Universidad Nacional Autónoma de Nicaragua UNAN - MANAGUA. MANAGUA.
Facultad de Ciencias E Ingeniería. Departamento de Computación Tema :
Ejercicios de Probabilidades .
Profesor:
MSc. Danilo Avendaño
Elaborado por : Johana Alvarez Juan Carlos Canales Canales Jarquin
1. Para cada una de las siguientes situaciones, indique cuá les de los enfoques (clásico a priori , clásico empí rico o subjetivo) sería más úti l para determi nar el val or de probabi li dades adecuadao. a). La probabilidad de que de un envío de 20 repuestos, del cual se sabe que 3 son defectuosos, un repuesto escogido aleatoriamente resulte defectuoso.
A priori b). La probabilidad de que haya una recesión el año entrante.
Subjetivo
c). La probabilidad de que la demanda de un artículo, que produce una empresa, sea de 400 unidades para el próximo mes.
A posteriori d). La probabilidad de que un liberal gane la siguiente elección presidencial en Nicaragua.
A posteriori e). La probabilidad de que el dólar se cotice a C$ 15 a finales de este año.
Subjetivo ). La probabilidad de que al seleccionar al azar una persona de una clase, que tene 20 mujeres y 8 hombres, el resultado sea una mujer.
A priori g). La probabilidad de que las ventas de un artículos que produce una fabrica suban d ebido al nuevo nombre.
Clasico posteriori 3. Determi ne el val or de probabi li dad apli cable a cada una de las sigu ientes situaci ones: L uego diga quéenfoqu e util izo. a). La probabilidad de seleccionar aleatoriamente una cuenta por cobrar que está en mora, si el 5 % de las cuentas están en mora. 5 P=(A)= ( Enfoque a priori) = 0.05 100
b). La probabilidad de que una sucurssal de una cadena de restaurantes tenga éxito financiero. El presunto inversionista obtiene información sobre otras sucursales de la cadena, estudia el área donde se localizará la sucursal y considera el volumen de ventas necesarios para el éxito financiero. Globalmente, el inversionista cree que hay un 80 % de posibilidades de que la sucursal tenga éxito financiero y un 20 % de lo contrario. 80
P ( B ) =
= 0.8
100
( Enfoque a priori)
c). La probabilidad de accidentes de trabajo en una industria determinada sobre una base anual. Una muestra al azar de 10 irmas que emplean un total de 8000 personas demostró que ocurrieron 400 accidentes de trabajo durante un período reciente de 12 meses. 400 ( Enfoque a priori) P (C ) = = 0.05 8000
5. De 12 cuentas de un a archi vo, 4 contienen un error de procedimi ento al cont abil izar l os saldos de las cuentas. Si un auditor selecciona aleatoriamente: a). Una cuenta, ¿Cuál es la probabilidad de contenga error de procedimiento? P ( E ) = 4 = 0.333 Error 12
P ( E' ) =
1-P(E) 1 - 0.333 = 0.6667
No error
b). Dos cuentas (sin reposición), i) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna cuenta contenga error de procedimiento?. 8 7 P ( N ) = P ( N1 ∩ N 2 ) = x = 0.4242 12
11
Elabore un árbol de probabil idades para representar éste proceso secuencial de muestreo. E2 E1 N 2 E2 N1 N2
ii). ¿ Cuál es la probabilidades de que una cuenta contega error de procedimiento?. P ( una cuenta) = P ( E1 ∩ N2 ) U P ( N1 U E2) = 4
x
12
8
+
11
8 12
x
4
= 0.48218
11
c). Tres cuentas (sin reposición ), ¿ Cuál es la probabilidad de qu e todas contengan error de procedimiento?. P ( E1 ∩ E2 ∩ E3 ) =
4
x
12
3
x
11
2 10
=
1 55
= 0.018182
7. En los datos reolectados en una encuenta sobre la satisfacción de los empleados de la empresa Omega realizada a una muestra de 400 empleados, los resultados con las categorias desglosadas en satisfecho y no satisfecho, y progresado y no, progr esado en l a organ ización, se presentan en la sigu iente tabla de contin gencia:
Satisfacción en el trabajo
Progresado (P)
Avance No progresado (P')
total
194 14 208
162 30 192
356 44 400
Satisfecho (S) No satisfecho (S') Totales
1). Determine la probabilidad de que un empleado seleccionado aleatoriamente: a). Esté satisfecho con su trabajo. 356 P(S)= = 0.89 400
b). No haya progresado en la organización. 192 P ( P') = = 0.48 400
c). Está satisfecho con el trabajo o ha progesado en la organzación. P ( S UP ) = P (S ) + P (P ) - P( S∩ P) 356
+
400
205 400
-
d). No está satisfecho y no ha progresado. 30 P ( S' ∩ P ' ) = = 0.075 400
194 400
=
564 400
-
194 400
=
370
= 0.92
400
e). Está satisfecho con el trabajo dado que se sabe ha progresado en la organización. P(S/P)=
