Economia empresarial - 1 (Reparado).docx

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO

ECONOMÍA EMPRESARIAL 1 Matemática aplicada a la economía DOCUMENTO REPRODUCIDO CON FINES DE CAPACITACIÓN PROFESIONAL

CONTENIDO Competencias 1. TEOR TEORÍA ÍA DE CON CON!N !NTO TOS. S.

2 ". RELA RELACI CION ONES ES # $!NCI $!NCIONE ONES. S. %. CON!NTOS CON!NTOS N!M&RICO N!M&RICOS. S. OPERACION OPERACIONES ES CON N'MEROS N'MEROS # S!S S!S PROPIEDADES PROPIEDADES.. (. POLINO POLINOMIO MIOS S # E)PRES E)PRESION IONES ES AL*E+RA AL*E+RAICA ICAS. S. ,. EC!ACIONES EC!ACIONES.. SISTEMA SISTEMAS S DE EC!ACIONES EC!ACIONES LINEALES. LINEALES. -. INEC INEC!A !ACI CION ONES ES.. . MATRI MATRICES CES # DETERM DETERMINA INANTE NTES. S. /. ESPA ESPACI CIOS OS 0ECT 0ECTORI ORIAL ALES ES.. . 0ALORES 0ALORES # 0ECTORES 0ECTORES PROPIOS. PROPIOS. DIA*ONALI2A DIA*ONALI2ACI3N. CI3N. 14. $!NCIONES DE !NA 0ARIA+LE. *R5$ICAS *R5$ICAS DE $!NCIONES ELEMENTALES. ELEMENTALES. OPERACIONES CON $!NCIONES. $!NCI3N IN0ERSA # $!NCI3N COMP!ESTA. 11. LÍMITES # CONTIN!IDAD DE $!NCIONES. $!NCIONES. 1". DERI0ACI3N # DI$ERENCIACI3N. INTERPRETACI3N INTERPRETACI3N *EOM&TRICA DE LA DERI0ADA. REPRESENTACI3N *R5$ICA DE $!NCIONES. MONOTONÍA6 E)TREMOS # CONCA0IDADES. 1%.ELASTICIDAD. 1(. PRIMITI0AS. INTE*RALES INTE*RALES INDE$INIDAS. 1,. INTE*RALES DE$INIDAS. INTE*RALES IMPROPIAS. IMPROPIAS. 1-. $!NCIONES DE 0ARIAS 0ARIA+LES. *R5$ICO. *R5$ICO. LÍMITES6 CONTIN!IDAD. 1. DERI0ADAS PARCIALES6 DI$ERENCIACI3N6 DI$ERENCIACI3N6 0ECTOR *RADIENTE. 1/. ELASTICIDAD PARCIAL. 1. CON!NTOS CON0E)OS. $!NCIONES CON0E)AS. "4. E)TREMOS EN $!NCIONES DE 0ARIAS 0ARIAS 0ARIA+LES. IDECAP | IDECAP | Matemática Matemática aplicada aplicada a la economía economía

2 ". RELA RELACI CION ONES ES # $!NCI $!NCIONE ONES. S. %. CON!NTOS CON!NTOS N!M&RICO N!M&RICOS. S. OPERACION OPERACIONES ES CON N'MEROS N'MEROS # S!S S!S PROPIEDADES PROPIEDADES.. (. POLINO POLINOMIO MIOS S # E)PRES E)PRESION IONES ES AL*E+RA AL*E+RAICA ICAS. S. ,. EC!ACIONES EC!ACIONES.. SISTEMA SISTEMAS S DE EC!ACIONES EC!ACIONES LINEALES. LINEALES. -. INEC INEC!A !ACI CION ONES ES.. . MATRI MATRICES CES # DETERM DETERMINA INANTE NTES. S. /. ESPA ESPACI CIOS OS 0ECT 0ECTORI ORIAL ALES ES.. . 0ALORES 0ALORES # 0ECTORES 0ECTORES PROPIOS. PROPIOS. DIA*ONALI2A DIA*ONALI2ACI3N. CI3N. 14. $!NCIONES DE !NA 0ARIA+LE. *R5$ICAS *R5$ICAS DE $!NCIONES ELEMENTALES. ELEMENTALES. OPERACIONES CON $!NCIONES. $!NCI3N IN0ERSA # $!NCI3N COMP!ESTA. 11. LÍMITES # CONTIN!IDAD DE $!NCIONES. $!NCIONES. 1". DERI0ACI3N # DI$ERENCIACI3N. INTERPRETACI3N INTERPRETACI3N *EOM&TRICA DE LA DERI0ADA. REPRESENTACI3N *R5$ICA DE $!NCIONES. MONOTONÍA6 E)TREMOS # CONCA0IDADES. 1%.ELASTICIDAD. 1(. PRIMITI0AS. INTE*RALES INTE*RALES INDE$INIDAS. 1,. INTE*RALES DE$INIDAS. INTE*RALES IMPROPIAS. IMPROPIAS. 1-. $!NCIONES DE 0ARIAS 0ARIA+LES. *R5$ICO. *R5$ICO. LÍMITES6 CONTIN!IDAD. 1. DERI0ADAS PARCIALES6 DI$ERENCIACI3N6 DI$ERENCIACI3N6 0ECTOR *RADIENTE. 1/. ELASTICIDAD PARCIAL. 1. CON!NTOS CON0E)OS. $!NCIONES CON0E)AS. "4. E)TREMOS EN $!NCIONES DE 0ARIAS 0ARIAS 0ARIA+LES. IDECAP | IDECAP | Matemática Matemática aplicada aplicada a la economía economía

3 "1. OPTIMI2ACI3N CON RESTRICCIONES7 LA*RAN*E6 8!9N:T!C8ER. 8!9N:T!C8ER. "". INTE*RALES DE$INIDAS DE$INIDAS M'LTIPLES. M'LTIPLES. ANE)O:

-

Examen

INTROD!CCI3N Las notas que siguen an si!o "#e"a#a!as "a#a e$ P#o%eso# !e Matem&ti'a A"$i'a!a a $a E'onom(a) "a#a se# uti$i*a!as "o# $os 'u#si$$istas 'omo mate#ia$ !e 'onsu$ta a$te#nati+o !e $os textos #e'omen!a!os en $a ,i,$iog#a%(a Estas notas !i%ie#en !e$ 'onteni!o !e $os '$&si'os textos !e Matem&ti'a "o#que no se o'u"an $os %un!amentos !e $a 'ien'ia ni !e su 'onst# 'onst#u'' u''i.n i.n me!ian me!iante te m/to!o m/to!oss $.gi'o $.gi'o-!e! -!e!u't u'ti+o i+os s Como Como e$ 'u#so 'u#so es !e matem& matem&ti' ti'aa a"$i'a!a0 e$ mismo no se o'u"a !e !emost#a# "#o"ie!a!es 1 teo#emas0 sino !e a"$i'a# estos #esu$ta!os "a#a $a #eso$u'i.n !e "#o,$emas #e$e+antes !e $a 'ien'ia e'on.mi'a Con ese o,2eto en estas notas se #e"asan !i+e#sos 'a"(tu$os !e$ an&$isis 1 !e$ &$ge,#a que $os 'u#si$$istas 'ono'ie#on en $a ense3an*a me!ia 1 en $as 'a##e#as uni+e#sita#ias !e g#a!o Se a'e es"e'ia$ in'a"i/ en e$ &$ge,#a mat#i'ia$0 e$ estu!io !e %un'iones0 $a inte#"#eta'i.n !e $a !e $a !e#i+a!a0 e$ '&$'u$o integ#a$0 $as %un'iones !e +a#ias +a#ia,$es 1 $os m/to!os !e o"timi*a'i.n Ent#e $as a"$i'a'iones a $a E'onom(a que se "#esentan en e$ 'u#so 'a,e men'iona# $a mat#i* !e insumo "#o!u'to0 $a !ete#mina'i.n !e$ +a$o# !e $as 'uotas "a#a 'an'e$a# una !eu!a "a'ta!a a inte#/s 'om"uesto0 $a e$asti'i!a! !e $a !eman!a0 $a '$asi%i'a'i.n !e "#o!u'tos 'omo 'om"$ementa#ios o 'om"etiti+os0 $a asigna'i.n ."tima !e$ "#esu"uesto ent#e $os %a'to#es !e $a "#o!u''i.n0 $a minimi*a'i.n !e$ 'osto !e "#o!u''i.n0 $a maximi*a'i.n !e $a uti$i!a! su2eta a #est#i''iones "#esu"uesta#ias0 ent#e ot#as IDECAP | IDECAP | Matemática Matemática aplicada aplicada a la economía economía

4 Los e2e#'i'ios 1 'asos "#&'ti'os an si!o se$e''iona!os !e %o#ma !e 'ontem"$a# to!os $os temas !e$ "#og#ama4 se an !e"u#a!o en o'asi.n !e $os su'esi+os 'u#sos 1 'om"$ementa!o 'on $os e2e#'i'ios "#o"uestos en $as 5$timas "#ue,as !e examen Estos 'asos "#&'ti'os tienen e$ "#o".sito !e most#a# $as a"$i'a'iones a $a E'onom(a as( 'omo e2e#'ita# a $os 'u#si$$istas en e$ uso !e $os 'on'e"tos !e$ &$ge,#a 1 e$ an&$isis 1 sus #eg$as o"e#ato#ias De esta %o#ma se es"e#a que $os a$umnos a!quie#an %ami$ia#i!a! 'on e$ inst#umenta$ matem&ti'o "a#a $og#a# un ,uen a"#o+e'amiento en $as siguientes asignatu#as !e$ Di"$oma0 1 e+en e+entu tua$ a$me ment ntee !e $a Maes Maest# t#(a (a00 ta$e ta$ess 'omo 'omo Mi'# Mi'#oo 1 Ma'# Ma'#oe' oe'on onom om(a (a00 Esta Esta!( !(st sti' i'aa 1 E'onomet#(a

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5 1. TEORÍA DE CON!NTOS Los 'on'e"tos !e 'on2unto 1 e$emento !e un 'on2unto "ue!en a'e"ta#se 'omo "#imiti+os0 en e$ senti!o que no #equie#en !e una !e%ini'i.n "#e'isa "a#a mane2a#$os 1 o"e#a# 'on e$$os Con+iene s( #e'o#!a# a$gunas i!eas so,#e $os 'on2untos Un 'on2unto que!a ,ien !e%ini!o 'uan!o se 'ono'e 'u&$es e$ementos $e "e#tene'en La no'i.n !e "e#tenen'ia tam,i/n es "#imiti+a Los e$ementos !e un 'on2unto "ue!en se# mu1 !i+e#sos 1 no ne'esa#iamente an !e tene# 'a#a'te#(sti'as 'omunes0 'omo intuiti+amente "ue!e "ensa#se Sin em,a#go0 es %#e'uente que $as 'ien'ias se #e%ie#an a 'on2untos !e e$ementos 'on 'a#a'te#(sti'as 'omunes: $a So'io$og(a #e%ie#e a 'on2untos umanos o#gani*a!os en so'ie!a!0 $a 6ot&ni'a t#a,a2a 'on 'on2untos !e "$antas0 $a Psi'o$og(a 'on in!i+i!uos o "eque3os g#u"os umanos 1 $a Esta!(sti'a estu!ia $as 'a#a'te#(sti'as !e 'ie#tas "o,$a'iones o uni+e#sos que no son ot#a 'osa que 'on2untos !e e$ementos que "oseen una o m&s 'a#a'te#(sti'as me!i,$es En Matem&ti'a0 $os e$ementos que 'on%o#man un 'on2unto no tienen "o# qu/ tene# 'a#a'te#(sti'as 'omunes Un 'on2unto "ue!e esta# %o#ma!o "o# $os siguientes t#es e$ementos: mi #e$o20 mi nom,#e 1 e$ "i*a##.n !e$ sa$.n !e '$ase O,s/#+ese que e$ 'on2unto que!a ,ien !e%ini!o a$ men'iona# to!os $os e$ementos que $o 'om"onen Pe#o $os 'on2untos m&s inte#esantes -so,#e to!o !es!e e$ "unto !e +ista esta!(sti'o- son $os que "e#miten en'ont#a# #e$a'iones ent#e sus e$ementos0 %o#man!o '$ases o su,'on2untos En Matem&ti'a $os 'on2untos no tienen e$ementos #e"eti!os Esta a'$a#a'i.n es #e$e+ante "o#que en Esta!(sti'a $os 'on2untos "ue!en 'ontene# e$ementos #e"eti!os En Matem&ti'a e$ o#!en !e $os e$ementos !e un 'on2unto es i##e$e+ante Si !os 'on2untos tienen $os mismos e$ementos0 enton'es am,os 'on2untos son igua$es0 sin im"o#ta# e$ o#!en en que se "#esentan sus e$ementos En $a isto#ia !e $a Matem&ti'a0 $a %o#ma$i*a'i.n !e $a teo#(a !e 'on2untos es mu1 "oste#io# en e$ tiem"o a $a %o#ma$i*a'i.n !e$ 'on'e"to !e n5me#o La teo#(a !e 'on2untos es !e %ines !e$ sig$o 7I7 1 su "#in'i"a$ ex"onente %ue e$ a$em&n 8 Canto# 9 La teo#(a !e n5me#os %ue !esa##o$$a!a "o# +a#ias !e $as antiguas 'u$tu#as g#iega0 'ina0 ma1a0 egi"'ia; a$gunos sig$os antes !e C#isto E$ "asto# !e o+e2as en $a <#e'ia antigua no sa,e 'onta#0 "e#o 'a!a +e* que sa'a $as o+e2as !e$ 'o##a$ "a#a $$e+a#$as a "asta#0 'o$o'a una "ie!#a en su mo##a$ Cuan!o +ue$+e 'on $as o+e2as0 "o# 'a!a una que ing#esa a$ 'o##a$ e$ "asto# ti#a una "ie!#a As(0 si en e$ mo##a$ que!an "ie!#as0 sa,e que se $e an "e#!i!o o+e2as E$ "asto# esta,$e'e una #e$a'i.n ,iun(+o'a ent#e !os 'on2untos0 "ie!#as 1 o+e2as0 "a#a #eso$+e# su "#o,$ema !e 'onteo => no sa,e 'onta#0 "ues no 'ono'e $os n5me#os? Los 'on2untos sue$en !enomina#se en Matem&ti'a me!iante $as $et#as !e nuest#o a$%a,eto0 en ma15s'u$a: A0 60 C0 et' Los e$ementos se sim,o$i*an 'on $as mismas $et#as0 "e#o en min5s'u$a E$ s(m,o$o e in!i'a "e#tenen'ia As(0 @a e C in!i'a que e$ e$emento "e#tene'e a$ 'on2unto C0 mient#as que $a ex"#esi.n @, B A in!i'a que e$ e$emento @, no "e#tene'e a$ 'on2unto A Se !enomina 'on2unto +a'(o a un 'on2unto que no tiene e$ementos0 1 se $o sim,o$i*a 'on $a $et#a ma15s'u$a g#iega  IDECAP | Matemática aplicada a la economía

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Cuan!o se t#a,a2a 'on 'on2untos !e n5me#os0 #esu$ta mu1 5ti$ $a #e"#esenta'i.n g#&%i'a me!iante una #e'ta en $a que se esta,$e'e un o#igen O; 1 un senti!o ;0 e$ senti!o en e$ que '#e'en $os n5me#os

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Los e$ementos !e un 'on2unto "ue!en se# "e#sonas0 nom,#es0 n5me#os 1 tam,i/n 'on2untos Po# e2em"$o0 sea e$ 'on2unto A %o#ma!o "o# t#es e$ementos: a0 ,0 ' A K Ja0 ,0 '

Consi!e#an!o ao#a e$ @'on2unto !e $as "a#tes !e$ 'on2unto A PAK Ji Ja0 J,0 J'0 Ja0 ,0 Ja0 '0 J,0 '0 Ja0 ,0 ' Po# 'on+en'i.n0 e$ 'on2unto +a'(o es @"a#te !e 'ua$quie# 'on2unto Qu/ "#o"ie!a!es tienen $os e$ementos !e$ 'on2unto PA En "#ime# $uga#0 estos e$ementos son a su +e* 'on2untos0 1 en segun!o $uga#0 est&n in'$ui!os o son una "a#te en senti!o am"$io; !e$ 'on2unto A La nota'i.n "a#a $a in'$usi.n es e$ s(m,o$o 'K @in'$usi.n en senti!o am"$io0 im"$i'a que e+entua$mente $os !os 'on2untos "ue!en se# igua$es; La in'$usi.n #e$a'iona !os 'on2untos0 mient#as que $a "e#tenen'ia #e$a'iona un e$emento 'on un 'on2unto En #e$a'i.n 'on e$ e2em"$o ante#io#0 $a nota'i.n a"#o"ia!a se#(a: Ja0 , A Ja e PA A  PA Ja ∉A La no'i.n !e @'on2unto !e 'on2untos es mu1 uti$i*a!a en Esta!(sti'a Po# e2em"$o0 'uan!o se quie#e se$e''iona# una muest#a !e "e#sonas0 "e#o no se tiene una $ista 'om"$eta !e$ uni+e#so a in+estiga#0 "e#o s( una $ista !e $as +i+ien!as !on!e +i+en !i'as "e#sonas0 enton'es se "ue!e se$e''iona# una muest#a !e +i+ien!as 1 $uego se$e''iona# a to!as o a$gunas !e $as "e#sonas que a,itan en $as +i+ien!as e$egi!as E$ !ise3o !e $a muest#a 'onsiste en se$e''iona# "#ime#o un 'on2unto !e 'on2untos +i+ien!as0 'omo 'on2untos !e "e#sonas; 1 en una segun!a eta"a se$e''iona# "e#sonas De%ini'i.n: Se !i'e que e$ 'on2unto A est& in'$ui!o en ot#o 'on2unto 6 si se 'um"$e que to!o e$emento !e A es tam,i/n un e$emento !e 6 A6 V∀ α € B6; E$ s(m,o$o @ signi%i'a @"a#a to!o Si e$ 'on2unto A est& in'$ui!o en e$ 60 tam,i/n se !i'e que A es un su,'on2unto !e 6


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De%ini'i.n: Si se 'um"$e a $a +e* que A6 1 que 6A0 enton'es A K 6 Esta es $a !e%ini'i.n matem&ti'a !e igua$!a! !e 'on2untos Tam,i/n se "ue!e !e'i# que !os 'on2untos son igua$es si tienen $os mismos e$ementos Las Cien'ias So'ia$es tienen 'omo o,2eto !e estu!io a$ Wom,#e0 $as #e$a'iones ent#e e$ Wom,#e 1 $a So'ie!a!0 $as #e$a'iones ent#e g#u"os so'ia$es0 et' O,s/#+ese que $a Psi'o$og(a 1 $a so'io$og(a t#a,a2an 'on 'on2untos !e in!i+i!uos "eque3os g#u"os 1 g#an!es g#u"os umanos $$ama!os so'ie!a!es- 1 a$ ana$i*a# $os g#u"os0 estos se !e%inen en #e$a'i.n 'on e$ g#u"o m&s am"$io "osi,$e0 e$ 'ua$ se !enomina @"o,$a'i.n o @uni+e#so Si se a!o"ta $a nota'i.n Q "a#a sim,o$i*a# a$ uni+e#so0 enton'es 'ua$quie# su,'on2unto A !e "e#sonas !e ese uni+e#so !ete#mina una "a#ti'i.n !e$ uni+e#so en !os '$ases: −

C) K 'on2unto !e in!i+i!uos !e Q que "e#tene'en a$ 'on2unto A

−

C9 K 'on2unto !e in!i+i!uos !e X9 que no "e#tene'en a$ 'on2unto A '

La '$ase C9 se !enomina @'on2unto 'om"$ementa#io !e A #es"e'to !e Y nota'i.n: A ; 1 se "ue!e !e%ini# tam,i/n as(:

'

A K Jx: x Y 1 x ∉A

Las '$ases Ci 1 C9 !ete#minan una "a#ti'i.n !e Q si se 'um"$e que am,as son no +a'(as M&s %o#ma$mente0 una "a#ti'i.n !e$ uni+e#so es una #eg$a que '$asi%i'a a $os e$ementos !e$ uni+e#so en '$ases se"a#a!as 1 no +a'(as La "a#ti'i.n "ue!e !ete#mina# s.$o !os '$ases0 'omo en e$ e2em"$o ante#io#0 o m&s !e !os '$ases0 in'$uso asta un n5me#o in%inito !e '$ases E2em"$os: ) E$ uni+e#so es e$ 'on2unto !e to!os $os in!i+i!uos #esi!entes !e un "a(s0 1 $as '$ases son !os: sexo %emenino 1 sexo mas'u$ino 9 E$ uni+e#so es e$ 'on2unto !e to!os $os in!i+i!uos #esi!entes !e $a In!ia 1 $as '$ases son !os: 'onsumi!o#es !e Cam"a-Co$a 1 no 'onsumi!o#es !e$ "#o!u'to


9  E$ uni+e#so es e$ 'on2unto !e $os oga#es #esi!entes !e un "a(s 1 $as '$ases est&n !e%ini!as "o# e$ n5me#o !e miem,#os !e$ oga#: oga#es uni"e#sona$es0 oga#es 'on 9 "e#sonas0 et' Cu&ntas '$ases a1 en U#ugua1 Cu&$ es $a '$ase m&s %#e'uente  Y K N Ci K Jx: x ∈N 1  i-); Z x Z i-) 'on iK)0 900 Cu&ntos e$ementos tienen 'a!a '$ase Ent#e $os 'on2untos es "osi,$e !e%ini# 'ie#tas o"e#a'iones Una o"e#a'i.n "one en #e$a'i.n !os enti!a!es en este 'aso0 !os 'on2untos 1 'omo #esu$ta!o !e !i'a #e$a'i.n se o,tiene una nue+a enti!a! en este 'aso0 un 'on2unto De%ini'i.n: Da!os !os 'on2untos0 A 1 60 se $$ama uni.n !e A 'on 6 a ot#o 'on2unto que tiene to!os $os e$ementos !e A 1 to!os $os e$ementos !e 6 Nota'i.n: Uni.n !e A 'on 6 K A ∪6

P;opiedades de la
)

Conmutati+a: A∪6 K 6∪A

9

Aso'iati+a: A∪6; ∪C K A u 6 ∪C;



A6 si 1 so$o si A∪6 K 6

 

A∪O K A "a#a to!o 'on2unto A A∪AC K Y

De%ini'i.n: Da!os !os 'on2untos0 A 1 60 se $$ama inte#se''i.n !e A 1 6 a ot#o 'on2unto que tiene s.$o $os e$ementos 'omunes !e A 1 6

P;opiedades de la inte;secci=n de con>
)

Conmutati+a: A ∩6 K 6∩A


1 9

Aso'iati+a: A ∩6; ∩C KA ∩ 6 ∩C;



A 6 si 1 so$o si A∩6 K A



A ∩∅ K ∅; "a#a to!o 'on2unto A



A∩A' K ∅;

Si $a inte#se''i.n !e !os 'on2untos es +a'(a0 se !i'e que am,os 'on2untos: !is2untos o mutuamente ex'$u1entes P;opiedades ?
) Dist#i,uti+a #es"e'to !e $a inte#se''i.n: A∩ 6∪C; K A∩6; u A∩C; 9 Dist#i,uti+a #es"e'to !e $a uni.n: A ∩ 6∩C; K A∪6;∩A∪C;  Le1 !e Mo#gan: A∪6;' K A' ∩6'  Le1 !e Mo#gan: A∩6;' K A' ∪6'


11 ".

RELACIONES # $!NCIONES

De%ini'i.n: Se $$ama "#o!u'to 'a#tesiano !e$ 'on2unto !e "a#ti!a A "o# e$ 'on2unto !e $$ega!a 6 nota'i.n: Ax6; a un 'on2unto !e "a#es o#!ena!os 'u1o "#ime# 'om"onente es un e$emento !e A 1 'u1o segun!o 'om"onente es un e$emento !e 6 E2em"$o: A K Ja0 ,0 ' 6 K J)0 90 0  Ax6 K Ja0 );0 a09;0 a0;0 a0;0 ,0);0 ,09;0 ,0;0 ,0;0 '0);0 '09;0 '0;0 '0; O,s/#+ese que $os e$ementos !e Ax6 son ao#a "a#es o#!ena!os Po# e2em"$o0 e$ "a# a0 ; "e#tene'e a$ "#o!u'to 'a#tesiano0 mient#as que e$ "a# 0 a; no "e#tene'e a$ "#o!u'to 'a#tesiano Po# $o !i'o0 en gene#a$0 Ax6 [ 6xA Si A 1 6 son %initos0 enton'es e$ n5me#o !e e$ementos !e Ax6 es e$ "#o!u'to !e$ n5me#o !e e$ementos !e A "o# e$ n5me#o !e e$ementos !e 6 E$ "#o!u'to Ax6 "ue!e +isua$i*a#se en un !iag#ama !e enn0 !on!e sus e$ementos $os "a#es o#!ena!os; est&n !a!os "o# e$ o#igen 1 $a "unta !e 'a!a %$e'a

De%ini'i.n: Se $$ama #e$a'i.n !e A en 6 a un tema o#!ena!a \A0 60 <] !on!e < es un 'on2unto !e "a#es o#!ena!os !e "#ime#a 'om"onente en A 1 segun!a 'om"onente en 6 E$ 'on2unto < se $$ama g#&%i'o !e $a #e$a'i.n !e A en 6 E$ g#&%i'o !e $a #e$a'i.n es0 "o# !e%ini'i.n0 un su,'on2unto !e$ "#o!u'to 'a#tesiano !e Ax6 Se !e!u'e que \A0 60 Ax6] es una #e$a'i.n Los siguientes e2em"$os son $os g#&%i'os !e 'uat#o #e$a'iones0 $os 'ua$es se "#esentan ex"#esa!os "o# extensi.n 1 $uego me!iante $os !iag#amas !e enn Los 'on2untos A 1 6 !e $a tema \A0 60 <] son $os !e$ e2em"$o ante#io# <) K Ja0 );0 a0 9;0 ,0 );0 ,0 9;0 '0 );0 '0 9; IDECAP | Matemática aplicada a la economía

12 <9 K Ja0 );0 ,0 9;0 '0 ; < K Ja0 );0 ,0 );0 '0 ); <) K J'0 ;


13

A$gunas #e$a'iones "ue!en !e%ini#se me!iante $a #eg$a !e %o#ma'i.n !e $os "a#es0 "o# 'om"#ensi.n Po# e2em"$o0 en e$ g#&%i'o < $a #e$a'i.n 'onsiste en a'e# 'o##es"on!e# a to!o e$emento !e A e$ e$emento @) !e 6 Ot#o e2em"$o: sea A e$ 'on2unto !e to!os $os "a(ses !e $a Tie##a 1 sea 6 e$ 'on2unto !e to!as $as 'iu!a!es !e$ mun!o Se !e%inen !os #e$a'iones: R) K a 'a!a "a(s !e A se $e a'e 'o##es"on!e# su 'a"ita$ en 6 R9 K a 'a!a "a(s !e A $e 'o##es"on!en en 6 to!as $as 'iu!a!es0 !e ese mismo "a(s 'on m&s !e ) !e a,itantes En e$ 'aso R) to!os $os e$ementos !e A son @o#igen !e una %$e'a0 1 so$o una0 en e$ g#&%i'o "o#que to!os $os "a(ses tienen una so$a 'a"ita$ 6o$i+ia "o!#(a 'onsi!e#a#se una ex'e"'i.n !e$ 'ua$ "a#ten !os %$e'as; En e$ 'aso R9 a$gunos "a(ses "o!#(an no %igu#a# 'omo "#ime#a IDECAP | Matemática aplicada a la economía

14 'om"onente !e$ g#&%i'o "o# no tene# mega 'iu!a!es 6o$i+ia es un e2em"$o !e este ti"o; De U#ugua1 "a#ti#(a una 5ni'a %$e'a en e$ g#&%i'o !e R9 "ues Monte+i!eo es $a 5ni'a mega 'iu!a!;0 mient#as que !e 6#asi$0 A#gentina0 M/xi'o 1 EEUU "a#ti#(an +a#ias %$e'as en e$ g#&%i'o !e R9 tantas 'omo 'iu!a!es que "asan !e$ mi$$.n !e a,itantes en !i'os "a(ses; De%ini'i.n: Se $$ama %un'i.n !e A en 6 a to!a @#e$a'i.n !e A en 6 que 'um"$e 'on !os 'on!i'iones: a To!o e$emento !e A tiene su 'o##es"on!iente en 6 en e$ g#&%i'o !e $a %un'i.n , Ca!a e$emento !e A tiene un 5ni'o 'o##es"on!iente en 6 en !i'o g#&%i'o Nota'i.n: \A0 60 %] !on!e A es e$ !ominio o 'on2unto !e "a#ti!a0 6 es e$ 'o!o minio o 'on2unto !e $$ega!a 1 @%^ es e$ g#&%i'o !e $a %un'i.n Enton'es una %un'i.n no es m&s que una #e$a'i.n0 "e#o una #e$a'i.n "a#ti'u$a#0 que !e,e 'um"$i# $as !os 'on!i'iones men'iona!as en $a !e%ini'i.n e#emos a 'ontinua'i.n a$gunos e2em"$os !e #e$a'iones "a#a i!enti%i'a# 'u&$es !e e$$as son tam,i/n %un'iones

R)0 R9 1 R son %un'iones R no es %un'i.n "o#que %a$$a $a 'on!i'i.n a; 1 R no es %un'i.n "o#que %a$$a $a 'on!i'i.n ,; Ot#o e2em"$o: $a #e$a'i.n que a'e 'o##es"on!e# a 'a!a n5me#o natu#a$ A es e$ 'on2unto !e $os natu#a$es; su 'ua!#a!o 6 es tam,i/n e$ 'on2unto !e $os natu#a$es; es una %un'i.n0 "ues to!o n5me#o natu#a$ tiene un 'ua!#a!o natu#a$0 1 /ste es 5ni'o Esta %un'i.n tiene0 a!em&s0 una inte#"#eta'i.n geom/t#i'a: #e$a'iona e$ $a!o !e un 'ua!#a!o 'on e$ &#ea !e$ 'ua!#a!o En e$ g#&%i'o !e una %un'i.n e$ "#ime# 'om"onente !e$ "a# se !enomina a#gumento !e $a %un'i.n 1 e$ segun!o 'om"onente es e$ +a$o# o imagen !e $a %un'i.n "a#a !i'o a#gumento Si !ominio 1 'o!o minio !e $a %un'i.n son 'on2untos !e n5me#os0 enton'es e$ a#gumento 1 +a$o# se !enominan tam,i/n a,s'isa 1 o#!ena!a #es"e'ti+amente Nota'i.n: Si $os 'on2untos !e "a#ti!a 1 !e $$ega!a est&n so,#eenten!i!os "o# e2em"$o0 "o#que am,os son e$ 'on2unto !e n5me#os natu#a$es;0 un a#gumento 'ua$quie#a se sim,o$i*a 'on $a $et#a @x 1 a$ 'o##es"on!iente !e x seg5n $a %un'i.n % se $o sim,o$i*a 'on $a ex"#esi.n @%x;0 enton'es $as nota'iones m&s a,itua$es "a#a $a %un'i.n !e$ 5$timo e2em"$o son:


