Flujos de Potencia por el Método Desacoplado Rápido S i s temas temas de potenci a: A nális i s y dis di s eño. J. Duncan Glover and Mulukutla S. Sarma. rd 3 ed. Mexico City: Cengage Learning, 2004. p299-307. Copyright: COPYRIGHT 2004 Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.
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6.9 Flujos de Potencia por el Método Desacoplado Rápido Rápido Las contingencias son una preocupación importante en las operaciones de sistemas de potencia. Por ejemplo, el personal de operación necesita saber qué cambios de flujos de potencia ocurrirán debido a la falla de un generador particular o una línea de transmisión. La información de contingencia, cuando se obtiene en tiempo real, se puede utilizar para anticipar problemas causados por tales fallas, y se pueden usar para programar estrategias de operación que permitan superar los problemas. Los algoritmos rápidos de flujos de potencia se crearon para dar soluciones en segundos o menos [8]. Estos algoritmos se basan en la siguiente simplificación de la matriz jacobiana. Si se ignoran J2(i) y J3(i), la ecuación (6.6.6) se reduce a dos conjuntos de ecuaciones desacopladas: J1(i)Δδ(i)= Δ p (i)(6.9.1) J4(i)(6.9.2)ΔV(i) = Δ Q(i) (6.9.2) El tiempo de computadora requerido para resolver (6.9.1) y (6.9.2) es mucho menor que el necesario para resolver (6.6.6). Además, la reducción del tiempo de computadora se puede obtener a partir de la simplificación adicional de la matriz jacobiana. jacobiana. Por ejemplo, ejemplo, suponga suponga que que V k ~ Vk ~ 1.0 por unidad y Δk ~ Δn. Entonces J 1 y k ~ J4 son matrices de constantes cuyos elementos de la tabla 6.5 son los componentes imaginarios de Y bus. Como tal, J 1 y J4 no tienen que calcularse de nuevo durante las iteraciones sucesivas. Simplificaciones similares a éstas permiten obtener soluciones rápidas de flujo de potencia. Para un número fijo de iteraciones, el algoritmo desacoplado rápido dado por las ecuaciones (6.9.1) y (6.9.2) no es tan preciso como el algoritmo exacto de NewtonRaphson. No obstante, los ahorros de tiempo de computadora se consideran más importantes. Problemas
SECCIÓN 6.1
6.1 Por medio de la eliminación de Gauss, resuelva las siguientes ecuaciones algebraicas lineales 5x1 - 2x2 - 3x3 = 4 -5x1 + 7x2 - 2x3 = -10 -3x1 - 3x3 - 8x3 = 6 Determine las tres incógnitas xrx2y xy Compruebe sus respuestas por medio de la regla de Cramer. Asimismo, compruébelas por medio de la solución matricial de las ecuaciones lineales.
6.2 Utilice la eliminación de Gauss y la sustitución hacia atrás para resolver
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6.3 Resuelva de nuevo el problema 6.2 pero cambie el valor de A33 de 14 a 1.4. 6.5 Muestre que el método de eliminación de Gauss, que transforma el conjunto de N ecuaciones lineales Ax = y a A (N-1)x = y(N-1), donde A (N-1) es triangular, requiere (N 3 - N/3 multiplicaciones, N(N - l)/2 divisiones y (N 3 - N3/3 restas. Suponga que los elementos de A y y son distintos de cero y reales. (Sugerencia: Investigue la ecuación (6.1.7). Observe que durante el primer paso de la eliminación de Gauss, cada uno de los (N 1) renglones intercambiados requieren una división, N multiplicaciones y N restas.)
6.5 Demuestre que, después de triangularizar Ax = y, el método de sustitución hacia atrás para re-solver A (N~1)1x = y(N-1) requiere N divisiones, N(N - l)/2 multiplicaciones y N(N - 1)12 restas. Suponga que todos los elementos de A( N-1} y y(N-1} son distintos de cero y reales.
6.6 Para una computadora digital con 25 X 10 ~9 s de tiempo de multiplicación o división y un tiempo de adición o resta de 5 X 10 ~9 s, determine cuánto tiempo de computadora
se requeriría para resolver la ecuación (6.1.1) para TV = 100, por medio de la eliminación de Gauss y la sustitución hacia atrás. Suponga que todos los elementos de A y y son reales y distintos de cero.
6.7 Si para almacenar cada número de punto flotante en una memoria de computadora se utilizan 4 bytes, ¿cuántos kilobytes se requieren para almacenar un vector de orden y una matriz A. N X N, donde N = 1000? Suponga que todos los elementos de y y A son reales y distintos de cero.
