Lista de ejercicios para el ETS de Variable Compleja y Transformada de F y Z Yoram Astudillo Baza ∗, Mohamed Badaoui ∗ Institut Inst itutoo Polit´ Pol it´ecnico ecni co Naciona Nac ionall
I. Represen Representa ta los siguientes siguientes n´umeros umeros complejos en la forma Polar:
−√√3 + i) 2. (− 3 − i)− 1+i √ 3. 1 + 3i 9
1. (
5
II. Escriba Escriba los siguiente siguientess n´umeros umeros complejos en la forma a + ib donde a y b son numeros reales. 4. ( 12 +
√3 2
i)3
5. i12 + i25
− 7i
111
6. (3 + 4i)12 (1 + i)−12 III. Encuentr Encuentree la parte real e imaginaria imaginaria de los siguiente siguientess n´umeros umeros complejos: 7. (1 + i)30 π π 8. (cos( 12 ) + sen( 12 ))170
9.
−i
(1 + i)5
IV. Pruebe Pruebe que 10.
1 + 1
−
i tan(θ ) i tan(θ )
n
=
1 + i tan(nθ) 1 i tan(nθ)
−
donde n es un entero natural. V. Descri Describa ba el conjun conjunto to de pun puntos tos del plano plano comple complejo jo que satiface satiface cada una de las siguient siguientes es ecuaciones: 11.
| z − 4 |= 3 12. | z − 1 | + | z + 1 |= 4 13. | z − 3 |=| z − 5 | ∗
Academ´ Acad em´ıa ıa de Matem´ Mate m´aticas aticas del Departamento Departa mento de Ingenier´ıa ıa El´ ectrica ectrica
| |≤ 12 , pruebe que: 14. ≤ | | ≤4
VI. Si z
4 7
1
z 2 +z +1
VII. Resuelv Resuelvaa la siguiente siguientess ecuacione ecuaciones: s: 15. z 5 =
−30
16. (z + 2)3 = 3i 17. z 2
− 2(1 + i)z + i = 0
VIII. Encuentr Encuentree la imagen f [S ] bajo la inversi´on on f (z ) =
z
en cada uno de los siguientes casos:
18. S = z : 0 < z
{ =
19. S
| |≤ 1} z : 0 <| z |≤ 3, ≤ Arg(z ) ≤
1
π
3
2π 3
IX. Justifique Justifique que los siguiente siguientess limites limites no existen: existen: z¯ z →0 z
20. lim 21. lim z
→0 |
22. lim z
z z
|
Re(z )
→0 | z |2
X. Determine Determine u(x, y ) y v (x, y) tales que f (z ) = u + vi 23. f (z ) = 2z 2 3iz 1 24. (z ) = z +
−
z
25. f (z ) =
1 z 1+z
−
26. f (z ) = e3iz 27. f (z ) = cos (z ) 28. f (z ) = z 2 e2z XI. Son anal´ anal´ıticas las siguientes funciones? 29. z¯2 30. ez
2
31. z¯ Re (z ) 32.
|z|
33. senh (4z ) 34. cos (z ) XII. Supongamos Supongamos que f (z ) y f (z ) son anal´ anal´ıticas en una regi´on o n Ω. 35. Pruebe que f (z ) es constan constante te en Ω 1 1
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2
XIII. Clasifique Clasifique las singularidad singularidades es de las siguinetes siguinetes funciones: funciones: 36.
1 z sen(z ) z
37. e sen(z) 38.
sen(2z) − −1 z
z z
4
4
XIV. Determine Determine la exapansi´ exapansi´on on en Serie de Laurent de f (z ) =
z
(z
− 1)(2 − z)
v´alida alida para 39.
| z |< 1 40. 1 <| z |< 2 41. | z |> 2 42. | z − 1 |> 1 43. 0 <| z − 2 |< 1 XV. Evaluar Evaluar
44. 45.
C
dz z
1 + 2z dz donde C es el circulo dado por z + 3i = 2 2 C z + 3 iz 2z dz donde C es un contorno que incluye los puntos 1)(z + 2)(z + i) C (z
46.
|
−
= 1, z
47.
alrededor de cualquier contorno C que contenga al punto z = 2 + i
−2−i
C
(z
z=
−2 y z = −i
z4
− 1)
|
3
donde C es un contorno que encierra al punto z = 1
dz
XVI. Obtenga Obtenga la expansi´ expansi´ on en Serie de Fourier de la siguientes funciones peri´odicas on odicas con peri´odo odo 2π . 48. f (t) = t , ( π < t < π )
| | −
49. f (t) = cos( 2t ), ( π < t < π )
−
50.
f (t) =
π2 (t
− π)
2
si si
−π < t < 0; 0 < t < π.
Utilice el resultado de la Serie de Fourier para probar que:
∞ 1 1 51. = 6 ∞ − ( 1) 52. n=1
n
2
π2
n+1
n=1
n2
=
1 2 π 12
2 2
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3
53. f (t) =
54.
5 sen (t(t) 0
0 ()= 02 cos (t)
si si si
f t
XVII. Encuentr Encuentree la tranformad tranformadaa
Z de
si 0 < t < π ; si π < t < 2π.
1 2
1 2 1 2
π; π; 1 π < t < π. 2
−π < t < − − π
las siguientes sucesiones:
55. cos(kπ )
{ } kω T )} 56. {sen(kωT
ω, T constantes
XVIII. Encuentr Encuentree
−
57. Z −1 58.
1
Z
z z2 + 1
2z 2z 2 + z
−1
XIX. Utilizando el m´etodo etodo de la transformada 59. yk+2 60. yk+2
k +1 k +1
k
0
k
k +1
1
0
1
k
0
k
0
XX. Encuentr Encuentree la transformad transformadaa de Fourier Fourier 63.
resuelva la siguiente ecuaci´on on en diferencia diferencias: s:
− 5y + 6y = ( ) sujeta a y = y = 0. − 2y + y = 0 sujeta a y = 0, y = 1. − 3y − 2y = 6k + 1 sujeta a y = 1, y − 4y = 3k − 5 sujeta a y = y = 0.
61. 2yk+2 62. yk+2
1 k 2
Z
1
= 2.
1
F
de las siguientes funciones:
t
9 + t2 64. 6H (t)te−2t 65. t [H (t + 1)
− H (t − 1)] 66. 4H (t − 2)e− cos(t − 2) 3t
XXI. Encontrar la transformada inversa inversa de Fourier Fourier 67.