INGENIERIA ENERGIAS RENOVABLES
Calcul o Diere ncial Asignatura: Calculo Diferencial
Grupo: ER-ECDN-1602-B1-001
Docente: José Orozco Martínez
Alumno: Jhonat Jhonatan an l!arez "ar#as
Matricula: $12%0%60%
Actividad 3 Máximo y mínimos y grafca de una unción Unidad 4 Jhonatan Alvarez Alvarez Varga Vargas s 1
INGENIERIA ENERGIAS RENOVABLES Instrucciones:
Resuelve los siguientes problemas de máximos y mínimos, así como su representación gráfica de una función.
1.- Se desea inscribir un cilindro circular recto de volumen máximo dentro de un cono como lo muestra la siguiente figura:
allar las dimensiones de dic!o cilindro Solución 2
V = π ∙r ∙ h 2
π ∙r ∙
24 10
(
=( 10 −r )=24 π r − 2
r
3
10
)
V esuna funcion de r, la derivamose igualamos a 0 para calcular el maximo
(
'
V ( r ) =24 π 2 r −
2 r=
3r
3
10
)=
0
=0
10
20
2
2
20 r −3 r
r=
3r
2
=0
cm=6.666 cm
"a derivada segunda es
(
' '
V ( r )=24 π 2−
( )
' '
V
20 3
(
6r 10
=24 π 2 −
)
40 10
)=−
48 π
"uego es un máximo # la altura será:
Jhonatan Alvarez Vargas 2
h=
24 10
(
10−
20 3
INGENIERIA ENERGIAS RENOVABLES
)
=
12 10 5
∙
3
=8 cm
$ntonces las dimensiones del cilindro son: Radio: %.%%%cm <ura: 'cm.
f ( x )= x −3 x 2
(.- )ada la funcion
P0
de
y el punto
P0=( 5,−5 )
!allar el punto sobre la gráfica de
f ( x )
*ue esta más cerca
.
Solución
+"os puntos de la curva serán de la forma
( x , x 2−3 x )
luego su distancia al punto +, será:
√ ( x −5 ) + ( x −3 x +5 ) 2
2
2
ara !allar el máximo o mínimo de una raí/ cuadrada podemos *uitarla ya *ue donde sea mayor el radicando será mayor la raí/ y donde sea menor el radicando será menor la raí/. "uego calcularemos el mínimo de la distancia al cuadrado. 2
f ( x )=( x− 5 ) + ( x −3 x + 5 ) 2
2
f ( x )=2 x −10 + ( 2 x −6 x + 10 ) ( 2 x −3 ) =¿ '
2
2 x −10 + 4 x 4 x 2 x
3
3
3
−12 x 2+ 20 x − 6 x2 + 18 x −30 =¿
−18 x 2 + 40 x − 40=0
− 9 x 2 + 20 x −20 =0
0endremos *ue dividir el coeficiente entre el primero -(2(3-1 "os posibles son
{ 1,−1,2,−2,5,−5,10,−10 } ara x31 (454(-(3-6 ara x3-1 (-5-(-(3-1 ara x3(
Jhonatan Alvarez Vargas 3
INGENIERIA ENERGIAS RENOVABLES 1%-7%48-(3 "uego x3( es una raí/, vamos a ver si !ay otras, para ello dividiremos por la regla de Ruffini
9eamos si
2 x
2
−5 x + 10= 0
tiene soluciones.
