Esercizio 1
Un blocco di massa poggia su un piano orizzontale liscio. Il blocco è collegato ad una parete verticale attraverso due molle unite una di seguito all'altra con costante elastica elastica
e
e lunghezza lunghezza a riposo riposo rispettivame rispettivamente nte
si trova in quiete a distanza
e
. All'ista All'istante nte
il blocco blocco
dalla parete. In questo istante un proiettile di
massa e velocità colpisce il blocco nella direzione di compressione delle molle e si conficca in esso. Si determini d etermini a) lo spostamento massimo del blocco rispetto r ispetto alla posizione di equilibrio b) la velocità massima del blocco blo cco c) la frequenza di oscillazioni o scillazioni del blocco Soluzione
Esercizio 2
Un punto materiale materi ale di massa kg e velocità velocit à m/s si muove su un piano orizzontale liscio e colpisce con direzione perpendicolare un'asta in quiete qui ete sul piano a distanza lunghezza lunghezz a è
m dal centro dell'asta. dell' asta. La massa dell'asta dell'ast a è m. L'urto sia elastico. Si determini: determin i:
kg e la sua
a) la velocità (modulo e direzione) della massa dopo l'urto b) la velocità (modulo e direzione) del centro di massa dell'asta dell'asta dopo l'urto c) la velocità angolare dell'asta dopo l'urto l 'urto d) per quale intervallo di valori della massa dopo l'urto.
il punto materiale inverte il proprio moto
Soluzione
Esercizio 3
Un corpo di massa m=0.2 kg scivola lungo un piano inclinato di E=30r rispetto all¶orizzontale. Il corpo parte da fermo da un¶altezza h=70 cm. Il piano inclinato è scabro con coefficiente di attrito dinamico tra piano e corpo Q=0.3. In fondo al piano inclinato, su un tratto di piano orizzontale, è posta una molla di massa trascurabile e di costante elastica k=1200 N/m (vedi figura). Si assuma liscio il tratto di piano pi ano orizzontale e liscio e smussato smussato il raccordo tra piano inclinato inclinato e piano orizzontale. orizzontale. Si determini: a) la velocità con cui il corpo raggiunge la molla e la compressione massima della molla b) l¶altezza massima h d raggiunta dal corpo sul piano inclinato dopo il rimbalzo sulla
molla c) l¶energia dissipata per attrito. a ttrito. Soluzione
Esercizio 4
Si consideri un satellite artificiale di massa m=5000 kg in orbita orbi ta circolare geostazionaria attorno alla Terra (si trova t rova costantemente sulla verticale di un punto della superficie terrestre). Si determini: a) la quota dell¶orbita del satellite rispetto alla superficie terrestre b) la velocità del satellite lungo l¶orbita c) l¶energia di legame del satellite d) l¶energia minima che dovrebbero erogare i motori del satellite affinché il satellite possa allontanarsi fino a distanza infinita dalla Terra. (Il raggio della Terra è R T=6.5´106 m e la massa della Terra è M T=6.2´1024 kg) Soluzione
Esercizio 5
Un corpo di massa m 1=0.02 kg si muove con velocità costante v0=1.4 m/s su un piano orizzontale privo di attrito. Il corpo nel suo moto incontra una rampa liscia inclinata di E=45r rispetto all¶orizzontale. La rampa, inizialmente in quiete, ha massa m 2=0.26 kg e può muoversi senza attrito sul piano p iano orizzontale. Si assuma liscio e smussato il raccordo tra piano orizzontale e rampa. Si determini: a) l¶altezza raggiunta dal corpo sulla rampa quando questo è fermo rispetto alla rampa e la velocità della rampa in questo istante b) la velocità velocità del corpo corpo e della rampa rampa quando il corpo corpo è ridisceso dalla rampa e si muove sul piano orizzontale. c) si discuta cosa succede se fosse m2>>m1 oppure m1>>m2.
Soluzione
molla c) l¶energia dissipata per attrito. a ttrito. Soluzione
Esercizio 4
Si consideri un satellite artificiale di massa m=5000 kg in orbita orbi ta circolare geostazionaria attorno alla Terra (si trova t rova costantemente sulla verticale di un punto della superficie terrestre). Si determini: a) la quota dell¶orbita del satellite rispetto alla superficie terrestre b) la velocità del satellite lungo l¶orbita c) l¶energia di legame del satellite d) l¶energia minima che dovrebbero erogare i motori del satellite affinché il satellite possa allontanarsi fino a distanza infinita dalla Terra. (Il raggio della Terra è R T=6.5´106 m e la massa della Terra è M T=6.2´1024 kg) Soluzione
Esercizio 5
Un corpo di massa m 1=0.02 kg si muove con velocità costante v0=1.4 m/s su un piano orizzontale privo di attrito. Il corpo nel suo moto incontra una rampa liscia inclinata di E=45r rispetto all¶orizzontale. La rampa, inizialmente in quiete, ha massa m 2=0.26 kg e può muoversi senza attrito sul piano p iano orizzontale. Si assuma liscio e smussato il raccordo tra piano orizzontale e rampa. Si determini: a) l¶altezza raggiunta dal corpo sulla rampa quando questo è fermo rispetto alla rampa e la velocità della rampa in questo istante b) la velocità velocità del corpo corpo e della rampa rampa quando il corpo corpo è ridisceso dalla rampa e si muove sul piano orizzontale. c) si discuta cosa succede se fosse m2>>m1 oppure m1>>m2.