15

En 'aso que !ominio 1 'o!o minio !e $a %un'i.n sean 'on2untos !e n5me#os0 #esu$ta mu1 5ti$ $a #e "#esta'i.n !e$ g#&%i'o en un "a# !e e2es 'a#tesianos  o#togona$es

En e$ g#&%i'o "#e'e!ente se #e"#esentan0 en $a inte#se''i.n !e $as $(neas "untea!as0 'uat#o e$ementos !e$ g#&%i'o !e $a %un'i.n %: %x; K x90 $os "a#es )0);0 90;0 0G; 1 0); Los e2es se !i'en @o#togona$es "o#que son "e#"en!i'u$a#es 

Ren/ Des'a#tes )G-); %i$.so%o0 %(si'o 1 matem&ti'o %#an'/s Es e$ '#ea!o# !e $a geomet#(a ana$(ti'a E$ 'on2unto !e +a$o#es !e % e$ementos !e$ 'o!o minio a $os que $$egan %$e'as0 se !enomina 'on2unto imagen !e %Imagen !e % K J*: * "e#tene'e a 6 1 existe x en A ta$ que %x; K *K %A; De%ini'i.n: % es una %un'i.n in1e'ti+a !e A en 6 si !os e$ementos !istintos !e A tienen im&genes !istintas en 6 %

es in1e'ti+a _-` \x  1 bc %x; H % 1;]

E2em"$o: $a %un'i.n %: %x; K x 9 es in1e'ti+a si e$ !ominio es e$ 'on2unto N "ues a !os natu#a$es !i%e#entes 'o##es"on!en 'ua!#a!os !i%e#entes; "e#o no es in1e'ti+a si !ominio es e$ 'on2unto !e $os ente#os0 "ues "o# e2em"$o d- 1 sin em,a#go d;9 K -;9 De%ini'i.n: % es una %un'i.n so,#e1e'ti+a si e$ 'on2unto imagen !e % 'oin'i!e 'on e$ 'o!o minio % es so,#e1e'ti+a %A; K 6 E2em"$o: $a %un'i.n %: %x; K x d 90 !on!e A 1 6 son $os n5me#os ente#os0 es so,#e1e'ti+a0 "ues to!o n5me#o ente#o !e 6 es imagen !e a$g5n e$emento en A En 'am,io0 $a %un'i.n %: IDECAP | Matemática aplicada a la economía

16 %x; K x90 'on !ominio 1 'o!o minio ente#o0 no es so,#e1e'ti+a "o#que "o# e2em"$o e$ ente#o d en 6 no es imagen !e ning5n n5me#o ente#o !e A De%ini'i.n: Se !i'e que una %un'i.n es ,i1e'ti+a si es a $a +e* in1e'ti+a 1 so,#e1e'ti+a De%ini'i.n: Sea % una %un'i.n !e A en 6 Se !enomina %un'i.n in+e#sa !e % nota'i.n: % ^; a ot#a %un'i.n ta$ que a 'a!a imagen $e a'e 'o##es"on!e# su "#e imagen: \60 A0 % O,se#+a'i.n: no siem"#e existe $a %un'i.n in+e#sa Pa#a que exista $a %un'i.n in+e#sa !e % se tiene que 'um"$i# que to!o e$emento !e 6 sea imagen0 1 que 'a!a e$emento !e 6 sea imagen !e un 5ni'o a#gumento En ot#as "a$a,#as0 "a#a que exista %^^ se tiene que 'um"$i# que % sea ,i1e'ti+a

De%ini'i.n: Sean !os %un'iones \A0 60 %] 1 \60 C0 g] Se !i'e que  es $a %un'i.n 'om"uesta !e % 1 g si e$ 'on2unto !e "a#ti!a !e  es e$ 'on2unto !e "a#ti!a !e %0 e$ 'on2unto !e $$ega!a !e  es e$ 'on2unto !e $$ega!a !e g0 1 $a imagen !e un a#gumento x "o# g se o,tiene !e a"$i'a# a x $a %un'i.n % 1 a$ +a$o# %x; $a %un'i.n g \A0 C0 ] %un'i.n 'om"uesta !e \A0 60 %] 1 \60 C0 g] x; K g \%x;]

%.

CON!NTOS N!M&RICOS. OPERACIONES CON N'MEROS

amos a su"one# que U! 1a 'ono'e $os n5me#os0 $as o"e#a'iones que "ue!en #ea$i*a#se 'on e$$os 1 sus "#o"ie!a!es m&s im"o#tantes Si esto no es 'ie#to0 a$gunas !e $as !i%i'u$ta!es que se $e a,#&n !e "#esenta#0 U! "o!#& #eso$+e#$as 'on $a a1u!a !e una 'om"uta!o#a "e#sona$ o 'on una 'a$'u$a!o#a !e ,o$si$$o Pe#o a$gunos "#o,$emas que!a#&n sin #eso$+e#0 1 ot#os #esu$ta#&n !emasia!o 'om"$i'a!os si se !es'ono'en $os m/to!os "a#a sim"$i%i'a#$os Es 'on ese o,2eto e$ #eso$+e# o sim"$i%i'a# a$gunos "#o,$emas que se es'#i,en estas $(neas Em"e'emos 'on $os n5me#os natu#a$es nota'i.n: N; E$$os son:


17 0 )0 90 0 0 0 Los "untos sus"ensi+os in!i'an que se t#ata !e un 'on2unto in%inito Pa#a un natu#a$ !a!o tan g#an!e 'omo se quie#a;0 siem"#e es "osi,$e en'ont#a# un natu#a$ m&s g#an!e Sin em,a#go0 ent#e !os natu#a$es no siem"#e es "osi,$e en'ont#a# ot#o natu#a$ ent#e e$  1 e$  no a1 ning5n natu#a$; E$ #esu$ta!o !e suma# o mu$ti"$i'a# !os natu#a$es es siem"#e ot#o n5me#o natu#a$ Pe#o $a #esta !e natu#a$es o $a !i+isi.n no tienen0 siem"#e0 un #esu$ta!o natu#a$ Po# e2em"$o0  -  K -90 que no es un n5me#o natu#a$0 1 :  K  K 00 que tam"o'o es un n5me#o natu#a$ Ot#o tanto o'u##e 'on $a #a!i'a'i.n: f  K90 f )9 K 0 "e#o f +(io tiene un #esu$ta!o @exa'to ex"#esa,$e en n5me#os natu#a$es ni siquie#a en n5me#os !e'ima$es; Estas $imita'iones 'on!u'en a $a am"$ia'i.n !e $os 'on2untos !e n5me#os Pe#o +o$+ien!o a $os n5me#os natu#a$es 1 sus o"e#a'iones0 es ne'esa#io %i2a# a$gunas #eg$as Si se tiene $a ex"#esi.n:  d 9 x  Es ne'esa#io esta,$e'e# en qu/ o#!en !e,en e%e'tua#se $as o"e#a'iones0 "o#que seg5n 'ua$ sea e$ o#!en0 e$ #esu$ta!o es !i%e#ente Su"ongamos que e$ o#!en 'onsiste en #ea$i*a# $as o"e#a'iones en e$ o#!en en que a"a#e'en en $a ex"#esi.n Enton'es $a "#ime#a o"e#a'i.n a #ea$i*a# se#(a  d 9 K  La segun!a0 $a mu$ti"$i'a'i.n !e este #esu$ta!o "o# 0 x K ) > $a te#'e#a0 'onsisti#(a en e$e+a# este #esu$ta!o a $a 'ua#ta "oten'ia: ) K )x$x$x ) K 9 Sin em,a#go0 sa,emos que /ste es un #esu$ta!o @equi+o'a!o0 "o#que en matem&ti'a $as o"e#a'iones no se #ea$i*an en e$ o#!en en que a"a#e'en0 sino siguien!o unas #eg$as !e "#io#i!a! En este senti!o0 $as #eg$as esta,$e'en que: −

En "#ime# $uga#0 !e,en #ea$i*a#se $as o"e#a'iones !e "oten'ia'i.n 1 #a!i'a'i.n am,as tienen $a misma "#io#i!a!;

−

En segun!o $uga#0 $as o"e#a'iones !e mu$ti"$i'a'i.n 1 !e !i+isi.n am,as tienen $a misma "#io#i!a!;

−

En te#'e# $uga#0 $as o"e#a'iones !e suma 1 #esta am,as tienen $a misma "#io#i!a!;

En 'onse'uen'ia0 siguien!o 'on e$ e2em"$o ante#io#0 $a "#ime#a o"e#a'i.n a #ea$i*a# es   K ) La ex"#esi.n #esu$ta ao#a as(:  d 9 x ) Las #eg$as !e "#io#i!a! esta,$e'en que a 'ontinua'i.n se !e,e #ea$i*a# $a mu$ti"$i'a'i.n0 o,teni/n!ose: 9 x ) K )9 La 5$tima !e $as o"e#a'iones es $a suma0  d )9 K )0 #esu$ta!o %ina$ !e $a ex"#esi.n o#igina$ Pa#a #ea$i*a# $as o"e#a'iones 'om,ina!as emos a"$i'a!o0 ent#e ot#as0 $a #eg$a que !i'e que $os signos @d 1 @menos se"a#an t/#minos O,s/#+ese que esta #eg$a esta,$e'e que "#ime#o !e,en e%e'tua#se $as @ot#as o"e#a'iones0 1 %ina$mente $as !e suma 1 #esta Este es un 'aso "a#ti'u$a# !e $as #eg$as !e "#io#i!a! que enun'iamos m&s a##i,a IDECAP | Matemática aplicada a la economía

18 > si en #ea$i!a! $as o"e#a'iones que que#(amos #ea$i*a# en $a ex"#esi.n !e$ e2em"$o e#an $as !e$ o#!en !e a"a#i'i.n En este 'aso a,#(a que 'am,ia# e$ o#!en !e "#io#i!a! E$ inst#umento "a#a a'e#$o es e$ "a#/ntesis \ d 9; x ]  Los "a#/ntesis "e#miten 'am,ia# $as #eg$as !e "#io#i!a! int#o!u'ien!o $as siguientes #eg$as a!i'iona$es −

En "#ime# $uga#0 !e,en e%e'tua#se $as o"e#a'iones in!i'a!as !ent#o !e$ "a#/ntesis 'u#+o

−

En segun!o $uga#0 !e,en e%e'tua#se $as o"e#a'iones in!i'a!as !ent#o !e$ "a#/ntesis #e'to

−

En te#'e# $uga#0 !e,en e%e'tua#se $as o"e#a'iones in!i'a!as !ent#o !e $as $$a+es $uego +e#emos un e2em"$o;

−

A$ inte#io# !e 'a!a "a#/ntesis 1 %ue#a !e e$$os se siguen a"$i'an!o $as #eg$as !e "#io#i!a! antes enun'ia!as

En $a 5$tima ex"#esi.n0 e$ "a#/ntesis 'u#+o in!i'a que $a "#ime#a o"e#a'i.n a e%e'tua# es d9; E$ "a#/ntesis #e'to0 que $a segun!a o"e#a'i.n 'onsiste en mu$ti"$i'a# "o#  e$ #esu$ta!o !e d9;0 d9; xK)0 1 %ina$mente ) K 9 Ot#o e2em"$o: 9x J: \ - 9; x] K 9x J: \x] K 9x J:)9 K 9x J09 K 0 A$gunas 'om"uta!o#as 1 'a$'u$a!o#as !e ,o$si$$o no #e'ono'en $os "a#/ntesis #e'tos o $as $$a+es0 1 t#a,a2an 'om,inan!o $os "a#/ntesis 'u#+os En e$ mismo e2em"$o ante#io#0 $as o"e#a'iones a e%e'tua# se in!i'a#(an as(: 9x :-9; x;; La #eg$a !e "#io#i!a! en este 'aso es que se !e,en e%e'tua# $as o"e#a'iones 'onteni!as en $os "a#/ntesis en e$ o#!en !e @a!ent#o a'ia %ue#a En e$ e2em"$o0 "#ime#o se 'a$'u$a -9;0 a$ #esu$ta!o se $o mu$ti"$i'a "o# 0 et' Ot#a %o#ma !e a$te#a# $as #eg$as !e "#io#i!a! 'onsiste en exten!e# $os signos !e !i+isi.n o !e #a!i'a'i.n0 'omo a 'ontinua'i.n se ex"$i'a Si que#emos e%e'tua# $a o"e#a'i.n :0 /sta tam,i/n "ue!e es'#i,i#se  . "ue!e ex"#esa#se d9;

6 3+ 2

6 3

 Si $a o"e#a'i.n a e%e'tua# es :d9;0 /sta tam,i/n

 En 'onse'uen'ia0 $a @#a1a $a#ga !e !i+isi.n o"e#a !e $a

misma %o#ma que un "a#/ntesis0 in!i'an!o que tiene "#ime#a "#io#i!a! $a suma d9;0 1 que $uego !e,e e%e'tua#se $a !i+isi.n Ot#o tanto o'u##e 'on $a #a!i'a'i.n  d  in!i'a que "#ime#o !e,e #ea$i*a#se $a suma0 1 $uego $a #a(* 'ua!#a!a En 'am,io0 en $a ex"#esi.n i d 0 "#ime#o !e,e e%e'tua#se $a #a(* 'ua!#a!a 1 $uego $a suma


19 En uno !e $os e2em"$os ante#io#es int#o!u2imos $os n5me#os 09 1 0 que no son n5me#os natu#a$es eamos "o# qu/ se a'e ne'esa#io int#o!u'i# nue+as 'atego#(as !e n5me#os En "#ime# $uga#0 $a #esta !e !os n5me#os natu#a$es no siem"#e !a 'omo #esu$ta!o un n5me#o natu#a$ Po# e2em"$o0 - no es natu#a$ 10 en 'onse'uen'ia0 si se quie#e gene#a$i*a# $a #esta0 es ne'esa#io !e%ini# un 'on2unto !e n5me#os que in'$u1a0 ent#e ot#os0 e$ #esu$ta!o !e - Ta$ 'on2unto es e$ !e $os n5me#os ente#os E$$os son $os natu#a$es a'om"a3a!os !e un signo @m&s o @menos: ....,-3, -2, -1, 0, +1, +2, +3,....

Los n5me#os ente#os se #e"#esentan 'on $a $et#a E 1 %o#man un 'on2unto in%inito0 1 "a#a ao##a# es%ue#*o0 $os n5me#os @"ositi+os se es'#i,en sin e$ signo d Este que!a so,#eenten!i!o Po#que en $a "#&'ti'a0 $os ente#os "ositi+os %un'ionan 'omo $os n5me#os natu#a$es Esto es0 se "ue!en #ea$i*a# $as mismas o"e#a'iones 1 go*an !e $as mismas "#o"ie!a!es En qu/ se !i%e#en'ian $os ente#os !e $os natu#a$es Ent#e $os ente#os siem"#e es "osi,$e #ea$i*a# $a sust#a''i.n0 es !e'i#0 $a #esta !e !os ente#os es un n5me#o ente#o Como 'onse'uen'ia !e e$$o0 "a#a 'a!a ente#o0 siem"#e existe un ente#o @o"uesto E$ o"uesto !e d es -0 e$ o"uesto !e - es d0 et' Fo#ma$i'emos esta "#o"ie!a! 2unto 'on ot#as !e inte#/s gene#a$ P;opiedades de la s
) Conmutati+a: "a#a to!o "a# !e ente#os a 1 ,0 se 'um"$e que a d , K , d a 9 Aso'iati+a: "a#a to!o a0 , 1 ' ente#os se 'um"$e que a d , d '; K a d ,; d '  Existen'ia !e neut#o: e$ 'e#o es e$ 5ni'o ente#o que0 suma!o 'on ot#o0 !a "o# #esu$ta!o ese ot#o a d  K a a ente#o  Existen'ia !e in+e#so: a h E0  -a; ta$ que a d -a; K  A!em&s e$ in+e#so es 5ni'o O@se;aciones

a Cuan!o $a o"e#a'i.n es $a suma0 e$ @in+e#so se !enomina @o"uesto , En e$ 'on2unto !e $os natu#a$es no se 'um"$e $a "#o"ie!a! !e$ in+e#so ' Cuan!o en un 'on2unto C; se !e%ine una o"e#a'i.n d; que 'um"$e 'on $as "#o"ie!a!es 90  1 0 se !i'e que e$ "a# JC0 d tiene est#u'tu#a !e g#u"o Si a!em&s se 'um"$e $a "#o"ie!a! )0 enton'es se !i'e que e$ g#u"o es a,e$iano o 'onmutati+o ! JE0 d tiene est#u'tu#a !e g#u"o Si 'onsi!e#amos $os ente#os 1 $a mu$ti"$i'a'i.n ;0 "a#a JE0 se 'um"$en $as t#es "#ime#as "#o"ie!a!es "e#o no $a 'ua#ta Existen'ia !e in+e#so; Po# qu/ no se 'um"$e Existe una "#o"ie!a! que 'om,ina $as !os o"e#a'iones !e suma 1 mu$ti"$i'a'i.n: Dist#i,uti+a: si a0 , 1 ' son ente#os0 enton'es a , d '; K a, d a'


2 In!i'a que a1 !os %o#mas !e #ea$i*a# $a o"e#a'i.n 'om,ina!a: en una !e e$$as "#ime#o se suma , d '; 1 a$ #esu$ta!o se $o mu$ti"$i'a "o# a4 en $a ot#a0 "#ime#o se mu$ti"$i'an a 'on , 1 a 'on '0 1 $uego am,os #esu$ta!os se suman Cuan!o en un 'on2unto C se !e%inen !os o"e#a'iones @d 1 @; que 'um"$en am,as 'on $as "#o"ie!a!es )0 90  1 0 m&s $a !ist#i,uti+a0 enton'es se !i'e que C0 d0; tiene est#u'tu#a !e 'ue#"o

Est& '$a#o que JE0 d0 no tiene est#u'tu#a !e 'ue#"o0 ex'$usi+amente "o#que no se 'um"$e $a "#o"ie!a!  "a#a e$ "#o!u'to: en ente#os no se +e#i%i'a $a existen'ia !e in+e#so En gene#a$0 !a!o un ente#o a0 no existe ot#o ente#o a^ ta$ que a x a^ K ) !on!e ) es e$ neut#o !e$ "#o!u'to; Po# e2em"$o0 e$ in+e#so !e -; se#(a -); "o#que -; x -$; K ) Pe#o -); no es un n5me#o ente#o Esta $imita'i.n !e $os ente#os se $e+anta 'on $a int#o!u''i.n !e $os n5me#os #a'iona$es tam,i/n 'ono'i!os 'omo @%#a''iones o n5me#os @!e'ima$es; Po# !e%ini'i.n $os n5me#os #a'iona$es son 'o'ientes !e $a %o#ma a,0 !on!e a 1 , son ente#os 1 , j  E$ 'on2unto !e $os n5me#os #a'iona$es Q; es un 'on2unto 'on in%initos e$ementos0 "e#o 'on una "#o"ie!a! que no tienen $os natu#a$es ni $os ente#os: ent#e !os #a'iona$es !i%e#entes0 siem"#e a1 ot#o #a'iona$ P#o,emos esta a%i#ma'i.n0 'ono'i!a 'on e$ nom,#e !e @!ensi!a! Sean a 1 , !os #a'iona$es !i%e#entes0 sea a _ , Si a es negati+o 1 , "ositi+o0 enton'es ent#e am,os est& e$ #a'iona$ 'e#o P#o,emos que ent#e !os #a'iona$es "ositi+os siem"#e a1 ot#o #a'iona$ $a "#ue,a es simi$a# si am,os son negati+os; Sean $os #a'iona$es "ositi+os "q 1 #s P#o,a#emos que "d#; qds; es ot#o #a'iona$ que est& ent#e aque$$os !os "d#; qds; es un #a'iona$ "o#que "d#; es un ente#o 1 qds; tam,i/n $o es0 1 a!em&s es qds;   "o#que am,os son "ositi+os; Se t#ata !e un 'o'iente !e ente#os que0 "o# !e%ini'i.n0 es un n5me#o #a'iona$ −

"d#; qds; _ #s0 si se 'um"$e que "d#;s _ qds;#0 o tam,i/n0 a"$i'an!o $a "#o"ie!a! !ist#i,uti+a: "s d #s _ q# d s#

Po# $a "#o"ie!a! 'onmutati+a !e$ "#o!u'to #esu$ta #s K s# Si #estamos a am,os miem,#os !e $a !esigua$!a! $a 'anti!a! #s0 enton'es $a !esigua$!a! se mantiene Resu$ta: "s _ q#0 que es equi+a$ente !e "q _ #s0 que es $a i".tesis !e "a#ti!a La 'a!ena !e si$ogismos +a$e tam,i/n en e$ senti!o 'ont#a#io0 1 'on e$$o que!a !emost#a!o que si "q _ #s0 enton'es "d#; qds; _ #s La "#ue,a se 'om"$eta !emost#an!o en %o#ma an&$oga que "q _ "d#; qds;


21 Cuan!o un 'on2unto num/#i'o tiene $a "#o"ie!a! que ent#e !os e$ementos !e$ 'on2unto siem"#e a1 ot#o0 se !i'e que e$ 'on2unto es !enso Como e$ 'on2unto Q es !enso0 "a#e'e #a*ona,$e que "o!amos esta,$e'e# una 'o##es"on!en'ia una %un'i.n; ent#e $os e$ementos !e Q 1 $os "untos !e una #e'ta So,#e una #e'ta !amos un senti!o en $a !i#e''i.n !e $a %$e'a;0 un o#igen e$ "unto ; 1 una uni!a! !e me!i!a e$ segmento OA tiene me!i!a @); E$ senti!o !e $a #e'ta nos in!i'a $a !i#e''i.n en $a 'ua$ '#e'en $os n5me#os

Cua$quie# n5me#o !e Q tiene un 'o##es"on!iente "unto so,#e $a #e'ta Pa#a u,i'a# e$ 'o##es"on!iente !e 9 se "#o'e!e 'omo sigue: se !i+i!e e$ segmento O A en t#es "a#tes igua$es0 1 $uego se toma e$ !o,$e !e una !e esas "a#tes E$ segmento #esu$tante se mi!e a "a#ti# !e O en e$ senti!o !e $a %$e'a0 1 e$ segun!o ext#emo in!i'a e$ "unto 'o##es"on!iente a 9 Pa#a u,i'a# e$ 'o##es"on!iente !e$ n5me#o - en $a #e'ta0 se !i+i!e OA en t#es "a#tes igua$es 1 $uego se toma un segmento 'uat#o +e'es m&s g#an!e que e$ te#'io a$$a!o E$ segmento #esu$tante se mi!e a "a#ti# !e O en e$ senti!o 'ont#a#io a$ !e $a %$e'a E$ segun!o ext#emo !e$ segmento !ete#mina e$ "unto 'o##es"on!iente a - Ca,e "#egunta#se si tam,i/n se 'um"$e e$ #e'("#o'o: a to!o "unto so,#e $a #e'ta $e 'o##es"on!e un n5me#o #a'iona$ La #es"uesta es negati+a Como e2em"$o0 "ue!e toma#se e$ #esu$ta!o !e $a #a!i'a'i.n0 una !e $as o"e#a'iones in+e#sas !e $a "oten'ia'i.n 9 K  "o#que 9 K 9

son #a'iona$es Pe#o 9 no tiene #es"uesta en e$ 'on2unto !e $os #a'iona$es Po# e$ a,su#!o: si 1=9 %ue#a #a'iona$0 enton'es se "o!#(a es'#i,i# 'omo 'o'iente !e !os ente#os: 9 K a,0 !on!e a 1 , son ente#os sin %a'to#es 'omunes %#a''i.n #e!u'i!a; Po# !e%ini'i.n0 #esu$ta 9 K a,;9 Se !e!u'e: 9,9 K a9 Como e$ %a'to# 9 a"a#e'e a $a i*quie#!a en $a igua$!a!0 a9 tam,i/n !e,e 'ontene# e$ %a'to# 9 Enton'es e$ n5me#o a "ue!e es'#i,i#se !e $a %onna a K 9' Enton'es: a 9 K 9';9 K '9 9 9 9 9 Enton'es: 9, K ' 0 o $o que es $o mismo0 , K 9'  Con e$ mismo #a*onamiento0 , 'ontiene e$ %a'to# 90 $o 'ua$ es a,su#!o "o#que a 1 , e#an !os ente#os sin %a'to#es 'omunes Con'$usi.n: 9 no es un n5me#o #a'iona$ Lo mismo o'u##e 'on mu'os ot#os #esu$ta!os !e $a #a!i'a'i.n0 1 tam,i/n 'on $os !e $a ot#a o"e#a'i.n in+e#sa !e $a "oten'ia'i.n0 $a $oga#itma'i.n Si se quie#e u,i'a# e$ "unto so,#e $a #e'ta 'o##es"on!iente a 90 a$'an*a 'on 'onst#ui# un 'ua!#a!o !e $a!o ) Po# Pit&go#as0 $as !iagona$es !e$ 'ua!#a!o mi!en 9  Toman!o $a !iagona$ !e$ 'ua!#a!o0 'on o#igen en O 1 en e$ senti!o !e $a %$e'a0 e$ segun!o ext#emo !e $a !iagona$ "#o1e'ta!a in!i'a e$ "unto !e $a #e'ta 'oiTes"on!iente a k9

o ) 9 To!os $os "untos so,#e $a #e'ta que no se 'o##es"on!en 'on un n5me#o #a'iona$0 se !enominan i##a'iona$es Se !e%ine e$ 'on2unto !e $os n5me#os #ea$es R; 'omo $a uni.n !e Q 'on e$ 'on2unto !e $os i##a'iona$es IDECAP | Matemática aplicada a la economía

22 Enton'es 9 1 s2 O,s e$e+a'iones a; E$ 'on2unto !e $os n5me#os #ea$es 'om"$eta $a #e'ta A 'a!a n5me#o !e R $e 'o##es"on!e un "unto so,#e $a #e'ta 1 +i'e+e#sa La #e$a'i.n ent#e R 1 $os "untos !e $a #e'ta es una %un'i.n ,i1e'ti+a ,; E$ 'on2unto R es in%inito 1 !enso '; To!os $os #esu$ta!os !e $a #a!i'a'i.n son n5me#os #ea$es La #es"uesta es negati+a -"o# e2em"$o -l no es un n5me#o #ea$- 1 este es e$ o#igen !e una nue+a 'atego#(a !e n5me#os0 $os n5me#os 'om"$e2os0 que nosot#os no estu!ia#emos Los n5me#os #ea$es son0 !e $os que emos "#esenta!o0 e$ 'on2unto m&s am"$io en e$ que se "ue!en !e%ini# $as o"e#a'iones #a'iona$es -suma0 #esta0 mu$ti"$i'a'i.n 1 !i+isi.n- sin #est#i''iones ex'e"to $a !i+isi.n ent#e 'e#o;0 "e#o tam,i/n $a "oten'ia'i.n - 'on a$gunas #est#i''iones- 1 tam,i/n sus o"e#a'iones in+e#sas: #a!i'a'i.n 1 $oga#itma'i.n De!i'a#emos estas 5$timas notas a "#esenta# estas o"e#a'iones 1 sus "#in'i"a$es "#o"ie!a!es Poten'ia'i.n laaaa "#o!u'to !e n %a'to#es a0 si n es natu#a$; De%ini'i.n: a^) Kl -------------------laK ) O,se#+a'iones a; o no est& !e%ini!o0 no es un n5me#o ,; Si n no es natu#a$0 $a !e%ini'i.n !e a)) es un "o'o m&s 'om"$i'a!a 1 no nos o'u"a#emos !e e$$a Digamos que "o!emos #eso$+e# $os "#o,$emas que se nos "#esenten usan!o $a %un'i.n x1 que tienen to!as $as m&quinas 'ient(%i'as As(0 "a#a 'a$'u$a# )0 0 se "#o'e!e !e $a siguiente mane#a: se int#o!u'e en $a m&quina e$ n5me#o )0 se a"#ieta $a te'$a @x1 se int#o!u'e 0 se a"#ieta $a te'$a @K se o,tiene )0)9)9 A$gunas m&quinas exigen que en e$ "#ime# "aso se int#o!u*'a 0 1 en e$ te#'e# "aso e$ n5me#o )0 A$gunas m&quinas tienen un +iso# m&s "eque3o 'on menos !(gitos; 1 $a #es"uesta "o!#(a se# )0)9) En am,os 'asos se t#ata !e a"#oxima'iones !e un n5me#o #ea$0 'u1a ex"#esi.n !e'ima$ 'ontiene in%initas 'i%#as )0 0 "ue!e inte#"#eta#se 'omo e$ monto que gene#a un 'a"ita$ !e ) 'o$o'a!o a inte#/s 'om"uesto0 a $a tasa !e$  anua$ !u#ante 0 a3os O,s/#+ese que )0)G es una a"#oxima'i.n su%i'iente "a#a este 5$timo "#o,$ema0 !a!o que s.$o existe $a "osi,i$i!a! !e 'o,#a# o "aga# 'on %#a''iones que $$egan asta $os 'ent/simos P#o"ie!a!es !e =a "oten'ia'i.n Sean: a0 ,0 n 1 m n5me#os natu#a$es0 a 1 ,   ) anam K andm "#o!u'to !e "oten'ias !e igua$ ,ase; QHH 9 b K ankm 'o'iente !e "oten'ias !e igua$ ,ase;  an,n K a,;n "#o!u'to !e "oten'ias !e igua$ ex"onente;  k 2 'o'iente !e "oten'ias !e igua$ ex"onente;  an;m K an m "oten'ia !e "oten'ia; E2em"$o: uti$i*a# $as "#o"ie!a!es ante#io#es "a#a sim"$i%i'a# Ho 9   Ho  IDECAP | Matemática aplicada a la economía

