∧∼q) II. p∧∼q III. p ⇒ ∼q IV. ∼q ⇒ ∼p V. (p ⇒q) ∧(q ⇒p) VI. [(p∨q) ∧q ]⇒p VII. (∼p∨q)⇔ (∼q ∨p) 6. En el siguiente ejercicio asignar letras proposicionales a las diferentes proposiciones simples y utilizando conectivos y símbolo de agrupación, escribir los esquemas proposicionales correspondientes a cada de las proposiciones siguientes: a. 4 es un cuadrado perfecto y 5 es un número primo. b. Si 3 es un número primo y no es par entonces 6 es múltiplo de 3 o no es un cuadrado perfecto. c. 10 es un número par y producto de entero si y solo si 10 no es un número impar y no tiene factorización prima. d. Los números racionales periódicos son racionales o irracionales. e. Todo número real es un número complejo pero no todos los números complejos son reales. f. Si a, b, c son números enteros y a # 0, entonces la ecuación lineal ax+b = 0 tiene una solución única en el conjunto de los números racionales y pueden no tener solución entera. 12
7. Hallar las proposiciones simples que componen cada uno de los enunciados anteriores. 8. Si x es una variable individual, determinar cuáles de las siguientes expresiones son funciones proposicionales. a. x2 + x + 5 = 0 b. x es un número primo par c. x es un por menos mas
d. s es un múltiplo de 13 y de 3 e. para s puede mejor 9. Completar la siguiente tabla. p V V F F
q V F V F
∼p
∼q
P∧q
∼ (p∧q)
(∼p)∨ (∼q)
V
F
F
V
V
Para un determinado número n de proposiciones se tiene 2 n números de posibles combinaciones de valores de verdad. Por ejemplo para 3 proposiciones p, q, r., se tendrán las siguientes 2 3 combinaciones de valores de verdad dado por la siguiente tabla:
p V V V V F F F F
q V V F F V V F F
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r V F V F V F V F
Ejemplo: Muestre que las siguientes proposiciones son equivalentes (p ∨q) ∨r y (p∨q) ∨ r. Es decir que la tabla de verdad generada por ellas es una tautología.
P Q
r
p∨q
(p∨q) ∨r
p ∨r
V V V V F F F F
V F V F V F V F
V V V V V V F F
V V V V V V V F
V V V F V V V F
V V F F V V F F
p∨(p∨r ) V V V V V V V F
Es una tautología
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[(p∨q) ∨r ] ↔ [ p∨(p∨r)]
V V V V V V V V
CAPITULO 2 TEORIA GENERAL DE CONJUNTOS De la teoría de conjuntos, como estructura lógica, se deriva gran parte de la conceptualización matemática; es así como los conjuntos permiten construir y sistematizar como lenguaje específico que son: conceptos, definiciones, propiedades y teoremas, que facilitan el análisis y la capacidad de comprensión de la gran mayoría de los eventos matemáticos, aún en los temas más avanzados del cálculo, la teoría de probabilidades y las matemáticas modernas entre otras. 2.1 DEFINICIONES Noción de conjunto. Un conjunto es una colección bien definida de objetos, llamados elementos. Los conjuntos se denotan con letras mayúsculas del alfabeto A, B, C, D,…..; si se trata de conjuntos o “familias de conjuntos”, con letras inglesas tipo A, B, C,
Algunos ejemplos son: EJEMPLO: 1) N = {1, 2, 3, 4,…….} 2) A = {a, b, c, d,……. x, y, z } 3) C = {x / x ≥ 3, x ∈ N } 4) A = {{a, b}, { b, c},{d}}
Relación Elemento - Conjunto. La relación entre un elemento y un conjunto dado es una relación de pertenencia ∈, o no pertenencia∉. EJEMPLO: Si se tienen en cuenta los conjuntos anteriores. 1) 4 ∈ N. 2) 0 ∉ C 3) {a, b} ∈ A
4) {a, c} ∉ A . 5) d ∈ A. 6) 100 ∈ N. 15
Relación Conjunto - Conjunto. La relación entre dos conjuntos se establece como de inclusión ⊂ ó no inclusión⊄. EJEMPLO: De los conjuntos ya definidos. 1) {2, 4, 6 . . . . . . } ⊂ N. 2) {a, e, i, o, u, } ⊂ A 3) {x / x ≥ 10, x ∈ N} ⊂ C.
4) {{a, b, c,}} ⊄ A . 5) {{ b, c}, {d}} ⊂ A. 6) {-3, -2, 0} ⊄ N.
2.2 Formas de Nombrar un Conjunto. Básicamente existen dos formas de nombrar un conjunto. Ellas son: 1. Por Extensión o Forma Tabular. Se logra dando una lista de todos los elementos del conjunto. Ejemplo.
1) A = {a, b, c, d,… x, y, z,} 2) B = {2, -2} 3) P = {0, 2, 4, 6, 8…….} 4) E = {∅}
2. Por Comprensión o Forma Constructiva. Aquí se da una propiedad que
cumplen todos los elementos del conjunto, empleando eso si, la notación apropiada. EJEMPLO: 1) A = {x / x > 16, x ∈ Z} 2) B = {x / x2 + 4 = 0, x ∈ C} 3) C = {x / x son las letras de la palabra ingreso} 4) D = {x / 3 ≤ x ≤ 4, x ∈ R } Conjunto Finito. Un conjunto A es finito, si el proceso de contar sus elementos tiene fin, es decir al conjunto se le puede asociar un número entero positivo. EJEMPLO: 1) M = {x / -8 < x < 8; x es par } 2) D = {0, 1, 2, 3, …..., 9 }. Conjunto de los números dígitos
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Conjunto Infinito: A es un conjunto infinito si se presenta la imposibilidad de listar sus elementos, o de asociar el conjunto con un número entero positivo . EJEMPLO: 1. C = {x/x son las circunferencias que tienen como centro el origen de coordenadas cartesianas } 2. M = {x / -1< x < 1 x ∈ R } ¿Por qué es infinito?
Igualdad de Conjuntos: Dos conjuntos A y B son iguales si tienen los mismos elementos. Se escribe A = B. EJEMPLO: 1) Si A = {x / x2 + 4 = 0, x = C } y B = {2i, -2i} entonces, A = B 2) Si M = {c, o, s, t} y D = {x / x es una letra de la palabra costo} ¿Será M = N? Si A no es igual a B, entonces se dice que A es diferente de B, y se escribe A ≠ B.
Conjunto Vacío o Conjunto Nulo. Es un conjunto que carece de elementos en determinadas circunstancias. Se denota como ó ∅. EJEMPLO: 1) A = {x / x2 + 9 = 0, x ∈ R } = { } = ∅ ¿Por qué? 2) B = { x / x = √2, x ∈ Q } = { } = ∅ Conjunto Universal. También se le denomina conjunto de referencia ó conjunto de todos los conjuntos. Es un conjunto del cual se pueden derivar otros conjuntos. Matemáticamente se denota por la letra mayúscula U.
EJEMPLO: 1. Si U = N = {1, 2, 3, 4, ……}. De este conjunto se pueden derivar otros como: A = {2, 4, 6, 8, …..}; B = {1, 3, 5, …..}; C = {1, 2, 3, ….. 10}. De esta forma el conjunto N se plantea como un conjunto universal o de referencia para A, B y C. EJEMPLO: 2. El conjunto de los números C, es el conjunto universal para los demás conjuntos numéricos, estudiado acá.
Subconjunto. A es subconjunto de B si todos los elementos de A están en B, se escribe A B ó B A. (se lee: “B Superconjunto de A”) EJEMPLO: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C.
17
Conjuntos Comparables. A y B son conjuntos comparables si A ⊂ B ó B ⊂ A, es decir, si uno de los conjuntos está incluido en el otro conjunto. EJEMPLO: Si P = {0, 1, 2, 3, …..} y M = {2, 4, 6, 8,…..} como M ⊂ P, entonces M es comparable con P. Conjunto de Conjuntos. Son aquellos conjuntos cuyos elementos son a su vez conjuntos. Se denotan por letras inglesas y son llamados también “Familias de Conjuntos”. EJEMPLO:
= {{a, b}, {c, d}, { e }{ f }.}.
Conjunto Potencia. Si A es un conjunto, el conjunto potencia de A o conjunto de partes de A, es aquel cuyos elementos son todos los subconjuntos de A. Simbólicamente se escribe como 2 A ó p(A). El conjunto potencia p(A), tiene 2 n elementos, siendo n el número de elementos de A. EJEMPLO: 1. Si A = {x, y } el conjunto potencia tiene 2 2 = 4 elementos así: p (A) = {{ x }, { y }, A, ∅ }. EJEMPLO: 2. Si B = { 3, 4, 5 }, entonces: p (B) = {{ 3 }, { 4 }, { 5 }, { 3, 4 },{ 3, 5 }, { 4, 5 }, B, ∅ }. Es decir, el conjunto tiene 2 3 = 8 elementos. EJEMPLO: 3. Si A = {{ 1 }, { 1, 2 },
{ 3 } }.
¿Cual será el conjunto p( A )?
Observar que: si A es un conjunto, el conjunto p( A), lo tiene como subconjunto: esto porque todo conjunto es subconjunto de sí mismo. Consideración similar puede hacerse al conjunto ∅, pues el vacío es subconjunto de todo conjunto.
Conjuntos Disjuntos o Ajenos. A y B son conjuntos disjuntos, si no tienen ningún elemento en común. EJEMPLO: 1. Si A = {a, b, x, y } y B = { c, d, m, n }, entonces A y B son disjuntos porque no tienen elementos comunes, valga decir A ∩ B = ∅.
18
EJEMPLO: 2. Los conjuntos numéricos Q y Q` son disjuntos. Si un número racional no puede ser irracional y viceversa, entonces Q ∩ Q` = ∅.
Complemento de un Conjunto. Si A es un conjunto cualquiera, su complemento es el conjunto formado por los elementos que le faltan a ese conjunto, para ser igual al universal. El complemento del conjunto A se denota como A y se define como: c
A = {x / x ∈ U ∧ x ∉ A} c
Ejemplo 1. Si U = { 1, 2, 3, 4, ….. 9 } es el conjunto de los números dígitos y si se define el conjunto A, como A = { 2, 4, 6, 8}; entonces. Ac = {0, 1, 3, 5, 7, 9 } Ejemplo 2. Si el conjunto universal U son los reales R, entonces Q = Q`. El complemento de los números racionales es el conjunto de los números irracionales. c
Diagrama de Venn – Euler. Son diagramas cerrados que sirven para ilustrar relaciones y operaciones entre conjuntos. En teoría de Conjuntos es frecuente encontrar los siguientes: U
A
U
A B U
B A
U
A B
B C
En adelante se hará referencia a ello simplemente, como diagramas de Venn. EJEMPLO: 1. Si se definen los siguientes conjuntos. U = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, …..,9, 10 }; A = { 0, 1, 3, 5, 7, 8 }; B = { 0, 3, 4, 5, 6} 19
y C = {0, 2, 3, 6, 7, 9 }. Ubicar estos conjuntos en un diagrama de Venn. SOLUCIÓN: U A
1 8 5 7 0, 3
4
2
B
6
9 C 10
EJEMPLO: 2. Del siguiente diagrama determinar y escribir por extensión los conjuntos U, D, E, F. U D
c r h
e b
E
g F
d i, j C f
SOLUCIÓN: Del diagrama dado se lee: U = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k } D = { b, c, e, h, r }
E = { b, d, e, i, j } F = { b, g, h, i, j }
EJERCICIOS 2.1
1. Escribir las siguientes afirmaciones en notación de conjuntos. 1) x pertenece a A. 2) {{1,2}} es subconjunto de 3) -2 no es elemento de N. 4) A no incluye a B. 5) El conjunto potencia de W. 20
6) El conjunto de los x, tales que x ≥ 3 y x pertenece a los reales. 7) F no es subconjunto de G. 8) El complemento del conjunto T. 9) El conjunto vacío o conjunto nulo. 10) A es diferente de B. 2. Nombrar por extensión o forma tabular los siguientes conjuntos. 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)
A = {x / x2 -9 = 0, x ∈ R }. B = {x / x son las letras de la palabra “ elasticidad ”}. C = {x / x2 + x -6 = 0, x ∈ Z}. D = {x / x son las cifras o dígitos del número 2531 526 }. E = {x / -6 < x < 6, x ∈ N}. F = {x / x2 + 1 = 0, x ∈ C}. G = {x / x3 +1 = 0, x ∈ R }.
3. Pasar a comprensión o forma constructiva los siguientes conjuntos. 1) 2) 3) 4) 5)
A = { 5 }. B = {2, 4, 6, 8,…..}. C = {0, 1, 2, 3…..,}. D = {a, e, i, o, u }. E = {domingo, lunes, martes,…..sábado }.
4. Determinar cuales de los siguientes conjuntos son finitos o infinitos. 1) Los números primos 2) P = {x / x es impar }. 3) El conjunto de los números que son soluciones o raíces de la ecuación. x5 - 3x4 - x2 - 1 = 0. 4) El conjunto de rectas que pasan por el punto (0,0), en un sistema de coordenadas cartesianas. 5) 5. 1) 2) 3) 4)
M = { x / x = 3 y x = 4 }. Identificar en los siguientes conjuntos los que sean vacíos. A = { x / x es un número anterior a 1, en el conjunto N }. B = { x / x ≠ x}. C = { ∅ }. D = {x / 1 < x <2, x ∈ R }. 21
5) E = {x / x2 + 16 = 0, x ∈Z}. 6. Datos A = { a, b, c}; B = { 0, 1} y = {{x,y},{z}, {z, w}}, definir el número de subconjuntos que tiene cada uno de ellos. Hallar además, su respectivo conjunto potencia. 7. Sean A = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }; B = {4, 5, 6, 7, 8, 9 }; C = {2, 4, 8, 9}; D = {4, 5}; E = {2, 4}; F = {2} y X es un conjunto no conocido. ¿Cuáles de los conjuntos anteriores podría ser X?, si se cumplen las siguientes condiciones: 1) X ⊂ A ∧ X ⊂ B 2) X ⊄ B ∧ X ⊂ C
3) X ⊄ A ∧ X ⊂ C 4) X ⊂ B ∧ X ⊄ C
8. Determinar la falsedad ( F ) o verdad (V) de las siguientes proposiciones. Justificar en todos los casos la respectiva respuesta. 1) 2) 3) 4) 5)
___ Si A y B no son comparables, entonces A y B son conjuntos disjuntos. ___ El complemento de los números complejos, son los números imaginarios. ___ Ningún conjunto vacío es finito. ___ M = {x / -10 ≤ x ≤ 2, x ∈ R }. es un conjunto finito ___ ∅ = { 0 }.
