Sexta edición
PEARSON
Prentice HaU
R. C. Hibbeler
MECÁNICA DE MATERIALES S E X T A
E D I C I Ó N
R. C. Hibbeler TRADUCCIÓN José de la Cera Alonso Profesor Titular, U niversidad A utónom a M etropolitana
Virgilio González y Pozo F acultad de Q uím ica, U niversidad N acional A utónom a de M éxico REVISIÓN TÉCNICA Alex Elias Zuñiga Ingenierio Industrial Mecánico Instituto Tecnológico de Pachuca Maestría en Ingeniería Mecánica Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey Campus Monterrey Doctorado de Ingeniería Mecánica University o f Nebraska, Lincoln, EUA Miembro del Sistema Nacional de Investigadores - SNI Director de lngene ría Mecánica Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey Campus Monterrey
PEARSON ® México • Argentina • Brasil • Colombia • Costa Rica • Chile • Ecuador España • Guatemala • Panamá • Perú • Puerto Rico • Uruguay »Venezuela
/ Datos de catalogación bibliográfica
R. C . Hibbeler Mecánica de materiales
PEARSON EDUCACIÓN, México, 2006 ISBN: 970-26-0654-3 Form ato: 20 X 25.5 cm
Páginas: 896
A uthorized translation from the English language edition entitled, Mechanics o f Materials, by R. C, H ibbeler, publi shed by Pearson E ducation, Inc., publishing as P R E N T IC E H A L L , INC., Copyright © 2004. All rights reserved. ISBN 0-13-191345 X Traducción autorizada de la edición en idiom a inglés, titulada M echanics o f Materials, por R. C. H ibbeler, publica da por Pearson E ducation, Inc., publicada com o P R E N T IC E H A L L , INC., C opyright © 2004. Todos los derechos reservados. E sta edición en español es la única autorizada. Edición en español: Editor: Supervisor de desarrollo: Supervisor de producción:
Pablo Miguel Guerrero Rosas e-mail:
[email protected] Esthela González Guerrero Enrique Trejo Hernández
SEXTA EDICIÓN, 2006 D.R. © 2006 por Pearson Educación de México, S.A. de C.V. Atlacomulco 500, 5o. piso Col. Industrial Atoto 53519, Naucalpan de Juárez, Edo. de México Email:
[email protected] Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Núm. 1031. Prentice-Hall es una marca registrada de Pearson Educación de México, S.A. de C.V. Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicación pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperación de información, en ninguna forma ni por ningún medio, sea electrónico, mecánico, fotoquímico, magnético o electroóptico, por fotocopia, grabación o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor. El préstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesión de uso de este ejemplar requerirá también la autorización del editor o de sus representantes. ISBN 970-26-0654-3 Impreso en México/Printed in México. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 08 07 06
PEARSON ®
AL ESTUDIANTE Con el deseo de que esta obra estim ulará el interés en la ingeniería m ecánica y servirá com o una guía aceptable para su com presión.
P R E F A C I O
El propósito principal de este libro es p ro porcionar al lector una p resen tación clara y minuciosa de la teoría y aplicaciones de la ingeniería m ecá nica; p ara esto se basa en la explicación del com portam iento físico de los m ateriales som etidos a carga a fin de realizar un m odelo de este com por tam iento que sea a su vez, el m odelo de la teoría. Se hace énfasis en la im portancia de satisfacer los requisitos del equilibrio, de la com patibilidad de la deform ación y del com portam iento del m aterial.
Características del texto Las siguientes son las características más im portantes del texto. •
Las secciones “Procedim iento de análisis”, “Puntos im portantes” y “R epaso del capítulo” proporcionan una guía para la resolución de problem as y un resum en de los conceptos.
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Se utilizan num erosas fotografías a lo largo del libro para explicar cóm o se aplican los principios de la m ecánica de m a teriales a situaciones del m undo real. En algunas secciones, se m ues tran cóm o los m ateriales se deform an o fallan bajo carga para así proporcionar un entendim iento conceptual de los térm inos y con ceptos.
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Los problem as propuestos son de aplicación fácil, m e dia y difícil. A lgunos de ellos requieren de una solución, con ayuda de la com putadora. Se ha puesto un cuidado especial en la p resen tación y en sus soluciones, éstas han sido revisadas en su totalidad para garantizar su claridad y exactitud num érica.
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Ilustraciones. E n varias partes del libro se han agregado figuras y fotografías que proporcionan una clara referencia a la naturaleza tridim ensional de la ingeniería. H em os tratad o de ilustrar concep tos complicados o abstractos para instruir y poder motivar a los lecto res a través de lo visual.
Resúmenes.
Fotografías.
Problemas.
Contenido El libro está dividido en 14 capítulos. El capítulo 1 com ienza con un rep a so de los conceptos im portantes de la estática, seguido por definiciones form ales de los esfuerzos norm ales y cortantes, así como p o r un análisis del esfuerzo normal en m iem bros cargados axialm ente y del esfuerzo cor tante prom edio causado po r el cortante directo. E n el capítulo 2 se definen la deform ación unitaria norm al y cortante, y en el capítulo 3 se presenta una descripción de algunas de las p ro p ied a des m ecánicas de los m ateriales. Los capítulos 4 ,5 y 6 contienen, respec tivam ente, explicaciones de la carga axial, la torsión y la flexión. E n cada uno de esos capítulos se considera el com portam iento tanto lineal-elásti-
v iii
•
P r e f a c io
co com o plástico. También se incluyen tem as relacionados con concentra ciones de esfuerzo y esfuerzo residual. El cortante transversal se descri be en el capítulo 7, ju n to con una descripción de los tubos con pared del gada, flujo de cortante y del centro de cortante. El capítulo 8 m uestra un repaso parcial del m aterial presentado en los capítulos anteriores, y se des cribe el estado de esfuerzos causados por cargas combinadas. E n el capí tulo 9 se presentan los conceptos de transform ación de estados de esfuer zo multiaxial. En form a parecida, el capítulo 10 describe los m étodos de transform ación de deform ación unitaria, que incluyen la aplicación de va rias teorías de la falla. El capítulo 11 es un resum en y repaso más del m a terial anterior, describiendo aplicaciones al diseño de vigas y ejes. En el capítulo 12 se cubren varios métodos para calcular deflexiones de vigas y ejes. También se incluye una descripción del cálculo de las reacciones en esos miembros, cuando son estáticam ente indeterm inados. E l capítulo 13 presenta una descripción del pandeo en columnas y, por último, en el ca pítulo 14 se reseñan el problem a del im pacto y la aplicación de varios m é todos de energía para calcular deflexiones. Las secciones del libro que contienen m aterial más avanzado se identi fican con un asterisco (*). Si el tiem po lo perm ite, se pueden incluir algu nos de esos tem as en el curso. A dem ás, este m aterial es una referencia adecuada de los principios básicos,, cuando se usen en otros cursos, y se puede usar como base p ara asignar proyectos especiales.
Método alternativo . A lgunos profesores prefieren tratar prim ero las transform aciones de esfuerzos y deform aciones unitarias, antes de estu diar las aplicaciones específicas de la carga axial, la torsión, la flexión, y la fuerza cortante. U na m anera posible para hacerlo así es tratar prim ero el esfuerzo y sus transform aciones que se ven en los capítulos 1 y 9, seguido por la deform ación unitaria y sus transform aciones que se ven en el capí tulo 2 y en la prim era p a rte del capítulo 10. El análisis y problem as de ejemplo en estos capítulos se han form ulado para hacer esto posible. A de más, los conjuntos de problem as se han subdividido de m anera que este m aterial pueda ser cubierto sin un conocim iento previo de los capítulos intermedios. Los capítulos 3 al 8 pueden ser entonces estudiados sin p ér dida de continuidad.
Características especiales Organización y enfoque. El contenido de cada capítulo está orga nizado en secciones bien definidas que contienen una explicación de temas específicos, problem as de ejem plo ilustrativos y un conjunto de proble mas de tarea. Los tem as de cada sección están agrupados en subgrupos definidos por títulos. El propósito de esto es presentar un m étodo es tructurado para introducir cada nueva definición o concepto y hacer el libro conveniente para referencias y repasos posteriores. Contenido de los capítulos. Cada capítulo comienza con una ilustra ción que m uestra una aplicación del m aterial del capítulo. Se proporcio nan luego los “O bjetivos del capítulo” que proporcionan una vista gene ral del tem a que será tratado.
P r efa cio
Procedim ientos de análisis. Se presenta al final de varias secciones del libro con el objetivo de dar al lector una revisión o resum en del m a terial, así com o un m étodo lógico y o rdenado a seguir en el m om ento de aplicar la teoría. Los ejem plos se resuelven con el m étodo antes descrito a fin de clarificar su aplicación num érica. Sin em bargo, se entiende que una vez que se tiene dom inio de los principios relevantes y que se ha ob tenido el juicio y la confianza suficientes, el estudiante podrá desarrollar sus propios procedim ientos p ara resolver problem as. Fotografías. Se utilizan num erosas fotografías a lo largo de todo el li bro p ara explicar cóm o se aplican los principios de la mecánica a situacio nes del m undo real. Puntos im portantes. A q u í se proporciona un repaso o resum en de los conceptos fundam entales de una sección y se recalcan los tem as m e dulares que deban tom arse en cuenta al aplicar la teoría en la solución de problem as. Entendim iento conceptual. Por m edio de fotografías situadas a lo largo de todo el libro, se aplica la teoría de una m anera simplificada a fin de ilustrar algunas de las características conceptuales más im p o rtan tes que aclaran el significado físico de m uchos de los térm inos usados en las ecuaciones. Estas aplicaciones simplificadas increm entan el interés en el tem a y preparan m ejor al lector para en ten d er los ejem plos y a resolver los problem as. Problemas de tarea. M últiples problem as de este libro m uestran si tuaciones reales encontradas en la práctica de la ingeniería. Se espera que este realism o estim ule el interés p o r la ingeniería m ecánica y p roporcio ne la habilidad de reducir cualquiera de tales problem as desde su descrip ción física hasta el m odelo o representación sim bólica sobre los cuales se aplican los principios de la m ecánica. A lo largo del texto existe aproxi m adam ente igual núm ero de problem as que utilizan tanto las unidades SI com o las FPS. A dem ás, en cada conjunto de problem as se ha in ten ta do presentar éstos de acuerdo con el grado de dificultad en form a crecien te. Las respuestas a todos los problem as, excepto cada cuatro, se encuen tran listados al final del libro. P ara advertir al lector de un problem a cuya solución no aparezca en la lista m encionada, se ha colocado un asterisco (*) antes del núm ero del problem a. Las respuestas están dadas con tres cifras significativas, aún cuando los datos de las propiedades del m aterial se conozcan con una m enor exactitud. Todos los problem as y sus solucio nes se han revisado tres veces. U n sím bolo “c u ad ra d o ” (■) se usa para identificar problem as que requieren de un análisis num érico o una apli cación de com putadora. Repaso del capítulo. Los puntos clave del capítulo resum en en las nuevas secciones de repaso, a m enudo en listas con viñetas. Apéndices. C ontienen tem as de repaso y listas de datos tabulados. El apéndice A proporcio n a inform ación sobre centroides y m om entos de inercia de áreas. Los apéndices B y C contienen datos tabulados de p e r files estructurales y la deflexión y la pendiente de varios tipos de vigas y
•
ix
x
• P refacio
flechas. El apéndice D, llam ado “R epaso para el exam en de fundam entos de ingeniería”, contiene problem as típicos ju n to con sus soluciones p ar ciales com únm ente usados en exám enes de ingenieros profesionales. Estos problem as tam bién pueden usarse como práctica y repaso en la p repara ción de exám enes de clase.
Revisión de la exactitud. E sta nueva edición ha sido som etida a un riguroso escrutinio para garantizar la precisión del texto y de las páginas a las que se hace referencia. A dem ás de la revisión del autor de todas las figuras y m aterial de texto, Scott H endricks del Instituto Politécnico de Virginia y Kurt Norlin de los Servicios Técnicos Laurel, exam inaron to das las páginas de prueba así como todo el m anual de soluciones. Suplem entos •
El autor preparó este m a nual cuya exactitud, tal como el texto del libro, fue verificada en tres ocasiones. Manual de soluciones para el profesor.
Course compass es una solución en línea ideal para ayudarle a dirigir su clase y a p rep arar conferencias, cuestio narios y exámenes. Con el uso de course compass, los profesores tienen un rápido acceso a los suplem entos electrónicos que le perm i ten incluir ilustraciones com pletas e im ágenes para sus presentacio nes en PowerPoint. Course compass hace accesibles las soluciones electrónicas (por seguridad en archivos individuales), y ayuda a ex hibir sólo las soluciones que usted elige en el sitio Web. Por favor no difunda estas respuestas en niguna dirección electrónica no pro tegida.
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Reconocimientos A lo largo de los años este texto ha incorporado muchas de las sugeren cias y com entarios de mis colegas en la profesión docente. Su estím ulo y buenos deseos de proporcionar una crítica constructiva son muy aprecia dos y espero que acepten este reconocim iento anónimo. Mi agradecimien to se extiende tam bién a los revisores de las varias ediciones previas. B. Aalami, San Francisco State University R. Alvarez, Hofstra University C. A m m erm an, Colorado School o f Mines S. Biggers, Clemson University R. Case, Florida Atlantic University R. Cook, University o fW isconsin— M adison J. Easley, University o fK a n sa s A. G ilat, Ohio State University I. Elishakoff, Florida Atlantic University H. Huntley, University o f M ichigan— Dearborn
J. Kayser, Lafayette College J. Ligon, Michigan Technological University A. Marcus, University o f R hode Island G. May, University o f N ew M exico D. Oglesby, University o f M issouri— Rolla D. Q uesnel, University o f Rochester S. Schiff, Clemson University C. Tsai, Florida Atlantic University P. Kwon, Michigan State University C. Lissenden, Penn State University D. Liu, Michigan State University T. W. Wu, The University o f Kentucky J. H ashem i, Texas Tech University A. Pelegri, Rutgers— The State University o f N ew Jersey W. Liddel, A uburn University at M ontgom ery Q uisiera dar las gracias particularm ente a Scott H endricks del Instituto Politécnico de Virginia quien revisó m inuciosam ente el texto y el m anual de soluciones de este libro. Tam bién hago extensiva mi gratitud a todos mis alum nos que han usado la edición previa y han hechos com entarios para m ejorar su contenido. Por últim o quisiera agradecer la ayuda de mi esposa, Cornelie (Conny) durante todo el tiem po que m e ha tom ado p rep arar el m anuscrito para su publicación. A preciaría mucho si usted en cualquier m om ento tiene com entarios o sugerencias respecto al contenido de esta edición. Russell Charles Hibbeler hibbeler@ bellsouth.net
C O N T E N I D O
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6
1
3
Esfuerzo 3
Propiedades mecánicas de los materiales 85
Introducción 3 Equilibrio de un cuerpo deform able 4 Esfuerzo 22 Esfuerzo normal promedio en una barra cargada axialmente 24 Esfuerzo cortante prom edio 32 Esfuerzo perm isible 49
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7
Pruebas de tensión y com presión 85 El diagram a de esfuerzo-deform ación unitaria 87 C om portam iento esfuerzo-deform ación unitaria de m ateriales dúctiles y frágiles 91 Ley de H ooke 94 E nergía de deform ación 96 R elación de Poisson 107 El diagram a de esfuerzo-deform ación unitaria en cortante 109
*3.8 F alla d e m a te r ia le s p o r flu jo p lá s tic o y p o r fa tig a 112
4
2
Carga axial 121
Deformación unitaria 69 2.1 2.2
D eform ación 69 D eform ación unitaria
4.1 4.2 70
Principio de Saint-V enant 121 D eform ación elástica de un m iem bro cargado axialm ente 124
x iv
•
C o n t e n id o
Principio de superposición 138 M iem bro estáticam ente indeterm inado cargado axialm ente 139 4.5 M étodo de las fuerzas p ara el análisis de m iem bros cargados axialm ente 145 4.6 Esfuerzo térm ico 154 4.7 C oncentraciones de esfuerzos 162 *4.8 D eform ación axial inelástica 168 *4.9 Esfuerzo residual 173
4.3 4.4
6.4 6.5 *6.6 *6.7 *6.8 6.9 *6.10 *6.11
La fórm ula de la flexión 295 Flexión asim étrica 313 Vigas com puestas 324 Vigas de concreto reforzado 331 Vigas curvas 333 C oncentraciones de esfuerzos 343 Flexión inelástica 352 Esfuerzo residual 361
5 Torsión 185 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 *5.6 *5.7 5.8 *5.9 *5.10
D eform aciones p o r torsión de una flecha circular 185 La fórm ula de la torsión 188 Transm isión de potencia 197 Á ngulo de torsión 206 M iem bros estáticam ente indeterm inados cargados con pares de torsión 221 Flechas sólidas no circulares 228 Tubos de pared delgada con secciones transversales cerradas 231 C oncentración de esfuerzos 242 Torsión inelástica 245 Esfuerzo residual 252
7 Esfuerzo cortante transversal 373 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5
Esfuerzo cortante en m iem bros rectos 373 La fórm ula del esfuerzo cortante 375 Esfuerzos cortantes en vigas 378 Flujo cortante en m iem bros com puestos 392 Flujo cortante en m iem bros de pared delgada 401 *7.6 C entro de co rtan te 406
6 Flexión 263 6.1 6.2
6.3
D iagram as de fuerza cortante y m om ento flexionante 263 M étodo gráfico para construir diagram as de fuerza cortante y m om ento flexionante 272 D eform ación p o r flexión de un m iem bro recto 291
8 Cargas combinadas 423 8.1 8.2
R ecipientes de presión de pared delgada 423 Estado de esfuerzo causado por cargas combinadas 429
C o n ten ido
9
9.3 9.4 9.5 9.6 9.7
Transform ación del esfuerzo plano 453 Ecuaciones generales de la transformación de esfuerzo plano 458 Esfuerzos principales y esfuerzo cortante máxim o en el plano 462 El círculo de M ohr (esfuerzo plano) 476 Esfuerzos en ejes, debidos a carga axial y a torsión 485 Variaciones de esfuerzos a través de una viga prismática 486 Esfuerzo cortante máxim o absoluto 492
xv
i i
Transformación de esfuerzo 453 9.1 9.2
•
Diseño de vigas y ejes 557 11.1 11.2 *11.3 *11.4
Base para el diseño de vigas 557 D iseño de vigas prism áticas 559 Vigas totalm ente esforzadas 573 D iseño de ejes 577
12 Deflexión de vigas y ejes 587
10 Transformación de deformación unitaria 505 10.1 D eform ación unitaria plana 505 10.2 Ecuaciones generales de transform ación de deform ación unitaria plana 507 *10.3 Círculo de M ohr (deform ación unitaria plana) 514 *10.4 D eform ación unitaria cortante m áxim a absoluta 522 10.5 R osetas de deform ación 525 10.6 Relaciones de propiedades de los m ateriales 530 *10.7 Teorías de la falla 542
12.1 La curva elástica 587 12.2 P endiente y desplazam iento por integración 591 *12.3 Funciones de discontinuidad 609 *12.4 P endiente y desplazam iento p o r el m étodo del m om ento de área 620 12.5 M étodo de superposición 634 12.6 Vigas y ejes estáticamente indeterm inados 641 12.7 Vigas y ejes estáticam ente indeterm inados (m étodo de integración) 642 *12-8 Vigas y ejes estáticam ente indeterm inados (m étodo del m om ento de área) 647 12.9 Vigas y ejes estáticam ente indeterm inados (m étodo de la superposición) 653
xvi
•
C o n t en id o
Apéndices
13 Pandeo de columnas 669 13.1 13.2 13.3 *13.4 *13.5 *13.6
Carga crítica 669 Columna ideal con soportes articulados 672 Columnas con diversos tipos de apoyos 678 La fórmula de la secante 689 Pandeo inelástico 697 Diseño de columnas para carga concéntrica 704 *13.7 Diseño de columnas por carga excéntrica 716
A. A .l A.2 A.3 A.4
Propiedades geométricas de un área 798 Centroide de un área 798 Momento de inercia de un área 801 Producto de inercia de un área 805 Momentos de inercia de un área respecto a ejes inclinados 807 A.5 El círculo de Mohr para momentos de inercia 809 B. Propiedades geométricas de los perfiles estructurales 815 C.
P en d ien tes y deflexiones en vigas
D.
Repaso para el examen de fundamentos de ingeniería 825
Respuestas 845 índice 863
14 Métodos de energía 727 14.1 Trabajo externo y energía de deformación 727 14.2 Energía de deformación elástica para varias clases de carga 732 14.3 Conservación de la energía 746 14.4 Carga de impacto 752 *14.5 Principio del trabajo virtual 762 *14.6 Método de las fuerzas virtuales aplicado a armaduras 766 *14.7 Método de las fuerzas virtuales aplicado a vigas 774 *14.8 Teorema de Castigliano 784 *14.9 Teorema de Castigliano aplicado a armaduras 786 *14.10 El teorema de Castigliano aplicado a vigas 790
823
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C A P I T U L O
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OBJETIVOS DEL CAPÍTULO
E n este capítulo repasarem os algunos principios im portantes de la estática y m os trarem os cóm o se usan para determ inar las cargas internas resultantes en un cuer po. D espués, presentarem os los conceptos de esfuerzo norm al y esfuerzo cortan te y se estudiarán las aplicaciones específicas del análisis y diseño de los m iem bros som etidos a una carga axial o a un cortante directo. — -
1.1
>
Introducción
La mecánica de m ateriales es una ram a de la m ecánica que estudia las relaciones entre las cargas externas aplicadas a un cuerpo deform able y la intensidad de las fuerza internas que actúan d en tro del cuerpo. E sta dis ciplina de estudio implica tam bién calcular las deformaciones del cuerpo y proveer un estudio de la estabilidad del mism o cuando está som etido a fuerzas externas. En el diseño de cualquier estructura o m áquina, es necesario prim ero , usar los principios de la estática para determ in ar las fuerzas que actúan sobre y dentro de los diversos m iem bros. El tam año de los miembros, sus deflexiones y su estabilidad dependen no sólo de las cargas internas, sino tam bién del tipo de m aterial de que están hechos. En consecuencia, una determ inación precisa y una com presión básica del com portam iento del material será de im portancia vital para d esarrollar las ecuaciones nece sarias usadas en la m ecánica de m ateriales. D ebe ser claro que m uchas fórm ulas y reglas de diseño, tal com o se definen en los códigos de inge niería y usadas en la práctica, se basan en los fundam entos de la m ecáni ca de m ateriales, y por esta razón es tan im portante entender los princi pios de esta disciplina.
3
4 • CAPÍTULO 1 Esfuerzo
Desarrollo histórico. El origen de la m ecánica de m ateriales data de principios del siglo x v i i , cuando G alileo llevó a cabo experim entos para estudiar los efectos de las cargas en barras y vigas hechas de diversos m a teriales. Sin em bargo, para alcanzar un entendim iento apropiado de tales efectos fue necesario establecer descripciones experim entales precisas de las propiedades mecánicas de un m aterial. Los m étodos para hacer esto fueron considerablem ente m ejorados a principios del siglo xvm . E n aquel tiem po el estudio tanto experim ental com o teórico de esta m ateria fue em prendido, principalm ente en Francia, p or personalidades com o SaintV enant, Poisson, Lam é y Navier. D ebido a que sus investigaciones se ba saron en aplicaciones de la m ecánica a los cuerpos m ateriales, llam aron a este estudio “resistencia de m ateriales”. Sin embargo, hoy en día llamamos a lo mism o “m ecánica de los cuerpos deform ables” o sim plem ente, “m e cánica de m ateriales”. E n el curso de los años, y después de que muchos de los problem as fun dam entales de la m ecánica de m ateriales han sido resueltos, fue necesa rio usar m atem áticas avanzadas y técnicas de com putación para resolver problem as más complejos. Como resultado, esta disciplina se extendió a otras áreas de la m ecánica m oderna com o la teoría de la elasticidad y la teoría de la plasticidad. La investigación en estos cam pos continúa, no só lo p ara satisfacer las dem andas de solución a problem as de ingeniería de vanguardia, sino tam bién para justificar más el uso y las limitaciones en que se basa la teoría fundam ental de la m ecánica de materiales.
1.2
Equilibrio de un cuerpo deformable D eb id o a que la estática juega un papel esencial tan to en el desarrollo com o en la aplicación de la m ecánica de m ateriales, es muy im portante te n e r un buen conocim iento de sus principios fundam entales. Por esta ra zón repasarem os algunos de esos principios que serán usados a lo largo del texto.
Idealización de una fuerza
U n cuerpo p u ed e estar som etido a diversos tipos de cargas externas; sin em bargo, cualquiera de éstas puede clasificarse co mo fuerza de superficie o com o fuerza de cuerpo. Vea la figura 1-1. C a rg a s e x t e r n a s .
Fuerza de superficie
Idealización de una carga lincalmcnte distribuida Fig. 1-1
Fuerza de cuerpo
Fuerzas de superficie. Com o su nom bre lo indica, las fu erzas de super fic ie son causadas por el contacto directo de un cuerpo con la superficie de otro. E n todos los casos, esas fuerzas están distribuidas sobre el área de contacto entre los cuerpos. En particular si esta área es pequeña en com paración con el área total del cuerpo, entonces la fuerza superficial puede idealizarse com o una sola fu erza concentrada, que es aplicada a un p u n to sobre el cuerpo. Por ejemplo, esto podría hacerse para representar el efecto del suelo sobre las ruedas de una bicicleta al estudiar la carga so b re ésta. Si la carga superficial es aplicada a lo largo de un área estrecha, la carga puede idealizarse com o una carga linealm ente distribu ida, w(s). A q u í la carga se mide com o si tuviese una intensidad de fuerza/longitud a lo largo del área y se representa gráficam ente por una serie de flechas a lo largo de la línea s. L a fu erza resultante FR de m>(s) es equivalente a l área bajo la curva de carga distribuida, y esta resultante actúa a través d el centroide C o centro geom étrico de esta área. La carga a lo largo de la longitud de una viga es un ejem plo típico en el que es aplicada a m enu do esta idealización.
S e c c ió n
1.2 Equilibrio de un cuerpo deformable
• 5
F u e rz a de cuerpo. U na fu erza de cuerpo se desarrolla cuando un cuer po ejerce una fuerza sobre o tro cuerpo sin contacto físico directo entre los cuerpos. Ejem plos de esto incluyen los efectos causados p o r la gravi tación de la Tierra o por su cam po electrom agnético. A unque las fuerzas de cuerpo afectan cada una de las partículas que form an el cuerpo, esas fuerzas se representan norm alm ente po r una sola fuerza concentrada ac tuando sobre el cuerpo. E n el caso de la gravitación, esta fuerza se llama el peso del cuerpo y actúa a través del centro de gravedad del mismo.
Reacciones en los soportes. Las fuerzas de superficie que se desarro llan en los soportes o puntos de contacto en tre cuerpos se llam an reaccio nes. E n problem as bidim ensionales, es decir, en cuerpos som etidos a sis tem as de fuerzas coplanares, los soportes m ás com únm ente encontrados se m uestran en la tabla 1-1. O bserve cuidadosam ente el sím bolo usado para rep resen tar cada so p o rte y el tipo de reacciones que ejerce en su m iem bro asociado. E n general, siem pre pu ed e d eterm in arse el tipo de reacción de soporte im aginando que el m iem bro unido a él se traslada o gira en una dirección particular. S i el soporte im pide la traslación en una dirección dada, entonces una fu erza debe desarrollarse sobre el m iem bro en esa dirección. Igualm ente, si se im pide una rotación, debe ejer cerse un m om ento sobre el m iem bro. Por ejemplo, un soporte de rodillo sólo puede im pedir la traslación en la dirección del contacto, perpendicu lar o norm al a la superficie. Por consiguiente, el rodillo ejerce una fuerza norm al F sobre el m iem bro en el pu n to de contacto. Como el m iem bro puede girar librem ente respecto al rodillo, no puede desarrollarse un m o m ento sobre el miembro.
Muchos elementos de máquinas son conec tados por pasadores para permitir la rota ción libre en sus conexiones. Esos soportes ejercen una fuerza sobre un miembro, pero no un momento.
T A B L A 1-1 Tipo de conexión
Reacción
Tipo de conexión
Reacción
Ecuaciones de equilibrio. E l equilibrio de un m iem bro requiere un balance de fuerzas para im pedir que el cuerpo se traslade o tenga m ovi m iento acelerado a lo largo de una trayectoria recta o curva, y un balance de m om entos para im pedir que el cuerpo gire. Estas condiciones pueden expresarse m atem áticam ente con las dos ecuaciones vectoriales:
2F = 0 2M 0 = 0
A quí, X F representa la suma de todas las fuerzas que actúan sobre el cuer po y 2 M q es la sum a de los m om entos de todas las fuerzas respecto a cualquier punto O sobre o fuera del cuerpo. Si se fija un sistem a coorde nado x , y , z con el origen en el punto O, los vectores fuerza y m om ento pueden resolverse en com ponentes a lo largo de los ejes coordenados y las dos ecuaciones an terio res p u ed en escribirse en form a escalar com o seis ecuaciones, que son:
2Fv = 0 2M , = 0
2Fy = 0 2My = 0
= 0 ■LMZ = 0
( 1-2 )
A m enudo, en la práctica de la ingeniería la carga sobre un cuerpo p u e de representarse com o un sistem a de fuerzas coplanares. Si es éste el ca so y las fuerzas se encuentran en el plano x -y, entonces las condiciones para el equilibrio del cuerpo pueden especificarse por medio de sólo tres ecuaciones escalares de equilibrio; éstas son:
2 F V= 0 2Fy = 0
(1-3)
= 0
E n este caso, si el p u n to O es el origen de coordenadas, entonces los m o m entos estarán siem pre dirigidos a lo largo del eje z, que es perpendicu lar al plano que contiene las fuerzas. La correcta aplicación de las ecuaciones de equilibrio requiere la espe cificación com pleta de todas las fuerzas conocidas y desconocidas que ac túan sobre el cuerpo. L a m ejor manera de tom ar en cuenta esas fu erzas es dibujando el diagram a de cuerpo libre del cuerpo. Es obvio que si el diagram a de cuerpo libre está dibujado correctam ente, los efectos de to das las fuerzas y m om entos aplicados serán tom ados en cuenta cuando se escriban las ecuaciones de equilibrio.
S e c c ió n
1.2 Equilibrio de un cuerpo deformable
(a) Fig. 1-2
Cargas internas resultantes. U na de las aplicaciones más im portan tes de la estática en el análisis de problem as de la mecánica de m ateria les es poder determ inar la fuerza y m om ento resultantes que actúan d en tro de un cuerpo y q u e son necesarias p ara m a n ten er unido al c u e rp o ’ cu an d o éste está so m etid o a cargas ex tern as. P or ejem plo, co n sid ere el cuerpo m ostrado en la figura 1-2a, que es m antenido en equilibrio por las cuatro fuerzas externas.* Para o b ten er las cargas internas que actúan sobre una región específica d en tro del cuerpo es necesario usar el m éto do de las secciones. E sto requiere hacer una sección im aginaria o “co rte” a través de la región donde van a determ inarse las cargas internas. Las dos partes del cuerpo son separadas y se dibuja un diagram a de cuerpo libre de una de las partes, figura l-2£>. Puede verse aquí que existe realm ente una distribución de la fuerza interna que actúa sobre el área “expuesta” de la sección. Esas fuerzas rep resen tan los efectos del m aterial de la p a r te superior del cuerpo actuando sobre el m aterial adyacente de la parte inferior. A unque la distribución exacta de la carga interna puede ser des conocida, podem os usar las ecuaciones de equilibrio para relacionar las fuerzas externas sobre el cuerpo con la fuerza y m om ento resultantes de la distribución , F R y M r q , en cualquier p u n to específico O sobre el área seccionada, figura l-2c. Al hacerlo así, note que actúa a través del p u n to O , aunque su valor calculado no d ep en d e de la localización de este punto. Por otra parte, M Ro, sí depende de esta localización, ya que los b ra zos de mom ento deben extenderse de O a la línea de acción de cada fuerza externa sobre el diagram a de cuerpo libre. Se m ostrará en partes p o ste riores del texto que el punto O suele escogerse en el centroide del área seccionada, y así lo considerarem os aquí a m enos que se indique o tra cosa. A dem ás, si un m iem bro es largo y delgado, com o en el caso de una barra o una viga, la sección p o r considerarse se tom a generalm ente perpendicu lar al eje longitudinal del miembro. A esta sección se le llama sección trans versal.
*E1 peso del cuerpo no se muestra, ya que se supone que es muy pequeño y, por tanto, despreciable en comparación con las otras cargas.
• 7
Momento de torsión Fuerza normal
Fuerza cortante Momento flexionante
(C)
(d) Fig. 1-2 (cont.)
Tres dim ensiones. V erem os después en este texto cóm o relacionar las cargas resultantes. y M /^ , con la distribución de fuerza sobre el área sec cionada y desarrollarem os ecuaciones que puedan usarse para el análisis y diseño del cuerpo. Sin em bargo, para hacer esto deben considerarse las com ponentes de F^ y M r0>actuando norm al o perpendicularm ente al área seccionada y dentro del plano del área, figura 1-2d. C uatro tipos diferen tes de cargas resultantes pueden entonces definirse com o sigue: F uerza norm al, N. E sta fuerza actúa perpendicularm ente al área. Ésta se desarrolla siem pre que las fuerzas externas tienden a em pujar o a jalar sobre los dos segm entos del cuerpo. Fuerza cortante, V. La fuerza cortante reside en el plano del área y se desarrolla cuando las cargas externas tienden a ocasionar que los dos seg m entos del cuerpo resbalen uno sobre el otro. M om ento to rsionante o torca, T. E ste efecto se desarrolla cuando las cargas externas tienden a torcer un segm ento del cuerpo con respecto al otro. M om ento flexionante, M. El m om ento flexionante es causado por las cargas externas que tienden a flexionar el cuerpo respecto a un eje que se encuentra d en tro del plano del área. E n este texto, advierta que la representación de un m om ento o una to r ca se m uestra en tres dim ensiones com o un vector con una flecha curva asociada. Por la regla de la m ano derecha, el pulgar da el sentido de la fle cha del vector y los dedos recogidos indican la tendencia de rotación (to r sión o flexión). U sando un sistem a coordenado x,y , z , cada una de las car gas anteriores puede ser determ inada directam ente de las seis ecuaciones de equilibrio aplicadas a cualquier segm ento del cuerpo.
S e c c ió n
1.2 Equilibrio de un cuerpo deformable
• 9
Fuerza cortante V M 0 Momento flexionante
N Fuerza normal
Fig. 1-3
Cargas coplanares. Si el cuerpo está sometido a un sistema de fuerzas coplanares. figura l-3a. entonces sólo existen en la sección com ponen tes de fuerza normal, de fuerza cortante y de momento flexionante. figu ra 1-3b. Si usamos los ejes coordenados x.y, z, con origen en el punto O como se muestra en el segmento izquierdo, entonces una solución direc ta para N se puede obtener aplicando 2 Fx = 0, y V se puede obtener di rectamente de 2 Fv = 0. Finalmente, el m omento flexionante M 0 se pue de determ inar directamente sumando momentos respecto al punto O (el eje z), 2 M0 = 0, para eliminar los momentos causados por las incógnitas N y V.
PUNTOS IMPORTANTES La mecánica de materiales es un estudio de la relación entre las cargas externas sobre un cuerpo y la intensidad de las cargas in ternas dentro del cuerpo. Las fuerzas externas pueden ser aplicadas a un cuerpo como car gas distribuidas o cargas de superficie concentradas, o bien como fuerzas de cuerpo que actúan sobre todo el volumen del cuerpo. Las cargas linealmente distribuidas producen una fuerza resultan te que tiene una magnitud igual al área bajo el diagrama de car ga y una posición que pasa por el centroide de esa área. Un soporte produce una fuerza en una dirección particular sobre su miembro correspondiente si ésta impide traslación del miembro en esa dirección y él produce un momento de par sobre el miem bro si él impide una rotación. Las ecuaciones de equilibrio 2 F = 0 y 2 M = 0 deben ser satis fechas para prevenir que un cuerpo se traslade con movimiento acelerado o que gire. Al aplicar las ecuaciones de equilibrio, es im portante dibujar pri mero el diagrama de cuerpo libre del cuerpo para poder lomar en cuenta todos los términos en las ecuaciones. El método de las secciones se usa para determ inar las cargas internas resultantes que actúan sobre la superficie del cuerpo sec cionado. En general, esas resultantes consisten en una fuerza normal, una fuerza cortante, un mom ento torsionante y un mo mento flexionante.
Para diseñar los miembros de este mar co de edificio, es necesario primero en contrar las cargas internas en varios pun tos a lo largo de su longitud.
PROCEDIMIENTOS DE ANÁLISIS El método de las secciones se usa para determ inar las cargas internas resultantes en un punto localizado sobre la sección de un cuerpo. Pa ra obtener esas resultantes, la aplicación del método de las secciones requiere considerar los siguientes pasos. Reacciones en los soportes. • Decida primero qué segmento del cuerpo va a ser considerado. Si el segmento tiene un soporte o conexión a otro cuerpo, enton ces antes de que el cuerpo sea seccionado, es necesario determ i nar las reacciones que actúan sobre el segmento escogido del cuerpo. Dibuje el diagrama de cuerpo libre de todo el cuerpo y luego aplique las ecuaciones necesarias de equilibrio para obte ner esas reacciones. Diagram a de cuerpo libre. • Mantenga todas las cargas distribuidas externas, los momentos de flexión, los momentos de torsión y las fuerzas que actúan sobre el cuerpo en sus posiciones exactas, luego haga un corte imagina rio por el cuerpo en el p u n to ’donde van a determinarse las car gas internas resultantes. • Si el cuerpo representa un miembro de una estructura o disposi tivo mecánico, la sección es a m enudo tomada perpendicularmen te al eje longitudinal del miembro. • Dibuje un diagrama de cuerpo libre de uno de los segmentos “cor tados” e indique las resultantes desconocidas N, V, M y T en la sección. Esas resultantes son usualmente colocadas en el punto que representa el centro geométrico o centroide del área seccio nada. • Si el miembro está sometido a un sistema coplanar de fuerzas, só lo N, V y M actúan en el centroide. • Establezca los ejes coordenados x, y, z con origen en el centroi de y muestre las componentes resultantes que actúan a lo largo de los ejes. Ecuaciones de equilibrio. • Los momentos deben sumarse en la sección, respecto a cada uno de los ejes coordenados donde actúan las resultantes. Al hacerlo así se eliminan las fuerzas desconocidas N y V y es posible en tonces determ inar directamente M (y T). • Si la solución de las ecuaciones de equilibrio da un valor negati vo para una resultante, el sentido direccional supuesto de la re sultante es opuesto al mostrado en el diagrama de cuerpo libre.
Los siguientes ejemplos ilustran num éricam ente este procedim iento y también proporcionan un repaso de algunos de los principios im portan tes de la estática.
S e cció n 1 .2
E J E M P L O
Equilibrio de un cuerpo deformable
'| g | -----------------------------------------------
Determine las cargas internas resultantes que actúan sobre la sección transversal en C de la viga m ostrada en la figura 1-4a.
B
(a) Fig. 1-4
Solución
Reacciones en el soporte. Este problema puede ser resuelto de la m a nera más directa considerando el segmento CB de la viga, ya que en tonces las reacciones en A no tienen que ser calculadas. Diagrama de cuerpo libre. Si hacemos un corte imaginario perpen dicular al eje longitudinal de la viga, obtenem os el diagrama de cuer po libre del segmento CB m ostrado en la figura 1-4b. Es importante m antener la carga distribuida exactam ente donde está sobre el seg mento hasta después que el corte se ha hecho. Sólo entonces debe es ta carga reemplazarse por una sola fuerza resultante. Note que la in tensidad de la carga distribuida en C se determ ina por triángulos semejantes, esto es, de la figura 1-4a, w/6 m = (270 N /m )/9 m, w 180 N/m. La magnitud de la carga distribuida es igual al área bajo la curva de carga (triángulo) y actúa a través del centroide de esta área. Así, F = t(180 N /m )(6 m) = 540 N, que actúa a 1/3 (6 m) = 2 m de C, como se muestra en la figura 1-46. Ecuaciones de equilibrio. tenemos 2 Fx = 0;
-N c = 0
135 N
Resp.
90 N/m [ i
Vc - 540 N = 0 Vc = 540 N
l + I M c = 0;
(b)
Aplicando las ecuaciones de equilibrio ob-
Nc = 0 + t 2 F V= 0;
540 N
- • = - 180 N/m
Mr
1215 N !
Resp.
- M c - 540 N(2 m) = 0 Mc = -1080 N -m
540 N
3645
Resp.
El signo negativo indica que Mc actúa en dirección opuesta a la mos trada en el diagrama de cuerpo libre. Trate de resolver este problema usando el segmento AC, obteniendo prim ero las reacciones en el so porte A , que son dadas en la figura l-4c.
t|
N-ra'yl
-1.5 m 0.5 m
• 11
12 • CAPÍTULO 1 Esfuerzo
E J E M P L O
------------------------------------------------------------------------------------------Determine las cargas internas resultantes que actúan sobre la sección transversal en C de la flecha de la máquina m ostrada en la figura l-5a. La flecha está soportada por chumaceras en A y B, que ejercen sólo fuerzas verticales sobre la flecha.
(800 N /m )(0.150 m) = I2 0 N
225 N
- 200 mm 100 50 mm
50 mm
(a) Fig. 1-5
Solución
Resolveremos este problema usando el segmento AC de la flecha.
40 N ,
Reacciones en el soporte. En la figura 1-5b se muestra un diagrama de cuerpo libre de toda la flecha. Como el segmento A C va a ser con siderado, sólo la reacción en A tiene que ser considerada. ¿Por qué? i + l M B = 0 ;- A V(OAOO m) + 120 N(0.125 m) - 225 N (0.100 m) = 0 >1,, = -18.75 N El signo negativo para A v indica que ésta actúa en sentido opuesto al mostrado sobre el diagrama de cuerpo libre. Diagrama de cuerpo libre. Si realizamos un corte imaginario perpen dicular al eje de la flecha por C, obtenemos el diagrama de cuerpo li bre del segmento A C mostrado en la figura l-5c. Ecuaciones de equilibrio. ^
2 F , = 0;
+ t 2 Fy = 0; 1 + 1 Mc = 0;
Nc - 0
Resp.
-18.75 N - 40 N - Vc = 0 Vc = -5 8 .8 N Resp. Mc + 40 N(0.025 m) + 18.75 N(0.250 m) = 0 Mc = -5 .6 9 N • m
R esp.
¿Qué indican los signosnegativos de Vc y Mc? Como ejercicio, calcu le la reacción enB ytrate de obtener los mismosresultados usando el segmento CBD de la flecha.
S eccióm1.2 Equilibrio de un cuerpo deformable
E J E M P L O
-----------------------------------------------
El montacargas en la figura 1-6a consiste en la viga A B y en las poleas unidas a ella, en el cable y en el motor. Determine las cargas internas resultantes que actúan sobre la sección transversal en C si el motor es tá levantando la carga W de 500 Ib con velocidad constante. Desprecie el peso de las poleas y viga.
0.5 pie
*
5001b
—► N
r. .
M ,-
- 4.5 pies -
I
5 001b
Fig. 1-6
(b)
Solución
La manera más directa de resolver este problema es seccionar el cable y la viga en C y luego considerar todo el segmento izquierdo. Diagrama de cuerpo libre.
Vea la figura 1-66.
Ecuaciones de equilibrio. i
S F t = 0:
+ f S F,. = 0;
500 Ib + Nc = 0 -5 0 0 Ib - Vc = 0
Nc = -5 0 0 Ib Vc = -5 0 0 Ib
Resp. Resp.
1+ I M C = 0; 500 Ib (4.5 pies) - 500 Ib (0.5 pies) + M c = 0 Me = -2000 Ib • pie
Resp.
Como ejercicio, trate de obtener esos mismos resultados consideran do el segmento de viga A C , es decir, retire la polea en A de la viga y muestre las componentes de la fuerza de 500 Ib de la polea actuando sobre el segmento de viga AC.
• 13
14 • CAPÍTULO 1 Esfuerzo
E J E M P L O
□ Determ ine las cargas internas resultantes que actúan sobre la sección transversal en G de la viga de madera mostrada en la figura 1-7«. Supon ga que las juntas en A , 5 , C, D y E están conectadas por pasadores.
Solución
Reacciones en los soportes. Consideraremos el segmento A G para el análisis. Un diagrama de cuerpo libre de toda la estructura se muestra en la figura 1-7¿>. Verifique las reacciones calculadas en E y C. En par ticular, note que BC es un miembro de dos fuerzas ya que sólo dos fuer zas actúan en él. Por esta razón la reacción en C debe ser horizontal tal como se muestra. Como BA y BD son también miembros de dos fuerzas, el diagrama de cuerpo libre de la junta B es como se muestra en la figura 1.7c. De nuevo, verifique las magnitudes de las fuerzas calculadas FBA y FBD. 15001b
7750 Ib
••' (] ii- - H Í |—2 pies —*j' r W VC (d)
Diagrama de cuerpo libre. Usando el resultado para F«/i- la sección izquierda AG de la viga se muestra en la figura \-ld . Ecuaciones de equilibrio. segmento AG , tenemos 2 Fx = 0; + t 2 Fy = 0;
Aplicando las ecuaciones de equilibrio al
7750 l b ( |) + Nc = 0
Nc = - 6 2 0 0 Ib
- 1 5 0 0 Ib + 7750 l b ( |) - VG = 0
VG = 3150 Ib
Fig. 1-7
i + 2 Mc = 0;
Resp.
Resp.
Mc ~ (7750 lb)(§) (2 pies) + 1500 lb(2 pies) = 0 M g = 6300 Ib • pie
Resp.
Como ejercicio, calcule esos mismos resultados usando el segmen to GE.
S e c c ió n
1.2 Equilibrio de un cuerpo deformable
E J E M P L O Determine las cargas internas resultantes que actúan sobre la sección transversal en B del tubo m ostrado en la figura 1-8«. El tubo tiene una masa de 2 kg/m y está sometido a una fuerza vertical de 50 N y a un par de momento de 70 N • m en su extremo A . El tubo está em potra do en la pared en C. Solución
El problema se puede resolver considerando el segmento A B . que no implica las reacciones del soporte en C. Diagrama de cuerpo libre. Los ejes x, y, z. se fijan en B y el diagra ma de cuerpo libre del segmento A B se m uestra en la figura l-8¿. Las componentes de fuerza y mom ento resultantes en la sección se supo ne que actúan en las direcciones coordenadas positivas y que pasan por el centroide del área transversal en B. El peso de cada segmento de tu bo se calcula como sigue:
70 N-m
(a)
WBD = (2 k g /m )(0.5 m)(9.81 N /kg) = 9.81 N WAD = (2 k g /m )(1.25 m)(9.81 N /kg) = 24.525 N Estas fuerzas actúan por el centro de gravedad de cadg segmento. Ecuaciones de equilibrio. equilibrio, obtenemos*
Aplicando las seis ecuaciones escalares de
^ F.x ~ Oí 2 Fy = 0;
(^b).v = 0 ( FB)y = 0
1 Fz = 0;
(Fb ) z - 9.81 N - 24.525 N - 50 N = 0 (Fb ) z = 84.3 N
Resp. Resp.
fFü);
Resp.
2 (M b), = 0; (M b ) x + 70 N • m - 50 N (0.5 m) - 24.525 N (0.5 m) - 9.81 N (0.25 m) = 0 ( M b ) x = —30.3 N -m
Resp.
l ( M B)y = 0: (M B)y + 24.525 N (0.625 m) + 50 N (1.25 m) = 0 (M B)y = -77.8 N -m Z (M
b )z
-
(M
b)z
= 0
Resp. R e s P-
¿Qué indican los signos negativos de (MB)Xy ( M ^ y Note que la fuer za norm al N B = (FB) V = 0, m ientras que la fuerza cortante es VB = V (0 )2 + (84.3)2 = 84.3 N. Adem ás, el m om ento torsionante es Tb = (M b) v = 77.8 N • m y el m om ento flexionante es M¡¡ =
V(30.3)2+(0) 1/2 = 30.3 N ■m. *La m agnitud de cada m o m en to resp ec to a un eje es igual a la m agnitud de cada fuer za p o r la distancia p erp en d icu lar del eje a la línea de acción de la fuerza. L a dirección de cad a m om ento es d eterm in ad a u san d o la regla de la m ano derecha, con m om entos positivos (pulgar) dirigidos a lo largo de los ejes co o rd en ad o s positivos.
70 N-m
(b) Fig. 1-8
• 15
16 • CAPÍTULO 1 Esfuerzo
PROBLEMAS 1-1. Determ ine la fuerza normal interna resultante que actúa sobre la sección transversal por el punto A en cada columna. En (a), el segmento BC pesa 180 lb/pie y el seg m ento CD pesa 250 lb/pie. En (b), la columna tiene una masa de 200 kg/m.
1-3. D eterm ine el par interno resultante que actúa sobre las secciones transversales por los puntos B y C.
5 klb
10 pies
*1-4. Determine la fuerza normal y cortante internas re sultantes en el miembro en (a) la sección a-a y (b) la sec ción b-b, cada una de las cuales pasa por el punto A . La carga de 500 Ib está aplicada a lo largo del eje centroidal del miembro.
4 pies
4 pies
(a)
(b) P r n b . 1-1
1-2. Determine el par interno resultante que actúa sobre las secciones transversales por los puntos C y D. Los co jinetes de soporte en A y B perm iten el libre giro de la flecha. 1-5. D eterm ine las cargas internas resultantes que ac túan sobre la sección transversal a través del punto D del miembro A B . 50 mm
Prob. 1-2
50 mm
P r o b le m a s
1-6. La viga A B está articulada por un pasador en A y soportada por un cable BC. D eterm ine las cargas internas resultantes que actúan sobre la sección transversal en el punto D.
•
17
1-9. Determine las cargas internas resultantes que actúan sobre la sección transversal por el punto C. La unidad en friadora tiene un peso total de 52 klb y su centro de gra vedad en G.
1-7. Resuelva el problema 1-6 para las cargas internas re sultantes que actúan en el punto E. F
Probs. 1-6/7 Prob. 1-9
y
*1-8. La viga A B está em potrada en la pared y tiene un peso uniforme de 80 Ib/pic. Si el gancho soporta una car ga de 1500 Ib. determine las cargas internas resultantes que actúan sobre las secciones transversales por los puntos C y D.
1-10. D eterm ine las cargas internas resultantes que ac túan sobre las secciones transversales por los puntos D y E de la estructura.
Prob. 1-8
Probs. 1-10/11
1-11. D eterm ine las cargas internas resultantes que ac túan sobre las secciones transversales por los puntos F y G de la estructura.
18 .
CAPÍTULO 1 Esfuerzo
*1-12. Determ ine las cargas internas resultantes que ac túan sobre (a) la sección a-a y (b) la sección b-b. Cada sec ción pasa por el centroide en C.
1-15. La carga de 800 Ib está siendo izada a velocidad constante usando el motor M que tiene un peso de 90 Ib. D eterm ine las cargas internas resultantes que actúan so bre la sección transversal por el punto B en la viga. La viga tiene un peso de 40 Ib /pie y está empotrada en la pa red en A . *1-16. Determ ine las cargas internas resultantes que ac túan sobre la sección transversal por los puntos C y D e n el problem a 1-15.
M
11.5pies . ÍM z — L □ f t . i c-7 B-^ p T? *— 4p ies—-—4pies— -—3pies— —3pies— •— 4pies—0.25 p i e '
1-13. Determ ine las cargas internas resultantes que ac túan sobre la sección transversal por'el punto C en la vi ga. La carga D tiene una masa de 300 kg y está siendo iza da por el m otor M con velocidad constante.
Probs. 1-15/16
1-14. D eterm ine las cargas internas resultantes que ac túan sobre la sección transversal por el punto E de la viga en el problem a 1-13. 1-17. D eterm ine las cargas internas resultantes que ac túan sobre la sección transversal en el punto B.
60 Ib/pie
Probs. 1-13/14
Prob. 1-17
P r o b le m a s
1-18. La viga soporta la carga distribuida mostrada. D e termine las cargas internas resultantes que actúan sobre la sección transversal por el punto C. Suponga que las reac ciones en los soportes A y B son verticales. 1-19. Determine las cargas internas resultantes que ac túan sobre la sección transversal por el punto D en el pro blema 1-18.
19
1-21. La perforadora de vástago metálico está sometida a una fuerza de 120 N en su mango. Determ ine la magni tud de la fuerza reactiva en el pasador A y en el eslabón corto BC. D eterm ine también las cargas internas resultan tes que actúan sobre la sección transversal que pasa por D en el mango. 1-22. Resuelva el problema 1-21 para las cargas internas resultantes sobre la sección transversal que pasa por E y en una sección transversal del eslabón corto BC.
1.5 kN/m
*1-20. La charola de servicio T usada en un avión está soportada en cada lado por un brazo. La charola está co nectada por un pasador al brazo en A , y en B tiene un pa sador liso. (El pasador puede moverse dentro de la ranu ra en los brazos para poder plegar la charola contra el asiento del pasajero al frente cuando aquella no está en uso.) D eterm ine las cargas internas resultantes que actúan sobre la sección transversal por el punto C del brazo cuan do el brazo de la charola soporta las cargas mostradas.
Probs. 1-21/22
1-23. El tubo tiene una masa de 12 kg/m. Considerando que está em potrado en la pared en A . determ ine las car gas internas resultantes que actúan sobre la sección trans versal en B. Desprecie el peso de la palanca CD.
12 N
15 ram
Prob. 1-20
Prob. 1-23
20 • CAPÍTULO 1 Esfuerzo
*1-24. La viga principal A B soporta la carga sobre el ala del avión. Las cargas consisten en la reacción de la rueda de 35 000 Ib en C, el peso de 1200 Ib de combustible en el tanque del ala, con centro de gravedad en D y el peso de 400 Ib del ala con centro de gravedad en E. Si está em po trada al fuselaje en A , determ ine las cargas internas resul tantes sobre la viga en este punto. Suponga que el ala no transmite ninguna de las cargas al fuselaje, excepto a tra vés de la viga. z
1-26. La flecha está soportada en sus extremos por dos cojinetes A y B y está sometida a las fuerzas aplicadas a las poleas fijas a la flecha. D eterm ine las cargas internas resultantes que actúan sobre la sección transversal en el punto C. Las fuerzas de 300 N actúan en la dirección —z y las fuerzas de 500 N actúan en la dirección +x. Los cojine tes en A y B ejercen sólo componentes .v y z de fuerza so bre la flecha.
z
35 000 ib
Prob. 1-24
1-25. D eterm ine las cargas internas resultantes que ac túan sobre la sección transversal por el punto B del letre ro. El poste está em potrado en el suelo y una presión uni forme de 7 Ib/pie2 actúa perpendicularm ente sobre la cara del letrero.
1-27. U na manivela de prensa tiene las dimensiones mos tradas. D eterm ine las cargas internas resultantes que ac túan sobre la sección transversal en A si se aplica una fuer za vertical de 50 Ib a la manivela como se muestra. Suponga que la manivela está em potrada a la flecha en B.
z
' ’50 Ib
Prob. 1-25
Prob. 1-27
P r o b le m a s
*1-28.
Determ ine las cargas internas resultantes que ac túan sobre la sección transversal por los puntos F y G de la estructura. El contacto en E es liso.
•
21
1-31. La barra curva A D de radio r tiene un peso w por unidad de longitud. Si ésta se encuentra en un plano ver tical, determine las cargas internas resultantes que actúan sobre la sección transversal por el punto B. Sugerencia: la distancia del centroide C del segmento A B al punto O es O C = [2rsen(0/2)]/0.
801b
Prob. 1-31
1-29. El vástago del perno está sometido a una tensión de 80 Ib. Determ ine las cargas internas resultantes que ac túan sobre la sección transversal en el punto C.
*1-32.
La barra curva A D de radio /■tiene un peso w por unidad de longitud. Si ésta se encuentra en un plano hori zontal, determ ine las cargas internas resultantes que ac túan sobre la sección transversal por el punto B. Sugeren cia: la distancia del centroide C del segmento A B al punto O es CO = 0.9745/'.
Prob. 1-29
1-30. Determ ine las cargas internas resultantes que ac túan sobre la sección transversal en los puntos B y C del miembro curvo.
1-33. Se m uestra en la figura un elem ento diferencial tomado de una barra curva. Demuestre que clN/dO = V, dV /d d = - N , d M /d d = - T y d T /d O = M.
M +iiM
T+dT
22 • CAPÍTULO 1 Esfuerzo
1.3
Esfuerzo
Fig. 1-9
'
En la sección 1.2 mostramos que la fuerza y el m omento que actúan en un punto específico sobre el área seccionada de un cuerpo, figura 1-9, representan los efectos resultantes de la d istrib u ció n de fu e r z a verdadera que actúa sobre el área seccionada, figura 1-96. La obten ción de esta d istrib u ció n de carga interna es de importancia prim or dial en la mecánica de materiales. Para resolver este problem a es ne cesario establecer el concepto de esfuerzo. Consideremos el área seccionada como subdividida en pequeñas áreas, tal como el área sombreada de AA m ostrada en la figura 1-10«. Al reducir AA a un tamaño cada vez más pequeño, debemos hacer dos hipótesis respecto a las propiedades del material. C onsiderare mos que el material es continuo, esto es, que consiste en una distri bución uniforme de materia que no contiene huecos, en vez de estar compuesto de un número finito de moléculas o átomos distintos. A de más, el material debe ser cohesivo, es decir, que todas sus partes es tán unidas entre sí, en vez de tener fracturas, grietas o separaciones. Una fuerza típica finita pero muy pequeña AF. actuando sobre su área asociada AA , se m uestra en la figura 1-lOa. Esta fuerza como todas las otras, tendrá una dirección únicá, pero para el análisis que sigue la reemplazaremos por sus tres co m p o n e n tes, AFV, AFVy AF-, que se to man tangente y normal al área, respectivamente. Cuando el área AA tiende a cero, igualmente tienden a cero la fuerza AF y sus compo nentes: sin embargo, el cociente de la fuerza y el área tenderán en ge neral a un límite finito. Este cociente se llama e sfu erzo y describe la in ten sid a d d e la fu e r z a interna sobre un p la n o específico (área) que pasa por un punto.
S e c c ió n 1 .3
Esfuerzo normal. La intensidad de fuerza, o fuerza por área unitaria, actuando normalmente a AA se define como el esfuerzo normal, a (sigma). Como dFj es normal al área, entonces, túan gura terza itenmors neleñas -10a. lacer rareiistriestar Adees esiones, i área todas sue la se to ja AA >mpoen geib e la i ) que
lím
AFZ
——
&A—*Q A A
(1-4)
Si la fuerza o esfuerzo norm al “jala" al elem ento de área AA como se muestra en la figura 1-10«. se le llama esfuerzo de tensión, mientras que si “empuja” a A/l se le llama esfuerzo de compresión. Esfuerzo cortante. La intensidad de fuerza, o fuerza por área unita ria, actuando tangente a AA se llama esfuerzo cortante, r (tau). Aquí te nemos las componentes de esfuerzo cortante, T -v =
*
AFx lim — — A/i—*o A A
v
AF>
T*y = A i x
(1-5)
El subíndice z en a. se usa para indicar la dirección de la línea normal hacia fuera, que especifica la orientación del área AA. figura 1-11. Para las componentes del esfuerzo cortante. rzx y r:v, se usan dos subíndices. El eje z especifica la orientación del área, y x y y se refieren a los ejes coor denados en cuya dirección actúan los esfuerzos cortantes.
Fig. 1-11
Estado general de esfuerzo. Si el cuerpo es adicionalmente seccio nado por planos paralelos al plano .r-z. figura 1-10£>. y al plano y-z, figura 1-lOc, podemos entonces “separar” un elem ento cúbico de volumen de material que representa el estado de esfuerzo que actúa alrededor del pun to escogido en el cuerpo, figura 112. Este estado de esfuerzo es caracteri zado por tres componentes que actúan sobre cada cara del elemento. Esas componentes de esfuerzo describen el estado de esfuerzo en el punto só lo para el elemento orientado a lo largo de los ejes x, y, z. Si el cuerpo fue se seccionado en un cubo con otra orientación, el estado de esfuerzo se definiría usando un conjunto diferente de componentes de esfuerzo. Unidades. En el sistema SI. las magnitudes de los esfuerzos normal y cortante se especifican en las unidades básicas de new tons por m etro cuadrado (N /n r). Esta unidad, llamada pascal (1 Pa = 1 N /m 2) es algo pequeña y en trabajos de ingeniería se usan prefijos como kilo- (103), sim bolizado por. mega- (106), simbolizado por M o giga- (109). simbolizado por G. para representar valores mayores del esfuerzo.* De la misma ma nera. en el sistema inglés de unidades, los ingenieros por lo regular expre san el esfuerzo en libras por pulgada cuadrada (psi) o en kilolibras por pulgada cuadrada (ksi), donde 1 kilolibra (kip) = 1000 Ib.
* A lgunas veces el esfuerzo se expresa en u n id ad es de N / n i n r . d o n d e 1 m m = 10 ’ m. Sin em bargo, en el sistem a SI no se p erm iten prefijos en el d en o m in ad o r de una fracción y p o r tan to es m ejo r u sa r el eq u iv alen te 1 N /m m - = ] M N /m 2 = 1 M Pa.
Fig. 1-12
Esfuerzo
•
23
24 • CAPÍTULO 1 Esfuerzo
1.4
Esfuerzo normal promedio en una barra cargada axialm ente
p
ti
r
Fuerza interna Area de la sección transversal
i
i
Fuerza externa
(a)
Suposiciones. Antes de determinar la distribución de esfuerzo prom e dio que actúa sobre el área transversal de la barra, es necesario hacer dos hipótesis simplificatorias relativas a la descripción del material y a la apli cación específica de la carga. 1. Es necesario que la barra permanezca recta antes y después de que se aplica la carga, y también, la sección transversal debe perm ane cer plana durante la deformación, esto es, durante el tiempo que la barra cambia de volumen y forma. Si esto ocurre, entonces las líneas horizontales y verticales de una retícula inscrita sobre la barra se d eform arán u n ifo rm em en te cuando la barra esté sometida a la carga, figura l-13c. No consideraremos aquí regiones cercanas a los extre mos de la barra, donde la aplicación de las cargas externas puede ocasionar d isto rsio n es localizadas. En cambio, nos fijaremos sólo en la distribución del esfuerzo dentro de la porción media de la barra.
(b)
Región de deformación uniforme de la barra
Fig. 1-13
Con frecuencia, los miembros estructurales o mecánicos se fabrican lar gos y delgados. Asimismo, son sometidos a cargas axiales que normalmen te se aplican a los extremos del miembro. Miembros de armaduras, barras colgantes y pernos son ejemplos típicos. En esta sección determinaremos la distribución del esfuerzo promedio que actúa sobre la sección transver sal de una barra cargada axialmente como la mostrada en la figura 1-13«, que tiene una forma general. Esta sección define el área de la sección transversal de la barra y como todas esas secciones transversales son igua les, a la barra se le llama barra prismática. Si despreciamos el peso de la barra y la seccionamos como se indica en la figura 1-13¿>, entonces, por equilibrio del segmento inferior, la fuerza interna resultante que actúa so bre la sección transversal debe ser igual en magnitud, opuesta en sentido y colineal con la fuerza externa que actúa en el fondo de la barra.
2. Para que la barra exp erim en te u na d efo rm a ció n u n ifo rm e , es nece sario que P se aplique a lo largo del eje cen tro id a l de la sección transversal y que el material sea homogéneo e isotrópico. Un m a terial homogéneo tiene las mismas propiedades físicas y mecánicas en todo su volumen, y un material isotrópico tiene esas mismas propiedades en todas direcciones. Muchos materiales de la ingenie ría pueden considerarse homogéneos e isotrópicos. Por ejemplo, el acero contiene miles de cristales orientados al azar en cada milíme tro cúbico de su volumen, y como en la mayoría de las aplicaciones este material tiene un tam año físico que es mucho mayor que un solo cristal, la suposición anterior relativa a la composición del m a terial es bastante realista. Sin embargo, debe mencionarse que el acero puede volverse anisotrópico por medio del laminado en frío, esto es, laminado o forjado a tem peraturas subcríticas. Los m ate riales anisotrópicos tienen propiedades diferentes en direcciones diferentes, y aunque éste sea el caso, si la anisotropía se orienta a lo largo del eje de la barra, entonces la barra se deformará unifor m em ente cuando sea sometida a una carga axial. Por ejemplo, la madera, debido a sus granos o fibras, es un material que es homo géneo y anisotrópico, por lo que es adecuado para el siguiente aná lisis.
1.4 Esfuerzo normal promedio en una barra cargada axialmente
S e c c ió n
irican larrmalmenras. barras tinaremos i transverura 1-13«, 'a sección 5son iguapeso de la onces, por i actúa soen sentido rra. ■zo promeihacer dos y a la apliués de que : permanenpo que la :s las líneas la barra se i a la carga, a los extre mas puede nos sólo en je la barra. te, es necela sección co. Un mar mecánicas sas mismas : la ingenieejemplo, el ada milímeiplicaciones tyor que un rión del m a tarse que el iado en frío, i. Los matedirecciones se orienta a nará uniforejemplo, la ue es homoguiente aná-
Distribución del esfuerzo normal promedio. Suponiendo que la barra está sometida a una deformación uniforme constante, entonces esta deformación es causada por un esfuerzo normal crconstante, figura 1-13
clA y por tanto AF -h> dF, entonces co mo cr es constante, tenemos
dF = \ a dA 'a
P =
O-
A
cr
P_ A
(1-6)
(d)
Donde,
Fig. 1-13 (cont.)
cr = esfuerzo normal prom edio en cualquier punto sobre el área de la sección transversal P = fuerza normal interna resultante, aplicada en el centroide del área de la sección transversal. P se determ ina usando el método de las secciones y las ecuaciones de equilibrio A = área de la sección transversal de la barra La carga interna P debe pasar por el centroide de la sección transver sal ya que la distribución del esfuerzo uniforme generará momentos nu los respecto a cualquier eje x o y que pase por este punto, figura 1-13í/. Cuando esto ocurre.
0=
ydF= /I
( M r )y = 2 My,
0 = —
I y a d A = o-\ y d A v4
A
x dF = —
-U
xa- d A
= -crj
x dA
M
Estas ecuaciones se satisfacen, ya que por definición del centroide, / y d A = 0 y f x dA = 0. (Vea el apéndice A.) Equilibrio. D ebería ser aparente que sólo existe un esfuerzo normal en cualquier elemento de volumen de material localizado en cada punto so bre la sección transversal de una barra cargada axialmente. Si considera mos el equilibrio vertical del elemento, figura 1-14. entonces al aplicar la ecuación de equilibrio de fuerzas, 2 F, = 0;
p
o-(Ai4) - cr'(A/4) = 0
a — cr' En otras palabras, las dos componentes de esfuerzo normal sobre el ele mento deben ser iguales en magnitud pero opuestas en dirección. A éste se le llama esfuerzo uniaxial.
• 25
f 26
CAPÍTULO 1 Esfuerzo
P
ji
á
T
p
P Compresión
Tensión Fig. 1-15
W J lB *
Esta barra de accro se usa para suspen der una porción de una escalera, y por ello está sometida a un esfuerzo de tensión.
El análisis previo se aplica a miembros sometidos a tensión o a com pre sión, como se m uestra en la figura 1-15. Como interpretación gráfica, la magnitud de la fuerza interna resultante P es equivalente al volumen ba jo el diagrama de esfuerzo; es decir, P = a A (volumen = altura X base). Además, como consecuencia del equilibrio de momentos, esta resultante pasa p o r el centroide de este volumen. Aunque hemos desarrollado este análisis para barras prismáticas, esta suposición puede ampliarse para incluir barras que tengan un pequeño ahusamiento. Por ejemplo, puede dem ostrarse, usando un análisis más exacto de la teoría de la elasticidad, que para una barra ahusada de sec ción transversal rectangular, en la cual el ángulo entre dos lados adyacen tes es de 15°, el esfuerzo normal promedio, calculado según a = P/ A, es sólo 2.2% menor que el valor calculado con la teoría de la elasticidad.
Esfuerzo normal promedio máximo. En el análisis anterior, tanto la fuerza interna P como el área de la sección transversal se consideraron constantes a lo largo del eje longitudinal de la barra y por tanto se obtu vo un esfuerzo normal ir = P /A también constante. Sin embargo, en oca siones la barra puede estar sometida a varias cargas externas a lo largo de su eje o puede presentarse un cambio en su área de sección transversal. En consecuencia, el esfuerzo normal dentro de la barra puede ser dife rente de sección a sección, y si debe calcularse el esfuerzo normal prom e dio máximo, tendrá que determinarse la posición en que la razón P /A sea máxima. Para esto es necesario determ inar la fuerza interna P en varias secciones a lo largo de la barra, lo que se consigue dibujando un diagra ma de fuerza normal o axial. Específicamente, este diagrama es una grá fica de la fuerza normal P contra su posición x a lo largo de la longitud de la barra. P se considerará positiva si causa tensión en el miembro y nega tiva si causa compresión. Una vez conocida la carga interna en toda la barra podrá identificarse la razón máxima de P/A.
S e c c ió n
1.4 Esfuerzo normal promedio en una barra cargada axialmente
PUNTOS IMPORTANTES • Cuando un cuerpo que está sometido a una carga externa es sec cionado, hay una distribución de fuerza que actúa sobre el área seccionada que mantiene cada segmento del cuerpo en equilibrio. La intensidad de esta fuerza interna en un punto del cuerpo se denomina esfuerzo. • El esfuerzo es el valor límite de la fuerza por área unitaria, al ten der a cero el área. Para esta definición, el material en el punto se considera continuo y cohesivo. • En general, hay seis componentes independientes de esfuerzo en cada punto en el cuerpo, que son los esfuerzos normales, ax, crv, a z y los esfuerzos cortantes, r vv, ryz, t xz. • La magnitud de esas componentes depende del tipo de carga que actúa sobre el cuerpo y de la orientación del elem ento en el punto. • Cuando una barra prismática está hecha de material homogéneo e isotrópico, y está sometida a una fuerza axial que actúa por el centroide del área de la sección transversal, entonces el material dentro de la barra está sometido sólo a esfuerzo norm al Este es fuerzo se supone uniforme o promediado sobre el área de la sec ción transversal.
PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS La ecuación a = P /A da el esfuerzo normal promedio en el área transversal de un miembro cuando la sección está sometida a una fuerza normal interna resultante P. Para miembros axialmente car gados, la aplicación de esta ecuación requiere los siguientes pasos. Carga interna. • Seccione el miembro perpendicularmente a su eje longitudinal en el punto donde el esfuerzo normal va a ser determ inado y use el diagrama de cuerpo libre y la ecuación de equilibrio de fuerza necesarios para obtener la fuerza axial interna P en la sección. Esfuerzo normal promedio. • Determine el área transversal del miembro en la sección y calcu le el esfuerzo normal promedio a = P/A. • Se sugiere que o-se muestre actuando sobre un pequeño elemento de volumen del material localizado en un punto sobre la sección donde el esfuerzo es calculado. Para hacer esto, primero dibuje a sobre la cara del elem ento que coincide con el área seccionada A. Aquí, cr actúa en la misma dirección que la fuerza interna P ya que todos los esfuerzos normales sobre la sección transversal actúan en esta dirección para desarrollar esta resultante. El es fuerzo normal a que actúa sobre la cara opuesta del elemento puede ser dibujada en su dirección apropiada.
• 27
28 .
CAPITULO 1 Esfuerzo
E J E M P L O La barra en la figura 1-16a tiene un ancho constante de 35 mm y un es pesor de 10 mm. Determine el esfuerzo normal prom edio máximo en la barra cuando ella está sometida a las cargas mostradas.
B
12 kN
9 kN
Ç
4 kN
D
22 kN
35 mm
12 kN
------H D _
■+- Pa b = 12 kN
c
9 kN
12 kN Mr-
-► PBC = 30 kN
9 kN
PCD = 22 k N -« ------- i
------► 22 kN
(b)
P(kN)
30 22 12
(c)
Solución 10 mm
► 30 kN
Carga interna. Por inspección, las fuerzas axiales internas en las re giones AB, BC y CD son todas constantes pero tienen diferentes mag nitudes. Usando el método de las secciones, esas cargas son determ ina das en la figura 1-166; y el diagrama de fuerza normal que representa esos resultados gráficamente se muestra en la figura l-16c. Por inspec ción, la carga máxima está en la región BC, donde PBC = 30 kN. Como el área transversal de la barra es constante, el esfuerzo normal máximo promedio también ocurre dentro de esta región de la barra. Esfuerzo normal promedio. vbc
-
Aplicando la ecuación 1-6, obtenemos
PBC
30(10S)N
/l
(0.035 m )(0.010m )
= 85.7 MPa
Resp.
La distribución de los esfuerzos que actúan sobre una sección trans versal arbitraria de la barra dentro de la región BC se m uestra en la figura l-16íl Gráficamente el volumen (o “bloque”) representado por esta distribución de esfuerzos es equivalente a la carga de 30 kN; o sea, 30 kN = (85.7 MPa)(35 mm)(10 mm).
S e c c ió n
E J E M P L O
1.4 Esfuerzo normal promedio en una barra cargada axialmente
-----------------------------------------------
La lámpara de 80 kg está soportada por dos barras A B y BC como se muestra en la figura \-\la . Si A B tiene un diámetro de 10 mm y BC tie ne un diámetro de 8 mm, determine el esfuerzo normal promedio en cada barra.
(a) Fig. 1-17
Solución
Carga interna. Debemos primero determ inar la fuerza axial en cada barra. En la figura 1-17¿> se muestra un diagrama de cuerpo libre de la lámpara. Aplicando las ecuaciones de equilibrio de fuerzas, obtenemos •*> 2 F , = 0;
Fgc( |) - Fba eos 60° = 0
+ t 2 Fy = 0;
Fs c ( |) + Fba sen 60° - 784.8 N = 0 Fbc = 395.2 N,
Fba = 632.4 N
Por la tercera ley de Newton, la acción es igual pero opuesta a la reac ción, estas fuerzas someten a las barras a tensión en toda su longitud. Esfuerzo normal promedio. arBC =
= A bc
Aplicando la ecuación 1-6, tenemos 395.2 N _ ^^ 7r(0.004 m )2
a BA = — = 632-4 = 8.05 MPa A ba 7t(0.005 m )2
8.05
Resp.
Resp.
La distribución del esfuerzo normal promedio que actúa sobre una sección transversal de la barra A B se muestra en la figura l-17c, y en un punto sobre esta sección transversal, un elemento de material está esforzado como se muestra en la figura l . l l d .
(d)
(c)
• 29
E J E M P L O
1.8 La pieza fundida mostrada en la figura 1-18« está hecha de acero con peso específico de yac = 490 Ib /p ie D e te rm in e el esfuerzo de com pre sión promedio que actúa en los puntos A y B.
w 0.75 pie -
¡
2.75 pies
\r
2.75
- 0.4 pie B
B
í f
frl
L■<=’ /
0.75 pie ____ 1 ____
.4
P
(b)
9.36 lb/pulg2
(c)
Fig. 1-18 Solución
Carga interna. En la figura 1-186 se muestra un diagrama de cuerpo libre del segmento superior de la pieza fundida donde la sección pasa por los puntos A y B. El peso de este segmento es Wac = yacVac. La fuer za axial interna P en la sección es entonces
+t 2 Fz = 0;
P ~ w ac = 0 P - (490 lb/pie )(2.75 pies)7r(0.75 pie)2 = 0 2381 Ib
Esfuerzo de compresión promedio. El área transversal en la sección es A = 7r(0.75 p ie)2, y el esfuerzo de com presión prom edio es en tonces
P
2381 Ib
A
7t(0.75 pie)2 = 1347.5 lb/pie = 1347.5 lb/pie (1 pie /144 pulg ) = 9.36 lb/pulg2
R esp.
El esfuerzo mostrado en el elem ento de volumen de material en la figura 1-18c es representativo de las condiciones en A o B. Note que este esfuerzo actúa hacia arriba sobre el fondo o cara som breada del elemento ya que esta cara forma parte del área de la superficie del fon do de la sección cortada, y sobre esta superficie, la fuerza interna re sultante P empuja hacia arriba.
S e c c ió n 1 .4
E J E M P L O
Esfuerzo normal promedio en una barra cargada axialmente
-----------------------------------------------
El miembro AC mostrado en la figura 1-19« está sometido a una fuer za vertical de 3 kN. Determine la posición x de esta fuerza de modo que el esfuerzo de compresión promedio en el soporte liso C sea igual al esfuerzo de tensión promedio en el tirante A B . El tirante tiene un área en su sección transversal de 400 mm2 y el área de contacto en C es de 650 mm2.
(a)
Fig. 1-19
Solución
Carga interna. Las fuerzas en A y C pueden ser relacionadas consi derando el diagrama de cuerpo libre del miembro AC, figura 1-196. Se tienen tres incógnitas que son FAB, Fc y x. En la solución de este pro blema usaremos unidades de newtons y milímetros. + t 2 Fy = 0; 2 M a = 0;
Fab + Fc ~ 3000 N = 0 -3000 N(jc) + Fc (200 mm) = 0
(1) (2 )
Esfuerzo norm al promedio. Puede escribirse una tercera ecuación necesaria que requiere que el esfuerzo de tensión en la barra A B y el esfuerzo de compresión en C sean equivalentes, es decir,
a =
AB
400 mm2 650 mm2 Fc = 1.625Fab
Sustituyendo esto en la ecuación 1, despejando Fab y Fc, obtenemos Fab = 1143 N Fc = 1857 N La posición de la carga aplicada se determina con la ecuación 2, x = 124 mm Note que 0 < x < 200 mm, tal como se requiere.
Resp.
• 31
1.5
Esfuerzo cortante promedio El esfuerzo cortante se definió en la sección 1.3 como la componente del esfuerzo que actúa en el plano del área seccionada. Para m ostrar cómo se desarrolla este esfuerzo, consideraremos el efecto de aplicar una fuerza F a la barra mostrada en la figura 1-20a. Si los soportes se consideran rígi dos y F es suficientemente grande, ésta ocasionará que el material de la barra se deforme y falle a lo largo de los planos A B y CD. Un diagrama de cuerpo libre del segmento central no soportado de la barra, figura 1-206, indica que una fuerza cortante V = F/2 debe aplicarse a cada sección pa ra mantener el segmento en equilibrio. El esfuerzo cortante prom edio dis tribuido sobre cada área seccionada que desarrolla esta fuerza se define por:
'Tprom
a
(1-7)
Donde, Tprom = esfuerzo cortante promedio en la sección; se supone que es el mis m o en todo punto localizado sobre la sección V = fuerza cortante interna resultante en la sección; se determ ina con las ecuaciones de equilibrio A = área en la sección La distribución del esfuerzo cortante promedio se muestra actuando so bre la sección derecha en la figura l-20c. Observe que Tprom tiene la mis ma dirección que V, ya que el esfuerzo cortante debe crear fuerzas aso ciadas que contribuyen en conjunto a generar la fuerza interna resultante V en la sección. El caso de carga analizado en la figura 1-20 es un ejemplo de cortante sim ple o cortante directo, ya que el cortante es causado por la acción di recta de la carga aplicada F. Este tipo de cortante suele ocurrir en varios tipos de conexiones simples que usan pernos, pasadores, soldadura, etc. Sin embargo, en todos esos casos, la aplicación de la ecuación 1-7 es sólo aproximada. Una investigación más precisa de la distribución del esfuer zo cortante sobre la sección crítica revela que esfuerzos cortantes mucho mayores ocurren en el material que los predichos por esta ecuación. Si bien éste puede ser el caso, la aplicación de la ecuación 1-7 es generalmen te aceptable para muchos problemas de análisis y diseño. Por ejemplo, los manuales de ingeniería permiten su uso al considerar tamaños de diseño para sujetadores como pernos o para obtener la resistencia por adheren cia de juntas sometidas a cargas cortantes. Con respecto a esto, ocurren en la práctica dos tipos de cortante, que merecen tratam ientos separados.
.
S e c c ió n
1.5 Esfuerzo cortante promedio
•
• 33
Fig. 1-21
Cortante simple. Las juntas de acero y m adera mostradas en las figu ras 1-21« y l-21c, respectivamente, son ejemplos de conexiones en cortan te sim ple y se conocen como juntas traslapadas. Supondremos aquí que los miembros son delgados y que la tuerca en la figura 1-21« no está de masiado apretada de modo que la fricción entre los miembros puede des preciarse. Pasando una sección entre los miembros se obtienen los diagra mas de cuerpo libre m ostrados en las figuras 1-216 y 1-21 d. Como los miembros son delgados, podemos despreciar el momento generado por la fuerza F. Entonces, por equilibrio, el área de la sección transversal del perno en la figura 1-216 y la superficie de contacto entre los miembros en la figura 1-21 d están sometidos sólo a una fuerza cortante V = F. Esta fuer- El pasador en este tractor está sometido a za se usa en la ecuación 1-7 para determ inar el esfuerzo cortante prome- cortante doble, dio que actúa en la sección de la figura 1-21 d. Cortante doble. Cuando la junta se construye como se muestra en la figura 1-22« o l-22c, deben considerarse dos superficies cortantes. Ese ti po de conexiones se llaman juntas traslapadas dobles. Si pasamos una sec ción entre cada uno de los miembros, los diagramas de cuerpo libre del miembro central son como se m uestra en las figuras 1-226 y i-22d. Tene mos aquí una condición de cortante doble. En consecuencia, una fuerza cortante V - Ff2 actúa sobre cada área seccionada y esta fuerza cortan te debe considerarse al aplicar rperm = V¡A.
Fig. 1-22
Syijm
S e cció n
1.5 Esfuerzo cortante promedio
• 33
Fig. 1-21
Cortante simple. Las juntas de acero y m adera mostradas en las figu ras 1-21 a y l-21c, respectivamente, son ejemplos de conexiones en cortan te sim ple y se conocen como juntas traslapadas. Supondremos aquí que los miembros son delgados y que la tuerca en la figura 1-21« no está de masiado apretada de modo que la fricción entre los miembros puede des preciarse. Pasando una sección entre los miembros se obtienen los diagra mas de cuerpo libre m ostrados en las figuras 1-216 y 1-21 d. Como los miembros son delgados, podemos despreciar el momento generado por la fuerza F. Entonces, por equilibrio, el área de la sección transversal del perno en la figura 1-216 y la superficie de contacto entre los miembros en la figura 1-21 d están sometidos sólo a una fuerza cortante V = F. Esta fuerza se usa en la ecuación 1-7 para determ inar el esfuerzo cortante promedio que actúa en la sección de la figura 1-21 d.
El pasador en este tractor está sometido a cortante doble,
Cortante doble. Cuando la junta se construye como se muestra en la figura 1-22« o l-22c, deben considerarse dos superficies cortantes. Ese ti po de conexiones se llaman juntas traslapadas dobles. Si pasamos una sec ción entre cada uno de los miembros, los diagramas de cuerpo libre del miembro central son como se m uestra en las figuras 1-226 y l-22d. Tene mos aquí una condición de cortante doble. En consecuencia, una fuerza cortante V = Ff2 actúa sobre cada área seccionada y esta fuerza cortan te debe considerarse al aplicar T p e rm = V/A.
Fig. 1-22
Ay
Fig. 1-23
Equilibrio. Consideremos un elemento de volumen de material tom a do en un punto localizado sobre la superficie de cualquier área seccionada sobre la que actúa el esfuerzo cortante promedio, figura 1-23a. Si consi deramos el equilibrio de fuerzas en la dirección y, entonces fuerza esfuerzo
área
n i------- 1
2 Fy - 0;
Tz y ( ^ x A y) ~ T'zy A * A y = 0 T zy ~~ r zy
De m anera similar, el equilibrio de fuerzas en la dirección z nos da ryz = Tyz. Finalmente, tomando momentos respecto al eje x, m om ento fuerza
I esfuerzo
2 Mx = 0;
brazo
1 área
1 —r zy( A x Ay) Az + r yz( A x Az) A y = 0
por lo que
En otras palabras, el equilibrio de fuerzas y momentos requiere que el esfuerzo cortante que actúa sobre la cara superior del elemento, esté acom pañado por esfuerzos cortantes actuando sobre las otras tres caras, figu ra l-23¿>. Aquí, todos los cuatro esfuerzos cortantes deben tener igual magnitud y estar dirigidos hacia o alejándose uno de otro en caras con un borde común. A esto se le llama propiedad complementaria del cortan te,y bajo las condiciones mostradas en la figura 1-23, el material está so metido a cortante puro. Aunque hemos considerado aquí un caso de cortante simple causado por la acción directa de una carga, en capítulos posteriores veremos que el esfuerzo cortante puede también generarse indirectamente por la ac ción de otros tipos de cargas.
S e c c ió n 1 .5
PUNTOS IMPORTANTES • Si dos partes delgadas o pequeñas se unen entre sí, las cargas apli cadas pueden causar cortante del material con flexión desprecia ble. Si éste es el caso, es generalmente conveniente en el análisis suponer que un esfuerzo cortante promedio actúa sobre el área de la sección transversal. • A menudo los sujetadores, como clavos y pernos, están someti dos a cargas cortantes. La magnitud de una fuerza cortante sobre el sujetador es máxima a lo largo de un plano que pasa por las superficies que son conectadas. Un diagrama de cuerpo libre cui dadosamente dibujado de un segmento del sujetador permitirá obtener la magnitud y dirección de esta fuerza.
PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS La ecuación rprom = V /A se usa para calcular sólo el esfuerzo cortan te promedio en el material. Su aplicación requiere dar los siguientes pasos Cortante interno. • Seccione el miembro en el punto donde el esfuerzo cortante pro medio va a ser determinado. • Dibuje el diagrama de cuerpo libre necesario y calcule la fuerza cortante interna y que actúa en la sección que es necesaria para mantener la parte en equilibrio. Esfuerzo cortante promedio. • Determine el área seccionada A , y calcule el esfuerzo cortante promedio rprom = V/A. • Se sugiere que T p ro m sea m ostrado sobre un pequeño elemento de volumen de material localizado en un punto sobre la sección don de él es determinado. Para hacer esto, dibuje primero T p ro m sobre la cara del elem ento que coincide con el área seccionada A. Este esfuerzo cortante actúa en la misma dirección que V. Los esfuer zos cortantes que actúan sobre los tres planos adyacentes pueden entonces ser dibujados en sus direcciones apropiadas siguiendo el esquema mostrado en la figura 1-23.
Esfuerzo cortante promedio
• 35
La barra m ostrada en la figura 1-24a tiene una sección transversal cua drada de 40 mm. Si se aplica una fuerza axial de 800 N a lo largo del eje centroidal del área transversal de la barra, determ ine el esfuerzo normal promedio y el esfuerzo cortante promedio que actúan sobre el m aterial a lo largo (a) del plano a-a y (b) del plano b-b.
800 N
(a)
500 kPa
Fig. 1-24
Solución
Parte (a) Carga interna. La barra es seccionada, figura 1-246, y la carga inter na resultante consiste sólo en una fuerza axial P = 800 N. Esfuerzo promedio. la ecuación 1-6.
El esfuerzo normal promedio se determ ina con
a = “ = A
8° | ! L = 500 kPa (0.04 m)(0.04 rp)
Resp.
No existe esfuerzo cortante sobre la sección, ya que la fuerza cortante en la sección es cero. T p ro m
—0
Resp.
La distribución del esfuerzo normal promedio sobre la sección trans versal se m uestra en la figura l-24c.
S e c c ió n 1 .5
cua£o del uerzo bre el l
30' 800 N
800 N
E •jk P a
Parte (b) Carga interna. Si la barra es seccionada a lo largo de b-b, el diagra ma de cuerpo libre del segmento izquierdo es como se muestra en la figura 1-24d. Aquí actúan una fuerza normal (N) y una fuerza cortan te (V) sobre el área seccionada. Usando ejes x , y, se requiere -*• S Fx = 0;
+T 2 F,
=
0;
-8 0 0 N + N sen 60° + V eos 60° = 0 V sen 60° - N eos 60° = 0
/
o más directamente, usando ejes x \y ' + \ S F¿ = 0;
N - 800 N eos 30° = 0
+ S 2 Fy = 0;
1/ - 800 N sen 30° = 0
Resolviendo cualquier conjunto de ecuaciones, inter-
N = 692.8 N V = 400 N
12
con
Esfuerzos promedio. En este caso el área seccionada tiene un espe sor de 40 mm y una profundidad de 40 mm/sen 60° = 46.19. respecti vamente, figura 1-24«. El esfuerzo normal promedio es entonces
Resp.
N_ A
nante
692.8 N = 375 kPa (0.04 m)(0.04619 m)
Resp.
y el esfuerzo cortante promedio es
v
Resp. 'p ro m
trans-
A
400 N = 217 kPa (0.04 m)(0.04619 m)
La distribución de esfuerzo se muestra en la figura l-24e.
Resp.
Esfuerzo cortante promedio
• 37
38 • CAPÍTULO 1 Esfuerzo
E J E M P L O El puntal de madera m ostrado en la figura 1-25« está suspendido de una barra de acero de diám etro de 10 mm, que está em potrada a la pa red. Si el puntal soporta una carga vertical de 5 kN, calcule el esfuerzo cortante prom edio en la barra en la pared y a lo largo de los dos pla nos sombreados del puntal, uno de los cuales está indicado como abcd. Solución
Cortante interno. Como se m uestra en el diagrama de cuerpo libre en la figura 1-256, la barra resiste una fuerza cortante de 5 kN donde ella está em potrada a la pared. En la figura l-25c se muestra un diagra ma de cuerpo libre del segmento seccionado del puntal que está en con tacto con la barra. Aquí la fuerza cortante que actúa a lo largo de ca da plano som breado es de 2.5 kN. Esfuerzo cortante promedio.
prom
V A
Para la barra,
5000N = 63.7 MPa 7r(0.005 m )2
Resp.
Para el puntal, fuerza del puntal sobre la barra
V 2500 N I = (0.04 m)(0.02 m) " 312 MPa
kN
^
La distribución del esfuerzo cortante promedio sobre la barra sec cionada y el segmento de puntal se m uestran en las figuras 1-25d y l-25e, respectivamente. Se m uestra también con esas figuras un ele mento de volumen típico del material en un punto localizado sobre la superficie de cada sección. Observe cuidadosamente cómo el esfuerzo cortante debe actuar sobre cada cara som breada de esos elementos y sobre las caras adyacentes de los mismos.
0>)
I7 = 2.5 kN V = 2.5 kN
r
Í|
5 kN
J
i
fuerza de la barra sobre el puntal
5 kN
5 kN (c)
3.12 MPa (e)
(d)
Fig. 1-25
S e c c ió n
1.5 Esfuerzo cortante promedio
E J E M P L O do de la pauerzo s plaabccl.
El miembro inclinado en la figura 1-26« está sometido a una fuerza de compresión de 600 Ib. Determ ine el esfuerzo de compresión promedio a lo largo de las áreas lisas de contacto definidas por A B y BC, y el es fuerzo cortante prom edio a lo largo del plano horizontal definido por EDB. ,600 Ib
i libre ionde iagraiconie ca-
/¡a
Resp. Fig. 1-26 360 ib
Solución
Resp. i sec25d y a elebre la uerzo ítos y
Cargas internas. El diagrama de cuerpo libre del miembro inclinado se muestra en la figura l-26¿>. Las fuerzas de compresión que actúan sobre las áreas de contacto son 2 Fx = 0;
Fab - 600 lb(f) = 0
FAB = 360 Ib
+ T2 Fy = 0;
Fbc - 600 lb(f) = 0 FBC = 480 Ib / También, del diagrama de cuerpo libre del segmento superior del miem bro del fondo, figura l-26c. la fuerza cortante que actúa sobre el plano horizontal seccionado E D B es ± X F x = 0;
V = 360 Ib
240
Esfuerzo promedio. Los esfuerzos de compresión promedio a lo lar go de los planos horizontal y vertical del miembro inclinado son aAB (rBC -
360 Ib = 240 lb/pulg (1 pulg)(1.5 pulg)
Resp.
480 Ib = 160 lb/pulg2 (2 pulg)(1.5 pulg)
Resp.
Estas distribuciones de esfuerzo se muestran en la figura 1-26d. El esfuerzo cortante promedio que actúa sobre el plano horizontal definido por ED B es 360 Ib V - = (3 pulg)(1.5 pulg) = 80 lb/P ul§'
ResP-
Este esfuerzo se muestra distribuido sobre el área seccionada en la figu ra l-26e.'
(d)
3601b
• 39
40
CAPÍTULO 1 Esfuerzo
PROBLEMAS 1-34. La colum na está som etida a una fuerza axial de 8 kN en su parte superior. Si el área de su sección trans versal tiene las dimensiones mostradas en la figura, deter mine el esfuerzo normal prom edio que actúa en la sección a-a. Muestre esta distribución del esfuerzo actuando sobre la sección transversal de la columna.
Prob. 1-34
1-35. El grillete de anclaje soporta la fuerza del cable de 600 Ib. Si el pasador tiene un diámetro de 0.25 pulg, deter mine el esfuerzo cortante promedio en el pasador.
Prob. 1-35
*1-36. Al correr, el pie de un hombre de 150 Ib está mo m entáneam ente sometido a una fuerza que es 5 veces su peso. Determ ine el esfuerzo normal prom edio desarrolla do en la tibia T de su pierna en la sección media a-a. La sección transversal puede suponerse circular con diám e tro exterior de 1.75 pulg y un diám etro interior de 1 pulg. Suponga que el peroné F no soporta carga.
Prob. 1-36
1-37. Ei pequeño bloque tiene un espesor de 0.5 pulg. Si la distribución de esfuerzo en el soporte desarrollado por la carga varía como se muestra, determ ine la fuerza F apli cada al bloque y la distancia d a la que está aplicada.
Prob. 1-37
■ Pr o blem a s
mossu ollat. La ime-
1-38. El pequeño bloque tiene un espesor de 5 mm. Si la distribución de esfuerzo en el soporte desarrollado por la carga varía como se muestra, determine la fuerza F apli cada al bloque y la distancia d a la que está aplicada.
41
*1-40. La rueda de soporte se mantiene en su lugar bajo la pata de un andamio por medio de un pasador de 4 mm de diámetro como se muestra en la figura. Si la rueda es tá som etida a una fuerza norm al de 3 kN, determ ine el esfuerzo cortante prom edio generado en el pasador. D es precie la fricción entre la pata del andamio y el tubo sobre la rueda.
5U lg-
60 MPa 40 MPa
Prob. 1-38
1-39. La palanca está unida a la flecha em potrada por medio de un pasador cónico que tiene un diám etro medio de 6 mm. Si se aplica un par a la palanca, determ ine el es fuerzo cortante prom edio en el pasador, entre el pasador y la palanca. ilg. Si por la apli-
1-41. U na mujer con peso de 175 Ib está de pie sobre un piso vinflico con zapatos de tacón puntiagudo. Si el tacón tiene las dim ensiones mostradas, determ ine el esfuerzo normal promedio que ella ejerce sobre el piso y com páre lo con el esfuerzo normal promedio generado cuando un hombre del mismo peso lleva zapatos de tacones planos. Suponga que la carga se aplica lentam ente de manera que puedan ignorarse los efectos dinámicos. Suponga también que todo el peso es soportado sólo por el tacón de un za pato.
1.2 pulg-
0.3 pulg
-Ht—o.i pulg 0.5 pulg
Prob. 1-39
Prob. 1-41
42 • CAPÍTULO 1 Esfuerzo
1-42. La lámpara con un peso de 50 Ib está soportada por tres barras de acero conectadas por un anillo en A . D eter mine cuál barra está sometida al mayor esfuerzo normal promedio y calcule su valor. Considere d = 30°. El diám e tro de cada barra se da en la figura. 1-43.
1-46. Los dos miembros de acero están unidos entre sí por medio de una soldadura a tope a 60°. Determ ine los esfuerzos normal y cortante promedio resistidos en el pla no de la soldadura.
Resuelva el problema 1-42 para 0 = 45°.
*1-44. La lámpara con un peso de 50 Ib está soportada por tres barras de acero conectadas por un anillo en A . D eter mine el ángulo de orientación 9 de A C tal que el esfuerzo normal producido en la barra A C sea el doble del esfuer zo normal promedio en la barra A D . ¿Cuál es la magnitud del esfuerzo en cada barra? El diám etro de cada barra se da en la figura.
A , 25 mm
■c
8kN -
Z -------sí
8kN
60° 30 mm
Prob. 1-46
1-47. La flecha compuesta consiste en un tubo A B y en una barra sólida BC. El tubo tiene un diám etro interior de 20 mm y un diámetro exterior de 28 mm. La barra tiene un diám etro de 12 mm. D eterm ine el esfuerzo norm al p ro medio en los puntos D y E y represente el esfuerzo sobre un elem ento de volumen localizado en cada uno de esos puntos.
Probs. 1-42/43/44 ___
El pedestal tiene una sección transversal triangu lar como se muestra. Si está sometido a una fuerza com presiva de 500 Ib, especifique las coordenadas x y y del pun to P(x, y ) en que debe aplicarse la carga sobre la sección transversal para que el esfuerzo norm al sea uniform e. Calcule el esfuerzo y esboce su distribución sobre una sec ción transversal en una sección alejada del punto de apli cación de la carga. 1-45.
5001b
Prob. 1-45
A
B _ 6kN
. j. D
r t ~
, «■ M=a - ^ 8 k N
6kN
E
Prob. 1-47
*1-48. La pieza de madera está som etida a una fuerza de tensión de 85 Ib. Determ ine los esfuerzos normal y cor tante prom edio desarrollados en las fibras de la madera orientadas a lo largo de la sección a-a a 15° con respecto el eje de la pieza.
Prob. 1-48
1
P ro b lem a s
e si los )la-
1-49. El bloque de plástico está som etido a una fuerza axial de compresión de 600 N. Suponiendo que las tapas arriba y en el fondo distribuyen la carga uniform emente a través del bloque, determ ine los esfuerzos normal y cor tante promedio que actúan a lo largo de la sección a-a.
•
43
*1-52. La junta está sometida a la fuerza axial de miem bro de 5 kN. D eterm ine el esfuerzo normal promedio que actúa en las secciones A B y BC. Suponga que el miembro es liso y que tiene 50 mm de espesor.
600 N
5kN
y en >r de e un proabre esos
Prob. 1-52
1-53. La junta está sometida a la fuerza axial de miem bro de 6 klb. D eterm ine el esfuerzo normal prom edio que actúa sobre las secciones A B y BC. Suponga que el miem bro es liso y que tiene 1.5 pulg de espesor.
Prob. 1-49
1-50. El espécimen falló en una prueba de tensión a un ángulo de 52° cuando la carga axial era de 19.80 klb. Si el diámetro del espécimen es de 0.5 pulg, determ ine los es fuerzos normal y cortante prom edio que actúan sobre el plano inclinado de falla. Además, ¿cuál fue el esfuerzo nor mal prom edio que actuaba sobre la sección transversal cuando ocurrió la falla?
le r z a
cor dera jecto
Prob. 1-53 Prob. 1-50
.a
1-51. Un espécimen a tensión con área A en su sección transversal está sometido a una fuerza axial P. Determine el esfuerzo cortante máximo promedio en el espécimen e indique la orientación 0 de la sección en que éste ocurre.
1-54. Los dos miembros usados en la construcción del fu selaje de un avión están unidos entre sí usando una solda dura de boca de pescado a 30°. D eterm ine los esfuerzos normal y cortante promedio sobre el plano de cada solda dura. Suponga que cada plano inclinado soporta una fuer za horizontal de 400 libras.
85 Ib
pulg P ■*-
rr*'
/
Prob. 1-51
8001b-
' 1 pulg 1 pulg
30° 8001b
T 30'
Prob. 1-54
44 • CAPÍTULO 1 Esfuerzo
1-55. El conductor de un auto deportivo aplica los fre nos traseros, lo que ocasiona que los neumáticos se desli cen. Si la fuerza normal en cada neumático trasero es de 400 Ib y el coeficiente de fricción cinética entre los neum á ticos y el pavimento es de ¡xk = 0.5, determ ine el esfuerzo cortante prom edio desarrollado por la fuerza de fricción sobre los neumáticos. Suponga que el caucho de los neu máticos es flexible y que cada neumático tiene una presión de 32 lb/pulg2.
1-58. Las barras de la arm adura tienen cada una un área transversal de 1.25 pulg2. D eterm ine el esfuerzo normal prom edio en cada barra debido a la carga P = 8 klb. Indi que si el esfuerzo es de tensión o de compresión. 1-59. Las barras de la arm adura tienen cada una un área transversal de 1.25 pulg2. Si el esfuerzo normal pro medio máximo en cualquier barra no debe ser mayor de 20 klb/pulg2,determ ine la magnitud máxima / ’ de las car gas que pueden aplicarse a la armadura.
400 Ib
Prob. 1-55 Probs. 1-58/59
*1-56. Las barras A B y B C tienen diámetros de 4 mm y 6 mm, respectivamente. Si la carga de 8 kN se aplica al ani llo en fi, determ ine el esfuerzo normal promedio en cada barra si 0 = 60°. 1-57. Las barras A B y B C tienen diám etros de 4 mm y 6 mm, respectivamente. Si la carga vertical de 8 kN se apli ca al anillo en B. determine el ángulo 9 de la barra BC de m anera que el esfuerzo normal promedio en ambas barras sea el mismo. ¿Q ué valor tiene este esfuerzo?
*1-60. La arm adura está form ada p o r tres m iem bros conectados por pasadores; las áreas transversales de los miembros se muestran en la figura. D eterm ine el esfuer zo norm al prom edio generado en cada barra cuando la arm adura está sometida a la carga mostrada. Indique si el esfuerzo es de tensión o de compresión.
5001b
Probs. 1-56/57
Prob. 1-60
P ro blem a s
1-61. La viga uniforme está soportada por dos barras A B y CD cuyas áreas transversales son de 12 mm2 y 8 mm2, respectivamente. Si d = 1 m, determine el esfuerzo normal prom edio en cada barra. 1-62. La viga uniforme está soportada por dos barras A B y CD cuyas áreas de sección transversal son de 12 mm2 y 8 mm2, respectivamente. Determine la posición d de la car ga de 6 kN para que el esfuerzo normal prom edio en am bas barras sea el mismo.
• 45
1-65. El bastidor de dos miembros está sometido a la car ga distribuida mostrada. D eterm ine la intensidad w de la carga uniform e máxima que puede aplicarse al bastidor sin que los esfuerzos normal y cortante promedios en la sección b-b excedan los valores a = 15 MPa y r = 16 MPa, respectivamente. El miembro CB tiene una sección trans versal cuadrada de 35 mm de lado.
