introduccion a las ecuaciones diferencialesDescripción completa
Descripción: aplicacion de las ecuaciones diferenciales al modelamiento del vaciado, drenado de un tanque, recipiente.
ECUACIONES DIFERENCIALES
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Ejercicios de ecuaciones diferenciales resueltos
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Descripción: ecuaciones diferenciales
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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
ECUACIONES DIFERENCIALES
TRABAJO UNIDAD 1
TUTOR PEDRO JOSE RUIZ
Presentado JESUS MIGUEL VEGA MARTINEZ Cod: 1.068.820.373 1.068.820.373
´ ESCUELA DE LA CIENCIA Y LA EDUCACI ON ´ LICENCIATURA EN MATEMATICAS
SEPTIEMBRE DE 2016.
1
ACTIVIDAD 5 Ejercicios 1.1
En los problemas 19 y 20 compruebe que la expresi´ on indicada es una soluci´on impl´ıcita de la ecuaci´on diferencial dada. Encuentre al menos una soluci´ on expl´ıcita y = φ(x) en cada caso. Use alguna aplicaci´on para trazar gr´ aficas para obtener la gr´afica de una soluci´ on expl´ıcita expl´ıcita D´e un intervalo I de definici´ on de cada soluci´on φ 19 . dx = (x dt
En los problemas 21 a 24 compruebe que la familia de funciones indicada es una soluci´ on de la ecuaci´ on diferencial dada. Suponga un intervalo I de definici´ on adecuado para cada soluci´ on.
21 .
dp dt
= P (1 − P ) ;
dp dt
= P (1 − P ) ;
dp dt
=
dp dt
=
P
C 1 et 1+C 1 et
P
C 1 et 1+C 1 et
(1+C 1 et )(C 1 et ) (C 1 et )(C 1 et ) 1+C 1 et (1+C 1 et ) C 1 et C 1 et t . 1+C 1 e 1+C 1 et
−
−
4
C 1 et 1+C 1 et
como p =
dp dt
dp dt
=
1−
C 1 et 1+C 1 et
C 1 et 1+C 1 et
= P (1 − P )
dy + 2xy = 1 22 . dx dy + dx
2xy = 1 ;
2
y = e −x
;
2
y = e −x
x 0
x 0
t2
e t2
e
dt
dt
+
2
C 1 e−x 2
C 1 e−x
+
ahora derivamos ”y” 2
y = e −x ex
2
2
− 2e−x 2
y = 1 − 2xe−x
x 0
t2
e
x 0
t2
e
dt
dt
− −
2C 1e−x 2
2C 1 xe−x
sustituimos la integral dy + dx
2xy = 1 2
1 − 2xe−x
x 0
t2
x2
e dt − 2C xe− 1
2
+ 2C 1 xe−x + 2ex−x
2
x 0
t2
e dt − 2C xe− 1
x2
=1
Las gr´ aficas de los miembros de una familia uni-param´etrica x 3 + y 3 = 3cxy se llaman folium de Descartes. Compruebe que esta familia es una soluci´ on impl´ıcita de la ecuaci´on diferencial de primer orden. dy dx
=
y(y3 2x3 ) x(2y 3 x3 )
− −
despejamos x3 +y3 xy
= 3c
5
dy dx
=
y(y 3 2x3 ) x(2y 3 x3 )
− −
aplicamos la derivada xy(3x2 +3y 2 y ) (x3 +y 3 )(xy +y) x2 y 2
−
=0
3x3 y + 3xy 3y − x4 y − x3 y − y3 y − y4 = 0 3xy 3 y − x4 y − y 3y =
−3x3y + x3y + y 4
factorizamos y (3xy3 − x4 − y3 ) = y 4 + x3 y − 3x3 y y =
y 4 +x3 y 3x3 y 3xy3 x4 y 3
y =
y(y 3 2x3 ) x(2y 3 x3 )
− − −
− −
Ejercicios 1.2
En los problemas 7 a 10, x = c1 cost + c2 sent es una familia de soluciones de dos par´ametros de la ED de segundo orden x + x = 0. Determine una soluci´ on del PVI de segundo orden que consiste en esta ecuaci´ on diferencial y las condiciones iniciales dadas. 9. x
π 6
=
1 ; 2
x
π 6
= 0
Soluci´on remplazamos x (π/6) = 1/2 en la familia de soluciones c1 Cos(π/6) + c2 Sen(π/6) =
√ cos = y sen √ 3 2
π 6
3 2
c1 + 21 c2 =
1 2
1 2
1 2
derivamos x
6
d d (c1 cos (t)) + dx (c2 sen (t)) dt
x (t) =
x (t) = −c1sen (t) + c2 cos (t) π 6
= 0 y obtenemos − c sen + c cos = 0 √ remplazamos x 1
= √ 2 remplazar cos + c sen = √ 2 c cos π 6
π 4
1
√
2
√
2 c + 22 c2 2 1
=
√
π 4
2
derivamos x x (t) = −c1sen (t) + c2 cos (t)
√ √ √ √ − c sen + c cos = 2 2 − c + c = 2 2 π 4
1
π 4
2
2 2 1
2 2 2
conformamos el sistemas de ecuacion 2 × 2
√
√
2 c + 22 c2 2 1
√
=
√
2 (1)
√
2 c + 22 c2 = 2 1
−
√
2 2 (2)
aplicamos el metodo de sustituci´ on
√
√
2c2 = 3 2
aplicamos el metodo de sustituci´ on
√
√
2c2 = 3 2
c2 = 3 remplazamos c2 en la ecuaci´on 1
√ 2 2
c1 +
√ 3 2 2
=
√
√ 2 2
c1 +
√ 2
(3) = 2
2
8
√
2
√ 2 √ 22 2
c1 =
√
2−
c1 = −
c1 =
√ 2
√
3 2 2
2
−1
tenemos
x =
−cos (t) + 3sen (t)
En los problemas 17 a 24 determine una regi´ on del plano xy para el que la ecuaci´on diferencial dada tendr´ıa una soluci´ on u ´ nica cuyas gr´ aficas pasen por un punto (x0 y0 ) en la regi´on.