2.3 OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS 1. UNIÓN. La unión entre dos conjuntos A y B, escrita como A ∪ B, se define como: A ∪ B = { x / x ∈ A ∨ x ∈ B }; o que son tanto los elementos de A, como los de B, es decir, los elementos comunes y no comunes a A y B. EJEMPLO 1. Si A = { u, v, x, y, z, w }; B = { m, n, x, y, z }. Hallar A ∪ B SOLUCIÓN: Como la unión de dos conjuntos son los elementos comunes y no comunes a ambos, entonces, A ∪ B = { m, n, u, v, x, y, z, w } y B ∪ A = { m, n, u, v, x, y, z, w } Así que A ∪ B = B ∪ A.
22
EJEMPLO 2. Si A = { x / x2 - x - 12 = 0, x ∈ N }; B = { 4, 8, 12}. Hallar A ∪ B SOLUCIÓN: Como A = { 4 }, entonces, A ∪ B = { 4, 8, 12 }. La unión entre conjuntos es una operación conmutativa. Las posibles representaciones en diagramas de Venn en general, pueden ilustrarse como sigue: U
1
A
U
2
A B
A∪B
B A∪B
U
3
A
U
4
A B B
C
A∪B
A∪B
2. INTERSECCIÓN. En notación conjuntista, la intersección de dos conjuntos A y B, denotada como A ∩ B, se define como: { x / x ∈ A ∧ x ∈ B}, es decir, son todos los elementos comunes a A y a B. EJEMPLO: Si A = { u, v, x, y, z, w } y B = { m, n, x, y, z }. Hallar A ∩ B. SOLUCIÓN: Se conforma la solución de la operación en el conjunto formado por los elementos comunes a A y B así: A∩B = { x, y, z} y B∩A = { x, y, z} Entonces A ∩ B = B ∩ A, es decir, la intersección de dos conjuntos, al igual que la unión entre conjuntos, es operación conmutativa. En diagramas de Venn, la representación general de esta operación es:
23
U
1
A
U
2
A B
A∩B
B A∩B=∅
U
3
U
4
A
A B
B C
A∩B
A∩B∩C
3. DIFERENCIA SIMPLE: Si A y B son conjuntos, la diferencia simple entre ellos escrita como A - B, se define como: A-B= x/x∈A∧x∉B En palabras, son los elementos de A que no pertenecen a B. EJEMPLO: Si A = { u, v, x, y, z, w } y B = { m, n, x, y, z }; encontrar A-B SOLUCIÓN: Aplicando la definición A - B = { u, v, w} y B-A = { m, n} Quiere decir esto que la operación diferencia simple, entre conjuntos no es conmutativa. En diagramas de Venn, puede ilustrarse esta operación como simple: U
1
A
U
2
A B
B
A-B
A-B
U
3
U
4
A
A
B
B A-B
C A-B
24
4. DIFERENCIA SIMETRICA: La diferencia simétrica entre dos conjuntos A y B, denotada A ∆ B, se define como: A ∆ B = { x / x ∈ ( A∪ B) ∧ X ∉ ( A∩B)} Es decir, la diferencia simétrica, es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a la unión de A y B y no a la intersección de estos. De acuerdo con la definición de la diferencia simple, la diferencia simétrica puede escribirse como: A ∆ B = ( A∪ B) - ( A∩B)} EJEMPLO: Si A = { u, v, x, y, z, w }; B = { m, n, x, y, z}. Encontrar el conjunto solución que resulta de operar A ∆ B. SOLUCIÓN: Para encontrar A ∆ B, se hace A ∪ B = { m, n, u, v, x, y, z, w } y A ∩ B = {x, y, z}; ahora por definición: A ∆ B = { m, n, u, v, w} y B ∆ A = { m, n, u, v, w} Estos dos últimos resultados sugieren que A ∆ B = B ∆ A. ¿entonces qué se puede concluir?. La representación general de la operación diferencia simétrica entre conjuntos. Es la siguiente: U
1
A
U
2
A B
B A∆B
A-B
U
3
A
U
4
A B
B A∆ B
C A∆B
25
EJERCICIO 2.2
1. En los ejercicios 1) al 6). Dibujar un diagrama de Venn que ilustre las siguientes operaciones entre conjuntos 1) 2) 3) 2.
(A - B) ∪ C 4) (A - C) ∪ A c c A ∆B 5) (A ∆ B)c (A ∩ B) ∩ C 6) (B - A) c ∩ (A - B) c En los ejercicios 1) al 8), efectuar las operaciones indicadas, sí:
U = { 0, 1, 2, 3, 4, . . . , 9 }; A = { 0, 2, 3, 5, 7, 9 }; B = { 1, 2, 6, 7, 8 }; C = { 0, 1, 4, 5, 6, 8}. 1) (A - B) ∪ (B – A)
5) (A - C) ∩ B
2) A - (B ∪C)
6)
c
(A ∪ B∪C)c c
3) (A ∪ B) c – (A ∩ C) c
7) (A ∆ B) ∩ (A ∆ B)c
4) (A ∆ B) ∆ C
8) (A - B) ∩ (B-A)
2.4 NÚMERO DE ELEMENTOS DE UN CONJUNTO. El número de elementos o cardinal de un conjunto A, se designa en Teoría de Conjuntos como n (A). El cardinal de A es el número de elementos que posee el conjunto . EJEMPLOS 1) 2)
Si A = {a, b, c, d }, entonces, n (A ) = 4. Si A = { ∅ }, entonces, n (A ) = 1.
1. Número de Elementos de la Unión de dos Conjuntos. Si A y B son dos conjuntos, el número de elementos de su unión se calcula empleando la expresión: n ( A ∪ B) = n (A) + n ( B ) - n (A ∩ B) EJEMPLO 1. Si A = {x, y, z} y B { p, q, r, z}. Hallar n(A∪ B) SOLUCIÓN: Para calcular el número de elementos de la unión de dos conjuntos, se tiene: 26
n ( A ∪ B) = n (A) + n ( B ) - n (A ∩ B) = 3 + 4 - 1 = 6 EJEMPLO 2. Si se define A = {x / x son las letras de la palabra “solidaria” } y el conjunto B = {x / x son las vocales }. Cuál es el número de elementos de A ∪ B? SOLUCIÓN: Expresando los conjuntos por extensión se llega a:
A = {s, o, l, i, d, a, r } y n (A) = 7; B = {a, e, i, o u } entonces, n(B) = 5 y n(A ∩ B) = 3 Por lo tanto se sigue que: n (A ∪ B) = n (A) + n(B) - n(A ∩ B) = 7 + 5 – 3 = 9 Si los conjuntos A y B son disjuntos, es decir, A ∩ B = ∅, la fórmula para encontrar el número de elementos de A∪B se reduce a: n (A ∪ B) = n (A) + n(B) EJEMPLO 3. Una empresa tiene 400 empleados, de los cuales 200 consiguieron un aumento de salario, 100 fueron ascendidos y 50 estuvieron en las dos situaciones. 1) ¿Cuántos empleados no tuvieron ni aumento ni ascenso?. 2) ¿Cuántos empleados tuvieron aumento de salario pero no fueron ascendidos?. 3) Realizar un diagrama de Venn. SOLUCIÓN: Del enunciado del problema: Sean A = Conjunto de empleados que consiguieron aumento de salario, y B = Conjunto de empleados que llegaron al ascenso. Entonces: n( U ) = 400; n (A) = 200; n (B) = 100; n(A ∩B) = 50. 1) ¿Cuántos empleados no obtuvieron ni aumento de salario ni ascenso?.
n(A ∪ B) = n (A) + n ( B ) - n (A ∩ B) = 200 – 100 -50 = 250 Por tanto el número de empleados que no obtuvieron ni aumento ni ascenso es:
n(A ∪ B)c y = n (A ∪ B) c = n (U) - n (A ∪ B ) = 400 - 250 = 150 2) ¿Cuántos empleados tuvieron aumento de salario pero no fueron ascendidos?. 27
Usualmente, una vez hecho el diagrama, es posible leer desde allí la información sin recurrir a ninguna operación. Aquí por ejemplo, del diagrama de Venn, que se ilustra en el numeral 3) se puede leer la solución. ¿Cuál será?. 3) Realización del diagrama de Venn. U A 150 50 50 150
B
2. Número de Elementos de la Unión de tres Conjuntos. Sean A, B y C conjuntos. El número de elementos de la unión de estos, se encuentra utilizando la siguiente fórmula: n (A ∪ B ∪ C) = n (A) + n (B) + n(C) - n(A ∩ B) - n(A ∩ C) - n(B ∩ C) + n(A∩B ∩C) EJEMPLO 1. Si se definen A = {x, y, z}; ¿Cuál será el n( A ∪ B ∪ C )?
B = { p, q, r, x} y C = {q, r, z}.
SOLUCIÓN: Aplicando la fórmula anterior, y haciendo un cálculo muy simple se obtiene: n (A ∪ B ∪ C) = 3+ 4+ 3 – 1- 1 - 2 + 0 = 6 EJEMPLO 2. De 500 personas que están en la posibilidad de invertir en tres tipos de acciones, A, B y C, 280 se deciden por el tipo A; 280 por el tipo B y 230 por el tipo C. Si se sabe que 150 van a invertir en A y en B, 130 en A y en C, y 110 en B y C. ¿Cuál será el número de personas que invertirán en los tres tipos?. ¿Cuántas personas en sólo C?. Hacer un diagrama de Venn que ilustre la situación. Solución: La información que proporciona el problema es: n(A∪ B∪C) = 500 n (A ∩ B) = 150 n (A) = 280 n (A ∩ C) = 130 n(B) = 280 n (B ∩ C) = 110 n(C) = 230 n (A ∩ B∩ C) =? 28
Y es sabido que: n (A ∪ B ∪ C) = n (A) + n (B) + n(C) - n(A ∩ B) - n(A ∩ C) - n(B ∩ C) + n(A∩B ∩C) reemplazando la información en la fórmula se sigue:
y es claro ahora que:
500 = 280 + 280 + 230 - 150 - 110 + n (A∩B ∩C) 500 = 790 - 390 + n(A∩B ∩C) n(A∩B ∩C) = 500 - 400 = 100
Con esta información se puede construir el diagrama de Venn. U A 100
50 120 30 100 10
B
90 C
Del diagrama anterior se lee que 90 personas invierten solamente en acciones de tipo C.
EJERCICIOS 2.3 1. En una cierta encuesta, se le pregunta a 500 ejecutivos acerca de sus gustos por la lectura de las revistas A y B. Sus respuestas mostraron que: 300 270 200 100
leen la revista A. leen la revista B. leen ambas revistas. no leen ninguna
1) ¿Cuántos ejecutivos leen la revista A o la B ambas? 2) ¿Puede asegurarse que la encuesta realizada es correcta? 3) Realizar un diagrama de Venn 2. Una tienda de comidas rápidas ofrece dos tipos de hamburguesas: “la sencilla” y “la súper”. Al final del día, la contabilizad arrojó los siguientes datos: 130 29
prefirieron “la sencilla”, 170 “la súper”, y 50 ambos tipos de hamburguesas. Si el servicio fue ofrecido a 300 personas, se desea saber cuantas personas no tuvieron preferencia por ninguna. 3. Un estudiante de la facultad, efectúa una encuesta sobre un grupo de 120 estudiantes del primer semestre, acerca de los hábitos de lectura en la biblioteca y recolectó los siguientes datos: 40 leen economía 55 leen teoría de las ciencias 55 leen administración 15 leen economía y teoría de las ciencias 20 leen administración y economía 30 leen teoría de las ciencias y administración 10 leen de las tres materias 25 no asisten a la biblioteca 1) ¿puede asegurarse que la encuesta es correcta? 2) Trazar un diagrama de Venn que ilustre el problema. 3) ¿Cuantos estudiantes leen solo economía? 4) ¿Cuántos estudiantes leen solo administración?.
CAPÍTULO 3 30
CONJUNTOS NUMÉRICOS Los conjuntos numéricos son de gran importancia en matemáticas, porque referencian cualquier evento matemático que quiera discutirse, explicarse o resolverse. La construcción incluso de algunos de ellos, nació de la imposibilidad de cálculo por limitaciones algebraicas en otros conjuntos menos extensos. La definición de los números naturales ha permitido, como se verá a continuación, sentar base sobre la cual se levanta toda la estructura del edificio de los conjuntos numéricos, hasta llegar al conjunto mayor o universal de todos ellos: los números complejos. Estos son una extensión de los números reales, conjunto sobre el cual se sustenta casi todo el trabajo algebraico aquí expuesto. 3.1 NUMEROS NATURALES “…Dios creó los números naturales, el resto es trabajo del hombre”, expresaba alguna vez el matemático Alemán Kronecker, haciendo alusión al conjunto de los números naturales, empleado en el proceso de contar por el hombre desde tiempos inmemoriales. El conjunto de los números naturales denotado usualmente por la letra mayúscula N, se define como: N = { 1, 2, 3, 4, 5, . . . , . . . } De tal definición se desprende: 1. El conjunto de los números naturales es infinito, puesto que no tiene último elemento. 2. Es discreto, ya que entre dos números naturales hay un número finito de números pertenecientes a este mismo conjunto. 3. El conjunto tiene un primer elemento que es 1, a partir del cual se define para todo natural un sucesor y un predecesor. EJEMPLO 1. Entre 5 y 12 hay seis números naturales que son: 6, 7, 8, 9, 10, y 11. EJEMPLO 2. Entre 24 y 25 no hay ningún número natural.