Probs. 1-61/62
1-63. La lámpara usada para iluminar el enganche de va gones de ferrocarril está soportada por el pasador de i pulg de diám etro en A . Si la lámpara pesa 4 Ib y el brazo tiene un peso de 0.5 Ib/pie, determine el esfuerzo cortante pro medio en el pasador necesario para soportar la lámpara. Sugerencia: la fuerza cortante en el pasador es causada por el par requerido para el equilibrio en A .
*1-64. El bastidor de dos miembros está som etido a la carga distribuida que se muestra en la siguiente figura. D e term ine los esfuerzos normal y cortante prom edio que ac túan en las secciones a-a y b-b. El miembro CB tiene una sección transversal cuadrada de 35 mm de lado. Conside re w = 8 kN/m.
Probs. 1-64/65
■1-66. Considere el problema general de una barra hecha de m segmentos, cada uno con área transversal constante A m y longitud L m. Si se tienen« cargas sobre la barra como se muestra, escriba un programa de com putadora que pue da usarse para determinar el esfuerzo normal promedio en cualquier posición específica x. Muestre una aplicación del program a usando los valores = 4 pies, d-y - 2 pies, P\ - 400 Ib, A] = 3 pulg2, L,2 = 2 pies, d2 = 6 pies, P2 = —300 Ib, ^42 = 1 pulg2-
Prob. 1-66
46 • CAPÍTULO 1 Esfuerzo
1-67. La viga está soportada por un pasador en A y un eslabón corto BC. Si P = 15 kN, determine el esfuerzo cor tante promedio desarrollado por los pasadores en A , B y C. Todos los pasadores están en cortante doble, como se m uestra y cada uno tiene un diám etro de 18 mm. *1-68. La viga está soportada por un pasador en A y un eslabón corto BC. D eterm ine la magnitud máxima P de las cargas que la viga soportará si el esfuerzo cortante pro m edio en cada pasador no debe ser m ayor de 80 MPa. Todos los pasadores están en cortante doble y cada uno tiene un diámetro de 18 mm.
1-70. La grúa pescante está sostenida por un pasador en A y soporta un elevador de cadena que puede viajar a lo largo del patín inferior de la viga, 1 pie s x s 12 pies. Si el elevador puede soportar una carga máxima de 1500 Ib, de term ine el esfuerzo normal máximo promedio en el tiran te B C de diámetro | pulg y el esfuerzo cortante máximo promedio en el pasador de diámetro de | pulg en B.
M
Probs. 1-67/68
1-69. Cuando la mano sostiene una piedra de 5 Ib, el hú mero H, que se supone liso, ejerce las fuerzas normales Fc y Fa sobre el radio C y el cúbito A , respectivamente, co mo se muestra. Si la m enor área de sección transversal del ligamento en B es de 0.30 pulg2, determ ine el máximo es fuerzo de tensión promedio a que estará sometido.
Prob. 1-70
1-71. D eterm ine el esfuerzo normal prom edio desarro llado en los eslabones A B y CD de las tenazas que sopor tan el tronco con masa de 3 Mg. El área de la sección trans versal de cada eslabón es de 400 mm2.
1
Prob. 1-69
Prob. 1-71
P ro blem a s
*1-72. Determine el esfuerzo cortante promedio desarro llado en los pasadores A y B de las tenazas que soportan el tronco con masa de 3 Mg. Cada pasador tiene un diá metro de 25 mm y está sujeto a un cortante doble.
•
47
1-74. El pedestal en forma de tronco cónico está hecho de concreto con peso específico de 150 lb/pie3. D eterm i ne el esfuerzo normal promedio que actúa a media altura del pedestal, esto es, a z = 4 pies. Sugerencia: el volumen de un cono de radio r y altura h es V = i irr2h.
z
Prob. 1-74
1-73. El pedestal en forma de tronco cónico está hecho de concreto con peso específico de 150 lb/pie3. D eterm i ne el esfuerzo normal promedio que actúa en la base del pedestal. Sugerencia: el volumen de un cono de radio r y altura h es V = ¿ 77t2/¡.
z
Prob. 1-73
1-75. La columna está hecha de concreto con densidad de 2.30 Mg/m3. E n su parte superior B está sometida a una fuerza de compresión axial de 15 kN. Determ ine el esfuer zo normal promedio en la columna en función de la dis tancia z medida desde su base. Nota: el resultado será útil solamente para determ inar el esfuerzo normal promedio en una sección alejada de los extremos de la columna, de bido a la deformación localizada en los extremos.
48 • CAPÍTULO 1 Esfuerzo
*1-76. La pila está hecha de material con peso específi co y. Si tiene una sección transversal cuadrada, determine su ancho w en función de z, de manera que el esfuerzo nor mal promedio en la pila permanezca constante. La pila so porta una carga constante P en su parte superior, donde su ancho es w\.
1-78. El radio del pedestal está definido p or r = (0.5e”ao8’'2) m, donde y está dada en metros. Si el material tiene una densidad de 2.5 M g/m3, determ ine el esfuerzo normal promedio en el soporte.
r = 0.5e“° 08'"
Prob. 1-78 Prob. 1-76
1-77. El pedestal soporta una carga P en su centro. Si el m aterial tiene una densidad de masa p, determ ine la di mensión radial r en función de z, de manera que el esfuer zo norm al prom edio perm anezca constante. La sección transversal es circular.
1-79. Determine la velocidad angular máxima constante u>del volante de manera que el esfuerzo normal prom e dio en su pestaña no sea mayor que er = 15 MPa. Supon ga que la pestaña es un anillo delgado con espesor de 3 mm, ancho de 20 mm y masa de 30 kg/m. La rotación tiene lugar en un plano horizontal. Desprecie el efecto de los rayos en el análisis. Sugerencia: considere un diagrama de cuerpo libre de una porción semicircular del anillo. El centro de masa de un segmento semicircular está en r = 2 r/ir des de el diámetro.
Prob. 1-79
S e c c ió n
1.6
1.6 Esfuerzo permisible
• 49
Esfuerzo permisible
U n ingeniero a cargo del diseño de un miembro estructural o elemento mecánico debe restringir el esfuerzo en el material a un nivel que sea se guro. Además, una estructura o máquina corrientem ente en uso puede en ocasiones tener que ser analizada para ver qué carga adicional pueden so portar sus miembros o partes. Así que nuevamente es necesario efectuar los cálculos usando un esfuerzo permisible o seguro. Para garantizar la seguridad es necesario escoger un esfuerzo permisi ble que limite la carga aplicada a un valor que sea menor al que el miem bro pueda soportar plenamente. Hay varias razones para esto. Por ejem plo, la carga para la cual el miembro se diseña puede ser diferente de la carga real aplicada sobre él. Las medidas previstas para una estructura o máquina pueden no ser exactas debido a errores en la fabricación o en el montaje de las partes componentes. Pueden ocurrir vibraciones descono cidas, impacto o cargas accidentales que no se hayan tom ado en cuenta durante el diseño. La corrosión atmosférica, el decaimiento o las condi ciones ambientales tienden a que los materiales se deterioren durante el servicio. Finalmente, algunos materiales, como la m adera, el concreto o los compuestos reforzados con fibras, pueden m ostrar alta variabilidad en sus propiedades mecánicas. Una manera de especificar la carga permisible para el diseño o análisis de un miembro es usar un número llamado factor de seguridad. El factor de seguridad (FS) es la razón de la carga de falla, Ffa|la, dividida entre la car ga permisible, /’’pernv La Ffa),a se determ ina por medio de ensayos experi mentales del material y el factor de seguridad se selecciona con base en la experiencia, de manera que las incertidumbres mencionadas antes sean tomadas en cuenta cuando el miembro se use en condiciones similares de carga y simetría. Expresado matemáticamente, FS =
falla
(1-8)
perm
Si la carga aplicada al miembro está linealmente relacionada al esfuer zo desarrollado dentro del miembro, como en el caso de usar a = P /A y Tpr°m = V /A , entonces podemos expresar el factor de seguridad como larazón del esfuerzo de falla
(1-9)
O FS =
(1-10) ^perm
*En algunas capas, como en las columnas, la carga aplicada no está relacionada linealmente a la tensión y por lo tanto sólo la ecuación 1-8 puede usarse para determinar el factor de seguridad. Vea el capítulo 13.
Factores apropiados de seguridad de ben ser considerados al diseñar grúas y cables usados para transferir cargas pe sadas.
50 • CAPÍTULO 1 Esfuerzo
En cualquiera de esas ecuaciones, el factor de seguridad se escoge m a yor que 1 para evitar una posible falla. Los valores específicos dependen de los tipos de m ateriales por usarse y de la finalidad prevista para la estructura o máquina. Por ejemplo, el FS usado en el diseño de compo nentes de aeronaves o vehículos espaciales puede ser cercano a 1 para reducir el peso del vehículo. Por otra parte, en el caso de una planta nu clear, el factor de seguridad para algunos de sus componentes puede ser tan alto como 3, ya que puede haber incertidumbre en el com portam ien to de la carga o del material. Sin embargo, en general, los factores de se guridad, y por tanto las cargas o esfuerzos permisibles para elem entos estructurales y mecánicos, han sido muy estandarizados, ya que sus inde terminaciones de diseño han podido ser evaluadas razonablemente bien. Sus valores, que pueden encontrarse en los códigos de diseño y manuales de ingeniería, pretenden reflejar un balance de seguridad ambiental y pa ra el público junto con una solución económica razonable para el diseño.
1.7
Diseño de conexiones simples Haciendo suposiciones simplificatorias relativas al comportamiento del material, las ecuaciones cr = P/A y rprom = V /A pueden usarse para ana lizar o diseñar una conexión simple o un elem ento mecánico. En particu lar, si un miembro está sometido a una fuerza normal en una sección, su área requerida en la sección se determ ina con
Por otra parte, si la sección está sometida a una fuerza cortante, entonces el área requerida en la sección es: V A = --------
(1-12)
Como vimos en la sección 1.6, el esfuerzo permisible usado en cada una de esas ecuaciones se determina aplicando un factor de seguridad a un es fuerzo normal o cortante especificado o encontrando esos esfuerzos di rectam ente en un código apropiado de diseño. A hora discutiremos cuatro tipos comunes de problemas para las cuales las ecuaciones pueden usarse en el diseño. Área de la sección transversal de un miembro a tensión. El área de la sección transversal de un miembro prismático sometido a una fuer za de tensión puede determ inarse si la fuerza tiene una línea de acción que pasa por el centroide de la sección transversal. Por ejemplo, conside-
S e c c ió n 1 .7
Diseño de conexiones simples •
Esfuerzo normal uniforme
se m a lenden ■vara la cmpo1 para ita nu;de ser imien; de senentos s indee bien, inuales il y padiseño.
^nerm
Fig. 1-27
re la barra con perforación en sus extremos mostrada en la figura 1-27«. En la sección intermedia a-a, la distribución de esfuerzos es uniforme so bre toda la sección y se determ ina el área som breada A , como se muestra en la figura \-21b.
Esfuerzo cortante uniforme ' perm
P
Fig. 1-28
' perm
(b)
nto del ra ana>articu:ión, su
(1-11)
itonces
(1-12)
ida una a un esrzos dis cuales
El área la fueracción onside-
(c)
Área de la sección transversal de un conector sometido a cor tante. A menudo los pernos o pasadores se usan para conectar placas, tablones o varios miembros entre sí. Por ejemplo, considere la junta tras lapada mostrada en la figura 1-28«. Si el perno está suelto o la fuerza de agarre del perno es desconocida, es seguro suponer que cualquier fuerza de fricción entre las placas es despreciable. El diagrama de cuerpo libre de una sección que pasa entre las placas y a través del perno se muestra en la figura 1-286. El perno está sometido a una fuerza cortante interna re sultante de V = P en esta sección transversal. Suponiendo que el esfuer zo cortante que causa esta fuerza está distribuido uniformemente sobre la sección transversal, el área A de la sección transversal del perno se deter mina como se muestra en la figura l-28c. Área requerida para resistir aplastamiento. Un esfuerzo normal producido por la compresión de una superficie contra otra se denomina esfuerzo de aplastamiento. Si este esfuerzo es demasiado grande, puede aplastar o deform ar localmente una o ambas superficies. Por tanto, para impedir una falla es necesario determ inar el área apropiada de apoyo pa ra el material, usando un esfuerzo de aplastamiento permisible. Por ejem plo, el área A de la placa B de base de la columna mostrada en la figura 1-29 se determina a partir del esfuerzo permisible de aplastamiento del concreto, usando la ecuación A = P/(,o-b)petm. Esto supone, desde luego, que el esfuerzo permisible de aplastamiento para el concreto es menor que el del material de la placa de base y además que el esfuerzo está unifor memente distribuido entre la placa y el concreto, como se muestra en la figura.
penn
Fig. 1-29
51
52 • CAPÍTULO 1 Esfuerzo
Área requerida para resistir el cortante causado por carga axial. Ocasionalmente las barras u otros miembros son soportados en forma tal que puede desarrollarse un esfuerzo cortante en el miembro aun cuando éste esté sometido a carga axial. Un ejemplo de esta situación sería una barra de acero cuyo extremo esté em potrado en concreto y se encuentre cargado como se m uestra en la figura l-30a. Un diagrama de cuerpo libre de la barra, figura 1-306, muestra que un esfuerzo cortante actúa sobre el área de contacto de la barra con el concreto. Esta área es ( 7 7 d)l, donde d es el diám etro de la barra y / es la longitud del em potramiento. Si bien la distribución real del esfuerzo cortante a lo largo de la barra sería difícil de determinar, si suponemos que es uniforme, podemos usar/4 = V /T perm pa ra calcular /, siempre que conozcamos d y rperm, figura 1-306.
PUNTOS IMPORTANTES
Esfuerzo cortante uniforme
• El diseño de un miembro por resistencia se basa en la selección de un esfuerzo admisible que permita soportar con seguridad su carga propuesta. Hay muchos factores desconocidos que pueden influir en el esfuerzo real en un miembro y entonces, dependien do de los usos propuestos para el miembro, se aplica un factor de seguridad para obtener la carga admisible que el miembro pue de soportar. • Los cuatro casos ilustrados en esta sección representan sólo unas pocas de las muchas aplicaciones de las fórmulas para los esfuer zos normal y cortante promedio usadas en el diseño y análisis en ingeniería. Sin embargo, siempre que esas ecuaciones son aplica das, debe ser claro que la distribución del esfuerzo se supone uni formemente distribuida o “promediada" sobre la sección.
PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS Al resolver problemas usando las ecuaciones del esfuerzo normal pro medio y del esfuerzo cortante promedio, debe prim ero considerarse cuidadosamente sobre qué sección está actuando el esfuerzo crítico. Una vez identificada esta sección, el miembro debe entonces diseñar se con suficiente área en la sección para resistir el esfuerzo que actúe sobre ella. P ara determ inar esta área, se requieren los siguientes pasos. Carga interna. • Seccione el miembro por el área y dibuje un diagrama de cuer po libre de un segmento del miembro. La fuerza interna resultan te en la sección se determina entonces usando las ecuaciones de equilibrio. Área requerida. • Si se conoce o puede determinarse el esfuerzo permisible, el área requerida para soportar la carga en la sección se calcula enton ces C O n A P A-^pcrm O /I V / tpemr
S e c c ió n
E J E M P L O
1.7 Diseño de conexiones simples • 53
1.13
Los dos miembros están unidos por pasadores en B como se muestra en la figura 1-31 a. Se muestran también en la figura dos vistas superio res de las conexiones por pasador en A y B. Si los pasadores tienen un esfuerzo cortante permisible rperm = 12.5 klb/pulg2 y el esfuerzo per misible de tensión de la barra CB es (o-,)perm = 16.2 klb/pulg2, deter mine el diámetro más pequeño, con una aproximación a pulg, de los pasadores A y B y el diám etro de la barra CB, necesarios para sopor tar la carga.
(a) Fig. 1-31
Solución La barra CB es un miembro de dos fuerzas; el diagrama de cuerpo li bre del miembro A B , junto con las reacciones calculadas en A y B. se muestran en la figura 1-31 b. Como ejercicio, verifique los cálculos y no te que la fuerza resultante en A debe usarse para el diseño del pasador A, ya que ésta es la fuerza cortante que el pasador resiste.
333 klb
Continúa
54 • CAPÍTULO 1 Esfuerzo
Pasador en A
Pasador en B (c)
D iám etro de los pasadores. De la figura 1-31« y los diagramas de cuerpo libre de la porción seccionada de cada pasador en contacto con el miembro A B , figura l-31c, vemos que el pasador A está sometido a cortante doble, mientras que el pasador B está sometido a cortante sim ple. Entonces,
i2.5 kib/puig2 * 01139
mtib/pui^ '
02661
' Á í)
pulg!''(■ f )
*
d ”
' 0381 pule
‘
°'583plllg
Aunque estos valores representan los diámetros más pequeños permi sibles para los pasadores, deberá escogerse un tam año de pasador co mercial. Escogeremos un tamaño mayor con una aproximación a ^ pulg como se requiere. d A = ~ pulg = 0.4375 pulg
Resp.
d B = | pulg = 0.625 pulg
Resp.
Diám etro de la barra. El diámetro requerido para la barra en su sec ción media es entonces: ,
_ BC
P
_
(o-í)perm
3.333klb _ nnfíKQ . 2 _ í á £ 16.2 klb/pulg2 ' ?U & H 4
dBC = 0.512 pulg Escogeremos d[¡c = ^ pulg = 0.5625 pulg
Resp.
S e cció n
1.7 Diseño de conexiones simples • 55
E J E M P L O El brazo de control está sometido a la carga mostrada en la figura 1-32a. Determine el diámetro requerido, con una aproximación de ¿ pulg, para el pasador de acero en C si el esfuerzo cortante permisible para el ace ro es 7perm = 8 lb/pulg2. A dvierta en la figura que el pasador está so metido a cortante doble.
(b)
Solución
Fuerza cortante interna. Un diagrama de cuerpo libre del brazo se muestra en la figura \-32b. Por equilibrio tenemos, 1+ 2 Mc = 0; Fab(8 pulg) - 3 klb(3 pulg) - 5 klp(f)(5 pulg) = 0 F ab = 3 klb ^ I F t = 0;
- 3 klb - C , + 5 klb(f) = 0
+ t 2 Fy = 0;
C , = 1 klb
Cy - 3 klb - 5 k1b(|) = 0
6.082 klb
Cy = 6 klb 3.041 klb
El pasador en C resiste la fuerza resultante en C. Por lo tanto,
3.041 klb Pasador en C
Fc = V ( l k l b ) 2 + (6 klb)2 = 6.082 klb
(c)
Como el pasador está sometido a cortante doble, una fuerza cortante de 3.041 klb actúa sobre su área transversal entre el brazo y cada ho ja de soporte para el pasador, figura l-32c. Área requerida. A =
Tenemos V 'perm
3.041 klb = 0.3802 pulg2 8 klb/pulg= 0.3802 pulg2 d = 0.696 pulg
Usaremos un pasador con diám etro de d = ~ pulg = 0.750 pulg
Resp.
Fig. 1-32
La barra colgante está soportada en su extremo por un disco circular em potrado a ella, como se m uestra en la figura 1-33«. Si la barra pasa por un agujero con diámetro de 40 mm, determ ine el diámetro míni mo requerido de la barra y el espesor mínimo del disco necesario pa ra soportar la carga de 20 kN. El esfuerzo normal permisible para la barra es crperm = 60 MPa y el esfuerzo cortante permisible para el dis co es rperm = 35 MPa. — ] 40 mm I—
Fig. 1-33
Solución Diám etro de la barra. Por inspección, la fuerza axial en la barra es de 20 kN. El área transversal requerida para la barra es entonces P 20(103) N 2 = 0.3333(10 J) n r A = ------- = — -— 7 7 — . °"pcrm 60(10 ) N /irr De m anera que A = n f ^ p í = 0.3333(10“2) m2 4 d = 0.0206 m = 20.6 mm
Resp.
Espesor del disco. Como se muestra en el diagrama de cuerpo libre de la sección del núcleo del disco, figura 1-336, el material en el área seccionada debe resistir esfuerzos cortantes para impedir el movimien to del disco a través del agujero. Si se supone que este esfuerzo cortan te está uniformemente distribuido sobre el área seccionada, entonces, como V = 20 kN, tenemos: V 20(10 ) N , . , A = ------ = ------- -----------7 = 0.571 10-3 m2 35(10 ) N /m v ' Como el área seccionada A = 2 tt(0.02 m)(/), el espesor requerido del disco es: 0.5714(10-3) m2 f = —„ ” — r— = 4.55(10-3) m = 4.55 mm 2 tt( 0 .0 2 m )
v
’
Resp.
S e c c ió n 1 .7
E J E M P L O
Diseño de conexiones simples • 57
1.16
Una carga axial sobre la flecha mostrada en la figura 1-34« es resistida por el collarín en C que está unido a la flecha y localizado a la derecha del cojinete en B. Determ ine el máximo valor de P para las dos fuer zas axiales en E y F, de manera que el esfuerzo en el collarín no exce da un esfuerzo de aplastamiento permisible en C de (ab )perm = 75 MPa y que el esfuerzo normal prom edio en la flecha no exceda un esfuerzo de tensión permisible de (cr,)perm = 55 MPa.
Carga
axial
Fig-1-34
3P 2P Posición
(c)
Solución Para resolver el problema determ inarem os P para cada condición po sible de falla. Luego escogeremos el valor más pequeño. ¿Por qué? Esfuerzo normal. Usando el método de las secciones, vemos que la carga axial dentro de'la región FE de la flecha es 2P. mientras que la car ga axial máxima, 3P, ocurre dentro de la región EC, figura l-34£>. La variación de la carga interna se ve claramente en el diagrama de fuer za normal, figura l-34c. Como el área transversal de toda la flecha es constante, la región EC estará sometida al esfuerzo normal promedio máximo. Aplicando la ecuación 1-11, tenemos: P
A
3P
55(106) N /m 2 = \ / / 7t-(0.03 m )2
P = 51.8 kN Esfuerzo de aplastamiento. Como se muestra en el diagrama de cuer po libre en la figura 1-34d, el collarín en C debe resistir la carga de 3P, que actúa sobre un área de apoyo de A h = [7r(0.04m)2 - 7r(0.03m)2] = 2.199(10-3) m2. Entonces, P A = ------- ; ^perm
^P 75(106) N /m 2 = -------------=---- r ' 2.199(10“3) m2 P = 55.0 kN
En comparación, la carga máxima que puede aplicarse a la flecha es P = 51.8 kN, ya que cualquier carga mayor que ésta ocasionará que el esfuerzo normal permisible en la flecha se exceda.
3P (d )
58 • CAPÍTULO 1 Esfuerzo
E J E M P L O La barra rígida A B mostrada en la figura l-35a está soportada por una barra de acero AC que tiene un diámetro de 20 mm y por bloque de alu minio que tiene un área transversal de 1800 mm2. Los pasadores de diám etro de 18 mm en A y C están sometidos a cortante simple. Si el esfuerzo de falla para el acero y el aluminio son (a-ac)faUa = 680 MPa y (°ai)faiia = 70 MPa, respectivamente, y el esfuerzo cortante de falla pa ra cada pasador es r{alia = 900 MPa, determ ine la carga máxima P que puede aplicarse a la barra. Aplique un factor de seguridad FS de 2. Solución Usando las ecuaciones 1-9 y 1-10, los esfuerzos permisibles son , s (tf'ac)falla 680 MPa (o’ac)falla = = ------ ----- = 340 MPa FS 2 , , (^aOfalla 70 MPa ( ^al)falla = - 0 - = — ^---- = 35 MPa FS 2 Tfalla 900 MPa Aenxtr, Tfalla = -==- = ----------- = 450 MPa FS 2 El diagrama de cuerpo libre para la barra se m uestra en la figura 1-356. Se tienen tres incógnitas. Aplicaremos aquí las ecuaciones de equilibrio para expresar FÁC y FB en términos de la carga P aplicada. Tenemos ii+ 2 M
b
= 0;
P(1.25 m) -
FAC{2 m) = 0
(1)
l + '2 M A
= 0;
Fb(2 m) -
P(0.75 m) = 0
(2)
Determinarem os ahora cada valor de P que genera el esfuerzo per misible en la barra, bloque y pasadores, respectivamente. Barra AC.
Se requiere
Fac = K c W A ac) = 340(106) N /m 2[7r(0.01 m )2] = 106.8 kN Usando la ecuación 1, Bloque B.
(106.8 kN) 2 m ) P = ----- — --- ----- - = 171 kN 1.25 m En este caso,
F ¡¡ = (o-3\)permA B = 35(106) N/m2[1800mm2(10_6)m 2/m m 2] = 63.0kN Usando la ecuación 2, Pasador A o C. V
(63.0 kN)(2 m) P = ----- — ---------- = 168 kN 0.75 m Aquí
= Fac = TpermA = 450(106) N /m 2[7r(0.009 m )2] = 114.5 kN
De la ecuación 1,
114.5 kN (2m ) P = ----- — H ------L = 183 kN 1.25 m Por comparación, cuando P alcanza su valor más pequeño (168 kN), se genera el esfuerzo normal permisible en el bloque de aluminio. Por consiguiente, P = 168 kN Resp.
P ro blem a s
•
59
PROBLEMAS *1-80. El miembro B está sometido a una fuerza de com presión de 800 Ib. Si A y B están hechos de madera y tie nen § pulg de espesor, determ ine con una aproximación de j pulg la dimensión h más pequeña del soporte para que el esfuerzo cortante prom edio no sea m ayor que Tpe™ = 300 lb/pulg2.
1-82. La ju n ta está conectada p or m edio de dos p er nos. Determine el diámetro requerido de los pernos si el es fuerzo co rtan te perm isible en los pernos es Tperm = 110 MPa. Suponga que cada perno soporta una porción igual de la carga.
Prob. 1-80 Prob. 1-82
1-81. El poste de roble de 60 X 60 mm está soportado por el bloque de pino. Si los esfuerzos permisibles por aplas tamiento en esos materiales son o-roMo = 43 MPa y crpino = 25 MPa. determ ine la carga máxima P que puede ser so portada. Si se usa una placa rígida de apoyo entre los dos materiales, determine su área requerida de manera que la carga máxima P pueda ser soportada. ¿Q ué valor tiene esta carga?
Prob. 1-81
1-83. La palanca está unida a la flecha A por medio de una chaveta de ancho d y longitud de 25 mm. Si la flecha está em potrada y se aplica una fuerza vertical de 200 N perpendicular al mango, determine la dimensión d si el es fuerzo cortante permisible en la chaveta es ^ „ n = 35 MPa.
Prob. 1-83
60 .
CAPÍTULO 1 Esfuerzo
*1-84. El tamaño a del filete se determ ina calculando el esfuerzo cortante promedio a lo largo del plano sombreado que tenga la m enor sección transversal. D eterm ine el tam año a más pequeño de los dos cordones si la fuerza aplicada a la placa es P = 20 klb. El esfuerzo cortante perm isible para el m aterial de la soldadura es Tp<¡rm = 14 klb/pulg2.
1-87. El manguito de un eslabón giratorio en el control elevador de un avión se m antiene en posición usando una tuerca y una arandela como se muestra en la figura («). La falla de la arandela A puede ocasionar que la barra de empuje se separe como se muestra en la figura (¿>). Si el esfuerzo normal prom edio máximo para la arandela es t7mix = 60 klb/pulg2 y el esfuerzo cortante promedio má ximo es rmáx = 21 klb/pulg2, determine la fuerza F que de be aplicarse al manguito para que ocurra la falla. La aran dela tiene pulg de espesor.
°'75 pulg Prob. 1-84
(a) 1-85. El tamaño del cordón de soldadura es a = 0.25 pulg. Si se supone que la junta falla por cortante en ambos lados del bloque a lo largo del plano sombreado, el cual tiene la sección transversal más pequeña, determ ine la fuerza má xima P que puede aplicarse a la placa. El esfuerzo cortan te permisible para el m aterial de la soldadura es rperm = 14 klb/pulg2.
(b) Prob. 1-87
*1-88. Los dos alambres de acero A B y A C se usan para soportar la carga. Si ambos alambres tienen un esfuerzo de tensión permisible de <7perm = 200 MPa. determ ine el diám etro requerido de cada alambre si la carga aplicada es P = 5 kN. 1-89. Los dos cables de acero A B y A C se usan para so portar la carga. Si ambos alambres tienen un esfuerzo de tensión permisible de o-perm = 180 MPa, y el alambre A B tiene un diám etro de 6 mm y A C tiene un diám etro de 4 mm, determine la mayor fuerza P que puede aplicarse a la cadena antes de que falle uno de los alambres.
Prob. 1-85
1-86. El miembro a tensión está ensamblado por medio de dos pernos, uno a cada lado del miembro como se mues tra. Cada perno tiene un diám etro de 0.3 pulg. D eterm ine la carga máxima P que puede aplicarse al m iem bro si el esfuerzo cortante permisible para los pernos es Tperm = 12 klb/pulg2 y el esfuerzo normal promedio permisible es Operm = 20 klb/pulg2.
60°
P~*-
m
m Prob. 1-86
Probs. 1-88/89
60 • CAPÍTULO 1 Esfuerzo
*1-84. El tamaño a del filete se determ ina calculando el esfuerzo cortante promedio a lo largo del plano sombreado que tenga la m enor sección transversal. D eterm ine el tam año a más pequeño de los dos cordones si la fuerza aplicada a la placa es P = 20 klb. El esfuerzo cortante perm isible para el m aterial de la soldadura es r perm = 14 klb/pulg2.
1-87. El manguito de un eslabón giratorio en el control elevador de un avión se mantiene en posición usando una tuerca y una arandela como se muestra en la figura (a). La falla de la arandela A puede ocasionar que la barra de empuje se separe como se muestra en la figura (b ). Si el esfuerzo normal prom edio máximo para la arandela es ^máx = 60 klb/pulg2 y el esfuerzo cortante promedio má ximo es Tmáx = 21 klb/pulg2, determ ine la fuerza F que de be aplicarse ai manguito para que ocurra la falla. La aran dela tiene ^ pulg de espesor.
0-75 pulg i F T k Prob. 1-84
^ (a) 1-85. El tamaño del cordón de soldadura es a = 0.25 pulg. Si se supone que la junta falla por cortante en ambos lados del bloque a lo largo del plano sombreado, el cual tiene la sección transversal más pequeña, determ ine la fuerza má xima P que puede aplicarse a la placa. El esfuerzo cortan te permisible para el material de la soldadura es rperm = 14 klb/pulg2.
(b) Prob. 1-87
*1-88. Los dos alambres de acero A B y A C se usan para soportar la carga. Si ambos alambres tienen un esfuerzo de tensión permisible de orperm = 200 MPa. determ ine el diám etro requerido de cada alambre si la carga aplicada es P = 5 kN.
Ka
1-89. Los dos cables de acero A B y A C se usan para so portar la carga. Si ambos alambres tienen un esfuerzo de tensión permisible de crperm = 180 MPa, y el alambre A B tiene un diám etro de 6 mm y A C tiene un diám etro de 4 mm, determine la mayor fuerza P que puede aplicarse a la cadena antes de que falle uno de los alambres.
—|«i'Prob. 1-85
1-86. El miembro a tensión está ensamblado por medio de dos pernos, uno a cada lado del miembro como se mues tra. Cada perno tiene un diám etro de 0.3 pulg. Determ ine la carga máxima P que puede aplicarse al miembro si el esfuerzo cortante permisible para los pernos es rpenT1 = 12 klb/pulg2 y el esfuerzo normal promedio permisible es 'p e rm = 20 klb/pulg2.
60 °
P~*~
Prob. 1-86
Probs. 1-88/89
P ro blem a s
1-90. El brazo de la grúa está soportado por el cable de un malacate que tiene un diám etro de 0.25 pulg y un es fuerzo normal permisible de = 45°. Desprecie el tam a ño del malacate. 1-91. El brazo está soportado por el cable del malaca te que tiene un esfuerzo norm al perm isible de crperm = 24 klb/pulg2. Si se requiere que el cable levante lentam en te 5000 Ib, de 6 = 20° a 9 = 50°, determine el diámetro más pequeño del cable con una aproxim ación de pulg. El brazo A B tiene una longitud de 20 pies. Desprecie el ta maño del malacate.
•
61
1-93. La viga está hecha de pino del sur y está soporta da por placas de base que descansan en manipostería. Si los esfuerzos permisibles de aplastam iento para los ma teriales SOn (Op¡no)perm “ 2.81 klb/pulg", (<7Vnamp)perm — 6.70 klb/pulg2, determ ine la longitud requerida para las placas de apoyo en A y B, con una aproximación de jp u lg , para soportar la carga mostrada. Las placas tienen 3 pulg de ancho.
6 klb 200 !b/pie
Prob. 1-93
1-94. Si el esfuerzo permisible de aplastamiento para el material bajo los soportes A y B e s ((Tfc) p<. rm = 400 lb/pulg2, determine el tam año de las placas cuadradas de apoyo A ' y B ' requeridas p ara so p o rtar la carga. Considere P = 1.5 klb. Dimensione las placas con una aproximación de \ pulg. Las reacciones en los soportes son verticales. *1-92. La arm adura se usa para soportar la carga mos trada. D eterm ine el área requerida de la sección transver sal del miembro B C si el esfuerzo normal permisible es O-perm = 24 klb/pulg2.
1-95. Si el esfuerzo permisible por aplastamiento para el material bajo los soportes A y B e s (orb)pcrm = 400 lb/pulg2, determine la carga P máxima que puede aplicarse a la viga. Las placas de apoyo A ' y B' tienen sección cuadrada de 2 X 2 pulg y 4 X 4 pulg, respectivamente.
8001b 3 klb
A
Prob. 1-92
B
Probs. 1-94/95
62 • CAPÍTULO 1 Esfuerzo
*1-96. D eterm ine el área transversal requerida en el miembro B C y el diám etro de los pasadores en A y B si el esfuerzo normal permisible es crperm = 3 klb/pulg2 y el esfuerzo cortante permisible es Tperm = 4 klb/pulg2.
1-98. Las dos barras de aluminio A B y A C tienen diá metros de 10 mm y 8 mm, respectivamente. D eterm ine la fuerza P máxima vertical que puede ser soportada. El esfuerzo permisible de tensión para el aluminio es crperm = 150 MPa.
Prob. 1-98
1-97. Las dos barras de aluminio soportan la fuerza ver tical de P = 20 kN. D eterm ine sus diámetros requeridos si el esfuerzo permisible de tensión para el aluminio es de O-perm = 150 MPa.
1-99. Las ménsulas soportan uniform emente la viga, por lo que se supone que los cuatro clavos en cada ménsula so portan una porción igual de la carga. Si la viga está some tida a la carga mostrada, determ ine el esfuerzo cortante promedio en cada clavo de la ménsula en los extremos A y B. Cada clavo tiene un diám etro de 0.25 pulg. Las m én sulas soportan sólo cargas verticales. *1-100. Las ménsulas soportan uniform emente la viga, por lo que se supone que los cuatro clavos de cada mén sula soportan porciones iguales de la carga. D eterm ine el diámetro más pequeño de los clavos en A y B si el esfuerzo cortante permisible para los clavos es = 4 klb/pulg2. Las ménsulas soportan sólo cargas verticales.
40 lb/pie
Prob. 1-97
Probs. 1-99/100
P ro blem a s
1-101. La viga atirantada se usa para soportar una carga distribuida de w - 0.8 klb/pie. Determ ine el esfuerzo cor tante promedio en el perno en A de 0.40 pulg de diám etro y el esfuerzo de tensión promedio en el tirante A B que tie ne un diám etro de 0.5 pulg. Si el esfuerzo de fluencia en cortante para el perno es t v = 25 klb/pulg2 y el esfuerzo de fluencia en tensión para el tirante es cry = 38 klb/pulg2, determine el factor de seguridad con respecto a la fluen cia en cada caso.
•
63
*1-104. Si el esfuerzo cortante permisible para cada uno de los pasadores de acero de 0.3 pulg de diám etro e n A ,B y C es xperm = 12.5 klb/pulg2 y el esfuerzo normal per misible para la barra de 0.40 pulg de diám etro es
1-102. Determine la intensidad w máxima de la carga dis tribuida que puede ser soportada por la viga atirantada de manera que no se exceda un esfuerzo corlante permisible Tperm = 13.5 klb/pulg2 en los pernos de 0.40 pulg de diá m etro en A y B, ni que se exceda tampoco un esfuerzo per misible de tensión crperm = 22 klb/pulg2 en el tirante A B de 0.5 pulg de diámetro.
Probs. 1-103/104
1-105. Las dos partes de la viga de madera están conec tadas entre sí por un perno en B. Suponiendo que las co nexiones e .n A ,B ,C y D ejercen sólo fuerzas verticales so bre la viga, determ ine el diám etro requerido del perno en B y el diám etro exterior requerido de sus arandelas si el esfuerzo permisible de tensión para el perno es (o-,),,,.,™ = 150 MPa y el esfuerzo permisible por aplastam iento para la madera es = 28 MPa. Suponga que el agujero en las arandelas tiene el mismo diám etro que el perno.
1-103. La viga atirantada se usa para soportar la carga distribuida de w = 500 lb/pie. D eterm ine el factor de seguridad con respecto a la fluencia en el tirante de acero BC y en los pasadores en B y C si el esfuerzo de fluencia para el acero en tensión es crv = 36 klb/pulg2 y en cortante es t v = 18 klb/pulg2. El tirante tiene un d iám etro de 0.4 pulg y los pasadores tienen cada uno un diám etro de 0.30 pulg.
64 • CAPÍTULO 1 Esfuerzo
1-106. La barra se m antiene en equilibrio por los sopor tes de pasador en A y en B. Observe que el soporte en A tiene una sola hoja y por lo tanto el pasador está someti do a cortante simple, mientras que el soporte en B tiene dos hojas y su pasador está som etido a cortante doble. El esfuerzo cortante permisible para ambos pasadores es Tperm = 150 MPa. Si se coloca sobre la barra una carga uni formemente distribuida w = 8 kN /m , determ ine su posi ción mínima permisible x medida desde B. Los pasadores en A y en B tienen cada uno un diámetro de 8 mm. D es precie cualquier fuerza axial en la barra.
1-110. El pasador está sometido a cortante doble ya que se usa para conectar los tres eslabones entre sí. D ebido al desgaste, la carga está distribuida sobre las partes superior e inferior del pasador como se muestra en el diagrama de cuerpo libre. Determine la máxima carga P que la cone xión puede soportar si el esfuerzo cortante permisible para el material es rperm = 8 klb/pulg2 y el diám etro del pasa dor es de 0.5 pulg. D eterm ine también las intensidades de carga w, y w2.
1-107. La barra se mantiene en equilibrio por los sopor tes de pasador en A y en B. Note que el soporte en A tie ne una sola hoja y por lo tanto el pasador está sometido a cortante simple, mientras que el soporte en B tiene dos hojas y su pasador está som etido a co rtan te doble. El esfuerzo cortante perm isible para am bos pasadores es Tpei.m = 125 MPa. Si x = 1 m, determ ine la carga w distri buida máxima que la barra puede soportar. Los pasadores A y B tienen cada uno un diám etro de 8 mm. Desprecie cualquier fuerza axial en la barra.
La barra se mantiene en equilibrio por los sopor tes de pasador sn A y en B. Note que el soporte en A tie ne una sola hoja y por lo tanto el pasador está sometido a cortante simple, mientras que el soporte en B tiene dos ho jas y su pasador está sometido a cortante doble. El esfuer zo cortante permisible para ambos pasadores es Tperm = 125 MPa. S ix = l m y w ' = 1 2 kN /m , determ ine el menor diám etro requerido para los pasadores A y B. Desprecie cualquier fuerza axial en la barra.
P
t
*1-108.
w2
r
...............
z ?
tu m i] ,, Probs. 1-109/110
1-111. El cojinete de empuje consiste en un collarín circu lar A fijo a la flecha B. D eterm ine la fuerza axial P m á xima que puede aplicarse a la flecha de m anera que el esfuerzo cortante a lo largo de la superficie cilindrica a o b no sea mayor que el esfuerzo cortante permisible rperm = 170 M P a / Probs. 1-106/107/108
E fpasador está sometido a cortante doble ya que se usa para conectar los tres eslabones entre sí. D ebido al desgaste, la carga está distribuida sobre las partes superior e inferior del pasador como se m uestra en el diagrama de cuerpo libre. D eterm ine el diám etro d del pasador si el esfuerzo cortante perm isible es rpcTm = 1 0 klb/pulg2 y la carga P — 8 klb. Determ ine también las intensidades de carga y w7.
—j-
1-109.
58 mm
Prob. 1-111
REPASO DEL CAPÍTULO • Las cargas internas en un cuerpo consisten en una fuerza normal, una fuerza cortante, un m omento flexionante y un momento torsionante. Estas cargas internas representan las resultantes de las distribuciones de esfuerzos normales y de esfuerzos cortantes que actúan sobre la sección transversal. Para obtener esas resultantes, use el método de las secciones y las ecuaciones de equilibrio. • Si una barra está hecha de material homogéneo isotrópico y es tá sometida a una serie de cargas axiales externas que pasan por el centroide de la sección transversal, entonces una distribución uniforme de esfuerzo normal actuará sobre la sección transver sal. Este esfuerzo normal promedio puede ser determ inado de cr = P /A , donde P es la carga axial interna en la sección. • El esfuerzo cortante promedio puede ser determ inado usando t V /A , donde V es la fuerza cortante resultante sobre el área de la sección transversal A . Esta fórmula se usa a menudo para en contrar el esfuerzo cortante promedio en sujetadores o en partes usadas para conexiones. • El diseño de cualquier conexión simple requiere que el esfuerzo promedio a lo largo de cualquier sección transversal no exceda un factor de seguridad o un valor permisible de crperm o rperm. Esos valores se dan en códigos o reglamentos y se consideran seguros con base en experimentos o experiencia.
66 • CAPÍTULO 1 Esfuerzo
PROBLEMAS
DE
REPASO
*1-112. Un perno atraviesa una placa de 30 mm de espe sor. Si la fuerza en el vastago del perno es de 8 kN, deter mine el esfuerzo normal promedio en el vástago.el esfuer zo cortante prom edio a lo largo del área cilindrica de la placa definida por las líneas a-a y el esfuerzo cortante pro medio en la cabeza del perno a lo largo del área cilindrica definida por las líneas b-b.
1-114. D eterm ine las cargas internas resultantes que ac túan sobre las secciones transversales por los puntos D y E de la estructura.
150 lb/pie
8 kN
30 mm
Prob. 1-114
1-113. La estructura de dos miembros está sometida a la carga mostrada. D eterm ine el esfuerzo normal promedio y el esfuerzo cortante promedio que actúan en las seccio nes a-a y b-b. El miembro Ctí tiene una sección transver sal cuadrada de 2 pulg por lado.
1-115. La barra B C está hecha de acero cuyo esfuerzo permisible de tensión es o-,*™ = 155 MPa. Determ ine su diám etro más pequeño para que pueda soportar la carga mostrada. Suponga que la viga está conectada por un pa sador en A .
80 Ib
Prob. 1-113
Prob. 1-115
m m
P ro blem a s de repaso
La columna tiene un área transversal de 12(103) mm2. Está sometida a una fuerza axial de 50 kN. Si la placa de base a la cual la columna está unida tiene una longitud de 250 mm, determine su ancho d de manera que el esfuer zo de aplastamiento promedio en el suelo bajo la placa sea la tercera parte del esfuerzo de compresión promedio en la columna. Esboce la distribución de esfuerzos que actúan sobre la sección transversal de la columna y en el fondo de la placa de base. *1-116.
•
67
1-118. La polea se mantiene fija a la flecha de 20 mm de diámetro por medio de una chaveta que se inserta en una ranura de la polea y de la flecha. Si la carga suspendida tiene una masa de 50 kg, determine el esfuerzo cortante promedio en la chaveta a lo largo de la sección a-a. La cha veta tiene una sección transversal cuadrada de 5 mm por 5 mm y 12 mm de longitud.
50 kN
Prob. 1-116
La viga AB está soportada por un pasador en A y por un cable BC. Otro cable CG se usa para sostener la estructura. Si AB pesa 120 lb/pie y la columna FC pesa 180 lb/pie, determine las cargas internas resultantes que actúan sobre las secciones transversales por los puntos D y E. Desprecie los anchos de la viga y de la columna en el cálculo.
Prob. 1-118
1-117.
La conexión de barra y grillete está sometida a una fuerza de tensión de 5 kN. Determine el esfuerzo nor mal promedio en cada barra y el esfuerzo cortante prome dio en el pasador A entre los miembros. 1-119.
kN
-12 pies-
Prob. 1-117
Prob. 1-119
Esfuerzos excesivos en materiales frágiles, como en este estribo de concreto, generan deformaciones que terminan fracturándolo. Por medio de mediciones de la deformación unitaria, los ingenieros pueden predecir el esfuerzo en el material.
T
j
Deformación unitaria
OBJETIVOS DEL CAPÍTULO
En ingeniería, la deformación de un cuerpo se especifica usando el concepto de deformación unitaria tanto normal como cortante. En este capítulo definiremos esas cantidades y mostraremos cómo pueden evaluarse en diversos tipos de pro blemas.
2.1
Deformación Cuando se aplica una fuerza a un cuerpo, ésta tiende a cambiar la forma y tam año del cuerpo. A esos cambios se les llama deformación y ésta puede ser visible o prácticam ente inadvertida si no se emplea el equi po apropiado para hacer mediciones precisas. Por ejemplo, una banda de hule experim entará una deformación muy grande cuando se estira. En cambio, en un edificio sólo ocurrirán deformaciones ligeras en sus miembros estructurales debido a la carga de sus ocupantes. Un cuerpo también puede deformarse cuando la tem peratura del cuerpo cambia. Un ejemplo común es la expansión o la contracción térmica de un te cho causada por el clima.
69
70
•
CAPÍTULO 2 Deformación unitaria
Observe las posiciones antes y después de tres segmentos de línea diferentes sobre esta mem brana de hule sometida a tensión. La línea ver tical se alarga, la línea horizontal se acorta y la línea inclinada cambia de longitud y gira.
En sentido general, la deformación de un cuerpo no será uniforme a tra vés de su volumen, por lo que el cambio en la geometría de un segmento de línea dentro del cuerpo puede variar a lo largo de su longitud. Por ejem plo, una porción de la línea puede alargarse, mientras que otra porción pue de contraerse. Sin embargo, según se consideran segmentos de línea cada vez más cortos, éstos permanecerán también cada vez más rectos después de la deformación, y así, para estudiar los cambios por deformación de ma nera más ordenada, consideraremos que las líneas son muy cortas y están localizadas en la vecindad de un punto. Al hacerlo así, debe ser claro que cualquier segmento de línea localizado en un punto del cuerpo cambiará en una cantidad diferente respecto a otro localizado en algún otro punto. Además, estos cambios dependerán también de la orientación del segmen to de línea en el punto. Por ejemplo, un segmento de línea puede alargarse si está orientado en una dirección, mientras que puede contraerse si está orientado en otra dirección.
2.2
Deformación unitaria
Con objeto de describir la deformación por cambios en la longitud de seg mentos de líneas y los cambios en los ángulos entre ellos, desarrollaremos el concepto de deformación unitaria. Las mediciones de deformación unitaria se hacen en realidad por medio de experimentos, y una vez que las deformaciones unitarias han sido obtenidas, se mostrará, más adelan te en este texto, cómo pueden relacionarse con las cargas aplicadas, o es fuerzos, que actúan dentro del cuerpo.
(a)
Deformación unitaria normal. El alargamiento o contracción de un segmento de línea por unidad de longitud se llama deformación unita ria normal. Para desarrollar una definición formal de la deformación unitaria normal, consideremos la línea A B que está contenida dentro del cuerpo no deform ado mostrado en la figura 2-1 a. Esta línea está situa da a lo largo del eje n y tiene una longitud inicial As. Después de la de formación, los puntos A y B se desplazan a los puntos A ' y B' y la línea recta se convierte en curva con longitud As', figura 2-1 b. El cambio en longitud de la línea es entonces As' — As. Si definimos la deformación unitaria normal promedio usando el símbolo eprom (épsilon), entonces: eprom
As' - As As
A medida que el punto B se escoge cada vez más cercano al punto A , la longitud de la línea se vuelve cada vez más corta, de tal modo que As —> 0. Igualmente, esto causa que B' se aproxime a A', de modo que As' -» 0. Por consiguiente, la deformación unitaria normal en el punto A y en la dirección de n, es en el límite: (b)
Fig. 2-1
e =
lim
B—»/I a lo largode ;i
A s' - A s ------ — —■ AS
(2 -2 )
Si se conoce la deformación unitaria normal, podemos usar esta ecua ción para obtener la longitud final aproximada de un segmento corto de línea en la dirección de n, después de que ha sido deformado.
S e c c ió n
a tranento ejemq puei cada ¡spués le maestán o que tibiará punto, gmenrgarse si está
Tenemos:
le segremos lación :z que leían l o es-
Deformación unitaria cortante. El cambio en el ángulo que ocurre entre dos segmentos de línea inicialmente perpendiculares entre sí se lla ma deformación unitaria cortante. Este ángulo se denota por y (gamma) y se mide en radianes. Para m ostrar cómo se desarrolla, consideremos los segmentos de línea A B y A C partiendo desde el mismo punto A en un cuerpo, y dirigidos a lo largo de los ejes perpendiculares n y t, figura 2-2a. Después de la deformación, los extremos de las líneas se desplazan, y las líneas mismas se vuelven curvas, de modo que el ángulo entre ellas en A es 6', figura 2-2b. De aquí definimos la deformación unitaria cortante en el punto A que está asociada con los ejes n y t como:
de un m i la lación ro del sitúa la dei línea íio en iación Dnces:
(2-3)
A í ' « (1 + e) A i
Por tanto, cuando e es positiva, la línea inicial se alargará, mientras que si e es negativa, la línea se contraerá. Unidades. Note que la deformación unitaria normal es una cantidad adimensional. ya que es una relación entre dos longitudes. Aunque éste es el caso, es una práctica común establecerla en términos de una relación de unidades de longitud. Si se usa el sistema SI, entonces las unidades bá sicas serán m etro/m etro (m /m ). O rdinariam ente, en la mayoría de las aplicaciones ingenieriles, e será muy pequeña, así que las mediciones del alargamiento son micrómetros por metro (//.m/m), donde 1 ¿un = 10-6 m. En el sistema pie-libra-ségundo. la deformación unitaria puede ser esta blecida en unidades de pulgadas por pulgadas (pulg/pulg). En trabajos experimentales, a veces se expresa el alargamiento como un porcentaje, es decir, 0.001 m /m = 0.1%. Como ejemplo, un alargamiento normal de 480(10^6) puede ser reportado como 480(10~6) pulg/pulg, 480 /¿m/m o como 0.0480%.También se puede establecer esta respuesta simplemente como 480 ¡i (480 “mieras”).
7r lím 0' y,„ = x2 — B— »/t a lo largo de n C — • /4 a lo largo de l
(2-4)
Note que si 6' es m enor que 7r/2, la deformación unitaria cortante es po sitiva, mientras que si 6' es mayor que tt/2, la deformación unitaria cor tante es negativa.
(2-1)
ito A, modo lo que punto
(2-2)
ecuarto de
(b)
(a)
Fig. 2-2
2.2 Deformación unitaria
•
71
74
•
CAPÍTULO 2 Deformación unitaria
E J E M P L O
2.1 La barra esbelta mostrada en la figura 2-4 está sometida a un incre m ento de tem peratura a lo largo de su eje, que genera una deform a ción unitaria normal en la barra de ez = 40(10 3)z1/2, donde z está dada en metros. Determ ine (a) el desplazamiento del extremo B de la barra debido al incremento de tem peratura, y (b) la deformación unitaria normal prom edio en la barra.
Fig. 2-4
Solución Parte (a). Como la deformación unitaria normal está dada en cada punto a lo largo de la barra, un segmento diferencial dz, localizado en la posición z, figura 2-4, tiene una longitud deform ada que puede determ inarse con la ecuación 2-3; o sea, d z ' = [1 + 40(1 ( T ^ z ^ d z La suma total de esos segmentos a lo largo del eje da la longitud de formada de la barra, esto es, r 0.2 m
z' =
[1 + 40(10-3)z ^ 2] dz
= z \ 40(10-3)(fz 3/2)|o2m = 0.20239 m Por tanto, el desplazamiento del extremo de la barra es AB = 0.20239 m — 0.2 m = 0.00239 m = 2.39 mm [
Resp.
Parte (b). La deformación unitaria normal promedio en la barra se determ ina con la ecuación 2-1, que supone que la barra o “segmento de línea” tiene una longitud original de 200 mm y un cambio de lon gitud de 2.39 mm. Por consiguiente, eprom =
As' - As 2.39 mm aÍ = 200 mm = ° '0119 mm/ mm ResP■
S e c c ió n
2.2 Deformación unitaria
•
75
E J E M P L O Una fuerza que actúa sobre el mango de la palanca mostrada en la figura 2-5a ocasiona que el brazo gire en sentido horario un ángulo de 6 = 0.002 rad. Determ ine la deformación unitaria normal prom e dio desarrollada en el alambre BC.
Fig. 2-5
Solución Como 6 - 0.002 rad es pequeño, el alargamiento en el alambre CB, figura 2-5b, es BB' = 0(0.5 m) = (0.002 rad)(0.5 m) = 0.001 m. La de formación unitaria normal promedio en el alambre es entonces,
e p ro m
-
____ , BB' 0.001 CB - l m - 0.001 m /m
Resp.
a
m
76
•
CAPÍTULO 2 Deformación unitaria
E J E M P L O
2.3 La placa es deformada y adquiere la forma mostrada con líneas puntea das en la figura 2-6a. Si en esta configuración deformada las líneas hori zontales sobre la placa permanecen horizontales y no cambian su longi tud. determine (a) la deformación unitaria normal promedio a lo largo del lado A B , y (b) la deformación unitaria cortante promedio en la placa relativa a los ejes x y y.
3 mm
H
3 mm
h
Ju 2 mm
ir T ' 250 mm
250 mm
- 300 mm ■ (b)
(a)
Fig. 2-6
Solución
Parte (a). La línea A B , que coincide con el eje y , se convierte en la lí nea A B ' después de la deformación, como se muestra en la figura 2-6b. La longitud de esta línea es A B ' = V (250 - 2)2 + (3)2 = 248.018 mm La deformación unitaria normal promedio para A B es por lo tanto ( eA ß )
AB' - AB AB
prom
248.018 mm — 250 mm 250 mm Resp.
= —7.93(10~3) mm/mm (c)
El signo negativo indica que la deformación unitaria causa una contrac ción de AB. Parte (b). Como se ve en la figura 2-6c, el ángulo 90° BAC original mente recto entre los lados de la placa y medido desde los ejes x,y, cam bia a 0' debido al desplazamiento de B a B '. Como y xy = 7r/2 - 6 ' , en tonces y xv es el ángulo mostrado en la figura. Así, Jxy
= tan
3 mm 250 mm — 2 mm
= 0.0121 rad
Resp.
S e c c ió n
E J E M P L O La placa mostrada en la figura 2-1a está empotrada a lo largo de A B y se mantiene en las guías rígidas horizontales en sus partes superior e inferior A D y BC. Si su lado derecho CD recibe un desplazamiento horizontal uni forme de 2 mm, determine (a) la deformación unitaria normal promedio a lo largo de la diagonal A C , y (b) la deformación unitaria cortante en E relativa a los ejes x,y.
•76 m m —|ß ,
(a) Fig. 2-7
Solución
Parte (a). Cuando la placa se deforma, la diagonal AC se convierte en la A C ', figura 2-7b. La longitud de las diagonales A C y A C se halla con el teorema de Pitágoras. Tenemos, AC = V(0.150)2 + (0.150)2 = 0.21213 m A C = V(0.150)2 + (0.152)2 = 0.21355 m Por tanto, la deformación unitaria normal promedio a lo largo de la dia gonal es
(e/ic) Pr°m
0.21355 m - 0.21213 m 0.21213 m
A C - AC AC
- 0.00669 mm/mm
Resp.
Parte (b). Para encontrar la deformación unitaria cortante en E rela tiva a los ejes .* y y, es necesario primero encontrar el ángulo 9', que es pecifica el ángulo entre esos ejes después de la deformación, figura 2-lb. Tenemos tan
76 mm 75 mm 0' = 90.759° -
17
- (90.759°) = 1.58404 rad
180
Aplicando la ecuación 2-4, la deformación unitaria cortante en E es por tanto, y xy = ^ — 1.58404 rad = -0.0132 rad Resp. De acuerdo con la convención de signos, el signo negativo indica que el án gulo ff es mayor que 90°. Advierta que si los ejes x y y fuesen horizontal y vertical, entonces debido a la deformación, y x>, = 0 en el punto E.
2.2 Deformación unitaria
•
77
78
•
CAPÍTULO 2 Deformación unitaria
PROBLEMAS 2-1. Una pelota de hule llena de aire tiene un diámetro de 6 pulg. Si la presión del aire dentro de ella se aumenta hasta que el diámetro de la pelota sea de 7 pulg, determine la de formación unitaria normal promedio en el hule.
2-5. El alambre A B no está estirado cuando 6 = 45°. Si la aplicación de una carga a la barra AC, genera que el ángulo 6 = 47°, determ ine la deformación unitaria normal en el alambre.
2-2. Una franja delgada de caucho tiene una longitud no es tirada de 15 pulg. Si se estira alrededor de un tubo cuyo diá metro exterior es de 5 pulg, determine la deformación unita ria normal promedio en la franja.
2-6. Si una carga aplicada a la barra A C ocasiona que el pun to A se desplace hacia la derecha una cantidad A L, determi ne la deformación unitaria normal en el alambre A B . Inicial mente, 6 = 45°.
2-3. La viga rígida está soportada por un pasador en A y por los alambres BD y CE. Si la carga P sobre la viga ocasiona que el extremo C se desplace 10 mm hacia abajo, determine la deformación unitaria normal desarrollada en los alambres CE y BD.
r V
)
—i—
4 m
i -3 m -
2 m ----- f----- 2 m Prob. 2-3
Probs. 2-5/6
2-7. Los dos alambres están conectados en A . Si la fuerza P ocasiona que el punto A se desplace horizontalmente 2 mm, determine la deformación unitaria normal desarrollada en cada alambre.
*2-4. Bandas de nylon están adheridas por fusión a placas de vidrio. Con un calentamiento moderado el nylon se ablan da mientras que el vidrio permanece aproximadamente rí gido. Determine la deformación unitaria cortante promedio en el nylon debido a la carga P cuando el conjunto se defor ma como se indica.
2 mm
Prob. 2-4
Prob. 2-7
P ro blem a s
*2-8. Parte de la palanca de mando de un avión consiste en un miembro rígido CBD y en un cable flexible A B . Si se apli ca una fuerza al extremo D del miembro y hace girar a éste d = 0.3°, determine la deformación unitaria normal en el ca ble. Inicialmente, el cable no está estirado. 2-9. Parte de la palanca de mando de un avión consiste en un miembro rígido CBD y en un cable flexible A B . Si se apli ca una fuerza al extremo D del miembro y genera una defor mación unitaria normal en el cable de 0.0035 mm/mm. deter mine el desplazamiento del punto D. Inicialmente el cable no está estirado.
•
79
*2-12. La placa triangular está fija en su base y su vértice A recibe un desplazamiento horizontal de 5 mm. Determine la deformación unitaria cortante yxy en A. 2-13. La placa triangular está fija en su base, y su vértice A recibe un desplazamiento horizontal de 5 mm. Determine la deformación unitaria normal promedio ex a lo largo del e je x 2-14. La placa triangular está fija en su base, y su vértice A recibe un desplazamiento horizontal de 5 mm. Determine la deformación unitaria normal prom edio Cy a lo largo del eje x'.
HH
Probs. 2-8/9
2-10. El alambre A B no está estirado cuando 6 = 45°. Si se aplica una carga vertical a la barra AC, lo que ocasiona que 6 = 47°,determ ine la deformación unitaria normal en el alambre. 2-11. Si una carga aplicada a la barra A C ocasiona que el punto A se desplace hacia la izquierda una cantidad AL. de termine la deformación unitaria normal en el alambre AB. Inicialmente, 6 = 45°.
Probs. 2-10/11
2-15. A las esquinas de la placa cuadrada se le dan los des plazamientos indicados. Determine las deformaciones unita rias normal promedio ev y ev a lo largo de los ejes x y y.
y
Prob. 2-15
80
•
CAPÍTULO 2 Deformación unitaria
*2-16. A las esquinas de la placa cuadrada se le dan los des plazamientos indicados. Determine la deformación unitaria cortante a lo largo de los bordes de la placa en A y B. 2-17. A las esquinas de la placa cuadrada se le dan los des plazamientos indicados. Determine las deformaciones unita rias normal promedio a lo largo del lado A B y de las diago nales AC y DB.
Prob. 2-18 0.2 pulg
2-19. Las tres cuerdas están unidas al anillo en B. Cuando se aplica una fuerza al anillo, éste se mueve al punto B ' , de modo que la deformación unitaria normal en A B es eAB y la deformación unitaria normal en CB es ec s . Considerando que esas deformaciones unitarias son pequeñas, determine la deformación unitaria normal en DB. Observe que A B y CB permanecen horizontal y vertical, respectivamente, debido a las guías de los rodillos en A y C.
0.3 pulg
Probs. 2-16/17
2-18. La cuerda de nylon tiene una longitud inicial L y es tá unida a un perno fijo en A y a un rodillo en B. Si se aplica una fuerza P al rodillo, determine la deformación unitaria normal en la cuerda cuando el rodillo está en C, ec y en D, eD. Si la cuerda no estaba estirada inicialmente en la posición C, determine la deformación unitaria normal eCo cuando el rodillo se mueve a D. Demuestre que si los desplazamientos Ac y son pequeños, entonces eCD = eD ec .
Prob. 2-19
P ro b le m a s
*2-20. La placa rectangular está sometida a la deformación mostrada por las líneas punteadas. D eterm ine las defor maciones unitarias cortantes y xy y y vV desarrolladas en el punto A .
Prob. 2-20
•
81
2-23. La placa rectangular está sometida a la deformación mostrada por las líneas punteadas. Determine la deforma ción unitaria cortante promedio y xy de la placa. *2-24. La placa rectangular está sometida a la deformación mostrada por las líneas punteadas. Determine las deforma ciones unitarias normales promedio a lo largo de la diagonal A C y del lado/IB .
3 m m - i *—
Probs. 2-23/24
2-21. Un alambre delgado situado a lo largo del eje x es de formado en modo tal que cada punto del alambre se despla za A.v = k x 2 a lo largo del eje x. Si k es constante, ¿cuál es la deformación unitaria normal en cualquier punto P a lo largo del alambre.
Prob. 2-21
2-22. El alambre está sometido a una deformación unitaria normal definida por e = (x/L )e~ W L^~donde x está en milí metros. Si el alambre tiene una longitud inicial L, determine el incremento en su longitud.
2-25. La pieza de caucho es inicialmente rectangular. D e termine la deformación unitaria cortante promedio y xy si las esquinas B y D están sometidas a los desplazamientos que ocasionan que el caucho se deforme como se muestra con las líneas punteadas. 2-26. La pieza de caucho es inicialmente rectangular y está sometida a la deformación mostrada por las líneas puntea das. Determine la deformación unitaria normal promedio a lo largo de la diagonal DB y del lado AD .
3 mm—-
400 mm
- 300 m m ------| B 2 mm
Prob. 2-22
Probs. 2-25/26
82
•
CAPÍTULO 2 Deformación unitaria
2-27. El material se distorsiona y toma la posición puntea da mostrada. Determine (a) las deformaciones unitarias nor males promedio ex, e v y la deformación unitaria cortante y xy en A ,y (b) la deformación unitaria normal promedio a lo lar go de la línea BE.
ti
*2-28. El material se deforma según las líneas punteadas mostradas en la figura. Determine la deformación unitaria normal promedio que se presenta a lo largo de las diagona les A D y CF.
Prob. 2-30
2-31. El tubo curvo tiene un radio original de 2 pies. Si se calienta no uniformemente, de manera que la deformación unitaria normal a lo largo de su longitud es e = 0.05 eos 6. determine el incremento en longitud del tubo. 15 mm
*2-32.
Resuelva el problema 2-31 si e = 0.08 sen 6.
D \— !
■4 {•------8 0 m m
—i
F
Probs. 2-27/28
2-29. La carga no uniforme genera una deformación unita ria normal en la flecha que puede expresarse por ex = k x 2, donde k es una constante. Determine el desplazamiento del extremo B. Además, ¿cuál es la deformación unitaria normal promedio en la flecha?
Probs. 2-31/32
2-33. El bloque de polisulfona está unido con pegamento en sus partes superior e inferior a placas rígidas. Si una fuer za tangencial aplicada a la placa superior ocasiona que el ma terial se deforme de modo tal que sus lados quedan descritos por la ecuación y = 3.56jt1/4, determine la deformación uni taria cortante en el material en sus esquinas A y B.
! Prob. 2-29
2-30. La carga no uniforme genera una deformación unita ria normal en la flecha que puede expresarse por ex = k sen donde k es una constante. Determine el desplazamiento del centro C y la deformación unitaria normal promedio en to da la flecha.
Prob. 2-33
Pr o blem a s
2-34 La fibra A B tiene una longitud L y orientación d. Si sus extremos A y B experimentan desplazamientos muy pe queños u A y vB, respectivamente, determine la deformación unitaria normal en la fibra cuando ella está en la posi ción A ' B'.
83
2-35. Si la deformación unitaria normal se define con res pecto a la longitud final, como
en lugar de definirla con respecto a la longitud inicial, ecua ción 2-2, demuestre que la diferencia en esas deformaciones unitarias se representa como un término de segundo orden, esto es, e„ - e'„ = e„e'„.
y
y ^ A
•
uA A'
y *
Prob. 2-34
\vb
Deben conocerse las propiedades mecánicas de un material a fin de que los ingenieros puedan asociar las mediciones de deformación unitaria al esfuerzo. Aquí se determinan las propiedades mecánicas del hueso a partir de una prueba de compresión.
C A P Í T U LO
3
Propiedades mecánicas de los materiales
Una vez estudiados los conceptos básicos de esfuerzo y de deformación unita ria. en este capítulo mostraremos cómo los esfuerzos pueden relacionarse con las deformaciones unitarias usando métodos experimentales para determ inar el diagrama esfuerzo-deformación unitaria de un material específico. Se estudiará el comportamiento descrito por este diagrama, para los materiales usados co m únm ente en ingeniería. Se examinarán también las propiedades mecánicas y otras pruebas relacionadas con el desarrollo de la mecánica de materiales.
3.1
Pruebas de tensión y compresión La resistencia de un material depende de su capacidad para soportar una carga sin deformación excesiva o falla. Esta propiedad es inheren te al material mismo y debe determinarse por experimentación. Entre las pruebas más importantes están las pruebas de tensión o compresión. Aunque con estas pruebas pueden determinarse muchas propiedades mecánicas im portantes de un material, se utilizan principalmente para determ inar la relación entre el esfuerzo normal promedio y la deform a ción normal unitaria en muchos materiales utilizados en ingeniería, sean de metal, cerámica, polímeros o compuestos.
85
86
•
CAPÍTULO 3 Propiedades mecánicas de los materiales
d 0 = 0.5 pulg
V~Lo = 2 pulg
i
Fig. 3-1
(
Espécimen típico de acero con una galga extensométrica cementada sobre éste.
Para llevar a cabo esta prueba se prepara un espécimen o probeta de forma y tamaño “estándar”. Antes de la prueba, se imprimen con un punzón a la probeta dos marcas pequeñas a lo largo de ésta. Estas m ar cas se colocan lejos de los extremos del espécimen porque la distribu ción del esfuerzo en los extremos es un tanto compleja debido al agarre de las conexiones cuando se aplica una carga. Se toman mediciones tan to del área de la sección transversal inicial del espécimen, A 0, como de la distancia L0 de la longitud calibrada entre las marcas del punzón. Por ejemplo, cuando se usa un espécimen de metal en una prueba de tensión, generalmente éste tiene un diám etro inicial de d0 = 0.5 pulg (13 mm) y una longitud calibrada de L0 = 2 pulg (50 mm), figura 3-1. Con objeto de aplicar una carga axial, sin que tenga lugar la flexión en el espécimen, por lo regular los extremos se asientan sobre juntas de rótu la. Luego se usa una máquina de prueba similar a la mostrada en la figu ra 3-2 para estirar el espécimen a un régimen constante muy lento, has ta alcanzar el punto de ruptura. La máquina se diseña para que se pueda leer la carga requerida para m antener este alargamiento uniforme. D urante la prueba, y a intervalos frecuentes, se registran los datos de la carga aplicada P, a medida que se leen en la carátula de la máquina o en un dispositivo digital. También puede medirse el alargamiento <5 = L - L 0 entre las marcas que se hicieron en el espécimen con el punzón, usando ya sea una galga o un dispositivo óptico o mecánico llamado extensómetro. Este valor de 5 se usa luego para determ inar la deform a ción unitaria normal promedio en el espécimen o muestra. Sin em bar go, a veces no se toma esta medición, puesto que también es posible leer la deformación unitaria directamente usando una galga extensométrica de resistencia eléctrica, que se parece al mostrado en la figura 3-3. La operación de esta galga está basada en el cambio en la resistencia eléctri ca de un alambre muy delgado o una pieza de hoja de metal sometida a deformación. En esencia, la galga está cementada o pegada al espéci men en una dirección específica. Si el pegamento es muy fuerte en com paración con la galga, entonces ésta es, en efecto, una parte integral del espécimen, de modo que cuando éste se alargue en la dirección de la galga, el alambre y el espécimen experim entarán la misma deformación unitaria. Midiendo la resistencia eléctrica del alambre, la galga puede graduarse para leer los valores de la deformación unitaria normal direc-
de resistencia eléctrica
Fig. 3-2
Fig. 3-3
S ección 3.2
3.2
El diagrama de esfuerzo-deformación unitaria
El diagram a de esfuerzo-deform ación unitaria
A partir de los datos de un ensayo de tensión o de compresión, es posi ble calcular varios valores del esfuerzo y la correspondiente deforma ción unitaria en el espécimen y luego graficar los resultados. La curva resultante se llama diagrama de esfuerzo-deformación unitaria y hay dos maneras de describirlo. Diagrama convencional de esfuerzo-deformación unitaria. Usan do los datos registrados, podemos determ inar el esfuerzo nom inal o de ingeniería dividiendo la carga P aplicada entre el área A 0 de la sección transversal original del espécimen. Este cálculo supone que el esfuerzo es constante en la sección transversal y en toda la región entre los puntos calibrados. Tenemos
D e la misma manera, la deformación nom inal o de ingeniería se deter- • mina directamente leyendo el calibrador o dividiendo el cambio en la longitud calibrada 8, entre la longitud calibrada original del espécimen L0. Aquí se supone que la deformación unitaria es constante en la re gión entre los puntos calibrados. Entonces,
Si se grafican los valores correspondientes de cr y e, con los esfuerzos como ordenadas y las deformaciones unitarias como abscisas, la curva resultante se llama diagrama convencional de esfuerzo-deformación unitaria. Este diagrama es muy im portante en la ingeniería ya que pro porciona los medios para obtener datos sobre la resistencia a tensión (o a compresión) de un material sin considerar el tam año o forma geomé trica del material. Sin embargo, debe ser claro que nunca serán exacta mente iguales dos diagramas de esfuerzo-deformación unitaria para un material particular, ya que los resultados dependen entre otras variables de la composición del material, de imperfecciones microscópicas, de la m anera en que esté fabricado, de la velocidad de carga y de la tempe ratura durante la prueba. Veremos ahora las características de la curva convencional esfuerzo deformación unitaria del acero, material comúnmente usado para la fa bricación de miembros estructurales y elementos mecánicos. En la figu ra 3-4 se muestra el diagrama característico de esfuerzo-deformación unitaria de una probeta de acero, usando el método antes descrito. En esta curva podemos identificar cuatro maneras diferentes en que el ma terial se comporta, dependiendo de la cantidad de deformación unitaria inducida en el material.
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88
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CAPÍTULO 3 Propiedades mecánicas de los materiales
, esfuerzo f de fractura
Diagramas esfuerzo-deformación unitaria, convencional y real, para un material dúctil (acero) (no a escala).
Fig. 3-4
Comportamiento elástico. Este comportamiento elástico ocurre cuando las deformaciones unitarias en el modelo están dentro de la región ligera mente sombreada que se muestra en la figura 3-4. Puede verse que la cur va es en realidad una línea recta a través de toda esta región, así que el es fuerzo es proporcional a la deformación unitaria. En otras palabras, se dice que el material es linealmente elástico. El límite superior del esfuerzo en es ta relación lineal se llama límite de proporcionalidad , olp. Si el esfuerzo ex cede un poco el límite de proporcionalidad, el material puede todavía res ponder elásticamente; sin embargo, la curva tiende a aplanarse causando un incremento mayor de la deformación unitaria con el correspondiente in cremento del esfuerzo. Esto continúa hasta que el esfuerzo llega al límite elástico. Para determ inar este punto en cualquier espécimen, debemos aplicar, y luego retirar, una carga creciente hasta que se detecte una de formación permanente en el mismo. Sin embargo, en el acero rara vez se determina el límite elástico, puesto que está muy cerca del límite de pro porcionalidad y, por tanto, su detección es bastante difícil. Fluencia. Un ligero aumento en el esfuerzo más allá del límite elástico provocará un colapso del material y causará que se deforme permanente mente. Este comportamiento se llama fluencia, y está indicado por la región más oscura de la curva, figura 3-4. El esfuerzo que origina la fluencia se llama esfuerzo de fluencia o punto de fluencia,
S ección 3.2
El diagrama de esfuerzo-deformación unitaria
•
89
rior de fluencia, como se muestra en la figura 3-4, entonces la muestra con tinuará alargándose sin ningún incremento de carga. Observe que la figu ra 3-4 no está trazada a escala. Si lo estuviera, las deformaciones unitarias inducidas debido a la fluencia serían de 10 a 40 veces más grandes que las producidas hasta el límite elástico. Cuando el material está en este estado, suele decirse que es perfectamente plástico. Endurecimiento por deformación. Cuando la fluencia ha terminado, pue de aplicarse más carga a la probeta, resultando una curva que se eleva con tinuamente pero se va aplanando hasta llegar a un esfuerzo máximo, llama do esfuerzo último, ct„. La elevación en la curva de esta manera se llama endurecimiento por deformación, y se identifica en la figura 3-4 como la re gión ligeramente sombreada. A lo largo de la prueba, y mientras el espé cimen se está alargando, el área de su sección transversal disminuirá. Esta disminución de área es bastante uniforme en toda la longitud calibrada del espécimen, incluso hasta la deformación unitaria que corresponde al es fuerzo último. Formación del cuello o estricción. En el esfuerzo último, el área de la sec ción transversal comienza a disminuir en una zona localizada de la probe ta, en lugar de hacerlo en toda su longitud. Este fenómeno es causado por planos de deslizamiento que se forman dentro del material y las deforma ciones producidas son causadas por esfuerzos cortantes (vea la sección 10.7). Como resultado, tiende a desarrollarse un “cuello” en esta zona a medida que el espécimen se alarga cada vez más. figura 3-5«. Puesto que el área de la sección transversal en esta zona está decreciendo continuamen te, el área más pequeña puede soportar sólo una carga siempre decrecien te. De aquí que el diagrama de esfuerzo-deformación unitaria tienda a cur varse hacia abajo hasta que la probeta se rompe en el punto del esfuerzo de fractura, oy, figura 3-5b. Esta región de la curva debida a la formación del cuello está representada con color oscuro en la figura 3-4.
Diagrama real de esfuerzo-deformación unitaria. En lugar de usar siem pre el área de la sección transversal y la longitud originales de la muestra para calcular el esfuerzo y la deformación unitaria (de ingenie ría), podríamos haber usado el área de la sección transversal y la longitud reales del espécimen en el instante en que la carga se está midiendo. Los valores del esfuerzo y de la deformación unitaria calculados a partir de es tas mediciones se llaman esfuerzo real y deformación unitaria real, y un tra zo de sus valores se llama diagrama real de esfuerzo-deformación unita ria. Cuando se traza este diagrama, vemos que tiene la forma mostrada por la línea que forma la curva en la figura 3-4. Advierta que ambos diagra mas (el convencional y el real) prácticamente coinciden cuando la defor mación unitaria es pequeña. Las diferencias entre los diagramas comien zan a aparecer en la zona de endurecimiento por deformación, donde la magnitud de la deformación unitaria es más significativa. En particular, no te la gran divergencia dentro de la zona de formación del cuello. Aquí po demos ver que. según el diagrama o - e convencional, la probeta de en sayo en realidad soporta una carga decreciente, puesto que A 0 es constante cuando se calcula el esfuerzo nominal,
Patrón típico de estricción que ocurrió en este espécimen de acero justo antes de la fractura.
Falla de un material dúctil.
(b) Fig. 3-5
90
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CAPÍTULO 3 Propiedades mecánicas de los materiales
Aunque los diagramas de esfuerzo-deformación real y convencional son diferentes, la mayor parte del diseño en ingeniería se lleva a cabo dentro de la zona elástica, ya que la distorsión del material en general no es severa dentro de este intervalo. Siempre que el material sea “rígi do”, como son la mayoría de los metales, la deformación unitaria hasta el límite de elasticidad permanecerá pequeña y el error en el uso de los valores nominales de
o (klb/pulg2)
Fig. 3-6
S ección 3.3
cional i cabo eneral "rígihasta de los 0. 1%) tzones enrió
la a la i con tar los deforroporeiP ~ cia de ) infefluena cual e prota que ao coMPa). 0.380
3.3
Comportamiento esfuerzo-deformación unitaria de materiales dúctiles y frágiles
91
Com portam iento esfuerzo-deform ación unitaria de m ateriales dúctiles y frágiles
Los materiales pueden clasificarse como dúctiles o frágiles dependien do de sus características esfuerzo-deformación unitaria. Trataremos a ca da uno por separado.
Materiales dúctiles. Todo material que pueda estar sometido a defor maciones unitarias grandes antes de su rotura se llama m aterial dúctil. El acero dulce (de bajo contenido de carbono), del que hemos hablado an tes, es un ejemplo típico. Los ingenieros a m enudo eligen materiales dúc tiles para el diseño, ya que estos materiales son capaces de absorber im pactos o energía y, si sufren sobrecarga, exhibirán norm alm ente una deformación grande antes de su falla. U na manera de especificar la ductilidad de un material es reportar su porcentaje de elongación o el porcentaje de reducción de área (estricción) en el mom ento de la fractura. El porcentaje de elongación es la deformación unitaria del espécimen en la fractura expresada en porcen taje. Así, si la longitud original entre las marcas calibradas de un probe ta es L0 y su longitud durante la ruptura es Lf, entonces Porcentaje de elongación =
L f - L0 ( 100%)
(3-3)
Como se aprecia en la figura 3-6, puesto que ef = 0.380, este valor sería de 38% para una probeta de ensayo de acero dulce. El porcentaje de reducción del área es otra m anera de especificar la ductilidad. Está definida dentro de la región de formación del cuello co mo sigue: A q - AiPorcentaje de reducción del área = ----------- (100%)
pulg)
•
(3-4)
Aquí A 0 es el área de la sección transversal original y A f es el área en la fractura. Un acero dulce tiene un valor típico de 60 por ciento. Además del acero, otros materiales como el latón, el molibdeno y el zinc pueden también exhibir características de esfuerzo-deformación dúctiles similares al acero, por lo cual ellos experimentan un com porta miento esfuerzo-deformación unitaria elástico, fluyen a esfuerzo cons tante, se endurecen por deformación y, finalmente, sufren estricción has ta la ruptura. Sin embargo, en la mayoría de los metales, no ocurrirá una fluencia constante más allá del rango elástico. Un metal para el cual és te es el caso es el aluminio. En realidad, este metal a menudo no tiene un punto de fluencia bien definido, y en consecuencia es práctica común definir en él una resistencia a la fluencia usando un procedimiento grá fico llamado el método de la desviación. Norm alm ente se escoge una deformación unitaria de 0.2% (0.002 pulg/pulg) y desde este punto so bre el eje e, se traza una línea paralela a la porción inicial recta del dia grama de esfuerzo-deformación unitaria. El punto donde esta línea in terseca la curva define la resistencia a la fluencia. Un ejemplo de la construcción para determ inar la resistencia a la fluencia para una alea ción de aluminio se muestra en la figura 3-7. De la gráfica, la resisten cia a la fluencia es crYs — 51 klb/pulg2 (352 MPa).
a (klb/pulg2)
60
0.010
e (pulg/pulg)
0.002 (desviación de 0.2%) Resistencia a la fluencia para una aleación de aluminio
Fig. 3-7
92
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CAPÍTULO 3 Propiedades mecánicas de los materiales
a (klb/pulg2)
Diagrama a -e para el hierro colado gris
Fig.3-9
Observe que la resistencia de fluencia no es una propiedad física del material, puesto que es un esfuerzo que causó una deformación unita ria perm anente especificada en el material. Sin embargo, en este texto supondremos que la resistencia de fluencia, el punto de fluencia, el lími te elástico y el límite de proporcionalidad coinciden todos ellos, a no ser que se establezca de otra manera. El hule natural sería una excepción, ya que de hecho ni siquiera tiene un límite de proporcionalidad, puesto que el esfuerzo y la deformación unitaria no están linealmente relacio nados, figura 3-8. En cambio, este material, que se conoce como un po límero, exhibe un comportamiento elástico no lineal. La madera es a menudo un material m oderadam ente dúctil, y como resultado se diseña por lo general para responder sólo a cargas elásti cas. Las características de resistencia de la m adera varían mucho de una especie a otra, y para cada especie dependen del contenido de humedad, la edad y el tam año o la localización de los nudos en la madera. Puesto que la m adera es un material fibroso, sus características de tensión o de compresión difieren mucho cuando recibe carga paralela o perpendicu lar a su grano. Específicamente, la m adera se abre con facilidad cuando se carga en tensión perpendicularm ente a su grano y, por consiguiente, las cargas de tensión suelen casi siempre aplicarse paralelas al grano de los miembros de madera.
Sección
3.3 C o m p o r t a m ie n t o e s fu e r z o - d e fo r m a c ió n u n it a r ia d e m a t e r ia le s d ú c t ile s y f r á g ile s
•
93
o (klb/pulg2)
Falla a tensión de un material frágil
La compresión ocasiona que el material se expanda
(a) -pulg)
(b) Fig. 3-10
Diagrama a - e para una mezcla típica de concreto
Fig. 3-11
:a del unitatexto I limiio ser Dción, tuesto lacioin pocomo elástile una ledad, 'uesto n o de ndicuuando tiente, tno de
Materiales frágiles. Los materiales que exhiben poca o ninguna fluen cia antes de su rotura se llaman materiales frágiles. Un ejemplo es el hie rro colado, o hierro gris, cuyo diagrama de esfuerzo-deformación bajo ten sión se muestra por la porción A B de la curva en la figura 3-9. Aquí la fractura a oy = 22 klb/pulg2 (152 MPa) tiene lugar inicialmente en una imperfección o una grieta microscópica y luego se extiende rápidamente a través de la muestra, ocasionando una fractura completa. Como resul tado de este tipo de falla, los materiales frágiles no tienen un esfuerzo de ruptura bajo tensión bien definido, puesto que la aparición de grietas en una muestra es bastante aleatoria. En cambio, suele reportarse el esfuer zo de ruptura promedio de un grupo de pruebas observadas. En la figura 3-10a se muestra una probeta típica en la que ha ocurrido la falla. Comparados con su com portamiento bajo tensión, los materiales frá giles como el hierro colado exhiben una resistencia mucho más elevada a la compresión axial, como se evidencia por la porción AC de la curva en la figura 3-9. En este caso cualquier grieta o imperfección en la pro beta tiende a cerrarse, y conforme la carga aum enta el material por lo general se abom bará o adquirirá forma de barril a medida que las de formaciones unitarias van siendo más grandes, figura 3-105. Al igual que el hierro colado, el concreto se clasifica también como material frágil y tiene baja capacidad de resistencia a la tensión. Las ca racterísticas de su diagrama de esfuerzo-deformación dependen primor dialmente de la mezcla del concreto (agua, arena, grava y cemento) y del tiempo y tem peratura del curado. En la figura 3-11 se muestra un ejemplo típico de un diagrama de esfuerzo-deformación “com pleto” para el concreto. Por inspección, su resistencia máxima a la compresión es de casi 12.5 veces mayor que su resistencia a la tensión, (crc)máx = 5 klb/pulg2 (34.5 MPa) contra (cr,)máx = 0.40 klb/pulg2 (2.76 MPa). Por esta razón, el concreto casi siempre se refuerza con barras de acero cuando está di señado para soportar cargas de tensión. Puede afirmarse, por lo general, que la mayoría de los materiales ex hiben un com portamiento tanto dúctil como frágil. Por ejemplo, el acero tiene un comportamiento frágil cuando tiene un contenido de carbono alto, y es dúctil cuando el contenido de carbono es reducido. También los materiales se vuelven más duros y frágiles a temperaturas bajas, mien tras que cuando la temperatura se eleva, se vuelven más blandos y dúcti les. Este efecto se muestra en la figura 3-12 para un plástico metacrilático.
El acero pierde rápidamente su resistencia al ser calentado. Por esta razón los ingenie ros requieren a menudo que los miembros estructurales principales sean aislados con tra el fuego.
a (klb/pulg2)
160° F
------ 1-------e(pulg/pulg) 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 Diagramas cr-f para un plástico metacrilático
Fig. 3-12
94
3.4
•
CAPÍTULO 3 Propiedades mecánicas de los materiales
Ley de Hooke Como se observó en la sección anterior, los diagramas de esfuerzo-de formación para la mayoría de los materiales de ingeniería exhiben una relación lineal entre el esfuerzo y la deformación unitaria dentro de la región elástica. Por consiguiente, un aum ento en el esfuerzo causa un au m ento proporcional en la deformación unitaria. Este hecho fue descu bierto por R obert Hooke en 1676 en los resortes, y se conoce como ley de Hooke. Puede expresarse m atemáticamente como:
(3-5)
A quí E representa la constante de proporcionalidad, que se llama m ó dulo de elasticidad o m ódulo de Young, en honor de Thomas Young, quien publicó en 1807 un trabajo sobre el tema. La ecuación 3-5 representa en realidad la ecuación de la porción ini cial recta del diagrama de esfuerzo-deformación unitaria hasta el límite de proporcionalidad. Además, el módulo de elasticidad representa la pen diente de esta línea. Puesto que la deformación unitaria no tiene dimen siones, según la ecuación 3-5, E tendrá unidades de esfuerzo, tales como lb/pulg2, klb/pulg2 o pascales. Como ejemplo de su cálculo, considere mos el diagrama de esfuerzo-deformación unitaria para el acero m ostra do en la figura 3-6. Aquí, a,p = 35 klb/pulg2 y e¡p = 0.0012 pulg/pulg, de modo que: E = — = = 29(103) klb/pulg2 % 0.0012 pulg/pulg
a (klb/pulg2)
acero para resortes ( I % de carbono)
acero endurecido tratado termicamente (0.6% de carbono) acero maquinado (0.6% de carbono) acero estructural (0.2% de carbono) acero suave (0.1% de carbono)
0.002 0.004 0006 0.008 0.01
Fig. 3-13
<• (pulg/pulg)
Como se m uestra en la figura 3-13, el límite de proporcionalidad pa ra un tipo particular de acero depende de su contenido de aleación; sin embargo, la mayoría de los grados de acero, desde el acero rolado más suave hasta el acero de herramientas más duro, tienen aproximadamen te el mismo módulo de elasticidad, que generalm ente se acepta igual a £ ac = 29(103) klb/pulg2 o 200 GPa. Los valores comunes de E para otros materiales de ingeniería están a menudo tabulados en códigos de inge niería y en libros de referencia. Valores representativos se dan también en el forro interior de la cubierta de este libro. Debe observarse que el módulo de elasticidad es una propiedad mecánica que indica la rigidez de un material. Los materiales que son muy rígidos, como el acero, tie nen valores grandes de E [£ ac = 29(103) klb/pulg2 o 200 GPa], mientras que los materiales esponjosos, como el hule vulcanizado, pueden tener valores bajos [£ h = 0.10(103) klb/pulg2 o 0.70 MPa]. El módulo de elasticidad es una de las propiedades mecánicas más im portantes usadas en el desarrollo de las ecuaciones presentadas en este texto. Por tanto, deberá siempre recordarse que E puede usarse sólo si un material tiene un comportamiento elástico lineal. También, si el esfuerzo en el material es mayor que el límite de proporcionalidad, el dia grama de esfuerzo deformación unitaria deja de ser una línea recta y la ecuación 3-5 ya no es válida.
Sección
3.4 Ley de Hooke
Endurecimiento por deformación. Si una probeta de material dúctil, como el acero, es cargada dentro de la zona plástica y luego descargada, la deformación elástica se recupera cuando el material retorna a su esta do de equilibrio. Sin embargo, la deformación plástica permanece y, como resultado, el material queda som etido a una deformación permanente. Por ejemplo, cuando un alambre se dobla (plásticamente), resorteará un poco (elásticamente) cuando se quita la carga; sin embargo, no retornará por completo a su posición original. Este comportamiento puede ilustrar se por medio de un diagrama de esfuerzo-deformación unitaria como se m uestra en la figura 3-14«. Aquí, la probeta es cargada, primero, más allá de su punto de fluencia A hasta el punto A '. Puesto que las fuerzas intera tómicas tienen que vencerse para alargar al espécimen elásticamente, en tonces estas mismas fuerzas hacen que los átomos permanezcan juntos cuan do se retira la carga, figura 3-14a. Por consiguiente, el módulo de elasticidad E es el mismo, y la pendiente de la línea O 'A ' tiene la misma pendiente que la línea O A. Si se aplica de nuevo la carga, los átomos del material serán nueva mente desplazados hasta que ocurra la fluencia en o cerca del esfuerzo A ', y el diagrama de esfuerzo-deformación continúa a lo largo de la mis ma trayectoria como antes, figura 3-14b. Sin embargo, conviene señalar que este nuevo diagrama de esfuerzo-deformación definido por O 'A 'B ' tiene ahora un punto de fluencia mayor (A '), como consecuencia del en- * durecimiento por deformación. En otras palabras, el material tiene aho ra una región elástica mayor, sin embargo, tiene menos ductilidad, esto es, una menor región plástica, que cuando estaba en su estado original. Debe señalarse que en realidad puede perderse algo de calor o ener gía cuando el espécimen es descargado desde A ' y luego cargado de nue vo hasta este mismo esfuerzo. Como resultado, se tendrán ligeras curvas en las trayectorias de A ' a O' y de O' a A ' durante un ciclo de carga medido cuidadosamente. Esto se muestra por medio de las curvas con rayas en la figura 3-146. El área sombreada entre estas curvas represen ta energía perdida y se llama histéresis mecánica. Se convierte en una consideración im portante cuando se seleccionan materiales que van a servir como amortiguadores de vibraciones en estructuras o en equipos mecánicos, aunque en este texto no la consideraremos. a región elástica
a región plástica
región elástica B
e ?deformaci6n ? recuperación , permanente' elástica '
O (a)
O' (b)
Fig. 3-14
región plástica
•
95
96
3.5
•
CAPÍTULO 3 Propiedades mecánicas de los materiales
Energía de deform ación
Fig. 3-15
Un material tiende a almacenar energía internamente en todo su volu men al ser deform ado por una carga externa. Puesto que esta energía está relacionada con las deformaciones del material, recibe el nombre de energía de deformación unitaria. Por ejemplo, cuando una probeta de prueba a tensión está sometida a una carga axial, un elemento de volu men del material está sometido a esfuerzo uniaxial como se muestra en la figura 3-15. Este esfuerzo desarrolla una fuerza AF = cr AA = a (Ai Ay) sobre Jas caras superior e inferior del elem ento después que el ele mento sufre un desplazamiento vertical e Az. Por definición, el trabajo se determina por el producto de la fuerza y el desplazamiento en la di rección de la fuerza. Puesto que la fuerza AF aum enta uniformemente desde cero hasta su magnitud final AF cuando se alcanza el desplaza miento e Az, el trabajo efectuado en el elemento por la fuerza es igual a la magnitud de la fuerza promedio (AF/2) por el desplazamiento e Az. Este “trabajo externo” es equivalente al “trabajo interno” o energía de deformación unitaria almacenada en el elemento (suponiendo que no se pierda energía en forma de calor). En consecuencia, la energía de defor mación unitaria AU es AU = (1/2 AF) e Az = (1/2 o Ax Ay)e Az. Como el volumen del elem ento es AF = Ax Ay Az, entonces AU = 1/2 ere AV. A veces es conveniente formular la energía de deformación unitaria por unidad de volumen de material. Esto se llama densidad de energía de deformación unitaria, y puede expresarse como AU 1 w= Á v = r e
(3-6)
Si el comportamiento del material es elástico lineal, entonces es aplica ble la ley de Hooke, o = Ee, y por tanto podemos expresar la densidad de energía de deformación unitaria en términos del esfuerzo uniaxial como:
2E
(3-7)
Módulo de resiliencia. En particular, cuando el esfuerzo o-alcanza el límite de proporcionalidad, a la densidad de la energía de deformación unitaria, calculada con la ecuación 3-6 o la 3-7, se le llama módulo de re siliencia, esto es. (3-8)
Módulo de resiliencia ur
(a) Fig. 3-16
En la región elástica del diagrama de esfuerzo-deformación unitaria, figura 3-16«, advierta que ur es equivalente al área triangular sombreada bajo el diagrama. La resiliencia de un material representa físicamente la capacidad de éste de absorber energía sin ningún daño perm anente en el material.
Módulo de tenacidad. O tra propiedad im portante de un material es el módulo de tenacidad, u,. Esta cantidad representa el área total dentro del diagrama de esfuerzo-deformación, figura 3-16¿>, y por consiguiente in-
dica la d cisameu do se da materia] debido ; con un t> fractura La alea* nacidad diagran: cómop> tres ales
pur\ •
uj te tos
ira • El usa
lib • Ui mi tía la • Ui a le lo • Pi ui
fu • U ce ck • Si
pí & • U ca • B P* m
L! m ta e
Sección
'olu;rgía nbre :a de /olua en ■(A* i eleibajo a dilente lazaigual e Az. ía de no se efor^omo eAV. itaria ergía
(3-6) plicaad de :omo: (3-7) nza el lación de re-
(3-8)
litaria, jreada ;nte la nte en :rial es dentro ntc in
dica la densidad de la energía de deformación unitaria del material pre cisamente antes de que se rompa. Esta propiedad resulta importante cuan do se diseñan miembros que pueden sobrecargarse accidentalmente. Los materiales con un módulo de tenacidad elevado se distorsionarán mucho debido a una sobrecarga; sin embargo, pueden ser preferibles a aquellos con un valor bajo, puesto que los materiales que tienen un u, bajo pueden fracturarse de m anera repentina sin indicio alguno de una falla próxima. La aleación de los metales pueden también cambiar su resiliencia y te nacidad. Por ejemplo, al cambiar el porcentaje de carbono en el acero, los diagramas de esfuerzo-deformación resultantes en la figura 3-17 indican cómo pueden cambiar a su vez los grados de resiliencia y de tenacidad en tres aleaciones.
3.5 Energía de deformación
•
97
a
(b)
PUNTOS IMPORTANTES • U n diagrama de esfuerzo-deformación convencional es importan te en la ingeniería ya que proporciona un medio para obtener da tos sobre la resistencia a tensión o compresión del material sin importar el tamaño o forma física del material. • El esfuerzo y la deformación unitaria de ingeniería se calculan usando el área original de la sección transversal y la longitud ca librada del espécimen. • Un material dúctil, como el acero dulce, tiene cuatro com porta mientos distintos al ser cargado. Ellos son el comportamiento elás tico, la fluencia o cedencia, el endurecimiento por deformación y la estricción. • Un material es linealmente elástico si el esfuerzo es proporcional a la deformación unitaria dentro de la región elástica. A esto se le llama ley de Hooke, y la pendiente de la curva se llama módu lo de elasticidad, E. • Puntos importantes sobre el diagrama de esfuerzo-deformación unitaria son el límite de proporcionalidad, el límite elástico, el es fuerzo de fluencia, el esfuerzo último y el esfuerzo de fractura. • La ductilidad de un material puede ser especificada por el por centaje de elongación del espécimen o por el porcentaje de reduc ción en área. • Si un material no tiene un distinto punto de fluencia, puede es pecificarse un esfuerzo de fluencia usando un procedim iento grá fico tal como el método de la desviación. • Los materiales frágiles, como el hierro colado gris, tienen muy po ca o ninguna fluencia y se fracturan repentinamente. • El endurecimiento por deformación se usa para establecer un punto de fluencia más alto en un material. Esto se logra defor mando el material más allá del límite elástico y luego liberando la carga. El módulo de elasticidad permanece igual: sin embargo, la ductilidad del material decrece. • La energía de deformación unitaria es energía almacenada en un material debido a su deformación. Esta energía por volumen uni tario se llama densidad de energía por deformación unitaria. Si ella se mide hasta el límite de proporcionalidad se llama m ódu lo de resiliencia, y si se mide hasta el punto de fractura, se llama módulo de tenacidad.
Fig. 3-16 (cont.)
resistencia más alta del acero endurecido (0.6% de carbono) acero estructural muy tenaz de carbono) acero suave muy dúctil (0.1 % de carbono)
Fig. 3-17
Este espécimen de nylon exhibe un alto grado de tenacidad evidencia do por la gran cantidad de estric ción que ha sufrido justo antes de su fractura.
98
•
CAPÍTULO 3 Propiedades mecánicas de los materiales
E J E M P L O U na prueba de tensión para una aleación de acero da como resulta do el diagrama de esfuerzo-deformación unitaria mostrado en la fi gura 3-18. Calcule el módulo de elasticidad y el esfuerzo de fluencia con base en una desviación de 0.2%. Identifique sobre la gráfica el esfuerzo último y el esfuerzo de fractura. <7 (k lb/pulg2)
120 a„ = 108
<%= 68
€ (pulg/pulg)
0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0 .U 0.16 0.18 0.20 0.22 0.24 I 0.0008 I 0.0016 I 0.0024 0.0004 0.0012 00020
*02%"
Fig. 3-18
Solución Módulo de elasticidad. Debemos calcular la pendiente de la por ción inicial recta de la gráfica. Usando la curva amplificada y la esca la mostrada, esta línea se extiende del punto O a un punto estimado A, que tiene coordenadas de aproximadamente (0.0016 pulg/pulg, 50 klb/pulg2). Por consiguiente, 50 = klb/pulg2 0.0016 pulg/pulg
31.2(103) klb/pulg2
Resp.
Advierta que la ecuación de la línea OA es entonces a = 31.2(103)e. Resistencia a la fluencia. Para una desviación de 0.2%, comenza mos con una deformación unitaria de 0.2%, o 0.0020 pulg/pulg y ex tendemos gráficamente una línea (punteada) paralela a O A hasta que interseca a la curva a-e en A'. La resistencia a la fluencia es aproxi madamente: o-yS = 68 klb/pulg2 Resp Esfuerzo último. Este se define por la ordenada máxima de la grá fica cr-e, esto es, por el punto B en la figura 3-18. cr„ = 108 klb/pulg2
Resp.
Esfuerzo de fractura. Cuando el espécimen se deforma a su máxi mo de 6f = 0.23 pulg/pulg, se fractura en el punto C. Entonces, ay = 90 klb/pulg2
Resp.
Sección
3.5 Energía de deformación
•
99
E J E M P L O En la figura 3-19 se m uestra el diagrama de esfuerzo-deformación uni taria para una aleación de aluminio usada para fabricar partes de avión. Si un espécimen de este material se somete a un esfuerzo de 600 MPa, de termine la deformación unitaria permanente que queda en el espécimen cuando la carga se retira. Calcule también el módulo de resiliencia antes y después de la aplicación de la carga.
Solución Deformación unitaria permanente. Cuando el espécimen está so metido a la carga, se endurece hasta que se alcanza el punto B sobre el diagrama er-e, figura 3-19. La deformación unitaria en este punto es aproximadamente 0.023 mm/mm. Cuando se retira la carga, el ma terial se comporta siguiendo la línea recta BC, que es paralela a la lí nea OA. Como ambas líneas tienen la misma pendiente, la deforma ción unitaria en el punto C puede determ inarse analíticamente. La pendiente de la línea OA es el módulo de elasticidad, esto es, E =
450 MPa 0.006 mm/m m
= 7 5 .0
Según el triángulo C BD : BD 600(106) Pa E = CD ~ CD
GPa
tr(M Pa)
750 F
600 -
Oy = 450
= 7 5 .0 ( 1 0 9)
Pa
CD — 0 0 .0 0 8 mm/mm
€ (m m /m m )
Esta deformación unitaria representa la cantidad de deformación uni taria elástica recuperada. La deformación unitaria permanente, eoc, es entonces , eoc = 0 .0 2 3 m m /m m — 0 .0 0 8 m m/mm = 0 .0 1 5 0 mm/m m Resp. Nota: si las marcas de calibración sobre el espécimen estaban original mente separadas 5 0 mm, entonces, después de retirar la carga, esas mar cas estarán a 5 0 mm + (0 .0 1 5 0 ) ( 5 0 mm) = 5 0 .7 5 mm separadas. M ódulo de resiliencia. Aplicando la ecuación («r)inicial =
= ^ (4 5 0
3 -8 ,
tenemos*
M P a) (0 .0 0 6 m m /mm)
= 1.35 M J/m 3
Resp.
^(600 MPa)(0.008 m m /mm) =
2 .4 0
M J/m 3
Resp.
El efecto del endurecimiento del material ha causado un incremen to en el módulo de resiliencia, como se advierte por comparación de las respuestas; sin embargo, note que el módulo de tenacidad del ma terial ha decrecido, ya que el área bajo la curva O ABF es mayor que el área bajo la curva CBF. *E1 trab ajo en el sistem a SI de u n id ad es se m ide en joules, d o n d e 1 J = 1 N • m.
•—eoc—■! Fig. 3-19
100
•
CAPÍTULO 3 Propiedades mecánicas de los materiales
E J E M P L O
3.3 La barra de aluminio mostrada en la figura 3-20« tiene una sección transversal circular y está sometida a una carga axial de 10 kN. Una porción del diagrama de esfuerzo-deformación unitaria para el m a terial se m uestra en la figura 3-206; determ ine el alargamiento aproximado de la barra cuando se le aplica la carga. Si se retira la car ga, ¿cuál es el alargamiento permanente de la barra? Considere Eal = 70 GPa.
20
mm
15
B M --------------------------------- ' 10 kN ■<----------
mm le i---------- ► 10 kN
■ "i
!
" t 600 mm
»
(a)
a (MPa)
(b)
Fig. 3-20
Solución En el análisis despreciaremos las deformaciones localizadas en el pun to de aplicación de la carga y donde el área de la sección transversal de la barra cambia bruscamente. (Esos efectos se estudiarán en las secciones 4.1 y 4.7.) En toda la sección media de cada segmento, el esfuerzo normal y la deformación son uniformes.