d 19 x dx = y d x dx = y
se tiene que
√ f (x, y) = xy
tenemos
df dy
=
1 2
x y
Por lo tanto, la ecuaci´ on diferencial tendr´ a una soluci´ on u ´nica en cualquier regi´on donde x > 0
y
y > 0 o donde x < 0
y
y < 0.
45 Crecimiento de la poblaci´ on Al inicio de la siguiente secci´ on veremos que las
ecuaciones diferenciales se pueden usar para describir o modelar diversos sistemas f´ısicos. En este problema suponemos que un modelo de crecimiento de la poblaci´ on de una peque˜ na comunidad est´ a dado por el problema con valores iniciales
Por lo tanto,la poblaci´ on est´ a aumentando aun razon de 3.500 individuos por a˜ no. 9
La poblacion es 500 en el tiempo t=T a continuaci´ on. dp dt
= 0,15P (T ) + 20.
dp dt
= 0,15P (500) + 20 = 95
t = T en este momento, la poblaci´on se est´a incrementando a un ritmo de 9.500 individuos por a˜ no.
Ejercicios 1.3
a saliendo agua de un tanque a trav´es de un agujero circular 13. Suponga que est´ de a´rea Ah que est´a en el fondo. Cuando el agua sale a trav´es del agujero, la fricci´on y la contracci´on de la corriente cerca del agujero reducen el volumen de agua
√
que sale del tanque por segundo a cAh 2gh donde c (0 < c < 1) es una constante emp´ırica. Determine una ecuaci´ on diferencial para la altura h del agua al tiempo t para el tanque c´ ubico que se muestra en la fi gura 1.3.11. El radio del agujero es de 2 pulg, y g = 32 pies s 2
Figura 1: FIGURA 1.3.11 Tanque c´ ubico del problema 13
10
´ SOLUCION V=volumen Aw =´area cuadrada del tanque l=10 pies : arista del tranque El volumen de agua en el tanque en el tiempo t es V = A w h dh dt
=
2 2 12 cπ/36 100
dh dt
=
cπ 450
Ah = π
π 36
= , , tenemos A =100 y g=23;esto se convierte 2(32) h = = √ 64h √
w
dh dt
cπ/36 100
h
19 Despu´ es de que se fi ja una masa m a un resorte, ´este se estira s unidades y
cuelga en reposo en la posici´ on de equilibrio como se muestra en la fi gura 1.3.17b. Despu´es el sistema resorte/masa se pone en movimiento, sea que x(t) denote la distancia dirigida del punto de equilibrio a la masa. Como se indica en la fi gura 1.3.17c, suponga que la direcci´ on hacia abajo es positiva y que el movimiento se efect´ ua en una recta vertical que pasa por el centro de gravedad de la masa y que las u ´ nicas fuerzas que act´ uan sobre el sistema son el peso de la masa y la fuerza de restauraci´ on del resorte estirado. Utilice la ley de Hooke: la fuerza de restauraci´on de un resorte es proporcional a su elongaci´ on total. Determine una ecuaci´ on diferencial del desplazamiento x(t) al tiempo t.
Figura 2: FIGURA 1.3.17 Sistema resorte/masa del problema
11
La fuerza neta que act´ ua sobre la masa es F = ma = m F = ma = m
d2 x dt2
d2 x dt2
F = −kx F = −k(s + x) + mg = −kx − ks + mg Puesto que la condici´on de equilibrio es de mg = ks la ecuaci´on diferencial es m
d2 x dt2
= −kx
27 Superficie reflectora Suponga que cuando la curva plana C que se muestra en
la fi gura 1.3.21 se gira respecto al eje x genera una superficie de revoluci´ on, con la propiedad de que todos los rayos de luz paralelos al eje x que inciden en la superficie son reflejados a un solo punto O (el origen). Utilice el hecho de que el a´ngulo de incidencia es igual al ´angulo de reflexi´ on para
Figura 3: FIGURA 1.3.21 Superfi cie refl ectora del problema 27 determinar una ecuaci´ o n diferencial que describa la forma de la curva C. Esta curva Ces importante en aplicaciones como construcci´ on de telescopios o antenas de sat´elites, faros delanteros de autom´ oviles y colectores solares. [Sugerencia: La inspecci´ on de la figura muestra que podemos escribir φ = 2θ ¿por qu´e? Ahora utilice una identidad trigonom´etrica adecuada.] ´ SOLUCION vemos que la f igura