31
El conjunto de los números naturales en lo referente a cierto manejo aritmético, es muy limitado. Basta traer al caso algunas situaciones entre muchas: La operación diferencia, entre números naturales, no siempre es un número natural; o sea que esta operación no es cerrada o clausurativa bajo este conjunto. EJEMPLO 3. (18) – (20) = -2 y -2 ∉ N La ecuación de la forma x + a = b, siendo a y b ∈N, no arroja siempre como solución para x, un número natural. EJEMPLO 4. Si se considera la ecuación x + 10 = 6 Solucionando para x se llega a que, x = -4, -4 ∉ N Para diversas necesidades matemáticas, entonces, se vio la posibilidad de ampliar el conjunto. Aparece luego, el conjunto de los números enteros. 3.2 NÚMEROS ENTEROS: En una aplicación del conjunto anterior. Se le agrega al conjunto de los naturales N, los enteros negativos, introducido según se cree, por los matemáticos italianos, y el cero inventado por los Hindúes*; así que el nuevo conjunto se simboliza por la letra Z y se define como: Z = {….., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,…..} Al conjunto Z-, subconjunto de Z, se le llama enteros negativos: Z- = {….., -4, -3, -2, -1,} Y al conjunto Z+, también subconjunto de Z, positivos
se le denomina enteros
Z+ = { 1, 2, 3, 4, 5, ….. } En consecuencia: Z = Z+ ∪ Z- ∪ {0} entonces Z+ ⊂ Z; Z- ⊂ Z y {0} ⊂ Z, y además N ⊂ Z. Aquí se considera que el 0 no es positivo ni negativo. 32
Al igual que el conjunto de los números naturales, la definición de los números enteros permite concluir: 1. El conjunto es infinito, puesto que, no tiene primero ni último elemento, 2. Es discreto. EJEMPLO. Entre -2 y 3, hay un número finito de números enteros, son: -1, 0, 1, 2. CASOS PARTICULARES DE NÚMEROS ENTEROS. En teoría de números, se conoce como casos particulares de este conjunto los siguientes: 1. Números Pares: Un número a ∈ Z es par si puede escribirse como a = 2k, en donde K ∈ Z. ¿Será el 0 un número par?. EJEMPLO 1. 10 es par porque 10 = 2 . (5), siendo K = 5 y 5 ∈ Z EJEMPLO 2. -50 es par porque -50 = 2 . (-25), K = -25 y -25 ∈ Z 2. Números Impares: Un número b ∈ Z, se dice impar si puede escribirse como b = 2k 1 siendo K ∈ Z. EJEMPLO 1. 101 puede escribirse como: 101 = 2 . (50) + 1, siendo k = 50 y 50 ∈ Z. En su efecto, 101 = 2 . (51) – 1; ahora k = 51 y 51 ∈ Z. EJEMPLO 2. -23 es impar, porque -23 = 2 . (-12) + 1, siendo k = -12 y -12 ∈ Z. 3. Números Primos: Un número p ∈ Z es primo, si sus únicos divisores ± 1 y ± p. EJEMPLO 1. El número 5 es primo, porque tiene cuatro divisores que son: ± 1 y ± 5. EJEMPLO 2. El número -29 es primo, porque tiene cuatro divisores que son: ± 1 y ± 29. Los únicos números primos que son pares son el 2 y el -2, los demás son impares. ¿Será el 1 un número primo?.
33
Para saber si un número entero es primo, debe tenerse en cuenta los criterios de divisibilidad; si es muy dudoso reconocerlo como tal, se emplea el método de la Criba (Cedazo) de Eratóstenes. 3.3 NÚMEROS RACIONALES: En los números enteros Z, hay limitaciones de manejo numérico; por ejemplo la operación cociente en este conjunto no es cerrada. Necesidades matemáticas por tanto, exigen la existencia de otro conjunto definido a partir de los Z. Es el conjunto de los números racionales. Un número se define Racional si se puede expresar de la forma , en donde tanto p como q son números enteros, con la restricción de que q sea diferente de cero (q ≠ 0) ¿por qué?. Los racionales se denotan por la letra mayúscula Q. EJEMPLO: Son números racionales:
,
; y todos los números
enteros Z. ¿Será 0 un número racional? Se deriva de todo lo anterior que: N ⊂ Z ⊂ Q. Se clasifica dentro de los números racionales, las siguientes expresiones: 1. Expresiones Decimales Exactas. Son aquellas que tienen un número finito de cifras decimales, tales como 0.6032; 10.25; -18.36;… 2. Expresiones Decimales Periódicas Puras. Son aquellas que son periódicas en su parte decimal. La cantidad de cifras que se repiten por período, puede ser de una, dos, tres o más. EJEMPLO: 1.3333….3 ∈ Q, se escribe abreviadamente como _ 1.3333….3 = 1.3 _ -4.323232….32 ∈Q, y -4.323232…32 = 4.32 La notación indica que 32 es el período de cifras que se repite. 3. Expresiones Decimales Periódicas Mixtas. Se caracterizan porque después del punto que expresa la parte decimal, existe un número de cifras que no vuelve a repetirse. 34
_ EJEMPLO: 8.3254444 ∈ Q, y 8.3254444….. = 8.3254 Como en el caso anterior, así se indica de una forma abreviada, el número de cifras que se repiten periódicamente. En la práctica si se quiere llevar cualquiera de estas expresiones a la forma , con q ≠ 0, se puede proceder empleando métodos algebraicos que conducen al hallazgo de la fracción que las genera*. 3.4 NÚMEROS IRRACIONALES Existen expresiones decimales, que no corresponden a números decimales. A tales números se les ha llamado irracionales y se le identifican en notación de conjuntos con el símbolo Q´. Pertenecen a este conjunto números tales como: π = 3,1416; e = 2.718281
2 = 1, 412135
3.5 NÚMEROS REALES. Como los números racionales son los que no son irracionales, entonces Q ∩ Q` = ∅ y Q ∪ Q` define un nuevo conjunto que son los números realas, denotados matemáticamente por la letra R. Este nuevo conjunto tiene como representación gráfica una línea recta, donde cada punto de ella es un número real y todo número real puede representarse en esta recta como un punto; esta correspondencia biunívoca es la llamada propiedad de continuidad de los números reales. Los números reales R, es un conjunto: 1. Infinito, porque no tiene primero ni último elemento.
35
2. Denso, porque entre dos números reales hay infinitos números reales. EJEMPLO: Entre 0.01 y 0.1 hay infinitos números reales. ¿Cuáles podrían ser algunos?. De la definición de los números reales se llega a la siguiente afirmación: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R y como R = Q ∪ Q`, entonces Q` ⊂ R. 3.5.1 OPERACIONES CON NÚMEROS REALES Operar con números reales es relativamente sencillo; para efectos de lograr una mayor claridad, se hace importante enumerar las siguientes propiedades que se cumplen en el álgebra de este conjunto numérico; algunas de ellas resultan demasiado obvias y son incluso fáciles de demostrar. Algunas propiedades de los números reales son: Si a, b y c ∈ R, entonces, 1. La operación suma es conmutativa: a + b = b + a 2. La operación suma es Asociativa: a+(b+c) = (a+b) + c = a + b + c 3. Existe un elemento identidad para la suma, que es el 0, de tal forma que: a+0=0+a=a 4. La operación producto entre números reales es conmutativa: a b=b a 5. La operación producto es asociativa: a (b c) = (a b) c = a b c 6. Existe un elemento identidad para el producto, es el 1, de tal manera que: a 1=1 a=a 7. Existe un inverso aditivo de un elemento a, que es -a y se cumple que: a + (-a) = 0 8. Se define el inverso multiplicativo de a -1, tal que a ⋅ a-1 = a ⋅
= 1; siendo a ≠0
36
9. El producto de números reales es distributivo con respecto a la operación suma así: a (b + c) = ab + ac 10. Si b ≠ 0 y d ≠ 0, entonces:
3.6 NÚMEROS COMPLEJOS La ecuación de la forma x 2 + 1 = 0. por citar sólo alguna, no tiene solución para x en el conjunto de los números reales, porque: x2 = -1, entonces x = ± y x=±i siendo = i, definida como la unidad imaginaria. La solución x = ± i, entonces no son números reales. Para solucionar problemas como este, se tuvo la necesidad de definir un nuevo conjunto numérico, llamado números complejos, denotado por la letra mayúscula C, su constitución define aquí el conjunto universal o de referencia para los demás conjuntos numéricos. El número complejo tiene como representación matemática, entre muchas otra, la siguiente: c = x + yi En esta notación canónica tanto x como y son números reales. A x se le llama parte real, en tanto que a y i se le denomina parte imaginaria de C. Si en c = x + y i, se hace y = 0, entonces c = x y se tiene un número real. Si x = 0, c = y i y se define un número imaginario puro. Los números imaginarios puros se identifican por la letra mayúscula I y como puede verse son un subconjunto de los números complejos, consideración que puede hacerse también a los números reales. 37
EJEMPLO: Son números complejos 1) c1 = 3 + 2i 2) c3 = 2 + 3) c5 = -1 - i3
4) c2 = - 3i 5) c4 = 1/2 6) c6 = 0
Hay que tener siempre presente, cuando se opera con números complejos que: i0 = 1; i = √-1; i2 = -1; i3 = -i; i4 = 1: …… y se repite de nuevo el ciclo. 3.6.1 OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS
1. Igualdad de Números Complejos: Dos números complejos c 1 y c2 son iguales si y solo si tanto sus partes reales como las imaginarias, también lo son.
c1 = c2 puesto que tanto sus partes reales como las imaginarias son iguales. EJEMPLO 2. c1 = 6 + 2i ; c2 = 6 + 2i3 c1 ≠ c2 porque las partes imaginarias son diferentes. ¿Cómo se explica?
¿Cuál será el valor de x para que c1 = c2? Para las partes imaginarias, es claro, ellas son iguales. Para las partes reales, por igualdad de números complejos, 2x = 1/3, de donde se sigue que x = 1/6. Este resultado puede verificarse de una forma muy simple, reemplazando el valor de x en c 1 y comparándolo con c 2. ¿Cuáles son los valores de x y y para que c1 = c2?
Si se ha entendido correctamente cuando hay igualdad entre números complejos, se puede concluir fácilmente que si c 1 = c2, entonces x = 1/4 y y = -4 38
2. Suma de Números Complejos. Para sumar números complejos, se suman las partes reales y las imaginarias por separado, así: si c1 = a + bi y c2 = c + di, entonces c1 + c2 = (a + c) + ( b + d)i EJEMPLO 1. Sumar: c1 y c2 si: c1 = 2 - 3i; c 2 = 1/2 + 2i SOLUCIÓN Planteando y efectuando la operación se tiene: c1 + c2 = (2+1/2) + (-3 + 2) i = 5/2-i EJEMPLO 2. Si c 1 = i4 y c2 = -7/5; hallar c1 + c2 SOLUCIÓN: c1 + c2 (1 - 7/5) + 0i = -2/5 ¿por qué?.
3. Multiplicación de Números Complejos. Si c1 = a + bi y c2 = c + di, el producto c1 c2 será: c1 . c2 = (a + bi) . ( c + di) = ac +3d i + bci – bd = (ac –bd) + (ad + bc) i Teniendo en cuenta, claro está, el hecho que i 2 = -1 EJEMPLO 1. Si c1 = 2 – 5i; c2 = 6 + 4i multiplicar c1 por c2 SOLUCIÓN: Se plantea y se resuelve el producto así: c1 . c2 = (2-5i) (6 + 4i) = 12 + 8i – 30i + 20 = 32 – 22i EJEMPLO 2. Si c1 = 5 - 2i; c2 = 5 + 2i, efectuar el producto c 1 * c2 SOLUCIÓN: c1 . c2 = (5-2i) (5 + 2i) = 29 ¿por qué?
4. División de Números Complejos: Si c = x ± yi, se define el conjunto de c como = x ± yi. Para dividir dos números complejos, c 1 entre c2, se multiplica tanto c 1 como c2 por el conjunto de c 2 y se simplifica, buscando siempre que la parte que quede como divisor sea siempre un número real. EJEMPL 1. Dividir c1 entre c2 si c1 = 3 + 2i; c2 = 1 -2i. SOLUCIÓN: Se plantea la división y se resuelve de la siguiente manera:
39
SOLUCIÓN:
=
=
EJERCICIO 1.1 1. Resolver las siguientes operaciones con números reales.
1) - (3 - 4) + 2 [6 - 8( -2 + 2) ] 2) -{- [ +(-8 + 6) ] - [ -(7 - 11)]}
4) 2. Si a = 3, b = 2, c = -5 y d = 4. Hallar: 1) a + (b - c)
4)
2) - { a + c ( -a + b + c ) - (b - c) a } + d
5.)
3) ( a2 + b2) (ab - c) (4b + 8d)
3.) Escribir V (verdadero) ó F (falso), según las siguientes afirmaciones. En todos los casos justifique la respuesta. 1) ____ 0 ∈ C
2) ____ I
3) ____ i 9 ∈ Q 4.) ____
5) _____ Todos los números enteros son naturales
40
7) _____ Algunos números irracionales son racionales 8) _____
9) ____ (2 + i) (2 - i) = 3
4.) Hallar los valores de X y Y, de tal forma que se cumplan las siguientes igualdades: 1) 2x + 2 i = 5 + 2i 2) 1/3 x – 10i = 3 + 5yi 3)
- 7yi = -2 + 49i
6. Efectuar las siguientes operaciones: 1) (5 + 3i) (5 - 3i) 2) (1 / 3 + 2i)2
3) (3i - 4) (3i + 6)
7. Si c1 = 5 - 2i y c2 = 1 + 1/2 i hallar 1) c12 + c22 2) 3)
8. Efectuar (3 + 2i) (3 - 2i) (1 + 3i) 9. Efectuar
41
CAPÍTULO 4 RELACIONES 4.1 Par Ordenado O Pareja Ordenada
Un par de elementos a,b de los cuales a se designa como el primer elemento y b como el segundo, se llama un par ordenado y se denota (a,b). Dos pares ordenados (a,b) y (c,d) son iguales si y solo si tienen iguales sus primeros elementos y sus segundos elementos, es decir: (a,b) = (c,d) ⇔ a = c y, b = d. La forma más usual de representar pares ordenados es en un plano cartesiano. - Se escogen dos rectas perpendiculares. - Sobre la horizontal se sitúa el primer elemento y sobre la vertical se sitúa el segundo elemento. Se trazan paralelas a las rectas dadas por los puntos indicados, la intersección de estas rectas representa el par. Ordenadas b - - - - - - (a,b)
. . a Abcisas
Los pares ordenados tienen diferentes usos. Unas veces se emplean para denotar intervalos abiertos. En esta sección denotarán puntos en un plano. Estas rectas se acostumbran llamar ejes coordenados y el punto de intersección cero “0” se considera como el origen. Especificando un poco, la recta horizontal la consideraremos como el eje X y la vertical como el eje “Y”. El plano obtenido se llama plano cartesiano o plano XY. 42
A cada punto “p” del plano XY se le asigna un único par ordenado (a,b) como se ilustra en la figura 2. Los números a y b se llaman abscisa y ordenada de p, respectivamente. También suele afirmarse que p tiene coordenadas a y b recíprocamente cada par ordenado (a,b) determina un punto p con coordenadas a y b en el plano XY. Cuando hacemos referencia a P(a,b) damos a entender el punto P cuya abscisa es a y ordenada b. Ubicar un punto p(a,b) significa localizar en un plano coordenado XY y representarlo mediante un punto.