23 9;  9-H-S 9-Hp K 9p xxp K) H  H H  H H  9;  9   9   Ra!i'a'i.n De%ini'i.n: 1\a K , _K` a K ,n E2em"$o: +(kK 9 "o#que  K 9  La %o#ma m&s %&'i$ !e #eso$+e# $os "#o,$emas !e #a!i'a'i.n0 'onsiste en t#ans%o#ma#$os en "#o,$emas !e "oten'ia'i.n0 a!o"tan!o $ a siguiente !e%ini'i.n 'om"$ementa#ia: ^a Kan 1 uti$i*an!o $a m&quina !e 'a$'u$a# 'on $as te'$as @x 1 o @x)1 Cuan!o se tienen +a#ios #a!i'a$es0 #esu$tan 5ti$es $os siguientes #esu$ta!os P#o"ie!a!es !e $a #a!i'a'i.n

La ex"#esi.n 1%a est& !e%ini!a en e$ 'on2unto !e $os n5me#os #ea$es si: n Qs im"a# 1 a un #ea$ 'ua$quie#a0 o n es "a# 1 a es un #ea$ no negati+o Que $a ex"#esi.n est& !e%ini!a signi%i'a que "ue!e 'a$'u$a#se exa'tamente o 'on una a"#oxima'i.n !e'ima$ $as m&s !e $as +e'es; "o# e2em"$o0 'on $a a1u!a !e una 'a$'u$a!o#a Que no existe $a ex"#esi.n "a#a un #a!i'an!o negati+o 1 un (n!i'e "a#0 signi%i'a que se t#ata !e una o"e#a'i.n no "e#miti!a !ent#o !e$ 'on2unto !e $os n5me#os #ea$es Loga#itma'i.n De%ini'i.n: $og, x K a _K` x K , a Pa#a que tenga senti!o "a#a que sea un n5me#o #ea$; $a ex"#esi.n !e$ $oga#itmo0 se #equie#en t#es 'on!i'iones a sa,e#: x`0 ,` 1 ,  ) De $a !e%ini'i.n se !e!u'e que $a $oga#itma'i.n es una !e $as o"e#a'iones in+e#sas !e $a "oten'ia'i.n: se 'ono'e $a "oten'ia !e $a ,ase ,; 1 e$ #esu$ta!o !e $a "oten'ia x;0 1 $a in'.gnita es e$ ex"onente a; a$ 'ua$ !e,e e$e+a#se $a ,ase "a#a o,tene# aque$ #esu$ta!o x; De $a "#o"ia !e%ini'i.n se !e!u'e que: ) $og, , K ) 9 $og, ) K   $og, ,n K n $og, , Con un "o'o !e t#a,a2o a!i'iona$ se !emuest#an $as siguientes "#o"ie!a!es  $og, a d $og, ' K $og, a';  $og, a - $og, ' - $og, a'; $o i 'a  $og, a K -------$og' , P#o,$ema Un 'a"ita$ !e ) se 'o$o'a a$  mensua$ e%e'ti+o !e inte#/s 'om"uesto Se "i!e 'a$'u$a# $os inte#eses a'umu$a!os $uego !e: a;  meses0 1 ,;  meses 1 ) !(as La %.#mu$a !e$ monto gene#a!o "o# un 'a"ita$ C; 'o$o'a!o a inte#/s 'om"uesto a $a tasa i !u#ante t "e#(o!os es: M K C$ di;)


24 La %.#mu$a es +&$i!a siem"#e que $a tasa !e inte#/s 1 e$ "e#(o!o !e $a 'o$o'a'i.n se mi!an en $a misma uni!a! !e tiem"o "o# e2em"$o0 en meses; La %.#mu$a "a#a 'a$'u$a# e$ inte#/s es: I KM-C Ao#a es "osi,$e #eso$+e# $os !os "#o,$emas antes "$antea!os a; Inte#/s gene#a!o en  meses: M - C K )$d0; - ) K )G90H ,; En  meses 1 ) !(as: M-C K ))d0;d);- ) K )0 Ex"#esiones !e'ima$es 1 nota'i.n 'ient(%i'a Las 'a$'u$a!o#as 'ient(%i'as0 sa$+o ex'e"'iones0 no !e+ue$+en $os #esu$ta!os !e $as o"e#a'iones en %o#ma %#a''iona#ia0 sino que $o a'en 'on nota'i.n !e'ima$ Los siguientes son a$gunos e2em"$os: ) K0 9 K )0)9) $og 9 K 0) L9 K 0G)H Pa#a a"#o+e'a# me2o# e$ es"a'io !e$ +iso#0 $a 'a$'u$a!o#a uti$i*a0 'uan!o $o ne'esita0 $a nota'i.n 'ient(%i'a 'on "oten'ias !e ) E2em"$os: 0 K  x )rH  K 0 x )1 E2em"$os !e o"e#a'iones "#oi,i!as en e$ 'on2unto !e $os n5me#os #ea$es 9 o -l=b a 'on a `  $og2 a $oga $og ;- O#igen !e $os n5me#os e 1 n H) es $a 'onstante "o# $a que se !e,e mu$ti"$i'a# e$ !i&met#o !e una 'i#'un%e#en'ia "a#a a$$a# e$ "e#(met#o !e !i'a 'i#'un%e#en'ia Los antiguos g#iegos '#e(an que !i'a 'onstante e#a igua$ a$ 'o'iente 99 ent#e H) que es una ex'e$ente a"#oxima'i.n; Resu$ta que Hi es un n5me#o #ea$0 no #a'iona$0 que ni siquie#a "ue!e es'#i,i#se usan!o #a!i'a$es Se !i'e que n es un n5me#o @t#as'en!ente0 $o que signi%i'a que !i'o n5me#o no "ue!e se# #a(* !e ninguna e'ua'i.n "o$in.mi'a !e 'oe%i'ientes ente#os E$ n5me#o e en ono# !e$ matem&ti'o Eu$e# ; es ot#o #ea$ t#as'en!ente Se $o uti$i*a 'omo ,ase !e $os $oga#itmos @natu#a$es o @ne"e#ianos Pue!e o,tene#se una a"#oxima'i.n !e !i'o n5me#o toman!o a$gunos t/#minos !e $a suma in%inita: )))) ) W ) i ) , )? 9? ? ? o toman!o n g#an!e en $a ex"#esi.n )d b; Po# e2em"$o: e K )d0OI;) s 90H n Una me2o# a"#oxima'i.n !e$ n5me#o e es 90H)9)9 Una a"$i'a'i.n !e $oga#itmos En e$ "#o,$ema !e $a 'o$o'a'i.n %inan'ie#a ten(amos un 'a"ita$ !e ) 'o$o'a!o a$  !e inte#/s mensua$ e%e'ti+o Nos "#eguntamos ao#a "o# 'u&nto tiem"o !e,e#& "e#mane'e# 'o$o'a!o e$ 'a"ita$ "a#a gene#a# 9 !e inte#/s  Leona#!o Eu$e# )HH-)H; matem&ti'o sui*o que a!em&s in+estig. en e$ 'am"o !e $a %(si'a0 $a qu(mi'a0 $a meta%(si'a 1 $a ast#onom(a So$u'i.n: gene#a# 9 !e inte#/s es $o mismo que gene#a# un monto !e )9 E$ "$anteo es enton'es as(: )9 K ))d0;) !on!e $a in'.gnita a en'ont#a# es @t0 e$ tiem"o que !e,e "e#mane'e# 'o$o'a!o e$ 'a"ita$ "a#a gene#a# 9 !e inte#/s O"e#an!o en $a e'ua'i.n #esu$ta: $0$ K )09 Pasan!o a $oga#itmos: $og$0t; K $og )09 1 uti$i*an!o una !e $as "#o"ie!a!es !e $oga#itmos se o,tiene: t x $og$0 K $og )09 tK$og$ $og )09


25 En'ont#amos que e$ 'a"ita$ !e,e 'o$o'a#se "o# a"#oxima!amente  meses 1  !(as "a#a gene#a# 9 !e inte#/s Cotas 1 ext#emos !e un 'on2unto Los 'on2untos !e n5me#os "ue!en se# %initos o in%initos N0 E0 Q 1 R son e2em"$os !e 'on2untos in%initos En +i#tu! !e $a !ensi!a! !e $os #a'iona$es 1 !e $os #ea$es0 sa,emos que ent#e !os #a'iona$es #ea$es; a1 tam,i/n in%initos #a'iona$es #ea$es; Se !i'e que un 'on2unto es in%inito nume#a,$e si sus e$ementos se "ue!en a'e# 'o##es"on!e# ,iun(+o'amente 'on e$ 'on2unto !e $os natu#a$es Aunque "a#e*'a una "a#a!o2a0 e$ 'on2unto !e $os n5me#os natu#a$es "a#es P; se "ue!e "one# en 'o##es"on!en'ia ,iun(+o'a 'on N4 en 'onse'uen'ia0 P es un 'on2unto in%inito nume#a,$e P N A  j    A U  9 "t U _ )  W j9 O j  i  D _     -  _ v i?  )

No es %&'i$0 "e#o se "ue!e !emost#a# que Q es un 'on2unto in%inito nume#a,$e En 'am,io0 R es un 'on2unto in%inito no nume#a,$e tam"o'o es %&'i$ $a !emost#a'i.n;0 1 tam,i/n es un 'on2unto in%inito no nume#a,$e 'ua$quie# inte#+a$o !e n5me#os #ea$es Cu&$es son $os 'on2untos !e n5me#os m&s usua$es en Matem&ti'a La #es"uesta es: e$ 'on2unto N0 e$ 'on2unto R 1 'ie#tos su,'on2untos !e R que se !e%inen a 'ontinua'i.n Inte#+a$o 'e##a!o !e ext#emos a 1 ,: \a0 ,] K Jx: x 7 R0 a _ x _ , Inte#+a$o a,ie#to !e ext#emos a 1 ,: a0 ,; K Jx: x 7 R0 a _ x _ , Inte#+a$o semia,ie#to "o# i*quie#!a: a0 ,] K Jx: x 7 R0 a _ x _ , Inte#+a$o semia,ie#to "o# !e#e'a: \a0 ,; K Jx: x 7 R0 a _ x _ , Semi-#e'ta !e $os "untos a $a !e#e'a !e w0 'on w in'$ui!o K Jx: x 7 R0 x ` w Cuan!o w es @g#an!e0 este 'on2unto tam,i/n se 'ono'e 'omo @ento#no !e d in%inito Semi#e'ta !e $os "untos a $a i*quie#!a !e W0 'on W ex'$ui!o KJx:x7R0x_W Si W es negati+o 1 @g#an!e0 este 'on2unto se !enomina @ento#no !e - in%inito; Ento#no !e 'ent#o @a 1 #a!io @#: Ua # K Jx: x 7 R0 a - # _ x _ a d # Ento#no #e!u'i!o !e 'ent#o @a 1 #a!io @#: Uja # K Jx: x 7 R0 x  a0 a - # _ x _ a d # De%ini'i.n: Se !i'e que un 'on2unto A !e n5me#os est& a'ota!o si se 'um"$en a $a +e* $as !os 'on!i'iones siguientes: a;  un n5me#o w ta$ que x _ w  x 7A ,;  un n5me#o W ta$ que x ` W  x 7A No a1 No a1 e$ementos !e A Con2unto A e$ementos !e A W w Se !i'e que e$ 'on2unto A est& a'ota!o su"e#io#mente si se 'um"$e $a 'on!i'i.n a; Se !i'e que e$ 'on2unto A est& a'ota!o in%e#io#mente si se 'um"$e $a 'on!i'i.n ,; Se !i'e que w es una 'ota su"e#io# !e$ 'on2unto A0 1 que W es una 'ota in%e#io# !e$ 'on2unto A O,s emo'iones


26 ) Si e$ 'on2unto A es %inito0 enton'es est& a'ota!o A$'an*a 'on o#!ena# $os e$ementos !e A !e meno# a ma1o#0 1 enton'es e$ meno# es una 'ota in%e#io# mient#as que e$ ma1o# +a$o# !e A es una 'ota su"e#io# 9 Si w es una 'ota su"e#io# !e$ 'on2unto A0 enton'es to!o n5me#o ma1o# que w tam,i/n es 'ota su"e#io# !e A Si W es una 'ota in%e#io# !e$ 'on2unto A0 enton'es to!o n5me#o meno# que W tam,i/n $o es  Si e$ 'on2unto A es in%inito0 enton'es "ue!e o no esta# a'ota!o E2em"$os: N est& a'ota!o in%e#io#mente "e#o no su"e#io#mente  es una 'ota in%e#io# No es "osi,$e en'ont#a# un w: n _ w  n 7N Enton'es0 N no est& a'ota!o - E$ 'on2unto E no est& a'ota!o in%e#io# ni su"e#io#mente \a0 ,] es un 'on2unto a'ota!o Po# e2em"$o0 , 1 ,d); son 'otas su"e#io#es0 mient#as que a 1 a-; son 'otas in%e#io#es - 12a s es un 'on2unto a'ota!o0 a-#; 1 ad#; son una 'ota in%e#io# 1 ot#a su"e#io# Si un 'on2unto A a!mite 'otas su"e#io#es0 $a meno# !e $as 'otas su"e#io#es se $$ama su"#emo !e$ 'on2unto A Si e$ su"#emo0 a!em&s0 "e#tene'e a$ 'on2unto A0 enton'es e$ su"#emo se $$ama m&ximo o ext#emo su"e#io# !e$ 'on2unto A An&$ogamente0 si e$ 'on2unto A a!mite 'otas in%e#io#es0 $a ma1o# !e $as 'otas in%e#io#es se $$ama (n%imo !e$ 'on2unto A0 1 si e$ (n%imo "e#tene'e a$ 'on2unto A0 enton'es se $$ama m(nimo o ext#emo in%e#io# !e$ 'on2unto A P#o,$ema En $a E!a! Me!ia una +ie2ita 'uenta sus ga$$inas Si 'uenta !e 9 en 9 $e so,#a una0 si 'uenta !e  en  $e so,#a una0 si 'uenta !e  en  $e so,#a una 1 si 'uenta !e  en  $e so,#a una Wa$$a# 'u&ntas ga$$inas tiene $a +ie2ita a; Wa$$a# e$ 'on2unto !e so$u'iones "osi,$es !e$ "#o,$ema0 ,; Wa$$a# e$ m(nimo !e !i'o 'on2unto E$ s(m,o$o sumato#ia Los e$ementos !e un 'on2unto0 a +e'es0 se "ue!en es'#i,i# me!iante una %.#mu$a0 $o que "e#mite sim"$i%i'a# nota,$emente $a nota'i.n Po# e2em"$o0 e$ 'on2unto !e $os n5me#os natu#a$es "a#es "ue!e sim,o$i*a#se "o# @9n !on!e n 7N An&$ogamente0 $a ex"#esi.n @9n d ) sim,o$i*a un n5me#o natu#a$ im"a# 'ua$quie#a0 1 n9 #e"#esenta a $os n5me#os natu#a$es que son 'ua!#a!os "e#%e'tos En mu'as a"$i'a'iones es ne'esa#io #ea$i*a# o"e#a'iones ta$es 'omo $a suma o e$ "#o!u'to !e n5me#os que tienen @$a misma %o#ma "o#que "e#tene'en a 'on2untos 'u1os e$ementos est&n #e$a'iona!os me!iante una %.#mu$a gene#a$ En estos 'asos0 $a suma !e !i'os n5me#os "ue!e es'#i,i#se uti$i*an!o $a $et#a sigma ma15s'u$a n; La ex"#esi.n:  > Fo#mu$a!; 4K] in!i'a que se !e,en suma#  suman!os $os 'ua$es #esu$tan !e sustitui# e$ (n!i'e @i en $a @F.#mu$ai; "o# $os n5me#os natu#a$es )0 90 0 0 0 0 H 1  Enton'es:  9 -i K 9) d 99 d 9 d 9 d 9 d 9 d 9H d 9 Ki *9 K )9 d 99 d9 d 9 d9 %Ki  B9-$; K  d H d G d $$ HK C.mo "ue!e es'#i,i#se $a suma )H d 9) d 9 d 9G d  d H d ); me!iante e$ s(m,o$o sumato#ia Es ne'esa#io ex"$i'ita# $a @F.#mu$ai; 1 !ete#mina# e$ #e'o##i!o !e$ (n!i'e @i Pa#a en'ont#a# $a %.#mu$a0 "ue!e o,se#+a#se que se t#ata !e suman!os im"a#es0 que +an sa$tan!o !e  en  Enton'es0 una %.#mu$a a"#o"ia!a es i d ); 'on i K 0 0 0 H0 0 G 1 ) IDECAP | Matemática aplicada a la economía

27 )H d 9) d9 d 9G d  d H d ) K ) HK O,s/#+ese que i - ; tam,i/n si#+e 'omo %.#mu$a "a#a #eso$+e# e$ "#o,$ema En ta$ 'aso0 qu/ +a$o#es !e,e#(a toma# e$ (n!i'e i Sea e$ 'on2unto A 'on n n5me#os0 'a!a uno !e $os 'ua$es se sim,o$i*a 'on x= A K Jxi0 x90 x00 xn n La suma !e to!os $os e$ementos !e A es: Tx0 1 e$ "#ome!io !e $os e$ementos HK) !e A es: 72 d x9 d x dd x# ISu"ongamos ao#a que $os e$ementos !e$ 'on2unto se "ue!en !is"one# en un 'ua!#o !e !o,$e ent#a!a 'ua!#o !e %i$as 1 'o$umnas;0 !is"osi'i.n que se 'ono'e 'on e$ nom,#e !e @mat#i* C0 C9 ' Cn Fi xn 7$9 7$ 7$n % 9 x9i 799 x9 x9n %  7) 79 7 7n F m

7m$ xm9 7m 7mn Esta mat#i* tiene m %i$as F20 F 90 0 F m; 1 n 'o$umnas Ci0 C90  0 Cn; La

n suma !e $os e$ementos !e $a "#ime#a %i$a es 72 La suma !e $os e$ementos !e $a te#'e#a HK) m 'o$umna es x4  Pa#a %a'i$ita# $a nota'i.n en este 'aso #esu$ta 'on+eniente uti$i*a# HK) (n!i'es !istintos "a#a %i$as 1 'o$umnas Enton'es0 $a suma !e $os e$ementos !e $a te#'e#a m 'o$umna se "ue!e ex"#esa# tam,i/n as(: 2K ) Si se t#ata ao#a !e suma# to!os $os e$ementos !e $a mat#i*0 enton'es se "ue!e uti$i*a# una @!o,$e sumato#ia: Suma !e to!os $os e$ementos !e $a mat#i*: ESj0 M =Ki P#o"ie!a!es !e =a sumato#ia ) Constante mu$ti"$i'ati+a: wx0; K w 9`0 9 Sumato#ia !e una suma: d 10 ;K^x:dpB1$  Inte#+e#si.n !e$ s(m,o$o: y : ) p  2 i Si en $uga# !e suma# $os e$ementos x= se t#ata !e mu$ti"$i'a#$os0 enton'es se uti$i*a $a ex"#esi.n"#o!u'to#ia me!iante e$ s(m,o$o "i ma15s'u$a: n 7$7977n K >\7i K ) Po# e2em"$o0 "a#a #e"#esenta# e$ "#o!u'to !e Ix9xxxx9 me!iante e$ s(m,o$o "#o!u'to#ia0 se tiene: 9


28 Ix9xxxx9 K K] Se #e'ue#!a que "a#a este "#o!u'to "a#ti'u$a# - e$ "#o!u'to !e un n5me#o natu#a$ "o# to!os $os menos que /$ asta $$ega# a$ uno o tam,i/n @%a'to#ia$ !e$ n5me#o- existe una nota'i.n a5n m&s sim"$e usan!o e$ signo %ina$ !e a!mi#a'i.n: Ix9xxxx9 K 9? Re"a#ti!o P#&'ti'o ): O"e#a'iones 'on n5me#os Uso !e $a 'a$'u$a!o#a E2e#'i'io ) Uti$i*an!o $as "#o"ie!a!es !e $as o"e#a'iones #a'iona$es0 in!i'a# si $as siguientes a%i#ma'iones son +e#!a!e#as ; o %a$sas F;  F a; axd; K axd)a a0x z z ,; 9 - x; d 1 K 9 d 1 - x; x01

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  xx d 9; d x x d 9; d x v e; b) z z ------------------------------K--------------------- x xx d ); xd) xx d 9; d x  2'd x zz xx d ); 7 d ) g; -$;-9;--; K - ) z z ; -) ;-9;-  - ; K - ) z z o ) i; 9 K ) z z 2; 9 K z z {;  K  z m; 1=9 K 9 z z

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zz 9  E2e#'i'io 9 Ca$'u$a# 'on $a 'a$'u$a!o#a0 a"#oximan!o 'on !os !e'ima$es0 a; S K ^ 9 9 o; P; -9;-^ g; wX-S K i; 9 K X  8; X {; ) d 0;90 K ); ) d 09;9 K m; )) d 09;9 K n; $og 9 K o; $og 9 d $og  K "; $og9-$og9 K q; $og ) K #; 90 9^ K Re"a#ti!o P#&'ti'o 9: Sumato#ia0 'otas 1 ext#emos !e un 'on2unto E2e#'i'io ) !atos Una 'anasta !e 'onsumo a$imenti'io se 'om"one !e  a#t('u$os0 'on $os siguientes ARTICULOi; CANTIDADqi; PRECIO"i; COSTOCX; Le'e 9   ino )9 9 )


29 Ca#ne )  9 Pan 'i'o  9 ) Queso    >e#,a  9 9 SE PIDE: ) Ca$'u$a# e$ +a$o# !e $a 'anasta a "#e'ios !e +enta "#esu"uesto mensua$; 9 Ca$'u$a# e$ +a$o# !e $a 'anasta a "#e'ios !e 'osto  Ca$'u$a# e$ ma#gen 'ome#'ia$ tota$  Ca$'u$a# e$ ma#gen !e 'ont#i,u'i.n "o# "#o!u'to !e $a 'anasta  Ca$'u$a# e$ ma#gen !e 'ont#i,u'i.n #e$ati+o "o# "#o!u'to !e $a 'anasta E2e#'i'io 9 Una 'anasta !e 'onsumo a$imenti'io se 'om"one !e { a#t('u$os { ` );0 'on $os siguientes !atos ARTICULO CANTIDAD PRECIO COSTO ) 0 Pi Ci 9 : P9 C9  P6 C b b b b { {O P{ C{ SE PIDE: P$antea# uti$i*an!o e$ s(m,o$o !e sumato#ia ) E$ +a$o# !e $a 'anasta a "#e'ios !e +enta 9 E$ +a$o# !e $a 'anasta a "#e'ios !e 'osto  E$ +a$o# !e $a 'anasta a "#e'ios !e +enta !e $os "#ime#os 9 a#t('u$os  E$ +a$o# !e $a 'anasta a "#e'ios !e 'osto !e $os 5$timos ) a#t('u$os  E$ ma#gen 'ome#'ia$ tota$  E$ ma#gen !e 'ont#i,u'i.n #e$ati+o "#ome!io0 "on!e#an!o 'on e$ +a$o# !e 'a!a "#o!u'to en e$ "#esu"uesto mensua$ H Ca$'u$a# e$ ma#gen !e 'ont#i,u'i.n #e$ati+o "#ome!io0 as( "on!e#a!o0 'on $os !atos !e$ E2e#'i'io ) E2e#'i'io  Ca$'u$a# $as siguientes sumas )9 ;Bj K ,;X=9 K HK) '; 9Hb); K HK E2e#'i'io  Es'#i,i# uti$i*an!o e$ s(m,o$o !e sumato#ia: a; 9 d  d  d  d  d) K ,; ) d  d  d H d  dH K '; ) d9 d  d  d ) d  d )9 K !; )H d 9) d9 d9G d  d H d ) d d G K e; ) -9 d - d ) - d )9 K %; ) d -dbd -d Wbb K 9 L8 9 g; )d) d H d ? d ccc ; $ d  d  d J d  d  K i; K ) d 9 d i d = d  d |L d E2e#'i'io  IDECAP | Matemática aplicada a la economía

3 Wa$$a#0 si existen0 una 'ota in%e#io# 1 una 'ota su"e#io# !e $os siguientes 'on2untos A KJ)000H00)) 6 K Jx: x K ) d )n0 'on n e N d CKJ7:7< \09] D K Jx: x < N0 x es !i+isi,$e ent#e 9 E K J x: x g N0 x es un !i+iso# !e  F K Jx: x e N0 x es e$ #esto !e !i+i!i#  ent#e un natu#a$ 'ua$quie#a < K Jx: x e R0 x 9 d 9x -  K  W K Jx: x < R0 x9 d x d ) K  E2e#'i'io  Se tiene una 'ue#!a !e $a#go L Se "ue!e 'onst#ui# 'on $a 'ue#!a un 'ua!#a!o o un ex&gono #egu$a#0 am,os !e "e#(met#o L Se quie#e sa,e# 'u&$ !e $os !os tiene ma1o# &#ea  POLINOMIOS > E7PRESIONES AL
31 Los "o$inomios "ue!en !e"en!e# !e una o m&s in!ete#mina!as una o m&s $et#as; E$ g#a!o !e un "o$inomio es e$ ma1o# !e $os g#a!os !e sus monomios E2em"$os: g#9x9 1; K  g#9x]; K ) g#xj d 1) d *); K ) g#9x d x) d x9 - x d x; K  g#x d x9 d x; K  De%ini'i.n: Un "o$inomio en +a#ias in!ete#mina!as es omog/neo !e g#a!o n si to!os sus monomios son !e g#a!o n E2em"$os:  x d 1 es omog/neo !e g#a!o  x9 d 9x1 d 19 es omog/neo !e g#a!o 9 o x es omog/neo !e g#a!o  x d 91 no es un "o$inomio omog/neo Consi!e#emos ao#a "o$inomios en una so$a in!ete#mina!a s.$o $a $et#a x; A$gunas sim"$i%i'a'iones en $a nota'i.n Cuan!o un monomio tiene 'oe%i'iente 'e#o0 enton'es se $o e$imina !e$ "o$inomio Cuan!o e$ g#a!o !e un monomio es )0 enton'es no se es'#i,e e$ ex"onente ) x) se es'#i,e x; E$ monomio x se es'#i,e sim"$emente  Se !i'e que un "o$inomio en una so$a in!ete#mina!a; est& #e!u'i!o si to!os sus monomios son !e !istinto g#a!o E2em"$os:  -x d x - 9x es un "o$inomio #e!u'i!o 9x d x9 - x no es un "o$inomio #e!u'i!o Pa#a o,tene# un "o$inomio #e!u'i!o en e$ segun!o e2em"$o0 a$'an*a 'on #ea$i*a# $a c p O  C  O O  )  o"e#a'ion 9x -x K9-;x K-x Se !i'e que un "o$inomio est& o#!ena!o si $os monomios a"a#e'en en o#!en '#e'iente o !e'#e'iente !e sus g#a!os E2em"$os: 9   9 d x d x -x d x es un "o$inomio o#!ena!o  9  icc 9x d x - x no es un "o$inomio o#!ena!o Se !i'e que un "o$inomio !e g#a!o n es 'om"$eto si en su !esa##o$$o %igu#an to!os $os monomios !e g#a!o meno# o igua$ que n0 'on 'oe%i'ientes !i%e#entes !e 'e#o E2em"$os: 9 d x d x9 - x d x es un "o$inomio 'om"$eto -x d x - 9x no es un "o$inomio 'om"$eto $os monomios !e g#a!o 9 1 !e g#a!o  tienen 'oe%i'iente ; 9   E$ "o$inomio 9 d x d x -x d x es un "o$inomio #e!u'i!o0 o#!ena!o 1 'om"$eto Los "o$inomios son enti!a!es matem&ti'as -'omo $o son $os n5me#os 1 $os 'on2untos- Se a'ostum,#a !enomina#$os 'on $et#as ma15s'u$as !e nuest#o a$%a,eto -'omo a $os 'on2untos- 1 'uan!o es ne'esa#io se ex"$i'ita e$ nom,#e !e $a i n!etennina!a PK 9 d x d x9-x d x Px; K 9 d x d x9 - x d x De%ini'i.n: Dos "o$inomios son igua$es si tienen e$ mismo g#a!o 10 una +e* #e!u'i!os 1 o#!ena!os0 tienen igua$es to!os $os 'oe%i'ientes #es"e'ti+os E2em"$o: Los "o$inomios P K 9 d x d x9 - x d x 1 Q K 9 d x d x9 - x d ax d ,x0 !on!e a 1 , son n5me#os0 son igua$es s.$o si a K  1 , K  Si $os 'oe%i'ientes !e$ "o$inomio se #est#ingen a $os n5me#os !(gitos \0 $0 90 0 0 0 0 H0 0 G] enton'es un "o$inomio no es ot#a 'osa que e$ !esa##o$$o !e $a ex"#esi.n !e un n5me#o en ,ase @x: x$ d x$9 d x)p d Gx) K G) x d 9x d $x d x9 d xr K 9) En e$ segun!o e2em"$o $os 'oe%i'ientes se #est#ingen a$ 'on2unto \0 )0 90 0 ]0 que son $os 5ni'os s(m,o$os ne'esa#ios "a#a t#a,a2a# en ,ase  Mu'as 'i+i$i*a'iones "#imiti+as IDECAP | Matemática aplicada a la economía

