Ejercicio 4.1 El valor de E en
esta dado por
Determinar el trabajo incremental requerido para mover una carga de 20uC una distancia de 6um. a) b) c) d) e)
En la dirección de En la dirección de En la dirección de En la dirección de E En la dirección de
Solución
Q = 20uC = a.
(
)(
)(
)
Rta.
b. ( (
)(
)
) (
(
)
)
Rta.
c. ( (
)(
)
) (
(
)
Rta.
d.
√ ( (
) )
)
(
)(
) ((
(
)
) ((
(
)
)
)
)
Rta. e.
√ (
)
(
) (
)(
) ((
(
) ((
(
)
)
(
)
)
)
(
)
(
(
)
(
(
)
(
(
) ) )
)
(
)
(
(
) )
( (
)
)
(
(
)
) )
(
)
(
)
Rta. 4.2) Un campo eléctrico esta dado por encontrar: a) Encontrar E en P(5,0,π/12)
V/m.
√ b) ¿Cuánto trabajo se realiza en mover una carga de 2nC a una distancia incremental de 1mm desde P en la dirección de ?
c) En la dirección
d) En dirección
(
e) ¿de (
√ )
)? √
√ Vector unitario
(
) √ √
4.3) Si
V/m, encontrar la cantidad de trabajo incremental realizado para mover una
carga de 50uC una distancia de 2mm de: a) P(1,2,3) hacia Q(2,1,4);
:
(Q-P)=(2,1,4)-(1,2,3)=(1,-1,1) √ √
√ ( )
b) Q(2,1,4) hacia P(1,2,3) (P-Q)= (1,2,3)- (2,1,4)=(-1,1,-1) √ √
√ ( )
√
√
Ejercicio 4.4 Se ha visto que la energía necesaria para llevar una carga de del eje
desde el origen
es directamente proporcional al cuadrado de la longitud de la trayectoria. Si , determine sobre el eje como función de .
Solución:
∫
a lo largo ⁄
en
Como la condición dice que cuando:
⁄
4.5) Calcular el valor de ∫
para
con A(1,-1,2) y P(2,1,2) utilizando la trayectoria: a)
segmentos de líneas rectos entre los puntos A(1,-1,2) a B(1,1,2) a P(2,1,2); b) segmentos de línea rectos entre los puntos A(1,-1,2) a C(2,-1,2) a P(2,1,2). Desarrollo a) Tenemos los puntos:
A(1,-1,2) B(1,1,2) P(2,1,2)
Para calcular ∫
, analizamos la dirección de la componente en x desde A a P, siguiendo la
trayectoria desde A a B tenemos que x sigue una línea recta no existe un cambio, pero del punto B a P existe una variación en x, con y= 1, analizando la integral tenemos. ∫
∫
∫
∫ [
]
2 b) Tenemos los puntos:
A(1,-1,2) C(2,-1,2) P(2,1,2)
Para calcular ∫
seguimos el mismo procedimiento que el inciso anterior. La trayectoria desde el
punto A a C existe una variación en x, con un valor de y= -1, ahora analizando la integral tenemos que: ∫
∫
∫
∫ [
] -2
4.6.- Determinar el trabajo realizado en llevar una carga de -2uC de (2, 1, -1) a (8, 2, -1) en el campo E= y + a lo largo de: a) la parábola Resolución:
√ ∫ *∫
∫
+
*∫ ( )
∫ ⁄
[
[(
⁄
√
|
| ]
⁄
⁄
√
+
√
[
)
]]
[ ]+
* // b) La hipérbole y=-
+ ∫ *∫
+
*∫
*∫ (
)
*(∫ [(
–
)
)
∫
| )
|
+
+ | ]
( )) [
c) la línea recta
+
∫ (
∫
*(
//
∫
( )+ ]
∫ *∫
*∫ (
*(
*(
∫
)
+
∫
+
| )
|
| +
+
) [
]
// 4.7) Sea .Dado un punto inicial utilizando la trayectoria: a) línea recta ∫
y un punto final ;b)parábola:
, encontrar .
a)
, Reemplazando
∫
∫[
∫
] (
∫
)
∫
|
∫
|
| +
|
∫ ∫ ∫ b)
Reemplazando (
)
(
∫
)
∫[
∫
∫
] (
∫
( |
)
∫
|
| )+
|
∫
[(
)
]
∫ ∫ 4.8 dado
encontrar el trabajo necesario para mover una carga unitaria positiva en
un arco circular centrado desde
√
a hasta
Tenemos el punto inicial Y el punto final
√
√ √
√
∫
∫ √
[*
√
+
*
+
]
4.9 Una densidad de superficie uniforme de 20 nC/m2 se encuentra en la superficie de la esfera de un radio cm en el espacio libre. a) Encontrar el potencial absoluto en . b) Encontrar dados los puntos y
a) Primero encontramos el flujo eléctrico de una esfera de radio ∮
∫
∮
∫
.