Sección
Para estudiar la deformación de la barra, debemos obtener la defor mación unitaria. Hacemos esto calculando prim ero el esfuerzo y luego usamos el diagrama de esfuerzo-deformación unitaria para obtener la deformación unitaria. El esfuerzo normal dentro de cada segmento es:
10(103) N
P a AB ~ ~7 ~
•n- (0.01 m )2
= 31.83 MPa
10(103) N A
ir (0.0075 m ):
= 56.59 MPa
Según el diagrama de esfuerzo-deformación unitaria, el material en la región A B se deforma elásticamente ya que oy = 40 MPa > 31.83 MPa. Usando la ley de Hooke, trAB 31.83(106) Pa = T T - = ----- — 3 --------- = 0.0004547 mm/mm B £ ai 70(10 ) Pa
£a b
El material dentro de la región BC se deforma plásticamente, ya que a y = 40 MPa < 56.59 MPa. De la gráfica, para aBC = 56.59 MPa, eBC ~ 0.045 m m /m m El alargamiento aproximado de la barra es entonces 8 = 1 e L - 0.0004547 (600 mm) + 0.045 (400 mm) = 18.3 mm
Resp.
Cuando se retira la carga de 10 kN, el segmento A B de la barra re cupera su longitud original. ¿Por qué? Por otra parte, el material en el segmento BC se recupera elásticamente a lo largo de la línea FG, figura 3-20b. Como la pendiente de FG es £ al, la recuperación elástica de la deformación es:
erec =
a BC
56.59(106) Pa 9 n— = 0.000808 mm/mm £ ai ~ 70(109) Pa
La deformación plástica que permanece en el segmento BC es entonces: e OG
= 0.0450 - 0.000808 = 0.0442 mm/mm
Por tanto, cuando la carga se retira, la barra permanece con un alarga miento dado por: 8' = eOG^BC = 0.0442 (400 mm) = 17.7 mm
Resp.
3.5 Energía de deformación
•
101
102
•
CAPÍTULO 3 Propiedades mecánicas de los materiales
PROBLEMAS 3-1. Se llevó a cabo una prueba de tensión en una pro beta de ensayo de acero que tenía un diámetro original de 0.503 pulg y una longitud calibrada de 2.00 pulg. Los datos se muestran en la tabla. Trace el diagrama de esfuer zo-deformación unitaria y determ ine aproxim adam ente el módulo de elasticidad, el esfuerzo último y el esfuer zo de ruptura. Use una escala de 1 pulg = 15 klb/pulg2 y 1 pulg = 0.05 pulg/pulg. Dibuje de nuevo la región elás tica lineal, usando la misma escala de esfuerzos, pero una escala de deformaciones unitarias de 1 pulg = 0.001 pulg. 3-2. Se llevó a cabo una prueba de tensión en una pro beta de ensayo de acero que tenía un diám etro original de 0.503 pulg y una longitud calibrada de 2.00 pulg. Con los datos proporcionados en la tabla, trace el diagrama de esfuerzo-deformación unitaria y determ ine aproxim a dam ente el módulo de tenacidad.
Carga (kN )
Alargamiento (mm)
0 2.50 6.50 8.50 9.20 9.80 12.0 14.0 14.5 14.0 13.2
0 0.0009 0.0025 0.0040 0.0065 0.0098 0.0400 0.1200 '0.2500 0.3500 0.4700
*3-4. Se llevó a cabo una prueba de tensión en una pro beta de ensayo de acero que tenía un diámetro original de 0.503 pulg y una longitud calibrada de 2.00 pulg. Los da tos se m uestran en la tabla. Trace el diagrama de esfuer zo-deformación unitaria y determ ine aproxim adam ente el módulo de elasticidad, el esfuerzo de fluencia, el es fuerzo último y el esfuerzo de ruptura. Use una escala de 1 pulg = 20 klb/pulg2 y 1 pulg = 0.05 pulg/pulg. Dibuje de nuevo la región elástica, usando la misma escala de es fuerzos pero una escala de deformaciones unitarias de 1 pulg = 0.001 pulg/pulg.
C arga (klb) A largam iento (pulg) 0 0.0005 0.0015 0.0025 0.0035 0.0050 0.0080 0.0200 0.0400 0.1000 0.2800 0.4000 0.4600
0 1.50 4.60 8.00 11.00 11.80 11.80 12.00 16.60 20.00 21.50 19.50 18.50
Prob. 3-4
Probs. 3-1/2
3-3. Se dan en la tabla los datos de un ensayo de esfuerzo-deformación unitaria de un material cerámico. La cur va es lineal entre el origen y el prim er punto. Trace la curva y determine el módulo de elasticidad y el módulo de resiliencia.
o (M P a )
e (m n i/m m )
0 229 314 341 355 368
0 0.0008 0.0012 0.0016 0.0020 0.0024
Prob. 3-3
3-5. Se da en la figura el diagrama de esfuerzo-deformación unitaria de una aleación de acero con un diáme tro original de 0.5 pulg y una longitud calibrada de 2 pulg. Determ ine aproximadamente el módulo de elasticidad del material, la carga sobre el espécimen que genera la fluencia y la carga última que el espécimen soportará. 3-6. Se da en la figura el diagrama de esfuerzo-deformación unitaria de una aleación de acero con un diámetro original de 0.5 pulg y una longitud calibrada de 2 pulg. Si el espécimen se carga hasta que se alcanza en él un esfuer zo de 70 klb/pulg2, determ ine la cantidad aproximada de recuperación elástica y el incremento en la longitud cali brada después de que se descarga. 3-7. Se da en la figura el diagrama de esfuerzo-deformación unitaria de una aleación de acero con un diám e tro original de 0.5 pulg y una longitud calibrada de 2 pulg. Determ ine aproximadamente el módulo de resiliencia y el módulo de tenacidad para el material.
P ro b le m as
70
/
50 40
/
\\
/ y
/t
20
< r(lb /p u lg 2)
_ —.
30
/
/
103
3-9. Se muestra en la figura el diagrama a-e para las fi bras elásticas que forman la piel y músculos humanos. Determine el módulo de elasticidad de las fibras y esti me sus módulos de tenacidad y de resiliencia.
CT(klb/pulg2)
80
60
♦
/
//
10
0/
e (pulg/pulg)
e(pulg/pulg)
0 0.04 0.08 0.12 0.16 0.20 0.24 0.28 0 0.0005 0.0010.0015 0.002 0.0025 0.0030.0035
2 2.25
Prob. 3-9
P robs. 3-5/6/7
*3-8. En la figura se m uestra el diagrama de esfuerzodeformación unitaria para una barra de acero. D eterm i ne aproxim adam ente el módulo de elasticidad, el límite de proporcionalidad, el esfuerzo último y el módulo de resiliencia. Si la barra se carga hasta un esfuerzo de 450 MPa, determ ine la cantidad de deformación unitaria elás tica recuperable y la deformación unitaria perm anente en la barra cuando ésta se descarga.
■3-10. Se muestra el diagrama de esfuerzo-deformación unitaria para un hueso que puede describirse por la ecua ción e = 0.45(10~6) ( t + 0.36(10_I2)í73, donde crestá en kPa. Determine el esfuerzo de fluencia suponiendo una desvia ción de 0.3 por ciento.
f
cr(MPa)
■3-11. Se muestra el diagrama de esfuerzo-deformación unitaria para un hueso que puede describirse por la ecua ción e = 0.4 5 (1 0 _6) c t+ 0 .36(10“ 12) tr\ donde crestá en kPa. Determ ine el módulo de tenacidad y el alargamiento en una región de 200 mm de longitud justo antes de que se fracture si la falla ocurre en e = 0.12 mm/mm.
Prob. 3-8
Prob. 3-11
104
•
CAPÍTULO 3 Propiedades mecánicas de los materiales
*3-12. La fibra de vidrio tiene un diagrama de esfuer zo-deformación unitaria como el mostrado. Si una barra de 50 mm de diám etro y 2 m de longitud hecha de este m aterial está sometida a una carga axial de tensión de 60 kN, determine su alargamiento.
*3-16. El poste está soportado por un pasador en C y por un alambre A B de acero A-36. Si el alambre tiene un diám etro de 0.2 pulg, determ ine cuánto se alarga éste cuando una fuerza horizontal de 2.5 klb actúa sobre el poste.
cr(Pa)
3-13. El plástico acetal tiene un diagrama de esfuerzodeformación unitaria como el mostrado. Si una barra de este material tiene una longitud de 3 pies y un área trans versal de 0.875 pulg2 y está sometido a una carga axial de 2.5 klb, determine su alargamiento.
Prob. 3-16
3-17. La barra DA es rígida y se mantiene originalmen te en posición horizontal cuando el peso W está soporta do en C. Si el peso ocasiona que B se desplace hacia aba jo 0.025 pulg, determ ine la deformación unitaria en los alambres D E y BC. Además, si los alambres están hechos de acero A-36 y tienen un área transversal de 0.002 pulg2, determ ine el peso W.
3 pies
3-14. Un espécimen tiene originalmente 1 pie de longi tud, un diámetro de 0.5 pulg y está sometido a una fuer za de 500 Ib. Cuando la fuerza se incrementa a 1800 Ib, el espécimen se alarga 0.9 pulg. Determ ine el módulo de elasticidad del material si éste permanece elástico.
D
B
4 pies
3-15. U n miembro estructural de un reactor nuclear es tá hecho de una aleación de zirconio. Si debe soportar una carga axial de 4 klb, determine su área transversal re querida. Use un factor de seguridad de 3 con respecto a la fluencia. ¿Cuál es la carga sobre el miembro si éste tie ne 3 pies de longitud y su alargamiento es de 0.02 pulg? E ZI = 14(103) klb/pulg2, ay = 57.5 klb/pulg2. El material tiene com portamiento elástico.
D w
Prob. 3-17
P ro b le m as
3-18. Se muestra el diagrama cr-e de un haz de fibra co lágena de la que se compone un tendón humano. Si un segmento del tendón de Aquiles en A tiene una lon gitud de 6.5 pulg y un área transversal aproximada de 0.229 pulg2, determ ine su alargamiento si el pie soporta una carga de 125 Ib, que causa una tensión en el tendón de 343.75 Ib.
•
105
a 'klb/pulg2)
Prob. 3-19
*3-20. Las dos barras están hechas de poliestireno, que tiene el diagrama de esfuerzo-deformación unitaria mos trado. D eterm ine el área transversal de cada barra de m a nera que las barras se rom pen sim ultáneam ente cuando la carga P = 3 klb. Suponga que no se presenta ningún pandeo.
Prob. 3-18 P
3-19. Las dos barras están hechas de poliestireno, que tiene el diagrama de esfuerzo-deformación unitaria mos trado. Si el área transversal de la barra A B es de 1.5 pulg2 y el de la BC es de 4 pulg2, determine la fuerza P máxima que puede soportarse antes de que uno de los miembros se rompa. Suponga que no ocurre ningún pandeo.
a (klb/pulg2)
P
106
•
CAPÍTULO 3 Propiedades mecánicas de los materiales
3-21. El diagrama de esfuerzo-deformación unitaria pa ra una resina de poliestireno está dado en la figura. Si la viga rígida está soportada por un puntal A B y un poste C D , ambos hechos de este material, y sometida a una car ga de P - 80 kN, determine el ángulo de inclinación de la viga cuando se aplica la carga. El diám etro del puntal es de 40 mm y el diámetro del poste es de 80 mm.
*3-24. El tubo está soportado por un pasador en C y un alam bre A B de acero A-36. Si el alambre tiene un diá m etro de 0.2 pulg, determine la carga w distribuida si el extremo B se desplaza 0.75 pulg hacia abajo.
3-22. El diagrama de esfuerzo-deformación unitaria para una resina poliestérica está dado en la figura. Si la viga rígida está soportada por un puntal A B y un poste CD, ambos hechos de este material, determine la carga P m á xima que puede aplicarse a la viga antes de que falle. El diám etro del puntal es de 12 mm y el diám etro del pos te es de 40 mm.
P ro b s. 3-23/24
3-25. El diagrama de esfuerzo-deformación unitaria pa ra muchas aleaciones metálicas puede describirse analí ticam ente usando la ecuación de tres parám etros de Ramberg-Osgood e = cr/E + ko ", donde E, k y n se determ inan por mediciones en el diagrama. U sando el diagrama de esfuerzo-deformación unitaria mostrado en la figura, considere E = 30(103) klb/pulg2 y determ ine los otros dos parámetros k y n y obtenga luego una expre sión analítica para la curva.
cr(M Pa)
a (klb/pulg2)
P robs. 3-21/22
3-23. El tubo está soportado por un pasador en C y un alambre A B de acero A-36. Si el alambre tiene un diá m etro de 0.2 pulg. determine su alargamiento cuando una carga distribuida ce w = 100 lb/pie actúa sobre la viga. El material permanece elástico.
Prob. 3-25
S ecció n
3.6
3.6 Relación de Poisson
•
107
Relación de Poisson
Cuando un cuerpo deformable está sometido a una fuerza axial de ten sión, no sólo se alarga sino que también se contrae lateralmente. Por ejemplo, si una tira de hule se alarga, puede notarse que el espesor y el ancho de la tira disminuyen. Igualmente, una fuerza de compresión que actúa sobre un cuerpo ocasiona que éste se contraiga en la dirección de la fuerza y que se expanda lateralmente. Estos dos casos se ilustran en la figura 3-21 para una barra con radio r y longitud L iniciales. Cuando la carga P se aplica a la barra, la longitud de la barra cambia una cantidad 5 y su radio una cantidad 8'. Las deformaciones unitarias en la dirección axial o longitudinal y en la dirección lateral o radial son, respectivamente, e long
8_ L
8' e lat -
A principios del siglo xix, el científico francés S.D. Poisson descubrió que dentro del rango elástico, la razón de esas dos deformaciones uni tarias es constante, ya que las deformaciones 8 y 8' son proporcionales. A esta constante se le llama razón de Poisson, v (nu), y tiene un valor numérico que es único para un material particular que sea homogéneo e isotrópico. Expresado matemáticamente, _£lat_
(3-9)
e long
El signo negativo se usa aquí ya que un alargamiento longitudinal (defor mación unitaria positiva) ocasiona una contracción lateral (deformación unitaria negativa), y viceversa. Advierta que esta deformación unitaria lateral es la misma en todas las direcciones laterales (o radiales). Ade más, esta deformación unitaria es causada sólo por la fuerza axial o lon gitudinal; ninguna fuerza o esfuerzo actúa en una dirección lateral que deforme el material en esa dirección. La razón de Poisson es adimensional y para la mayoría de los sólidos no porosos tiene un valor generalmente entre } y y. En la cubierta pos terior del libro se dan valores típicos de v para materiales comunes. En particular, un material ideal sin movimiento lateral cuando se alargue o contraiga, tendrá v - 0. Veremos en la sección 10.6 que el valor máximo posible para la razón de Poisson es 0.5. Por tanto, 0 £ v s 0.5.
Cuando el bloque de hule es compri mido (deformación unitaria negati va) sus lados se expanden (deforma ción unitaria positiva). La relación de esas deformaciones unitarias es cons tante.
Forma final Forma original
Forma original Form a final r Tensión
Compresión
Fig. 3-21
108
•
CAPÍTULO 3 Propiedades mecánicas de los materiales
E J E M P L O
| ^ | ---------------------------------------------------Una barra de acero A-36 tiene las dimensiones mostradas en la figura 3-22. Si se aplica una fuerza axial P = 80 kN a la barra, determine el cambio en su longitud y el cambio en las dimensiones de su sección transversal después de aplicada la carga. El material se comporta elás ticamente.
P = 80 kN
Fig. 3-22
Solución
El esfuerzo normal en la barra es P *’ - A -
80(103) N
,
,
(0.1 m)(0.05 m) ' 16°<106> Pa
De la tabla en la cubierta posterior para el acero A-36, £ ac = 200 GPa, por lo que la deformación unitaria en la dirección z es: 16.0(106) Pa
e . = — = ---------- 5 ------ = 80(10
z
£ ac
200(10 ) Pa
V
) mm/mm
'
El alargamiento axial de la barra es entonces: 8. = ezL z = [80(10_6)](1.5 m) = 120 /¿m
Resp.
Usando la ecuación 3-9, donde vAC= 0.32 según la tabla en el forro posterior, las contracciones en las direcciones x y y son: ex = e v = - v ace 2 = -0.32[80(10-6)] = -25.6 /¿m/m
Así, los cambios en las dimensiones de la sección transversal son: S x = exL x = —[25.6( 10_6 )](0.1 m) = -2 .5 6 ¿un
Resp.
8V = e vL y = —[25.6(10_6)](0.05 m) = -1.28 pxa
Resp.
S ecció n
3.7
3.7 El diagrama de esfuerzo-deformación unitaria en cortante
El diagram a de esfuerzo-deform ación unitaria en cortante
En la sección 1.5 se mostró que cuando un elemento de material está sometido a cortante puro, el equilibrio requiere que se desarrollen es fuerzos cortantes iguales en las cuatro caras del elemento. Estos esfuer zos deben estar dirigidos hacia o desde las esquinas diagonalmente opuestas del elemento, figura 3-23a. Además, si el material es homogé neo e isotrópico, entonces el esfuerzo cortante distorsionará al elemen to de manera uniforme, figura 3-23b. Como se mencionó en la sección 2 .2 , la deformación unitaria cortante yxy mide la distorsión angular del elemento con relación a los lados orientados inicialmente a lo largo de los ejes x y y. El com portamiento de un material sometido a cortante puro puede ser estudiado en un laboratorio usando muestras en forma de tubos del gados y sometiéndolos a una carga de torsión. Sí se hacen mediciones del par aplicado y del ángulo de torsión resultante, entonces, según los métodos que se explicarán en el capítulo 5, los datos pueden usarse pa ra determ inar el esfuerzo cortante y la deformación unitaria cortante, y puede trazarse un diagrama de esfuerzo cortante-deformación cortante unitaria. En la figura 3-24 se muestra un ejemplo de este diagrama pa ra un material dúctil. Al igual que en la prueba de tensión, este material . exhibirá un com portamiento elástico lineal cuando se le somete a cor te, y tendrá un límite de proporcionalidad t ¡p definido. También ocurri rá un endurecimiento por deformación hasta que se llegue al esfuerzo cortante último t u. Finalmente, el material comenzará a perder su resis tencia al cortante hasta que se alcance un punto en que se fracture, Tf. En la mayoría de los m ateriales de ingeniería, como el que acabamos de describir, el com portamiento elástico es lineal, de modo que la ley de Hooke para el cortante puede escribirse como: t
= Gy
(3-10)
Aquí G se llama m ódulo de elasticidad p o r cortante o módulo de rigi dez:. Su valor puede medirse por la pendiente de la línea en el diagrama T-y, esto es, G = Tip/y¡p. En el forro interior de la cubierta de este libro se dan algunos valores típicos para materiales comunes de ingeniería. Advierta que las unidades de G son las mismas que para E (Pa o lb/'pulg2), puesto que g se mide en radianes, una cantidad adimensional. En la sección 10.6 se dem ostrará que las tres constantes del material, E, v y G están relacionadas por la ecuación:
G
2 ( 1
+ v)
(3-11)
Siempre que E y G se conozcan, el valor de v podrá determinarse por medio de esta ecuación en vez de tener que recurrir a mediciones expe rimentales. Por ejemplo, en el caso del acero A-36, Eac = 29(103) klb/pulg 2 y Gac = 11.0(103) klb/pulg2, de modo que, según la ecuación 3-11, vac = 0.32.
(a)
Fig. 3-23
•
109
110
•
CAPÍTULO 3 Propiedades mecánicas de los materiales
E J E M P L O
t
Un espécimen de una aleación de titanio se prueba en torsión y el diagrama de esfuerzo de cortante-deformación angular unitaria que resulta se muestra en la figura 3-25«. Determ ine el módulo cortante G, el límite de proporcionalidad y el esfuerzo cortante último. D eter mine también la distancia d máxima que la parte superior de un blo que de este material, mostrado en la figura 3-25b, podría desplazarse horizontalmente si el material se comporta elásticamente al actuar so bre él la fuerza cortante V. ¿Cuál es la magnitud de V para causar es te desplazamiento?
(klb/pulg2)
Solución M ódulo cortante. Este valor representa la pendiente de la porción recta OA del diagrama r-y. Las coordenadas del punto A son (0.008 rad, 52 klb/pulg2). Entonces,
Y„ = 0.54 (a)
0.73
/(ra d )
G =
52 klb/pulg 2 = 6500 íclb/pulg 2 0.008 rad
Resp.
La ecuación de la línea OA es por lo tanto r = 6500y, que es la ley de H ooke para cortante. L ím ite de proporcionalidad lineal en el punto A . Así,
Por inspección, la gráfica deja de ser
T¡p = 52 klb/pulg 2
Resp.
Esfuerzo último. Este valor representa el esfuerzo cortante máximo, punto B. De la gráfica, r „ = 73 klb/pulg 2 Resp
(b) Fig. 3-25
Desplazamiento elástico m áxim o y fuerza cortante. Como la defor mación unitaria cortante elástica máxima es de 0.008 rad, un ángulo muy pequeño, la parte superior del bloque en la figura 3-256 se des plazará horizontalmente: tan(0.008 rad) = 0.008 rad = 2
pulg
d = 0.016 pulg
Resp.
El esfuerzo cortante promedio correspondiente en el bloque es rlp = 52 klb/pulg2. Así, la fuerza cortante V necesaria para causar el des plazamiento es
' prom
v_ A’
52 klb/pulg2 =
(3 pulg) (4 pulg)
V = 624 klp/pulg 2
Resp.
S ección 3.7
El diagrama de esfuerzo-deformación unitaria en cortante
E J E M P L O El espécimen de aluminio mostrado en la figura 3-26 tiene un diáme tro d0 = 25 mm y una longitud calibrada L 0 = 250 mni, Si una fuer za de 165 kN alarga la longitud calibrada 1.20 mm, determ ine el mó dulo de elasticidad. Determ ine también cuánto se reduce el diámetro debido a esta fuerza. Considere Gal = 26 GPa y oy = 440 MPa.
165 kN
í
Solución M ódulo de elasticidad. cimen es
El esfuerzo norm al prom edio en el espé
P 165(103) N a = — = -------- ----- -------r = 336.1 MPa A (tt/4 )(0.025 m ) 2 y la deformación unitaria normal promedio es 8 _ L
mm _ q q ^ q mm
1 .2 0
250
mm/ mm '
Como cr < a Y = 440 MPa, el material se com porta elásticamente. El módulo de elasticidad es
I
165 kN
o336.1(106) Pa £ ., = - = — „ ' ' — = 70.0 GPa al e 0.00480
Resp.
Contracción del diámetro. Primero determinamos la relación de Poisson para el material usando la ecuación 3-11. G = 26 GPa =
E 2(1
+
v)
70.0 GPa 2 ( 1 + v)
v = 0.346 Como 6 jong = 0.00480 mm/mm, entonces por la ecuación 3-9, e lat e long
0.346 = e iat
^lat 0.00480 mm/mm
~ —0.00166 mm/mm
La contracción del diámetro es por lo tanto 8‘ = (0.00166)(25 mm)
Fig. 3-26
•
111
112
•
CAPÍTULO 3 Propiedades mecánicas de los materiales
'3.8
Falla de m ateriales por flujo plástico y por fatiga Hasta ahora hemos estudiado las propiedades mecánicas de un material sólo para una carga estática o aplicada lentam ente a una tem peratura constante. Sin embargo, en ciertos casos, un miembro puede tener que usarse en un ambiente para el cual las cargas deben ser sostenidas por periodos largos a temperaturas elevadas, o en otros casos la carga puede ser repetida o cíclica. No consideraremos tales efectos en este libro, aun que brevemente mencionaremos cómo se puede determ inar la resisten cia de los materiales en estas condiciones, puesto que reciben un trata miento especial en el diseño.
La aplicación de largo plazo de la car ga del cable sobre este poste ha cau sado su deformación debido al flujo plástico.
a (klb/pulg2) 40 30
20 10
200
400
600
800
1000
Diagrama cr-t para acero inoxidable a 1200°F y deformación unitaria por flujo plástico de 1%
Fig. 3-27
í(h)
Flujo plástico. Cuando un material tiene que soportar una carga por un periodo muy largo, puede continuar deformándose hasta que ocurre una fractura súbita o su utilidad se ve amenazada. Esta deformación perm a nente dependiente del tiempo se llama flu jo plástico. Norm alm ente el flujo plástico es tomado en cuenta cuando se usan metales o cerámicos co mo miembros estructurales o partes mecánicas sometidos a tem peratu ras elevadas. Sin embargo, en algunos materiales, como los polímeros y los materiales compuestos (incluyendo la madera y el concreto), si bien la tem peratura no es un factor importante, el flujo puede presentarse para aplicaciones estrictamente a largo plazo de la carga. Como ejemplo típi co, consideremos el hecho de que una banda de hule no retorna a su for ma original después de haber sido liberada de una posición estirada en la cual se mantuvo durante un periodo muy largo. En sentido general, tan to el esfuerzo y /o la temperatura juegan un papel im portante en la veloci dad del flujo plástico. Para efectos prácticos, cuando el flujo plástico resulta importante, el material se diseña por lo común para diseñar una deformación unitaria por flujo plástico especificado para un periodo determinado. A este res pecto, una propiedad mecánica im portante que se considera en el dise ño de miembros sometidos a flujo plástico es la resistencia p or flujo plás tico. Este valor representa el esfuerzo inicial más alto que el material puede soportar durante un tiempo especificado sin causar una cantidad determ inada de deformación unitaria por flujo plástico. La resistencia por flujo plástico variará con la tem peratura y, para efectos de diseño, deberán especificarse la tem peratura, la duración de la carga, y la defor mación unitaria por flujo plástico permisibles. Por ejemplo, se ha suge rido una deformación unitaria por flujo plástico de 0 .1 % anual para el acero en pernos y en tuberías, y de 0.25% anual para el forro de plomo en cables. Existen varios métodos para determ inar la resistencia por flujo plás tico permisible para un material en particular. Uno de los más sencillos implica ensayar varias muestras simultáneam ente a una tem peratura constante, pero estando cada una sometida a un esfuerzo axial diferen te. Midiendo el tiempo necesario para producir ya sea una deformación unitaria permisible o la deformación unitaria de ruptura para cada es pécimen, se puede establecer una curva de esfuerzo contra tiempo. Nor malmente estas pruebas se efectúan para un periodo máximo de 1 0 0 0 ho ras. En la figura 3-27 se presenta un ejemplo de los resultados para un acero inoxidable a una temperatura de 1200 °F y una deformación unita ria por flujo plástico prescrita de 1%. Este material tiene una resistencia
S ecció n 3 .8
Falla de materiales por flujo plástico y por fatiga
•
113
de fluencia de 40 klb/pulg 2 (276 MPa) a la tem peratura ambiente (con . % de desviación), y la resistencia por flujo plástico a 1 0 0 0 horas se en cuentra que es aproximadamente
0 2
F atiga. Cuando un metal se somete a ciclos de esfuerzo o de defor mación repetidos, ello ocasiona que su estructura se colapse, y, finalmen te se fracture. Este com portamiento se llama fa tig a , y por lo regular es la causa de un gran porcentaje de fallas en bielas y cigüeñales de m á quinas, álabes de turbinas de gas o de vapor, conexiones o soportes de puentes, ruedas y ejes de ferrocarril, así como otras partes sometidas a cargas cíclicas. En todos estos casos ocurrirá una fractura bajo un esfuer zo menor que el esfuerzo de fluencia del material. La naturaleza de esta falla resulta del hecho de que existen regiones microscópicas, normalmente en la superficie del miembro, donde el es fuerzo local es mucho más grande que el esfuerzo promedio que actúa en la sección transversal. Cuando este esfuerzo más grande se aplica en forma cíclica, conduce a la formación de grietas diminutas. La presencia de estas grietas provoca un aumento posterior del esfuerzo en sus puntas o fronteras, lo cual a su vez ocasiona una extensión posterior de las grietas en el material cuando el esfuerzo continúa ejerciendo su acción. Con el tiem po el área de la sección transversal del miembro se reduce a un punto en que la carga ya no puede ser soportada, y como resultado ocurre la fractu ra súbita. El material, aunque sea dúctil, se comporta como si fuera frágil. Con objeto de especificar una resistencia segura para un material m e tálico bajo carga repetida, es necesario determ inar un límite por debajo del cual no pueda ser detectada una evidencia de falla después de ha ber aplicado una carga durante un núm ero determ inado de ciclos. Este esfuerzo limitante se llama límite de fatiga o, más propiamente, límite de resistencia a la fatiga. Usando una máquina de ensayos para este propó sito, una serie de muestras son sometidas a un esfuerzo específico apli cado cíclicamente hasta su falla. Los resultados se trazan en una gráfica que represente el esfuerzo S (o a) como ordenada y el núm ero de ciclos N a la falla como abscisa. Esta gráfica se llama diagrama S-N, o diagra ma esfuerzos-ciclos, y a menudo los valores de N se trazan en una esca la logarítmica, puesto que generalmente son bastante grandes. En la figura 3-28 se muestran ejemplos de diagramas S-N de dos me tales comunes en ingeniería. El límite de resistencia a la fatiga es aquel esfuerzo para el cual la gráfica S-N se vuelve horizontal o asintótica. Como ya hemos indicado, existe un valor bien definido de (Sc/)ac = 27 klb/pulg 2 (186 MPa) para el acero. Sin embargo, para el aluminio el límite de resistencia a la fatiga no está bien definido, por lo que se le es pecifica normalmente como el esfuerzo que tiene un límite de 500 mi llones de ciclos, (.S'£/)ai = 19 klb/pulg 2 (131 MPa). Los valores típicos de
El diseño de los juegos mecánicos de un parque de diversión, requiere una consideración cuidadosa de las cargas que pueden provocar fatiga.
114
•
CAPÍTULO 3 Propiedades mecánicas de los materiales
S (klb/pulg2)
Diagrama S-N para aleaciones de acero y aluminio (el eje N tiene una escala logarítmica)
Fig. 3-28
los límites de resistencia a la fatiga para diversos materiales de ingenie ría aparecen con frecuencia en los manuales. Una vez obtenido un va lor determinado, se supone que para cualquier esfuerzo por debajo de este valor la vida bajo fatiga es infinita, y por consiguiente el número de ciclos para que la falla ocurra ya no merece consideración.
PUNTOS IMPORTANTES • La relación de Poisson, v, es una medida de la deformación uni taria lateral de un material homogéneo e isotrópico versus su de formación unitaria longitudinal. Esas deformaciones unitarias son generalmente de signos opuestos, o sea, si una es un alargamien to, la otra será una contracción. • El diagrama de esfuerzo cortante-deformación unitaria cortante es una gráfica del esfuerzo cortante versus la deformación unitaria cortante. Si el material es homogéneo e isotrópico y también elás tico lineal, la pendiente de la curva dentro de la región elástica se llama módulo de rigidez o módulo cortante, G. • Existe una relación matemática entre G, E y v. • El flujo plástico es la deformación dependiente del tiempo de un material para el cual el esfuerzo y/o la tem peratura juegan un papel importante. Los miembros son diseñados para resistir los efectos del flujo plástico con base en su resistencia al flujo plástico, que es el esfuerzo inicial más grande que un material puede resistir durante un tiempo específico sin que genere una deformación unitaria específica por flujo plástico. • La fatiga ocurre en metales cuando el material es sometido a ci clos de esfuerzo y deformación unitaria. Los miembros son dise ñados para resistir la fatiga garantizando que el esfuerzo en el miembro no excede su límite por fatiga. Este valor se determ ina en un diagrama S-N como el máximo esfuerzo que el miembro puede resistir al estar sometido a un núm ero específico de ciclos de carga.
P r o b le m a s
•
115
PROBLEMAS 3-26.
Una barra de plástico acrílico tiene una longitud de 200 mm y un diám etro de 15 mm. Si se le aplica una carga axial de 300 N. determine el cambio en su longitud y en su diámetro. E p = 2.70 GPa, vp = 0.4.
3-29.
El soporte consta de tres placas rígidas conecta das entre sí por medio de dos cojinetes de hule situados simétricamente. Si se aplica una fuerza vertical de 50 N a la placa A , determ ine el desplazamiento vertical apro ximado de esta placa debido a las deformaciones unita rias cortantes en el hule. Cada cojinete tiene dimensiones de 30 mm y 20 mm. G r = 0.20 MPa.
300 N
300 N
200 mm P ro b . 3-26
3-27.
Un bloque cilindrico corto de aluminio 2014-T6, que tiene inicialmente un diám etro de 0.5 pulg y una lon gitud de 1.5 pulg, se sitúa entre las mordazas lisas de un tornillo de banco y se comprime hasta que la carga axial aplicada es de 800 Ib. D eterm ine (a) la disminución de su longitud y (b) su nuevo diámetro.
3-30.
8001b
8001b
Se construye un resorte de cortante con dos blo ques de hule, cada uno de altura h , ancho b y espesor a. Los bloques se adhieren a tres placas como se muestra. Si las placas son rígidas y el módulo cortante del hule es G, determine el desplazamiento de la placa A si se aplica una carga P vertical a esta placa. Suponga que el desplaza miento es pequeño de modo que 8 = a tan y ~ ay.
m
i
P ro b . 3-27 '
T
'
. Ir*
\
•
*3-28.
Un bloque corto cilindrico de bronce C86100 con diámetro original de 1.5 pulg y longitud de 3 pulg.se colo ca en una máquina de compresión y se comprime hasta que su longitud es de 2.98 pulg. Determ ine el nuevo diá m etro del bloque.
-—
a—
►
i—
a —
Prob. 3-30
h
116
•
CAPÍTULO 3 Propiedades mecánicas de los materiales
3-31. Se construye un reso rte de co rta n te a d h irie n d o un anillo de hule a un anillo rígido e m p o trad o y a un m a n guito. C uan d o se coloca una carga P so b re el m anguito, d em uestre que la p en d ien te en el p u n to y del h u le es dy/dr ~ tan y = - t a n (PflirftGr)). P ara ángulos p e q u e ños podem os escribir dy/dr - P/(2rdiGr). Integre esta expresión y evalúe la co n stan te d e integración u san d o la condición de que y = 0 en r - r„. D el resultado, calcule la deflexión y - 5 d el m anguito.
3-33. U n buje tiene un d iám etro de 30 m m y encaja d en tro d e un m anguito rígido con un d iám etro in terio r de 32 mm. T an to el buje co m o el m anguito tien en una lo n gitud d e 50 mm. D eterm in e la presión axial p q u e debe aplicarse a la p arte su p erio r del buje para hacer q u e to m e c o n tac to con los costados del m anguito. A dem ás, ¿en c u án to d eb e ser com prim ido el buje hacia abajo p ara que o cu rra esto? El buje está h echo de un m aterial p a ra el cual li = 5 M Pa. v = 0.45.
Prol>. 3-31
•\3-32. U n bloque de alum inio tiene una sección tra n s versal rectangular y se so m ete a una fuerza d e c o m p re sión axial de 8 klb. Si el lado d e 1.5 pulg cam bia su lo n gitud a 1.500132 pulg. d eterm in e la razón d e Poisson y la nueva longitud del lad o de 2 pulg. £ a! = 10( 10') k lb /p u lg ; .
Prob. 3-33
3-34. U n b loque d e hu le se som ete a un alarg am iento d e 0.03 pulg a lo largo del eje x. y sus caras verticales re ciben una inclinación tal q u e = 89.3'. D eterm in e las d e form aciones u n itarias éK, ev y yxv. C on sid ere v, = 0.5.
3 pulg
Prob. 3-32
Repaso
del capítulo
•
117
REPASO DEL CAPÍTULO • Una de las pruebas mds importantes en la resistencia de materiales es la prueba de tensión. Los resulta dos. encontrados al jalar un espécimen de tamaño conocido, son graficados como esfuerzo normal sobre el eje vertical y deformación unitaria normal sobre el eje horizontal. • Muchos materiales de la ingeniería exhiben un comportamiento elástico lineal inicial, donde el esfuerzo es proporcional a la deformación unitaria definido por la ley de Hooke, a = Ee. Aquí E. llamado módu lo de elasticidad, es la pendiente de esta línea sobre el diagrama de esfuerzo-deformación unitaria. • Cuando el material es forzado más allá del punto de fluencia, ocurre una deformación permanente. En particular, el acero tiene una región de fluencia, donde el material exhibe un incremento en deformación unitaria pero ningún incremento en esfuerzo. La región de endurecimiento por deformación causa una fluencia adicional del material con un correspondiente incremento del esfuerzo. Finalmente, en el esfuer zo último, una región localizada sobre el espécimen empieza a contraerse, formando un cuello. Es aquí donde ocurre la fractura. • Los materiales dúctiles, como la mayoría de los metales, exhiben comportamiento clástico y plástico. La madera es moderadamente dúctil. La ductilidad es usualmente especificada por el alargamiento perma nente en la falla o por la reducción permanente en el área transversal. • Los materiales frágiles exhiben poca o ninguna fluencia antes de la falla. El hierro colado y el vidrio son ejemplos típicos. El concreto también es frágil en tensión. • El punto de fluencia de un material se puede incrementar por endurecimiento por deformación, lo que se logra aplicando una carga suficientemente grande para causar un incremento en el esfuerzo tal que cause fluencia, y luego liberando la carga. El mayor esfuerzo producido resulta el nuevo punto de fluencia del material. • Cuando se aplica una carga, las deformaciones ocasionan que energía de deformación se almacene en el material. La energía por deformación unitaria por volumen unitario o densidad de energía de deforma ción es equivalente al área bajo la curva de esfuerzo-deformación unitaria. Esta área, hasta el punto de fluencia, se llama módulo de resiliencia. El área total bajo el diagrama de esfuerzo-deformación unitaria se llama módulo de tenacidad. • La relación de Poisson v es una propiedad adimensional del material que mide la deformación unitaria lateral respecto a la deformación unitaria longitudinal. Su valor se encuentra entre ü < i'S 0.5. • También pueden establecerse diagramas de esfuerzo cortante versus deformación unitaria cortante. Den tro de la región elástica, r = Gy. donde G es el módulo cortante, que se encuentra de la pendiente de la línea dentro de la región elástica. El valor de G también puede hallarse de la relación que existe entre G .E y i», o sea G = Eí[2(1 + v)J. • Cuando los materiales están en servicio por periodos largos, las consideraciones de flujo plástico y fati ga resultan importantes. El flujo plástico es la velocidad de la deformación, que ocurre a altos esfuerzos y/o altas temperaturas. El diseño requiere que el esfuerzo en el material no exceda un esfuerzo predeter minado llamado resistencia al flujo plástico. La fatiga puede ocurrir cuando el material experimenta un gran número de ciclos de carga. Este efecto ocasiona la formación de microgrietas. lo que conduce a una fractura frágil. Para prevenir la fatiga, el esfuerzo en el material no debe exceder un límite especificado de fatiga.
118
•
CAPÍTULO 3 Propiedades mecánicas de los materiales
PROBLEMAS
DE
REPASO
3-35. Se muestra en la figura la porción elástica del dia grama de esfuerzo-deformación unitaria a tensión para una aleación de aluminio. El espécimen usado para la prueba tiene una longitud calibrada de 2 pulg y un diá m etro de 0.5 pulg. Cuando la carga aplicada es de 9 klb, el nuevo diámetro del espécimen es de 0.49935 pulg. Calcule el módulo cortante Ga| para el aluminio. *3-36. Se muestra en la figura la porción elástica del dia grama de esfuerzo-deformación unitaria en tensión para una aleación de aluminio. El espécimen usado en la prue ba tiene una longitud calibrada de 2 pulg y un diámetro de 0.5 pulg. Si la carga aplicada es de 10 klb, determine el nuevo diámetro del espécimen. El módulo cortante es Gal = 3.8(103) klb/pulg2.
3-38. Un bloque cilindrico corto de aluminio 6061-T6 con diám etro original de 20 mm y longitud de 75 mm se coloca en una máquina de compresión y se comprime has ta que la carga axial aplicada es de 5 kN. D eterm ine (a) el decrem ento en su longitud y (b) su nuevo diámetro. 3-39. E l alambre. A R de acero A-36 tiene un área trans versal de 10 mm2 y no está estirado cuando 6 = 45.0°. Determ ine la carga P necesaria para que 6 = 44.9°.
a (klb/pulg2) 70
/
7
e (pulg/pulg) 0.00614 P ro b s. 3-35/36
3-37. U na viga rígida reposa en una posición horizontal sobre dos cilindros de aluminio 2014-T6 que tienen las longitudes sin carga que se muestran en la figura. Si ca da cilindro tiene un diámetro de 30 mm, determine la co locación x de la carga de 80 kN de modo que la viga per manezca horizontal. ¿Cuál es el nuevo diám etro del cilindro A después de haberse aplicado la carga? ya! = 0.35.
P ro b . 3-39
80 kN
Prob. 3-37
*3-40. Mientras experimenta una prueba de tensión, un espécimen de aleación de cobre con longitud calibrada de 2 pulg es sometido a una deformación unitaria de 0.40 pulg/pulg cuando el esfuerzo es de 70 klb/pulg2. Si ay = 45 klb/pulg2 cuando eY = 0.0025 pulg/pulg, deter mine la distancia entre los puntos de calibración cuando se retira la carga.
P r o blem a s de repaso
3-41. El diagrama de esfuerzo-deformación unitaria para el polietileno, que se usa para revestir cables coa xiales, se determ ina con un espécimen que tiene una longitud calibrada de 10 pulg. Si una carga P sobre el espécimen desarrolla una deformación unitaria de e = 0.024 pulg/pulg. determ ine la longitud aproximada del espécimen, medida entre los puntos de calibración, cuando se retira la carga.
•
119
Se efectuó una prueba de tensión en un espéci men de acero que tenía un diám etro original de 12.5 mm y una longitud calibrada de 50 mm. Usando los datos en la tabla, trace el diagrama de esfuerzo-deformación uni taria y determ ine en forma aproximada el módulo de te nacidad. Use una escala de 20 mm = 50 MPa y 20 mm = 0.05 mm/mm.
3-43.
cr(klb/pulg2)
o
o
Carga (kN) Alargamiento (mm)
P
t 0
e (pulg/pulg) 0.008
0.016
0.024
0.032
0.040
0.048
Prob. 3-41
U na prueba de tensión se llevó a cabo en un espé cimen de acero que tenía un diám etro original de 12.5 mm y una longitud calibrada de 50 mm. Los datos resultan tes se muestran en la tabla siguiente. Trace el diagrama de esfuerzo-deformación unitaria y determ ine en forma aproximada el módulo de elasticidad, el esfuerzo último y el esfuerzo de ruptura. Use una escala de 20 mm = 50 MPa y 20 mm = 0.05 mm/mm. Vuelva a dibujar la región elástica lineal usando la misma escala de esfuerzos pero con una escala de deformaciones unitarias de 20 mm = 0.001 mm/mm. 3-42.
Carga (kN) Alargamiento (mm) 0 11.1 31.9 37.8 40.9 43.6 53.4 62.3 64.5 62.3 58.8
0 0.0175 0.0600 0.1020 0.1650 0.2490 1.0160 3.0480 6.3500 8.8900 11.9380
Prob. 3-42
0 0.0175 0.0600 0.1020 0.1650 0.2490 1.0160 3.0480 6.3500 8.8900 11.9380
0 11.1 31.9 37.8 40.9 43.6 53.4 . 62.3 64.5 62.3 58.8
/ /
Prob. 3-43
U na barra de latón de 8 mm de diám etro tiene un módulo de elasticidad de £ jatón = 100 GPa. Si su lon gitud es de 3 m y se somete a una carga axial de 2 kN. determine su alargamiento. ¿Cuál sería su alargamiento bajo la misma carga si su diám etro fuera de 6 mm? *3 -4 4 .
2 kN
>
■C ■3 m -
Prob. 3-44
2 kN
La garrucha de esta torre petrolera está suspendida de cables sometidos a cargas y deformaciones extremadamente grandes.
C A P Í T U L O
4
Carga axial
OBJETIVOS DEL CAPITULO
En el capítulo 1 analizamos el método para determ inar el esfuerzo normal en miembros cargados axialmente. Ahora, en este capítulo, estudiaremos cómo de term inar la deformación de estos miembros y además un método para encontrar las reacciones en los soportes cuando tales reacciones no se determ inan estricta mente a partir de las ecuaciones de equilibrio. Se presentará también un análisis de los efectos del esfuerzo térmico, de las concentraciones de esfuerzos, de las de formaciones inelásticas y del esfuerzo residual.
4.1
Principio de Saint-Venant En los capítulos anteriores planteamos el concepto de esfuerzo como un medio para m edir la distribución de fuerza dentro de un cuerpo y la de formación unitaria como un medio para medir la deformación de un cuerpo. Mostramos también que la relación matemática entre el esfuerzo y la deformación unitaria depende del tipo de material de que está hecho el cuerpo. En particular, si el esfuerzo genera una respuesta lineal elás tica en el material, entonces la ley de Hooke es aplicable y se tendrá una relación proporcional entre el esfuerzo y la deformación unitaria.
121
122
•
CAPÍTULO 4 Carga axial
La carga distorsiona las lincas situadas cerca de ella
Las líneas que están lejos de la carga y del soporte perm anecen rectas
La carga distorsiona las líneas situadas cerca del soporte
(a) Fig. 4 - 1
Por ejemplo, considere la m anera en que una barra rectangular se de forma elásticamente cuando está sometida a una fuerza P aplicada a lo largo de su eje centroidal, figura 4-la. La barra está aquí em potrada en un extremo con la fuerza aplicada a través de un agujero en su otro ex tremo. Debido a la carga, la barra se deforma como se indica por las dis torsiones de las líneas reticuladas, originalmente horizontales y verticales dibujadas sobre la barra. Advierta la deformación localizada que ocurre en cada extremo. Este efecto tiende a disminuir al medirlo en regiones ca da vez más alejadas de los extremos. Además, las deformaciones se “em parejan” y se igualan en la sección media de la barra. Como la deformación está relacionada con el esfuerzo dentro de la ba rra, podemos establecer que el esfuerzo se distribuirá más uniformemente a través de la sección transversal si la sección se tom a cada vez más lejos del punto en que se aplica la carga externa. Para m ostrar esto, considere mos un perfil de la variación de la distribución del esfuerzo que actúa en las secciones a-a, b-b y c-c, cada una de las cuales se muestra en la figura 4-1 b. Com parando estas distribuciones se ve que el esfuerzo casi alcanza un valor uniforme en la sección c-c, la cual está suficientemente alejada del extremo. En otras palabras, la sección c-c está lo bastante alejada de la aplicación de P para que la deformación localizada causada por P de saparezca. La distancia mínima desde el extremo de la barra donde esto ocurre puede determ inarse usando un análisis matemático basado en la teoría de la elasticidad. Sin embargo, como regla general, aplicable a muchos otros casos de car ga y geometría del miembro, podemos considerar esta distancia por lo me nos igual a la mayor dimensión de la sección transversal cargada. Por con siguiente, para la barra en la figura 4-1 b, la sección c-c debería estar localizada a una distancia por lo menos igual al ancho (no al espesor) de la barra.* Esta regla se basa en observaciones experimentales del compor tamiento del material y, sólo en casos especiales, como el visto aquí, ha si do justificada matemáticamente. Sin embargo, debe notarse que esta re gla no es aplicable a todo tipo de miembro y carga. Por ejemplo, en los miembros formados por elementos de pared delgada y sometidos a car gas que ocasionan grandes deflexiones, se pueden generar esfuerzos y de formaciones localizadas que tienen influencia a una distancia considera ble del punto de aplicación de la carga.
* C u an d o la sección c-c está así localizada, la teo ría de la elasticidad p redice que el esfu er zo m áxim o es erm;ís = 1.02
S ección 4.1
E n el soporte, figura 4-1 a, advierta cómo se impide la disminución del ancho de la barra, la cual debería ocurrir debido al alargamiento lateral de ésta, una consecuencia del “efecto Poisson” visto en la sección 3.6. Sin embargo, por los mismos argumentos anteriores podríamos demostrar que la distribución del esfuerzo en el apoyo también se empareja y se vuelve uniforme en la sección transversal a una distancia corta del soporte; ade más, la magnitud de la fuerza resultante generada por esta distribución del esfuerzo debe ser igual a P. El hecho de que el esfuerzo y la deformación se comporten de esta ma nera se denomina principio de Saint-Venant, ya que el primero en adver tirlo fue el científico francés Barré de Saint-Venant en 1855. En esencia, el principio establece que el esfuerzo y la deformación unitaria producidos en puntos del cuerpo suficientemente alejados de la región de aplicación de la carga serán los mismos que el esfuerzo y la deform ación unitaria producidos por cualesquiera otras cargas aplicadas que tengan la misma resultante estáticamente equivalente y estén aplicadas al cuerpo dentro de la misma región. Por ejemplo, si dos fuerzas P /2 aplicadas simétrica m ente actúan sobre la barra, figura 4-le, la distribución del esfuerzo en la sección c-c, que esté lo suficientemente alejada de los efectos locales de estas cargas, será uniforme y, por tanto, equivalente a orprom = P /A , como antes. Para resumir, cuando se estudia la distribución del esfuerzo en un cuer po en secciones suficientemente alejadas de los puntos de aplicación de la carga, no tenemos que considerar las distribuciones del esfuerzo, un tan to complejas, que pueden desarrollarse realm ente en los puntos de apli cación de la carga o en los soportes. El principio de Saint-Venant postula que los efectos locales causados por cualquier carga que actúe sobre el cuerpo se disiparán o suavizarán en aquellas regiones que estén lo sufi cientemente alejadas de la localización de la carga. Además, la distribu ción del esfuerzo resultante en estas regiones será la misma que la causa da por cualquier otra carga estáticamente equivalente aplicada al cuerpo dentro de la misma área localizada.
Principio de Saint-Venant
•
123
Note cómo las líneas sobre esta membrana de hule se distorsionan después de que son alarga das. Las distorsiones localizadas en los agarres se suavizan, como era de esperarse. Esto es de bido al principio de Saint-Venant.
124
4.2
•
CAPÍTULO 4 Carga axial Para -»ara ea
Deformación elástica de un miembro cargado axialm ente Usando la ley de H ooke y las definiciones de esfuerzo y deformación unitaria, desarrollaremos ahora una ecuación para determ inar la defor mación elástica de un miembro sometido a cargas axiales. Para genera lizar el desarrollo, consideremos la barra m ostrada en la figura 4-2a, que tiene una sección transversal que varía gradualmente a lo largo de su longitud L. La barra está sometida a cargas concentradas en sus extre mos y a una carga externa variable distribuida a lo largo de su longitud. Esta carga distribuida podría, por ejemplo, representar el peso de una carga vertical, o fuerzas de fricción actuando sobre la superficie de la barra. Aquí queremos determinar el desplazamiento relativo 8 (delta) de un extremo de la barra respecto al otro causado por esta carga. En el si guiente análisis despreciaremos las deformaciones localizadas que ocu rren en puntos de carga concentrada y donde la sección transversal cam bia repentinamente. Como vimos en la sección 4.1, esos efectos ocurren dentro de pequeñas regiones de la longitud de la barra y tendrán por tanto sólo una pequeña influencia en el resultado final. En su mayor par te, la barra se deform ará uniformemente, por lo que el esfuerzo normal estará distribuido de m anera uniforme sobre la sección transversal. Usando el método de las secciones, un elem ento diferencial de longi tud dx y área A (x) es aislado de la barra en la posición arbitraria x. El dia grama de cuerpo libre de este elemento se muestra en la figura 4-2b. La fuerza axial interna resultante se representa por P(x), puesto que la car ga externa hará que varíe a lo largo de la longitud de la barra. Esta carga, P(x), deform ará el elem ento en la forma indicada por el perfil punteado y, por consiguiente, el desplazamiento de un extremo del elem ento res pecto al otro extremo será d8. El esfuerzo y la deformación unitaria en el elem ento son: cr =
P(x)
d8 dx
y
A(x)
Si estas cantidades no exceden el límite de proporcionalidad, podemos relacionarlas por medio de la ley de Hooke, es decir,
P(x) _ (dS\ A(x)
\d x)
dS =
------------ x ------------- -
b—
------------------------- -
i
P(x) dx A{x) E
n —i i i
----------------------------- L ------------------------------ -
PM-
i
__ i dx —
hrl
(b)
Fig. 4-2
aonde.
6 = L = P{x) J A IX i = £
=
C arga
por k>< ¿.rüca 2 í c de I «aaod
Si la I
a c o rra II 3espi22 -oq de, rrre ra i
S ección 4 .2
Deformación elástica de un miembro cargado axialmente
•
125
Para la longitud entera L de la barra debemos integrar esta expresión para encontrar el desplazamiento buscado en el extremo. Esto da: = f LP ( x ) d x
J0 A ( x ) E
(4 -1 )
donde. 8 = desplazamiento de un punto de la barra relativo a otro punto L = distancia entre los puntos P{x) = fuerza axial interna en la sección, localizada a una distancia x de un extremo /l(x) = área de la sección transversal de la barra, expresada como fun ción de x E = módulo de elasticidad del material Carga y área transversal constantes. En muchos casos la barra tendrá un área transversal A constante y el material será homogéneo, por lo que E será constante. Además, si una fuerza externa constante se aplica a cada extremo, figura 4-3, entonces la fuerza interna P a lo lar go de la barra será también constante. En consecuencia, al integrar la ecuación 4-1 se obtiene:
(4 -2 )
Si la barra está sometida a varias fuerzas axiales diferentes, o si la sec ción transversal o el módulo de elasticidad cambian abruptam ente de. una región de la barra a la siguiente, la ecuación anterior puede aplicarse a ca da segmento de la barra donde esas cantidades sean todas constantes. El desplazamiento de un extremo de la barra respecto al otro se encuentra entonces por medio de la adición vectorial de los desplazamientos de los extremos de cada segmento. Para este caso general, PL AE
(4 -3 )
El desplazamiento vertical en la parte su perior de estas columnas depende de la carga aplicada sobre el techo y del piso uni do a sus puntos medios.
126
•
CAPÍTULO 4 Carga axial
H +5
+P
■ ■*-
H +5 Convención de signo positivo para P y S
C onvención d e sign os. Para aplicar la ecuación 4-3, debemos desarro llar una convención de signos para la fuerza axial interna y el desplaza miento de un extremo de la barra con respecto al otro extremo de la misma. Para hacerlo, consideraremos que la fuerza y el desplazamiento son positivos si causan tensión y alargamiento, respectivamente, figura 4-4, mientras que una fuerza y un desplazamiento negativo causarán compresión y contracción, respectivamente. Por ejemplo, consideremos la barra mostrada en la figura 4-5a. Las fuer zas axiales internas “P ”, calculadas por el método de las secciones en cada segmento, son PAB = +5 kN, PBC = - 3 kN y PCD = —7 kN, figura 4-56. Esta variación se muestra en el diagrama de fuerza axial (o normal) para la barra, figura 4-5c. Aplicando la ecuación 4-3 para obtener el desplaza miento del extremo A respecto del extremo D, tenemos PL
Fig. 4-4
■>A/D
(5 k N )L ^ AE
+
( - 3 k N ) L * c , ( - 7 k N ) L CD + AE AE
Si se sustituyen los otros datos y se obtiene una respuesta positiva, ello significará que el extremo A se alejará del extremo D (la barra se alar ga) m ientras que un resultado negativo indicará que el extremo A se acerca hacia D (la barra se acorta). La notación de doble subíndice se usa para indicar este desplazamiento relativo (á^/o); sin embargo, si el des plazamiento va a determ inarse respecto a un punto fijo, entonces, se usará sólo un subíndice. Por ejemplo, si D se localiza en un soporte fijo, entonces el desplazamiento calculado se denotará simplemente como 6 4 .
5 kN
(a)
-i — — , i -------- ► PA B = 5 k N
/■(kN)
• 8 kN
■<------ ■ 5 kN
3 * --------- PBC = 3 k N
A
Peo = 7 kN D
(c)
(b)
FIg. 4-5
S ecció n 4 .2
esarrosplaza3 de la miento . figura usarán isfuer;n cad a
a 4-5 b. il) para splaza-
Deformación elástica de un miembro cargado axialmente
loes, se
•te fijo, mo SA.
• El principio de Saint-Venant establece que la deformación y el esfuerzo localizados que ocurren dentro de las regiones de aplicación de la carga o en los soportes tienden a “em parejarse” a una distancia sufi cientemente alejada de esas regiones. • El desplazamiento de un miembro cargado axialmente se determina relacionando la carga aplicada al es fuerzo usando cr = P /A y relacionando el desplazamiento a la deformación unitaria usando e = dS/dx. Finalmente esas dos ecuaciones se combinan usando la ley de Hooke, a = Ee, que da la ecuación 4-1. • Como la ley de Hooke ha sido usada en el desarrollo de la ecuación del desplazamiento, es importante que las cargas no generen fluencia del material y que el material sea homogéneo y se comporte de ma nera elástico-lineal.
PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS El desplazamiento relativo entre dos puntos A y B sobre un miem bro cargado axialmente puede determ inarse aplicando la ecuación 4-1 (o la ecuación 4-2). La aplicación implica los siguientes pasos. Fuerza interna. • Use el método de las secciones para determ inar la fuerza axial interna P en el miembro. • Si esta fuerza varía a lo largo de la longitud del miembro, debe rá hacerse una sección en una posición arbitraria x medida des de un extremo del miembro y la fuerza deberá representarse co mo función de x, esto es, P(x).
7kN
127
PUNTOS IMPORTANTES
i£ i'a, ello ¡e alaro A se : se usa el des
•
• Si fuerzas externas constantes actúan sobre el miembro, debe en tonces determinarse la fuerza interna en cada segmento del miem bro, entre dos fuerzas externas cualesquiera. • Para cualquier segmento, una fuerza de tensión interna es positi va y una fuerza de compresión interna es negativa. Por convenien cia, los resultados de la carga interna pueden m ostrarse gráfica mente construyendo el diagrama de fuerza normal. Desplazamiento. • Cuando la sección transversal del miembro varía a lo largo de su eje, el área de esta sección debe expresarse en función de su po sición x, esto es, /4(.v). • Si el área de la sección transversal, el módulo de elasticidad, o la carga interna cambian bruscamente, la ecuación 4-2 debe aplicar se a cada segmento para el cual estas cantidades sean constantes. • Al sustituir los datos en las ecuaciones 4-1 a 4-3, asegúrese de usar el signo apropiado para P, tal como se vio arriba, y use un conjunto consistente de unidades. Para cualquier segmento, si el resultado calculado es numéricam ente positivo, éste indica un alargamiento; si es negativo, éste indica una contracción.
128
•
CAPÍTULO 4 Carga axial
E J E M P L O La barra compuesta de acero A-36 mostrada en la figura 4-6a está he cha de dos segmentos A B y BD que tienen áreas transversales de A Aa = 1 pulg 2 y A bd = 2 pulg2. Determ ine el desplazamiento verti cal del extremo A y el de B respecto a C. 15 klb
15 klb
15 klb
15 klb
■t 4 klb
4 klb
4 klb
4 klb
PAB = 15 klb
T
8 klb.
8 klb
8 klb
PBC = 7 klb
Solución
(a)
15 P (klb)
2
(b)
Fuerza interna. Debido a la aplicación de las cargas externas, las fuerza axiales internas en las regiones AB, BC y CD serán todas di ferentes. Esas fuerzas se obtienen aplicando el método de las seccio nes y la ecuación de equilibrio por fuerza vertical, como se muestra en la figura 4-6í> y se encuentran graficadas en la figura 4-6c. Desplazamiento. De la cubierta interior posterior de este libro, to mamos el valor E ac = 29(103) klb/pulg2. Usando la convención de sig nos, esto es, fuerzas internas de tensión son positivas y fuerzas inter nas de compresión son negativas, el desplazamiento vertical de A respecto al soporte fijo D es:
--
3.5
^
PL
[+15 klb] (2 pies) (12 pulg/pie)
5-4 “ ¿ A É ~ 4.5
+
(1 pulg2)[29(103) klb/pulg2] [+7 klb]( 1.5 pies)(12 pulg/pie) (2
x (pie)
+ (c)
Fig. 4-6
pulg2)[29(103) klb/pulg2]
[ - 9 klb](l pie)(12 pulg/pie) (2 pulg2)[29(103) klb/pulg2]
= +0.0127 pulg Resp. Como el resultado es positivo, la barra se alarga y el desplazamiento de A es hacia arriba. Aplicando la ecuación 4-2 entre los puntos B y C, obtenemos:
&B/C ~
PbcL bc A Bc B
[+7 klb](1.5 pies)(12 pulg/pie) ( 2
pulg2) [29(103) klb/pulg2]
= +0.00217 pulg
A quí B se aleja de C, ya que el segmento se alarga.
Resp.
S ecció n
E J E M P L O
4.2 Deformación elástica de un miembro cargado axialmente
---------------------------
El conjunto mostrado en la figura 4-7« consiste en un tubo A B de aluminio con área transversal de 400 mm2. U na barra de acero con diámetro de 1 0 mm está unida a un collarín rígido y pasa a través del tubo. Si se aplica una carga de tensión de 80 kN a la barra, determine el desplazamiento del extremo C de la barra. Considere Eac = 200 GPa y £ a| = 70 GPa.
Fig. 4-7
Solución Fuerza interna. El diagrama de cuerpo libre del tubo y de la barra, figura 4-76, muestra que la barra está sometida a una tensión de 80 kN y el tubo a una compresión de 80 kN. Desplazamiento. Determinaremos primero el desplazamiento del extremo C con respecto al extremo B .Trabajando en unidades de newtons y metros, tenemos PL [+80(103) N](0.6 m) 8C/ r = -— = --------------- ;-----------z—---- — +0.003056 m —* C/B AE 7t(0.005 m) [200(10 ) N /m ] El signo positivo indica que el extremo C se mueve hacia la derecha con respecto al extremo B, ya que la barra se alarga. El desplazamiento del extremo B con respecto al extremo fijo A es: P L _ __________________________________ [—80(103) N ](0.4m ) g _ ___ B
AE
[400 mm 2 (10-6) m2/m m 2][70(109) N /m 2] = -0.001143 m = 0.001143 m -*
El signo menos indica aquí que el tubo se acorta, por lo que B se m ue ve hacia la derecha respecto a A . Puesto que ambos desplazamientos son hacia la derecha, el despla zamiento resultante de C respecto a A es entonces: ( J*)
s c = 8 b + 8c/ b = 0.001143 m + 0.003056 m - 0.00420 m = 4.20 mm —*
Resp.
•
129
130
•
CAPÍTULO 4 Carga axial
E J E M P L O Una viga rígida A B descansa sobre los dos postes cortos mostrados en la figura 4-8a. AC está hecho de acero y tiene un diám etro de 20 mm; BD está hecho de aluminio y tiene un diám etro de 40 mm. D eterm ine el desplazamiento del punto £ situado en A B cuando se aplica a una carga vertical de 90 kN sobre este punto. Considere £ ac = 200 GPa y £ a, = 70 GPa.
90 kN
200
mm I
- 400 mm
300 mm
Solución
Fuerza interna. Las fuerzas de compresión que actúan en la parte superior de cada poste se determinan a partir del equilibrio del miem bro A B , figura 4-8£>. Esas fuerzas son iguales a las fuerzas internas en cada poste, figura 4-8c.
(a)
Desplazamiento. poste es:
El desplazamiento de la parte superior de cada
Poste AC: 90 kN 200 mm i
400 mm -
60 kN
SA =
Pac L ac = A
ac
E
ac
[-6 0 (1 0 3) N](0.300 m) 7
r( 0 . 0 1 0 m ) 2 [200(109) N /m 2]
= -286(10
)m
30 kN (b)
Poste BD: Sn —
=
60 kN
30 kN
[—30(103) N](0.300 m) PbdL bd = —1 0 2 ( 1 0 A bdEa ~ 77(0.020 m )2[70(109) N /m 2] 0 .1 0 2
mm j.
En la figura 4-8d se muestra un diagrama de los desplazamientos de los puntos A, B y F situados en el eje de la viga. Por proporciones en el triángulo sombreado, el desplazamiento del punto £ es entonces: 8,7 = 0.102 mm + (0.184 n m ) ( ^ . mm | _ q.225 mm ], \ 600 mm /
P ,\c = 60 kN
Peo = 30 kN (c)
)m
0 .10 2
mm 0.102 mm
'. 184mm 0.286 mm F i g .4-8
Resp.
S ección 4.2
Deformación elástica de un miembro cargado axialmente
E3
E J E M P L O
Un miembro está hecho de un material que tiene un peso específico y y un módulo de elasticidad E. El miembro tiene la forma de un co no con las dimensiones mostradas en la figura 4-9a. Determ ine el des plazamiento de su extremo inferior bajo el efecto de su propio peso. Solución
Fuerza interna. La fuerza axial interna varía a lo largo del miem bro que depende del peso W (y) de un segmento del miembro situa do debajo de cualquier sección, figura 4-9b. Por tanto, para calcular el desplazamiento, debemos usar la ecuación 4-1. En la sección loca lizada a una distancia y del fondo, el radio x del cono como función de y se determ ina por proporción: esto es, x r0 ~y~~L'
r0 X = Ly
El volumen de un cono con base de radio x y altura y es:
7T 2
77Tg 3
V = —yx~ = — r y-’ 3 3L
Como W = yV. la fuerza interna en la sección es: „2
+T 2Fv= 0:
(a)
Desplazamiento. El área de la sección transversal es también una función de la posición y. figura 4-9b. Tenemos: 2 AAt( y ) = 7rx2 = -7no jy y
Aplicando la ecuación 4-1 entre los límites _y = 0 y y = L s e obtiene: I LP(y) dy _ f ¿ [(y 7 rrg/ 3 L2) / ] d y
A(y) E
J0
\{Trrl/Ll ) y 2] E (b) Fig. 4-9
y¡¿ 6
E
Resp.
Como verificación parcial de este resultado, note cómo las unidades de los términos, al cancelarse, dan la deflexión en unidades de longi tud como era de esperarse.
•
131
132
•
CAPÍTULO 4 Carga axial
PROBLEMAS 4-1. El conjunto consta de una barra de acero CB y una barra de aluminio BA, teniendo cada una un diámetro de 12 mm. Si la barra se somete a las cargas axiales en A y en el copie B, determine el desplazamiento del copie B y del extrem o A. La longitud de cada segm ento sin estirar se muestra en la figura. Desprecie el tam año de las conexio nes en B y C, y supouga que son rígidas. ZTac = 200 GPa, Eal = 70 GPa.
-► 18 kN 6 kN
— 80 pulg — •---------150 pulg ----------- -— 100 p u lg — • 5 klb
8 klb A
2 klb 7 2 klb
5 klb B
6 klb D
Frob. 4-4
4-5. U na barra de acero A-36 está sometida a las cargas que se muestran en la figura. Si el área de la sección trans versal de la barra es de 60 mm2, determ ine el desplaza miento de B y de A . Desprecie el tam año de los copies en B ,C y D .
2m•
3m
Prob. 4-1
4-2. La flecha compuesta, que consiste en secciones de aluminio, cobre y acero, está sometida a las cargas m ostra das en la figura. Determine el desplazamiento del extremo A con respecto al extremo D y el esfuerzo normal en cada sección. En la figura se muestran el área de la sección trans versal y el módulo de elasticidad para cada sección. Des precie el tam año de los collarines en B y en C. 4-3. D eterm ine el desplazamiento de B con respecto a C de la flecha compuesta del problem a 4-2.
Aluminio
Cobre
Acero
£ a| = 10(103) klb/pulg2 Ecu = 18(103 ) klb/pulg2 A ab = 0.09 pulg2
A bc = 0.12 pulg2 3.50 klb
= 29( 103 ) klb/pulg2 A Ci) = 0.06 pulg2
Prob. 4-5
1.75 klb 1.50 klb
2.00 klb
1.75 klb 18 pulg-
■12 pulg-
16 pulg-
4-6. La barra de aluminio 2014-T6 tiene un diám etro de 30 mm y soporta la carga mostrada. Determ ine el despla zamiento de A con respecto a E. Desprecie el tamaño de los copies.
Probs. 4-2/3
*4-4. Una flecha de cobre está sometida a las cargas axia les que se m uestran en la figura. D eterm ine el despla zamiento del extremo A con respecto al extremo D si los diámetros de cada segmento son dAB = 0.75 pulg, d BC = 1 pulg, y dCD = 0.5 pulg. Tome £ cu = 18O03) klb/pulg2.
Prob. 4-6
P ro blem a s
4-7. La barra de acero tiene las dimensiones originales mostradas en la figura. D eterm ine el cambio en su longi tud y las nuevas dimensiones de su sección transversal en la sección a-a al estar sometida a una carga axial de 50 kN. £ ac = 2C0 GPa, vac = 0.29.
•
133
4-9. El copie está som etido a una fuerza de 5 klb. D e term ine la distancia d' entre C y E tom ando en cuenta la compresión del resorte y la deformación de los segmentos verticales de los pernos. Cuando no se tiene una carga apli cada, el resorte no está estirado y d = 10 pulg. El material es acero A-36 y cada perno tiene un diámetro de 0.25 pulg. Las placas en A , B y C son rígidas y el resorte tiene una ri gidez k = 12 klb/pulg.
A 5 klb
------ jLÜ
8 pulg
Œ P ro b . 4-7 6 pulg
£
*4-8. La estructura m ostrada consiste en dos barras rí gidas originalm ente horizontales. Están soportadas por pasadores y barras de acero A-36 de 0.25 pulg de diám e tro. Si se aplica la carga vertical de 5 klb a la barra inferior A B , determine el desplazamiento en C, B y E.
!
5 klb
P ro b . 4-9
4-10. La barra tiene un área A en su sección transversal de 3 pulg2y un módulo de elasticidad E = 35(103) klb/pulg2. D eterm ine el desplazamiento de su extrem o A cuando es tá sometida a la carga distribuida mostrada.
134
•
CAPÍTULO 4 Carga axial
La arm adura está hecha de tres barras de acero A-36, cada una con área transversal de 400 mm2. D eterm i ne el desplazamiento horizontal del rodillo en C cuando P = 8 kN. 4-11.
*4-12. La arm adura está hecha de tres barras de acero A-36, cada una con área transversal de 400 mm2. D eterm i ne la magnitud requerida de P para desplazar el rodillo 0.2 mm hacia la derecha.
4-15. El conjunto consta de tres barras de titan io y una barra rígida AC. El área de la sección transversal de cada barra se da en la figura. Si se aplica una carga vertical de P = 20 kN al anillo F, determ ine el desplazamiento ver tical del punto F. £,¡ = 350 GPa.
A o c = 45 m m -
2m
A ba = 60 m m 2
2
m
E |—0.5 m-
- 0.75 m 1.5 m
A r r = 75 m m 2
!
P = 20 kN
P ro b . 4-15
P ro b s. 4-11/12
La armadura consiste de tres miembros, cada uno de acero A-36 y área transversal de 0.75 pulg2. Determ ine la carga máxima P que puede aplicarse de modo que el ro dillo en B no se desplace más de 0.03 pulg. 4-13.
4-14. Resuelva el problema 4-13 considerando que la car ga P actúa verticalmente hacia abajo en C.
Probs. 4-13/14
*4-16. El sistema de eslabones está form ado p or tres miembros ds acero A-36 conectados por pasadores: ca da m iem bro tiene un área transversal de 0.730 pulg2. Si se aplica una fuerza vertical de P = 50 klb al extremo B del miembro A B, determine el desplazamiento vertical del punto B. 4-17. El sistema de eslabones está form ado por tres miembros de acero inoxidable 304 conectados por pasado res; cada miembro tiene un área transversal de 0.75 pulg2. D eterm ine la magnitud de la fuerza P necesaria para des plazar el punto B 0.10 pulg hacia abajo.
|*-3 pies -¡- -3 pies—j
P r o b le m a s
■4-18. Considere el problem a general de una barra que consta de m segmentos, cada uno con área transversal A m y longitud L m. Si se tienen n cargas sobre la barra como se muestra, escriba un programa de computadora que pue da usarse para determ inar el desplazamiento de la barra en cualquier posición x especificada. A plique el progra ma para los valores L x = 4 pies, d¡ = 2 pies, P\ = 400 Ib, Ay = 3 pulg2, ¿ 2 = 2 pies, d2 = 6 pies,P2 = —300lb,yl2 = 1 pulg2.
•
135
*4-20. La cabina C de un observatorio tiene un peso de 250 klb, y por medio de un sistema de engranes viaja ha cia arriba a una velocidad constante a lo largo de la colum na de acero A-36, la cual tiene una altura de 200 pies. La columna tiene un diám etro exterior de 3 pies y está hecha de placas de acero que tienen un espesor de 0.25 pulg. Des precie el peso de la columna, y determ ine el esfuerzo nor mal promedio de la columna en su base B, en función de la posición y de la cabina. También determ ine el desplaza miento relativo del extremo A con respecto al extrem o B en función de y.
“n
“2 M ---- ► *
l* i -X
—|
**l L\
L>2
r» ~ P2 *
s--- ►
Arn
P„ m
*
Prob. 4-18 P ro b . 4-20
4-19. La barra rígida está soportada por la barra CB co nectada ésta en sus extremos por pasadores; la barra CB tiene un área transversal de 14 m n r y está hecha de alu minio 6061-T6. Determ ine la deflexión vertical de la barra en D cuando se aplica la carga distribuida.
4-21. Una barra tiene una longitud L y el área de su sec ción transversal es A . D eterm ine su alargamiento debido tanto a la fuerza P como a su propio peso. El material tie ne un peso específico y (peso/volumen) y un módulo de elasticidad E.
136
•
CAPÍTULO 4 Carga axial
El barreno de acero A-36 de un pozo petrolero pe netra 12 000 pies en el terreno. Suponiendo que el tubo usado para perforar el pozo está suspendido librem ente de la torre en A, determ ine el esfuerzo normal promedio máximo en cada segmento de tubo y el alargamiento de su extrem o D con respecto al extrem o fijo en A . La flecha consta de tres tamaños diferentes de tubo,>4B, B C y CD, cada uno con su longitud, peso por unidad de longitud y área transversal indicados en la figura. Sugerencia: use los resultados del problema 4-21.
4-22.
La barra tiene un ligero ahusamiento y longitud L. Está suspendida del techo y soporta una carga P en su extremo. Demuestre que el desplazamiento de su extre mo debido a esta carga es 5 = PL/(TrEr2rl). Desprecie el peso del material. El módulo de elasticidad es E. *4-24.
Resuelva el problem a 4-24 incluyendo el peso del material y considerando que su peso específico es y (pe so/volumen).
4-25.
A A,uj= 2.50 pulg2 wAB- 3.2 lb/pie
5000 pies B
ABC- 1.75 pulg2 wBC= 2.8 lb/pie
5000 pies
A c d = 1.25 pulg2 2000 pies wCD= 2.0 lb/pie D ' - ± \
P ro b . 4-22
El tubo está enterrado en el suelo de manera que cuando se jala hacia arriba, la fuerza de fricción a lo largo de su longitud varía linealmente desde cero en B hasta / máx (fuerza/longitud) en C. D eterm ine la fuerza inicial P re querida para extraer el tubo y el alargam iento asociado del tubo un instante antes de que comience a deslizar. El tubo tiene una longitud L, un área A en su sección trans versal y el material de que está hecho tiene un módulo de elasticidad E.
4-23.
P ro b s. 4-24/25
D eterm ine el alargam iento de la flecha ahusada de acero A-36 cuando está sometida a una fuerza axial de 18 klb. Sugerencia: use el resultado del problem a 4-24.
4-26.
- r,= 0.5 pulg
r2 = I pulg
r, = 0.5 pulg
----- ——------ ™------------- =—'— ¡JE ------ yJ 18 klb
|
~
™
hf^nd--------------- 20 pu1§--------------t t h ? Prob. 4-26
,
t 18 klb
P r o b le m a s
4-27. Determine el desplazamiento relativo de un extremo de la placa prismática truncada con respecto al otro extremo cuando está sometida a una carga axial P.
•
137
El material del hueso tiene un diagrama esfuerzodeformación unitaria que puede definirse por la relación cr= E[e/{ 1+kEe)]. donde k y E son constantes. Determine la compresión dentro de la longitud L del hueso, donde se supone que el área A de la sección transversal del hueso es constante.
4-29.
1 ó
r
p
P ro b . 4-29 P ro b . 4-27
4-30. El pedestal tiene una forma cuyo radio está definido
por la función r = 2/(2 + yx/1) pies, donde y está en pies Si el módulo de elasticidad para el material es £ = 14(103) klb/pulg2, determine el desplazamiento de su parte supe rior cuando soporta la carga de 500 libras.
*4-28. Determine el alargamiento de la barra de aluminio cuando está sometida a una fuerza axial de 30 kN. Ea\ = 70 GPa. Sugerencia: use el resultado del problema 4-27.
4 pies
50 mm -4 -----------------L
<2™
15 mm
_ r r ~
30 kN
---------r
L-250 mmProb. 4-28
Prob. 4-30
138
4.3
•
CAPÍTULO 4 Carga axial
Principio de superposición El principio de superposición suele usarse para determ inar el esfuerzo o el desplazamiento en un punto de un miembro cuando éste está so m etido a una carga complicada. Al Gubdividir la carga en componentes, el principio de superposición establece que el esfuerzo o desplazamien to resultantes en el punto puede determ inarse encontrando primero el esfuerzo o desplazamiento causado por cada carga componente actuan do independientemente sobre el miembro. El esfuerzo o desplazamiento resultante se determ ina entonces sumando algebraicamente las contri buciones causadas por cada componente. Las siguientes dos condiciones deben cumplirse para que el principio d e superposición pueda aplicarse.
1. La carga debe estar relacionada linealmente con el esfuerzo o el desplazamiento que va a determinarse. Por ejemplo, las ecuacio nes a = P /A y 8 = P L f A E implican una relación lineal entre P y aro 6. 2. La carga no debe cam biar significativamente la geometría origi nal o configuración del miembro. Si tienen lugar cambios signifi cativos. la dirección y localización de las fuerzas aplicadas así como sus brazos de momento cambiarán, y en consecuencia la aplicación de las ecuaciones de equilibrio conducirá a resultados diferentes. Por ejemplo, considere la barra esbelta mostrada en la figura 4-IOa, que está sometida a la carga P. En la figura 4-10 /\ P se ha reem plazado por sus componentes, P = P, + P :. Si P ocasiona que la barra se deflexione considerablemente, como se muestra, el momen to de la carga respecto a su soporte, Pd, no será igual a la suma de los momentos de sus cargas componentes. Pd t P xd\ + P2d2. por que d\ ¥= d2 & d. La mayoría de las ecuaciones que implican carga, esfuerzo y desplaza* miento, desarrolladas en este texto, constan de relaciones lineales entre esas cantidades.También los miembros o cuerpos que se van a considerar serán tales que la carga producirá deform aciones tan pequeñas que el cambio en la posición y la dirección de la carga será insignificante y puede despreciarse. Sin embargo, en el capítulo 13 estudiaremos una excepción a esta regla. Consiste en una columna que lleva una carga axial equiva lente a la carga crítica o de pandeo. Se dem ostrará que cuando esta carga aum enta sólo ligeramente, ocasionará que la columna sufra una deflexión lateral grande, incluso si el material mantiene elasticidad lineal. Estas de flexiones, asociadas con las componentes de cualquier carga axial, no pue den ser superpuestas.
Fig. 4-10
S ección 4.4
4.4 sfuerzo :stá soinentes, :amiennero el actuanmiento contri-
Miembro estáticamente indeterminado cargado axialmente
Miembro estáticam ente indeterm inado cargado axialm ente
Cuando una barra está fija sólo en un extremo y está sometida a una fuerza axial, la ecuación de equilibrio de fuerzas aplicada a lo largo del eje de la barra es suficiente para encontrar la reacción en el soporte fijo. Un problema como éste, donde las reacciones pueden determinarse sólo a partir de las ecuaciones de equilibrio, se denomina estáticamente de terminado. Sin embargo, si la barra está fija en ambos extremos, como en la figura 4-11«, entonces se tienen dos reacciones axiales desconoci das, figura 4-116, y la ecuación de equilibrio de fuerzas se expresa como:
•incipio +T2 F = zo o el cuaciotre P y i origisignifi;í como icación ¡rentes, i 4-10«, i reemque la íomeniima de i 2i por-
splaza:s entre siderar que el rpuede ¡epción squivaa carga flexión ¡tas deio pue-
0
;
fb
+
fa
- P = o B
En este caso, la barra se denomina estáticamente indeterminada. ya que la ecuación de equilibrio por sí sola no es suficiente para determ inar las reacciones. Para establecer una ecuación adicional, necesaria para la solución, se requiere considerar la geometría de la deformación. Específicamente, a una ecuación que determ ina las condiciones del desplazamiento se le llama condición cinemática o condición de com patibilidad. Una con dición apropiada de compatibilidad requeriría que el desplazamiento re lativo de un extremo de la barra con respecto al otro extremo fuese igual a cero, ya que los soportes extremos están fijos. Por consiguiente, pode mos escribir: ■>A/B
=
ac
AE
_
kF,
Fb L cb _
p.
AE
Suponiendo que A E es constante, podemos resolver simultáneamente las dos ecuaciones anteriores y obtener los valores:
Ambos valores son positivos, por lo que las reacciones se muestran con sus sentidos correctos en el diagrama de cuerpo libre.
F,
1
I
i
0
Esta ecuación puede expresarse en términos de las cargas aplicadas usando una relación carga-desplazamiento, que depende del comporta miento del material. Por ejemplo, si se tiene un com portamiento lineal elástico, puede usarse 8 = P L / A E . Como la fuerza interna en el segmen to A C es +F a y en el segmento CB la fuerza interna es —F¡¡, la ecua ción de compatibilidad puede escribirse como:
Fa ^
(a)
J (b) Fig. 4-11
•
139
140
•
CAPÍTULO 4 Carga axial
PUNTOS IMPORTANTES • El principio de superposición se usa a veces para simplificar los problemas de esfuerzo y desplazamiento que tienen cargas com plicadas. Esto se hace subdividiendo la carga en componentes y luego sumando algebraicamente los resultados. • La superposición requiere que la carga esté linealmente relacio nada con el esfuerzo o el desplazamiento, y que la carga no cam bie en forma significativa la geom etría original del miembro. • Un miembro es estáticamente indeterminado si las ecuaciones de equilibrio no son suficientes para determ inar las reacciones en el miembro. • Las condiciones de compatibilidad especifican las restricciones de desplazamiento que ocurren en los soportes u otros puntos sobre un miembro.
PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS Las fuerzas desconocidas en problemas estáticamente indeterm ina dos se determ inan satisfaciendo los requisitos de equilibrio, compa tibilidad y fuerza-desplazamiento del miembro. Equilibrio. • Dibuje un diagrama de cuerpo libre del miembro para identifi car todas las fuerzas que actúan sobre él. • El problema puede ser clasificado como estáticamente indeter minado si el núm ero de reacciones desconocidas sobre el diagra ma de cuerpo libre es mayor que el número de ecuaciones de equilibrio disponibles. • Escriba las ecuaciones de equilibrio para el miembro. La mayoría de las columnas de concreto son reforzadas con barras de acero; como esos dos materiales trabajan juntos soportando la carga aplicada, la columna resulta ser está ticamente indeterminada.
Compatibilidad. • Para escribir las ecuaciones de compatibilidad dibuje un diagra ma de desplazamientos para investigar la manera en que el miem bro se alargará o contraerá al ser sometido a las cargas externas. • Exprese las condiciones de compatibilidad en términos de los des plazamientos causados por las fuerzas. • Use una relación carga-desplazamiento, tal como d = PL/AE, pa ra relacionar los desplazamientos desconocidos con las reaccio nes desconocidas. • Resuelva las ecuaciones de equilibrio y compatibilidad para las fuerzas reactivas desconocidas. Si cualquiera de las magnitudes tiene un valor numérico negativo, ello indica que esta fuerza ac túa en sentido opuesto al indicado en el diagrama de cuerpo libre.
S e c c ió n 4 .4
Miembro estáticamente indeterminado cargado axialmente
K3
E J E M P L O
La barra de acero m ostrada en la figura 4-12a tiene un diámetro de 5 mm. Está em potrada en la pared en A y antes de cargarla se tiene una holgura de 1 mm entre la pared en B' y la barra. Determine las reacciones en A y en B' cuando la barra se somete a una fuerza axial de P = 20 kN, como se muestra. Desprecie el tamaño del collarín en C. Considere £ ac = 200 GPa.
• P = 20 kN
- 800 mm
400 mm
(a)
Solución
Equilibrio.
Como se m uestra en el diagrama de cuerpo libre, figura 4-126, supondremos que la fuerza P es suficientemente grande para que el extremo B de la barra entre en contacto con la pared en B '. El problema es estáticamente indeterm inado ya que hay dos incóg nitas y sólo una ecuación de equilibrio. El equilibrio de la barra requiere: A
P = 20 kN
(b)
2 Fx = 0;
~F a ~ Fb + 20(103) N = 0
(1)
Compatibilidad. La carga ocasiona que el punto B se mueva a B ', sin ningún desplazamiento adicional. Por tanto, la condición de com patibilidad para la barra es: &bja — 0 . 0 0 1 m Este desplazamiento puede expresarse en términos de las reaccio nes desconocidas usando la relación carga-desplazamiento, ecuación 4-2, aplicada a los segmentos A C y CB, figura 4-12c. Trabajando en unidades de newtons y metros, tenemos: 5 b/ a = 0.001 m =
0 .0 0 1
m =
E a L ac AE
F rL cr
— — AE
£¿(0.4 m) tt(0.0025
m) [200(10 ) N /m 2] £B(0.8 m) 77(0.0025 m) [200(10 ) N /m 2
£„(0.4 m) - £fi(0.8 m) = 3927.0 N • m
(2)
Resolviendo las ecuaciones 1 y 2 se obtiene: £ 4
= 16.6 kN
Fb = 3.39 kN
Resp.
Debido a que FB resultó positiva, el extremo B sí entra en contacto con la pared en B' como se supuso originalmente. Por otra parte, si FB fue se una cantidad negativa, el problema sería estáticamente determ ina do, con Fb = 0 y £ 4 = 20 kN.
1 mm
(C )
Fig. 4-12
•
141
142
•
CAPÍTULO 4 Carga axial
E J E M P L O El poste de aluminio mostrado en la figura 4-13a está reforzado con un núcleo de bronce. Si el conjunto soporta una carga axial de compresión de P = 9 klb, aplicada a la tapa rígida, determ ine el esfuerzo normal prom edio en el alum inio y en el bronce. C onsidere E a¡ = 10(103) klb/pulg 2 y Ebr = 15(103) klb/pulg2.
La
tad mic Las
Solución Equilibrio. El diagrama de cuerpo libre del poste se muestra en la figura 4-13¿>. Aquí la fuerza axial resultante en la base está representa da por las componentes desconocidas tomadas por el aluminio, Fai, y el bronce, Fbr. El problema es estáticamente indeterminado. ¿Por qué? El equilibrio por fuerzas verticales requiere que:
(a)
+T P =9 klb
= 0;
- 9 klb + Fa\ + F bhrr = 0
So*
Eqt tra> ya i equ
O)
Compatibilidad. La tapa rígida en el poste origina que los desplaza mientos en el poste de aluminio y en el núcleo de bronce sean iguales, esto es, 5 al =
4r
Coi cad dóf mié sem tos i
Usando las relaciones carga-desplazamiento, Fa,L
FhxL br ^ b r
¿al = Fbr1 (b) 77
-[(2 pulg ) 2 -
P-A = Fbr
7 T( 1
al ‘ br ( 1
^br
pulg)2]
~ 1 0 ( 1 0 3) klb/pulg 2
pulg ) 2
_15(103) klb/pulg 2 _
Resolviendo simultáneamente las ecuaciones 1 y 2, obtenemos
ffbr= 0.955 klb/pulg2
Fal = 6 klb
cra| = 0.637 klb/pulg3
Usa
Fbl = 3 klb
Como los resultados son positivos, los esfuerzos serán de compresión. El esfuerzo normal promedio en el aluminio y en el bronce son en tonces, 6
ir[{2 pulg ) 2 2
t t ( 1 pulg)
( 1
pulg)-
0.637 klb/pulg 2
Resp.
Res4
3 klb °"b r
klb
= 0.955 klb/pulg 2
Resp.
Las distribuciones de los esfuerzos se muestran en la figura 4-13c.
S ecció n 4 .4
E J E M P L O
Miembro estáticamente indeterminado cargado axialmente
•
El
Las tres barras de acero A-36 mostradas en la figura 4-14a están conec tadas por pasadores a un miembro rígido. Si la carga aplicada sobre el miembro es de 15 kN, determ ine la fuerza desarrollada en cada barra. Las barras A B y E F tienen cada una un área transversal de 25 mm 2 y la barra CD tiene un área transversal de 15 mm2. Solución
Equilibrio. El diagrama de cuerpo libre del miembro rígido se mues tra en la figura 4-14/;. Este problema es estáticamente indeterminado ya que se tienen tres incógnitas y sólo dos ecuaciones disponibles de equilibrio. Estas ecuaciones son: +f
= 0;
i,+SM c = 0;
Fa + Fc + Fe - 15 k N = 0
(1)
~F a (0A m) + 15 kN(0.2 m) + FE{0.4 m) = 0
(2)
Compatibilidad. Debido a los desplazamientos en los extremos de cada barra, la línea A C E m ostrada en la figura 4-14c tom ará la posi ción definida por los puntos A'C 'E '. Desde esta posición, los desplaza mientos de los puntos A , C y E pueden relacionarse por triángulos semejantes. La ecuación de compatibilidad para esos desplazamien tos es entonces:
(a)
E
0.2 m
0 .8
m
1
ZL 0.4 m
0.2 m
0.4 m (b)
sc ~ 2 S¿ + Usando la relación carga-desplazamiento, ecuación 4-2, tenemos:
FCL (15m m 2) £ ac
1 2
fal
(25 mm2) £ ac +
1 2
5C
A‘
Fe L (25 mm2) £ ac_
(c)
Fc = 0.3 Fa + 0.3 Fe
(3) Fig. 4-14
Resolviendo simultáneamente las ecuaciones 1-3 se obtiene: Fa = 9.52 kN
Resp.
Fc = 3.46 kN
Resp.
Fe = 2.02 kN
Resp.
143
144
•
CAPÍTULO 4 Propiedades mecánicas de los materiales
El perno mostrado en la figura 4-15« está hecho de una aleación de aluminio 2014-T6 y está apretado de modo que comprime a un tubo cilindrico hecho de una aleación de magnesio Am 1004-T61. El tubo tiene un radio exterior de i pulg y el radio interior del tubo y el ra dio del perno son de i de pulg. Las arandelas en los extremos del tubo son rígidas y tienen un espesor despreciable. Inicialmente la tuerca está ligeramente apretada a mano; luego, por medio de una llave, la tuerca se aprieta media vuelta. Si el perno tiene 20 hilos por pulgada, determ ine el esfuerzo en el perno.
Solución Equilibrio. Se considera el diagrama de cuerpo libre de una sección del perno y del tubo, figura 4-15¿>, para relacionar la fuerza en el per no Fb con la fuerza en el tubo, F,. Por equilibrio, se requiere,
(1)
Fb - F, = 0
El problema es estáticamente indeterminado ya que se tienen dos in cógnitas en esta ecuación. C om patibilidad. Al apretar la tuerca media vuelta sobre el per no, el tubo se acortará <5„ y el perno se alargará 8b, figura 4-15c. Como la tuerca experimenta media vuelta, ella avanza una distancia de (± )(i pulg) = 0.025 pulg a lo largo del perno. Entonces, la compa tibilidad de esos desplazamientos requiere 5, = 0.025 pulg - 8b
(+Î)
Leyendo el módulo de elasticidad en la tabla de la cubierta interior posterior y aplicando la ecuación. 4-2, obtenemos:
(b)
F, (3 pulg) 7
r[( 0 . 5 pulg)2- (0.25 pulg)2][6.48(103) klb/pulg:
= 0.025 pulg —
Fb(3 pulg) 77-(0.25 pulg) [10.6(103) klb/pulg2]
0.78595F, = 25 - 1.4414/^
(2)
Resolviendo simultáneam ente las ecuaciones 1 y 2, obtenemos: Fb = F ,= 11.22 klb Los esfuerzos en el perno y en el tubo son entonces: Posición final
A Ab
1 1 .2 2
klb
7r(0.25 pulg )
= 57.2 klb/pulg 2
1 1 . 2 2 klb/pulg 2 Fl = ________________________
Posición inicial
(=) Fig. 4-15
A,
Resp.
2
tt[(0.5 pulg ) 2 - (0.25 pulg)2]
= 19.1 klb/pulg 2
Estos esfuerzos son menores que los esfuerzos de fluencia de cada mate rial, (oy)al = 60 klb/pulg 2 y (ay)mg = 2 2 klb/pulg 2 (vea la cubierta inte rior posterior), por lo que este análisis “elástico” es válido.
4.5 Método de las fuerzas para el análisis de miembros cargados axialmente
S ecció n
4.5
Método de las fuerzas para el análisis de miembros cargados axialm ente
Es posible resolver también los problemas estáticamente indetermina dos escribiendo la ecuación de compatibilidad y considerando la super posición de las fuerzas que actúan sobre el diagrama de cuerpo libre. A este método de solución suele llamársele m étodo de las fuerzas o mé todo de las flexibilidades. Para m ostrar cómo se aplica, consideremos de nuevo la barra en la figura 4-11 a. Para escribir la ecuación necesaria de compatibilidad, escogeremos prim ero cualquiera de los dos soportes como “redundante” y retiraremos temporalmente su efecto sobre la barra. La palabra redundante, tal como se aplica aquí, indica que el soporte no es necesario para m antener la barra en equilibrio estable, de m anera que cuando se retira, la barra se vuelve estáticamente determ inada. Escoge remos aquí el soporte en B como redundante. Usando el principio de superposición, la barra, con la carga original actuando sobre ella, figura 4-16«, es entonces equivalente a la barra sometida sólo a la carga exter na P, figura 4-166, más a la barra sometida sólo a la carga redundante desconocida F#, figura 4-16c. Si la carga P ocasiona que B se desplace hacia abajo una cantidad 8P, la reacción FB debe ser capaz de desplazar el extrem o B de la barra ha cia arriba una cantidad 8B, de m anera que no ocurra ningún desplaza miento^ en B cuando las dos cargas se superpongan. Así entonces,
(+1)
0 — 8p
=
P L ac AE
(a)
8r
Esta ecuación representa la ecuación de compatibilidad para los despla zamientos en el punto B, donde hemos supuesto que los desplazamien tos son positivos hacia abajo. Aplicando la relación carga-desplazamiento a cada caso, tenemos 8P = PLac/A E y 8b = F bL / A E . En consecuencia, 0
No hay desplazamiento de B
Desplazamiento de B al rem over la fuerza redundante de B (b)
i_
Fb L AE
+
Fn= P
L- f )
A
Del diagrama de cuerpo libre de la barra, figura 4-116, la reacción en A puede ahora determinarse con la ecuación de equilibrio, +t
2
Fy =
0
;
-A C
+ FÁ - P = o
Como L cb = L - L ÁC, entonces, FÁ = P
Desplazamiento de B sólo al aplicar la fuerza redundante a B (c)
- CB
Estos resultados son los mismos que se obtuvieron en la sección 4.4, ex cepto que aquí hemos aplicado la condición de compatibilidad y luego la condición de equilibrio para obtener la solución. Advierta también que el principio de superposición puede usarse aquí ya que el desplazamien to y la carga están linealmente relacionados (8 = P L /A E ), lo que supo ne, desde luego, que el material se comporta de m anera elástico-lineal.
Fig. 4-16
1
•
145
146
•
CAPÍTULO 4 Carga axial
PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS El análisis por el método de las fuerzas requiere efectuar los siguientes pasos. Compatibilidad. • Escoja uno de los soportes como redundante y escriba la ecuación de compatibilidad. Para hacer es to, el desplazamiento conocido en el soporte redundante, que es usualmente cero, se iguala al despla zamiento en el soporte causado sólo por las cargas externas actuando sobre el miembro más (vecto rialmente) el desplazamiento en el soporte causado sólo por la reacción redundante actuando sobre el miembro. • Exprese la carga externa y desplazamientos redundantes en términos de las cargas usando una rela ción carga-desplazamiento, tal como 8 = P L /A E. • Una vez establecida, la ecuación de compatibilidad puede resolverse y hallar la magnitud de la fuer za redundante. Equilibrio. • Dibuje un diagrama de cuerpo libre y escriba las ecuaciones de equilibrio apropiadas para el miem bro usando el resultado calculado para la fuerza redundante. Resuelva esas ecuaciones para encon trar las otras reacciones.
E J E M P L O l mi
P = 20 kN
m'N\ L
I
B'
-800 m in
400 mm
La barra de acero A-36 mostrada en la figura 4-17« tiene un diáme tro de 5 mm. Está unida a la pared fija en A y antes de ser cargada hay un hueco entre la pared en B' y la barra, de 1 mm. Determine las reacciones en A y B '.
Solución
ia)
P = 20 kN
1 mm
. P= 20 kN
Posición inicial
fr.i.i1 > j »
Compatibilidad. Aquí consideraremos el soporte en B ' como redun dante. Usando el principio de superposición, figura 4-176, tenemos (
tí
8n —
w 8r =
(b) 3.40 kN
►
0.001 m = 8P - 8 b
(1)
Las deflexiones 8Py 8fí son determ inadas con la ecuación 4-2. Posición final
+
)
P L AC AE
FbL ab AE
[20( 103) N](0.4 m) 7t(0.0025 m ) 2 [200( 109) N /m 2] FB( 1 .2
0
= 0.002037 m
m)
77(0.0025 m ) 2 [200(109) N /m 2j
Sustituyendo en la ecuación 1, obtenemos 0.001 m = 0.002037 m - 0.3056(10~6)Fg
(c)
Er = 3.40(103) N = 3.40 kN
Resp_
Fig. 4-17
Equilibrio.
Del diagrama de cuerpo libre, figura 4-17c,
2 F , = 0; —Fa + 20 kN - 3.40 kN = 0
FA = 16.6 kN
R esp .
P r o b le m a s
•
147
PROBLEMAS 4-31. La columna de acero A-36, que tiene un área transversal de 18 pulg2, está em bebida en concreto de al ta resistencia como se muestra. Si se aplica una carga axial de 60 klb a la columna, determ ine el esfuerzo de com pre sión promedio en el concreto y en el acero. ¿Cuánto se acorta la columna? La columna tiene una altura original de 8 pies. *4-32. La columna de acero A-36 está em bebida en con creto de alta resistencia como se muestra en la figura de abajo. Si se aplica una carga axial de 60 klb a la colum na. determine el área requerida de acero de manera que la fuerza sea com partida igualmente entre el acero y el concreto. ¿Cuánto se acorta la columna? La columna tie ne una altura original de 8 pies.
4-34. Una columna de concreto está reforzada por m e dio de cuatro varillas de acero de refuerzo, cada una de 18 mm de diámetro. Determ ine el esfuerzo en el concre to y en el acero si la columna está sometida a una carga axial de 800 kN. E ac = 200 GPa, Ec = 25 GPa. 4-35. La columna está construida con concreto de alta resistencia y cuatro varillas de refuerzo de acero A-36. Si está sometida a una fuerza axial de 800 kN. determ ine el diámetro requerido de cada varilla para que una cuarta parte de la carga sea soportada por el acero y tres cuar tas partes por el concreto. £ ac = 200 GPa, Ec = 25 GPa.
60 klb 16 pul:
,í;
11 ¡ til
8 pies
Probs. 4-31732 4-33. U n tubo de acero está lleno de concreto y some tido a una fuerza de compresión de 80 kN. Determ ine el esfuerzo en el concreto y en el acero debido a esta car ga. El tubo tiene un diám etro exterior de 80 mm y un diá metro interior de 70 mm. £ ac = 200 GPa. Ec = 24 GPa.
Probs. 4-34/35
*4-36. El tubo de acero A-36 tiene un radio exterior de 20 mm y un radio interior de 15 mm. Si entra justam en te entre las paredes fijas antes de ser cargado, determine la reacción en las paredes cuando se somete a la carga mostrada.
80 kN
500 mm
8 kN
11— 300 i Prob. 4-33
8 kN — 700 mm
Prob. 4-36
148
•
CAPITULO 4 Carga axial
La barra compuesta consiste en un segmento A B de acero A-36 de 20 mm de diám etro y de segmentos extremos DA y CB de bronce C83400 de 50 mm de diá metro. D eterm ine el esfuerzo normal prom edio en cada segmento debido a la carga aplicada.
4-37.
La barra compuesta consiste en un segmento A B de acero A-36 de 20 mm de diám etro y de segmentos extremos DA y CB de bronce C83400 de 50 mm de diá metro. D eterm ine el desplazamiento de A respecto a B debido a la carga aplicada.
4-38.
500 mm
El soporte consiste en un poste sólido de bronce C83400 que está rodeado por un tubo de acero inoxida ble 304. A ntes de aplicar la carga, el hueco entre esas dos partes es de 1 mm. Dadas las dimensiones mostradas, de term ine la carga axial máxima que puede aplicarse a la tapa rígida A sin generar fluencia en ninguno de los m ate riales.
4-41.
■250 m m -
20 mm
P ro b s. 4-37/38
La carga de 2800 Ib va a ser soportada por los dos alambres de acero A-36, esencialmente verticales. Si ori ginalmente el alambre A B es de 60 pulg de largo y el alambre A C de 40 pulg, determ ine la fuerza desarrollada en cada alambre cuando se cuelga la carga. Cada alam bre tiene un área transversal de 0.02 pulg2.
4-39.
*4-40. La carga de 2800 Ib va a ser soportada por los dos alambres de acero A-36, esencialmente verticales. Si originalmente el alambre A B es de 60 pulg de largo y el alambre A C de 40 pulg, determ ine el área transversal de A B para que la carga se reparta igualmente entre am bos alambres. El alambre A C tiene un área transversal de 0.02 pulg2.
Probs. 4-39/40
P ro b . 4-41
Dos alambres de acero A-36 se usan para sopor tar el m otor de 650 Ib de peso. Originalmente, A B tiene 32 pulg de longitud y A 'B ' 32.008 pulg de longitud. D e term ine la fuerza soportada por cada alambre cuando el m otor se suspende de ellos. Cada alambre tiene un área transversal de 0.01 pulg2.
4-42.
Prob. 4-42
•
P r o b le m a s
El poste central B del conjunto tiene una longitud original de 124.7 mm, mientras que los postes A y C tienen una longitud de 125 mm. Si las tapas arriba y abajo se consideran rígidas, determ ine el esfuerzo normal prom e dio en cada poste. Los postes están hechos de aluminio y tiene cada uno un área transversal de 400 mm2. Ea¡ = 70 GPa.