32 t#a,a2a,an en ,ase  Los ma1as usa,an $a ,ase 9 Los &#a,es %ue#on $os "#ime#os en a!o"ta# $a ,ase ) O"e#a'iones 'on "o$inomios Con $os "o$inomios es "osi,$e !e%ini# o"e#a'iones De e'o0 se "ue!en #ea$i*a# 'on e$$os to!as $as o"e#a'iones a$ge,#ai'as > 'omo un "o$inomio no es ot#a 'osa que $a suma0 #esta 1 "#o!u'to !e n5me#os 1 $et#as -que0 'omo 1a !i2imos0 #e"#esentan n5me#os- enton'es0 to!as $as "#o"ie!a!es !e $os n5me#os son t#as$a!a,$es a $os "o$inomios As(0 e$ 'on2unto !e $os "o$inomios tiene est#u'tu#a !e g#u"o #es"e'to !e $a suma Se 'um"$en $as "#o"ie!a!es !e $a suma: 'onmutati+a0 aso'iati+a0 existen'ia !e neut#o 1 existen'ia !e o"uesto Pa#a a$$a# e$ o"uesto !e un "o$inomio a$'an*a 'on 'am,ia# to!os $os signos !e sus 'oe%i'ientes E2em"$o: Pa#a suma# $os "o$inomios T K x  - 9x d  1 R K x9 d x -  se "#o'e!e 'omo en e$ esquema que sigue $uego !e o#!ena# 1 #e!u'i# $os suman!os0 si %ue#a ne'esa#io; x dx9 b 9x d  d x9 d x- x dx9 d x d 9 E$ "#o!u'to !e "o$inomios es una o"e#a'i.n que +e#i%i'a $as "#o"ie!a!es 'onmutati+a0 aso'iati+a 1 existen'ia !e neut#o -e$ neut#o !e$ "#o!u'to es e$ "o$inomio )-"e#o no se 'um"$e $a existen'ia !e in+e#so Po# este moti+o0 e$ 'on2unto !e $os "o$inomios no tiene est#u'tu#a !e 'ue#"o E$ in+e#so !e$ "o$inomio x d ); es $a ex"#esi.n a$ge,#ai'a------------0 xd$ que no es un "o$inomio no se "ue!e es'#i,i# 'omo suma o #esta !e monomios; Pa#a mu$ti"$i'a# !os "o$inomios se "ue!e a"$i'a# $a "#o"ie!a! !ist#i,uti+a c c icc 9  gene#a$i*a!a E2em"$o: "a#a mu$ti"$i'a# x d 9x - ); "o# x - 9x - ; es ne'esa#io mu$ti"$i'a# 'a!a monomio !e$ "#ime# %a'to# "o# 'a!a monomio !e$ segun!o %a'to#0 $uego suma# to!os $os "#o!u'tos 1 #e!u'i# e$ #esu$ta!o x9 d 9x- ) 7 x-9x- x d 9x- x x - x9 d9x - Gx9 - x d  x d 9x - Hx - )x9 - x d  Fun'i.n "o$in.mi'a A "a#ti# !e $a enti!a! "o$inomio es "osi,$e !e%ini# %un'iones !e !ominio 1 'o!ominio #ea$es0 a'ien!o 'o##es"on!e# a 'a!a n5me#o #ea$ @x e$ +a$o# que #esu$ta !e sustitui# !i'o n5me#o en Px; A estas %un'iones se $as 'ono'e 'omo "o$in.mi'as 1 su g#&%i'o sue$e se# ,astante %&'i$ !e #e"#esenta# en un "a# !e e2es 'a#tesianos o#togona$es 'uan!o e$ g#a!o !e$ "o$inomio es ,a2o En "a#ti'u$a#0 'uan!o e$ "o$inomio es !e g#a!o  . ) e$ g#&%i'o !e $a %un'i.n "o$in.mi'a es una #e'ta0 1 'uan!o e$ g#a!o es 9 e$ g#&%i'o es una "a#&,o$a A; 6; C;

Ra('es !e$ "o$inomio Se !enomina #a(* !e $a %un'i.n "o$in.mi'a a$ +a$o# !e $a in!ete#mina!a


33 en e$ $engua2e !e %un'iones se $e $$ama @+a#ia,$e; que a'e que e$ +a$o# !e $a %un'i.n "o$in.mi'a sea nu$o a es #a(* !e P _-` Pa; K  <#&%i'amente0 $a #a(* !e P es un +a$o# !e x !on!e e$ g#&%i'o !e $a %un'i.n 'o#ta a$ e2e Ox En e$ g#&%i'o A; no a1 #a('es0 en e$ g#&%i'o 6; $a 5ni'a #a(* es a K -) 1 en e$ g#&%i'o C; $a %un'i.n "o$in.mi'a tiene !os #a('es: ai K ) 1 )9 K 9 Da!o un "o$inomio0 $os "#o,$emas que "ue!en "#esenta#se #es"e'to !e sus #a('es son: 'u&ntas #a('es #ea$es tiene '.mo en'ont#a# to!as sus #a('es #ea$es '.mo a"#oxima#$as 'uan!o son #ea$es i##a'iona$es Estos "#o,$emas0 que 1a se a,(an "$antea!o g#iegos 1 &#a,es a 'omien*os !e nuest#a e#a0 #e'i/n tu+ie#on #es"uesta a "a#ti# !e$ sig$o 7I 1 siguientes La "#o"ie!a! m&s #e$e+ante so,#e #a('es !e "o$inomios ex"#esa: To!o "o$inomio !e g#a!o n tiene a $o sumo n #a('es #ea$es E$ teo#ema "#o"o#'iona una 'ota su"e#io# !e$ n5me#o #a('es0 "e#o no #esue$+e $os "#o,$emas a##i,a enun'ia!os Pa#a en'ont#a# $as #a('es #ea$es existen +a#ios m/to!os que "enniten o,tene#$as exa'tamente: e$ teo#ema !e $a #a(* #a'iona$0 $a "#o"ie!a! que #e$a'iona 'oe%i'ientes !e$ "o$inomio 'on sus #a('es0 e$ teo#ema !e $a !es'om"osi'i.n %a'to#ia$ 1 e$ m/to!o !e Ru%%mi "a#a @,a2a# e$ g#a!o !e$ "o$inomio Cuan!o $as #a('es son #ea$es i##a'iona$es existen m/to!os "a#a a"#oxima#$as me!iante n5me#os !e'ima$es "#e%i2an!o e$ m&ximo e##o# to$e#a,$e E)) este 'u#so no t#ata#emos ninguno !e estos m/to!os e#emos s( a$gunos 'asos "a#ti'u$a#es Cuan!o e$ "o$inomio es !e "#ime# g#a!o0 siem"#e a!mite una #a(* #ea$ 5ni'a; Px; K a d ,x a K -a, Cuan!o e$ "o$inomio es !e segun!o g#a!o0 a!mite #a('es #ea$es si $a ex"#esi.n !enomina!a @!is'#iminante es ma1o# o igua$ que  Px; K ax9 d ,x d ' A K , - a' es e$ !is'#iminante   , d a b , b a  0 Las ex"#esiones ax K----------------------- 1 a9 K---------------------------- "#o"o#'ionan $as !os #a('es !e 9a 9a $a %un'i.n "o$in.mi'a0 en 'aso que A sea ma1o# que 'e#o Si A K 0 enton'es $as !os #a('es son igua$es Pe#o si e$ !is'#iminante es negati+o0 enton'es $a %un'i.n no tiene #a('es Estas situa'iones se "ue!en +isua$i*a# g#&%i'amente


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E$ 'oe%i'iente !e$ monomio !e g#a!o 9 'um"$e un "a"e$ #e$e+ante en $a %o#ma !e$ g#&%i'o: si a `  enton'es $a "a#&,o$a @mi#a a'ia a##i,a0 1 si a _  enton'es $os 'ue#nos !e $a "a#&,o$a mi#an a'ia a,a2o De a'ue#!o 'on e$ Teo#ema !e Des'om"osi'i.n Fa'to#ia$0 si ai 1 a9 son $as #a('es !e$ "o$inomio Px; K ax9 d ,x d '0 enton'es e$ "o$inomio tam,i/n se "ue!e ex"#esa# as(: Px; K ax - ai;x - a9; M&s en gene#a$0 si e$ "o$inomio es !e g#a!o n 1 a!mite $as #a('es ))0)90)0 a n 1 a n es e$ 'oe%i'iente !e$ monomio !e ma1o# g#a!o0 enton'es e$ "o$inomio "ue!e ex"#esa#se 'omo "#o!u'to as(: Px; K anx - ai;x - a9;x - a;x - an; Si e$ "o$inomio P es !e g#a!o n 1 a!mite s.$o { #a('es #ea$es { _ n;0 enton'es to!a+(a P se "ue!e %a'to#i*a# as(: Px; K anx - ai;x - a9;x - a;x - a{; Qx; !on!e Q es un "o$inomio !e g#a!o n - {; Se "ue!e !emost#a# que e$ "o$inomio Q es !e g#a!o "a# 1 que sus #a('es son "a#es !e n5me#os 'om"$e2os 'on2uga!os; E2em"$o: E$ "o$inomio Px; es !e g#a!o 0 e$ monomio !e  o g#a!o es -; 1 a!mite $as #a('es )0 90 90 0 -) 1 -9 Ex"#esa# e$ "o$inomio en %o#ma %a'to#ia$ Px; K -x - $;x - 9;x - 9;x - ;x--$;;x --9;; Px; K -x - $;x - 9;9x - ;x d$;x d9; Signo !e$ "o$inomio C.mo es a"#oxima!amente e$ g#&%i'o !e $a %un'i.n "o$in.mi'a


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Las #a('es !e P son "untos !e 'o#te !e$ g#&%i'o 'on e$ e2e Ox Las #a('es 'onse'uti+as !ete#minan inte#+a$os: -oo0 -9;0 -90 -);0 -)0 );0 )0 9;0 90 ; 1 0 doo;  O,s/#+ese que en esos inte#+a$os e$ signo !e P es o ,ien "ositi+o o ,ien negati+o no a1 'am,ios !e signo !ent#o !e esos inte#+a$os; De a'ue#!o 'on e$ g#&%i'o "#e'e!ente0 e$ esquema !e$ signo !e P es:  d  - dd SgnP -------------------------------)-----------)------------------------)-----------)-----------)-------------------------9-) )9  En e$ esquema se 'o$o'an to!as $as #a('es 1 en $os inte#+a$os que /stas !ete#minan se se3a$a e$ signo !e$ g#&%i'o d . - seg5n 'o##es"on!a; Existe a$guna #eg$a gene#a$ "a#a a$$a# e$ signo !e un "o$inomio !e g#a!o 'ua$quie#a La #es"uesta es a%i#mati+a si se 'ono'en to!as $as #a('es 1 e$ signo !e$ 'oe%i'iente !e$ monomio !e m&s a$to g#a!o a n; En este 'aso e$ "o$inomio se "ue!e %a'to#i*a# 1 a$$a# e$ signo en 'a!a inte#+a$o me!iante $a #eg$a !e$ "#o!u'to !e n5me#os Si se t#a,a2a !e !e#e'a a i*quie#!a0 e$ "#ime# inte#+a$o tiene e$ signo !e an A$ "asa# !e un inte#+a$o a$ siguiente -siem"#e !e !e#e'a a i*quie#!a- si $a #a(* es 9 sim"$e o !e mu$ti"$i'i!a! im"a#0 enton'es se "#o!u'e un 'am,io !e signo a$ "asa# a$ nue+o inte#+a$o Si $a #a(* es !e mu$ti"$i'i!a! "a#0 enton'es e$ nue+o inte#+a$o mantiene e$ signo !e$ 'ontiguo a $a !e#e'a F#a''iones a$ge,#ai'as E$ 'o'iente !e "o$inomios !a o#igen a una nue+a enti!a! matem&ti'a !enomina!a %#a''i.n a$ge,#ai'a De%ini'i.n e$ "o$inomio nu$o E2em"$os: E$ 'on2unto !e $as %#a''iones a$ge,#ai'as tiene est#u'tu#a !e 'ue#"o "ues e$ 'o'iente !e %#a''iones a$ge,#ai'as es ot#a %#a''i.n a$ge,#ai'a0 a 'on!i'i.n que e$ !enomina!o# no sea $a %#a''i.n nu$a La suma0 #esta0 "#o!u'to 1 'o'iente !e %#a''iones a$ge,#ai'as siguen $as mismas #eg$as o"e#ato#ias !e $as %#a''iones num/#i'as E2em"$os: : F K b es una %#a''i.n a$ge,#ai'a si P 1 Q son !os "o$inomios 1 Q no es 9x d ) ) x- x  -9x9 d x-) x9 -) ^ x d 9 ^ 9 ^ x 9 -x-G 9 Se !enomina @mu$ti"$i'i!a! a $a 'anti!a! !e +e'es que se #e"ite $a misma #a(* en e$ "o$inomio En e$ e2em"$o "#e'e!ente $a #a(* 9 es !e mu$ti"$i'i!a! 90 mient#as que $as #estantes #a('es son !e mu$ti"$i'i!a! )  9x x d 9 9xx d $; d x d 9;x-$; x 9 d x-9 a; -----------------H d-------H K---------------------------------------------- K--------------------------IDECAP | Matemática aplicada a la economía

36 ,; x-) x d ) x-);x d ); x-) 9 9x x d 9 9xx d $;-x d 9;x-$; x dx d 9 x-) x d ) x-);x d ); x -) 9  9x x d 9 9xx d 9; 9x d x #`  b ) b  x-) x d ) x-);x d ); x 9-$ 9x x d 9 9x x d ) 9xx d $; 9x9 d 9x !; --------------------------------K-----------x------------K-----------------------K b--------------------x-) x d ) x-) x d 9 x b$;x d 9; x dx-9 Es "osi,$e !e%ini# nue+as %un'iones a "a#ti# !e $as %#a''iones a$ge,#ai'as Po# e2em"$o0 'onsi!e#emos $a #e$a'i.n que a 'a!a +a$o# !e @x $e asigna e$ +a$o# !e 9xx-$; Si e$ !ominio 1 e$ 'o!ominio son $os n5me#os #ea$es0 enton'es esta #e$a'i.n no es una %un'i.n "o#que e$ +a$o# x K ) !e$ !ominio no tiene 'o##es"on!iente en e$ 'o!ominio "ues "a#a x K ) se anu$a e$ !enomina!o#; Pa#a que $a #e$a'i.n x by 9xx-$; sea una %un'i.n0 es ne'esa#io #est#ingi# e$ !ominio e$iminan!o e$ o $os +a$o#es !e x que a'en que $a %#a''i.n tenga !enomina!o# nu$o En este e2em"$o0 x K ) es e$ 5ni'o +a$o# que !e,e se# ex'$ui!o !e$ !ominio !e $a %un'i.n: Dominio !e F K DF; K Jx:x7R1x$ C.mo es e$ g#&%i'o !e $a %un'i.n %#a''i.n a$ge,#ai'a E$ g#&%i'o es un "o'o m&s 'om"$i'a!o que e$ !e $as %un'iones "o$in.mi'as0 1 este "#o,$ema $o a,o#!a#emos m&s a!e$ante Pe#o s( "o!emos a$$a# e$ esquema !e$ signo !e F Si F K PQ0 enton'es #esu$ta que Sgn F K Sgn PxQ;0 ex'e"to en $os "untos ta$es que Qx; K  En ta$es "untos no existe e$ signo !e $a %#a''i.n #e'o#!a# que ta$es "untos que!an ex'$ui!os !e$ !ominio !e $a %un'i.n; x9 - 9x d 9 E2em"$o: Wa$$a# e$ esquema !e$ signo !e F K b-------------------bb-------- E$ "o$inomio !e$ nume#a!o# tiene #a('es al K 9 1 a9 K  E$ "o$inomio !e$ !enomina!o# tiene #a('es |i K9 1 P9 k -9 E$ "o$inomio PxQ tiene $as #a('es -90 90 9 1  1 su "#ime# 'oe%i'iente es d En 'onse'uen'ia: Sgn PxQ Sgn F d d -9 7 od 7 7-o d P#o!u'tos nota,$es Sean P 1 Q !os "o$inomios Se !enomina ,inomio a $as ex"#esiones PdQ; 1 P-Q; Se !enominan "#o!u'tos nota,$es a $as siguientes ex"#esiones PdQ;9 K P9 d 9PQ d Q9 P-Q;9 K P9 - 9PQ d Q9 PdQ;P-Q; K P9 - Q9 PdQ; K P d P9Q d PQ9 d Q > si %ue#a ne'esa#io e$e+a# e$ ,inomio a un ex"onente m&s a$to0 "o# e2em"$o0 PdQ; H Pa#a #eso$+e# este "#o,$ema existe un #esu$ta!o gene#a$0 'ono'i!o 'omo e$ !esa##o$$o !e$ ,inomio !e Nevton  Re'o#!an!o e$ signi%i'a!o !e $a ex"#esi.n @n %a'to#ia$0 nl n?0 1 a!o"tan!o $a nota'i.n C K bb:---------- que se $ee @'om,ina'iones !e n en i; se tiene e$ iln-i;l siguiente #esu$ta!o: IDECAP | Matemática aplicada a la economía

37 "dQ;nK q"rQ HK E2em"$os: ) x9 d x;9 K x9;9 d 9x9;x; d x;9 K x d x d Gx9 9 x9 dx; x9 d x; KCx9;x; dCix9;0x; d C979;97> d Cx9;x;9 dC$x9;lix;p dCx9;x; K K 9x d x d 9HxH d Gx d )xG d x)  Isaa' Nevton )9-)H9H; %(si'o0 ast#.nomo 1 matem&ti'o ing$/s0 %amoso "o# su !es'u,#imiento !e $as $e1es !eg#a+e!a!p Re"a#ti!o P#&'ti'o : Po$inomios 1 ex"#esiones a$ge,#ai'as E2e#'i'io ) Sean $os "o$inomios: Px; K 9x - x dx-$ 1 Sx; K x d9x- a; Ca$'u$a# P d S ,; Ca$'u$a# -9S 1 9S '; Ca$'u$a# P-S !; Ca$'u$a# P-9x;S e; Ca$'u$a# PS E2e#'i'io 9 Wa$$a# e$ !esa##o$$o !e: a; x9 - 9x;9 ,; 9x - x;9 '; x9 d ix; !; x9 - 9x; x9 d 9x; E2e#'i'io  Rea$i*a# $as siguientes o"e#a'iones 0)) a; - d bK 77 ,;I-) x x b) x b) C ; -------H d 7d)7 !; b d K x -) 7 d ) E2e#'i'io  a; Wa$$a# #a('es 1 signo !e$ "o$inomio Sx; K x9 d 9x -  9 9 ,; Wa$$a# #a('es 1 signo !e Tx; K x - 9x;  9x b  x b ) '; Wa$$a# #a('es 1 signo !e Mx; K b--------d------------ x -) xd) E2e#'i'io  Es'#i,i# $as siguientes ex"#esiones 'omo "o$inomios #e!u'i!os 1 o#!ena!os a; 9xd$; ,; x9 - 9x;


38  ECUACIONES SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES E'ua'iones Sean % 1 g !os %un'iones 'u1os !ominios son 'on2untos !e n5me#os 'uan!o !e"en!en !e una so$a +a#ia,$e; o 'u1os !ominios son 'on2untos !e "a#es0 temas0 et' 'uan!o $as %un'iones !e"en!en !e !os0 t#es o m&s +a#ia,$es; En to!os $os 'asos0 $os 'o!ominios !e $as %un'iones son 'on2untos !e n5me#os Consi!/#ese una nue+a enti!a! matem&ti'a $$ama!a e'ua'i.n que tiene $a %o#ma % Kg Si $as %un'iones !e"en!en !e una so$a +a#ia,$e0 enton'es %x; K gx; es una e'ua'i.n @en x Si $as %un'iones !e"en!en !e !e !os +a#ia,$es0 enton'es %x0 1; K gx0 1; es una e'ua'i.n @en x e 14 en t#es +a#ia,$es se tiene $a e'ua'i.n %x0 10 *; K gx0 10 *; En "o$inomios $as $et#as se 'ono'en 'omo @in!etemiina!as0 en %un'iones se $as !enomina @+a#ia,$es0 mient#as que en e'ua'iones se $es $$ama @in!ete#mina!as De%ini'i.n: Reso$+e# $a e'ua'i.n % K g 'onsiste en en'ont#a# to!os $os e$ementos 'omunes !e $os !ominios !e % 1 g que a'en que $os +a$o#es !e $as %un'iones $as im&genes; 'oin'i!an E$ 'on2unto !e e$ementos que satis%a'en $a igua$!a! %x; K gx;0 o ,ien $as igua$!a!es %x0 1; K gx0 1; . %x0 10 *; K gx0 10 *;0 se !enomina 'on2unto so$u'i.n !e $a e'ua'i.n 1 'a!a e$emento !e$ 'on2unto so$u'i.n se $$ama #a(* !e $a e'ua'i.n E2em"$o ): Si %x; K 9x d) 1 gx; K -x d H0 es %&'i$ !emost#a# que $a e'ua'i.n 9x d ) K -x d H tiene "o# 5ni'a #a(* x K 9 E$ 'on2unto so$u'i.n es S K Jx: x K 9 E2em"$o 9: Si %x0 1; K x d 1 1 gx0 1; K x d 1 d 90 enton'es $a e'ua'i.n x d 1 K x d 1 d 9 tiene 'omo 'on2unto so$u'i.n S K Jx0 1;: 1 K -x d )0 e$ 'ua$ 'ontiene in%initos "a#es !e #ea$es Des!e e$ "unto !e +ista geom/t#i'o0 e$ 'on2unto so$u'i.n !e una e'ua'i.n es e$ 'on2unto !e "untos !e $a #e'ta0 !e$ "$ano0 !e$ es"a'io !e  !imensiones o !e un i"e#es"a'io; !on!e se inte#se'tan $os g#&%i'os !e $as %un'iones % 1 g As(0 en e$ E2em"$o )0 $a 5ni'a #a(* x K 9; es $a a,'isa !e$ "unto !on!e se inte#se'tan $as %un'iones %x; K 9x d) 1 gx; K -x dH0 'u1os g#&%i'os se #e"#esentan "o# !os #e'tas en un "a# !e e2es 'a#tesianos o#togona$es

En e$ E2em"$o 90 $os g#&%i'os !e $as %un'iones %x0 1; K x d 1 1 gx0 1; K x d 1 d 9 se #e"#esentan "o# !os "$anos en e$ es"a'io t#i!imensiona$ E$ 'on2unto so$u'i.n S K Jx0 1;: 1 K -x d ) es e$ 'on2unto !e $os "untos !e una #e'ta en e$ "$ano ,i!imensiona$ Consi!e#emos ao#a0 en "a#ti'u$a#0 $as %un'iones !e una so$a +a#ia,$e0 $as que !an o#igen a e'ua'iones !e $a %onna %x; K gx; Reso$+e# $a e'ua'i.n es en'ont#a# $os +a$o#es !e $a in'.gnita que satis%a'en $a igua$!a! !e $as !os %un'iones Si % es un "o$inomio 1 gx; K 0 enton'es #eso$+e# $a e'ua'i.n %x; K gx; equi+a$e a$ "#o,$ema !e en'ont#a# $as #a('es !e un "o$inomio Pa#a #eso$+e# e'ua'iones m&s gene#a$es es ne'esa#io enun'ia# a$gunas "#o"ie!a!es De%ini'i.n: Dos e'ua'iones son equi+a$entes si sus 'on2untos so$u'i.n son igua$es O,se#+a'i.n: si !os e'ua'iones no tienen #a('es0 enton'es son equi+a$entes0 "ues en am,os 'asos0 e$ 'on2unto so$u'i.n es e$ 'on2unto +a'(o P#o"ie!a!es !e =as e'ua'iones ) Las e'ua'iones %x; K gx; 1 %x; d w K gx; d w son equi+a$entes "a#a to!o w 7 R 9 Las e'ua'iones %x; K gx; 1 %x; - gx; K  son equi+a$entes IDECAP | Matemática aplicada a la economía

39  Las e'ua'iones %x; K gx; 1 w%x; K wgx; son equi+a$entes "a#a to!o wO  Las e'ua'iones %x; K gx; 1 %x;x; K gx;x; son equi+a$entes si x;   1 se 'um"$e que \D%;  Dg;] T D;  La e'ua'i.n %x;x; K gx;x; tiene to!as $as #a('es !e $a e'ua'i.n %x; K gx; a 'on!i'i.n que \D%;  Dg;] T D;  La e'ua'i.n \%x;]9 K \gx;]9 tiene to!as $as #a('es !e $a e'ua'i.n %x; K gx; Las #eg$as  1  se a"$i'an 'uan!o $as e'ua'iones %x;x; K gx;x; o \%x;] 9 K \gx;]9 son m&s %&'i$es !e #eso$+e# que $a e'ua'i.n %x; K gx;0 Pe#o en estos 'asos a,#& que tene# un 'ui!a!o es"e'ia$ "o#que $as e'ua'iones no son equi+a$entes 1 $as "#ime#as "ue!en tene# #a('es que no son #a('es !e %x; K gx; se "ue!en int#o!u'i# @#a('es ext#a3as; O,teni!as $as #a('es !e %x;x; K gx;x; o \%x;]9 K \gx;]90 "a#a #eso$+e# $a e'ua'i.n %x; K gx; a$'an*a#& 'on +e#i%i'a# 'u&$es !e aque$$as son tam,i/n #a('es !e esta 5$tima A"$i'an!o estas #eg$as0 $as e'ua'iones en $as que inte#+ienen s.$o "o$inomios0 #esu$tan equi+a$entes a e'ua'iones !e $a %onna Px; K  Como 'asos "a#ti'u$a#es tenemos: ax d , K  ax9 d ,x d ' K  'u1a #eso$u'i.n 1a emos +isto En e$ segun!o 'aso0 $as #a('es se o,tienen uti$i*an!o #a!i'a$es Los 'asos ax d ,x9 d 'x d ! K  1 ax d ,x d 'x9 d !x d e K  tam,i/n se "ue!en #eso$+e# "o# #a!i'a$es !e (n!i'es  1 ;0 #esu$ta!os o,teni!os "#in'i"a$mente "o# $a es'ue$a matem&ti'a ita$iana #e'i/n en e$ sig$o 7I $a e'ua'i.n "o$in.mi'a !e segun!o g#a!o 1a $a a,(an #esue$to $os g#iegos !e $a antig~e!a!; Qu/ "ue!e !e'i#se !e $as e'ua'iones "o$in.mi'as !e quinto g#a!o o m&s0 "o#    9 e2em"$o0 ax d ,x d 'x d !x d ex d % K  Tam,i/n se "ue!en #eso$+e# "o# #a!i'a$es Re'i/n en $a te#'e#a !/'a!a !e$ sig$o 7I7 !os matem&ti'os mu1 2.+enes0 Ni$s A,e$  1 E+a#iste

4 Un sistema !e e'ua'iones es $inea$ 'uan!o to!as $as %un'iones que inte#+ienen en $as e'ua'iones son %un'iones "o$in.mi'as !e asta g#a!o ) Los siguientes son e2em"$os !e sistemas !e e'ua'iones no $inea$es  T#a,a2a#on en $a so$u'i.n !e estos "#o,$emas 8e#.nimo Ca#!ano ))-)H; ita$iano0 Ni'o$&s Ta#tag$ia )GG-)H; ita$iano0 1 F#an'is'o ieta )-); %#an'/s  Ni$s A,e$ )9-)9G; matem&ti'o no#uego  E+a#iste

41 A 'ontinua'i.n0 +amos a gene#a# un 'e#o en e$ "#ime# 'oe%i'iente !e $a segun!a e'ua'i.n0 sum&n!o$e a $a segun!a e'ua'i.n $a "#ime#a mu$ti"$i'a!a "o# -9; x d 91 d * K H 1-* K -) x- 1 b * K -) En e$ siguiente "aso0 gene#amos un 'e#o en e$ "#ime# 'oe%i'iente !e $a te#'e#a e'ua'i.n0 sum&n!o$e a /sta $a "#ime#a mu$ti"$i'a!a "o# -; x d 91 d * -) b 1 b * K b) -)1-* K -99 Se "ue!e suma# a $a te#'e#a e'ua'i.n $a segun!a mu$ti"$i'a!a "o# -); "a#a gene#a# un 'e#o en e$ 'oe%i'iente !e @1 en $a te#'e#a e'ua'i.n0 1 enton'es se o,tiene: d91d*bH b 1 - * K b) *K) Ao#a "ue!e +e#se e$ sistema 'om"$etamente es'a$e#i*a!o En +i#tu! !e $as "#o"ie!a!es enun'ia!as m&s a##i,a0 este sistema es equi+a$ente !e$ "#ime#o0 es !e'i#0 tiene e$ mismo 'on2unto so$u'i.n En e$ 5$timo "e$!a3o !e $a es'a$e#a se "ue!e !es"e2a# e$ +a$o# !e $a in'.gnita *: * K ) -  Si se su,e un "e$!a3o 1 se sustitu1e $a * "o# e$ +a$o# 'a$'u$a!o0 enton'es se o,tiene: - 1 -  K - )0 1 !es"e2an!o $a 1 #esu$ta: 1 K ) Fina$mente0 su,ien!o un "e$!a3o m&s se tiene: x d 9) d  K H0 1 !es"e2an!o $a x #esu$ta: x K 9 En'ont#amos una 5ni'a #a(* x0 10 *; K 90 )0 ; Po# tanto0 e$ sistema es 'om"ati,$e !ete#mina!o

En e$ 'a"(tu$o so,#e Mat#i'es +o$+e#emos so,#e e$ m/to!o !e oung Reg$a !e Cov$ing IDECAP | Matemática aplicada a la economía