SECCIÓN 6.2 6.8 Resuelva el problema 6.2 con el método iterativo de Jacobi. Empiece con x 1(0) = x2(0) = x3(0) = 0 y continúe hasta que se satisfaga la ecuación (6.2.2) con e = 0.01.
6.9 Repita el problema 6.8 usando el método iterativo de Gauss-Seidel. ¿Cuál método converge más rápido?
6.10 Intente resolver el problema 6.2 por medio de los métodos iterativos de Jacobi y Gauss-Seidel con el valor de A33 cambiado de 14 a 0.14 y con x 1(0) = x2(0) = x3(0) = 0. Demuestre que ningún método converge a la solución única.
6.11 Utilice el método de Jacobi (también conocido como método de Gauss) para obtener los valores de xl y x2 en el sistema de ecuaciones siguientes: x2 - 3x1 + 1.9 = O
x2 - 3x1 + 1.9 = 0 x2 - 3x21 - 1.8 = 0 Emplee una suposición inicial x 1(0) = 1.0 = x 2(0) = 1.0. Asimismo, vea lo que sucede cuando usted elige un suposición inicial no educada x 1(0) = x 2( 0) = 100.
6.12 Resuelva la siguiente ecuación por el método de Gauss-Seidel: X21 - 6x1 + 2 = 0 Utilice la estimación inicial jc}(0) = 1. Realice la verificación mediante la fórmula cuadrática.
6.13 Tome la transformada z de la ecuación (6.2.6) y demuestre que X (z) = G(z)Y(z), donde G(z) = (zU - M-1D-1 y U es la matriz unitaria. G(z) es la función de transferencia matricial de un filtro digital que representa los métodos de Jacobi o de Gauss-Seidel. Los polos del filtro se obtienen al resolver det( zU - M) = 0. El filtro es estable si y sólo si los polos tienen magnitudes menores que 1.
6.14 Con los resultados del problema 6.13, determine los polos del filtro para los ejemplos 6.3 y
6.5. Observe que en el ejemplo 6.3 ambos polos tienen magnitudes menores que 1, lo cual Page 301 significa que el filtro es estable y que el método de Jacobi converge para este ejemplo. Sin embargo, en el ejemplo 6.5, un polo tiene una magnitud mayor que 1, lo cual significa que el filtro es inestable y el método de Gauss-Seidel diverge para este ejemplo.
6.15 Determine los polos de los filtros digitales de Jacobi y Gauss-Seidel para el problema bidimensional general (N = 2):
Luego, determine una condición necesaria y suficiente para la convergencia de estos filtros cuando N = 2.
6.16 Para una computadora digital con un tiempo de multiplicación o división de 25 X 10-9 s y un tiempo de suma o resta de 5 X 1CT9 s, determine cuánto tiempo de computadora por iteración se requeriría para resolver la ecuación (6.1.1) con N = 100, por medio del método de Gauss-Seidel. Suponga que los elementos de A y y son reales y distintos de cero.
SECCIÓN 6.3 6.17 Utilice el método de Newton-Raphson para hallar una solución de la ecuación polinomial f(x) = y, donde y = 0 y f(x ) — 3x3 +4x2 + 5k + 8. Empiece con = 1.0 y continúe hasta que se satisfaga la ecuación (6.2.2) con s = 0.001.
6.18 Utilice el método de Newton-Raphson para hallar una solución de la ecuación polinomial f(x ) = y, donde y = 0 y f(x) = x4 + I2x3 +54x2 + 108x + 81. Empiece con x(0) = - 1 y continúe hasta que se satisfaga la ecuación (6.2.2) con e = 0.001.
6.19 Utilice el método de Newton-Raphson para hallar una solución de
donde x 1 y x 2 están en radianes, a) Empiece con x 1(0) = 1.0 y x2(0) — 0.5 y continúe hasta que se satisfaga la ecuación (6.2.2) con e = 0.005. b) Demuestre que el método de Newton-Raphson diverge para este ejemplo si x 1(0) = 1.0 y x2(0) = 2.0.
6.20 Resuelva las siguientes ecuaciones por el método de Newton-Raphson: X l2 - 4x 2 4 = 0
2x1- x 2 - 2 = 0 Empiece con una suposición inicial x 1(0) = 1.0 y x 2(0) = -1.0.
6.21 La siguiente ecuación no lineal contiene términos que a menudo se encuentran en ecuaciones de flujo de potencia: y sen y + 4 = O
Determine una solución por medio del método de Newton-Raphson con la suposición inicial y(G) = 4 radianes.