4.2. Producto Cartesiano de dos Conjuntos 4.2.1. Definición. Se llama producto cartesiano de los conjuntos A y B, al conjunto cuyos elementos son todos los pares ordenados (x,y) tales que x ∈ A y y∈B, se denota AxB. Esto es AxB={(x,y) / x∈ A ∧ y∈B}; AxB ≠ BxA si A≠B Ejemplo. Si A = {1,2,3} y B = {2,4} Hallar: a. AxB y BxA b. Hacer el gráfico de AxB y BxA Solución. a. AxB {(1,2), (1,4), (2,2), (2,4), (3,2), (3,4) } BxA {(2,1), (2,2), (2,3), (4,1), (4,2), (4,3) }
43
Nota: R2 = RxR
4.3. Definición. Dado el producto cartesiano AxB de dos conjuntos A y B, se llama grafo Gr a un subconjunto del producto AxB. Ejemplo: Si A = {1,2} y B = {a,b,c} AxB = {(1,a) (1,b), (1,c), (2,a), (2,b), (2,c) } Gr = {(1,a) (1,b), (1,c), (2,c) } 4.4. Relación 4.4.1 Definición Una relación R de A en B es un subconjunto del producto Cartesiano AxB.
44
El Conjunto A se llama conjunto de partida de la relación y el conjunto B se llama conjunto de llegada de la relación. El dominio DR es el conjunto formado por las primeras componentes de los pares ordenados de R y el recorrido R R es el conjunto formado por las segundas componentes de los pares ordenados de la relación. Ejemplo: Sean A {2,3}, B = {1, 2,} AxB {(2,1), (2,2), (3,1) (3,2) }. Hallar varias relaciones de A en B Solución: realmente lo que se pide es hallar subconjuntos de AxB. Veamos: R1 = { } = Φ (llamada relación vacía) R2 = AxB ⊆ AxB R3 = {(2,1), (2,2), (3,1) }. DR3 = {2,3} y RR3 = {1,2} Ejemplo: Sean A = {1,2,3,4,5,6}, B = {1,2,3,4} y R = {(x,y) ∈ AxB / x es un divisor de Y} Hallar el conjunto solución de R, determinar el dominio y recorrido, y representar gráficamente la relación. Solución: R = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,4), (3,3), (4,4) }. DR = {1, 2,3,4}. RR = {1, 2,3,4}. Diagrama Sagital A
B
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4
45
Ejemplo. Sean A = {-2, -1, 0, 1, 2, 3 } y R una relación sobre A, o simplemente de A en A definida así: R = {(x,y) ∈ AxA / y = 2x} Hallar el conjunto solución de R, determinar dominio y recorrido, representar representar gráficamente gráficamente en un diagrama sagital y en un diagrama cartesiano. Solución: Solución: R = {(-1, -2), (0,0), (1,2) } DR = {-1, 0,1} RR = {-2, 0,2} R A
A
-2 -1 0 1 2 3
-2 -1 0 1 2 3
4.4.2 Definición. Definición. Toda relación R de A en B tiene una relación recíproca o inversa R-1 de B en A que se define: R -1 ={(y,x) / (x,y) ∈ R}.
46
Es decir consta consta de los pares ordena ordenados dos obtenido obtenidoss al cambiar el orden orden de las componentes de las parejas ordenadas de la relación R. Ejemplo: si Entonces
R = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,4), (3,3), (4,4) } R-1 = {(1,1), (2,1), (3,1), (4,1), (4,2), (3,3), (4,4) }
4.4.3. Clases de Relaciones sobre un Conjunto. Conjunto. Sea A un conjunto y sea R una relación definida en A: i. Reflexiva. R se dice que es reflexiva si todo elemento de A, está relacionado consigo mismo, es decir: R es reflexiva si para cada x ∈ A se cumple (x,x) ∈R. Ejemplo: Sea A = {0,1, 2, 3 } y las siguientes relaciones R1 = {(0,0), (0,2), (1,1), (1,2), (2,2), (2,0), (3,3) } R2 = {(0,0), (0,2), (2,1), (1,2), (2,2), (2,3) } En R1 todo elemento de A está relacionado consigo consigo mismo, luego entonces R1 es reflexiva. En R2 existe un elemento elemento de A que que no está relacionado consigo mismo en en R2, por lo tanto dicha relación no es reflexiva. Otra forma forma de representación representación sagital sagital para una relación relación es: Veamos. R1
ii. Simétrica. Simétrica. R es simétrica si para cada (x,y) ∈ R, entonces (x,y) ∈ R. Ejemplo: sea A = {0,1, 2, 3 }y las siguientes relaciones 47
R1 = {(0,1), (0,2), (0,0), (1,0), (1,1), (2,0) } R2 = {(1,3), (2,2), (3,1), (1,2), (2,1), (0,2) } En R1 se tiene que: si (0,1) (0,1) ∈ R1 entonces (1,0) ∈ R1 (0,2) ∈ R1 entonces (2,0) ∈ R1 Es decir siempre siempre que x esté relacionado relacionado con con y, también se se tiene que y está relacionado con x, así R 1 es simétrica. En R2 se observa que: (1,3) ∈ R2 y (3,1) ∈ R2 (1,2) ∈ R2 y (2,1) ∈ R2 (0,2) ∈ R2 y (2,0) ∉ R2 Es decir existen (x,y) ∈ R2 y (y,x) ∉ R2, luego R2 no es simétrica. iii. Transitiva. R se dice que es transitiva si para cada (x,y) ∈ R y (y,z) ∈ R2 se tiene que: (x,y) ∈ R. Es decir decir R es transitiva transitiva si, siempre siempre que x está relacion relacionado ado con y, y, y y está relacionado con z, se tiene que x está relacionado con z. Ejemplo: sean A = {0,1, 2, 3 } y las relaciones R1 = {(0,1), (1,2), (0,2), (3,3), (2,3), (1,2), (1,3), (0,3) } R2 = {(2,1), (0,2), (1,1) } En R1 se tiene tiene que: que: si (0,1) (0,1) ∈ R1 y (1,2) ∈ R1, entonces (0,2) ∈ R1 Siguiendo el mismo análisis se llega a que R 1 es transitiva. En R2 se observa que: si (2,1) ∈ R2 y (1,1) ∈ R2, entonces (2,1) ∈ R2 si (0,2) ∈ R2 y (2,1) ∈ R2, entonces (0,1) ∉ R1. Luego R2 no es transitiva. iv. Relación de Equivalencia. Sea A un conjunto y R una relación sobre A. R es de equivalencia si: l. R es reflexiva ll. R es simétrica lll. R es transitiva.
48
Ejemplo. Sea A = {0, 2, 3, 5, 7, 8, 12, 13, } y R = {(x,y) ∈ -AxA / x-y es divisible por 5 }. Hallar R como un conjunto de pares ordenados. Hacer el diagrama sagital, determinar si R es o no de equivalencia. Solución. R = {(0,0), (0,5), (2,2), (2,7), (2,12), (3,3), (3,8), (3,13), (5,0), (5,5), (7,2), (7,7), (7,12), (8,3), (8,8), (8,13), (12,2), (12,7), (12,12), (13,3), (13,8), (13,13) } R es reflexiva, simétrica y transitiva, es decir, R es de equivalencia.
Definición. Sea A un conjunto, R una relación de equivalencia en A, la relación R determina ciertos subconjuntos en A, llamados clases de equivalencia, con las características siguientes: i. ii. iii.
Cada clase de equivalencia es un conjunto no vacío Son disyuntos dos a dos A es la unión de todas las clases.
Ejemplo. En el ejemplo anterior se determinan los siguientes subconjuntos de A (clases de equivalencia) A1 = {0,5}, A2 = {2, 7, 12}, A3 = {3, 8, 13} Observe que: i. A1 ≠ Φ, A2 ≠ Φ y A3 ≠ Φ ii. A1 ∩ A2 = Φ, A1 ∩ A3 = Φ, y A2 ∩ A3 = Φ 49
iii.
A1 ∪ A2 ∪ A3 = A
A la colección P = { A1 A2 A3 } se le llama una partición de A. Así toda relación de equivalencia determina una partición. EJERCICIOS 1) Sean A = {1, 2, 3, 4, 5, 6 } y B= {1, 2, 3, 4 } R1 = {(x,y) ∈ AxB / y = x - 3)} R2 = {(x,y) ∈ AxB / y = ½ x} Hallar: a. R1 y R2 como conjunto de pares ordenados. b. DR1, DR2, RR1, RR2. c. La representación gráfica es un diagrama cartesiano para cada relación. 2) Sean A = {0, 1, 2, 3} y R1, R2, R3, R4, R5 las relaciones sobre A definidas así: R1 = {(x,y) ∈ AxA / x+y = 4) } R2 = {(x,y) ∈ AxA / x
4) Sean A = {-2, -1, 0, 1, 2, 3 } R1, R2, R3 relaciones en A, definidas así: R1 = {(x,y) ∈ AxA / y.x = 2)} R2 = {(x,y) ∈ AxA / x-y =1} R3 = {(x,y) ∈ AxA / x>y} a. Escribir cada relación como un conjunto de parejas ordenadas. b. Hallar el dominio de cada relación. c. Hacer el diagrama cartesiano y sagital de cada relación. 5) Hallar R1-1, R2-1, R3-1 del ejercicio anterior con sus respectivos diagramas sagitales. 6) Sean A = {a. b. c } y R = {(a,a), (a,b), (c,a), (b,b), (a,c),(b,a), (c,c) } a. ¿Es R reflexiva, simétrica y transitiva?. b. Hallar R-1 c. ¿Es R-1 reflexiva, simétrica y transitiva?. 7) Sean A = {1, 3, 5, 7, 9} R1 = {(x,y) ∈ AxA / x = y} R2 = {(x,y) ∈ AxA / x divide a y } R3 = {(x,y) ∈ AxA / x > y} R4 = {(x,y) ∈ AxA / x+y = 10 } R5 = {(x,y) ∈ AxA / x+y = Par } a. Determinar el conjunto solución de cada relación. b. Trazar el diagrama cartesiano de cada relación. c. Averiguar de que clase de relación se trata en cada caso.
51
CAPÍTULO 5 CONCEPTOS BÁSICOS DE ÁLGEBRA El trabajo algebraico como procedimiento lógico y ordenado, ayuda a sustentar y explicar la implementación y aplicación de cualquier modelo matemático que se quiera tratar. Así el álgebra, se presenta como poderosa herramienta para “hacer” matemática. En este capítulo se verán temas importantes como la teoría de exponentes, operaciones con expresiones algebraicas y la factorización sobre el conjunto de los números reales, en los que se espera el estudiante logre gran agilidad. Lo anterior como requerimiento básico, para un posterior desempeño con éxito, en los temas que sigue tratando el texto.
5.1 TEORÍA DE EXPONENTES: Si m y n, son números reales x y y, son números reales, entonces: 1. xm xn = xm+n. Para multiplicar potencias que tengan la misma base, en el resultado debe aparecer la misma base, elevada a la suma de los exponentes. 2.
= xm-n ; x # 0 (m > n). Para dividir potencias que tengan la misma base, en el
resultado aparece la misma base elevada a la diferencia de los exponentes. 3. (xm)n = xm * n. Para elevar una potencia cuya base es x, a un exponente n, se escribe la misma bases elevada al producto de los exponentes respectivos. 4. (x * y)m = x m * ym. El producto de las bases x y y elevadas a una potencia m, es igual al producto de esas bases elevadas cada una al exponente m. ; y # 0. El cociente de las bases x y y elevadas a una potencia m,
5.
es igual al cociente de las respectivas bases elevadas al exponente m. 6. x-m = 1/xm; x # 0. 7. x0 = 1 si x # 0 ¿por qué? 0m = 0 si m # 0 ; 8. xm/n =
x1 = x ;
1m = 1
; xm ≥ 0 si n es un entero positivo par. ¿Por qué?
52
EJEMPLOS: Simplificar las siguientes expresiones, aplicando las propiedades para exponentes. EJEMPLO 1. (3x2) (27x2) (x-1)2 SOLUCIÓN: (3x2) (27x2) (x-1)2 = (3x2) (33x2) (1/x)2 = (3x)4 = 81x4 x2 x2
=
81x2
EJEMPLO: 2. (a2 bc2)2 (ab2)-1 SOLUCIÓN:
(a2 bc2)2 (ab2)-1 = (a4 b2c4) (ab2)-1 = a3c4. ¿Qué propiedades se
aplicaron? EJEMPLO 3. SOLUCIÓN: En esta clase de ejercicios, se sugiere que las bases se descompongan en factores primos así: 8 = 23; 9 = 32; 10 = 2 * 5 y 6 = 3 * 2 así entonces:
EJEMPLO 4. SOLUCIÓN:
53
NOTA: No hay una única forma de llegar a una respuesta, pueden existir varios caminos para llegar a ella; en algunos aportes del texto, se hará alusión a esta situación cuando se hable de Grados de Libertad . EJEMPLO 5. (1/xy) (x-1 + y-1)-1 SOLUCIÓN: ( 1 ) (x -1 + y-1)-1 = 1/xy (1/x + 1/x) 1 = 1/xy (x + y) 1xy xy = 1/xy (xy/ x + y) = 1 EJEMPLO 6. En la siguiente expresión encontrar el valor de x, de tal manera que la proposición se cumpla: SOLUCIÓN: Se opera desde el lado izquierdo; la idea es expresar todo este término en función de la base 3.
¿ por qué? Comparando este resultado con el lado derecho de la expresión dada, se concluye que: ; entonces Lo anterior significa que si las bases son iguales, entonces los exponentes también lo son.
