+(36E!#3D'D '+24(&' DE 1! EL PROBLEMA DE TRANSPORTE
El denominado problema de transporte tr ansporte es un caso especial del problema de transbordo, en el que todos los nodos son fuentes (nodos de oferta) o destinos (nodos de demanda). En un problema de transporte transporte no existen nodo nodoss de transbordo transbordo.. Dado que es posible posible dividir el problema problema de red bipartita. Para analizar analizar los problemas de transporte se utiliza utiliza el siguiente ejemplo. ejemplo. Considérese el caso de la B!"# B!E$E!% C&P'(%. Esta empresa elabora una cerveza que se distribu)e a nivel nivel nacional a partir de dos f*bricas de cerveza. cerveza. +na en cada una de las las dos costas de EE.++. la cerveza se envan a cuatro ma)oristas que se encargan de la distribuci-n subsecuente, por lo que la B!"# le ocupa solo la distribuci-n (logística) los ma)oristas. os costos de distribuci-n, por conjuntos de /00 cajas. 1ue se envan a cada ma)orista se presentan en la siguiente tabla. 2'B' DE C#2# DE D3#2!3B+C34( D3#2!3 B+C34( P'!' ' B!"# B!E$E!% B!E $E!% C&P'(% C&P'(% 5E!2' 5'B. DE 'B'(% '&E# +C8E(B'C9 (EEDE# 5E!2' :en C3E(2# DE cientos de cajas;
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SL!ER" #A APPLE $%LL N$
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DE&'(D' :en
cientos de cajas;
unto con la oferta mensual en cada f*brica ) la demanda mensual de cada ma)orista. #i se representa este problema en forma de red, r ed, aparecer* segn se muestra en la figura./ (odos de oferta
(odos de demanda
#36E! >>0
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=>0 '&E# @
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53F+!'. /G !ed de transporte para la B!"# B!E$E!% C&P'(% Dado que el flujo de un nodo de oferta solo va a un nodo de demanda, se modificara el sistema comn de numeraci-n de los nodos para numerar los nodos de demanda. bservar que esto dar*
como resultado que Ha)a nodos que se denotan como I //, pero dado que los nodos de oferta est*n conectados solo a los nodos de demanda, no existe ambigJedad con respecto a que arco identifica I//. El planteamiento de programaci-n lineal del problema de transporte queda de la siguiente manera. 9abr* ocHo variables, una para cada arco, ) seis restricciones, una para cada uno. I/ I= I IA I> I IK I? &in. 7 L =/I// M />I/= M/?I/ M @I/A M /0I=/ M /AI== M /I= M =I=A #.'.
I// M I/= M I/ M I/A M M
I// M I/= M
I/ M I/A
I =/ M I== M I=/ M I== M
I= M
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I= M I=A
L &&' L &' L '' L &' L *'' L +&'
I 3 N 0 i L origen :=;, j L destinos :A; Es necesario seOalar varios detalles acerca de este planteamiento. /.G las primeras dos restricciones imponen que la cantidad que se enva sea igual a la cantidad disponible. =.G se utilizan aqu restricciones de igualdad debido a que la oferta total por lo que debe transportarse la totalidad de la oferta. ' un problema de este tipo se le denomina ,ro-lema e/ili-rado de trans,orte. En segundo lugar, las siguientes cuatro restricciones exigen que la cantidad que llega a cada nodo de demanda sea igual a la demanda de ese nodo. 'qu se utilizan restricciones de igualdad por la misma raz-n que se menciono antes. Debe observarse que para un problema equilibrado de transporte una de las restricciones no es necesaria. #i la oferta total que se transporta es /=00 ) los tres primeros nodos de demanda absorben ?>0 unidades, entonces Habra, para este problema que dos nodos de oferta o suministro ) cuatro de demanda = M A G/L > restricciones. En general, un problema que m (nodos de oferta) 0 n (nodos de demanda) tendría m 1 n23 restricciones. En términos del planteamiento de redes original, el HecHo de que existan :m M n G/; variables b*sicas. 3mplica que Habr* :m M n G /; arcos de que en el *rbol abierto que represente este problema. En otras palabras, en cualquier soluci-n no m*s de m M n G/ arcos :rutas; de un problema de transporte ser*n positivos. 2abla del transporte para planear problemas de transporte ) resolvérselos a través del método del cruce del arro)o :o método &D3 para la soluci-n; se utiliza una tabla especial que se conoce como tabla del transporte, para mostrar esta tabla, se utilizar* el problema de la B!"# B!E$E!% que se analizo antes. a informaci-n de este problema se presenta en la siguiente figura. 'B'(%
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as celdas grandes equivalen a los arcos que conectan los puntos de oferta ) los puntos de demanda ) las celdas pequeOas de la esquina superior izquierda de las celdas grandes contienen los costos unitarios para cada arco. #e utiliza el espacio vaci- de las celdas para efectuar c*lculos. En este problema, es necesario observar que el total de la oferta equivale al total de la demanda. Cuando estos totales son iguales se dice que el problema es equilibrado. +na soluci-n inicialQ M4todo de a,ro5imaci6n de !ogel (MA!). +sa la informaci-n de costos mediante el concepto de costo de oportunidad para determinar una soluci-n inicial factible. / '
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Por ejemplo, considérese el origen :#36E!;. a ruta mas barata que sal del origen :#36E!; es la que va al destino A, que tiene un costo de <@ por cada /00 cajas la que le sigue en precio es la del destino =, que tiene un costo de por cada /00 cajas, entonces agrandes rasgos, cada /00 cajas de :#36E!; que no sea enviado A incurrir* en un costo adicional de por lo menos < L /> G @. En consecuencia, el MA!, asigna un costo de penalidad :costo de oportunidad; de < al primer rengl-n :origen #36E!;R se recalca que esta, es la penalidad por no usar la mejor ruta en este rengl-n. Para cada rengl-n ) cada columna se calcula el costo de penalidad de manera similar. El procedimiento del MA! consiste en intentar evitar grandes penalidades el primer paso consiste en localizar la ma)or de todas las penalidades de los renglones ) las columnas ) después Hacer una ubicaci-n que evite las penalidades grandes. En este caso que la cuarta columna :destino A; tiene la penalidad ma)or :/A en concreto;. Para evitarla, se debe usar la ruta disponible m*s econ-mica de esa columna :encuéntrese el mejor origen;. Entonces, asignar tantas unidades como sea posible a #36E! :A;, la ruta m*s econ-mica de esa columna en A es de >0 ) la oferta en #36E! es de >>0, se puede surtir >0 a ruta :#36E! A;. os pasos siguientes consisten en ajustar los valores de la oferta, la demanda ) las penalidades, tomando en cuenta la asignaci-n que se acaba de Hacer de >0 para #36E! A:(EEDE#;. &S2D DE 'P!I3&'C3( DE 6FE Para cada rengl-n con una oferta disponible ) cada columna con una demanda insatisfecHa calcule el costo de penalidad restando el dato menor del que le sigue en valor. /. identifique el rengl-n o columna que tengan el ma)or costo de penalidad :los empates; se resuelven arbitrariamente. =. asigne la m*xima cantidad posible ala ruta disponible que tenga el costo, mas bajo en el rengl-n o columna elegido en el paso =. . reduzca la oferta ) la demanda adecuadas en la cantidad asignada en el paso . A. descarte cualesquier renglones con oferta disponible cero ) columnas con demanda insatisfecHa cero, para consideraciones ulteriores.
>. regrese al paso /. Calculo de ndices de mejoramiento. Para determinar si una soluci-n inicial es o no optima, se requiere calcular un valor para cada celda vaca con el objeto de determinar si existe una asignaci-n de costo total que sea inferior. ' este valor se le conoce como el ndice de mejoramiento para cada celda. Considerar por ejemplo, la asignaci-n de costo mnimo para el problema de la B!"# BEE!, que se muestra en la siguiente figura :aunque esta asignaci-n inicial no es la de menor costo, se utiliza con prop-sitos de explicaci-n;. #36E!
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'qu es necesario equilibrar el efecto de reasignar una cantidad a la celda #36E! 'B'(% :I//; en la formulaci-n de redes mediante la sustracci-n de una unidad en la celda #36E!G +C8E(B'C9 :I/;. a celda #36E!G(EEDE# :I /A; no se eligi- por que no Habra manera de compensar el aumento a I /A mediante la sustracci-n de una celda que en esta etapa tuviera asignaci-n. De esta manera, no es necesario considerar el efecto de aumento en las asignaciones Hacia m*s de una celda vaca. Dado que se Ha restado una unidad a I /, se necesita equilibrar esto aumentando a una unidad en la celda de 'PPE C93G+C8E(B'C9 :I =;. Después, se debe tener una reducci-n de una unidad en I =/ para equilibrar tanto el aumento de I = como el de I //. De nueva cuenta, no se considera I== por lo que no existe ninguna otra asignaci-n en la segunda columna. En este caso, se encuentra que el resultado es. M=/G/?M/G/0L M@ En este caso de realizar una cantidad a la celda I //, se aumenta los costos totales en <@ por cada /00 cajas de cerveza que se enviaran se #36E! a 'B'(%. ' este valor se le denomina índice de me7oramiento. #i este ndice es positivo entonces la reasignaci-n a esa celda dara como resultado un aumento en los costos totales. Por el contrario un valor negativo seOala una reducci-n en el costo total. Puesto que se interesa la asignaci-n que tenga el menor costo total posible, se buscan celdas que tengan ndices de mejoramiento negativos. #i no existen celdas con ndices negativos entonces la asignaci-n que se tiene es la -ptima, para llevar acabo esta verificaci-n, deben calcularse ndices de mejoramiento para todas. Considerar aHora la celda I /=. #i se reasigna una unidad a la celda, se debe entonces restar una unidad de la celda I /, sumar una unidad a la celda I = ) restar una a la I ==, para equilibrar todas las ofertas ) las demandas. En la siguiente figura. #36E!
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=00 >0 DE&'(D' =00 =>0 P!BE&'# ( E1+33B!'D#
A00 A00
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#e Ha considerado solo problemas de transporte en los que la suma de las ofertas es igual a la suma de las demandas. Es obvio que la oferta ) la demanda totales no son iguales en todos los problemas. os problemas en, los que no existe esta igualdad se denominan problemas no equilibrados. Esto necesario convertir problemas no equilibrados. Esto no es difcil. Como ejemplo de problema no equilibrado considérese el problema de distribuci-n de la &%E!# #2(E C&P'(% que se ilustra en la siguiente tabla, de transporte.
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5E!2' A00
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K
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A>0
>0
Esta empresa transporta piedra molida :o grava; desde canteras que se encuentran en '(29(%, !EDD3C8 % 22 Hacia otros sitios de construcci-n en E!3E ) F!EE63E. ' diversos por tonelada, observar, que la oferta total en las canteras es de //00 tns. % que solo requieren ?00 tns. De piedra molida en los lugares de construcci-n, por tanto. El problema no es equilibrado. Para rectificar este problema, se aOade un punto redemanda artificial, con una demanda igual al exceso de oferta. Este punto de demanda representa la oferta que nunca sale de los puntos de oferta. #iendo as, los costos asociados con este punto de demanda se fijan en cero. Con la nueva columna :ver #3F. 5igura; el problema queda equilibrado. E!3E
F!EE63E
'!2353C3'
'(29(%
0
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!EDD3C8
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K
0
A00
DE&'(D'
5E!2'
A>0 >0 00 #i la demanda total es superior a la oferta total, se aOade un punto artificial de oferta con una oferta igual al exceso de demanda. os costos del nuevo rengl-n se fijan en cero al igual que para la columna artificial. a interpretaci-n de este rengl-n es que la cantidad que se asigna al punto de oferta artificial es la cantidad de demanda que quedara insatisfecHa en cada punto de demanda. Degeneraci-n
En la tabla de transporte, las variables b*sicas correspondientes a asignaciones, por lo que Habr* :m M nG/; asignaciones. En algunos problemas de transporte, se representan algunas situaciones en las que se requieran menos de :m M nG /; asignaciones positivas para absorber toda la oferta ) la demanda. Esta situaci-n se conoce como degeneraci-n ) ocurre en los casos en los que un subconjunto de ofertas es igual a un subconjunto de las demandas. Por ejemplo, considere el problema modificado de la &%E!# #2(E C&P'(% que se muestra en la figura siguiente. +tilizando el método del costo mnimo por rengl-n para encontrar una asignaci-n inicial para el problema.
'(29(%
E!3E
F!EE63E
'!2353C3'
0
/00 !EDD3C8
A
5E!2'
A00 00
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0
00
0
A00
00 22
K
A00 DE&'(D'
A00 A00 00 T Tla demanda del destino ficticio Hace que seaQ oferta L destino.
Para este problema, se tienen tres renglones ) tres columnas, por lo que son necesarias m M n G/ L MG/L > asignaciones. a soluci-n inicial tiene solo A celdas asignadas, por lo que el problema es degenerado. a presencia de menos & M n G/celdas con asignaci-n positiva. Da como resultado que no exista un camino que enlace una o m*s de las celdas sin asignaci-n. Por ello no es posible calcular ndices de mejoramiento con para celdas que no tienen ) tampoco Hacer reasignaciones de celdas con asignaci-n Hacia otras que no la tienen.