Soluzione
Esercizio 6
Un blocco di massa scivola verso il basso basso lungo un piano inclinato privo di attrito. attrito. L'angolo di inclinazione inclinazione del piano rispetto rispetto all'orizzontale all'orizzontale sia sia . IlIl piano inclinato, di massa , è a sua sua volta volta appoggiato su una superficie orizzontale priva di attrito. attrito. Il blocco e ilil piano inclinato inclinato sono sono inizialmente inizialmente fermi fermi e il blocco si trova ad ad altezza sopra il piano orizzontale. ori zzontale. a) Si calcoli la velocità del piano inclinato nell'istante in cui il blocco arriva in fondo al piano inclinato. b) Si calcoli la velocità del blocco nell'istante in cui questo arriva in fondo al piano inclinato. Soluzione
Esercizio 7
Una palla da biliardo di raggio lineare
inizialmente scivola senza rotolare con velocità
su una superficie orizzontale. Il coefficiente di attrito tra la palla e la
superficie è . Si Si determini nell'istante in cui la palla comincia a rotolare senza senza strisciare: a) la velocità lineare della palla; b) il tempo trascorso; c) lo spazio percorso. Soluzione
Esercizio 8
Un'asta di massa kg e lunghezza lunghez za m può ruotare ruotar e senza attrito attorno ad un asse orizzontale passante per un suo estremo. Inizialmente l'asta è in i n condizioni di equilibrio stabile. Ad un certo istante essa viene colpita da una pallina di massa kg e velocità m/s, ortogonale all'asta, in un punto distante distant e m dal centro dell'asta dell' asta verso il basso. Si calcoli la massima altezza raggiunta dal centro dell'asta nel caso di: a) urto completamente anelastico; b)
urto elastico. Soluzione
Esercizio
Un rocchetto cilindrico di massa m=0.2 Kg e raggio R=5 cm si srotola sotto l¶azione della forza di gravità. g ravità. Trovare la velocità del C.M. del rocchetto dopo che ha svolto un tratto di filo h=50 cm. Risultati: v=2.5 m/s
Esercizio
ue corpi sono connessi da una fune di massa trascurabile attraverso una carrucola di massa m=0.1 Kg e raggio di 3 cm: M 2 =1 Kg è appeso e M1 = 2 Kg è appoggiato su un piano inclinato di 40°. a) determinare l¶accelerazione angolare della carrucola; b) determinare l¶accelerazione angolare della carrucola se il piano inclinato ha un coefficiente di attrito Q = 0.2 . D
Risultati: a) E =145 =145 rad s-2 b) E =112 =112 rad s-2
Esercizio
Una sottile sbarra di massa m=3 Kg, lunghezza L=0.5 m e di densità costante poggia su una delle sue basi su un u n tavolo scabro, considerato come piano xy. La sbarra comincia a cadere, con l¶estremità superiore in moto in direzione d irezione +x, ma mentre cade, il suo punto di contatto non si muove. Determinare all¶istante in cui la sbarra colpisce il tavolo: a) la velocità angolare; b) il momento angolare; c) l¶energia cinetica. Risultati: a) [ =7.6 =7.6 rad s-1 b) L=1.9 Kg m2 s-1 c) E =7.35 J
Esercizio
Una giostra è costituita da un¶asta un¶ast a rigida ed omogenea di massa m=60 Kg e lunghezza 2d=2 m disposta orizzontalmente e girevole con attrito a ttrito trascurabile attorno ad un asse verticale passante per il suo C.M. Inizialmente due ragazzi di ugual massa M=30 Kg sono seduti ai due estremi della giostra che ruota liberamente con frequenza f requenza R0=0.5 Hz. Determinare:
a) il momento di inerzia del sistema rispetto all¶asse di rotazione; b) il momento angolare del sistema rispetto all¶asse di rotazione; I due ragazzi si avvicinano all¶asse di rotazione della giostra fino ad una distanza d=0.8 m. Determinare: c) la velocità angolare della giostra nella nuova configurazione; d) la variazione di energia meccanica del sistema. (L¶energia meccanica non si è conservata, anzi è aumentata! Perché ?) 2
Risultati: a) I=80 Kg m
b) L=251.2 Kg m2 s-1 c) [ =4.3 rad s-1 d) ( E k = 145.5 J
Esercizio
Un pendolo è costituito da una sfera di massa m fissata ad un¶asta rigida di lunghezza L e massa trascurabile. Determinare a quale sforzo massimo T l¶asta deve resistere, considerando ampiezze angolari di oscillazione di 60°, 90°, 120° e 180°. Risultati: T=2mg, 3mg, 4mg e 5mg
Esercizio
Un cilindro di massa M=4 kg e raggio 30 cm rotola senza strisciare su un piano inclinato di 30r rispetto all¶orizzontale. Al centro del cilindro è attaccata una corda che trascina un blocco di massa m=2 kg. La corda sia di massa trascurabile e, in tensione, è parallela al piano inclinato. Il coefficiente di attrito dinamico tra blocco e piano inclinato sia Q d=0.4. Si calcoli: a) l¶accelerazione del sistema b) la tensione della fune c) la velocità angolare del cilindro dopo che, partendo da fermo, ha percorso un tratto di 50 cm lungo il piano inclinato.
Esercizio
Una sbarra omogenea di massa M=30 g e lunga 20 cm ruota in un piano orizzontale attorno ad un asse verticale fisso passante per il suo centro. Due biglie, aventi ciascuna massa m=10 g, sono inserite su questa in modo da strisciare lungo la sbarra. Inizialmente, le biglie sono vincolate, una per parte a 5 cm dal centro della sbarra ed il sistema ruota con velocità angolare [ =10 rad/sec. Si tolgono i vincoli e le due biglie strisciano lungo l¶asta allontanandosi l¶una dall¶altra ed abbandonano gli estremi. Si trascuri l¶attrito delle biglie lungo la sbarra. Si calcoli: a) la velocità angolare del sistema nell¶istante in cui le due biglie raggiungono gli estremi dell¶asta
b) la velocità angolare dell¶asta dopo che le biglie l¶hanno abbandonata c) il modulo della velocità di ciascuna biglia nell¶istante in cui abbandona l¶asta.
Esercizio
Una pallottola di fucile di massa m=10 g colpisce e viene incorporata in un blocco di massa M=1 kg che sta fermo su una superficie orizzontale liscia ed è fissato a una molla di costante elastica k=150 N/m. L¶urto comprime la molla di 8 cm. Si calcoli: a) la velocità del blocco subito dopo l¶urto b) la velocità iniziale della pallottola c) la compressione della molla se, a parità di velocità iniziale del proiettile, il coefficiente di attrito dinamico tra blocco e piano è Q d=0.6.
Esercizio
Il dispositivo rappresentato in figura è costituito da un¶ asta rigida saldata a un estremo a una sbarra verticale che può ruotare attorno al suo asse longitudinale. L¶angolo tra l¶asta e la sbarra sia di 30º. Una biglia di massa m e dimensioni trascurabili può scivolare senza attrito lungo l¶asta. Se la sbarra ruota con velocità angolare costante [ , si determini la distanza s lungo l¶asta corrispondente alla posizione di equilibrio della biglia. Discutere la stabilità dell¶ equilibrio.
Esercizio
Una scala omogenea di lunghezza L e massa M è appoggiata a una parete verticale priva di attrito. Sia Q s=0.2 il coefficiente di attrito statico tra la scala e il pavimento. Alla scala, a due terzi della sua lunghezza rispetto al punto di appoggio sul pavimento, è appeso un corpo di massa m1. Si determini l¶angolo minimo di inclinazione U tra la scala e il pavimento.
Esercizio 1
opo che il proiettile si è conficcato nel blocco, i due corpi diventano un corpo solo di
D
massa e la velocità istantanea appena dopo determinata dalla conservazione della quantità di moto:
sarà
A questo punto le due molle cominciano ad essere compresse. Se indichiamo con ed
l'entità della compressione, otteniamo che le forze elastiche delle due molle sono
rispettivamente e . Ora queste due forze devono essere uguali per la condizione di azione e reazione nel punto di contatto fra le due molle. Possiamo allora esprimere
in funzione di
, o meglio entrambe in funzione della somma :
La forza esercitata sul blocco sarà allora:
Il blocco di massa complessiva incontra quindi una resistenza identica a quella esercitata da un'unica molla di costante elastica . È a questo punto ovvio che la velocità massima è quella iniziale (
) e che spostamento massimo e pulsazione di oscillazione
sono quelli dati dalle leggi del moto armonico
:
Esercizio 2
Facciamo alcune posizioni per visualizzare meglio il problema. Consideriamo un riferimento inerziale, la cui origine è posta al centro dell'asta (prima dell'urto). Il punto materiale ha inizialmente velocità
e collide con l'asta al tempo zero nel punto
,e
questo definisce tutto del nostro sistema di riferimento. Dopo l'urto il punto materiale si muoverà di moto rettilineo uniforme con velocità diversa da prima, di modulo in direzione
. La sua legge del moto sarà dunque:
Il centro di massa dell'asta si muoverà invece (dopo l'urto) con velocità
in
direzione , e la velocità angolare dell'asta nel riferimento del suo centro di massa sarà . Per determinare tutte queste quantità abbiamo a disposizione la conservazione della quantità di moto sul piano, la conservazione del momento angolare rispetto ad un punto qualsiasi (per esempio l'origine del riferimento) e la conservazione dell'energia (poichè l'urto è anelastico). Riassumendo:
dove
è il momento di inerzia di un'asta di lunghezza
ovvero
. Consideriamo ora la relazione di conservazione del momento angolare e
sopprimiamo i termini nulli
Siccome scalare:
rispetto al suo centro di massa,
e
e simili. Otteniamo:
, questa si semplifica nella seguente equazione
Passiamo alla conservazione della quantità di moto e decomponiamo assi coordinati:
ed
lungo gli
Riassumendo, ci siamo ridotti al seguente sistema di quattro equazioni in cinque incognite ( ,
, ,
e ):
Questo sistema non si può ovviamente risolvere senza una ulteriore ipotesi fisica, ovvero che le superfici del punto materiale e dell'asta nel punto di contatto non siano scabre. Questo implica che le forze esercitate dall'uno sull'altra e viceversa siano tutte dirette lungo l'asse , quindi che il moto del punto materiale rimane lungo l'asse e che . Imponendo questa condizione vediamo immediatamente che anche l'angolo essere nullo, ed il sistema si semplifica in:
deve
La terza equazione è sparita perchè i due membri sono identicamente nulli; ora abbiamo tre equazioni in tre incognite e possiamo passare a risolvere. Sostituendo la seconda nella terza abbiamo
, e la conservazione dell'energia diventa:
Eliminando a primo e secondo membro il termine abbiamo tutti termini proporzionali a che non può essere nullo. Semplificandolo otteniamo:
Il termine fra parentesi tonde ha le dimensioni di un inverso di una massa. Poniamo allora ed otteniamo che risolve il problema per . Per sostituzione otteniamo immediatamente il valore di tutte le altre quantità:
Le velocità come direzione sono
e
. Il moto del punto
materiale verrebbe invertito quando risultasse
ovvero
kg.
