Termodinamica
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Unità di apprendimento programmata programmata di termodinamica n.1 Esercizi su •
•
Equazione di stato dei gas Rappresentazione degli stati e delle trasformazioni di un sistema termodinamico
•
Lavoro esterno in trasformazioni quasi statiche e non quasi statiche
•
Quantità di calore
1° Obiettivo. Saper applicare l’equazione di stato dei gas per determinare la coordinata mancante delle tre coordinate termodinamiche di stato P, V, T, note due di esse e il numero di moli, oppure determinare il numero di moli note P, V, T 1.1 Una mole di gas perfetto si trova in uno stato di equilibrio termodinamico caratterizzato da un volume di 30 l e da una pressione di 2 atm. Determinare la la temperatura del gas. Nella equazione di stato dei gas perfetti PV=nRT si sostituisce sostituisce a V il valore in litri e a P il il valore in atmosfere, a n il numero delle moli, a R, costante universale dei gas, il suo valore in l.atm/(K.mol) che è 0,082. Si ha quindi: l ! atm T da cui si ricava la temperatura T=731,7K 30l ! 2atm 1mol ! 0,082 k ! mol Esprimendo T in gradi centigradi si ha t=731,7-273=458,7°C Se si fosse voluto usare il valore di R=8,31J/(K mol) si sarebbe dovuto esprimere V e P nel Sistema Internazionale, cioè: V=30l=30 10 -3m3=3,0 10-2 m3 P=2 atm =2 101325Pa= 202650 Pa e sostituendo si sarebbe ottenuto per T lo stesso valore, tenuto conto delle approssimazioni: Si noti che 1l atm 101 J =
•
"
!
1.2 Una mole di gas perfetto si trova in uno stato di equilibrio termodinamico caratterizzato da P=1atm e V=22,4l. Determinare T nel sistema tecnico e nel S.I. 1.3 Tre moli di gas biatomico si trovano in uno stato di equilibrio termodinamico caratterizzato dai seguenti valori T=300K e P= 2,00 10 5Pa. Determinare il volume V 1.4 Una mole di gas perfetto si trova in uno stato di equilibrio termodinamico caratterizzato dai seguenti valori P=1,0 103Pa e T=127°C. determinare V 1.5 Dieci moli di gas perfetto si trovano in uno stato di equilibrio termodinamico caratterizzato dai seguenti valori V=150 l e T =500K. Determinare la pressione sia nel sistema tecnico che nel S.I. 1.6 Una certa quantità di gas perfetto costituito da 20 moli si trova in uno stato di equilibrio termodinamico, i cui valori delle coordinate termodinamiche sono V=0,5 m 3 e T=300K. Determinare P. 1.7 Una certa quantità di gas perfetto si trova in uno stato di equilibrio termodinamico, i cui valori delle coordinate termodinamiche sono V=4 10 -2m3,, P=2 105 Pa, T=300K. Determinare il numero di moli di gas. 1.8 Una certa quantità di gas perfetto si trova in uno stato di equilibrio termodinamico, i cui valori delle coordinate termodinamiche sono V=180l ,, P=0,5 atm, T=500K. Determinare il numero di moli di gas. 1.9 Una mole di gas perfetto si trova in equilibrio termodinamico alla temperatura di 0°C e alla pressione di 1 atm occupando il volume V di 22,4l. Determinare il valore di R
196
2° obiettivo Saper rappresentare lo stato di equilibrio termodinamico di un sistema termodinamico gassoso in sistemi di assi cartesiani ortogonali rappresentanti i valori delle coordinate termodinamiche. 2.1 Rappresentare nel piano P-V lo stato di equilibrio termodinamico A(V=20l , P= 3atm). Tracciati due assi cartesiani ortogonale si fissano su di essi le opportune scale e si determina il punto A le cui coordinate corrispondono ai valori dati. E’ da notare che non viene specificato il numero delle moli del gas. Tutto il diagramma si riferisce infatti ad una certa quantità di gas, cioè ad un certo numero di moli (tale numero viene utilizzato per calcolare T). Volendo considerare un altro stato di equilibrio termodinamico B della stessa quantità di gas, esso si rappresenta con un altro punto dello stesso diagramma. Volendo invece considerare un altro gas con diverso numero di moli, e volendo rappresentare alcuni stati di di questo gas, non si può utilizzare il diagramma considerato, ma bisogna considerare un altro diagramma, analogo a questo.
P(atm)
3
A
2 1 10
20
30
V(l)
2.2 Rappresentare in piani P-V gli stati termodinamici degli esercizi dell’obiettivo 1° 2.3 Rappresentare in piani P-T gli stati termodinamici degli esercizi dell’obiettivo 1° 2.4 Rappresentare in piani T-V gli stati termodinamici degli esercizi dell’obiettivo 1 3° Obiettivo Saper rappresentare nel piano P-V alcune trasformazioni quasi statiche 3.1 Sia data la trasformazione PV=cost di una certa quantità di gas, ad esempio una mole, da un volume V 1 a un volume V2. Rappresentare tale trasformazione sapendo che P è espresso in Pa, V è espresso in m 3, la costante vale 400J; V 1=10-3m3 e V2= 4 10-3m3. La trasformazione, essendo data da una r elazione analitica tra P e V, è quasi statica, cioè è costituita da una successione di stati di equilibrio termodinamico. Infatti ad ogni valore di V corrisponde un determinato valore di P. Tale trasformazione è rappresentabile nel piano P_V mediante una linea costituita dai punti che rappresentano i vari successivi stati di equilibrio del sistema. Se la trasformazione avviene tra un certo stato ed un altro sarà rappresentata da un tratto di linea congiungente i due stati, iniziale e finale del sistema. Nel nostro caso abbiamo, per gli stati iniziale e finale: P 1
P 2
2
400 J
=
V 1
400 J
=
V 2
( B( V
A V1 = 10 " 2
4 ! 10 J 5 = 4 ! 10 Pa 3 3 10 " m
=
2
= 3
4 ! 10 J 5 = 10 Pa per cui 4 ! 10 " 3 m3
m
= 4 10
!
3
"3
; P 1 = 4 ! 10
m
3
5
; P 1 = 10
) Pa )
Pa
5
Per determinare il tratto di curva consideriamo altri punti intermedi
per Vc per VD
=
=
2 ! 10
"3
3 ! 10
m
"3
3
m
3
si ha P c si ha P D
4 ! 10 2 J
=
2 !10 =
"3
m
3
4 ! 10 2 J 3 ! 10
"3
m
3
=
2 ! 10 5 Pa
=
1,33 !10 5 Pa
197
P (105Pa) 5 4 3 2 1 0 1
2
3
4
V (10-3m3)
5
La rappresentazione della trasformazione è quella descritta dal tratto di iperbole equilatera disegnata. 3.2 Rappresentare nel piano P-V la trasformazione di equazione PV=8 l atm con P in atmosfere e V in litri di un certo numero di moli di gas che evolve dallo stato di volume V 1= 20 l allo stato V 2=80l. 3.3 Due moli di gas perfetto evolvono dallo stato A (V= 60 10 -3m3, P= 3 105Pa) allo stato B (V=30l) mediante una trasformazione del tipo PV=cost. Rappresentare nel piano P-V tale trasformazione. 3.4 Una mole di gas perfetto evolve da uno stato A (V= 10 10 -3m3, P= 3 10 5Pa) allo stato B (V=40l) mediante una trasformazione quasi statica a temperatura T costante. Rappresentare nel piano P-V tale trasformazione. 3.5Una certa quantità di gas perfetto evolve da uno stato A (V= 50 10 -3m3, P= 2 10 5Pa) allo stato B (P=8 105Pa ) mediante una trasformazione quasi statica a volume V costante. Rappresentare nel piano P-V tale trasformazione. 3.6Una certa quantità di gas perfetto evolve da uno stato A (V= 40 10 -3m3, P= 3 10 5Pa) allo stato B (V=120l) mediante una trasformazione quasi statica a pressione P costante. Rappresentare nel piano P-V tale trasformazione. 3.7Una certa quantità di gas perfetto evolve da uno stato A (V= 10 10 -3m3, P= 8 10 5Pa) allo stato B (V=20l) mediante una trasformazione di equazione PV 2=cost. Rappresentare nel piano P-V tale trasformazione. 3.8Una certa quantità di gas perfetto evolve da uno stato A (V= 10 10 -3m3, P= 8 10 5Pa) allo stato B (V=20l) mediante una trasformazione di equazione PV ! =cost (con ! =5/3). Rappresentare nel piano P-V tale trasformazione. 3.9Una certa quantità di gas perfetto evolve da uno stato A (V= 10 10 -3m3, P= 4 10 5Pa) allo stato B (V=32l) mediante una trasformazione di equazione
V
=
3
10
!3
m
Pa
3
P + 8 " 10
!3
m
3
. Rappresentare nel piano P-V tale
trasformazione. 3.10Una certa quantità di gas perfetto evolve da uno stato A (V= 10 10 -3m3, P= 7 10 5Pa) allo stato B " 1 ! 10 Pa m (V=20l) mediante una trasformazione di equazione . Rappresentare nel piano P-V tale 2
P =
2V
3
+ 12 Pa
trasformazione. 4 ° Obiettivo Saper calcolare il lavoro scambiato con l’esterno da un gas che compie una trasformazione quasi statica. 4.1 Una mole di gas perfetto evolve da uno stato A (V= 10 10 -3m3, P= 2 10 5Pa) allo stato B (V=20 10 -3m3) mediante una trasformazione quasi statica rappresentata da una equazione del tipo PV=cost. (Isoterma). Determinare il lavoro scambiato con l’esterno. 5
P(10 Pa)
2
A
1
B
10
20
V (10-3m3)
198
Nella figura abbiamo rappresentato lo stato iniziale A e quello finale B e la trasformazione quasi statica AB. Il lavoro, essendo nel nostro caso la trasformazione quasi statica e rappresentabile analiticamente, è dato dall’integrale: B
W
=
B
" PdV
=
A
"
cost
dV
V
A
=
cost ! ln V
V B =
V A
cost ! ln
V B V A
2
Ricordando che PV=cost=P1V1=20 10 J e sostituendo a V A eVB i loro valori si ha: W
2
=
20 10 J ln "
20 10
2
=
20 10 ln 2 J "
!
1390 J
Il lavoro ottenuto è rappresentato geometricamente dall’area sottesa dal tratto AB ed ha segno positivo perché percorso nel senso dei valori crescenti del volume (Lavoro fatto dal sistema sull’esterno). 4.2 Determinare il lavoro scambiato con l’ambiente esterno dal sistema termodinamico descritto nell’esercizio 3.9, supponendo che evolva dallo stato B (V=32l , P=8atm) allo stato A(V=20l , P=4atm). P(atm) 8
B
4
A
10
20
V (l )
La trasformazione è rappresentata in figura. L’ area tratteggiata rappresenta il lavoro, che avrà segno negativo dato che la trasformazione avviene nel verso dei volumi decrescenti (lavoro subito dal sistema). Per calcolare il valore del lavoro basta calcolare l’area del trapezio tratteggiato. Si ha: W BA
="
( P
A
+ P B )! (V B " V A ) 2
="
12 ! 12 2
= "72! ! atm .
Volendo il lavoro espresso in Joule, si ha: W AB=101"(-72)J=-7207J. 4.3 Determinare il lavoro scambiato con l’ambiente esterno dai sistemi termodinamici descritti negli esercizi 3.1; 3.2; 3.3; 3.4; 3.5; 3.6; 3.7; 3.8; 3.10 che evolvono secondo le trasformazioni ivi descritte. 4.4 Un sistema termodinamico costituito da una mole di gas perfetto evolve da uno stato A(V=10 10 -3m3, P=2 105Pa) allo stato B(V=20 10 -3m3) secondo una trasformazione quasi statica di equazione PV 2=cost. successivamente il sistema torna allo stato A mediante una trasformazione rappresentata dal segmento BA. Determinare il lavoro scambiato dal gas con l’esterno quando è ritornato allo stato A dopo aver compiuto le due trasformazioni. (CICLO). (Per risolvere il problema basta considerare la trasformazione ciclica ABA come somma di due trasformazioni AB e BA. Il lavoro sarà dato dalla somma algebrica dei due lavori, ciascuno con il segno che gli compete). 4.5 Calcolare il lavoro scambiato con l’esterno da un sistema termodinamico costituito da una mole di gas perfetto il quale compie le seguenti trasformazioni cicliche: a) da A(V=20 10-3m3, P=2 105Pa) allo stato B(P=1atm) secondo una trasformazione quasi statica di equazione V=cost. Da B a C (V=40l ) mediante una trasformazione quasi statica con P=cost. Da C ad A mediante una trasformazione isoterma quasi statica. (N:B: Per prima cosa si rappresentino le trasformazioni nel piano P-V. b) da A(V=20 10-3m3, P=2 105Pa) allo stato B(V=40 10 -3m3) secondo una isoterma quasi statica. Da B a C (V=60l ) mediante una isobara quasi statica. Da C ad A mediante un segmento di retta. c) da A(V=20 10-3m3, P=3 105Pa) allo stato B(V=20 10 -3m3, P=2 105Pa) mediante un segmento di retta . Da B a C mediante una isobara ( P=cost) quasi statica. Da C ad A mediante una isocora (V=cost)quasi statica. d) da A(V=10l , T=400K) allo stato B(T=300K) mediante una trasformazione quasi statica a volume costante. Da B a C (V= 40l ) mediante una isoterma quasi statica. Da C a D (V=V C; T=TA) mediante una isocora (V=cost) quasi statica. Da D ad A mediante una trasformazione isoterma quasi statica. 4.6 Una mole di gas perfetto evolve secondo una trasformazione ciclica ABCA così descritta:
199
da A(V=5l ,P=6atm) allo stato B(P=2atm) mediante una trasformazione quasi statica a volume costante. Da B a C (V= 20l ) mediante una isobara quasi statica. Da C ad A mediante una trasformazione non quasi statica. Della quale si conosce il lavoro pari a –40 l atm. Calcolare il lavoro scambiato dal gas con l’esterno durante la trasformazione ciclica. 4.7 Una mole di gas perfetto evolve secondo una trasformazione quasi statica ciclica ABA con VA=20 10-3m3 e PA=3,0 105Pa, VB=50 10-3m3 e PB=3,0 105Pa, secondo la ellisse in figura. Calcolare il lavoro scambiato dal gas con l’ambiente esterno nei due casi il cui ciclo venga percorso: in verso orario e in verso antiorario P(105Pa) 4,2 A
B
1,8 20
50 V(10-3m3)
4.8 Una mole di gas perfetto si trova in un cilindro chiuso da un pistone scorrevole senza attrito, occupando un volume di 20 10-3m3 con un parete conduttrice a contatto con un termostato a temperatura costante T=500K. Si supponga di far espandere il gas fino a un volume di 50 l eseguendo questa trasformazione lentissimamente. Calcolare il lavoro scambiato dal gas con l’esterno.
T=500K
4.9 Calcolare il lavoro scambiato con l’esterno dal sistema gassoso dell’esercizio 4.8, supponendo che il gas venga ora compresso lentissimamente fino a un volume di 10 l.
4.10 Una mole di gas perfetto si trova in un cilindro chiuso da un pistone scorrevole senza attrito, occupando un volume di 20 10 -3m3 e la pressione è la pressione atmosferica sia a destra che a sinistra del pistone scorrevole (PA=101325 Pa). Supposto che la superficie del pistone sia di 1,0dm 2 e che il gas nel cilindro venga riscaldato lentamente fino ad occupare il volume di 30 10 -3m3. Calcolare il lavoro scambiato dal gas con l’esterno. PA
4.11 Come nell’esercizio 4.10 supponendo che il gas venga raffreddato attraverso la parete conduttrice fino a un volume di 10 l . 4.12 Due moli di gas perfetto monoatomico sono contenute in un cilindro chiuso da un pistone senza massa e senza attriti, occupando un volume di 50l alla pressione di 1,1 10 5Pa ottenuta dalla pressione atmosferica esterna e da un mucchio di sabbia. Si supponga di aumentare il mucchietto di sabbia fino a ridurre il volume a 40 10-3m3. Si supponga che le pareti del cilindro e del pistone siano isolanti e che la trasformazione avvenga lentamente (cioè che la trasformazione sia adiabatica quasi statica). Calcolare il lavoro scambiato dal sistema con l’esterno.
200
4.13 come il 4.12, supponendo di togliere la sabbia granello per granello fino ad arrivare alla pressione di una atmosfera. 4.14 In un cilindro adiatermano chiuso diviso a metà da un pistone adiatermano scorrevole senza attriti e con massa trascurabile né attriti sono contenute due moli di gas perfetto monoatomico una a destra e l’altra a sinistra e alla temperatura di 0°C , occupando volumi uguali di 20 l ciascuna, a pressioni ovviamente uguali. Si supponga di riscaldare la mole contenuta nella parte a sinistra fino a un volume di 30 l comprimendo così quella di destra fino a farle occupare un volume di 10 l . (Lentamente) Calcolare il lavoro scambiato dalla mole di destra con quella di sinistra. Quanto vale invece il lavoro scambiato dalla mole di sinistra con quella di destra?
5° Obiettivo Saper calcolare il lavoro scambiato con l’esterno da un sistema termodinamico gassoso che compia una trasformazione non quasi statica. 5.1Una mole di gas perfetto si trova in un cilindro chiuso da un pistone scorrevole senza attrito e di massa trascurabile come in figura. Il volume V è di 10 litri e la pressione P di 3 atmosfere. Esternamente al pistone agisce la pressione a atmosferica (Pa=1 atm). Supponendo che la sezione del cilindro chiuso dal pistone sia di 2dm2 e che il pistone venga lasciato scorrere liberamente fino al volume del cilindro di 20 litri (togliendo di colpo i pioli di fermo A e B) limitato dai pioli Ce D. Calcolare il lavoro scambiato dal sistema con l'ambiente esterno durante questa trasformazione. C
A
D
B SF
SI
Ilpistone è sollecitato da una pressione interna del gas, tre volte maggiore di quella esterna:. Levando i pioli A e B il pistone scatterà di colpo fino a fermarsi contro i pioli C e D. Chiaramente non si tratta di una trasformazione quasi statica . Gli stati intermedi del gas tra quello. iniziale e quello finale non sono stati. di equilibrio perciò il lavoro scambiato con l’esterno non si può calcolare come
201
F
W
=
! PdV I
Infatti P non è data e non si può nemmeno dire che a un certo istante sia uguale in tutti i punti del gas. Per calcolare il lavoro scambiato bisogna allora guardare all’esterno del gas e cercare di valutare le forze che agiscono sul gas attraverso il pistone. Nel nostro caso si ha una forza costante dovuta all’azione della pressione atmosferica sulla superficie esterna del pistone. Tale forza è: F P ! A con A area della sezione del cilindro chiusa dal pistone. e
=
e
Il lavoro fatto dalla forza esterna dallo stato iniziale allo stato finale F è: F
F
" F • d s = ! F " ds = F (S
W ' =
e
e
I
e
F
! S I ) = ! P e (S F ! S I ) A = ! P e (V F ! V I )
I
Il segno negativo è dovuto al fatto che lo spostamento è contrario alla forza. Il lavoro scambiato dal sistema con l’esterno è: W IF
= !W = P e (V F ! V I ) '
con il segno positivo in accordo con il fatto che la trasformazione avviene nel verso dei volumi crescenti. Nel nostro caso particolare vale: W IF 1 ! ( 20 " 10)l ! atm 10l ! atm 10 ! 101 J 1010 J =
=
=
=
5.2 Consideriamo il gas contenuto nel cilindro dell’esercizio precedente 5.1. Supponiamo che sul pistone scorrevole sia appoggiato un peso di 10kg F. Quanto vale il lavoro scambiato con l’ambiente esterno dal gas nell’espansione dal volume di 10l al volume di 20l come nel precedente esercizio? 5.3 Supponiamo che il gas dell’esercizio 5.1 si trovi nello stato finale con il pistone mobile nella posizione delimitata dai pioli C e D e supponiamo di appoggiare di colpo sul pistone un peso del valore di 400kg F, che lo faccia scendere fino alla posizione AB. Quanto vale il lavoro scambiato con l’esterno dal sistema durante questa trasformazione? 5.4 Due moli di gas perfetto si trovano in un cilindro chiuso da un pistone scorrevole, senza attriti e con massa trascurabile come in figura. Il volume occupato è di 30 l , la pressione di 2 atm, mentre a destra del pistone c’è il vuoto. Viene applicata al pistone la forza F 1= 2500N e il pistone viene lasciato libero di muoversi fino ai pioli C, D spostandosi di 0,5 m. Calcolare il lavoro scambiato dal sistema con l’esterno. A
C
F1
B
D
5.5 Supponiamo che il gas venga fatto tornare alla posizione di partenza applicando una forza F 2=5000N. Si determini il lavoro scambiato dal sistema gassoso con l'esterno durante questa trasformazione. Quanto vale ti lavoro totale scambiato dal gas con l’ambiente esterno durante le due trasformazioni degli esercizi 5.4 e 5.5? 5.6 Una mole di gas perfetto si trova in un cilindro chiuso da un pistone scorrevole senza attriti e con massa trascurabile come in figura Il volume occupato è di 10 litri e la pressione di 2 atm. Al pistone è poi attaccata una molla di costante elastica k=1000N/m. Sganciando i pioli A, B il pistone si ferma contro i pioli C,D Calcolare il lavoro scambiato dal gas con l’esterno supponendo che la corsa fatta dal pistone sia un metro. (A-B posizione di riposo molla) A
C
F1
B
D
202
6° Obiettivo Saper calcolare la quantità di calore scambiata da un sistema termodinamico noti i calori specifici. 6.1 Una mole di gas perfetto monoatomico si trova in uno stato caratterizzato da un volume V=20 l e da una temperatura T=300K. Successivamente viene riscaldato fino alla temperatura di 400K tenendo costante il volume. Si calcoli la quantità di calore scambiata dal sistema con l'esterno sapendo che il calore specifico molare del gas a volume costante è 3/2 R. Si ha una trasformazione a volume costante. Per la quantità di calore Q si ha: Q= n.CS.(TF -T1) con C5 calore specifico durante la trasformazione ed n numero di moli. Nel nostro caso è C S = CV (calore specifico a volume costante) = 3/2R. Sicché:. Q= 1OO.Cs= 3/2 R 1OO =150 R =150.8.31=1247,1J 6.2 Due moli di gas perfetto monoatomico si trovano a temperatura T=4OO K e alla pressione di 2 atrn. Supposto che la pressione rimanga costante e che la temperatura passi da 400K a 45OK calcolare la quantità di calore Q scambiata con l'esterno (Il calore specifico molare a pressione costante per i gas monoatomici è CP = 5/2 R). 6.3 Una mole di gas perfetto biatomico si trova in uno stato caratterizzato da una pressione P=2 atm e T= 300K. Calcolare la quantità di calore scambiata con l'esterno supponendo che il gas compia una trasformazione a volume costante fino alla temperatura di 600 0K. (N.B. Il calore specifico molare a volume costante del gas biatomico è Cv=5/2 R> 6.4 La mole di gas perfetto biatomico dell'es. 5.3 viene portata alla T=600K, mediante una trasformazione a pressione costante. Calcolare la quantità Q di calore scambiata dal sistema con l'esterno. (C P=7/2R) 6.5 Come l’esercizio 6.3 supponendo che T passi da 300K a 200K 6.6 Calcolare la quantità di calore scambiata con l’esterno dal gas degli esercizi 4.11 e 4.14 supponendo i gas monoatomici
203
Unità di apprendimento programmata di termodinamica n.2
Esercizi su •
Energia interna dei gas
•
Applicazioni del Primo Principio della Termodinamica
7° Obiettivo Saper calcolare la differenza di energia interna tra due stati A e B di un sistema termodinamico, noti il lavoro W e la quantità di calore Q. 7.1 Un sistema termodinamico evolve secondo una trasformazione A,B compiendo un lavoro W=200J e assorbendo una quantità di calore Q=20cal. Calcolare la variazione di energia interna U A-UB. Dal primo principio abbiamo, qualunque sia la trasformazione: "U
=
Q ! W
Sostituiamo a W e a Q i loro valori, trasformando tutte le unità in J oppure calorie (ricordando che 1cal =4,185J). Otteniamo:
(U #U
=
U B
! U
A
=
' 20 200 $ % ! " cal !27,79cal 4,185 # & =
= U B ! U A = (20 " 4,185 ! 200 ) J = !83,7 ! 200 = !116,3J
La variazione di energia interna è negativa, il che significa che il sistema, passando da A a B, subisce una diminuzione di energia interna. 7.2 Un sistema termodinamico evolve secondo una trasformazione A,B compiendo un lavoro W=500J e assorbendo una quantità di calore Q=600J. Calcolare la variazione di energia interna U B-UA. 7.3 Un sistema termodinamico passa da uno stato A ad uno stato B scambiando con l’esterno un lavoro W=-200J e una quantità di calore Q=300J. Calcolare la variazione di energia interna U B-UA. 7.4 Un sistema termodinamico passa da uno stato A ad uno stato B scambiando con l’esterno un lavoro W=100J e una quantità di calore Q=-200J. Calcolare la variazione di energia interna U B-UA. 7.5 Una mole di gas perfetto monoatomico evolve dallo stato A(V A =10 10-3m3 , PA =1 105Pa) allo stato B(VB =20 10-3m3 , PB =1 105Pa) secondo una trasformazione quasi statica reversibile a pressione costante (ad esempio riscaldando lentamente il gas in un cilindro racchiuso da un pistone scorrevole, senza attrito e di massa trascurabile, quando all’esterno c’è la pressione atmosferica). Considerando che il calore specifico molare a pressione costante del gas è c P=5/2 R, calcolare la variazione di energia interna U B-UA. (N.B. Per prima cosa rappresentare gli stati A e B e la trasformazione nel piano P-V)
PAtm
7.6 Una mole di gas perfetto biatomico evolve dallo stato A(V A =20 10-3m3 , PA =2 105Pa) allo stato B(V B =20 10-3m3 , PB =1 105Pa) secondo una trasformazione quasi statica reversibile a volume costante (ad esempio riscaldando lentamente il gas contenuto in un recipiente chiuso). Considerando che il calore specifico molare a volume costante C V=3/2 R, calcolare la variazione di energia interna U B-UA. 204
7.7 Calcolare la variazione di energia interna per i sistemi degli esercizi 5.1, 5.2, 5.3, 5.6, supponendo che le pareti del cilindro e del pistone non conducano calore.
8° Obiettivo Saper calcolare il lavoro W o la quantità di calore Q scambiati da un sistema termodinamico durante una trasformazione da uno stato A ad uno stato B nota una delle due grandezze e la variazione di energia interna #U tra i due stati A e B 8.1 Un sistema termodinamico evolve tra gli stati A e B mediante una trasformazione durante la quale compie un lavoro di 2000J. La variazione di energia interna tra i due stati è #U=UB-UA= 3000J. Calcolare la quantità di calore scambiata Q durante la trasformazione. Dal primo principio abbiamo "U
=
Q ! W , qualunque sia il tipo di trasformazione, da cui sostituendo i valori
dati, 3000J=Q-2000J Q=5000J. Volendo Q espresso in piccole calorie si ricordi che 4,185J=1cal, da cui: Q=5000/4,185J=1194,74cal 8.2 Un sistema termodinamico evolve tra gli stati A e B mediante una trasformazione durante la quale compie un lavoro di -2000J. La variazione di energia interna tra i due stati è #U=UB-UA= 3000J. Calcolare la quantità di calore Q scambiata durante la trasformazione. 8.3 Un sistema termodinamico evolve tra gli stati A e B mediante una trasformazione durante la quale scambia con l’esterno una quantità di calore Q=1000J. Se U B-UA=500J, calcolare il lavoro W. 8.4 Un sistema termodinamico evolve tra gli stati A e B mediante una trasformazione durante la quale assorbe una quantità di calore Q=100cal. Se U B-UA=200J, calcolare il lavoro W scambiato. 8.5 Un sistema termodinamico evolve tra gli stati A e B mediante una trasformazione durante la quale scambia con l’esterno una quantità di calore Q=2000J e un lavoro W=1000J. Durante un’altra trasformazione da A a B è Q=1500J. Quanto vale Wi questa seconda trasformazione? 8.6 Un sistema termodinamico evolve tra gli stati A e B mediante una trasformazione durante la quale scambia con l’esterno una quantità di calore Q=100cal ed è W=-500J. Quanto vale Q in un’altra trasformazione A, B nella quale è W=-1000J? 8.7 Un sistema termodinamico evolve tra gli stati A e B mediante una trasformazione ciclica che lo riporta allo stato A. Sapendo che il lavoro scambiato dal sistema durante la trasformazione è di 180J, quanto vale la quantità di calore scambiata durante la trasformazione? 9° Obiettivo Saper calcolare la variazione di energia interna di un gas perfetto tra due stati A e B 9.1 Un gas perfetto monoatomico costituito da due moli si trova prima in uno stato A(V A=20l , PA=1 atm) e poi in uno stato B(VB=30l , PB=2 atm). Calcolare la variazione di energia interna U B-UA In un gas perfetto l’energia interna dipende solo dalla temperatura e si ha: U B ! U A n " C V " (T B ! T A ) ove CV è il calore molare a volume costante ed n è il numero di moli. Nel =
nostro caso è n=2mol e C V=3/2 R essendo il gas monoatomico. Per le temperature T A e TB abbiamo: T A
T B
=
=
P AV A nR
2mol !
P BV B nR
Sia avrà:
20l ! atm
=
2mol !
" U
A
=
122 K
Kmol
60l ! atm
=
U B
0,082l ! atm
0,082l ! atm
= n!
=
366 K
Kmol
( P V P V ! R ! && " 2 nR ' nR 3
B
B
A
A
3 % 3 ( # # = 2 P V " P V ) = 2 ! (60 " 20)l ! atm = 60latm = 6060 J $ B
B
A
A
9.2 Una mole di gas perfetto biatomico si trova in uno stato A(V=50l, P=0,5atm) e poi in uno stato B(V= 20l , P=5atm). Calcolare la variazione di energia interna U B-UA.
205
9.3 Una mole di gas perfetto monoatomico si trova in uno stato A(V=20l, T=300K) e poi in uno stato B(V= 20l , T=400K). Calcolare la variazione di energia interna U B-UA. 9.4 Due moli di gas perfetto monoatomico si trovano in uno stato A(V=50l, T=300K) e quindi in uno stato B(V= 80l , T=300K). Calcolare la variazione di energia interna U B-UA. 10° Obiettivo Saper calcolare la quantità di calore Q scambiata da un sistema termodinamico gassoso con l’esterno durante una certa trasformazione conoscendo la trasformazione e gli stati iniziale e finale. 10.1 Una mole di gas perfetto biatomico evolve dallo stato A(V A=30 10-3m3, TA=300K) allo stato B(TB=400K) secondo una trasformazione PV2=cost. Calcolare la quantità di calore Q scambiata dal gas con l’esterno durante la trasformazione considerata. Dal primo principio si ha: Q = W + "U = U B ! U A + W Per UB-UA possiamo scrivere: U B =
" U A
=
n ! C V
20,5l ! atm
! (T B " T A ) 1mol ! =
5 2
R ! ( 400 " 300) K
=
250 ! 0,082l ! atm
=
2070,5 J .
=
Per il lavoro W si ha, dato che la trasformazione, essendo data analiticamente, è quasi statica, B
W
=
B
)
PdV
cos t dV 2 V
)
=
A
A
=
& i 1 ' cos t ( $$ ' % V V B
A
# ! ! "
Per determinare il valore della costante si determina il valore di P A VA 2, considerando che è nRT A 1 ! 0,082 ! 300 P A
=
V A
atm
=
30
=
0,82atm
sostituendo il valore ottenuto si ha: cost
=
2
PA ! V A
=
2
0,82 ! 900atm ! l
=
2
738atm ! l
Per determinare il valore V B consideriamo che è:
# " ! P BV B
2
P BV B =
nRT B
=
=
738atm $ l
2
0,082 $ 400atm $ l
=
32,8atm $ l
Dividendo membro a membro si ha V B
738 =
32,8
l
=
22,5l
Il lavoro W sarà: W
=
( 1 1 "738atm ! l 2 ! && " ' V V B
A
% 1 % ( 1 # 738 " ! " & # l ! atm "8,2l ! atm # 22 , 5 30 ' $ $ =
=
La quantità di calore Q sarà: Q=20,5l atm-8,2l atm=12,3 l atm. Il segno è positivo, da cui si deduce che la quantità di calore è assorbita dal sistema. 10.2 Una mole di gas perfetto monoatomico (C V=3/2 R) si trova in uno stato A (V= 20 10 -3m3; P=2 105Pa) ed evolve secondo una trasformazione isoterma fino allo stato B (V=40 10 -3m3). Calcolare la quantità di calore Q scambiata dal gas con l’esterno durante la trasformazione. 10.3 Due moli di gas perfetto biatomico (C V=3/2 R) si trovano in uno stato A (V= 60 10 -3m3; P=1 105Pa) ed evolvono secondo una trasformazione adiabatica fino allo stato B (V=20 10 -3m3). Calcolare la quantità di calore Q scambiata dal gas con l’esterno durante la trasformazione. 10.4 Tre moli di gas perfetto monoatomico evolvono dallo stato A (V= 20 10 -3m3; P=3 105Pa) allo stato B (V=40 10-3m3; P=2 105Pa) secondo la trasformazione rappresentata dal segmento di retta che nel piano P-V congiunge i due punti rappresentanti gli stati A e B. Calcolare la quantità di calore Q scambiata dal gas con l’esterno durante la trasformazione. 10.5 Calcolare la quantità di calore Q scambiata con l’esterno dal sistema termodinamico dell’esercizio 4,5, specificandole per ogni trasformazione e per tutto il ciclo. 10.6 Un sistema termodinamico, costituito da una mole di gas perfetto monoatomico, si trova in un cilindro chiuso da un pistone scorrevole, senza massa né attriti, occupando un volume di 10 l , alla temperatura T 0 di 500K 206
Supposto di levare i piolini A e B e che il pistone, di superficie 2 dm 2 si sposti velocemente fermandosi contro i piolini C e D, occupando ora un volume di 20 l , calcolare la quantità di calore Q scambiata con l’esterno (termostato a temperatura costante T 0) nei seguenti casi: a) sopra il pistone è appoggiato un peso di 100kg; b) sopra il pistone c’è la pressione atmosferica; c) sopra il pistone c’è la pressione atmosferica e il peso. Se il gas fosse biatomico si avrebbe lo stesso risultato?
Unità di apprendimento programmata di termodinamica n.3
Esercizi su Macchine termiche
•
11° Obiettivo Saper calcolare il rendimento di una macchina termica reversibile note le trasformazioni costituenti il suo ciclo. 11.1 Un sistema termodinamico costituito da una mole di gas perfetto monoatomico funziona da macchina termica compiendo il ciclo ABCDA così definito: a) da A (V=10 10-3m3, P=2 105Pa) a B (P=5 105Pa) mediante una isocora reversibile; b) da B a C (V=40 10 -3m3 ) mediante una trasformazione isobara reversibile; c) da C a D(PD=PA) mediante una trasformazione isocora; d) da D ad A mediante una isobara reversibile. Calcolare il rendimento del ciclo. P(105Pa) B
C
5
2 A
D
10
40
V(10-3m3)
Il rendimento è definito come il rapporto tra il lavoro compiuto dal sistema durante il ciclo e la quantità di calore assorbita dal sistema, cioè: Q H ! QC W "
=
Q H
che si può anche scrivere
"
=
Q H
tenendo presente che il lavoro durante il ciclo è pari alla differenza tra la quantità di calore entrata Q H e quella uscita Q C. Valutiamo ora queste quantità esaminando le singole trasformazioni.. Trasformazione AB. 3
Q = )U + W = n ( C V )T + 0 = 1mol ( R ( (T B 2
' T A ) = 1mol (
3 2
& 5000 J ' 2000 J # = 4500 J ! % 1molR 1molR "
R$
Trasformazione BC. 3
Q = )U + W = 1mol ( R ( (T C ' T B )+ P ( (V C ' V B ) = 2
1mol
(
3 2
& 20000 J ' 5000 J # + 15000 J = 37500 J ! % 1molR 1molR "
R$
Trasformazione CD.
207
3
Q = )U + W = n ( C V )T + 0 = 1mol ( R ( (T D 2
! T C )= 1 mol (
3 2
' 8000 J ! 20000 J $ = !18000 J " & 1molR 1molR #
R%
Trasformazione DA. 3
Q = )U + W = 1mol ( R ( (T A 2
1mol
(
3 2
! T D )+ P ( (V A ! V D ) =
' 2000 J ! 8000 J $ ! 6000 J = !9000 J ! 6000 = !15000 J " & 1molR 1molR #
R%
Per l’intero ciclo abbiamo: W=900J e per la differenza Q H-QC, tenendo presente che Q H e QC rappresentano in valore assoluto le quantità di calore assorbite ( quelle positive) e quelle cedute (quelle negative) si ha: Q H ! QC = 4500 + 37500 J ! ! 18000 ! 15000 J = 42000 J ! 3300' J = 9000 J Si noti che tale valore coincide con quello del lavoro W. Per il rendimento avremo quindi: !
9000 =
42000
=
0,21
=
21%
11.2 Un sistema termodinamico costituito da una mole di gas perfetto monoatomico funziona da macchina termica reversibile compiendo il ciclo ABCA così definito: a) da A (V=30 10-3m3, P=1 105Pa) a B (P=3 10 5Pa) mediante una isoterma reversibile; b) da B a C mediante la trasformazione reversibile P 2V=cost; c) da C a A mediante una trasformazione adiabatica reversibile; Calcolare le coordinate termodinamiche degli stati B e C e il rendimento del ciclo. P(105Pa) 3
B
2,2
C
1 A 10
18,7
V(10-3m3)
30
Per trovare le coordinate del punto B si osserva che trovandosi B ed A sulla stessa isoterma, deve essere: PAVA=PBVB da cui si ha
V B
=
P AV A P B
=
30 " 10
!3
m
3
" 10 5 Pa
5
=
3 " 10 Pa
10 " 10
!3
m
3
Il punto C, invece, si trova sulla trasformazione di equazione P 2V=cost e sulla adiabatica di equazione PV! =cost. Possiamo perciò scrivere:
$ P 2V # & " P V B
A
B
A
P C V C
=
P C V C
=
B
&
2
VC
$ P 2V # 2 2& " P V
2
=
2& %1
A
B
A
2
=
P C V C
=
P C V C
2
2
2&
2& -1 C
V
=
2& =
P B V B
18,7 ! 10 m -3
3
V (10-3m3) 30 10 18,7
A B C
2
P B V B 2
P A V A 2
2&
P A V A
PC
P B V B =
V C
P (105Pa) 1 3 2,2
=
2,2 ! 10 Pa 5
T (K) 366 366 502
Trasformazione isoterma AB: B
Q AB
=
0 + W =
"
B
A
dV
" V
PdV = nRT
A
=
nRT ln
V B V A
! 3340 J
Trasformazione BC: Bisogna tenere conto che P 2V=cost è equivalente a PV 1/2=cost.
208
3 Q AB = R(T C 2 3 2 3 2 7 2
C
! T B ) + W = ( PdV = B
R(T C ! T B ) + cost 2V
1
C 2
= B
R(T C ! T B ) + 2 P C V c R(T C
3 2
3 2
R(T C
! 2 P BV B =
3 2
C
R(T C
! T B ) + cost (
dV
1 B V 2
=
1 1 ! T B ) + cost ' % 2V C 2 ! 2V B 2 $ " = & #
R(T C
! T B ) + 2 RT C ! 2 RT B =
! T B )= 3960 J
Trasformazione CA: trattandosi di una trasformazione adiabatica Q CA=0. Per quanto riguarda il rendimento del ciclo si ha :
"
=
3960 ! 3340 3960
=
0,16
=
16%
11.3 Un sistema termodinamico costituito da una mole di gas perfetto monoatomico funziona da macchina termica reversibile compiendo il ciclo ABCDA così definito: a) da A (V=50 10-3m3, P=1 105Pa) a B (P=0,8 10 5Pa) mediante una isoterma reversibile; b) da B a C (V=25 10-3m3) mediante la trasformazione isobara reversibile; c) da C a D mediante una trasformazione isoterma reversibile; d) da D ad A mediante una isobara reversibile. Calcolare le coordinate termodinamiche degli stati B e C e il rendimento del ciclo. 11.4 Calcolare il rendimento di una mole di gas perfetto monoatomico che funziona come macchina termica seguendo ognuno dei cicli descritti nell’esercizio 4.5. 12° Obiettivo Saper calcolare il rendimento di una macchina termica irreversibile note alcune trasformazioni e alcune quantità di calore e/o alcuni lavori scambiati durante le varie trasformazioni. 12.1 Una mole di gas perfetto monoatomico funziona da macchina termica seguendo un ciclo formato dalle trasformazioni irreversibili AB, BC, CA: a) dallo stato A (V=30 10-3m3, P=1,01 105Pa) allo stato B (V=10 10-3m3, P=3,03 105Pa) scambiando con l’esterno un lavoro pari a –7070J; b) dallo stato B allo stato C (V=18,7 10-3m3, P=2,22 105Pa) scambiando con l’esterno una quantità di calore pari a 5050J c) Dallo stato C allo stato A scambiando con l’esterno un lavoro di +5050J. Calcolare il rendimento della macchina termica. E’ necessario esaminare separatamente ogni trasformazione. Trasformazione AB. Q=#U+W=0+(-7070J)=-7070J Essendo negativa è ceduta dal sistema e #U è uguale a zero in quanto A e B sono alla stessa temperatura, come è possibile verificare dal fatto che P AVA=PBPB. Trasformazione BC. Q=5050J che essendo positiva è assorbita dal sistema. Trasformazione CA. 3 J $ ' 3030 J ! 4151 Q = U + W = 1mol R ( % " + 5050 J = !1680 J + 5050 J = 3370 J 2 & 1molR 1molR # Si ha perciò: Q H !Q C 5050 + 3370 ! 7070 "
=
Q H
=
5050 + 3370
=
0,16 = 16%
12.2 Una mole di gas perfetto biatomico funziona da macchina termica seguendo un ciclo formato dalle trasformazioni AB, BC, CA:
209
a) dallo stato A (V=10 10-3m3, P=2,02 105Pa) allo stato B (V=40 10-3m3, P=0,50 105Pa) secondo una isoterma reversibile; b) dallo stato B allo stato C (V=20 10-3m3) secondo una trasformazione isobara reversibile; c) Dallo stato C allo stato A mediante una trasformazione irreversibile scambiando con l’esterno un lavoro di -1060J. Calcolare il rendimento del ciclo. 12.3 Due moli di gas perfetto biatomico compiono il ciclo ABA: a) dallo stato A (V=50 10-3m3, P=1,01 105Pa) allo stato B (V=100 10-3m3) secondo una isobara reversibile; b) Dallo stato B allo stato A mediante una trasformazione irreversibile scambiando con l’esterno un lavoro di -4040J. Calcolare il rendimento del ciclo. 12.4 Una mole di gas perfetto monoatomico è contenuta in un cilindro chiuso da un pistone di massa 10kg, come in figura. (Macchina di Benussi) Il cilindro ha la parete di base conduttrice di calore e si trova a contatto con un termostato alla temperatura di 300K. Sul cilindro cade dal caricatore una palla di massa 5kg e conseguentemente il pistone di sezione 0,25dm2 si abbassa. A questo punto la parete conduttrice viene a contatto con una sorgente di calore a temperatura di 600K e il pistone porta la palla ad una certa altezza B che rappresenta il nuovo stato di equilibrio del sistema. A questa altezza la palla rotola fuori dal cilindro, per cui il pistone sale ulteriormente, raggiungendo la massima quota. Si sostituisce nuovamente il termostato con quello a 300K finché il pistone non si ritroverà nella posizione di caricamento. Calcolare il rendimento del ciclo.
TERMOSTATO
13° Obiettivo Saper calcolare l’efficienza di una macchina termica reversibile o irreversibile funzionante come frigorifero e come pompa di calore 13.1 Considerare il ciclo dell’esercizio 11.1 percorso in senso inverso. Calcolare l’efficienza della macchina frigorifera funzionante con tale ciclo inverso. L’efficienza di una macchina frigorifera è definita come: "
=
Q2 W
=
Q2
dove Q2 è la quantità di calore
Q1 ! Q2
assorbita dal sistema che opera nel senso inverso. W è il lavoro fatto dall’esterno sul sistema. Q 2 è la quantità di calore che nell’esercizio 11.1 corrisponde a Q C e vale 33000J. W è uguale al lavoro calcolato nell’esercizio 11.1 e vale 9000J pertanto l’efficienza sarà: !
33000 =
9000
=
3,67 .
Se vogliamo calcolare l'efficienza della macchina pensando di utilizzarla come pompa di calore allora la Q1 Q1 efficienza è definita come: " ove Q1 rappresenta il calore ceduto ( pompato) dal sistema che W Q1 ! Q2 =
=
opera in senso inverso 13.2 Calcolare l’efficienza come frigoriferi e come pompa di calore degli esercizi dell'obiettivo 11, considerandoli sistemi funzionanti in senso inverso come frigoriferi e come pompe di calore.
210
14° Obiettivo Saper risolvere semplici problemi riguardanti il ciclo di Carnot. 14.1 Un motore funziona tra due sorgenti di calore alla temperatura di 400K e 300K. a) Se in ogni ciclo il motore riceve 1200 cal dalla sorgente a 400K quante calorie cede alla sorgente a 300K? b) Se il motore funziona a ciclo inverso, come frigorifero, sottrae 1200cal dalla sorgente a 300K. Quante calorie cede alla sorgente a 400K? Sapendo che in un ciclo di Carnot il rendimento vale: T 2 ! T 1 Q2 ! Q1 per cui sostituendo si ha: " T 2 Q2 =
"
=
400 ! 300
=
QC
=
400 900cal
=
1200cal ! Q1 1200cal
da cui segue 1200cal ! QC
=
300cal
Per quanto riguarda la seconda domanda bisogna guardare alla efficienza definita come Q2 Q2 T 2 300 1200cal sicchè " da cui Q 1 1600cal " W Q1 ! Q 2 T 1 ! T 2 400 - 300 Q1 ! 1200cal =
=
=
=
=
=
W
T1
T2 Q1=Q2+W
Q2
Si ottiene lo stesso risultato ricordando che per un ciclo di Carnot è in valore assoluto:
Q1 T 1
=
Q2 T 2
14.2 Un motore di Carnot il cui r endimento è del 30%, cede calore ad un serbatoio alla temperatura costante di 0°C. Si desidera aumentare il rendimento al 40%. Di quanti gradi deve essere aumentata la temperatura della sorgente di calore? Sapendo che in un ciclo di Carnot il rendimento vale: "
=
T 2
! T 1
=
T 2
0,3 =
T "
e che T 1=273K, si hanno le relazioni:
273 K T
e
0,4 =
T + !T "
0,3T = T - 273K cioè T = 390K e "T
=
273 K ! 0,6T 0,6
=
273 K
T + !T
Da cui
0,4T + 0,4"T = T + "T ! 273 K
65 K
14.3 Determinare le temperature necessarie per ottenere un r endimento del 30% e del 70% da una macchina di Carnot funzionante in senso diretto con il termostato inferiore a 300K. Se la macchina cede 100 cal a 300K, quante calorie assorbe a tali temperature? Calcolare inoltre la efficienza dei cicli inversi se la macchina funzionasse da frigorifero tra tali temperature. 14.4 Determinare le due temperature T 1 e T2 di una macchina di Carnot funzionante in senso diretto con un rendimento del 60% supposto che se si aumentino entrambe le temperature di 100K, il rendimento sia diventato del 30%. Volendo ottenere con queste temperature un lavoro di un kW, quante calorie bisogna far assorbire al sistema? Quante calorie vengono cedute al termostato a temperatura inferiore? 211
15° Obiettivo Saper applicare il teorema di Carnot sui rendimenti delle macchine termiche a semplici problemi. 15.1 E’ possibile realizzare una macchina termica funzionante tra due termostati a temperatura rispettivamente di 500K e 300K, che abbia un rendimento del 70%? E’ possibile realizzarla con un rendimento del 30%? Il rendimento di una macchina termica non può essere superiore a quello di una macchina di Carnot funzionante tra le temperature massima e minima dei termostati con i quali avviene lo scambio di calore. Pertanto calcoliamo il rendimento della macchina di Carnot funzionante tra le temperature date: T ! T 300 1! 40% " 2
=
1
T 2
=
500
=
Questo è il massimo rendimento possibile. perciò è impossibile realizzare una macchina termica con un rendimento del 70%. E’ possibile invece realizzare una macchina termica con un rendimento del 30% 15.2 Si vuol realizzare una macchina termica che prelevi 1000cal da un serbatoio di calore a temperatura 500K e ceda 500cal ad un altro serbatoio. Si dica quale deve essere la temperatura massima di questo serbatoio affinché la macchina sia realizzabile e per quale valore tale macchina è reversibile. 15.3 Una macchina termica ha il rendimento del 30% e assorbe una quantità di calore pari a 1000cal. Sapendo che il calore viene ceduto ad un serbatoio a 350K calcolare la temperatura minima del termostato a temperatura maggiore affinchè la macchina sia realizzabile e per quale valore tale macchina è reversibile. 15.4 E’ possibile che una macchina termica funzionante in senso diretto tra due serbatoi a 300K e a 500K assorba 1550cal dal termostato a temperatura superiore e ceda 1000cal al termostato a temperatura inferiore? 15.5 E’ possibile che una macchina termica reale funzionante tra le stesse temperature dell’esercizio 15.4 scambi una quantità di calore di 300J con il termostato a temperatura superiore e 180 J con quello a temperatura inferiore?
212
Unità di apprendimento programmata di termodinamica n.4
Esercizi su
•
Temperature di equilibrio di due sistemi termodinamici in contatto termico
•
Variazione di entropia di sistemi termodinamici e dell’Universo
16° Obiettivo Saper calcolare la temperatura di equilibrio tra due sistemi termodinamici messi in contatto termico. 16.1 Un recipiente a pareti adiatermane è diviso da un setto pure adiatermano che lo divide in due parti uguali A e B. In A è contenuta una mole di gas perfetto monoatomico alla temperatura di 300K e alla pressione di 3,03 105Pa,. in B una mole di gas perfetto biatomico alla temperatura di 400K. Aperto il rubinetto di comunicazione tra i due serbatoi A e B si attendono le condizioni di equilibrio. Calcolare temperatura e la pressione di equilibrio.
A
B
Considero come sistema l’insieme dei serbatoi A e B. Poiché durante la trasformazione non si hanno né interazioni meccaniche né scambi di calore con l’esterno, per il primo principio della termodinamica essendo Q=0, WEST=0 si ha #U=0. (Si noti che il primo principio della termodinamica può essere scritto ed è valido indipendentemente dal tipo di trasformazione eseguita dal gas, purché siano noti lo stato iniziale e lo stato finale del sistema). Essendo poi #U=#UA+#UB dei due gas, possiamo scrivere: 3 2
( ! 300 K )+
R T F
5 2
( ! 400 K ) = 0
R T F
e con semplici passaggi si ottiene per la temperatura finale T F=362,5K. Dalla equazione di stato si ha per i serbatoi prima dell’esperimento: Per A PA V0 1mol ! R ! 300K e per B PB V0 1mol ! R ! 400K =
=
Dopo l’esperimento essendo V F=2V0 e il numero di moli uguale a due: PF 2V0
=
2mol ! R ! T F
da cui
P F
=
2molRT F 2V 0 5
Conoscendo poi il valore di P 1=3,03 10 Pa, dalla prima si ottiene: 5 5 1molR 3,03 ! 10 Pa 3,03 ! 10 Pa da cui PF ! T F 3,66 ! 105 Pa . V 0
=
300 K
=
300 K
=
Si noti che la pressione nel serbatoio B inizialmente era di 4,04 10 5Pa. 213
16.2 Un calorimetro contiene 2l di acqua e 0,1kg di ghiaccio alla temperatura di equilibrio di 0°C. Si introduce un blocco di metallo di massa m alla temperatura di 80 °C e si osserva che metà del ghiaccio fonde. Quale temperatura raggiungerebbe il sistema se il blocco di metallo avesse massa quadrupla? Si trascurino le perdite di calore del calorimetro verso l’esterno e così pure la capacità termica del calorimetro. Infine, sapendo che il calore specifico è 0,2 cal/(g°C) calcolare la massa del blocco. (Detto CS il calore specifico del blocco di metallo, la quantità di calore ceduta da questo al calorimetro risulta: QC = c S ! m ! "t = c S ! m ! 80°C ) Il calore assorbito dal calorimetro, sapendo che il calore di fusione del ghiaccio è $= 332kJ/kg risulta: J Q H m ! " 332 ! 50 g 16600 J g =
=
=
Da cui la capacità termica del blocco di metallo risulta: C =
16600 J 80°C
=
207,5
J °C
Se il blocco ha massa quadrupla si può senz’altro dire che il ghiaccio si scioglie tutto (basterebbe per scioglierlo che fosse doppia), richiedendo 33200J. Una volta sciolto il ghiaccio, la temperatura di equilibrio si ottiene considerando che nel calorimetro ci sono 2100g di acqua a zero gradi. La quantità di calore ceduta dal metallo sarà: c s
" 4m " (T F ! T I ) = 4C " (T F ! T I ) = 830
J K
(T ! 80°C ) F
La quantità di calore assorbita dal calorimetro sarà: 33200 J + c sH 2O " 2100 g (T F ! T I ' ) = 33200 J + 8791 " (T F ! 0°C ) Sommando le due quantità ed eguagliando a zero, visto che il sistema è isolato, si ha: J J 33200 J + 8791 ! T F + 830 T F " 66400 J = 0 °C °C J 9621 ! T F = 33200 J T F = 3,5°C °C J La massa del blocco si ottiene considerando che è : 16600 J = 0,2 ! 4,186 m ! 80°C g °C m = 250 g
16.3 Un calorimetro di capacità termica %=20 cal/°C contiene una massa m=3l di acqua alla temperatura di equilibrio di t 1= 20°C. Si introduce una massa m 2= 0,05kg di vapore acqueo alla temperatura di 100°C. Si determini la temperatura di equilibrio del sistema. Si trascurino le perdite di calore del calorimetro verso l’esterno. Poiché il calore latente di ebollizione $ dell'acqua è di circa 550cal/g e la temperatura di equilibrio è compresa tra 0°C e 100°C si può impostare la equazione del bilancio termico, indicando con t e la temperatura di equilibrio: # " (t e ! t 1 )+ m1 " c " (t e ! t 1 )! m 2 " $ + m 2 " (t e ! 100°C ) = 0 20
cal °C
" (t e ! 20°C )+ 3000 g " 1
Risolvendo si ottiene:
t e
=
cal °Cg
" (t e ! 20°C )! 50 g " 550
cal g
+ 50 " (t e ! 100°C ) = 0
30,3°C
16.4 Calcolare la quantità di calore ceduta in ogni ora da un termosifone all’ambiente dove si trova, sapendo che in esso circolano due litri di acqua al minuto che entrano alla temperatura di 80°C ed escono alla temperatura di 60°C. 16.5 Calcolare la quantità di calore necessaria per sciogliere 50 g di ghiaccio con temperatura iniziale di –10°C e per portare l’acqua ottenuta fino alla temperatura di 10°C. Calore specifico del ghiaccio 0,5 cal/(g °C) 214
16.6 Determinare la temperatura finale quando una massa di 200g di ghiaccio (il calore di fusione del ghiaccio è $= 332kJ/kg) alla temperatura di 0°C viene mescolata con una massa di 500g di acqua alla temperatura di 80 °C, supponendo nulle tutte le dispersioni di calore. 16.7 Un blocco di 10kg di ferro alla temperatura di 800°C (calore specifico del ferro = 0,481J/(g °C) viene messo in un secchio d’acqua di 20l, alla temperatura di 20°C. a) dire se si raggiunge una temperatura di equilibrio inferiore a quella di ebollizione dell’acqua (100°C); b) se si raggiunge la temperatura di ebollizione calcolare la quantità di acqua che evapora ( calore latente di ebollizione dell’acqua è 550cal/g). 16.8 Un blocchetto di alluminio di massa m=250g , che si trova alla temperatura di 200°C, viene inserito in un calorimetro di capacità termica %=15cal/°C contenente 400 g di acqua alla temperatura di equilibrio di 15°C, insieme a 30g di vapore alla temperatura di 100°C. Si determini la temperatura di equilibrio del sistema.
17° Obiettivo Saper calcolare la variazione di entropia tra due stati di un sistema termodinamico gassoso 17.1 Una mole di gas biatomico perfetto occupa un volume di 10l alla pressione di 5,05 10 5Pa (punto A). Mediante una trasformazione isoterma reversibile viene portato allo stato B in cui il volume è di 50 l. Calcolare la variazione di entropia tra questi due stati di equilibrio. Mettere poi in evidenza che la variazione di entropia è una funzione dei soli stati iniziale e finale calcolando tale variazione lungo una trasformazione isocora e una isobara che portano il sistema dalla stato A allo stato B. P (105Pa) 5,05
A
1,01 C
B
10
V(10-3m3)
50
Poiché la variazione di entropia si calcola con la relazione "S
B =
dQ determiniamola applicando alla
! T
A
trasformazione isoterma reversibile il primo principio della termodinamica: dQ=dU+PdV. Essendo dU=0 risulta dQ=PdV, per cui sostituendo: B
"S
=
PdV
! A
T
ma dalla equazione di stato
P T
nR =
V
B
si ha "S
=
dV
! nR V
A
da cui integrando e tenendo conto che n=1mol "S
=
nR ln
V B V A
=
1mol ! R ! ln 5
=
8,31
J K
ln 5
=
13,4 J / K od anche 0,13 l atm/K oppure 3,19cal/K.
Riportati sul piano di Clapeyron gli stati A e B (vedi figura) e costruita la tabella delle coordinate termodinamiche degli stati A, B e C intermedio, calcoliamoci anche le temperature in funzione della pressione e del volume. P(105Pa) V(10-3*m3) T(K) A 5,05 10 608 B 1,01 50 608 C 1,01 10 122 Per verificare la seconda richiesta è necessario scindere il percorso nei due tratti previsti e calcolare separatamente le variazioni di entropia lungo i due tratti nelle rispettive posizioni di equilibrio (stati A, B, C). 215
Detta #S1 la variazione di entropia tra i due stati A e C lungo la trasformazione isocora reversibile si ha: C
C
dQ
!S 1 = "
=
T
A
dU + pdV
"
T
A
C
C V dT + pdV
"
=
T
A
C =
C V
dT
" T
5 =
A
2
C
R
dT
" T
5 =
A
2
R ln
T C T A
Detta #S2 la variazione di entropia tra i due stati A e C lungo la trasformazione isobara reversibile si ha: B
"S
2
B
dQ
dU + pdV
! T !
=
=
C
T
C
B =
B
1molC V dT + pdV
!
molC V
=1
T
C
dT
B
PdV
! T ! +
C
C
T
e dalla equazione di stato P/T=1mol R/V
!S 2
= 1mol
5
R ln
B
T B
+ 1molR
T C
2
dV
" V
= 1mol
C
5
R ln
T B T C
2
+ 1molR ln
V B V C
Poiché #S=#S1+#S2 risulta: 5
T C
2
T A
!S = 1mol R ln
5 T 1mol R ln B 2 T A
+
+
5 T 1mol R ln B 2 T C
1molR ln
V B V C
+
1molR ln
1molR ln
=
V B
=
V C
V B V C
=
13,4 J / K
essendo ln1=0 poiché TA=TB. 17.2 Mettere in evidenza che una trasformazione adiabatica è isoentropica ( #S=0). Calcolare la variazione di entropia tra lo stato A(V=10 10 -3m3; 5,05 105 Pa) e lo stato B (V=50 10 -3m3) lungo la trasformazione adiabatica reversibile e lungo la trasformazione isocora e isobara che portano il sistema costituito da una mole di gas monoatomico dallo stato A allo stato B.
P(105 Pa) 5,05
A
C B 10
V(10-3m3)
50
Lungo la trasformazione adiabatica reversibile è dQ=0, quindi si ha immediatamente B
!S
=
dQ
" T
=
0
. Verifichiamo tale risultato lungo gli altri due percorsi A-C, C-B.
A
Detta #S1 la variazione di entropia tra lo stato A e lo stato C di coordinate termodinamiche VC=VA e PC=PB, PB si ricava partendo dalla equazione della adiabatica reversibile: !
PV
!
ã
=
cos t P AV A
ã
=
da cui P B
P BV B
=
PAV A ã
=
34540 Pa
V B
Inoltre ricavando TC e TA dalla equazione di stato, T C
=
P BV A
1molR
" +1
=
P AV A
"
1molR ! V B
=
41,6K e T A
=
V A P A
1molR
=
609,7 K
P AV A, 1 +
C
dQ
*S 1 = + A
T
C
=
nC V
dT
+ T
A
) V 3 1mol R # , # ln'' A 2 ( V B
3
T C
2
T A
mol R # ln
=1
3
V B,
2
P AV A
mol R # ln
=1
,
) V A & = 1mol R # ln' ' V $ $ 2 ( B % 3
=
& 3 5 5 J $ ln 5 = !1mol R # = !1mol # R ln 5 " !33, 43 $ 2 3 2 K %
Detta poi #S2 la variazione di entropia tra lo stato C e lo stato B lungo la trasformazione isobara reversibile, si ha:
216
B
)S 2
=
dQ
C
nC V dT + PdV
* T *
C
=
T
A
B
=
( 3 T mol " && R " ln B T C ' 2
B
3 dT dV + 1molR 1mol R 2 T C V C
*
*
( % P AV A V B & # ( 3 V B 1molR V B # V B 3 & 1mol " & R " ln + R " ln = 1mol " & R " ln 1 & # V C V A P AV A 1 ' 2 && 2 # # V B 1molR ' $
=1
+
R " ln
% # = V C # $ V B
+
+
+ +
+
R " ln
% 5 J # = 1mol R " ln 5 ! 33,43 # 2 V A $ K V B
+
Essendo #S=#S1+#S2 si ottiene sostituendo: 5 5 #S = "1mol R ! ln 5 + 1mol ! R ln 5 2 2
=
0
17.3 calcolare la variazione di entropia S B-SA di una mole di gas perfetto monoatomico dati gli stati: a) A (V=20l ; P=3atm) B (V=50l ; P =2atm) -3 3 b) A (V=30 10 m ; T=300K) B (V=1010-3m3; T =400K) c) A( P=1,01 105Pa ; T=500K) B (P=2,02 105Pa ; T=300K) 17.4 Si calcoli la temperatura di una mole di gas monoatomico che espande isotermicamente e reversibilmente dall0 stato A( P A= 4,04 105Pa; VA= 30 10-3m3) allo stato B (PB=2,2 105Pa) sapendo che la variazione di entropia è #S=5 cal/K 18° Obiettivo Saper calcolare la variazione di entropia dell’universo per trasformazioni irreversibili. 18.1 Un pezzo di alluminio (C S= 0,21 cal /(g K) di 2,5 kg alla temperatura di 97°C viene introdotto in un calorimetro le cui pareti sono adiatermane e la cui capacità termica è trascurabile. Sapendo che il calorimetro contiene 1,5 l di acqua alla temperatura di 17°C calcolare: a) la variazione di entropia del pezzo di alluminio b) la variazione di entropia dell’acqua c) la variazione di entropia dell’universo. Si calcola la temperatura di equilibrio tenendo conto che la quantità di calore ceduta dal pezzo è uguale alla quantità di calore passata nel calorimetro. (TAl= temperatura iniziale del pezzo di alluminio; T H2O= temperatura iniziale dell’acqua) 2,5kg " C S " T f # T Al + 1,5kg " C " T f # T H 2O = 0
(
)
(
)
2,5 " 0,21" T f # 97°C + 1,5 "1" T f # 17°C = 0 0,525 " T f + 1,5 " T f = 50,925°C + 25,5°C
T f
!
38°C
Se trasformiamo quindi le temperature in K, abbiamo: TAl=370 K Tf =311 K TH2O=290K Per calcolare la variazione di entropia del pezzo di alluminio si immagini di sostituire alla trasformazione irreversibile una trasformazione reversibile che porti il pezzo dalla temperatura iniziale di 370K a quella finale di 311K scambiando calore con una serie infinita di termostati posti a temperature intermedie, si ha: 311 K
#S 1
=
cal dT
$ 2500 g " 0,21 g " K T
=
500
370 K
cal K
ln
311 370
=
!86,86
cal K
( Si osservi che si ha una diminuzione di entropia in quanto il calore esce dal pezzo di alluminio). Analogamente si opera per il calcolo della variazione di entropia dell’acqua: 311 K
"S 2
=
#
1500 g ! 1,00
290 K
cal dT g ! K T
=
1500
cal K
ln
311 290
=
104,87
cal K
(Si noti come l’entropia sia aumentata in quanto il calore entra nell’acqua del calorimetro.) Per calcolare la variazione di entropia dell’universo si opera la somma: "S = "S 1
+
"S 2
=
!86,86
cal K
+
104,87
cal K
=
18,00cal / K = 75,35 J / K
da cui si osserva che l’entropia dell’universo cresce, come era da prevedersi dato che le trasformazioni dell’alluminio e dell’acqua sono irreversibili.
217
18.2 Un corpo di metallo del peso di 3kg e di calore specifico 1,26kJ/(kg K) alla temperatura di 57°C viene messo in un lago che si trova alla temperatura di 17 °C. Calcolare la variazione di entropia: a) del corpo b) del lago c) dell’universo. Tlago= 290K Tmet=330K Per calcolare la variazione di entropia del corpo la cui temperatura passa da 330K a 290 K devo operare con una trasformazione reversibile 290 K
#S 1
=
kJ dT
$ 3kg "1,26 kg " K T
=
330 K
3,78
kJ K
ln
290 330
=
!0,488
kJ K
Per calcolare la variazione di entropia del lago, la cui temperatura rimane costante, si ha: Q 3 ! 1,26 ! 40 kJ kJ "S 2 0,521 T K K 290 Per la variazione di entropia dell'universo si ha: =
"S = "S 1
=
+
=
"S 2
=
!0,488
kJ K
+
0,521
kJ K
=
0,033kJ / K
18.3 Due litri di acqua a 90°C vengono introdotti in un recipiente a pareti adiatermane e con capacità termica nulla, nel quale vi sono 10l di acqua a 20°C. Calcolare la variazione di entropia dei due litri, dei dieci litri di acqua , dell’universo. 18.4 Un pezzo di 5kg di alluminio a 600°C (C S=0,88 kJ/(kg K) viene immerso in un recipiente a pareti isolanti e con capacità termica trascurabile nel quale vi sono 9 l di acqua e 1 kg di ghiaccio in equilibrio termico. Calcolare la variazione di entropia dell’alluminio, del sistema acqua più ghiaccio , dell’universo. 18.5 Un pezzo di ghiaccio del peso di 10kg e alla temperatura di 0°C viene gettato in mare a 20°C ove si scioglie. Calcolare la variazione di entropia del ghiaccio, del mare, dell’universo. 18.6 Un cilindro a pareti laterali adiatermane con la base permeabile al calore è posto su un termostato alla temperatura di 127°C. La stantuffo della massa di 300kg, pure adiatermano viene tenuto sul posto da un piolo e racchiude due moli di gas monoatomico alla pressione di 5atm. La sezione dello stantuffo è di 5dm2. Si toglie il piolo (considerare nullo questo lavoro) e si lascia espandere il gas fino a che si sia ristabilito l’equilibrio ( pressione esterna =1 atm) Calcolare la variazione di entropia del gas, del termostato e dell’universo. . P atm
127°C
18.7 Una mole di gas perfetto biatomico è contenuto in una metà di un recipiente diviso da una parete, nell’altra metà del quale c’è il vuoto. Mettendo in comunicazione le due metà, aprendo il rubinetto delle parete divisoria, il gas si espande liberamente occupando il volume 2V 0, senza variazioni di temperatura. Calcolare la variazione di entropia dell’universo.
18.8 Calcolare la variazione di entropia dell’universo nei casi degli esercizi dell’obiettivo 16. 218
Risultati di alcuni esercizi. 4.4 W=-250J 4.5 – 772J -1227J 1000J -1152J 4.6 –10 L atm 4.7 +5652J -5652J 4.8 3807J 4.9 –6687J 4.10 1013J 4.12 1341J 5.2 1060J 5.3 –2970J 5.4 1250J 5.5 –1250J 5.6 500J 6.2 2080J 6.3 6230J 6.4 8730J 7.2 100J 7.4 500J 7.5 1500J 7.6 –5000J 7.7 Q=0 8.5 500J 8.6 –81J 9.2 !U 19000 J 9.3 !U 1250 J 9.4 !U 0 J 10.2 Q= 2770J 10.3Q=0 10.4 Q=8000J 10.5 Q=W 10.6 490J 1010J 1500J 11.3 PB=PC=80000Pa VB=62,5 10-3 m3 VC=25 10-3 m3 11.4 17,3% 11.5 5,7% 13.2 11.3 11,9 12.3 16,6 14.3 143 cal 2,33 333cal 0,43 14.4 T2=100K T1=40K 15.2 250K 15.3 500K 15.4 si 15.5 si ciclo reversibile 16.3 -2400kcal 16.4 4750 cal 16.5 34,5°C 16.6 Te=100°C mx= 2,95 kg 17.3 13,98 J/K -5,54 J/K -16,4 J/K 17.4 349K 18.3 -1466J/K 1640 J/K 173 J/K 18.4 -4376 J/K 8243 J/K 3867J/K 18.5 15227 J/K -14287 J/K 940J/K 18.6 19,13 J/K -11,37 J/K 7,76 J/K 18.7 5,76 J/K =
=
=
7,8%
219