Descripción: Guía de Variable Compleja para el ETS ambos turnos.
Variable compleja
Funciones de Variable Compleja Modelos de Sistemas II Semestre 2008
Ing. Gabriela Ortiz L
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Función
Concepto Matemático
Considerando los conjuntos X y Y una función comprende una relación o regla que asocia a cada elemento x∈ X un solo elemento de y∈Y .
Se dice que f mapea o transforma el elemento x en el elemento y f : x → y y = f ( x)
Ing. Gabriela Ortiz L
( x ∈ X )
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Función
Concepto Matemático
Considerando los conjuntos X y Y una función comprende una relación o regla que asocia a cada elemento x∈ X un solo elemento de y∈Y .
Se dice que f mapea o transforma el elemento x en el elemento y f : x → y y = f ( x)
Ing. Gabriela Ortiz L
( x ∈ X )
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Funciones de variable compleja
Variable independiente es de la forma z=x+jy
x y ,y: Números reales
j=√-1
En general f(z) también es compleja
Si z = x + jy ⇒ Ing. Gabriela Ortiz L
( z ) = u + jv = 3
Representación gráfica
Funciones reales
Dibujamos x y y=f(x) en un solo conjunto de ejes
Funciones complejas
Los valores de x, y y f(z) no se dibujan en un solo conjunto z=x+jy Se dibuja en el plano z w=f(z)=u+jv se representa en el plano w
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Funciones de variable compleja
Dominio
Conjunto de números complejos Todo el plano z
C.
Rango
Subconjunto de C Conjunto imagen puede ser sólo parte del plano w
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Funciones de variable compleja
¿Cómo encontramos la imagen en el plano w de, por ejemplo, una recta en el plano z ? Dos formas de hacerlo
Separa z y w en sus partes real e imaginaria. Igualar las partes de z y w Encontrar las curvas imágenes en el plano w Reorganizar la expresión para w y deducir las propiedades del mapeo directamente
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Descripciones
Punto fijo
Se da cuando w = z
Mapeo Inverso
Equivalente a función inversa en R Dado un punto en el plano w podemos encontrar de que punto en el plano z proviene Condiciones para que exista un mapeo inverso z=g(w)
Ing. Gabriela Ortiz L
El punto en el plano w pertenece al conjunto imagen del mapeo f(z) Cada w del conjunto imagen debe ir a un punto z en el plano z 7
Descripciones
Ecuación de una recta
y = mx + c | z − a |=| z − b |
m, c = ctes reales a, b = ctes complejas
Ecuación de un círculo | z − z 0 |= r ( x − a ) 2 + ( y − b) 2
= r 2
x(t ) = r cos(t ) + a y y (t ) = r sin(t ) + b Ing. Gabriela Ortiz L
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Mapeo Lineal
Es el mapeo de la forma:
w=
z + β
Donde
w, z son variables complejas
α, β son constantes complejas
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Mapeo Lineal (α=0)
Si α=0+j0 entonces w=β sin importar el valor de z Propiedades Todo el plano z es mapeado a un punto β del
plano w El conjunto imagen es sólo un punto Particularmente tenemos que z = β se mapea en w = β. Entonces β es un punto fijo de este mapeo No tiene mapeo inverso
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Mapeo Lineal (β=0, α≠0)
En este caso
w = z
Propiedades
Origen es el único punto fijo
Mapea el origen del plano z en el origen del plano w. No hay traslación
Existe mapeo inverso
Ing. Gabriela Ortiz L
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Mapeo Lineal (β ≠ 0, α≠0)
Caso general
Puede considerarse en dos partes ζ=α z : Se considera igual al caso de β=0, α≠0 w = ζ+β: traslación
Propiedades
= z + β
Rectas en el plano z son mapeadas en rectas correspondientes en el plano w Círculos en el plano z son mapeados en círculos en el plano w
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Ejemplo 1
El mapeo w=α z+β transforma el punto z=1+j en el punto w=j y el punto z=1− j en el punto w=− 1. Determine α y β (constantes complejas)
Encuentre la región en el plano w correspondiente al semiplano Re{z}≥0 en el plano z Encuentre la región en el plano w correspondiente al interior del círculo unitario | z|<1 en el plano z Encuentre los puntos fijos del mapeo
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Ejercicio
Considere la función w = jz + 4− 3j.
