Instituto Politécnico Nacional Escuela superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Ingeniería en Comunicaciones y Electrónica Academia de Electromagnetismo
Resumen de expresiones de líneas de transmisión Parámetros por Unidad de Longitud R L G [Ω/m] [Hy/m] [S/m]
Tipo de LT
2 w
πfµ c σc
1 πa
πfµ c σc
µ
d w
σ
C [Fd/m]
w d
ε
w d
πσ πε µ cosh −1 ( D 2a ) cosh −1 ( D 2a ) cosh −1 ( D 2a ) π
1 1 1 πfµ c + 2π a b σc
µ ln ( b a ) 2π
2πσ ln ( b a )
2πε ln ( b a )
Equivalencias LC = µε ε = ε0εr
εG = σC µ = µ 0µ r
Constante de propagación función de la frecuencia
γ = jω LC(1 + Tδ )1 2 m−1
µ0=4π×10-7 [Hy/m];
Tδ = tan δ =
ε0=10-9/36π [Fd/m];
σ ωε
12
α LC = ω (1 + Tδ )1 2 ∓ 1) ( β 2
Np m rad m
1[Np/m]=20loge=8.69[dB/m]
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Expresiones generales de las propiedades de una LT Constante de propagación Impedancia característica R + jω L γ = α + j β = ( R + jω L)(G + jωC ) Z0 = R0 + j X 0 = G + jωC Clasificación por características de pérdidas de una línea de transmisión Parámetro sin Pérdidas bajas Pérdidas sin Distorsión \Línea (R=0, G=0) (R<<ωL, G<<ωC) (R/L=G/C) = jω L C
≅ jω L C 1 + 1 R + G 2 jω L C
α
=0
≅ 1 R+G 2 L C
β
=ω LC
≅ω LC
γ = α + jβ
up = ω
(
1 LC
≅
1 LC
Z 0 = R0 + j X 0 =
L C
≅
R0
=
L C
≅
X0
=0
β
=
)
(
)
= C ( R + jω L) L =R C L =ω LC
=
1 LC
L 1 + 1 R − G C 2 jω L C
=
R + jω L = L RC L + j C ω ( ) C
L C
=
L C
)
(
(
)
≅ − L 1 R −G ≅0 C 2ω L C
=0
Identidades útiles ez − e− z senh(z) = 2 ez + e − z cosh(z) = 2
ez − e − z tanh(z) = z e + e− z tanh( jr) = jtan(r)
1 ϕ 1+ z ln r + j , r e jϕ = 2 2 1− z arccot ( z ) = arctan (1 z ) arctanh(z) =
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Circuito eléctrico equivalente de una línea de transmisión
Ecuaciones para una Línea de Transmisión ∂ ∂ ∂ ∂ − v(z, t) = R i(z, t) + L i(z, t) − i(z, t) = G v(z, t) + C v(z, t) ∂t ∂t ∂t ∂t jω t jω t v(z, t) = Re{V(z)e } i(z, t) = Re{I(z)e } d d − V(z) = (R + jωL)I(z) − I(z) = (G + jωC)V(z) dz dz 2 d d2 2 V(z) = γ V(z) I(z) = γ 2 I(z) 2 2 dz dz V(z) = V + (z) + V − (z) = V0+ e−γz + V0− eγz I(z) = I+ (z) + I− (z) = I0+ e−γz + I0− e γz V0+ R + jω L = = Z0 γ I 0+
−
V0− γ = = Z0 − I 0 G + jωC
Para LT sin Pérdidas I I I(z ') = L ( ZL + R 0 ) e jβz ' 1 − Γ e jφ V(z ') = L ( ZL + R 0 ) e jβz ' 1 + Γ e jφ 2R 0 2 Z + jR 0 tan β z′ Z ( z′ ) = R L + jX L = R 0 L ϕ=θΓ-2βz' R 0 + jZL tan β z′ |VMax| en z'M=(θΓ+2nπ)/2β, n=1,2,3,…
|Vmin| en z'm=(θΓ+(2n+1)π)/2β, n=1,2,3,…
Si ZL=RL>R0 se cumple RL=R0S
Si ZL=RL
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Circuitos con líneas de transmisión
l
i Zg
v
i
+
+ Z
v
Z
(γ,Z0 z'=l-z z=l z'=
z z=0 z'=l
v
-
Para una línea de transmisión general V(z) =
IL ( Z L + Z0 ) e γ (l − z) + ( Z L − Z0 ) e − γ (l − z) 2
V(z′) = I L ( ZL cosh γz′ + Z0 senh γz′ ) Z( z ′) = Z0 V ( z′ ) =
ZL + Z0 tanh γz ′ Z0 + ZL tanh γz ′
I(z) =
VL ( ZL + Z0 ) e γ (l − z) − ( ZL − Z0 ) e−γ (l −z) 2Z0
IL ( ZL senh γz′ + Z0 cosh γz′) Z0 Z − Z0 Γ= L Z L + Z0 I I ( z′ ) = L ( ZL + Z0 ) e γz′ 1 − Γe −2 γz′ 2Z0 I(z′) =
IL ( ZL + Z0 ) e γz′ 1 + Γe−2 γz′ 2 V 1+ Γ S −1 S = Max = Γ = Vmin 1 − Γ S +1 Casos Especiales 2 Si, l=λ/4, Zi=R0 /ZL Si, l=λ/2, Zi=ZL, sólo para ZL=Z0
Si z'=l y ZL→∞, Z(l)=Z0cothγl=Zio Z0 = Zis Zio
Si z'=l y ZL=0, Z(l)=Z0tanhγl=Zis 1 γ = tanh −1 Zis Zio l
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Acoplamiento Transformador de λ/4 R0
Zi
R ′0 = R 0 R L
R'0 RL λ/4
Stub Sencillo d B
yS
yB
yiB
y0
ZL y0
B′
d 1 = ( θΓ ± arccos ( A d ) ) λ 4π
l 1 = arctan ( Al ) λ 2π
l
ConexiónTerminación Paralelo-SC Paralelo-OC Serie-SC Serie-OC
Al
Ad
T = tan ( 2β d − θΓ )
-|Γ| -|Γ| |Γ| |Γ|
-T/2 2/T 2/T -T/2
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Stub doble A
ySB
yB
ySA
yiB
y0 B’
g max = 1 + cot 2 ( βd 0 ) =
da
do B
yA
yiA y0
A’
ZL
Si lB
lA
solo terminación en circuito corto para ambos stubs, con stub A conectado en la carga (da=0). En caso de que gL>gmax se tiene una solución con: 1 da 1 = θΓ − arccos λ 4π 2Γ
y recalcular yA
1 − Γ 2 2 − 1 − Γ g max
1 arcsen 1 g L 2π d g L ≤ g max ó 0 ≤ d max se satisfacen: λ 1 = arccot ( b L − b ) 2π − b + (1 − g L ) cot ( β d 0 ) 1 = arccot 2π gL
d max =
y0
lA λ lB λ
1 sen ( β d 0 ) 2
(
)
donde b = cot ( β d 0 ) ± g L ( g max − g L ) Para terminación en OC sumar 1/4 a las expresiones de lA y/o lB
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