42 E !K D H E d) ! b D B d )9 9 !on!e: ! K !osis "a#a e$ ni3o DK !osis "a#a e$ a!u$to EK e!a! !e$ ni3o a; Si un ni3o tiene  a3os 1 $a !osis "a#a e$ a!u$to es !e  'om"#imi!os "o# !(a0 'u&$ es $a !osis "a#a e$ ni3o seg5n $as #eg$as !e >oung 1 Cov$ing ,; Si un ni3o tiene )9 a3os 1 $a !osis "a#a e$ a!u$to es !e 9 'om"#imi!os "o# !(a0 'u&$ es $a !osis "a#a e$ ni3o seg5n $as #eg$as !e >oung 1 Cov$ing '; Pa#a qu/ e!a!es !e$ ni3o 'oin'i!en $as !osis "a#a am,as #eg$as Re!on!ea# a$ a3o m&s 'e#'ano; Re"a#ti!o P#&'ti'o : E'ua'iones 1 Sistemas !e E'ua'iones E2e#'i'io H Reso$+e# $a e'ua'i.n b W----------------------K b #e!on!ean!o $a so$u'i.n 'on un !e'ima$ x )9-x 9 E2e#'i'io  Un o,2eto es $an*a!o a'ia a##i,a asta que 'ae a$ "iso La a$tu#a en met#os; que !es'#i,e e$ o,2eto !es!e que es $an*a!o asta que 'ae a$ "iso es  K t - 9t90 !on!e t es e$ tiem"o en segun!os que t#ans'u##e !es!e e$ momento !e$ $an*amiento a; Cu&nto ta#!a e$ o,2eto en to'a# e$ "iso ,; En qu/ momento a$'an*a e$ o,2eto su a$tu#a m&xima '; En qu/ momento0 'uan!o est& 'a1en!o0 se en'uent#a a )0H met#os !e$ "iso E2e#'i'io G Un 'a"ita$ !e ) %ue 'o$o'a!o !u#ante  a3os a inte#/s 'om"uesto a una tasa e%e'ti+a anua$ !e$ 9 A$ ini'io !e$ "e#(o!o e$ !.$a# 'osta,a ) 1 $a tasa !e !e+a$ua'i.n en 'a!a a3o %ue !e$ )90 ) 1 ) #es"e'ti+amente a; Cu&$ %ue $a #enta,i$i!a! en !.$a#es en 'a!a a3o ,; Cu&$ %ue $a #enta,i$i!a! anua$ en !.$a#es !e $a 'o$o'a'i.n E2e#'i'io ) La 'anasta !e 'onsumo !e un g#u"o !e t#a,a2a!o#es aument. en e$ a3o )GG un ) 1 en )GGG un 9 En !i'iem,#e !e )GGH e$ sa$a#io me!io !e$ g#u"o !e t#a,a2a!o#es e#a !e 0 que 'oin'i!(a 'on e$ 'osto !e una 'anasta !e 'onsumo En )GG 1 )GGG u,o $os siguientes aumentos !e sa$a#ios: MES AUMENTO Ene#oG  8unioG  Ene#oGG H 8unioGG H Cu&ntas 'anastas !e 'onsumo se "u!ie#on 'om"#a# 'on $os sa$a#ios me!ios !e !i'iem,#eG 1 !e !i'iem,#eGG E2e#'i'io )) Un $o'a$ !e Po$i'$(ni'a %un'iona 'on $os siguientes 'ostos: - E$ a$qui$e# !e ) "o# mes E$ sa$a#io !e un a!minist#ati+o "o#  Sa$a#ios m/!i'os: c 9 !e sue$!os %i2os !e  m/!i'os c a!i'iona$ "o# 'a!a "a'iente "o# en'ima !e $os "#ime#os  "a'ientes aten!i!os "o# 'a!a m/!i'o Si $a o#!en a 'onsu$to#io 'uesta ) 1 /ste es e$ 5ni'o ing#eso !e$ $o'a$0 'u&ntos "a'ientes !e,e#&n aten!e# $os  m/!i'os "a#a 'u,#i# to!os $os 'ostos !e $a Po$i'$(ni'a Re"a#ti!o P#&'ti'o : E'ua'iones 1 Sistemas !e E'ua'iones E2e#'i'io )9 Un te##eno #e'tangu$a#0 !e  mts "o#  mts0 se#& !estina!o 'omo 2a#!(n #e't&ngu$o exte#io#; Se !e'i!e "one# una +e#e!a en $a o#i$$a inte#io# !e$ #e't&ngu$o0 !e mo!o que $as %$o#es !e$ 2a#!(n o'u"en )9 mt9 #e't&ngu$o inte#io#; De qu/ an'o !e,e 'onst#ui#se $a +e#e!a E2e#'i'io ) IDECAP | Matemática aplicada a la economía

43 Una %&,#i'a !e 'a'ao e$a,o#a 'o'o$ate en ,a##as !e )xx9 'm A #a(* !e $os aumentos en $os 'ostos0 1 'on e$ &nimo !e no in'#ementa# $os "#e'ios0 $a %&,#i'a !e'i!e a'i'a# e$ an'o 1 e$ $a#go !e $as ,a##as en $a misma $ongitu!0 mantenien!o e$ g#oso# 9 'm; !e %o#ma que e$ +o$umen !e $a ,a##a se #e!u*'a un ) Cu&$ se#& e$ an'o 1 e$ $a#go !e $a nue+a ,a##a A"#oxima# 'on !os !e'ima$es en 'm; E2e#'i'io ) Un 'ome#'iante 'om"#. en $a %e#ia 9 wg !e na#an2as a )9 e$ wg M&s ta#!e en'ont#. en ot#o "uesto na#an2as a ) e$ wg Cu&ntos wg !e,e 'om"#a# a ) "a#a que e$ 'osto "#ome!io !e to!as $as na#an2as 'om"#a!as en $a %e#ia sea !e )0 E2e#'i'io ) E$ 'osto !e aten!e# 9 'amas !ia#ias !e Sanato#io es !e 0 mient#as que e$ 'osto !e aten!e#  'amas !ia#ias en e$ mismo Sanato#io es )) Cu&$ es e$ 'osto %i2o !ia#io 1 'u&$ es e$ 'osto +a#ia,$e unita#io "o# !(a-'ama E2e#'i'io ) E$ wg !e e$a!o !e '#ema se +en!e a  1 e$ !e 'o'o$ate a  Se sa,e que "o# 'a!a 9 wg !e '#ema se +en!en  wg !e 'o'o$ate Cu&ntos wg !e '#ema 1 !e 'o'o$ate a1 que +en!e# "a#a #e'au!a# ) E2e#'i'io )H Una en'uesta !i#igi!a a 9 "e#sonas se #ea$i*. "a#a 'ono'e# sus "#e%e#en'ias ent#e Co'a 1 Pe"si Ent#e $as que 'ontesta#on0 e$  "#e%i#i. Co'a Si $os que "#e%i#ie#on Pe"si %ue#on G0 'u&ntos no 'ontesta#on a $a en'uesta E2e#'i'io ) Un +en!e!o# 'o,#a "o# mes un sue$!o %i2o m&s una 'omisi.n 'omo "o#'enta2e !e $as +entas que #ea$i*a En un mes +en!i. ) 1 'o,#. un sa$a#io tota$ !e H A$ mes siguiente +en!i. ) 1 o,tu+o un sa$a#io !e  Cu&$ es e$ sue$!o %i2o 1 'u&$ e$ "o#'enta2e !e $a 'omisi.n so,#e $as +entas E2e#'i'io )G Demost#a# que si un 'a"ita$ w se "#esta a inte#/s 'om"uesto en n 'uotas igua$es0 mensua$es 1 'onse'uti+as0 1 $a tasa !e inte#/s e%e'ti+a mensua$ es *0 enton'es0 $a 'uota mensua$ a "aga# se o,tiene me!iante $a %.#mu$a:


44  INECUACIONES Consi!e#emos s.$o e$ 'aso !e %un'iones 'on una +a#ia,$e Sean % 1 g !os %un'iones 'u1os !ominios 1 'o!ominios son 'on2untos !e n5me#os Consi!/#ese una nue+a enti!a! matem&ti'a $$ama!a ine'ua'i.n que tiene a$guna !e $as %o#mas siguientes: %_g %_g %`g %`g De%ini'i.n: Reso$+e# $a ine'ua'i.n % _ g o a$te#nati+amente a$guna !e $as ot#as; 'onsiste en en'ont#a# to!os $os e$ementos 'omunes !e $os !ominios !e % 1 g que satis%a'en $a !esigua$!a! en $os +a$o#es !e $as %un'iones E$ 'on2unto !e e$ementos que satis%a'en $a !esigua$!a! se !enomina 'on2unto so$u'i.n !e $a ine'ua'i.n 1 'a!a e$emento !e$ 'on2unto so$u'i.n se !enomina #a(* !e $a ine'ua'i.n S K Jx: %x; _ gx; Si a es ta$ que %a; _ ga;0 enton'es a es una #a(* !e $a ine'ua'i.n Si en "a#ti'u$a# % es un "o$inomio 1 g es $a %un'i.n nu$a0 enton'es0 #eso$+e# $a ine'ua'i.n % _ g o 'ua$quie#a !e $as ot#as; es e$ "#o,$ema !e a$$a# e$ signo !e % 1 !ete#mina# $os "untos e inte#+a$os so,#e $a #e'ta !on!e e$ signo !e % es meno# o igua$ que  Pa#a #eso$+e# ine'ua'iones en gene#a$ #esu$tan 5ti$es $a siguiente !e%ini'i.n 1 "#o"ie!a!es aso'ia!as De%ini'i.n: Dos ine'ua'iones son equi+a$entes si sus 'on2untos so$u'i.n son igua$es P#o"ie!a!es !e $as ine'ua'iones Aunque se uti$i*a e$ s(m,o$o _0 $as "#o"ie!a!es son +&$i!as tam,i/n en $os ot#os  'asos; ) Las ine'ua'iones \%x; _ gx;] 1 \%x; d w _ gx; d w] son equi+a$entes "a#a to!o w 9 Las ine'ua'iones \%x; _ gx;] 1 \%x; - gx; _ ] son equi+a$entes  Las ine'ua'iones \%x; _ gx;] 1 \w%x; _ wgx;] son equi+a$entes "a#a to!o w`  Las ine'ua'iones \%x; _ gx;] 1 \%x;x; K gx;x;] son equi+a$entes si x; `  1 se 'um"$e que \D%;  Dg;] T D;  Las ine'ua'iones \%x; _ gx;] 1 \w%x; ` wgx;] son equi+a$entes "a#a to!o w _  E2em"$o: Reso$+e# $a ine'ua'i.n bb d) ` •- d p xb)xd) Como "#ime#a o,se#+a'i.n0 $o que no "ue!e a'e#se es @"asa# mu$ti"$i'an!o $os !enomina!o#es a$ ot#o miem,#o Esto es +&$i!o en e'ua'iones0 seg5n 1a emos +isto0 a #iesgo !e int#o!u'i# #a('es ext#a3as Pe#o no es +&$i!o en ine'ua'iones0 "o#que se "o!#(a esta# mu$ti"$i'an!o "o# ex"#esiones negati+as0 1 en ta$ 'aso0 se "ie#!e $a equi+a$en'ia o,se#+a# '.mo %un'iona $a equi+a$en'ia en $a "#o"ie!a! ; Po# $a "#o"ie!a! 9 $a siguiente ine'ua'i.n es equi+a$ente !e $a "#ime#a x d)9Bd? x-) x d ) O"e#an!o 'on $as ex"#esiones a$ge,#ai'as se o,tiene: xx d); d x - $;x d); - 9x d $;x -); x b $;x d ); 9x9 dx  x - $;x d); 9xx d 9;  Q x b $;x d ); ` Como $a 5$tima ine'ua'i.n es equi+a$ente !e $a "#ime#a0 $a so$u'i.n !e /sta "ue!e o,tene#se #eso$+ien!o $a 5$tima E$ esquema !e signo !e $a 5$tima ine'ua'i.n es 'omo sigue d - Jd -7 # ))))@ -9-)  ) En 'onse'uen'ia0 e$ 'on2unto so$u'i.n !e $a "#ime#a ine'ua'i.n es: S K Jx: x _ -9; . -) _ x _ ; . x ` ); Re"a#ti!o P#&'ti'o : Ine'ua'iones E2e#'i'io ) IDECAP | Matemática aplicada a la economía

45 Sea $a "a#&,o$a !e e'ua'i.n 1 K x - )x d) En'ont#a# $os +a$o#es !e x que a'en que $a "a#&,o$a se !i,u2e "o# en'ima !e$ e2e !e $as a,'isas E2e#'i'io 9 Un "#esu"uesto mensua$ !e  !e,e asigna#se a una 'anasta !e !os "#o!u'tos: "an 1 $e'e E$ "#e'io !e$ "an es  e$ wg 1 e$ "#e'io !e $a $e'e es  e$ $it#o P$antea# $a #est#i''i.n "#esu"uesta#ia0 g#a%i'a#$a e in!i'a# 'u&ntos wg !e "an se "ue!en 'om"#a# si: a; $a 'anasta !e,e in'$ui#  $it#os !e $e'e ,; $a 'anasta !e,e in'$ui# H $it#os !e $e'e '; ese mes no se 'onsume $e'e E2e#'i'io  9  Reso$+e# $a ine'ua'i.n: x d $;x x - ); _ E2e#'i'io  9 9 Reso$+e# $a ine'ua'i.n: x - ;G - x` E2e#'i'io  x9 -x d 9 Reso$+e# $a ine'ua'i.n: b--------------------------------` 8 79 -97 d ) E2e#'i'io  x)-9x-9) n Reso$+e# $a ine'ua'i.n: b--------------------------------_ ) x d 9x d) E2e#'i'io H Reso$+e# $a ine'ua'i.n: ex ` x d )  POLINOMIOS > E7PRESIONES AL

46 )

}$ge,#a "#o+iene !e$ &#a,e a$gia,#; 1 se uti$i*a "a#a !enomina# e$ estu!io !e o"e#a'iones 1 "#o"ie!a!es !e 'ie#tos entes #e"#esenta!os "o# s(m,o$os0 gene#a$mente $et#as E$ o#igen !e$ &$ge,#a "a#e'e que !e,e situa#se en In!ia 1 Pe#sia Existen ante'e!entes ent#e $os g#iegos Dio%anto0 sig$o III;0 aunque %ue#on $os &#a,es quienes $a int#o!u2e#on en Eu#o"a en e$ sig$o I7 Po$inomios De%ini'i.n: Se $$ama "o$inomio a $a suma o #esta !e monomios Son e2em"$os !e "o$inomios: 9x9  1 9x) x) d 1) d *) 9x d x) d x9 - x d x x d x9 d x Los "o$inomios "ue!en !e"en!e# !e una o m&s in!ete#mina!as una o m&s $et#as; E$ g#a!o !e un "o$inomio es e$ ma1o# !e $os g#a!os !e sus monomios E2em"$os: g#9x9 1; K  g#9x]; K ) g#x] d 1) d *); K ) g#9x d x) d x9 - x d x; K  g#x d x9 d x; K  De%ini'i.n: Un "o$inomio en +a#ias in!ete#mina!as es omog/neo !e g#a!o n si to!os sus monomios son !e g#a!o n E2em"$os:  x d 1 es omog/neo !e g#a!o  x9 d 9x1 d 19 es omog/neo !e g#a!o 9 x es omog/neo !e g#a!o  x9 d 91 no es un "o$inomio omog/neo Consi!e#emos ao#a "o$inomios en una so$a in!ete#mina!a s.$o $a $et#a x; A$gunas sim"$i%i'a'iones en $a nota'i.n Cuan!o un monomio tiene 'oe%i'iente 'e#o0 enton'es se $o e$imina !e$ "o$inomio Cuan!o e$ g#a!o !e un monomio es )0 enton'es no se es'#i,e e$ ex"onente ) x) se es'#i,e x; E$ monomio x se es'#i,e sim"$emente  Se !i'e que un "o$inomio en una so$a in!ete#mina!a; est& #e!u'i!o si to!os sus monomios son !e !istinto g#a!o E2em"$os: # O -x d x - 9x es un "o$inomio #e!u'i!o 9x d x9 - x no es un "o$inomio #e!u'i!o Pa#a o,tene# un "o$inomio #e!u'i!o en e$ segun!o e2em"$o0 a$'an*a 'on #ea$i*a# $a o"e#a'i.n 9x - x K 9 - ;x K -x Se !i'e que un "o$inomio est& o#!ena!o si $os monomios a"a#e'en en o#!en '#e'iente o !e'#e'iente !e sus g#a!os E2em"$os: 9 d x d x9 - x d x es un "o$inomio o#!ena!o A G  9x d x -x no es un "o$inomio o#!ena!o Se !i'e que un "o$inomio !e g#a!o n es 'om"$eto si en su !esa##o$$o %igu#an to!os $os monomios !e g#a!o meno# o igua$ que n0 'on 'oe%i'ientes !i%e#entes !e 'e#o E2em"$os: 9 d x d x9 - x d x es un "o$inomio 'om"$eto -x d x - 9x no es un "o$inomio 'om"$eto $os monomios !e g#a!o 9 1 !e g#a!o  tienen 'oe%i'iente ; E$ "o$inomio 9 d x d x 9 - x d x es un "o$inomio #e!u'i!o0 o#!ena!o 1 'om"$eto Los "o$inomios son enti!a!es matem&ti'as -'omo $o son $os n5me#os 1 $os 'on2untos- Se a'ostum,#a !enomina#$os 'on $et#as ma15s'u$as !e nuest#o a$%a,eto -'omo a $os 'on2untos1 'uan!o es ne'esa#io se ex"$i'ita e$ nom,#e !e $a in!ete#mina!a IDECAP | Matemática aplicada a la economía

47 P K 9 d x d x9 - x d x Px; K 9 d x d x9 - x d x De%ini'i.n: Dos "o$inomios son igua$es si tienen e$ mismo g#a!o 10 una +e* #e!u'i!os 1 o#!ena!os0 tienen igua$es to!os $os 'oe%i'ientes #es"e'ti+os E2em"$o: Los "o$inomios P K 9 d x d x9 - x d x 1 Q K 9 d x d x9 - x d ax d ,x0 !on!e a 1 , son n5me#os0 son igua$es s.$o si a K  1 , K  Si $os 'oe%i'ientes !e$ "o$inomio se #est#ingen a $os n5me#os !(gitos \0 )0 90 0 0 0 0 H0 0 G] enton'es un "o$inomio no es ot#a 'osa que e$ !esa##o$$o !e $a ex"#esi.n !e un n5me#o en ,ase @x: x) d x)9 d x)p d Gx) K G$ x d 9x d $x d x9 d x= K 9) En e$ segun!o e2em"$o $os 'oe%i'ientes se #est#ingen a$ 'on2unto \0 )0 90 0 ]0 que son $os 5ni'os s(m,o$os ne'esa#ios "a#a t#a,a2a# en ,ase  Mu'as 'i+i$i*a'iones "#imiti+as t#a,a2a,an en ,ase  Los ma1as usa,an $a ,ase 9 Los &#a,es %ue#on $os "#ime#os en a!o"ta# $a ,ase ) O"e#a'iones 'on "o$inomios Con $os "o$inomios es "osi,$e !e%ini# o"e#a'iones De e'o0 se "ue!en #ea$i*a# 'on e$$os to!as $as o"e#a'iones a$ge,#ai'as > 'omo un "o$inomio no es ot#a 'osa que $a suma0 #esta 1 "#o!u'to !e n5me#os 1 $et#as -que0 'omo 1a !i2imos0 #e"#esentan n5me#osb enton'es0 to!as $as "#o"ie!a!es !e $os n5me#os son t#as$a!a,$es a $os "o$inomios As(0 e$ 'on2unto !e $os "o$inomios tiene est#u'tu#a !e g#u"o #es"e'to !e $a suma Se 'um"$en $as "#o"ie!a!es !e $a suma: 'onmutati+a0 aso'iati+a0 existen'ia !e neut#o 1 existen'ia !e o"uesto Pa#a a$$a# e$ o"uesto !e un "o$inomio a$'an*a 'on 'am,ia# to!os $os signos !e sus 'oe%i'ientes E2em"$o: Pa#a suma# $os "o$inomios T K x  - 9x d  1 R K x9 d x -  se "#o'e!e 'omo en e$ esquema que sigue $uego !e o#!ena# 1 #e!u'i# $os suman!os0 si %ue#a ne'esa#io; x dx9 - 9x d  d x9 d x- x dx9 d x d 9 E$ "#o!u'to !e "o$inomios es una o"e#a'i.n que +e#i%i'a $as "#o"ie!a!es 'onmutati+a0 aso'iati+a 1 existen'ia !e neut#o -e$ neut#o !e$ "#o!u'to es e$ "o$inomio )-"e#o no se 'um"$e $a existen'ia !e in+e#so Po# este moti+o0 e$ 'on2unto !e $os "o$inomios no  ) tiene est#u'tu#a !e 'ue#"o E$ in+e#so !e$ "o$inomio x d ); es $a ex"#esi.n a$ge,#ai'a------------0 xd) que no es un "o$inomio no se "ue!e es'#i,i# 'omo suma o #esta !e monomios; Pa#a mu$ti"$i'a# !os "o$inomios se "ue!e a"$i'a# $a "#o"ie!a! !ist#i,uti+a gene#a$i*a!a E2em"$o: "a#a mu$ti"$i'a# x9 d 9x - ); "o# x  - 9x - ; es ne'esa#io mu$ti"$i'a# 'a!a monomio !e$ "#ime# %a'to# "o# 'a!a monomio !e$ segun!o %a'to#0 $uego suma# to!os $os "#o!u'tos 1 #e!u'i# e$ #esu$ta!o x9 d 9x- ) 7 x - 9x -  oi x d9x - x -x -x d9x - Gx9 - x d  x d 9x-Hx- )x9-xd  Fun'i.n "o$in.mi'a A "a#ti# !e $a enti!a! "o$inomio es "osi,$e !e%ini# %un'iones !e !ominio 1 'o!ominio #ea$es0 a'ien!o 'o##es"on!e# a 'a!a n5me#o #ea$ @x e$ +a$o# que #esu$ta !e sustitui# !i'o n5me#o en Px; A estas %un'iones se $as 'ono'e 'omo "o$in.mi'as 1 su g#&%i'o sue$e se# ,astante %&'i$ !e #e"#esenta# en un "a# !e e2es 'a#tesianos o#togona$es 'uan!o e$ g#a!o !e$ "o$inomio es ,a2o En "a#ti'u$a#0 'uan!o e$ "o$inomio es !e g#a!o  . ) e$ g#&%i'o !e $a %un'i.n "o$in.mi'a es una #e'ta0 1 'uan!o e$ g#a!o es 9 e$ g#&%i'o es una "a#&,o$a IDECAP | Matemática aplicada a la economía

48 A; 6; C;

Px; -ib+ 7 Ra('es !e$ "o$inomio Se !enomina #a(* !e $a %un'i.n "o$in.mi'a a$ +a$o# !e $a in!ete#mina!a en e$ $engua2e !e %un'iones se $e $$ama @+a#ia,$e; que a'e que e$ +a$o# !e $a %un'i.n "o$in.mi'a sea nu$o a es #a(* !e P Pa; K  <#&%i'amente0 $a #a(* !e P es un +a$o# !e x !on!e e$ g#&%i'o !e $a %un'i.n 'o#ta a$ e2e Ox En e$ g#&%i'o A; no a1 #a('es0 en e$ g#&%i'o 6; $a 5ni'a #a(* es a K -) 1 en e$ g#&%i'o C; $a %un'i.n "o$in.mi'a tiene !os #a('es: ai K) 1 9 K9 Da!o un "o$inomio0 $os "#o,$emas que "ue!en "#esenta#se #es"e'to !e sus #a('es son: 'u&ntas #a('es #ea$es tiene '.mo en'ont#a# to!as sus #a('es #ea$es '.mo a"#oxima#$as 'uan!o son #ea$es i##a'iona$es Estos "#o,$emas0 que 1a se a,(an "$antea!o g#iegos 1 &#a,es a 'omien*os !e nuest#a e#a0 #e'i/n tu+ie#on #es"uesta a "a#ti# !e$ sig$o 7I 1 siguientes La "#o"ie!a! m&s #e$e+ante so,#e #a('es !e "o$inomios ex"#esa: To!o "o$inomio !e g#a!o n tiene a $o sumo n #a('es #ea$es E$ teo#ema "#o"o#'iona una 'ota su"e#io# !e$ n5me#o #a('es0 "e#o no #esue$+e $os "#o,$emas a##i,a enun'ia!os Pa#a en'ont#a# $as #a('es #ea$es existen +a#ios m/to!os que "e#miten o,tene#$as exa'tamente: e$ teo#ema !e $a #a(* #a'iona$0 $a "#o"ie!a! que #e$a'iona 'oe%i'ientes !e$ "o$inomio 'on sus #a('es0 e$ teo#ema !e $a !es'om"osi'i.n %a'to#ia$ 1 e$ m/to!o !e Ru%%ini "a#a @,a2a# e$ g#a!o !e$ "o$inomio Cuan!o $as #a('es son #ea$es i##a'iona$es existen m/to!os "a#a a"#oxima#$as me!iante n5me#os !e'ima$es "#e%i2an!o e$ m&ximo e##o# to$e#a,$e En este 'u#so no t#ata#emos ninguno !e estos m/to!os e#emos s( a$gunos 'asos "a#ti'u$a#es Cuan!o e$ "o$inomio es !e "#ime# g#a!o0 siem"#e a!mite una #a(* #ea$ 5ni'a; Px; K a d ,x a K -a, Cuan!o e$ "o$inomio es !e segun!o g#a!o0 a!mite #a('es #ea$es si $a ex"#esi.n !enomina!a @!is'#iminante es ma1o# o igua$ que  Px; K ax9 d ,x d ' A K , - a' es e$ !is'#iminante tc b, d a b ,ba  Las ex"#esiones ax K----------------------- 1 a9 K---------------------------- "#o"o#'ionan $as !os #a('es !e 9a 9a $a %un'i.n "o$in.mi'a0 en 'aso que A sea ma1o# que 'e#o Si A K 0 enton'es $as !os #a('es son igua$es Pe#o si e$ !is'#iminante es negati+o0 enton'es $a %un'i.n no tiene #a('es Estas situa'iones se "ue!en +isua$i*a# g#&%i'amente


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E$ 'oe%i'iente !e$ monomio !e g#a!o 9 'um"$e un "a"e$ #e$e+ante en $a %o#ma !e$ g#&%i'o: si a `  enton'es $a "a#&,o$a @mi#a a'ia a##i,a0 1 si a _  enton'es $os 'ue#nos !e $a "a#&,o$a mi#an a'ia a,a2o De a'ue#!o 'on e$ Teo#ema !e Des'om"osi'i.n Fa'to#ia$0 si ai 1 a 9 son $as #a('es 9  !e$ "o$inomio Px; K ax d ,x d '0 enton'es e$ "o$inomio tam,i/n se "ue!e ex"#esa# as(: Px; K ax - ai;x - a9; M&s en gene#a$0 si e$ "o$inomio es !e g#a!o n 1 a!mite $as #a('es al0 a 90 ot0 an 1 an es e$ 'oe%i'iente !e$ monomio !e ma1o# g#a!o0 enton'es e$ "o$inomio "ue!e ex"#esa#se 'omo "#o!u'to as(: Px; K anx - ai;x - a9;x - a;x - an; Si e$ "o$inomio P es !e g#a!o n 1 a!mite s.$o { #a('es #ea$es { _ n;0 enton'es to!a+(a P se "ue!e %a'to#i*a# as(: Px; K anx - ai;x - a9;x - a;x - a{; Qx; !on!e Q es un "o$inomio !e g#a!o n - {; Se "ue!e !emost#a# que e$ "o$inomio Q es !e g#a!o "a# 1 que sus #a('es son "a#es !e n5me#os 'om"$e2os 'on2uga!os; E2em"$o: E$ "o$inomio Px; es !e g#a!o 0 e$ monomio !e  o g#a!o es -; 1 a!mite $as #a('es )0 90 90 0 -) 1 -9 Ex"#esa# e$ "o$inomio en %o#ma %a'to#ia$ Px; K -x - ) ;x - 9;x - 9;x - ;x--$;;x --9;; IDECAP | Matemática aplicada a la economía

5 Px; K -x - $;x - 9;97 - ;x d$;x d9; Signo !e$ "o$inomio C.mo es a"#oxima!amente e$ g#&%i'o !e $a %un'i.n "o$in.mi'a

Las #a('es !e P son "untos !e 'o#te !e$ g#&%i'o 'on e$ e2e Ox Las #a('es 'onse'uti+as !ete#minan inte#+a$os: -oo0 -9;0 -90 -);0 -)0 );0 )0 9;0 90 ; 1 0 doo;  O,s/#+ese que en esos inte#+a$os e$ signo !e P es o ,ien "ositi+o o ,ien negati+o no a1 'am,ios !e signo !ent#o !e esos inte#+a$os; De a'ue#!o 'on e$ g#&%i'o "#e'e!ente0 e$ esquema !e$ signo !e P es:  d  - dd SgnP --------------------------------)-----------l-------------------------|-------------)-----------l-------------------------c -9-) )9  En e$ esquema se 'o$o'an to!as $as #a('es 1 en $os inte#+a$os que /stas !ete#minan se se3a$a e$ signo !e$ g#&%i'o d . - seg5n 'o##es"on!a; Existe a$guna #eg$a gene#a$ "a#a a$$a# e$ signo !e un "o$inomio !e g#a!o 'ua$quie#a La #es"uesta es a%i#mati+a si se 'ono'en to!as $as #a('es 1 e$ signo !e$ 'oe%i'iente !e$ monomio !e m&s a$to g#a!o a n; En este 'aso e$ "o$inomio se "ue!e %a'to#i*a# 1 a$$a# e$ signo en 'a!a inte#+a$o me!iante $a #eg$a !e$ "#o!u'to !e n5me#os Si se t#a,a2a !e !e#e'a a i*quie#!a0 e$ "#ime# inte#+a$o tiene e$ signo !e an A$ "asa# !e un inte#+a$o a$ siguiente -siem"#e !e !e#e'a a i*quie#!a- si $a #a(* es sim"$e o !e mu$ti"$i'i!a! im"a#0 enton'es se "#o!u'e un 'am,io !e signo a$ "asa# a$ nue+o inte#+a$o Si $a #a(* es !e mu$ti"$i'i!a! "a#0 enton'es e$ nue+o inte#+a$o mantiene e$ signo !e$ 'ontiguo a $a !e#e'a F#a''iones a$ge,#ai'as E$ 'o'iente !e "o$inomios !a o#igen a una nue+a enti!a! matem&ti'a !enomina!a %#a''i.n a$ge,#ai'a P De%ini'i.n: F K b es una %#a''i.n a$ge,#ai'a si P 1 Q son !os "o$inomios 1 Q no es e$ "o$inomio nu$o  9 t 9xd ) ) x b x - 9x d x-) E2em"$os: b-------------------4 -------------4 -------------4 ------------------------------------------ xb)xd99 x bx bG E$ 'on2unto !e $as %#a''iones a$ge,#ai'as tiene est#u'tu#a !e 'ue#"o "ues e$ 'o'iente !e %#a''iones a$ge,#ai'as es ot#a %#a''i.n a$ge,#ai'a0 a 'on!i'i.n que e$ !enomina!o# no sea $a %#a''i.n nu$a La suma0 #esta0 "#o!u'to 1 'o'iente !e %#a''iones a$ge,#ai'as siguen $as mismas #eg$as o"e#ato#ias !e $as %#a''iones num/#i'as E2em"$os:


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Se !enomina @mu$ti"$i'i!a! a $a 'anti!a! !e +e'es que se #e"ite $a misma #a(* en e$ "o$inomio En e$ e2em"$o "#e'e!ente $a #a(* 9 es !e mu$ti"$i'i!a! 90 mient#as que $as #estantes #a('es son !e mu$ti"$i'i!a! ) 9x x d 9 9xx d $; d x d 9;x-$;  x9d7-9 x-) xd) x-);x d ); x9-$  9x x d 9  9xx d $;-x d 9;x-$;  x9dx d 9 x b) xd) x-);x d ); x9-$ 9x x d 9 9xx d 9; 9x9 d x Q l  7  b  b ----------------x-) x d ) x b $;x d $; x 9-$ 9x x d 9 9x x d ) 9xx d $; 9x9 d 9x !; -------------------------------K-----------x------------K----------------------------K b---------------x-) x d ) x-) x d 9 x-$;x d 9; x dx-9 Es "osi,$e !e%ini# nue+as %un'iones a "a#ti# !e $as %#a''iones a$ge,#ai'as Po# e2em"$o0 'onsi!e#emos $a #e$a'i.n que a 'a!a +a$o# !e @x $e asigna e$ +a$o# !e 9xx-$; Si e$ !ominio 1 e$ 'o!ominio son $os n5me#os #ea$es0 enton'es esta #e$a'i.n no es una %un'i.n "o#que e$ +a$o# x K ) !e$ !ominio no tiene 'o##es"on!iente en e$ 'o!ominio "ues "a#a x K ) se anu$a e$ !enomina!o#; Pa#a que $a #e$a'i.n x b` 9xx-$; sea una %un'i.n0 es ne'esa#io #est#ingi# e$ !ominio e$iminan!o e$ o $os +a$o#es !e x que a'en que $a %#a''i.n tenga !enomina!o# nu$o En este e2em"$o0 x K ) es e$ 5ni'o +a$o# que !e,e se# ex'$ui!o !e$ !ominio !e $a %un'i.n: Dominio !e F K DF; K Jx:x7R1x$ C.mo es e$ g#&%i'o !e $a %un'i.n %#a''i.n a$ge,#ai'a E$ g#&%i'o es un "o'o m&s 'om"$i'a!o que e$ !e $as %un'iones "o$in.mi'as0 1 este "#o,$ema $o a,o#!a#emos m&s a!e$ante Pe#o s( "o!emos a$$a# e$ esquema !e$ signo !e F Si F K PQ0 enton'es #esu$ta que Sgn F K Sgn PxQ;0 ex'e"to en $os "untos ta$es que Qx; K  En ta$es "untos no existe e$ signo !e $a %#a''i.n #e'o#!a# que ta$es "untos que!an ex'$ui!os !e$ !ominio !e $a %un'i.n; x9 - 9x d 9 E2em"$o: Wa$$a# e$ esquema !e$ signo !e F K b----------------bb------- E$ "o$inomio !e$ nume#a!o# tiene #a('es al K 9 1 a 9 K  E$ "o$inomio !e$ !enomina!o# tiene #a('es "i K9 1 K -9 E$ "o$inomio PxQ tiene $as #a('es -90 90 9 1  1 su "#ime# 'oe%i'iente es d En 'onse'uen'ia: d--d Sgn PxQ -----------------------------------------------------)-------------------------------)----------)--------------c -9 9x d--od Sgn F -----------)-------------------------------)-----------)------------c -9 9x P#o!u'tos nota,$es Sean P 1 Q !os "o$inomios Se !enomina ,inomio a $as ex"#esiones PdQ; 1 P-Q; Se !enominan "#o!u'tos nota,$es a $as siguientes ex"#esiones PdQ;9 K P 9 d 9PQ d Q9 P-Q;9 K P 9 - 9PQ d Q9 PdQ; P-Q; K P9 - Q 9 PdQ; K P  d P9Q d PQ9 d Q > si %ue#a ne'esa#io e$e+a# e$ ,inomio a un ex"onente m&s a$to0 "o# e2em"$o0 n PdQ;  Pa#a #eso$+e# este "#o,$ema existe un #esu$ta!o gene#a$0 'ono'i!o 'omo e$ !esa##o$$o !e$ ,inomio !e Nevton  Re'o#!an!o e$ signi%i'a!o !e $a ex"#esi.n @n %a'to#ia$0 nj n?0 1 a!o"tan!o $a nota'i.n C K--------------------- que se $ee @'om,ina'iones !e n en i; se tiene e$ iln-i;l siguiente #esu$ta!o: IDECAP | Matemática aplicada a la economía

52 PdQ;K >8C•PpQ•-r iK E2em"$os: ) x9 d x;9 K x9;9 d 979;7; d x;9 K x d x d Gx9 9 79d7; x9dx% KC=79;p07;dC79;^7;d C$x9%x% d C=79>7;9 dC$x9;x;p dC=79;7; K K 9x d x d 9HxH d Gx d )xG d x)  Isaa Isaa'' Nevt Nevton on ) )99-)H )H9H 9H;; %(si' %(si'o0 o0 ast# ast#.n .nom omoo 1 mate matem& m&ti ti'o 'o ing$ ing$/s /s00 %amo %amoso so "o# "o# su !es'u,#imiento !e $as $e1es !e g#a+e!a! Re"a#ti!o P#&'ti'o : Po$inomios 1 ex"#esiones a$ge,#ai'as E2e#'i'io ) o G Sean $os "o$inomios: Px; K 9x - x@ d x - ) 1 Sx; K x@ d 9x -  a; Ca$'u$a# P d S ,; Ca$'u$a# b 9S 1 )S '; Ca$'u$a#  P-S !; Ca$'u$a# PP-9x;S e; Ca$'u$a# PS E2e#'i'io 9 Wa$$a# e$ !esa##o$$o !e: a; x9 - 9x;9 ,; 9x - x;9 '; x9 d 9x;p !; x9 b 9x; x9 d 9x; E2e#'i'io  Rea$i*a# $as siguientes o"e#a'iones  ) ) a; b d b xx ,2$- ) 7 7 -) 7xb) ' ;--;---------- d--d-------------------K K 7d)7 7 x -) !; bb---------d ---d------------------x -) xd) E2e#'i'io  a; Wa$ Wa$$a# $a# #a('e a('ess 1 signo igno !e$ !e$ "o$i "o$ino nomi mioo Sx; x; K x9 d 9x -  99 ,; Wa$$a# #a('es 1 signo !e !e T Tx; K x - 9x 9x;  9x b  x b ) '; Wa$$ Wa$$a# a# #a(' #a('es es 1 si signo gno !e !e Mx Mx;; K b-b-------------------d -d--------------------- - x -) xd) E2e#'i'io  Es'#i,i# $as siguientes ex"#esiones 'omo "o$inomios #e!u'i!os 1 o#!ena!os a; 9xd$; ,; x9 - 9x;  ECUACIONES SISTEMAS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES LINEALES E'ua'iones Sean % 1 g !os %un'iones 'u1os !ominios son 'on2untos !e n5me#os 'uan!o !e"en!en !e una so$a +a#ia,$e; o 'u1os !ominios son 'on2untos !e "a#es0 temas0 et' 'uan!o $as IDECAP | IDECAP | Matemática Matemática aplicada aplicada a la economía economía

53 %un'iones !e"en!en !e !os0 t#es o m&s +a#ia,$es; En to!os $os 'asos0 $os 'o!ominios !e $as %un'iones son 'on2untos !e n5me#os Consi!/#ese una nue+a enti!a! matem&ti'a $$ama!a e'ua'i.n que tiene $a %o#ma % Kg Si $as %un'iones !e"en!en !e una so$a +a#ia,$e0 enton'es %x; K gx; es una e'ua'i.n @en x Si $as %un'iones !e"en!en !e !e !os +a#ia,$es0 enton'es %x0 1; K gx0 1; es una e'ua'i.n @en x e 14 en t#es +a#ia,$es se tiene $a e'ua'i.n %x0 10 *; K gx0 10 *; En "o$ino "o$inomio mioss $as $et#as $et#as se 'ono'e 'ono'enn 'omo 'omo @in!et @in!ete#m e#mina ina!as !as0 0 en %un'ion %un'iones es se $as !enomina @+a#ia,$es0 mient#as que en e'ua'iones se $es $$ama @in!ete#mina!as De%ini'i.n: Reso$+e# $a e'ua'i.n % K g 'onsiste en en'ont#a# to!os $os e$ementos 'omunes !e $os !ominios !e % 1 g que a'en que $os +a$o#es !e $as %un'iones $as im&genes; 'oin'i!an E$ 'on2unto !e e$ementos que satis%a'en $a igua$!a! %x; K gx;0 o ,ien $as igua$!a!es %x0 1; K gx0 1; . %x0 10 *; K gx0 10 *;0 se !enomina 'on2unto so$u'i.n !e $a e'ua'i.n 1 'a!a e$emento !e$ 'on2unto so$u'i.n se $$ama #a(* !e $a e'ua'i.n E2em"$o ): Si %x; K 9x d) 1 gx; K -x d H0 es %&'i$ !emost#a# que $a e'ua'i.n 9x d ) K -x d ) tiene "o# 5ni'a #a(* x K 9 E$ 'on2unto so$u'i.n es S K Jx: x K 9 E2em"$o 9: Si %x0 1; K x d 1 1 gx0 1; K x d 1 d 90 enton'es $a e'ua'i.n x d 1 K x d 1 d 9 tiene 'omo 'on2unto so$u'i.n S K Jx0 1;: 1 K -x d )0 e$ 'ua$ 'ontiene in%initos "a#es !e #ea$es Des!e e$ "unto !e +ista geom/t#i'o0 e$ 'on2unto so$u'i.n !e una e'ua'i.n es e$ 'on2unto !e "untos !e $a #e'ta0 !e$ "$ano0 !e$ es"a'io !e  !imensiones o !e un i"e#es"a'io; !on!e se inte#se'tan $os g#&%i'os !e $as %un'iones % 1 g As(0 en e$ E2em"$o )0 $a 5ni'a #a(* x K 9; es $a a,'isa !e$ "unto !on!e se inte#se'tan $as %un'iones %x; K 9x d) 1 gx; K -x dH0 'u1os g#&%i'os se #e"#esentan "o# !os #e'tas en un "a# !e e2es 'a#tesianos o#togona$es

En e$ E2em"$o 90 $os g#&%i'os !e $as %un'iones %x0 1; K x d 1 1 gx0 1; K x d 1 d 9 se #e"#esentan "o# !os "$anos en e$ es"a'io t#i!imensiona$ E$ 'on2unto so$u'i.n S K Jx0 1;: 1 K -x d ) es e$ 'on2unto !e $os "untos !e una #e'ta en e$ "$ano ,i!imensiona$ Consi!e#emos ao#a0 en "a#ti'u$a#0 $as %un'iones !e una so$a +a#ia,$e0 $as que !an o#igen a e'ua'iones !e $a %o#ma %x; K gx; Reso$+e# $a e'ua'i.n es en'ont#a# $os +a$o#es !e $a in'.gnita que satis%a'en $a igua$!a! !e $as !os %un'iones Si % es un "o$inomio 1 gx; K 0 enton'es #eso$+e# $a e'ua'i.n %x; K gx; equi+a$e a$ "#o,$ema !e en'ont#a# $as #a('es !e un "o$inomio Pa#a #eso$+e# e'ua'iones m&s gene#a$es es ne'esa#io enun'ia# a$gunas "#o"ie!a!es De%ini'i.n: Dos e'ua'iones son equi+a$entes si sus 'on2untos so$u'i.n son igua$es O,se#+a'i.n: si !os e'ua'iones no tienen #a('es0 enton'es son equi+a$entes0 "ues en am,os 'asos0 e$ 'on2unto so$u'i.n es e$ 'on2unto +a'(o P#o"ie!a!es !e =as e'ua'iones ) Las e'ua'iones %x; K gx; 1 %x; d w K gx; d w son equi+a$entes equi+a$entes "a#a to!o w 7 R 9 Las e'ua'iones e'ua'iones %x; K gx; 1 %x; - gx; K  son equi+a$entes equi+a$entes  Las e'ua'iones %x; K gx; 1 w%x; K wgx; son equi+a$entes "a#a to!o wO  Las e'ua'iones e'ua'iones %x; %x; K gx; 1 %x;x; %x;x; K gx;x; gx;x; son equi+a$entes equi+a$entes si x;   1 se 'um"$e 'um"$e que \D%;  Dg;] T D;  La e'ua'i.n %x;x; K gx;x; tiene to!as $as #a('es !e $a $a e'ua'i.n %x; K gx; gx; a 'on!i'i.n que \D%;  Dg;] T D; IDECAP | IDECAP | Matemática Matemática aplicada aplicada a la economía economía

54 G G  La e'ua'i.n \%x;] K \gx;] tiene to!as $as #a('es #a('es !e $a e'ua'i.n %x; %x; K gx; Las #eg$as  1  se a"$i'an 'uan!o $as e'ua'iones %x;x; K gx;x; o \%x;] 9 K \gx;]9 son m&s %&'i$es !e #eso$+e# que $a e'ua'i.n %x; K gx;c Pe#o en estos 'asos a,#& que tene# un 'ui!a!o es"e'ia$ "o#que $as e'ua'iones no son equi+a$entes 1 $as "#ime#as "ue!en tene# #a('es que no son #a('es !e %x; K gx; se "ue!en int#o!u'i# @#a('es ext#a3as; 9 9 O,teni!as $as #a('es !e %x;x; K gx;x; o \%x;] K \gx;] 0 "a#a #eso$+e# $a e'ua'i.n %x; K gx; a$'an*a#& 'on +e#i%i'a# 'u&$es !e aque$$as son tam,i/n #a('es !e esta 5$tima A"$i'an!o estas #eg$as0 $as e'ua'iones en $as que inte#+ienen s.$o "o$inomios0 #esu$tan equi+a$entes a e'ua'iones !e $a %o#ma Px; K  Como 'asos "a#ti'u$a#es tenemos: ax d , K  ax9 d ,x d ' K  'u1a #eso$u'i.n 1a emos +isto En e$ segun!o 'aso0 $as #a('es se o,tienen uti$i*an!o #a!i'a$es Los 'asos ax d ,x9 d 'x d ! K  1 ax  d ,x d 'x9 d !x d e K  tam,i/n se "ue!en #eso$+e# "o# #a!i'a$es !e (n!i'es  1 ;0 #esu$ta!os o,teni!os "#in'i"a$mente "o# $a es'ue$a matem&ti'a ita$iana #e'i/n en e$ sig$o 7I $a e'ua'i.n "o$in.mi'a !e segun!o g#a!o 1a $a a,(an #esue$to $os g#iegos !e $a antig~e!a!; Qu/ "ue!e !e'i#se !e $as e'ua'iones "o$in.mi'as !e quinto g#a!o o m&s0 "o# e2em"$o0  ax d ,x d 'x d !x9 d ex d % K  Tam,i/n se "ue!en #eso$+e# "o# #a!i'a$es Re'i/n en $a te#'e#a !/'a!a !e$ sig$o 7I7 !os matem&ti'os mu1 2.+enes0 Ni$s A,e$  1 E+a#iste
55 

Ni$s A,e$ )9-)9G; matem&ti'o no#uego E+a#iste
_ HH #a(* ,; Sistema 'om 'om"ati,$e in! in!ete#mina!o: e$ 'o 'on2unto so$ so$u'i.n a!m a!mite in% in%initas #a('es '; Sistema in'om"ati,$e: e$ 'on2unto so$u'i.n es e$ 'on2unto +a'(o 
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56 A 'ontinua'i.n0 +amos a gene#a# un 'e#o en e$ "#ime# 'oe%i'iente !e $a segun!a e'ua'i.n0 sum&n!o$e a $a segun!a e'ua'i.n $a "#ime#a mu$ti"$i'a!a "o# -9; x d 91 d * K H b 1 b * b b) x-2; b * K -) En e$ siguiente "aso0 gene#amos un 'e#o en e$ "#ime# 'oe%i'iente !e $a te#'e#a e'ua'i.n0 sum&n!o$e a /sta $a "#ime#a mu$ti"$i'a!a "o# -; xd91d*KH b 1-* K -) -$O1-* K -99 Se "ue!e suma# a $a te#'e#a e'ua'i.n $a segun!a mu$ti"$i'a!a "o# -); "a#a gene#a# un 'e#o en e$ 'oe%i'iente !e @1 en $a te#'e#a e'ua'i.n0 1 enton'es se o,tiene: d91d*bH - 1 b * K -) * K ) Ao#a "ue!e +e#se e$ sistema 'om"$etamente es'a$e#i*a!o En +i#tu! !e $as "#o"ie!a!es enun'ia!as m&s a##i,a0 este sistema es equi+a$ente !e$ "#ime#o0 es !e'i#0 tiene e$ mismo 'on2unto so$u'i.n En e$ 5$timo "e$!a3o !e $a es'a$e#a se "ue!e !es"e2a# e$ +a$o# !e $a in'.gnita *: * K ) K  Si se su,e un "e$!a3o 1 se sustitu1e $a * "o# e$ +a$o# 'a$'u$a!o0 enton'es se o,tiene: - 1 -  K - )0 1 !es"e2an!o $a 1 #esu$ta: 1 K ) Fina$mente0 su,ien!o un "e$!a3o m&s se tiene: x d 9) d  K H0 1 !es"e2an!o $a x #esu$ta: x K 9 En'ont#amos una 5ni'a #a(* x0 10 *; K 90 )0 ; Po# tanto0 e$ sistema es 'om"ati,$e !ete#mina!o

En e$ 'a"(tu$o so,#e Mat#i'es +o$+e#emos so,#e e$ m/to!o !e oung Reg$a !e Cov$ing E !K D ! K D IDECAP | Matemática aplicada a la economía

57 B d )9 9 !on!e: ! K !osis "a#a e$ ni3o DK !osis "a#a e$ a!u$to EK e!a! !e$ ni3o a; Si un ni3o tiene  a3os 1 $a !osis "a#a e$ a!u$to es !e  'om"#imi!os "o# !(a0 'u&$ es $a !osis "a#a e$ ni3o seg5n $as #eg$as !e >oung 1 Cov$ing ,; Si un ni3o tiene )9 a3os 1 $a !osis "a#a e$ a!u$to es !e 9 'om"#imi!os "o# !(a0 'u&$ es $a !osis "a#a e$ ni3o seg5n $as #eg$as !e >oung 1 Cov$ing '; Pa#a qu/ e!a!es !e$ ni3o 'oin'i!en $as !osis "a#a am,as #eg$as Re!on!ea# a$ a3o m&s 'e#'ano; Re"a#ti!o P#&'ti'o : E'ua'iones 1 Sistemas !e E'ua'iones E2e#'i'io H ) )) Reso$+e# $a e'ua'i.n b d-----------------------K b #e!on!ean!o $a so$u'i.n 'on un !e'ima$ x )9-x 9 E2e#'i'io  Un o,2eto es $an*a!o a'ia a##i,a asta que 'ae a$ "iso La a$tu#a en met#os; que !es'#i,e e$ o,2eto !es!e que es $an*a!o asta que 'ae a$ "iso es  K t - 9t90 !on!e t es e$ tiem"o en segun!os que t#ans'u##e !es!e e$ momento !e$ $an*amiento a; Cu&nto ta#!a e$ o,2eto en to'a# e$ "iso ,; En qu/ momento a$'an*a e$ o,2eto su a$tu#a m&xima '; En qu/ momento0 'uan!o est& 'a1en!o0 se en'uent#a a )0H met#os !e$ "iso E2e#'i'io G Un 'a"ita$ !e ) %ue 'o$o'a!o !u#ante  a3os a inte#/s 'om"uesto a una tasa e%e'ti+a anua$ !e$ 9 A$ ini'io !e$ "e#(o!o e$ !.$a# 'osta,a ) 1 $a tasa !e !e+a$ua'i.n en 'a!a a3o %ue !e$ )90 ) 1 ) #es"e'ti+amente a; Cu&$ %ue $a #enta,i$i!a! en !.$a#es en 'a!a a3o ,; Cu&$ %ue $a #enta,i$i!a! anua$ en !.$a#es !e $a 'o$o'a'i.n E2e#'i'io ) La 'anasta !e 'onsumo !e un g#u"o !e t#a,a2a!o#es aument. en e$ a3o )GG un ) 1 en )GGG un 9 En !i'iem,#e !e )GGH e$ sa$a#io me!io !e$ g#u"o !e t#a,a2a!o#es e#a !e 0 que 'oin'i!(a 'on e$ 'osto !e una 'anasta !e 'onsumo En )GG 1 )GGG u,o $os siguientes aumentos !e sa$a#ios: MES AUMENTO Ene#oG  8unioG  Ene#oGG H 8unioGG H Cu&ntas 'anastas !e 'onsumo se "u!ie#on 'om"#a# 'on $os sa$a#ios me!ios !e !i'iem,#eG 1 !e !i'iem,#eGG E2e#'i'io )) Un $o'a$ !e Po$i'$(ni'a %un'iona 'on $os siguientes 'ostos: - E$ a$qui$e# !e ) "o# mes E$ sa$a#io !e un a!minist#ati+o "o#  Sa$a#ios m/!i'os: c 9 !e sue$!os %i2os !e  m/!i'os c a!i'iona$ "o# 'a!a "a'iente "o# en'ima !e $os "#ime#os  "a'ientes aten!i!os "o# 'a!a m/!i'o Si $a o#!en a 'onsu$to#io 'uesta ) 1 /ste es e$ 5ni'o ing#eso !e$ $o'a$0 'u&ntos "a'ientes !e,e#&n aten!e# $os  m/!i'os "a#a 'u,#i# to!os $os 'ostos !e $a Po$i'$(ni'a Re"a#ti!o P#&'ti'o : E'ua'iones 1 Sistemas !e E'ua'iones E2e#'i'io )9 Un te##eno #e'tangu$a#0 !e  mts "o#  mts0 se#& !estina!o 'omo 2a#!(n #e't&ngu$o exte#io#; Se !e'i!e "one# una +e#e!a en $a o#i$$a inte#io# !e$ #e't&ngu$o0 !e mo!o que $as %$o#es !e$ 2a#!(n o'u"en )9 mt9 #e't&ngu$o inte#io#; De qu/ an'o !e,e 'onst#ui#se $a +e#e!a E2e#'i'io ) IDECAP | Matemática aplicada a la economía

58 Una %&,#i'a !e 'a'ao e$a,o#a 'o'o$ate en ,a##as !e )xx9 'm A #a(* !e $os aumentos en $os 'ostos0 1 'on e$ &nimo !e no in'#ementa# $os "#e'ios0 $a %&,#i'a !e'i!e a'i'a# e$ an'o 1 e$ $a#go !e $as ,a##as en $a misma $ongitu!0 mantenien!o e$ g#oso# 9 'm; !e %o#ma que e$ +o$umen !e $a ,a##a se #e!u*'a un ) Cu&$ se#& e$ an'o 1 e$ $a#go !e $a nue+a ,a##a A"#oxima# 'on !os !e'ima$es en 'm; E2e#'i'io ) Un 'ome#'iante 'om"#. en $a %e#ia 9 wg !e na#an2as a )9 e$ wg M&s ta#!e en'ont#. en ot#o "uesto na#an2as a ) e$ wg Cu&ntos wg !e,e 'om"#a# a ) "a#a que e$ 'osto "#ome!io !e to!as $as na#an2as 'om"#a!as en $a %e#ia sea !e )0 E2e#'i'io ) E$ 'osto !e aten!e# 9 'amas !ia#ias !e Sanato#io es !e 0 mient#as que e$ 'osto !e aten!e#  'amas !ia#ias en e$ mismo Sanato#io es )) Cu&$ es e$ 'osto %i2o !ia#io 1 'u&$ es e$ 'osto +a#ia,$e unita#io "o# !(a-'ama E2e#'i'io ) E$ wg !e e$a!o !e '#ema se +en!e a  1 e$ !e 'o'o$ate a  Se sa,e que "oi'a!a 9 wg !e '#ema se +en!en  wg !e 'o'o$ate Cu&ntos wg !e '#ema 1 !e 'o'o$ate a1 que +en!e# "a#a #e'au!a# ) E2e#'i'io )H Una en'uesta !i#igi!a a 9 "e#sonas se #ea$i*. "a#a 'ono'e# sus "#e%e#en'ias ent#e Co'a 1 Pe"si Ent#e $as que 'ontesta#on0 e$  "#e%i#i. Co'a Si $os que "#e%i#ie#on Pe"si %ue#on G0 'u&ntos no 'ontesta#on a $a en'uesta E2e#'i'io ) Un +en!e!o# 'o,#a "o# mes un sue$!o %i2o m&s una 'omisi.n 'omo "o#'enta2e !e $as +entas que #ea$i*a En un mes +en!i. ) 1 'o,#. un sa$a#io tota$ !e H A$ mes siguiente +en!i. ) 1 o,tu+o un sa$a#io !e  Cu&$ es e$ sue$!o %i2o 1 'u&$ e$ "o#'enta2e !e $a 'omisi.n so,#e $as +entas E2e#'i'io )G Demost#a# que si un 'a"ita$ w se "#esta a inte#/s 'om"uesto en n 'uotas igua$es0 mensua$es 1 'onse'uti+as0 1 $a tasa !e inte#/s e%e'ti+a mensua$ es i0 enton'es0 $a 'uota mensua$ a "aga# se o,tiene me!iante $a %.#mu$a:  INECUACIONES Consi!e#emos s.$o e$ 'aso !e %un'iones 'on una +a#ia,$e Sean % 1 g !os %un'iones 'u1os !ominios 1 'o!ominios son 'on2untos !e n5me#os Consi!/#ese una nue+a enti!a! matem&ti'a $$ama!a ine'ua'i.n que tiene a$guna !e $as %o#mas siguientes: %_g %_g %`g %`g De%ini'i.n: Reso$+e# =a ine'ua'i.n % _ g o a$te#nati+amente a$guna !e $as ot#as; 'onsiste en en'ont#a# to!os $os e$ementos 'omunes !e $os !ominios !e % 1 g que satis%a'en $a !esigua$!a! en $os +a$o#es !e $as %un'iones E$ 'on2unto !e e$ementos que satis%a'en $a !esigua$!a! se !enomina 'on2unto so$u'i.n !e $a ine'ua'i.n 1 'a!a e$emento !e$ 'on2unto so$u'i.n se !enomina #a(* !e $a ine'ua'i.n SK Jx: %x; _ gx; Si a es ta$ que %a; _ ga;0 enton'es a es una #a(* !e $a ine'ua'i.n Si en "a#ti'u$a# % es un "o$inomio 1 g es $a %un'i.n nu$a0 enton'es0 #eso$+e# $a ine'ua'i.n % _ g o 'ua$quie#a !e $as ot#as; es e$ "#o,$ema !e a$$a# e$ signo !e % 1 !ete#mina# $os "untos e inte#+a$os so,#e $a #e'ta !on!e e$ signo !e % es meno# o igua$ que  Pa#a #eso$+e# ine'ua'iones en gene#a$ #esu$tan 5ti$es $a siguiente !e%ini'i.n 1 "#o"ie!a!es aso'ia!as De%ini'i.n: Dos ine'ua'iones son equi+a$entes si sus 'on2untos so$u'i.n son igua$es P#o"ie!a!es !e =as ine'ua'iones IDECAP | Matemática aplicada a la economía

59 Aunque se uti$i*a e$ s(m,o$o _0 $as "#o"ie!a!es son +&$i!as tam,i/n en $os ot#os  %'a&oe ine'ua'iones \%x; _ gx;] 1 \%x; d w _ gx; d w] son equi+a$entes "a#a to!o w 9 Las ine'ua'iones \%x; _ gx;] 1 \%x; - gx; _ ] son equi+a$entes  Las ine'ua'iones \%x; _ gx;] 1 \w%x; _ wgx;] son equi+a$entes "a#a to!o w `   Las ine'ua'iones \%x; _ gx;] 1 \%x;x; K gx;x;] son equi+a$entes si x; `  1 se 'um"$e que \D%;  Dg;] T D;  Las ine'ua'iones \%x; _ gx;] 1 \w%x; ` wgx;] son equi+a$entes "a#a to!o w_  x9xd) E2em"$o: Reso$+e# $a ine'ua'i.n bb d) ` b---------------x-) x d ) Como "#ime#a o,se#+a'i.n0 $o que no "ue!e a'e#se es @"asa# mu$ti"$i'an!o $os !enomina!o#es a$ ot#o miem,#o Esto es +&$i!o en e'ua'iones0 seg5n 1a emos +isto0 a #iesgo !e int#o!u'i# #a('es ext#a3as Pe#o no es +&$i!o en ine'ua'iones0 "o#que se "o!#(a esta# mu$ti"$i'an!o "o# ex"#esiones negati+as0 1 en ta$ 'aso0 se "ie#!e $a equi+a$en'ia o,se#+a# '.mo %un'iona $a equi+a$en'ia en $a "#o"ie!a! ; Po# $a "#o"ie!a! 9 $a siguiente ine'ua'i.n es equi+a$ente !e $a "#ime#a x d)9Bd)` xb) xd) O"e#an!o 'on $as ex"#esiones a$ge,#ai'as se o,tiene: xx d); d x - $;x d); - 9x d $;x -); x - $;x d); 9x9dx ` ` x - $;x d ); 9xx d 9; x b $;x d ); Como $a 5$tima ine'ua'i.n es equi+a$ente !e $a "#ime#a0 $a so$u'i.n !e /sta "ue!e o,tene#se #eso$+ien!o $a 5$tima E$ esquema !e signo !e $a 5$tima ine'ua'i.n es 'omo sigue En 'onse'uen'ia0 e$ 'on2unto so$u'i.n !e $a "#ime#a ine'ua'i.n es: S K Jx: x _ -9; . -) _ x _ ; . x ` ); Re"a#ti!o P#&'ti'o : Ine'ua'iones E2e#'i'io ) Sea $a "a#&,o$a !e e'ua'i.n 1 K x 9 - )x d ) En'ont#a# $os +a$o#es !e x que a'en que $a "a#&,o$a se !i,u2e "o# en'ima !e$ e2e !e $as a,'isas E2e#'i'io 9 Un "#esu"uesto mensua$ !e  !e,e asigna#se a una 'anasta !e !os "#o!u'tos: "an 1 $e'e E$ "#e'io !e$ "an es  e$ wg 1 e$ "#e'io !e $a $e'e es  e$ $it#o P$antea# $a #est#i''i.n "#esu"uesta#ia0 g#a%i'a#$a e in!i'a# 'u&ntos wg !e "an se "ue!en 'om"#a# si: a; $a 'anasta !e,e in'$ui#  $it#os !e $e'e ,; $a 'anasta !e,e in'$ui# H $it#os !e $e'e '; ese mes no se 'onsume $e'e E2e#'i'io  Reso$+e# $a ine'ua'i.n: x d $;x9x - $; _  E2e#'i'io  Reso$+e# $a ine'ua'i.n: x9 - ;G - x9; `  E2e#'i'io  x9 -xd 9 Reso$+e# $a ine'ua'i.n: b---------------------------------`  x -97 d ) E2e#'i'io  x9 -9x-9H Reso$+e# $a ine'ua'i.n: b---------------------------------_ ) x d 9x d) E2e#'i'io H IDECAP | Matemática aplicada a la economía

6 Reso$+e# $a ine'ua'i.n: ex ` xd)


61  ESPACIOS ECTORIALES De%ini'i.n: Sea  un 'on2unto !e entes a $os que $$ama#emos +e'to#es Se 'um"$e: a; Es "osi,$e !e%ini# $a suma !e !os e$ementos 'ua$esquie#a !e 0 e$ #esu$ta!o !e $a suma tam,i/n es un e$emento !e  1 se +e#i%i'a que J0 d es un g#u"o ,; Es "osi,$e mu$ti"$i'a# $os e$ementos !e  "o# es'a$a#es) o n5me#os #ea$es0 e$ #esu$ta!o !e $a mu$ti"$i'a'i.n es un e$emento !e 0 1 e$ "#o!u'to "o# un es'a$a# +e#i%i'a $as siguientes "#o"ie!a!es: j Existen'ia !e neut#o: e$ neut#o es e$ #ea$ ) 1 se 'um"$e que $+ K +0+ 7 j Aso'iati+a: Tu";+ K 7"+;  7 0 " 7R 1  + 7 j Dist#i,uti+a #es"e'to !e $a suma !e es'a$a#es: 7 d ";+ K A0+ d "+  7 0 " 7R 1  + 7 j Dist#i,uti+a #es"e'to !e $a suma !e +e'to#es: 7u d +; K u d 7 +  7 7R 1  u0+ 7 Enton'es0 J0 d0 R0  tiene est#u'tu#a !e es"a'io +e'to#ia$ Un e2em"$o %&'i$ !e +isua$i*a# g#&%i'amente es e$ 'aso en que  es e$ 'on2unto !e $as @%$e'as !e$ "$ano 'on o#igen en e$ o#igen !e 'oo#!ena!as Las @%$e'as o +e'to#es se "ue!en i!enti%i'a# "o# su @"unta0 que no es ot#a 'osa que un "unto !e$ "$ano o tam,i/n un "a# o#!ena!o !e n5me#os #ea$es e'to# )09; e'to# -0-);

La suma !e estos +e'to#es se o,tiene suman!o sus 'oo#!ena!as u K a0 ,; + K '0 !; u d + K ad'0 ,d!; 1 !e$ "unto !e +ista g#&%i'o0 $a suma !e !os +e'to#es es ot#o +e'to# que se o,tiene 'omo !iagona$ !e un "a#a$e$og#amo ) Los es'a$a#es "o!#(an se# tam,i/n n5me#os 'om"$e2os Nosot#os t#a,a2a#emos s.$o 'on $os #ea$es a ' ad' E$ "#o!u'to !e un +e'to# "o# un n5me#o es ot#o +e'to# que se o,tiene mu$ti"$i'an!o "o# ese n5me#o $as 'oo#!ena!as !e$ "#ime# +e'to# 7a0 ,; K 7a0 7,; <#&%i'amente e$ "#o!u'to !e 7 "o# a0 ,; 'onsiste en @esti#a# $a %$e'a en $a misma !i#e''i.n si 7 ` )0 @a'i'a# $a %$e'a si  _ 7 _ ) 1 'am,ia# $a !i#e''i.n !e $a %$e'a si 7 _  Si 7 K  enton'es $a %$e'a se t#ans%o#ma en e$ +e'to# nu$o: a0 ,; K 0 ; K  K e'to# nu$o


62

0a0 0,; a0 ,; 0, 0a

-a0 -,;

E$ $e'to# "ue!e +e#i%i'a# que0 e$ 'on2unto !e $as %$e'as0 uti$i*an!o 'omo es'a$a#es $os n5me#os #ea$es 1 'on $as !e%ini'iones que emos !a!o !e suma 1 "#o!u'to "o# un es'a$a#0 es un Es"a'io e'to#ia$0 es !e'i#0 se +e#i%i'an $as  "#o"ie!a!es que !e%inen !i'a est#u'tu#a A mo!o !e e2em"$o0 e$ neut#o !e $a suma en este es"a'io +e'to#ia$ es e$ +e'to# 0 ;0 "ues si se suma a 'ua$quie# ot#o +e'to#0 se o,tiene /ste 5$timo Po# !e%ini'i.n0 0 ; es e$ neut#o si "a#a to!o +e'to# a0 ,; es: a0 ,; d 0; K a0 ,; Demost#a'i.n: a0 ,; d 0; K a d 0 , d ; K a0 ,; E%e'ti+amente0 0 ; es neut#o !e $a suma E$ o"uesto !e$ +e'to# a0 ,; es e$ +e'to# -a0 -,;0 "ues se 'um"$e que $a suma !e am,os es e$ neut#o !e $a suma Ot#o e2em"$o !e Es"a'io e'to#ia$ es J_P 90 d0   !on!e "9 es e$ 'on2unto !e $os "o$inomios en una so$a in!ete#mina!a; !e 'oe%i'ientes #ea$es 'on g#a!o meno# o igua$ que 90 1 $as o"e#a'iones !e suma 1 "#o!u'to 'o##es"on!en a $as !e%ini'iones 1a int#o!u'i!as !e suma !e "o$inomios 1 mu$ti"$i'a'i.n !e un "o$inomio "o# un n5me#o E$ #esu$ta!o !e $as o"e#a'iones es siem"#e un "o$inomio !e asta g#a!o 9 un +e'to# !e P9; 1 es %&'i$ +e#i%i'a# que se 'um"$en $as  "#o"ie!a!es E$ neut#o !e $a suma en este Es"a'io e'to#ia$ es e$ "o$inomio nu$o Consi!e#emos ao#a e$ 'on2unto !e $os "o$inomios !e g#a!o 9 s.$o $os !e g#a!o 9; "9  Po# qu/ JP9 0 d0   no es un Es"a'io e'to#ia$ Ot#os e2em"$os !e es"a'ios +e'to#ia$es: J"0 d0 e'to#es K Po$inomios !e asta g#a!o  JJn0 d0_: e'to#es K Po$inomios !e asta g#a!o n J_P0 d0 _je'to#es K Po$inomios J_B0 d0 e'to#es K Pa#es o#!ena!os d0 e'to#es K Temas o#!ena!as J_wd0  e'to#es K €nu"$as o#!ena!as JM990 d0 : e'to#es K Mat#i'es 9 "o# 9 JMmn` d0  : e'to#es K Mat#i'es m "o# n


63 E$ Es"a'io e'to#ia$ 'on +e'to#es !e R tiene 'omo inte#"#eta'i.n geom/t#i'a e$ es"a'io !e t#es !imensiones0 !on!e $os +e'to#es son %$e'as 'on o#igen en e$ 'ent#o !e 'oo#!ena!as En Rn $os +e'to#es tam,i/n son %$e'as 'on o#igen en e$ 'ent#o !e 'oo#!ena!as0 "e#o en un i"e#es"a'io n-!imensiona$ A "a#ti# !e ao#a su"on!#emos que J0 d0 R0  es un Es"a'io e'to#ia$0 1 "o# a,uso !e $engua2e !i#emos que  es un Es"a'io e'to#ia$ !on!e $as o"e#a'iones !e suma 1 "#o!u'to "o# un es'a$a# son $as !e%ini'iones usua$es en $os #es"e'ti+os es"a'ios; De%ini'i.n: Da!os e$ 'on2unto U K Jui0 u90 u0  0 U{0 U ' 0 1 e$ +e'to# + e 0 se !i'e que + es 'om,ina'i.n $inea$ !e U si existen $os es'a$a#es 7]0 70 90 70  0 Aj e R ta$es que e$ +e'to# + se "ue!e es'#i,i# as(: +K )K) O,se#+a'iones ) Los se $$aman $os 'oe%i'ientes !e $a 'om,ina'i.n $inea$ 9 Cuan!o to!os $os son igua$es a 0 $a 'om,ina'i.n $inea$ se $$ama t#i+ia$  Una 'om,ina'i.n $inea$ !e +e'to#es es no t#i+ia$ 'uan!o uno "o# $o menos !e $os 7= es !istinto !e  E2em"$o: Sea  K R9 1 U K Jui K )0 9;0 u 9 K 90 ); E$ +e'to# +i K 0 ; es 'om,ina'i.n $inea$ !e U "o#que existen 7] 1 79 e R ta$es que 7] )0 9; d A0990 ); K 0 ; Di'os A0] 1A09 son: 7l K9179 K -$ 9 K 0 -9; es 'om,ina'i.n $inea$ !e U Pa#a #es"on!e# tenemos que a+e#igua# si existen 7l 1 79 e R ta$es que 7= )0 9; d  990 ); K 0 -9; eamos si existen !i'os es'a$a#es Pa#timos !e $a 'om,ina'i.n $inea$: 7= )0 9; d 7990 ); K 0 -9; Po# !e%ini'i.n !e "#o!u'to "o# un es'a$a#: 720 9 7=; d9 7 90 79; K 0 -9; Po# !e%ini'i.n !e suma !e +e'to#es: 7l d 9 7 90 9 7l d 79; K 0 -9; Pa#a que am,os +e'to#es sean igua$es0 !e,en se# igua$es 'om"onente a 'om"onente Es !e'i# que $as igua$!a!es 7l d 9 79 K  1 9 7l d 79 K -9 !e,en satis%a'e#se a $a +e* Enton'es0 9 es 'om,ina'i.n $inea$ !e U si e$ siguiente sistema !e e'ua'iones $inea$es es 'om"ati,$e: % A2 d 9 b  \9)0 d X9 b b9 > "a#a e$$o0 seg5n emos +isto0 a$'an*a 'on que $a mat#i* !e 'oe%i'ientes !e$ sistema0 ($ +9 sea !e #ango 90 $o 'ua$ se 'um"$e en este 'aso "ues 1   Enton'es0 9 es 'om,ina'i.n $inea$ !e U E2em"$o: Sea  K R 1 UK Ju ) K )0 )0 ;0 u 9 K )0 )0 ); Es + K )0 90 ; 'om,ina'i.n $inea$ !e U eamos si existen 7l 1 79 e R que satis%a'en $a !e%ini'i.n MI0 )0; d MI0 )0 ?; K ?0 90 ; 77; d790 790 79; K )0 90 ; }2 d i#; b $ _ $2 d $H K 9 A9K E$ sistema es in'om"ati,$e $as !os "#ime#as e'ua'iones no tienen #a('es en 'om5n; 1 "o# tanto + no es 'om,ina'i.n $inea$ !e U O,se#+a'i.n: e$ +e'to# nu$o ; es 'om,ina'i.n $inea$ !e 'ua$quie# 'on2unto U no +a'(o Si U K Jui0 U90 U0  0 U{0 e$ +e'to# nu$o es C L !e U si existen 7l0 7 90 70  0 7 g { R ta$es que K  Los 7-x existen: a$'an*a 'on toma# to!os $os K  'om,ina'i.n iKl $inea$ t#i+ia$; En e$ "#o,$ema que nos "$anteamos a 'ontinua'i.n0 e$ asunto es ot#o: sa,e# si a!em&s !e $a 'om,ina'i.n $inea$ t#i+ia$0 existe a$guna 'om,ina'i.n no t#i+ia$ que o#igine e$ +e'to# nu$o IDECAP | Matemática aplicada a la economía

64 De%ini'i.n: Un 'on2unto !e +e'to#es U es $inea$mente in!e"en!iente 'uan!o $a 5ni'a %o#ma !e o,tene# e$ +e'to# nu$o 'omo 'om,ina'i.n $inea$ !e U es me!iante $a 'om,ina'i.n $inea$ t#i+ia$ E2em"$o: Sea U K Jui K )0 )0 ;0 u9 K )0 )0 ); U es $inea$mente in!e"en!iente L I; Pa#a a+e#igua#$o nos "$anteamos $a 'om,ina'i.n $inea$ !e $os +e'to#es !e U0 $a igua$amos a$ +e'to# nu$o 1 estu!iamos si $a 5ni'a %o#nia !e $a 'om,ina'i.n es $a 'om,ina'i.n $inea$ t#i+ia$ o si existe una 'om,ina'i.n no t#i+ia$ !e U que "e#mita ex"#esa# e$ +e'to# nu$o 70$0 )0 ; d 79l0 )0 ); K 0 0 ; 7020 7l0 ; d790 9; K 0 o0 ; 7] d 790 7ld 790 79; K 0 0 ; A= d A9 b o _ A= d A9 K  A9KO El sistema es 'om"ati,$e !etennina!o 'on 5ni'a #a(* 7l K ; 1 A09 K  Enton'es0 $a 5ni'a %onna !e o,tene# e$ +e'to# nu$o 'omo 'om,ina'i.n $inea$ !e U es me!iante $a 'om,ina'i.n $inea$ t#i+ia$ Enton'es0 e$ 'on2unto U es L I E2em"$o: Sea T K Jti K )0 )0 ;0 t9 K )0 )0 );0 t K -)0 -)0 9; Es T un 'on2unto !e +e'to#es L I Mi0 i0 ; d Mi0 )0 O d M-i0 -)09; K o0 o0 ; 7i0 7=0 ; d790 790 79; d-0 -0 97; K 0 0 ; 7i d 79 - 7-0 A-i d 79 - 70 79 d 97; K 0 0 ; A] d A9 k A b o _ A= d A9 b A b  A d 9  K  La segun!a 1 te#'e#a e'ua'iones son igua$es0 "o# $o que una !e e$$as "ue!e e$imina#se o,tenien!o un sistema equi+a$ente 'on !os e'ua'iones 1 t#es in'.gnitas | A) d A9 b A1 b  A9 d 9 A1 b  E$ sistema es 'om"ati,$e in!etennina!o Existen 7=0 79 1 7 no to!os nu$os ta$es que ti d 79t9 d 7t K 0 0 ; Po# e2em"$o0 7l K 0 7 9 K -9 1 7 K ) Enton'es0 e$ 'on2unto T no es L I Se !i'e que e$ 'on2unto T es $inea$mente !e"en!iente De%ini'i.n: Un 'on2unto U !e +e'to#es es $inea$mente !e"en!iente LD; 'uan!o no es L I O,se#+a'iones ) Si e$ 'on2unto U est& %o#ma!o s.$o "o# e$ +e'to# nu$o0 U K J  0 enton'es U es L D 9 Si un 'on2unto U tiene 'omo e$emento e$ +e'to# nu$o0 U K J0 u90 U0  0 enton'es e$ 'on2unto U es L D Teo#ema): W; U tiene !os o m&s +e'to#es U es L D T; Uno "o# $o menos !e $os +e'to#es !e U es 'om,ina'i.n $inea$ !e $os #estantes +e'to#es !e U Teo#ema-: Si a un 'on2unto L D se $e ag#ega un +e'to# 'ua$quie#a0 enton'es e$ nue+o 'on2unto tam,i/n es L D _ Teo#ema-: Si a un 'on2unto L I 'on !os o m&s +e'to#es se $e quita un +e'to# 'ua$quie#a0 enton'es e$ nue+o 'on2unto tam,i/n es L I O,se#+a'i.n: Si a un 'on2unto L D se $e quita un +e'to#0 enton'es no "ue!e a%i#ma#se na!a !e $a !e"en!en'ia $inea$ !e$ nue+o 'on2unto Ot#o tanto o'u##e 'on un 'on2unto L I a$ 'ua$ se $e ag#ega un +e'to# De%ini'i.n: E$ 'on2unto < !e +e'to#es es un gene#a!o# !e  si to!o +e'to# !e  "ue!e es'#i,i#se 'omo 'om,ina'i.n $inea$ !e <  i E2em"$o: Un +e'to# 'ua$quie#a !e R es !e $a %o#ma a0 ,0 '; !on!e $as $et#as son "a#&met#os in!e"en!ientes Sea < K Jui K )0 0 ;0 u9 K 0 )0 ;0 u K 0 0 ); Es o < un gene#a!o# !e R  IDECAP | Matemática aplicada a la economía

65 a0 ,0 '; K a$0 0 ; d ,0 )0 ; d '0 0 );  a0 ,0 ' 7 R Enton'es to!o +e'to# !e R 8 "ue!e es'#i,i#se 'omo 'om,ina'i.n $inea$ !e <0 1 "o# tanto < es un gene#a!o# !e R  O,sei+a'i.n: Si a un gene#a!o# se $e ag#egan +e'to#es0 sigue sien!o gene#a!o# Pe#o si a un gene#a!o# se $e quitan +e'to#es0 enton'es no "ue!e a%i#ma#se na!a a'e#'a !e si e$ nue+o 'on2unto sigue sien!o gene#a!o# De%ini'i.n: E$ 'on2unto !e +e'to#es 6 es ,ase !e$ Es"a'io e'to#ia$  si se 'um"$e a $a +e* que 6 es gene#a!o# !e 0 1 6 es un 'on2unto L I E2em"$o: E$ 'on2unto < K Ju2 K)00 ;0 u9 K 0 )0 ;0 U K 0 0 ); es gene#a!o# !e R  1 'omo a!em&s es L I e$ $e'to# a,#& !e "#o,a#$o;0 enton'es < es , ase !e R Teo#ema&: W; Existe una ,ase en  'on un n5me#o %inito !e +e'to#es T; To!as $as ,ases !e  tienen e$ mismo n5me#o !e +e'to#es De%ini'i.n: Se $$ama !imensi.n !e$ Es"a'io e'to#ia$ a$ n5me#o !e +e'to#es !e una ,ase 'ua$quie#a !e$ es"a'io Nota'i.n: Dim; Po# e2em"$o0 DimR; K  O,se#+a'i.n: La !imensi.n !e$ es"a'io "ue!e se# %inita0 "e#o tam,i/n existen es"a'ios !e !imensi.n in%inita Nosot#os esta#emos inte#esa!os en $os es"a'ios !e !imensi.n %inita Teo#ema-: W; Dim; K n T; To!o 'on2unto !e  'on m&s !e n +e'to#es es L D E2em"$o: Consi!e#emos e$ Es"a'io e'to#ia$ R >a sa,emos que DimR; K  En 'onse'uen'ia0 to!os $os 'on2untos !e R 'on m&s !e  +e'to#es son L D Sa,emos que en R $as ,ases tienen  +e'to#es Enton'es0 "ue!e a,e# 'on2untos L I 'on !os o menos +e'to#es La #es"uesta es a%i#mati+a Di'os 'on2untos L I 'on 9 o menos +e'to#es0 "ue!en se# gene#a!o#es !e R  La #es"uesta es NO0 "ues si u,ie#a gene#a!o#es L I 'on !os +e'to#es0 enton'es se#(an ,ases !e$ E e'to#ia$0 1 $a !imensi.n no se#(a  Es %&'i$ !emost#a# que en e$ Es"a'io e'to#ia$ !e $os "o$inomios _0 $a !imensi.n es 0 que en e$ Es"a'io e'to#ia$ Pc $a !imensi.n !e$ es"a'io es n d ); 1 que en e$ Es"a'io Rn $a !imensi.n es n E$ 5$timo 'on'e"to que int#o!u'imos en esta se''i.n es e$ !e su,es"a'io De%ini'i.n: Sea e$ 'on2unto !e +e'to#es ^ in'$ui!o en e$ Es"a'io e'to#ia$ 0 ^ 'K 0 ta$ que J^0 d0 R0  es tam,i/n un Es"a'io e'to#ia$ Enton'es ^ es un su,es"a'io +e'to#ia$ !e  E2em"$o: Sea  K R 1 sea ^ K Ja0 ,;: a K ,0 es !e'i#0 ^ es e$ 'on2unto !e +e'to#es !e R 9 que tienen igua$es sus 'oo#!ena!as P#o,a#emos que ^ es un su,es"a'io +e'to#ia$ !e R 9 Como $os +e'to#es !e ^ son tam,i/n +e'to#es !e 0 1 $as o"e#a'iones !e suma 1 mu$ti"$i'a'i.n "o# un es'a$a# son $as mismas0 to!as $as "#o"ie!a!es !e$ es"a'io +e'to#ia$  se 'um"$en en ^ a 'on!i'i.n que $as o"e#a'iones sean 'e##a!as0 esto es0 que $a suma !e +e'to#es !e ^ sea un +e'to# !e ^ 1 que $a mu$ti"$i'a'i.n !e un +e'to# !e ^ "o# un es'a$a# 'ua$quie#a tam,i/n sea un +e'to# !e ^ Dos +e'to#es 'ua$esquie#a !e ^ tienen $a %o#ma: a0 a; 1 "0 "; La suma !e estos !os +e'to#es es a d "0 a d P; que tam,i/n es un +e'to# !e ^ "ues tiene igua$es sus 'oo#!ena!as; E$ "#o!u'to !e un +e'to# "o# un es'a$a# tiene $a %o#ma: 7a0 a; K A0a0 7a; que tam,i/n tiene sus 'oo#!ena!as igua$es Enton'es0 ^ es un su,es"a'io +e'to#ia$ !e R9 Teo#ema-: W; ^ es un su,es"a'io +e'to#ia$ !e  T; Dim^; _ Dim; E2em"$o: Demost#a# que en e$ e2em"$o "#e'e!ente es Dim^; K ) Teo#emaH: W; U es un 'on2unto !e +e'to#es %inito en e$ es"a'io +e'to#ia$   K Jv: v es 'om,ina'i.n $inea$ !e U T; J0 d0 R0  es un su,es"a'io +e'to#ia$ !e  E$ 'on2unto  es e$ 'on2unto !e to!as $as 'om,ina'iones "osi,$es !e$ 'on2unto U Lo que a%i#ma e$ teo#ema es que este 'on2unto es un su,es"a'io +e'to#ia$ !e  Qu/ "asa si e$ 'on2unto U es una ,ase !e  Lo que o'u##e es que e$ 'on2unto  'oin'i!e 'on 0 "ues e$ 'on2unto U "o# se# ,ase es tam,i/n gene#a!o#0 enton'es $os +e'to#es !e  son to!os $os que "ue!en es'#i,i#se 'omo 'om,ina'i.n $inea$ !e un gene#a!o#0 o sea0 to!o e$ Es"a'io IDECAP | Matemática aplicada a la economía

66 e'to#ia$  E$ su,es"a'io +e'to#ia$  se 'ono'e 'omo e$ su,es"a'io +e'to#ia$ gene#a!o "o# U o E2em"$o: Sean  K R 1 U K Ju2 K )0 )0 ;0 u 9 K )0 -)0 ; E$ su,es"a'io +e'to#ia$ gene#a!o "o# U es  K Jv: v K a$0 )0 ; d ,$0 -)0 ;  es un 'on2unto !e +e'to#es !e $a %o#ma a d ,0 a - ,0 ; !on!e a 1 , son "a#&met#os in!e"en!ientes Es %&'i$ "#o,a# que Dim; K 9 "ues e$ 'on2unto U es gene#a!o# !e  1 a!em&s es L I Re"a#ti!o P#&'ti'o : Es"a'ios e'to#ia$es E2e#'i'io ) e#i%i'a# que e$ 'on2unto !e $as mat#i'es 9x9 'on $as o"e#a'iones !e suma !e mat#i'es 1 "#o!u'to "o# un es'a$a# #ea$; es un Es"a'io e'to#ia$ E2e#'i'io 9 Sea e$ 'on2unto U K Jui0 u90 U0 U 1 sea un +e'to# + ta$ que: U d 9+ K ui d 9u9 - U Wa$$a# $os 'oe%i'ientes que "e#miten ex"#esa# a$ +e'to# + 'omo 'om,ina'i.n $inea$ !e U E2e#'i'io  Sea U K l IA +1 X9l _`1 l iM w, a; Wa$$a#  +e'to#es que sean 'om,ina'iones $inea$es !e U pO ,; E$ +e'to# + K es 'om,ina'i.n $inea$ !e U '; E$ +e'to# nu$o es 'om,ina'i.n $inea$ !e U !; Existe a$g5n +e'to# !e R• que no sea 'om,ina'i.n $inea$ !e U E2e#'i'io  Sea UK_ no t#i+ia$ !e U E2e#'i'io  Sea U K ( ) l + l  ()A +$1 %ii +i  + c Es "osi,$e es'#i,i# e$ +e'to# nu$o 'omo 'om,ina'i.n $inea$ Al) +) a; P#o,a# que U es LI ,; Qu/ o'u##e 'on $a !e"en!en'ia $inea$ !e$ 'on2unto U si se $e quita uno 'ua$quie#a !e $os t#es +e'to#es E2e#'i'io  IDECAP | Matemática aplicada a la economía

67 P#o,a# que U K J es LD Re"a#ti!o P#&'ti'o : Es"a'ios e'to#ia$es E2e#'i'io H Sea U K Jui0 u90 u0 u Se sa,e que u9 K u2 - u d u Qu/ "ue!e !e'i#se !e $a !e"en!en'ia $inea$ !e$ 'on2unto U E2e#'i'io  Sea e$ 'on2unto U K J)0)0; -)090; 90-)0; a; Es'#i,i# e$ te#'e# +e'to# !e U 'omo 'om,ina'i.n $inea$ !e $os !os #estantes ,; E$ 'on2unto U es LI '; Consi!e#e e$ 'on2unto !e +e'to#es  K J0B0 '; ta$es que ' K O Los +e'to#es !e  "ue!en es'#i,i#se 'omo 'om,ina'i.n $inea$ !e $os +e'to#es !e U !;  es un es"a'io +e'to#ia$ e; U es un gene#a!o# !e  %; U es una ,ase !e  g; C.mo "ue!e o,tene#se una ,ase !e  a "a#ti# !e$ 'on2unto U E2e#'i'io G ()A Sea U K l I- ) m + %$ + a; P#o,a# que e$ "#ime# +e'to# !e U "ue!e es'#i,i#se 'omo 'om,ina'i.n $inea$ !e $os t#es #estantes ,; Estu!ia# $a !e"en!en'ia $inea$ !e$ 'on2unto %o#ma!o "o# U ex'$u1en!o e$ "#ime# +e'to# '; P#o,a# que !i'o 'on2unto es un gene#a!o# !e R !; Qu/ !imensi.n tiene e$ es"a'io +e'to#ia$ R e; E$ 'on2unto !e%ini!o en ,; es una ,ase !e R E2e#'i'io ) Consi!e#e $os es"a'ios +e'to#ia$es i K Po$inomios !e asta g#a!o 90 1  9 K Mat#i'es !os "o# !os a; Wa$$a# un gene#a!o# !e ] ,; Wa$$a# un gene#a!o# !e 9 '; Wa$$a# una ,ase 1 $a !imensi.n !e i !; Wa$$a# una ,ase 1 $a !imensi.n !e 9 E2e#'i'io )) a; P#o,a# que p K +'1 :a d , d ' K  es un SE !e R@ ,; Wa$$a# una ,ase !e ^ 1 'a$'u$a# $a Dim^; '; Cu&ntos +e'to#es0 "o# $o menos0 tiene que tene# un gene#a!o# !e ^ !; Cu&ntos +e'to#es tienen to!as $as ,ases !e ^ Re"a#ti!o P#&'ti'o : Es"a'ios e'to#ia$es E2e#'i'io )9 Sea  K R 1 sea  e$ su,es"a'io gene#a!o "o# U K a; Wa$$a# una ,ase !e  ,; Wa$$a# Dim; ( ) ) -i0 E2e#'i'io ) Consi!e#e e$ es"a'io !e $as mat#i'es 9x9: M IDECAP | Matemática aplicada a la economía

68 1 "K  a',! 'on , d ' K  a',! > 1 e$ su,'on2unto P ta$ que a; P#o,a# que P un su,es"a'io !e M )H ) 9 o -9]%  $- Op$ ,; Sea e$ 'on2unto A K ++-9 -) 'on2unto A es un gene#a!o# !e P ) -) 9 1+  Estu!ia# si e$ '; Wa$$a# una ,ase !e P 1 'a$'u$a# Dim P; E2e#'i'io ) In!i'a# si $as siguientes a%i#ma'iones son +e#!a!e#as ; o %a$sas F; Cuan!o $a a%i#ma'i.n es %a$sa0 most#a#$o 'on un e2em"$o Sea e$ 'on2unto U 'on { +e'to#es0 { { 0 en e$ es"a'io +e'to#ia$   ) Si U es LD 1 a$ quita#$e un +e'to# se +ue$+e LI0 enton'es e$ nue+o 'on2unto es ,ase !e  9 Si U es LD 1 se $e ag#ega un +e'to#0 enton'es sigue sien!o LD  Si U es LD 1 Dim; K {-)0 enton'es a$ quita# a U un +e'to#0 e$ nue+o 'on2unto es ,ase !e  Si U es LD 1 se $e quitan su'esi+os +e'to#es 'om,ina'iones $inea$es !e $os #estantes0 enton'es %ina$mente se $$ega a un 'on2unto LI  Si U es LD 1 se $e ag#egan su'esi+os +e'to#es0 nun'a se a$'an*a#& a tene# una ,ase !e   Si U es LD0 enton'es Dim; _ { H Si U es LD0 enton'es Dim; { {  Si U es LD0 enton'es to!o 'on2unto !e  'on m&s !e { +e'to#es es LD G Si U es LD0 enton'es ning5n 'on2unto 'on menos !e { +e'to#es "ue!e se# gene#a!o# !e  ) Si U es LI0 enton'es to!o 'on2unto !e  'on menos !e { +e'to#es es LI )) Si U es LI0 enton'es to!o su,'on2unto !e U es LI )9 Si U es LI 1 Dim; K {0 enton'es to!o 'on2unto 'on m&s !e { +e'to#es es LD ) Si U es LI0 enton'es existen en  ot#os 'on2untos LI 'on { +e'to#es ) Si U es LI0 enton'es U no es LD ) Si U es LI 1 Dim; K {0 enton'es U es ,ase !e  ) Si U es LI 1 existe un 'on2unto gene#a!o# !e  'on { +e'to#es0 enton'es U es ,ase !e  )H Si U es LI 1 no existen en  gene#a!o#es 'on menos !e { +e'to#es0 enton'es U es ,ase ) Si U es gene#a!o# !e  1 Dim; K {0 enton'es U es ,ase !e 

F

E2e#'i'io ) In!i'a# si $as siguientes a%i#ma'iones son +e#!a!e#as ; o %a$sas F; Cuan!o $a a%i#ma'i.n es %a$sa0 most#a#$o 'on un e2em"$o Sea U un 'on2unto !e$ es"a'io +e'to#ia$  U "ue!e se# in%inito o %inito; ) Si U es gene#a!o# !e 0 enton'es U tiene un n5me#o %inito !e +e'to#es IDECAP | Matemática aplicada a la economía