EJERCICIO 3.1
54
1. Efectuar las siguientes operaciones aplicando la teoría de los exponentes. No deben aparecer exponentes negativos en la respuesta final. 1)
(9x)-2
2) (x-y)5 (x-y)-3 (x-y) 3) (5x-1)2 (5x)2 4) 5) 2. Encontrar los valores de x, para que las siguientes igualdades se cumplan. 4) 9x+1 = 3
1) 2)
5.2 NOTACIÓN CIENTÍFICA. La notación científica es muy útil cuando se opera con cantidades muy grandes o muy pequeñas, es decir, cuando se hace referencia al mundo del macro y del microcosmos. Esta notación emplea la base 10 ó decimal. Cuando el exponente de la base 10 es positivo, se está multiplicando por potencias de 10; cuando es negativo se esta dividiendo ó lo que es igual, expresiones con potencias de 10 elevadas a un exponente positivo, son relativamente grandes y a un exponente negativo son relativamente pequeñas. Para simplificar operaciones con esta notación, se recurre a la teoría de exponentes ya discutida.
EJEMPLOS: Escribir en notación científica. EJEMPLO 1. 0.00025 55
SOLUCIÓN: 0.00025 = 2.5 * 10-4 = 25 * 10-5 Observar que existen grados de libertad para escribir la notación; todo depende en última instancia de la simplificación que quiere lograrse. EJEMPLO 2. 1 000 000 SOLUCIÓN: 1 000 000 = 1 * 106 ó simplemente 10 6 Esta expresión indica una cantidad relativamente alta. EJEMPLO 3. 0.000000063 SOLUCIÓN: 0.000000063 = 6.3 * 10-8 Puede intentar escribirse de otra forma. ¿Cuál? NOTA: 6.3 * 10-8 es una cantidad relativamente pequeña. EJEMPLO 4. Sí una obra de infraestructura vial de cierta ciudad del país tuvo un costo de 2 Millardos de pesos; en notación científica esta cifra puede escribir como $ 2*1012 EJEMPLO 5. 350 000 000 SOLUCIÓN: 350 000 000 = 350 * 106 = 35 * 107 = 3.5 * 108 EJEMPLOS: Simplificar completamente las siguientes expresiones: EJEMPLOS 1.
SOLUCIÓN: Por teoría de exponentes, se tiene: =
= 15 * 105
EJEMPLO 2.
56
SOLUCIÓN: Se escriben las cifras en notación científica y se procede a la simplificación, según la teoría de los exponentes, así:
EJEMPLO: 3. SOLUCIÓN:
=
= 350 * 1010 =35*1011
Cuando se suman algebraicamente las potencias de 10, ellas deben tener el mismo exponente. EJEMPLO 4. SOLUCIÓN:
=
EJERCICIOS 3.2
1. Expresar en notación científica. 1) -0.000038 2) 312 000 000 3) -10 000.000
2. Simplificar. 1) (3 * 10-8) (2 * 104) 2) (5 * 1010) ÷ 108 3) 57
5.3 EXPRESIONES ALGEBRAICAS. Definición Fundamental: Se dice que un proceso matemático es algebraico si contiene una o varias de las operaciones de suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación, aplicadas a una o varias veces sin importar el orden, a números reales cualquiera o a símbolos que representan números reales. De acuerdo con la definición fundamental, una Expresión Algebraica es cualquier combinación de símbolos y números que estén de acuerdo con las operaciones fundamentales del álgebra. La expresión 8xy2 + z, es una expresión algebraica, porque se obtiene efectuando operaciones algebraicas con el número 8 y las letras x, y y z. Se llama término a cada una de las partes, de una expresión algebraica, que está separa de las demás por un signo mas ( + ) o un signo menos ( - ). Un término consta de una parte literal y una parte numérica llamada coeficiente. Si el término no contiene parte literal, se le llama término independiente. EJEMPLO 1. La expresión algebraica 8xy 2 + z, está compuesta de dos términos los cuales son: 8xy2 y z. EJEMPLO 2. 3x 4y3 +
x3 y2 - 6x2 y + 10x - 13
Es una expresión algebraica compuesta de cinco términos.
EJEMPLO 3. 7
x2 + x2 - x 2 - z 2 +
z 2 - y2
5.3.1. Clasificación de las Expresiones Algebraicas. Dependiendo del número de términos, la expresión recibe nombres específicos: Monomio: Si la expresión algebraica tiene solo un término. EJEMPLO. Son monomios las siguientes expresiones: 36x3 y3 z ; -18mn ;
Binomio: Es una expresión algebraica que contiene dos términos. 58
EJEMPLO. Son binomios las siguientes expresiones: x 2 - y2 ;
x +3 y ; 6xyz - 6
Trinomio: Expresión algebraica que consta de tres términos. EJEMPLO: Son trinomios las siguientes expresiones: x2 + 2xy + y2; 3x4 - 5x2 + 1; 2x - 6y - 2z
Multinomio. Es el nombre genérico para una expresión algebraica de más de un término. EJEMPLO: Son multinomios las siguientes expresiones: 8x - 5y + xyz; 3x 2 + y2 - 4z - 2x - 3y + 4z
Polinomio. Un polinomio es un caso particular de un multinomio. Un polinomio en una indeterminada o variable x se define formalmente en matemática como: P (x) = an xn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 + ….. + a1 x + a0 Donde: a n: es un coeficiente principal. a0: es el término independiente n ∈z+ y an, an-1, an-2,….., a0 ∈ R; an ≠ 0 El exponente n, el cual está elevada la variable o indeterminada, establece el grado del polinomio y se denota grad P(x) . EJEMPLO 1. P (x) = x4 - 2x3 + 21x2 +22x + 40 Es un polinomio de grado 4 en una variable x, es decir, grad [ P(x) ] = 4. EJEMPLO 2. x x + 2 2x - x 2 + 1 Es un multinomio, más no un polinomio. ¿Por qué?. NOTA: La definición de polinomio puede extenderse a una expresión que contenga varias variables o indeterminadas. EJEMPLO. P(x, y) = 7x 3 y2 - 8x2 y5 -
xy7
59
Es un polinomio en dos variables x y y de grado 8. ¿Cómo se determinó el grado?. Esta consideración sin embargo no será de mucha utilidad aquí. 5.3.2. Operaciones con Expresiones Algebraicas . 1) Suma y Resta: Para resolver este tipo de operaciones, se plantean de forma apropiada: se reducen términos semejantes y se ordena la expresión resultado, en orden ascendente ó descendente con respecto a la mayor potencia de una de las variables.
Términos Semejantes. Son términos que gozan de tener la misma parte literal; difieren solo en sus coeficientes; así por ejemplo los términos: 20x2;
x2;
2 x2 ; -18x2.
Son semejantes.
EJEMPLO 1. Sumar: 3x3y + 12x3 - 18xy + 10; 5xy - 3x3y - 6x3 - 8 SOLUCIÓN: Lo primero que se hace es plantear la operación como: (3x3y + 12x3 - 18xy + 10) + (5xy - 3x 2y - 6x3 - 8) = 3x3y + 12x3 - 18xy + 10 + 5xy - 3x 2y - 6x3 - 8 = 6x3 - 13xy + 2 Este resultado se obtuvo de reducir términos semejantes. EJEMPLO 2. Sumar: ab2x + 3xy -
a2x2 - abc ; 2ax2 - ab2x - 2xy + abc
ab2x + 3xy - a2x2 - abc = ab2x + 3xy = -
a2x2 +
2 2 + 2ax - ab x - 2xy + abc
a2x2 - abc + 2ax2 -
ab2x - 2xy + abc
abc2x + 2ax2 + xy
EJEMPLO 3. Sumar: ax+3 + a x+1 b x+2 + bx+3 ; -10a x+2 b x+1 + a x+3 - b x+3; 2a x+3 - 4a x+1 b x+2 - 5b x+3 SOLUCIÓN: Se plantea y se resuelve la suma de la siguiente forma: [ ax+3 + a x+1 b x+2 + bx+3 ] +(-10a x+2 b x+1+ a x+3 - b x+3) +( 2a x+3 - 4a x+1 b x+2 -5b x+3)
= ax+3 + a x+1 b x+2 + bx+3 -10a x+2 b x+1 + a x+3 - b x+3 + 2a x+3 - 4a x+1 b x+2 - 5b x+3 = 4ax+3 - 3a x+1 b x+2 - 5bx+3 -10a x+2 b x+1 = 4a x+3 - 10ax+2 bx+1 - 3a x+1 b x+2 - 5b x+3 60
En este último paso se ha ordenado la expresión resultado en orden descendente para x y ascendente para b, de acuerdo a sus exponentes. EJEMPLO 4. Restar: 14xy 2 - 24x2y + 15x3 -10 de 14xy2 - 21x2y + 5x3 -18 SOLUCIÓN: Para restar una expresión algebraica de otra, debe cambiársele los signos a todos los términos de ella, el siguiente planteamiento, así lo sugiere: (14xy2 - 21x2y + 5x3 -18) - (14xy2 - 24x2y - 15x3 -10) = 14xy2 - 21x2y + 5x3 -18 - 14xy2 + 24x2y + 15x3 +10 = 20x3 - 45x2y - 28 x2y +
EJEMPLO 5. De SOLUCIÓN: Planteo
xy2 -
x2 y +
x3 -
restar
xy2 -
x3 -
-
=
x2 y +
xy2 -
-
=
x2 y +
xy2 -
x3 -
xy2 + 6
x3 + xy2 - 6 = - x3 +
EJERCICIOS 3.3
1. Reducir a términos semejantes. 1) 5x2 - 4x + 6 + x 3 - x2 + 6 2) x5 + x2y3 + 2x3y2 - 10y5 - xy4 - 4x3y2 - 19y5 + 3x5 3)
x+
4) 3 x -
y -
z + w -
xy - 2 y +
y - w+
z-
xy -2 x
5) 5a3x - 8ax - 5a2x+1 - 20ax+1 + 10a3x - 2ax + 20ax+1 2. Efectuar las siguientes operaciones.
61
xy2 + 6
x
x2y + xy2 -
1) (x5 - x5 + x2) + (x4 - 4x3 + 3) + (6x3 - 4x2 + 2)
2)
A2 -
+
3)
m4 - 2m2 + 3
AB
+
- AB + B2
+
m3 -
- AB - B2
+
m+6
m3 -
m4 - 8
-
m4 +
m3
4) Sumar: 3(a + b) + (a + b)3; -4(a + b)2 + 5; -(a + b)3 + 8(a + b) 2 -6 5) Sumar: m5 - n5;
m3n3 - n5 ; 4m4n -
m3n2 - n5 ; -m5 + n5 - 4m4n
6) (x5 - 3x3 + 2x2 - 12) - (-3x4 + 12x3 - 2x2 - 9x) + (15x3 - 4x2 - 9x + 12) 7) [(Mx - 3Mx-2) - (5Mx-1 + 3M x-3)] - [(2Mx-3 - Mx-4) - (Mx-1 + 6M x-3)] + (4Mx-1 + 3Mx-2) 8) [(3x4 - 2x3 + 3) +
x3 +
x+3
]
-
x4 - x3 + x
-
x4 +
x3 - x
9) Restar: 7x - 11y - 6z + 10 de - 4y + 8x + 3z - 20 10) Restar: [(2a + 3b - c - 5d) + (2a - 6b + c - 10d) + (a + 14b + 6c - 13d) ] de [(5a + 3b - 5c + d) - (2a - 8b + c + 3d) ] 5.3.3. Multiplicación de Expresiones Algebraicas. Para multiplicar expresiones algebraicas, se hace el producto término a término teniendo en cuenta la teoría de exponentes. Finalmente se reducen términos semejantes y se ordena el resultado. EJEMPLO 1. Multiplicar
x 2yz por
- x3y2
SOLUCIÓN: Se plantea el producto de la siguiente forma: x2yz
- x3y2 =
x5y3z
EJEMPLO 2. Efectuar el producto (3x 2 - x + 4) (6x3) SOLUCIÓN: (3x2 - x + 4) (6x3) = 6x3 (3x2 - x + 4) = 18x 5 - 6x4 + 24x3 EJEMPLO 3. Multiplicar: x 4 + 5x2 - 6 por x4 - 6x2 + 4 SOLUCIÓN: Para darle solución a este producto, se plantea la siguiente operación: ( x4 + 5x2 - 6 ) ( x4 - 6x2 + 4)
62
= x8 - 6x6 + 4x4 + 5x6 - 30x4 + 20x2 - 6x4 + 36x2 - 24 = x8 - x6 - 32x4 + 56x2 – 24. EJEMPLO 4. Multiplicar x ny - 3xn-1y2 + 5xn-2y3 por xny2 - 10xn-2y4 SOLUCIÓN: (xny - 3xn-1y2 + 5xn-2y3 ) (xny2 - 10xn-2y4) = x2ny3 - 3x2n-1y4 - 5x2n-2y5 + 30x2n-3y6 -50x2n-4y7. ¿Por qué? EJEMPLO 5. Multiplicar EJEMPLO 5. Multiplicar
m2 -
m3 + m2 -
m-
m+
SOLUCIÓN:
5.4. PRODUCTOS NOTABLES Son productos especiales que se resuelven abreviadamente, aplicando una fórmula ya establecida; todas las cuales pueden deducirse por multiplicación directa. Se recomienda que el estudiante memorice estas nuevas fórmulas. Las más importantes y usadas son:
Producto Notable 2. Suma por la diferencia de dos expresiones algebraicas. (x + y ) (x - y ) = x 2 - y2 EJEMPLOS. Efectuar. EJEMPLO 1. (x2 + y2) (x2 - y2) SOLUCIÓN: (x2 + y2) (x2 - y2) = x4 - y4 EJEMPLO 2. (e2x - e-2x) (e2x + e-2x ) SOLUCIÓN: (e2x - e-2x) (e2x + e-2x ) = e4x - e-4x EJEMPLO 3. (0.1x - 6) (0.1x + 6) SOLUCIÓN (0.1x - 6) (0.1x + 6) = 0.01x 2 - 36 = 10 -2x2 - 36 63
EJEMPLO 4.