Esercizio 3
a) La velocità con cui la massa m raggiunge la molla è la stessa con cui arriva alla fine del piano inclinato; infatti nel piano orizzontale non c¶è attrito. unque:
D
con da cui
La compressione della molla: Ecinetica =Eelastica
da cui si ricava:
b) La molla trasferisce l¶energia ricevuta come energia cinetica. Il bilancio energetico tra inizio e fine può essere fatto senza considerare energia elastica né quella cinetica. Infatti tutta l¶energia potenziale iniziale mgh si trasforma in energia potenziale mgh¶ e lavoro della forza d¶attrito. unque:
D
ricordando che e
si ottiene: ,
c) L¶energia dissipata per attrito è:
Esercizio 4
a) Un satellite geostazionario ha un periodo di rivoluzione di 24 ore: T = 86400 s Nel sistema di riferimento del satellite forza centrifuga e forza gravitazionale si equivalgono:
dove
e quindi:
da cui si ottiene h = 3.6 x 107 m b) La velocità del satellite è
c) L¶energia del satellite sarà la somma della sua energia cinetica e di quella gravitazionale (potenziale):
a) L¶energia che devono erogare i motori sarà proprio l¶energia di legame del punto c).
Esercizio 5
a) Non essendoci attriti si conserva sia l¶energia meccanica che la quantità di moto (solo lungo x, visto che lungo y agisce la forza di gravità). Nell¶istante iniziale:
Nell¶istante in cui raggiunge la quota massima sulla rampa:
(nell¶istante in cui m1 raggiunge la quota mazzima h la pallina è ferma rispetto alla rampa ma si muove a velocità v con la rampa rispetto al riferimento solidale con il tavolo) D
alla conservazione della quantità di moto lungo x (
D
alla conservazione dell¶energia meccanica (
) si ottiene
) si ottiene:
b) Consideriamo ora quantità di moto ed energia dopo la discesa dalla rampa.
D
alla conservazione della quantità di moto lungo x (
) e dell¶energia meccanica (
) si ottiene , c) Per
si ha:
e
Per
si ha:
e
Esercizio 6
Risolveremo questo problema utilizzando la conservazione dell'energia piuttosto che la dinamica del sistema. Chiamiamo e le velocità (in modulo) del piano inclinato e del blocco rispettivamente, rispetto ad un sistema di riferimento solidale con la superficie orizzontale (un riferimento inerziale). La velocità del piano inclinato sarà puramente orizzontale, cioè
, mentre quella del blocco avrà una componente
anche lungo la verticale. Attenzione: la componente orizzontale di , NON è poichè il piano inclinato scivola sotto il blocco quindi il blocco non scende seguendo una inclinazione . Il bilancio energetico all'istante finale, cioè quando , (tralasciando di scrivere l'energia potenziale del piano inclinato che non cambia, perchè questo si muove solo in orizzontale) impone:
Nonostante compaiano due variabili, questo problema è unidimensionale perchè le due variabili non sono indipendenti. Per mostrarlo le scriveremo entrambe in funzione della velocità
del blocco rispetto al piano inclinato. La relazione fra
semplice se conosciamo
e
è abbastanza
:
La relazione fra e si trova ora imponendo la conservazione dell'impulso lungo : infatti non vi sono forze esterne al sistema piano inclinato - blocco con componente non nulla lungo l'asse orizzontale:
Le considerazioni precedenti ci permettono ora di scrivere tutto in funzione di
:
opo noiose semplificazioni ci riduciamo a:
D
D
a cui ricaviamo le velocità
e
che sono l'oggetto del problema:
Esercizio 7
La palla da biliardo è soggetta solo alla forza di attrito di modulo costante in direzione opposta al moto del centro di massa della palla. Questa forza esercita un momento rispetto al centro della palla pari a che determina la variazione del momento angolare (ricordiamo che per una sfera omogenea il momento di inerzia rispetto al centro è
). Quindi:
Inoltre per ipotesi cioè la palla non ha velocità angolare inizialmente. La velocità lineare del centro di massa della palla da biliardo inoltre decresce linearmente nel tempo perchè la decelerazione
è costante:
La condizione di non strisciamento si raggiunge quando la velocità del punto di contatto fra palla e superficie è nulla:
Per sostituzione si ricava la velocità lineare al tempo
:
Infine, lo spazio percorso dal centro di massa si ricava dalla legge dei moti uniformemente decelerati:
Esercizio 8
Calcoliamo intanto il momento di inerzia del sistema asta e pallina rispetto all'asse di rotazione nel caso di urto totalmente anelastico (quando cioè la pallina rimane conficcata nell'asta ad una distanza
dall'asse di rotazione):
Il secondo termine in parentesi è estremamente piccolo (vale circa quando si sotituiscono i valori numerici). Per semplificare i conti supporremo di poterlo trascurare, ovvero stiamo assumendo che . Imponiamo ora la conservazione del momento angolare rispetto all'asse di rotazione per ricavare la velocità angolare un istante dopo l'impatto:
In questo caso naturalmente il rapporto , seppur piccolo, è l'unico termine in gioco e non può essere trascurato. Scegliendo il centro dell'asta come riferimento per l'asse verticale, il centro di massa del sistema asta più pallina si trova ad altezza:
Siccome stiamo già trascurando i termini piccoli in approssimiamo anche cioè confondiamo il centro di massa del sistema con il centro dell'asta. Ora è facile calcolare di quanto si alza il centro dell'asta nel caso di urto totalmente anelastico imponendo la conservazione della energia:
Il risultato naturalmente è approssimato a meno di termini piccoli in . Un calcolo esatto porterebbe a cm. Passiamo ora al caso di urto elastico: in questo caso la velocità della pallina dopo l'urto è una variabile indipendente, ma la conservazione
dell'energia vale durante la collisione. Ponendo ancora che
e sapendo
(questa volta in modo esatto), otteniamo:
alla prima equazione possiamo ricavare e sostituirlo nella seconda, che può poi essere risolta rispetto a . Tralasciando i passaggi banali ma noiosi, scriviamo direttamente i risultati: D
Ora, in modo esatto, determiniamo di quanto si alza il centro della sbarra (che ora coincide con il suo centro di massa) scrivendo una conservazione dell'energia per la sola sbarra:
Infine procediamo a semplificare anche questa formula, trascurando nel denominatore dell'ultima frazione il termine rispetto a (poichè è proporzionale ad ). L'espressione per si semplifica allora in:
Esercizio 1
Tre blocchi di massa rispettivamente Kg, Kg e Kg poggiano su un piano orizzontale e sono uniti da due funi (vedi figura). Sul blocco agisce una forza orizzontale pari a N. Si determini l'accelerazione di ciascun blocco e la tensione delle due funi nel caso in cui: a) non vi sia attrito tra blocchi e piano b) l'attrito dinamico di ciascuno dei tre blocchi sia pari a Soluzione
.
Esercizio 2
Allo specchietto retrovisore di una macchina è appeso un ciondolo di massa g tramite un filo di lunghezza cm. La macchina percorre un tratto di strada piano a velocità costante pari a per un tratto di
Km/h (fase 1), quindi rallenta con decelerazione costante
m (sempre in piano) fino alla velocità
Km/h (fase 2). Con la
velocità costante la macchina percorre una curva (ancora in piano) con raggio di curvatura m (fase 3). Al termine della curva la macchina imbocca una salita con inclinazione rispetto all'orizzontale, lungo la quale accelera con accelerazione costante pari a (fase 4). Si determini per ciascuna delle quattro fasi l'inclinazione del filo rispetto alla verticale, la direzione dell'inclinazione (concorde, opposta o perpendicolare al moto della macchina) e la tensione del filo. Soluzione
Esercizio 3
Un bambino gioca con una pallina su una pista collocata sopra un tavolo ad altezza m rispetto al pavimento (vedi figura). Il bimbo vuole colpire con la pallina un bersaglio sul pavimento a distanza cm dal piede del tavolo. La pista è inclinata di rispetto al piano orizzontale del tavolo e tra la fine della pista e il bordo del tavolo c'è una distanza cm. a) Quale deve essere la velocità con cui la pallina arriva al bordo del tavolo? b) Se il bimbo lascia partire da ferma la pallina, da quale altezza deve lasciarla andare? Si supponga che
rispetto al tavolo
) non vi siano attriti ) lungo il tratto orizzontale sul tavolo vi sia un attrito con coefficiente (Si assuma che nel punto di cambio di pendenza tra pista e tavolo la velocità lineare della pallina non cambi in modulo).
.
Soluzione
Esercizio 4
Un blocco di massa
è appoggiato su un piano inclinato con angolo di inclinazione
rispetto all'orizzontale. Il coefficiente di attrito tra blocco e piano inclinato sia . Il piano inclinato trasla su un piano orizzontale nella direzione di discesa del piano inclinato. Si determini il valore minimo di per il quale il blocco rimane fermo rispetto al piano inclinato e il valore della reazione vincolare normale al piano inclinato nel caso in cui a) il piano inclinato trasla con velocità costante b) il piano inclinato accelera nella direzione del moto con accelerazione
.
Soluzione
Esercizio 5
Su un piano inclinato con angolo di inclinazione posti due blocchi a forma di cubo di massa massa
rispetto all'orizzontale sono kg e
kg. Il blocco di
si trovi più in basso rispetto all'altro lungo il piano inclinato. Il coefficiente di
attrito tra blocchi e piano inclinato sia . I due blocchi sono collegati da una fune inestensibile e di massa trascurabile. Sulla superficie superiore del blocco di massa (quello più in alto) è appoggiato un corpo di massa kg a distanza cm dai bordi del blocco. Il coefficiente di attrito tra il corpo e la superficie superiore del blocco di massa sia . All'istante entrambi i blocchi e il corpo sono in quiete con la fune in tensione. Si determini a) l'accelerazione del corpo b) l'accelerazione di ciascuno dei due blocchi e la tensione della fune c) dopo quanto tempo il corpo raggiungerà il bordo del blocco e da quale parte cadrà. Soluzione
Esercizio 6
Un'asta è incernierata a un suo estremo ad un asse verticale che ruota con velocità angolare costante . Sull'asta è infilata una pallina che può scorrere lungo l'asta con coefficiente di attrito . Si determini in funzione di e dell'angolo di inclinazione l'intervallo di valori di per cui la pallina rimane in equilibrio.
Soluzione
Esercizio 7
ue blocchi di massa kg e kg sono uniti da una fune inestensibile e di massa trascurabile che passa attraverso una carrucola anch'essa di massa trascurabile. Ciascuno dei due blocchi poggia su un piano inclinato come rappresentato in figura. Si trascuri l'attrito tra blocchi e piani inclinati e si calcoli D
a1) l'accelerazione del sistema a2) la tensione della fune Si suppongano i due blocchi inizialmente in quiete a una quota comune rispetto al piano orizzontale.
m
a3) opo quanto tempo uno dei due blocchi raggiunge il piano orizzontale? che quota ha raggiunto in questo istante l'altro blocco? D
b) Si ripetano i calcoli di cui al punto a1), a2), a3) assumendo un coefficiente di attrito tra blocchi e piani inclinati pari a
.
c) Qualè il valore massimo di in moto?
che consente al sistema dei due blocchi di mettersi
Soluzione
Esercizio 8
Un pendolo è composto da un filo inestensibile di massa trascurabile e di lunghezza cm e da un corpo di massa kg. Il pendolo viene spostato dalla posizione di equilibrio fino a formare un angolo rispetto alla verticale. Si determini: a) quale deve essere la velocità minima iniziale del pendolo affinché possa eseguire un giro completo attorno al perno rimanendo in tensione? b) quanto vale la velocità del pendolo nel punto più basso della traiettoria ( nel punto più alto ( ) e nel punto corrispondente all'angolo
), ?
c) quanto vale la tensione del filo nei tre punti della traiettoria considerati in b) ? Soluzione
Esercizio 9
ue blocchi e di massa rispettivamente kg e kg poggiano su un piano orizzontale e sono uniti da una fune. Al centro della superficie superiore piana del blocco a distanza cm dai bordi è collocata una biglia di ferro di massa kg. Sul blocco agisce una forza orizzontale di intesità N che trascina i due blocchi. Si assuma il sistema inizialmente in quiete e la fune tra i blocchi e già in tensione. In assenza di attrito tra blocchi e piano e tra biglia e superficie superiore del blocco si calcoli: D
a1) l'accelerazione dei blocchi a2) la tensione della fune,
e
,
a3) dopo quanto tempo la biglia cadrà dal bordo del blocco
.
B) Si ripetano i calcoli nel caso in cui tra blocchi e piano e tra biglia e superficie superiore del blocco
vi sia un attrito con coefficiente
.
Soluzione
Esercizio 10
Un'autovettura percorre una curva di raggio attrito tra pneumatici e asfalto.
m. Sia
il coefficiente di
a) Si calcoli la velocità massima con cui l'auto può percorrere la curva piana senza sbandare. b) Si supponga che la curva sia sopraelevata, ovvero giaccia su un piano inclinato con inclinazione rispetto all'orizzontale, qual'è in questo caso la velocità massima con cui l'auto può percorrere la curva senza sbandare? Soluzione
Esercizio 11
Un camion viaggia alla velocità di di massa
km/h. Sul cassone del camion è collocata una cassa
kg. Il coefficiente di attrito tra cassa e pianale del cassone sia
.
a) Si calcoli il minimo spazio di arresto del camion affinchè la cassa rimanga ferma sul pianale. b1) Si ripeta il calcolo di cui al punto a) nel caso in cui il camion percorre una strada in discesa con inclinazione rispetto all'orizzontale , b2) e nel caso in cui il camion percorre una strada in salita con la stessa inclinazione. Soluzione
Esercizio 12
Su un lago gelato, una ragazza di massa
kg con i pattini da ghiaccio tira con una
forza costante una corda che è legata a una slitta di massa kg. Inizialmente la slitta si trova a m dalla ragazza ed entrambe sono in quiete. Trascurando l'attrito si calcoli la distanza percorsa dalla ragazza quando viene in contatto con la slitta. Soluzione
Esercizio 13
Una persona si trova su una giostra che ruota con velocità angolare w costante assegnata. La persona cammina tangenzialmente sul bordo della giostra (di raggio R) con velocità v¶ assegnata, misurata rispetto la giostra e nel suo stesso verso di rotazione. Dimostrare l¶esistenza e l¶essenzialità del termine di accelerazione complementare (diCoriolis) confrontando le accelerazioni misurate nei sistemi di riferimento ³fisso e solidale con la giostra. Soluzione
Esercizio 14
ue biglie differenti (masse m ed M) procedono con velocità v e V secondo moti rettilinei uniformi e mutuamente perpendicolari. Le biglie collidono e si osserva che, dopo l¶urto, la D
biglia di massa m procede nella stessa direzione e verso d¶incidenza ma con velocità in modulo v¶
Soluzione
Esercizio 15
Allo scopo di stimare la costante di attrito viscoso in un mezzo, si ipotizza che l¶attrito segua una legge del tipo F = - k v e si utilizzano due tubi disposti orizzontalmente e di differenti lunghezze nei quali viene lanciato il medesimo oggetto con la stessa velocità iniziale. Si osserva che all¶uscita dai due tubi gli oggetti hanno differenti velocità. In particolare, la differenza di velocità osservate sta in rapporto fisso con la differenza di
lunghezza dei due tubi. Si dimostri che con questi due dati (differenza di velocità d¶uscita, (v, e differenza di lunghezza dei due tubi, (x) è possibile ottenere (entro la risoluzione sperimentale e nell¶ambito di applicabilità del modello di attrito viscoso qui adattato) la costante di attrito viscoso stessa. Si espliciti il calcolo nel caso numerico (v = 0.2 m / sec e (x = 5 cm per una massa di 1 Kg. Soluzione
Esercizio n.16
Esercizio Un ragazzo di massa m1 = 50 Kg corre su di una banchina a velocitµa costante v 0 = 3 m/s. All'estremitµa della banchina µe fermo un carrello di massa m 2 = 100 Kg. Il ragazzo salta su di esso e dopo un breve scivolamento si ferma rispetto al carrello. Supponendo trascurabile l'attritio tra il carrello ed il terreno, si determini: a) La velocitµa ¯nale assunta dal carrello v f b) La forza di attrito agente sul ragazzo durante lo scivolamento sul carrello. Il coefficiente di attrito fra le scarpe del ragazzo e la superficie del carrello sia Q = 0.40 c) La forza forza di attrito esercitata sul carrello d) La durata della forza d'attrito sul ragazzo e sul carrello e) Di quanto si sposta il ragazzo rispetto al terreno nel momento in cui smette di scivolare sul carrello f) Quale è il corrispondente spostamento del carrello.
Soluzione
Problema 16
Una pallina puntiforme di, massa m, legata ad un filo inestensibile, poggia sul piano di un carrello che si muove di accelerazione costante nota a (vedi figura). a) determinare la tensione del del filo. Scrivere le equazioni del moto in direzione orizzontale per l¶osservatore O del sistema inerziale solidale al terreno, e per l¶osservatore O¶ nel sistema non inerziale solidale al carrello. b) In un dato istante 0t il filo si rompe istantaneamente. Si supponga nullo l¶attrito tra piano e pallina. Quali sono le equazioni del moto, in direzione orizzontale, della pallina per i due osservatori O ed O¶? In altre parole, di che moto si muove la pallina rispetto ai due osservatori O ed O¶ dopo che il filo è rotto? c) Quale è la velocità vettoriale della pallina rispetto all¶osservatore O¶ e quale rispetto all¶osservatore O? Si indichi con vC0 la velocità del carrello, rispetto all¶osservatore O, all'istante di rottura del filo. d) Dopo quanto tempo dalla rottura del filo la pallina raggiunge l¶estremità del carrello, a distanza d rispetto alla pallina al momento della rottura del filo? Eseguire il calcolo sia da osservatori O' nel sistema non
inerziale che da osservatori O nel sistema inerziale.
Soluzione
Esercizio a
Un corpo di massa m=5 Kg e dimensioni trascurabili, fissato all¶estremità di un¶asta rigida di lunghezza R=1 m e massa trascurabile, viene fatto ruotare su un piano verticale con velocità angolare costante [=5 rad/s. Determinare la reazione vincolare radiale dell¶asta quando il corpo è: a) nel punto più alto della traiettoria; b) nel punto più basso della traiettoria; c) nel punto intermedio della traiettoria; Si risolva il problema da osservatore inerziale e da osservatore solidale con la massa rotante. Risultati: a) T=76 N b) T=174 N c) T=125 N
Esercizio b
Una pietra di massa m=3 Kg e di dimensioni trascurabili è posta sulla sommità di una superficie emisferica liscia di raggio R=10 m. La pietra è fatta scivolare con una una velocità iniziale di modulo v0=5 m/s. Si determini: a) la coordinata angolare J del punto in cui la pietra si stacca dalla superficie; b) il valore minimo di v0 affinché la pietra si stacchi dalla superficie all¶istante iniziale. Risultati: a) J =41.3° b) v0=10 m/s
Esercizio c
Una pietra di massa m=0.5 Kg, inizialmente in quiete, viene lasciata cadere al suolo da un¶altezza h. La pietra penetra nel terreno per una profondità d=0.5 m; la resistenza del terreno è riassumibile in una forza media F= 30 N. Si determino:
a) la velocità v della pietra nell¶istante in cui urta il suolo; b) l¶altezza h da cui viene fatta cadere. Risultati: a) v=7.08 m/s b) h=2.56 m
Esercizio d
Un blocco di 3 Kg è tenuto contro una molla di costante elastica k=25 N/cm, comprimendo la molla di 3 cm dalla sua posizione rilassata. Quando il blocco è rilasciato, la molla spinge il blocco verso l¶alto lungo un piano inclinato di 20° avente un coefficiente di attrito Q=0.1. Determinare: a) il lavoro fatto dalla molla; b) il lavoro fatto dalla forza di attrito mentre il blocco si muove di 3 cm; c) la velocità del blocco quando la molla raggiunge la posizione di equilibrio; d) lo spazio percorso dal blocco sul piano inclinato; e) nel caso in cui il blocco sia attaccato alla molla, quanto sarà estesa la molla prima che il blocco si fermi? Risultati: a) L=1.13 J b) L=-0.083 J c) v=0.7 m/s d) s=8.8 cm e) x=2 cm
Esercizio e
Un corpo di massa m, inizialmente fermo ad una altezza h = 4.9 m, scivola senza attrito lungo un piano inclinato di 60°. Giunto in fondo al piano inclinato incontra la superficie scabra del pavimento che ha un coefficiente di attrito dinamico Q = 0.5. Determinare: a) lo spazio percorso dal corpo sulla superficie scabra; b) il tempo totale in cui il corpo è in moto. Risultati: a) 9.8 m; b) 3.1 s
Esercizio f
Una pallina di massa m risale un piano inclinato di 45° che ha un coefficiente di attrito dinamico Q = 0.3. La velocità iniziale v 0 della pallina è 20 m/s. Determinare: a) il tempo impiegato ad arrivare all¶altezza massima (tempo di salita); b) lo spazio percorso sul piano inclinato; c) il tempo di discesa; d) la velocità con cui ritorna al punto di partenza dopo essere ridiscesa dal piano inclinato. Risultati: a) 2.2 s; b) 22.4 m; c) 3 s; d) 14.4 m/s
Esercizio g
Un pendolo è costituito da una sfera di massa m fissata ad un¶asta rigida di lunghezza L e massa trascurabile. Determinare a quale sforzo massimo T l¶asta deve resistere, considerando ampiezze angolari di oscillazione di 60°, 90°, 120° e 180°. Risultati: T=2mg, 3mg, 4mg e 5mg
Esercizio h
Un corpo di massa m, inizialmente fermo ad una altezza h, scivola senza attrito lungo un piano inclinato. Sia U l¶inclinazione del piano rispetto all¶orizzontale. Giunto in fondo al piano inclinato il corpo incontra la superficie scabra del pavimento che ha coefficiente di attrito dinamico Q d=0.4. Determinare: a) lo spazio percorso dal corpo sulla superficie scabra. b) il tempo totale in cui il corpo è in moto. Esercizio 1
Risolviamo direttamente il caso con attrito; il caso senza attrito si ricava da questo ponendo . I tre blocchi sono ovviamente vincolati a muoversi con la stessa legge oraria, quindi avranno una accelerazione comune di modulo . Le forze di attrito si oppongono alla forza , e sono proporzionali al peso dei rispettivi blocchi:
dove comune sarà allora:
è la massa totale del sistema dei tre blocchi. L'accelerazione
quindi m/s nel caso senza attrito e m/s nel caso con attrito. Passando alle tensioni delle corde, possiamo scrivere il seguente insieme di equazioni:
come si vede, le tensioni non dipendono da .
Esercizio 2
Nella prima fase, la macchina si muove di moto rettilineo uniforme, per cui nel suo sistema di riferimento non si manifestano forze apparenti ed il ciondolo rimane verticale. La tensione del filo è esattamente uguale al peso del ciondolo: Nella seconda fase la macchina subisce una decelerazione costante . Se
N.
chiamiamo Km/h m/s la velocità iniziale e Km/h m/s la velocità alla fine della fase di decelerazione, il tempo necessario alla frenata è:
Lo spazio percorso in questo tempo è uniformemente accelerato ricaviamo:
m, e dalle leggi cinematiche del moto
da cui si ricava immediatamente m/s . Questa accelerazione appare come una accelerazione fittizia nel riferimento della macchina, parallela alla strada. La tensione complessiva della fune quindi è:
e l'angolo di inclinazione
rispetto alla verticale:
con il ciondolo che si sposta verso la parte anteriore della macchina. Nella terza fase l'accelerazione fittizia è invece quelle centrifuga data da con m il raggio di curvatura. In modo del tutto analogo al caso precedente si ricava:
con il ciondolo che si sposta verso il il bordo esterno della curva. L'ultima fase è leggermente più complicata delle altre. In questo caso l'accelerazione fittizia e la forza peso non sono più ortogonali, quindi sommare in quadratura è sbagliato. Stavolta l'accelerazione fittizia è diventa:
Il modulo della tensione
, per cui la tensione
risulta
N, e l'inclinazione:
ed il ciondolo si inclina verso la parte posteriore della macchina. L'inclinazione rispetto alla ``verticale'' della macchina naturalmente è maggiore: lunghezza del filo del ciondolo è ininfluente in questo problema.
. Notare che la
Esercizio 3
La caduta della pallina è un moto parabolico con velocità iniziale parallela all'asse . Il tempo per cadere di un dislivello è ; in questo tempo lo spazio percorso è che deve essere uguagliato alla gittata richiesta , per cui:
Nel caso di assenza di attrito, la velocità deve essere acquistata lungo il piano inclinato. Siccome la pallina è supposta partire da ferma, la legge oraria è semplicemente , dove è la componente dell'accelerazione di gravità lungo il piano inclinato (la componente ortogonale viene annullata dalla reazione vincolare). La distanza percorsa è legata all'altezza di partenza da , e la velocità finale sarà . Riunendo tutte queste formule otteniamo:
da cui cm. Il risultato è indipendente dalla inclinazione del piano. Infatti si poteva ottenere considerando la conservazione dell'energia:
Se c'è attrito lungo il piano orizzontale, la velocità alla base del piano inclinato dovrà essere più grande di per compensare il rallentamento dovuto all'attrito. La decelerazione corrispondente all'attrito è
, quindi:
In modo analogo a prima si ricava allora
cm. Anche in questo caso si
poteva ricorrere alla conservazione dell'energia introducendo il lavoro forza di attrito:
fatto dalla
Esercizio 4
Consideriamo come riferimento quello del piano inclinato. Se esso trasla in orizzontale con accelerazione costante, nel suo riferimento si avverte una forza apparente che induce una accelerazione
ove
D
. Le equazioni del moto in presenza di attrito saranno:
è l'intesità della reazione vincolare normale ed
coefficiente che varia nell'intervallo assoluto è minore di otteniamo:
D
alla relazione
è l'intesità dell'attrito. è un
ed esprime il fatto che l'attrito in valore
. Risolvendo le equazioni precedenti rispetto a
si ricava immediatamente:
ed
da cui si nota che per non è necessaria alcuna forma di attrito. Il caso di traslazione a velocità costante si ottiene ponendo : che la velocità di traslazione sia diversa da zero non ha alcuna importanza per il principio di relatività. Si noti che può avere sia segno positivo che segno negativo, corrispondenti all'attrito essere direzionato verso la discesa o la salita. In altre parole:
Quando l'accelerazione è nulla siamo sicuramente nel primo caso:
Esercizio 5
L'equazione del moto per il corpo sopra il blocco superiore sono semplici, comprendono solo la forza peso, la reazione vincolare normale e l'attrito:
attenzione ad usare il coefficiente a
corretto. L'equazione si risolve facilmente rispetto
:
L'equazione per il blocco di massa Quella per il blocco di massa y y
comprende anche la tensione
della fune.
è ulterioremente complicata da due fatti:
La reazione vincolare dipende dalla componente normale del peso complessivo, quindi bisogna contare anche la massa del corpo sovrastante. Sul blocco agisce anche la reazione alla forza di attrito di cui risente il corpo sovrastante, con il segno opposto.
Quindi riassumendo il tutto, e ricordando che i due blocchi devono avere una accelerazione comune perchè sono collegati da una fune inestensibile, le equazioni sono:
Sommando le prime due equazioni possiamo eliminare la tensione della fune ed ottenere una equazione per :
Sostituendo ora l'espressione di della tesione:
per esempio nella prima equazione otteniamo il valore
I moti del corpo e del blocco di massa sono entrambi uniformemente accelerati (lungo la stessa direzione). Il moto relativo sarà dunque accelerato con accelerazione coperta nel tempo:
, e la distanza fra il centro del blocco ed il suo bordo verrà
Il corpo cade ovviamente fra i due blocchi, poichè
.
Esercizio 6
Consideriamo il piano definito dall'asta e dall'asse verticale e definiamo il versore diretto verso l'alto e il versore orizzontale che si allontana dall'asse verticale nel piano suddetto. Le forze agenti sulla pallina in un riferimento inerziale sono allora la forza peso , la forza di reazione vincolare e la forza di attrito :
Commentiamo le formule precedenti. Innanzitutto la reazione vincolare non ha componenti fuori dal piano , poichè il moto è circolare uniforme (ovvero non c'è accelerazione angolare) e non vi sarebbe alcuna altra forza che potrebbe bilanciare una componente di
fuori dal piano
. In secondo luogo la forza di attrito è stata scritta
come il suo valore massimo moltiplicata per una frazione ; infatti, nell'ipotesi che la pallina non scivoli, la forza di attrito non ha necessariamente il valore massimo, ma
vale comunque il vincolo . Anzi, ricaveremo le condizioni su imponendo questo vincolo. La condizione per il moto circolare è:
proprio
definiamo la quantità adimensionale e sostituiamo le espressioni per le forze ottenendo due equazioni scalari corrispondenti agli assi ed :
D
alla prima ricaviamo il modulo della reazione vincolare:
Sostituendo in gioco:
nella seconda equazione troviamo una relazione che lega tutte le quantità
questa relazione può essere risolta in funzione di :
Notiamo subito che il numeratore si annulla per ovvero è il valore del raggio per cui la pallina rimarrebbe ``in equilibrio'' anche in assenza di attrito. I casi limite per l'attrito si ricavano, come detto prima, dall'imporre
Risolvendo in funzione di
ovvero siccome
otteniamo:
:
:
dove
è il raggio di equilibrio precedentemente trovato; ovviamente nel limite
rapporto
il
tende ad .
Esercizio 7
Ognuna delle due masse, al netto delle reazioni vincolari, è spinta a scendere lungo il piano inclinato da una frazione della forza peso , ed è trattenuta dalla altra massa attraverso la tensione comune trasmessa dalla corda. Siccome:
sarà la massa a scendere. L'accelerazione totale del sistema è determinata dalla somma delle forze e dalla somma delle masse (siccome la direzione della forza è manipolata dalla carrucola possiamo considerare il moto unidimensionale; inoltre, nella somma delle forze la tensione della corda si elimina esattamente):
La tensione della fune si può ora ricavare per differenza, notando che per ogni blocco la forza totale agente su di esso si scrive dove è l'accelerazione comune precedentemente calcolata (cioè per esempio
Per giungere a terra la massa
):
deve percorrere lungo il suo piano inclinato la
distanza . Stante l'accelerazione costante da fermo, il tempo necessario è:
ed il fatto che il blocco partiva
L'altro blocco ha percorso lungo il suo piano inclinato ovviamente la stessa distanza , ovvero ha raggiunto la quota:
a patto che il piano inclinato fosse sufficientemente esteso. Notiamo che questa ultima condizione è puramente geometrica, quindi non cambia nel caso di attrito non nullo. Se
però esiste un attrito, siccome i piani inclinati hanno inclinazione costante, la forza d'attrito si manifesta come una decelerazione costante:
Si noti che entrambi i contributi hanno segno positivo (l'attrito decelera entrambi i blocchi). La forza totale agente sul sistema viene decurtata di questa quantità, per cui la nuova accelerazione vale:
e la nuova tensione:
Il valore limite dell'attrito per rendere possibile il moto è quello che annulla la accelerazione totale del sistema:
Esercizio 8
In questo problema le uniche quantità in gioco sono la lunghezza del filo inestensibile , la massa del corpo
e la forza di gravità . Dall'analisi dimensionale risulta
immediatamente che la scala delle velocità sarà fissata dal parametro m/s che è l'unica combinazione delle precedenti grandezze che abbia le dimensioni di una velocità. Nel punto più alto della traiettoria la forza esercitata dal filo (che supponiamo in tensione) sul corpo e la forza di gravità sono allineate con e dirette verso il basso. La traiettoria circolare richiede una accelerazione centripeta di modulo pari a la velocità nel punto più alto. La seconda legge di Newton si scrive allora:
se
è
La condizione affinchè sia non negativo è dunque . L'energia totale del pendolo a questo punto sarà la somma dell'energia cinetica e di quella potenziale:
avendo posto lo zero dell'energia potenziale nel punto di sospensione del pendolo. Non essendoci attriti l'energia totale si conserva, ed è pertanto uguale a quella calcolata nel punto iniziale del moto (che si trova ad altezza
dove
vale
):
Uguagliando i valori dell'energia e prendendo il valore limite nella disuguaglianza otteniamo l'equazione:
Con lo stesso procedimento si può ovviamente ricavare la velocità in qualsiasi altro punto, noto l'angolo. Immediatamente otteniamo:
Passiamo ora alla tensione del filo. Quando questo forma un generico angolo verticale, la tensione
sarà diretta verso il punto di sospensione:
con la . La
gravità avrà poi una componente radiale pari a (la componente azimutale diminuisce il modulo della velocità ma non contribuisce alla curvatura). La somma della gravità e della reazione vincolare (tensione del filo) eguaglia l'accelerazione centripeta, per cui:
Passando all'equazione scalare e facendo la solita sostituzione
otteniamo:
Sostituendo nelle relazione precedenti (che sono state ricavate nell'ipotesi limite che
sia nulla) otteniamo:
Esercizio 9
In assenza di qualsivoglia attrito, la biglia esercita solo una forza normale al blocco , bilanciata dal vincolo del piano di scorrimento, senza nemmeno rotolare. La dinamica dei due blocchi non ne è influenzata. La fune trasmette una forza fra i due blocchi, decelerando il blocco ed accelerando il blocco ; le equazioni del moto risultano:
dove è l'accelerazione comune ai due blocchi (essi sono vincolati dalla fune a muoversi con la stessa legge del moto) e è il modulo della tensione della corda (si immagina che e giacciano entrambi nel piano orizzontale. Eliminando si calcola immediatamente l'accelerazione comune:
e sostituendola nella seconda equazione si ricava
:
La biglia, che non si muove, cadrà dal bordo del blocco mosso di cm dalla posizione iniziale, ovvero:
quando quest'ultimo si sarà
In caso di attrito poi ogni blocco viene decelerato da una forza proporzionale alla componente normale al piano di scorrimento del peso complessivo che giace sulla superficie di appoggio, ovvero il blocco di blocco
viene decelerato
ed il blocco
. Inoltre l'attrito della pallina sul blocco decelera ulteriormente il (ed accelera la pallina). Le equazioni del moto precedenti diventano:
come prima eliminiamo
:
sostituiamo nella seconda e ricaviamo :
utilizzando
ora ricaviamo il valore di
:
Infine calcoliamo quando la pallina cade; nel riferimento accelerato del blocco pallina sente una forza di attrito
la
ed una forza apparente dovuta alla
accelerazione del blocco sottostante pari a . La forza effettiva è dunque la pallina cade quando la distanza percorsa è pari a :
,e
Esercizio 10
La velocità massima alla quale la curva puó essere percorsa è quella che richiede una accelerazione centripeta uguale al massimo attrito possibile. Naturalmente stiamo supponendo che il motore della macchina compensi l'attrito volvente nella direzione del moto della macchina.
Per il secondo caso, consideriamo un riferimento inerziale collegato alla strada. In questo riferimento le forze agenti sulla macchina sono il peso, la reazione vincolare normale e l'attrito. Definiamo una coppia di direzioni ed dirette verso l'alto e verso il centro della curva ortogonalmente a , ed un'altra coppia e dirette lunga la normale uscente dalla strada e la parallela alla strada verso il centro della curva, tutte nel piano ortogonale alla macchina. Le espressioni delle forze e le condizioni affinchè il moto della macchina sia circolare uniforme con raggio in un piano orizzontale sono:
dove
Le componenti delle forze in direzione z, per la II legge della dinamica, danno luogo all'equazione:
che, facendo il prodotto scalare, diventa: (1)
Per un osservatore inerziale le componenti in direzione x producono l'accelerazione a di modulo v2/R; per la II legge della dinamica si ha perciò:
eseguendo il prodotto scalare a primo membro, si ha:
Considerando poi che:
ricavando il valore di
dall'eq. (1):
e sostituendolo nell' eq (2) si ha:
da cui si ricava facilmente la velocità:
Come si vede il radicando nell'espressione di può diventare negativo per valori sufficientemente grandi di (circa ); questo significa che per inclinazioni superiori a questo angolo di soglia la macchina non può in alcun caso scivolare verso l'esterno della pista. Rivediamo l'impostazione del problema dal punto di vista dell'osservatore non inerziale a bordo dell'auto,. Per questo osservatore il diagramma di corpo libero dell'auto è:
Laddove FC rappresenta la forza centrifuga. Per l'osservatore non inerziale l'auto è in quiete, per cui le equazioni del moto nelle direzioni z ed x diventano:
si ritrovano le equazioni (1) e (2).
Esercizio 11
Se il camion decelera con decelerazione , il tempo che ci mette a fermarsi sarà ed in questo tempo percorrerà uno spazio pari a:
,
La cassa rimane solidale con il cassone se la decelerazione massima dovuta all'attrito statico, che vale
, supera l'accelerazione . In questo caso il camion percorre:
Se il camion sta procedendo in discesa, la reazione vincolare del cassone non è più ma
. Inoltre la cassa è tirata verso il basso anche dalla componente della sua
forza peso parallela al piano del cassone, ovvero . La forza di attrito massima effettiva (cioè comprensiva anche della componente del peso) risulta dunque
. Sostituendo nella relazione precedente otteniamo:
Infine nel caso della strada in salita la componente della forza peso parallela al piano del cassone ``aiuta'' l'attrito anzichè deprimerlo, per cui diventa:
e lo spazio
Esercizio 12
La corda in tensione esercita su ognuno dei due corpi una forza costante . Le accelerazioni (in modulo!) dei due corpi saranno allora legate dalla relazione:
Lo spazio percorso da entrambi i corpi si ricava con le usuali leggi del moto accelerato, e nel momento del contatto la somma degli spazi percorsi deve essere uguale alla distanza totale iniziale:
utilizzando la relazione fra
ed
possiamo eliminare
dall'ultimo membro:
ora notiamo che nell'ultimo membro troviamo di nuovo la espressione di
per cui:
Questo risultato in realtà non dipende dal fatto che la tensione della corda sia costante, ma solo dalla conservazione della quantità di moto. Infatti il sistema ragazza-slitta è inizialmente fermo, e siccome non interagisce con nient'altro (stiamo trascurando l'attrito con la superficie) la quantità di moto totale deve rimanere nulla. Questo impone una relazione fra i moduli delle velocità a tutti i tempi:
Esprimendo le distanze percorse con relazioni integrali:
possiamo ora sostituire di moto:
con la relazione trovata dalla conservazione della quantità
nell'ultimo integrale riconosciamo di nuovo l'espressione per risultato precedente:
e ci riconduciamo al
Esercizio n. 13
L¶accelerazione misurata dal sistema di riferimento solidale con la giostra è puramente centripeta (moto circolare uniforme) di modulo dato da a¶ = v¶2 / R. Per un osservatore fisso la persona compie ancora un moto circolare uniforme ma con velocità periferica in modulo data da v = v¶ + [R, per effetto del trascinamento della giostra. Dunque l¶accelerazione rilevata dal sistema fisso è data da a = v2/R = (v¶+[ R)2 / R = v¶ 2 / R + [2 R + 2v¶[. Si vede dunque che, per trasformare a in a¶ bisogna tenere conto, oltre che dell¶accelerazione centripeta di trascinamento data da w2R, anche del termine complementare dato da 2v¶[. (P rof. Stefano Oss)
Esercizio n. 14
Le uniche forze essenziali sono quelle interne, che agiscono in coppia e dunque sono tali da implicare la conservazione della quantità totale di moto del sistema. Si ha dunque, vettorialmente,
p + P= p¶ + P¶.
Proiettando su due assi diretti secondo le velocità iniziali delle particelle si scrive m v = m v¶ + M Vx¶ (lungo x) e M V=M Vy¶. Risistemando i termini si ottiene Vx¶ = m (v-v¶) / M, Vy¶ = V. (P rof. Stefano Oss)
Esercizio n. 15
E¶ possibile risolvere questo problema semplicemente partendo dal fatto che, dalla F=-kv si ha a = dv/dt = - b v, ove si è posto b = k / m. Si può dunque scrivere dv = - b v dt = - b dx. unque si scopre che
D
dv/dx = - b. Nota bene: questa stessa relazione può essere ottenuta (con più fatica) integrando la legge dell¶accelerazione ed esplicitando velocità (e spostamenti) in funzione del tempo. Il risultato lega comunque variazioni di velocità con quelle di cammino percorso, che è quanto chiesto nell¶esercizio. Nel caso specifico,
(v /(x = - b = - 0.2 / 0.05 sec -1 = 4 sec-1,
oppure (essendo m = 1 Kg) k = 4 Kg/sec.
Un blocco di massa
puo scorrere su un piano inclinato di
inizialmente fermo a contatto con una molla a riposo di costante elastica
sull'orizzontale. Il blocco si trova
.
Sia n=0.4 il coefficiente di attrito dinamico tra il blocco ed il piano. Lasciato libero di muoversi il blocco comprime la molla .
C alcolare
la massima compressione della molla.
C alcolare
l'energia dissipata durante la compressione.
Soluzione proposta Nella fig. 3 rappresentiamo la situazione mettendo in evidenza tutte le forze in gioco:
Forza elastica:
(asse x parallelo al piano inclinato ed orientato nel senso del moto; origine nel punto di riposo
della molla; la forza ha dunque intensità pari a
Forza peso:
R eazione
Forza di attrito:
ed è orientata in senso opposto all'asse x.
;
vincolare:
: perpendicolare al piano inclinato, vincolo liscio; ;
fig.3
La massima compressione della molla si ha quando l'energia in essa immagazzinata è uguale alla variazione dell'energia potenziale della massa, diminuita del lavoro necessario per vincere l'attrito
L'energia persa durante la compressione corrisponde al lavoro della forza d'attrito
Discussione Nella posizione di massima compressione la molla esercita una forza La forza è contrastata dalla componente del peso secondo l'asse x La differenza tra le due forze è
Se supera la forza di attrito statico la massa si sposta di nuovo verso
l'alto. La forza di attrito statico si calcola come quella dell'attrito dinamico ed in genere è superiore. In questo caso la forza di attrito dinamico è già superiore per cui la massa rimane nella posizione raggiunta:
Problema 4: Un blocco di massa il blocco è posta una massa
si muove su un piano orizzontale liscio ed è trainato da una forza ; fra il blocco e la massa esiste attrito con coefficiente pari a
C alcolare
l'accelerazione del sistema nell'ipotesi che
C alcolare
la forza massima applicabile a
Soluzione proposta Rappresentiamo la situazione in fig. 4
m2 non si muova rispetto a m1.
m1 affinchè i due blocchi continuino a muoversi insieme .
. Sopra
n = 0.6 .