( ∩ ) ()
=
194
=
400
x
400 208
=
194
= 0.9326
208
2). ¿ Estar satisfecho con el trabajo es independiente de haber progresado en la organización? Explique. P (S / P) ≠ P (S )
9. El director de una gran agencia de empleo desea estudiar las diversas características de sus solicitantes de trabajo. Se ha seleccionado una muestra de 200 solicitantes para su aná lisis. Sesenta solicitantes habían tenido sus trabajos actuales durante al menos cinco añ os, ochenta de los solicitantes son graduados universitarios, 25 de los graduados universitarios dur aron en sus trab ajos al m enos cin co añ os. G : Graduado
T = Tr abajo actual
T
G 80
25
60
a). ¿ Cuál es la probabilidad que un solicitantes escogido aleatoriamente? a.1. Sea un graduado universitario? 80 P ( G) = = 0.4 200
a.2. Sea un graduado universitario y haya tenido su trabajo al actual menos de cinco años? 25 P ( G ∩ T) = = 0.125 200
a.3. Sea un graduado universitario o haya tenido su trabajo actual al menos de cinco años? P ( G U T) = P (G) + P ( T) - P ( G ∩ T) 80 200
+
60
-
200
25
=
200
140
25
200
200
-
=
115 200
= 0.575
b). Dado que un empleado particular es un graduado universitario, ¿ cuál es la probabilidad que haya durado en su trabajo menos de cinco años? P (T / G) = ( ∩ ) ( )
=
=
25 30
= 0.3125
c). Determine si ser graduado universitario y haber durado en el trabajo al menos cinco años son estadísticamente independientes. P ( T / G ) ≠ P (G)
11. Se ha emprendido una encuenta para determinar si existe una relación entre el lugar de residencia y la propiedad de un autómovil . Se seleccion ó una mu estr a aleatori a de 500 personas con los resul tados mostr ados a conti nu ación:
Propiedad de automóvil
Ciudad ©
Si (S) No (N) Totales
90 110 200
Área de residencia Suburbio (Su) Rural ® 60 90 150
25 125 150
Totales 175 325 500
a). Si se selecciona aleatoriamente una persona, ¿cuál es la probabilidad que ésta. a.1. Posea un automóvil? P(S)= 175 = 0.35 500
a.2. Viva en suburbio? P ( Su ) =
150 500
= 0.3
a.3. Posea un automóvil o viva en una ciudad? P ( S U C ) = P ( S ) + P( C ) - P ( S ∩ C ) = 175 500
+
200 90 375 90 285 = = = 0.57 500 500 500 500 500
a.4. Viva en el área rural y no posea un automóvil? P(R∩N)= 125 = 0.25 500
b). Suponga que sabemos que la persona selecionada vive en un suburbio, ¿cuál es la probabilidad que posea un automóvil? P ( S / Su ) = ( ∩) 60 500 60
=
=
x
500
=
150
150
= 0.4
c). ¿ Es el área de residencia estadísticamente independiente de si la persona posea un automóvil?. Explique. P ( C U Su U R ) = P ( S ) 200
+
500
150 500
+
150 500
=
175 150
500
= 0.35
500
1 ≠ 0.35
13. Consideremos el caso de un distribuidor de aparatos electrodomé sticos que ha estado promoviendo ciertos producto, por medio de una importante campañ a publicitaria por televisión. Para evaluar la efectividad de la campañ a, se pregunta a 600 clientes que visitaron la tienda, durante un período, si recuerdan el anuncio de la televisión se conservan los registros de la respuestas asi como de la posible compra del producto en cuestión. Los resultados de este estudio se dan en la tabla siguiente:
Anuncio de Televisión Producto Compra © No compra (C') Total
Recuerda ®
No Recuerda (R')
Total
120 80 200
60 340 400
180 420 600
1). Si se selecciona un cliente al azar. ¿ cuál es la probabilidad de que: a). Recuerde el anuncio? P(R)= 200 = 0.333 600
b). No recuerde al anuncio? P ( R') = 1 - P ( R ) = 1 - 0.333 = 0.6667 c). Realice una compra o recuerde el anuncio? P (C U R ) = P ( C ) + P ( R ) - P ( C ∩ R) = 180 600
+
200 600
-
120
= 0.3 + 0.33 - 0.2 = 0.4333
600
d). No recuerde el anuncio y realice una compra? P(R'∩C)= 60 = 0.1 600
2). Dado el hecho de que el cliente realizó una compra, ¿ cuál es la probabilidad de que haya recordado el anuncio? P (R / C) =
( ∩)
=
=
120 600
x
600
120
180
180
=
= 0.6667
3). Si el cliente no recuerda el anuncio, ¿cuál es la probabilidad de que realice uan compra?. P ( C / R' ) =
( ∩ ′ ) ( ′ )
=
=
60 600
x
600
60
400
400
=
= 0.15
15. Un comprador de ropa deuna gran tienda departamental compra anualmete 20 % delas piezas a un fabricante A, 30 % a un segundo fabricanteB y el 50 % restantea diversosproveedores. De la ropa comprada a A se vende el 80 %; 75 % de la B y 90 % delos restantes. ¿ Cuá l es la probabilidad deque una pieza queno se vendió al final dela temporada, provenga del f abricante B?
