Ecoulements dans les canaux
Définitions Canal découvert
Canaux couverts
Un canal est une conduite dans laquelle l’eau circule en présentant une surface libre. La position de cette surface libre n’est pas fixée à priori, et la géométrie de l’écoulement n’est donc pas connue. A la surface libre la pression est égale à la pression atmosphérique. Si les parois ne se referment pas au-dessus de la surface libre on dira que le canal est découvert. Dans le cas contraire, on parle de canaux couverts (drains, égouts,…). Pour qu’un canal couvert se comporte comme canal à surface libre il faut que la pression reste la pression atmosphérique et donc qu’il reste une tranche d’air suffisante pour qu’il ne se produise pas d’effet pneumatique. Cela arrive par exemple lorsqu’un réseau d’assainissement pluvial tend à se mettre en charge.
Définitions
Génératrice
Un canal est dit uniforme lorsque son lit est cylindrique (engendré par une génératrice s’appuyant sur un contour) et conserve des parois de même nature d’une section à l’autre. Dans ce cas la pente longitudinale, la direction, la nature des parois et les sections transversales sont constantes.
Nature des parois variable transversalement mais constante longitudinalement
Contour
Toute modification d’un de ces paramètres constitue une singularité qui rompt l’uniformité du canal. Ainsi les canaux naturels ne sont jamais strictement uniformes même si souvent nous serons amenés à admettre qu’ils le sont en moyenne.
Définitions On appelle section transversale d’un canal , une section plane, normale à la direction générale de l’écoulement. Pour un canal uniforme cette section est perpendiculaire à la génératrice. La section mouillée est la portion de la section transversale occupée par le liquide. Les principaux éléments que l’on peut définir à partir de la section mouillée sont : B : la largeur au miroir, ou largeur mouillée (largeur la surface libre) ; H : hauteur d’eau, ou profondeur (mesurée à partir du point le plus bas de la section ; S : Surface mouillée (aire occupée par l’eau dans la section transversale) ; p : Périmètre mouillée (longueur du contact transversal eau – paroi). A partir de ces éléments on définit les paramètres suivants :
Rh
S :le rayon hydraulique; p B
Dh 4 Rh
4S p
: le diamètre hydraulique ;
S
S Hm : la profondeur moyenne B
H p
REPARTITION DES VITESSES Dans les canaux les écoulements sont quasi toujours turbulents. La vitesse en un point varie en grandeur et en direction autour d’une vitesse moyenne appelée vitesse locale Vl. Ces vitesses locales ne sont jamais distribuées uniformément dans la section. Cette répartition est représentée par des courbes isodromes (égales vitesses). On constate une décroissance rapide des vitesses au voisinage des parois. Le point à vitesse maximale est généralement situé vers le milieu de la section et près de la surface libre. Sur une verticale, le profil des vitesses prend généralement une allure parabolique L’intégrale des vitesses locales le long d’une verticale est appelée profil unitaire et noté P.U. : Zo
P.U .( x)
Zf ( x )
V1 ( x, z )dz
PENTES LONGITUDINALES L’étude des écoulements dans les canaux fait régulièrement intervenir la pente I du fond du canal (pente du radier) et la pente de la surface libre i. Par définition on a : I = sin (θ) et i = sin (γ) En général ces angles sont suffisamment faibles pour avoir : I = sin (θ) tg(θ) θ et i = sin (γ) tg(γ) γ cos (θ) 1 et cos (γ) 1 Les pentes seront comptées positivement si le radier et la surface libre descendent dans le sens du courant.
