Modulo di Elementi di Fluidodinamica Corso di Laurea in i n Ingegneria dei Materiali/Meccanica A.A. 2004/2005 Ing. Paola CINNELLA
ESERCIZI SVOLTI DI FLUIDODINAMICA Parte 3: Equazione di Bernoulli Versione 1.0 Esercizio 1_______________________________________________________________________ Si consideri un serbatoio dotato di un’apertura circolare di diametro d . Si vuole confrontare la portata uscente dal serbatoio nel caso in cui sia presente la sola apertura e nel caso in cui quest’ultima sia collegata ad un tubo verticale di lunghezza L lunghezza L (vedere (vedere la figura 4.1). Si consideri il fluido come ideale.
1. Determinare nei due casi la velocità del del liquido ad una distanza verticale L L dall’uscita del serbatoio, posto che il pelo libero del serbatoio sia posto ad un’altezza h rispetto al fondo. Trascurare l’abbassamento del pelo libero con lo svuotamento. 2. Qual è la velocità del liquido nella sezione di uscita del serbatoio nei due casi ? 3. Dedurne la portata portata uscente nell’uno e nell’altro caso. Qual Qual è il dispositivo più efficace ? 4. Qual è la lunghezza lunghezza massima che può avere il tubo di uscita senza che si produca cavitazione ? Quanto vale la portata per tale valore ? DATI. : h = 5 m ; d = = 20 cm ; pressione di vapore del liquido a 20°C = 2,34 kPa.
h d
d L
- figura ______________________ __________________________________ _______________________ _______________________ _______________________ _______________________ ____________ 1. Applichiamo l’equazione di Bernoulli ad una traiettoria che va da un punto A situato vicino al pelo libero del serbatoio ad un punto L situato verticalmente al di sotto dell’apertura, ad una distanza L distanza L da da questa.
Caso 1: p A
VA2
pL
V L2
(1) + g ( H + L ) = + 2 2 ρ In questa espressione, p espressione, p A=p L=patm, e V A≈0. Se ne deduce che +
ρ
V L
=
2g ( H
+
L) .
1
Caso 2. L’equazione di Bernoulli scritta tra il pelo libero del serbatoio e un punto L all’uscita del tubo si scrive esattamente come prima (1) e si ha ancora p A=p L=patm. Ne deduciamo che le due velocità sono identiche. 2. Stavolta scriviamo l’equazione di Bernoulli tra un punto prossimo al pelo libero ed un punto B situato nella sezione di uscita del serbatoio. Caso 1. p A
+
V A2
g ( H
+
2
ρ
+
L) =
pU ρ
+
V U 2
+
2
gL (2)
dove p A=pU =patm, e V A≈0. Ne deduciamo che V L
=
2 gH
Caso 2. L’equazione di Bernoulli non cambia, ma stavolta il punto U non si trova a pressione atmosferica. Infatti, per l’equazione di continuità, nel condotto la velocità deve essere costante, dato che il fluido è incomprimibile e la sezione è costante. Si ha dunque V U= V L. Dove V L è stata calcolata precedente mente. La velocità di efflusso dal serbatoio è dunque maggiore nel caso 2. 3. Le portate di efflusso nei due casi sono d2 Q1 = π 2 gH ; Q2 4 Il dispositivo più efficace è dunque il secondo.
= π
d 2 4
2g ( H
+
L)
4. Applichiamo l’equazione di Bernoulli tra l’ingresso e l’uscita del condotto. Troviamo: pU VU2 pL V L2 + + gL = + (3) 2 2 ρ ρ dove V U= V L, da cui pU
=
pL − ρ gL = patm − ρ gL . La sezione di ingresso del condotto è dunque a
rischio di cavitazione. Si ha incipiente cavitazione se la pressione del punto U uguaglia la pressione di vapore dell’acqua alla temperatura di esercizio del sistema (supposta pari a 20°). Posto che la pressione atmosferica sia pari ad 1bar, la lughezza massima del tubo prima che sia abbia cavitazione si ottiene ponendo: pU
=
patm
−
ρ gL
=
pvap
⇒
L=
( p
atm −
pvap )
ρ g
=
9.96 m
In questo caso la portata vale: Q2
= π
d 2 4
2g (H
+
L ) = 0.538 m 3.