Siguiendo lo visto hasta ahora, demuestre con un diagrama que el mapeo es una combinación de traslación y rotación Encuentre la imagen en el plano w de la línea 6x+y=2 en el plano z bajo el mapeo dado. ( z=x+jy)
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Mapeo de Inversión
Es el mapeo de la forma:
w=
1 z
Al igual que en el caso anterior, nos interesa observar la imagen de círculos y rectas del plano z bajo este mapeo
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Mapeo de Inversión
Imagen de un círculo en el plano z bajo el mapeo w=1/z
Círculo en el plano z es mapeado a círculos en el plano w bajo el mapeo w=1/z , excepto cuando r=|z 0| en cuyo caso tenemos una recta en el plano w
plano z
Ing. Gabriela Ortiz L
plano w
plano z
plano w
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Mapeo de Inversión
Imagen de una línea en el plano z bajo el mapeo w=1/z
Si la recta en el plano z pasa por el origen entonces la transformación dada por w=1/z , es una recta en el plano w que pasa por el origen.
plano z
Ing. Gabriela Ortiz L
plano w
plano z
plano w
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Mapeo de Inversión
Propiedades
Puntos fijos: En este mapeo se dan cuando z=1/z ⇒ z 2=1 que tiene dos valores posibles z=±1 z=0 es mapeado en el infinito en el plano w y w=0 es mapeado en el infinito en el
plano z Ing. Gabriela Ortiz L
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Ejemplo 2
Determine la trayectoria imagen en el plano w correspondiente al círculo | z −3|=2 en el plano z bajo el mapeo w=1/ z .
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Mapeo Bilineal
Es el mapeo de la forma:
w=
Donde
a z + b cz + d
w, z son variables complejas a, b, c, d son constantes complejas
Si c = 0 y d =1, tenemos el mapeo lineal visto anteriormente
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Mapeo Bilineal
Se puede interpretar este mapeo como una sucesión de los mapeos anteriores.
Multiplicamos az por c/c y sumamos ad/c− ad/c y expresamos la ecuación como:
c w= c Ing. Gabriela Ortiz L
(az ) + b +
ad ad
c cz + d
−
c
a
=c
(cz + d ) −
ad c
+b
cz + d 21
Mapeo Bilineal
El mapeo bilineal se puede expresar entonces como:
w=
a c
+
bc − ad c(cz + d )
Esta ecuación representa un mapeo bilineal si el determinante de la ecuación no es cero:
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a
b
c
d
= ad − bc ≠ 0 22
Mapeo Bilineal
Si el determinante del mapeo es diferente de cero, podemos despejar el mapeo inverso:
− dw + b z = cw − a
Esta ecuación representa un mapeo bilineal si el determinante de la ecuación no es cero:
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− d
b
c
−a
= da − bc ≠ 0 23
Comportamiento mapeo bilineal Partiendo de: w =
a c
+
bc − ad c(cz + d )
Definimos las siguientes magnitudes:
=a c µ = bc − ad α = c 2 β = cd Tenemos: Ing. Gabriela Ortiz L
w = λ +
α z + β 24
Comportamiento mapeo bilineal Ahora se puede dividir el mapeo en:
z 1 z 2
= z + =
1 z 1
w = λ + z 2 Ing. Gabriela Ortiz L
Mapeo Lineal Mapeo de Inversión Mapeo Lineal
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Comportamiento mapeo bilineal
El mapeo bilineal transforma o mapea círculos o rectas en el plano z en círculos o rectas en el plano w
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Ejemplo 3
Encontrar la imagen en el plano w del círculo | z |=2 en el plano z bajo el mapeo bilineal: