EJERCICIOS DE PRUEBA DE HIPOTESIS 1. Se necesita obreros calificados para trabajar en una línea de montaje que requiere en promedio 42 segundos para terminar la operación. Un obrero que aspira al trabajo se pone a prueba durante 25 ciclos de esta operación y los resultados son: tiempo total, 1300 segundos con una desviación estándar de 6 segundos. De acuerdo con esta prueba, ¿darías el empleo a este obrero, asumiendo un error alfa de 0.01? Datos:
= 42 Se aplica t student porque n < 30 = 25 1300 ̅ = = 52 25 = 6 PASO 1 Ho: = 42 Ha: > 42 Prueba cola derecha PASO 2
= 0,01 = 25 − 1 = 24 = 2,49 PASO 3
=
=
̅ − √
52 52 − 42 6 25 √ 25
= 8,33 PASO 4
> PASO 5
Dado que tcal > tc se rechaza la Hipótesis Nula y se acepta la Hipótesis Alternativa, es decir, que el tiempo promedio del obrero es mayor al requerido que son 42 segundos en la línea de montaje. En conclusión no se debe dar el empleo al obrero. 2. La Profeco investiga acusaciones contra una embotelladora porque no llena los refrescos adecuadamente; ha muestreado 40 botellas y h a descubierto que el contenido promedio es de 1.98 litros de líquido. En la propaganda se anuncia que las botellas contienen 2.0 litros de líquido. Se sabe que la desviación estándar del proceso de producción es de 40 ml de líquido. ¿Debe la Profeco llegar a la conclusión de que las botellas no están siendo llenadas correctamente? Usa α = 1%.
Datos: Se aplica z normal porque n > 30 = 40 ̅ = 1,98 =2 = 40 = 0,04 PASO 1 Ho: = 2 Ha: < 2 Prueba cola izquierda PASO 2
= 0,01 = 2,33 PASO 3
̅ − = √ =
1,98 − 2 0,04 √ 40
= −3,16 PASO 4
< − PASO 5
Dado que tcal < -tc se rechaza la Hipótesis Nula y se acepta la Hipótesis Alternativa, es decir, que la embotelladora no está llenando adecuadamente los refrescos poniendo menos de 2 litros. En conclusión Profeco puede concluir que las botellas no están siendo llenadas correctamente. 3. Se realiza un estudio en el que se analizan dos tipos de barras de polímero, cuya tensión se refuerza con fibra de vidrio (FRP). Estas barras, en sustitución de las vigas de acero, son utilizadas para reforzar concreto, por lo que su caracterización es importante para fines de diseño, control y optimización para los ingenieros estructurales. Las barras se sometieron a tensión hasta registrarse su ruptura (en Mpa). Los datos para dos tipos de barras se muestran en la tabla. Pruebe la hipótesis a un nivel de significancia de 5% BARRA 1
BARRA 2
939
1025
976
938
1025
1015
1034
983
1015
843
1015
1053
1022
1038
815
938
Datos:
= 0,05 PASO 1 Ho: = Ha: ≠ Prueba 2 colas PASO 2
= 0,05 = 8 + 8 − 2 = 14 / = 2,14 PASO 3 Se va a realizar una prueba t para varianzas iguales, porque la desviación estándar 1 no supera en más de 3 veces a la desviación estándar 2 BARRA 1
Media Error típico
BARRA 2
980,125 Media 26,07573961 Error típico
979,125 24,7281198
Mediana
1015 Mediana
999
Moda
1015 Moda
938
Desviación estándar
73,75332922 Desviación estándar
69,9416849
Varianza de la muestra
5439,553571 Varianza de la muestra
4891,83929
Curtosis
3,962326117 Curtosis
0,78752882
Coeficiente de asimetría
-1,978405601 Coeficiente de asimetría
-1,06414842
Rango
219 Rango
210
Mínimo
815 Mínimo
843
Máximo
1034 Máximo
1053
Suma
7841 Suma
7833
Cuenta
8 Cuenta
8
Prueba t para dos muestras suponiendo varianzas iguales.
BARRA 1
Media Varianza Observaciones Varianza agrupada
BARRA 2
980,125
979,125
5439,553571
4891,839286
8
8
5165,696429
Diferencia hipotética de las medias Grados de libertad
0 14
Estadístico t
0,027826947
P(T<=t) una cola
0,489096476
Valor crítico de t (una cola)
1,761310136
P(T<=t) dos colas
0,978192953
Valor crítico de t (dos colas)
2,144786688
PASO 4
< PASO 5 Dado que tcal < tc se acepta la Hipótesis Nula, es decir, no existe diferencia significativa entre la barra 1 y la barra 2. La probabilidad 0,978 es mucho mayor que el nivel de significancia, esto respalda la decisión tomada. Se concluye que los resultados obtenidos son altamente significativos estadísticamente.
4. Se conduce un experimento para determinar si el uso de un aditivo químico y un fertilizante estándar aceleran el crecimiento de las plantas. En cada una de 10
localidades se estudiaron dos plantas sembradas en condiciones similares. A una planta de cada localidad se le aplicó el fertilizante puro y a la otra el fertilizante más el aditivo. Después de cuatro semanas el crecimiento en centímetros fue el siguiente, ver tabla. ¿Los datos obtenidos apoyan la afirmación de que el aditivo químico acelera el crecimiento de las plantas? Realice la prueba con un alfa de 5%. SIN ADITIVO
CON ADITIVO
20
23
31
34
16
15
22
21
19
22
32
31
25
29
18
20
20
24
19
23
Datos:
= 10 = 0,05 PASO 1 Ho: = Ha: ≠
0 0 Prueba 2 colas
PASO 2
= 0,05 = 10 − 1 = 9 / = PASO 3 Prueba t para medias de dos muestras emparejadas. SIN ADITIVO
Media Varianza Observaciones Coeficiente de correlación de Pearson
CON ADITIVO
22,2
24,2
29,73333333
31,73333333
10
10
0,924567649
Diferencia hipotética de las medias
0
Grados de libertad
9
Estadístico t
-2,927700219
P(T<=t) una cola
0,008409902
Valor crítico de t (una cola)
1,833112933
P(T<=t) dos colas
0,016819804
Valor crítico de t (dos colas)
2,262157163
PASO 4
< − PASO 5 Dado que tcal < -tc se rechaza la Hipótesis Nula y se acepta la Hipótesis Alternativa, es decir, que existe una diferencia en el crecimiento de las plantas cuando se les aplica un aditivo, de cuando no se aplica dicho aditivo. La probabilidad 0,01681 es menor que el nivel de significancia, esto respalda la decisión tomada. Se concluye que los resultados obtenidos son altamente significativos estadísticamente. 5. El administrador de una empresa de taxis está tratando de decidir si el uso de neumáticos radiales en lugar de neumáticos regulares cinturados mejora el rendimiento de combustible. Se equipan 12 autos con neumáticos radiales y se conducen en un recorrido de prueba preestablecido. Sin cambiar a los conductores, los mismos autos se equipan con neumáticos regulares cinturados y se conducen nuevamente en el recorrido de prueba. Se registraron los siguientes datos sobre el consumo de gasolina, en kilómetros por litro, ver tabla. ¿Podemos concluir que los autos equipados con neumáticos radiales ahorran más combustible que aquellos equipados con neumáticos cinturados? Suponga que las poblaciones se distribuyen normalmente. Utilice un alfa de 5%. RADIALES
CINTURADAS
4,2
4,1
4,7
4,9
6,6
6,2
7
6,9
6,7
6,8
4,5
4,4
5,7
5,7
6
5,8
7,4
6,9
4,9
4,7
6,1
6
5,2
4,9
Datos:
= 12 = 0,05 PASO 1 Ho: = Ha: ≠
0 0 Prueba 2 colas
PASO 2
= 0,05 = 12 − 1 = 11 / = 2,2 PASO 3 Prueba t para medias de dos muestras emparejadas.
RADIALES
Media Varianza Observaciones Coeficiente de correlación de Pearson Diferencia hipotética de las medias
CINTURADAS
5,75
5,608333333
1,108181818
0,988106061
12
12
0,983002407 0
Grados de libertad
11
Estadístico t
2,484515151
P(T<=t) una cola
0,015164753
Valor crítico de t (una cola)
1,795884819
P(T<=t) dos colas
0,030329506
Valor crítico de t (dos colas)
2,20098516
PASO 4
> PASO 5 Dado que tcal > tc se rechaza la Hipótesis Nula y se acepta la Hipótesis Alternativa, es decir, que existe una diferencia en el ahorro de combustible en autos equipados con neumáticos radiales que los autos equipados con neumáticos cinturadas.
La probabilidad 0,0303 es menor que el nivel de significancia, esto respalda la decisión tomada. Se concluye que los resultados obtenidos son altamente significativos estadísticamente. 6. Un geólogo recolectó 18 muestras diferentes de mineral, todas del mismo peso y al azar las dividió en dos grupos. Los contenidos de titanio de las muestras, que encontró usando dos métodos diferentes, se detallan a continuación: METODO 1
METODO 2
13
10
13
13
15
11
14
12
11
12
16
17
13
13
12
14
15
16
Use 0.05 y un método apropiado con el fin de probar para una diferencia significativa en los contenidos promedio de titanio usando los dos métodos diferentes. Datos:
=9 = 0,05 PASO 1 Ho: = Ha: ≠ Prueba 2 colas PASO 2
= 0,05 = 9 + 9 − 2 = 16 / = PASO 3 Se va a realizar una prueba t para varianzas iguales, porque la desviación estándar 1 no supera en más de 3 veces a la desviación estándar 2 METODO 1
METODO 2
Media
13,5555556 Media
13,1111111
Error típico
0,52996622 Error típico
0,75359222
Mediana
13 Mediana
13
Moda
13 Moda
13
Desviación estándar
1,58989867 Desviación estándar
2,26077666
Varianza de la muestra
2,52777778 Varianza de la muestra
Curtosis
-0,66265289 Curtosis
Coeficiente de asimetría
-0,00987395 Coeficiente de asimetría
Rango
5,11111111 -0,31018769 0,57522968
5 Rango
7
Mínimo
11 Mínimo
10
Máximo
16 Máximo
17
Suma
122 Suma
Cuenta
118
9 Cuenta
9
Prueba t para dos muestras suponiendo varianzas iguales.
METODO 1
METODO 2
Media
13,5555556 13,1111111
Varianza
2,52777778 5,11111111
Observaciones
9
Varianza agrupada
9
3,81944444
Diferencia hipotética de las medias Grados de libertad
0 16
Estadístico t
0,48241815
P(T<=t) una cola
0,31802122
Valor crítico de t (una cola)
1,74588368
P(T<=t) dos colas
0,63604244
Valor crítico de t (dos colas)
2,1199053
PASO 4
< PASO 5 Dado que tcal < tc se acepta la Hipótesis Nula, es decir, no existe diferencia significativa entre el método 1 y el método 2. La probabilidad 0,636 es mucho mayor que el nivel de significancia, esto respalda la decisión tomada. Se concluye que los resultados obtenidos son altamente significativos estadísticamente.