SECCIÓN 6.4 6.22 Considere el sistema de energía eléctrica simplificado mostrado en la figura 6.5 para el que la solución de flujos de potencia se puede obtener sin echar mano de las técnicas iterativas, a) Calcule los elementos de la matriz de admitancia de bus Y bus. b) Calcule el ángulo de fase 82 mediante la ecuación de potencia real en el bus 2 (bus de
voltaje controlado), c) Determine Page 302 ǀV3ǀ y Δ3 usando las ecuaciones de potencia real y reactiva en el bus 3 (bus de carga), d) Encuentre la potencia real generada en el bus 1 (bus compensador), e) Evalúe las pérdidas de potencia real totales del sistema.
FIGURA 6.5 Problema 6.22
6.23 Calcule los elementos de la tercera fila de Y bus para el sistema de potencia del ejemplo 6.9.
6.24 En el ejemplo 6.9, duplique la impedancia de la línea del bus 2 al bus 5. Determine los nuevos valores para la segunda fila de Y bus. Compruebe su resultado por medio del caso de ejemplo 6.9 del simulador PowerWorld.
6.25 En la figura 6.6 se muestra un diagrama unifilar de un sistema de potencia de tres buses. Los datos de entrada del flujo de potencia se dan en las tablas 6.9 y 6.10. a) Determine la matriz de admitancias de bus por unidad F bus de 3 X 3. Para cada bus k = 1, 2, 3, determine cuáles de las variables V k δk, Pk y Qk son datos de entrada y cuáles son incógnitas.
FIGURA 6.6 Diagrama unifilar para el problema 6.25 (se muestran las impedancias por unidad y potencias reales y reactivas por unidad)
TABLA 6.9 Datos de entrada del bus para el problema 6.25 Bus
Tipo
1
De 1.0 oscilaci ón De — carga De 1.0 voltaje constant e
2 3
V por e PG por QG por PL por QL por QGmin QGmax unidad grados unidad unidad unidad unidad por por unidad unidad O
—
—
O
O
—
—
—
0
O
2.0
0.5
—
—
—
1.0
—
O
O
-5.0
+5.0
TABLA 6.9 Datos de entrada del bus para el problema 6.25
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TABLA 6.10 Datos de entrada de la línea para el problema 6.25 Línea 1 2 3 Lónea
Bus a bus R’ Por unidad
X’ Por unidad
G’ Por unidad
B’ Por unidad
Mva maximo Por unidad
0.1 0.2 0.4
0 0 0
0 0 0
3.0 3.0 3.0
(Nota: no hay transformadores) 1 2 3
1-2 2-3 1-3
0 0 0
TABLA 6.10 Datos de entrada de la línea para el problema 6.25 Línea 1 2 3
SECCIÓN 6.5 6.26 Para el sistema de potencia del ejemplo 6.9, utilice el método de Gauss-Seidel para calcular V 3(l), el voltaje fasorial en el bus 3 después de la primera iteración. Observe que el bus 3 es un bus de voltaje controlado.
6.27 Para el sistema de potencia dado en el problema 6.25, utilice el método de GaussSeidel para calcular V 2(l) y V3(l), los voltajes fasoriales en los buses 2 y 3 después de la primera iteración. Utilice ángulos de fase iniciales de cero grados y magnitudes de voltaje de bus iniciales de 1.0 por unidad.
6.28 La matriz de admitancias de bus para el sistema de potencia que se ilustra en la figura 6.7 está dada por
Con las potencias complejas en los buses de carga 2, 3 y 4, como se muestran en la figura 6.7, determine el valor para V 2 que se produce mediante las iteraciones primera y segunda del procedimiento de Gauss-Seidel. Elija la suposición inicial por unidad.
FIGURA 6.7 Problema 6.28 Page 304
6.29 Por medio del simulador PowerWorld, determine el desajuste máximo después de la primera, segunda y tercera iteraciones para el ejemplo de caso 6.10 utilizando el método de Gauss-Seidel. ¿Cuántas iteraciones se realizan para converger a un desajuste que sea menor que 0.5 MVA?
6.30 Repita el problema 6.29, pero primero disminuya la carga del bus 2 a 400 MW y 140 Mvar.
6.31 Abra el problema 6_31 del simulador PowerWorld. Este caso es similar al del ejemplo 6.10, sólo que ahora se incrementó el número máximo de iteraciones y se preparó para que inicie de manera automática desde una solución de arranque plana (es decir, una con los ángulos de voltaje iguales a cero y las magnitudes de voltaje en los buses de carga iguales a 1.0 por unidad). Incremente la carga en el bus 2 en pasos de 10 MW, manteniendo constante el factor de potencia de la carga. Para cada incremento de carga, ¿Cuántas iteraciones se requieren para lograr la convergencia por medio del método de Gauss-Seidel? ¿Cuál es el nivel de carga máximo antes que diverjan las iteraciones?