Utilizando la fórmula de potencial en cualquier punto ubicado a una distancia
b) Los valores de potencial radialmente (
se pueden encontrar localizando las distancia de
)
(
4.10 Exprese el campo de potencial de una carga lineal finita a) Con referencia cero en ∫
[
] [ ( )]
b) Con
en
[ ( )] c) ¿Puede localizarse la referencia cero en el infinito? No
y
)
¿Porque? ( )
No, porque tendríamos un potencial indefinido
4.11. Una densidad de carga de superficie uniforme de 5nC/m2 esta presente en el plano z=0, otra densidad de carga de superficie uniforme de 8nC/ m2 esta presente en x=0, z=4 y una carga puntual de 2uC en P(2,0,0). Si V=0 en M(0,0,5), encontrar V en N(1,2,3).
Para la carga puntual tenemos |
|
√
√
√
Para el plano tenemos z=0 ∫ ∫
Para la superficie tenemos x=0 y z=4. |
|
√
∫ ∫ ∫
Por lo tanto
Ya obtenido el valor de la constante se procede hacer el estudio de V en N(1,2,3): √
√ √
√
Entonces para calcular Vn tenemos: ∫
∫
(√ )
√
(√ )
√
(√ )
√
Ejercicio 4.12 en coordenadas esféricas. Encontrar el potencial en cualquier punto utilizando la referencia a) Solución:
en el infinito; b)
en
c)
en
a) ∫
∫
∫
∫
Evaluando
en
para hallar C
en
para hallar C
b) de la parte (a)
Evaluando
c)
de la parte (a)
Evaluando
en
para hallar C
4.14.- Dado un campo electrostático `potencial entre los puntos.
, encontrar la diferencia de
a) (2, -2, -1) y (0, 0, 0) ∫ *∫
+
Para resolver escogemos una trayectoria a lo largo de la cual el movimiento ocurre en una dirección de la coordenada. Empezando al origen, primero desplazamos a lo largo del eje de 0 a 2, dónde =0, luego a lo largo de de 0 a 2, dónde es 2, luego a lo largo de de 0 a -1. Entonces el arreglo es: ∫
|
∫
|
-∫
|
[
|
|
|
|
]
b) (3, 2, -1) y (-2, -3, 4) ∫ ∫
|
|
∫ |
[
-∫ |
|
|
|
]
– (1)(5) -2(-5) = 10 Ejercicio 4.15 Dos líneas de cargas uniformes de , cada una se localizan en en el espacio libre. Si el potencial en el origen en 100V, encontrar V en Solución: Para la primera línea de carga es la distancia de la línea
|
|
Para el origen √ √ √ Para el punto P √ √ √
,
√
al punto del campo
,
y en .
,
∫ ∫
Se evita calcular la constante C1 restando un potencial a otro
(
√ √
)
Para la segunda línea de carga es la distancia de la línea
|
|
Para el origen √ √ √ Para el punto P √ √ √
∫ ∫
,
√
al punto del campo
Se evita calcular la constante C2 restando un potencial a otro
(
√ √
)
4.16. El potencial en cualquier punto del espacio está dado por la expresión
⁄
donde
son constantes. a) ¿Dónde se encuentra la referencia de potencial cero? b) encontrar la intensidad del campo eléctrico vectorial en cualquier punto SOLUCION: a) ( ⁄ ) Esta condición se cumplirá para ( ⁄ )
que se cumple si
O se cumple para que se cumple si
o sus múltiplos
b) [
]
⁄
[
⁄
)
[(
⁄
(
)
]
[
]
4.17.- Dos densidades de carga de superficie uniformes de 6 y 2nC/ 6cm respectivamente en el espacio libre. Suponer que V=0 en
]
están presentes en
y calcular V en:
a) En
, V=0; el potencial en 5cm será la diferencia de potencial entre
∫ ∫ |
[ *
-[
] (
)+
] = - 3.024V
-∫ -* -*
-∫ |
| (
)
[-5.4953 – 4.1785] = -9.674V
(
+ )
(
)+
y
y
4.18.- Encontrar el potencia en el origen que produce una línea de carga extiende a lo largo del eje x desde
hasta + , donde
que se
Suponer que el punto de referencia
cero está en el infinito. Solución:
∫ ∫ ∫ ( )]
[
( )+
* El inverso de la tangente cuando vale infinito es
rad/seg.y cuando el inverso de la tangente vale 1
es rad/seg. Entonces: *
4.19 Una superficie anular de no Uniforme
+
, tiene una densidad de carga de Superficie
. Encontrar V en
si ∫∫
|
Donde:
Remplazando tenemos los limites en la integral tenemos
|
en el infinito.