x -
y
x +
y
SOLUCIÓN EJEMPLO 5 (x2 - x - 1) (x2 - x -1) SOLUCIÓN: Se hace una agrupación apropiada, a fin de buscar la forma de este producto notable. (x2 - x -1) (x2 -x -1) = [ x2 - (x +1)] [ x2 + (x +1)] = x4 - (x+1)2 = x4 - x2 - 2x -1
Productos Notables 3. (x + a) (x + b) = x 2 + (a+b)x + ab EJEMPLO: Efectuar. EJEMPLO 1. (x+3) (x-2) SOLUCIÓN: (x + 3) (x-2) = x 2 + (3-2) x - 6 = x2 + x - 6 El resultado es fácil de obtener porque la fórmula que da solución al producto notable, permite deducir que si x es el término común a ambos factores y a y b son los no comunes, el producto se construye como: El común al cuadrado, más la suma algebraica de los no comunes por el común, más el producto algebraico de los no comunes. Ejemplo 2. (2m-5) (2m +6) SOLUCIÓN: (2m-5) (2m +6) = 4m2 + 2m - 30 EJERCICIO 3. SOLUCIÓN:
=
EJERCICIO 4. ( M + N + 2) (M + N + 5) SOLUCIÓN: Se hace una agrupación previa, así: (M + N + 2) (M + N + 5) = = = =
[ (M + N) + 2] [(M + N) + 5 ] (M + N)2 + 7 (M + N) + 10 M2 + 2MN + N 2 + 7M + 7N + 10 M2 + 7M + 7N + 2MN + 10
EJEMPLO 5. (3xa - 12) (3xa - 4) SOLUCIÓN: (3xa - 12) (3xa - 4) = 9x2a - 48xa + 48 64
Producto Notable 4. (ax + by) (cx + dy) = acx 2 + (ad + bc) xy + bdy 2 EJEMPLOS. Efectuar. EJEMPLO 1. (2x + 3y ) (4x + 5y) SOLUCIÓN: (2x + 3y ) (4x + 5y) = 8x2 + (10 + 12)xy + 15 y 2 = 8x2 +22xy +15 y2
EJEMPLO 2. (3t + 2s ) (6t - 2s). SOLUCIÓN: (3t + 2s ) (6t - 2s) = 8t2 - 6st + 12st - 4s 2 = 8t2 + 6st - 4s2 EJEMPLO 3. (4x2n + yn ) (3x2n - 5yn ) SOLUCIÓN: (4x2n + yn ) (3x2n - 5yn ) = 12x4n - 20x2nyn + 3x2n yn - 5y2n = 12x4n - 17x2nyn - 5y2n EJEMPLO 4. (3m-2n) (5m +3n) SOLUCIÓN: (3m-2n) (5m +3n) = 15m 2 + 9mn - 10mn - 6n 2 = 15m2 - mn - 6n2 EJEMPLO 5. (7P + 9Q) (3P + 4Q) SOLUCIÓN: (7P + 9Q) (3P + 4Q) = 21P 2 + 28PQ + 27PQ + 36Q 2 = 21P2 + 55PQ + 36Q2
Producto Notable 5. El cubo de la suma (diferencia) de dos términos. (x ± y)3 = x3 ± 3x2y + 3xy2 ± y3 Cuando se factoriza la expresión de la derecha, se tiene un cubo perfecto. EJEMPLOS. Efectuar. EJEMPLO 1. (1- 2n)3 SOLUCIÓN: Los signos del desarrollo del producto son alternantes, empezando con +, así: (1 - 2n)3 = 1 - 6n + 12n 2 - 8n3 EJEMPLO 2. (x2 + y2)3 SOLUCIÓN: Los signos del desarrollo del producto son todos positivos. (x2 + y2 )3 = x6 + 3x4 y2 + 3 x2 y4 + y6 EJEMPLO 3. (2 - 3A) 3 SOLUCIÓN: (2 - 3A) 3 = 8 – 36A + 54A2 - 27A3 EJEMPLO 4. (2x + 3y) 3 65
SOLUCIÓN: (2x + 3y) 3 = 8x3 – 36x2y + 54xy2 + 27y3
EJERCICIOS 2.1 2. Efectuar las siguientes operaciones empleando los productos notables. 1) ( 3a2 b3) (-7ab4) 15) ( MN - xy)2 2) x2y (x - 2y3 + 5)
24) (a + b) (a - b) (a + b)
3) (p + q - 3) (p + q + 3)
16 ( x - 2)3
4) (x + 2a) (x + 2b)
17) (
5) (5x - 2) (5x - 3)
18) (5x2 + 1) (1 - 5x2)
6) (x + y - z) (x + y + z)
19) (3ek + 2) (3ek - 2)
7) (3ab + 5) (3ab - 8)
21) (2x + 2y + 27) 2
+ 1) 5
5.5. DIVISIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS: Como en la multiplicación, en la división de expresiones algebraicas, hay que tener siempre presente la teoría de exponentes. El proceso que se sigue para efectuar la división, es similar al de resolver un cociente convencional. Si el coeficiente entre dos expresiones algebraicas es , N ≠ 0 entonces: =C+ Siendo:
Así que:
M: Expresión algebraica Dividendo N: Expresión algebraica Divisor C: Expresión algebraica Cociente R: Expresión algebraica Residuo. = Cociente +
Esta forma de definir la división, se conoce como algoritmo de la división o de Euclides*. 66
Si R = 0; sugiere decir que no hay residuo y se tiene una división exacta esto es, M es divisible por N. EJEMPLO 1. Dividir x4 - 2x3 - 8x2 + 4x entre x SOLUCIÓN: Como el divisor es un monomio, la operación puede plantearse como: (x4 - 2x3 - 8x2 + 4x) ÷ x = 3x3 - 6x2 + 12 ó bien
= 3x3 - 6x2 + 12 EJEMPLO 2. Dividir 4x4 - 2x3 - 6 + 14x entre 2x + 3 SOLUCIÓN: Para dividir dos expresiones algebraicas de este tipo, debe tenerse en cuenta:
ALGORITMO: 1) Se ordenan los polinomios, de manera decreciente es decir de la mayor potencia a la menor. 2) Se divide el primer termino del dividendo entre el primer termino del divisor y así obtenemos el primer termino del cociente. 3) Se multiplica este primer término de cociente por todos los términos del divisor y el producto se resta del dividendo. 4) La diferencia obtenida se considera como el nuevo dividendo. Continuamos con el proceso anterior, hasta que el grado del dividendo sea estrictamente menor que el grado del divisor. 4x4 - 2x3 + 0x2 + 14x - 6 -4x4 - 6x3 - 8x3 + 0x2 + 14x - 6 + 8x3 + 12x2 12x2 + 14x - 6 -12x2 - 18x -4x - 6 +4x + 6 0 En este caso la división es exacta y
67
= 2x3 - 4x2 + 6x - 2 EJEMPLO 3. Dividir x5 - x4y + x2y3 – 2xy4 entre x2 - 2xy + 4y2 SOLUCIÓN: Se plantea la operación de la siguiente manera. x5 - x4y + 0x3y2 + x2y3 - 2xy4 + 0y5 -x5 - 2x4y + 4x3y2 x4y + 4x3y2+ x2y3 - 2xy4 + 0y5 - x4y + 2x3y2 + 4x2y3 6x3y2 + 5x2y3 - 2 xy4 + 0 -6x3y2 + 12 x2y3 + 24 xy4 17x2y3 + 22 xy4 + 0 -17x2y3 + 34 xy4 + 68y5 56xy4 + 68y5 La división no es exacta, y según el algoritmo de la división: = x3 + x2y + 6xy2 + 17y3 + EJEMPLO 4. Si el divisor es x 2 - 2xy - 4y 2; el cociente es x 3 + x 2y + 6xy2 + 17y3 y el residuo es 56xy 4 + 68y5 ¿cuál será el dividendo?. SOLUCIÓN: Según la definición de la operación división si = C + , entonces M = CN + R. ¿Por qué? M: Es la expresión algebraica que se desea encontrar. C: x3 + x2y + 6xy2 + 17y3 N: x2 - 2xy - 4y2 R: 56xy4 + 68y5 Luego: M = (x3 + x2y + 6xy2 + 17y3) (x2 - 2xy – 4y2) + 56xy4 + 68y5 = x5 - x4y + x2y2 -2xy4
Este procedimiento, si se hace un análisis detallado, constituye la prueba de la división planteada en el ejemplo 3.
EJEMPLO 5. Dividir
a2 -
ab - b2 entre a - b.
SOLUCIÓN: Se plantea la operación como:
68
a2 -
ab - b2
a-
b
a2 + ab ab - b2
a+ b
- ab + b2 0 Y el resultado de dividir:
a2 +
ab - b2 entre a - b es
a+
b
Sien do la división exacta, puesto que el residuo es cero.
EJERCICIOS 3.5
1. Dividir. 1) x4 + xy3 + x3y + 2x2y2 + y4 entre xy + y2 + x2 2) 2x4 + 3x3 - x2 - 1 entre
-1
3) x5 - 7x4y + 21x3y2 - 37x2y3 + 38xy4 - 24y5 entre x2 - 3xy + 4y2 4) ( x2n+3 + 4x2n+2 + x2n+1 - 2x2n) ÷ ( xn + xn+1) 5)
M3 -
M2 N - N3 +
MN2
÷
M-
N
Si en una división; el divisor es x - 1, el residuo es cero y el cociente 2x 2 - 5x + 2. ¿Cuál será el dividendo?. 3. Si al plantear una división; el dividendo es 2x 3 - 3x 2 - 5x +4 el cociente es 2x 2 + x - 3, y el residuo es -2. ¿Cuál será el divisor?. 4. Si el dividendo de una división es; x 4 - 3x3 + 2x2 + 3x - 6 y el divisor es x 2 + x 1.¿Cuáles serán el cociente y el residuo?. 2.
5.6 DIVISIÓN SINTÉTICA Es un procedimiento con el cual se simplifica la división de un polinomio P (x) entre una expresión algebraica de la forma x-a. ALGORITMO: 69
1) Ordenar el polinomio en forma descendente, donde falte un término debe dejarse espacio o suplir el término faltante con cero. 2) Colocar únicamente los coeficientes con sus respectivo signo en el dividendo y despejar “a” de X-a y colocarlo en el divisor. 3) El primer coeficiente del renglón 1, será el primer coeficiente del renglón 3.
4) El primer coeficiente del renglón 3 se multiplica por el número del divisor y el producto se le suma al segundo coeficiente del renglón 1 obteniendo así el segundo número del renglón 3, el proceso se repite hasta obtener el último número del renglón 3, el cual será residuo. Los restantes número del renglón 3 corresponderán a los coeficientes del cociente. El grado del polinomio cociente es 1 menos que el grado del dividendo. EJEMPLOS: Hallar el cociente y el residuo que resulta de dividir: EJEMPLO 1. 2x 3 - 3x2 - 5x – 2 entre x - 1 SOLUCIÓN: P(x) = 2x3 - 3x2 - 5x ; a = 1 Con los coeficientes 2, -3, -5, -2
y
a =1, se plantea la división sintética o regla
de Ruffini, así: R 1
2 -3 -5 -2
R 2 R 3
+2 -1 -6 2 -1 -6 -8
1
El residuo es -8 y -2, -1, -6 son los coeficientes del polinomio cociente, cuyo grado es el de P(x) disminuido en 1; en este caso 2. ¿Por qué?. Ahora:
= 2x2 - x - 6 -
EJEMPLO 2. 4x 4 - 3x3 + x + 8 entre x + 2 SOLUCIÓN: P(x) = 4x4 - 3x3 + x + 8; a = - 2
70
Si se tiene en cuenta que falta el término en x 2, la división puede plantearse y resolverse de la siguiente forma según la regla de Ruffini. R 1 R 2 R 3
2 -3 + 0 + 1 + 8 -8 +22 -44 +86 2 -11 +22 -43 +94
-2
Residuo: 94 Cociente: 4x 3 - 11x2 + 22x - 43 Ahora
= 4x3 - 11x2 + 22x - 43 +
EJERCI EJERCICIO CIOS: S: Halla Hallarr el cociente cociente y el residuo residuo que result resultaa de dividir. dividir. Utiliz Utilizar ar la división sintética. 1) 2x3 - 2x2 - 4x + 4 entre x -2 2) x4 - y2 + 2y + 2 entre y + 1 3) x5 - 5x3 - x + 6 entre x - 3 4) 7x3 - 4x2 + 8
entre 2x + 1
5) x6 - 4x5 - 10x4 -18x3 + 30x2 - 20x + 3 entre x + 5 6) 3x4 + 2x3 + 5x2 - 5x -3 entre 3x - 1 7) 2x5 - 5x4 + 2x3 - 3x2 - 7x + 5 entre 2x - 5 8) 5x5 - 8x4 + 11x3 + 6x2 + 10x + 4 entre 5x + 2
5.7 FACTORIZACIÓN Factorizar una expresión algebraica es descomponerla en un producto de factores quee de qu debe benn ser ser ex expr pres esio ione ness irre irredu duci cibl bles es en el co conj njun unto to sobr sobree el cu cual al se está está factorizando, en este caso el conjunto de los números reales R.