Se Vende No se vende Total se compro
F abr icante A 16% 4% 20%
P ( no se vende
∩
F abr icante B 22.50% 7.50% 30.00%
Otros Pr ove. 45% 5% 50%
Total es 83.5% 16.5% 100.0%
F abricante B ) = 7.5 %
17. El gerente de comercialización de una compañ ía fabricante de juguete estáplaneado introducir un nuevo juguete en el mercado. En el pasado, 40 % de los juguetes introducidospor la compañ ía han tenido é xito y 60 % no lo han tenido. Antes de qu e se com er ci al i ce el j u gu et e, se l l eva a cabo u n est udi o de m er cado y se com pi l a u n i n f or m e, ya sea f avor abl e o desfaborable. Antoriormente, 80% de los juguetes exitosos recibieron informes favorables y 30 % de los juguetes no exitosos tambi en recibi eron in for mes favor ables. Informe Favorable H an tenido é xito No han tenido é xito Totales
32% 18% 50%
I nforme no favorable 8% 42% 50%
E: Éxi to NE: No é xi to
Totales 40% 60% 100%
I f : I nforme favorable I nf: I nforme no favorable
a). Suponga que el estudio de mercado da un informe favorable sobre el nuevo juguete. ¿ Cuál es la probabilidad de que el nuevo juguete tenga éxito? ( ∩ ) 32 % P ( E / IF ) = = = 64 % ( )
50 %
b). ¿ Qué probabilidad de los juguetes nuevos reciben informes favorables de estudios de mercado? P (If ) = 50 %
19. Un analista de una empresa manufacturera estima que la probabilidad de que una empresa competidora tenga planes para comenzar a fabricar equipo nuevo en los próximos tres añ os es de 0.3 y de 0.70 de que la empresa no tenga tales planes. Si la empresa de la competencia sítiene esos planes, definitivamente se continuaráuna nueva instalación fabril. Si la empresa de la competencia no tiene esos planes, existe aún una probabilidad de 60% de que se construya la nueva instalación fabri l por otr as razonez. Constr uir C
No Constr uir C'
30% 42% 72%
0 28% 28%
Planes P Planes P'
Total es 30% 70% 100%
a). Al utilizar E para la descición de participar en el campo del equipo n uevo y F para la adición de una nueva instalación abril, ilustre los eventos posibles mediante un diagrama de árbol. F F'
E
1 0
F
0.6
F'
0.4
E'
b). Supong que la empresa de la competencia, de hecho, ha comenzado a trabajar en la nueva fábrica. Con esa información, ¿ Cuál es la probabilidad de que la empresa haya decididio ingresar al campo del nuevo equipo. ?
P (participo)=
30 30:42
= 0.41
41%
21. En cierta u ni versidad, el 70 % de los estudi ante vienen de instit ucion es pri vadas y el 30 % de institu ciones estatales. Se sabe que el 25 % de los estudian tes que vienen de in stituci ones privadas y el 10% qu e vienen de insti tuci ones estatal es poseen vehicul o propi o.
Privadas Estatales Totales
Tienen Vehículo 17.50% 3% 20.50%
No ti enen vehículo 52.50% 27% 79.50%
Totales 70.00% 30% 100.00%
P : Pri vadas
V: Ti enen Vehícul o
E: Estatales
NV : N o ti enen vehícul o
a). Si se selcciona un alumno al azar de esta universidad, ¿ cuál es la probabilidad de que tenga vehículo propio? P ( V ) =
20. 5 %
b). Si el alumno seleccionado posee vehiculo propio.¿ cuál es la probabilidad de que sea de los que vienen de instituciones estatales ∩ 3% P(E/V)= = = 14. 6 %
20.5 %
c). Si el alumno seleccionado posee vehiculo propio. ¿ cuál es la probabilidad de que sea de los que vienen de instituciones privadas? P(P/V)=
( ∩ )
=
17.5 % 20.5 %
= 85. 4 %