∫
∫
√
Remplazando ∫
√
4.20 Una carga Puntual Q se localiza en el Origen. Expresar el potencial en coordenadas Cartesianas y cilíndricas y utilizar gradiente en estos sistemas de coordenadas para encontrar la intensidad de Campo eléctrico. Puede verificarse el resultado convirtiéndolos a coordenadas esféricas. Potencial
En C. Cartesianas
En C. Cilíndricas
[
]
Convertimos la intensidad de campo a coordenadas Esféricas √ (
*
)
*
+ +
[ ] (
*
)
*
+ +
[ ] *
(
)
+
*
+ [ ]
Encontramos E para el caso de coordenadas cilíndricas: [
]
[
]
Convertimos E a coordenadas esféricas (
*
*
(
)
+
)
+ (
*
*
+
*
+
)
+
Observamos que la expresión de intensidad de campo eléctrico da el mismo resultado al convertir a coordenadas esféricas E en coordenadas Cartesianas y E en coordenadas Esféricas
⁄
4.22 Un determinado campo de potencial está dado por esféricas. Encontrar la carga total contenida dentro de la región
.
[
]
[
] [
]
∮
∫
en coordenadas
∫
∫
∫
∫
∫
, Si se considera que
∫
4.23) Se sabe que un potencial esta dado por libre, encontrar: a) E.
b) La densidad de carga volumétrica en
∫
|
∫
|
. Suponiendo condiciones en el espacio
c) La carga total dentro de la superficie cerrada
24) La superficie que define la ecuación
, donde
son positivas, es una
superficie equipotencial en la que el potencial es de 200 V. Si | |
en el punto P (7, 25,32) sobre
la superficie, encontrar E en ese punto. Desarrollo: La Función de potencial será de la forma V(x,y,z) ya que tenemos componentes rectangulares en la ecuación que define la superficie. + C1 | |
√
Evaluando | | en el punto P, tenemos: | |
√ | |
Remplazando el valor de | |
y despejando el valor de C, tenemos:
C= 0.322 Obtenido el valor de C, remplazamos en
La constante C1, es necesaria solamente para asegurar un potencial de 200V en el punto P. EJERCICIO 4.25
Dentro del cilindro
el potencial está dado por
a) Encontrar V, E, D y
en P (1, 60°, 0.5) en el espacio libre.
Primero encontramos V en el punto P:
Ahora podemos encontrar E sabiendo que:
Para coordenadas cilíndricas el gradiente es:
Remplazando los valores en la fórmula tenemos: [
]
Con l valor de E podemos encontrar D:
(
[
)
Para determinar pv podemos realizar el siguiente procedimiento
]
La divergencia en coordenadas cilíndricas es: (
)
Remplazando los valores en la fórmula tenemos: [
]
b) ¿Cuánta carga se encuentra dentro del cilindro? Para encontrar la carga podemos realizar la siguiente integral: ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫ |
∫ ∫
4.26. Supóngase que se tiene un plano conductor imperfecto de forma cuadrada muy delgado de 2 m de lado, ubicado en el plano z=0 con una esquina en el origen de tal forma que se localice totalmente dentro del primer cuadrante. El potencial en cualquier punto de la placa esta dado por
a) Un electrón ingresa a la placa por el punto x=0, y=π/3 con una velocidad inicial de cero: ¿en que dirección es su movimiento inicial? b) Debido a colisiones con partículas de la placa el electrón alcanza una velocidad relativamente baja y poca aceleración (el trabajo que el campo realiza en ella se convierte en su mayor parte
en calor). Por lo tanto, el electrón se mueve aproximadamente em línea recta. ¿en que parte el electrón abandona la placa y en que dirección se esta moviendo? Literal a).-
(
)
Por lo tanto en la dirección del movimiento inicial es: Con x=0 , y= π/3 (
( ) (
√
( )
)
)
Literal a).Para resolver este literal primeramente tenemos que encontrar la línea de flujo del ejectron. Entonces tenemos:
∫
∫ ∫
Por lo tanto la ecuación de la línea de flujo es:
Obtenido esto procedemos a encontrar la en que parte el electron abandona la placa: Esto se logra evaluando en el punto del electron x=0, y=π/3:
Cuando x=0 tendremos:
(
( ))
Entonces con y=0; tenemos
Por tanto tenemos q el punto de salida va a ser por (0.69, 0) Dicho esto tenemos que la dirección de salida va a ser por la componente
4.27) dos cargas puntuales de 1nC en (0, 0, 0.1) y -1nC en (0, 0, -0.1) se encuentran en el espacio libre. a) Calcular V en P (0.3, 0, 0.4). |
|
|
|
|
|
|
|
√ √ (
)
(
)
b) calcular | | en P. |
|
| |
|
|
|
|
√
c) supóngase que las dos cargas forman un dipolo en el origen, calcular V en P.
√
4.28. Utilizar la intensidad de campo eléctrico del dipolo de la (sección 4.7, Ecuación 36) para encontrar la diferencia de potencial entre los puntos Өa y Өb, cada uno de ellos teniendo las mismas coordenadas r y 𝟇. ¿En qué condiciones la respuesta cumple con la ecuación (34) para el potencial en Өa? ∫
∫
∫
Ecuación 34
Si θa (el punto final de la ruta) es 90◦ (el plano xy). Bajo esta condición, se observa que si θb> 90◦, de trabajo positivo se realiza cuando se mueve (contra el campo) para el plano xy, y si θb <90 ◦, trabajo negativo se hace ya que se mueven con el campo. 4.29 Un dipolo tiene un momento espacio libre. Encontrar
y se localiza en
en
El potencial utilizándola el momento bipolar es: |
|
|
|
Donde
|
|
|
|
√
√
(
(
) )
(
√
√ (
√
)
√
)
√
en el
Ejercicio 4.30 Un dipolo para el que la que
se ubica en el origen ¿Cuál es la ecuación de la superficie en ?
Por lo que observamos que será 0 cuando Utilizando la identidad y despejando
(
(
))
(
(
))
(
)
(
(
))
Observamos que
La ecuación de la superficie en la que
nos dará. (
)
(
)
(
)
4.31. Un campo de potencial en el espacio libre se expresa como V=20/(xyz)V. a) Encontrar la energía total almacenada dentro del cubo 1˂x,y,z˂2. b) ¿Cuál es el valor que se obtendría suponiendo una densidad de energía uniforme igual a la que hay en el centro del cubo? a)
(
)
(
)
(
)
∫
∫ ∫ (
∫ ∫ ∫
(
)
∫ ∫ ∫
(
)
∫ ∫ ∫ (
)
∫ ∫ (
)
(
)
∫ ∫ (
∫ (
∫ (
(
(
)
∫ (
[(
(
)
)
(
[(
(
(
)
( ( )
( ( )(
(
)
(
)( )
(
)(
)
(
)(
)
))
(
))
( ))
((
)
((
)] [
)
(
))
[(
)
(
)
)
)
)
(
(
] [
]
)
))]
)(
)))]
)
b) C(1.5,1.5,1.5) ∫
∫ ∫ ∫
(
)
∫ ∫ (
)
∫ ∫ (
)
∫ (
)
∫ (
)
(
)
4.32 a) Utilizando la ecuación (36), encontrar la energía almacenada en el campo dipolar en la región r>a. b) ¿Por qué no es posible que a se aproxime a cero como límite? Solución: Ecuación (36)
∫
∫
∫ ∫
∫ ∫
[
(
]∫
|
)(
)∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫
(
)
(
∫
(
)
∫
(
)
)
(
)
b) A partir del resultado anterior, una singularidad en la energía se produce cuando
a
→ 0. Más
a no puede ser demasiado pequeña, o el campo lejano original utilizada para derivar la ecuación (36) (a>> d) no se mantendrá, y así la expresión de campo no será válida. importante,
4.33) Una esfera de cobre de radio igual a contiene una carga total distribuida uniformemente de en el espacio libre. Utilice la ley de Gauss para encontrar D fuera de la esfera. Calcular la energía total almacenada en el campo electrostático. Utilizar para calcular la capacitancia de la esfera aislada.
∫
En donde
∫(
) (
∫ ∫ ∫*
)
+
| *
+ ∫* +
*
*
+(
)|
+(
(
)
)
4.34 Una esfera de radio a contiene una densidad uniforme de carga volumétrica de Encontrar la energía total almacenada aplicando a) la ecuación (43); b) la ecuación (45) Solución.
Donde: Para
Para
a) Ecuación 43
.
∫
∫ Para ∫
∫
Para ∫
∫
[
]
∫ ∫∫
∫
∫
*
+
*
+
*
+
a) Ecuación 45 ∫ Para ∫ ∫∫
(
)
∫ ∫∫
* +
Para ∫ ∫∫
∫ ∫∫
(
)
[
]
4.35 Cuatro cargas puntuales de 0.8 nC se ubican en el espacio libre en las esquinas de un cuadrado de 4cm de lado. a) Encontrar la energía potencial total almacenada. ∑
√ [
√
[
√
] ]
Como tenemos 4 cargas:
[
√
]
b) Una quinta carga de 0.8nC este en el centro del cuadrado. Encontrar de nuevo la energía total almacenada. √ ⁄
La distancia de la quinta carga a √ ⁄