4-43.
149
La carga distribuida está soportada por tres barras de suspensión. A B y E F están hechas de aluminio y CD está hecha de acero. Si cada barra tiene un área transver sal de 450 mm2, determ ine la intensidad máxima w de la carga distribuida de modo que no se exceda un esfuerzo permisible de =180 MPa en el acero y (
4-45.
800 kN /m
125 mm /A / l
/ J lL
r U ------------------ Ü—
1
*->
—
™ " W
th
800 kN /m
Prob. 4-4S Prob. 4-43
La viga está articulada en A y soportada por dos barras de aluminio; cada barra tiene un diám etro de 1 pulgy un módulo de elasticidad £ a) = 10(103) klb/pulg2. Si se supone que la viga es rígida e inicialmente horizon tal, determine el desplazamiento del extremo B cuando se aplique sobre ésta una carga de 5 klb. 4-46.
El espécimen representa una m atriz reforzada con filamentos, la cual está fabricada con plástico (m a triz) y vidrio (fibra). Si se tienen n fibras, cada una con área Ay de sección transversal y un módulo de E¡, em be bidas en una matriz con área transversal A,„ y un módulo de £„„ determine el esfuerzo en la matriz y en cada fibra cuando se aplica la fuerza P sobre el espécimen. *4-44.
La barra está articulada en A y está soportada por dos barras de aluminio, cada una con diám etro de 1 pulg y módulo de elasticidad £ al = 10(103) klb/pulg2. Si se su pone que la barra es rígida y que está inicialmente en po sición horizontal, determ ine la fuerza en cada barra cuan do se aplica la carga de 5 klb. 4-47.
P
P
Prob. 4-44
Probs. 4-46/47
150
•
CAPÍTULO 4 Carga axial
Se supone que la viga horizontal es rígida mien tras soporta la carga distribuida mostrada. Determine las reacciones verticales en los soportes. Cada soporte con siste en un poste de madera con diámetro de 1 2 0 mm y con altura original (descargado) de 1.40 m. Considere Emadera ~ 12 GPa. *4-48.
Se supone que la viga horizontal es rígida mien tras soporta la carga distribuida mostrada. Determine el ángulo de inclinación de la viga después de aplicada la carga. Cada soporte consiste en un poste de madera con diámetro de 1 2 0 mm y una longitud original (descarga da) de 1.40 m. Considere Emadera - 12 GPa. 4-49.
La barra rígida está soportada por dos postes cor tos de madera y un resorte. Si cada uno de los postes tie ne una altura de 500 mm y área transversal de 800 mnr y el resorte tiene una rigidez k = 1.8 MN/m y una lon gitud no estirada de 520 mm, determine la fuerza en cada poste después de aplicada la carga a la barra. Ema(ier¡, = 11 GPa. 4-51.
*4-52. La barra rígida está soportada por dos postes de madera (abeto blanco) y un resorte. Cada poste tiene una longitud (sin carga presente) de 500 mm y un áiea transversal de 800 mm2; el resorte tiene una rigidez k = 1.8 MN/m y una longitud (sin carga presente) de 520 mm. Determine el desplazamiento vertical de A y B después de que se aplica la carga a la barra. 60 kN
18 kN/m
60 kN 100 mm
100 mm
C
B
500 mm
P robs. 4-48/49
Probs. 4-51/52
El perno de acero de 10 mm de diámetro está ro deado por un manguito de bronce. El diámetro exterior del manguito es de 2 0 mm y su diámetro interior es de 10 mm. Si el perno está sometido a una fuerza de com presión de P = 20 kN. determine el esfuerzo normal pro medio en el acero y en el bronce. Eac = 200 GPa y Ebr = 100 GPa.
4-53.
Las tres barras colgantes están hechas del mismo material y tienen las mismas áreas A en sus secciones transversales. Determine el esfuerzo normal promedio en cada barra si la barra rígida ACE está sometida a la fuer za P.
4-50.
\— £ —k-rf.2
2
Prob. 4-50
P r o b le m a s
4-54. El vastago de 10 mm de diám etro de un perno de acero está envuelto por un casquillo de bronce. El diá m etro exterior de este casquillo es de 20 mm y su diám e tro interior es de 10 mm. Si el esfuerzo de fluencia para el acero es (o y )ac = 640 M Pa y para el bronce es (o y )br = 520 MPa, determ ine la magnitud de la carga elástica má xima P que puede aplicarse al conjunto. £'ac = 200 GPa, E br = 100 GPa.
•
151
*4-56. La prensa consta de dos cabezales rígidos m an tenidos en posición por las dos barras de acero A-36 de 0.5 pulg de diámetro. Se coloca en la prensa un cilindro sólido de aluminio 6061-T6 y se ajustan los tornillos de manera que apenas si aprieten contra el cilindro. Si lue go se aprietan media vuelta, determ ine el esfuerzo nor mal promedio en las barras y en el cilindro. El tornillo de cuerda simple en el perno tiene un avance de 0.01 pulg. Nora: el avance representa la distancia que el tornillo avanza a lo largo de su eje en una vuelta completa del tornillo.
10 mm
20 mm
P ro b . 4-56
4-55. El miembro rígido es m antenido en la posición mostrada por tres barras de acero A-36. Cada barra tie ne una longitud inicial (no alargada) de 0.75 m y un área transversal de 125 m nr. Determine las fuerzas en las barras si a un nivelador en la barra EF se le da una vuelta ente ra. El avance del tornillo es de 1.5 mm. Desprecie el tam a ño del nivelador y suponga que es rígido. Nota: el avance ocasiona que la barra, al estar descargada, se acorte 1.5 mm cuando al nivelador se le da una vuelta entera.
4-57. La prensa consta de dos cabezales rígidos m ante nidos en posición por las dos barras de acero A-36 de { pulg ce diámetro. Se coloca en la prensa un cilindro só lido de aluminio 6061-T6 y se ajustan los tornillos de ma nera que apenas si aprieten conlra el cilindro. Determ ine el ángulo que el tornillo debe girar antes que las barras o el espécimen comiencen a fluir. El tornillo de cuerda simple en el perno tiene un avance de 0.01 pulg. Nota: el avance representa la distancia que el tornillo avanza a lo largo de su eje en una vuelta completa del tornillo.
0.75 m
A (-— 0.5 i
— 0.5 m — j C 0.75 m
íh r Prob. 4-55
Prob. 4-57
152
•
CAPÍTULO 4 Carga axial
El conjunto consiste en dos postes hechos de un material 1 con módulo de elasticidad £ , y área transver sal Ay en cada uno de ellos, y un material 2 con módulo de elasticidad E 2 y área transversal A 2. Si se aplica una carga central P a la tapa rígida, determine la fuerza en ca da material.
4-58.
El conjunto consiste en un miembro de aluminio 6061-T6 y en un miembro de bronce rojo C83400, confi nados entre placas rígidas. Determ ine la distancia d a que debe colocarse la carga vertical P sobre las placas para que éstas permanezcan horizontales cuando el material se deforma. Cada miembro tiene un ancho de 8 pulg y no están adheridos entre sí. 4-61.
P
P
P ro b . 4-58
El conjunto consiste en tres postes con las siguien tes propiedades: postes 1 (A B y CD) hechos de un m a terial con módulo de elasticidad E\ y área transversal Ay, poste central 2 (EF) hecho de un m aterial con módulo de elasticidad E 2 y área transversal A 2. Si los postes A B y CD se reemplazan por otros dos postes hechos con el material del poste EF, determ ine el área transversal re querida en los nuevos postes de manera que ambos con juntos se deformen la misma cantidad al cargarlos. 4-59.
El conjunto consiste de dos postes A B y CD he chos de un material 1 que tiene un módulo de elasticidad de Ex y área transversal A¡ cada uno, y un poste central EF hecho de un material 2 con módulo de elasticidad E 2 y área transversal A 2, determ ine el área transversal re querida en el nuevo poste de manera que ambos conjun tos se deformen la misma cantidad al cargarlos. *4-60.
P
Probs. 4-59/60
6 pulg 3 pulg P ro b . 4-61
I.a viga rígida está soportada por un conjunto de barras dispuestas simétricamente y cada una tiene un área A y longitud L. Las barras A B y CD tienen un módulo de elasticidad E\ y las barras E F y G H uno de E2. D eter mine el esfuerzo normal prom edio en cada barra si se aplica un momento concentrado M 0 a la viga. 4-62.
h— ^
^
^
Prob. 4-62
— H
Pro b lem a s
4-63. El miembro ahusado está fijo en sus extremos A y B y está sometido a una carga P = 7 klb en x = 30 pulg. Determine las reacciones en los soportes. El miembro tie ne 2 pulg de espesor y está hecho de aluminio 2014-T6.
6 pulg
. ¡1 pulg
P -* -
•
153
4-66. El poste está hecho de aluminio 6061-T6 y tiene un diámetro de 50 mm. Está em potrado en A y en B y en su centro C tiene un resorte unido a un collarín rígi do. Si el resorte inicialmente no está comprimido, deter mine las reacciones en A y en B cuando se aplica la fuer za P = 40 kN al collarín. 4-67. El poste está hecho de aluminio 6061-T6 y tiene un diámetro de 50 mm. Está em potrado en A y en B y en su centro C tiene un resorte unido a un collarín rígido. Si el resorte inicialmente no está comprimido, determine la compresión en éste cuando se aplica la carga P = 50 kN al collarín.
60 pulg P ro b . 4-63
*■4-64. El miembro ahusado está fijo en sus extremos A y B y está sometido a una carga P. Determine la posición x de la carga y la magnitud máxima de ésta si el esfuerzo normal permisible del material es crpcrm = 4 klb/pulg2. El miembro tiene 2 pulg de espesor. k = 200 MN/m
>pies
i_L;
p-*-
‘ 3 pies
*4-68. La barra rígida soporta la carga distribuida uni forme de 6 klb/pie. D eterm ine la fuerza en cada cable si cada uno tiene un área transversal de 0.05 pulg2 y E = 31(103) klb/pulg2.
- 60 pies — P ro b . 4-64
4-65. El resorte sin estirar tiene una longitud de 250 mm y una rigidez k - 400 kN/m. Si se comprime y se coloca sobre la porción A C de 200 mm de la barra de aluminio A B y se libera, determ ine la fuerza que la barra ejerce sobre la pared en A . A ntes de aplicarse la carga, hay un hueco de 0.1 mm entre la barra y la pared en B. La ba rra está fija a la pared en A . Desprecie el espesor de la placa rígida en C. Ea\ = 70 GPa.
20 mm
Prob. 4-65
P ro b s. 4-66/67
4-69. La barra rígida está originalmente en posición ho rizontal soportado por dos cables cada uno con área transversal de 0.05 pulg2 y E = 31 (103) klb/pulg2. D eter mine la rotación pequeña de la barra cuando se aplica la carga uniforme.
154
4.6
•
CAPÍTULO 4 Carga axial
Esfuerzo térmico Un cambio de tem peratura puede ocasionar que un material cambie sus dimensiones. Si la tem peratura aumenta, generalmente un material se dilata, mientras que si la tem peratura disminuye, el material se contrae. Ordinariam ente esta dilatación o contracción está linealmente relaciona da con el incremento o disminución de tem peratura que se presenta. Si éste es el caso y el material es homogéneo e isotrópico, se ha encontra do experim entalm ente que la deformación de un miembro de longitud L puede calcularse usando la fórmula:
8t = a A T L
(4-4)
donde.
La mayoría de los puentes se diseñan con juntas de expansión para permitir el mo vimiento térmico de la superficie de ro damiento y evitar así esfuerzos por cam bio de temperatura.
a = propiedad del material llamada coeficiente lineal de dilatación térmica. Las unidades miden deformación unitaria por grado de tem peratura. Ellas son 1/°F (Fahreñheit) en el sistema inglés y 1/°C (Celsius) o 1/°K (Kelvin) en el sistema SI. Los valores comu nes se dan en la cubierta interior posterior del libro A T = cambio algebraico en la tem peratura del miembro L = longitud original del miembro 8r = cambio algebraico en la longitud del miembro Si el cambio de tem peratura varía sobre toda la longitud del miembro, esto es, A 7 = A7" (x), o si a varía a lo largo de la longitud, entonces la ecua ción 4-4 es aplicable para cada segmento de longitud dx. En este caso, el cambio en la longitud del miembro es: rL 8t — a A T dx
(4-5)
El cambio en longitud de un miembro estáticamente determinado pue de calcularse fácilmente con las ecuaciones 4-4 o 4-5, ya que el miembro tiene libertad de dilatarse o contraerse cuando experim enta un cambio de tem peratura. Sin embargo, en un miembro estáticamente indetermina do esos desplazamientos térmicos pueden estar restringidos por los so portes, lo que produce esfuerzos térmicos que deben ser considerados en el diseño. El cálculo de esos esfuerzos térmicos puede efectuarse usando los m é todos delineados en las secciones previas. Los siguientes ejemplos ilustran algunas aplicaciones.
S ección 4.6
E J E M P L O
Esfuerzo térmico
4.10
La barra de acero A-36 m ostrada en la figura 4-18 cabe justamente entre los dos soportes fijos cuando 7 \ = 60 °F. Si la tem peratura se eleva a T2 = 120 °F, determ ine el esfuerzo térmico normal promedio desarrollado en la barra.
0.5 pu!g
H ■
X 0 -5 PulS
Solución Equilibrio. El diagrama de cuerpo libre de la barra se muestra en la figura 4-18b. Como no hay fuerza externa, la fuerza en A es igual pero opuesta a la fuerza que actúa en B\ esto es, + f 2 F , = 0;
Fa = Fb = F
El problema es estáticamente indeterm inado ya que esta fuerza no puede ser determ inada por equilibrio. Compatibilidad. Como 8B/A - 0, el desplazamiento térmico ST que ocurre en A , figura 4-18c, es contrarrestado por la fuerza F que se re quiere para em pujar la barra una cantidad 8/? de regreso a su posición original; es decir, la condición de compatibilidad en A es: (+ !')
8 a/ b =
0
= Sr - SF
Aplicando las relaciones térm icas y de carga-desplazam iento, te nemos: 0 = aATL -
AL
Así, con los datos de la cubierta interior posterior,
F
(b)
F = aATAE = [6.60(10~6)/°F](120 °F - 60 °F)(0.5 pulg)2[29(103) klb/pulg2] = 2.87 klb
8t
r jÉ h
De la magnitud de F debería ser aparente qué cambios en tem pera tura pueden ocasionar grandes fuerzas reactivas en miembros estáti camente indeterminados. Como F representa también la fuerza axial interna dentro de la barra, el esfuerzo normal de compresión (térmico) prom edio es entonces: F 2.87 klb = — = ------------- 5 - = 11.5 klb/pulg 2 /I (0.5 pulg) 5
(C)
Fig. 4-18
SF
•
155
156
•
CAPÍTULO 4 Propiedades mecánicas de los materiales
E J E M P L O
---------------------------------------------------Un tubo de aluminio 2014-T6 con área transversal de 600 mm 2 se usa como camisa para un perno de acero A-36 con área transversal de 400 mm2, figura 4-19a. Cuando la tem peratura es de T y = 15 °C, la tuerca mantiene el conjunto en una condición ligeramente apretada tal que la fuerza axial en el perno es despreciable. Si la tem peratura se incrementa a T2 = 80 °C, determine el esfuerzo normal promedio en el perno y en la camisa.
Solución Equilibrio. En la figura 4-196 se muestra un diagrama de cuerpo li bre de un segmento seccionado del conjunto. Se generan las fuerzas Fb y F¡ debido a que el perno y la camisa tienen diferentes coeficientes de dilatación térmica y se dilatan diferentes cantidades cuando la tempe ratura se incrementa. El problema es estáticamente indeterminado, ya que esas fuerzas no pueden determinarse sólo por equilibrio. Sin em bargo, se requiere que: + | 2 F y = 0;
Fs = F b
(1)
Compatibilidad. El incremento de tem peratura ocasiona que la ca misa y el perno se dilaten (Ss) r y (Sh)T, figura 4-19c. Sin embargo, las fuerzas redundantes Fb y F¡ alargan el perno y acortan la camisa. En consecuencia, el extremo del conjunto alcanza una posición final que no es la misma que la posición inicial. Por consiguiente, la condición de compatibilidad es (+¿)
8
= (s b ) r
+
[ 8 b )¡•
=
(8s)r
~
(S s ) f
Posición inicial «ür
V
8
posicición final
t~~N (5,) f «0
Aplicando las ecuaciones 4-2 y 4-4 y usando las propiedades mecáni cas dadas en la tabla en la cubierta interior posterior, tenemos: [12(10-6)/°C](80 °C - 15 °C)(0.150 m) F6(0.150 m) (400 mm 2 )(10 - 6 m 2 /m m 2 )[200(109) N /m 2 = [23(10 )/°C](80 °C - 15°C )(0.150m ) F,(0.150 m) 600 mm 2 (10
6
m 2 /m m 2 )[73.1(109) N /m 2]
Usando la ecuación 1 y despejando, se obtiene: Fs = Fh = 20.26 kN El esfuerzo normal promedio en el perno y en la camisa es entonces: 20.26 kN CTb
400 mm 2 (10 - 6 m 2 /m m 2) _
20.26 kN
C7s ~ 600 mm 2 ( 1 0
-6
m 2 /m m 2)
= 50.6 MPa
Resp.
= 33.8 MPa
Resp.
Como en este análisis se supuso un com portamiento elástico lineal de los materiales, los esfuerzos calculados deben revisarse para cons tatar que ellos no exceden los límites proporcionales del material.
158
•
CAPÍTULO 4 Propiedades mecánicas de los materiales
4.12
E J E M P L O
I
h 300 m m -4—300 m m H 150 kN/m
■
I 60 m m » L —40 mm
‘ 250 mm
1 40 mm -1
■---------i— i Acero
Aluminio
Acero
(a)
La barra rígida mostrada en la figura 4-20a está fija a la parte supe rior de los tres postes hechos de acero y aluminio. Cada poste tiene una longitud de 250 mm cuando no hay carga aplicada a la barra y la tem peratura es Tj = 20 °C. Determine la fuerza soportada por cada poste si la barra está sometida a una carga uniformemente distribui da de 150 kN/m y la tem peratura se eleva a T2 = 80 °C.
Solución Equilibrio. El diagrama de cuerpo libre de la barra se muestra en la figura 4-206. El equilibrio debido a los momentos con respecto al cen tro de la barra, requiere que las fuerzas en los postes de acero sean igua les. Sumando fuerzas en el diagrama de cuerpo libre, tenemos + | 2 F V = 0:
90 kN
2 Fac+ Fal - 90(103) N = 0
(1)
Compatibilidad. Debido a la simetría de la carga, de la geometría y del material, la parte superior de cada poste se desplaza la misma cantidad. Por tanto,
(2) ^ac ¿>al La posición final de la parte superior de cada poste es igual a su des plazam iento causado por el increm ento de tem peratura, más a su desplazamiento causado por la fuerza de compresión interna axial, fi gura 4-20c. Así, entonces, para un poste de acero y uno de aluminio, te nemos: (+ 1 )
!
F«,
(b)
( +1) (4c) 7-= ~ ( 8 a c ) r + (S ac) f I I
¡í
Posición inicial r -
§íc “^al
(& c V
í <5ul )c
P osición final
( + 1)
(¿>al)r = “ (Sal ) t + (S a|)f
Aplicando la ecuación 2, obtenemos ~ ( 5 ac ) t +
( S ac ) f =
- (4 l)r +
(Sal ) f
Usando las ecuaciones 4-2 y 4-4 y las propiedades del material dadas en la cubierta interior posterior, obtenemos (C)
-[12(10
)/°C](80 °C + 20 °C)(0.250 m) +
Fig. 4-20
= -[23(10
)/°C](80 °C - 20 °C)(0.250 m)
Fac (0.250 m) tt(0.020 m ) 2 [200(109) N /m 2) Fa[(0.250 m) tt(0.03 m ) 2 [73.1(109) N /m 2]
Fac= 1.216Fal - 165.9(10J)
(3)
Por consistencia, todos los datos numéricos se han expresado en tér minos de newtons, metros y grados Celsius. Al resolver simultánea m ente las ecuaciones 1 y 3, resulta Fac = -1 6 .4 kN
F.a = -1 2 3 kN
Resp.
El valor negativo para Fac indica que esta fuerza actúa en sentido opuesto al mostrado en la figura 4-206. En otras palabras, los postes de acero están en tensión y el poste de aluminio está en compresión.
P r o b le m a s
•
159
PROBLEMAS ;upetiene i y la cada ibui-
en la cenigua-
Tres barras hechas cada una de material diferen te están conectadas entre sí y situadas entre dos muros cuando la temperatura es 7’) = 12 °C. Determine la fuer za ejercida sobre los soportes (rígidos) cuando la tempe ratura es T2 = 18 °C. Las propiedades del material y el área de la sección transversal de cada barra están dadas en la figura. 4-70.
Una rejilla térmica consiste en dos placas de alu minio 6061-T6 con ancho de 15 mm y empotradas en sus extremos. Si la abertura entre ellas es de 1.5 mm cuando la temperatura es de 7"! = 25 °C, determine la tempera tura requerida para cerrar justamente la abertura. ¿Cuál es la fuerza axial en cada placa si la temperatura sube a Ti = 100 °C? Suponga que no ocurrirá flexión ni pandeo.
4-74. Acero
Cobre
Bronce
£ ac = 200 GPa crac = 12(10-*)/°C
£ br = 100 GPa £ cu = 120 GPa « br = 21(1 0 « )/°C a cu = 17(10-«)/oC j4cu = 5 1 5 m m 2
A ,c = 200 m m 2
( 1)
¿ b r= 4 5 0 m m 2
~ f~ ~ Í
tría na
- 300 m m -
Una rejilla térmica consiste en una placa AB de aluminio 6061-T6 y en una placa CD de magnesio Am 1004-T61, cada una con ancho de 15 mm y empotrada en su extremo. Si la abertura entre ellas es de 1.5 mm cuando la temperatura es de T] = 25 °C, determine la tempera tura requerida para cerrar justamente la abertura. ¿Cuál es la fuerza axial en cada placa si la temperatura sube a T2 = 100 °C? Suponga que no ocurrirá flexión ni pandeo.
4-75.
200 mm 100 mm P ro b . 4-70
(2) . desa su al, fio, te-
Una losa de concreto de alta resistencia de un ac ceso a un garaje tiene una longitud de 2 0 pies cuando su temperatura es de 20 °F. Si hay una abertura de 0.125 pulg entre uno de sus lados y la guarnición, determine la tem peratura requerida para cerrar la abertura. ¿Cuál es el esfuerzo de compresión en el concreto cuando la tempe ratura sube a l l O °F? 4-73.
La cinta de acero de un topógrafo va a usarse pa ra medir la longitud de una línea. La cinta tiene una sec ción transversal rectangular de 0.05 pulg por 0.2 pulg y una longitud de 100 pies cuando T\ = 60 °F y la tensión en la cinta es de 20 Ib. Determine la longitud verdadera de la línea si la lectura en la cinta es de 463.25 pies al usarla con una tensión de 35 Ib a Ti = 90 °C. El terreno en que se coloca es plano. a ac = 9.60(10_6)/°F, £ ac = 29(103) klb/pulg2. 4-71.
10 mm B C 1
10 mm ^
1
D
;
- 400 mm
600 mm
p-+
5 mm
idas P ro b s. 4-74/75
0.05 pulg P ro b . 4-71
i2]
W ] (3) i téríneaResp. ntido ostes sión.
La barra AB de bronce rojo C83400 y la barra BC de aluminio 2014-T6 están unidas en el collarín B y empotradas en sus extremos. Si no hay carga en las ba rras cuando T\ = 50 °F, determine el esfuerzo normal pro medio en cada una de ellas cuando T2 = 120 °F. ¿Cuánto se desplazará el collarín? El área transversal de cada miembro es de 1.75 pulg2. *4-76.
La barra compuesta tiene los diámetros y mate riales indicados. Está sostenida entre los soportes fijos cuando la temperatura es Tx = 70 °F. Determine el es fuerzo normal promedio en cada material cuando la tem peratura es de T i= 110 °F. *4-72.
304 pernos de acero inoxidable. \
2014-T6 Aluminio
^ C 86100 Bronce ‘ 12 pulg
!
D
_ B
------- 4 pies-------- - ■
C
4 pulg
6 p ie s-------------- -— 3 p ies— -
Prob. 4-72
- 2 pies
- 3 pies -
Prob. 4-76
160
•
CAPÍTULO 4 Carga axial
El cilindro de 50 mm de diámetro está hecho de magnesio Am 1004-T61 y se coloca en la prensa cuando la tem peratura es T, = 2 0 °C. Si los pernos de acero ino xidable 304 de la prensa tienen cada uno un diám etro de 10 mm y apenas aprietan al cilindro con fuerza despre ciable contra los cabezales rígidos, determ ine la fuerza en el cilindro cuando la tem peratura se eleva a T2 = 130 °C. 4-77.
El cilindro de diámetro de 50 mm de diám etro es tá hecho de magnesio Am 1004-T61 y se coloca en la pren sa cuando la tem peratura es T\ = 15 °C. Si los pernos de acero inoxidable 304 de ¡a prensa tienen cada uno un diá m etro de 10 mm y apenas aprietan al cilindro con fuerza despreciable contra los cabezales rígidos, determine la tem peratura a la que el esfuerzo normal promedio en el aluminio o en el acero resulta ser de 12 MPa. 4-78.
P rob. 4-79
La barra central CD del conjunto se calienta de T\ = 30 °C a T2 = 180 °C por medio de una resistencia eléctrica. A la tem peratura inferior T h el espacio entre C y la barra rígida es de 0.7 mm. D eterm ine la fuerza en las barras A B y EF causada por el incremento de tem pera tura. Las barras A B y EF son de acero y cada una tiene un área transversal de 125 mm2. CD es de aluminio y tie ne un área transversal de 375 mm2. £ ac = 200 GPa, Ea\ = 70 GPa y a al = 2 3 ( 1 0 “6)/°C. *4-80.
La barra central CD del conjunto se calienta de Tx = 30 °C a T2 = 180 °C por medio de una resistencia eléctrica. También, las dos barras extremas A B y EF se calientan de T x = 30° a T2 = 50 °C. A la tem peratura in ferior T\ , el espacio entre C y la barra rígida es de 0.7 mm. Determine la fuerza en las barras A B y EF causada por el incremento de temperatura. Las barras A B y EF son de acero y cada una tiene un área transversal de 125 mm2. CD es de aluminio y tiene un área transversal de 375 mm2. Eac = 200 GPa, £ al = 70 GPa, a ac = 12(10"6)/°C y a a, = 23(10 ~6 )/°C.
4-81.
100 mm
P robs. 4-77/78
0.7 mm
El conjunto consiste en un cilindro de aluminio 2014-T6 con diám etro exterior de 200 mm y diámetro in terior de 150 mm junto con un cilindro concéntrico sóli do interior de magnesio Am 1004-T61 con diám etro de 125 mm. Si la fuerza de agarre en los pernos A B y CD es de 4 kN cuando la tem peratura es T x = 16 °C, determ i ne la fuerza en los pernos cuando la tem peratura sube a T2 = 48 °C. Suponga que los pernos y los cabezales son rígidos. 4-79.
300 mm
Probs. 4-80/81
P ro b le m as
Las tres barras están hechas de acero A-36 y for man una armadura conectada por pasadores. Si ésta se construye cuando T\ = 50 °F, determine la fuerza en ca da barra cuando T2 = 110 °F. Cada barra tiene un área transversal de 2 pulg2.
4-82.
Las tres barras están hechas de acero A-36 y for man una armadura conectada por pasadores. Si ésta se construye cuando T\ = 50 °F, determine el desplazamien to vertical del nodo A cuando T2 = 150 °F. Cada barra tiene área transversal de 2 pulg2. 4-83.
•
161
La barra tiene un área transversal A, longitud L, módulo de elasticidad E y coeficiente de dilatación tér mica a. La temperatura de la barra cambia uniformemen te desde una temperatura TA en A hasta una temperatu ra TB en B. de modo que en cualquier punto x a lo largo de la barra, T = TA + x(TB —TA)/L. Determine la fuer za que la barra ejerce sobre las paredes rígidas. Inicial mente no se tiene ninguna fuerza axial en la barra. 4-85.
—
1
4
A
B TA
Tb P ro b . 4-85
P robs. 4-82/83
La barra metálica tiene un espesor t y un ancho w y está sometida a un gradiente de temperatura de T\ a T2 (7] < T2). Esto causa que el módulo de elasticidad del material varíe linealmente de £[ en la parte superior a un valor menor E2 en el fondo de la barra. En consecuencia, en cualquier posición vertical y, E = [{E2 — E x)/w] y + E\. Determine la posición d donde debe aplicarse la fuer za axial P para que la barra se alargue uniformemente en toda su sección transversal. 4-86.
La barra está hecha de acero A-36 y tiene un diá metro de 0.25 pulg. Si los resortes se comprimen 0.5 pulg cuando la temperatura de la barra es T = 40 °F, determi ne la fuerza en la barra cuando su temperatura es T = 160 °F. *4-84.
k = 1000 lb/pulg
k = 1000 lb/pulg
4 pies
Prob. 4-84
162
4.7
•
CAPITULO 4 Carga axial
Concentraciones de esfuerzos En la sección 4.1 se señaló que cuando una fuerza axial se aplica a un miembro, se genera una compleja distribución de esfuerzos dentro de una región localizada alrededor del punto de aplicación de la carga. Ta les distribuciones típicas del esfuerzo se m uestran en la figura 4-1. No sólo bajo cargas concentradas aparecen complejas distribuciones del es fuerzo, sino también en secciones donde el área de la sección transver sal cambia. Por ejemplo, considere la barra en la figura 4-21 a, que está sometida a una carga axial P. Puede verse aquí que las líneas horizon tales y verticales de la retícula asumen un patrón irregular alrededor del agujero centrado en la barra. El esfuerzo normal máximo en la barra ocu rre en la sección a-a, que coincide con la sección de área transversal más pequeña. Si el material se comporta de m anera elástica lineal, la distribu ción del esfuerzo que actúa en esta sección puede determ inarse a partir de un análisis basado en la teoría de la elasticidad o bien experim ental mente, midiendo la deformación unitaria normal en la sección a-a y luego calculando el esfuerzo usando la ley de Hooke, u = Ee. Independiente m ente del método usado, la forma general de la distribución del esfuerzo será como la m ostrada en la figura 4-216. D e m anera similar, si la barra tiene una reducción de su sección transversal con filetes en la zona de transición, figura 4-22a, entonces de nuevo, el esfuerzo normal máximo en la barra ocurrirá en la sección transversal más pequeña, sección a-a, y la distribución del esfuerzo será como la mostrada en la figura 4-22b.
a Sin distorsión
Distorsionada (a)
Distribución promedio del esfuerzo (c)
Fig. 4-21
S ección 4.7
Concentraciones de esfuerzos
•
163
En los dos casos anteriores, el equilibrio por fuerzas requiere que la magnitud de la fuerza resultante desarrollada por la distribución del es fuerzo sea igual a P. En otras palabras, P = \ a dA
(4-6)
Como se estableció en la sección 1.4. esta integral representa gráficamen te el volumen bajo cada uno de los diagramas de distribución del esfuer zo mostrados en las figuras 4-216 y 4-226. Además, el equilibrio debido a los momentos, requiere que cada distribución del esfuerzo sea simétrica sobre la sección transversal, de manera que P pase por el centroide de ca da volumen. Sin embargo, en la práctica, la distribución real del esfuerzo no tiene que determinarse; sólo el esfuerzo máximo en esas secciones debe ser co nocido para poder diseñar el miembro cuando se aplique la carga P y se genere este esfuerzo. En los casos en que cambia la sección transversal, como en los casos vistos antes, valores específicos del esfuerzo normal má ximo en la sección crítica pueden determinarse por medio de métodos ex perimentales o por medio de técnicas matemáticas avanzadas usando la teoría de la elasticidad. Los resultados de esas investigaciones se repor tan por lo regular en forma gráfica usando un fa cto r K de concentración de esfuerzos. Definimos K como la razón del esfuerzo máximo al esfuer zo promedio que actúa en la sección transversal más pequeña; esto es,
Las concentraciones de esfuerzos se pre sentan a menudo en las esquinas agudas de maquinaria pesada. Los ingenieros pueden mitigar estos efectos usando placas atiesadoras soldadas a las esquinas.
(4-7)
Si se conoce K y si el esfuerzo normal promedio se ha calculado a partir de <7 prom = P / A. donde A es el área transversal más pequeña, figuras 4 21c y 4-22c, entonces de la ecuación anterior, el esfuerzo máximo en la sección transversal es
■V P -+
°m áx
jr Distribución real del esfuerzo (b) Sin distorsión
P*+
s
1
J
Distorsionada
Distribución promedio del esfuerzo
(a)
(c)
164
•
CAPÍTULO 4 Propiedades mecánicas de los materiales
P
P
(a)
► P
P ■*
P
En todas las esquinas de esta losa ha ocurri do agrietamiento del concreto debido a su contracción al ser curado. Esas concentra ciones de esfuerzos pueden evitarse dándo le forma circular al agujero.
Los valores específicos de K se reportan generalm ente en forma grá fica en manuales relacionados con el análisis de esfuerzos. Ejemplos de estas gráficas se dan en las figuras 4-24 y 4-25, respectivamente.* En par ticular observe que K es independiente de las propiedades del material de la barra: más bien, depende sólo de la geometría y de! tipo de discon tinuidad de ésta. Cuando el tam año r de la discontinuidad disminuye, la concentración del esfuerzo aumenta. Por ejemplo, si una barra requiere un cambio en su sección transversal, se ha determ inado teóricam ente que una esquina aguda, figura 4-23«, produce un factor de concentra ción de esfuerzo mayor de 3. En otras palabras, el esfuerzo norm al máxi mo será tres veces mayor que el esfuerzo normal promedio en la sección transversal más pequeña. Sin embargo, éste puede reducirse a, digamos, 1.5 veces introduciendo un filete, figura 4-23b. Puede conseguirse una reducción aún mayor por medio de pequeñas ranuras o por agujeros si tuados en la transición, figuras 4-23c y 4-23d. En todos estos casos un buen diseño ayudará a reducir la rigidez del material que rodea a las es quinas, de modo que tanto la deformación unitaria como el esfuerzo se distribuyan con más suavidad sobre la barra. Los factores de concentración de esfuerzos dados en las figuras 4-24 y 4-25 se determ inaron sobre la base de una carga estática, con la hipótesis de que el esfuerzo en el material no excede el límite de proporcionalidad. Si el material es m uy frágil, el límite de proporcionalidad puede estar en el esfuerzo de ruptura y, por tanto, la falla comenzará en el punto de con centración del esfuerzo cuando se haya alcanzado el límite de proporcio nalidad. En esencia, lo que sucede es que comienza a formarse una grie ta en ese punto y se desarrolla una concentración del esfuerzo más alta en la punta de esta grieta. Esto, a su vez, ocasiona que la grieta progre se en la sección transversal, resultando una fractura súbita. Por esta ra zón, es muy im portante usar factores de concentración de esfuerzos en el diseño cuando se usan materiales frágiles. Por otra parte, si el material es dúctil y está sometido a una carga estática, los ingenieros desprecian por lo general el uso de factores de concentración de esfuerzos puesto que cualquier esfuerzo que exceda al límite de proporcionalidad no provoca rá una grieta. En cambio, el material tendrá una resistencia de reserva de bido a la fluencia y al endurecimiento por deformación. En la siguiente sección veremos los efectos causados por este fenómeno. Las concentraciones de esfuerzo son también la causa de muchas fallas en miembros estructurales o en elementos mecánicos sometidos a cargas de fatiga. En estos casos, una concentración de esfuerzos ocasionará que el material se agriete cuando el esfuerzo exceda el límite de fatiga del m a terial. sin im portar que éste sea dúctil o frágil. Lo que sucede es que el m aterial situado en la punta de la grieta permanece en un estado frágil y por tanto, la grieta continúa creciendo, conduciendo a una fractura pro gresiva. Por consiguiente, los ingenieros implicados en el diseño de tales miembros deben buscar maneras de limitar la cantidad de daño que pue de resultar debido a la fatiga.
*Vea L ipson. C. y Juvinall. R . C., H a n d b o o k o f Stress a n d Strength, M acm illan. 1963.
S ecció n
4.7 Concentraciones de esfuerzos
h Fig. 4-24
PUNTOS IMPORTANTES • Las concentraciones de esfuerzos ocurren en secciones donde el área transversal cambia repentinam ente. E ntre más severo es el cam bio, mayor es la concentración de los esfuerzos. • Para diseño o análisis, sólo es necesario determ inar el esfuerzo máximo que actúa sobre el área con sección transversal más pe queña. Esto se hace usando un factor de concentración de esfuer zos, /í, que ha sido determ inado experim entalm ente y es sólo una función de la geometría del espécimen. • Normalmente la concentración de esfuerzos en un espécimen dúc til sometido a una carga estática no tendrá que ser considerado en el diseño; sin embargo, si el material es frágil, o está someti do a cargas de fatiga, entonces las concentraciones de esfuerzos se vuelven importantes.
Fig. 4-25
•
165
166
•
CAPÍTULO 4 Carga axial
E J E M P L O Una barra de acero tiene las dimensiones mostradas en la figura 4-26. Si el esfuerzo permisible es <7 perm = 16.2 klb/pulg2, determ ine la máxima fuerza axial P que la barra puede soportar. p
p Fig. 4-26
Solución Como se tiene un filete del tipo mostrado, el factor de concentración de esfuerzos puede determinarse usando la gráfica en la figura 4-24. Los parám etros geométricos necesarios son ¿ , M f H Ü , 0.50 n 1 pulg w = h
2 1
pulg = pulg
Entonces, de la gráfica,
a : = 1.4 Calculando el esfuerzo normal promedio en la sección transversal más pequeña, tenemos:
prum
(1 pulg)(0.5 pulg)
= 2P
Aplicando la ecuación 4-7 con
¿ '•°rprom
16.2 k lb = \ A{2P) P = 5.79 klb
Resp
S e c c ió n 4 .7
4.14
E J E M P L O
La barra de acero mostrada en la figura 4-27 está sometida a una car ga axial de 80 kN. Determ ine el esfuerzo normal máximo desarrolla do en la barra así como el desplazamiento de un extremo de la barra respecto al otro. El acero tiene un esfuerzo de fluencia a Y = 700 MPa y un £ ac = 200 GPa.
. A
40 mm
B 80 kN 10 mm
Fig. 4-27
Solución Esfuerzo norm al máximo. Por inspección, el esfuerzo normal máxi mo se presenta en la sección transversal más pequeña, donde comienza el filete, en B o en C. El factor de concentración de esfuerzos se lee en la figura 4-23. Se requiere: r _ h
6 2 0
mm _ mm
w _ 40 mm _ ^ h 2 0 mm
’
Entonces, K = 1.6. El esfuerzo máximo es entonces: P °máx
K—
A
80(103) N 1.6
( 0 . 0 2 m )( 0 . 0 0 1 m)
= 640 MPa
Resp.
Note que el material permanece elástico, ya que 640 MPa < aY = 700 MPa. Desplazamiento. Despreciaremos aquí las deformaciones localiza das que rodean a la carga aplicada y al cambio brusco en la sección transversal del filete (principio de Saint-Venant). Tenemos: _ ^ P L 8a / d - 2 j ^ r ¿ AE
J
80(103) N (0.3m ) { (0.04 m)(0.01 m)[200(109) N /m 2] 80(103) N (0.8m ) 4-
(0.02 m)(0.01 m)[200(109) N /n r a a / o = 2.20 mm
Resp.
Concentraciones de esfuerzos
•
167
168
•
*4.8
CAPÍTULO 4 Carga axial
Deformación axial inelástica
L a fa lla d e e s te tu b o d e a c e ro s o m e tid o a p re sió n o c u rrió en e l á r e a tra n s v e rs a l m ás p e q u e ñ a , q u e es a tra v é s d el o rificio . N o te c ó m o , a n te s d e la fra c tu ra , el m a te ria l q u e r o d e a la su p e rfic ie f ra c tu r a d a se d e fo rm ó .
Hasta ahora hemos considerado sólo cargas que ocasionan que el m a terial de un miembro se comporte elásticamente. Sin embargo, a veces un miembro puede ser diseñado de manera que la carga ocasione que el material fluya y adquiera por consiguiente deformaciones perm anen tes. Tales miembros suelen fabricarse con un metal muy dúctil como el acero recocido al bajo carbono, que tiene un diagrama esfuerzo-defor mación unitaria similar al de la ñgura 3-6 y que puede modelarse como se muestra en la figura 4-286. A un material que exhibe este com porta miento idealizado se le denomina elástico-perfectamente plástico o elastoplástico. Para ilustrar físicamente cómo tal material se comporta, consideremos la barra en la figura 4-28«, que está sometida a la carga axial P. Si la car ga genera un esfuerzo elástico cr = en la barra, entonces por equilibrio se requiere que, de acuerdo con la ecuación 4-6, P = f a 1 d A = a i A. Además el esfuerzo cr¡ genera en la barra la deformación unitaria ej, como se indica en el diagrama esfuerzo-deformación unitaria, figura 4-286. Si P se incrementa ahora hasta Pp, de manera que ocasione que el material flu ya, esto es, a = a Y, entonces de nuevo Pp - fcrY d A = crYA. La carga Pp se denomina carga plástica, ya que representa la carga máxima que pue de ser soportada por un material elastoplástico. Para este caso, las defor maciones unitarias no están definidas de m anera única. Más bien, en el instante en que se alcanza crY, la barra está primero sometida a la defor mación unitaria de fluencia eY. figura 4-286, después de lo cual la barra continuará fluyendo (o alargándose) de manera que se generan las defor maciones unitarias e2. luego e3, etc. Como nuestro “m odelo” del material exhibe un comportamiento perfectamente plástico, este alargamiento con tinuará indefinidamente sin incremento de la carga. Sin embargo, en rea lidad el material em pezará,después de alguna fluencia, a endurecerse por deformación de m anera que la resistencia adicional que alcanza detendrá cualquier deformación adicional. En consecuencia, cualquier diseño ba sado en este comportamiento será seguro, ya que el endurecimiento por deformación proporciona el potencial para que el material soporte una carga adicional en caso de que sea necesario.
P
Fig. 4-28
S ección 4.8
[ mai/eces ; que
m en no el leforcomo >ortaelas-
Consideremos ahora el caso de una barra que tenga un agujero como se muestra en la figura 4-29«. Cuando la magnitud de P se incrementa, se presenta una concentración de esfuerzos en el material cerca del agujero, a lo largo de la sección a-a. El esfuerzo aquí alcanzará un valor máximo de, digamos, crmáx = a¡ con una deformación unitaria elástica correspon diente de valor eb figura 4-296. Los esfuerzos y las deformaciones unita rias correspondientes en otros puntos a lo largo de la sección transversal serán menores, como se indica en la distribución del esfuerzo mostrada en la figura 4-29c. Com o es de esperarse, el equilibrio requiere que P = f a dA. En otras palabras, P es geom étricam ente equivalente al “volumen” contenido dentro de la distribución del esfuerzo. Si la carga se incrementa ahora a P', de manera que crmáx = crY, entonces el material co menzará a fluir hacia afuera desde el agujero, hasta que la condición de equilibrio P' = Jcr d A se satisfaga, figura 4-29í/. Como se ve, esto produ ce una distribución del esfuerzo que tiene geométricamente un mayor “vo lum en” que el mostrado en la figura 4-29c. Un incremento adicional de carga ocasionará que el material eventualmente fluya sobre toda la sección transversal hasta que ninguna carga mayor pueda ser soportada por la barra. Esta carga plástica Pp se muestra en la figura 4-29e y puede calcu larse a partir de la condición de equilibrio: Pp —
cry d A = u y A
Aquí, cry es el esfuerzo de fluencia y A es el área de la sección transver sal de la barra en la sección a-a. Los siguientes ejemplos ilustran numéricamente cómo se aplican esos conceptos a otros tipos de problemas en que el material se comporta elastoplásticamente.
Deformación axial inelástica
♦ 169
170
.
CAPÍTULO 4 Carga axial
E J E M P L O Dos alambres de acero se usan para levantar el peso de 3 klb, figura 4-30a. El alambre A B tiene una longitud no deformada de 20.00 pies y el alambre A C tiene una longitud no deform ada de 20.03 pies. Si ca da alambre tiene un área transversal de 0.05 pulg 2 y el acero puede considerarse elástico-perfectamente plástico, como se muestra en la grafica a - e en la figura 4-306, determine la fuerza y alargamiento en cada alambre. 20.00 pies
20.03 pies
Solución Por inspección, el alambre A B comienza a tom ar la carga cuando el gancho se levanta. Sin embargo, si este alambre se alarga más de 0.03 pies, la carga es entonces tomada por ambos alambres. Para que esto ocurra, la deformación unitaria en el alambre A B debe ser: «„» 2 0
(a)
pies
- 0.0015
que es m enor que la deformación unitaria elástica máxima, eY = 0.0017, figura 4-306. Además, el esfuerzo en el alambre A B cuando esto sucede puede determ inarse m ediante la figura 4-306, por propor ción; esto es, 0.0017 50 klb/pulg 2
0.0015 crAB
(tab ~ 44.12 klb/pulg 2 La fuerza en el alambre es entonces: Fab = °
ab
A
= (44.12 klb/pulg2) (0.05 pie2) = 2.21 klb
Como el peso por soportarse es de 3 klb, podemos concluir que am bos alambres deben usarse para soportarlo. Una vez que el peso está soportado, el esfuerzo en los alambres de pende de la deformación unitaria correspondiente. Hay tres posibili dades: que la deformación unitaria en ambos alambres sea elástica, que el alambre A B esté deform ado plásticamente mientras que el alambre A C esté deformado elásticamente o que ambos alambres estén defor mados plásticamente. Comenzaremos suponiendo que ambos alambres permanecen elásticos. Por inspección del diagrama de cuerpo libre del peso suspendido, figura 4-30c, vemos que el problem a es estáticamen te indeterminado. La ecuación de equilibrio es:
cr(klb)
+ Í 2 .F. =
0
;
TAb + Tac - 3 klb = 0
(1)
T ab . T a c
e(pulg/pulg) 0.0017 (b)
(c)
Fig. 4-30
S ección 4.8
Deformación axial ¡nelástica
Como AC es 0.03 pie más largo que A B , vemos en la figura 4-30rf que la compatibilidad en los desplazamientos de los extremos B y C requiere que: SAb = 0.03 pie + SAc
(2)
El módulo de elasticidad, figura 4-306, es Eac = 50 klb/pulg2/0.0017 = 29.4(103) klb/pulg2. Como éste es un análisis elástico lineal, la rela ción carga-desplazamiento está dada por S = P L /A E , por lo que: 7 ^(2 0 .0 0 pies) (12 pulg/pie) (0.05 pulg2)[29.4(103) klb/pulg2j
7’/4C(20.03 pies)(12 pulg/pie) = 0.03 pie (12 pulg/pie) +
(005 pulg2)[29.4(103) klb/pulg2]
20.00Tab = 44.11 + 20.03TAC
(3)
Resolviendo las ecuaciones 1 y 3, obtenemos: Tab = 2.60 klb Tac = 0.400 klb El esfuerzo en el alambre A B es entonces: 2.60 klb 0.05 pulg 2
= 52.0 klb/pulg 2
Este esfuerzo es mayor que el esfuerzo elástico máximo permisible (a y = 50 klb/pulg2) por lo que el alambre A B se plastifica y soporta su carga máxima de: TAb ~ 50 klb/pulg 2 (0.05 pulg2) = 2.50 klb
Resp.
De la ecuación 1, Tac = 0-500 klb
Resp.
Advierta que el alambre AC permanece elástico, ya que el esfuerzo en el alambre aAC = 0.500 klb/0.05 pulg 2 = 10 klb/pulg 2 < 50 klb/pulg2. La deformación unitaria elástica correspondiente se determina por pro porción, figura 4-306; esto es, e AC
10 klb/pulg 2
0.0017 50 klb/pulg 2
eAC = 0.000340 El alargamiento de A C es entonces: 8ÁC = (0.000340)(20.03 pies) = 0.00681 pie
Resp.
Aplicando la ecuación 2, el alargamiento de A B es entonces: 8Ab = 0.03 pie + 0.00681 pie = 0.0368 pie
Resp.
•
171
172
•
CAPÍTULO 4 Carga axial
E J E M P L O La barra en la figura 4-31a está hecha de un acero con comportamien to elástico-perfectamente plástico con a Y = 250 MPa. Determine (a) el valor máximo de la carga P que puede aplicársele sin que el acero fluya y (b) el valor máximo de P que la barra puede soportar. Esboce la distribución del esfuerzo en la sección crítica para cada caso. Solución
Parte (a). Cuando el material se comporta elásticamente, debemos usar un factor de concentración de esfuerzos, determ inado con ayuda 40 mm - ■ - T.
.
_ .._ J
“o A
l
i
r h
4 mm = 0.125 (40 mm — 8 mm)
w h
40 mm = 1.25 (40 mm - 8 mm)
'
£ 4 mm
-> »
2 mm
La carga m áxima que no ocasiona fluencia, se presenta cuando amix = ay. El esfuerzo normal promedio es a Y = P /A . Usando la ecua ción 4-7, tenemos:
(a)
áx
^ ^ p i'o m -
25Q(106) Pa = 1.75
(b)
PY
l
(c) Fig. 4-31
Oy
(0.002 m)(0.032 m)
= 9.14 kN
Resp.
Esta carga se ha calculado usando la sección transversal más pequeña. La distribución resultante del esfuerzo se muestra en la figura 4-316. Por equilibrio, el “volumen” contenido dentro de esta distribución de be ser igual a 9.14 kN. Parte (b). La carga máxima soportada por la barra requiere que todo el material en la sección transversal más pequeña fluya. Por tanto, con forme P crece hacia la carga plástica Pp, se cambia gradualmente la dis tribución del esfuerzo del estado elástico mostrado en la figura 4-316 al estado plástico mostrado en la figura 4-31c. Se requiere: ay = 250(106) Pa =
(0.002 m ) (0.032 m)
Pp = 16.0 kN
Resp.
Aquí, Pp es igual al “volumen" contenido dentro de la distribución del esfuerzo, que en este caso es Pp = a YA.
S ección 4.9
*4.9
Esfuerzo residual
Si un miembro cargado axialmente o grupo de tales miembros forma un sistema estáticamente indeterminado que puede soportar cargas tanto de tensión como de compresión, entonces las cargas externas excesivas que causan fluencia del material generarán esfuerzos residuales en los miembros cuando dichas cargas sean retiradas. La razón para esto tiene que ver con la recuperación elástica del m aterial, que ocurre durante la descarga. Por ejemplo, consideremos un miembro prismático hecho de un material elastoplástico que tenga el diagrama esfuerzo-deformación O A B , como el mostrado en la figura 4-32. Si una carga axial produce un esfuerzo sY en el material y una deformación unitaria plástica corres pondiente ec, entonces cuando la carga se retira, el material responderá elásticamente y seguirá la línea CD para recuperar algo de la deforma ción plástica. Una recuperación total a esfuerzo cero en el punto O' se rá sólo posible si el miembro es estáticamente determinado, ya que las reacciones de los soportes del miembro deben ser cero cuando se reti ra la carga. Bajo estas circunstancias, el miembro se deform ará perm a nentemente de modo que la deformación unitaria perm anente en el miembro es eQ-. Sin embargo, si el miembro es estáticamente indetermi nado, retirar la carga externa ocasionará que las fuerzas en los soportes respondan a la recuperación elástica CD. Como estas fuerzas impiden que el miembro se recupere plenamente, inducirán esfuerzos residuales en el miembro. Para resolver un problem a de esta clase, el ciclo completo de carga y descarga del miembro puede considerarse como la superposición de una carga positiva (acción de carga) sobre una carga negativa (acción de descarga). La acción de cargar, de O a C, conduce a una distribución plás tica del esfuerzo, mientras que la acción de descargar a lo largo de CD conduce sólo a una distribución elástica del esfuerzo. La superposición requiere que las cargas se cancelen; sin embargo, las distribuciones de es fuerzo no se cancelarán y, por tanto, quedarán presentes esfuerzos resi duales. El siguiente ejemplo ilustra numéricamente estos conceptos.
o
Fig. 4-32
Esfuerzo residual
•
173
174
•
CAPÍTULO 4 Carga axial
La barra m ostrada en la figura 4-33« tiene un radio de 5 mm y está hecha de un material elástico-perfectamente plástico para el cual . Si se aplica una fuerza P = 60 kN a la barra y luego se retira, determ ine el esfuerzo residual en la barra y el desplazamiento perm anente del collarín en C. S o lu c ió n
El diagrama de cuerpo libre de la barra se muestra en la figura 4-33b. Por inspección, la barra es estáticamente indeterminada. La aplica ción de la carga P tendrá una de las tres siguientes consecuencias: que ambos segmentos AC y CB permanezcan elásticos, que AC se plastifique mientras CB permanece elástico o que AC y CB se plastifiquen.* Un análisis elástico, similar al visto en la sección 4.4, dará FA = 45 kN y Fb = 15 kN en los soportes. Sin embargo, esto conduce a un esfuer zo de: .. A
45 kN
C P= 60 kN
- H h r ------
aAC
= 573 MPa (compresión) > crY = 420 MPa
7r(0.005 m ) 2
300 mm-
100 mm
en el segmento AC, y
(a)
15 kN & CB ~
7t(0.005 m)
= 191 MPa (tensión)
en el segmento CB. Como el material en el segmento A C fluirá, su pondremos que A C se plastifica mientras que CB permanece elástico. Para este caso, la fuerza máxima posible generable en A C es: A
C p = 60 kN
B
3 <>*►Fb
(Fa ) y =
= 33.0 kN
(b)
y, por equilibrio de la barra, figura 4-33b, Fig. 4-33
F b = 60 kN - 33.0 kN = 27.0 kN
El esfuerzo en cada segmento de la barra es por tanto: a AC = a Y = 420 MPa (compresión) 27.0 kN &CB ~
7r (0.005 m)
= 344 MPa (tensión) < 420 MPa (OK)
Esfuerzo residual Para obtener el esfuerzo residual, es necesario también conocer la deformación unitaria en cada segmento debido a la carga. Como CB responde elásticamente, 8r
—
Fb L cb AE
(27.0 kN )(0.300 m) tt(0.005 m )2 [70(106) kN /m 2
= 0.001474 m
S ección 4.9
Esfuerzo residual
•
175
Así, e CB ~
8r
0.001474 m
L Cb
0.300 m
= +0.004913
También, como 8C es conocida, la deformación unitaria en AC es: 0.001474 m eAC —
0.100 m
-A C
= -0.01474
Por tanto, cuando se aplica P, el comportamiento esfuerzo-deformación unitaria para el material en el segmento CB se mueve de O a A ', figura 4-33c,y para el material en el segmento A C se mueve de O a B‘. Si se aplica la carga P en sentido opuesto, en otras palabras, si se retira la car ga, ocurre entonces una respuesta elástica y fuerzas opuestas de FA = 45 kN y Fb = 15 kN deben aplicarse a cada segmento. Como se calculó antes, esas fuerzas generan esfuerzos aAC = 573 MPa (tensión) y crCB = 191 MPa (compresión), y en consecuencia, el esfuerzo residual en ca da miembro es: ( a AC)r = -4 2 0 MPa + 573 MPa = 153 MPa ( o-C B ) r = 344 MPa - 191 MPa = 153 MPa
Resp. Resp.
Este esfuerzo de tensión es el mismo para ambos segmentos, lo que era de esperarse. Note también que el com portam iento esfuerzo-deformación unitaria para el segmento AC se mueve de B' a D' en la fi gura 4-33c. mientras que el comportamiento esfuerzo-deformación uni = -0 .0 0 6 0 taria para el segmento CB se mueve de A ' a C . e ._ = -0 .0 1 4 7 3 n
Desplazamiento permanente. unitaria residual en CB es: o-
70(109) Pa
420 344 * ^ \ 1
-/l'T
/
^*cs=(0004911
De la figura 4-33c, la deformación
153(106) Pa
c(M Pa)
B'
-4 2 0
= 0.002185 (C)
por lo que el desplazamiento perm anente de C es Se = e>CB^CB = 0.002185 (300 mm) = 0.656 mm<—
Resp.
Podemos también obtener este resultado determ inando la deforma ción unitaria residual e'AC en AC. figura 4-33c. Como la línea B'D' tie ne una pendiente E, entonces: 8a (420 + 153)106 Pa 8eAC = — = ------------ s r -------- = 0.008185 E 70(10 ) Pa Por tanto, e' Ac = eAC + 8eAC = -0.01474 + 0.008185 = -0.006555 Finalmente, 8C = e’ac L ac = -0.006555 (100 mm) = 0.656 mm
Resp.
*La posibilidad de q u e C B se plastifique an tes q u e A C , no p u ed e o cu rrir ya que cu an d o el p unto C se d efo rm a, la deform ación unitaria en A C (p o r ser éste m ás corto) siem p re será m ayor qu e la deform ación u n itaria e n CB.
i
(m m / tn m )
176
•
CAPÍTULO 4 Carga axial
PROBLEMAS 4-87. Determine el esfuerzo normal máximo desarrolla do en la barra cuando se halla sometida a una tensión de P = 8 kN.
4-90. Determine la fuerza axial máxima P que puede apli carse a la barra. La barra está hecha de acero y tiene un esfuerzo permisible de
*4-88. Si el esfuerzo normal permisible para la barra es crperm = 1 2 0 MPa, determ ine la fuerza axial máxima P que puede aplicarse a la barra.
4-91. Determine el esfuerzo máximo normal desarrolla do en la barra cuando ésta está som etida a una tensión P = 2 klb.
0.125 pulg
1.875 pulg
1.25 pulg
r = 0.25 pulg
0.75 pulg P robs. 4-87/88 P robs. 4-90/91
4-89. U na pieza está hecha de placa de acero de 0.25 pulg de espesor. Si se taladra un orificio de 1 pulg a través de su centro, determine el ancho aproxim ado w de la placa de modo que pueda soportar una fuerza axial de 3350 Ib. El esfuerzo permisible es
*4-92. U na placa de acero A-36 tiene un espesor de 12 mm. Si tiene filetes en B y C y = 150 MPa, deter mine la carga axial máxima P que puede soportar. Calcu le su alargamiento despreciando el efecto de los filetes.
3350 Ib
Prob. 4-89
Prob. 4-92
P ro blem a s
4-93. E n la figura se muestra la distribución del esfuer zo resultante a lo largo de la sección A B de una barra. A partir de esta distribución, determine la fuerza axial resul tante P aproximada aplicada a la barra. También, ¿cuál es el factor de concentración de esfuerzos para esta geom e tría?
•
177
E n la figura se muestra la distribución del esfuer zo resultante a lo largo de la sección A B de la barra. A par tir de esta distribución, determine la fuerza axial resultan te P aproximada aplicada a la barra. Además, ¿cuál es el factor de concentración de esfuerzos para esta geometría?
4-95.
0.5 pulg
10 nun
P ro b . 4-95
Prob. 4-93 El vastago de f 0 mm de diám etro de un perno de acero tiene un casquillo de bronce adherido a él. El diá metro exterior de este casquillo es de 20 mm. Si el esfuer zo de fluencia del acero es (cry)ac = 640 MPa, y el del bron ce (o-y-)br = 520 MPa, determ ine la magnitud de la carga más grande P que puede aplicarse al vastago. Suponga que los m ateriales son elásticos y perfectam en te plásticos. £ ac = 200 GPa, Ebr = 100 GPa. *4-96.
4-94. Se muestra la distribución resultante de esfuerzo sobre la sección A B de la barra. De esta distribución, de termine la fuerza P axial resultante aproximada aplicada a la barra. También, ¿cuál es el factor de concentración de esfuerzos para esta geometría?
P
Prob. 4-94
Prob. 4-96
178
•
CAPÍTULO 4 Carga axial
4-97. El vástago de 10 mm de diámetro de un perno de acero tiene un casquillo de bronce adherido a él. El diá m etro exterior de este casquillo es de 20 mm. Si el esfuer zo de fluencia del acero de (o>)ac = 640 MPa y el del bron ce (ov)br = 520 MPa, determine la magnitud de la carga elástica P más grande que puede aplicarse al conjunto. £ ac = 200 GPa, £ br = 100 GPa.
4-99. La barra tiene un área transversal de 1 pulg2. Si se aplica en B una fuerza P = 45 klb y luego se retira, deter mine el esfuerzo residual en las secciones A B y BC. try = 30 klb/pulg2.
Prob. 4-99
Prob. 4-97
4-98. El peso está suspendido de alambres de acero y alu minio, cada uno con la misma longitud inicial de 3 m y área transversal de 4 mm2. Si los materiales pueden suponerse elásticos y perfectam ente plásticos, con (oy)ac = 120 MPa y (°V)ai = 70 MPa. determine la fuerza en cada alambre cuando el peso es (a) 600 N y (b) = 720 N. £ a! = 70 GPa, £ ac = 200 GPa.
*4-100. Dos alam bres de acero, cada uno con un área transversal de 2 mm2, están unidos a un anillo en C, y lue go se estiran y se amarran entre los dos soportes A y B. La tensión inicial en los alambres es de 50 N. Si una fuerza ho rizontal P se aplica al anillo, determine la fuerza en cada alambre si P = 20 N. ¿Cuál es la fuerza más pequeña que debe aplicarse al anillo para reducir la fuerza en el alam bre CB a cero? Considere o y = 300 MPa y £ ac = 200 GPa.
B
2
Prob. 4-98
m
3m
Proh. 4-100
P r o b le m a s
4-101. U na carga distribuida se aplica a una viga rígida, la cual está soportada por tres barras com o se m uestra en la figura. Cada barra tiene un área en su sección trans versal de 1.25 pulg2 y está hecha de un material que tiene un diagrama esfuerzo-deformación unitaria que puede ser aproximado por los dos segmentos de línea que se mues tran. Si se aplica a la viga una carga de iv = 25 klb/pie, determine el esfuerzo en cada barra y el desplazamiento vertical de la viga rígida.
•
179
4-103.
Una viga rígida está soportada por tres postes A, B y C de igual longitud. Los postes A y C tienen un diá m etro de 75 mm y están hechos de aluminio, para el cual £ ai = 70 G Pa y («v)ai = 20 MPa. El poste B tiene un diá m etro de 20 mm y está hecho de latón, para el cual E\Món = 100 GPa y (oy)latón = 590 MPa. D eterm ine la magnitud más pequeña de P de modo que (a) sólo los postes A y C fluyan y que (b) todos los postes fluyan.
4-102. Una carga distribuida es aplicada a una viga rígi da, 1e cual está soportada por tres barras, como se mues tra en la figura. Cada barra tiene un área transversal de 0.75 pulg2 y está hecha de un material que tiene un diagra ma de esfuerzo-deformación unitaria que puede represen tarse aproximadamente por los dos segmentos de línea que se muestran. Determine la intensidad de la carga distribui da w necesaria para que la viga se desplace hacia abajo 1.5 pulg. C
B latón
al
[— 2 m —|— 2 m —j— 2 m —-j— 2 m —j
P ro b . 4-103 |-— 4 pies—+ —4 pies— j
*4-104. U na viga rígida está soportada por tres postes, A , B y C. Los postes A y C tienen un diám etro de 60 mm y están hechos de aluminio, para el cual Ea\ = 70 G Pa y (°Y)ai = 20 MPa. El poste B está hecho de latón, para el cual £ tal6n = 100 GPa y (oy))atón = 590 MPa. Si P = 130 kN, determine el diám etro más grande del poste B de modo que todos los postes fluyan al mismo tiempo.
P
r 1
B
Probs. 4-101/102
al |— 2 m
latón
C
— 2 m —j— 2 m —j— 2 m - |
Prob. 4-104
180
•
CAPÍTULO 4 Carga axial
4-105. Las tres barras que se muestran en la figura están unidas entre sí por un pasador y bajo la acción de la carga P. Si cada barra tiene un área A de sección transversal, una longitud L, y está hecha de un material elástico perfecta mente plástico, para el cual el esfuerzo de fluencia es a>, determine la carga más grande (carga última) que puede ser soportada por las barras, es decir, la carga P que oca siona que todas las barras fluyan. Además, ¿cuál es el des plazamiento horizontal del punto A cuando la carga alcan za su valor último? El módulo de elasticidad es E.
Resuelva el problema 4-106 si el diagrama esfuer zo-deformación unitaria está definido por er = ce3'2.
4-107.
cr-
Prob. 4-107
P ro b . 4-105
*4-108. La barra con diám etro de 2 pulg está em potrada en sus extremos y soporta la carga axial P. Si el material es elástico y perfectam ente plástico como se muestra en su diagrama esfuerzo-deformación unitaria, determ ine la carga P más pequeña necesaria para que fluyan ambos seg mentos A C y CB. Determine el desplazamiento perm anen te del punto C cuando se retira la carga. 4-109. Determine el alargamiento en la barra del proble ma 4-108 cuando tanto la carga P como los soportes son retirados.
4-106. Un material tiene un diagrama esfuerzo-deformación unitaria que puede describirse por la curva cr — ce12. D eterm ine la deflexión 5 del extremo de una barra hecha de este material si la barra tiene una longitud L, un área A en su sección transversal, y un peso específico y.
P <í--
--------- 2 p ie s--------- -
Prob. 4-106
B
C
A
------3 p ie s —
Probs. 4-108/109
------ -
REPASO DEL CAPÍTULO Cuando se aplica una carga en un punto de un cuerpo, ésta tien de a generar una distribución de esfuerzo dentro del cuerpo que resulta más uniformemente distribuida en regiones alejadas del punto de aplicación. A esto se le llama principio de Saint-Venant. El desplazamiento relativo en el extremo de un miembro axialmente cargado respecto al otro extremo se determ ina con ~LP (x) dx ------ — . Si una serie de fuerzas axiales externas constan8 = J0 AE tes sor aplicadas al miembro y A E es también constante, entonPL ces 8 = 2 — —■En las aplicaciones es necesario usar una conven/\C j ción de signos para la carga interna P y asegurarse que el mate rial no fluye, sino que permanece elástico lineal. La superposición de carga y desplazamiento es posible siempre que el material permanece elástico lineal y no ocurren cambios significativos en la geometría. Las reacciones en una barra estáticamente indeterminada pue den ser determ inadas usando las condiciones de equilibrio y com patibilidad que especifican el desplazamiento en los soportes. Esos desplazamientos son relacionados con las cargas usando las relaciones carga-desplazamiento, es decir, 8 = P L /A E . Un cambio de tem peratura puede ocasionar que un miembro he cho de un material homogéneo isotrópico cambie su longitud en 8 = a \T L . Si el miembro está confinado, este alargamiento pro ducirá esfuerzos térmicos en el miembro. Los agujeros y las transiciones bruscas en una sección transver sal genera concentraciones de esfuerzos. En el diseño, uno obtie ne el factor de concentración de esfuerzo K de una gráfica, que ha sido determ inada de experimentos. Este valor se multiplica en tonces por el esfuerzo promedio para obtener el esfuerzo máxi mo en la sección transversal, crmáx = /Cfjprom. Si la carga en una barra ocasiona que el material fluya, entonces la distribución de esfuerzo que se produce puede ser determ ina da de la distribución de la deformación unitaria y del diagrama esfuerzo-deformación unitaria. Para material perfectamente plás tico, la fluencia ocasionará que la distribución del esfuerzo en la sección transversal de un agujero o de una transición se em pare je y resulte uniforme. Si un miembro está restringido y una carga externa causa fluen cia, entonces cuando la carga es retirada, se tendrá un esfuerzo residual en el material.
182
•
CAPÍTULO 4 Carga axial
PROBLEMAS
DE
REPASO
4-110. Ei remache de acero de 0.25 pulg de diámetro, el cual se encuentra sometido a una tem peratura de 1500 °F conecta dos placas de modo que a esta tem peratura tie ne 2 pulg de longitud y ejerce una fuerza de agarre de 250 Ib entre las placas. Determ ine la fuerza aproximada de agarre entre las placas cuando el remache se enfría a 70 °F. Suponga en el cálculo que las cabezas del remache y las placas son rígidas. Considere a ac = 8(10 6)/°F. £ ac = 29(103) klb/pulg2. ¿Es el resultado una estimación conser vadora de la respuesta correcta? ¿Por qué sí o por que no?
2 pulg 1
i !
Prob. 4-110
Prob. 4-112
4-113. Una fuerza P se aplica a una barra compuesta de un material elástico y perfectam ente plástico. Cons truya una gráfica para mostrar como varía la fuerza en cada sección A B y B C (ordenada) según aum enta P (abs cisa). La barra tiene áreas transversales de 1 pulg2 en la región A B y de 4 pulg2 en región BC y a Y = 30 klb/pulg2.
Determine la fuerza P máxima axial que puede aplicarse a la placa de acero. El esfuerzo permisible es crperm = 21 klb/pulg2.
4-111.
Prob. 4-113
Prob. 4-111
Dos tubos de acero A-36, cada uno con un área transversal de 0.32 pulg2. están atornillados entre sí usan do una unión en B como se muestra. Originalmente el conjunto está ajustado de tal manera que no hay carga sobre los tubos. Si la unión se aprieta de manera que su tornillo, con avance de 0.15 pulg, experimenta dos vuel tas completas, determine el esfuerzo normal promedio desarrollado en los tubos. Suponga que la unión en B y los copies e n ^ y C son rígidos. Desprecie el tamaño de la unión. Nota: el avance ocasiona que los tubos, descar gados, se acorten 0.15 pulg cuando la unión gira una vuel ta entera.
4-114. La barra de aluminio 2014-T6 tiene un diámetro de 0.5 pulg y está ligeramente unida a los soportes rígi dos en A y B cuando T x — 70 °F. Si la tem peratura des ciende a T2 = —10 °F y se aplica una fuerza axial de P = 16 Ib al collarín rígido como se muestra, determine las reacciones en A y B.
*4-112.
Prob. 4-114
P r o blem a s de repaso
4-115. La barra de aluminio 2014-T6 tiene un diámetro de 0.5 pulg y está ligeramente unida a los soportes rígi dos en A y B cuando T¡ = 70°F. D eterm ine la fuerza P que debe aplicarse al collarín para que, cuando T — 0 °F, la reacción en B sea cero.
/i
•
183
4-118. La estructura consta de dos barras de acero A-36, A C y BD. unidas a la viga rígida A B con peso de 100 Ib. Determine la posición x para la carga de 300 Ib de modo que la viga permanezca en posición horizontal antes y después de aplicar la carga. Cada barra tiene un diáme tro de 0.5 pulg.
B
P ro b . 4-115
*4-116. El perno de acero tiene un diám etro de 7 mm y está dentro de una camisa de aluminio como se mues tra. La camisa tiene un diám etro interior de 8 mm y un diámetro exterior de 10 mm. La tuerca en A está ajusta da de manera que apenas apriete contra la camisa. Si la tuerca se aprieta media vuelta, determine la fuerza en el per no y en la camisa. El tornillo de cuerda simple del perno tiene un avance de 1.5 mm. Eac = 200 GPa y E a\ = 70 GPa. Ñola: el avance representa la distancia que la tuer ca avanza a lo largo del perno en una vuelta completa de la tuerca. 4-117. El perno de acero tiene un diám etro de 7 mm y está dentro de una camisa de aluminio como se muestra. La camisa tiene un diámetro interior de 8 mm y un diá metro exterior de 10 mm. La tuerca en A está ajustada de manera que apenas si aprieta contra la camisa. D eter mine la cantidad de vueltas que la tuerca en A debe gi rar para que la fuerza en el perno y en la camisa sea de 12 kN. El tornillo de cuerda simple en el perno tiene un avance de 1.5 mm. Eac = 200 GPa, £ a! = 70 GPa. Nota: el avance representa la distancia que la tuerca avanza a lo largo del perno en una vuelta com pleta de la tuerca.
A
P ro b . 4-118
4-119. Una junta está hecha de tres placas de acero A-36 que están soldadas entre sí. Determ ine el desplazamien to del extrem o A con respecto al extremo B cuando la junta está sometida a las cargas axiales que se indican. Cada placa tiene un espesor de 5 mm.
10 0
100 mm
Probs. 4-116/117
Prob. 4-119
mm
CAPITULO
T o r s ió n
OBJETIVOS DEL CAPÍTULO
En este capítulo estudiaremos los efectos al aplicar una carga torsional a un miem bro recto y largo, por ejemplo, una flecha o un tubo. Inicialmente consideraremos que el miembro tiene una sección transversal circular. Mostraremos cómo determi nar la distribución del esfuerzo dentro del miembro y el ángulo de torsión cuando el material se comporta de manera elástico-lineal y también cuando el com porta miento es inelástico. Se verá el análisis de flechas y tubos estáticamente indeter minados. y temas especiales como el de los miembros con secciones transversales no circulares. Finalmente, se dará una consideración particular a la concentración de esfuerzos y a los esfuerzos residuales causados por cargas torsionales.
5.1 Deformaciones por torsión de una flecha circular Un par de torsión es un momento que tiende a hacer girar a un miembro con respecto a su eje longitudinal. Su efecto es de interés primordial en el diseño de ejes o flechas de impulsión usadas en vehículos y en m aquina ria. Podemos ilustrar físicamente lo que sucede cuando un par de torsión se aplica a una flecha circular considerando que la flecha está hecha de un m aterial altam ente deformable tal como el hule, figura 5-la. Cuando se aplica el par, los círculos y líneas de rejillas longitudinales originalmente marcados sobre la flecha tienden a distorsionarse para formar el patrón m ostrado en la figura 5-1 b. Por inspección, la torsión hace que los círculos permanezcan como círculos y que cada línea de rejilla longitudinal se defor me convirtiéndose en una hélice que interseca a los círculos según ángu los iguales. También las secciones transversales en los extremos de la fle cha permanecen planas, esto es. no se alabean o comban hacia adentro ni hacia afuera, y las líneas radiales en estos extrem os permanecen rectas durante la deformación, figura 5-16. A partir de estas observaciones pode mos suponer que si el ángulo de rotación es pequeño, la longitud y el radio de la flecha perm anecerán sin alteración.
186 • CAPÍTULO 5 Torsión
Antes de la deformación (a)
Los círculos permanecen circulares Las líneas longitudinales se vuelven hélices
Así pues, si la flecha está fija en un extremo como se muestra en la fi gura 5-2 y se aplica un par de torsión en su otro extremo, el plano som breado se distorsionará en una forma oblicua como se muestra. Aquí se ve que una línea radial ubicada en la sección transversal a una distancia x del extrem o fijo de la flecha girará un ángulo (x). El ángulo 4>{x), así definido, se llama ángulo de torsión. Depende de la posición de x y varia rá a lo largo de la flecha, como se muestra. Para entender cómo esta distorsión deforma el material, aislaremos aho ra un elemento pequeño situado a una distancia radial p (rho) del eje de la flecha, figura 5-3. Debido a la deformación, figura 5-2, las caras frontal y posterior del elemento sufrirán una rotación. La que está en x gira 4>{x), y la que está en x + Ax gira <¿>(x)+ A>. Como resultado, la diferencia de estas rotaciones, A(¿>, ocasiona que el elem ento quede sometido a una de formación unitaria cortante. Para calcular esta deformación unitaria, ob serve que antes de la deformación el ángulo entre los bordes A C y A B es de 90°; sin embargo, después de la deformación, los bordes del elemento son A D y AC y el ángulo entre ellos es 6'. De la definición de deform a ción unitaria cortante, ecuación 2-4, tenemos: y = x2 —Clím ff — A n lo largo d e C A B — A a lo targo d e t í A
Las líneas radiales permanecen rectas Después de la deformación (b)
Fig. 5-1
Plano deformado
Plano sin deformar
N o te la d e fo rm a c ió n del e le m e n to r e c ta n g u la r c u a n d o e s ta b a r ra d e h u le e s s o m e tid a a u n p a r d e to rsió n .
El ángulo de torsión <¿(.v) se incrementa conforme x aumenta, Fig. 5-2
S ección 5.1
fimse eia así :iahode
ital M, i de cieob3 es :nto ma-
Deformaciones por torsión de una flecha circular •
187
Este ángulo,y. está indicado sobre el elemento. Puede relacionarse con la longitud A.v del elemento y con la diferencia en el ángulo de rotación, A0, entre las caras sombreadas. Si A.v -» dx y A-> d, tenemos entonces: BD = pdcj) = dx y Por tanto,
Plano deformado
d
(5-D
Puesto que dx y d é son iguales para todos los elementos situados en pun tos dentro de la sección transversal en x, entonces d é /d x es constante y la ecuación 5-1 establece que la magnitud de la deformación unitaria cor tante para cualquiera de estos elementos varía sólo con su distancia ra dial p desde el eje de la flecha. En otras palabras, la deformación unitaria cortante dentro de la flecha varía linealmente a lo largo de cualquier lí nea radial, desde cero en el eje de la flecha hasta un máximo ymáx en su periferia, figura 5-4. Como d/dx = y/p = ymáx/c>entonces:
sin deformar
Deformación unitaria cortante del elemento
y = ( 7 ) y.™ Los resultados obtenidos aquí son también válidos para tubos circu lares. Dependen sólo de las hipótesis con respecto a las deformaciones mencionadas arriba.
Fig.S-3
La deformación unitaria cortante del material crece linealmente con p, o sea,
y = (p/cb-míx Fig. 5-4
5.2
La fórmula de la torsión Si una flecha está sometida a un par de torsión externo, entonces, por equi librio, debe también desarrollarse un par de torsión interno en la flecha. En esta sección desarrollaremos una ecuación que relacione la distribu ción del esfuerzo cortante con el par de torsión interno resultante en la sección de una flecha o de un tubo circular. Si el material es elástico lineal, entonces es aplicable la ley de Hooke, t = G y y, en consecuencia, una variación lineal de la deformación uni taria cortante, como dijimos en la sección anterior, conduce a una varia ción lineal en el esfuerzo cortante correspondiente a lo largo de cualquier línea radial en la sección transversal. Por tanto, al igual que la variación de la deformación unitaria cortante en una flecha sólida, r variará desde cero en el eje longitudinal de la flecha hasta un valor máximo, Tm áx, en su periferia. Esta variación se muestra en la figura 5-5 sobre las caras fron tales de un núm ero selecto de elementos situados en una posición radial intermedia p y en el radio exterior c. Debido a la proporcionalidad de los triángulos, o bien usando la ley de Hooke ( r = G y) y la ecuación 5-2 [y = (p/c)ymáJ , podemos escribir que: (5-3) Esta ecuación expresa la distribución del esfuerzo cortante como \xn&fu n ción de la posición radial p del elemento; en otras palabras, define la dis tribución del esfuerzo en términos de la geometría de la flecha. Usándo la, aplicarem os ahora la condición que requiere que el par de torsión producido por la distribución del esfuerzo sobre toda la sección transver sal sea equivalente al par de torsión interno T en la sección, lo cual m an tiene a la flecha en equilibrio, figura 5-5. Específicamente, cada elemento
El esfuerzo cortante varía linealmente a lo largo de toda línea radial de la sección transversal
S ección 5.2
de área dA, situado en p, está sometido a una fuerza dF = r d A . El par de torsión producido por esta fuerza es d T = p (r d A ). Por tanto, para la sec ción transversal entera: r - |
= j^ (f
Tmáx
(5-4)
Puesto que rm¿x/c es constante,
La integral en esta ecuación depende sólo de la geometría de la flecha. Representa el momento polar de inercia del área de la sección transversal de la flecha calculado con respecto al eje longitudinal de la flecha. Sim bolizaremos este valor como J, y por tanto la ecuación anterior puede es cribirse en la forma más compacta,
(5-6) donde, Tmáx = esfuerzo cortante máximo en la flecha, el cual ocurre en la super ficie exterior T = par de torsión interno resultante que actúa en la sección transver sal. Este valor se determ ina por el método de secciones y la ecua ción de equilibrio de momentos con respecto al eje longitudinal de la flecha. J = momento polar de inercia del área de la sección transversal c — radio exterior de la flecha Usando las ecuaciones 5-3 y 5-6, el esfuerzo cortante en la distancia in term edia p puede ser determ inado a partir de una ecuación similar:
(5-7)
Cualquiera de las dos ecuaciones anteriores suele llamarse fórm ula de la torsión. Recordemos que se usa solamente cuando la flecha es circular y el material es homogéneo y se comporta de manera elástico-lineal, pues to que su obtención esta basada en el hecho de que el esfuerzo cortante es proporcional a la deformación unitaria cortante.
La fórmula de la torsión
• 189
190 • CAPITULO 5 Torsión
Flecha sólida. Si la flecha tiene una sección transversal circular sólida, el m omento polar de inercia J puede determinarse usando un elemento de área en forma de anillo diferencial o corona circular que tenga un es pesor dp y una circunferencia 2-n-p, figura 5-6. Para este anillo, dA = 2-rrp dp, de modo que: a
f C„3=A ~2rr\ ~ , J 1^4 = j C~2/o---P \2 ttp dp) p- dp = 277*1 - jp Jo
Jo
'
■
(5-8) Advierta que ./ es una propiedad geométrica del área circular y es siem pre positiva. Las unidades comunes usadas para ella son mm 4 o pulg4. Hemos mostrado que el esfuerzo cortante varía linealmente a lo largo de toda línea radial de la sección transversal de la flecha. Sin embargo, si un elem ento de volumen de material sobre la sección transversal es ais lado, entonces debido a la propiedad complementaria del cortante, esfuer zos cortantes iguales deben también actuar sobre cuatro de sus caras ad yacentes como se muestra en la figura 5-7a. Por consiguiente, no sólo el par interno de torsión T desarrolla una distribución lineal del esfuerzo cortante a lo largo de toda línea radial en el plano de la sección trans versal, sino también una distribución asociada del esfuerzo cortante a lo largo de un plano axial, figura 5-7b. Es interesante observar que, a cau sa de esta distribución axial de esfuerzo cortante, las flechas hechas de m adera tienden a rajarse a lo largo del plano axial cuando se las somete a un par de torsión excesivo, figura 5-8. Esto sucede debido a que la ma dera es un material anisotrópico. Su resistencia al corte paralelo a sus fi bras o granos, dirigida a lo largo del eje de la flecha, es mucho m enor que su resistencia perpendicular a las fibras, dirigida en el plano de la sección transversal.
El esfuerzo corlante varía linealmente a lo largo de toda línea radial de la sección transversal, (b)
Falla de una flecha de madera por torsión.
Fig. 5-7
Fig. 5-8
S ección 5.2
da. nto eslirp
La fórmula de la torsión
• 191
Flecha tubular. Si una flecha tiene una sección transversal tubular, con un radio interior c, y un radio exterior c0. entonces, según la ecuación 5-8, podremos determ inar su m omento polar de inercia restando J para una flecha de radio c, del calculado para una flecha de radio c„. El resultado es: 7r J = y té - 4)
(5-9)
em4
Al igual que en la flecha sólida, el esfuerzo cortante distribuido en el área de la sección transversal del tubo varía linealmente a lo largo de cualquier ,, j • i ren ai i r »' i i linea radial, figura 5-9a. Ademas, el esfuerzo cortante varia a lo largo ... oa una sobrecarga lo que condujo ao una ,,„o ° ° de tida un plano axial de igual manera, figura 5-9/). En la figura 5-9a se muestran fal)a caUsada por fluencia del material, ejemplos del esfuerzo cortante actuando sobre elementos de volumen tí picos.
irgo ;o, si aisúer>ad ío el erzo ansite a cauis de mete i ma us firque xión
Esfuerzo torsional máximo absoluto. En cualquier sección trans versal dada de la flecha, el esfuerzo cortante máximo se presenta en la su perficie exterior. Sin embargo, si la flecha está sometida a una serie de pa res externos o el radio (m om ento polar de inercia) varía, el esfuerzo torsional máximo en la flecha podría entonces ser diferente de una sec ción a la siguiente. Si se va a determ inar el esfuerzo torsional máximo ab soluto, resulta im portante encontrar la posición en que la razón Tc/J es máxima. Para esto puede ser de ayuda m ostrar la variación del par inter no T en cada sección a lo largo del eje de la flecha por medio de un dia grama de m omento torsionante. Específicamente, este diagrama es una grafica del par interno T versus su posición x a lo largo de la longitud de la flecha. De acuerdo con una convención de signos, T será positivo si de acuerdo con la regla de la mano derecha, el pulgar está dirigido hacia afue ra de la flecha cuando los dedos se curvan en la dirección del giro causa do por el par, figura 5-5. Una vez que se ha determ inado el par interno en toda la flecha, puede identificarse entonces la razón máxima Tc/J.
5-8)
(a)
El esfuerzo cortante varía linealmente a lo largo de toda línea radial de la sección transversal, (b)
Fig. 5-9
a
192 • CAPITULO 5 Torsión
PUNTOS IMPORTANTES • Cuando una flecha con sección transversal circular está sometida a un par de torsión, la sección transversal permanece plana mien tras que las líneas radiales giran. Esto ocasiona una deformación unitaria cortante dentro del material que varía linealmente a lo largo de cualquier línea radial, de cero en el eje de la flecha a un máximo en su borde exterior.
E J
La d largt min<
• Para un material homogéneo elástico lineal, debido a la ley de Hooke, el esfuerzo cortante a lo largo de cualquier línea radial de la flecha también varía linealmente, de cero en su eje a un má ximo en su borde exterior. Este esfuerzo cortante máximo no de be exceder el límite proporcional. • Debido a la propiedad complementaria del cortante, la distribu ción lineal del esfuerzo cortante dentro del plano de la sección transversal está también distribuido a lo largo de un plano axial adyacente de la flecha. • La fórmula de la torsión se basa en el requisito de que el par re sultante sobre la sección transversal es igual al par producido por la distribución lineal del esfuerzo cortante respecto al eje longi tudinal de la flecha. Es necesario que la flecha o tubo tenga una sección transversal circular y que esté hecho de material hom o géneo con comportamiento elástico lineal.
Solm El m
Aplk tenei
PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS La fórmula de la torsión puede aplicarse usando el siguiente procedimiento.
S o Ilh
Carga interna. • Seccione la flecha perpendicularm ente a su eje en el punto en que el esfuerzo cortante debe determ inar se y use el diagrama de cuerpo libre necesario y las ecuaciones de equilibrio para obtener el par interno en la sección.
El mi sión i dal i mejaa
Propiedades de la sección. • Calcule el momento polar de inercia de la sección transversal. Para una sección sólida de radio c , J — 7tc4 / 2 y para un tubo de radio exterior c„ y radio interior c¡, J = ir(cl - cf)/2. Esfuerzo cortante. • Especifique la distancia radial p medida desde el centro de la sección transversal al punto en que se va a calcular el esfuerzo cortante. Aplique luego la formula de la torsión t = Tp/J, o si el esfuerzo cortante máximo se va a determinar usando Tm áx = Tc/J. Al sustituir los datos numéricos, asegúrese de usar un conjunto consistente de unidades. • El esfuerzo cortante actúa sobre la sección transversal en un sentido siempre perpendicular a p. La fuer za que genera debe contribuir a formar el par de torsión respecto al eje de la flecha que tiene el mismo sentido que el par resultante interno T que actúa sobre la sección. Una vez establecido este sentido, pue de aislarse un elemento de volumen del material, localizado donde se determina r, y pueden entonces mostrarse sobre las tres caras restantes del elemento el sentido en que actúa r.
Este renci re s j
Para
S ección 5.2
E J E M P L O
--------------------
La distribución del esfuerzo en una flecha sólida ha sido graficaaa a lo largo de tres líneas radiales como se muestra en la figura 5-10«. D eter mine el momento de torsión interno resultante en la sección.
Fig. 5-10
Solución 1 El momento polar de inercia de la sección transversal es: / = | ( 2 pulg ) 4 = 25.13 pulg 4 Aplicando la fórmula de la torsión con rmáx = tenemos: Te r máx = — ; /
8
klb/pulg2, figura 5-10«,
7X2 pulg) klb/pulg - = —— — ' (25.13 pulg4) T = 101 klb • pulg 8
Resp.
Solución II El mismo resultado puede obtenerse encontrando el mom ento de tor sión producido por la distribución del esfuerzo respecto al eje centroidal de la flecha. Primero debemos expresar r = /(p ). Por triángulos se mejantes, tenemos: r _ p
8
klb/pulg 2 2 pulg
r = 4p Este esfuerzo actúa en todas las porciones del elem ento anular dife rencial que tiene un área dA = Irrp clp. Como la fuerza generada por Tes dF = tcíA , el momento de torsión es: d T - p dF - p ( r d A ) = p (4 p )2 ? rp dp =
8
-«p3 dp
Para el área entera en que actúa r, se requiere: T =
2 8
í\ Trp3 dp = Sot —p‘
2
= 101 klb • pulg o
Resp.
La fórmula de la torsión
• 193
19 4
•
CAPÍTULO 5
Torsión
E J E M P L O La flecha sólida de radio c está sometida al momento de torsión T, fi gura 5-1 la. Determ ine la fracción de T que resiste el material conteni do dentro de la región exterior de la flecha, que tiene un radio interior de c / 2 y radio exterior c. Solución El esfuerzo en la flecha varía linealmente, de modo que r = (p/c)rmáx, ecuación 5-3. Por tanto, el momento de torsión d T ' sobre el área anu lar localizada en la región de sombreado ligero, figura 5-1 Ib, es: d T = p ( r d A ) = p (p /c )rmáx(27rp dp) Para toda el área de sombreado ligero, el momento de torsión es: (a)
r
=
27rrm!íx L
dp
f „ c/2
2
'n"rmáx 1 4 c 4P
C
c/2
Es decir, 15-7T ^máx^ ~ ~yi
(1)
Este mom ento de torsión T ' puede expresarse en términos del mo mento de torsión aplicado T usando prim ero la fórmula de la torsión para determ inar el esfuerzo máximo en la flecha. Tenemos: Fig. 5-11
^*máx
Te
Te ( tt/ 2 ) c 4
2T Tmáx
7TC
Sustituyendo este valor en la ecuación 1 obtenemos:
r ' =
ir
Resp.
Aproximadamente el 94% del momento torsionante es resistido aquí por la región de sombreado más claro y el restante 6 % de T (o -¡^) es resistido por el “núcleo” interior de la flecha, p = 0 a p = c/2. En con secuencia, el material localizado en la región exterior de la flecha es al tam ente efectivo para resistir el momento de torsión, lo que justifica el uso de flechas tubulares como un medio eficiente para transmitir mo mentos con el consiguiente ahorro de material.
S ección 5.2
E J E M P L O
La fórmula d e la torsión
• 195
5.3
La flecha mostrada en la figura 5-12« está soportada por dos cojinetes y está sometida a tres pares de torsión. Determ ine el esfuerzo cortan te desarrollado en los puntos A y B. localizados en la sección a-a de la flecha, figura 5-126. 42.5 klb pulg 42.5 klb-pulg
Fig. 5-12
Solución Par de torsión interno. Las reacciones en los cojinetes de la flecha son cero, siempre que se desprecie el peso de ésta. Además, los pares apli cados satisfacen el equilibrio por momento respecto al eje de la flecha. El par de torsión interno en la sección a-a lo determinamos con ayu da del diagrama de cuerpo libre del segmento izquierdo, figura 5-126. Tenemos, SM.V= 0; 42.5 klb- pulg - 30 klb • pulg - 7
= 0
T - 12.5 klb • pulg
Propiedades de la sección. El m om ento polar de inercia de la cha es: j = y (0.75 pulg ) 4 = 0.497 pulg 4 Esfuerzo cortante. t
k lb /p u lg -
Como el punto A está en p = c - 0.75 pulg,
Te (12.5 klb-pulg)(0.75 pulg) 1 0 rtllL , = — = -------------------------A---------- = 18.9 klb/pulgA J (0.497 pulg4) F 6 a
3.77 k lb /p u lg
Igualmente, para el punto B , en p = 0.15 pulg, tenemos: Tp J
(12.5 klb • pulg)(0.l5 pulg) (0.497 pulg 4
= 3.77 klb/pulg 2
0.75 pulg
Resp.
Las direcciones de esos esfuerzos sobre cada elemento e n A y B . figu ra 5-l2c,se determinan con base en la dirección del par resultante inter no T mostrado en la figura 5-126. Observe cuidadosamente cómo actúa el esfuerzo cortante sobre los planos de cada uno de esos elementos.
(C)
196 • CAPÍTULO 5 Torsión
E J E M P L O
El
5.3 El tubo mostrado en la figura 5-13« tiene un diámetro interior de 80 mm y un diám etro exterior de 100 mm. Si su extremo se aprieta contra el soporte en A usando una llave de torsión en B, determ ine el esfuerzo cortante desarrollado en el material en las paredes interna y externa a lo largo de la porción central del tubo cuando se aplican las fuerzas de 80 N a la llave.
smd 1
Solución Par de torsión interno. Se tom a una sección en una posición C inter media a lo largo del eje del tubo, figura 5-136. La única incógnita en la sección es el par de torsión interno T. El equilibrio por fuerza y mo mento respecto a los ejes x y z se satisface. Se requiere: 2 M y = 0;
80 N(0.3 m) + 80 N(0.2 m) - T = 0 T = 40 N • m
Propiedades de la sección. El momento polar de inercia de la sec ción transversal del tubo es: J = y [(0.05 m ) 4 - (0.04 m)4] = 5.80(10"6) m 4 Esfuerzo cortante. Para cualquier punto sobre la superficie exterior del tubo, p = ca = 0.05 m, tenemos t0
0
—
Tc„
40 N -m (0 .0 5 m ) = ------------ ^ ---- j 1 = 0.345 MPa J 5.80(10"6) m4
Resp.
Para cualquier punto sobre la superficie interior, p = c¡ = 0.04 m, por lo que: Tc¡
40 N • m(0.04 m) 5.80(10-6) m‘
(C )
Fig. 5-11
= 0.276 MPa
Resp.
Para m ostrar cómo esos esfuerzos actúan en puntos representativos D y E de la sección transversal, veremos prim ero la sección transver sal desde el frente del segmento CA del tubo, figura 5-13«. Sobre esta sección, figura 5-13c, el par de torsión interno resultante es igual pero opuesto al mostrado en la figura 5-136. Los esfuerzos cortantes en D y E contribuyen a generar este par y actúan por tanto sobre las caras sombreadas de los elementos en las direcciones mostradas. En conse cuencia advierta cómo las componentes del esfuerzo cortante actúan sobre las otras tres caras. Además, como la cara superior de D y la ca ra inferior de E están sobre regiones libres de esfuerzo, es decir, sobre las paredes exterior e interior del tubo, no puede existir ningún esfuer zo cortante sobre esas caras o sobre las otras caras correspondientes del elemento.
P -taí l i 70
S ección 5.3 Transmisión de potencia
5.3
• 197
Transmisión de potencia
Las flechas y los tubos que tienen secciones transversales circulares se usan a menudo para transm itir la potencia desarrollada por una máqui na. Cuando se usan para este fin, quedan sometidos a pares de torsión que dependen de la potencia generada por la máquina y de la velocidad an gular de la flecha. La potencia se define como el trabajo efectuado por unidad de tiempo. El trabajo transm itido por una flecha en rotación es igual al par de torsión aplicado por el ángulo de rotación. Por tanto,si du rante un instante de tiempo dt un par de torsión aplicado T ocasiona que la flecha gire un ángulo dd, entonces la potencia instantánea es:
dt Puesto que la velocidad angular esw = d6/dt, podemos también expresar la potencia como: ' P = T ío
(5-10)
En el sistema SI, la potencia se expresa en watts cuando el par de tor sión se mide en newton-metro (N • m) y w se expresa en radianes por se gundo (rad/s) (1 W = 1 N* m /s). En el sistema pie-libra-segundo o siste ma FPS, las unidades básicas de la potencia son pie-libra por segundo (pie • lb/s); sin embargo, en la práctica se usa más a menudo el caballo de potencia (hp), en donde: 1 hp = 550 pies • libra/s Para Ja maquinaria, a m enudo se reporta la frecuencia,f de rotación de la flecha. Ésta es una medida del número de revoluciones o ciclos de la flecha por segundo y se expresa en hertz (1 Hz = 1 ciclo/s). Puesto que 1 ciclo = 27r rad, entonces a> = 2rrf y la ecuación anterior para la poten cia resulta P = 2tr fT
(5-11)
Diseño de una flecha. Cuando la potencia transmitida por una flecha y su frecuencia se conocen, el par de torsión desarrollado en la flecha pue de determinarse con la ecuación 5-11, esto es, T = P /ltrf. Conociendo T y el esfuerzo cortante permisible para el material, rperm, podemos deter m inar el tam año de la sección transversal de la flecha usando la fórmula de la torsión, siempre que el com portamiento del material sea elástico-li neal. Específicamente, el parám etro geométrico o de diseño J¡c es:
L _ C
T Tperm
( 5 -1 2 )
Para una flecha sólida,J = ( it/2) c4, y entonces, al sustituir, puede deter minarse un valor único para el radio c de la flecha. Si la flecha es tubular, de modo que / = ( tt/2)(Co ~ c f),e 1 diseño permite una amplia variedad de posibilidades para la solución: puede hacerse una selección arbitraria, ya sea para c0 o para c¡, y el otro radio se determ ina con la ecuación 5-12.
La flecha impulsora de esta máquina corta dora debe ser diseñada para satisfacer los re quisitos de potencia de su motor.
198 • CAPÍTULO 5 Torsión
E J E M P L O
5.5 La flecha sólida A B de acero mostrada en la figura 5-14 va a usarse pa ra transm itir 5 hp del m otor M al que está unida. Si la flecha gira a u) = 175 rpm y el acero tiene un esfuerzo perm isible de Tperm = 14.5 klb/pulg2, determine el diámetro requerido para la flecha al ~ pulg más cercano.
Fig. 5-14
Solución El par de torsión sobre la flecha se determ ina con la ecuación 5-10, es decir. P = Tco. Si expresamos P en pies-libras por segundo y w en ra dianes/segundo, tenemos / 550 pies • Ib/s \ j = 2750 pies • lb/s P « 5 h p ^ ----- lh p
w
175 rev / 2ir rad V 1 min \ ~ Vi 1— min rev A 60 s J
,„
.
= 1833 rad/s
Así, P = 7w;
2750 pies • lb/s = 7(18.33 rad/s) T = 150.1 pies • Ib
Si aplicamos la ecuación 5-12, obtenemos:
2T C =
\
7 _ 7t c^ = T C 2 c Tnerm 1/í3 /2(150.1 pies • lb)(12 pulg/pie)V / 3 7r(14 500 lb/pulg2) c = 0.429 pulg
Como 2c = 0.858 pulg, seleccionamos una flecha con diámetro de 7 d = -g pulg = 0.875 pulg
Resp.
Pro blem a s
•
199
E J E M P L O U na flecha tubular con diámetro interior de 30 mm y un diámetro ex terior de 42 mm. va a usarse para transm itir 90 kW de potencia. D eter mine la frecuencia de rotación de la flecha para que el esfuerzo cortan te no pase de 50 MPa.
Solución El momento de torsión máximo que puede aplicarse a la flecha se de termina con la fórmula de la torsión. = — ^máx — j
50(10 ) N /m =
r(0.021 m)
vtt/2)[(0.021 m ) 4 - (0.015 m )4] T = 538 N • m
Aplicando la ecuación 5-11, la frecuencia de rotación es: P = 2ttf T 90(103) N • m /s = 2tt/(538 N • m) / = 26.6 Hz
Resp.
PROBLEMAS Un tubo está sometido a un par de torsión de 600 M-m. Determine la porción de este par que es resistida por la sección sombreada. Resuelva el problema de dos ma neras: (a) usando la fórmula de la torsión: (b) determinan do la resultante de la distribución del esfuerzo cortante. 5-1.
P ro b s. 5-2/3
600 P ro b . 5-1
Una flecha sólida de radio r está sometida a un par de torsión T. Determine el radio r' del núcleo de la flecha que resista una mitad del par aplicado (772). Resuelva el problema de dos modos: (a) usando la fórmula de la tor sión: (b) determinando la resultante de la distribución del esfuerzo cortante.
*5-4. El tubo de cobre tiene un diámetro exterior de 40 mm y un diámetro interior de 37 mm. Si está firmemen te afianzado a la pared en A y se le aplican tres pares de torsión como se muestra en la figura, determine el esfuer zo cortante máximo desarrollado en el tubo.
5-2.
Una flecha sólida de radio r está sometida a un par de torsión T. Determine el radio r’ del núcleo de la flecha que resista una cuarta parte del par de torsión aplicado (774). Resuelva el problema de dos modos: (a) usando la fórmula de la torsión: (b) determinando la resultante de la distribución del esfuerzo cortante. 5-3.
SO.N-m
Prob. 5-4
200 • CAPÍTULO 5 Torsión
5-5. Un tubo de cobre tiene un diám etro ex terio r de 2.50 pulgy un diámetro interior de 2.30 pulg. Si está firme m ente afianzado a la pared en C y se le aplican tres pares de torsión como se muestra en la figura, determ ine el es fuerzo cortante desarrollado en los puntos A y B. Estos puntos están situados sobre los elementos de volumen lo calizados en A y en B.
5-9. U n conjunto consiste en dos secciones de tubo de acero galvanizado conectadas entre sí por medio de un co pie reductor situado en B. El tubo más pequeño tiene un diám etro exterior de 0.75 pulg y un diám etro interior de 0.68 pulg, mientras que el tubo más grande tiene un diá m etro exterior de 1 pulg y un diám etro interior de 0.86 pulg. Si el tubo está fijo a la pared en C, determ ine el es fuerzo cortante máximo desarrollado en cada sección del tubo cuando el par mostrado se aplica a las em puñaduras de la llave.
600 lb-pies P ro b . S-S
5-6. Una flecha sólida de 1.25 pulg de diám etro se usa para transmitir los pares de torsión aplicados a los engra nes como se m uestra en la figura. Si está soportada por cojinetes lisos en A y B, los cuales no resisten ningún par, determine el esfuerzo cortante desarrollado en los puntos C y D de la flecha. Indique el esfuerzo cortante sobre los elementos de volumen localizados en estos puntos. 5-7. La flecha tiene un diám etro exterior de 1.25 pulg y un diámetro interior de 1 pulg. Si se somete a los pares apli cados como se m uestra, determ ine el esfuerzo cortante máximo absoluto desarrollado en la flecha. Los cojinetes lisos en A y B no resisten pares.
P rob. 5-9
*5-8. La flecha tiene un diám etro exterior de 1.25 pulg y un diámetro interior de 1 pulg. Si se somete a los pares apli cados como se muestra, trace la distribución del esfuerzo cortante que actúa a lo largo de una línea radial en la re gión EA de la flecha. Los cojinetes lisos en A y B no resis ten pares.
5-10. El eslabón funciona como parte del control de ele vación de un pequeño avión. Si el tubo de aluminio unido al eslabón tiene un diám etro interno de 25 mm y un espe sor de 5 mm, determ ine el esfuerzo cortante máximo en el tubo cuando se aplica la fuerza de 600 N a los cables. E s boce la distribución del esfuerzo cortante sobre toda la sec ción.
Probs. 5-6/7/8
Prob. 5-10
Pro blem a s
5-11. La flecha consiste en tres tubos concéntricos, cada uno hecho del mismo material y con los radios interno y externo m ostrados. Si se aplica un par de torsión T = 800 N • m al disco rígido fijo en su extremo, determ ine el esfuerzo cortante máximo en la flecha.
T= 800 N-m
•
201
5-14. La flecha sólida tiene un diám etro de 0.75 pulg. Si está sometida a los pares mostrados, determ ine el esfuer zo cortante máximo generado en las regiones B C y D E de la flecha. Los cojinetes en A y F permiten la rotación libre de la flecha. 5-15. La flecha sólida tiene un diám etro de 0.75 pulg. Si está sometida a los pares mostrados, determ ine el esfuer zo cortante máximo generado en las regiones CD y E F de la flecha. Los cojinetes en A y F perm iten la rotación libre de la flecha.
r¡ = 32 mm r0 = 38 mm
Prob. 5-11
*5-12. La flecha sólida está em potrada en C y está some tida a los pares de torsión m ostrados. D eterm ine el es fuerzo cortante en los puntos A y B e indique el esfuerzo cortante sobre elementos de volumen localizados en esos puntos.
Probs. 5-14/15
*5-16. La flecha de acero tiene un diám etro de 1 pulg y se atornilla a la pared por medio de una llave. Determ ine el par de fuerzas F más grande que puede aplicarse a la flecha sin que el acero fluya. ty = 8 klb/pulg2. 5-17. La flecha de acero tiene un diám etro de 1 pulg y se atornilla a la pared por medio de una llave. D eterm ine el esfuerzo cortante máximo en la flecha cuando las fuerzas del par tienen una magnitud F = 30 Ib. Prob. 5-12
5-13. Un tubo de acero con diám etro exterior de 2.5 pulg se usa para transmitir 350 hp de potencia al girar a 27 rpm. Determine el diámetro interior d del tubo al j pulg más cer cano si el esfuerzo cortante perm isible es rperm = 10 klb/pulg2.
TF P rohs. 5-16/17
202 • CAPÍTULO 5 Torsión
5-18. U na flecha de acero está sometida a las cargas de torsión que se muestran en la figura. D eterm ine el esfuer zo cortante desarrollado en los puntos A y B y trace el es fuerzo cortante sobre elementos de volumen situados en estos puntos. La flecha tiene un radio exterior de 60 mm en la sección donde A y B están localizados. 5-19. U na flecha de acero está sometida a las cargas de torsión que se muestran en la figura. D eterm ine el esfuer zo cortante máximo absoluto en la flecha y trace la distri bución del esfuerzo cortante a lo largo de una línea radial donde tal esfuerzo es máximo.
Prob. 5-22 5-23. Las flechas de acero están conectadas entre sí por medio de un filete soldado como se muestra. Determ ine el esfuerzo cortante promedio en la soldadura a lo largo de la sección a-a si el par de torsión aplicado a las flechas es T = 60 N • m. Nota: la sección crítica donde la soldadu ra falla es a lo largo de la sección a-a.
5 kN m
P ro b s. 5-18/19
*■5-20. Las flechas de acero de 20 mm de diámetro que se muestran en la figura están conectadas entre sí por me dio de un copie de bronce. Si el esfuerzo de fluencia del ace ro es (rY)ac = 100 MPa y el del bronce es ( T y ) br = 250 MPa, determine el diámetro exterior d requerido del copie para que el acero y el bronce empiecen a fluir al mismo tiempo cuando el conjunto está sometido a un par de torsión T. Su ponga que el copie tiene un diámetro interior de 20 mm. 5-21. Las flechas de acero de 20 mm de diám etro que se muestran en la figura están conectadas entre sí por medio de un copie de bronce. Si el esfuerzo de fluencia del acero es (Ty)ac = 100 MPa, determ ine el par de torsión T nece sario para que e¡ acero fluya. Si d = 40 mm, determ ine el esfuerzo cortante máximo en el bronce. El copie tiene un diám etro interior de 20 mm.
P ro b . 5-23
*5-24. La barra tiene un diám etro de 0.5 pulg y un peso de 5 lb/pie. Determine el esfuerzo máximo de torsión en la barra en una sección situada en A debido al peso de la barra. 5-25. Resuelva el problem a 5-24 para el esfuerzo de tor sión máximo en B.
mm
P robs. 5-20/21
5-22. El copie se usa para conectar las dos flechas entre sí. Suponiendo que el esfuerzo cortante en los pernos es uniforme, determine el núm ero de pernos necesarios pa ra que el esfuerzo cortante máximo en la flecha sea igual al esfuerzo cortante en los pernos. Cada perno tiene un diám etro d.
P ro b s. 5-24/25
Pro blem a s
■ 5-26. Considere el problem a general de una flecha cir cular hecha de m segmentos cada uno de radio c,„. Si se tienen« pares de torsión sobre la flecha como se muestra, escriba un programa de com putadora que sirva para de terminar el esfuerzo cortante máximo en cualquier posi ción x especificada a lo largo de la flecha. Aplíquelo para los siguientes valores: L\ = 2 pies, = 2 pulg, L 2 = 4 pies, c2 = 1 pulg, T\ = 800 Ib • pie. d\ = 0,T2= -6 0 0 Ib • pie, d2 = 5 pies.
•
203
La flecha tiene un diám etro de 80 mm y debido a la fricción en su superficie dentro del agujero, queda so metido a un par de torsión variable dado por la función / = [25.re-v2)]N • m/m, donde .v está en metros. Determine el par de torsión mínimo TQnecesario para vencer la fric ción y que la flecha pueda girar. También determ ine el es fuerzo máximo absoluto en la flecha. ■ 5-29.
(25.x- e x") N-m/m Prob. 5-26
La flecha está som etida a un par de torsión dis tribuido a lo largo de su longitud con m agnitud t = (10x2)N -m /m , donde .v está en metros. Si el esfuerzo má ximo en la flecha debe perm anecer constante con valor de 80 MPa, determ ine la variación requerida para el radio c de la flecha para 0 £ x ^ 3 m. 5-27.
x
Prob. 5-29
La flecha sólida tiene un ahusamiento lineal que va de rA en un extremo a rB en el otro. Obtenga una ecuación que dé el esfuerzo cortante máximo en la flecha en una po sición x a lo largo del eje de la flecha. 5-30.
Prob. 5-27
Un resorte cilindrico consiste en un anillo de hule unido a un anillo rígido y a una flecha. Si el anillo rígido se mantiene fijo y se aplica un par de torsión T a la flecha, determine el esfuerzo cortante máximo en el hule. *5-28.
5-28
Prob. 5-30
204 • CAPÍTULO 5 Torsión
5-31. Cuando se perfora un pozo a una velocidad angu lar constante, el extrem o del tubo perforador encuentra una resistencia TA a la torsión. También el suelo a lo largo de los costados del tubo crea un par de fricción distribuido a lo largo de su longitud, que varía uniform emente desde cero en la superficie B hasta tA en A . Determ ine el par mí nimo T b que debe ser proporcionado por la unidad de impulsión para vencer los pares resistentes, y calcule el es fuerzo cortante máximo en el tubo. El tubo tiene un radio exterior ra y un radio interior r¡.
La flecha motriz de un tractor va a ser diseñada co mo un tubo de pared delgada. El m otor entrega 200 hp cuando la flecha está girando a 1200 rpm. Determ ine el es fuerzo mínimo para la pared de la flecha si el diám etro exterior de ésta es de 3 pulg. El material tiene un esfuer zo cortante permisible Tpcrm = 7 klb/pulg2.
5-34.
Un motor suministra 500 hp a la flecha de acero A B , que es tubular y tiene un diámetro exterior de 2 pulg. D eterm ine su diámetro interno más grande al ¿ pulg más cercano, cuando gira a 200 rad/s si el esfuerzo cortante per misible del material es 7perm = 25 klb/pulg2. 5-35.
P ro b s. 5-34/35
La flecha motriz de un tractor está hecha de un tubo de acero que tiene un esfuerzo cortante permisible Tperm = 6 klb/pulg2. Si el diám etro exterior es de 3 pulg y el m otor suministra 175 hp a la flecha al girar a 1250 rpm, determ ine el espesor mínimo requerido para la pared de la flecha. *5-36.
*5-32. La flecha impulsora A B de un automóvil está he cha con un acero que tiene un esfuerzo cortante permisi ble de Tperm = 8 klb/pulg2. Si el diám etro exterior es de 2.5 pulg y el motor desarrolla 200 hp cuando la flecha gi ra a 1 140 rpm. determ ine el espesor mínimo requerido pa ra la pared de la flecha. La flecha impulsora A B de un automóvil va a ser diseñada como un tubo de pared delgada. El m otor desa rrolla 150 hp cuando la flecha gira a 1500 rpm. D eterm ine el espesor mínimo de la pared de la flecha si su diámetro exterior es de 2.5 pulg. El material tiene un esfuerzo cor tante permisible de rperm = 7 klb/pulg2. 5-33.
) B - '" ' 1
Un m otor entrega 500 hp a la flecha de acero A B , que es tubular y tiene un diám etro exterior de 2 pulg y un diám etro interior de 1.84 pulg. D eterm ine la velocidad angular más pequeña a la que puede girar la flecha si el esfuerzo cortante perm isible del m aterial es Tpe)rn = 25 klb/pulg2. 5-37.
La flecha de 0.75 pulg de diám etro para el motor eléctrico desarrolla 0.5 hp y gira a 1740 rpm. D eterm ine el par de torsión generado y calcule el esfuerzo cortante má ximo en la flecha. La flecha está soportada por cojinetes de bolas en A y B. 5-38.
Xl AV zuna t=
Probs. 5-32/33
Probs. 5-36/37/38
P ro blem a s
•
205
5-39. La flecha sólida A C tiene un diám etro de 25 mm y está soportada por dos cojinetes lisos en D y E. Está aco plada a un m otor en C que suministra 3 kW de potencia a la flecha cuando gira a 50 rpm. Si los engranes A y B to man 1 kW y 2 kW, respectivamente, determ ine el esfuerzo cortante máximo desarrollado en la flecha en las regiones A B y BC. La flecha puede girar libremente en sus cojine tes de apoyo D y E.
5-42. El m otor entrega 500 hp a la flecha A B de acero que es tubular y tiene un diámetro exterior de 2 pulg y un diámetro interior de 1.84 pulg. Determ ine la velocidad an gular más pequeña a la que puede girar si el esfuerzo cor tante permisible del material es = 25 klb/pulg2.
*5-40. La flecha sólida de acero D F tiene un diámetro de 25 mm y está soportada por dos cojinetes lisos en D y en E. Está acoplada a un m otor en C que entrega 12 kW de potencia a la flecha cuando gira a 50 rpm. Si los engranes A, B y C toman 3 kW, 4 k\V y 5 kW, respectivamente, de termine el esfuerzo cortante máximo desarrollado en la flecha en las regiones CF y BC. La flecha puede girar li bremente en sus cojinetes de apoyo D y E.
5-43. El motor entrega en A 50 hp cuando gira a una ve locidad angular constante de 1350 rpm. Por medio del sis tema de banda y polea esta carga es entregada a la flecha BC. de acero del ventilador. D eterm ine al i pulg más cer cano e" diámetro mínimo que puede tener esta flecha si el esfuerzo co rtan te perm isible p ara el acero es r perm = 12 klb/pulg2.
5-41. Determ ine el esfuerzo cortante máximo absoluto generado en la flecha en el problem a 5-40.
Probs. 5-40/41
Prob. 5-43
206 • CAPÍTULO 5 Torsión
5.4
Ángulo de torsión
Los pozos petroleros son comúnmente per forados a profundidades mayores de mil me tros. Como resultado, el ángulo total de tor sión de un conjunto de tubos de perforación puede ser considerable y debe ser calculado.
Ocasionalmente el diseño de una flecha depende de la restricción en la cantidad de rotación que pueda ocurrir cuando la flecha está sometida a un par de torsión. Además, poder calcular el ángulo de torsión de una fle cha es im portante cuando se analizan las reacciones en flechas estática m ente indeterminadas. En esta sección desarrollaremos una fórmula para determ inar el ángu lo de torsión, 4>(phi), del extremo de una flecha con respecto a su otro extremo. Supondremos que la flecha tiene una sección transversal circu lar que puede variar gradualm ente a lo largo de su longitud, figura 5-15« y que el material es homogéneo y se comporta de un modo elástico-lineal cuando se aplica el par de torsión. Como en el caso de una barra cargada axialmente, despreciaremos las deformaciones locales que ocurren en los puntos de aplicación de los pares y en donde la sección transversal cam bia abruptam ente. Según el principio de Saint-Venant, estos efectos ocu rren en pequeñas regiones a lo largo de la flecha y generalm ente tienen sólo un ligero efecto en los resultados finales. Para usar el método de las secciones, un disco diferencial de espesor dx, localizado en la posición x, se aísla de la flecha, figura 5-15¿>. El par de tor sión resultante interno está representado por. T(x), puesto que la acción externa puede causar que varíe a lo largo del eje de la flecha. Debido a T(x) el disco se torcerá, de modo que la rotación relativa de una de sus caras con respecto a la otra cara es d(j>, figura 5-156. Además como se ex plicó en la sección 5.1, un elem ento de material situado en un radio p ar bitrario dentro del disco sufrirá una deformación unitaria cortante y. Los valores de -y y d é se relacionan por la ecuación 5-1, es decir, d = y —
(5-13)
Ya < puei la d este tOIM
Inte; tora
Aqu : T(x¡
J(xi G
Par i lo ca que i ton» gura menl cual.
Lass carga
(a)
(b)
Fig. 5-15
S ección 5.4 Ángulo de torsión
• 207
Ya que es aplicable la ley de Hooke, y = t/G , y que el esfuerzo cortante puede expresarse en términos del par de torsión aplicado usando la formu la de la torsión r = T(x)p/J(x), entonces y = T(x)p/J(x)G. Sustituyendo este resultado en la ecuación 5-13. el ángulo de torsión para el disco es en tonces:
Integrando sobre toda la longitud L de la flecha, obtenem os el ángulo de torsión para toda la flecha, esto es.
(5-14) Aquí. (j) = ángulo de torsión de un extremo de la flecha con respecto al otro, medido en radianes T(x) = par de torsión interno en una posición arbitraria hallado a par tir del método de las secciones y de la ecuación del equilibrio de momentos aplicada con respecto al eje de la flecha J(x) = momento polar de inercia de la flecha expresado en función de la posición x G = módulo de rigidez del material Par de torsión y área de la sección transversal constantes. Por lo común, en la práctica de la ingeniería el material es homogéneo por lo que G es constante. Además, el área transversal de la flecha y el par de torsión aplicado son constantes a lo largo de la longitud de la flecha, fi gura 5-16. Si éste es el caso, el par de torsión interno T(x) = T, el mo mento polar de inercia J(x) = J, y la ecuación 5-14 puede ser integrada, lo cual da: (5-15) Las similitudes entre las dos ecuaciones anteriores y aquellas para una barra cargada axialmente (ó = ¡P (x)dx/A (x)E y 8 = P L /A E ) son notorias.
Al calcular el esfuerzo y el ángulo de tor sión de esta perforadora de suelo, es nece sario considerar la carga variable que actúa a lo largo de su longitud.
Registrador de la deformación por torsión Cabezal giratorio Controles
Selector ^ del intervalo de carga
Motor
del motor Probeta
Cabezal fijo
-
---------- — . .- - i
móvil montada sobre rieles
Fig. 5-17
Podemos usar la ecuación 5-15 para determ inar el m ódulo de elastici dad por cortante G del material. Para hacerlo se sitúa una probeta de en sayo de longitud y diámetro conocidos en una máquina para ensayos de torsión como la que se muestra en la figura 5-17. El par de torsión T y el ángulo de torsión (f>se miden entonces entre una longitud calibrada L. Usando la ecuación 5-15, G = TL¡J
(5-16)
C o n v en ció n d e sig n o s. Con objeto de aplicar las ecuaciones anterio res debemos establecer una convención de signos para el par de torsión interno y para el ángulo de torsión de un extremo de la flecha con respec to al otro. Para hacerlo usaremos la regla de la mano derecha, según la cual tanto el par como el ángulo de torsión serán positivos si el pulgar se aleja de la sección de la flecha cuando los dedos restantes se curvan para indicar el sentido del par, figura 5-18. Para ilustrar el uso de esta convención de signos, consideremos la fle cha m ostrada en la figura 5-19a, la cual está sometida a cuatro pares de torsión. Va a determ inarse el ángulo de torsión del extremo A con respec to al extremo D. En este problema deberán considerarse tres segmentos déla flecha, puesto que el par de torsión interno cambia en R y en C.T Jsan-
S ección 5.4 Ángulo de torsión
• 209
Convención de signo positivo para T y <¡>
Fig. 5-18
80 N-m
tlC l-
: ens de y el a L. i va2 a el área :e de rse a itanotro cada
5-16)
do el método de las secciones, se calculan los pares de torsión internos pa ra cada segmento, figura 5-196. Según la regla de la mano derecha, con pares positivos dirigidos hacia afuera del extremo seccionado de la flecha, tenemos TAB = +80 N • m, TBC = - 7 0 N • m y TCD - - 1 0 N • m. Con es tos valores se puede trazar el diagrama de momentos torsionantes para la flecha, figura 5-19c. Aplicando la ecuación 5-16, tenemos: (+80 N • m) L ab ------------ + JG
( —70 N • m) L BC JG
80 N-m 10 N-m
( —10 N • m) L cd JG
T rn = 10 N-m
Si se sustituyen los demás datos y se obtiene la solución como una canti dad positiva, ello significa que el extremo A girará como se indica por la curvatura de los dedos de la mano derecha estando el pulgar dirigido ha cia afuera de la flecha, figura 5-19«. Se usa la notación con subíndice do ble para indicar este ángulo de torsión relativo((^/p); sin embargo, si el ángulo de torsión va a determinarse con relación a un punto fijo, entonces sólo se usará un único subíndice. Por ejemplo, si D está situado en un so porte fijo, entonces el ángulo de torsión calculado será denotado como c¡)A.
eriorsión specún la \ar se para
a flees de specentos Jsan-
T bc = 70 N-m 150 N-m
(b)
T(N-m)
" -10 -70
(c)
(a)
Fig. 5-19
PUNTOS IMPORTANTES • El ángulo de torsión se determ ina relacionando el par aplicado al esfuerzo cortante usando la fórmula de la torsión, r = Tp/J. y relacionando la rotación relativa a la deformación unitaria cor tante usando d = y dx/p. Finalmente esas ecuaciones se combi nan usando la ley de Hooke, r = Gy, lo que da la ecuación 5-14. • Como la ley de Hooke se usa en el desarrollo de la fórmula del ángulo de torsión, es importante que los pares aplicados no ge neren fluencia del material y que el material sea homogéneo y se comporte de m anera elástica-lineal.
PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS El ángulo de torsión de un extremo de una flecha o tubo con respec to al otro extremo puede ser determ inado aplicando las ecuaciones 5-14 a 5-16. Par de torsión interno. • El par de torsión interno se encuentra en un punto sobre el eje de la flecha usando el método de las secciones y la ecuación de equilibrio por momento, aplicada a lo largo de la flecha. • Si el par de torsión varía a lo largo de la longitud de la flecha, debe hacerse una sección en la posición arbitraria x a lo largo de la flecha y el par de torsión ser representado como una función de x, esto es, T{x). • Si varios pares de torsión externos constantes actúan sobre la fle cha entre sus extremos, el par de torsión interno en cada segmen to de la flecha, entre dos pares de torsión externos cualesquiera debe ser determinado. Los resultados se pueden representar co mo un diagrama de par torsionante. Ángulo de giro. • Cuando el área de la sección transversal circular varía a lo largo del eje de la flecha, el m omento polar de inercia puede ser ex presado como función de su posición x a lo largo del eje, J(x). • Si el mom ento polar de inercia o el par de torsión interno cam bia repentinamente entre los extremos de la flecha, entonces <¿>= i(T (x)/J(x)G )dx o 4> = T L /JG debe aplicarse a cada segmento para el cual J, G y T son continuos o constantes. • Cuando el par de torsión interno en cada segmento se ha deter minado, asegúrese de usar una convención de signos consistente para la flecha, como la vista anterior. Asegúrese también de usar un conjunto consistente de unidades al sustituir datos numéricos en las ecuaciones.
O
E J E M P L O
Los engranes unidos a la flecha de acero em potrada están sometidos a los pares de torsión mostrados en la figura 5-20a. Si el módulo de cor tante es G = 80 GPa y la flecha tiene un diámetro de 14 mm, determi ne el desplazamiento del diente P en el engrane A. La flecha gira libre m ente sobre el cojinete en B. J
40 N-m
Tco = 130 N-m
150 N-m B
10 0
280 N-m
p ~. mm >££/
Solución Par de torsión interno. Por inspección, los pares en los segmentos AC, CD y D E son diferentes pero constantes a lo largo de cada segmento. En la figura 5-20b se muestran los diagramas de cuerpo libre de segmentos apropiados de la flecha junto con los pares internos calculados. Usan do la regla de la mano derecha y la convención de signos establecida de que un par positivo se aleja del extremo seccionado de la flecha, te nemos: Tac = + 1 5 0 N - m
r CD = -1 3 0 N - m
40 N-m
150 N-m 280 N-m
r O£ = -1 7 0 N - m
Estos resultados se muestran también sobre el diagrama de pares torsionantes en la figura 5-20c. Ángulo de torsión.
(b)
El momento polar de inercia de la flecha es:
J = | (0.007 m ) 4 = 3.77(10“9) m 4 Aplicando la ecuación 5-16 a cada segmento y sumando los resultados algebraicamente, tenemos: 7"(N-ni)
( + 150 N • m)(0.4 m) JG
150
3.77(10-9) m4[80(109) N /m 2] +
-130
3.77(10-9) m4[80(109) N /m 2)] +
(-1 7 0 N • m)(0.5 m) 3.77(10 ) m [80(10 ) N /m 2)]
0.4
o
( —130 N -m ) (0.3 m)
= -
0 .2 1 2
rad
Como la respuesta es negativa, por la regla de la mano derecha el pul gar se dirige hacia el extremo E de la flecha y. por tanto, el engrane A gira como se muestra en la figura 5-20d. El desplazamiento del diente P sobre el engrane A es: Sp = Ar = (0.212 rad)(100 mm) = 21.2 mm
Resp.
Recuerde que este análisis es válido sólo si el esfuerzo cortante no excede del límite proporcional del material.
0.7
-170
(c)
P 100 mm
1.2
•í (m)
212 • CAPÍTULO 5 Torsión
E J E M P L O Las dos flechas sólidas de acero mostradas en la figura 5-21 a están aco pladas a través de los engranes B y C. D eterm ine el ángulo de torsión del extremo A de la flecha A B cuando se aplica el par de torsión T = 45 N • m. Considere G - 80 GPa. La flecha A B gira libremente sobre los cojinetes E y F, m ientras que la flecha CD está em potrada en D. Cada flecha tiene un diám etro de 20 mm.
Solución Par de torsión interno. En las figuras 5-21¿> y 5-21c se muestran dia gramas de cuerpo libre de cada flecha. Sumando momentos a lo largo del eje * de la flecha se obtiene la reacción tangencial entre los engra nes de F = 45 N-m/0.15 m = 300 N. Sumando momentos respecto al eje x de la flecha DC, esta fuerza genera entonces un par de torsión de {T d )x = 300 N (0.075 m) = 22.5 N-m sobre la flecha DC. ( r 0 )v = 22.5 N-m
D>0.075 m
Ángulo de torsión. Para resolver el problem a calculamos prim ero el _ giro del engrane C debido al par de 22.5 N-m en la flecha DC, figura 5-216. Este ángulo de torsión es:
F = 300 N
(+22.5 N • m)(1.5 m)
T L DC JG
(b)
(ir/2 )(0.010 m )4[80( 109) N /m 2
= +0.0269 rad
Como los engranes en los extremos de las flechas están conectados, la rotación 4>c del engrane C ocasiona que el engrane B gire <¡>B, figura 5-21c, donde
T = 45 N-m
B = 0.0134 rad 0.150 m
Determ inarem os ahora el ángulo de torsión del extremo A con res pecto al extrem o B de la flecha A B generado por el par de 45 N -m , figura 5-21c. Tenemos: a / b ~
Tab L ab JG
(+45 N • m )(2 m) (w/2)(0.010 m) [80(10 ) N /m 2]
+0.0716 rad
La rotación del extremo A se determina entonces sumando B y > ya que ambos ángulos tienen el mismo sentido, figura 5-21c. Tenemos: 4>a = 4>b + <1>a/ b = 0.0134 rad + 0.0716 rad = +0.0850 rad
Resp.
S ecció n 5 .4
Á n g u lo d e t o r s ió n
•
E J E M P L O El poste sólido de hierro colado de 2 pulg de diám etro mostrado en la figura 5-22a está enterrado en el suelo. Si se le aplica un par de torsión por medio de una llave rígida a su parte superior, determ ine el esfuer zo cortante máximo en el poste y el ángulo de torsión en su parte su perior. Suponga que el par está a punto de hacer girar el poste y que el suelo ejerce una resistencia torsionante uniforme de t Ib •pulg/pulg a lo largo de su longitud enterrada de 24 pulg. G = 5.5(103) klb/pulg2.
25
Solución Par de torsión interno. El par de torsión interno en el segmento A B del poste es constante. Del diagrama de cuerpo libre, figura 5-22b, te nemos: Tab = 25 lb( 12 pulg) = 300 Ib • pulg
S M Z = 0;
La magnitud del par de torsión distribuido uniformemente a lo largo del segmento BC enterrado puede determ inarse a partir del equilibrio de todo el poste, figura 5-22c. En este caso, 2
M; =
251b(12pulg) - í(24pulg) =
0
0
t = 12.5 Ib • pulg/pulg Por tanto, del diagrama de cuerpo libre de una sección de poste situa da en la posición x dentro de la región BC. figura 5-22d, tenemos: XA/, =
0
;
25
Ib
Tbc - 12.5* = 0 Tbc = 12.5*
Esfuerzo cortante máximo. El esfuerzo cortante más grande ocurre en la región A B . puesto que el par es máximo ahí y J es constante pa ra el poste. Aplicando la fórmula de la torsión, tenemos: TABc_ = (300 Ib • pulg) (1 pulg) ^"máx
( t t /2)(1 pie ) 4
= 191 lb/pulg 2
Resp. 25 Ib
25 Ib
Á ngulo de torsión. El ángulo de torsión en la parte superior puede determinarse respecto a la parte inferior del poste, ya que este extre mo está fijo y a punto de girar. Ambos segmentos A B y BC, giran, y en este caso tenemos: 36 pulg
Tab L ab *‘ m ~ W
f L,iC TRr dx JG + J„
(300 Ib pulg) = =
2 4
JG 1 0
800 Ib-pulg 2 + JG
1 2
O
pule12.5;c dx JG -5 Í(24)
/ 2 1
i = 12.5 !b-pulg/pulg
Ib-pulg 2
JG
14 400 Ib pulg 2 ( tt/ 2)(1 pulg)45500(103) lb/pulg:
= 0.00167 rad
(d)
24 pulg
213
214 • CAPÍTULO 5 Torsión
E J E M P L O La flecha ahusada m ostrada en la figura 5-23« está hecha de un m ate rial cuyo módulo cortante es G. Determ ine el ángulo de torsión de su extremo B cuando está sometido a un par.
Solución M om ento de torsión interno. Por inspección o por el diagrama de cuerpo libre de una sección localizada en la posición arbitraria x. figu ra 5-23¿>, el m omento de torsión es T. Ángulo de torsión. El momento polar de inercia varía aquí a lo lar go del eje de la flecha, por lo que tenemos que expresarlo en términos de la coordenada .v. El radio c de la flecha en x puede determ inarse en términos de x por proporción de la pendiente de la línea A B en la fi gura 5-23c. Tenemos: c2 - q
c2 ~ c
C1 ~
C = C2 - X
Ci - Cl L
c2 - X
/(* )« f
C1
Aplicando la ecuación 5-14, tenemos:
f
2T 7tG Jo
Tdx C2 - C\
c2 - x
dx c2 — x
Efectuando la integración usando una tabla de integrales, se obtiene:
4> =
L
2T
1
ttG j
f c2 - ci \
2T í (b)
u
L
c2 — X
c2 -
3
/L
V i _ 1_
ttG \ 3 ( c 2 - cx) A c í
c\
Reordenando términos resulta: 4) =
2TL ( c2 + cjc2 + Ci ,,3 .3
3 irG
Resp.
CjC2
Para verificar parcialmente este resultado, note que cuando C] = c2 = c, entonces
TL [( 7 r / 2 )c4]G Fig. 5-23
que es la ecuación 5-15.
__ T L JG
P ro blem a s
•
215
PROBLEMAS *5-44. Las hélices de un barco están conectadas a una flecha sólida de acero A-36 de 60 m de largo que tiene un diám etro exterior de 340 mm y un diám etro interior de 260 mm. Si la potencia generada es de 4.5 MW cuando la flecha gira a 20 rad/s. determ ine el esfuerzo torsionante máximo en la flecha y su ángulo de torsión. 5-45. U na flecha está som etida a un par de torsión T. Compare la efectividad de usar el tubo mostrado en la fi gura contra la de una sección sólida de radio c. Para esto, calcule el porcentaje de aum ento en el esfuerzo de torsión y en el ángulo de torsión por unidad de longitud del tubo respecto a la sección sólida.
*5-48. La flecha de acero A-36 está hecha con los tubos A B y CD más una sección sólida BC. Está soportada so bre cojinetes lisos que le permiten girar libremente. Si los engranes, fijos a sus extremos, están sometidos a pares de torsión de 85 N • m, determ ine el ángulo de torsión del ex tremo B de la sección sólida respecto al extrem o C. Los tubos tienen un diám etro externo de 30 mm y un diáme tro interno de 20 mm. La sección sólida tiene un diám etro de 40 mm.
P robs. 5-44/45 P ro b . 5-47/48
5-46. La flecha sólida de radio c está sometida a un par de torsión T. D em uestre que la deformación cortante má xima generada en la flecha es ymáx = Tc/JG. ¿Cuál es la deformación cortante en un elemento localizado en el pun to A , a c f2 del centro de la flecha? Esboce la distorsión cortante en este elemento.
5-49. Los extremos estriados y los engranes unidos a la flecha de acero A-36 están sometidos a los pares de to r sión mostrados. Determine el ángulo de torsión del extre mo B con respecto al extremo A . La flecha tiene un diá m etro de 40 mm.
300 N-m
500 N m
P ro b . 5-46
5-47. La flecha de acero A-36 está hecha con los tubos A B y CD más una sección sólida BC. Está soportada so bre cojinetes lisos que le permiten girar libremente. Si los engranes, fijos a sus extremos, están sometidos a pares de torsión de 85 N- m. determ ine el ángulo de torsión del en grane A con respecto al engrane D. Los lubos tienen un diám etro exterior de 30 mm y un diám etro interior de 20 mm. La sección sólida tiene un diám etro de 40 mm.
Prob. 5-49
216
• CAPÍTULO 5 Torsión
5-50. Los extremos estriados y los engranes unidos a la flecha de acero A-36 están sometidos a los pares de tor sión mostrados. Determ ine el ángulo de torsión del engra ne C con respecto al engrane D. La flecha tiene un diáme tro de 40 mm.
300 N-m
El perno de acero A-36 de 8 mm de diámetro es tá em potrado en el bloque en A . D eterm ine las fuerzas F del par que debe aplicarse a la llave para que el esfuerzo co rtan te máximo en el pern o sea de 18 MPa. Tam bién calcule el desplazamiento correspondiente de cada fuerza F necesario para generar este esfuerzo. Suponga que la lla ve es rígida. *5-52.
500 N-m
P ro b . 5-52 P ro b . 5-50
La flecha y volante giratorios, al ser llevados repen tinam ente al reposo en D, comienzan a oscilar en sentido horario y antihorario de manera que un punto A sobre el borde exterior del volante se desplaza a través de un arco de 6 mm. Determine el esfuerzo cortante máximo desarro llado en la flecha tubular de acero A-36 debido a esta os cilación. La flecha tiene un diám etro interior de 24 mm y un diámetro exterior de 32 mm. Los cojinetes e n B y C per miten que la flecha gire libremente, mientras que el sopor te en D mantiene fija la flecha.
La turbina desarrolla 150 kW de potencia que se transm ite a los engranes en forma tal que C recibe 70% y D 30% . Si la rotación de la flecha de acero A-36 de 100 mm de diámetro es u>= 800 rpm, determ ine el esfuer zo cortante máximo absoluto en la flecha y el ángulo de torsión del extremo E de la flecha respecto al extrem o B. El cojinete en E perm ite que la flecha gire libremente res pecto a su eje.
Prob. 5-51
Prob. 5-53
5-51.
5-53.
P ro blem a s
5-54. La turbina desarrolla 150 kW de potencia que se transmite a los engranes de manera que tanto C como D reciben la misma cantidad. Si la rotación de Ja flecha de acero A-36 de 100 mm de diám etro es co = 500 rpm, deter mine el esfuerzo cortante máximo absoluto en la flecha y la rotación del extrem o B de ésta respecto al extremo E. El cojinete en E permite que la flecha gire libremente al rededor de su eje.
•
217
5-57. El m otor produce un par de torsión T = 20 N • m sobre el engrane A . Si el engrane C se bloquea repentina mente de taJ manera que no pueda girar, aunque B sí pue de girar libremente, determ ine el ángulo de torsión de F con respecto a £ y el de F con respecto a D de la flecha de acero L2 que tiene un diám etro interior de 30 mm y un diámetro exterior de 50 mm. También, calcule el esfuerzo cortante máximo absoluto en la flecha. La flecha está so portada sobre cojinetes en G y H.
P ro b . 5-57
P ro b . 5-54
5-55. La flecha hueca de acero A-36 tiene 2 m de longi tud y un diám etro exterior de 40 mm. Cuando está giran do a 80 rad/s, transm ite 32 kW de potencia del m otor E al generador G. D eterm ine el espesor mínimo de la flecha si el esfuerzo cortante permisible es rperm = 140 MPa y la fle cha está restringida a no torcerse más de 0.05 radianes. *5-56. La flecha sólida de acero A-36 tiene 3 m de longi tud y un diám etro de 50 mm. Se requiere que transm ita 35 kW de potencia del m otor E al generador G. D eterm i ne la velocidad angular mínima que la flecha puede tener si está restringida a no torcerse más de I o.
5-58. El m otor de un helicóptero suministra 600 hp a la flecha del ro to r A B cuando las aspas están girando a 1200 rpm. D eterm ine al i pulg más cercano el diám etro de la flecha A B si el esfuerzo cortante permisible es Tpcrm = 8 klb/pulg2 y las vibraciones limitan el ángulo de torsión de la flecha a 0.05 radianes. La flecha tiene 2 pies de lon gitud y está hecha de acero L2. 5-59. El m otor de un helicóptero está entregando 600 hp a la f echa del rotor A B cuando las aspas giran a 1200 rpm. Determine al | pulg más cercano el diámetro de la flecha A B si el esfuerzo cortante permisible es rp(.rm = 10.5 k lb / pulg2 y las vibraciones limitan el ángulo de torsión de la flecha a 0.05 radianes. La flecha tiene 2 pies de longitud y está he cha de acero L2.
E
Probs. 5-55/56
Prob. 5-58/59
218
• CAPÍTULO 5 Torsión
*■5-60. Considere el problem a general de una flecha circular hecha de m segmentos, cada uno de radio c,„ y módulo cortante G,„. Si actúan n pares de torsión sobre la flecha como se muestra, escriba un programa de compu tadora que sirva para determ inar el ángulo de torsión en su extremo A . Aplique el programa con los siguientes da tos: L \ = 0.5 m, Cj = 0.02 m, Gj = 30 GPa. L 2 = 1.5 m, C2 = 0.05 m, Gi = 15 GPa, T\ - -4 5 0 N • m, = 0.25 m, T2 = 600 N • m, d2 = 0.8 m.
5-62. La flecha de acero L2 de 6 pulg de diám etro en la turbina está soportada sobre cojinetes en A y B. Si C se m antiene fijo y las paletas de la turbina generan un par de torsión en la flecha que crece lincalmente de cero en C a 2000 Ib • pie en D, determ ine el ángulo de torsión del ex tremo D de la flecha respecto al extremo C.También, calcu le el esfuerzo cortante máximo absoluto en la flecha. Des precie el tamaño de las paletas.
P ro b . 5-62 P ro b . 5-60
5-61. La pieza de acero A-36 consta de un tubo con ra dio exterior de 1 pulg y un espesor de pared de 0.125 pulg. Por medio de una placa rígida en B se conecta a la flecha sólida A B de 1 pulg de diámetro. Determ ine la rotación del extremo C del tubo si se aplica un par de torsión de 200 Ib • pulg al tubo en este extremo. El extremo A de la flecha está em potrada.
Prob. 5-61
5-63. Cuando se perfora un pozo, se supone que el extre mo profundo del tubo perforador encuentra una resisten cia a la torsión TA. Además, la fricción del suelo a lo largo de los lados del tubo crea una distribución lineal del par de torsión por unidad de longitud que varía desde cero en la superficie B hasta í0 en A . Determ ine el par de torsión ne cesario Tfí que debe aplicar la unidad impulsora para ha cer girar el tubo. También, ¿cuál es el ángulo de torsión re lativo de un extremo del tubo con respecto al otro extremo en el instante en que el tubo va a comenzar a girar? El tu bo tiene un radio exterior r0 y un radio interior r¡. El mó dulo de cortante es G.
Prob. 5-63
Pro blem a s
*5-64. Con el poste de acero A-36 se “taladra” a veloci dad angular constante el suelo usando la instalación rota toria. Si el poste tiene un diám etro interior de 200 mm y un diámetro exterior de 225 mm. determ ine el ángulo re lativo de torsión del extremo A del poste con respecto al extremo B. cuando el poste alcanza la profundidad indi cada. Debido a la fricción del suelo, suponga que el par que actúa a lo largo del poste varía linealmente como se mues tra y que un par de torsión concentrado de 80 kN- m actúa en la punta del poste.
•
219
El dispositivo mostrado se usa para mezclar suelos con el fin de proporcionar estabilización in situ. Si el mez clador está conectado a una flecha tubular de acero A-36 que tiene un diám etro interior de 3 pulg y un diám etro ex terior de 4.5 pulg, determine el ángulo de torsión de la flecha en la sección A con respecto a la sección C, considerando que cada hoja mezcladora está sometida a los pares de tor sión mostrados. 5-66.
15 kN-m /m 80 k N m P ro b . 5-64
El dispositivo mostrado se usa para mezclar suelos con el fin de proporcionar estabilización in situ. Si el mezcla dor está conectado a una flecha tubular de acero A-36 que tiene un diámetro interior de 3 pulg y un diámetro exterior de 4.5 pulg. determine el ángulo de torsión de la flecha en la sección A con respecto a la sección B. así como el esfuerzo cortante máximo absoluto en la flecha, si cada hoja mezcla dora está sometida a los pares de torsión mostrados. 5-65.
Prob. 5-66
La flecha tiene un radio c y está sometida a un par de torsión por unidad de longitud de Iq. distribuido unifor memente sobre toda la longitud L de la flecha. D eterm i ne el ángulo de torsión 4>en el extremo fí, considerando que el extremo alejado A está empotrado. El módulo cor tante es G.
5-67.
220 • CAPÍTULO 5 Torsión
*5-68. El perno de acero A-36 se aprieta dentro de un agujero de manera que el par de torsión reactivo sobre el v ástag o /lB puede expresarse por la ecuación t = ( k x 2) N • m/m, donde x está en metros. Si se aplica un par de tor sión T = 50 N • m a la cabeza del perno, determ ine la cons tante k y la magnitud del giro en los 50 mm de longitud del vástago. Suponga que el vástago tiene un radio constante de 4 mm.
5-71. El contorno de la superficie de la flecha está defi nido por la ecuación y = eax, donde a es una constante. Si la flecha está sometida a un par de torsión T en sus extre mos, determine el ángulo de torsión del extremo A con res pecto al extremo B. El módulo de cortante es G.
5-69. Resuelva el problema 5-68 considerando que el par distribuido es t = (k x 2,i) N • m/m.
P r o b .5-71
= 50 N-m
P ro b s. 5-68/69
*5-72. Un resorte cilindrico consiste en un anillo de hu le unido a un anillo rígido y a una flecha. Si el anillo rígi do se m antiene fijo y se aplica un par de torsión T a la fle cha rígida, determ ine el ángulo de torsión de ésta. El módulo cortante del hule es G. Sugerencia: como se mues tra en la figura, la deformación del elem ento con radio r puede determinarse con r d6 = dr y. Use esta expresión junto con r = T/{2irr2h ), del problem a 5-28, para obtener el resultado.
5-70. La flecha de radio c está sometida a un par distri buido r, medido como par/longitud de flecha. D eterm ine el ángulo de torsión en el extrem o A . El módulo de cor tante es G.
ydr = rdO
Prob. 5-70
Prob. 5-72
S ección 5.5
5.5
Miembros estáticamente indeterminados cargados con pares de torsión
Miembros estáticam ente indeterm inados cargados con pares de torsión
U na flecha sometida a torsión puede clasificarse como estáticamente in determinada si la ecuación de equilibrio por momentos, aplicada con res pecto al eje de la flecha, no es suficiente para determ inar los pares de tor sión desconocidos que actúan sobre la flecha. En la figura 5-24o se muestra un ejemplo de esta situación. Según se aprecia en el diagrama de cuerpo libre, figura 5-246, los pares de torsión reactivos en los soportes A y B son desconocidos. Requerimos que: I A Í , = 0;
T - Ta - Tb = 0
Puesto que aquí sólo se tiene una ecuación de equilibrio y existen dos in cógnitas, este problema es estáticamente indeterminado. Con objeto de ob tener una solución usaremos el método de análisis visto en la sección 4.4. La condición necesaria de compatibilidad, o condición cinemática, re quiere que el ángulo de torsión de un extremo de la flecha con respecto al otro extremo sea igual a cero, ya que los soportes en los extremos son fijos. Por tanto, a / b = 0
Para escribir esta ecuación en términos de los pares de torsión descono cidos, supondremos que el material se comporta de modo elástico-lineal, de modo que la relación carga-desplazamiento quede expresada por = TL/JG . Considerando que el par interno en el segmento AC e s + T Ay que en el segmento CB el par interno es —TB, figura 5-24c, la ecuación de com patibilidad anterior puede escribirse como:
TaL ac _ TBLBc _ _ JG Aquí se supone que JG es constante.
JG
• 221
Resolviendo las dos ecuaciones anteriores para las reacciones, y consi derando que L = L ac + L Bc, obtenemos
Advierta que cada par reactivo crece o decrece linealmente con la ubica ción de L ac o L bc al par de torsión aplicado.
PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS Los pares de torsión desconocidos en flechas estáticamente indeter minadas se calculan satisfaciendo el equilibrio, la compatibilidad y los requisitos de par-desplazamiento de la flecha. Equilibrio. • Dibuje un diagrama de cuerpo libre de la flecha para identificar todos los pares que actúan sobre ella y luego escriba las ecuacio nes de equilibrio por momento respecto al eje de la flecha. Compatibilidad. • Para escribir la ecuación de compatibilidad, investigue la mane ra en que la flecha se torcerá al ser sometida a las cargas exter nas, considerando cómo los soportes restringen a la flecha cuan do ella se tuerce. • Exprese la condición de compatibilidad en términos de los des plazamientos rotatorios causados por los pares de torsión reacti vos, y luego use una relación par de torsión-desplazamiento, tal como = TL/JG, para relacionar los pares desconocidos con los desplazamientos desconocidos. • Despeje de las ecuaciones de equilibrio y compatibilidad los pa res de torsión reactivos desconocidos. Si cualquiera de las mag nitudes tiene un valor numérico negativo, ello indica que este par actúa en sentido opuesto al indicado sobre el diagrama de cuer po libre.
S ección 5.5
E J E M P L O
Miembros estáticamente indeterminados cargados con pares de torsión
--
La flecha sólida m ostrada en la figura 5-25a tiene un diám etro de 20 mm. Determine las reacciones en los em potramientos A y B cuan do está sometida a los dos pares de torsión mostrados.
(b)
Solución Equilibrio. Por inspección del diagrama de cuerpo libre, figura 5-25b, se ve que el problem a es estáticamente indeterm inado ya que hay só lo una ecuación disponible de equilibrio, y se tienen dos in c ó g n ita s,^ y T b. Se requiere SM.V = 0;
- T b + 800 N • m - 500 N • m - TA = 0
(1)
Compatibilidad. Como los extremos de la flecha están empotrados, el ángulo de torsión de un extremo de la flecha con respecto al otro de be ser cero. Por consiguiente, la ecuación de compatibilidad puede es cribirse como Óa/b =
0
Esta condición puede expresarse en términos de los pares de torsión desconocidos usando la relación carga-desplazamiento, - TL/JG . Tenemos aquí regiones de la flecha donde el par interno es constante, BC, CD y DA. En los diagramas de cuerpo libre mostrados en la figu ra 5-25c se indican esos pares internos actuando sobre segmentos de la flecha. De acuerdo con la convención de signos establecida en la sec ción 5.4, tenemos - T b(0.2 m) + (T a + 500 N • m)(1.5 m) + TA(0 3 m) _ JG
JG
JG
1.8TA - 0.2T b = -7 5 0
(2)
Fig. 5-25
Resolviendo las ecuaciones 1 y 2, obtenemos Ta = -3 4 5 N • m
TB = 645 N • m
(c)
Resp.
El signo negativo indica que TA actúa con sentido opuesto al mostra do en la figura 5-25b.
• 223
224
CAPÍTULO 5 Torsión
E J E M P L O
5.12 La flecha m ostrada en la figura 5-26a está hecha de un tubo de acero unido a un núcleo de latón. Si se aplica un par de torsión T = 250 Ib • pie en su extremo, indique la distribución del esfuerzo cortante a lo largo de una línea radial de su sección transversal. Considere Gac = 11.4(103) klb/pulg2, G!a[ = 5.20(103) klb/pulg2.
X
250 Ib-pie
Fig. 5-24
Solución Equilibrio. En la figura 5-26b se muestra un diagrama de cuerpo li bre de la flecha. La reacción en el empotramiento se ha representado por la magnitud desconocida de par resistido por el acero, Tac, y por el latón, Tía,. Trabajando en unidades de libras y pulgadas, por equilibrio se requiere: - T ac - 7jat + 250 Ib • pie(12 pulg/pies) = 0
(1)
Compatibilidad. Se requiere que el ángulo de torsión del extremo A sea el mismo tanto para el acero como para el latón. Así,
—<£ac
^Iat
Aplicando la relación carga-desplazamiento,
= TL/JG, tenemos:
___________________ ______________________ = (tt/2)[(1 pulg ) 4 - (0.5 pulg) 4 ]11.4(103) klb/pulg 2
______________ T\m L___________ (tt/2)(0.5 pulg) 4 5.20(103) klb/pulg 2 7ac = 32.887]at
(2)
S ección 5.5
Miembros estáticamente indeterminados cargados con pares de torsión
Resolviendo las ecuaciones 1 y 2, obtenemos: Tac = 2911.0 Ib • pulg = 242.6 Ib • pie Tía, = 88.5 Ib • pulg = 7.38 Ib • pie Estos pares actúan a lo largo de toda la longitud de la flecha, ya que ningún par externo actúa en puntos intermedios a lo largo del eje de la flecha. El esfuerzo cortante en el núcleo de latón varía de cero en su centro a un máximo sobre la superficie en que entra en contacto con el tubo de acero. Con la fórmula de torsión, , s (88.5 Ib-pulg)(0.5 pulg) (Tiat)máx = ----- , ----- = 451 lb/pulg ( tt/ 2)(0.5 pulg)4 Para el acero, el esfuerzo cortante mínimo está localizado sobre la su perficie y tiene el valor de: , v (Tac)mín
(2911.0 Ib ■pulg) (0.5 pulg) , i \4 rr\ c i \ 4 i ( tt/ 2)[(1 pulg)4 - (0.5 pulg)41
2 988 lb/pulg
y el esfuerzo cortante máximo está en la superficie externa, con valor de: ,
(2911.0 Ib-pulg)(1 pulg) , , Tac)máx = , mr / 1 — — 7TZ— r r 5 7 = 1977 lb/pulgz (w /2)[(l pulg ) 4 - (0.5 pulg)4]
Los resultados se muestran en la figura 5-26c. Note la discontinuidad del esfuerzo cortante en la superficie de contacto entre el latón y el ace ro. Esto era de esperarse, ya que los materiales tienen módulos de ri gidez diferentes; es decir, que el acero es más rígido que el latón (G ac > G|at), por lo que toma más esfuerzo cortante en esta superficie de contacto. Si bien el esfuerzo cortante es aquí discontinuo, la deforma ción cortante no lo es; es decir, la deformación unitaria cortante es la misma en el latón y en el acero. Esto puede evidenciarse usando la ley de Hooke, y = t/ G . En la superficie de contacto entre acero y latón, fi gura 5-26d, la deformación cortante unitaria es: 451 lb/pulg2 988 lb/pulg2 y = — = -------- 7----------- r = ---------- 2----------- T = 0.0867(10 ) rad G 5.2(106) lb/pulg2 11.4(106) lb/pulg2 v
989 lb /p u lg :
1977 lb '/pr u lgp 2
A /\O/T'I/IA— 3' rad 0.0867(1 (TJ)
f máx
Distribución del esfuerzo cortante (c)
Distribución de la deformación unitaria cortante
(d)
• 225
226 • CAPÍTULO 5 Torsión
PROBLEMAS 5-73. La flecha de acero tiene un diám etro de 40 mm y está em p o trad a en sus extrem os A y B. D eterm ine el esfuerzo cortante máximo en las regiones A C y CB de la flecha cuando se aplica el par mostrado. Gac = 10.8(103) klb/pulg2.
El m otor A genera un par de torsión en el engrane B de 450 Ib-pie que se aplica a lo largo del eje de la flecha CD de acero de 2 pulg de diámetro. Este par de torsión de be transm itirse a los engranes piñones en E y F. Si estos engranes están temporalmente fijos, determine el esfuerzo cortante máximo en los segmentos CB y BD de la flecha. ¿Cuál es el ángulo de torsión de cada uno de esos segmen tos? Los cojinetes en C y D sólo ejercen fuerzas reactivas sobre la flecha y no resisten ningún par de torsión. G ac = 12(103) klb/pulg2. 5-77.
P ro b . 5-73
5-74. Una barra está hecha de dos segmentos: A B de ace ro y BC de latón. Está em potrada en sus extremos y some tida a un par de torsión T = 680 N • m. Si la porción de ace ro tiene un diám etro de 30 mm, determ ine el diám etro requerido en la porción de latón de manera que las reac ciones en los em potram ientos sean las mismas. G ac = 75 GPa, Giat = 39 GPa.
D eterm ine el esfuerzo cortante máximo absoluto en la flecha del problema 5-74.
5-75.
C
P ro b . 5-77
La flecha compuesta consiste en un segmento me dio que incluye la flecha sólida de 1 pulg de diám etro y un tubo que está soldado a las bridas rígidas A y B. D espre cie el espesor de las bridas y determ ine el ángulo de tor sión del extremo C de la flecha respecto al extremo D. La flecha está sometida a un par de torsión de 800 Ib-pie. El material es acero A-36.
5-78.
P robs. 5-74/75
*5-76. La flecha de acero está hecha de dos segmentos: A C tiene un diám etro de 0.5 pulg y CB un diám etro de 1 pulg. Si está empotrada en sus extremos A y B y sometida a un par de torsión de 500 Ib-pie, determ ine el esfuerzo cortante máximo en la flecha. Gac = 1U.8(103) klb/pulg2.
Prob. 5-78
Pro blem a s
La flecha está hecha de una sección sólida AB de acero y una porción tubular de acero con un núcleo de la tón. Si está empotrada en A y se aplica en C un par de tor sión T = 50 Ib-pie. determine el ángulo de torsión que se presenta en C y calcule el esfuerzo cortante y la deforma ción cortante máximos en el latón y en el acero. Conside re Gac = 11.5( 103) klb/pulg2 y Glal = 5.6(103) klb/pulg2. 5-79.
•
227
Las dos flechas. A B y EF, están empotradas en sus extremos y conectadas a engranes conectados a su vez al engrane común en C que está conectado a la flecha CD. Si se aplica un par de torsión T = 80 N • m al extremo D. determine el par de torsión en A y F. Cada flecha tiene un diámetro de 20 mm y están hechas de acero A-36. 5-82.
Probs. 5-81/82
La flecha de acero A-36 está hecha de dos seg mentos: AC tiene un diámetro de 0.5 pulg y CB tiene un diámetro de 1 pulg. Si la flecha está empotrada en sus ex tremos A y B y está sometida a un par de torsión unifor memente distribuido de 60 Ib • pulg/pulg a lo largo del segmento CB. determine el esfuerzo cortante máximo ab soluto en la flecha.
5-83. Prob. 5-79
Las dos flechas de 3 pies de longitud están he chas de aluminio 2014-T6. Cada una tiene un diámetro de 1.5 pulg y están conectadas entre sí por medio de engra nes fijos a sus extremos. Sus otros extremos están empo trados en A y B. También están soportadas por cojinetes en C y D. que permiten la libre rotación de las flechas res pecto a sus ejes. Si se aplica un par de torsión de 600 Ib-pie al engrane superior como se muestra, determine el esfuer zo cortante máximo en cada flecha. *5-80.
0.5 pulg
A
*5-84. La flecha ahusada está doblemente empotrada en A y B. Si se aplica un par de torsión T en su punto medio, determine las reacciones en los empotramientos.
Prob. 5-80
Las dos flechas. AB y EF. están empotradas en sus extremos y conectadas a engranes conectados a su vez al engrane común en C que está conectado a la flecha CD. Si se aplica un par de torsión T = 80 N • m al extremo D, determine el ángulo de torsión en este extremo. Cada fle cha tiene un diámetro de 2 0 mm y están hechas de acero A-36.
5-81.
Proh. 5-84
228
• CAPÍTULO 5 Torsión
Una porción de la flecha de acero A-36 está some tida a un par de torsión linealmente distribuido. Si la fle cha tiene las dimensiones mostradas, determine las reac ciones en los empotramientos A y C. El segmento AB tiene un diámetro de 1.5 pulg y el segmento BC un diámetro de 0.75 pulg. 5-85.
La flecha de radio c está sometida a un par de tor sión distribuido t, medido como par/longitud de flecha. Determine las reacciones en los empotramientos A y B. 5-87.
Determine la rotación en la junta B y el esfuerzo cortante máximo absoluto en la flecha del problema 5-85. 5-86.
300 lb-pulg/pulg
Probs.
*5.6 - - - V.»7?¡V; - .
Prob. 5-87
Flechas sólidas no circulares -■
Note la deformación que ocurre en el ele mento cuadrado cuando esta barra de hule está sometida a un par de torsión.
En la sección 5.1 se demostró que cuando un par de torsión se aplica a una flecha que tenga una sección transversal circular, es decir, que sea si métrica con respecto a su eje, las deformaciones unitarias cortantes va rían linealmente desde cero en el centro hasta un m omento máximo en su periferia. Además, debido a la uniformidad de la deformación cortan te en todos los puntos sobre el mismo radio, la sección transversal no se deforma, sino que permanece plana después de que la flecha se ha torci do. Sin embargo, las flechas que no tienen una sección transversal circu lar no son simétricas con respecto a su eje, y a causa de que el esfuerzo cortante en su sección transversal está distribuido de m anera compleja, sus secciones transversales pueden alabearse cuando la flecha se tuerce. En la figura 5-27 puede observarse cómo se deforman las líneas de retícula de una flecha que tiene una sección transversal cuadrada cuando la fle cha está sometida a torsión. Como consecuencia de esta deformación, el análisis de la torsión en flechas no circulares resulta considerablemente complicado y no se examinará en este texto.
Deformada
Fig. 5-27
No deformación
Me posib secck de có la fie« del es tari as seccid obser un esi bién n to de i perari cortan embar que ac a su ve tes t y Los i ría de 1 guiares fuerzo i que esi puntos Tambié da flecl ción tra que tea metida guio de versal n
S ección
5.6 Flechas sólidas no circulares • 229
Tm;íx
Distribución del esfuerzo cortante a lo largo de dos líneas radiales
(a)
Alabeo del área de la sección transversal
(b)
(c)
Fig. 5-28
Mediante un análisis matemático basado en la teoría de la elasticidad es posible determ inar la distribución del esfuerzo cortante en una flecha de sección transversal cuadrada. En la figura 5-28« se m uestran ejemplos de cómo varía este esfuerzo cortante a lo largo de dos líneas radiales de la flecha. Según se dijo anteriorm ente, a causa de que estas distribuciones del esfuerzo cortante varían de manera compleja, las deformaciones uni tarias cortantes que generan tendrán como consecuencia un alabeo de la sección transversal conforme se muestra en la figura 5-28b. En particular, observe que los puntos de las esquinas de la flecha estarán sometidos a un esfuerzo cortante nulo y, por tanto, a una deformación cortante tam bién nula. La razón para esto puede mostrarse al considerar un elemen to de material situado en uno de estos puntos, figura 5-28c. Se podría es perar que la carga sombreada de este elemento esté sometida a un esfuerzo cortante con objeto de ayudar a resistir el par de torsión aplicado T . Sin embargo, esto no sucede aquí, puesto que los esfuerzos cortantes r y r', que actúan sobre la superficie exterior de la flecha, deben ser cero, lo cual a su vez implica que las componentes de esfuerzo cortante correspondien tes r y / en la cara som breada deben ser también iguales a cero. Los resultados del análisis anterior, junto con otros resultados de la teo ría de la elasticidad para flechas que tengan secciones transversales trian gulares y elípticas, se muestran en la tabla 5-1. En todos los casos, el es fuerzo cortante máximo se presenta en un punto de la sección transversal que esté menos distante del eje central de la flecha. En la tabla 5-1 estos puntos están indicados con puntos negros en las secciones transversales. También se dan en la tabla las fórmulas para el ángulo de torsión de ca da flecha. Extendiendo estos resultados a una flecha que tenga una sec ción transversal arbitraria, puede dem ostrarse asimismo que una flecha que tenga una sección transversal circular es más eficiente, ya que está so metida tanto a un esfuerzo cortante máximo más pequeño como a un án gulo de torsión más pequeño que una flecha que tenga una sección trans versal no circular y está sometida al mismo par de torsión.
T A B L A 5-1 Forma de la sección transversal
Tmáx
4.81 T
7.10 TL
a3
a 4C
20 T
46 TL
Cuadrada
a
Triángulo equilátero
„3
a*G
Elipse (q2 + b 2)TL 7ta3b 3G
230 • CAPÍTULO 5 Torsión
E J E M P L O La flecha de aluminio 6061-T6 mostrada en la figura 5-29 tiene una sec ción transversal en forma de triángulo equilátero. Determ ine el par de torsión T más grande que puede aplicarse al extremo de la flecha si el esfuerzo cortante permisible es rperm = 8 klb/pulg 2 y el ángulo de tor sión máximo permitido en su extremo es de peim = 0.02 rad. ¿Qué par de torsión puede aplicarse a una flecha de sección circular hecha con la misma cantidad de material?
Solución Por inspección, el par de torsión interno resultante en cualquier sec ción transversal a lo largo del eje de la flecha es tam bién T. Con las fórmulas para rmáx y d>de la tabla 5-1, se requiere: 207 ' perm
( 1 0 3) lb/pulg 2 =
8
„3 ’
.60°
207 (1.5 pulg ) 3
7 = 1350 Ib • pulg
También, 1.5 pulg
467L perm
Fig. 5-29
0 .0 2
a4G,al ‘
rad =
467(4 pies)(12 pulg/pie) (1.5 pulg)4 [3.7(106) lb/pulg 2
7 = 170 Ib • pulg
Resp.
Por comparación, se ve que el par de torsión más grande es limitado por el ángulo de torsión permisible. Sección transversal circular. Si se va a usar la misma cantidad de alu minio para una flecha de igual longitud con sección transversal circu lar, debemos calcular primero el radio de ésta. Tenemos: 7TC~ — ~ ( 1.5
•^ círculo — ^ triá n g u lo »
pulg) (1.5 Sen 60 )
c = 0.557 pulg Por los requisitos de esfuerzo y ángulo de torsión se requiere: 7(0.557 pulg) V rm = y ;
8
( 1 0 3) lb/pulg 2 =
( tt/ 2)(0.557 pulg4)
7 = 2170 Ib • pulg perm
TL JG,,i
0 .0 2
rad =
7 (4 pies)(12 pulg/pie) ( tt/ 2)(0.557 pulg4) [3.7(106) lb/pulg2]
7 = 233 Ib • pulg Nuevamente, el ángulo de torsión limita al par aplicable. C om parando este resultado (233 Ib • pulg) con el dado antes (170 Ib • pulg), se ve que una flecha con sección transversal circular pue de soportar 37% más par de torsión que una con sección transversal triangular.
S ecció n
*5.7
5.7 Tubos de pared delgada con secciones transversales cerradas • 231
Tubos de pared delgada con secciones transversales cerradas
A menudo se emplean tubos de paredes delgadas de forma no circular para construir estructuras de peso ligero tales como las usadas en los ae roplanos. En algunas aplicaciones pueden estar sometidas a una carga de torsión. En esta sección analizaremos los efectos de aplicar un par de tor sión a un tubo de pared delgada que tenga una sección transversal cerra da, es decir, un tubo que no tenga aberturas a lo largo de su longitud. En la figura 5-30« se muestra un tubo de tal tipo, que tiene una sección trans versal constante pero de forma arbitraria. Para el análisis supondremos que las paredes tienen un espesor variable t. Puesto que las paredes sor del gadas, podemos obtener una solución aproximada para el esfuerzo cortan te suponiendo que este esfuerzo está distribuido uniformemente a través del espesor del tubo. En otras palabras podremos determ inar el esfuerzo cortante promedio en el tubo en cualquier punto dado. Sin embargo, an tes de hacerlo, veremos primero algunos conceptos preliminares con res pecto a la acción del esfuerzo cortante sobre la sección transversal. Flujo cortante. En las figuras 5-30« y 5-306 se m uestra un elemento pequeño del tubo, que tiene una longitud finita s y un ancho diferencial dx. En un extremo, el elemento tiene un espesor tA, y en el otro extremo el espesor es tB. Debido al par de torsión aplicado T, en la cara frontal del elemento se desarrolla un esfuerzo cortante. Específicamente, en el extre mo A el esfuerzo cortante es t a , y en el otro extremo B es t b . Estos es fuerzos pueden relacionarse observando que esfuerzos cortantes equiva lentes t a y t b deben tam bién actuar sobre los lados longitudinales del elemento, que se m uestran sombreados en la figura 5-306. Puesto que es tos lados tienen espesores tA y tB constantes, las fuerzas que actúan sobre ellos son dFA = TA (tA dx) y dFB = t b ( t B dx). El equilibrio de las fuerzas requiere que éstas sean de igual magnitud pero de sentido opuesto, de mo do que: ib) JA l A ~ r B t B
Este im portante resultado establece que el producto del esfuerzo cortan te longitudinal prom edio m ultiplicado p o r el espesor del tubo es el mis mo en todo punto del área transversal del tubo. Este producto se llama flu jo de cortante,* q, y en términos generales puede expresarse como: =
prom
(5-17)
Puesto que q es constante sobre la sección transversal, el esfuerzo cortan te promedio más grande ocurrirá donde el espesor del tubo es más pe queño.
*Se usa el térm ino "flujo", ya que co n cep tu alm en te q es análogo al agua que fluye por un ca nal ab ie rto Je sección transversal rectan g u lar con a ltu ra co n stan te y ancho variable w. A un q u e la velocidad v del agua en cada p u n to a lo largo del canal es d iferen te (igual que Tprom). el flujo q = tnv es co n stan te
Fig. 5-30
Si un elem ento diferencial que tenga un espesor t, una longitud ds y un ancho dx se aísla del tubo, figura 5-30c, se ve que el área som breada so bre la que actúa el esfuerzo cortante promedio es dA = t ds. Por tanto, d F = Tpromr ds = q d s,o q = dF/ds. En otras palabras, el flujo de cortan te, que es constante en el área de la sección transversal, mide la fuerza por unidad de longitud a lo largo del área de la sección transversal del tubo. Es im portante observar que las componentes de esfuerzo cortante que se m uestran en la figura 5-30c son las únicas que actúan en el tubo. Las componentes que actúan en la otra dirección, como se muestra en la figu ra 5-30d, no pueden existir. Ello se debe a que las caras superior e infe rior del elem ento están en las paredes interior y exterior del tubo, y estas superficies deben estar libres de esfuerzo. En su lugar, según se observó arriba, el par de torsión aplicado hace que el flujo de cortante y el esfuer zo promedio estén siempre dirigidos tangencialmente a la pared del tubo, de manera que contribuyan al par de torsión resultantes T. : T" = 0 libre de esfuerzo (superior)
Superficie libre de esfuerzo (inferior)
Esfuerzo cortante promedio. El esfuerzo cortante promedio, rprom, que actúa en el área som breada dA = t ds del elem ento diferencial mos trado en la figura 5-30c, puede relacionarse con el par de torsión T con siderando el par producido por el esfuerzo cortante con respecto a un punto O seleccionado dentro de los límites del tubo, figura 5-30. Como se m uestra, el esfuerzo cortante desarrolla una fuerza dF = TpromdA = Tprom(í ds) en el elemento. Esta fuerza actúa tangencialmente a la línea central de la sección transversal del tubo, y, como el brazo de palanca es h, el par de torsión es: d T = h(dF) = h(Tpromtd s) Para toda la sección transversal se requiere que: ^prom^ ds Aquí, la “integral de línea” indica que la integración se lleva a cabo alre dedor de todo el límite del área. Puesto que el flujo de cortante q = Tp ro m í es constante, estos términos reunidos pueden ser factorizados fuera de la integral, de modo que:
(e)
T = Tpromí
0
h ds
Puede hacerse una simplificación gráfica para evaluar la integral obser vando que el área media, mostrada por el triángulo som breado en la figu ra 5-30e, es d A m = (1 /2)h ds. Entonces, T 1 = ^2 1t prom1t d A nj
2Tpromt A m
S ecció n
5.7 Tubos de pared delgada con secciones transversales cerradas • 233
Despejando Tprom, tenemos
(5-18) Aquí, Tprom = esfuerzo cortante promedio que actúa en el espesor del tubo T = par de torsión resultante en la sección transversal, el cual se halla usando el método de las secciones y las ecuaciones de equilibrio t = espesor del tubo donde se va a calcular rprom A„, = área media encerrada por la línea central del espesor del tubo. A,„ se muestra som breada en la figura 5-30f. Puesto que q = rpromí, podemos determ inar el flujo de cortante en la sección transversal usando la ecuación
(5-19)
Ángulo de torsión. El ángulo de torsión de un tubo de pared delga da de longitud L puede determ inarse usando los métodos de la energía y más adelante en el texto se propone como un problem a el desarrollo de la ecuación necesaria.* Si el material se com porta de m anera elástico-lineal y G es el módulo de cortante, entonces este ángulo dado en radia nes, puede expresarse por: T L I ds * ~ Z Z 5 ? T
,c n x ( 5 -2 0 )
Aquí la integración debe llevarse a cabo alrededor de todo el límite del área de la sección transversal del tubo.
PUNTOS IMPORTANTES • El flujo cortante q es el producto del espesor del tubo y el esfuer zo cortante promedio. Este valor es constante en todos los pun tos a lo largo de la sección transversal del tubo. E n consecuencia, el esfuerzo promedio máximo sobre la sección transversal ocurre donde el espesor del tubo es más pequeño. • El flujo cortante y el esfuerzo cortante promedio actúan tangen cialmente a la pared del tubo en todos los puntos y en una direc ción tal que contribuya al par resultante.
*V é a se el problem a 14-19.
234 • CAPÍTULO 5 Torsión
E J E M P L O Calcule el esfuerzo cortante prom edio en un tubo de pared delgada con sección transversal circular de radio medio r,„ y espesor t. que es tá sometido a un par de torsión T, figura 5-31«. ¿Cuál es el ángulo de torsión relativo si el tubo tiene una longitud L? Solución
Esfuerzo cortante promedio. El área media del tubo es A m = Trr?n¡. Aplicando la ecuación 5-18 obtenemos: • prom
(a)
Distribución del esfuerzo cortante real (fórmula de la torsión)
2 tA m
lirtr-
Resp.
Podemos verificar la validez de este resultado aplicando la fórmula de la torsión. En este caso, usando la ecuación 5-9, tenemos
/ = j ( r i - rf)
=
d + rj)(r0 + r¡){r0 - r¡)
Como r„, = r0 = r¡ y t = ra - r¡,J = — [(2r2m)(2rm)t] = 2irr3„,t Distribución del esfuerzo corlante promedio (aproximación de pared delgada)
(b)
Fig. 5-31
Trm Trm T r prom = — = - — — = -— j J 2 v r mt 27Ttrí,
de manera que
Resp.
que concuerda con el resultado previo. La distribución del esfuerzo cortante promedio que actúa sobre to da la sección transversal del tubo se muestra en la figura 5-316. Tam bién se muestra la distribución del esfuerzo cortante que actúa sobre una línea radial, calculado con la fórmula de la torsión. Observe cómo cada Tprom actúa en una dirección tal que contribuye a generar un par de torsión resultante T en la sección. Conforme el espesor del tubo dis minuye, el esfuerzo cortante en todo el tubo resulta más uniforme. Ángulo de torsión. $ =
Aplicando la ecuación 5-20 tenemos: TL
/ ds
TL
4 A ÍG
La integral representa la longitud alrededor de la línea central limítro fe, que es 2 irrm. Sustituyendo, el resultado final es: TL ^— T77. 2 t t i ,„Gt
^sp
Demuestre que se obtiene el mismo resultado usando la ecuación 5-15.
S ecció n 5 .7
Tubos de pared delgada con secciones transversales cerradas • 235
E J E M P L O El tubo es de bronce C86100 y tiene una sección transversal rectangu lar como se muestra en la figura 5-32a. Determ ine el esfuerzo cortan te promedio en los puntos A y B del tubo cuando éste está sometido a los dos pares mostrados. ¿Cuál es el ángulo de torsión del extremo C? El tubo está em potrado en E.
35 N-m
3 rnin
25 N-m D
(b)
60 N-m
Solución Esfuerzo cortante prom edio. Si se secciona el tubo a través de los puntos A y B, el diagrama de cuerpo libre resultante es el mostrado en la figura 5-32b. El par de torsión interno es de 35 N • m. Como se mues tra en la figura 5-32d, el área A,„ es:
60 N-m
(c)
A m = (0.035 m )(0.057 m) - 0.00200 n r 57 mm
Aplicando la ecuación 5-18 al punto A , tA = 5 mm, por lo que: ta
=
- Z —
A
2 tA m
En el punto B j
b
=
-------------- 3
B
=
—
— =
-------------------
1 .7 5
MPa
Resp.
= 3 mm. por lo que:
T t r
5 - N
2(0.005 m )(0.00200m 2)
35 mm
35 N • m
---------- ---- ---------------------------------------------—
2 tA m
2(0.003 m )(0.00200 m2)
2.92 MPa
Resp.
Estos resultados se muestran sobre elementos de material localiza dos en los puntos A y B, figura 5-32e. Note cuidadosamente cómo el par de 35 N • m en la figura 5-32b genera esos esfuerzos sobre las caras sombreadas de cada elemento. Ángulo de torsión. De los diagramas de cuerpo libre en las figuras 5-32b y 5-32c, los pares de torsión internos en las regiones D E y CD son de 35 N • m y de 60 N • m, respectivamente. De acuerdo con la con vención de signos establecida en la sección 5.4, estos pares son ambos positivos. Así, la ecuación 5-20 nos da: TL
-i*
4 A lfil.■J t 60 N • m(0.5 m) 4(0.00200 m2)2(38(109) N /m 2) +
35 N • m(1.5 m) 4(0.00200 m2)2(38(109) N /m 2)
= 6.29(10-3) rad
57 mm 5 mm
+
2
35 mm 3 mm
57 mm 5 mm
+ 2
35 mm 3 mm Resp.
(d)
2.92 MPa
1.75 MPa
236 • CAPITULO 5 Torsión
Un tubo cuadrado de aluminio tiene las dim ensiones m ostradas en la figura 5-33a. Determ ine el esfuerzo cortante promedio en el punto A del tubo cuando éste está sometido a un par de torsión de 85 Ib- pie. Calcule también el ángulo de torsión debido a esta carga. Considere Gai = 3.80(103) klb/pulg2.
(a)
Solución
Esfuerzo cortante promedio. Por inspección, el par de torsión inter no resultante en la sección transversal donde se encuentra A es T = 85 Ib • pie. De la figura 5-33¿>, el área A„, que aparece sombreada, es: A m = (2.5 pulg) (2.5 pulg)= 6.25 pulg 2 2.5 pulg
Aplicando la ecuación 5-18, T
85 Ib -pie(12 pulg/pie)
2tA„,
2(0.5 pulg)(6.25 pulg2)
= 163 lb/pulg
Resp.
Como t es constante, excepto en las esquinas, el esfuerzo cortante pro medio es el mismo en todos los puntos de la sección transversal. En la figura 5-33c se muestra actuando sobre un elem ento localizado en el punto A. Advierta que Tprom actúa hacia arriba sobre la cara som brea da, contribuyendo así a generar el par T interno resultante en la sec ción. 163 lb/pulg2
Ángulo de torsión. El ángulo de torsión generado por T se determ i na con la ecuación 5-20, esto es, TL
85 Ib • pie(12 pulg/pie)(5 pies)(12 pulg/pie)
4 A zmG .
4(6.25 pulg2)2[3.80(106) lb/pulg2] ds = 0.206(10~3) p u l g j ) ds (0.5 pulg)
La integral en esta expresión representa la longitud de la línea central limítrofe del tubo, figura 5-33£>. Así, 4> = 0.206(10 ) pulg
[4(2.5 pulg)] = 2.06(10 ) rad
Resp.
S e c c ió n
5.7 Tubos de pared delgada con secciones transversales cerradas • 237
E J E M I P L O M » -------------------------------------------U n tubo delgado está hecho de 3 placas de acero A-36 de 5 mm de es pesor que forman una sección transversal triangular como se muestra en la figura 5-34a. Determ ine el par de torsión 7 máximo a que puede quedar sometido si el esfuerzo cortante permisible es rperm = 90 MPa y el tubo no debe girar más de = 2 ( 1 0 ~3) rad.
Solución El área A,„ se m uestra som breada en la figura 5-34¿> y es igual a: Am=
^ (2 0 0
m m ) ( 2 0 0 mm sen 60°)
= 17.32(103) mm 2 (10 - 6 m 2 /m m 2) = 17.32(10"3) m 2 El esfuerzo cortante promedio más grande ocurre en puntos en que el espesor del tubo es más pequeño, esto es, a lo largo de los lados y no en las esquinas. Aplicando la ecuación 5-18 con t = 0.005 m, obtene mos 7 Tprom = 90(106) N /m 2 = 2(0.005 m)(17.32(10“3) m2) 7 = 15.6 15.' kN • m De la ecuación 5-20 tenemos:
0 .0 0 2
rad =
7(3 m)
/
4(17.32(10-3) m ) 2 [75(109) N /m 2] J (0.005 m)
La integral representa la suma de las dimensiones a lo largo de los tres lados de la línea central limítrofe. Así, 300.0 = 7[3(0.20 m)] 7 = 500 N • m
Resp.
Por comparación, la aplicación del par de torsión está restringida por el ángulo de torsión.
Fig. 5-34
238 • CAPÍTULO 5 Torsión
PROBLEMAS *5 -8 8 . La barra de aluminio tiene una sección transver sal cuadrada de 10 mm por 10 mm. Determine el par de torsión T necesario para que un extremo gire 90° con res pecto al otro, si la barra tiene 8 m de longitud. Ga| = 28 GPa, (ry)a, = 240 MPa.
La flecha está hecha de plástico y tiene una sección transversal elíptica. Si está sometida a la carga torsional mostrada, determine el esfuerzo cortante en el punto A y muestre el esfuerzo cortante sobre un elemento de volu men localizado en este punto. Además, determine el ángu lo de torsión en el extremo B. Gp = 15 GPa. 5-93.
Determine la cantidad en que se incrementa el es fuerzo cortante máximo en una flecha con sección elípti ca respecto a una flecha con sección transversal circular si ambas flechas resisten el mismo par de torsión. 5-89.
5-90. Si a = 25 mm y b = 15 mm, determine el esfuerzo cortante máximo en las flechas circular y elíptica cuando el par de torsión aplicado es T = 80 N •m. ¿En qué porcen taje es más eficiente para resistir el par de torsión la fle cha de sección circular que la flecha de sección elíptica?
La flecha de sección cuadrada se usa en el extremo de un cable impulsor con el fin de registrar la rotación del cable en un aparato medidor. Si tiene las dimensiones mos tradas y está sometida a un par de 8 N • m, determine el esfuerzo cortante en el punto A de la flecha. Esboce el es fuerzo cortante sobre un elemento de volumen situado en este punto. 5-94.
P ro b s. 5-89/90
La flecha de acero tiene 12 pulg de longitud y se atornilla a la pared por medio de una llave. Determine las fuerzas Fdel par máximo que pueden aplicarse a la flecha sin que el acero fluya. ry = 8 klb/pulg2. 5-91.
*5 - 9 2 . La flecha de acero tiene 12 pulg de longitud y se atornilla a la pared por medio de una llave. Determine el esfuerzo cortante máximo en la flecha y la magnitud del desplazamiento que experimenta cada fuerza del par si éstas tienen una magnitud F = 30 Ib. Gac = 1 0 .8 C 1 0 3) klb/pulg2.
Pro blem a s
5-95. La flecha de aluminio está em potrada en sus extre mos A y B. Determ ine las reacciones en los em potram ien tos cuando se somete a un par de torsión de 80 Ib-pie en C. La flecha tiene sección transversal cuadrada de 2 pulg por 2 pulg. También, ¿cuál es el ángulo de torsión en C? Ga| = 3.8(103) klb/pulg2.
•
239
5-98. El tubo de plástico está sometido a un par de tor sión de 150 N • m. D eterm ine la dimensión media a de sus lados si el esfuerzo cortante permisible rp[.rm = 60 MPa. Cada lado tiene un espesor t = 3 mm. Desprecie las con centraciones de esfuerzos en las esquinas. 5-99. El tubo de plástico está sometido a un par de tor sión de 150 N • m. Determ ine el esfuerzo cortante prom e dio en el tubo si la dimensión media a = 200 mm. Cada lado tiene un espesor t = 3 mm. Desprecie las concentra ciones de esfuerzos en las esquinas.
P ro b . 5-95
*5-96. Se quiere fabricar una barra circular para resistir un par de torsión; sin embargo, la barra resulta con sección transversal elíptica durante el proceso de manufactura, con una dimensión más pequeña que la otra por un factor k como se muestra. Determ ine el factor por el que se incre menta el esfuerzo cortante máximo.
150 N-m P robs. 5-98/99
D eterm ine el espesor constante del tubo rectan gular si el esfuerzo cortante promedio no debe exceder de 12 kib/pulg2 cuando se aplica un p ar de torsión T = 20 klb • pulg al tubo. Desprecie las concentraciones de es fuerzos en las esquinas. Se muestran las dimensiones me dias del tubo. *5-100.
D eterm ine el par de torsión T que puede aplicar se al tubo rectangular si el esfuerzo cortante prom edio no debe exceder de 12 klb/pulg2. Desprecie las concentracio nes de esfuerzos en las esquinas. Se muestran las dimen siones medias del tubo y su espesor es de 0.125 pulg.
5-101.
P ro b . 5-96
5-97. Se aplica un par de torsión T a dos tubos con las secciones transversales mostradas. Compare el flujo de cor tante desarrollado en cada tubo.
Prob. 5-97
Probs. 5-100/101
240 • CAPÍTULO 5 Torsión
5-102. Se aplica un par de torsión de 2 klb • pulg al tubo que tiene un espesor de 0.1 pulg en su pared. Determ ine el esfuerzo cortante promedio en el tubo.
*5-104. El tubo de acero tiene una sección transversal elíptica con las dimensiones medias mostradas y un espe sor constante t = 0.2 pulg. Si el esfuerzo cortante permisi ble es Tpcrn, = 8 klb/pulg2 y el tubo debe resistir un par de torsión T = 250 Ib pie, determine la dimensión b necesa ria. El área media de la elipse es A,„ = Trb(0.5b).
Ib-pie
P ro b . 5-102 P ro b . 5-104
5-103. El tubo está hecho de plástico, su pared es de 5 mm de espesor y tiene las dimensiones medias mostradas. D e term ine el esfuerzo cortante promedio en los puntos A y B cuando está som etido al par de torsión T - 5 N • m. M uestre el esfuerzo cortante sobre elementos de volumen localizados en esos puntos.
Prob. 5-103
5-105. El tubo está hecho de plástico, tiene 5 mm de es pesor y las dimensiones medias son las mostradas. D eter mine el esfuerzo cortante prom edio en los puntos A y B cuando el tubo está som etido al p ar de torsión T = 500 N • m. M uestre el esfuerzo cortante sobre elementos de volumen localizados en esos puntos. Desprecie las con centraciones de esfuerzos en las esquinas.
Prob. 5-105
P ro blem a s
Una porción del fuselaje de un avión puede apro ximarse por la sección transversal mostrada. Si el espesor de su pared de aluminio 2014-T6 es de 10 mm. determine el par de torsión máximo T que puede aplicarse si rperm = 4 MPa. Además, determine el ángulo de torsión en una sec ción de 4 m de longitud.
5-106.
•
241
*5-108. El tubo exagonal de plástico está sometido a un par de torsión de 150 N • m. Determine la dimensión me dia a de sus lados si el esfuerzo cortante permisible es Tperm = 60 MPa. Cada lado tiene un espesor t = 3 mm.
Prob. 5-108
Debido a la fabricación, el círculo interior del tu bo es excéntrico con respeto al círculo exterior. ¿En qué porcentaje se reduce la resistencia torsional cuando la ex centricidad e es igual a un cuarto de la diferencia de los radios?
5-109.
Prob. 5-106
5-107.
El tubo simétrico está hecho de un acero de alta
resistencia con las dimensiones medias mostradas y con un
espesor de 5 mm. Determine el esfuerzo cortante prome dio desarrollado en los puntos A y B cuando se somete a un par de torsión T = 40 N • m. Muestre el esfuerzo cortan te en elementos de volumen localizados en esos puntos. Prob. 5-109
Para un esfuerzo cortante máximo dado, determi ne el factor en que se incrementa la capacidad de tomar un par de torsión si la sección semicircular se invierte de la posición punteada a la sección mostrada. El tubo tiene 0 . 1 pulg de espesor.
5-110.
Prob. 5-107
Prob. 5-110
242
5.8
• CAPÍTULO 5 Torsión
Concentración de esfuerzos La fórmula de la torsión, rmáx = Tc/J, puede aplicarse a regiones de una flecha que tenga una sección transversal circular constante o un ligero ahusamiento. Cuando se presentan cambios bruscos en la sección trans versal, tanto la distribución de esfuerzo cortante como la distribución de deformación cortante en la flecha se vuelven complejas y pueden obte nerse sólo por el uso de m étodos experim entales o posiblem ente por un análisis matemático basado en la teoría de la elasticidad. En la figura 5-35 se muestran tres discontinuidades de la sección transversal comunes en la práctica. Ellas son los copies, que se usan para conectar dos flechas colineales entre sí, figura 5-35«: los cimeros, usados para conectar engra nes o poleas a una flecha, figura 5-35b, y los filetes, utilizados para fabri car una flecha colineal única de dos flechas que tienen diámetros diferen tes, figura 5-35c. En cada caso el esfuerzo cortante máximo ocurrirá en el punto indicado de la sección transversal. Con objeto de eliminar la necesidad de llevar a cabo un análisis com plejo de esfuerzo en una discontinuidad de la flecha, el esfuerzo cortante máximo puede determ inarse para una geometría especificada usando un fa cto r de concentración de esfuerzos torsionales, K. Como en el caso de miembros cargados axialmente, sección .4.7, K es por lo regular tomado de una gráfica. En la figura 5-36 se muestra un ejemplo de una flecha con filetes. Para usar esta gráfica, primero se calcula la relación geométrica
Fig. 5-35
2.0 1.9 1.8 1.7 1.6 K 15 1.4 1.3 1.2
1.1
Fig. 5-36
S ec c ió n
; una igero rans5n de obtee por ígura tunes echas ngrafabrierenen el com•tante do un tso de mado la con étrica
5.8 Concentración de esfuerzos • 243
D/cl para definir la curva apropiada y después, una vez calculada la abs cisa r/d, se halla el valor de K a lo largo de la ordenada. El esfuerzo cor tante máximo se determ ina según la ecuación:
(5-21)
Aquí, la fórmula de la torsión se aplica a la más pequeña de las dos fle chas conectadas, puesto que rmáx ocurre en la base del filete, figura 5-35c. Puede observarse en la gráfica que un aumento en el radio r del filete causa una disminución de K. Por tanto, el esfuerzo cortante máximo en la flecha puede reducirse aumentando el radio del filete. También, si se re duce el diámetro de la flecha más grande, la relación D /d será menor, así como el valor de K , y por tanto Tmáx será menor. Como en el caso de miembros cargados axialmente, los factores de con centración de esfuerzos torsionantes deben utilizarse siempre que se di señen flechas de materiales frágiles, o cuando van a estar sometidas a fa tiga o a cargas de torsión cíclicas. Estos tipos de carga dan lugar a la formación de grietas en la zona de concentración de esfuerzos, y esto pue de a menudo conducir a una falla súbita de la flecha. Obsérvese también que si se aplica una carga torsional estática grande a una flecha fabricada de un material dúctil, entonces pueden desarrollarse deformaciones inelásticas en la flecha. Como resultado de la fluencia, la distribución del es fuerzo estará distribuida más suavemente en la flecha, de modo que el esfuerzo máximo que resulte no estará limitado a la zona de concentra ción de esfuerzos. Este fenómeno se estudiará más ampliamente en la sec ción siguiente.
PUNTOS IMPORTANTES • Las concentraciones de esfuerzos en flechas ocurren en puntos de cambios repentinos en la sección transversal, como acoplamien tos o cuñeros y filetes. Entre más severo es el cambio, mayor se rá la concentración de los esfuerzos. • Para el análisis o el diseño, no es necesario conocer la distribu ción exacta del esfuerzo cortante sobre la sección transversal. Es posible obtener el esfuerzo cortante máximo usando un factor K de concentración de esfuerzos, que ha sido determinado mediante experimentos y es sólo una función de la geometría de la flecha. • Normalmente, la concentración de esfuerzos en una flecha dúctil sometida a un par de torsión estático no tendrá que ser conside rado en el diseño, sin embargo, si el material es frágil, o está so metido a cargas de fatiga, entonces las concentraciones de esfuer zos resultan importantes.
Las concentraciones de esfuerzos pueden ocurrir en el acoplamiento de estas flechas, lo que debe tomarse en cuenta al diseñar el acoplamiento.
244 • CAPÍTULO 5 Torsión
E J E M P L O La flecha escalonada mostrada en la figura 5-37a está soportada por cojinetes & r\A yB . Determine el esfuerzo máximo en la flecha debido a los pares de torsión aplicados. El filete en la unión de cada flecha tie ne un radio r de 6 mm.
60 N m 30 Nm
Fig. 5-37 r=30 N-m 30 N-m
Solución
'O (b)
Par de torsión interno. Por inspección, el equilibrio por m om ento respecto al eje de la flecha se satisface. Como el esfuerzo cortante má ximo ocurre en los extremos de las raíces de las flechas de menor diá metro, el par interno (30 N •m) puede encontrarse ahí aplicando el mé todo de las secciones, figura 5-37b. Esfuerzo cortante máximo. El factor de concentración de esfuerzos puede determ inarse usando la figura 5-36. De la geometría de la flecha tenemos:
esfuerzo cortante predicha por la fórmula de la torsión
del esfuerzo cortante según la concentración de esfuerzos
D
2(40 mm)
d
2 (2 0
r _ d
mm = 0.15 2 ( 2 0 mm)
mm)
=
2
6
Con estos parám etros se obtiene K = 1.3. Aplicando la ecuación 5-21, tenemos:
(c)
K
Te
= 1.3
30 N • m(0.020 m) . Í7r/2)(0.020 m)
= 3.10 MPa
Resp.
Por evidencia experimental, la distribución real de los esfuerzos a lo largo de una línea radial en la sección transversal de la sección crítica tiene una forma similar a la mostrada en la figura 5-37c, y en la cual se compara con la distribución lineal de esfuerzos obtenida con la fórmu la de la torsión.
S e c c ió n
*5.9
Torsión inelástica
Las ecuaciones para el esfuerzo y la deformación desarrolladas hasta aho ra son válidas solamente si el par de torsión aplicado ocasiona que el ma terial se comporte de m anera elástico-lineal. Sin embargo, si las cargas de torsión son excesivas, el material puede fluir y, por consiguiente, deberá usarse entonces un “análisis plástico” para determ inar la distribución del esfuerzo cortante y el ángulo de torsión. Para llevar a cabo este análisis es necesario satisfacer las condiciones tanto de deformación como de equi librio en la flecha. En la sección 5.1 se mostró que las deformaciones unitarias cortantes que se desarrollan en el material deben variar linealmente desde cero en el centro de la flecha hasta un máximo en su límite exterior, figura 5-38«. Esta conclusión se basó enteram ente en consideraciones geométricas y no en el com portam iento del material. También el par de torsión resul tante en la sección debe ser equivalente al par de torsión causado por to da la distribución de esfuerzo cortante sobre la sección transversal. Esta condición puede expresarse m atemáticamente considerando el esfuerzo cortante r que actúa sobre un elemento de área dA localizado a una dis tancia pdel centro de la flecha, figura 5-386. La fuerza producida por es te esfuerzo es dF = r dA , y el par de torsión producido es d T - p d F = p r dA . Para toda la flecha se requiere que: T = [ p rdA
(5-22)
Si el área dA sobre la cual actúa r puede definirse como un anillo dife rencial que tiene un área de dA = 2irp dp, figura 5-38c, entonces la ecua ción anterior puede escribirse como: rp 2 dp
T = 2tt
(5-23)
A
Estas condiciones de geometría y carga serán usadas ahora para deter minar la distribución del esfuerzo cortante en una flecha cuando está so metida a tres tipos de par de torsión.
Distribución linea! esfuerzo-deformación unitaria (a) Fig. 5-38
5.9 Torsión inelàstica • 245
246 • CAPÍTULO 5 Torsión
Par elástico máximo. Si el par de torsión produce la máxima defor mación unitaria cortante elástica y Y en el límite exterior de la flecha, en tonces la distribución de la deformación unitaria cortante a lo largo de una línea radial de la flecha será como la mostrada en la figura 5-3%. Pa ra establecer la distribución del esfuerzo cortante, debemos usar ya sea la ley de Hooke o hallar los valores correspondientes del esfuerzo cortante a partir del diagrama r-y del material, figura 5-39«. Por ejemplo, una de formación unitaria cortante y Y produce el esfuerzo cortante t y en p = c. De la misma manera, en p = p b la deformación unitaria cortante es yx = (Pi/c)y Y. Según el diagrama r-y, yj produce rj. Cuando estos esfuerzo y otros como ellos se trazan en p = c, p = pj, etc., resulta la distribución de esfuerzo cortante lineal esperada en la figura 5-39c. Puesto que esta dis tribución de esfuerzo cortante puede describirse m atemáticamente como t = t y ( p / c ) . el par máximo de torsión elástica puede determinarse a par tir de la ecuación 5-23, es decir, Ty =
2
-rrJ TY ( ^ j p 2 dp
o Ty =
j t y c3
(5-24)
Este mismo resultado puede, por supuesto, obtenerse de una m anera más directa usando la fórmula de la torsión, es decir, t y = T y c/ [ ( tt / 2 )c4]. Además, el ángulo de torsión puede determinarse a partir de la ecuación 5-13, como sigue: dx dé = y —
(5-25)
Como se observó en la sección 5.4. esta ecuación da por resultado é ~ TL/JG, cuando la flecha está sometida a un par de torsión constante y tie ne un área transversal constante.
Par de torsión elastoplástico. Consideremos ahora que el material de la flecha exhibe un comportamiento plástico perfectam ente elástico. Como se muestra en la figura 5-40a. esto está caracterizado por un dia-
r
Distribución de la deformación unitaria cortante (b) Fig. 5-39
Distribución del esfuerzo cortante
(c)
S e c c ió n
5.9 Torsión inelàstica
• 247
grama esfuerzo-deformación unitaria cortante en que el material experi menta una cantidad creciente de deformación unitaria cortante cuando el esfuerzo cortante en el material alcanza el punto de fluencia t y ■Enton ces, a medida que el par de torsión aplicado vaya aum entando en magni tud arriba de TY, comenzará a presentarse la fluencia. Primero en el lími te exterior de la flecha, p = c, y luego, según la deform ación unitaria cortante vaya aum entando a. digamos, y'. el límite de la fluencia progre sará hacia el centro de la flecha, figura 5-40i>. Como se muestra, esto pro duce un núcleo elástico, donde, por proporción, el radio externo del nú cleo espy = (yY /y')c.También la porción exterior de la flecha formará un anillo o corona circular plástica, puesto que las deformaciones unitarias cortante y son mayores que y Y dentro de esta región. En la figura 5-40c se muestra la distribución del esfuerzo cortante correspondiente a lo lar go de una línea radial de la flecha. Ésta fue establecida tomando puntos sucesivos en la distribución de la deformación unitaria cortante, y hallan do el valor correspondiente del esfuerzo cortante a partir del diagrama r -y. Por ejemplo, en p = c, y ' da y Y, y en p = pY y Y da también t y , etcé tera. Puesto que r puede ahora ser establecido en función de p, podemos apli car la ecuación 5-23 para determ inar el par de torsión. Como una fórmu la general, para un material de com portamiento elastoplástico. tenemos:
'o
7T
a
ZlT
. •a
-5 .
^— Typy + -X~tY(c - Py) 2 2py Py 3 (5-26)
-A nillo
r r plástico
Distribución de la deformación unitaria cortante (b) Fig. 5-40
Distribución del esfuerzo cortante (c)
248
• CAPÍTULO 5 Torsión
Par de torsión plástico. U n aumento adicional de T tenderá a reducir el radio del núcleo elástico hasta que todo el material fluya, es decir, pY —» 0 , figura 5-406. El material de la flecha está entonces sometido a un com portamiento perfectamente plástico y la distribución del esfuerzo cortan te es constante, como se muestra en la figura 5-40d. Puesto que entonces t = ry, podemos aplicar la ecuación 5-23 para determ inar el p a r de tor sión plástico, Tp, el cual representa el par de torsión más grande posible que la flecha puede soportar. C
Tp = 2tt
typ
2
dp
'o = y TyC3
(5-27)
Por comparación con el par de torsión elástico máximo Ty, ecuación 5-24, puede verse que: r , - ¡T y
Severa torcedura de un espécimen de alu minio causada por la aplicación de un par de torsión plástico.
En otras palabras, el par de torsión plástico es 33 % más grande que el par de torsión elástico máximo. El ángulo de torsión >para la distribución del esfuerzo cortante en la figura 5-40d no puede ser definido en forma única. Esto es porque r = t y no corresponde a ningún valor único de la deformación unitaria cortante 7 5 : En consecuencia, una vez que T p se aplica, la flecha continuará deformándose o torciéndose, sin ningún aum ento correspondiente en el esfuerzo cortante.
Par de torsión último. En general, la mayoría de los materiales de in geniería tendrán un diagrama esfuerzo-deformación unitaria cortantes como el que se muestra en la figura 5-41«. Por consiguiente si T aumenta de modo que la deformación unitaria cortante máxima en la flecha resulte y = yu, figura 5-416, entonces, por proporción, y Y ocurre en pY = (y Y/y,,)c. De igual manera, las deformaciones unitarias cortantes en, digamos, p = P\ Y P ~ P2 pueden ser halladas por proporción, es decir, yx = {pi/c)yu y y 2 = { P i / C)y u - Si se toman valores correspondientes de t ¡ , t y , t 2 y r „ del diagrama r-y y se trazan, obtenemos la distribución del esfuerzo cortan-
Anillo plástico
T
Núcleo elástico
Yy
Y'
Distribución de la deformación unitaria cortante
Par de torsión totalmente plástico
(e)
(f)
(d) Fig. 5-40 (cont.)
S e c c ió n
te, que actúa sobre una línea radial en la sección transversal, figura 5-41 c. El par de torsión producido por esta distribución del esfuerzo se llama p a r de torsión últim o, Tu, puesto que cualquier aum ento posterior en la deformación unitaria cortante causará que el esfuerzo cortante máximo en el límite exterior de la flecha sea m enor que r,„ y, por tanto, el par de torsión producido por la distribución de esfuerzo cortante y resultante se ría menor que Tu. La magnitud de T „ puede determ inarse integrando “gráficamente” la ecuación 5-23. Para ello se segmenta el área de la sección transversal de la flecha en un núm ero finito de anillos, tal como el que se muestra som breado en la figura 5-4 Id. El área del anillo, AA = 2-rrp Ap, se multiplica por el esfuerzo cortante r que actúa sobre ella, de modo que la fuerza AF = r AA puede determinarse. El par de torsión creado por esta fuer za es, entonces, AT = p AF = p (tA A ). La suma de todos los pares de tor sión en toda la sección transversal, así determ inada, da el par de torsión último T„; esto es, la ecuación 5-23 se convierte en Tu ~ l i r l r p 2 Ap. Por otra parte, si la distribución del esfuerzo puede expresarse como una fun ción analítica, r = /(p ), como en los casos del par de torsión elástica y plás tica, entonces la integración de la ecuación 5-23 puede llevarse a cabo di rectamente.
Distribución de la deformación unitaria cortante última (b)
Distribución del esfuerzo cortante último (c)
(d)
Fig. 5-41
PUNTOS IMPORTANTES • La distribución esfuerzo-deformación unitaria sobre una línea ra dial se basa en consideraciones geométricas, y se encuentra que siempre permanece lineal. Sin embargo, la distribución esfuerzo cortante depende del par aplicado y debe por lo tanto ser deter minada a partir del com portamiento del material, o diagrama esfuerzo-deformación unitaria cortante. • Una vez que se ha establecido la distribución esfuerzo cortante para la flecha, ella produce un par de torsión respecto al eje de la flecha que es equivalente al par de torsión resultante que ac túa sobre la sección transversal. • El comportamiento perfectamente plástico supone, que la distri bución de esfuerzo cortante es constante, y que la flecha conti nuará torciéndose sin un incremento del par. Este par de torsión se llama par de torsión plástico.
5.9 Torsión inelástica
(a)
249
250 .
CAPÍTULO 5 Torsión
E J E M P L O La flecha tubular en la figura 5-42« está hecha de una aleación de alu minio que tiene el diagrama elastoplástico r-y mostrado. Determ ine (a) el par de torsión máximo que puede aplicarse a la flecha sin que el material fluya, (b) el par de torsión máximo o par de torsión plástico que puede aplicarse a la flecha. ¿Cuál debe ser la deformación unita ria cortante mínima en el radio exterior para que se desarrolle un par de torsión plástico?
50 mm
Solución 30 mm
Par de torsión elástico máximo. Se requiere que el esfuerzo cortan te en la fibra exterior sea de 20 MPa. Usando la fórmula de la torsión, tenemos:
r(M P a) ty
=
7Ve J '
20(106) N /m 2 = TY = 3.42
7>(0.05 m) (tt/2)[(0.05 m ) 4 - (0.03 m )4] kN • m
Resp.
Las distribuciones del esfuerzo cortante y de la deformación unita ria cortante para este caso se muestran en la figura 5-426. Los valores en la pared interior del tubo se obtienen por proporción. Par de torsión plástico. La distribución del esfuerzo cortante en es te caso se muestra en la figura 5-42c. La aplicación de la ecuación 5-23 requiere que r = ry. Tenemos: 0.05 m
20 MPa
Distribución del esfuerzo cortante elástico
1
0.05 m
[20(106) N /m 2]p2 dp = 125.66(106) - p 3 = 27T 0.03 m A i m -'0.03 = 4 .1 0 k N -m Resp. Para este tubo, Tp representa 20% de increm ento en la capacidad por par de torsión en comparación con el par elástico T Y. Deformación unitaria cortante en el radio exterior. El tubo se plas tifica totalm ente cuando la deformación unitaria cortante en la pared interior es de 0.286(10-3) rad, según se muestra en la figura 5-42c. Co mo la deformación unitaria cortante permanece lineal sobre la sección transversal, la deformación unitaria plástica en las fibras exteriores del tubo en la figura 5-42c se determina por proporción; esto es. ya
0.286(10-3) rad
50 mm
30 mm
y a = 0.477(10-3) rad
Distribución de la deformación unitaria cortante elástica (b) Fig . 5-42
cortame plástica inicial
cortante plástico (c)
Resp.
S e c c ió n
E J E M P L O
5.9 Torsión inelàstica
5.20
U na flecha sólida circular tiene un radio de 20 mm y longitud de 1.5 m. El material tiene un diagrama T-y elastoplástico como el mostrado en la figura 5-43«. Determine el par de torsión necesario para torcer la fle cha un ángulo c¡>= 0 . 6 rad. r(MPa)
(a)
Solución Para resolver el problema obtendrem os prim ero la distribución de la deformación cortante y luego la distribución del esfuerzo cortante. Una vez determinado esto, puede fijarse la magnitud del par buscado. La deformación cortante máxima ocurre en la superficie de la flecha, es decir, en p = c. Como el ángulo de torsión es = 0.6 rad en toda la longitud de 1.5 m de la flecha, usando la ecuación 5-25 para toda la lon gitud, tenemos: ó
0.6
= y-
Ymáx( 1-5 m )
=
Distribución de la deformación unitaria cortante
(0.02 m)
Tmáx
y Y = 0.0016 rad
(b )
= 0.008 rad
La deformación cortante, que siempre varía linealmente, se muestra en la figura 5-436. Note que el material fluye ya que ymáx > y Y = 0.0016 rad en la figura 5-43«. El radio del núcleo elástico, p y , puede obtener se por proporción. De la figura 5-436, Py
m 0.008
0 .0 2
0.0016
py = 0.004 m = 4 mm En la figura 5-43c se m uestra la distribución del esfuerzo cortante, trazada sobre un segmento de línea radial, con base en la distribución de la deformación cortante. El par de torsión puede ahora obtenerse usando la ecuación 5-26. Sustituyendo los datos numéricos, se obtiene:
(c)
Fig. 5-43 T
= ^
( 4 c 3 -
tj-[75(106)
1.25 kN -m
p y )
N /m 2
[4(0.02 m )3 - (0.004 m )3] Resp.
•
251
252
• CAPITULO 5 Torsión
*5.10
Esfuerzo residual Cuando una flecha está sometida a deformaciones por cortante plástica causadas por torsión, el retiro del par de torsión ocasionará que cierto es fuerzo cortante permanezca en la flecha. Este esfuerzo se llama esfuerzo residual, y su distribución puede calcularse usando los principios de su perposición. La recuperación elástica fue analizada en la sección 3.4, y se refiere al hecho de que cuando un material se deforma plásticamente, parte de la deformación del material se recupera cuando la carga se retira. Por ejem plo si un material se deforma a y \, m ostrada por el punto C en la curva T - y de la figura 5-44, el retiro de la carga causará un esfuerzo cortante in verso, de modo que el comportamiento del material seguirá el segmento CD en línea recta, creando cierta recuperación elástica de la deformación cortante y \. Esta línea es paralela a la porción inicial A B en línea recta del diagrama T -y , y por tanto ambas líneas tienen una pendiente G como se indica. Para ilustrar cómo puede determinarse la distribución de esfuerzo re sidual en una flecha, prim ero consideremos que la flecha está sometida a un par de torsión plástica Tp. Como se explicó en la sección 5.9, Tp crea una distribución del esfuerzo cortante como se muestra en la figura 5-45«. Supondremos que esta distribución es una consecuencia de la deforma-
Fig. 5-44
S e c c ió n 5 .1 0
ción del material en el límite exterior de la flecha hasta j) en la figura 5-44. También, que y! es lo suficientemente grande como para que se pueda su poner que el radio del núcleo elástico tiende a cero, esto es, y\ 5 £> y Y. Si Tp se retira, el material tiende a recuperarse elásticamente, a lo largo de la línea CD. Puesto que ocurre un com portamiento elástico, podemos su perponer sobre la distribución de esfuerzos en la figura 5-45a una distri bución lineal de esfuerzos causada al aplicar el par de torsión plástica T /; en la dirección opuesta, figura 5-456. Aquí el esfuerzo cortante máximo t„ calculado para esta distribución del esfuerzo, se llama módulo de ruptura por torsión. Se determina a partir de la fórmula de la torsión,* lo cual da:
Esfuerzo residual
Par de torsión plástico aplicado que genera deformaciones unitarias cortantes en toda la flecha (a)
Tpc Tr =
Tpc
(7r/2)c
Usando la ecuación 5-27, [(2/3)'77TyC3]c
4
( tt/ 2 ) c 4
= 3 Ty
T, -
Observe que aquí es posible la aplicación invertida de Tp usando la dis tribución lineal de esfuerzo cortante de la figura 5-456, puesto que la re cuperación máxima de la deformación elástica por cortante es 2yY, como se vio en la figura 5-44. Esto corresponde al esfuerzo cortante máximo aplicado de 2 r y el cual es mayor que el esfuerzo cortante máximo de \ r Y calculado anteriormente. De aquí que, por superposición de las distribu ciones del esfuerzo que impliquen la aplicación y luego el retiro del par de torsión plástico, tenemos la distribución del esfuerzo cortante residual en la flecha, como se muestra en la figura 5-45c. D eberá observarse en es te diagrama que el esfuerzo cortante en el centro de la flecha, mostrado como T y , debe realmente ser cero, puesto que el material a lo largo del eje de la flecha no está deformado. La razón de que esto no sea así es que he mos supuesto que todo el material de la flecha fue deformado más allá del límite proporcional como objeto de determinar el par de torsión plástico, fi gura 5-45a. Para ser más realistas, cuando se modela el comportamiento del material debe considerarse un par de torsión elastoplástico. Esto conduce así, a la superposición de las distribuciones de esfuerzos que se muestran en la figura 5-45d.
Par de torsión plástico invertido que causa deformaciones unitarias elásticas en toda la flecha
(b)
Distribución del esfuerzo cortante residual en la flecha
+
Distribución del esfuerzo cortante residual en la flecha (d)
Fig. 5-45 *La fórm ula de ¡a torsión es válida sólo cuando el m aterial se com porta de m an era elástico-lineal: sin em bargo, el m ódulo de ru p tu ra se llam a así p o rq u e se supone que el material se com porta elásticam ente y luego se ru m p t rep en tin am en te en el lím ite proporcional.
(c)
• 253
254 • CAPÍTULO 5 Torsión
E J E M P L O Un tubo está hecho con una aleación de latón; tiene 5 pies de longitud y el área transversal m ostrada en la figura 5-46«. El material tiene un diagrama elastoplástico t - y. también mostrada en la figura 5-46«. D eter mine el par de torsión plástica Tp. ¿Cuál es la distribución del esfuerzo cortante residual y el ángulo de torsión permanente del tubo si Tp se remue ve justamente después de que el tubo queda totalmente plastificado? Solución Par de torsión plástica. El par de torsión plástica Tp deformará el tubo de modo que todo el material fluya. La distribución de esfuerzos será co mo la mostrada en la figura 5-466. Aplicando la ecuación 5-23, tenemos: O /JT
TyP2 dp = T T y ( c l- C J )
Tp = 2 v 2 tt
=^
0.002
( 1 2 ( 1 0 3) lb/pulg 2 ) [ ( 2 pulg ) 3 - ■(1 pulg)3] = 175.9 klb ■pulg Resp-
En el mom ento en que el tubo queda totalm ente plastificado, la fluenrad. figura 5-46«. El ángulo de torsión que se presenta puede determ i narse con la ecuación 5-25, que para el tubo entero da: (0.002)(5 pies)(12 pulg/pie) * , - y y j, -
(1
pulg)
=
0 .1 2 0
rad "j
Cuando se remueve Tp, o en efecto se reaplica en sentido opuesto, de be superponerse la distribución de esfuerzo cortante lineal “ficticia” mos trada en la figura 5-46c a la m ostrada en la figura 5-46£>. En la figura 5-46c, el esfuerzo cortante máximo o el módulo de ruptura se calcula con la fórmula de la torsión: Tpc0 rr -
J
(175.9 klb • pulg)(2 pulg) ( 7 r/ 2 ) [ ( 2 pulg ) 4 -
(1
pulg)4]
= 14.93 klb/pulg 2
También, en la pared interior del tubo el esfuerzo cortante es: t¡
= (14.93 klb/pulg 2
iPH Ít?) = 2 p u lg /
7
4 7
klb/pulg 2
De la figura 5-46«, G = TY j y Y = 12 klb/pulg 2 /(0.002 rad) = 6000 klb/pulg2, por lo que el ángulo correspondiente de torsión 4>¡>al rem o ver Tp, es entonces: Distribución del esfuerzo cortante residual Fig. 5-46
TpL (175.9 klb • pulg)(5 pies)(12 pulg/pie) 'P =-77T = JG (tt/2)[(2 pulg ) 4 (1 pulg)4]6000 klb/pulg 2 En la figura 5-46
4> = 0.120 - 0.0747 = 0.0453 rad *¡
Resp.
P ro blem a s
•
255
PROBLEMAS La flecha de acero está hecha de dos segmentos, A B y BC. conectados por medio de un filete de soldadura con radio de 2.8 mm. D eterm ine el esfuerzo cortante má ximo desarrollado en la flecha.
5-111.
La flecha com puesta está diseñada para girar a 720 rpm m ientras transm ite 30 kW de potencia girando a 720 rpm. ¿Es esto posible? El esfuerzo cortante permi sible es Tperm = 12 MPa. 5-114.
5-115. La flecha com puesta está diseñada para girar a 540 rpm. Si el radio del filete que conecta las flechas es r = 7.20 mm y el esfuerzo cortante permisible del material es T^rn, = 55 MPa. determ ine la potencia máxima que la flecha puede transmitir.
C
60 N-m
Prob. 5-111
*5-112. La flecha se usa para transm itir 0.8 hp girando a 450 rpm. Determine el esfuerzo cortante máximo en la fle cha. Los segmentos están conectados por medio de un fi lete de soldadura con radio de 0.075 pulg.
I pulg
*5-116. El acero usado para la flecha tiene un esfuerzo cortante permisible rpcrm = 8 MPa. Si los miembros están conectados m ediante un filete de soldadura de radio r = 2.25 mm, determ ine el par de torsión T máximo que puede aplicarse.
Prob. 5-112
El conjunto está sometido a un par de torsión de 710 lb-pulg. D eterm ine el radio del filete de menor tam a ño que puede usarse para transmitir el par si el esfuerzo cortante permisible del material es Tpi;rm = 12 klb/pulg2.
2
5-113.
0.75 pulg
2
Probs. 5-116
Una flecha sólida está sometida al par de torsión T que ocasiona que el material fluya. Si el material es elastoplástico, dem uestre que el par puede expresarse en tér minos del ángulo de torsión de la flecha como T = y Ty (1 - <£3y/4<£3),donde T Y y é Yson el par y el ángulo de tor sión cuando el material empieza a fluir. 5-117.
U na flecha sólida con diám etro de 2 pulg está he cha de un material elastoplástico con esfuerzo de fluencia ty = 16 klb/pulg2 y módulo cortante G = 12(103) klb/pulg2. Determine el par de torsión requerido para desarrollar un núcleo elástico en la flecha con diám etro de 1 pulg. ¿Qué valor tiene este par plástico?
5-118.
Determ ine el par de torsión necesario para torcer un alambre corto de 3 mm de diám etro varias vueltas si es tá hecho de acero con com portam iento elastoplástico y esfuerzo de fluencia t y = 80 MPa. Suponga que el m ate rial se plastifica totalmente.
5-119.
Prob. 5-113
710 lb pie
256
• CAPITULO 5 Torsión
U na flecha sólida tiene diámetro de 40 mm y lon gitud de 1 m. Está hecha de un material elastoplástico con esfuerzo de fluencia Ty = 100 MPa. Determ ine el par de torsión T Y máximo elástico y el correspondiente ángulo de torsión. ¿Qué valor tiene el ángulo de torsión si el par se incrementa a T = 1.27Y? G = 80 GPa. *5-120.
Determine el par de torsión necesario para torcer un alambre corto de 2 mm de diámetro varias vueltas si es tá hecho de acero elastoplástico con esfuerzo de fluencia Ty = 50 MPa. Suponga que el material se plastifica total mente. 5-121.
U na barra con sección transversal circular con 3 pulg de diámetro está sometida a un par de torsión de 100 pulg-klb. Si el m aterial es elastoplástico con t y = 16 klb/pulg2, determine el radio del núcleo elástico.
El tubo de 2 m de longitud está hecho de un ma terial con com portamiento elastoplástico como el m ostra do. Determ ine el par de torsión T aplicado que somete el m aterial del borde exterior del tubo a una deform ación cortante unitaria ymáx = 0.008 rad. ¿Cuál será el ángulo de torsión perm anente en el tubo cuando se retire el par? Es boce la distribución del esfuerzo residual en el tubo. *5-124.
5-122.
45
U na flecha de radio c = 0.75 pulg está hecha de un material con el com portam iento elastoplástico m ostra do en la figura. D eterm ine el par de torsión T que debe aplicarse en sus extrem os para que se genere un núcleo elástico de radio p = 0.6 pulg. Determ ine el ángulo de tor sión cuando la flecha tiene 30 pulg de longitud.
5-123.
r(M P a)
y (rad) 0.003 P ro b . 5-124
5-125. La flecha consiste en dos secciones rígidamente conectadas entre sí. Si el material tiene un com portamien to elastoplástico como el mostrado, determ ine el par de torsión T más grande que puede aplicarse a la flecha.Tam bién dibuje la distribución del esfuerzo cortante sobre una línea radial para cada sección. D esprecie el efecto de la concentración de esfuerzos.
r (klb/pulg-)
t
3 ------ ■/-------
12
y (rad)
0.006
Prob. 5-123
(klb/pulg2) —
y(rad) 0005
Prob. 5-125
Pro blem a s
5-126. La flecha está hecha con un material endurecido por deformación con un diagrama r-ycom o el mostrado. Determine el par de torsión T que debe aplicarse a la fle cha para generar un núcleo elástico con radio pc = 0.5 pulg.
•
257
*5-128. El diagrama de esfuerzo-deformación unitaria cortante para una flecha sólida de 50 mm de diámetro pue de representarse por el diagrama dado en la figura. D eter mine el par de torsión requerido para generar un esfuer zo cortante máximo en la flecha de 125 MPa. Si la flecha tiene 3 m de longitud, ¿cuál es el ángulo de torsión corres pondiente?
r(M P a) 0.6 pulg r(klb/pulg:)
P ro b . 5-128 P ro b . 5-126
5-127. La flecha tubular está hecha con un material en durecido por deformación con un diagrama r-y como el mostrado. D eterm ine el par de torsión T que debe aplicar se a la flecha para que la deformación cortante unitaria máxima sea de 0.01 rad.
5-129. El tubo de 2 m de longitud está hecho con un ma terial con el com portam iento elastoplástico m ostrado en la figura. Determ ine el par de torsión T aplicado que so mete al material en el borde exterior del tubo a una defor mación unitaria cortante ymáx = 0.006 rad. ¿Cuál será el ángulo perm anente de torsión en el tubo cuando se retire este par? Esboce la distribución de los esfuerzos residua les en el tubo.
Prob. 5-127
Prob. 5-129
REPASO DEL CAPÍTULO • Un par de torsión ocasiona que una flecha con sección transver sal circular se tuerza, de manera tal que la deformación unitaria cortante en la flecha es proporcional a su distancia radial desde el centro. Si el material es homogéneo y la ley de Hooke es apli cable, entonces el esfuerzo cortante se determ ina a partir de la fórmula de la torsión t = Tc/J. • Para diseñar una flecha es necesario encontrar el parám etro geo métrico — = 7’/ r perm. La potencia generada por una flecha rota toria es dada a menudo: en este caso el par de torsión se deter mina con P = Tco. • El ángulo de torsión de una flecha circular se determ ina con , , T (x )d x TL = J o j q , o si el par y JG son constantes, entonces >= . Para las aplicaciones es necesario usar una convención de signos pa ra el par de torsión interno y asegurarse que el material no fluye, sino que permanece elástico lineal. • Si la flecha es estáticamente indeterminada, entonces los pares reactivos se determ inan por equilibrio, compatibilidad de giros y la relación par de torsión-giro, tal como <¡> = TL/JG . • Las flechas sólidas no circulares tienden a alabearse fuera del pla no transversal al ser sometidas a un par de torsión. Se dispone de fórmulas para determ inar el esfuerzo cortante elástico y el giro para esos casos. • El esfuerzo cortante en tubos se determ ina considerando el flu jo cortante en el tubo. Esto supone que el esfuerzo cortante a tra vés de cada espesor t del tubo es constante. Su valor se determi na con rprom = T/2í A m. • En flechas ocurren concentraciones de esfuerzos cuando la sección transversal cambia repentinamente. El esfuerzo cortante máximo se determina usando un factor K de concentración de esfuerzo, que se determina a partir de experimentos y se representa en for ma gráfica. Una vez obtenido, rmáx = K(Tc/J). • Si el par de torsión aplicado ocasiona que el material exceda el limite elástico, entonces la distribución de esfuerzos no será pro porcional a la distancia radial desde la línea central de la flecha. El par de torsión está entonces relacionado con la distribución del esfuerzo m ediante el diagrama de esfuerzo cortante-deformación unitaria cortante y con el equilibrio. • Si una flecha está sometida a un par de torsión plástico, que es luego retirado, el material responderá elásticamente, ocasionan do con ello que se desarrollen esfuerzos cortante residuales en la flecha.
260
• CAPÍTULO 5 Torsión
PROBLEMAS
DE
REPASO
Considere un tubo de pared delgada de radio m e dio r y espesor i. D em uestre que el esfuerzo cortante m á ximo en el tubo debido a un par de torsión T tiende al es fuerzo cortante promedio calculado con la ecuación 5-18 cuando r /t —> 5-134.
■5-138. La flecha ahusada está hecha de aluminio 2014T6 y tiene un radio que puede describirse por la función r = 0.02(1 + x 3^2) m. donde ,v está en metros. D eterm ine el ángulo de torsión de su extremo A si está sometida a un par de torsión de 450 N •m.
P ro b . 5-134
El tubo tiene un diám etro exterior de 0.75 pulg y un diám etro interior de 0.68 pulg. Si está firm emente su jetado a la brida, determine la distribución del esfuerzo cortante a lo largo de la altura del tubo cuando se aplica el par mostrado a la barra de la llave. 5-135.
*5-136. El tubo tiene un diám etro exterior de 0.75 pulg y un diám etro interior de 0.68 pulg. Si está firmemente su jetado a la brida en B, determine la distribución del esfuer zo cortante a lo largo de una línea radial situada a la mi tad de la altura del tubo cuando se aplica el par mostrado a la barra de la llave.
P ro b . 5-138
Si la flecha sólida A B a la cual está unida la cruceta es de latón rojo C83400 y tiene un diámetro de 10 mm, de term ine las fuerzas máximas del par que puede aplicarse a la cruceta antes de que el material empiece a fallar. Con sidere Tpgrm = 40 MPa. ¿Cuál es el ángulo de torsión de la cruceta? La flecha está fija en A.
5-139.
P robs. 5-135/136
El tubo perforador de un pozo petrolero está he cho de acero y tiene un diám etro exterior de 4.5 pulg y un espesor de 0.25 pulg. Si el tubo está girando a 650 rpm al ser impulsado por un motor de 15 hp. determ ine el esfuer zo cortante máximo en el tubo. 5-137.
F Prob. 5-139
P ro blem a s de repaso
*5-140. La flecha sólida A B unida a la cruceta está he cha de latón rojo C83400. D eterm ine el diám etro más pe queño de la flecha de modo que el ángulo de torsión no pase de 0.5° y el esfuerzo cortante no pase de 40 MPa cuan do F = 25 N.
•
261
La flecha de 60 mm de diám etro gira a 300 rpm. Este movimiento es causado por las desiguales tensiones en la banda de la polea de 800 N y 450 N. D eterm ine la po tencia transmitida y el esfuerzo cortante máximo desarro llado en la flecha.
5-142.
Prob.5-142 P ro b . 5-140
✓
El material de que está hecha cada una de tres fle chas tiene un esfuerzo de fluencia de r Y y un módulo de cortante de G. Determ ine qué geometría para la flecha re sistirá el mayor par de torsión sin fluir. ¿Q ué porcentaje de este par puede ser tomado por las otras dos flechas? Su ponga que cada flecha está hecha con la misma cantidad de material y que tiene la misma área transversal. 5-141.
Prob. 5-141
El tubo de aluminio tiene un espesor de 5 mm y las dimensiones externas m ostradas en su sección trans versal. D eterm ine el esfuerzo cortante máximo promedio en el tubo. Si el tubo tiene una longitud de 5 m, determ ine el ángulo de torsión. G aI = 28 GPa.
5-143.
Prob. 5-143
Las vigas son miembros estructurales importantes usadas en la construcción de edificios. Su d se ñ o se basa a m enudo en su capacidad de resistir esfuerzos de flexión, que es el tema de este capítulo.
Flexión
OBJETIVOS DEL CAPITULO
Las vigas y las flechas son importantes elementos estructurales y mecánicos en ingeniería. En este capítulo determinaremos los esfuerzos en esos miembros cau sados por flexión. El capítulo comienza con una exposición sobre cómo obtener los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante en vigas y flechas. Igual que los diagramas de fuerza normal y momento torsionante, los diagramas de fuer za cortante y m omento flexionante proporcionan un medio útil para determ inar la fuerza cortante y el mom ento flexionante máximos en un miembro y. a la vez, para indicar dónde ocurren esos valores máximos. Una vez que se determ ina el momento interno en una sección, puede calcularse el esfuerzo de flexión. Consi deraremos primero miembros rectos, con secciones transversales simétricas y fabri cados con material homogéneo, elástico lineal. Después estudiaremos casos espe ciales de flexión asimétrica y miembros hechos de materiales compuestos. Veremos también miembros curvos, concentraciones de esfuerzos, flexión inelástica y es fuerzos residuales.
6.1
Diagramas de fuerza cortante y momento flexionante
Los miembros esbeltos y que soportan cargas aplicadas perpendicular m ente a sus ejes longitudinales se llaman vigas. En general, las vigas son barras rectas y largas que tienen secciones transversales constantes. A menudo se clasifican según el modo en que están soportadas. Por ejem plo, una viga simplemente apoyada está soportada por un pasador en un extremo y por un rodillo en el otro, figura 6 - 1 , una viga en voladizo está empotrada en un extremo y libre en el otro, y una viga con voladizo tiene uno o ambos extremos libres situados más allá de los soportes. Las vigas pueden considerarse entre los elementos estructurales más importantes. Como ejemplos se cuentan los miembros usados para soportar el piso de un edificio, la cubierta de un puente o el ala de un aeroplano. También el eje de un automóvil, la pluma de una grúa e incluso muchos de los hue sos del cuerpo humano funcionan como vigas.
Viga simplemente apoyada
■ Viga en voladizo
Viga con voladizo Fig. 6-1
263
264 • CAPITULO 6 Flexión
.
^
tttT
A - ____________________ D c ----X\ — ------------------------- X3 —
Fig. 6-2
ííH U T rn Carga distribuida positiva V V
11
Fuerza corante interna positiva ______________ M M ____
m
m
)
t m
m
M omento flexionante interno positivo Convención de signos para vigas
Debido a las cargas aplicadas, las vigas desarrollan una fuerza cortante y un momento flexionante internos que, en general, varían de punto a pun to a lo largo del eje de la viga. Para diseñar apropiadam ente una viga es necesario prim ero determ inar la fuerza cortante máxima y el momento flexionante máximo en la viga. Una m anera de hacerlo es expresar V y M como funciones de la posición * a lo largo del eje de la viga. Esas funciones de fuerza córlame y momento flexionante pueden trazarse y representar se por medio de gráficas llamadas diagramas de cortante y momento. Los valores máximos de V y M pueden entonces obtenerse de esas gráficas. Además, como los diagramas de cortante y m omento dan información de tallada sobre la variación de la fuerza cortante y del m omento flexionan te a lo largo del eje de la viga, ellos son usados por los ingenieros para decidir dónde colocar material de refuerzo dentro de la viga o para deter minar el tamaño de la viga en varios puntos a lo largo de su longitud. En la sección 1.2 usamos el método de las secciones para hallar la car ga interna en un punto específico de un miembro. Sin embargo, si tenemos que determ inar V y M como funciones de x a lo largo de una viga, enton ces es necesario localizar la sección imaginaria o cortar a una distancia arbitraria x desde el extremo de la viga y formular K y M e n términos de x. Respecto a esto, la selección del origen y de la dirección positiva para cualquiera x seleccionada es arbitraria. Con frecuencia, el origen se loca liza en el extremo izquierdo de la viga y la dirección positiva se toma ha cia la derecha. En general, las funciones de fuerza cortante y m omento flexionante in ternos obtenidas en función de x serán discontinuas, o bien sus pendien tes serán discontinuas en puntos en que una carga distribuida cambia o donde fuerzas o momentos concentrados son aplicados. Debido a esto, las funciones de cortante y momento deben determ inarse para cada región de la viga localizada entre dos discontinuidades cualesquiera de carga. Por ejemplo, tendrán que usarse las coordenadas x h x 2 y para describir la variación de V y M a lo largo de la viga en la figura 6-2a. Esas coordena das serán válidas sólo dentro de las regiones de A a B para x h de B a C para x 2 y de C a D para x3. Convención de signo para vigas. Antes de presentar un método pa ra determ inar la fuerza cortante y el m omento flexionante como funcio nes de x y luego trazar esas funciones (diagramas de fuerza cortante y mo mento flexionante), es necesario prim ero establecer una convención de signos que nos perm ita definir fuerzas cortantes y momentos flexionantes internos “positivos” y “negativos”. Aunque la selección de una con vención de signos es arbitraria, usaremos aquí la frecuentem ente usada en la práctica de la ingeniería y mostrada en la figura 6-3. Las direcciones positivas son las siguientes: la carga distribuida actúa hacia abajo sobre la viga: la fuerza cortante interna genera una rotación horaria del segmento de viga sobre el cual ella actúa y el momento flexionante interno genera compresión en las fibras superiores del segmento. Las cargas opuestas a éstas se consideran negativas.
S e c c ió n 6 .1
ante pun ja es ento 'y M ones ntar. Los ficas. n deinanpara eteri i cár amos itonmcia os de para locaa hate indienbia o to, las egión a. Por bir la denaBa C
lo painciov moón de Dnani conusada •iones bre la aento enera stas a
Diagramas de fuerza cortante
PUNTOS IMPORTANTES • Las vigas son miembros rectos largos que toman cargas perpen diculares a su eje longitudinal. Ellas se clasifican de acuerdo a co mo están soportadas, por ejemplo, vigas simplemente apoyadas, vigas en voladizo o vigas con voladizo. • Para diseñar apropiadam ente una viga, es im portante conocer la variación de la fuerza cortante y del m omento flexionante a lo largo de su eje para hallar los puutos en que esos valores son má ximos. • Al establecer una convención de signos para la fuerza cortante y el momento flexionante positivos, la fuerza y el momento en la viga pueden ser determinados como función de su posición x y esos valores pueden ser graficados para establecer los diagramas de fuerza cortante y m omento flexionante.
PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS Los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante pueden ser construidos usando el siguiente procedimiento. Reacciones en los soportes. • Determine todas las fuerzas y momentos reactivos que actúan so bre la viga, y resuelva todas las fuerzas en componentes actuan do perpendicular y paralelam ente al eje de la viga. Funciones de fuerza cortante y momento flexionante. • Especifique coordenadas x separadas que tengan un origen en el extremo izquierdo de la viga y se extiendan a regiones de la viga entre fuerzas y/o momentos concentrados, o donde no haya dis continuidad de la carga distribuida. • Seccione la viga perpendicularm ente a su eje en cada distancia x y dibuje el diagrama de cuerpo libre de uno de los segmentos. Ase gúrese de que V y M se muestren actuando en sus sentidos positi vos, de acuerdo con la convención de signos dada en la figura 6-3. • La fuerza cortante se obtiene sumando las fuerzas perpendicu lares al eje de la viga. • El momento flexionante se obtiene sumando los momentos res pecto al extremo seccionado del segmento. Diagramas de fuerza cortante y momento flexionante. • Trace el diagrama de fuerza cortante ( V versus *) y el diagrama de momento flexionante (M versus x). Si los valores numéricos de las funciones que describen V y M son positivos, los valores se trazan sobre el eje x, mientras que los valores negativos se trazan debajo del eje. • En general, es conveniente m ostrar los diagramas de fuerza cor tante y m omento flexionante directam ente abajo del diagrama de cuerpo libre de la viga.
y
momento flexionante
265
266
• CAPÍTULO 6 Flexión
E J E M P L O Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante para la viga m ostrada en la figura 6-4a.
A *-
(b)
(a)
IX
Solución Reacciones en los soportes. tran en la figura 6-4d.
Las reacciones en los soportes se mues-
Funciones de fuerza cortante y momento flexionante. La viga se sec ciona a una distancia x arbitraria del soporte A , extendiéndose dentro de la región A B . y el diagrama de cuerpo libre del segmento izquierdo se muestra en la figura 6-4b. Las incógnitas V y M se indican actuando en sentido positivo sobre la cara derecha del segmento, de acuerdo con la convención de signos establecida. Aplicando las ecuaciones de equili brio se obtiene:
(c)
+Í p_
F, =
0
;
1+ 2M =
0
;
2
2 V
( 1) P M = —x 2
(2 )
En la figura 6-4c se muestra un diagrama de cuerpo libre para un seg mento izquierdo de la viga que se extiende una distancia x dentro de la región BC. Como siempre, V y M se muestran actuando en sentido positivo. Por tanto, M '
= EL 4
+ T2 Fv =
0
:
—- P - V = 0 2
(3) (d)
i+ S M =
0
:
M + P[x- k y r x , 0
Fig.6-4
M = - ! L - x)
(4)
El diagrama de fuerza cortante representa una gráfica de las ecuaciones 1 y 3 y el diagrama de momento flexionante representa una gráfica de las ecuaciones 2 y 4, figura 6-4d. Estas ecuaciones pueden verificarse en par te notando que dV /dx - —w y dM /dx = Ven cada caso. (Esas relaciones se desarrollan en la siguiente sección como las ecuaciones 6 - 1 y 6 -2 .)
S e c c ió n
E J E M P L O
6.1
Diagramas de fuerza cortante
y
momento flexionante
• 267
6.2
Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante para la viga m ostrada en la figura 6-5«.
Solución Reacciones en los soportes. Las reacciones en los soportes fueron de terminadas en la figura 6-5d. Funciones de fuerza cortante y m omento flexionante. Este proble ma es similar al del ejemplo previo, donde dos coordenadas x deben usarse para expresar la fuerza cortante y el momento flexionante en to da la longitud de la viga. Para el segmento dentro de la región A B, fi gura 6-5b, tenemos
+t
2
Fv = =
0
0
: ;
L 2
i)
• ' r
M0 L (c)
M0 V ~ ~~L M - ~
o ■
Y para el segmento dentro de la región BC, figura 6-5c, M0 V = —
i +2A/ = 0;
M, _O M = M0 - — - x
M
M_n 2
Mo M = Mn 1 - —
Diagramas de fuerza cortante y m om ento flexionante. Cuando se grafican las funciones anteriores, se obtienen los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante mostrados en la figura 6-5d. En este caso, observe que la fuerza cortante es constante en toda la longitud de la viga; ella no es afectada por el mom ento M0 que actúa en el centro de la viga. Así como una fuerza genera un salto en el diagrama de fuer za cortante, ejemplo 6 - 1 , un par concentrado genera un salto en el dia grama de momento flexionante.
■
E l
M0 L
x
+ t Z F y = 0;
M
2
(d) Fig. 6-5
268 .
CAPÍTULO 6 Flexión
E J E M P L O Dibuje los diagramas de fuerza cortante y mom ento flexionante para la viga m ostrada en la figura 6 -6 a.
Solución
HUJlH'JHTrrJTT
Reacciones en los soportes. Las reacciones en los soportes fueron de term inadas en la figura 6 -6 c. Funciones de fuerza cortante y momento flexionante. En la figura 6 - 6 6 se muestra un diagrama de cuerpo libre del segmento izquierdo de la viga. La carga distribuida sobre este segmento está representada por su fuerza resultante sólo después de que el segmento se aísla como un diagrama de cuerpo libre. Dado que el segmento tiene una longitud .v, la magnitud de la fuerza resultante es wx. Esta fuerza actúa a través del centroide del área que comprende la carga distribuida, a una dis tancia x/2 desde el extremo derecho. Aplicando las dos ecuaciones de equilibrio se obtiene:
( 8)
M
+t
2
Fv =
0
;
wL
wx — V - 0
(1)
V = w[ — - x
wL
(b) t+ E M =
0
;
+ (w* ) ( f ) + M = w M = y ( L x - x 2)
0
(2 )
Estos resultados para V y M pueden verificarse observando que d V /d x = —w. Esto es ciertam ente correcto, ya que w actúa hacia aba jo. Advierta también que dM /dx = V, como era de esperarse. Diagramas de fuerza cortante y momento flexionante. Estos diagra mas, m ostrados en la figura 6 -6 c, se obtienen graficando las ecuaciones 1 y 2. El punto de fuerza cortante nula puede encontrarse con la ecua ción 1 : V = w[ - - x
1
=
0
L X ~ ~2 En el diagrama de m omento vemos que este valor de x representa el v punto sobre la viga donde se presenta el máximo m om ento. ya que se gún la ecuación 2, la pendiente V = 0 = dM /dx. De la ecuación 2 te nemos:
wL~
S e c c ió n
6.1
Diagramas de fuerza cortante
y
momento flexionante
E J E M P L O Dibuje los diagramas de fuerza cortante y m omento flexionante para la viga mostrada en la figura 6-7a.
W 'O
WqL 2
WqL
c ^ t ííT lI
2
CÍE
- L-
Vt'oí. 2 I
(a)
(b)
Solución
Reacciones en los soportes. La carga distribuida está reemplazada por su fuerza resultante y las reacciones se han determ inado como se muestra en la figura 6-7b. .
l/^O* \ L
2
WqL 2
Funciones de fuerza cortante y m omento flexionante. En la figura 6-7c se muestra un diagrama de cuerpo libre de un segmento de lon gitud .v de la viga. Note que la intensidad de la carga triangular en la sección se encuentra por proporción, esto es, w /x = w0/L o w = wqx/L . Conocida la intensidad de la carga, la resultante de la carga distribui da se determina por el área bajo el diagrama, figura 6-7c. Así,
+ T S £ V=
0
;
WqL
1 f W0x
X -
M
CÍE (c)
V = 0
V
t+ S M . 0;
a f _
+
M = 7 t(-2 L 6 L
+ * _ „ 3
^
+ 3L 2x - x 3)
Estos resultados pueden verificarse aplicando las ecuaciones 6-1 y 6 -2 ; así,
OK OK Diagramas de fuerza cortante y m omento flexionante. de las ecuaciones 1 y 2 se muestran en la figura 6-7d.
Las gráficas
w-
^
• 269
270
• CAPÍTULO 6 Flexión
E J E M P L O Dibuje los diagramas de fuerza cortante y m omento flexionante para la viga mostrada en la figura 6 -8 «.
Solución 6 klb/pie 2 klb/pic
Reacciones en los soportes. La carga distribuida se subdivide en una componente triangular y en una componente rectangular de carga; lue go éstas se reemplazan por sus fuerzas resultantes. Las reacciones se han determinado y se muestran sobre el diagrama de cuerpo'libre de la viga, figura 6 -8 6 .
18 pies -
(a) 36 kib
36 k ib _____4 klb/pie ’ r
........... f ----------- ----------i
^
Funciones de fuerza cortante y momento flexionante. En la figura 6 -8 c se muestra un diagrama de cuerpo libre del segmento izquierdo. Igual que antes, la carga trapezoidal se reemplaza por una distribución rectangular y una triangular. Observe que la intensidad de la carga trianla fuerza y la posición resultantes de cada carga distribuida. Aplicando las ecuaciones de equilibrio, tenemos:
l -------9 p ie s ------- H -------------- 18 pies 30 klb
42 klb
+ '\1 F y = 0; 30 klb - (2 klb/pie)* - ^ ( 4 klb/pie)
18 pie
x - V =0
(b)
V =
M ré )i 4(l^)klb/Pie 181
¡ rUi3 1J
L+ 2 M =
0
30 - 2x - —
klb
(1)
;
2 klb/pie
- 3 0 klb(jc) + (2 k l b / p i e ) * Q + | ( 4 klb/pie)^
\ )M
^
í xi \ M = ( 30* - x 2 - — ) klb • pie
A'
^
30 klb (C)
6 klb/pie 2 klb/pie
27/
+M= 0
(2)
La ecuación 2 puede verificarse considerando que dM /dx = V, esto es, mediante la ecuación 1. También, w = —d V /d x = 2 + 2 x. Esta ecua ción se cumple, ya que cuando x = 0 , w = 2 klb/pie, y cuando x = 18 pies, w = 6 klb/pie, figura 6 -8 «. Diagramas de fuerza cortante y momento flexionante. Las ecuacio nes 1 y 2 están graficadas en la figura 6 -8 d. Como en el punto de mo mento máximo d M /dx = V = 0, entonces, de la ecuación 1,
.v(pie)
V = 0 = 30 — 2* — — y Escogiendo la raíz positiva,
A/(klb-p¡e)
-4 2 = 163 klb-pie
x = 9.735 pies Entonces, de la ecuación 2,
.v(pie)
2
Mmáx = 30(9.735) - (9.735) = 163 klb • pie
(9.735 ) 3 27
Diagramas de fuerza cortante
S e c c ió n 6 .1
y
momento flexionante
• 271
□
E J E M P L O
Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante para la viga mostrada en la figura 6-9a.
C\
5 kN/m 80 kN-m
80 kN-m
:c 5- 5Wrrv
-------------
a .
-5 m-
5 in ■
F
M
i)
.v2 - 5 x 2 - 5
~^2
5.75 kN
5(.v2 —5)
±±z
80 kN m
15 kN
-5 m -
15 kN
“2~
5.75 kN (c)
(b)
(a)
Solución
Reacciones en los soportes. Las reacciones en los soportes han sido determinadas y se muestran en el diagrama de cuerpo libre de la viga, figura 6-9d. Funciones de fuerza cortante y momento flexionante. Como se tie ne una discontinuidad de carga distribuida y también una carga con centrada en el centro de la viga, deben considerarse dos regiones de x para describir las funciones de fuerza cortante y momento flexionante pa ra toda la viga. 0 s x\ < 5 m, figura 6-9b: + | 2 F V= 0;
5.75 kN — V = 0 V = 5.75 kN 15 kN
i +S A/ = 0;
5 kN /m
-8 0 k N -m - 5.75 kN *j + M = 0 M = (5.75*i + 80) kN • m
5m <
*2
— 10 m' figura 6-9c:
+ | S F V= 0;
5.75 kN - 15 kN - 5 kN/m(.v 2 - 5 m) - V = 0 V
i+ 2 M = 0;
= (15.75 - 5.v2) kN
-8 0 k N -m - 5.75 kN + 5 kN /m ( *
2
* 2
+ 15 kN ( *
- 5 m)
2
- 5 m)
■í(m)
'x2 - 5 m
M = (-2.5*2 2 + 15.75*2 + 92.5) kN ■m Estos resultados pueden verificarse aplicando iv = —d V /d x y V = dM /dx. También, cuando X\ = 0, las ecuaciones 1 y 2 dan V = 5.75 kN y M = 80 kN • m; cuando * 2 = 10 m, las ecuaciones 3 y 4 dan V = -34.25 kN y M = 0. Estos valores concuerdan con las reacciones en los soportes mostradas sobre el diagrama de cuerpo libre, figura 6-9d. Diagramas de fuerza cortante y momento flexionante. nes 1 a 4 están graficadas en la figura 6-9d.
Las ecuacio
A(m)
272
6.2
• CAPÍTULO 6 Flexión
Método gráfico para construir diagram as de fuerza cortante y m omento flexionante En los casos en que una viga está sometida a varias fuerzas y momentos concentrados, así como a cargas distribuidas, la determinación de V y M como funciones de x y el posterior trazo de esas ecuaciones puede resultar muy tedioso. En esta sección veremos un método más simple para cons truir los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante que se basa en dos relaciones diferenciales que existen entre la carga distribuida, la fuerza cortante y el m omento flexionante.
Como se muestra, la falla de esta mesa ocu rrió en el soporte arriostrado del lado dere cho. El diagrama de momento flexionante para la carga de la mesa indicaría que éste es el punto de momento interno máximo.
Regiones de carga distribuida. Consideremos la viga mostrada en la figura 6-10« que está sometida a una carga arbitraria. En la figura 6-10¿> se muestra un diagrama de cuerpo libre para un pequeño segmento Ax de la viga. Como este segmento se ha escogido en una posición x a lo largo de la viga donde no existe una fuerza o un momento concentrado, los resul tados que se obtengan no serán aplicables en esos puntos de carga con centrada. Advierta que todas las cargas mostradas sobre el segmento actúan en sus direcciones positivas de acuerdo con la convención de signos estableci da, figura 6-3. Además, tanto la fuerza como el momento interno resultan te que actúan sobre la carga derecha del segmento deben incrementarse por una pequeña cantidad finita para m antener el segmento en equilibrio. La carga distribuida ha sido reemplazada por una fuerza resultante w(x) A x que actúa a una distancia k(Ax) del extremo derecho, donde 0 < k < 1 [por ejemplo, si w(x) es uniforme, k = y], Aplicando las dos ecuaciones de equilibrio al segmento, tenemos:
libre del segmento Ax
(a) Fig. 6-10
transversal del segmento
S ecció n 6 .2
+ t 2 F v = 0;
Método gráfico para construir diagramas de fuerza cortante y momento flexionante
V - w (x) A x - (V + A V ) = 0 Al/ = —w(x) Ax
ntos yM ultar :onsbasa la. la la en >-1 0 ó de largo esulcon-
bleciiltanitarse ibrio. w(x) k< 1 íes de
= 0;
—V A x — M + vv(jt) A.v[ft(Ax)] + (M + A M ) = 0 AM = V A x - H'(.r) k ( A x ) 2
Dividiendo entre A.v y tomando el límite cuando A.\: —> 0, se obtiene:
dV dx = ~ w(x ) pendiente = -in ten sid ad de del diagrama la carga de fuerza cortante distribuida en en cada punto cada punto
( 6- 1)
dM -d ¿ = V pendiente del = fuerza cortante diagrama de momento flexionante en en cada cada punto punto
( 6- 2 )
Estas dos ecuaciones proporcionan un medio conveniente para trazar rápidamente los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante. La ecuación 6 - 1 establece que en un punto la pendiente del diagrama de fuer za cortante es igual al negativo de la intensidad de la carga distribuida. Por ejemplo, considere la viga en la figura 6-11«. La carga distribuida es positiva y crece de cero a wB. Por lo tanto, el diagrama de fuerza cortan te será una curva con pendiente negativa que crece de cero a -w B. En la figura 6 -1 1 ¿> se muestran las pendientes específicas wA = 0 , - w c , - wD y -w B. De manera similar, la ecuación 6-2 establece que en un punto la pen diente del diagrama de momento flexionante es igual a la fuerza cortante. Observe que el diagrama de fuerza cortante en la figura 6-116 comienza en + VA. decrece a cero y luego se vuelve negativa, decreciendo a - V B. El diagrama de m omento flexionante tendrá entonces una pendiente inicial de + VA que decrece a cero, luego se vuelve negativa y decrece a -V B. Las pendientes VA, Vc, VD, 0 y - V B se m uestran en la figura 6-1 le.
Fig. 6-11
• 273
274 • CAPÍTULO 6 Flexión
Las ecuaciones 6-1 y 6-2 pueden también reescribirse en la forma d V = -w (x )d x y dM = V dx. Observando que w(x) d x y V d x representan áreas diferenciales bajo los diagramas de carga distribuida y fuerza cortante, respectivamente, podemos integrar esas áreas entre dos puntos cuales quiera C y D sobre la viga, figura 6-1 Id, y escribir:
A V = - j w ( x ) dx cambio en la fuerza cortante
=
—área bajo la carga distribuida
(6-3)
A V = —J V(x) dx área bajo el cambio en = diagrama de el momento fuerza cortante flexionante
Fig. 6-11 (cont.)
(6-4)
La ecuación 6-3 establece que el cambio erífuerza cortante entre los pun tos C y D es igual al área (negativa) bajo la curva de carga distribuida entre esos dos puntos, figura 6-1 Id. Similarmente, de la ecuación 6-4. el cambio en m omento flexionante entre C y D, figura 6-11/, es igual al área bajo el diagrama de fuerza cortante dentro de la región de C a D. Como se indicó antes, las ecuaciones anteriores no se aplican en pun tos en donde actúa una fuerza o momento concentrado.
M + AM
Regiones de fuerza y momento concentrados. En la figura 6-12« se muestra un diagrama de cuerpo libre de un pequeño segmento de la viga en la figura 6-1 Oa tomado bajo una de las fuerzas. Puede verse aquí que por equilibrio de fuerzas se requiere + Í 2 F„ =
0
;
V - F - (V + A V ) = 0
(6-5)
A V = —F [ _ A . v - | V + AV
(a)
M + AM
i
• o M0 V+ AV — A.r — V
(b) Fig. 6-12
Entonces, cuando F actúa hacia abajo sobre la viga, A V es negativa por lo que la fuerza cortante “saltará” hacia abajo. De la misma manera, si F ac túa hacia arriba, el salto (AV) será hacia arriba. De la figura 6-12b, el equilibrio por momentos requiere que el cambio en momento sea [¡+'ZM0 = 0;
M + A M - M0 - V A x - M = 0
Haciendo que Ax —»0, obtenemos A M = M0
(6-6)
En este caso, si M 0 se aplica en sentido horario, AM es positivo por lo que el diagrama de m omento “saltará” hacia arriba. Igualmente, cuando M 0 actúa en sentido antihorario, el salto (AM ) será hacia abajo.
S e c c ió n 6 .2
Método gráfico para construir diagramas de fuerza cortante
y
momento flexionante
• 275
La tabla 6-1 ilustra la aplicación de las ecuaciones 6-1,6-2,6-5 y 6 - 6 a varios casos comunes de carga. Ninguno de esos resultados debería memorizarse sino estudiarse cuidadosamente para entender con claridad có mo se construyen los diagramas de fuerza cortante y mom ento flexionan te con base en el conocim iento de la variación de la pendiente en los diagramas de carga y fuerza cortante, respectivamente. Valdría la pena el esfuerzo y el tiempo invertido en com probar su entendimiento de estos conceptos, cubriendo las columnas de los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante en la tabla y tratar de reconstruir esos diagramas con base en el conocimiento de la carga.
TABLA 6-1 Diagrama de fuerza cortante
Carga
dV
= -w
Diagrama de momento llexionante
=V
iv = 0 Ai,
lp J iv= 0 Ai,
V-, Ai,
V La fuerza P hacia abajo ocasiona que V salte hacia abajo de Vt a V,.
M' A
Air,
M2
La pendiente constante cambia de V¡ a V2.
w= 0 Ai,
C‘ Ningún cambio en fuerza cortante ya que la pendiente iv = 0.
Ai,
Pendiente constante positiva. Un M n antihorario ocasiona que Ai salte hacia abajo. V,
Ai,
c
Ai,
1)
V,
Ai, V, Pendiente negativa constante.
Ai, Pendiente positiva que decrece de V, a VV
PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS El siguiente procedimiento proporciona un método para construir los diagramas de cortante y momento para una viga con base en las re laciones entre carga distribuida, fuerza cortante y m om ento flexio nante. Reacciones en los soportes. • Determ ine las reacciones en los soportes y resuelva las fuerzas que actúan sobre la viga en componentes que sean perpendicu lares y paralelas al eje de la viga. Diagrama de fuerza cortante. • Establezca los ejes V y x y marque los valores conocidos de la fuerza cortante en los dos extremos de la viga. • Como d V /d x = -w , la pendiente del diagrama de fuerza cortan te en cualquier punto es igual a la intensidad (negativa) de la car ga distribuida en el punto. Note que w es positiva cuando actúa hacia abajo. • Si debe determ inarse el valor numérico de la fuerza cortante en un punto, puede encontrarse este valor con el método de las sec ciones y la ecuación de equilibrio de fuerzas, o bien usando AV = - | i v ( a ) dx, que establece que el cambio en la fuerza cortante en tre dos puntos cualesquiera es igual al valor (negativo) del área bajo el diagrama de carga entre los dos puntos. • Dado que w(x) debe integrarse para obtener W , si w(x) es una curva de grado n, V(x) será una curva de grado n + 1; por ejem plo, si vv(.v) es uniforme, V(.r) será lineal. Diagrama de momento flexionante. • Establezca los ejes M y x y trace los valores conocidos del mo mento en los extremos de la viga. • Como dM /dx = V, la pendiente del diagrama de momento en cual quier punto es igual a la fuerza cortante en el punto. • En el punto en que la fuerza cortante es cero, dM /dx = 0, y por tanto, éste será un punto de momento máximo o mínimo. • Si va a determ inarse un valor numérico del m omento en el punto, puede encontrarse este valor usando el método de las secciones y la ecuación de equilibrio por momentos, o bien usando AM — IK(.t) dx. que establece que el cambio en el momento entre dos puntos cualesquiera es igual al área bajo el diagrama de fuerza cortante entre los dos puntos. • Como V(x) debe integrarse para obtener AM, si V(x) es una cur va de grado n, M (x) será una curva de grado n + 1; por ejemplo, si V(x) es lineal, M (x) será parabólica.
S ección
6.2
Método gráfico para construir diagramas de fuerza cortante y momento flexionante
E J E M P L O
| ^
| ------------------------------------------------------
Dibuje los diagramas de fuerza cortante y mom ento flexionante para la viga en la figura 6-13a.
p
(a)
1
Solución Reacciones en el soporte. Las reacciones se muestran sobre un dia grama de cuerpo libre, figura 6-136. p
\ (b) Diagrama de fuerza cortante. De acuerdo con la convención de sig nos, figura 6-3, en x = 0, V — +P y en x = L , V = +P. Esos puntos es tán indicados en la figura 6-136. Como w = 0, figura 6-13«, la pendien te del diagrama de fuerza cortante será cero (d V /dx = —w = 0) en todo punto, y por consiguiente una línea recta horizontal conecta los pun tos extremos. v
,
p--------------------------------------
(c)
Diagrama de momento flexionante. En x = 0, M = —PL y en x - L, M = 0. ñgura 6-13
(d) Fig. 6-13
• 277
Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante para la viga m ostrada en la figura 6-14«.
Solución Reacciones en el soporte. La reacción en el em potramiento se mues tra en el diagrama de cuerpo libre, figura 6-14b.
M°
( [ = = = ] ) Mo h----------------- L------------------ 1 ' (b)
D iagram a de fuerza cortante. Se traza prim ero la fuerza cortante V = 0 en ambos extremos, figura 6-14c. Como no existe ninguna carga distribuida sobre la viga, el diagrama de fuerza cortante tendrá pen diente cero en todo punto. Por tanto, una línea horizontal conecta los puntos extremos, lo que indica que la fuerza cortante es cero en toda la viga. v
------ -------------------
•— X
(C)
Diagrama de momento flexionante. El momento M0 en los puntos extremos de la viga, x = 0 y x = L, se grafica primero en la figura 6-14c/. El diagrama de la fuerza cortante indica que la pendiente del diagrama de momentos será cero ya que V = 0. Por consiguiente, una línea hori zontal conecta los puntos extremos, como se muestra.
M M0" (d ) Fig. 6-14
Método gráfico para construir diagramas de fuerza cortante
S e c c ió n 6 .2
6.9
E J E M P L O
Dibuje los diagramas de fuerza cortante y m omento flexionante para la viga mostrada en la figura 6-15a. “o
(a)
Solución Reacciones en el soporte. Las reacciones en el em potram iento se muestran en el diagrama de cuerpo libre, figura 6-15¿>. “ 'o
'yo¿2 2
(b)
Diagrama de fuerza cortante. Se traza prim ero la fuerza cortante en cada punto extremo, figura 6-15c. La carga distribuida sobre la viga es constante positiva por lo que la pendiente del diagrama de cortante se rá constante negativa (dV /dx = -vv0). Esto requiere que una línea rec ta con pendiente negativa conecte los puntos extremos.
ivn L
Pendiente negativa constante = - if0
(c)
Diagrama de m om ento flexionante. Se traza prim ero el m omento en cada punto extremo, figura 6-15
Pendiente decrecientemente positiva u o L~
y
momento flexionante
• 279
280
• CAPÍTULO 6 Flexión
E J E M P L O
6.10 Dibuje los diagramas de fuerza cortante y m omento flexionante para la viga m ostrada en la figura 6-16a.
Solución Reacciones en el soporte. Las reacciones en el em potramiento ya se han calculado y se m uestran sobre el diagrama de cuerpo libre, figura 6-16 b.
Fig. 6-16
Diagrama de fuerza cortante. Se traza prim ero la fuerza cortante en cada punto extremo, figura 6-16c. La carga distribuida sobre la viga es positiva y linealmente decreciente. Por tanto la pendiente del diagrama de fuerza cortante será decreciente negativamente. En x = 0, la pendien te empieza en -w 0 y llega a cero en .v = L. Como la carga es lineal, el diagrama de fuerza cortante es una parábola con pendiente negativa mente decreciente.
''’de
pendiente decrecientemente negativa
(c)
Diagram a de m om ento flexionante. Se traza prim ero el momento en cada punto extremo, figura 6-16<7. Del diagrama de fuerza cortante, V es positiva pero decrece de w0L /2 en x = 0 a cero en * = L. La cur va del diagrama de momento flexionante con este comportamiento de su pendiente es una función cúbica de x, como se m uestra en la figura.
M
S ecció n 6 .2
Método gráfico para construir diagramas de fuerza cortante y momento flexionante
• 281
E J E M P L O Dibuje los diagramas de fuerza cortante y m omento flexionante para la viga mostrada en la figura 6-17«.
2 klb/pie
2 klb/pie
(b )
V(klb)
Fig. 6-17
Pendiente = 0 Pendiente crecientemente negativa
Solución Reacciones en los soportes. Las reacciones ya han sido determ ina das y se muestran en el diagrama de cuerpo libre, figura 6-17¿>. Diagrama de fuerza cortante. Se trazan prim ero los valores en los puntos extremos x = 0. V = +15 y x = 45, V = -3 0 , figura 6-17c. Del com portamiento de la carga distribuida, la pendiente del diagrama de fuerza cortante variará de cero en x = 0 a - 2 en x = 45. Como resul tado. el diagrama de fuerza cortante es una parábola con la forma mos trada. El punto de cortante cero puede encontrarse usando el método de las secciones para un segmento de viga de longitud x, figura 6-17e. Se requiere que V = 0, por lo que M(klb
+ T2 Ft = 0 : 15 klb - ^
2
2
klb/pie
45 pies,
a: =
0;
-v(pic)
(c)
Pendiente decrecientemente positiva Pendiente = 0
x = 26.0 pies
Pendiente recientemente negativa
Diagrama de momento flexionante. Se trazan primero los valores en los puntos extremos x = 0, M = 0 y x = 45, M = 0, figura 6-17d. Del comportamiento del diagrama de cortante, la pendiente del diagrama de momento comienza en +15 y se com porta luego decrecientemente positiva hasta que alcanza el valor cero en 26.0 pies. Luego se vuelve crecientemente negativa hasta que alcanza el valor -3 0 en x = 45 pies. El diagrama de m omento es una función cúbica de .y. ¿Por qué? N ote que el m om ento máximo se presenta en x = 26.0, ya que dM /dx = V = 0 en este punto. Del diagrama de cuerpo libre en la fi gura 6 - 1 le tenemos t+ Z M =
0
Pendiente = - 2 \ _ - 30
v(pie)
iMsa* <é) d C
;
-1 5 klb(26.0 pies) + -
2
klb/pie
26.0 pies' 26.0 pies' + M =0 (26.0 pies) 45 pies
M = 260 klb
pie
15 klb (e)
.
1>
282
• CAPÍTULO 6 Flexión
E J E M P L O Dibuje los diagramas de fuerza cortante y m omento flexionante para la viga mostrada en la figura 6-18«. 8 kN
8 kN
I*-------6 m— — 1D
A
(a)
Solución Reacciones en los soportes. Las reacciones están indicadas en el dia grama de cuerpo libre, figura 6-186. 8 kN 8 kN -6 ni (b)
— ^ -2
Diagrama de fuerza cortante. En x = 0, VA = +4.8 kN, y en x = 10, VD = —11.2 kN, figura 6-18c. En puntos intermedios entre cada fuerza la pendiente del diagrama de cortante será cero. ¿Por qué? Por consi guiente la fuerza cortante retiene su valor de +4.8 hasta el punto B. En B la fuerza cortante es discontinua, ya que se tiene ahí una fuerza con centrada de 8 kN. El valor de la fuerza cortante justo a la derecha de B puede encontrarse seccionando la viga en este punto, figura 6-18e, donde por equilibrio V = -3 .2 kN. Use el método de las secciones y dem uestre que el diagrama “salta” nuevamente en C, como se mues tra, y luego llega al valor de —11.2 kN en D. Observe que con base en la ecuación 6-5, A V = —F, el diagrama de cortante puede también construirse "siguiendo la carga” sobre el dia grama de cuerpo libre. Comenzando en A , la fuerza de 4.8 kN actúa hacia arriba, por lo que VA = +4.8 kN. Ninguna carga distribuida ac túa entre A y B. por lo que la fuerza cortante perm anece constante (dV /dx = 0). En B , la fuerza de 8 kN actúa hacia abajo, por lo que la fuerza cortante salta hacia abajo 8 kN, de +4.8 kN a -3 .2 kN. De nue vo, la fuerza cortante es constante de B a C (ninguna carga distribui da); luego en C salta hacia abajo 8 kN hasta -1 1 .2 kN. Finalmente, sin carga distribuida entre C y D, termina en —11.2 kN.
m^ - 2 m-j
f
t
1
11.2 kN
4.8 kN V(kN)
(c) 4.8 -3.2 -
11.2
AÍ(kN-m)
28.8
(d)
•v(m)
8 kN - 6 m ----(e)
A
f
i
28.8 kN-m
3.2 kN
4.8 kN Fig. 6-18
Diagrama de momento flexionante. El m omento en cada extremo de la viga es cero, figura 6-18d. La pendiente del diagrama de momen to de A a B es constante igual a +4.8. ¿Por qué? El valor del momento en B puede determinarse usando la estática, figura 6-18c, o encontrando el área bajo el diagrama de cortante entre A y B, esto es, AM AB = (4.8 kN ) ( 6 m) = 28.8 kN - m. Como MA = 0. entonces M B = MA + AMAB = 0 + 28.8 kN • m = 28.8 kN • m. Desde el punto B. la pendiente del dia grama de momentos es -3 .2 hasta que se alcanza el punto C. De nue vo, el valor del m omento se puede obtener por estática o encontrando el área bajo el diagrama de cortante entre B y C, esto es, AM BC = (-3 .2 kN)(2 m) = -6 .4 kN • m, por lo que M c = 28.8 kN • m - 6.4 kN • m = 22.4 kN • m. Continuando de esta manera, verificamos que el diagrama se cierra en D.
Sección
6 .2
Método gráfico para construir diagramas de fuerza cortante y momento flexionante
•
283
E J E M P L O Dibuje los diagramas de fuerza cortante y m omento flexionante para la viga con voladizo mostrada en la figura 6-19«. 8 klb 2 klb/pic
— BD j - 4 pies *[*— 6 pies —-(*4 pies-) (a)
Solución Reacciones en los soportes. El diagrama de cuerpo libre con las reac ciones calculadas se muestra en la figura 6-196. Diagrama de fuerza cortante. Como siempre, comenzamos trazan do las fuerzas cortantes en los extremos VA = +4.40 klb y VD = 0, fi gura 6-19c. El diagrama de cortante tendrá pendiente nula de A a B. En B. el diagrama salta hacia abajo 8 klb a -3 .6 0 klb. Luego tiene una pendiente crecientemente negativa. La fuerza cortante en C puede de term inarse a partir del área bajo el diagram a de carga, Vc = VB + A V BC = -3 .6 0 klb - (l/2 )(6 pies)(2 klb/pie) = -9 .6 0 klb. Salta luego 17.6 klb a 8 klb. Finalmente, de C a D, la pendiente del diagrama de cortante será constante pero negativa, hasta que la fuerza cortante al canza el valor cero en D. Diagrama de m omento flexionante. Se trazan primero los momen tos extremos MA = 0 y M D = 0, figura 6-19d. Estudie el diagrama y no te cómo las pendientes y las diversas curvas son establecidas median te el diagrama de cortante usando d M /dx - V. Verifique los valores numéricos de los picos usando el método de las secciones y estática o calculando las áreas apropiadas bajo el diagrama de cortante para en contrar el cambio en m omento entre dos puntos. En particular, el pun to de momento nulo puede determ inarse estableciendo M como una función de donde, por así convenir, .v se extiende del punto B hacia la región BC. figura 6-19e. Por tanto,
2 klb/pic
*4 pies 4.40 klb
B
AC 6 pies— 4 - 4 p ies17.6 klb
K(klb)
4.40 _A(pie)
(c) -3.60 -9 .6 0
A í(klbpie) 17.6 Pendiente = -3.60
/ Á
? K\
Pendiente = 4.40 •v(pie)
(d)
1—3.94—1\
Pendiente = -9 .6 0 ^ Pendiente = 8
i+ZAÍ = 0; -4 .4 0 k lb (4 pies -t- * )+ M =
8
klb(jr) + ~
^
+M =0
~ 3.60.V + 17.6^klb • pie = 0 x — 3.94 pies
Observando esos diagramas, vemos que por el proceso de integra ción para la región A B la carga es cero, la fuerza cortante es constante y el momento es lineal; para la región BC la carga es lineal, la fuerza cortante es parabólica y el m omento es cúbico; y para la región CD la carga es constante, la fuerza cortante es lineal y el m omento es para bólico. Se recomienda que los ejemplos 6.1 al 6 . 6 sean resueltos tam bién usando este método.
8 klb
(e)
4.40 klb Fig. 6-19
284 • CAPÍTULO 6 Flexión
PROBLEMAS Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momen to flexionante para la flecha. Las chumaceras en A y B ejer cen sólo reacciones verticales sobre la flecha. 6-1.
Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momen to flexionante para la viga. *6-4.
2 klb
E
2 klb
2 klb
2 klb
1 1 1 1
-------
i
|— 4 pies —)— 4 pies —j— 4 pies —|— 4 pies -
4 pies
A
Prob. 6-4 Prob. 6-1
24 kN
Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momen to flexionante para la barra que está soportada por un pa sador en A y por una placa lisa en B. La placa se desliza dentro de la ranura, por lo que no puede soportar una fuer za vertical, pero sí puede soportar un momento. 6-5.
El dispositivo mostrado se usa para soportar una car ga. Si la carga aplicada a la manija es de 50 Ib. determine las tensiones T \ y T 2 en cada extremo de la cadena y lue go dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento fle xionante para el brazo ABC. 6-2.
15 kN
:
-2 m
-4 m
Prob. 6-5
-6 . Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momen to flexionante para la flecha. Las chumaceras en A y en B ejercen sólo reacciones verticales sobre la flecha. Exprese también la fuerza cortante y el momento flexionante en la flecha en función de x dentro de la región 125 mm < x < 725 mm. 6
Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momen to flexionante para la flecha. Las chumaceras en A y en D ejercen sólo reacciones verticales sobre la flecha. La car ga está aplicada a las poleas en B, C y E.
6-3.
14 pulg ■
■20 pulg
-15 pulg-
1500 N
12 pulg 800 .N
Ü
B
-----
I
»7
cfl
801b P ro b . 6-3
1101b
1
1 — 1
—
".’
— n
l 600 mm
125 mm
75 mm
Prob. 6-6
Pr o blem a s
•
285
6-7. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante para la viga.
6-10. La grúa pescante se usa para soportar el motor que tiene un peso de 1200 Ib. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante para el brazo A B C cuan do está en la posición horizontal mostrada.
*6-8. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momen to flexionante para el tubo, uno de cuyos extremos está so metido a una fuerza horizontal de 5 kN. Sugerencia: las reacciones en el pasador C deben reemplazarse por car gas equivalentes en el punto B sobre el eje del tubo.
P ro b . 6-10
6-11. Determ ine la distancia a en que debe colocarse el soporte de rodillo para que el valor máximo absoluto del momento sea mínimo. Dibuje los diagramas de fuerza cor tante y momento flexionante para esta condición.
P
P
a-------------- -| P ro b . 6-8 P rob. 6-11
6-9. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momen to flexionante para la viga. Sugerencia: la carga de 20 klb debe reemplazarse por cargas equivalentes en el punto C sobre el eje de la viga.
*6-12. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momen to flexionante para la viga com puesta que está conectada por un pasador en B.
6 klb
15 klb
¿
C -7
i“------------B
[------ 4 pies-------- - --------4 pies-------- --------4 pies--------
Prob. 6-9
4 pies —j----- 6 pies
Prob. 6-12
286 • CAPÍTULO 6 Flexión
6-13. Las barras están conectadas por pasadores en C y en D. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momen to flexionante para el conjunto. Desprecie el efecto de la carga axial.
*6-16. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momen to flexionante para la viga.
800 lb/pie
B 800 lb/pic 8 pies -
Prob. 6-13
Prob. 6-16
■6-14. Considere el problema general de una viga sim plem ente apoyada sometida a n cargas concentradas. Es criba un programa de com putadora que pueda usarse pa ra determ inar la fuerza cortante y el momento flexionante en cualquier posición .v especificada a lo largo de la viga y trace los diagramas correspondientes para la viga. Mues tre una aplicación del programa usando los valores P\ = 500 Ib, d \ = 5 pies, P2 = 800 Ib, d 2 = 15 pies, L\ = 10 pies. L = 15 pies.
6-17. El hombre ce 150 Ib de peso está sentado en el cen tro de la lancha que tiene un ancho uniforme y un peso por pie lineal de 3 Ib. Determine el momento flexionante má ximo ejercido sobre la lancha. Suponga que el agua ejerce una carga uniforme distribuida hacia arriba sobre el fon do de la lancha.
P,
- 7.5 pies
-7.5 piss
Prob. 6-17
Prob. 6-14
6-15. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momen to flexionante para la viga. D eterm ine también la fuerza cortante y el momento flexionante en la viga en función de x , donde 3 pies < x £ 15 pies.
6-18. La zapata de cimentación soporta la carga transmi tida por las dos columnas. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante para la zapata si la reac ción de la presión del suelo sobre la zapata se supone uni forme.
14 klb
14 ktb 1.5 klb/pie 50 klb-pie
1
c
— 3 pies-
- 12 pies
-12 pies-
Prob. 6-15
P ro b . 6-18
- 6 pies —
PR08LEMAS
6-19. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momen to flexionante para la viga.
• 287
6-22. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momen to flexionante para la viga compuesta. Los tres segmentos están conectados por pasadores en B y en E.
2 klb/pie 30 klb-pie 3kN
3kN • a -j
- 5 pies
±5 pies -
-------------- " M * :
I
E
^
1
- 5 pies
Prob. 6-19
D -2 m -
-2 m-
Im
1m
-2 m
1m
P ro b . 6-22
*6-20. El robot industrial se m antiene en la posición es tacionaria indicada. Dibuje los diagramas de fuerza cor tante y momento flexionante del brazo A B C que está co nectado en A por un pasador y un cilindro hidráulico BD (miembro de dos fuerzas). Suponga que el brazo y las te nazas tienen un peso uniforme de 1.5 lb/pulg y que sopor tan la carga de 40 Ib en C.
6-23. La viga T está sometida a la carga mostrada. Dibu je los diagramas de fuerza cortante y momento flexionan te de la viga.
2 klb 100 lb/pie
..................
w
r
................. . ,,
,, ,,
18 pies
6 pi
1 pulg b—H6 pulg
IT
10 pulg
1 pulg P ro b . 6-23
P rob. 6-20
6-21. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momen to flexionante para la viga y determ ine la fuerza cortante y el momento en la viga como funciones de x. para 4 pies < x < 10 pies.
*6-24. La viga está soportada en A por un pasador y des cansa sobre un cojinete en B que ejerce una carga uniforme distribuida sobre la viga en sus dos pies de longitud. Di buje los diagramas de fuerza cortante y mom ento flexionante para la viga si ésta soporta una carga uniforme de 2 klb/pie.
150 lb/pie
2 klb/pie
>
Ia
I
•
'l pie1
Prob. 6-21
Prob. 6-24
288 • CAPÍTULO 6 Flexión 6-25. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momen to flexionante para la viga. Los dos segmentos están uni dos entre sí en B. 8 klb
Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momen to flexionante para la barra de conexión. En los extremos A y B sólo se presentan reacciones verticales. *6-28.
3 k lb /p ie
lb/pulg
— 3 pies -
¡ pies •
-5 pies-
Prob. 6-25 Considere el problema general de una viga en vo ladizo sometida a n cargas concentradas y a una carga iv uniformemente distribuida. Escriba un programa de compu tadora que pueda usarse para determ inar la fuerza cor tante y el momento flexionante en cualquier posición x es pecificada a lo largo de la viga: trace los diagram as de fuerza cortante y de m om ento flexionante para la viga. Aplique el programa usando los valores P\ = 4 kN, d x = 2 m, w = 800 N/m , = 2 m, a2 = 4 m, L = 4 m. ■6-26.
Prob. 6-28
Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momen to flexionante para la viga. 6-29.
Prob. 6-26
Determine la distancia a en que debe colocarse el soporte de rodillo de manera que el valor máximo abso luto del momento sea mínimo. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y m om ento flexionante para esta condi ción.
6-27.
Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momen to flexionante para la viga.
6-30.
nn ~b Z 3
Prob. 6-27
l
Prob. 6-30
P ro b lem a s
6-31. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y raomento flexionante para la viga.
•
289
6-34. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y m om en to flexionante para la viga y determ ine la fuerza cortante y el momento en la viga como funciones de x.
TT rni — H
—
_
|B
— *
L 2
L 2
l
Prob. 6-31 Prob. 6-34
*6-32. El esquí soporta las 180 Ib de peso del hombre. Si la carga de nieve sobre la superficie del fondo del esquí es trapezoidal, como se muestra, determine la intensidad w y luego dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante para el esquí.
6-35. El pasador liso está soportado por dos silletas A y B y está sometido a una carga de compresión de 0.4 kN /m causada por la barra C. Determ ine la intensidad de la car ga distribuida iv0 de las silletas sobre el pasador y dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante para el pasador.
180 Ib
•— 1.5 pies
1.5 p ie s-
Prob. 6-32
6-33. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momen to flexionante para la viga.
20 mm 60 mm 20 miti Prob. 6-35
*6-36. Dibuje los diagramas de fuerza corlante y momen to flexionante para la viga.
3 k ip /p ic
290 • CAPÍTULO 6 Flexión 6-37. La viga compuesta consta de dos segmentos unidos entre sí por un pasador en B. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante para la viga que sopor ta la carga distribuida mostrada.
*6-40. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante para la viga.
w te
11 I B 2/3 L ------------—
I • 1
c
1/3 L —
Prob. 6-37
Prob. 6-40
6-38. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y m om en to flexionante para la viga.
6-41. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y m om en to flexionante para la viga.
w
- 3 m
Prob. 6-38
6-39. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y mom en to flexionante para la viga y determ ine la fuerza cortante y el momento como funciones de x.
Prob. 6-39
6-42. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante para la viga.
Prob. 6-42
6.3
6.3
Deformación por flexión de un miembro recto
• 291
Deformación por flexión de un miembro recto
En esta sección estudiaremos las deformaciones que ocurren cuando una viga prismática recta hecha de material homogéneo está sometida a fle xión. E l análisis se limitará a vigas con secciones transversales simétricas respecto a un eje y el momento flexionante se encuentra aplicado respec to a un eje perpendicular a este eje de simetría, como se muestra en la fi gura 6-20. E l comportamiento de miembros con secciones transversales asimétricas o que están hechos de varios materiales se basa en considera ciones similares, y se estudiarán separadamente en secciones posteriores de este capítulo. Usando un material sumamente deformable como el hule, podemos ilus trar físicamente qué sucede cuando un miembro prismático recto está sometido a un momento flexionante. Consideremos, por ejemplo, la barra no deformada en la figura 6-21a que tiene una sección transversal cuadra da y está marcada con una retícula formada por líneas longitudinales y transversales. Al aplicar un momento flexionante, éste tiende a distorsio nar esas líneas según el patrón mostrado en la figura 6-216. Puede verse aquí que las líneas longitudinales se curvan y que las líneas transversales permanecen rectas pero sufren una rotación. El comportamiento de cualquier barra deformable sometida a un mo mento flexionante es tal que el material en la porción inferior de la barra se alarga y el material en la porción superior se comprime. En consecuen cia, entre esas dos regiones debe haber una superficie, llamada superficie neutra, en la que las fibras longitudinales del material no experimentarán un cambio de longitud, figura 6-20 .
Eje de simetría
y
Superficie
neutra Eje longitudinal
Fig. 6-20
Las líneas horizontales se vuelven curvas Las líneas verticales permanecen rectas, pero giran Antes de la deformación
Después de la deformación
(a)
(b)
Fig. 6-21
292
CAPÍTULO 6 Flexión
Note la distorsión de las líneas debido a la flexión de esta barra de hule. La línea supe rior se estira, la línea inferior se comprime, y la línea central permanece con la misma longitud. Las líneas verticales giran pero permanecen rectas.
eje-^ longitudinal
Con base en estas observaciones haremos las siguientes tres hipótesis relativas a la manera en que el esfuerzo deforma al material. La primera es que el eje lo n g itu d in a l x , que se encuentra en la superficie neutra, figu ra 6-22a, no experimenta ningún ca m b io de longitud. E l momento tiende a deformar la viga en forma tal que esta línea recta se vuelve u na línea cu r va contenida en el plano x -y de simetría, figura 6-22b. La segunda hipóte sis es que todas las secciones transversales de la viga permanecen planas y perpendiculares al eje longitudinal durante la deformación. La tercera hipótesis es que cualquier defo rm a ció n de la sección transversal dentro de su propio plano será despreciada .figura 6-21 b. En particular, el eje z, con tenido en el plano de la sección transversal y respecto al cual gira la sec ción, se llama eje n e u tro , figura 6-22b. Su posición se determinará en la si guiente sección. Para mostrar cómo esta distorsión deforma el material, aislaremos un segmento de la viga localizado a una distancia x a lo largo de la longitud de la viga y con un espesor no deformado Ax, figura 6-22a. Este elemen to. tomado de la viga, se muestra en vista de perfil en sus posiciones no
superficie neutra
(b)
Fig. 6-22
6.3
Deformación por flexión de un miembro recto • 293
deformada y deformada en la figura 6-23."Note que cualquier segmento de línea Ax, localizado sobre la superficie neutra, no cambia de longitud, mientras que cualquier segmento de línea As, localizado a una distancia arbitraria y arriba de la superficie neutra, se contraerá y tendrá la longi tud As' después que la deformación ha tenido lugar. Por definición.la de formación unitaria normal a lo largo de As se determina con la ecuación 2 -2 , esto es, e =
, A i' - As h m ------ — As-»0 A i
Representaremos ahora esta deformación unitaria en términos de la posición y del segmento y del radio de curvatura p del eje longitudinal del elemento. Antes de la deformación. As — Ax. figura 6-23«. Después de la deformación Ax tiene un radio de curvatura p, con centro de curvatura en el punto O', figura 6-23b. Como A# define el ángulo entre los lados de la sección transversal del elemento, Ax = As = p A 6. De la misma manera, la longitud deformada de As es As’ = (p - y) A6. Sustituyendo en la ecua ción anterior, obtenemos: e = lím
(p — y) A6 — p Ad p A0
y
e -- —
P
(6-7)
Este importante resultado indica que la deformación unitaria normal longitudinal de cualquier elemento dentro de la viga depende de su locali-
294 • CAPÍTULO 6 Flexión
rfi
¿n
Y
/I
'
1
Distribución de la defcrmación unitaria normal
Fig. 6-24
zación y sobre la sección transversal y del radio de curvatura dei eje lon gitudinal de la viga en el punto. En otras palabras, para cualquier sección transversal específica, la deformación unitaria normal longitudinal va riará linealmente con y desde el eje neutro. Una contracción (—e) ocu rrirá en fibras situadas arriba del eje neutro (+y). mientras que se presen tarán alargamientos (+e) en fibras localizadas debajo del eje (-y ). Esta variación en la deformación unitaria sobre la sección transversal se mues tra en la figura 6-24. Aquí la deformación unitaria máxima ocurre en la fi bra extrema, situada a una distancia c del eje neutro. Usando la ecuación 6-7, como emáx = c/p, entonces por división,
e = -y/p e máx
p
De manera que ( 6 -8 )
Esta deformación unitaria normal depende sólo de las hipótesis hechas con respecto a la d efo rm a ció n . Si sólo se aplica un momento a la viga, es entonces razonable suponer adicionalmente que este momento ocasiona so la m en te u n esfu erzo n o rm a l en la dirección x ó longitudinal. Todas las otras componentes de esfuerzo normal y cortante son cero, ya que la su perficie de la viga está libre de cualquier otra carga. Es este estado unia xial de esfuerzo el que provoca que el material tenga la componente de deformación unitaria normal longitudinal ex, (ax = Eex), definida por la ecuación 6-8 . Además, por la razón de Poisson, debe haber también com ponentes de deformación unitaria asociadas ev = - vex y ez = —vex. que deforman el plano de la sección transversal, aunque aquí hemos despre ciado esas deformaciones. Sin embargo, tales deformaciones ocasionarán que las d im e n s io n e s d e la secció n transversal se vuelvan más pequeñas debajo del eje neutro y mayores arriba del eje neutro. Por ejemplo, si la viga tiene una sección cuadrada, se deformará como se muestra en la figura 6-25.
6.4
6.4
La fórmula de la flexión
• 295
La fórmula de la flexión
En esta sección desarrollaremos una ecuación que relaciona la distribu ción del esfuerzo longitudinal en una viga con el momento de flexión in terno resultante que actúa sobre la sección transversal de la viga. Para ha cer esto, supondremos que el material se comporta de manera elástica lineal, por lo que es aplicable la ley de Hooke, esto es, u = ¿se. Una varia ción lineal de la deformación unitaria normal, figura 6-26a, debe ser en tonces la consecuencia de una variación lineal del esfuerzo normal, figu ra 6-26b. Por tanto, igual que la variación de la deformación unitaria normal, a variará de cero en el eje neutro del miembro a un valor máximo crm¡¡x en puntos a la distancia c máxima desde el eje neutro. Por triángulos semejantes, figura 6-26b, o usando la ley de Hooke, a = Ee, y la ecuación 6-8 , podemos escribir
^ máx
Variación de la deformación unitaria normal (vista lateral)
(a) y
lon:ción I va-
ocu:senEsta íuesla fiición
( 6-8 )
¡chas ta.es ;iona is las a suuniate de or la com. que sprelarán leñas .si la
(6-9)
Esta ecuación representa la distribución del esfuerzo sobre la sección transversal. La convención de signos establecida aquí es importante. Pa ra un M positivo actuando en la dirección + z, valores positivos de y dan valores negativos para a. esto es, un esfuerzo de compresión ya que actúa en la dirección negativa de x. Similarmente, valores negativos de y darán valores positivos o de tensión para o. Si se selecciona un elemento de vo lumen de material en un punto específico sobre la sección transversal, sólo esos esfuerzos normales de tensión o de compresión actuarán sobre él. Por ejemplo, el elemento localizado en +y se muestra en la figura 6-26c. Podemos localizar la posición del eje neutro sobre la sección transver sal satisfaciendo la condición de que la fuerza resultante producida por la distribución del esfuerzo sobre la sección transversal debe ser igual a ce ro. Notando que la fuerza dF = a dA actúa sobre el elemento arbitrario dA en la figura 6-26c, requerimos que:
Variación del esfuerzo de flexión (vista lateral) (b) Fig. 6-26
Este espécimen de madera falló por flexión; sus fibras superiores se aplastaron y sus fi bras inferiores se rompieron.
296 • CAPÍTULO 6 Flexión
La ;i ción la ec gene
Aquj
Variación del esfuerzo de flexión
&—-X
(c) Fig.
6-26 (cont.) SI
Como <7-máx/c no es igual a cero, entonces
I
ydA = 0
(6-10)
En otras palabras, el momento estático de la sección transversal del miem bro respecto al eje neutro debe ser cero. Esta condición sólo puede ser sa tisfecha si el eje neutro es también el eje centro'ulal horizontal de la sec ción transversal.* En consecuencia, una vez determinado el centroide de la sección transversal del miembro, se conoce también la posición del eje neutro. Podemos determinar el esfuerzo en la viga a partir del requisito de que el momento interno resultante M debe ser igual al momento producido por la distribución del esfuerzo respecto al eje neutro. El momento de dF en la figura 6-26c respecto al eje neutro es dM - y dF. Este momento es positivo ya que, por la regla de la mano derecha, el pulgar está dirigido a lo largo del eje positivo z cuando los dedos se curvan según el sentido de rotación causado por í/M. Como dF = a dA , usando la ecuación 6-9, te nemos para la sección transversal total, (M r ) z = SM .;
M = ^ y d F = J y {a d A ) =
j
y(j;
Ce
inter 6 - 12.
Ac lose a io gativ WA la ß t
o M = ^ ¡ r \ y ld A
(6-n )
^ R ecu erd e q u e la posición del cen tro id e y de la sección transversal se define p o r la ecu a ción y = i y d A / ¡ d A . Si Jy dA = 0. entonces y - 0, p o r lo q u e el cen tro id e se localiza so b re el eje de referen cia (eje n e u tro ). Vea el apéndice A.
to cc aplic to qi diseñ norrr base sal re longi danw
La integral en esta ecuación representa el momento de inercia de la sec ción transversal de la viga respecto al eje neutro. Lo denotamos con I. De la ecuación 6-11 podemos entonces despejar crmáx y escribirla en forma general como
_ Me ^máx
j
(6- 12)
Aquí, <7máx = esfuerzo normal máximo en el miembro que ocurre en el punto de la sección transversal más alejado del eje neutro. M = momento interno resultante, determinado con el método de las
secciones y las ecuaciones de equilibrio y se calcula con respecto al eje neutro de la sección transversal. I = momento de inercia de la sección transversal calculado respecto
al eje neutro. c = distancia perpendicular del eje neutro al punto más alejado de es
te eje y sobre el cual actúa £rmáx. Como o-máx/c = ~cr/y, ecuación 6-9, el esfuerzo normal a la distancia y intermedia puede determinarse con una ecuación similar a la ecuación 6-12. Tenemos:
My
a=
T
(6-13)
Advierta que el signo negativo es necesario ya que es consistente con los ejes x, y, z establecidos. Por la regla de la mano derecha, M es positivo a lo largo del eje es positiva hacia arriba por lo que cr debe ser ne gativo (compresivo) ya que actúa en la dirección x negativa, figura 6-26c. A cualesquiera de las dos ecuaciones anteriores se les llamafórm ula de la flexión. Se usa para determinar el esfuerzo normal en un miembro rec to con sección transversal simétrica respecto a un eje si el momento es aplicado perpendicularmente a este eje. No obstante que hemos supues to que el miembro es prismático, podemos en la mayoría de los casos de diseño usar la fórmula de la flexión también para determinar el esfuerzo normal en miembros que tienen un ligero ahusamiento. Por ejemplo, con base en la teoría de la elasticidad, un miembro con una sección transver sal rectangular y un ahusamiento de 15° en sus lados superior e inferior longitudinales, tendrá un esfuerzo normal máximo real que es aproxima d a m e n te 5.4% menor que el calculado usando la fórmula de la flexión.
298 • CAPÍTULO 6 Flexión
PUNTOS IMPORTANTES • La sección transversal de una viga recta p erm a n e ce p la n a cuando la viga se deforma por flexión. Esto causa esfuerzos de tensión en un lado de la viga y esfuerzos de compresión en el otro lado. El eje n eutro está sometido a cero esfuerzo. • Debido a la deformación, la d efo rm a ció n unitaria lo n g itu d in a l varía linealm ente de cero en el eje neutro a un máximo en las fibras exteriores de la viga. Si el material es homogéneo y la ley de Hooke es apli cable. el esfuerzo también varía de manera lineal sobre la sección transversal. • En un material elástico-lineal, el eje neutro pasa por el cen tro id e del área de la sección transversal. Esta conclusión se basa en el hecho de que la fuerza normal resultante que actúa sobre la sección transversal debe ser cero. • La fórmula de la flexión se basa en el requisito de que el momento resultante sobre la sección transver sal es igual al momento producido por la distribución del esfuerzo normal lineal respecto al eje neutro.
PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS Para aplicar la fórmula de la flexión, se sugiere el siguiente procedi miento. Momento interno.
• Seccione el miembro en el punto en donde el esfuerzo de flexión va a ser determinado, y obtenga el momento interno M en la sec ción. El eje neutro o centroidal de la sección transversa] debe ser conocido, ya que M d eb e ser calculado respecto a este eje. • Si el esfuerzo de flexión máximo absoluto va a ser determinado, dibuje entonces el diagrama de momentos flexionantes para de terminar el momento máximo en la viga. Propiedad de la sección. • Calcule el momento de inercia de la sección transversal respecto
al eje neutro. Los métodos usados para efectuar este cálculo se ven en el apéndice A, y en el forro interior de la cubierta se pre senta una tabla con valores de I para varios perfiles comunes. Esfuerzo normal. • Especifique la distancia y , medida perpendicularmente al eje neu
tro, al punto donde va a determinarse el esfuerzo normal. Apli que luego la ecuación
6.4
La fòrmula de la flexión
• 299
E J E M P L
Una viga tiene una sección transversal rectangular y está sometida a la distribución de esfuerzo mostrada en la figura 6-21 a. Determine el mo mento interno M en la sección causado por la distribución del esfuer zo (a) usando la fórmula de la flexión, (b) calculando la resultante de la distribución del esfuerzo mediante principios básicos.
2 klb/pulg2
(a) Fig. 6-27
Solución Parte (a). La fórmula de la flexión es ermáx = Me/I. De la figura 6-27a, c = 6 pulg y
ción transversal tiene una forma rectangular, el momento de inercia de la sección respecto al NA se determina con la fórmula para un rectán gulo dado en el forro interior de este texto; esto es,
7 = Í 2hh3=
pulg^ 12 pulg)3 = 864 pulg4
Por tanto, Me áx
M (6 pulg)
r
M = 288 klb • pulg = 24 klb • pie
Resp.
Continúa
300 • CAPITULO 6 Flexión
Demostraremos primero que la fuerza resultante de la dis tribución del esfuerzo es cero. Como se muestra en la figura 6-27b, el esfuerzo que actúa sobre la franja arbitraria d A = (6 pulg) d y. locali zada a una distancia y del eje neutro, es:
Parte (b).
-y
(2 klb/pulg2)
6 pulg
La fuerza generada por este esfuerzo es d F = a d A . y entonces, para la sección transversal entera, r 6 pulg
a dA =
F* = A
J- 6 pulg
-y A 6 pulg
(2 klb/pulg2) (6 pulg) d y
+ 6 pulg
= ( - 1 klb/pulg2) /
= 0 - 6 pu!g
El momento resultante de la distribución del esfuerzo respecto al eje neutro (eje z) debe ser igual a M. Como la magnitud del momento de dF respecto a este eje es d M = y d F , y d M es siem p re p o sitiva , figura 6-276, entonces para la sección entera, 6 pulg
M =
ydF = - 6 pulg
y 6 pulg
(2 klb/pulg2 (6 pulg) d y
+6 pulg —6 pulg
= 288 klb •pulg = 24 klb ■pie
Resp.
El resultado anterior puede tam bién determinarse sin integración. La fuerza resultante para cada una de las dos distribuciones triangulares de esfuerzo en la figura 6-27c es gráficamente equivalente al v o lu m e n contenido dentro de cada distribución de esfuerzo. Así entonces, cada volumen es: (c)
Fig. 6-27
F
= - ( 6 pulg)(2 klb/pulg2)(6 pulg) = 36 klb
Esas fuerzas, que forman un par, actúan en el mismo sentido que los esfuerzos dentro de cada distribución, figura 6-27c. Además, actúan pasando por el cen tro id e de cada volumen, esto es, ~ (6 pulg) = 2 pulg desde las partes superior e inferior de la viga. Por tanto, la distancia entre ellas es de 8 pulg, tal como se muestra. E l momento del par es entonces: M = 36 klb (8 pulg) = 288 klb • pulg = 24 klb • pie
Resp.
6.4
'
e j e m p l o
La fórmula de la flexión
• 301
6.1S
La viga simplemente apoyada en la figura 6-28a tiene la sección trans versal mostrada en la figura 6-28b. Determine el esfuerzo máximo ab soluto de flexión en la viga y dibuje la distribución del esfuerzo en la sección transversal en esta posición.
Solución El momento interno máximo en la viga, = 22.5 kN •m, ocurre en el centro del claro como se muestra en el diagrama de momento flexionante, figura 6-28c. Vea el ejemplo 6.3.
Momento interno máximo. M
Por razones de simetría, el centroide C y el eje neutro pasan por la mitad de la altura de la viga, figura 6-28b. La sección transversal se subdivide en las tres partes mostradas y el mo mento de inercia de cada parte se calcula respecto al eje neutro usan do el teorema de los ejes paralelos. (Vea la ecuación A-5 del apéndice A.) Trabajando en metros, tenemos:
Propiedades de la sección.
U---B '
r
20 m m -
/ = 2(7 + A d 2) = 2
1
12
(0.25 m)(0.020 m)3 + (0.25 m)(0.020 m)(0.160 m)2
(0.020 m)(0.300m)3 = 301.3(10“6) m4
"T 1 t
150 mm
150 mm
_L
l
O
20 mm 250 mili (b)
Continúa
302 • CAPÍTULO 6 Flexión
12.7 MPa
11.2 MPa M = 2 2 .5 kN-m
M= 22.5 kN-m
MPa 12.7 MPa
12.7 MPa
11.2 MPa
B
11.2 MPa
O
12.7 MPa
(e)
Aplicando la fórmula de la flexión, con c 170 mm, el esfuerzo máximo absoluto de flexión es:
Esfuerzo de flexión .
O"míÍY
22.5 kN •m(0.170 m) (Tmíiv = --------------- ~ 2 ---- -----= 12.7 MPa 301.3(10 ) m4
Me I ’
Resp.
En la figura 6-28d se muestran vistas bi y tridimensionales de la dis tribución del esfuerzo. Note cómo el esfuerzo en cada punto sobre la sección transversal desarrolla una fuerza que contribuye con un mo mento respecto al eje neutro que tiene el mismo sentido que M. Específicamente, en el punto B ,y B - 150 mm, por lo que: 22.5 kN •m(0.150 m)
M ys aB =
I
’
a B = ---------------^ ---- -7-1- = 11.2 MPa 301.3(10 ) m4
El esfuerzo normal que actúa sobre elementos de material localiza dos en los puntos B y D se muestra en la figura 6-28e.
6.4
La fórmula de la flexión
• 303
E J E M P L O La viga mostrada en la figura 6-29a tiene una sección transversal en forma de canal, figura 6-29b. Determine el esfuerzo máximo de flexión que se presenta en la sección a-a de la viga.
2.6 kN
f
Solución En este caso, las reacciones en el soporte de la vi ga no tienen que determinarse. Podemos usar, con el método de las sec ciones, el segmento a la izquierda de la sección a-a. figura 6-29c. En par ticular. advierta que la fuerza axial interna resultante N pasa por el centroide de la sección transversal. Observe también que el m o m e n to interno resultante d eb e calcularse respecto a l eje n eu tro de la viga en la sección a-a. Para encontrar la posición del eje neutro, la sección transversal se subdivide en tres partes componentes, como se muestra en la figura 6-29b. Como el eje neutro pasa por el centroide, usando la ecuación A-2 del apéndice A, tenemos Momento interno.
1m -
2 m-
(a)
2[0.100 m](0.200 m)(0.015 m) + [0.010 m](0.02m)(0.250 m) 2(0.200 m)(0.015m) + 0.020 m(0.250 m) = 0.05909 m = 59.09 mm Esta dimensión se muestra en la figura 6-29c. Aplicando la ecuación de equilibrio por momentos respecto al eje neutro, tenemos: 2yA
y ~ H
a
*—250 m m —*
L+SM au = 0:
24 kN(2 m) + 1.0 kN(0.05909 m) - M = 0 5; M = 4.859 kN •m Propiedades de la sección. El momento de inercia respecto al eje neutro se determina usando el teorema de los ejes paralelos, aplicado a cada una de las tres partes componentes de la sección transversal. Trabajando en metros, tenemos: / = + 2
N
T
,20 mm l )
-r t
A t
C
200 mm
15 m m —
—15 mm (b)
-^(0.250 m)(0.020 m )3 + (0.250 m)(0.020 m)(0.05909 m - 0.010 m) 1
(0.015 m)(0.200 m)3 + (0.015 m)(0.200 m)(0.100 m - 0.05909 m )2
L1 2 '
= 42.26(10-6) m4 El esfuerzo máximo de flexión ocurre en los puntos más alejados del eje neutro. En este caso, el punto más alejado está en el fondo de la viga; c = 0.200 m - 0.05909m = 0.1409 m. Entonces, Me 4.859 kN-m(0.1409m) < r^ = — = 42 26(10- 6)m, = 16.2 MPa R esp . Esfuerzo máximo deflexión.
Muestre que en la parte superior de la viga el esfuerzo de flexión es cr' = 6.79 MPa. Note que además de este efecto de flexión, la fuerza normal de N = 1 kN y la fuerza cortante V = 2.4 kN contribuirán tam bién con esfuerzos adicionales sobre la sección transversal. La super posición de todos esos efectos se verá en un capítulo posterior.
2.4 kN ,1.0 kN
0.05909 m
____v
M
J -2 m -------(c)
Fig. 6-29
J
304 • CAPÍTULO 6 Flexión
E J E M P L O
El miembro con sección transversal rectangular, figura 6-30a, está dise ñado para resistir un momento de 40 N-m. Para aumentar su resistencia y rigidez, se propone añadir dos pequeñas costillas en su fondo, figura 6-30b. Determine el esfuerzo normal máximo en el miembro para am bos casos. S o lu c ió n
Es claro que el eje neutro se localiza en el centro de la sección transversal, figura 6-30«, por lo que y = c = 15 mm = 0.015 m. Así,
Sin costillas.
I = j-b r f =
(0.06 m)(0.03 m )3 = 0.135(10“6) m4
Por tanto, el esfuerzo normal máximo es: Me í r máx
(40N*m)(0.015 m) = 4.44 MPa 0.135(10~6) m
Resp.
Con costillas. En la figura 6-306, segmentando la sección en el rec tángulo grande principal y en los dos rectángulos inferiores (costillas), la posición del centroide y del eje neutro se determinan como sigue: 10 mm _
10 mm
H ,yA
'Y
a
[0.015 m](0.030 m)(0.060 m) + 2[0.0325 m](0.005 m)(0.010 m) (0.03 m)(0.060 m) + 2(0.005 m)(0.010m) = 0.01592 m
Fig. 6-30
Este valor no representa a c. Más bien, c = 0.035 m - 0.01592 m = 0.01908 m Usando el teorema de los ejes paralelos, el momento de inercia res pecto al eje neutro es: I =
^ (0.060 m)(0.030m)3 + (0.060 m)(0.030 m)(0.01592 m - 0.015 m)2
+ 2 ^ (0.010 m)(0.005 m)3 + (0.010 m)(0.005 m)(0.0325 m - 0.01592 m)2 = 0.1642(10“6) m4 Por lo tanto, el esfuerzo normal máximo es Me ^máx
40 N •m(0.01908 m) = 4.65 MPa 0.1642(10-6) m4
Resp.
Este sorprendente resultado indica que la adición de las costillas a la sección transversal aumentará el esfuerzo normal en vez de disminuir lo, y por esta razón deben ser omitidas.
Pr o b lem a s
• 305
PROBLEMAS 6-43. Un miembro con las dimensiones m ostradas se usa para resistir un m om ento flexionante interno M = 2 klb • pie. Determ ine el esfuerzo máximo en el miembro si el momento se aplica (a) alrededor del eje z, (b) alrede dor del eje y. Esboce la distribución del esfuerzo para cada caso. U- 2 pulg P robs. 6-45/46
6-47. La viga está hecha de tres tablones unidos entre sí por medio de clavos. Si el momento que actúa sobre la sec ción transversal es M = 600 N • m, determ ine el esfuerzo de flexión máximo en la viga. Esboce una vista tridim en sional de la distribución del esfuerzo que actúa sobre la sección transversal. *6-48. La viga está hecha de tres tablones unidos entre sí por medio de clavos. Si el momento que actúa sobre la sección transversal es M = 600 N • m, determ ine la fuerza resultante que el esfuerzo de flexión ejerce sobre el tablón superior.
*6-44. La barra de acero con diám etro de 1 pulg está so metida a un momento interno M = 300 Ib • pie. D eterm i ne el esfuerzo generado en los puntos A y B. Esboce tam bién una vista tridimensional de la distribución del esfuerzo que actúa sobre la sección transversal.
20 mm
Probs. 6-47/48
6-49. Una viga tiene la sección transversal mostrada. Si está hecha de acero con un esfuerzo permisible trperm = 2 klb/pulg2, determine el máximo momento interno que la viga puede resistir si el momento se aplica (a) alrededor del eje z, (b) alrededor del eje y. y
6-45. Un miembro tiene la sección transversal triangular mostrada. Determ ine el momento máximo interno M que puede aplicarse a la sección sin exceder los esfuerzos per misibles de tensión y de compresión de (a-perm); = 22 k lb / pulg 2 y (
306 • CAPÍTULO 6 Flexión
6-50. La viga está som etida a un m om ento M = 40 kN • m. Determine el esfuerzo de flexión que actúa en los puntos A y B. Esboce los resultados sobre un elemento de volumen presente en cada uno de esos puntos.
6-53. Una viga está construida con cuatro tablones de madera unidos entre sí con pegamento, como se muestra. Si el m om ento que actúa sobre la sección transversal es M = 450 N • m, determine la fuerza resultante que el es fuerzo de flexión produce sobre el tablón A superior y so bre el tablón B lateral.
P ro b . 6-50 P rob. 6-53
6-51. La pieza de aluminio de una máquina está som eti da a un momento M = 75 N • m. D eterm ine el esfuerzo de flexión generado en los puntos B y C sobre la sección trans versal. Esboce los resultados sobre un elem ento de volu men localizado en cada uno de esos puntos.
6-54. La viga está sometida a un momento de 15 klb • pie. D eterm ine la fuerza resultante que el esfuerzo de flexión produce sobre el patín A superior y sobre el patín B infe rior. También, calcule el esfuerzo máximo de flexión de sarrollado en la viga.
*6-52. La pieza de aluminio de una de máquina está so metida a un memento M = 75 N • m. Determine los esfuer zos máximos de tensión y de compresión por flexión en la parle.
6-55. La viga está sometida a un momento de 15 klb • pie. D eterm ine el porcentaje de este momento que es resisti do por el alma D de la viga.
20 mm
Probs. 6-51/52
Probs. 6-54/55
P r o b le m a s
*6-56. La viga está construida con cuatro tablones como se m uestra. Si está som etida a un m om ento M . = 16 klb ■pie, determ ine el esfuerzo en los puntos A y B. Esboce una vista tridimensional de la distribución del es fuerzo.
•
307
6-59. La viga está sometida a un momento M = 30 Ib • pie. Determine el esfuerzo de flexión que actúa en los puntos A y B. También esboce una vista tridimensional de la dis tribución del esfuerzo que actúa sobre la sección transver sal entera.
6-57. La viga está construida con cuatro tablones como se m uestra. Si está som etida a un m om ento M . = 16 klb • pie, determ ine la fuerza resultante que el esfuerzo produce sobre el tablón C superior.
M - 30 lb-pie
P ro b . 6-59
*6-60. La pieza de fundición ahusada soporta la carga mostrada. D eterm ine el esfuerzo de flexión en los puntos A y B. La sección transversal en la sección a-a se da en la figura.
1 pulg P robs. 6-56/57
6-58. La palanca de control se usa en una segadora de césped. Determine el esfuerzo máximo de flexión en la sec ción a-a de la palanca si se aplica una fuerza de 20 Ib a la manija. La palanca está soportada por un pasador en A y por un alambre en B. La sección a-a es cuadrada de 0.25 x 0.25 pulgadas. 4 ‘ pulgP ro b . 6-60
6-61. Si la flecha en el problem a 6-1 tiene un diámetro de 100 mm, determine el esfuerzo máximo absoluto de fle xión en la flecha. 6-62. Si la flecha en el problem a 6-3 tiene un diámetro de 1.5 pulg, determine el esfuerzo máximo absoluto de fle xión en la flecha. 6-63. Si la flecha en el problema 6-6 tiene un diám etro de 50 mm, determine el esfuerzo máximo absoluto de fle xión en la flecha.
Prob. 6-58
*6-64. Si el tubo en el problem a 6-8 tiene un diám etro exterior de 30 mm y un espesor de 10 mm, determine el es fuerzo máximo absoluto de flexión en la flecha.
308 • CAPÍTULO 6 Flexión
6-65. La viga ACB en el problem a 6-9 tiene una sección transversal cuadrada de 6 X 6 pulg. Determ ine el esfuer zo máximo absoluto de flexión en la viga. 6 -66 .
La pluma A B C de la grúa en el problem a 6-10 tie ne una sección transversal rectangular con base de 2.5 pulg; determine su altura h requerida, al j pulg más cercano, para que el esfuerzo permisible de flexión crpernl = 24 klb/pulg 2 no sea excedido.
*6-72. D eterm ine el esfuerzo máximo absoluto de fle xión en la flecha de 30 mm de diámetro sometida a las fuer zas concentradas indicadas. Las chumaceras en A y B so portan sólo fuerzas verticales. 6-73. Determine el diámetro permisible más pequeño pa ra la flecha sometida a las cargas concentradas mostradas. Las chumaceras en A y B sólo soportan fuerzas verticales; el esfuerzo permisible de flexión es
6-67. Si la pluma A B C de la grúa en el problem a 6-10 tie ne una sección transversal rectangular con base de 2 pulg y altura de 3 pulg, determine el esfuerzo máximo absolu to de flexión en la pluma. *6 -68 . D eterm ina el esfuerzo máximo absoluto de fle xión en la viga del problema 6-24. La sección transversal es rectangular con base de 3 pulg y altura de 4 pulg.
Ü
6-69. Determ ine el esfuerzo máximo absoluto de flexión en la viga del problema 6-25. Cada segmento tiene una sec ción transversal rectangular con base de 4 pulg y altura de 8 pulg. 6-70. Determ ine el esfuerzo máximo absoluto de flexión en el pasador de 20 mm de diámetro en el problema 6-35.
Ü =J 1.2 m -
- 0.8 m
-j— 0.6 m
400 N
600 N P ro b s. 6-72/73
6-71. El eje del vagón de ferrocarril está sometido a car gas de 20 klb en sus ruedas. Si el eje está soportado por dos chumaceras en C y D. determ ine el esfuerzo máximo de flexión generado en el centro del eje, donde el diám etro es de 5.5 pulgadas 6-74. D eterm ine el esfuerzo máximo absoluto de flexión en la flecha de 1.5 pulg de diám etro sometida a las fuerzas concentradas indicadas. Las chumaceras en A y B sopor tan sólo fuerzas verticales. 6-75. Determine el diámetro permisible más pequeño pa ra la flecha sometida a las fuerzas concentradas indicadas. Las chumaceras e n A y B soportan sólo fuerzas verticales y el esfuerzo permisible de flexión es o-pcrm = 22 klb/pulg2.
400 Ib
20 klb
Prob. 6-71
P robs. 6-74/75
P r o b le m a s
*6-76. El brazo CD del poste de servicio soporta un ca ble del que pende un peso de 600 Ib. D eterm ine el esfuer zo máximo absoluto de flexión en el brazo si se supone que A , B y C están articulados.
•
309
La flecha de acero tiene una sección transversal circular con diám etro de 2 pulg. Está soportada sobre chu maceras lisas A y B. que ejercen sólo reacciones verticales sobre la flecha. Determ ine el esfuerzo máximo absoluto de flexión en la flecha cuando está sometida a las cargas mostradas de las poleas. 6-79.
2 pulg
_H h-
£L
_ D5 pu|?
20 pulg 6001b
-
20 pulg —
500 Ib
■20 pulg
— 20 pulg —1 500 Ib
3001b
Prob. 6-79
Una porción del fémur puede modelarse como un tubo con diámetro interior de 0.375 pulg y un diámetro ex terior de 1.25 pulg. Determ ine la máxima fuerza P elásti ca estática que puede aplicársele en su centro sin que se produzca una falla. El diagrama cr-e para el material del hueso se muestra en la figura y es el mismo en tensión y en compresión. 6-77.