Surface lib re
Radier
Horizontale
PERTES DE CHARGE DANS LES ECOULEMENTS A SURFACE LIBRE CHARGE DANS UNE SECTION Les écoulements à surface libre correspondent très généralement à un écoulement pleinement turbulent. Même en régime uniforme, les vitesses locales ont donc des composantes moyennes auxquelles s’ajoutent des composantes aléatoires de moyennes nulles. La charge moyenne dans une section transversale est donc particulièrement délicate à calculer. Par la suite on admettra que la répartition des pressions est sensiblement hydrostatique et que l’écoulement est assimilable à un écoulement ou la vitesse V est partout la même (V=Q/S). La charge moyenne E dans une section (où le fond est à la cote Zf, où le tirant d’eau est H et où la vitesse moyenne est V=Q/S) est donc : E = Zf + H + V2/2g
VARIATION DU MOUVEMENT DANS L’ESPACE Le régime est dit uniforme lorsque les profils des vitesses se translatent d’une section à l’autre. Le régime uniforme ne peut donc se rencontrer que dans un canal uniforme et en régime permanent. La pente du fond est alors égale à la pente de la surface libre. Dans les autres cas on parle de régime varié. Si les vitesses augmentent on dira que le régime est accéléré si elles diminuent le régime est qualifié de retardé. Enfin on distinguera les régimes graduellement variés, où les pertes de charge sont analogues à celles du régime uniforme, des régimes brusquement variés.
Régime uniforme
Régime varié graduellement retardé
Régime varié graduellement accéléré
Régime varié brusquement retardé
NOTION PHYSIQUE DE LA PERTE DE CHARGE Pertes de charge en régime uniforme La perte de charge ΔH entre deux sections distantes d’une longueur L est évidemment :
P1 V12 P2 V22 H E1 E2 Zf1 Zf 2 g 2g g 2g Les vitesses et tirant d’eau étant constants d’une section à l’autre on a :
H Zf1 Zf 2 Et le coefficient de perte de charge linéaire J n’est autre que :
V12/2g
H Zf1 Zf 2 J I L L 2
P1/g
Hn
V2 /2g P2/g
Zf1
Ligne d’énergie Niveau piézo. Radier
L Zf2
Plan horizontal de référence
NOTION PHYSIQUE DE LA PERTE DE CHARGE En régime uniforme, l’écoulement se fait avec un tirant d’eau tel que la perte de charge linéaire est égale à la pente du radier et à la pente de la surface libre. La baisse de l’énergie de position compense exactement les pertes d’énergie dans l’écoulement. Lorsque le régime uniforme est atteint le tirant d’eau H prend une valeur constante Hn dite hauteur d’eau normale. Le premier à étudier ce phénomène fut Chezy. Il constata que la vitesse moyenne V dans la section était liée à la pente I, au rayon hydraulique Rh par un coefficient C selon l’expression :
V C Rh I (C coefficient de Chezy) Nous verrons un peu plus loin que ce coefficient C, n’est pas exactement une constante pour un canal donné.
FORMULATIONS DES PERTES DE CHARGE Formule de Chezy : Nous avions vu dans l’analyse dimensionnelle des pertes de charge en écoulement en charge que l’on devait avoir :
V 2 j 2 gD
en posant C 2
8g et D 4 Rh, on obtient :
ce qui justifie la formule de Chezy :
V2 j 2 C Rh
V C Rh j
En fait le coefficient de Chezy C varie avec le nombre de Reynolds et surtout avec la rugosité relative du canal.
FORMULATIONS DES PERTES DE CHARGE Formule de Bazin : Bazin propose d’évaluer le coefficient C de Chézy par la relation :
C
87 1 Rh
ce qui donne encore :
V
87 Rh j 1 Rh
Le coefficient γ dépend de la nature des parois
FORMULATIONS DES PERTES DE CHARGE Formule de Manning-Strickler: C’est la formule la plus largement usitée de nos jours. Elle préjuge que le coefficient C de Chézy varie comme :
1 16 C Rh n où le coefficient de Manning n varie avec la nature des parois ; ou encore :
C k Rh
1
6
où le coefficient de Strickler k varie avec la nature des parois (évidemment k=1/n). On utilise généralement le coefficient de Strickler et la formule générale de la vitesse est :
V k Rh
2
3
j
1
2
VARIATION DE L’ENERGIE LE LONG D'UN COURANT Comparaison des pertes de charge singulières en conduite et en canal Il existe une différence fondamentale entre les pertes de charge singulières dans une conduite longue et dans un canal uniforme. Comme le montre la figure suivante, si l'on provoque une perte de charge singulière dans une conduite longue il est évident que le débit va décroître. ½ V'²/2g
½ V²/2g
Perte de charge linéaire j(Q')
Perte de charge linéaire j(Q)
Q
Q'
Perte de charge singulière Js(Q')
V²/2g
Perte de charge linéaire j(Q') V'²/2g
Singularité (diaphragme)
Dans un canal uniforme en régime uniforme (pas de singularité), la perte de charge linéaire est partout la même : J(Hn)=I Ligne d'énergie
V'²/2g Hn
Ligne d'eau
Par contre si l'on introduit dans un canal uniforme une singularité (ici un déversoir), il n'y aura pas de diminution du débit. En effet à l'amont du déversoir, le niveau d'eau va augmenter et devenir supérieur à Hn. La perte de charge linéaire sera alors inférieure à I et on réalisera une "économie" de perte de charge. Dans le ressaut situé à l'aval du déversoir, il y aura bien une perte de charge singulière, mais elle est exactement compensée par l'économie précédente. L'introduction d'une singularité ne changera donc rien dans le débit du canal. V²/2g Hn
Economie de perte de charge H>Hn => j(H)
perte de charge singulière Ligne d'énergie V²/2g Hn
Singularité (déversoir)
Ligne d'eau
Transformation d'énergie le long du courant Soient deux sections transversales, notées 1 et 2, on peut appliquer le théorème de Bernoulli entre ces deux sections :
V12 V22 z1 z2 J12 2g 2g ou encore :
z1 z 2
V22 V12 J1 2 2g
J1-2 représente ici la perte de charge entre les sections 1 et 2 et celle-ci ne peut être que positive.
V1²/2g
J1-2
Ligne d'énergie
V2²/2g
H1
Ligne d'eau z1 H2
zf1 Zf2
z2
Transformation d'énergie le long du courant Si le régime est accéléré on a V2>V1 et la différence z1-z2 est forcément positive : la ligne d'eau est toujours descendante en régime accéléré. Si le régime est retardé on a V2
Régime uniforme
Régime varié graduellement retardé
Régime varié graduellement accéléré
Régime varié brusquement retardé
ÉTUDE DES SECTIONS TRANSVERSALES
INFLUENCE DE LA PROFONDEUR SUR LES ÉLÉMENTS TRANSVERSAUX Pour une forme de section donnée, l'influence de la hauteur H se fait sentir sur les valeurs du rayon hydraulique et de profondeur moyenne. Cette influence dépend également de la forme de la section selon qu'elle est évasée vers le haut ou qu'elle va au contraire en se rétrécissant. Rayon hydraulique : Généralement, le rayon hydraulique croît avec H pour les lits ouverts ; cependant il peut se produire des exceptions dans certains cas de canaux à forme complexe. Ceci est le cas pour les canaux s'évasant très rapidement en particulier le cas de deux rectangles emboîtés, il se produit alors une baisse momentanée du rayon hydraulique au passage entre les deux rectangles. Pour les sections fermées, Rh est d'abord croissant, puis il décroît ensuite à l'approche de la voûte. Dans tous les cas Rh est toujours inférieur à H.
Rh(H)
Rh(H)
Rh(H)
H
H
H
Profondeur moyenne : La profondeur moyenne Hm=S/B, croît avec H, sauf pour les lits de forme complexe cités cidessus où elle peut subir une légère décroissance au passage de la singularité de ce lit. Pour les lits ouverts, Hm est toujours inférieur à H. Dans le cas des lits fermés Hm peut devenir supérieur à H.
B Hm
H B
H
Hm
Cas du rectangle infiniment large Dans tous les cas Rh est inférieur à Hm puisque la largeur au miroir B est toujours inférieure au périmètre mouillé p. Cependant, considérons le cas particulier d'un rectangle très large : S = B H , p = B + 2 H et Hm=S/B = H Rh = S / p = BH / ( B + 2 H ) dans ce cas on peut considérer que 2 H est négligeable devant B : H = Hm = Rh Cette remarque est importante car ce cas particulier n'est pas rare ; en effet, il en est ainsi pour tous les cours d'eau très larges et peu profonds.
B H
INFLUENCE DES DIVERS PARAMÈTRES SUR LE DÉBIT Si on emploie la formule de Manning - Strickler pour exprimer le débit en régime uniforme, l'expression de ce débit est : 2/3 1/2
Q k S Rh
I
L'influence des divers paramètres est donc : - k, coef. de Strickler dépendant de la nature de la paroi. Le débit augmente lorsque la rugosité de la paroi diminue. - I, pente du radier du canal. Le débit augmente en même temps que la pente. - S et Rh dépendent de H ; il n'est pas possible, a priori, de connaître le sens de variation du produit S x Rh. Il faut alors étudier chaque cas particulier. Dans la pratique, il se pose deux types de problèmes principaux: - Le premier est de déterminer la forme de la section à donner à un canal pour que le débit soit maximum. On se donne la section mouillée, la pente et la nature des parois. - Le deuxième type de problème est de déterminer le débit pour un canal donné (forme, nature des parois et pente connues) en fonction de la hauteur d'eau.
PROFILS DE DÉBIT MAXIMUM DANS LE CAS DES SECTIONS ÉVASÉES Supposons que l'on cherche le débit maximum pour un canal où k, S et I sont donnés. Le débit maximum est obtenu pour une forme telle que pour une aire S donnée, le périmètre mouillé soit minimum. Le problème est donc uniquement un problème de géométrie plane. Forme demi-circulaire On sait que la forme circulaire est celle pour laquelle le périmètre est minimum pour une surface donnée. Dans la pratique cette forme de section se prête mal à des canaux de grandes dimensions et on ne la rencontre guère que dans les anciens canaux d'irrigation ou dans les gouttières de maisons.
Forme trapézoïdale Supposons que l'on désire construire un canal de forme trapézoïdale isocèle. Ce trapèze sera défini par sa base Bo, sa profondeur H et la pente m (ou fruit) de ses côtés par rapport à la verticale. m = Cotg (α) ;
p B0 2 H 1 m
S = H (Bo + mH)
Rh
2
O
H (Bo mH) B0 2 H 1 m 2 B
E
d/2
F
H (1 + m2)1/2
D B0
C mH
H
m est une donnée mais la section S dépend de H et de Bo. Cependant S étant une donnée du problème, les variations de S en fonction de H, et de S en fonction de Bo doivent se compenser :
dS = H d Bo + (Bo + 2mH) dH = 0 Pour que le débit soit maximum on doit avoir un périmètre minimum donc :
dp dB0 2 1 m 2 dH 0 HdB0 B0 2mH dH 0 B0 2mH 2 H H dB0 2 H
1 m 2 dH 0
1 m2
B0 H 2
1 m 2 mH
Sur la figure on remarque que : B0 DC OE 2 H H 1 m2 CB OE CB EB sin( )
OE EB OB CB
mH H cot g ( ) EB Le triangle OBC est donc isocèle et ses hauteurs correspondantes EC et OF sont donc égales d'où : OD = OF Le profil de débit maximal pour un trapèze isocèle est donc celui qui est circonscrit à un demi-cercle dont le diamètre coïncide avec la surface libre.
O
B
E
d/2
F
H (1 + m2)1/2
D B0
C mH
H
La forme rectangulaire peut être considérée comme un cas particulier du trapèze dans lequel m = 0. La condition de débit maximum pour une section donnée s'écrit alors :
H
B0 2 H
1 m m 2
2H = B0
p 2H 2 1 m2 m
S H 2 2 1 m2 m
H Rh 2
SECTIONS VOÛTÉES Profondeur de débit maximum Comme on l'a vu plus haut, le débit dans une section voûtée croît avec la hauteur, puis décroît au voisinage de la voûte. En effet, au voisinage de la voûte, le périmètre mouillé croît plus vite que la section mouillée, et bien que la surface offerte à l'écoulement augmente, il se produit une baisse de débit due à la diminution de la vitesse.
Profondeur de vitesse maximum La formule de Manning - Strickler montre que le maximum de vitesse correspond au maximum de Rh
Dans la pratique les résultats de ces deux calculs ne sont pas exploitables. En effet, la tranche d'air ménagée entre la surface et la voûte est trop faible pour que l'on soit sûr que la conduite ne se mette en charge ce qui provoque des effets pneumatiques néfastes pour la conduite et le débit transité. Dans la pratique, on choisit une hauteur plus prudente de b, ce qui correspond à un angle mouillé de 240°. La perte de débit correspond à 15 % environ par rapport au débit maximum théorique H
Niveau théo. de débit max.
2r = D 1.88 r
Niveau théo. de vitesse max.
Rh(H) 1.63 r 1.5 r
Niveau pratique optimale 15 % Q(H) r = D/2 V(H) = 302°
0.5 r
= 258° = 240° 0
Exercice 1 : On considère la section droite ABCD d'un canal. Le fond du canal BC est à l'altitude zB=zC=115,25 m et sa largeur est BC=1,5 m. En rive droite se trouve un terre-plein horizontal à l'altitude zD=116 m. En rive gauche se trouve un terre-plein horizontal à l'altitude zA=116,5 m. La pente du canal est de 50cm par km. La pente de la berge AB est de 50% et celle de la berge CD est de 33,3%. La hauteur d'eau dans le canal est h=0,5 m. Le débit de l'écoulement est Q=0,875 m3.s-1. 1. Quelle est la valeur du coefficient de Strickler du canal ?
Exercice 2 Un tuyau d’égout circulaire ayant un coefficient de Manning de n=0,015 est posé sur une pente I=0,0002. Lorsque la hauteur d’eau atteint 0,9 fois son diamètre, ce tuyau d’égout doit transporter un débit Q=2,5 m3s-1 Calculer le diamètre de cet égout ?
ENERGIE SPECIFQUE
Définition : L'énergie spécifique (ou énergie interne) E d'une section mouillée représente l'énergie moyenne des particules de la section, par unité de poids. Cette énergie, exprimée en hauteur d'eau, est rapportée au plan horizontal passant par le point le plus bas de la section. Cette définition diffère de celle de la charge totale, puisque celle-ci est rapportée à un plan de référence fixe, alors que pour l'énergie spécifique le plan de référence diffère d'une section à l'autre.
DÉFINITION DU RÉGIME CRITIQUE 1 Profondeur critique On appelle profondeur critique la profondeur Hc commune aux sommets des courbes H(E) et H(Q). Cette profondeur est donc celle pour laquelle le débit est maximum pour une énergie donnée et l'énergie minimum pour un débit donné. 2 Énergie critiques Pour cette profondeur on dit que le régime est critique, la surface libre occupe le niveau critique Nc. Tous les éléments géométriques liés à H = Hc seront qualifiés de critiques. Parmi les éléments critiques, on parlera également d'énergie critique, abscisse du point CE, et de vitesse critique Vc. 3 Régime critique - Lorsque H est inférieur à la hauteur critique on dira que le régime est supercritique ou supracritique. H < Hc V > Vc Fr > 1 - Lorsque H est supérieur à la hauteur critique on dira que le régime est infracritique ou subcritique. H > Hc V < Vc Fr < 1 - En régime critique l'énergie spécifique est minimum donc sa différentielle est nulle.