Esercizio 2_______________________________________________________________________ Il dispositivo rappresentato in A 2,5 mm D figura 4.2 deve disperdere una miscela acqua acqua d’acqua e di insetticida. La portata di + insetticida deve essere pari a Qi = 75 insetticida ml.min-1 mentre la portata d’acqua è Qa = 15 cm 0 4 mm -1 4 l.min . Calcolare, in tali condizioni, il insetticida valore della pressione nel punto A e il diametro D del dispositivo. ________________________________________________________________________________
2
Applichiamo l’equazione di Bernoulli tra un punto I situato nel condotto di estrazione dell’insetticida, all’altezza del pelo libero, e il punto A: p A
VA2
V I 2
pI
+ gH = + 2 2 ρ dove H rappresenta la distanza tra il peo libero del serbatoio ed il punto A. Nell’ipotesi che l’insetticida nel serbatoio sia praticamente in quiete, V I ≈0 e l distribuzione delle pressioni è idrostatica, per cui la pressione p I uguagli la pressione del pelo libero, ovvero quella atmosferica. La velocità dell’insetticida nel punto A, all’uscita del condotto di estrazione, può essere dedotta dalla portata di insetticida e dai dati geometrici del condotto: +
ρ
d 2
V A,i=9.95 m/s 4 Pertanto, la pressione relativa del punto A è: p A=-0.495 bar. Calcoliamo la portata che fluisce attraverso il dispositivo. La portata uscente da quest’ultimo è la somma della portata di acqua più quella dell’insetticida. La velocità della miscela all’uscita del dispositivo può essere ricavata dalla relazione: Du2 V u=13.8 m/s Qi + Qa = V u π 4 Se adesso applichiamo l’equazione di Bernoulli alla traiettoria di una particella d’acqua che si sposta da un punto subito a monte di A (dove il fluido che scorre nel dispositivo è solo acqua all’uscita, abbiamo: 2 p A V A,a pu V u2 , + = + ρ ρ 2 2 e da questa possiamo ricavare la velocità dell’acqua subito a monte del punto A: V A,a=17.0 m/s Nota tale velocità, possiamo finalmente calcolare il diametro D dalla relazione: D 2 D=2.23mm. Qa = V A, aπ 4
Qi
=
V A,iπ
Esercizio 3_______________________________________________________________________ Un tubo di Pitot viene immerso in un fluido che scorre con velocità v. Se tale fluido è aria e il liquido manometrico contenuto nel tubo è acqua, determinare la velocità del fluido quando la differenza di altezza del liquido manometrico è h=0.65 cm.
( Per la densità dell'aria usare ρ aria =1.29 kg/m³ ) __ Applichiamo l'equazione di Bernoulli ai punti a e b (vedere figura), dove b si suppone sia il punto di arresto del fluido e ρ la sua densità: .
3
Del resto, se h è la differenza di altezza del liquido nei due rami del manometro e ρ ’ la sua densità, possiamo scrivere: . Confrontando le due equazioni, si ricava per la velocità dell'aria l'espressione: . Sostituendo i relativi valori delle densità, dell'altezza e dell'accelerazione di gravità, si trova infine il valore cercato della velocità: v=0.31 m/s
Esercizio 4_______________________________________________________________________ Nell’ipotesi di liquido perfetto (γ =8825 N/m3), calcolare la portata Q del sifone in figura. Individuare inoltre il massimo valore della portata scaricabile dal sifone, al variare della quota della sezione di sbocco.
Dati: h=2m, diametro del sifone:D=0.075m, H=3m 1. Applichiamo innanzi tutto l’equazione di Bernoulli tra il pelo libero del serbatoio (punto A) e la sezione di uscita (punto S). In ambo i punti regna la pressione ambiente (pressione relativa nulla). Avremo dunque: p A γ
+
V A2
+
2 g
z A
=
pS
+
γ
V S 2 2 g
z S
+
dove abbiamo assunto il pelo libero del serbatoio come quota di riferimento ( z A=0) e dove z s=H. Se ne ricava una velocità di efflusso pari a: VS = 2 gH = 7.67 m/s e dunque una portata scaricata pari a: D 2
Q = V S π
4
=
33.9 l/s .
4
2. Consideriamo adesso che la quota H dello scarico del sifone rispetto al pelo libero del serbatoio possa variare. Dato che VS =
2 gH , ci aspettiamo che all’aumentare di H aumenti
la velocità di efflusso e dunque la portata scaricata. La quota H non può tuttavia essere aumentata indefinitamente. Infatti la pressione assoluta nel punto più alta del serbatoio, data da (applicando Bernoulli tra il punto M e il punto S e tenendo conto che, per la conservazione della portata, V S =V M ): p M = pa − γ ( H + h ) non può divenire negativa. Il massimo valore ammissibile di H sarà dunque quello per cui nel punto M la pressione si annulla: p H max = a − a = 9.47 m , γ
dove si è assunto pa=pressione ambiente=1 atm. Noto Hmax possiamo calcolare la portata corrispondente: D 2 = 60.2 l/s . Qmax = 2 gH max π 4 In realtà, il massimo valore ammissibile a quello trovato: infatti a partire dal momento in cui la pressione p M uguaglia la tensione di vapore dell’acqua alla temperatura di esercizio insorgeranno fenomeni di cavitazione (vaporizzazione dell’acqua) che limiteranno ulteriormente la possibilità di abbassare la sezione di sbocco del sifone.
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