*6-80. Los soportes extremos de un andamio para per foradores usado en una mina de carbón consisten en un tu bo con diám etro exterior de 4 pulg que enchufa con un tubo de 3 pulg de diám etro exterior y longitud de 1.5 pies. Cada tubo tiene un espesor de 0.25 pulg. Con las reaccio nes extremas de los tablones soportados dadas, determine el esfuerzo máximo absoluto de flexión en cada tubo. Des precie el tam año de los tablones en los cálculos.
La silla está soportada por un brazo que está ar ticulado de modo que puede girar respecto al eje vertical en A . La carga sobre la silla es de 180 Ib y el brazo es un tubo hueco cuya sección transversal tiene las dimensiones mostradas. Determ ine el esfuerzo máximo de flexión en la sección a-a. 6-78.
Prob. 6-80
La viga está sometida a la carga P en su centro. D e term ine la posición a de los soportes de m anera que el esfuerzo máximo absoluto de flexión en la viga sea tan grande como sea posible. ¿Qué valor tiene este esfuerzo? 6-81.
180 Ib
-
------- a |»— 8 pulg —H
--------)
1
O
r------a
------- -
□ IH b
--------------- L / 2 -------------- - --------------- L /2 -----------------
Prob. 6-81
310 • CAPÍTULO 6 Flexión
6-82. La armadura simplemente apoyada está sometida a la carga central distribuida. Desprecie el efecto de la ce losía diagonal y determ ine el esfuerzo máximo absoluto de flexión en la armadura. El miembro superior es un tu bo con diámetro exterior de 1 pulg y espesor de ¿ pulg; el m iem bro inferior es una barra sólida con diám etro de I pulgada.
•
•
“
H
P ro b s. 6-84/85
- 6 p ie s-------- ---------6 p ie s -------- - -------- 6 p ie s -------P ro b . 6-82
El pasador se usa para conectar los tres eslabones entre sí. D ebido al desgaste, la carga se distribuye sobre la parte superior e inferior del pasador como se muestra en el diagrama de cuerpo libre. Si el diám etro del pasador es de 0.40 pulg, determine el esfuerzo máximo de flexión so bre la sección transversal a-a central. Para obtener la solu ción es necesario primero determ inar las intensidades de las cargas y w2. 6-83.
IV 9
800 Ib
W
6 -86 .
La viga simplemente apoyada está hecha de cuatro barras de 7 pulg de diámetro, dispuestas como se muestra. D eterm ine el esfuerzo máximo de flexión en la viga debi do a la carga mostrada. Resuelva el problem a 6-8 1si el arreglo se gira 45° y se fija en los soportes. 6-87.
801b
80 Ib
i L 2 pies —|-
- 2 pies -
---------6 pies — P ro b s. 6-86/87
1 pulg
|i PulS-|
b
J j 0.40 pulg
*6 -88 . La viga de acero tiene la sección transversal mos trada. Determine la intensidad máxima de la carga iv dis tribuida que puede soportar la viga sin que el esfuerzo de flexión exceda el valor crmáx = 22 klb/pulg2. La viga de acero tiene la sección transversal mos trada. Si iv = 5 klb/pie. determ ine el esfuerzo máximo ab soluto de flexión en la viga. 6-89.
h l - 5 p u lg H
4001b
4001b P ro b . 6-83
Una flecha está hecha de un polímero con sección transversal elíptica. Si resiste un m om ento interno M = 50 N • m, determine el esfuerzo máximo de flexión genera do en el material (a) usando la fórmula de la flexión, donde /, = j7r(0.08 m)(0.04 m )3, (b) usando integración. E sbo ce una vista tridimensional de la distribución del esfuerzo que actúa sobre la sección transversal. *6 -84 .
Resuelva el problema 6-84 considerando que el mo m ento M = 50 N • m está aplicado respecto al eje y y no respecto al eje x. Aquí, /,. = j <7(0.04 m)(0.08 m)3.
h t 8 pulg
h— I : 0.30 pulg 0.3 pulg-
j
10 pulg 0.30 pulg
6-85.
Probs. 6-88/89
Pr o b le m a s
6-90. La viga tiene la sección transversal rectangular mos trada. Determine la carga P máxima que puede soportar sobre sus extremos volados si el esfuerzo de flexión no de be ser mayor que crmáx = 10 MPa. 6-91. La viga tiene la sección transversal rectangular mos trada. Si P = 12 kN, determ ine el esfuerzo máximo abso luto de flexión en la viga. Esboce la distribución de esfuer zo que actúa sobre la sección transversal.
■1.5 m -
•
311
La estructura A B D del ala de un avión ligero está hecho de aluminio 2014-T6 y tiene una sección transver sal de 1.27 X 3 pulg (peralte) y un momento de inercia res pecto a su eje neutro de 2.68 pulg4. Determ ine el esfuerzo máximo absoluto de flexión en la estructura para la carga mostrada. Suponga que A, B y C son pasadores. La cone xión está hecha a lo largo del eje central longitudinal de la estructura. 6-94.
-1.5 m -
— 1.5 m -
250 mm
H
150 mm P ro b s. 6-90/91
*6-92. De un tronco de 2 pies de diám etro va a cortarse una sección rectangular para usarse como viga simplemen te apoyada. Si el esfuerzo permisible de flexión para la ma dera es = 8 klb/pulg2. determ ine el ancho b y la altu ra h requeridos por la viga para que ésta soporte la carga máxima posible. ¿Q ué valor tiene esta carga?
P ro b . 6-94
6-93. De un tronco de 2 pies de diám etro va a cortarse una sección rectangular para usarse como viga simplemen te apoyada. Si el esfuerzo permisible de flexión para la ma dera es crpem = 8 klb/pulg2. determ ine la máxima carga P que podrá soportar si el ancho de la viga es b = 8 pul gadas.
6-95. La lancha tiene un peso de 2300 Ib y centro de gra vedad en G. Si se apoya en el soporte liso A del remolque y puede considerarse soportada por un pasador en B , de termine el esfuerzo máximo absoluto de flexión desarro llado en la barra principal del rem olque. Considere que esta barra es una viga en caja articulada en C y con las dimensiones mostradas en la figura.
*1— A t
■V
V .
i
-
2 pies —
8 pies -
8 pies
1.5 pulg Probs. 6-92/93
Prob. 6-95
312 • CAPÍTULO 6 Flexión
*6-96. Una viga de madera tiene sección transversal cua drada como se muestra en la figura. D eterm ine qué orien tación de la viga da la mayor resistencia para soportar el momento M. ¿Cuál es la diferencia en el esfuerzo máximo resultante en ambos casos?
6-99. U na viga va a fabricarse a base de un plástico poIietileno y tendrá la sección transversal mostrada. D eter mine su altura máxima requerida para que soporte el ma yor m om ento M. ¿Q ué valor tiene este m om ento? Los esfuerzos permisibles de tensión y de compresión por fle xión del material son (o-pe,,,,), = 10 klb/pulg 2 y (o-perm)c = 30 klb/pulg2, respectivamente.
(b) Prob. 6-96
6-97. La viga en voladizo tiene un espesor de 4 pulg y un peralte variable que puede describirse por la función y = 2 [(x + 2 ) /4 ]0'2, donde x está en pulgadas. D eterm ine el es fuerzo máximo de flexión en la viga en su centro. *6-100. Una viga está hecha de un material que tiene mó dulos de elasticidad diferentes a tensión y a compresión. Determ ine la posición c del eje neutro y obtenga una ex presión para el esfuerzo máximo de tensión en la viga con las dimensiones mostradas si está sometida al m om ento flexionante M.
Prob. 6-97
6-98. U na viga de madera tiene una sección transversal que era originalmente cuadrada. Si está orientada como se muestra,determ ine la altura h' para que resista el momen to máximo posible. ¿Qué tanto por ciento es este momento mayor que el resistido por la viga sin sus extremos aplana dos?
Prob. 6-98
6-101. La viga tiene una sección transversal rectangular y está sometida a un momento flexionante M. Si el m ate rial de que está hecha tiene módulos de elasticidad dife rentes a tensión y a compresión como se muestra, deter mine la posición c del eje neutro y el esfuerzo máximo de compresión en la viga.
S ección 6.5
6.5
Flexión asimétrica
• 313
Flexión asimétrica
Cuando desarrollamos la fórmula de la flexión, impusimos la condición de que la sección transversal fuese simétrica respecto a un eje perpendicu lar al eje neutro: además, el momento interno resultante M debía actuar a lo largo del eje neutro. Tal es el caso para las secciones “T ” o en canal mostradas en la figura 6-31. Sin embargo, esas condiciones son innecesa rias y en esta sección mostraremos que la fórmula de la flexión puede tam bién aplicarse a una viga con sección transversal de cualquier forma o a una viga sometida a un momento interno resultante actuando en cual quier dirección.
Eje de simetría
neutro
Momento aplicado a lo largo de un eje principal. Consideremos la sección transversal de la viga con la forma asimétrica mostrada en la fi gura 6-32a. Tal como lo hicimos en la sección 6.4, establecemos un siste ma coordenado derecho x, y, z con su origen localizado en el centroide C de la sección transversal y el momento interno resultante M actuando a lo largo del eje +z. Requerimos que la distribución del esfuerzo que ac túa sobre toda la sección transversal tenga una fuerza resultante cero, un momento interno resultante respecto al eje y igual a cero y un momento interno resultante respecto al eje z igual a M.* Estas tres condiciones pue den expresarse matemáticamente considerando la fuerza que actúa sobre el elemento diferencial dA localizado en (0, y, z), figura 6-32«. Esta fuer za es dF = a d A , y por tanto tenemos:
(6-14)
0 = J «crr , dA
Fr = 2 F r;
Eje de simetría
Eje neutro
Fig. 6-31
J'a A
(6-15)
0 = i z o - dA
( M R) y = 2 M V;
'a
M =
(.M r ) z = 1 M -
(6-16)
—y a dA M
*L a condición de q u e los m om entos resp ecto al eje y sean iguales a cero no se consideró en la sección 6.4, ya q u e la distribución del esfu erzo de flexión era sim étrica respecto al eje y y tal d istribución del esfuerzo da au to m áticam en te un m o m en to cero respecto al eje y. V ea la figura 6-26c.
G máx
1
M
f w )
(a)
Distribución de la deformación unitaria normal (vista lateral) (b)
Fig. 6-32
Distribución del esfuerzo de flexión (vista lateral) (c)
314 • CAPÍTULO 6 Flexión
Como se mostró en la sección 6.4, la ecuación 6-14 se satisface ya que el eje z pasa por el centroide de la sección transversal. Además, como el eje z representa el eje neutro de la sección transversal, la deformación unitaria normal variará linealmcnte de cero en el eje neutro a un máximo en un punto con la máxima coordenada y , y = c, respecto al eje neutro, figura 6-32b. Si el material se comporta de manera elástica lineal, la dis tribución del esfuerzo normal sobre la sección transversal es también li neal, por lo que o = - (y /c)o-mAx, figura 6-32c. Cuando esta ecuación se sustituye en la ecuación 6-16 y se integra, se llega a la fórmula de la fle xión crmáx = Me¡I. Cuando se sustituye en la ecuación 6-15, obtenemos: 0 =
y z dA
lo que implica que vz dA = 0
Esta integral se llama producto de inercia de la sección transversal. Co mo se indica en el apéndice A. será ciertamente igual a cero si los ejes y y z se escogen como los ejes de inercia principales de la sección transver sal. Para una sección transversa] de forma arbitraria, la orientación de los ejes principales siempre puede determinarse usando las ecuaciones de transformación o bien el círculo de inercia de Mohr como se explica en el apéndice A, secciones A.4 y A.5. Sin embargo, si la sección transversal tie ne un eje de simetría, los ejes principales pueden establecerse fácilmen te ya que ellos siempre están orientados a lo largo del eje de simetría y perpendicularmente a éste.
En resumen, las ecuaciones 6-14 a la 6-16 siempre serán satisfechas si el momento M se aplica respecto a uno de los ejes centroidales principales de inercia. Por ejemplo, considere los miembros mostrados en la figura 6-33. En cada uno de estos casos, y y z definen los ejes principales de inercia de la sección transversal cuyo origen se localiza en el centroide del área. En las figuras 6-33a y 6-33b. los ejes principales se localizan por simetría y en las figuras 6-33c y 6-33d su orientación se determina usando los métodos del apéndice A. Como M se aplica respecto a uno de los ejes principales (eje z),la distribución del esfuerzo se determina con la fórmula de la fle xión, a = M y/Iz, y se muestra para cada caso.
S ección 6.5
Flexión asimétrica
• 315
Momento aplicado arbitrariamente. En ocasiones un miembro pue de estar cargado de modo tal que el momento interno resultante no ac túa respecto a uno de los ejes principales de inercia de la sección trans versal. Cuando éste es el caso, el momento debe primero descomponerse en componentes dirigidas a lo largo de los ejes principales. La fórmula de la flexión puede entonces usarse para determinar el esfuerzo normal cau sado por cada componente del momento. Finalmente, usando el principio de superposición, el esfuerzo normal resultante en un punto puede deter minarse. Para mostrar cómo se hace esto, considere la viga con sección transversal rectangular sometida al momento M mostrada en la figura 6-34a. Aquí, M forma un ángulo 6 con el eje principal z. Supondremos que 9 es posi tivo cuando está dirigido del eje + z hacia el eje +y, como se muestra. Descomponiendo M en componentes a lo largo de los ejes z y y, tenemos Mz = M eos 9 y M y ~ M sen 9, respectivamente. Cada una de esas com ponentes se muestra por separado sobre la sección transversal en las figu ras 6-346 y 6-34c. Las distribuciones de esfuerzo normal que producen M y sus componentes M- y Mv se muestran en las figuras 6-34c/, 6-34e y 634/, respectivamente. Se supone aquí que (crv)máx > (o;v)máx. Por inspec ción. los esfuerzos máximos de tensión y de compresión [(
M ,y
MyZ
h
ly
(6-17)
donde sen 9
ct = esfuerzo normal en el punto y, z = coordenadas del punto medidas desde los ejes
z que tienen su origen en el centroide de la sección transversal y forman un sistema coordenado derecho. El eje x está dirigido saliendo de la sección transversal y los ejes y y z representan respectiva mente los ejes principales de momentos de inercia mínimo y máximo de la sección transversal.
My, M .
componentes del momento interno resultante dirigidas a lo largo de los ejes principales y y Z . Ellas son positivas si están di rigidas a lo largo de los ejes +y y +z; de otra manera, son nega tivas. Dicho de otra manera, My = M sen 9 y M, = M eos 9, donde 9 es positivo si se mide del eje +z hacia el eje +y.
•y, I. = momentos de inercia principales
calculados respecto a los ejes
y y z, respectivamente. Vea el apéndice A.
316
• CAPÍTULO 6 Flexión
y
Como mencionamos anteriormente, es muy importante que los ejes x, y, z formen un sistema derecho y que se asignen los signos algebraicos + (°*)múx]
apropiados a las componentes del momento y a las coordenadas al apli car esta ecuación. El esfuerzo resultante será de tensión si es positivo y de compresión si es negativo. Orientación del eje neutro. El ángulo a del eje neutro en la figura 6-34d puede determinarse aplicando la ecuación 6-17 con a = 0,ya que por definición, ningún esfuerzo normal actúa sobre el eje neutro.Tenemos:
+ (°*)m4x]
M yh
y
M zIy Z
Como Mz = M eos 6 y My = M sen 0, entonces
máx
y = ("Ttan 8
(6-18)
\Iy
Ésta es la ecuación de la línea que define el eje neutro de la sección trans versal. Como la pendiente de esta línea es tan a = y /z, entonces,
(6-19) (e)
+
y (^.Omdx
(0 Fig. 6-34 (cont.)
Puede verse aquí que para flexión asimétrica el ángulo 0. que define la di rección del momento M, figura 6-34«, no es igual a a, esto es, al ángulo que define la inclinación del eje neutro, figura 6-34d, a menos que I. = 7V. En cambio, si al igual que en la figura 6-34« el eje y se escoge como el eje principal para el momento de inercia mínimo y el eje z se escoge como el eje principal para el momento de inercia máximo , de modo que Iy < /., entonces de la ecuación 6-19 podemos concluir que el ángulo a, que se mide positivamente desde el eje +z hacia el eje +y. se encontrará entre la línea de acción de M y el eje y, esto e s 0 S f f < 90°.
PUNTOS IMPORTANTES • La fórmula de la flexión puede aplicarse sólo cuando la flexión ocurre respecto a ejes que representan los ejes principales de iner cia de la sección transversal. Esos ejes tienen su origen en el cen troide y están orientados a lo largo de un eje de simetría, si exis te uno, y el otro perpendicular a él. • Si el momento se aplica respecto a un eje arbitrario, entonces el momento debe resolverse en componentes a lo largo de cada uno de los ejes principales, y el esfuerzo en un punto se determina por superposición del esfuerzo causado por cada una de las compo nentes del momento.
S ecció n 6 .5
E J E M P L O
F le x ió n a s im é t r ic a
•
317
6.18
La sección transversal rectangular mostrada en la figura 6-35« está so metida a un momento flexionante de M = 12 kN •m. Determine el es fuerzo normal desarrollado en cada esquina de la sección, y especifi que la orientación del eje neutro. Solución Componentes del momento interno. Por inspección se ve que los ejes y y z representan los ejes principales de inercia ya que ellos son ejes de
simetría para la sección transversal. Según se requiere, hemos estable cido el eje z como el eje principal para el momento de inercia máximo. 0.2 m El momento se descompone en sus componentes y y z, donde 02m
= 12 kN-m
My — -| (1 2 k N -m ) = -9.60 K N -m M\ = |(12kN -m ) = 7.20 kN-m Propiedades de la sección. ejes y y z son:
Los momentos de inercia respecto a los
(a) Fig. 6-35
Iy = ^ (0 .4 m )(0 .2 m )3 = 0.2667(10“3) m4 12' 1
/. = ^ (0 .2 m )(0 .4 m )3 = 1.067(10“3) m4 Esfuerzos de flexión.
M .y
Se tiene entonces:
Myz
<7 =
7.20Í103) N •m(0.2 m) -9.60(103) N •m (-0.1 m) ------ = 2.25 MPa crn = ------------------- ;---- --------1---------------------- ^ 1.067(10 ) m 0.2667(10-3) m 7.20(103) N •m(0.2 m)
-9.60(103) N •m(0.1 m)
o c = ------- — 4------------------- + -------
1.067(10"3) m4
+
7.20(103) N •m (-0.2 m) "n = —
3.— 4-----= -4.95 MPa
7.20(103) N •m (—0.2 m)
' n0.2667(10-3) ^ n n - 3 ^ m4 J ------ = “ 2 ‘2 5 M P a
ResP■
-9.60(103) N •m (-0 .1 m)
„ 4 -------- h -------„ 4 ------------------------= 4.95 MPa
1.067(10“3) m4
Resp.
-9.60(103) N •m(0.1 m)
1.067(10~3) m4------- +
o-E = -------- 1
,
0.2667(10-3) m4
Resp. *
+
0.2667(10-3) m4
La distribución resultante del esfuerzo normal está esbozada usan do estos valores en la figura 6-35b. Como el principio de superposición es aplicable, la distribución es Lineal, como se muestra.
Resp.
Continúa
318 • CAPÍTULO 6 Flexión
M = 12 k N m
4.95 MPa
l 2.25 MPa
z
I
Ce)
(b)
Orientación del eje neutro. La posición z del eje neutro (N A), figura 6-35b, puede determinarse por proporción. A lo largo del borde BC se requiere:
2.25 MPa
4.95 MPa ( 0.2 m - z) 0.450 - 2.25z = 4.95z z = 0.0625 m z
De la misma manera, ésta es también la distancia de D al eje neutro en la figura 6-35b. Podemos establecer también la orientación del N A usando la ecuación 6-19, que se utiliza para determinar el ángulo a que el eje forma con el eje z o eje principal máximo. De acuerdo con nuestra con vención de signos, ftdebc medirse desde el eje +z hacia el eje +y. Por comparación, en la figura 6-35c, 6 = -tan^'j = —53.1° (o 6 = +306.9°). Así,
tan oí = y tan 0 *■yv
a = -79.4°
Resp.
Este resultado se muestra en la figura 6-35c. Usando el valor calcu lado antes de z, verifique, usando la geometría de la sección transver sal, que se obtiene la misma respuesta.
S ección 6.5
E J E M P L O
Flexión asimétrica
• 319
6.19
Una viga T está sometida al momento flexionante de 15 kN •m, como se muestra en la figura 6-36a. Determine el esfuerzo normal máximo en la viga y la orientación del eje neutro.
30
15 kN-m
(a) Solución Componentes del momento interno. Los ejes y y z son ejes principa les de inercia. ¿Por qué? Según la figura 6-36a, ambas componentes del momento son positivas. Tenemos: M y = (15 kN •m) eos 30° = 12.99 kN •m M, = (15 kN •m) sen 30° = 7.50 kN •m Propiedades de la sección. Con referencia a la figura 6-366, traba jando con unidades en metros, tenemos:
0.02 m
0.02 m
[0.05 m](0.100 m)(0.04 m) + [0.115 m](0.03 m)(0.200 m) (0.100 m)(0.04 m) + (0.03 m)(0.200 m) 2 /1 = 0.0890 m 0.03 ni
z =
2 zí 4
Usando el teorema de los ejes paralelos visto en el apéndice A, I = I + A d 2, los momentos de inercia principales son entonces:
o.ioo m
Iz = -^(0.100 m)(0.04m)3 + ^ (0 .0 3 m)(0.200 m )3 = 20.53(10~6) m4
h -
0.080 m
0.080 m
(0.04 m)(0.100 m )3 + (0.100 m)(0.04 m)(0.0890 m - 0.05 m)2
(b) Fig. 6-36
^ (0 .2 0 0 m )(0.03 m )3 + (0.200 m)(0.03 m)(0.115 m - 0.0890 m )2 = 13.92(10-6) m4
Continúa
320 • CAPÍTULO 6 Flexión
Las componentes del momento se mues tran en la figura 6-36c. Por inspección, el esfuerzo máximo de tensión ocurre en el punto B, ya que por superposición ambas componentes del momento generan ahí un esfuerzo de tensión. De la misma mane ra, el esfuerzo máximo de co m p resió n ocurre en el punto C. Así, Esfuerzo máximo de flexión.
Mzy
Myz
h
h
7.50 k N - m (-0.100 m) 12.99 k N • m (0.0410 m)
+
13.92(10-b ) m 4
MPa
Resp.
Por comparación, el esfuerzo normal máximo es de compresión y ocu rre en el punto C. Orientación del eje neutro. A l aplicar la ecuación 6-19 es importan te definir correctamente los ángulos a y 9. Como se indicó antes,y de be representar el eje para el momento de inercia principal m ín im o y z debe representar el eje para el momento de inercia principal m á xim o . Esos ejes están aquí apropiadamente posicionados ya que Iy < L. Usan do este arreglo, 9 y a se miden positivamente del eje + z hacia el eje + y. Por tanto, de la Figura 6-36a, 6 - + 6 0 °. Entonces,
tan a =
/ 20.53(10-6) m4 , ------------ 7---- 7 tan 60° V 13.92(10 ) m , a = 6 8 .6 °
Resp.
El eje neutro se muestra en la figura 6-36d. Como era de esperarse, se encuentra entre el eje y y la línea de acción de M.
S ección 6.5
E J E M P L O
La sección Z mostrada en la figura 6-37« está sometida al momento M = 20 kN •m. Usando los métodos del apéndice A (vea el ejemplo A.4 o el A.5), los ejes principales y y z se orientan como se muestra, de
manera que ellos representan los ejes para los momentos de inercia principales mínimo y máximo,Iy = 0.960(10“ 3) m4e Iz = 7.54(10-3) m4, respectivamente. Determine el esfuerzo normal en el punto P y la orien tación del eje neutro. Solución
Para usar la ecuación 6-19, es importante que el eje z sea el eje prin cipal para el momento de inercia máximo, que efectivamente lo es ya que la mayor parte del área de la sección está más alejada de este eje que del eje y. Componentes del momento interno.
100 mm
De la figura 6-37a, 400 mm
My = 20 kN •m sen 57.1° = 16.79 kN •m Mz = 20 kN •m eos 57.1° = 10.86 kN •m
Esfuerzo de flexión. Las coordenadas y y z del punto P deben deter minarse primero. Observe que las coordenadas y', z' de P son (-0.2 m, 0.35 m). Usando los triángulos sombreados en la construcción mostra da en la figura 6-37b, tenemos: yP = -0.35 sen 32.9° - 0.2 eos 32.9° = -0.3580 m
0.200
z P = 0.35 eos 32.9° - 0.2 sen 32.9° = 0.1852 m
Aplicando la ecuación 6-17, tenemos: MzyP
o-P = —
+
MyZp
(10.86 kN-m )(-0.3580m ) + (16.79 kN •m)(0.1852 m) 7.54(10"3) m 0.960(10-3) m' = 3.76 MPa Orientación del eje neutro.
E l ángulo 6 = 57.1° se muestra en la fi
gura 6-37a. Así, tan a -
7.54(10"'3) m tan 57.1° .0.960(10”3) m4 J
a = 85.3°
Resp.
E l eje neutro está localizado como se muestra en la figura 6-37b.
Flexión asimétrica
• 321
322
• CAPÍTULO 6 Flexión
PROBLEMAS El miembro tiene una sección transversal cuadra da y está sometido a un momento resultante M = 850 N • m como se muestra en la figura. Determine el esfuerzo de fle xión en cada esquina y esboce la distribución de esfuerzo producida por M. Considere 0 = 45°. 6-102.
La viga T está som etida al m om ento M = 150 klb* pulg con el sentido mostrado. D eterm ine el es fuerzo máximo de flexión en la viga y la orientación del eje neutro. Determ ine también la posición a del centroi de C.
6-105.
El miembro tiene una sección transversal cuadra da y está sometido a un momento resultante M = 850 N • m como se muestra en la figura. Determine el esfuerzo de fle xión en cada esquina y esboce la distribución de esfuerzo producida por M. Considere 0 = 30°.
6-103.
M = 850 N-m
Prob. 6-105
Si el momento interno que actúa sobre la sección transversal del puntal tiene una m agnitud de M = 800 N • m con el sentido mostrado en la figura, determine el esfuerzo de flexión en los puntos A y B. D eterm ine tam bién la posición z del centroide C de la sección transver sal del puntal, así como la orientación del eje neutro. 6-106.
Probs. 6-102/103
La viga tiene una sección transversal rectangu lar. Si está sometida a un momento M = 3500 N • m con el sentido mostrado, determ ine el esfuerzo de flexión máxi mo en la viga y la orientación del eje neutro. *6-104.
El momento resultante que actúa sobre la sección transversal del puntal de aluminio tiene una magnitud de M = 800 N • m y el sentido mostrado en la figura. Determi ne el esfuerzo máximo de flexión en el puntal. Determine también la posición y del centroide C de la sección trans versal del puntal, así como la orientación del eje neutro. 6-107.
= 3500 N-m
z
Prob. 6-104
M Probs. 6-106/107
P r o b le m a s
*6-108. La viga de acero de patín ancho en voladizo está sometida a la fuerza P concentrada en su extremo. D eter mine la magnitud máxima de esta fuerza tal que el esfuerzo de flexión generado en A no exceda el valor crperm = 180 MPa.
6-109. La viga de acero de patín ancho en voladizo está sometica a la fuerza concentrada P = 600 N en su extre mo. Determ ine el esfuerzo máximo de flexión generado en la sección A de la viga.
•
323
Considere el caso general de una viga prismática sometida a las componentes de momento M v y ¡VI, como se muestra, cuando los ejes x, y, z pasan por el centroide de la sección transversal. Si el material es elástico-lineal, el es fuerzo normal en la viga es una función lineal de la posi ción tal que cr = a + by + cz- Usando las condiciones de equilibrio 0 = 1^ u d A , My = jA zo-dA , M , = jA - ycrdA, determ ine las constantes a, b y c y dem uestre que el es fuerzo normal puede determ inarse con la ecuación cr = [ - ( M zI y I M y l yz) y + ( A /y /; + M J „ ) z ] / ( / / , - l yz2). Los m om entos y productos de inercia están definidos en el apéndice A. 6-111.
Prob. 6-111
El tablón se usa como vigueta de piso simplemen te apoyada. Si se aplica un mom ento M = 800 Ib • pie a 3o del eje z, determ ine el esfuerzo de flexión generado en el tablón en la esquina A . Com pare este esfuerzo con el ge nerado por el mismo momento aplicado a lo largo del eje Z (0 = 0o). ¿Q ué valor tiene el ángulo a para el eje neutro cuando 0 = 3°? Comentario: normalmente, las duelas del piso se clavan a la parte superior de las viguetas de modo que 0 a* 0 o y los altos esfuerzos debidos a la falta de ali neamiento no se presentan. 6-110.
*6-112. La viga en voladizo tiene la sección transversal Z mostrada. Bajo la acción de las dos cargas, determ ine el esfuerzo máximo de flexión en el punto A de la viga. Use el resultado del problem a 6 -111 .
La viga en voladizo tiene la sección transversal Z mostrada. Bajo la acción de las dos cargas, determine el es fuerzo máximo de flexión en el punto B de la viga. Use el resultado del problem a 6 - 111 .
6-113.
50 Ib
Probs. 6-112/113
324 • CAPÍTULO 6 Flexión
6-114. De acuerdo con los procedimientos delineados en el apéndice A, ejemplo A.5 o A . 6 , la sección Z tiene los m om entos de inercia principales Iv = 0.060(10~3) m 4e Iz = 0.471 (10-3) m4, respecto a los ejes principales de inercia y y z, respectivamente. Si la sección está sometida a un mo m ento M = 250 N • m dirigido horizontalm ente como se muestra, determine el esfuerzo de flexión generado en el punto A . Resuelva el problem a usando la ecuación 6-17. Resuelva el problem a 6-114 usando la ecuación desarrollada en el problem a 6 - 111 .
6-115.
Según los procedimientos delineados en el apén dice A, ejemplo A.5 o A . 6 , la sección Z tiene los momentos principales de inercia I v = 0.060(10-3) m4e /, = 0.47(10-3) m4, calculados respecto a los ejes principales de inercia y y z, respectivamente. Si la sección está sometida a un momen to M = 250 N • m dirigido horizontalmente como se mues tra, determine el esfuerzo de flexión generado en el punto B. Resuelva el problema usando la ecuación 6-17. *6-116.
Para la sección m o stra d a,// = 31.7(10~6) m \ /.■ = 114(10~6) m4, Iy¿ = 15.1(10~6) m4. Según los procedimien tos delineados en el apéndice A, la sección transversal del miembro tiene los momentos de inercia Iv = 29.0(10 6) m 4 e / , = 117(10-6) m4, calculados respecto a los ejes princi pales de inercia y y z, respectivamente. Si la sección está som etida a un momento M - 2500 N • m con el sentido mostrado, determine el esfuerzo de flexión generado en el punto A usando la ecuación 6-17. 6-117.
6-118. Resuelva el problem a 6-117 usando la ecuación desarrollada en el problem a 6 -111 .
Probs. 6-117/118
r6.6 Vigas compuestas Las vigas compuestas de dos o más materiales se denominan vigas com puestas. Ejemplos incluyen aquellas hechas de madera con cubreplacas de acero en sus partes superior e inferior, figura 6-38a, o más comúnmen te, vigas de concreto reforzadas con barras de acero, figura 6-38b. Los in
Barras de acero de refuerzo (b)
Fig. 6-38
genieros diseñan intencionalmente de esta manera las vigas para desarro llar un medio más eficiente de tomar las cargas aplicadas. Por ejemplo, se mostró en la sección 3.3 que el concreto es excelente para resistir esfuer zos de compresión pero que es muy pobre en su capacidad de resistir es fuerzos de tensión. Por esto, las barras de acero de refuerzo mostradas en la figura 6-38/? se han colocado en la zona de tensión de la sección trans versal de la viga, de manera que dichas barras resistan los esfuerzos de tensión que genera el momento M. Como la fórmula de la flexión se desarrolló para vigas cuyo material es homogéneo, esta fórmula no puede aplicarse directamente para deter minar el esfuerzo normal en una viga compuesta. Sin embargo, en esta sección desarrollaremos un método para modificar o “transformar” la sec ción transversal de la viga en otra hecha de un solo material. Una vez hecho esto, la fórmula de la flexión puede entonces usarse para el análi sis de los esfuerzos.
S ección 6.6
Para explicar cómo aplicar el método de la sección transformada, con sideremos ia viga compuesta hecha de dos materiales, 1 y 2 , que tienen las secciones transversales mostradas en la figura 6-39a. Si se aplica un mo mento flexionante a esta viga, entonces, como en el caso de una viga ho mogénea, la sección transversal total permanecerá plana después de la fle xión y por consiguiente las deformaciones unitarias normales variarán linealmente de cero en el eje neutro a un valor máximo en el material más alejado de este eje, figura 6-396. Si el material tiene un comportamiento elástico lineal, la ley de Hooke es aplicable y en cualquier punto el esfuer zo normal en el material 1 se determina con la relación a = E\e. Igual mente, para el material 2 , la distribución del esfuerzo se encuentra con la relación a = E2e. Es claro que si el material 1 es más rígido que el mate rial 2 , por ejemplo, acero versus hule, la mayor parte de la carga será toma da por el material 1, ya que Ex > E2■Suponiendo que éste es el caso, la distribución del esfuerzo será como la mostrada en la figura 6-39c o 6-39d. En particular, note el salto en el esfuerzo que ocurre donde se unen los dos materiales. Aquí, la deformación unitaria es la misma, pero como el módulo de elasticidad o rigidez de los materiales cambia bruscamente, igualmente lo hace el esfuerzo. La localización del eje neutro y la deter minación del esfuerzo máximo en la viga, usando esta distribución del esfuerzo, puede basarse en un procedimiento de tanteos. Esto requiere sa tisfacer las condiciones de que la distribución del esfuerzo genera una fuerza resultante nula sobre la sección transversal y que el momento de la distribución del esfuerzo respecto al eje neutro sea igual a M. Una manera más simple de satisfacer esas dos condiciones es transfor mar la viga en otra hecha de un solo material. Por ejemplo, si imaginamos que la viga consiste enteramente del material 2 menos rígido, entonces la sección transversal se verá como la mostrada en la figura 6-39e. Aquí, la altura h de la viga permanece igual, ya que la distribución de la deforma ción unitaria mostrada en la figura 6-396 debe preservarse. Sin embargo, la porción superior de la viga debe ser ampliada para que tome una carga equivalente a la que soporta el material 1 más rígido, figura 6-39d. El an cho necesario puede determinarse considerando la fuerza d¥ que actúa sobre un área dA = dz dy de la viga en la figura 6-39«. Se tiene, dF = a dA = (E\e) dz dy. Por otra parte, si el ancho de un elemento correspon diente de altura dy en la figura 6-39e es n dz, entonces dF' = & dA' = ( E2 e) n dz dy. Igualando esas fuerzas, de modo que ellas produzcan el mismo momento respecto al eje z, tenemos o
Vigas compuestas
Material menos
(a) .v
Variación de la deformación unitaria normal (vista lateral) (b)
y
Variación del esfuerzo de flexión (vista lateral)
(c)
£je d z dy = E2en dz dy Ei
”
E2
(6-20)
Este número n sin dimensiones se llamafactor de transformación. Indi ca que la sección transversal con ancho 6 en la viga original, figura 6-39«, debe incrementarse en ancho a b2 = nb en la región donde el material 1 va ser transformado en material 2, figura 6-39e. De manera similar, si el material 2 menos rígido va a transformarse en el material 1 más rígido, la sección transversal se verá como la mostrada en la figura 6-39/. Aquí, el ancho del material 2 se ha cambiado a by — n'b, donde n' = E2¡EV Ad
Variación del esfuerzo de flexión (d)
Fig. 6-39
326
.
CAPÍTULO 6
F lexión
vierta que en este caso el factor de transformación n' debe ser menor que > E2■En otras palabras, necesitamos menos del material más rígido para soportar un momento dado. Una vez que la viga ha sido transformada en otra hecha con un solo ma terial, la distribución del esfuerzo normal sobre la sección transformada será lineal como se muestra en la figura 6-39g o 6-39h. En consecuencia, el centroide (eje neutro) y el momento de inercia de la sección transforma da pueden determinarse y aplicarse la fórmula de flexión de la manera usual para determinar el esfuerzo en cada punto de la viga transformada. Observe que el esfuerzo en la viga transformada es equivalente al esfuerzo en el mismo material de la viga real. Sin embargo, para el material trans form ado, el esfuerzo encontrado en la sección transformada tiene que ser multiplicado por el factor de transformación n (o n'), ya que el área del material transformado, d A ' = n dz dy, es n veces el área del material real dA = dz dy. Esto es: uno ya que
Viga transformada al m a te ria l© (e)
dF =
( 6-21 )
Los ejemplos 6-21 y 6-22 ilustran numéricamente la aplicación del mé todo de la sección transformada.
(f)
Variación del esfuerzo de flexión para la viga transformada al material (2) (g)
Variación del esfuerzo de flexión para la viga transformada al material ®
(h) Fig. 6-39 (cont.)
PUNTOS IMPORTANTES • Las vigas compuestas están hechas de materiales diferentes para tomar eficientemente una carga. La aplicación de la fórmula de la flexión requiere que el material sea homogéneo, por lo que la sección transversal de la viga debe ser transformada en un solo material si esta fórmula va a usarse para calcular el esfuerzo de flexión. • El factor de transformación es la razón de los módulos de los di ferentes materiales de que está hecha la viga. Usado como un multiplicador, éste convierte las dimensiones de la sección trans versal de la viga compuesta en una viga hecha de un solo mate rial de modo que esta viga tenga la misma resistencia que la vi ga compuesta. Un material rígido será reemplazado por más del material menos rígido y viceversa. • Una vez que el esfuerzo en la sección transformada se ha deter minado, éste debe multiplicarse por el factor de transformación para obtener el esfuerzo en la viga real.
S ección 6.6
E J E M P L O
Vigas compuestas • 327
6.21
Una viga compuesta está hecha de madera y está reforzada con una cubreplaca de acero localizada en el fondo de la viga. Tiene la sección transversal mostrada en la figura 6-40«. Si la viga está sometida al mo mento flexionante M —2 kN •m, determine el esfuerzo normal en los puntos B y C. Considere £ mad = 12 GPa y Eac = 200 GPa.
2 kN-m
(b)
Fig. 6-40 S o lu c ió n
Aunque la selección es arbitraria, trans formaremos aquí la sección en una hecha enteramente de acero. Co mo el acero tiene una mayor rigidez que la madera (£'ac > £ mad)-el an cho de la madera debe reducirse a un ancho equivalente de acero. Por tanto.« debe ser menor que 1. Para que esto sea el caso, n = Emítd/E ac, por lo que:
Propiedades de la sección.
12 GPa bac = «¿mad = 200 GPa
mm^ = 9 mm
La sección transformada se muestra en la figura 6-40£>. La posición del centroide (eje neutro), calculada respecto a un eje de referencia situado en el fo n d o de la sección es: Z yA [0.01 m](0.02 m)(0.150 m) + [0.095 m](0.009 m)(0.150 m) v = ------ = ----------------------------------------------------------------------- -------- = 0.03638 m 2/1 0.02 m(0.150 m) + 0.009 m(0.150m)
7
El momento de inercia respecto al eje neutro es entonces: A
1
+
^(0.150 m)(0.02m )3 + (0.150 m)(0.02 m)(0.03638 m - 0.01 m) ^ (0.009 m)(0.150m)3 + (0.009 m)(0.150 m)(0.095 m - 0.03638 m )2
112 '
= 9.358(10-6) m4
Continúa
328 • CAPÍTULO 6 Flexión
kN-m
kN-m
Esfuerzo normal. mal en B' y C es:
Aplicando la fórmula de la flexión, el esfuerzo nor
2 kN •m(0.170 m - 0.03638 m) 9.358(10~6) m4 2 kN •m(0.03638 m) _6 _ 4— = 7.78 MPa 9.358(l0~6) m4
Resp.
La distribución del esfuerzo normal sobre la sección transformada (to da de acero) se muestra en la figura 6-40c. El esfuerzo normal en la madera en B, figura 6-40a, se determina con la ecuación 6 -21 ; así, vB
=
n * B.
= 200GPa(28-56 MPa) = L?l MPa
R eSp ‘
Usando estos conceptos, demuestre que el esfuerzo normal en el acero y en la madera en el punto en que están en contacto es
S ección 6.6
E J E M P L O
Vigas compuestas • 329
-----------------------------------------------------------------------------------------
Para reforzar la viga de acero, se coloca un tablón de roble entre sus patines como se muestra en la figura 6-41a. Si el esfuerzo normal per misible para el acero es (a -perm )ac = 24 klb/pulg2 y para la madera es (operijmad = 3 klb/pulg2, determine el momento flexionante máximo que la viga puede soportar con y sin el refuerzo de madera. Eac = 29(103) klb/pulg2, £ raad = 1.60(103) klb/pulg2. El momento de inercia de la viga de acero es Iz = 20.3 pulg4, y el área de su sección transver sal es A = 8.79 pulg2.
0.6623 pulg
H IN c
z 0.200 pulg (b)
(a) Fig. 6-41
S o lu c ió n
Aquí el eje neutro coincide con el eje z. La aplicación directa de la fórmula de la flexión a la viga de acero nos da:
Sin madera.
Me " h
24 klb/pulg2 =
M (4.200 pulg)
20.3 pulg 4
M = 116 klb-pulg
Resp.
Como ahora tenemos una viga compuesta, debemos transformar la sección a un solo material. Será más fácil transformar la madera a una cantidad equivalente de acero. Para hacer esto, n = Emad/E ac. ¿Por qué? Así, el ancho de una cantidad equivalente de ace ro es: Con madera.
^ac
^mad
1.60(103) klb/pulg2 (12 pulg) = 0.662 pulg 29(103) klb/pulg2
Continúa
330
• CAPÍTULO 6 Flexión
La sección transformada se muestra en la figura 6-416. E l eje neutro está en: T y A _ [0](8.79 pulg2) + [2.20 pulg](4 pulg)(0.662 pulg)
2A = 0.5093 pulg
8.79 pulg2 + 4(0.662 pulg2)
E l momento de inercia respecto al eje neutro es: / = [20.3 pulg4 + (8.79 pulg2)(0.5093 pulg)2] + ~ (0.662 pulg)(4 pulg)3 + (0.662 pulg)(4 pulg)(2.200 pulg - 0.5093 pulg)2
= 33.68 pulg'.4 El esfuerzo normal máximo en el acero ocurrirá en el fondo de la vi ga, figura 6-416. Aquí, c — 4.200 pulg + 0.5093 pulg = 4.7093 pulg. El momento máximo con base en el esfuerzo permisible del acero es por tanto: Me ( f r perm )ac
r
I
_ i t; f , A/(4.7093 pulg) 24 klb/pulg- = — r ~4 33.68 pulg M = 172 klb ■pulg El esfuerzo normal máximo en la madera se presenta en la parte su perior de la viga, figura 6-416. Aquí, c' = 4.20 pulg - 0.5093 pulg = 3.6907 pulg. Como
= ^1 M .'c '
3 klb/pulg2 =
1.60(103) klb/pulg2' M '(3.6907 pulg) 29(103) klb/pulg2 . 33.68 pulg4
M' = 496 klb-pulg
Por comparación, el momento máximo está regido por el esfuerzo permisible en el acero. Así, M = 172 klb •pulg
Resp.
Advierta también que al usar la madera como refuerzo, se proporcio na una capacidad adicional de 48% de momento para la viga.
S ección 6.7
Vigas de concreto reforzado
*6.7 Vigas de concreto reforzado Todas las vigas sometidas a flexión pura deben resistir tanto esfuerzos de tensión como de compresión. Sin embargo, el concreto es muy suscepti ble al agrietamiento cuando está tensionado, por lo que por sí mismo no es apropiado para resistir un momento de flexión.* Para superar esta des ventaja, los ingenieros colocan barras de refuerzo de acero dentro de una viga de concreto en lugares en que el concreto está a tensión, figura 6-42a. Para que sean lo más efectiva posibles, esas barras se sitúan lo más lejos posible del eje neutro de la viga, de manera que el momento generado por las fuerzas desarrolladas en las barras sea máximo respecto al eje neu tro. Por otra parte, la barras deben tener un recubrimiento de concreto que las proteja de la corrosión o de la pérdida de resistencia en caso de un incendio. En el diseño de concreto reforzado, la capacidad del concre to para soportar cargas de tensión se desprecia ya que un posible agrieta miento del concreto es impredecible. En consecuencia, la distribución del esfuerzo normal que actúa sobre la sección transversal de una viga de con creto reforzado se supone igual a la mostrada en la figura 6-42b. E l análisis de esfuerzos requiere localizar el eje neutro y determinar el esfuerzo máximo en el acero y en el concreto. Para hacer esto, el área de acero A.áCse transforma primero en un área equivalente de concreto usan do el factor de transformación n = Eac/E conc. Esta relación, que da n > 1, se escoge ya que una cantidad “mayor” de concreto es necesaria para reemplazar al acero. El área transformada es nA.iC y la sección transfor mada se ve como la mostrada en la figura 6-42c. Aquí, d representa la dis tancia de la parte superior de la viga al acero (transformado), b el ancho de la viga y h' la distancia aún no conocida de la parte superior de la vi ga al eje neutro. Podemos obtener h' usando el hecho de que el centroi de C de la sección transversal de la sección transformada se encuentra so bre el eje neutro, figura 6-42c. Por tanto, con referencia al eje neutro, el momento de las dos áreas, XyA, debe ser cero, puesto que y = 1yA /1A = 0. Así,
Se supone que el concreto está agrietado en esta región
b h ' ( j ) - n A ac(d - h ' ) = 0 b , - h + n A ach ' — n A acd = 0
Una vez obtenida h' de esta ecuación cuadrática, la solución procede de manera usual para la obtención del esfuerzo en la viga.
(c)
Fig. 6-42 *La inspección de su d iagram a particu lar de esfuerzo-deform ación u n itaria en la figura 3-11 revela q u e este co n creto es 12.5 veces m ás resisten te en com presión q u e en tensión.
• 331
332 • CAPÍTULO 6 Flexión
E J E M P L O
La viga de concreto reforzado tiene la sección transversal mostrada en la figura 6-43a. Si está sometida a un momento flexionante M = 60 klb •pie, determine el esfuerzo normal en cada una de las barras de acero de refuerzo y el esfuerzo normal máximo en el concreto. Consi dere £ ac = 29(103) klb/pulg2 y E conc = 3.6(103) klb/ pulg2. S o lu c ió n
Como la viga está hecha de concreto, en el siguiente análisis desprecia remos su resistencia para soportar esfuerzos de tensión.
60
Propiedades de la sección. El área total de acero, A.dC = 2[tt(0.5 pulg)2] = 1.571 pulg2 será transformada en un área equivalente de con creto, figura 6-43b. Aquí,
2 pulg Barras de 1 pulg de diámetro
(a) A ' = nA„c = |-12 pulg— i h6 Ai-
Requerimos que el centroide se encuentre sobre el eje neutro. Enton ces, 2yA = 0 , o
16 pulg
-i------ A
29(103) klb/pulg2 (1.571 pulg ) = 12.65 pulg2 3.6(103) klb/pulg2
12 p u l g ( Z i ' ) _ 12.65 pulg2(16 pulg -/»') = 0
!
h'2 + 2.11h ' - 33.7 = 0
La raíz positiva es:
A = 12.65 pulg-
(b)
h' —4.85 pulg
Usando este valor de h ', el momento de inercia de la sección transfor mada respecto al eje neutro, es: 1 =
~r(12 pulg)(4.85 pulg)3 + 12 pulg(4.85 pul g)f 4’8
12
5
^ + 12.65 pulg2(16 pulg-4.85 pulg)2
= 2029 pulg4 Esfuerzo normal. Aplicando la fórmula de la flexión a la sección trans formada, el esfuerzo normal máximo en el concreto es: ( ° ’conc)máx
[60 klb •pie (12 pulg/pie)](4.85 pulg) = 1.72 klb/pulg2 2029 pulg
Resp.
E l esfuerzo normal resistido por la franja de “concreto”, que reempla zó al acero, es: o-,
31.9 klb/pulg'
Fig. 6-43
[60 klb •pie (12 pulg/pie)](16 pulg - 4.85 pulg) = 3.96 klb/pulg2 2029 pulg¿ E l esfuerzo normal en cada una de las dos barras de refuerzo es por tanto: 29(103) klb/pulg2 3.96 klb/pulg2 = 31.9 klb/pulg2 Resp. 3.6(103) klb/pulg: La distribución del esfuerzo normal se muestra gráficamente en la figu ra 6-43c.
S ección 6.8
Vigas curvas • 333
*6.8 Vigas curvas La fórmula de la flexión es aplicable a miembros prismáticos rectos, ya que, como se mostró antes, para miembros rectos la deformación unitaria normal varía linealmente desde el eje neutro. Sin embargo, si el miembro es cu rvo esta hipótesis no es correcta, por lo que debemos desarrollar otra ecuación que describa la distribución del esfuerzo. En esta sección consi deraremos el análisis de una viga curva, es decir, de un miembro con eje curvo y sometido a flexión. Ejemplos típicos incluyen ganchos y eslabo nes de cadenas. En todos los casos, los miembros no son delgados pero tienen una curva aguda y las dimensiones de sus secciones transversales son grandes comparadas con sus radios de curvatura. En el análisis se supone que la sección transversal es constante y tiene un eje de simetría perpendicular a la dirección del momento aplicado M, figura 6-44a. Se supone además que el material es homogéneo e isoirópico y que se comporta de manera elastoplástica cuando se aplica la carga. Como en el caso de una viga recta, supondremos para una viga curva que las seccio nes transversales del miembro p erm a n e ce n p la n a s después de aplicado el momento. Además, cualquier distorsión de la sección trans versal dentro de su propio plano será despreciada. Para efectuar el análisis, tres radios, medidos desde el centro de curva tura O' del miembro, se identifican en la figura 6-44a, y son: r, que define la posición conocida del centroide de la sección transversal; R. que define la posición aún no determinada del eje neutro, y r, que localiza un p u n to arbi trario o elemento de área d A sobre la sección transversal. Note que el eje neutro se encuentra dentro de la sección transversal, ya que el momento M genera compresión en las fibras superiores de la viga y tensión en sus fibras inferiores, y por definición, el eje neutro es una línea de esfuerzo y deformación unitaria nulos.
El esfuerzo de flexión en este gancho de grúa puede ser estimado usando la fórmula de la viga curva.
Centroide
-N-
JL
,
\dA
Fig. 6-44
Si aislamos un segmento diferencial de la viga, figura 6-44b, el esfuerzo tiende a deformar el material en forma tal que cada sección transversal girará un ángulo 5 0/2. La deformación unitaria € en la franja arbitraria de material localizada en r estará ahora determinada. Esta franja tiene una longitud original r dO, figura 6-44/?. Sin embargo, debido a las rotaciones 86/2, el cambio total en la longitud de la franja es 86(R — r). En conse cuencia, 6 6 (R - r) e
r d6
Si definimos k = 8 8 /d 0, que es constante para cualquier elemento par ticular, tendremos:
A diferencia del caso de vigas rectas, podemos ver que aquí la deforma ción unitaria normal no es una función lineal de r sino que varía en fo r ma hiperbólica. Esto ocurre aun cuando la sección transversal de la viga permanece plana después de la deformación. Como el momento ocasio na que el material se comporte elásticamente, la ley de Hooke es aplica ble, por lo que el esfuerzo en función de la posición está dado por:
(6-22)
Esta variación es también hiperbólica y, como ya ha sido establecida, po demos determinar la posición del eje neutro y relacionar la distribución del esfuerzo con el momento interno resultante M .
S ección 6.8
Para obtener la posición R del eje neutro, requerimos que la fuerza in terna resultante causada por la distribución del esfuerzo que actúa sobre la sección transversal sea igual a cero, es decir, a dA = 0
Fr = 2F r:
M ------ Ek\
}d A = 0
Como Ek y R son constantes, tenemos:
Despejando R , obtenemos: JD
A ' dA
(6-23)
i Aquí, R = posición del eje neutro, medido desde el centro de curvatura O' del
miembro A = área de la sección transversal del miembro r = posición arbitraria del elemento de área dA sobre la sección trans versal, medida desde el centro de curvatura O' del miembro. La integral en la ecuación 6-23 puede ser evaluada para varias geometrías de sección transversales. Los resultados para algunas secciones comunes se dan en la tabla 6 -2 . TABLA
6 -:2
F o rm a
■
r
Á re a
í / f
b(r-> -r.)
r2 b In -= r¡
1------r2------\
h - " >
T ~¡
ÏL 3 1 T
2b
-U S
ne2
ab
2 n ^ r - J T 2- c 2 j
Vigas curvas • 335
Para relacionar la distribución del esfuerzo con el momento flexionante resultante, requerimos que el momento interno resultante sea igual al momento de la distribución del esfuerzo calculado respecto al eje neutro. De la figura 6-44«, el esfuerzo
{R - r ) E k ( ^ - j- ^ J dA
Desarrollando y tomando en cuenta que Ek y R son constantes, obte nemos:
\
f dA í R2 ------- 2R dA + A r
'a
r A
r dA
\ '
La primera integral es equivalente a A / R d e acuerdo con la ecuación 6-23, y la segunda integral es simplemente el área A de la sección transversal. Como la localización del centroide se determina con r = ¡ r d A/ A, la ter cera integral puede reemplazarse por JA. Así, podemos escribir: M = EkA(jr - R)
Despejando Ek en la ecuación 6-22, sustituyendo tal valor en la ecuación anterior y despejando cr, tenemos: M {R - r) cr =
A r(r - R)
(6-24)
Aquí, cr = esfuerzo normal en el miembro M = momento interno, determinado con el método de las secciones y las
A = R = r= r=
ecuaciones de equilibrio y calculado respecto al eje neutro de la sec ción transversal. Este momento es positivo si tiende a incrementar el radio de curvatura del miembro, esto es, si tiende a enderezar el miembro área de la sección transversal del miembro distancia medida desde el centro de curvatura al eje neutro, deter minada con la ecuación 6-23 distancia medida desde el centro de curvatura al centroide de la sec ción transversal distancia medida desde el centro de curvatura al punto en que va a determinarse el esfuerzo u
S ección 6.8
Vigas curvas • 337
De la figura 6-44a, y = R — r o r = R - y. También, la distancia e = es constante y normalmente pequeña. Si sustituimos esos resulta dos en la ecuación 6-24, podemos también escribir:
r —R
(6-25)
Estas dos últimas ecuaciones representan dos formas de la llamada fó r m u la de la viga cu rva , que como la fórmula de la flexión puede usarse para determinar la distribución del esfuerzo normal pero en un miembro curvo. Esta distribución es, como se dijo antes, hiperbólica; un ejemplo se muestra en las figuras 6-44c y 6-44d. Como el esfuerzo actúa en la direc ción de la circunferencia de la viga, se le llama a veces esfuerzo circunfe rencial. Sin embargo, debe ser claro que debido a la curvatura de la viga, el esfuerzo circunferencial genera una correspondiente componente de esfuerzo radial , así llamada ya que esta componente actúa en la dirección radial. Para mostrar cómo se genera, consideremos el diagrama de cuer po libre mostrado en la figura 6-44e, que es un segmento de la parte su perior del elemento diferencial en la figura 6-446. Aquí, el esfuerzo radial a r es necesario ya que genera la fuerza d F n que se requiere para equili brar las componentes de las fuerzas circunferenciales d F . que actúan a lo largo de la línea O 'B . En ocasiones, los esfuerzos radiales en miembros curvos pueden ser muy importantes, especialmente si el miembro está construido a base de placas delgadas y tiene, por ejemplo, la forma de una sección I. En este caso, el es fuerzo radial puede resultar tan grande como el esfuerzo circunferencial, por lo que el miembro debe diseñarse para resistir ambos esfuerzos. Sin embar go, en la mayoría de los casos esos esfuerzos pueden despreciarse, sobre todo si la sección transversal del miembro es una sección sólida. Aquí la fórmula de la viga curva da resultados que concuerdan muy bien con los determi nados por medio de ensayos o por análisis basados en la teoría de la elas ticidad. La fórmula de la viga curva suele usarse cuando la curvatura del miem bro es muy pronunciada, como en el caso de ganchos o anillos. Sin embar go, si el radio de curvatura es mayor que cinco veces el peralte del miem bro, la fó rm u la de la fle x ió n puede normalmente usarse para determinar el esfuerzo. Específicamente, para secciones rectangulares en las que es ta razón es igual a 5, el esfuerzo normal máximo, determinado con la fórmula de la flexión será aproximadamente 7% m e n o r que su valor de terminado con la fórmula de la viga curva. Este error se reduce más aun cuando la razón radio de curvatura a peralte es mayor de 5.*
*Vea, p o r ejem plo. B oresi. A.P., y otros, A d va n ced M echanics o f M aterials. 3a. ed.. pág. 333. 1978. Jo h n Wiley & Sons. N ueva York.
Variación del esfuerzo de flexión (visca lateral)
(c)
(d)
Fig. 6-44 (cont.)
PUNTOS IMPORTANTES • La fórmula de la viga curva debe usarse para determinar el es fuerzo circunferencial en una viga cuando el radio de curvatura es menor que cinco veces el peralte de la viga. • Debido a la curvatura de la viga, la deformación unitaria normal en la viga no varía linealmente con el peralte como en el caso de una viga recta. En consecuencia, el eje neutro no pasa por el cen troide de la sección transversal. • La componente de esfuerzo radial causada por flexión puede ge neralmente ser despreciada, especialmente si la sección transver sal es una sección sólida y no está hecha de placas delgadas.
PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS Para aplicar la fórmula de la viga curva se sugiere usar el siguiente procedimiento. Propiedades de la sección. • Determine el área A de la sección transversal y la localización del
centroide, r, medido desde el centro de curvatura. • Calcule la localización del eje neutro, R, usando la ecuación 6-23 o la tabla 6-2. Si el área de la sección transversal consiste en n partes “compuestas”, calcule I d A / r para cada parte. Entonces, de la ecuación 6-23, para toda la sección, R = XA/2(j d A /r ) . En to dos los casos. R < r. Esfuerzo normal.
• El esfuerzo normal localizado en un punto r desde el centro de curvatura se determina con la ecuación 6-24. Si la distancia y al punto se mide desde el eje neutro, entonces calcule e = r - R y use la ecuación 6-25. • Como r — R da generalmente un n ú m ero m u y p e q u e ñ o , es me jor calcular r y R con suficiente exactitud para que la resta dé un número e con por lo menos tres cifras significativas. • Si el esfuerzo es positivo, será de tensión; si es negativo, será de compresión. • La distribución del esfuerzo sobre toda la sección transversal pue de ser graficada, o un elemento de volumen del material puede ser aislado y usado para representar el esfuerzo que actúa en el punto de la sección transversal donde ha sido calculado.
S ección 6.8
Vigas curvas • 339
Una barra de acero con sección transversal rectangular tiene forma de arco circular como se muestra en la figura 6-45a. Si el esfuerzo normal permisible es crperm = 20 klb/pulg2, determine el momento flexionante máximo M que puede aplicarse a la barra. ¿Qué valor tendría este momento si la barra fuese recta?
d r =?=
Fig. 6-45
S o lu c ió n
Momento interno. Como M tiende a incrementar el radio de curva tura de la barra, es positivo.
La posición del eje neutro se determina usando la ecuación 6-23. De la figura 6-45a, tenemos:
Propiedades de la sección.
dA r A
f Upul8 (2 pulg) dr - = (2 pulg) ln r i r J9 pulg
11 pulg
= 0.40134 pulg 9 pulg
Este mismo resultado puede obtenerse directamente en la tabla 6-2. Así, A (2 pulg)(2 pulg) ---- T--- = 9.9666 pulg R = ~~r—TT = — c dA 0.40134 pulg
Continúa
340 • CAPÍTULO 6 Flexión
Debe notarse que en todos los cálculos anteriores, R debe determinar se con varias cifras significativas para garantizar que (7 - R) sea exac ta por lo menos con tres cifras significativas. No se sabe si el esfuerzo normal alcanza su máximo en la parte su perior o en la parte inferior de la barra, por lo que debemos calcular el momento M en cada caso por separado. Como el esfuerzo normal en la parte superior de la barra es de compresión, a = - 2 0 klb/pulg2, M (R - r0) cr =
Ara(r - R)
2 _________ M(9.9666 pulg —1.1 pulg) -2 0 klb/pulg2 =
(2 pulg)(2 pulg)(11 pulg)(10 pulg - 9.9666 pulg)
M = 28.5 klb •pulg
Igualmente, en el fondo de la barra el esfuerzo normal es de tensión, por lo que cr = +20 klb/pulg2. Por tanto, cr =
2 20 klb/pulg2 =
M (R - r¡) Ar¡(r — R)
M(9.9666 pulg - 9 pulg) (2 pulg)(2 pulg)(9 pulg)(10 pulg - 9.9666 pulg)
M = 24.9 klb •pulg
17.5 k-ih/puig2
20 klb/pulg2
Resp.
Por comparación, el momento máximo que puede aplicarse es 24.9 klb •pulg y el esfuerzo normal máximo ocurre en el fondo de la barra. E l esfuerzo de compresión en la parte superior de la barra es entonces: a =
24.9 klb •pulg (9.9666 pulg - 11 pulg) (2 pulg)(2 pulg)(ll pulg)(10 pulg -9.9666 pulg)
= -17.5 klb/pulg2 La distribución del esfuerzo se muestra en la figura 6-456. Si la barra fuese recta, entonces Me a ~
I
M( 1 pulg) 20 klb/pulg2 = -r 12(2 pulg) (2 pulg)M = 26.7 klb •pulg
Resp.
Esto representa un error de aproximadamente 7% respecto al valor más exacto determinado antes.
S ección 6.8
E J E M P L O
Vigas curvas • 341
6.25
La barra curva tiene la sección transversal mostrada en la figura 6-46«. Si está sometida a momentos flexionantes de 4 kN •m, determine el es fuerzo normal máximo desarrollado en la barra.
200 mm r 50 mm
vU
1
50 mm 30 mm
(a)
Fig. 6-46
S o lu c ió n
Momento interno. Cada sección de la barra está sometida al mismo momento interno resultante de 4 kN •m. Como este momento tiende a disminuir el radio de curvatura de la barra, es negativo. Así, M = —4 kN •m.
Consideraremos aquí que la sección trans versal consta de un rectángulo y de un triángulo. El área lutal de la sec ción transversal es:
Propiedades de la sección.
Si4 = (0.05 m)2 + |(0.05 m)(0.03 m) = 3.250(10-3) nr La localización del centroide se determina con referencia al centro de curvatura, punto O',figura 6-46«. 17A '' ~ ~ 1 A
[0.225 m](0.05 m)(0.05 m) + [0.260 m]*(0.050 m)(0.030 m) 3.250(10“3) m2 = 0.23308 m
Continúa
342 • CAPÍTULO 6 Flexión
Podemos calcular ÍA dA ¡r para cada parte usando la tabla 6-2. Para el rectángulo, /, 0250 m\ = 0.05 m ln V 0 200 m /
í dA
— J, r
— ) = 0.011157 m
Para el triángulo, m\ nn_ í dA dA = (0.05 m)(0.280 m) / In 0.280 , _ —— — 0.05 m = 0.0028867 m
L r
(0.280 m - 0.250 m) V 0.250 m
La posición del eje neutro se determina entonces de acuerdo con: 7. A 3.250(10-3) m2 R ~ ~ T — - 0.011157 m + 0.0028867 „ ” ° 2 3 U 2 "' S dA/ r M
Observe que R < r como era de esperarse. Además, los cálculos se efec tuaron con suficiente exactitud, por lo que (r — R) = 0.23308 m 023142 m = 0.00166 m es ahora exacto con tres cifras significativas. Esfuerzo normal. E l esfuerzo normal máximo se presenta en A o en B. Aplicando la fórmula de la viga curva para calcular el esfuerzo nor mal en B, r¡¡ = 0.200 m, tenemos: a8 =
M (R - rB) _
( - 4 kN ■m)(0.23142 m - 0.200 m)
ArB{r - R ) ~ 3.2500(10“3) m2(0.200 m)(0.00166 m)
= -116 MPa En el punto A ,r A = 0.280 m y el esfuerzo normal es: ~ rA) ArA(r - R)
( - 4 kN •m)(0.23142 m - 0.280 m) 3.2500(10“3) m2(0.280 m) (0.00166 m) = 129 MPa
A
(b)
129 MPa
Resp.
Por comparación, el esfuerzo normal máximo se presenta en A. Una representación bidimensional de la distribución del esfuerzo se mues tra en la figura 6-466.
S ección 6.9
6.9
Concentraciones de esfuerzos
La fórmula de la flexión, ormáx = Mc/I, puede usarse para determinar la distribución del esfuerzo en regiones de un miembro en que el área de la sección transversal es constante o es ligeramente ahusada. Si la sección transversal cambia abruptamente, las distribuciones del esfuerzo normal y de la deformación unitaria en la sección se vuelven no lineales y pueden obtenerse sólo por medio de experimentos o, en algunos casos, por medio de un análisis matemático usando la teoría de la elasticidad. Disconti nuidades comunes incluyen miembros con muescas en sus superficies, fi gura 6-47«, agujeros para el paso de sujetadores o de otros objetos, figu ra 6-47b, o cambios abruptos en las dimensiones externas de la sección transversal del miembro, figura 6-47c. El esfuerzo normal máximo en ca da una de esas discontinuidades ocurre en la sección tomada a través del área mínima de la sección transversal. Para el diseño, es generalmente importante conocer el esfuerzo normal máximo desarrollado en esas secciones, no la distribución real del esfuer zo mismo. Como en los casos anteriores de barras cargadas axialmente y de flechas cargadas a torsión, podemos obtener el esfuerzo normal máxi mo debido a flexión usando un factor K de concentración de esfuerzos. Por ejemplo, en la figura 6-48 se dan valores de K para una barra plana que tiene un cambio en su sección transversal usando filetes. Para usar es ta gráfica, encuentre simplemente las razones geométricas w/ h y r/h y lue go encuentre el correspondiente valor de K para una geometría par-
Concentraciones de esfuerzos
• 343
344 • CAPÍTULO 6 Flexión
M
ticular. Una vez obtenido K. el esfuerzo de flexión máximo se determina usando Me
Fig. 6-49
Concentraciones de esfuerzos causados por flexión se presentan en las esquinas agu das de este dintel de ventana y son respon sables de las grietas en las esquinas.
(6-26)
Aquí, la fórmula de la flexión se aplica al área más pequeña de la sección transversal, ya que crmÁXocurre en la base del filete, figura 6-49. De la mis ma manera, la figura 6-50 puede usarse si la discontinuidad consiste en ra nuras o muescas circulares. Como en el caso de carga axial y torsión, la concentración de esfuerzos por flexión debe siempre considerarse al diseñar miembros hechos de ma teriales frágiles o que estén sometidos a fatiga o carga cíclica. Debe ser claro que los factores de concentración de esfuerzos son aplicables sólo cuando el material está sometido a un comportamiento elástico. Si el mo mento aplicado genera fluencia del material, como es el caso en los ma teriales dúctiles, el esfuerzo se redistribuye en todo el miembro y el es fuerzo máximo que resulta es inferior al determinado usando factores de concentración de esfuerzos. Este fenómeno se analizará con mayor am plitud en la siguiente sección.
PUNTOS IMPORTANTES • Las concentraciones de esfuerzo en miembros sometidos a flexión ocurren en puntos de cambio de sección transversal, como en ranuras y agujeros, porque aquí el esfuerzo y la deformación uni taria se vuelven no lineales. Entre más severo es el cambio, mayor es la concentración del esfuerzo. • Para el diseño o el análisis, no es necesario conocer la distribu ción exacta de los esfuerzos alrededor del cambio de la sección transversal puesto que el esfuerzo normal máximo ocurre en el área transversal más pequeña. Es posible obtener este esfuerzo usando un factor K de concentración de esfuerzos, que ha sido determinado experimentalmente y es sólo función de la geome tría del miembro. • En general, la concentración de esfuerzos en un material dúctil sometido a un momento estático no tiene que ser considerado en el diseño; sin embargo, si el material es frágil, o está sometido a cargas de fatiga, esas concentraciones de esfuerzo se vuelven im portantes.
S ección 6.9
E J E M P L O
Concentraciones de esfuerzos • 345
6.26
La transición en el área de la sección transversal de la barra de acero se logra por medio de filetes como se muestra en la figura 6-5 la. Si la barra está sometida a un momento flexionante de 5 kN •m. determine el esfuerzo normal máximo desarrollado en el acero. El esfuerzo de fluencia es ay = 500 MPa. 5 kN-m 5 kN-ra
$>< \
r = 16 mm
N.
5 kN m
20 mm
Fig. 6-51
S o lu c ió n
E l momento genera el máximo esfuerzo en la barra en la base del file te, donde el área de la sección transversal es mínima. El factor de con centración de esfuerzo puede determinarse usando la figura 6-48. De la geometría de la barra, tenemos r = 16 mm. Ir = 80 mm, w = 120 mm. Entonces, r _ 16 mm _ h 80 mm
’
w _ 120 mm _ ^ ^ h 80 mm
Esos valores dan K = 1.45. Aplicando la ecuación 6-26, tenemos Me (Tmáx
I
(5 kN •m)(0.04 m) ' ^ [¿(0.020 m)(0.08 m)
= 340 MPa
Este resultado indica que el acero permanece elástico ya que el esfuer zo tiene un valor inferior al de fluencia (500 MPa). Sin embargo, por el principio de Saint-Venant, sección 4.1, esos es fuerzos localizados se suavizan y se vuelven lineales a una distancia (aproximadamente) de 80 mm o más a la derecha de la transición. En este caso, la fórmula de la flexión da crm&x = 234 MPa. figura 6-51c.Note también que un filete de mayor radio reducirá considerablemente la
234 MPa 5 kN m
346
• CAPÍTULO 6 Flexión
PROBLEMAS La viga com puesta está hecha de acero (A) uni do a bronce (B) y tiene la sección transversal mostrada. D eterm ine el esfuerzo máximo de flexión en el bronce y en el acero cuando está som etida a un m om ento M = 6.5 kN • m. ¿Cuál es el esfuerzo en cada material en el lugar en que están unidos entre sí? £ hr = 100 GPa y £ ac ~ 200 GPa.
6-119.
La viga compuesta está hecha de acero (/l) uni do a bronce (fí) y tiene la sección transversal mostrada. Si el esfuerzo permisible a flexión para el acero es (crpcrm)a(; = 180 MPa y para el bronce es (o-pcrm)br = 60 MPa. determ i ne el momento máximo M que puede aplicarse a la viga. £ br = 100 G Pa y £ ac = 200 GPa. *6-120.
La viga “sándwich” se usa como puntal en un acua plano. Consiste en placas de aluminio situadas en las par tes superior e inferior de la viga y en un núcleo de resina plástica. D eterm ine el esfuerzo máximo de flexión en el aluminio y en el plástico cuando la viga está sometida a un momento M = 6 Ib • pulg. £ al = 10 ( 10 3) klb/pulg 2 y £ pl = 2 ( 10 3) klb/pulg2.
6-122.
50 mm
La canal de acero se usa para reforzar la viga de madera. D eterm ine el esfuerzo máximo de flexión en el acero y en la madera si la viga está sometida a un momen to M = 850 Ib • pie. £ ac = 29(103) k lb /pulg2, £ mad = 1600 klb/pulg2. 6-123.
A/= 6.5 kN-m
175 mm P ro b s. 6-119/120
Una viga de madera está reforzada con placas de acero en sus partes superior e inferior como se muestra en la figura. Determine el esfuerzo máximo de flexión gene rado en la madera y en el acero si la viga está sometida a un momento flexionante M = 5 kN • m. Esboce la distri bución del esfuerzo que actúa sobre la sección transversal. Considere £ mad = 11 GPa, £ ac = 200 GPa.
6-121.
0.5 pulg 15 pulg\ Ai = 850 lb pie
0.5 pulg:
Prob. 6-123
0.5 pulg
El miembro tiene un núcleo de bronce adherido a un recubrim iento de acero. Si se aplica un m omento con centrado de 8 kN • m en su extremo, determ ine el esfuerzo de flexión máximo en el miembro. £ br = 100 G Pa y £ ac = 200 GPa. *6-124.
8 kN-m
20 mm,-L _ _ 100 mm t 20 mm ™
20 mm Prob. 6-124
100 mm
20 mm
P r o b le m a s
• 347
6-125. La viga está hecha con tres tipos de plásticos con sus módulos de elasticidad indicados en la figura. D eter mine el esfuerzo máximo de flexión en el PVC.
500 Ib
5001b
2
PVC EPVC = 450 klb/pulg2 Escon Eh: - 160 klb/pulg2
Barras de
Bakelite EH = 800 klb/pulg2
Prob. 6-127 4 pies
3 pies
3 pies
D eterm ine la máxima carga w0 uniform emente distribuida que puede ser soportada por la viga de concre to reforzado si el esfuerzo permisible de tensión en el ace ro es OaJperm = 28 klb/pulg 2 y el esfuerzo permisible de com presión en el concreto es (crconc)pernl = 3 klb/pulg2. Suponga que el concreto no puede soportar esfuerzos de tensión. C onsidere £ ac = 29(103) k lb /p u lg 2 y Econc = 3.6 ( 10 3) klb/pulg2. *6-128.
1
1 pulg_ 2 pulgl 2 pulgX 3 pulg
Prob. 6-125
La viga de concreto reforzado se usa para sopor tar la carga indicada. D eterm ine el esfuerzo máximo ab soluto normal en cada una de las barras de refuerzo de ace ro A-36 y el esfuerzo máximo absoluto de compresión en el concreto. Suponga que el concreto tiene una alta resis tencia en compresión y desprecie su resistencia para so portar tensiones. 6-126.
Barras de 0.75 pulg de diámetro
«'o ...
y .
TTI
20 pulg 2.5 pulg
-------- 8 oies--------- ------ 8 Dies----------
10 pulg
Prob. 6-128
lO klb
lO klb
8 pulg O
15 pulg
W! 4 pies
8 pies
4 pies -»I
2 pulg
U na banda bim etálica está hecha de alum inio 2014-T6 y de latón rojo C83400,con la sección transversal mostrada. Un incremento de tem peratura ocasiona que su superficie neutra adquiera la forma de un arco circular con radio de 16 pulg. Determ ine el momento que debe estar actuando en su sección transversal debido al esfuerzo térmico. 6-129.
A
barras de 1 pulg de diámetro
Prob. 6-126
La viga de concreto reforzado tiene dos barras de acero de refuerzo. El esfuerzo permisible de tensión pa ra el acero es (crac)pem) = 40 klb/pulg 2 y el esfuerzo per misible de com presión en el concreto es (a-conc)perm = 3 klb/pulg2. Determine el momento máximo M que puede aplicarse a la sección. Suponga que el concreto no pue de soportar esfuerzos de tensión. £ ac = 29(103) klb/pulg 2 y / w = 3.8(103) klb/pulg2.
6-127.
pulg
0.3 nule , 0.1 pulg
0.1 pulg Aluminio
Prob. 6-129
348 • CAPÍTULO 6 Flexión 6-130. La horquilla se usa como parte del tren de aterri zaje delantero de un avión. Si la reacción máxima de la rue da en el extremo de la horquilla es de 840 Ib. determine el esfuerzo de flexión máximo en la sección a-a de la porción curva de la horquilla. En ese lugar la sección transversal es circular con 2 pulg de diámetro.
6-133. La viga curva está sometida a un momento M = 40 Ib • pie. Determine el esfuerzo máximo de flexión en la viga. Esboce en una vista bidimensional la distribución del esfuerzo que actúa sobre la sección a-a. 6-134. La viga curva está hecha de un material que tiene un esfuerzo de flexión crperm = 24 klb/pulg2. Determine el momento máximo M que puede aplicarse a la viga.
M = 40 lb-pie
M = 40 lb'pie
Probs. 6-133/134
Prob. 6-130
El miembro curvo es simétrico y está sometido a un momento M = 600 Ib • pie. Determine el esfuerzo de flexión en los puntos A y B del miembro. Muestre el es fuerzo actuando sobre elementos de volumen localizados en esos puntos.
6-131.
*6 -1 3 2 . El miembro curvo es simétrico y está sometido a un momento M = 400 Ib • pie. Determine los esfuerzos máximos de tensión y de compresión en el miembro. Com pare esos valores con los de un miembro recto que tenga la misma sección transversal y esté cargado con el mismo momento.
6-135. La barra curva usada en una máquina tiene una sección transversal rectangular. Si la barra está sometida a un par como se muestra, determine los esfuerzos máxi mos de tensión y compresión que actúan en la sección a-a. Esboce la distribución del esfuerzo sobre la sección en una vista tridimensional.
a
0:5 pulg
—1 H A _ 2 PulS 1.5 pulg
Probs. 6-131/132
Prob. 6-135
Pro b lem a s
*6-136. El miembro curvo en caja es simétrico y está so metido a un momento M = 500 Ib • pie. Determine el es fuerzo de flexión en el miembro en los puntos A y tí. Mues tre el esfuerzo actuando sobre elem entos de volumen localizados en esos puntos.
•
349
6-139. El codo de la tubería tiene un radio exterior de 0.75 pulg y un radio interior de 0.63 pulg. Si el conjunto es tá sometido a los momentos M = 25 Ib • pulg, determine el esfuerzo máximo de flexión generado en la sección a-a.
6-137. El miembro curvo en caja es simétrico y está so metido a un momento M = 350 Ib • pie. Determine los es fuerzos máximos de tensión y compresión en el miembro. Compare esos valores con los de un miembro recto que tenga la misma sección transversal y esté cargado con el mismo momento.
4pulg
M = 25 Ib-pulg
Prob. 6-139 Probs. 6-136/137
6-138. Durante el vuelo, la parte estructural curva en el avión a reacción está sometida a un momento M = 16 N • m en su sección transversal. Determine el esfuerzo máximo de flexión en la sección curva de la estructura y esboce una vista bidimensional de la distribución del esfuerzo.
*6-140. Una barra circular de 100 mm de diámetro está doblada en forma de S. Si se somete a los momentos M = 125 N • m en sus extremos, determine los esfuerzos máxi mos de tensión y de compresión generados en la barra.
M = 125 N m
Prob. 6-138
Prob. 6-140
350 • CAPÍTULO 6 Flexión
6-141. El miembro tiene una sección transversal elípti ca. Si se somete a un esfuerzo M = 50 N* m, determine el esfuerzo de flexión en los puntos A y B. ¿Es el esfuerzo en el punto A ', que está localizado sobre el miembro cerca de la pared igual que el esfuerzo en A l Explíquelo.
6-145. La barra está sometida a un momento M = 15 N • m. Determine el esfuerzo máximo de flexión en la barra y esboce, en forma aproximada, cómo varía el esfuer zo sobre la sección crítica.
6-142. El miembro tiene una sección transversal elípti ca. Si el esfuerzo permisible de flexión es crperm = 125 MPa, determine el momento máximo M que puede aplicarse al miembro.
°perm = 175
6-146.
El esfuerzo permisible de flexión para la barra es MPa. Determine el momento máximo M que puede aplicarse a la barra.
60 mm
M■
6-147. La barra está sometida a cuatro momentos con centrados. Si está en equilibrio, determine las magnitudes de los momentos máximos M y M ' que pueden aplicarse sin exceder un esfuerzo permisible de flexión de t7-perm = 22 klb/pulg2. Probs. 6-141/142
*6-148. La barra está sometida a cuatro momentos con centrados. Si M = 180 Ib ■pie y M' = 70 Ib • pie, determi ne el esfuerzo máximo de flexión generado en la barra.
6-143. La barra tiene un espesor de 0.25 pulg y está hecha de un material que tiene un esfuerzo permisible de fle xión de crpem, = 18 klb/pulg2. Determine el momento máxi mo M que puede aplicársele. *6-144. La barra tiene un espesor de 0.5 pulg y está so metida a un momento de 60 Ib • pie. Determine el esfuer zo máximo de flexión en la barra.
0 5 pulg 4.5 pulg
0.90 pulg 1.5 pulg
1
M
' ( ’f lOlb-pie
lOOlb-pie
Probs. 6-147/148
6-149. Determine el esfuerzo máximo de flexión gene rado en la barra cuando está sometida a los momentos concentrados mostrados. La barra tiene un espesor de 0.25 pulg.
4.5 pulg
3 pulg
1— -L»K - T * .
160 Ibpulg
100 lb-pul 0.3 pulg
Probs. 6-143/144
1.5 pulg
Prob. 6-149
1.125 pulg 60 Ib pulg
P ro b le m as
6-150. Determine la longitud L de la porción central de la barra de manera que el esfuerzo máximo de flexión en A , B y C sea e! mismo. La barra tiene un espesor de 10 mm.
350 N 60 mm 40 mm 7 mm I ,, 7 mm I ------- 1------ ---------C B u S sssr
•
351
6-153. Si el radio de cada muesca sobre la placa es r = 0.5 pulg, determine el momento máximo que puede apli carse. El esfuerzo permisible de flexión para el material es trperm = 18 klb/pulg2. 6-154. La placa simétricamente indentada está sometida a flexión. Si el radio de cada muesca es r = 0.5 pulg y el momento aplicado es M = 10 klb • pie, determine el esfuer zo máximo de flexión en la placa.
------- t ------- Á
1 L
2
14.5 pulg
Prob. 6-150
6-151. La barra está sometida aun momento M = 153 N • m. Determine el radio r mínimo de los filetes de modo que el esfuerzo permisible de flexión = 120 MPa no sea excedido.
Probs. 6-153/154
6-155. La barra indentada simplemente apoyada está so metida a dos fuerzas P. Determine la magnitud máxima de P que puede aplicarse sin causar que el material fluya. El material es acero A-36. Cada muesca tiene un radio r — 0.125 pulg.
Prob. 6-151
*6-152. La barra está sometida a un momento M = 17.5 N • m. Si r = 6 mm determine el esfuerzo de flexión máxi mo en el material.
*6-156. La barra indentada simplemente apoyada está sometida a dos cargas, cada una de magnitud P = 100 Ib. Determine el esfuerzo máximo de flexión generado en la barra y esboce la distribución del esfuerzo de flexión que actúa sobre la sección transversal en el centro de la barra. Cada muesca tiene un radio r = 0.125 pulg.
P
P
1
1_____. ^0J T 1.25 pulg J.
— 20 pulg— -— 20 pulg •]« 20 pulg—J ^ 2 0 pulg —
Prob. 6-152
Probs. 6-155/156
Pulg ! 1.75 pulg »I
10
Flexión inelástica Las ecuaciones previamente obtenidas para determ inar el esfuerzo nor mal por flexión son válidas sólo si el material se comporta de manera elás tica lineal. Si el m omento aplicado ocasiona que el material fluya, debe entonces usarse un análisis plástico para determ inar la distribución del es fuerzo. Sin embargo, para los casos elástico y plástico de flexión de miem bros rectos, deben cumplirse tres condiciones. Distribución lineal de la deformación unitaria normal. Con base en consideraciones geométricas, se mostró en la sección 6.3 que las defor maciones unitarias normales que se desarrollan en el material siempre va rían linealmeníe desde cero en el eje neutro de la sección transversal has ta un máximo en el punto más alejado del eje neutro.
y
Fuerza resultante igual a cero. Como se tiene sólo un m omento in terno resultante actuando sobre la sección transversal, la fuerza resultan te causada por la distribución del esfuerzo debe ser igual a cero. Como
E sta ecuación proporciona un medio para obtener la posición del eje neutro.
Fig. 6-52
Momento resultante. El momento resultante en la sección debe ser equivalente al momento causado por la distribución del esfuerzo respec to al eje neutro. Como el m omento de la fuerza dF = a d A respecto al eje neutro es dM = y (a d A ), si sumamos los resultados sobre toda la sección transversal, figura 6-52, tenemos, (M r )z = Z M ¿
M =
y (a d A )
(6-28)
A
Esas condiciones de geometría y carga se usarán ahora para mostrar cómo determ inar la distribución del esfuerzo en una viga al estar ésta sometida a un mom ento interno resultante que ocasiona fluencia del material. En todo el análisis supondremos que el material tiene un diagrama esfuerzodeformación igual en tensión que en compresión. Por simplicidad, comen zaremos considerando que la viga tiene una sección transversal con dos ejes de simetría, en este caso un rectángulo de altura h y ancho b, como se muestra en la figura 6-53«. Consideraremos tres casos de carga que son de especial interés.
"1
S ección
6.10 Flexión ¡nelástica
Momento elástico máximo. Suponga que el momento aplicado M = M y es justam ente suficiente para producir deform aciones unitarias de fluencia en las fibras superior e inferior de la viga, como se muestra en la figura 6-53b. Como la distribución de la deformación unitaria es lineal, podemos determ inar la correspondiente distribución del esfuerzo usan do el diagrama esfuerzo-deformación unitaria, figura 6-53c. Se ve aquí que la deformación unitaria de fluencia eY genera el esfuerzo de fluencia ay, y que las deformaciones unitarias intermedias e\ y e2 generan los esfuer zos cri y o?, respectivamente. Cuando esos esfuerzos, y otros similares, se grafican en los puntos y = h¡2,y - y x,y = y2, etc., se obtiene la distribu ción del esfuerzo mostrada en las figuras 6-53d y 6-53e. La linealidad del esfuerzo es, por supuesto, una consecuencia de la ley de Hooke. Ahora que se ha establecido la distribución del esfuerzo, podemos com probar si la ecuación 6-27 se satisface. Para esto, calcularemos primero la fuerza resultante en cada una de las dos porciones de la distribución del esfuerzo en la figura 6-53e. Geom étricam ente esto es equivalente a en contrar los volúmenes bajo los dos bloques triangulares.Tal como se mues tra, la sección transversal superior del miembro está sometida a compre sión y la porción inferior está sometida a tensión. Tenemos: T = C =
= \b h * y
Como T es igual pero opuesta a C, la ecuación 6-27 se satisface y el eje neutro pasa por el centroide del área de la sección transversal. El momento elástico máximo M Y se determ ina con la ecuación 6-28, que establece que My es equivalente al momento de la distribución del es fuerzo respecto al eje neutro. Para aplicar esta ecuación geométricamen te, debemos determ inar los momentos generados por T y C en la figura 6-53e respecto al eje neutro. Como cada una de las fuerzas actúa a través del centroide del volumen de su bloque triangular de esfuerzos asociado, tenemos:
6
W)
Oy a,
J ét e 2 eY
(6-29)
Por supuesto, este mismo resultado puede obtenerse de m anera más di recta usando la fórmula de la flexión, esto es, oy = M y(h/2)/[bh3/l2] o M Y = bhla Y/6.
Distribución del esfuerzo (vista lateral)
(b)
7
D H M D t = —b lr a Y
Distribución de la deformación unitaria (vista lateral)
Diagrama esfuerzo-deformación unitaria (región elástica)
(c) Fig. 6-53
353
354 • CAPÍTULO 6 Flexión
Momento plástico. Algunos materiales, como el acero, tienden a ex hibir un com portam iento elástico-perfectamente plástico cuando el es fuerzo en el material excede el valor oy. Considere, por ejemplo, el miem bro en la figura 6-54a. Si el momento interno M > M y.e 1 material en las fibras superior e inferior de la viga comenzará a fluir ocasionando una re distribución del esfuerzo sobre la sección transversal hasta que se desarro lle el momento interno M requerido. Si la distribución de la deformación unitaria normal así producida es como se m uestra en la figura 6-54¿>, la distribución del esfuerzo normal correspondiente se determina con el dia grama esfuerzo-deformación unitaria, de la misma m anera que en el caso elástico. Usando el diagrama esfuerzo-deformación unitaria para el ma terial m ostrado en la figura 6-54c, las deformaciones unitarias eb eY, e2 corresponden a los esfuerzos erb a Y, crY, respectivamente. Cuando éstos y otros esfuerzos se trazan sobre la sección transversal, obtenem os la dis tribución del esfuerzo mostrada en la figura 6-54*/ o 6-54e. Los “bloques” de esfuerzos de tensión y compresión consisten cada uno en bloques com ponentes rectangulares y triangulares. Sus volúmenes son: Ti = Cj = -yyo -yb T, = C, =
i- >y
)o-Yb
Debido a la simetría, la ecuación 6-27 se satisface y el eje neutro pasa por el centroide de la sección transversal, tal como se muestra. El m omento aplicado M puede relacionarse con el esfuerzo de fluencia ay usando la ecuación 6-28. En la figura 6-54e se requiere, Distribución de la deformación unitaria (vista lateral)
M = J i( § 3 v ) + Cl(
+
t2 1
(b)
+ Q yy ¡yy
+
3V
(h
2
- - yY j o - y b
O usando la ecuación 6-29, M =
(c)
(vista lateral) (d)
Fig. 6-54
yy
+ 2( 2 - yy
= - b h 2a Y i _ í ñ . 4 3 h2
Diagrama esfuerzo-deformación unitaria (región elastoplástica)
2 \2
Fluencia plástica
1
(h
jU
+ n-
S ección
6.10 Flexión ¡nelástica • 355
La inspección de la figura 6-54e revela que M produce dos zonas de fluencia plástica y un núcleo elástico en el miembro. Los límites entre ellos están localizados a la distancia ± y Y desde el eje neutro. Conforme M cre ce en magnitud, y y tiende a cero. Esto convertiría al material en totalmen te plástico y la distribución del esfuerzo se vería como se muestra en la fi gura 6-54f D e la ecuación 6-30 con y Y = 0, o encontrando los momentos de los “bloques” de esfuerzos respecto al eje neutro, podemos escribir es te valor límite como: (6-31) Usando !a ecuación 6-29, tenemos: Mp = ~ M y
(6-32)
Este momento se llama m om ento plástico. El valor obtenido aquí es válido sólo para la sección rectangular mostrada en la figura 6-54/, ya que en general su valor depende de la geometría de la sección transversal. Las vigas usadas en edificios de acero se diseñan a veces para resistir un momento plástico. Para tales casos, los códigos o m anuales incluyen una propiedad de diseño de las vigas llamada factor de forma. El factor de fo rm a se define como la razón, Mp (6-33) k = My
Momento plástico
(f)
Eje de simetría
Momento conocido
Este valor especifica la capacidad adicional de m om ento que una viga puede soportar más allá de su m om ento elástico máximo. Por ejemplo, se gún la ecuación 6-32. una viga con sección transversal rectangular tiene un factor de forma k = 1.5. Por tanto, podem os concluir que esta sección soportará 50% más de momento flexionante que su momento elástico má ximo cuando se plastifica totalmente. Momento último. Consideremos ahora el caso más general de una vi ga con sección transversal simétrica sólo con respecto al eje vertical y el momento aplicado respecto al eje horizontal, figura 6-55«. Supondremos que el material exhibe endurecimiento por deformación y que sus diagra mas esfuerzo-deformación unitaria a tensión y compresión son diferen tes, figura 6-55b. Si el momento M produce fluencia en la viga, surgen dificultades en la determinación de la posición del eje neutro y de la deformación unitaria máxima que se genera en la viga. Esto se debe a que la sección transver sal es asimétrica respecto al eje horizontal y el comportamiento esfuerzodeformación unitaria del material no es igual en tensión y en compresión. Para resolver este problema, un procedimiento por tanteos requiere los siguientes pasos: 1. Para un mom ento dado M, suponga la posición del eje neutro y la pendiente de la distribución “lineal” de la deformación unitaria, fi gura 6-55c. 2.
Establezca gráficamente la distribución del esfuerzo sobre la sec ción transversal del miembro usando la curva a-e para trazar valo res del esfuerzo correspondientes a la deformación unitaria. La dis tribución resultante del esfuerzo, figura 6-55d, tendrá entonces la misma forma que la curva cr-e.
Fig. 6-55
356 • CAPÍTULO 6 Flexión
Localización supuesta del eje neutro Pendiente supuesta de la distribución de la deformación unitaria
Distribución de la deformación unitaria (vista lateral)
(c)
,
3. Determ ine los volúmenes encerrados por los “bloques” de esfuer zos a tensión y a compresión. (Como aproximación, esto puede re querir la subdivisión de cada bloque en regiones componentes.) Según la ecuación 6-27, los volúmenes de esos bloques deben ser iguales, ya que ellos representan la fuerza resultante de tensión T y la fuerza resultante de compresión C sobre la sección, figura 6-55e. Si esas fuerzas no son iguales, debe hacerse un ajuste de la posición del eje neutro (punto de deformación unitaria cero) y repetirse el proceso hasta que la ecuación 6-27 (T = C) se cumpla. 4. Una vez que T = C, los momentos producidos por T y C pueden calcularse respecto al eje neutro. Los brazos de momento para T y C se miden desde el eje neutro hasta los centroides de los volúme nes definidos por las distribuciones del esfuerzo, figura 6-55e. La ecuación 6-28 requiere que M = Ty' + Cy". Si esta ecuación no se cumple, la pendiente de la distribución de la deformación unitaria debe ajustarse y deben repetirse los cálculos para T y C y para los momentos hasta que se obtenga una buena concordancia. Este proceso de cálculo es obviamente muy tedioso pero afortunada mente no se requiere con frecuencia en la práctica de la ingeniería. La ma yoría de las vigas son simétricas respecto a dos ejes y se construyen con materiales que tienen supuestamente diagramas esfuerzos-deformación unitaria a tensión y a compresión similares. Siempre que esto se cumple, el eje neutro pasa por el centroide de la sección transversal, lo que sim plifica el proceso de relacionarla distribución del esfuerzo con el momen to resultante.
Distribución del esfuerzo (vista lateral)
PUNTOS IMPORTANTES • La distribución de la deformación unitaria normal sobre la sec ción transversal de una viga se basa sólo en consideraciones geo métricas y se ha encontrado que siempre permanece lineal, inde pendientem ente de la carga aplicada. Sin embargo, la distribución del esfuerzo normal debe ser determ inada a partir del com porta miento del material, o del diagrama esfuerzo-deformación unita ria una vez que se ha establecido la distribución de la deforma ción unitaria. • La localización del eje neutro se determ ina de la condición de que la fuerza resultante sobre la sección transversal es cero.
(e) Fig. 6-55 (cont.)
• El mom ento interno resultante sobre la sección transversal debe ser igual al m omento de la distribución del esfuerzo respecto al eje neutro. • El comportamiento perfectamente plástico supone que la distri bución del esfuerzo normal es constante sobre la sección trans versal. y que la viga continúa flexionándose. sin incremento del momento. Este momento se llama momento plástico.
S ección
6.10 Flexión inelástica • 357
E J E M P L O La viga de patín ancho de acero tiene las dimensiones mostradas en la figura 6-56a. Si está hecha de un material elastoplástico con esfuerzo de fluencia, igual a tensión y a compresión, de a Y = 36 klb/pulg2, de termine el factor de forma para la viga. Solución Para determ inar el factor de forma, es necesario prim ero calcular el momento elástico máximo M Y y el mom ento plástico Mp. M omento elástico máximo. La distribución del esfuerzo normal pa ra el momento elástico máximo se m uestra en la figura 6-56b. El mo mento de inercia respecto al eje neutro es: I = ^ ( 0 . 5 pulg)(9 pulg ) 3 1 (8 pulg)(0.5 pulg ) 3 +
8
pulg(0.5 pulg)(4.75 pulg ) 2
=
2 1 1 .0
pulg'
36 klb/pulg2
Aplicando la fórmula de la flexión, tenemos: Me
36 klb/pulg 2 =
^máx
M y (5 pulg)
pulg 4 = 1519.5 klb • pulg 2 1 1 .0
My
•My
M omento plástico. El momento plástico ocasiona que el acero en to da la sección transversal de la viga fluya, por lo que la distribución del esfuerzo normal es como se m uestra en la figura 6-56c. D ebido a la si metría de la sección transversal y como los diagramas de esfuerzo-de formación unitaria a tensión y a compresión son iguales, el eje neutro pasa por el centroide de la sección transversal. Para determ inar el m o mento plástico, la distribución del esfuerzo se divide en cuatro “blo ques” rectangulares y la fuerza producida por cada “bloque” es igual al volumen del bloque respectivo. Por consiguiente, tenemos: Q = Ti = 36 klb/pulg 2 (0.5 pulg)(4.5 pulg) = 81 klb C2 - T 2 = 36 klb/pulg 2 (0.5 pulg) ( 8 pulg) = 144 klb Estas fuerzas actúan a través del centroide del volumen de cada blo que. Al calcular los momentos de estas fuerzas respecto al eje neutro, obtenemos el m om ento plástico: Mp = 2[(2.25 pulg)(81 klb)] + 2[(4.75 pulg)(144 klb)] = 1732.5 klb • pulg Factor de form a. Aplicando la ecuación 6-33 se obtiene: k =
Mp
1732.5 klb • pulg
M y ~ 1519.5 klb-pulg
= 1.14
Resp.
Este valor indica que una viga de patín ancho proporciona una sección muy eficiente para resistir un momento elástico. La m ayor parte del momento se genera en los patines, es decir, en los segmentos superior e inferior, m ientras que el alma o segmento vertical contribuye muy poco. En este caso particular, sólo 14% de m omento adicional puede ser soportado por la viga más allá del que soporta elásticamente.
36 klb/pulg2 (b)
358
CAPÍTULO 6 Flexión
E J E M P L O
6.28 Una viga T tiene las dimensiones mostradas en la figura 6-57a. Si está hecha de un material elástico perfectamente plástico con esfuerzo de fluencia a tensión y a compresión de ay = 250 MPa, determ ine el mo mento plástico que puede resistir la viga.
(a)
(b)
Fig. 6-57
Solución La distribución del esfuerzo “plástico” que actúa sobre la sección trans versal de la viga se muestra en la figura 6-576. En este caso, la sección transversal no es simétrica con respecto a un eje horizontal, y en con secuencia, el eje neutro no pasa por el centroide de la sección transver sal. Para determ inar la posición d del eje neutro, requerimos que la dis tribución del esfuerzo genere una fuerza resultante cero sobre la sección transversal. Suponiendo que d s 120 mm, tenemos: a d A = 0;
T - C¡ - C2 = 0
4
250 MPa(0.015 m )(d) - 250 MPa(0.015 m)(0.120 m - d) - 250 MPa(0.015 m)(0.100 m) = 0 d = 0.110 m < 0.120 m
OK
Usando este resultado, las fuerzas que actúan sobre cada segmento son: T =
250 M N/m 2(0.015 m)(0.110 m) = 412.5 kN
Ct =
250 M N /m 2(0.015 m)(0.010 m) = 37.5 kN
C2 =
250 M N /m 2(0.015 m)(0.100 m) = 375 kN
Por tanto, el m omento plástico resultante respecto al eje neutro es: M„ = 412.5 k
N
Í
^
+
3 7 .5
^
n
Í
+
3 7 5
kN ^0.01 m +
° ' ° 1 5
m
2
M p = 29.4 kN • m
Resp.
S ección
E J E M P L O
6.10 Flexión inelástica • 359
6.29
La viga en la figura 6-58« está hecha de una aleación de titanio que tie ne un diagrama esfuerzo-deformación que puede aproximarse en par te por dos líneas rectas. Si el com portamiento del material es el mismo tanto a tensión como a compresión, determ ine el m omento flexionante que puede aplicarse a la viga que ocasionará que el material en las partes superior e inferior de la viga quede sometido a una deformación unitaria de 0.050 pulg/pulg.
CT(klb/pulg2)
0.010
0.050
(a)
Solución I Por inspección del diagrama de esfuerzo-deformación unitaria, vemos que el material exhibe un “com portamiento elastoplástico con endu recimiento por deformación". Como la sección transversal es simétri ca y los diagramas cr-e a tensión y a compresión son iguales, el eje neu tro debe pasar por el centroide de la sección transversal. La distribución de la deformación unitaria, que es siempre lineal, se m uestra en la fi gura 6-58b. En particular, el punto en que ocurre la deformación uni taria elástica máxima ( 0 . 0 1 0 pulg/pulg) ha sido determ inado por pro porción, esto es 0.05/1.5 pulg = 0.010/y o y = 0.3 pulg. La distribución correspondiente del esfuerzo normal que actúa so bre la sección transversal se muestra en la figura 6-58c. El momento producido por esta distribución puede calcularse encontrando el “vo lumen” de los bloques de esfuerzo. Para hacerlo así, subdividimos esta distribución en dos bloques triangulares y en un bloque rectangular en las regiones de tensión y compresión, figura 6-58d. Como la viga tiene 2 pulg de ancho, las resultantes y sus posiciones se determinan como sigue:
0.05
y =0.3 pulg
1.5 pulg
°-0107 = 0.05
Distribución de la deformación unitaria (b) Fig. 6-58
Continúa
360 • CAPÍTULO 6 Flexión
7\ = Cj = -(1 .2 pulg)(40 klb/pulg2)(2 pulg) = 48 klb y\ = 0.3 pulg + -(1 .2 pulg) = 1.10 pulg T2 = C2 = (1.2 pulg)(150 klb/pulg2) (2 pulg) = 360 klb 190 klb/pulg1
y¿ = 0.3 pulg + |( 1 . 2 pulg) = 0.90 pulg
y= 0.3 pulg
r 3 = C3 = |( 0 . 3 pulg) (150 klb) ( 2 pulg) = 45 klb
Vl50 klb/pulg2
I 1.5 pulg
150 klb/pulg:
y3 = | (0.3 pulg) = 0.2 pulg
190 klb/pjlg2
El mom ento producido por esta distribución de esfuerzo normal res pecto al eje neutro es entonces:
Distribución del esfuerzo
M = 2[48 klb (1.10 pulg) + 360 klb (0.90 pulg) + 45 klb (0.2 pulg)] 772 klb • pulg
(c)
Resp.
Solución II
C' ^ \
y\\ c,_
1 -V2
1 13J
«—
. 0.3 pulg
1.2pulg .1
. ..
/ 150 klb/pulg2 40 klb/pulg2
En vez de usar el procedimiento semigráfico anterior, es también po sible calcular el m om ento analíticamente. Para hacerlo así, debemos expresar la distribución del esfuerzo en la figura 6-58c como una fun ción de la posición y a lo largo de la viga. Observe que a = /(e ) está dada en la figura 6-58a. Además, de la figura 6-586, la deformación uni taria normal puede determ inarse como función de la posición y por triángulos semejantes; esto es, 6
(d)
=
0.05 1.5 '
Sustituyendo este valor en las funciones a-e m ostradas en la figura 6-58fl se obtiene: a = 500y cr = 3333y + 140
0 s y < 0.3 pulg 0.3 pulg s j < 1 .5 pulg
(1)
(2 )
De acuerdo con la figura 6-58e, el momento causado por a actuan do sobre la franja dA = 2 dy es: dM ~ y(
(e)
M = 2 2
r0.3
-1.5
500y2 d y + 2
J() = 772 klb • pulg
(33.3y2 + 140y) dy
-
Resp.