F

69 9 Si U es LI 1 gene#a!o#0 enton'es tiene un n5me#o %inito !e +e'to#es  Si U es gene#a!o# !e 0 enton'es U tiene "o# $o menos !os +e'to#es  To!os $os gene#a!o#es !e  tienen e$ mismo n5me#o !e +e'to#es  To!o es"a'io +e'to#ia$  a!mite una ,ase %inita  Si U 'on { +e'to#es es gene#a!o# !e  1  'on {-9 +e'to#es es LI0 enton'es Dim;K{-$ H Si U 'on { +e'to#es es gene#a!o# !e  1  'on {-9 +e'to#es es LI0 K` {-9 _ Dim; _ {  Si U es LD0 enton'es to!o 'on2unto !e  'on m&s !e { +e'to#es es LD G Si U es LD0 enton'es ning5n 'on2unto 'on menos !e { +e'to#es "ue!e se# gene#a!o# !e  ) Si U es LI0 enton'es to!o 'on2unto !e  'on menos !e { +e'to#es es LI E2e#'i'io ) In!i'a# si $as siguientes a%i#ma'iones son +e#!a!e#as ; o %a$sas F; Cuan!o $a a%i#ma'i.n es %a$sa0 most#a#$o 'on un e2em"$o Sea S un su,es"a'io +e'to#ia$ !e$ es"a'io +e'to#ia$   ) Enton'es DimS; _ Dim; 9 Enton'es existe S ta$ que DimS; K   Si + e S K` + e 0  + e S  SiueS1+eSK`u d 7+; e S0  7 e R  Si 8; es neut#o !e $a suma en 0 enton'es '2` e S  E$ su,es"a'io +e'to#ia$ S "ue!e tene# !os o m&s +e'to#es neut#os !e $a suma en S H Si DimS; _ Dim;0 enton'es existe "o# $o menos un +e'to# + e  ta$ que + g S G ALORES > ECTORES PROPIOS DIA

F

7 mat#i* es x0 e$ +e'to# 7 tiene t#es 'om"onentes Pa#a a$$a# $os +a$o#es "#o"ios se "$antea $a e'ua'i.n 'a#a'te#(sti'a Ax7 K Ax7 ) 9 n 2C2 p xxp % -A N )  )  x9 K Ax x9   90 7 $7 ; $   9 ) $-A  9-9 1  Como e$ +e'to# 7 no "ue!e se# e$ +e'to# nu$o0 1 e$ sistema $inea$ es omog/neo0 es ne'esa#io que e$ sistema tenga ot#as #a('es Pa#a e$$o0 e$ sistema !e,e se# in!ete#mina!o Enton'es0 a$guna "unta !e es'a$.n !e,e se# !i%e#ente !e 'e#o Los +a$o#es "#o"ios son0 enton'es0 7l K ) 1 7 9 K 9 De ot#a %o#ma0 e$ "o$inomio 'a#a'te#(sti'o es ) - 7%J9-7; 1 $a e'ua'i.n 'a#a'te#(sti'a tiene $as #a('es ) 1 9 Los 7 q ue #esue$+en $a e'ua'i.n 'a#a'te#(sti'a "ue!en se# n5me#os #ea$es o 'om"$e2os De%ini'i.n: Sea 7 un +a$o# "#o"io #ea$ !e A Se $$ama +e'to# "#o"io !e $a mat#i* A aso'ia!o a a 'ua$quie# +e'to# 7 j  ta$ que Ax7 K 7 7 Los t/#minos +a$o# 'a#a'te#(sti'o 1 +e'to# 'a#a'te#(sti'o o auto+a$o# 1 auto+e'to#; se uti$i*an 'on %#e'uen'ia en $uga# !e +a$o# "#o"io 1 +e'to# "#o"io E2em"$o: A K $  I ‚ 1 sean +0 K 90; 1 - )0-);- Enton'es As( "ues0 pi 1 )9 son +e'to#es "#o"ios !e A aso'ia!os0 #es"e'ti+amente0 a $os +a$o#es "#o"ios 7] K  1 79 K -) !e A En este e2em"$o emos +isto que $os +e'to#es +i 1 +9 +e#i%i'an $a !e%ini'i.n !e +e'to# "#o"io0 "e#o no emos #esue$to e$ "#o,$ema !e en'ont#a# $os +e'to#es "#o"ios aso'ia!os a una mat#i* Los +a$o#es 1 +e'to#es "#o"ios 'um"$en $as siguientes "#o"ie!a!es: ) A es un +a$o# "#o"io !e A si 1 so$o si lA - }$l K  9 Si 7 es un +e'to# "#o"io !e A0 enton'es e$ +e'to# {7 { es un es'a$a# no nu$o; tam,i/n es un +e'to# "#o"io !e A  Si A es una mat#i* sim/t#i'a0 enton'es to!os $os +a$o#es "#o"ios !e A son #ea$es  Si A es sim/t#i'a0 enton'es $os +e'to#es "#o"ios 'o##es"on!ientes a !i%e#entes +a$o#es "#o"ios tienen su "#o!u'to es'a$a# nu$o  Sea A una mat#i* 'ua!#a!a 1 Q ot#a mat#i* 'ua!#a!a in+e#ti,$e La mat#i* 6 K Qp)AQ tiene $os mismos +a$o#es "#o"ios !e $a mat#i* A Demost#a'i.n: E$ "o$inomio 'a#a'te#(sti'o !e $a mat#i* 6 es l 6 - }$l K | Qp)AQ-}I | Pe#o $a mat#i* i!enti!a! I es igua$ a$ "#o!u'to Qp )IQ 1 "o# tanto: l 6 - }$| K | Q•AQ-AQ-)IQ l K l Q-pA-I;Q | K )llA-}$llQ | K lA-}$l Qp E2em"$o: Nos "$anteamos ao#a e$ "#o,$ema !e en'ont#a# $os +e'to#es i 9 Ia "#o"ios !e $a mat#i* A K 7] K $ 1 9 b 9  )  +  92  >a +imos que $os +a$o#es "#o"ios son - Cuan!o es 7i K $0 $os +e'to#es "#o"ios aso'ia!os se o,tienen !e $a e'ua'i.n Ax7 K 7l7 Enton'es4 que 'on!u'e a$ sistema: # l9# 7] N

)

x9 K ) x9


71   91 $7 ; +x1 979 d7 K  7 K  97 :-K  'u1as #a('es son !e $a %o#ma - Cuan!o es 79 K 90 $os +e'to#es "#o"ios aso'ia!os se o,tienen !e ia e'ua'i.n Ax7 K 7 970 Enton'es: •i 9 # 72   ) x9 K 9 x9 +  91 7 +x+ 8 que 'on!u'e a$ sistema: x0 d 979 d x K  b x9 d  x K x K  'u1as #a('es son !e $a %o#ma )x x Como "ue!e o,se#+a#se en e$ e2em"$o0 en +i#tu! !e $a "#o"ie!a! 9 antes enun'ia!a0 "a#a 'a!a +a$o# "#o"io existen in%initos +e'to#es "#o"ios0 $os 'ua$es !i%ie#en ent#e s( so$amente "o# una 'onstante mu$ti"$i'ati+a En e$ e2em"$o0 "a#a 7i - ) u n +e'to# "#o"io aso'ia!o es 1 se "ue!e o,tene# ot#o 'ua$quie#a aso'ia!o a$ mismo +a$o# "#o"io; mu$ti"$i'an!o !i'o +e'to# "o# un n5me#o #ea$ 'ua$quie#a !istinto !e 'e#o; Lo mismo o'u##e en e$ 'aso !e 7 9 K 9: ' ua$quie# +e'to# "#o"io aso'ia!o a !i'o +a$o# "#o"io tiene $a %o#ma:  x

W C O



$x 8 O,se#+a'i.n En e$ e2em"$o ante#io#0 si to!os $os +e'to#es "#o"ios aso'ia!os a 7 9 K 9 se "ue!en es'#i,i# 'omo "#o!u'to !e un n5me#o !istinto !e 'e#o; "o# e$ +e'to# l ) 0 enton'es e$ 'on2unto !e +e'to#es "#o"ios aso'ia!os a 7 9 K 9 ' on e$ ag#ega!o !e$ +e'to# nu$o0 $$am/mos$e 90 es un su,es"a'io !e R 0 !on!e e$ 'on2unto 9 I) es una ,ase !e$ mismo "ues es a $a +e* LI 1 gene#a!o# !e ‚$W; A es sim/t#i'a 7l son +a$o#es "#o"ios !e A0 to!os !i%e#entes += es un +e'to# "#o"io !e A aso'ia!o a$ +a$o# "#o"io 7l  l  l QK ++  (v +  8; T; Q AQ es una mat#i* !iagona$


72 Se !i'e que un +e'to# u est& no#ma$i*a!o 9 si se 'um"$e que e$ "#o!u'to es'a$a# !e$ +e'to# "o# s( mismo es igua$ a $a uni!a! u est& no#ma$i*a!o si: u x; u K ) O,se#+a'iones ) En un es"a'io no#ma!o0 e$ +e'to# nu$o es e$ 5ni'o que no se "ue!e no#ma$i*a# 9 No en to!os $os es"a'ios +e'to#ia$es es "osi,$e !e%ini# $a no#ma !e un +e'to# Los que tienen esta "#o"ie!a! !enominan es"a'ios no#ma!os R0 R90 R 1 en gene#a$ Rn son es"a'ios no#ma!os 9 Pa#a no#ma$i*a# un +e'to# !i%e#ente !e$ +e'to# nu$o a$'an*a 'on t#ans%o#ma#$o as(: vj; ' ;u E2em"$o: Sea u K no#ma$i*a!o  ux;u K $x$ d 9x9 d x K ) X ( X es un +e'to# i9: W; A es una mat#i* sim/t#i'a nn 'on n +a$o#es "#o"ios !istintos Q es una mat#i* que tiene en $as 'o$umnas +e'to#es "#o"ios no#ma$i*a!os 'o##es"on!ientes a !istintos +a$o#es "#o"ios !e $a mat#i* A T; Q es una mat#i* o#togona$ es !e'i#0 QT K Qk); 9 -) E2em"$o: Sea $a mat#i* sim/t#i'a A K |  9  $-$  9 $a mat#i* tiene t#es +a$o#es "#o"ios !i%e#entes0 )0 9 1 0 1 +e'to#es "#o"ios  E$ $e'to# !emost#a#& que aso'ia!os a !i'os +a$o#es X) ( ))  ) H  00 #es"e'ti+amente A$ no#ma$i*a#$os se o,tienen $os +e'to#es: ) ) !e a'ue#!o a$ Teo#ema 0 $a mat#i* Q K b=K H9 o ('ll 1 9 o i Enton'es % l  Ia  9  )  -) !iagona$ i*a a $a mat#i* A0 "ues Qp)AQ es una mat#i* !iagona$ De a'ue#!o 'on e$ Teo#ema 9 $a mat#i* Q es o#togona$0 "o# tanto0 Qk K Q T Pa#a 'om"#o,a#$o a$'an*a 'on #ea$i*a# e$ "#o!u'to Qp)0AQ A$ #ea$i*a# $as o"e#a'iones se en'uent#a que: A )  A Qr)AQ K IDECAP | Matemática aplicada a la economía

73 9 Es una 'asua$i!a! que $a mat#i* Qp)AQ tenga en su !iagona$ $os +a$o#es "#o"ios !e A Teo#ema9: W; A es una mat#i* sim/t#i'a nn 7l son +a$o#es "#o"ios !e A0 to!os !i%e#entes += son +e'to#es "#o"ios !e A no#ma$i*a!os p l # l (  QK ++ 1 +1 + 11 T; Qp]AQ tiene en su !iagona$ "#in'i"a$ a to!os $os 7=  Enton'es0 e$ #esu$ta!o que o,tu+imos en e$ e2em"$o !e $a "&gina ante#io# no e#a una 'asua$i!a! De%ini'i.n: Dos mat#i'es An0n 1 6 nn se !i'en seme2antes si existe una te#'e#a mat#i* Q ta$ que: 6 K Qp)AQ O,se#+a'i.n: Si A es una mat#i* sim/t#i'a0 '.mo se "ue!e o,tene# una mat#i* 6 seme2ante a A 1 ! i a g ona$ De a'ue#!o 'on e$ 5$timo teo#ema0 a$'an*a 'on en'ont#a# $os +a$o#es "#o"ios !e A Una mat#i* 6 !iagona$ que tenga en $a !iagona$ "#in'i"a$ $os +a$o#es "#o"ios !e A es seme2ante a A 0 seg5n 1a emos +isto0 tiene J9 o k# )  )9  ) $-$  91 $os +a$o#es "#o"ios )0 9 1  En 'onse'uen'ia0 $a mat#i* !iagona$ 6 K %$  Oi 9 es seme2ante a A 1 Fo#mas 'ua!#&ti'as De%ini'i.n: Sea Ann una mat#i* sim/t#i'a 1 sea 7 K +j01 un +e'to# !e n in!ete#mina!as La ex"#esi.n 7TA7 es una %o#ma 'ua!#&ti'a en $as in!ete#mina!as xi0 x90  0xn A se $$ama $a mat#i* !e $a %o#ma 'ua!#&ti'a %iA E2em"$o: A K 1 7 K  Enton'es0 7TA7 K x9 d 9x1 d 919 + 98 l1; O,se#+a'iones ) La %o#ma 'ua!#&ti'a es un "o$inomio omog/neo !e g#a!o 9 en $as in!ete#mina!as 7i0 x90  0xn 9 A "a#ti# !e $a %o#ma 'ua!#&ti'a "ue!e !e%ini#se una %un'i.n !e +a#ias +a#ia,$es0 'u1a #e"#esenta'i.n g#&%i'a no es %&'i$ !e +isua$i*a# E2em"$o ): % ) • %j$ ): A K w 1 xK Enton'es0 7TA7 K x9 d 1 Sea * K %x0 1; K x 9 d 19 C.mo es e$ g#&%i'o !e esta %un'i.n Sean x0 10 * $as 'oo#!ena!as en e$ es"a'io !e t#es !imensiones Cuan!o nos "osi'ionamos en e$ "$ano x1 es * K  Pe#o si * K 0 enton'es x9 d 19 K  1 esta e'ua'i.n se satis%a'e s.$o si x K 1 K  Enton'es $a %un'i.n %x0 1; 'o#ta a$ "$ano x1 s.$o en e$ 'ent#o !e 'oo#!ena!as En e$ semies"a'io !on!e * _  no IDECAP | Matemática aplicada a la economía

74 a1 g#&%i'o0 "ues no existen +a$o#es x0 1; "a#a $os 'ua$es x 9 d 19 _  Si * ` 0 enton'es $a e'ua'i.n x9 d 19 K * #e"#esenta "a#a 'a!a * una 'i#'un%e#en'ia !e #a!io * que +a aumentan!o !e !i&met#o a me!i!a que aumenta e$ +a$o# !e * La inte#se''i.n !e$ g#&%i'o 'on e$ "$ano x* 1 K ; tiene $a %o#ma * K x 90 que es una "a#&,o$a0 1 ot#o tanto o'u##e a$ inte#se'ta# e$ g#&%i'o 'on e$ "$ano 1*0 #esu$tan!o una "a#&,o$a !e $a %o#ma * K 19 E$ g#&%i'o se !enomina "a#a,o$oi!e E2em"$o 9: A K

qu/ "untos g#&%i'o !e $a %un'i.n 'o#ta a$ "$ano x1 * K  K x9 - 1 K x - 1;x d 1; Esta 'on!i'i.n equi+a$e a $as 'on!i'iones x K 1; . x K -1; Enton'es e$ g#&%i'o 'o#ta a$ "$ano x1 en !os #e'tas0 que son $as ,ise't#i'es !e $os 'ua!#antes !e$ "$ano Es !i%('i$ +isua$i*a# qu/ o'u##e 'on e$ g#&%i'o 'uan!o * _  o 'uan!o * `  E2em"$o : Sea $a %o#ma 'ua!#&ti'a %xi0 x90  0xn; K x9 d x99 d  d xn9 E$ g#&%i'o es un "a#a,o$oi!e en un es"a'io !e nd) !imensiones A$guien $o "ue!e imagina# O,se#+a'iones ) Cuan!o 7ni 1 Ann0 $a %o#ma 'ua!#&ti'a 7 TA7 tiene !imensiones )) 1 su ex"#esi.n gene#a$ es: 7pA7K9`0 +j (K$ i_2 n 9 Cuan!o $a %o#ma 'ua!#&ti'a a!mite $a ex"#esi.n 7TA7 K pT a=#x% HK) inte#+ienen s.$o $os 'ua!#a!os !e $as in!ete#mina!as; $a %o#ma 'ua!#&ti'a se $$ama 'an.ni'a  Existe a$g5n "#o'e!imiento "a#a "asa# !e $a %o#ma gene#a$ a una %o#ma 'ua!#&ti'a 'an.ni'a !e ta$ %o#ma que $a nue+a mat#i* !e $a %o#ma tenga $os mismos +a$o#es "#o"ios !e $a mat#i* o#igina$ La #es"uesta es a%i#mati+a0 1 e$ "#o'e!imiento "a#a $og#a#$o es una t#ans%o#ma'i.n $inea$ E2em"$o: Sea $a %o#ma 'ua!#&ti'a %x0 1; K x1 ) xpK Si se a'e $a t#ans%o#ma'i.n $inea$ 9 ; ) ^ 9 7 K 9x9 d9x1 d 918 xpK-2Kx d 1; IDECAP | Matemática aplicada a la economía

75 1K8K-xd1; se o,tiene $a nue+a %o#ma %xl 1^; K x^9 d 1^90 que tiene $a %o#ma 'an.ni'a O,se#+a'iones ) En e$ e2em"$o "#e'e!ente se o,se#+a que $a mat#i* A K   A A 9)9 1 $a mat#i* !e 1 $a nue+a %o#ma ) tienen $os mismos +a$o#es "#o"ios 9 En una %o#ma 'ua!#&ti'a 'an.ni'a0 $a mat#i* !e $a %o#ma es una mat#i* !iagona$  Diagona$i*a# una %o#ma 'ua!#&ti'a 'onsiste en o,tene# una nue+a %o#ma 'u1a mat#i* sea a $a +e* !iagona$ 1 seme2ante a $a mat#i* !e $a %o#ma o#igina$ Teo#ema): W; Sea 7T A7 una %o#ma 'ua!#&ti'a Sea 7 K Q0> t#ans%o#ma'i.n !e$ +e'to# 7 !on!e Q es $a mat#i* !e +e'to#es "#o"ios !e A no#ma$i*a!os T; Q>;TA0Q>; es una %o#ma 'ua!#&ti'a 'an.ni'a en e$ +e'to# > Q>;tAQ>; K p>8}1% !on!e $os 7= son $os +a$o#es "#o"ios !e $a iKi mat#i* A La !emost#a'i.n !e$ Teo#ema se ,asa en $as "#o"ie!a!es 1a +istas so,#e +a$o#es 1 +e'to#es "#o"ios Q>;TAQ>; K >TQTAQ;> 1 1a sa,emos que $a mat#i* QTA0Q es !iagona$0 seme2ante a A 1 tiene en $a !iagona$ "#in'i"a$ a $os +a$o#es "#o"ios !e $a mat#i* A En 'onse'uen'ia0 $a t#ans%o#ma'i.n $inea$ 7 K Q>0 o $o que es $o mismo0 > K Qp )70 "e#mite "asa# !e una %o#ma 'ua!#&ti'a gene#a$ a una %o#ma 'an.ni'a0 !e mane#a que $as mat#i'es !e am,as %o#mas A 1 QTAQ; sean seme2antes A; Una %o#ma 'ua!#&ti'a %xi0 x900xn; se $$ama DEFINIDA POSITIA si "a#a to!o +e'to# 7 K x)% x900xn; j  es %xi0 x 900xn; `  6;Una %o#ma 'ua!#&ti'a %x$ x900xn; se $$ama SEMIDEFINIDA POSITIA S$ "a#a to!o +e'to# 7 K x-i0 x900xn; j  es %xi0 x 900xn; `  C;Una %o#ma 'ua!#&ti'a %x)4 x900xn; se $$ama DEFINIDA NE
76 p>8,i19 2 'on to!os $os ,= _  i)K T; La %o#ma 'ua!#&ti'a es semi!e%ini!a negati+a si me!iante una t#as%o#ma'i.n a"#o"ia!a se "ue!e $$e+a# a $a %o#ma 'an.ni'a ii ,#1; 'on to!os $os ,=_  i)K T; La %o#ma 'ua!#&ti'a es in!e%ini!a si me!iante una t#as%o#ma'i.n n a"#o"ia!a se "ue!e $$e+a# a $a %o#ma 'an.ni'a p>8,#1] 'on a$g5n i )K ,= `  1 a$g5n ,= _  Su"ongamos que $a "o,$a'i.n !e un "a(s se "ue!e '$asi%i'a# en t#es 'atego#(as seg5n $a $o'a$i!a! !on!e #esi!en: mega 'iu!a!es $o'a$i!a!es u#,anas me!ianas 1 "eque3as - &#ea #u#a$ En e$ "a(s se #ea$i*an 'ensos !e "o,$a'i.n 'a!a  a3os En $os 'ensos0 ent#e ot#as +a#ia,$es0 se "#egunta a $as "e#sonas "o# e$ $uga# !on!e #esi!(an  a3os antes A$ ana$i*a# +a#ios 'ensos 'onse'uti+os se o,se#+a un 'om"o#tamiento esta,$e 'on $as siguientes 'a#a'te#(sti'as: i; Los mo+imientos !e mig#a'i.n inte#na'iona$ no tienen signi%i'a'i.n en $a !ist#i,u'i.n "o,$a'iona$ "o# 'atego#(a !e $a $o'a$i!a! ii; Si una "e#sona #esi!(a a'e  a3os en una mega 'iu!a!0 tiene a'tua$mente $as siguientes "#o,a,i$i!a!es: j H !e segui# #esi!ien!o en una mega 'iu!a! j 9 !e "asa# a #esi!i# en ot#a $o'a$i!a! u#,ana j ) !e "asa# a #esi!i# en e$ &#ea #u#a$ iii; Si una "e#sona #esi!(a a'e  a3os en una $o'a$i!a! u#,ana me!iana o "eque3a0 enton'es a'tua$mente tiene: j 9 !e "#o,a,i$i!a! !e "asa# a #esi!i# en una mega 'iu!a! j  !e "e#mane'e# en una $o'a$i!a! u#,ana me!iana o "eque3a j 9 !e "asa# a #esi!i# en e$ &#ea #u#a$ i+; Si una "e#sona #esi!(a a'e  a3os en e$ &#ea #u#a$0 enton'es a'tua$mente tiene: j ) !e "#o,a,i$i!a! !e "asa# a #esi!i# en una mega 'iu!a! j 9 !e "asa# a #esi!i# en ot#a $o'a$i!a! u#,ana j H !e "e#mane'e# en e$ &#ea #u#a$ Con estas "#o,a,i$i!a!es es "osi,$e 'onst#ui# una mat#i* !e t#ansi'i.n T; RESIDENCIA ACTUAL Mega 'iu!a! Ot#a u#,ana A#ea #u#a$ RESIDENCIA Mega 'iu!a! 0H 09 0) WACE  ANOS Ot#a u#,ana 09 0 09 A#ea #u#a$ 0) 09 0H A'tua$mente0 $a "o,$a'i.n se !ist#i,u1e "o# 'atego#(a !e $o'a$i!a! !e a'ue#!o 'on e$ siguiente +e'to# 7;: Mega 'iu!a! Ot#a u#,ana A#ea #u#a$ 0 0 0) Si se es"e#a que $a mat#i* !e t#ansi'i.n "e#mane*'a esta,$e 1 que e$ '#e'imiento natu#a$ !e $a "o,$a'i.n sea simi$a# en $as t#es 'atego#(as !e $o'a$i!a!es0 'u&$ se#& $a !ist#i,u'i.n !e $a "o,$a'i.n !ent#o !e ) a3os Se !emuest#a que e$ +e'to# que estamos ,us'an!o0 7 9o K xi0 x90 x; tiene $a "#o"ie!a! siguiente: IDECAP | Matemática aplicada a la economía

77 9 7 K 7njT 9 E$ "#o,$ema a #eso$+e#0 ,astante "esa!o0 es e$ '&$'u$o !e T 9 Una %o#ma !e #eso$+e#$o es a'e# \T;9]9 $o que no !e2a !e se# 'om"$i'a!o en +i#tu! que $os e$ementos !e T son n5me#os !e'ima$es Ot#a %o#ma !e #eso$+e#$o 'onsiste en !iagona$i*a# $a mat#i* T Sea Q $a mat#i* que !iagona$i*a T Enton'es: 6 K QTjTjQ0 es una mat#i* !iagona$ que tiene en $a !iagona$ "#in'i"a$ $os +a$o#es "#o"ios !e T si Q tiene en 'a!a 'o$umna un +e'to# "#o"io !e T no#ma$i*a!o 1 aso'ia!o a 'a!a +a$o# "#o"io Como se sa,e0 Q es una mat#i* o#togona$0 esto es: QT K Q•) Enton'es: 69 K QTjTjQ;9 K Qp)jTjQ;9 K Qp)jTjQ;jQp)jTjQ;jQp)jTjQ;jjQp)jTjQ; 1 a"$i'an!o $a "#o"ie!a! aso'iati+o !e$ "#o!u'to !e mat#i'es #esu$ta: 69 K Qp) jT;jQjQp) ;jTjQjQ•) ;jTj QjQp);jTjQ; 1 'omo QjQp) K I0 se !e!u'e 6 *u K QppjTUjQ 10 "o# tanto: T*u - Qj6UjQ `9 )jT9j -9 jD9j--) a  • pA9  N Es %&'i$ !emost#a# que si 6 K  A9  4 enton'es 69 -  A99  0     o9  1  1 9 Resu$ta enton'es que0 "a#a a$$a# T 0 a$'an*a 'on en'ont#a# $os +a$o#es "#o"ios !e T0 7_l0 790 70 1 e$$o #esue$+e e$ "#o,$ema 6 9; 1 $os +e'to#es "#o"ios no#ma$i*a!os aso'ia!os 1 e$$o "e#mite en'ont#a# $a mat#i* Q; 1 %ina$mente mu$ti"$i'a# Qj69jQT En nuest#o e2em"$o es T K 0H 09 0) que es una mat#i* sim/t#i'a Po# 09 0 09 +0$ 09 0H0 tanto0 to!os sus +a$o#es "#o"ios son n5me#os #ea$es La e'ua'i.n 'a#a'te#(sti'a es 7 0;j 79 - ) Aj7 d 0; que tiene "o# #a('es: )4 0 1 0 Pa#a 'a!a uno !e e$$os se 'a$'u$a un +e'to# "#o"io no#ma$i*a!o 1 #esu$tan: - Pa#a 7 K )0 e$ +e'to# "#o"io -8Kj  - Pa#a 7 K 00 e$ +e'to# "#o"io -HKj +9 - Pa#a 7 K 00 e$ +e'to# "#o"io j  +•$1 -9 +)4 Enton'es0 T9 K w( 1=9 7( # o -#    l= l9 . 1 n o o  09    09  _ 9  IDECAP | Matemática aplicada a la economía

78 -) l # AÓ -9 Ó  9 A 09 0 0) 0 0 0 0) 0 09 Fina$mente0 e$ +e'to# !e $a !ist#i,u'i.n !e $a "o,$a'i.n ) a3os !es"u/s #esu$ta igua$ a: 0 0 0);j 09 0 0) 0 0 0 0) 0 09 K 00 00 09G; Este #esu$ta!o sugie#e que $a "o,$a'i.n en e$ $a#go "$a*o tien!e a #e"a#ti#se en "a#tes igua$es en $as t#es 'atego#(as !e $o'a$i!a!es0 si se mantienen $os su"uestos 1 en "a#ti'u$a# $a esta,i$i!a! !e $a mat#i* !e t#ansi'i.n0 Se !emuest#a que e$ +e'to# 7 !e $a !ist#i,u'i.n en e$ $a#go "$a*o 'uan!o e$ n5me#o !e 'ensos se a'e tan g#an!e 'omo se quie#a; se o,tiene #eso$+ien!o $a e'ua'i.n: 7jT K 7 Esta e'ua'i.n +e'to#ia$ 'on!u'e a$ siguiente sistema $inea$ !e e'ua'iones: TT -H)    i Como en nuest#o 'aso T es sim/t#i'a0 T T - I K T - I La #eso$u'i.n !e$ sistema 'on!u'e a $a #a(*: )0 )0 );0 ta$ 'omo "o!(a intui#se O,s/#+ese que este #esu$ta!o es in!e"en!iente !e $a situa'i.n !e "a#ti!a 7;0 s.$o !e"en!e !e $a %o#ma !e $a mat#i* !e t#ansi'i.n Re"a#ti!o P#&'ti'o G: a$o#es 1 +e'to#es "#o"ios Diagona$i*a'i.n Fo#mas 'ua!#&ti'as E2e#'i'io ) T) Se #e'ue#!a que una mat#i* A es o#togona$ si A K Aj  Se "i!e: a; Demost#a# que si A es o#togona$0 enton'es Ap) tam,i/n $o es ,; Demost#a# que e$ "#o!u'to !e una mat#i* o#togona$ "o# su t#as"uesta es 'onmutati+o '; Demost#a# que si A 1 6 son mat#i'es o#togona$es0 enton'es e$ "#o!u'to A6 es tam,i/n una mat#i* o#togona$ !; Demost#a# que si $a mat#i* A es o#togona$0 enton'es: |K|ƒ)  E2e#'i'io 9 No#ma$i*a# $os siguientes +e'to#es: ux K ) 9 -); E2e#'i'io  a; La mat#i* Q K i op -9 -) es o#togona$ ,; No#ma$i*a# $os +e'to#es 'o$umna !e Q E2e#'i'io  Sea $a mat#i* A K ) -9) -9  u9 K % ] #n  v K



00 00 a; Wa$$a# sus +a$o#es "#o"ios


79 ,; Wa$$a# sus +e'to#es "#o"ios no#ma$i*a!os '; Wa$$a# una mat#i* Q ta$ que Q^AQ sea !iagona$ E2e#'i'io  En $os 'asos que siguen0 ex"$i'ita# $a mat#i* !e $a %o#ma 'ua!#&ti'a a; x9 d G19 ,; x9 d 19 d *9 '; 9x9 d x1-19


Economia empresarial - 1 (Reparado).docx

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