SECCIÓN 6.6 6.32 Para el sistema de potencia del ejemplo 6.9, calcule Δ 4(0) en el paso 1 y J1 44(0) en el paso 2 de la primera iteración de Newton-Raphson. Suponga que los ángulos de fase iniciales valen cero y que las magnitudes de voltaje iniciales por unidad son iguales a 1.0 (excepto V3 = 1.05).
6.33 Para el sistema de potencia dado en el problema 6.25, utilice las ecuaciones (6.6.2) y (6.6.3) para escribir las tres ecuaciones de flujos de potencia que habrán de resolverse por el método de Newton-Raphson. Asimismo, identifique las tres variables desconocidas por resolver. No resuelva las ecuaciones.
6.34 Para el sistema de potencia dado en el problema 6.25, utilice el método de Newton-Raphson para calcular V 2(l) y V 3(l), los voltajes fasoriales en los buses 2 y 3 después de la primera iteración, como sigue, a) Paso 1: utilice las ecuaciones (6.6.2) y (6.6.3) para calcular Ay(0). b) Paso 2: calcule la matriz jacobiana J(0) de 3 X 3 usando las ecuaciones de la tabla 6.5. c) Paso 3: por medio de la eliminación de Gauss y la sustitución hacia atrás resuelva la ecuación (6.6.6). d) Paso 4: calcule x(l) en (6.6.7). También, emplee la ecuación (6.5.3) para calcular Q G3 y compruebe que está dentro de
los límites que se observan en la tabla 6.12. En los pasos 1 y 2, utilice ángulos de fase iniciales de cero grados y magnitudes iniciales de voltaje de bus de 1.0 por unidad.
6.35 Para el sistema de transmisión de la figura 6.8, los elementos en derivación son capacitores con admitancia y c = j 0.01 por unidad, y los elementos serie son inductores con impedancia Z L = y j O.Ol por unidad. Determine δ 2, ǀV3ǀ, δ3, PG1, QG1 y QG2 para el sistema.
FIGURA 6.8 Problema 6.35 Page 305
6.36 Cargue el caso de ejemplo 6.11 del simulador PowerWorld; este caso se prepara para que efectúe una sola iteración del flujo de potencia de Newton-Raphson cada vez que se seleccione Single Solution. Compruebe que al principio el elemento J 22 es 29.76. Luego, dé y compruebe el valor de este elemento después de cada una de las tres iteraciones siguientes (hasta que converja el caso).
SECCIÓN 6.7
6.37 Utilice el simulador PowerWorld para determinar la capacidad nominal en Mvar del banco de capacitores en derivación en el caso del ejemplo 6.14 que incrementa V 2 a 1.00 por unidad. Asimismo, determine el efecto de este banco de capacitores en la carga de líneas y las pérdidas de potencia real totales (las pérdidas reales y reactivas totales se muestran en el cuadro de diálogo Case Information, Case Summary). Para variar la capacidad nominal en Mvar del capacitor, dé clic con el botón derecho del
ratón en el símbolo del capacitor para ver el cuadro de diálogo Switched Shunt y luego cambie el campo Nominal Mvar. ǀPW]
6.38 Por medio del simulador PowerWorld modifique el caso del ejemplo 6.9 al insertar una segunda línea entre el bus 2 y el bus 4. Asigne a la nueva línea un identificador de circuito “2” para distinguirla de la línea existente. Los parámetros de la línea agre gada deben ser idénticos a los de la línea existente 2-4. Determine el efecto de la nueva línea sobre V 2, la carga de líneas y las pérdidas totales de potencia real. ǀ PWǀ
6.39 Usando el caso de ejemplo 6.9 del simulador PowerWorld, cambie el ajuste de voltaje del generador 3 entre 1.00 y 1.08 por unidad en pasos de 0.005 por unidad. Muestre la variación en la salida de potencia reactiva del generador 3, V 2 y las pérdidas totales de potencia real.
6.40 Abra el problema 6_40 del simulador PowerWorld. Este caso es idéntico al ejemplo 6.9 excepto porque el transformador entre los buses 1 y 5 ahora es un transformador con cambiador de derivaciones con un intervalo del cambiador entre 0.9 y 1.1 y el tamaño de paso de la conexión es de 0.00625. El cambiador está en el lado de alto voltaje del transformador. A medida que el cambiador se hace variar entre 0.975 y 1.1, muestre la variación en la salida de potencia reactiva del generador 1, V 5, V2 y las pérdidas totales de potencia real.