2
D=b −4 ac =25 −80=−55 $s negativo, no !ay raíces reales, ( es la nica raí/. )erivada segunda
f ( x )=4 x −18 x + 40 x − 40 '
3
2
f ( x )=12 x −36 x + 40 ' '
2
f (2 )=48 −723 + 40 =16 ' '
$s mayor *ue el punto x3( es un minimo 2
;uando x3( entonces
y =2 − 3 ∙ 2=−2
$l punto mas cercano es +(, ( # la distancia es 2 2 √ (5 −2 ) + (−5 + 2 ) =√ 9 + 9 =3 √ 2
7.- allar dos nmeros cuya suma de cuadrados es igual a 1 y cuyo producto sea máximo. Solución
Sean
2
x + y =100 >aximi/amos
f ( x , y ) = xy $xpresar el producto como una funcion de una variable, despe?amos y en la primera ecuación. 2
2
x + y =100 2
2
y =100 − x
y =√ 100− x
2
Jhonatan Alvarez Vargas 4
INGENIERIA ENERGIAS RENOVABLES $ntonces el producto será:
f ( x )= x ∙ √ 100− x
2
;alculamos la variable e igualamos a para calcular el máximo
f ( x )=√ 100− x + x '
2
√ 100− x −
x
2
−2 x =0 2 2 √ 100 − x
2
√ 100 − x
2
=0
− x 2 =0 2 √ 100− x
100 − x
2
100−2 x 2 x
2
2
=0
=100
2
x =50 x =√ 50 y =√ 100− x = √ 100−50= √ 50 =5 √ 2 2
Su 9alor es Rai/ de (36.61
8.- $n un rio de (m de anc!o están ubicados dos puntos & y @ uno frente a otro y del mismo lado de @ !ay un tercer punto ; ubicado a m de tal forma *ue el segmento &@ es perpendicular a @;. Ana compaBía de energía elCctrica *uiere tender un cable desde & !asta ; parando por el punto ), como lo muestra la figura:
Jhonatan Alvarez Vargas 5
INGENIERIA ENERGIAS RENOVABLES
Si el costo por metro del cable ba?o tierra es 7D más barato *ue el cable ba?o el agua. E;ómo se debe tender el cable para *ue el costo sea mínimoF Solución
&@3( @;3 Sea x la distancia @) "os metros ba?o el agua serán
√ AB2 + BD 2=√ 2502+ x 2= √ 62500 + x 2 "os metros ba?o tierra será -x Si al metro ba?o agua le damos un precio de 1 , el metro ba?o tierra vale .6 "uego el costo total es
c ( x )=
x
√ 62500 + x 2
x
√ 62500 + x
2
−0.7= 0
=0.7
x =0.7 ∙ √ 62500 + x
2
$levamos al cuadrado 2
2
x =0.49 ( 62500 + x ) x =( 1−0.49 ) =30625 2
2
x =
30625 0.51
= 60049.01961
x =√ 60049.01961 =254.049 m "a respuesta es (8.85 no solo no tiene sentido sino *ue no es respuesta ya *ue no cumple la ecuación *ue !abía antes de elevar al
x =0.7 ∙ √ 62500 + x
2
cuadrado
ay un nico extremo relativo y tiene *ue ser minimo por *ue !ay puntos donde el costo se puede elevar tanto como *ueramos "uego el punto ) esta a (8.85m de @
Jhonatan Alvarez Vargas 6
INGENIERIA ENERGIAS RENOVABLES f ( x )= x − 4 x 3
.- Atili/ando el mCtodo presentado en esta unidad, grafica la curva Solución
"a función es un polinomio, luego está definido en todo R, es continua y no tiene asíntotas. 0iene simetría central por ser todos los tCrminos impares con lo cual
f (− x )=−f ( x )
"os cortes con el e?e G son 3
x −4 x =0 2
x ( x −4 )= 0 x =0,− 2 y 2 # el corte con el e?e # es
y =0
"a derivada primera es 2
f ' ( x )=3 x − 4 "os puntos críticos son 2
3 x
=4
2
4
x = x =
3
−2 √ 3
y
2
√ 3
"a derivada segunda es
f ' ' ( x )= 6 x
−2 $n
es f HH+x negativa. "uego es un máximo
√ 3 2
# en
√ 3
es f HH+x positiva, luego es un mínimo
$n
(−∞, −
$n
(
# en
−2
,
2
√ 3
2
√ 3 √ 3
(
2
√ 3
)
, ∞)
)
es f H+x positiva luego la función crece
por e?emplo en fH+ 3 -8 es negativa luego la función decrece
es positiva como lo prueba el !ec!o *ue el límite en
# la derivada segunda
f ' ' ( x )= 6 x
Jhonatan Alvarez Vargas
∞
es
∞
luego la función crece.
INGENIERIA ENERGIAS RENOVABLES (−∞ , 0 )
$s negativa en
(0, ∞)
$s positiva en
luego la función es cóncava !acia aba?o.
luego la función es cóncava !acia arriba.
