Cálculo Diferencial Unidad 4 Aplicaciones de la Derivada Actividad 3. Máximo y mínimos y gráfica de una función
1. Se desea inscribir un cilindro circular recto de volumen máximo dentro de un cono como lo muestra la siguiente figura:
Hallar las dimensiones de dicho cilindro.
2. Dada la función f ( x) x 2
3x y el punto P 0
de f ( x) que está más cerca de
5, 5 hallar el punto sobre la gráfica
P 0 .
3. Hallar dos números cuya suma de cuadrados es igual a 100 100 y cuyo producto sea máximo.
4. En un río de 250 m ancho están ubicados dos puntos otro y del mismo lado de
B hay
A y B uno
frente a
un tercer punto C ubicado a 500 m de tal
forma que el segmento AB BC . Una compañía de energía AB es perpendicular a BC . eléctrica quiere tender un cable desde A hasta C parando por el punto D , como lo muestra a figura:
Cálculo Diferencial Unidad 4 Aplicaciones de la Derivada Si el costo por metro del cable bajo tierra es 30% más barato que el cable bajo el agua. ¿Cómo se d
5. Utilizando el método presentado en esta unidad, grafica la curva f ( x) x3
4x .
La función es un polinomio, luego está definido en todo R, es continua y no tiene asíntotas. Tiene simetría central por ser todos los términos impares con lo cual Los cortes con el eje X son
Y el corte con el eje Y es La derivada primera es Los puntos críticos son √ √ La derivada segunda es es f ''(x) negativa. Luego es un máximo En √
es f ''(x) positiva, luego es un mínimo √ En es f '(x) positiva luego la función crece √ por ejemplo en 0 f'(0) = -4 es negativa luego la función En √ √ Y en
decrece
√ es positiva como lo prueba el hecho que el límite en es luego la función crece. Y en
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Y la derivada segunda
Es negativa en luego la función es cóncava hacia abajo. Es positiva en luego la función es cóncava hacia arriba. Y esta es la gráfica.
6. Utilizando el método presentado en esta unidad, grafica la curva f ( x) x sen 2 x
Es una función continua, tiene un corte con los ejes en el punto (0, 0) y los otros son difíciles de calcular. No tiene asíntotas de ningún tipo. Veamos los máximos, mínimos, zonas de crecimiento y decrecimiento, para ello la derivamos e igualamos a cero
Cálculo Diferencial Unidad 4 Aplicaciones de la Derivada Y todos estos máximos, mínimos, crecimientos, decrecimientos y concavidades se repiten cada
.
7. Utilizando el método presentado en esta unidad, grafica la curva f ( x ) x 4
4x 2
4
Derivando su primera derivada
Luego su segunda derivada Aplicando que Entonces los números críticos son √ √ Los valores de la segunda derivada Es un máximo local (√ ) (√ ) Estos son mínimos locales Entonces la gráfica es:
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8. Utilizando el método presentado en esta unidad, grafica la curva f ( x)
x 1 x 1
.
Es una función definida en todo R menos en x=1. Tiene el corte con el eje X en x=-1 Y el corte con el eje Y en
Tiene asíntota vertical en x = 1 La derivada es
Es siempre negativa luego siempre es decreciente y no tiene máximos ni mínimos realtivos. La derivada segunda es
En por ejemplo es cóncava hacia abajo En por ejemplo es cóncava hacia arriba.
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