71
5.7.1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS IRREDUCIBLES. Es aquella expresión expresión que no puede descomponerse descomponerse como el producto producto de dos o más expresione expresioness algebraicas algebraicas de grado mayor mayor que cero en un conjunto conjunto dado; dado; en caso contrario, se tiene una expresión algebraica reducible. EJEMPLO 1. x3 + 1 = (x + 1) (x 2 - x + 1) Es reducible sobre R, puesto que x 3 + 1, se ha logrado descomponer en factores que son expresiones algebraicas de grado 1 y 2 respectivamente. EJEMPLO 2. 25xy - 10 = 5(5xy 5(5xy - 2) Es irreducible sobre el conjunto de los números reales R ; 5 que es un factor de la expresión dada, es de grado cero. EJEMPLO 3. x 2 + 1 es irreducible en los reales R, porque no puede descomponerse en factores para este conjunto, sin embargo en los complejos es reducible, ya que: x2 + 1 = (x + i) (x - i) Recordar que i = -1 es la unidad imaginaria. Para factorizar expresiones algebraicas, con mucha más facilidad, debe repasarse los productos notables vistos en este capítulo, pues estos son la operación inversa de la factorización. ____________________________ __________________________________________ ____________________________ _________________________ ___________ Nota: La factorización de una expresión algebraica es única. Para factorizar una expresión algebraica puede existir varias formas (grados (grados de libertad), pero el resultado resultado debe ser siempre el mismo. mismo. ______________________ _________________________________ _______________________ _______________________ _______________________ _______________________ _______________________ _______________________ _______________________ _______________ ___
5.7.2. CASOS DE FACTORIZACIÓN: determina un Caso de Factorización 1. Factor Común ax ± bx = x(a ± b). Se determina factor común a todos los términos de la expresión dada, este no es más que el máximo común divisor (M.C.D.) de los términos, es decir los factores comunes con su menor exponente. EJEMPLOS. Facturar. EJEMPLO 1. 5a 2 bx3 - 15abx2 - 2ab3x2 72
SOLUCIÓN: El factor común o M.C.D. de los términos de la expresión expresión que se va a 2 factorizar es abx , así que: 5a2 bx3 - 15abx2 - 2ab3x2 = abx2(5ax - 2b2 - 15) EJEMPLO 2. 18e 3m + 2e4m + 8e5m SOLUCIÓN: El factor común es es 2e 3m ¿Por qué? Entonces: 18e 3m + 2e4m + 8e5m = 2e3m(9 + em + 4e2m) EJEMPLO 3. x2 + 1 - x3 - x SOLUCIÓN: SOLUCIÓN: Para intentar intentar construir construir un factor factor común se agrupan agrupan los dos últimos últimos términos como: (x2 + 1) - ( x3 - x) = (x2 + 1) - x( x( x2 + 1) y ahora el factor común es x 2 + 1, entonces (x2 + 1) - x3 - x = (x2 + 1) - x( x2 + 1) = (x2 + 1) ( 1 - x) EJEMPLO 4. x3 + x + x2 + 1 + y2 + x2y2 SOLUCIÓN: Agrupando términos se obtiene: x3 + x + x2 + 1 + y2 + x2y2 = (x3 + x) + (x2 + 1) + (y2 + x2y2) = x(x2 + 1) + (x2 + 1) + y2 (x2 + 1) = (x2 + 1) (x + y2 + 1) ¿Será que es posible posible hacer agrupaciones agrupaciones de tres términos? términos? ¿cómo? EJEMPLO 5. 2(x + y + z) + 3( x + y + z) - x - y - z SOLUCIÓN: Agrupando de una forma apropiada, se determina el factor común, así: 2(x + y + z) + 3( x + y + z) - (x + y + z) = (x + y + z) ( 2 + 3 - 1) = 4( x + y + z ) y). Difere Diferenci nciaa de cuadra cuadrados dos.. Caso de Factorización 2. x2 - y2 = (x + y) (x - y). Factorizar una expresión algebraica de esta forma, resulta sencillo de hacer: basta plantear el producto de la suma por la diferencia de las raíces cuadradas de los términos de la expresión a factorizar. EJEMPLOS. Factorizar. 73
EJEMPLO 1. 4x 2 - y2 SOLUCIÓN: 4x2 - y2 = (2x - y ) (2x + y ) = (2x + y ) (2x - y ) EJEMPLO 2. 16x4 - y4 SOLUCIÓN: Esta expresión puede escribirse como la suma por la diferencia de las raíces cuadradas de los términos, así: 16x4 - y4 = (4x2 - y2 ) (4x2 + y2 ) = (2x + y ) (2x - y ) (4x 2 + y2 ). ¿Qué ocurrió?. EJEMPLO 3. (a - b) 2 - c2 SOLUCIÓN: (a - b)2 - c2 = [(a - b) - c)] [(a - b) + c) ] = ( a - b - c) ( a - b + c) EJEMPLO 3. (a - b) 2 - (x - y)2 SOLUCIÓN: (a - b)2 - (x - y)2 = [(a - b) - (x - y)] [(a - b) + (x - y)] = (a - b - x + y) (a - b + x - y) EJEMPLO 5. Factorizar 2x - 3y como una diferencia de cuadrados. SOLUCIÓN: 2x - 3y = ( 2x + 3y) ( 2x - 3y)
Caso de Factorización 3. Trinomio cuadrado perfecto (T.C.P.). Se trata de expresar un trinomio de la forma x 2 ± 2xy + y2, como un producto de factores de tipo ( x ± y)2, así x2 ± 2xy + y2 = ( x ±y)2. _________________________________________________________________ Nota: En un trinomio cuadrado perfecto, el tercer término es siempre positivo.
EJEMPLOS. Factorizar. EJEMPLO 1. x2 + 2x +1 SOLUCIÓN: Base confirmar que el segundo término si sea el doble producto de las raíces cuadradas del primer y tercer término. x2 + 2x + 1 = (x + 1) 2 x2 + 2x + 1 = (x + 1) 2 EJEMPLO 2. x2 - x + SOLUCIÓN: x2 - x +
= x-
2
74
EJEMPLO 3. 9x2y2 - 24xy + 16 SOLUCIÓN: 9x2y2 - 24xy + 16 = (3xy - 4)2 EJEMPLO 4. 32x + 2 . 3x + 1 SOLUCIÓN: 32x + 2 . 3x + 1 = (3 x + 1)2 EJEMPLO 5. x2 - 2x(a + b) + (a + b) 2 SOLUCIÓN: x2 - 2x(a + b) + (a + b) 2 = [x - (a + b) ]2 = (x - a - b) 2
Caso de Factorización 4. Completación de un trinomio cuadrado perfecto (T.C.P.). Para completar un Trinomio Cuadrado Perfecto, se suma y se resta a la expresión a factorizar el mismo término, de tal manera que, se construya un trinomio cuadrado perfecto (T.C.P.) y finalmente la expresión que resulta debe factorizarse como una diferencia de cuadrados. El hecho de sumar y restar un mismo término a una expresión algebraica, garantiza que esta no se altera, lo que se hace aquí, entonces, es manipular la expresión algebraica con base en un artificio matemático. EJEMPLOS: Descomponer en factores. EJEMPLOS 1. x4 + 6x2y2 + y4 SOLUCIÓN: La expresión anterior sería un trinomio cuadrado perfecto (T.C.P.), si el término de la mitad fuera 2 x 2y2, para construirlo, entonces, se le suma y se le resta a la expresión dada el término 4 x 2y2. Entonces: x4 - 6x2y2 + y4 = x4 - 6x2y2 + x4 + 4x2y2 - 4x2y2 = (x4 - 2x2y2 + y4 ) - 4x2y2 = (x2 - y2 )2 - 4x2y2 Este último resultado se factoriza como una diferencia de cuadrados. Luego: x4 - 6x2y2 + y4 = (x2 - y2 )2 - 4x2y2 = [(x2 - y2 ) - 2xy] [(x2 - y2 ) + 2xy] = (x2 - 2xy - y2 ) ( x2 + 2xy - y 2)
75
EJEMPLO 2. 81x 4 + 9x2y2 + y4 SOLUCIÓN: Si la pretensión es factorizar esta expresión completando un T.C.P. y planteando una diferencia de cuadrados, se le debe sumar y restar el término 9x 2y2 ¿Por qué?, así entonces. 81x4 + 9x2y2 + y4 = 81x4 + 9x2y2 + y4 + 9x2y2 - 9x2y2 = 81x4 + 18x2y2 + y4 - 9x2y2 = [(9x2 + y2) - 3xy] [(9x2 + y2) + 3xy] = (9x2 - 3xy + y2) + (9x2 + 3xy + y2) EJEMPLO 3. 4a4 + 1 SOLUCIÓN: Se le suma y se le resta a 4a 4 + 1, el término 4a 2. Entonces: 4a4 + 1 + 4a2 - 4a2 = 4a4 + 4a2 + 1 - 4a2 = (2a2 + 1)2 - 4a2 = (2a2 - 2a + 1) (2a2 - 2a + 1) EJEMPLO 4. R 8 + 3R 4 + 4 SOLUCIÓN: ¿Por qué se suma y se resta R 4? R 8 + 3R 4 + 4 = R 8 + 3R 4 + 4 + R 4 - R 4 = R 8 + 4R 4 + 4 - R 4 = (R 4 + 2)2 - R 4 = (R 4 - R 2 + 2) (R 4 + R 2 + 2)
Caso de Factorización 5. Trinomio de la forma x 2n + bxn + c, n ∈ Z. La factorización de este trinomio es muy frecuente en matemáticas; para descomponerlo en factores, se hace necesario poseer alguna habilidad en manejo numérico y conocer la regla de los signos. EJEMPLOS. Factorizar. EJEMPLO 1. x2 - 10x + 21 SOLUCIÓN: x2 - 10x + 21 = (x - 7) (x - 3) En realidad, este resultado viene de descomponer la expresión a factorizar como: x2 - 10x + 21 = x 2 - 3x -7x + 21 Es decir -10x se ha escrito como -3x -7x. Ahora agrupando los términos de la derecha se tiene: x2 - 10x + 21 = (x 2 - 3x) - (7x - 21) 76
= x (x - 3) -7 (x - 3) = (x - 3) (x - 7) = (x - 7) (x - 3) En la práctica, sin embargo, el proceso que se sigue para factorizar un trinomio de esta forma, es un ejercicio de rutina. EJEMPLO 2. z2 - 32z + 256 SOLUCIÓN: z2 - 32z + 256 = (z - 16) (z - 16) ¿Por qué) = (z - 16) 2 _________________________________________________________________ Nota: algunos trinomios cuadrados perfectos, pueden factorizarse según esta forma. _____________________________________________________________________________________________________________________
EJEMPLO: 3. (x + 2) 2 + (5x + 10) + 6 SOLUCIÓN: Reagrupando los términos de este trinomio, puede llagarse a la forma deseada. (x + 2)2 + (5x + 10) + 6 = (x + 2) 2 + 5 (x + 2) + 6 = [(x + 2) + 3] [(x + 2) + 2 = (x + 5) (x + 4) Si aún se presenta, confusión, puede intentarse un cambio en los términos que facilita y da claridad al proceso así: si se reemplaza x + 2 por z. Entonces: (x + 2)2 + (5x + 10) + 6 = z 2 + 5z + 6 = (z + 3) (z + 2) = (z + 2 + 3) (x + 2 + 2) = ( x + 5) (x + 4) EJEMPLO 4. 56x - 17 * 53x - 60 SOLUCIÓN: 56x - 17 * 53x - 60 = (53x - 20) (53x - 3). ¿Qué ocurre si se sustituye y por 53x? EJEMPLO 5. x10 + (xy)5 - 20y10 SOLUCIÓN: x10 + (xy)5 - 20y10 = (x5 + 5y5) (x5 - 4y5)
Caso de Factorización 7. Suma de Cubos – Diferencia de Cubos. En términos algebraicos, este caso de factorización puede presentarse como: x3 ± y3 = (x ±y) (x2 ± xy y2) 77
EJEMPLOS. Factorizar EJEMPLO 1. x3y3 - 27 SOLUCIÓN: x3y3 - 27 = (xy - 3) (x 2y2 + 3xy + 9) Obsérvese que el segundo factor queda determinado a partir del primero. EJEMPLO 2. a3n + 8 SOLUCIÓN: La raíz cúbica de a 3n es an, y la de 8 es 2, así entonces: a3n + 8 = (an + 2) (a2n - 4an + 4) EJEMPLO 3. ( x + y) 3 - 1 SOLUCIÓN: Factorizando como una diferencia de cubos, la expresión dada, resulta: (x + y)3 - 1 = [(x + y) - 1] [(x + y)2 + (x + y) + 1] = (x + y - 1) (x2 + 2xy + y2 + x + y + 1) EJEMPLO 4. a9 + b9 SOLUCIÓN: Como una suma de cubos. a9 + b9 = (a3 + b3) (a6 - a3 b3 + b6) En el primer factor se presenta de nuevo, una suma de cubos, por lo tanto la expresión factorizada completamente queda como: a9 + b9 = (a + b) (a2 – ab + b2 ) (a6 - 3a3 b3 + b6) EJERCICIOS
1. Factorizar las siguientes expresiones algebraicas, sobre el conjunto de los números reales R. 1) 10x2 - 5x 2) 64x2 - 729 4) 9(x + y)2 - 169(x - y)2
78
6) 1 + 12x2y2 + 6xy + 8x3y3 10) 20x2 + xy - y2 15) x2 - x + y2 - y - 2xy - 30 24) x2 - 16 - 6xy + 9y 2 26) x2 + 2xy + 2xz + y 2 + 2yz + z2 2. Factorizar completamente sobre los reales R. 9) x6 - 7x3 - 8
19) a6 - b6
10) x2 - 4xy + 4y2 - 16
24) 4a2 - 12ab + 9b2
12) 2x3 - 18x
26) x8 - 17x4 + 16
13) 3x3y3 + 7x2y3 - 6xy3
29) 4(x -2)2 + 5(x - 2) (y + 4) -21(y + 4) 2
15) x4 - 4
16) x4 + x2 + 1
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CAPITULO 6 ECUACIONES DE UNA VIARABLE
Uno de los objetivos principales del álgebra, es la obtención de soluciones para las ecuaciones polinómicas de la forma P(x) = 0, en donde P (x) es un polinomio de grado n ≥ 1 y x es una indeterminada, incógnita o variable. En general, en este capítulo se estudiarán ecuaciones lineales y de segundo o cuadráticas, que resulta ser un caso particular de la ecuación P(x) = 0; esto porque esta clase de ecuaciones son muy utilizadas en la práctica. Al final del capítulo hay una sección que trata algo sobre las ecuaciones polinómicas de grado mayor o igual a 3, se enuncia sin demostrar el teorema fundamental del álgebra y se resuelven algunas ecuaciones polinómicas que pueden llegar a ser de interés más adelante.