# esta es la gráfica.
%.- Atili/ando el mCtodo presentado en esta unidad, grafica la curva
f ( x )= x − sen ( 2 x )
Solución
$s una función continua, tiene un corte con los e?es en el punto +, y los otros son difíciles de calcular. Io tiene asíntotas de ningn tipo. 9eamos los máximos, mínimos, /onas de crecimiento y decrecimiento, para ello la derivamos e igualamos a cero
f ' ( x )=1 −2cos ( 2 x )= 0 2cos ( 2 x )= 1 cos ( 2 x ) = 2 x =
x = $n
1 2
π 5 π 7 π 11 π , , , 3
3
3
3
π 5 π 7 π 11 π , , , 6
¿
6
6
6
f ' ( x )=1 − 2=−1
tomamos x3 entonces
π 5 π
$n
( ,
$n
(
6
6
)
5 π 7 π 6
,
6
tomamos
)
tomamos
x =
π 2
x = π
entonces
entonces
Jhonatan Alvarez Vargas !
luego f es decreciente
f ' ( x )=1 + 2 =3
luego f creciente
f ' ( x )=1 −2=−1
luego f decreciente
INGENIERIA ENERGIAS RENOVABLES 7 π 11 π
$n
(
$n
¿
,
6
6
)
tomamos
x =2 π
tomamos
x =
3 π
f ' ( x )=1 + 2
entonces
2
f ' ( x )=1 −2=−1
entonces
luego f creciente
luego f es decreciente
f ' ' ( x )= 4 sen ( 2 x ) 4 sen ( 2 x )=0
sen ( 2 x )=0 2 x =0, π , 2 π , 3 π
x =0,
π 2
,π ,
$n
¿
$n
( , π )
$n
( π , π )
$n
(
3 π 2
tenemos
f ' ' ( x )= 4 sen ( 2 x )> 0 l
π
f ' ' ( x )= 4 sen( 2 x )< 0
tenemos
2
uego f cóncava !acia arriba luego f cóncava !acia aba?o
3 2
3 π 2
( ( ( (
f ´ ´
f ´ ´ f ´ ´
f ´ ´
π 6
, π )
es cóncava !acia arriba
es cóncava !acia aba?o
)= )= )= )=
5 π 6
7 π 6
11 π 6
4 sen
( )> ( )< ( )> ( )< π
0 luego
3
4 sen
4 sen
4 sen
5 3
π
esmnimo
0 luego
3
3
6
0 luego
7 π
11
π
π
5 π 6 7 π 8
0 luego
esm!ximo es mnimo
11 6
π es m!ximo
# todos estos máximos, mínimos, crecimientos, decrecimientos y concavidades se repiten cada
Jhonatan Alvarez Vargas "
2 π
INGENIERIA ENERGIAS RENOVABLES f ( x )= x −4 x + 4 4
6.- Atili/ando el mCtodo presentado en esta unidad, grafica la curva
2
Solución
)erivando su primera derivada
f ´ ( x )= 4 x −8 x =4 x ( x − 2) 3
2
"uego su segunda derivada
f ´ ´ ( x )=12 x −8= 4 ( 3 x −2 ) 2
3
&plicando *ue
f ´ ( x )=0 " 4 x ( x −2 )= 0 2
$ntonces los nmeros críticos son
x =0, √ 2 , −√ 2
"os valores de la segunda derivada
f ´ ´ ( 0 ) =−8 < 0
$s un máximo local
f ´ ´ ( √ 2 )=16 < 0 f ´ ´ (−√ 2 )=16 < 0 $stos son mínimos locales $ntonces la gráfica es:
'.- Atili/ando el mCtodo presentado en esta unidad, grafica la curva
f ( x )=
x + 1 x −1
Solución
$s una función definida en todo R menos en x31. 0iene el corte con el e?e G en x3-1 # el corte con el e?e # en
y =
1
−1
=−1
0iene asíntota vertical en x 3 1 "a derivada es
f ´ ( x )=
( x −1− x −1 ) −2 = 2 ( x −1 ) ( x −1 )2
$s siempre negativa luego siempre es decreciente y no tiene máximos ni mínimos realtivos. "a derivada segunda es
Jhonatan Alvarez Vargas 1#
INGENIERIA ENERGIAS RENOVABLES f ´ ´ ( x )=2 ∙
2 ( x −1 )
4 ( x −1 )
( x −1 )
( x −1 )4
4
=
4 ( x −1 )=0
( x −1 )=0 x = 1 $n
(−∞, 1 )
$n
(1, ∞)
por e?emplo
por e?emplo
x =0 =¿> f ' ' ( 0 )=−4
x =2=¿ > f ' ' ( 0 )=4
es cóncava !acia arriba.
Jhonatan Alvarez Vargas 11
es cóncava !acia aba?o