6.41 Abra el problema 6_41 del simulador PowerWorld. Este caso es idéntico al del problema anterior excepto porque ahora se instaló un segundo transformador entre los buses 1 y 5. Este nuevo transformador es idéntico al primero, pero en este caso su relación de conexión está fija en 1.0. A medida que el cambiador del primer transformador se hace variar entre 0.9 y 1.1, muestre la variación en la salida de potencia reactiva del generador 1, el flujo de potencia real y reactiva por los dos transformadores (medido en el lado del bus 1 ) y las pérdidas totales de potencia real.
6.42 Abra el ejemplo 6_13 del simulador PowerWorld. Como en el ejemplo 6.13, elimine la línea TIM69 a HANA69. Determine la capacidad nominal en Mvar del banco de capacitores en derivación en el bus HANA69 necesaria para corregir el regreso de voltaje de HANA69 a 0.950 por unidad. Utilice la tecla y la flecha de dirección hacia arriba para amplificar el diagrama unifilar y ver mejor los valores.
6.43 Abra el caso de ejemplo 6_13 del simulador PowerWorld. Grafique la variación de las pérdidas totales de potencia real del sistema a medida que se modifica la generación en el bus BLT138 en bloques de 20 MW entre O MW y 400 MW. ¿Cuál valor de generación de BLT138 reduce las pérdidas del sistema?
6.44 Repita el problema 6.43, pero ahora elimine primero la línea de 138 kV de BLT138 a BOB138.
6.45 Abra el caso de ejemplo 6_13 del simulador PowerWorld. Abra en secuencia (elimine de servicio) cada una de las tres líneas de transmisión de 345 kV del caso y los seis transformadores de 345/138 kV (cerrando siempre el dispositivo previo). Registre el impacto que cada falla tiene sobre el sistema. ¿Cuál dispositivo tiene un mayor impacto sobre las pérdidas del sistema? Page 306
SECCIÓN 6.8 6.46 Utilice la técnica de almacenamiento compacto descrita en la sección 6.8 para determinar los vectores DIAG, OFFDIAG, COL y ROW para la siguiente matriz.
6.47 Si se utilizan 4 bytes de espacio de almacenamiento en una computadora para cada número de punto flotante y 2 bytes por cada entero, determine el número total de bytes requeridos para almacenar la matriz S del problema 6.46 a) con almacenaje compacto y b) sin almacenaje compacto.
6.48 Reordene las filas de la matriz dada en el problema 6.46 de manera que después de un paso de eliminación de Gauss, S 1rdenamiento tenga el mismo número de ceros en las columnas 2 a 6 que la matriz original.
6.49 Para la factorización triangular de la correspondiente F bus, numere los nodos de la gráfica que se muestra en la figura 6.9 en un orden óptimo.
FIGURA 6.9 Problema 6.49
6.50 Para un sistema de potencia pequeño, los valores numéricos para la inicialización de las ecuaciones de desajuste de flujo de potencia están dados por
Page 307 Ordene las filas del jacobiano numérico para minimizar los elementos no cero generados cuando se calculan los factores triangulares inferior y superior. Evalúe en forma numérica los factores triangulares y, de las ecuaciones de desajuste, calcule las correcciones de voltaje en la primera iteración del método de Newton-Raphson. PREGUNTAS DEL CASO DE ESTUDIO A. ¿El colapso de voltaje tiene más probabilidades de ocurrir en un sistema de potencia que abastece a una carga urbana, a una carga industrial, a una carga residencial y comercial o a una combinación de distintos tipos de carga? B. El fenómeno de colapso de voltaje se estudia por medio de programas de flujo de potencia. ¿Qué otros estudios se pueden efectuar con programas de flujo de potencia?
Source Citation (MLA 8th Edition) Glover, J. Duncan, and Mulukutla S. Sarma. "Flujos de Potencia por el Método Desacoplado Rápido." Sistemas de potencia : Análisis y diseño , 3rd ed., Cengage Learning, 2004, pp. 299-307. Gale Virtual Reference Library , go.galegroup.com/ps/i.do?p=GVRL&sw=w&u=univcv&v=2.1&id=GALE%7CCX405 9000068&it=r&asid=facd8a9a1918dba7200564183ddf7752. Accessed 6 Oct. 2017. Gale Document Number: GALE|CX4059000068