6.1 ECUACIONES. Una ecuación es un enunciado o proposición que plantea la igualdad de dos expresiones, donde al menos una de ellas contiene cantidades desconocidas que se llaman variables o incógnitas. EJEMPLOS. Las siguientes expresiones son ecuaciones. EJEMPLO 1. -3x - 5 = -7x - 1. Es una ecuación lineal o de grado 1. EJEMPLO 2. 4x2 = 35 - 4x Es una ecuación de una variable x de segundo grado o cuadrática. EJEMPLO 3. EJEMPLO 4. 3x + 2y - 2 = 0
Es una ecuación exponencial. Es una ecuación lineal de dos variables x y y
EJEMPLO 5. 2x1 - 3x2 +4x3 = 0. Es una ecuación lineal de tres variables x 1, x2 y x3 EJEMPLO 6. log (x + 4 ) = log ( x - 3 ) - log 2. Es una ecuación logarítmica. Resolver una ecuación es encontrar sus soluciones o raíces, también llamado conjunto solución, es decir, los valores de la variable que satisfagan la ecuación. Si no hay ningún valor que cumpla esta condición se dice que la solución a la 80
ecuación es el conjunto vacío ∅. Si al resolver la ecuación se obtiene una posible solución, pero que no satisface la ecuación original, se dice que la solución obtenida es “extraña”. Ahora si la igualdad se cumple para cualquier valor permitido que tome la variable, se tiene una identidad. _________________________________________________________________ Nota: Si A es idéntico a B, se escribe A ≡ B. __________________________________________________________________________________________________________________
EJEMLOS. EJEMPLO 1. La ecuación (x + y) 2 = x2 + 2xy + y2, es una identidad y se escribe: (x + y)2 ≡ x2 + 2xy + y2 EJEMPLO 2. La ecuación
=
Es una identidad, pues se cumple para cualquier valor que tome x, excepto 1 y 3, ¿Por qué?, y se acostumbra a escribir: ≡
Para resolver cualquier tipo de ecuación hay que tener siempre presente los siguientes enunciados y las propiedades de los números reales R enunciadas en el capítulo 1: 1. Si ambos miembros de una ecuación se multiplican o dividen por la misma cantidad positiva o negativa, la ecuación no sufre ninguna modificación. EJEMPLO. Si la ecuación 3x + 8x = 33 Se multiplica por 3, por decir algún valor, entonces, 9x + 24 = 99 Si
se divide por -3, se tiene que: -3x - 8 = -33
y se cumple que las ecuaciones
,
y
son equivalentes.
2. Si ambos miembros de una ecuación se les suma o resta la misma cantidad, la ecuación no se altera. 81
EJEMPLO. Si a ambos miembros de la ecuación x2 + 24x = 25 Se les suma 10, por decir algún valor, entonces: x2 + 24x + 10 = 25 + 10 Si la ecuación
, se le resta a ambos miembros 5, entonces: x2 + 24x - 5 = 25 - 5
y puede afirmarse que las ecuaciones
,
y
son equivalentes.
3. Un término pasa de un miembro a otro de la ecuación, si se le cambia de signo. EJEMPLO: Si en la ecuación x 2 - 7x - 4 = 0 Se traslada el - 4, por ejemplo, al lado derecho de la ecuación, se tiene: x2 - 7x = 4 y las ecuaciones en
y
son equivalentes.
4. Si ambos miembros de una igualdad se elevan al mismo exponente, la igualdad se mantiene. EJEMPLO: Dada la ecuación
=5
entonces si se elevan a ambos miembros de la ecuación al cuadrado, se obtiene: x2 + 24x = 25 y las ecuaciones
y
son equivalentes.
5. Si los miembros de una ecuación cambian de posición la igualdad se conserva. EJEMPLO. La ecuación -3x - 5 = -7x + 1 también se escribe como: -7x + 1 = -3x - 5
(11) (12)
y concluir que las ecuaciones (11) y (12) son las mismas.
6.2 ECUACIONES LINEALES DE UNA VARIABLE. Se llaman lineales porque el exponente máximo de la variable es uno, es decir, el grado de la ecuación es 1.
82
Con base a esta consideración, una ecuación de una variable es del tipo ax +b=0, siendo a, b ∈ R , a ≠ 0. Su única solución es x = . Por tanto, para resolver una ecuación lineal de una variable se transponen, si es necesario todos los términos que contienen la incógnita a un miembro de la ecuación y, todos los términos conocidos al otro miembro. EJEMPLO: Son ecuaciones lineales. EJEMPLO 1. 8x + 5x - 3x = 17 - 9 + 32 EJEMPLO 2. 4(x +5)2 - (2x +1)2 = 3 (x - 5) + 180 en apariencia, esta ecuación no es lineal, pero si se efectúan las operaciones planteadas se llega a que en realidad si lo es. ¿Cómo?. EJEMPLO 3. es una ecuación lineal cuya variable o incógnita es P. EJEMPLOS. Encontrar la solución a las siguientes ecuaciones: EJEMPLO 1. 2x + 3 - (4x - 1) = 2 - x. SOLUCIÓN: 2x + 3 - (4x - 1) = 2 - x. 2x + 3 - 4x + 1 = 2 - x. -x =2 Si se multiplican ambos lados de la ecuación por -1 entonces x = 2 la solución x =2, debe satisfacer la ecuación. ¿Cómo se comprueba?. EJEMPLO 2. SOLUCIÓN:
¿Qué valores no debe tomar q?. ¿Será esta ecuación una identidad?
Haciendo transposiciones de términos y efectuando algunas operaciones previas, se puede transformar la ecuación en una lineal, así:
83
, entonces , luego así: 3q - 3 = 2q, transponiendo términos 3q - 2q = 3 , es decir, q=3 Este valor de q satisface la ecuación. EJEMPLO 3. 3(x - 5 ) + 180 + (2x + 1)2 = 4 (x + 5)2 SOLUCIÓN: 3(x - 5 ) + 180 + (2x + 1) 2 = 4 (x + 5) 2 , es una ecuación que puede transformarse de la siguiente manera: 3x - 15 + 180 + 4x 2 + 4x + 1 = 4x2 + 40x + 100 Los términos cuadráticos se cancelan y la ecuación se vuelve lineal, así: 3x 4x - 40x = 100 + 15 -180 -1 - 33x = -66 33x = 66 x =2 EJEMPLO 4.
= 3; x ≠ -1 ¿por qué?
SOLUCIÓN:
= 3,
entonces: 3x + 2 = 3 (x + 1) 3x + 2 = 3x + 3 2=3 que es una contradicción o absurdo, esto indica que la ecuación tiene como solución el conjunto vacío ∅ ó simplemente no tiene solución. EJEMPLO 5. SOLUCIÓN: Para resolver esta ecuación hay varios grados de libertad; el resultado de todas maneras, debe ser el mismo. El estudiante debe escoger según su habilidad los procesos más óptimos para llegar a la solución. 84
-x=4 x = -4 EJEMPLO 6. 0.5x - 0.3x = 0.25x - 1 SOLUCIÓN: Para no operar con decimales. Se simplifica o multiplica la ecuación por 100. Este proceso hace más fácil los cálculos y vuelve los coeficientes de los términos de la ecuación, números enteros. Ahora la ecuación planteada puede escribirse como: 50x - 30x = 25x - 100 -5x = -100 5x = 100 x = 20 EJEMPLO 7. 6x (x - 3 ) + (x - 1)3 = (x + 1)3 SOLUCIÓN: Efectuando las operaciones planteadas esta ecuación que aparentemente es de grado 3, puede volverse lineal, así: 6x (x - 3 ) + (x - 1) 3 = (x + 1)3 6x2 - 18x + x3 - 3x2 + 3x - 1 = x 3 + 3x2 + 3x + 1 cancelando los términos no lineales, entonces: - 18x = 2, de donde, x =
6.3 ECUACIONES CUADRÁTICAS DE UNA VARIABLE. La teoría de ecuaciones cuadráticas o de segundo grado es bastante extensa, aquí solo serán de interés aquellas que tengan soluciones reales. Una ecuación cuadrática muestra la formula: ax2 + bx + c = 0 Donde a, b ∈ R y a ≠ 0 Esta ecuación también se conoce como la forma canónica de la ecuación de segundo grado.
85
Este tipo de ecuaciones tienen como máximo dos soluciones o raíces que deben satisfacer la ecuación. Formas Incompletas . Si en la ecuación ax2 + bx + c = 0, c = 0, entonces, ax2 + bx = 0 la solución de esta ecuación incompleta garantiza que una de las raíces es cero ya que la ecuación puede factorizarse así: x(ax + b) = 0 que equivale a las dos siguientes ecuaciones lineales: x = 0, ax + b = 0 cuyas soluciones son: x = 0 y x = -
si b = 0 en la ecuación ax2 + bx + c = 0, entonces se tiene la forma incompleta ax2 + c = 0 La solución de esta ecuación arroja como resultado dos raíces que son iguales en términos de valor absoluto. Solución de una ecuación cuadrática . Una ecuación cuadrática, usualmente puede resolverse de las siguientes tres maneras:
6.3.1. Por Factorización. Para resolver una ecuación cuadrática por factorización, la ecuación debe estar escrita como: ax2 + bx + c = 0 es decir, el lado derecho debe ser cero, y el izquierdo debe estar factorizado en dos factores lineales: esto a fin de igualar cada factor a cero, lo que facilita la solución de la ecuación. Por lo tanto la solución de la ecuación ax 2 + bx + c = 0, se reduce a resolver dos ecuaciones lineales equivalentes a ella. EJEMPLO. Resolver las siguientes ecuaciones EJEMPLO 1. x2 - 7x - 8 = 0 SOLUCIÓN: x2 - 7x - 8 = 0, factorizando el lado izquierdo se tiene (x - 8) (x + 1) = 0 para que esta igualdad sea cierta 86
x - 8 = 0, entonces x 1 = 8 ó x + 1 = 0, entonces x 2 = 1 La solución de la ecuación es entonces, x1 = 8 ó bien x2 = -1 EJEMPLO 2. 4R 2 + 4R + 1 = 0 SOLUCIÓN: Factorizando (2R + 1 ) 2 = 0, de donde R = -1/2
entonces, 2R + 1 = 0
aquí las soluciones son iguales R 1 = R 2 = -1/2. EJEMPLO 3. x + 3x2 = 0 SOLUCIÓN: Esta forma incompleta garantiza una raíz x = 0, así: x + 3x2 = 0 entonces, x(1 + 3x) = 0 Ahora, x1 = 0 ó x2 = -1/3 EJEMPLO 4. 36y2 = 1 SOLUCIÓN: La ecuación dada puede expresarse como: 36y2 - 1 = 0 factorizando como una diferencia de cuadrados. (6y - 1) (6y + 1) = 0 y 6y - 1 = 0 ó y = -1/6 entonces, y1 = 1/6 ó y2 = -1/6 EJEMPLO 5. 35 - 4x = 4x2 SOLUCIÓN: la ecuación dada, a fin de resolverla por factorización, debe estar escrita como: 4x2 + 4x - 35 = 0 ahora, factorizando. (2x + 7) (2x - 5) = 0 igualando cada factor a cero se tiene: 2x + 7 = 0 ó 2x - 5 = 0 así que: x1 = - ó x2 =
87
6.3.2. Por Fórmula Cuadrática ó Fórmula General. Para encontrar las soluciones, en su forma canónica, de una ecuación de segundo grado por fórmula cuadrática, la ecuación debe estar escrita como: ax2 + bx + c = 0; a 0. En la fórmula cuadrática se opera únicamente con los coeficientes de los términos de la ecuación a, b, c. La expresión en cuestión es:
Esta expresión también se conoce como la fórmula de la ecuación de segundo grado. Demostración: multiplicando por 4a
ax2 + bx + c = 0 4a2x2 + 4abx + 4ac = 0
Sumando b2 a ambos lados de la ecuación
4a2x2 + 4abx + 4ac + b 2 = b2 4a2x2 + 4abx + b 2 = b2 - 4ac Ahora, el lado izquierdo de la ecuación es un Trinomio Cuadrado Perfecto (T.C.P.) (2ax + b)2 = b2 - 4ac y 2ax + b = ± 2ax = - b ± y
en la práctica, se acostumbra escribir: esto, para indicar dos soluciones. En la expresión anterior al término b 2 - 4ac, se le llama discriminante, con base a él, puede determinarse la naturaleza de las raíces de la ecuación cuadrática, de la siguiente forma: Si b2 - 4ac > 0, entonces las raíces de la ecuación son reales y diferentes. 88
Si b2 - 4ac = 0, las raíces son reales e iguales. Si b2 - 4ac < 0, se tienen raíces complejas y conjugadas. _________________________________________________________________ Nota: Si a, b y c son números racionales, las raíces serán racionales solamente si b 2 - 4ac es un cuadrado perfecto no negativo. _____________________________________________________________________________________________________________________
EJEMPLOS. Solucionar las siguientes ecuaciones. EJEMPLO 1. x2 - 7x - 8 = 0 SOLUCIÓN: De la ecuación a = 1; b = -7; c = -8. Aplicando la fórmula cuadrática se tiene:
= 8; entonces, x 1 = 8 = -1; entonces x 2 = -1 EJEMPLO 2. 4R 2 + 4R + 1 = 0 SOLUCIÓN: a, b y c son respectivamente 4, 4 y 1, así que:
Reemplazando
y 89
Las raíces son iguales EJEMPLO 3. x + 3x2 = 0 SOLUCIÓN: La ecuación dada puede escribirse como: 3x2 + x = 0, donde a = 3, b = 1 y c = 0. Aplicando la fórmula general.
;
x1 = 0,
x2 =
EJEMPLO 4. 36y2 - 1 = 0 SOLUCIÓN: En esta forma incompleta a = 36; b = 0 y c = -1. Por la formula general, las soluciones de la ecuación son:
Entonces, EJEMPLO 5.
35 - 4x = 4x2
SOLUCIÓN: Reorganizando la ecuación, se observa que sí 4x 2 + 4x - 35 = 0 entonces, a = 4; b = 4; c = -35 y sí
Entonces,
90
Ahora, EJERCICIOS
1. Resolver las siguientes ecuaciones y verificar que el resultado obtenido si satisfaga la ecuación. 1) -3x - 5 = -7x + 1 2) 2(x + 2) + (6 - 2x) = 5(5 - x) + 8(x - 3) 3)
+ 0.25x - 0.3x = x -3
4) (x + 1)2 - (x2 - 1) = x(2x + 1) -2( x + 2)(x + 1) + 20 5) 6) (2x - 1) (x + 3) - x 2 = (x + 1)2 7) 8) 2. Encontrar las soluciones Factorización.
de las siguientes ecuaciones cuadráticas por
1) x2 + 24x = 25 2) 25y2 = 4
3) x2 + 6x + 9 = 0 4) x4 - 7x2 - 8 = 0
3. Resolver las siguientes ecuaciones cuadráticas por la Formula General. 1) x2 - 6x + 9 = 0
4)
2) 8x2 + 2x - 15 = 0
5)
3) 6x2 = 2 + x
6) 91