S ecció n 6 .1 1
*6.11
Esfuerzo residual • 361
Esfuerzo residual
Si una viga se carga en forma tal que el material de que está hecha fluye, entonces al retirar la carga se desarrollarán esfuerzos residuales en la vi ga. Como los esfuerzos residuales suelen ser importantes al considerar la fatiga y otros tipos de com portamiento mecánico, estudiaremos un m éto do usado para su cálculo cuando un miembro está sometido a flexión. Como en el caso de la torsión, podemos calcular la distribución del es fuerzo residual usando los principios de superposición y de recuperación elástica. Para explicar cómo se hace esto, consideremos la viga mostrada en la figura 6-59a, que tiene una sección transversal rectangular y está he cha de un material elástico-perfectamente plástico con el mismo diagra ma esfuerzo-deform ación unitaria a tensión que a com presión, figura 6-59b. La aplicación del m omento plástico Mp ocasiona una distribución de esfuerzo en el miembro que idealizaremos como se muestra en la figu ra 6-59c. Según la ecuación 6-31, este mom ento es:
Si Mp ocasiona que en el material en la parte superior e inferior de la viga se genere una deformación unitaria ( > > eY), como lo muestra el punto B sobre la curva a-e en la figura 6-59b, entonces al retirar este momento se ocasionará que el material recupere elásticamente parte de esta deformación unitaria siguiendo la trayectoria punteada BC. Como es ta recuperación es elástica, podemos superponer, en la distribución del
(a) Fig. 6-59
a Carga elastopláslica
oy -----
¡¡
£
- 0.5
/
Gy
V
- O y
C (b)
Recuperación elástica real
362 • CAPÍTULO 6 Flexión
esfuerzo en la figura 6-59c, una distribución lineal de esfuerzo causada por la aplicación del m om ento plástico en sentido opuesto, figura 6-59d. Aquí, el esfuerzo máximo, que es llamado m ódulo de ruptura por flexión, oy, puede determinarse con la fórmula de la flexión cuando la viga está cargada con el mom ento plástico. Tenemos: Me
I-
a'
M p{\h )
(\b h 2* y ) ( \ h )
<¿M>)
(f2M3)
= 1.5(7Y Advierta que es posible aquí la aplicación inversa del m omento plásti co usando una distribución lineal del esfuerzo, ya que la recuperación elás tica del material en las partes superior e inferior de la viga puede tener una deformación unitaria máxima de recuperación de 2eY, como se mues tra en la figura 6-596. Esto correspondería a un esfuerzo máximo de 2oy en las partes superior e inferior de la viga, que es mayor que el esfuerzo requerido de 1.5oy como se calculó antes, figura 6-59d. La superposición del mom ento plástico, figura 6-59c, y su remoción, fi gura 6-59d, da la distribución del esfuerzo residual mostrada en la figura 6-59e. Como ejercicio, use los “bloques” triangulares que representan es ta distribución de esfuerzo y dem uestre que generan una resultante de fuerza cero y mom ento cero sobre el miembro, tal como debe ser. El siguiente ejemplo ilustra numéricamente la aplicación de estos prin cipios.
aY Momento plástico aplicado que genera deformación unitaria plástica
Inversión del momento plástico que genera deformación unitaria elástica
Distribución del esfuerzo residual en la viga
(c)
(d)
Fig. 6-59 (cont.)
S ecció n 6 .1 1
da )d. >n, itá
Esfuerzo residual •
E J E M P L O La viga de patín ancho de acero mostrada en la figura 6-60« está some tida a un m omento plástico total de M,,. Si se retira este momento, de termine la distribución del esfuerzo residual en la viga. El material es elástico perfectam ente plástico y tiene un esfuerzo de fluencia oy = 36 klb/pulg2. Solución
stiásle r
es■o-y
La distribución del esfuerzo normal en la viga causado por M;, se mues tra en la figura 6-606. Cuando se retira, el material responde elás ticamente. R etirar M p implica aplicar M p en sentido opuesto, lo que conduce a una distribución elástica del esfuerzo, como se muestra en la figura 6-60c. El módulo de ruptura
Me
rzo
i ; ,fiura
esde rin-
2 1 1 .0
pulg 4
= 41.1 klb/pulg 2
Como era de esperarse, ar < 2a Y. La superposición de los esfuerzos da la distribución del esfuerzo re sidual mostrada en la figura 6-60d. Note que el punto cero de esfuerzo normal se determ inó por proporción; es decir, en las figuras 6-606 y 6-60c se requiere que 41.1 klb/pulg 2 _ 36 klb/pulg 2 5 pulg y y = 4.38 pulg
.5
5.05 klb/pulg2
aT =41.1 klb/pulg2
36 klb/pulg2
---
5 pulg .5 O y
Momento plástico aplicado (vista lateral)
Momento plástico invertido (vista lateral)
Distribución del esfuerzo residual
(b)
(c)
(d)
Fig. 6-60
363
364 • CAPÍTULO 6 Flexión
PROBLEMAS 6-157. Una barra con ancho de 3 pulg y altura de 2 pulg está hecha de un material elastoplástico cuyo ay = 36 klb/pulg\ Determine el momento respecto al eje hori zontal que ocasionará que la mitad de la barra fluya. 6-158. Determine el módulo plástico y el factor de for ma para la sección de la viga de patín ancho.
*6-160. Determine el factor de forma para la sección transversal de la viga H. 6-161. La viga H está hecha de un material elastoplásti co cuyo cry = 250 MPa. Determine el esfuerzo residual en la parte superior e inferior de la viga después de que se aplica el momento plástico Mp y luego se retira.
D . , lco Prob. 6-1S8
Probs. 6-160/161
6-159. La viga está hecha de un material elastoplástico cuyo (7y = 250 MPa. Determine el esfuerzo residual en la parte superior e inferior de la viga después de que se apli ca el momento plástico M„ y luego se retira.
6-162. La barra tiene una sección transversal circular. Es tá hecha de un material elastoplástico. Determine su fac tor de forma y su módulo de sección Z.
Prob. 6-159
6-163. La barra tiene una sección transversal circular. Es tá hecha de un material elastoplástico. Determine el mo mento elástico máximo y el momento plástico que puede aplicarse a su sección transversal. Considere r = 3 pulg y cry = 36 klb/pulg2.
Probs. 6-162/163
P r o b le m a s
*6-164. La viga T está hecha de un material elastoplástico. Determine el momento elástico máximo y el momento plástico que puede aplicarse a su sección transversal. oy = 36 klb/pulg2.
•
365
6-167. Determine el momento plástico M/( que puede so portar una viga con la sección transversal mostrada, ay = 30 klb/pulg2.
6-165. Determine el módulo de sección plástico y el fac tor de forma para la sección transversal de la viga.
Prob. 6-167 Probs. 6-164/165
6-166. Determine el módulo de sección plástico y el factor de forma para la sección transversal de la viga.
*6-168. El tubo de pared gruesa está hecho de un material elastoplástico. Determine el factor de forma y el mó dulo de sección plástico Z.
Prob. 6-166
Prob. 6-168
366 • CAPITULO 6 Flexión 6-169. Determine el factor de forma y el módulo de sec ción plástico para la sección del miembro. 6-170. El miembro está hecho con un material elastoplástico. Determine el momento máximo elástico y el momento máximo plástico que puede aplicarse a la sección transver sal. Considere b = 4 pulg, h = 6 pulg. ay = 36 klb/pulg2.
*6-172. La viga está hecha de un material elastoplástico para el cual ay = 200 MPa. Si el momento máximo en la viga se presenta dentro de la sección central a-a, determi ne la magnitud de cada fuerza P causantes de que este mo mento sea (a) el máximo momento elástico y (b) el máxi mo momento plástico.
I 200 mm 100 mm Prob. 6-172 Probs. 6-169/170
6-171. El perfil de patín ancho está hecho de un material elastoplástico. Determine su factor de forma y su módulo plástico Z.
6-173. La viga está hecha de un material elastoplástico cuyo try = 200 MPa. Si el momento máximo en la viga se presenta en el empotramiento, determine la magnitud de la fuerza P que ocasiona que este momento sea (a) el máxi mo momento elástico y (b) el máximo momento plástico.
8 ni
II
200 mm
150 111111 Prob. 6-171
Prob. 6-173
P r o b le m a s
6-174. La viga en caja está hecha de un material elastoplástico cuyo oy = 25 klb/pulg2. Si el momento máximo en la viga se presenta en el centro del claro, determine la intensidad de la carga w0 distribuida que hará que este mo mento sea (a) el máximo momento elástico y (b) el máxi mo momento plástico.
•
367
*6-176. La viga tiene una sección transversal rectangu lar y está hecha de un material elastoplástico cuyo diagra ma esfuerzo-deformación unitaria se muestra. Determine la magnitud del momento M que debe aplicarse a la viga para generar una deformación unitaria máxima en sus fi bras exteriores de emá. = 0.008.
icr(MPa) 8 pulg
12 pulg
H
16 pulg
h6 pulg
Prob. 6-174
Prob. 6-176
6-175. La viga está hecha de un material elastoplástico cuyo oy = 30 klb/pulg2. Si el momento máximo en la viga se presenta en la sección central a-a, determine la intensidad de la carga w distribuida que ocasiona que este momento sea (a) el momento máximo elástico y (b) el momento má ximo plástico.
-10 pies -
6-177. Una viga está hecha de plástico polipropileno cu yo diagrama esfuerzo-deformación unitaria puede aproxi marse por la curva mostrada. Si la viga está sometida a una deformación unitaria de tensión y de compresión máximas de e = 0.02 mm/mm. determine el momento máximo M.
10 pies — —
] fe Pulg i—-H
8 pulg
Prob. 6-175
Prob. 6-177
368 • CAPÍTULO 6 Flexión 6-178. La barra está hecha de una aleación de aluminio cuyo diagrama esfuerzo-deformación unitaria puede apro ximarse por los segmentos rectos mostrados. Suponiendo que este diagrama es el mismo para tensión y para com presión. determine el momento que la barra puede sopor tar si la deformación unitaria máxima en las fibras supe riores e inferiores de la viga es em¡íx. = 0.03.
±
6-179. La barra está hecha de una aleación de aluminio cuyo diagrama esfuerzo-deformación unitaria puede apro ximarse por los segmentos rectos mostrados. Suponiendo que este diagrama es el mismo para tensión y para com presión, determine el momento que la barra puede sopor tar si la deformación unitaria máxima en las fibras supe riores e inferiores de la viga es emáx = 0.05.
Prob. 6-180
6-181. Un material tiene un diagrama esfuerzo-deforma ción unitaria tal que dentro del rango elástico el esfuerzo de tensión o de compresión puede relacionarse a la defor mación unitaria de tensión o de compresión por medio de la ecuación a" = Ke, donde K y n son constantes. Si el ma terial está sometido a un momento flexionante M , obtenga una expresión que relacione el esfuerzo máximo y el mo mento en el material. La sección transversal tiene un momento de inercia I respecto a su eje neutro.
± a (klb/pulg2)
e (pulg/pulg)
a Probs. 6-178/179
*6-180. Un miembro está hecho de un polímero cuyo dia grama esfuerzo-deformación unitaria se muestra. Si la cur va puede representarse por la ecuación a = 4.65(10)3e 135 klb/pulg2, determine la magnitud del momento M que pue de aplicársele sin que la deformación unitaria máxima en el miembro exceda el valor emáx = 0.005 pulg/pulg.
Prob. 6-181
R ep a so
REPASO DEL CAPÍTULO • Los diagramas de cortante y m omento son representaciones gráficas de la fuerza cortante interna y del m omento flexionante interno de una viga. Ellos pueden construirse seccionando la viga a una distancia arbitraria .r desde el extremo iz quierdo, hallando V y M como funciones de x, y luego graficando los resultados. • También es posible trazar los diagramas de cortante y momento observando que en cada punto la pendiente del diagrama de cortante es el negativo de la carga distribuida, w = dV¡dx, y que la pendiente del diagrama de momento es la fuer za cortante, V = dM /dx. También, el área (negativa) bajo el diagrama de carga representa el cambio en la fuerza cortante, A V = —J w dx\ y el área bajo el dia grama de cortante representa el cambio en momento, AM = j V dx. Los valores de la fuerza cortante y del momento flexionante en cualquier punto pueden tam bién obtenerse usando el método de las secciones. • Un m omento flexionante tiende a producir una variación lineal de la deform a ción unitaria normal dentro de una viga. Si el material es homogéneo, la ley de Hooke es aplicable, y el m omento no genera fluencia del material, entonces el equilibrio puede usarse para relacionar el m omento interno en la viga con la dis tribución del esfuerzo. El resultado es la fórmula de la flexión, a = M c/I, donde / y c se determ inan desde el eje neutro que pasa por el centroide de la sección transversal. • Si la sección transversal de la viga no es simétrica respecto a un eje perpendicu lar al eje neutro, se presenta entonces flexión asimétrica. El esfuerzo máximo puede determ inarse con fórmulas, o el problema puede resolverse considerando la superposición de la flexión respecto a dos ejes separados. • Las vigas hechas de m ateriales compuestos pueden ser “transform adas” de mo do que sus secciones transversales se consideren hechas de un solo material. Para hacer esto, se usa un factor de transformación, que es la razón de los módulos de elasticidad de l o s materiales: n — EJE¿. Una vez hecho esto, l o s esfuerzos en la viga pueden ser determinados de la m anera usual, usando la fórmula de la fle xión. • Las vigas curvas se deforman en forma tal que la deformación unitaria normal no varía linealmente desde el eje neutro. Si el material es homogéneo, elástico-lineal y la sección transversal tiene un eje de simetría, entonces se puede usar la fórmula de la viga curva para determ inar el esfuerzo de flexión, cr = M y/[Ae(R - _y)]. • Las concentraciones de esfuerzo ocurren en miembros que tienen cambios re pentinos en sus secciones transversales, como los generados por agujeros y mues cas. El esfuerzo flexionante máximo en esas localidades se determina usando un factor K de concentración de esfuerzo que se encuentra en gráficas obtenidas ex perimentalmente, o-máx = K aprom. • Si el m omento flexionante ocasiona que el material exceda su límite elástico, en tonces la deformación unitaria normal permanecerá lineal; sin embargo la distri bución del esfuerzo variará de acuerdo con el diagrama de deformación unitaria axial y el balance de fuerzas y el equilibrio por momentos. De esta manera pue den determ inarse los momentos plásticos y últimos soportados por la viga. • Si un m omento plástico o último es liberado, éste causará que el material res ponda elásticamente, induciendo así esfuerzos residuales en la viga.
d e l c a p it u lo
•
369
370 • CAPÍTULO 6 Flexión
PROBLEMAS
DE
REPASO
6-182. La viga compuesta consta de un núcleo de madera y de dos placas de acero. Si el esfuerzo permisible de fle xión para la madera es (crpcrm)mad = 20 MPa y para el acero es (crperm)ac = 130 MPa, determine el momento máximo que puede aplicarse a la viga. £ mad = 11 GPa y E ac = 200 GPa.
6-185. Determine la distribución del esfuerzo de flexión en la sección a-a de la viga. Esboce la distribución, en una vista tridimensional, actuando sobre la sección transversal.
6-183. Resuelva el problema 6-182 si el momento está aplicado respecto al eje y y no respecto al eje z como se muestra.
SON
80 N
1
i
a
-— 400 mm — - — 300 mm — — 300 m m -* -— 400 mm— -
SON
80 N 15 mm
100 mm
n 15 mm
JL t i 75 mm
Prob. 6-185
Probs. 6-182/183
*6-184. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y mo mento flexionante para la viga y determine la fuerza cor tante y el momento en la viga en función de a1, para 0 £ x < 6 pies.
6-186. Determine el módulo plástico y el factor de forma para la viga de patín ancho.
! klb
2 klb/pie 50 klb-pie
6 pies
4 pies -
Prob. 6-184
Prob. 6-186
P r o b le m a s
6-187. La viga está hecha con un material elastoplástico cuyo oy = 250 MPa. Determine el esfuerzo residual en la parte superior e inferior de la viga después de que se apli ca el momento plástico M;) y luego se retira.
de repa so
•
371
6-190. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momen to flexionante para la flecha sometida a las cargas vertica les de la banda, engrane y volante. Los cojinetes en A y en B ejercen sólo reacciones verticales sobre la flecha.
300 N
Prob. 6-190
Prob. 6-187
*6-188. Para la viga curva en la figura 6-44«. demuestre que cuando el radio de curvatura tiende a infinito, la fórmu la de la viga curva, ecuación 6-24, se reduce a la fórmula de la flexión, ecuación 6-12.
6-191. Determine el esfuerzo máximo de flexión en la sección a-a en la manija de la pinza cortadora de cable. Se aplica una fuerza de 45 Ib a las manijas. La sección trans versal de éstas se muestra en la figura.
6-189. La viga curva está sometida a un momento flexio nante M = 85 N • m como se muestra. Determine el esfuer zo en los puntos A y B y muestre el esfuerzo sobre un elemento de volumen localizado en esos puntos.
85 N-m
100 nini * 1
□
20 mm
15 mm -
150 mm 3
Prob. 6-189
! 20 mm
Prob. 6-191
Los durmientes de ferrocarril actúan com o vigas que soportan cargas cortantes transversales muy grandes. En consecuencia, los durmientes de madera tienden a rajarse en sus extremos, donde las cargas cortantes son máximas.
capitulo
Esfuerzo cortante transversal
En este capítulo se expone un método para encontrar el esfuerzo cortante en una viga con sección transversal prismática hecha de material homogéneo y de com portam iento elástico lineal. El método de análisis que explicaremos estará limi tado a casos especiales de la geometría de la sección transversal. No obstante, el procedimiento tiene muchas aplicaciones en el diseño y análisis de ingeniería. Se verá el concepto de flujo de cortante, junto con el de esfuerzo cortante en vigas y miembros de pared delgada. El capítulo term ina con el análisis del centro de cor tante.
7.1
Esfuerzo cortante en miembros rectos Esfuerzo cortante transversal
Se mostró en la sección 6.1 que las vigas generalm ente soportan cargas de cortante y momento. La fuerza cortante V es el resultado de una distribu ción de esfuerzo cortante transversal que actúa sobre la sección transver sal de la viga, vea la figura 7-1. Debido a la propiedad complementaria del cortante, note que los esfuerzos cortantes longitudinales asociados actúan también a lo largo de planos longitudinales de la viga. Por ejemplo, un ele mento típico retirado del punto interior sobre la sección transversal está sometido a esfuerzos cortante transversal y longitudinal como se muestra en la figura 7-1.
374
• CAPÍTULO 7 Esfuerzo cortante transversal
Los conectores de cortante son “soldados por puntos” a este p;so metálico corrugado de manera que cuando es colado el piso de concreto, los conectores impedirán que la lo sa de concreto se deslice sobre la superficie metálica. Así, los dos materiales actuarán co mo una losa compuesta.
Se puede ilustrar físicamente la razón por la cual se desarrolla el esfuer zo cortante en los planos longitudinales de una viga que soporta una car ga cortante interna, considerando que la viga se compone de tres tablo nes, figura l-2a. Si las superficies superior e inferior de cada uno de los tablones son lisas, y éstos no están unidos entre sí, entonces la aplicación de la carga P ocasionará que se deslicen uno con respecto al otro, y así la viga se deflexionará como se muestra. Por otra parte, si las tablas están unidas entre sí, entonces los esfuerzos cortantes longitudinales entre ellos evitarán su deslizamiento relativo y, por consiguiente, la viga actuará co mo una sola unidad, vea la figura 7-25. Como resultado del esfuerzo cortante interno, se desarrollarán deforma ciones cortantes que tenderán a distorsionar la sección transversal de mane ra un tanto compleja. Por ejemplo, considere una barra hecha de un m a terial altamente deformable y marcada con líneas reticulares horizontales y verticales como se muestra en la figura 7-3a. Cuando se aplica la fuerza cortante V, ésta tiende a deform ar las líneas de la manera mostrada en la figura 7-3b. En general, la distribución de la deformación por cortante no uniforme sobre la sección transversal ocasionará que ésta se alabee, es de cir, que no permanezca plana.
O" (a) Antes de la deformación
|V (b) Después de la deformación
Fig.7-3
S ección 7 .2
La fórmula del esfuerzo cortante • 375
Recuerde que al obtener la fórmula de la flexión, se supuso que las sec ciones transversales deben permanecer planas y perpendiculares al eje longitudinal de la viga después de la deformación. Si bien estas suposicio nes se violan cuando la viga se somete tanto a flexión como a cortante, en general se puede suponer que el alabeo de la sección transversal antes descrito es suficientemente pequeño, de tal suerte que puede ser ignora do. Esta suposición es particularm ente cierta para el caso más común de una viga delgada', es decir, una que tiene poco peralte comparado con su longitud. En los capítulos anteriores se desarrollaron las fórmulas de carga axial, torsión y flexión determinando primero la distribución de la deformación uni taria, con base en suposiciones respecto a la deformación de la sección transversal. Sin embargo, la distribución de la deformación cortante so bre todo el peralte de una viga no puede ser expresada m atemáticamen te con facilidad; por ejemplo, no es uniforme o lineal en el caso de seccio nes transversales rectangulares como ya se demostró. Por consiguiente, el análisis del esfuerzo cortante se desarrollará de manera diferente a la que se usó para estudiar las cargas antes mencionadas. Específicamente, de sarrollaremos una fórmula para el esfuerzo cortante indirectamente', esto es. usando la fórmula de la flexión y la relación entre m omento y cortan te (V = dM /dx).
7 .2
La fórm ula del esfuerzo cortante
El desarrollo de una relación entre la distribución del esfuerzo cortante que actúa sobre la sección transversal de una viga y la fuerza cortante re sultante en la sección, se basa en el estudio del esfuerzo cortante longitu dinal y los resultados de la ecuación 6-2, V = dM /dx. Para mostrar cómo se establece esta relación, consideraremos el equilibrio de fuerzas hori zontales en una porción del elem ento tomado de la viga en la figura 7-4« y mostrado en la figura 7-46. Un diagrama de cuerpo libre del elemento que muestra sólo la distribución del esfuerzo normal que actúa sobre él se muestra en la figura 7-4c. Esta distribución es causada por los momen tos flexionantes M y M + dM. Hemos excluido los efectos de V, V + dV y iv(x) sobre el diagrama de cuerpo libre ya que esas cargas son vertica les y no aparecen en la sumatoria de fuerzas horizontales. El elemento en la figura 7-4c satisface la ecuación 1FX = 0 puesto que la distribución del esfuerzo a cada lado del elemento forma sólo un par y por tanto se tiene una fuerza resultante nula.
Se satisface TFX= 0
376 • CAPÍTULO 7 Esfuerzo cortante transversal
Consideremos ahora el segmento superior sombreado del elemento que ha sido seleccionado a una distancia y ' desde el eje neutro, figura 7-46. Este segmento tiene un ancho t en la sección y los lados transversales tie nen cada uno un área A '. Puesto que los momentos resultantes a cada lado del elemento difieren en dM, puede verse en la figura 7-4d que ZFX = 0 no será satisfecha a menos que actúe un esfuerzo cortante longitudinal r so bre la cara del fondo del segmento. En el siguiente análisis supondremos que este esfuerzo cortante es constante a través del ancho t de la cara del fon do. Este esfuerzo actúa sobre el área t dx. Aplicando la ecuación del equi librio de fuerzas horizontales y usando la fórmula de la flexión, ecuación 6-13. tenemos: XFr =
0
:
a 'd A — A'
M + dM
y dA -
JJf) Despejando
t.
a d A — r (t dx) = 0 A'
y dA -
t
(í
d x) = 0
y dA = r ( í dx)
(7-1) O
obtenemos: -
1
( dM
~ I t \ dx
y dA A'
- -.
Esta ecuación puede simplificarse observando que V = dM /dx (ecua ción 6-2). La integral representa también el prim er momento del área A ' respecto al eje neutro. Denotaremos este momento con el símbolo Q. Como la posición del centroide del área A ' se determ ina con y ' = JA-y dA ¡A' podemos también escribir: Q=
(7-2)
y d A = y 'A ' A'
A'
M
Vista tridimensional
(d) Fig. 7-4 (cont.)
M+dM
Vista de perfil
S ección
que ■4b. tieado ) no r so mos fonquición
7.2 La fórmula del esfuerzo cortante • 377
El resultado final es, por tanto, T =
VQ h
(7-3)
Aquí, r = esfuerzo cortante en el miembro en un punto situado a una distan cia y ' del eje neutro, figura 7-4í>. Se supone que este esfuerzo es cons tante y por tanto promediado a través del ancho t del miembro, fi gura l-4d V = fuerza cortante interna resultante, obtenida con el método de las sec ciones y las ecuaciones de equilibrio I = momento de inercia de toda la sección transversal respecto al eje neutro
7-1)
t = ancho de la sección transversal del miembro en el punto en que se va a determ inar r O = \A-ydA ' = y 'A '. donde A ' es la porción superior (oinferior) del área transversal del miembro considerada desde la sección en que se mi de í, y y' es la distancia del centroide de A ' al eje neutro
ecuaea A ' Tomo 4 ¡A'
(7-2)
/ + ilM
1
A la ecuación anterior se le llama fórmula del cortante. Aunque en su derivación consideramos sólo los esfuerzos cortantes que actúan sobre el plano longitudinal de la viga, la fórmula se aplica igualmente para encon trar el esfuerzo cortante transversal sobre la sección transversal de la vi ga. Esto se debe a que los esfuerzos cortantes transversales y longitudina les son complementarios y numéricamente iguales. Dado que la ecuación 7-3 se obtuvo a partir de la fórmula de la flexión, es necesario que el material se comporte de manera elástico lineal y ten ga un módulo de elasticidad igual en tensión que en compresión. El es fuerzo cortante en miembros compuestos, es decir, aquellos con secciones transversales de diferentes materiales, puede también obtenerse usando la fórmula del cortante. Para hacerlo así, es necesario calcular Q e / en la sección transformada del miembro como lo vimos en la sección 6 .6 . Sin embargo, el ancho t en la fórmula sigue siendo el ancho real t de la sec ción transversal en el punto en que se va a calcular t .
378 • CAPÍTULO 7 Esfuerzo cortante transversal
7.3
Esfuerzos cortantes en vigas Con objeto de desarrollar alguna comprensión en cuanto al método de aplicar la fórmula del cortante, y también ver algunas de sus limitaciones, estudiaremos ahora las distribuciones del esfuerzo cortante en unos cuantos tipos comunes de secciones transversales de vigas. Luego presentaremos apli caciones numéricas de la fórmula del cortante en los ejemplos siguientes.
Falla típica por cortante en esta viga de ma dera; la falla se presenta en la sección sobre el soporte y a la mitad de la altura de la sec ción transversal.
Sección transversal rectangular. Consideremos que la viga tiene una sección transversal rectangular de ancho b y altura h como se muestra en la figura 7-5«. La distribución del esfuerzo cortante a través de la sección transversal puede determinarse calculando el esfuerzo corlante en una al tura arbitraria y medida desde el eje neutro, figura 7-5b,y luego graficando esta función. El área con sombra oscura A ' se usará aquí para calcular r * Entonces,
q
=y a' =
1
(h
+ 2 \2
Aplicando la fórmula del cortante, tenemos VQ It
V{¡)[(h2/ 4) - y 2]b
( n b^ ) b
o bien 6V f Ir
(7-4)
Este resultado indica que la distribución del esfuerzo cortante sobre la sección transversal es parabólica. Como se muestra en la figura 7-5c, la in tensidad varía entre cero en la parte superior y el fondo, y = ± h ¡ 2 , y un valor máximo al nivel del eje neutro, y = 0. Específicamente, puesto que el área de la sección transversal es A = bh. tenemos entonces en y = 0, de la sección 7-4,
(7-5)
*También puede usarse el área bajo y [A ' = b ( h f2 + y)], pero esto implica algo más de manipulación algebraica.
S ección 7 .3
Esfuerzos cortantes en vigas • 379
Distribución del esfuerzo cortante
(c) Este mismo resultado para rmáx puede obtenerse directamente con la fórmula del cortante r = VQ /It, observando que rmáx se presenta donde O es máxima, ya que V, I y t son constantes. Por inspección, Q será un má ximo cuando se considere toda el área arriba (o abajo) del eje neutro; es to es, A ' = bh/2 y y '= h /4. Así, VQ It
”má\
V {h/A ){bh/2)
V A
Por comparación, rmáx es 50% mayor que el esfuerzo cortante promedio determinado con la ecuación 1-7; es decir rmáx = V /A . Es importante recordar que para toda rq u e actúa sobre la sección trans versal en la figura 7-5c, se tiene una correspondiente r actuando en la di rección longitudinal a lo largo de la viga. Por ejemplo, si la viga es seccio nada por un plano longitudinal a través de su eje neutro, entonces, como se indicó anteriormente, el esfuerzo cortante máximo actúa sobre este pla no, figura l-5d. Este es el esfuerzo que ocasiona que falle una viga de ma dera según se muestra en la figura 7-6. Aquí la rajadura horizontal de la m adera comienza al nivel del eje neutro en los extremos de la viga, ya que las reacciones verticales la someten a grandes esfuerzos cortantes y la ma dera tiene una resistencia baja al cortante a lo largo de sus fibras, que es tán orientadas en dirección longitudinal. Es instructivo m ostrar que cuando la distribución del esfuerzo cortan te, ecuación 7-4, se integra sobre toda la sección transversal, se obtiene la fuerza cortante resultante V. Para hacerlo, se escoge una franja diferen cial de área dA = b dy, figura 7-5c, y como r tiene un valor constante so bre esta franja, tenemos: r dA = A
11/2 6V —hjt bix' 6V 'h 2 h3
de
(L 4
F ig.7-5
y jb dy h/2
-y
-h/2 6V h2 í h h 1 ( h3 h3 T V 2 + 2 ) ~ 3
/23
= V Fig. 7-6
380 • CAPÍTULO 7 Esfuerzo cortante transversal
Viga de patín ancho. U na viga de patín ancho se compone de dos “pa tines” (anchos) y un “alm a” como se m uestra en la figura 1-la. Con un análisis similar al anterior se puede determinar la distribución del esfuerzo cortante que actúa sobre su sección transversal. Los resultados se ilustran gráficamente en la figura 7-7b y 7-7c. Como en el caso de la sección trans versal rectangular, el esfuerzo cortante varía parabólicamente a lo largo del peralte de la viga, ya que la sección puede ser tratada como la sección rectangular, que primero tiene el ancho del patín superior, b, luego el es pesor del alma, ía|ma, y otra vez el ancho del patín inferior, b. En particu lar. adviértase que el esfuerzo cortante variará sólo ligeramente a través del alma, y también, que el esfuerzo cortante experimenta un salto en la unión de patín y alma, puesto que el espesor de la sección transversal cam bia en este punto, o en otras palabras, que t cambia en la fórmula del cor tante. En comparación, el alma soportará una cantidad significativamente mayor de la fuerza cortante que los patines. Esto se ilustrará numérica m ente en el ejemplo 7-2.
Alma
Distribución del esfuerzo cortante
Jmix
Parábola Intensidad de la distribución del esfuerzo cortante (vista de perfil)
(c) Kig. 7-7
Limitantes en el uso de la fórmula del esfuerzo cortante. Una de las principales suposiciones que se usaron en el desarrollo de la fórmu la del cortante es que el esfuerzo cortante está uniformemente distribui do sobre el ancho t de la sección donde se calcula. Es decir, el esfuerzo cortante promedio se calcula a través del ancho. Se puede som eter a prue ba la exactitud de esta suposición comparándola con un análisis m atem á tico más exacto basado en la teoría de la elasticidad. A este respecto, si la sección transversal de la viga es rectangular, la distribución real del es fuerzo cortante a través del eje neutro varía como se muestra en la figura 7-8. El valor máximo r'mÁX se presenta en los bordes de la sección trans v e rs a l^ su m agnitud depende de la relación b/h (ancho/peralte). Para secciones con b/h = 0.5, es sólo cerca de 3% mayor que el esfuerzo cortante calculado con la fórmula del cortante, figura 7-8a. Sin embargo, para secciones planas, digamos con b/h = 2, r'máx es casi 40% mayor que Tm á x , figura 7-8b. El error se vuelve aún mayor a medida que la sección se vuelve más plana, o a medida que se incrementa la relación b/h. Los erro res de esta magnitud son ciertamente intolerables si se utiliza la fórmula del cortante para determinar el esfuerzo cortante en el patín de una viga de patín ancho, según se indicó antes. Asimismo, habrá que señalar que la fórmula del cortante no dará resul tados precisos cuando se utilice para determ inar el esfuerzo corlante en la unión patín-alma de una viga de patín ancho, puesto que éste es un punto de cambio repentino de la sección transversal y, por consiguiente, en este lugar se presenta una concentración de esfuerzos. Además, las regiones in ternas de los patines son superficies libres, figura 7-7b, y en consecuencia, el esfuerzo cortante sobre estas superficies debe ser cero. No obstante, si se aplica la fórmula del cortante para determ inar los esfuerzos cortantes en estas superficies, se obtiene un valor de r' que no es igual a cero, figura 7-7c. Afortunadamente, estas limitaciones para la aplicación de la fórmula del cortante a los patines de una viga no son importantes en la práctica de la ingeniería. Con mucha frecuencia los ingenieros sólo tienen que calcular el esfuerzo cortante máximo promedio que se desarrolla en el eje neutro, donde la razón b/h (ancho/peralte) es muy pequeña y, por consiguiente, el resultado calculado se aproxima mucho al esfuerzo cortante máximo ver dadero tal como se explicó antes.
Sección 7 .3
>aun zo an isgo ón
es:u;és la in ór ate caJna nu>uirzo uernási la es cura ins’ara jrzo rgo, que n se rronula ;a de ;sule en unto este :s inncia, ite, si intes igura muía ca de cular :utro, ite, el 3 ver-
Se puede señalar otra limitación im portante en el uso de la fórmula del cortante con respecto a la figura 7-9a, la cual muestra una viga de sección transversal irregular o no rectangular. Si se aplica la fórmula del cortan te para determ inar el esfuerzo cortante (promedio) r a lo largo de la lí nea A B , tendrá la dirección m ostrada en la figura 7-9b. Considérese aho ra un elemento de m aterial tom ado del punto limítrofe B, de tal modo que una de sus caras se localice en la superficie externa de la viga, figura 7-9c. Aquí el esfuerzo cortante calculado r e n la cara frontal del elemen to se descompone en las componentes, r' y r". Por inspección, la compo nente r' debe ser igual a cero, puesto que su componente longitudinal co rrespondiente r'.q u e actúa sobre la superficie limítrofe libre de esfuerzo debe ser cero. Por consiguiente, para satisfacer esta condición, el esfuer zo cortante que actúa sobre el elem ento en la superficie limítrofe debe ser tangente a ésta. La distribución del esfuerzo cortante a lo largo de la línea A B tendría entonces la dirección que se m uestra en la figura 7-9d. Debido a la máxima inclinación de los esfuerzos cortantes en las superfi cies limítrofes, el esfuerzo cortante máximo ocurrirá en los puntos A y B. Valores específicos del esfuerzo cortante se deben obtener mediante los principios de la teoría de la elasticidad. Sin embargo, advierta que se pue de aplicar la fórmula del cortante para obtener el esfuerzo cortante que actúa a través de cada una de las líneas marcadas en la figura 7-9a. Estas líneas intersecan las tangentes a las fronteras de la sección transversal se gún ángulos rectos y, como se m uestra en la figura 7-9e, el esfuerzo cor tante transversal es vertical y constante a lo largo de cada línea. Para resumir los puntos anteriores, la fórmula del cortante no da resul tados exactos cuando se aplica a miembros de sección transversal corta o plana, o en puntos donde la sección transversal cambia repentinamente. Tampoco se deberá aplicar a través de una sección que corte el contorno del miembro con un ángulo diferente de 90°. Más bien, en estos casos se deberá determ inar el esfuerzo cortante por medio de métodos más avan zados basados en la teoría de la elasticidad.
Esfuerzos cortantes en vigas • 381
(a)
Fig.7-8
Superficie exterior libre de esfuerzos
Distribución del esfuerzo cortante según la fórmula del cortante
Fig. 7-9
382 • CAPÍTULO 7 Esfuerzo cortante transversal
PUNTOS IMPORTANTES • Las fuerzas cortantes en vigas dan lugar a distribuciones no lineales de la deformación unitaria cortante sobre la sección transversal, ocasionando que ésta se alabee. • Debido a la propiedad complementaria del esfuerzo cortante, el esfuerzo cortante desarrollado en una viga actúa tanto en la sección transversal como en planos longitudinales. • La fórmula del cortante fue derivada considerando el equilibrio de las fuerzas horizontales del esfuerzo cortante longitudinal y de las distribuciones del esfuerzo de flexión que actúan sobre una porción de un segmento diferencial de la viga. • La fórmula del cortante debe usarse en miembros prismáticos rectos hechos de material homogéneo con comportamiento elástico lineal. Además, la fuerza cortante interna resultante debe estar dirigida a lo lar go de un eje de simetría de la sección transversal. • Para una viga con sección transversal rectangular, el esfuerzo cortante varía parabólicamente con el pe ralte. El esfuerzo cortante máximo se presenta al nivel del eje neutro. • La fórmula del cortante no debe usarse para determ inar el esfuerzo cortante en secciones transversales que son cortas o planas, o en puntos de cambios abruptos de la sección transversal, o en un punto de una frontera inclinada.
---
PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS Para aplicar la fórmula del cortante, se sugiere el siguiente procedimiento. Fuerza cortante interna. • Seccione el miembro perpendicularm ente a su eje en el punto donde va a ser determ inado el esfuerzo cortante, y obtenga la fuerza cortante interna V en la sección. Propiedades de la sección. • Determ ine la localización del eje neutro, y determ ine el m omento de inercia I de toda el área de la sec ción transversal respecto al eje neutro. • Pase una sección horizontal imaginaria por el punto donde va a ser determinado el esfuerzo cortante. Mi da el ancho t del área en esta sección. • La porción del área arriba o debajo de esta sección es A '. Determine O por integración, Q = y dA ', o usando Q = y 'A '. Aquí v' es la distancia al centroide de A ', medida desde el eje neutro. Puede ser de ayuda darse cuenta que A ' es la porción del área de la sección transversal del miembro que está “unida al miembro” por medio de los esfuerzos cortantes longitudinales, figura 7-4d. Esfuerzo cortante. • Usando un conjunto consistente de unidades, sustituya los datos en la fórmula del cortante y calcule el esfuerzo cortante t . • Se sugiere que la dirección apropiada del esfuerzo cortante transversal t sea establecida sobre un ele mento de volumen de material localizado en el punto donde está siendo calculado. Esto puede hacerse teniendo en cuenta que r actúa sobre la sección transversal en la misma dirección que V. Con esto se pueden establecer entonces los esfuerzos cortantes correspondientes que actúan en los otros tres planos del elemento.
S í CCión 7 .3
Esfuerzos cortantes en vigas •
E J E M P L O La viga m ostrada en la figura 7-10« es de madera y está sometida a una fuerza cortante vertical interna resultante de V = 3 klb. (a) Determ i ne el esfuerzo cortante en la viga en el punto P, y (b) calcule el esfuer zo cortante máximo en la viga. Solución
Parte (a). Propiedades de la sección. El m omento de inercia del área de la sec ción transversal calculada respecto al eje neutro es
7 = i 2b^ = h .
pulg^ 5 pulg)3 = 41-7 pulg4
Se traza una línea horizontal por el punto P y el área parcial A ' se mues tra sombreada en la figura 7-106. Por consiguiente. q
= y
a
1 = 0.5 pulg + - (2 pulg) (2 pulg) (4 pulg) = 12
Esfuerzo cortante. La fuerza cortante en la sección es V = 3 cando la fórmula del cortante, tenemos tp
VQ (3 klb)( 12 pulgJ) , .2 = 0.216 klb/pulg = —— —------------------------------------------------j--It (41.7 pulg4) (4 pulg)
Como TP contribuye al valor de V, actúa hacia abajo en P sobre la sec ción transversal. En consecuencia, un elem ento de volumen del mate rial en este punto tendrá esfuerzos cortantes actuando sobre él como se muestra en la figura 7-10c. Parte (b). Propiedades de la sección. El esfuerzo cortante máximo ocurre en el eje neutro, ya que t es constante en toda la sección transversal y Q es máximo para tal caso. Para el área A ’ som breada en la figura 7-10í/, tenemos: q
= y
a
1=
'2.5 pulg
(4 pulg) (2.5 pulg) = 12.5 pulg 3 (d)
Esfuerzo cortante. nemos
Aplicando la fórmula del esfuerzo cortante obte Fig. 7-10
VQ (3 klb)(12.5 pulg Tmáx = — = /V. „ „ . o L , — ,-x = 0225 klb/pulg 2 It (41.7 pulg4)(4 pulg)
Resp.
Note que esto es equivalente a Tmáx = máx
V A
3 klb —— — 4 pulg 5 pulg
L 5 - = 1 .5 - — —
= 0 .2 2 5
, klb/pulg 2 F 5
Resp. y
383
384 • CAPÍTULO 7 Esfuerzo cortante transversal
E J E M P L O
ia Una viga de acero de patín ancho tiene las dimensiones mostradas en la figura 7-11«. Si está sometida a una fuerza cortante V = 80 kN,(a) grafique la distribución del esfuerzo cortante que actúa sobre la sec ción transversal de la viga y (b) determ ine la fuerza cortante que resis te el alma.
b\
Tr = , = 22.6 MPa
Ú iP 2
| Tg = 25.2 MPa 22.6 MPa 1.13 MPa
(b)
Solución
0.02 m
Parte (a). La distribución del esfuerzo cortante es parabólica y varía tal como se m uestra en la figura 7-116. Debido a la simetría, sólo los esfuerzos cortantes en los puntos B ',B y C tienen que calcularse. Para m ostrar cómo obtener esos valores, debemos prim ero determ inar el momento de inercia de la sección transversal respecto al eje neutro. En unidades métricas, tenemos: ^ (0 .0 1 5 m )(0.200m ) 3
I = 4' A
B
T . B
t 0.100 m 1
+
^ ( 0 .3 0 0 m )(0.02 m ) 3 + (0.300 m)(0.02 m)(0.110 m)
2
= 155.6(10 ) m4 (C)
Fig. 7-11
Para el punto B ',t ‘B = 0.300 m, y A ' es el área sombreada mostrada en la figura 7-1 le. Entonces, q b. = y 'A '=
[0.110 m ](0.300m )(0.02m ) = 0.660(10-3) m 3
por lo que TB' =
V Q fí.
80 kN(0.660(10 ) m 155.6(10“6) m4(0.300 m)
= 1.13 MPa
Para el punto B, tB = 0.015 m y QB = (2¿r, figura 7-1 le. Por consi guiente, tb =
VQ b
80 kN(0.660(10-3) m3)
ltB
155.6(10-6) m4(0.015 m)
= 22.6 MPa
Sección
7.3 Esfuerzos cortantes en vigas • 385
Advierta que por lo visto en la sección de: “Limitantes en el uso de la fórmula del esfuerzo cortante”, los valores calculados para r#< y t ,¡ se rán muy engañosos. ¿Por qué? Para el punto C, tc = 0.015 m y A ' es el área som breada en la figura 7-11¿. Considerando esta área compuesta de dos rectángulos, tenemos Qc = 'Z y 'A ' = [0.110 m](0.300 m)(0.02, m) + [0.05 m](0.015 m)(0.100 m) = 0.735(10-3) m 3 Entonces, VQC TC
T máx
80 kN[0.735(10 ) m ]
7 í 7 “ 155.6(10~6) m4(0.015 m)
(d)
= 25.2 MPa
Parte (b). La fuerza cortante en el alma se determinará primero formu lando el esfuerzo cortante en la posición y arbitraria dentro del alma, figura 7 -lle. Usando unidades de metros, tenemos I = 155.6(10-6) m4 t = 0.015 m A ' = (0.300 m )(0.02 m) + (0.015 m)(0.1 m -
y)
Q = I .y 'A ' = (0.11 m) (0.300 m) (0.02 m) + [y + |(0.1 m - _y)](0.015 m)(0.1 m — y) = (0.735 - 7.50 y 2 )(10-3) m 3 de manera que (e) t
=
VQ _ 80 kN(0.735 - 7.50 y 2 )(10~3) m It (155.6(10~6) m4)(0.015m ) = (25.192 - 257.07 y2) MPa
Fig. 7-11
Este esfuerzo actúa sobre la franja de área dA = 0.015 dy m ostra da en la figura 7 -lle , y por tanto la fuerza cortante resistida por el alma es rO .l m
Vw =
(25.192 - 257.07 / ) ( 1 0 6)(0.015 m) dy
rd A = -0.1 m
V„ = 73.0 kN
Resp.
El alma soporta entonces 91% de la fuerza cortante total (80 kN),y los patines soportan el 9% restante. Trate de resolver este problema en contrando la fuerza en uno de los patines (3.496 kN) usando el mismo método. Entonces Vw = V — 2 Vf = 80 kN — 2(3.496 kN) = 73 kN.
386
CAPÍTULO 7 Esfuerzo cortante transversal
E J E M P L O La viga mostrada en la figura 7-12« está hecha con dos tablones. D e termine el esfuerzo cortante máximo en el pegamento, necesario para m antener los tablones unidos. Los soportes en B y C ejercen sólo reac ciones verticales sobre la viga. Solución Fuerza cortante interna. Las reacciones en los soportes y el diagra ma de fuerza cortante se muestran en la figura 7-12¿>. Se ve que la fuer za cortante máxima en la viga es de 19.5 kN. V(kN) 26 kN
6.5 kN
Propiedades de la sección. El centroide y el eje neutro se determ i narán con referencia al eje situado en el fondo de la sección transver sal, figura 7-12«. E n unidades métricas tenemos:
-V "
'ZyA
[0.075 m](0.150 m )(0.030 m) + [0.165 m](0.030 m)(0.150 m)
1.A
(0.150 m)(0.030 m) + (0.030 m )(0.150m )
"
'
m
El momento de inercia respecto al eje neutro, figura 7-12«, es entonces: I =
^ ( 0 .0 3 0 m )(0.150m )3 + (0.150 m)(0.030 m)(0.120 m - 0.075 m ) 2 (0.150 m)(0.030 m ) 3 + (0.030 m)(0.150 m)(0.165 m - 0.120 m ) 2
= 27.0(10“6) m 4
El tablón (patín) superior se mantiene unido al tablón inferior (alma) por medio del pegamento, que se aplica sobre el espesor t = 0.03 m. En consecuencia, A ’ es el área del tablón superior, figura 7-12a. Tenemos: Q = y 'A ' = [0.180 m - 0.015 m - 0.120 m](0.03 m)(0.150 m) = 0.2025(10-3) m3 V = 19.5 kN
Plano cue contiene el pegamento
Esfuerzo cortante. Usando los datos anteriores y aplicando la fórmu la del cortante, obtenemos: VQ _ 19.5 kN(0.2025(10 ) m 3)
4.88 MPa
~ m áx
It ~
27.0(10-6) m4(0.030 m)
= 4.88 MPa
Resp.
El esfuerzo cortante que actúa en la parte superior del tablón inferior se m uestra en la figura 7-12c. Observe que la resistencia del pegamen to a este esfuerzo cortante horizontal o lateral es la que evita que los tablones se deslicen en el soporte C.
P r o b lem a s
•
387
PROBLEMAS 7-1. Determine el esfuerzo cortante en los puntos A y B del alma, cuando la viga está sometida a una fuerza cor tante V = 15 kN. Indique las componentes del esfuerzo cortante sobre un elemento de volumen localizado en esos puntos. Considere w = 125 mm. Demuestre que el eje neu tro está localizado en y = 0.1747 m desde la base y que INA = 0.2182(10-3) m4.
7-6. Determine el esfuerzo cortante máximo en la viga T cuando está sometida a una fuerza cortante vertical V = 10 klb. Calcule también el cambio en el valor del esfuerzo cortante en la unión A B del patín con el alma. Esboce la variación de la intensidad del esfuerzo cortante so bre toda la sección transversal. Demuestre que INA = 532.04 pulg4.
7-2. Si la viga de patín ancho está sometida a una fuerza cortante V = 30 kN, determine el esfuerzo cortante máxi mo en la viga. Considere w = 200 mm.
7-7. Determine la fuerza cortante vertical resistida por el patín de la viga T cuando está sometida a una fuerza cortante vertical V = 10 klb. D em uestre que INA = 532.04 pulg4.
7-3. Si la viga de patín ancho está sometida a una fuerza cortante V = 30 kN, determine la fuerza cortante resisti da por el alma de la viga. Considere w = 200 mm.
Probs. 7-6/7
Probs. 7-1/2/3 *7-4. La viga está formada por tres placas de acero y es sometida a una fuerza cortante V = 150 kN. Determine el esfuerzo corlante en los puntos A y C donde se unen las placas. Demuestre que y = 0.080196 m desde la base y que I NA = 4.8646(10“6) m4. 7-5. La viga está formada por tres placas de acero y está sometida a una fuerza cortante V = 150 kN. Determine la fuerza cortante en el punto B donde las placas se unen. Demuestre que y = 0.080196 m desde la base y que IyA = 4.8646(10“6) m4.
*7-8. Determine el esfuerzo cortante máximo en el pun tal sometido a una fuerza cortante V = 15 kN. Demuestre que INA = 6.691(10-6) m4. 7-9. Determine la fuerza cortante máxima V que el pun tal puede soportar si el esfuerzo cortante permisible para el material es rperm = 50 MPa. Demuestre que 1NA = 6.691 (10~6) m4. 7-10. Determine la intensidad del esfuerzo cortante dis tribuido sobre la sección transversal del puntal si éste es tá sometido a una fuerza cortante V = 12 kN. Demuestre que INA = 6.691(10 “6) m4.
75 mm
> -c
15 mm Probs. 7-4/5
Probs. 7-8/9/10
388 • CAPÍTULO 7 Esfuerzo cortante transversal 7-11. Esboce la intensidad de la distribución del esfuer zo cortante que actúa sobre la sección transversal de la vi ga y determine la fuerza cortante resultante que actúa so bre el segmento A B . La fuerza cortante que actúa en la sección es V = 35 klb. Demuestre que JNA = 872.49 pulg4.
7-13. La barra de acero tiene un radio de 1.25 pulg. Si es tá sometida a una fuerza cortante V = 5 klb, determine el esfuerzo cortante máximo.
35 klb
7-14. Determine la fuerza cortante V máxima que el miembro puede soportar si el esfuerzo cortante permisi ble es rmáx = 8 klb/pulg2. 7-15. Si la fuerza cortante aplicada es V = 18 klb, deter mine el esfuerzo cortante máximo en el miembro.
Prob. 7-11
*7-12. El puntal está sometido a una fuerza cortante ver tical V = 130 kN. Trace la intensidad de la distribución del esfuerzo cortante que actúa sobre la sección transversal y calcule la fuerza cortante resultante desarrollada en el seg mento vertical AB.
Probs. 7-14/15
*7-16. La viga tiene una sección transversal cuadrada y está hecha de madera con un esfuerzo cortante permisible Tpern, = 1.4 klb/pulg2. Determine la dimensión a más pe queña de sus lados cuando está sometida a una fuerza cor tante V = 1.5 klb.
Prob. 7-12
Prob. 7-16
P r o b le m a s
7-17. La viga de madera tiene un esfuerzo cortante per misible rpcrm = 7 MPa. Determine la fuerza cortante má xima V que puede aplicarse a la sección transversal.
50 mm
•
389
*7-20. Desarrolle una expresión para la componente ver tical promedio del esfuerzo cortante que actúa sobre el plano horizontal de la flecha, situado a una distancia y del eje neutro.
50 mm
Prob. 7-20
7-18. La viga está hecha de un polímero y está sometida a una fuerza cortante V = 7 klb. Determine el esfuerzo cortante máximo en la viga y obtenga la distribución del esfuerzo cortante sobre la sección transversal. Indique los valores del esfuerzo cortante a cada 0.5 pulg del peralte de la viga.
7-21. Un miembro tiene una sección transversal en for ma de un triángulo equilátero. Determine el esfuerzo cor tante máximo promedio en el miembro cuando está some tido a una fuerza corlante V. ¿Puede usarse la fórmula del cortante para obtener este valor? Explíquelo.
- 4 pulg -
' pulg;
1 pulg-
6 pulg
1 pulg Prob. 7-18
7-19. Grafique la distribución del esfuerzo cortante sobre la sección transversal de la barra de radio c. ¿Cuántas veces mayor es el esfuerzo cortante máximo que el esfuerzo cor tante promedio que actúa sobre la sección transversal?
Prob. 7-21
7-22. La viga está sometida a una carga uniforme w. De termine la posición a de los soportes de madera para que el esfuerzo cortante en la viga sea tan pequeño como sea posible. ¿Qué valor tiene este esfuerzo?
w
; 11
..
AX*
-i—y _ j_
P — a ----
*---a —" —L — Prob. 7-19
Prob. 7-22
m i' y
390 • CAPÍTULO 7 Esfuerzo cortante transversal
La viga de madera va a ser rebajada en sus exiremos, tal como se muestra. Cuando la viga soporta la carga mostra da, determine la profundidad d más pequeña de la viga en el recorte si el esfuerzo cortante permisible Tperm = 4501b/pulg2. La viga tiene un ancho de 8 pulg. 7-23.
Determine la longitud de la viga en voladizo de manera que el esfuerzo de flexión máximo en la viga sea equivalente al esfuerzo cortante máximo. Comente sobre la validez de sus resultados. 7-27.
5000 Ib
Prob. 7-27
La viga está hecha con tres tablones pegados en tre sí en A y B. Si está sometida a la carga mostrada, de termine el esfuerzo cortante desarrollado en las juntas del pegamento en la sección a-a. Los soportes e n C y D ejer cen sólo reacciones verticales sobre la viga. *7-24.
La viga está hecha con tres tablones pegados entre sí en A y B. Si está sometida a la carga mostrada, determi ne el esfuerzo cortante máximo desarrollado en las juntas unidas por el pegamento. Los soportes en C y D ejercen sólo reacciones verticales sobre la viga. 7-25.
La viga está hecha con tres tablones pegados entre sí en A y B. Si está sometida a la carga mostrada, determi ne la fuerza cortante vertical máxima resistida por el patín superior de la viga. Los soportes en Cy D ejercen sólo reac ciones verticales sobre la viga. 7-26.
5 klb
5 klb
5 klb
1 ,1
*7-28. Los durmientes de ferrocarril deben diseñarse para resistir grandes cargas cortantes. Si el durmiente está sometido a las cargas de 34 klb y se supone una reacción uni formemente distribuida del suelo, determine la intensidad w requerida por equilibrio y calcule el esfuerzo cortante máximo en la sección a-a que se localiza justo a la izquier da del riel derecho.
34 klb
i
34 klb
---------------------------- — ------------------------- — = â ïâ l8 Ç ;
..... c
1
.
.. .. r
D
o
-— 4 pies — 1.5 pies 1.5 pies
4 pies — -
6 pulg 1.5 pulgj_
i—
r
8 pulg
i____í_
4 1 6 pulg 11*
3
— 2 pulg
"B
— 8 pulg —
1.5 pulg f Probs. 7-24/25/26
Prob. 7-28
P ro b le m as
7-29. Determine el esfuerzo cortante en el punto B so bre el alma del puntal en voladizo en la sección a-a. 7-30. Determine el esfuerzo cortante máximo que actúa en la sección a-a del puntal en voladizo.
7-31. La viga compuesta está construida de madera y es tá reforzada con placas de acero. Use el método de la sec ción 6.6 y calcule el esfuerzo cortante máximo en la viga cuando está sometida a una fuerza cortante vertical V — 50 kN. Considere £ ac = 200 GPa y £ mad = 15 GPa.
*■7-32. La viga simplemente apoyada está sometida a la carga concentrada P. Escriba un programa de computado ra que pueda usarse para determinar el esfuerzo cortante y el de flexión en cualquier punto específico A(x, y, z) de la sección transversal, excepto en los soportes y bajo la carga. Aplique el programa con los siguientes datos: P = 600 N, d = 3 m. L = 4 m, h = 0.3 m. b = 0.2 m,.v = 2 m .)| = 0.1 m y z - 0.2 m.
•
391
■7-33. Escriba un programa de computadora que sirva para determinar el esfuerzo cortante máximo en la viga con la sección transversal mostrada y sometida a una carga dis tribuida iv específica constante y a una fuerza concentrada P. Aplique el programa con los siguientes datos: L = 4 m, a = 2 m, P = 1.5 kN, d x = 0, d2 = 2 m, w = 400 N/m , = 15 mm, t2 = 20 mm, b - 50 mm, y h = 150 mm.
7-34. La viga tiene una sección transversal rectangular y está sometida a una carga P de una magnitud suficiente para desarrollar un momento plástico total Mp = P L en el empotramiento. Si el material es elastoplástico, entonces a una distancia x < L, el momento M = Px genera una re gión de fluencia plástica con un núcleo elástico asociado de altura 2 y'. Esta situación ha sido descrita por la ecua ción 6-30 y el momento M está distribuido sobre la sec ción transversal como se muestra en la figura 6-54e. D e muestre que el esfuerzo cortante máximo desarrollado en la viga está dado por rmáx = i(/V/4'), donde/4' = 2 y 'b e s el área de la sección transversal del núcleo elástico.
P
P
L ------------------------------
Prob. 7-32
7-35. La viga en la figura 6 -5 4 /está sometida a un mo mento plástico total M;). Demuestre que los esfuerzos cor tantes longitudinal y transversal en la viga son iguales a cero. Sugerencia: considere un elemento de viga como se muestra en la figura 7-4d.
392 • CAPÍTULO 7 Esfuerzo cortante transversal
7.4
Flujo cortante en miembros com puestos
j
¡ -
A veces, en la práctica de la ingeniería los miembros se “arm an” con varias partes a fin de lograr una mayor resistencia a las cargas. En la figura 7-13 se muestran algunos ejemplos. Si las cargas provocan que los miembros se flexionen, probablem ente se requieran sujetadores tales como clavos, per nos, soldadura o pegamento, a fin de evitar que las partes componentes se deslicen una con respecto a la otra, figura 7-2. Para diseñar estos suje tadores es necesario conocer la fuerza cortante que ha de ser resistida por el sujetador a lo largo de la longitud del miembro. Esta carga, cuando se mide como fuerza por unidad de longitud, se denomina flu jo cortante q * La magnitud del flujo cortante a lo largo de cualquier sección longitu dinal de una viga se puede obtener mediante un desarrollo similar al que se utilizó para hallar el esfuerzo cortante en la viga. Para mostrarlo, se considerará la determinación del flujo cortante a lo largo de la junta don de la parte compuesta en la figura 7-14« se conecta al patín de la viga. Co mo se m uestra en la figura 7-146, tres fuerzas horizontales deben actuar sobre esta parte. Dos de esas fuerzas, F y F + dF, son desarrolladas por esfuerzos normales generados por los momentos M y M + dM, respectiva mente. La tercera, que por equilibrio es igual a dF, actúa en la junta y tie ne que ser soportada por el sujetador. Si se tiene en cuenta que dF es el resultado de dM, entonces, del mismo modo que en el caso de la fórmula del cortante, ecuación 7-1, tenemos: dF =
dM I
ydA ' A'
La integral representa a Q, es decir, el m omento del área som breada A ' en la figura 7-146 respecto al eje neutro de la sección transversal. Como el segmento tiene una longitud dx, el flujo corlante, o fuerza por unidad de longitud a lo largo de la viga, es q = dF/dx. Por consiguiente, dividiendo ambos miembros por dx y viendo que V = dM /dx, ecuación 6-2, se pue de escribir:
Aquí, q = flujo cortante, medido como fuerza por unidad de longitud a lo lar go de la viga V = fuerza cortante interna resultante, determ inada con el método de las secciones y las ecuaciones de equilibrio I = m omento de inercia de toda la sección transversal calculado con res pecto al eje neutro Q = ¡a ' y d A ' = y 'A ', donde A ' es el área de la sección transversal del segmento conectado a la viga en la junta donde el flujo cortante ha de ser calculado y y es la distancia del eje neutro al centroide de A ' *E1 significado de la palabra '“flujo” se entenderá plenamente cuando estudiemos la sección 7.5.
S ección
is 3 se res eor se .* uue se >noaar jor vatieel ula
A' >mo dad ndo Due-
7-6)
7.4 Flujo cortante en miembros compuestos • 393
dM F+dF
ta) Fig. 7-14
La aplicación de esta ecuación sigue el mismo “procedimiento de análi sis”, tal como se describió en la sección 7.3 para la fórmula del cortante. A este respecto es muy im portante identificar correctamente el valor ade cuado de Q cuando se va a calcular el flujo cortante en una junta particu lar de la sección transversal. Unos cuantos ejemplos servirán para ilustrar cómo se hace esto. Considere las secciones transversales de las vigas mos tradas en la figura 7-15. Las partes sombreadas están conectadas a la viga por medio de sujetadores de tal modo que el flujo cortante necesario q de la ecuación 7-6 se determ ina usando un valor de Q calculado por medio de A ' y y tal como se indica en cada figura. Advierta que este valor de q será resistido por un solo sujetador en las figuras 7-15« y 7-15b, por dos su jetadores en la figura 7-15c, y por tres sujetadores en la figura 7-15d. En otras palabras, el sujetador en las figuras 7-15« y 7-15¿> soporta el valor calculado de q y en las figuras 7-15c y 1-I5d, el valor calculado de q es di vidido entre 2 y 3, respectivamente.
PUNTOS IMPORTANTES • El flujo cortante es una medida de la fuerza por unidad de longi tud a lo largo de un eje longitudinal de una viga. Este valor se halla a partir de la fórmula del cortante y se usa para determinar la fuer za cortante desarrollada en sujetadores y pegamento que mantie nen unidos entre sí los varios segmentos de una viga.
lare las res-
N-
del ha sA' 2
(b) i sec
(d)
394 • CAPÍTULO 7 Esfuerzo cortante transversal
E J E M P L O
O La viga se va a construir con cuatro tablones pegados entre sí como se muestra en la figura 7-16«. Si va a estar sometida a una fuerza cortan te V = 850kN ,determ ine el flujo de cortante e n f iy C q u e debe resis tir el pegamento. Solución Propiedades de la sección. El eje neutro (centroide) se localizará con referencia al fondo de la viga, figura 7-16«. Con unidades métricas, te nemos:
y
-
Z,yA
2[0.15 m](0.3 m)(0.01 m) + [0.205 m](0.125 m)(0.01 m) + [0.305 m](0.250 m)(0.01 m)
7A
2(0.3 m)(0.01 m) + 0.125 m(0.01 m) + 0.250 m(0.01 m)
= 0.1968 m El m omento de inercia calculado con respecto al eje neutro es:
7 10
=
2 ^ ( 0 .0 1 m)(0.3 m ) 3 + (0.01 m)(0.3 m)(0.1968 m - 0.150 m ) 2
mm + ^ (0 .1 2 5 m)(0.01 m ) 3 + (0.125 m)(0.01 m)(0.205 m - 0.1968 m ) 2 ^(0.250 m)(0.01 m ) 3 + (0.250 m)(0.01 m)(0.305 m - 0.1968 m ) 2 = 87.52(10~6) m 4 Como el pegamento en B y B ' conecta el tablón superior a la viga, figura 7-166, tenemos: Q b = y B¿ B = [0.305 m - 0.1968 m](0.250m)(0.01 m) = 0.270(10-3) m 3 De la misma manera, el pegamento en C y C' conecta el tablón inte rior a la viga, figura 7-166, por lo que: Qc = ycA 'c = [0.205 m - 0.1968 m](0.125 m )( 0 . 0 1 m) = 0.01025(10“3) m 3 Flujo de cortante. VQB c¡ b
=
Para B y B' tenemos: 850 kN (0.270(10“3) m3) 87.52(10 ) m
= 2.62 M N/m
Para C y C', 9c =
(b) Fig. 7-16
VQ C
850 kN(0.01025(10 ) m3)
I
87.52(10"6) m 4
= 0.0995 MN/m
Como se usan dos juntas de pegamento para conectar cada tablón, el pegamento por metro de longitud de viga en cada junta debe ser sufi cientemente fuerte para resistir la mitad de cada valor calculado de q '. Entonces, qB = 1.31 MN/m y qc = 0.0498 M N/m
Resp.
S ección
7.4 Flujo cortante en miembros compuestos • 395
O
E J E M P L O
U na viga en caja se construye con cuatro tablones clavados entre sí, tal como se m uestra en la figura 7-17a. Si cada clavo puede soportar una fuerza cortante de 30 Ib, determ ine la separación s máxima entre clavos en B y C para que la viga pueda soportar la fuerza vertical de 80 Ib. 801b
Solución
Fuerza cortante interna. Si la viga se secciona en un punto arbitrario a lo largo de su longitud, la fuerza cortante interna requerida por equi librio es siempre V = 80 Ib; el diagrama de fuerza cortante se muestra en la figura 7-17/?.
i— H 1.5 pulg ' J1— 6 p ú lg H
Propiedades de la sección. El momento de inercia de la sección trans versal respecto al eje neutro puede evaluarse considerando un cuadra do de 7.5 X 7.5 pulg menos un cuadrado de 4.5 X 4.5 pulg. ^
6 pulg
1
1
I =
C J— *-5 piilg
(
12
7 -5
Pu l §
) ( 7 -5
Pu l § ) 3 “
^
(
12
4 -5
Pu1g)(4.5 pulg ) 3 = 229.5 pulg' 1.5 pulg
El flujo de cortante en B se determ ina usando la Q B calculada con el área de som breado oscuro m ostrada en la figura 7-17c. Es esta por ción “simétrica” de la viga la que debe “ligarse” al resto de la viga por medio de clavos en el lado izquierdo y por las fibras del tablón en el la do derecho. Así,
(a)
V(lb)
Q b —y 'A ' = [3 pulg](7.5 pulg)(1.5 pulg) = 33.75 pulg 3 De la misma manera, el flujo de cortante en C puede evaluarse usan do el área “sim étrica” som breada m ostrada en la figura l- \ l d . Tene mos:
80
- x (pie)
Qc = y 'A ' = [3 pies](4.5 pies)(1.5 pies) = 20.25 piesJ
(b)
Flujo de cortante. -7.5 pulg — j
VQb < ■,IB
I
80 lb(33.75 pulg3) 229.5 pulg 4
VQ c _ 80 lb(20.25 pulg 3 Qc ~
229.5 pulg 4
\
-B
~B'
1 (c) 4.5 pulg 1.5pulg
HUI 3 pulg
-C'
N-
(d)
Fig. 7-17
Use Se = 8.5 pulg Resp.
ZD1.5pulg
*
= 7.059 lb/pulg
Estos valores representan la fuerza cortante por longitud unitaria de la viga que debe ser resistida por los clavos en B y por las fibras en B ', figura 7-17c, y por los clavos en C y las fibras en C , figura l-M d, res pectivamente. Como en cada caso el flujo de cortante es resistido en dos superficies y cada clavo puede resistir 30 Ib, la separación para B es: 30 Ib S', * ( n . 7 6 / 2 ) l b / p u lg " 5 1 0 pulg U s e s * - 5 P“ ‘S La separación para C es: 30 Ib = 8.50 pulg SC (7.059/2) lb/pulg
■f 3 pulg
= 11.76 Ib/pulg
396 • CAPÍTULO 7 Esfuerzo cortante transversal
E J E M P L O
---------------------------------------------------Se usan clavos, con una resistencia total al cortante de 40 Ib, en una vi ga que puede construirse como en el caso I o como en el caso II, figu ra 7-18. Si los clavos están espaciados a 9 pulg, determine la fuerza cor tante vertical máxima que puede soportar la viga en cada caso sin que ocurra la falla por cortante en los clavos.
0.5 pulg
4 pulg
Caso I
1-3pulg -| Fig. 7-18
0.5 pulg
pulg pulg pulg
Solución Dado que la geometría es la misma en ambos casos, el momento de inercia respecto al eje neutro es: 1 =
^
( 3
pulg) (5 pulg) 3 - 2 Tj^(l pulg) (4 pulg) 3 = 20.58 pulg 4
Caso I. En este diseño, una simple hilera de clavos conecta cada pa tín al alma. Para uno de los patines, Q = y 'A ' = [2.25 pulg](3 pulg(0.5 pulg)) = 3.375 pulg 3 por lo que ve
q = ~T 401b_ = V(3.375 pulg3) 9 pulg
20.58 pulg 4 V = 27.1 Ib
Resp.
Caso II. Aquí, una simple hilera de clavos conecta uno de los tablo nes laterales al alma. Entonces, Q = y 'A ' = [2.25 pulg](l pulg(0.5 pulg)) = 1.125 pulg 3 VQ q =— _40 l b__ V(l-125 pulg3) 9 pulg 20.58 pulg 4 V = 81.3 Ib
Resp.
P r o b le m a s
•
397
PROBLEMAS *7.36. La viga está construida con tres tablones. Si está sometida a una fuerza cortante V = 5 klb, determine la se paración s de los clavos usados para mantener los patines superior e inferior unidos al alma. Cada clavo puede so portar una fuerza cortante de 500 Ib.
La viga en caja está hecha de cuatro piezas de plás tico pegadas, como se muestra. Si la fuerza cortante es V - 2 klb, determine el esfuerzo cortante resistido por el pegamento en cada una de las uniones. 7-39.
La viga está construida con tres tablones. Determi ne la fuerza cortante máxima V que puede soportar si el esfuerzo cortante permisible para la madera es rpernl = 400 lb/pulg2. ¿Cuál es el espaciamiento requerido s de los clavos si cada clavo puede resistir una fuerza cortante de 400 Ib? 7-37.
1.5 pulg
Prob. 7-39
le
1.5 pulg
*7-40. La viga está sometida a una fuerza cortante V = 800 N. Determine el esfuerzo cortante promedio desarro llado en los clavos a lo largo de los lados A y B cuando la separación entre los clavos es s = 100 mm. Cada clavo tie ne un diámetro de 2 mm.
La viga está hecha de cuatro piezas de plástico pe gadas entre sí como se muestra. Si el pegamento tiene una resistencia permisible de 400 lb/pulg2, determine la fuer za cortante máxima que la viga puede resistir. 7-38.
sp. lo-
0.25 pulg
5.5 puls
0.25 pulg
__— 4.75 pulg
0.25 pulg
?sp. Prob. 7-38
Prob. 7-40
398 • CAPÍTULO 7 Esfuerzo cortante transversal 7-41. La viga doble T se fabrica soldando las tres placas entre sí como se muestra. Determine el esfuerzo cortante en la soldadura necesaria para soportar una fuerza cortan te V = 80 kN. 7-42. La viga doble T se fabrica soldando las tres placas entre sí como se muestra. Si la soldadura puede resistir un esfuerzo cortante Tpi;rm = 90 MPa, determine la fuerza cor tante máxima que puede aplicarse a la viga.
20 mm
7-45. La viga está hecha con tres tiras de poliestireno pe gadas entre sí como se muestra. Si el pegamento tiene una resistencia al cortante de 80 kPa, determine la carga má xima P que puede aplicarse a la viga sin que el pegamen to pierda su adherencia.
30 mm
Prob. 7-45
Probs. 7-41/42
7-43. La trabe de doble alma se construye con dos hojas de madera contrachapada unidas a miembros de madera en sus partes superior e inferior. Si cada perno puede so portar 600 Ib en cortante simple, determine la separación s requerida entre pernos para soportar la carga P = 3000 Ib. Suponga que A es una articulación y B un rodillo.
7-46. Una viga se construye con tres tablones unidos en tre sí como se muestra. Determine la fuerza cortante de sarrollada en cada perno cuando la separación entre éstos es s = 250 mm y la fuerza cortante aplicada V = 35 kN.
*7-44. La trabe de doble alma se construye con dos hojas de madera contrachapada unidas a miembros de madera en sus partes superior e inferior. El esfuerzo de flexión per misible para la madera es
t 2 pulg
-+
10 p
, 2 pulg
- 6 pulg H 0.5 pulg 0.5 pulg Probs. 7-43/44
Prob. 7-46
P r o b le m a s
7-47. La viga en caja se construye con cuatro tablones unidos por medio de clavos espaciados a lo largo de la vi ga cada 2 pulg. Si cada clavo puede resistir una fuerza cor tante de 50 Ib. determine la fuerza cortante máxima V que puede aplicarse a la viga sin que fallen los clavos.
•
399
■7-49. La viga T de madera está sometida a una carga que consiste en n fuerzas concentradas P„. Si se conoce la fuerza cortante permisible VC|av0 para cada clavo, escriba un programa de computadora que especifique la separa ción de los clavos entre cada carga. Aplique el programa a los siguientes datos: L = 15 pies, at = 4 pies, P| = 600 Ib, a2 = 8 pies, P 2 = 1500 Ib, b { = 1.5 pulg, h\ = 10 pulg, ¿>2 = 8 pulg, h2 = 1 pulg y Vclavo = 200 Ib.
Prob. 7-49
7-50. La viga en caja se construye con cuatro tablones unidos por medio de clavos espaciados a lo largo de la vi ga cada 2 pulg. Si cada clavo puede resistir una fuerza cor tante de 50 Ib, determine la fuerza máxima P que puede aplicarse a la viga sin que fallen los clavos. *■7-48. Una viga de madera está hecha con n tablones, cada uno con sección transversal rectangular. Escriba un programa de computadora que sirva para determinar el esfuerzo cortante máximo en la viga cuando está someti da a cualquier fuerza cortante V. Muestre la aplicación del programa usando una sección transversal que consista en una “T” y una caja (doble T cerrada).
7-51. La viga en caja se construye con cuatro tablones uni dos por medio de clavos espaciados a lo largo de la viga cada 2 pulg. Si se aplica a la viga una fuerza P = 2 klb, deter mine la fuerza cortante resistida por cada clavo en A y B.
P
i'
Prob. 7-48
Probs. 7-50/51
400 • CAPÍTULO 7 Esfuerzo cortante transversal
*7-52. La viga está construida con tres tablones. Si está sometida a las cargas P = 5 klb, determine la separación j entre los clavos dentro de las regiones AC, CD y DB usa dos para conectar los patines superior e inferior al alma. Cada clavo puede resistir una fuerza cortante de 500 Ib.
P
P
1
_____ 1
7-54. El miembro consiste en dos canales de plástico de 0.5 pulg de espesor, unidas entre sí en A y B. Si el pega mento puede soportar un esfuerzo cortante permisible Tpcm> = 600 lb/pulg2, determine la intensidad w0 máxima de la carga distribuida triangular que puede aplicarse al miembro con base en la resistencia del pegamento.
6 p ies----- T — 6 p ies-------------------- r ---- 6 pies
1 6 pulg Prob. 7-52 Prob. 7-54
La viga está construida con tres tablones. Determine las cargas máximas P que puede soportar si el esfuerzo cor tante permisible para la madera es r(,erm = 400 Ib /pulg2. ¿Cuál es la separación j requerida entre clavos para co nectar los patines superior e inferior al alma si cada clavo puede resistir una fuerza cortante de 400 Ib?
7-53.
7-55. La viga consiste en dos canales de plástico de 0.5 pulg de espesor, pegadas entre sí e n A y B . Si la carga distribuida tiene una intensidad máxima iv0 = 3 klb/pie, determine el esfuerzo cortante máximo resistido por el pe gamento.
w0
^ r r t T T U ......Í I í TT t ^
6 pies
pulg
pulg
Prob. 7-53
Prob. 7-55
6 pies
S ección
7.5
7.5 Flujo cortante en miembros de pared delgada • 401
Flujo cortante en miembros de pared delgada
E n la sección anterior desarrollamos la ecuación del flujo cortante, q = VQ//, y mostramos cómo usarla para determinar el flujo cortante que actúa a lo largo de cualquier plano longitudinal de un miembro. En esta sección mostraremos cómo aplicar esta ecuación para encontrar la distribución del flujo cortante a través de la sección transversal de un miembro. Su pondremos aquí que el miembro tiene paredes delgadas, es decir, que el espesor de las paredes es pequeño en comparación con la altura o ancho del miembro. Como veremos en la siguiente sección, este análisis tiene im portantes aplicaciones en el diseño estructural y mecánico. Antes de determ inar la distribución del flujo cortante sobre una sec ción transversal, mostraremos cómo el flujo cortante está relacionado con el esfuerzo cortante. Consideremos el segmento dx de la viga de patín an cho en la figura 7-19a. En la figura 7-19b se muestra un diagrama de cuer po libre de una porción del patín. La fuerza dF es generada a lo largo de la sección longitudinal sombreada para equilibrar las fuerzas normales F y F + dF generadas por los momentos M y M + dM, respectivamente. Como el segmento tiene una longitud dx, entonces el flujo cortante o fuer za por unidad de longitud a lo largo de la sección es q = dF/dx. Debido a que la pared del patín es delgada, el esfuerzo cortante rn o variará mucho sobre el espesor t de la sección; supondremos por ello que es constante. De aquí, dF = r d A = t(í dx) = q dx, o q=
(7-7)
Tt
Este mismo resultado puede obtenerse com parando la ecuación del flu jo cortante, q = V Q /I, con la fórmula del cortante r = VQ /lt. Igual que el esfuerzo cortante, el flujo cortante también actúa tanto en los planos longitudinales como transversales. Por ejemplo, si se aísla (figura 7-19c) el elemento de esquina situado en el punto B de la figura 7-196, el flujo cortante actúa como se muestra sobre la cara lateral del elemento. Aunque existe, despreciaremos la componente vertical transversal del flujo cortante porque, como se m uestra en la figura 1-I9d, esta componente, igual que el esfuerzo cortante, es aproximadamente cero a través del espe sor del elemento. Esto es debido a que las paredes se suponen delgadas y a que las superficies superior e inferior están libres de esfuerzo. Para resu mir, sólo se considerará la componente del flujo cortante que actúa pa ralelamente a las paredes del miembro.
^ q ’ supuesta cero a través
^ y t
q supuesto constante
a través del espesor del patín
W) Fig. 7-19
del espesor del patín ya que la parte superior e inferior de éste están libres de esfuerzo
402 • CAPÍTULO 7 Esfuerzo cortante transversal
(0
F+dF
(e)
M ediante un análisis similar, el aislamiento del segmento izquierdo del patín superior, figura 7-19e, establecerá la dirección correcta del fluj o cor tante sobre el elemento C del segmento, figura 7-19/. Usando este método dem uestre que el flujo cortante en los puntos B ' y C' correspondientes en el patín inferior está dirigido según se m uestra en la figura 7-19g. Este ejemplo ilustra cómo se puede establecer la dirección del flujo cor tante en cualquier punto de la sección transversal de la viga. M ediante la fórmula del flujo cortante, q = VQ /I, en seguida se mostrará cómo se deter mina la distribución del flujo cortante en toda la sección transversal. Es de esperar que esta fórmula dé resultados razonables para el flujo cortan te, puesto que, según lo expuesto en la sección 7.3, la precisión de esta ecuación mejora en el caso de miembros con secciones rectangulares del gadas. No obstante, para cualquier aplicación, la fuerza cortante V debe actuar a lo largo de un eje de simetría o eje centroidal principal de iner cia de la sección transversal. En prim er lugar se determ inará la distribución del flujo cortante a lo largo del patín superior derecho de la viga de patín ancho m ostrada en la figura 7-20«. Para ello, considérese el flujo cortante q, que actúa sobre el elemento más som breado localizado a una distancia arbitraria x de la lí nea central de la sección transversal, figura 7-20b. Se determ ina usando la ecuación 7-6 con Q = y''A ' — [d¡2]( b /2 - x)t. Así, VQ
(g) Fig. 7-19 (cont.)
V [d/2\((b/2) - x)t
V td fb 21 V2
*
(7-8)
Por inspección, se ve que esta distribución es lineal y que varía desde q 0 en x = b/2 hasta {qmáx)f = Vt db/Al en x = 0. (La limitación de * = 0 es factible en este caso, puesto que se supone que el miembro tiene “pare des delgadas” y, por consiguiente, se desprecia el espesor del alma.) Por simetría, un análisis similar da la misma distribución de flujo cortante pa ra los otros patines; los resultados se muestran en la figura l-2i)d. La fuerza total desarrollada en las porciones izquierda y derecha de un patín se puede determ inar mediante integración. Como la fuerza sobre el elemento más som breado en la figura 7-20b es dF = q dx, entonces
6/2 V t d f b
\ , V t db¿ — x I dx = 21 V2 16/
Ff = | q dx =
Asimismo, este resultado se puede determ inar calculando el área bajo el triángulo en la figura 7-20d ya que q es una distribución de fuerza por uni dad de longitud. Por consiguiente, „ f
1 ,x f b \ 2
V td b 2 / V2 /
16/
En la figura 7-20e se m uestran las cuatro fuerzas que actúan en los pati nes y por su dirección se deduce que se m antiene el equilibrio de las fuer zas horizontales en la sección transversal.
S ección
7.5 Flujo cortante en miembros de pared delgada • 403
fe
del cortodo ntes
3
h ~ 2-
(7-8) iq = =0 es pare) Por e pade un Dre el
_Lt
1
~£L
cor te la eter1. Es rtanesta deldebe inera lo en la >re el la li ando
i
X
N-
— ►
d
t
(c)
(b)
Para el alma se puede realizar un análisis similar, figura 7-20c. En este caso se tiene Q = l y ' A ' = [d/2\(bt) + [y + (\/2 )(d /2 -y )] t(d /2 - y) = bt d ¡2 + (d2/4 - y2), así que: VQ I
V t db I 2
lid2 2\ 4
(7-9)
Para el alma, el flujo cortante, al igual que el esfuerzo cortante, varía de manera parabólica, de q = 2(
| <7 d
y
—
J- d / 2 1
Y± db
1
J
+ 2 \ J ~ y
(d2
1
Y 3' + i { T y ~ l y
I
/ d1
1
,
-
=
^máxV
^máx \v
d /2
J 2
- d /2
Vtd 41
1
2
dy
^máxV
Distribución de flujo cortante (d)
2
Si se desprecia el prim er término, en vista de que el espesor de los pati nes es pequeño, se obtiene: . ; patii fuer-
dy
N-
Es posible una simplificación si se observa que el momento de inercia pa ra el área de la sección transversal es: ajo el r uni-
|— 1 IT i —
t d2 ( “ TÍ,
Ff
Ff
1
=V
+ 3
Sustituyendo en la ecuación anterior, vemos que / 'aima = V, lo que era de esperarse, figura 7-20e. (e) Fig. 7-20
404
CAPÍTULO 7 Esfuerzo cortante transversal
En el análisis anterior se observan tres puntos importantes. Primero, el valor de q cambia a lo largo de la sección transversal, puesto que Q será diferente para cada segmento de área A ' para el cual se calcula. En particu lar, q variará linealmente a lo largo de segmentos (patines) perpendicula res a la dirección de V, y parabólicamente a lo largo de segmentos (alma) inclinados o paralelos a V. Segundo, q siempre actuará paralelamente a las paredes del miembro, puesto que la sección en la cual se calcula q se escoge perpendicular a las paredes. Y tercero, el sentido direccional de q es tal que el cortante parece “fluir” a través de la sección transversal, hacia el interior en el patín superior de la viga, “com binándose” y luego “fluyen do” hacia abajo por el alma, en vista de que debe contribuir a la fuerza cortante V. y en seguida separándose y “fluyendo” hacia afuera en el pa tín inferior. Si se es capaz de “visualizar” este “flujo”, esto proporcionará un método fácil para establecer no sólo la dirección de q, sino también la dirección correspondiente de r. En la figura 7-21 se muestran otros ejem plos de cómo q se dirige a lo largo de segmentos de miembros de pared delgada. En todos los casos, la simetría prevalece respecto a un eje colineal con V ,y en consecuencia, “fluye” en una dirección tal que propor cionará las componentes necesarias de fuerza vertical equivalentes a V y además también cumplirá con los requisitos de equilibrio de fuerzas ho rizontales en la sección transversal.
r
Flujo corlante q
Fig. 7-21
PUNTOS IMPORTANTES • Si un miembro está hecho con segmentos de pared delgada, sólo el flujo cortante paralelo a las paredes del miembro es importante. • El flujo cortante varía linealmente a lo largo de segmentos que son perpendiculares a la dirección de la fuerza cortante V. • El flujo cortante varía parabólicamente a lo largo de segmentos que están inclinados o son paralelos a la dirección de la fuerza cortante V. • En la sección transversal, el cortante “fluye” a lo largo de los seg mentos de manera que él contribuye a la fuerza cortante V y sa tisface el equilibrio de fuerzas horizontales y verticales.
S ección
7.5 Flujo cortante en miembros de pared delgada
O
E J E M P L O
La viga en caja de pared delgada en la figura 7-22« está sometida a una fuerza cortante de 10 klb. Determ ine la variación del flujo cortante en la sección transversal. Solución Por simetría, el eje neutro pasa por el centro de la sección transversal. El momento de inercia es: I=
2
pulg ) ( 8 pulg ) 3 - - ^ ( 4 pulg ) ( 6 pulg ) 3 = 184 pulg 4
- ¿ ( 6
I2 , ,
Pu*8 pulg pulg Ipulg
(a)
Sólo tiene que determ inarse el flujo de cortante en los puntos B, C y D. Para el punto B, el área A ' ~ 0, figura 7-22b, ya que puede conside rarse que está localizada totalm ente en el punto B. Alternativamente, A ' puede también representar toda el área de la sección transversal, y en este caso QB — y A ’ - 0, ya que y ' = 0. Puesto que QB = 0, enton ces: qB = 0 Para el punto C, el área A ' se muestra con som breado más oscuro en la figura 7-22c. A quí hemos usado las dimensiones medias, ya que el punto C está sobre la línea central de cada segmento. Tenemos:
- A'
N-
(b)
I pulg| 5 pulg | 7
3.5 pulg
4
N-
Así.
a
4 pulg
Q c~ y 'A ' =(3.5 pulg)(5 pulg ) ( 1 pulg) = 17.5 pulg 3 T I—-----=T
1 pulg 4 pulg 1
(c)
VQ C _ 10 klb (17.5 pulg 3/ 2 ) <7c - '
184 pulg 4
= 0.951 klb/pulg
|J Pul§-_] ?. pulg
El flujo cortante en D se calcula usando los tres rectángulos oscuros mostrados en la figura 7-22d. Tenemos: Qd =
2
y 'A ' =
2 [2
pulg](l pulg) (4 pulg) + [3.5 pulg](4 pulg)(l pulg) - 30 pulg 3 (d)
de manera que VQ d I
d
~
10 klb(30 pulg 3 / 2 ) 184 pulg 4
= 1.63 klb/pulg
Con estos resultados y aprovechando la simetría de la sección trans versal, graficamos la distribución del flujo de cortante que se muestra en la figura 7-22e. Como se esperaba, la distribución es lineal a lo lar go de los segmentos horizontales (perpendicular a V) y parabólica a lo largo de los segmentos verticales (paralela a V).
Fig. 7-22
• 405
406 • CAPÍTULO 7 Esfuerzo cortante transversal
*7.6
Centro de cortante En la sección anterior se supuso que la fuerza cortante interna V estaba aplicada a lo largo de un eje centroidal principal de inercia que también representa un eje de simetría de la sección transversal. En esta sección se considerará el efecto de aplicar la fuerza cortante a lo largo de un eje cen troidal principal que no es un eje de simetría. Como antes, se analizarán sólo miembros de pared delgada, de modo que se usarán las dimensiones de la línea central de las paredes de los miembros. Un ejemplo representa tivo de este caso es una canal en voladizo, m ostrada en la figura 7-23«, y sometida a la fuerza P. Si esta fuerza se aplica a lo largo del eje inicialmen te vertical asimétrico que pasa por el centroide C de la sección transver sal, la canal no sólo se flexionará hacia abajo, sino que también se torcerá en sentido horario como se muestra en la figura.
\ =
i
máx )j
Distribución del flujo de cortante (b)
Fig. 7-23
Sección
| en se n‘ an ies ta' >y nererá
I I I I I
7.6 Centro de cortante • 407
Para entender por qué se tuerce la canal, es necesario estudiar la distribu ción del flujo cortante a lo largo de los patines y el alma de la canal, figura 7-236. Cuando esta distribución se integra sobre las áreas de los patines y alma, obtenemos fuerzas resultantes /y e n cada patín y una fuerza V = P en el alma, figura 7-23c. Si se suman los momentos de esas fuerzas con respecto al punto A , puede verse que el par generado por las fuerzas en los patines es responsable de la torsión del miembro. La torsión es horaria cuando se observa desde el frente de la viga como se m uestra en la figura 7-23«,ya que las fuerzas Ff reactivas de “equilibrio” interno son las que ocasionan la torsión. Para prevenir esta torsión es necesario, por tanto, aplicar P en un punto O situado a una distancia e del alma de la canal, figura 7-23d. Se requiere que XM A = Ffd = Pe, lo que da Ff d e~ p Con el método visto en la sección 7.5 se pueden evaluar las fuerzas /yen términos de P ( = V) y de las dimensiones de los patines y del alma. Una vez hecho esto, P se elimina después de sustituirla en la ecuación anterior y e se puede expresar simplemente como una función de la posición de la geo m etría de la sección transversal y no como una función de P o de su po sición a lo largo de la longitud de la viga (vea el ejemplo 7-9). El punto O así localizado se llama centro de cortante o centro de flexión. Cuando P se aplica en el centro de cortante, la viga se flexionará sin torcerse, como se m uestra en la figura 7-23e. Los manuales de diseño a menudo dan la po sición de este punto para una amplia variedad de vigas con secciones trans versales de pared delgada que son de uso común en la práctica. Al efectuar este análisis, debe observarse que el centro de cortante siem pre quedará en un eje de simetría de la sección transversal del miembro. Por ejemplo, si la canal en la figura 7-23« se gira 90° y P se aplica en A . fi gura 7-24«, no habrá torsión puesto que el flujo cortante en el alma y en los patines es simétrico en este caso, y por consiguiente las fuerzas resul tantes en estos elementos no generarán mom ento con respecto a A , figu ra 7-246. Es claro que si un miembro tiene una sección transversal con dos ejes de simetría, como en el caso de una viga de patín ancho, el centro de cortante coincidirá entonces con la intersección de estos dos ejes (cen troide).
Demostración de cómo una viga en voladi zo se dcflexiona cuando se carga a través del centroide (arriba) y a través del centro de cor tante (abajo).
P
(b) Fig. 7-24
408 • CAPÍTULO 7 Esfuerzo cortante transversal
PUNTOS IMPORTANTES • E l centro de cortante es el punto a través del cual una fuerza pue de aplicarse y generar flexió n en una viga sin que se tuerza. • E l centro de cortante se encuentra siempre sobre un eje de sim e tría de la sección transversal. • L a posición del centro de cortante es sólo una función de la geo m etría de la sección transversal y no depende de la carga ap li cada.
PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS L a posición del centro de cortante para un miem bro de pared delga da para el cual el cortante interno está en la misma dirección que un eje centroidal principal de la sección transversal puede ser determ i nada usando el siguiente procedim iento.
Resultantes del flu jo de cortante. • Determ ine la dirección de los “ flujos” de cortante a través de los diversos segmentos de la sección transversal e indique las fuerzas resultantes en cada segmento de ésta. (V ea la figura 7-23c.) Como el centro de cortante se determina considerando los momentos de estas fuerzas resultantes respecto a un punto ( A ) , escoja este pun to en un lugar que elimine los momentos de tantas fuerzas resul tantes como sea posible. • La s magnitudes de las fuerzas resultantes que generan un momen to respecto a A deben entonces calcularse. Para cualquier seg mento, esto se hace determinando el flujo de cortante q en un punto arbitrario del mismo y luego integrando q a lo largo de su longitud. R ecuerde que V genera una variación lineal del flujo de cortante en segmentos perpendiculares a V y una variación pa ra bólica en segmentos paralelos o inclinados con relación a V.
Centro de cortante. • Sume los momentos de las resultantes del flujo cortante respec to al punto A e iguale este momento al momento de V respecto a A . Resolviendo esta ecuación se puede determ inar la distancia e del brazo de palanca, que localiza la línea de acción de V res pecto a A . • Si la sección transversal tiene un eje de sim etría, el centro de cor tante queda en el punto donde este eje interseca la línea de ac ción de V. Sin embargo, si no se tienen ejes de sim etría, gire la sección 90° y repita el proceso para obtener otra línea de acción para V. E l centro de cortante queda entonces en el punto de in tersección de las dos líneas a 90°.
Sección 7.6
Centro de cortante
• 409
E J E M P L O L a canal mostrada en la figura 7-23a está sometida a una fuerza cor tante de 20 kN. Determ ine el flujo de cortante en los puntos B, C y D y trace la distribución del flujo cortante en la sección transversal. Calcu le también la fuerza resultante en cada región de la sección transver sal.
0.01 m ----------------- 0.4 m -------------------
(a)
'a ü
u
V —11--
0.08 m
S o lu c ió n
Localizarem os prim ero el eje neutro y determinaremos el momento de inercia de la sección transversal. Para esto, la sección transversal será subdividida en tres rectángulos, figura 7-23b. U sando unidades m étri cas, la posición del eje neutro, medida desde la parte superior, es: _ _ ^
Iy A ZA
_
(b)
[Q.005 m1(0.4 m )(0.01 m ) + 2 [[0.05 m1(0.08 m )(0.01 m)1 _ „ 0.4 m(0.01 m ) + 2(0.08 m)(0.01 m)
m
E l momento de inercia respecto al eje neutro es entonces: / =
•^■(0.4 m )( 0.01 in )3
(0.4 m )(0.01 m )(0.01786 m - 0.005 m )2
+ 2 i( 0 .0 1 m ) ( 0 .0 8 m ) 3 + (0.08m )(0.01 m)(0.05 m - 0.001786 m )2 = 3.20(10-6) m 4 Como A ' = 0 para el punto B , figura 7-23a, entonces Q B = 0, y por tanto: qB = 0 Resp. 0.01786 m - 0.005 m = 0.01286 m
Para determ inar el flujo cortante en C , que está localizado sobre la línea central del lado corto de la canal, usamos el área con sombra os cura mostrada en la figura 7-23c. Entonces, N-
Q c = y'cA c = [0-085 m /2 - 0.01286 m](0.085 m )( 0.01 m)
1 ti T
= 25.19(10-6) m 3
por lo que
0.085 m
(c) Fig. 7-23
Continúa
410 • CAPÍTULO 7 Esfuerzo cortante transversal
0.2 m
D
157 kN/m 163 kN/m A
0.01786 m
" E r ',
tr (d)
fe)
Para el punto D , consideraremos el área A ' con sombra oscura en la figura 7-23d como la suma de dos rectángulos. Para calcular Q D, asig namos un valo r negativo a y' del rectángulo vertical, ya que su centroi de está por debajo del eje neutro y asignamos un valor p o sitivo a y ' del otro rectángulo, ya que la y ' de su centroide está por arriba de este eje. A s í,
= 17VI' = - [0 .0 9
Qb N-
A
t
m /2 - 0.01786 m ](0.09 m )( 0.01 m )
= + [0.01786 m - 0.005 m ](0.19 m )(0.01 m ) = 0
Por tanto,
0.07214m
£>-
(0
YQ I
d
20 k N (0 ) _ 3.20(10~ 6)m 4
E n la figura 7-23e se muestra el flujo de cortante en toda la sección transversal, de acuerdo con la dirección de V . Com o dijim os antes, la intensidad de q varía linealm ente a lo largo del segmento horizontal y luego varía parabólicam ente a lo largo del segmento vertical. E l flujo de cortante m áxim o se presenta al nivel del eje neutro y puede deter m inarse usando el área con sombra oscura mostrada en la figura 7-23/
Q = y ' A ' = [ ° n7?014 m V0.07214 m )(0.01 m ) = 2 6.02(10“ °) m 3 Por consiguiente, VQ _ 9máx
/
20 kN (23.02)(10~6) m3) = 163 kN /m 3.20(10 b) m 4
Por equilibrio de la sección transversal, la fuerza en cada segmento vertical debe ser: 15.4 kN
15.4 kN
F„ = y 10 kN
i
lil
(g)
= 10 kN
Resp.
10 kN
que es equivalente al área bajo la distribución parabólica de q. L a s fuer zas en cada segmento horizontal pueden determinarse por integración, o de manera más directa, encontrando el área bajo la distribución trian gular de q , figura 7-23e. Tenemos: F h = ^-(0.195 m)(157 kN /m ) = 15.4 kN Estos resultados se muestran en la figura 7-23g.
Resp.
Sección 7.6
E J E M P L O
E
Centro de cortante
l
D eterm ine la posición del centro de cortante para la sección en canal de pared delgada con las dimensiones mostradas en la figura l-25a. b— b — -|
p
Th
máx)alma
- L n l
Distribución del flujo cortante
(b)
(a) S o lu c ió n
R esu ltan tes d el f lu jo de cortante. U n a fuerza cortante V vertical ha cia abajo aplicada a la sección ocasiona que el cortante fluya a través de los patines y alma según se muestra en la figura 7-256. E sto genera fuerzas resultantes F f y V en los patines y alma como se muestra en la figura 7-25c. Tom arem os momentos respecto al punto A de modo que sólo tenga que determ inarse la fuerza /y e n el patín inferior. E l área de la sección transversal puede subdividirse en tres rectán gulos com ponentes: un alm a y dos patines. Com o se supone que las componentes son delgadas, el momento de inercia del área respecto al eje neutro es:
th2 í h
bt
2 \6
1 _ A ,______ F
(c)
+ b
D e la figura l-2 5 d , q en la posición arb itraria x es: VQ
V (h /2 )[ b - x]t
V{b - x)
I
(th 2/ 2 )[(h / 6 ) + b]
h [{h / 6 ) + b)
Por consiguiente, la fuerza /y es: Ff =
| qdx =
V h [ ( h / 6 ) + 6 ],
íb ( b - x )d x =
Vb2
N-
2 h [ (h /6 ) + b }
Este mismo resultado puede también obtenerse encontrando primero (<7máx)/>figura 7-256, y luego determinando el área triangular (qmix)f
= Ff’ C entro de cortante. 7-25 c, requerim os:
Sumando momentos respecto al punto A , figura
Ar—|í*^j (d)
Fig. 7-25
V b 2h V e = F rh = f 2 h [(h /6 ) + 6 ] Entonces, e =
Resp. [(6 /3 ) + 26]
De acuerdo con lo antes expuesto, e depende sólo de las dimensio nes de la sección transversal.
• 411
412 • CAPÍTULO 7 Esfuerzo cortante transversal
E J E M P L O
7.10 D eterm ine la posición del centro de cortante para el ángulo de lados iguales, figura 7-26a. Calcule también la fuerza cortante interna resul tante en cada lado.
Distribución del flujo cortante (b)
(c) Fig. 7-26 S o lu c ió n
Cuando se aplica una fuerza cortante V vertical hacia abajo, el flujo de cortante y las resultantes del flu jo cortante están dirigidas como se muestra en las figuras 7-26b y 7-26c, respectivamente. A d vie rta que las fuerzas F en cada lado deben ser iguales puesto que por equilibrio la suma de sus componentes horizontales debe ser igual a cero. Adem ás, las líneas de acción de ambas fuerzas intersecan el punto O ; por lo tan to, este punto debe ser el centro de cortante, ya que la suma de los mo mentos de esas fuerzas y de V respecto a O es cero, figura 7-26c. L a magnitud de F puede determ inarse encontrando prim ero el flu jo de cortante en una posición 5 arbitraria a lo largo del lado superior, figura 7-26d. E n este caso,
Sección 7.6
E l momento de inercia del ángulo respecto al eje neutro debe obte nerse a partir de “ principios básicos” , ya que los lados están inclinados respecto al eje neutro. Para el elemento de área dA = t ds, figura 7-26e, tenemos:
f
I = | y 1dA = 2
rb
( b - s)
3
- V2 E l flujo cortante es entonces: VO
V
k M ) 5'
(tb 3/ 3) - V 2
L a variació n de q es parabólica y alcanza un va lo r m áxim o cuan do s = b como se muestra en la figura 7-26b. L a fuerza F e s por consi guiente:
q ds =
3V
í* ( k
s '\
V 2 ¿3 (h V 2¿>3 [ b 2
1 ,3 6S Resp.
Este resultado puede verificarse fácilm ente, puesto que la suma de las componentes verticales de la fuerza F en cada lado debe ser igual a V y, de acuerdo con lo antes expuesto, la suma de las componentes horizontales debe ser igual a cero.
Centro de cortante
• 413
414 • CAPÍTULO 7 Esfuerzo cortante transversal
PROBLEMAS *7-56. La viga H está som etida a una fuerza cortante V = 80 kN. D eterm ine el flujo de cortante en el punto A. 7-57. La viga H está sometida a una fuerza cortante V = 80 kN. Esboce la distribución del esfuerzo cortante que ac túa a lo largo de uno de sus segmentos laterales. Indique todos los valores pico.
*7-60. La viga está sometida a una fuerza cortante verti cal V = 7 klb. Determine el flujo cortante en los puntos A y B y el flujo cortante máximo en la sección transversal.
0.5 pulg
Prob. 7-60 P ro b s. 7-56/57
7-58. La canal está som etida a una fuerza co rta n te V - 75 kN. D eterm ine el flujo cortante desarrollado en el punto A . 7-59. La canal está som etida a una fuerza co rtan te V = 75 kN. D eterm ine el flujo cortante m áxim o en la canal.
7-61. El puntal de aluminio tiene 10 mm de espesor y tiene la sección transversal mostrada en la figura. Si está sometido a una fuerza cortante V = 150 N, determ ine el flujo cortante en los puntos A y B. 7-62. El puntal de aluminio tiene 10 mm de espesor y tiene la sección transversal mostrada en la figura. Si está sometido a una fuerza cortante V = 150 N, determ ine el flujo cortante máximo en el puntal.
mm
10
10 H r ------ + r * h 4 0 i 30 mm \ 10 mm
Probs. 7-58/59
n
m
J
10 mm
Probs. 7-61/62
* | 30 mm
P ro b le m as
7-63. La trabe en caja está sometida a una fuerza cortan te V = 15 kN. D eterm ine (a) el flujo corlante desarrolla do en el punto B y (b) el flujo cortante máximo en el alma A B de la trabe.
•
415
7-66. La viga reforzada está construida con placas con espesor de 0.25 pulg. Si está sometida a una fuerza cortan te V = 8 klb. determ ine la distribución del flujo cortante en los segmentos A B y CD de la viga. ¿Cuál es la fuerza cortante resultante soportada por esos segmentos? Tam bién, esboce cómo se distribuye el flujo cortante en la sec ción transversal. Las dimensiones verticales están referi das a la línea central de cada segmento horizontal.
nini
mm
P rob. 7-63
Prob. 7-66
*7-64. La viga está sometida a una fuerza corlante V = 5 klb. D eterm ine el flujo cortante en los puntos A y B. 7-65. La viga está formada por cuatro placas y está so metida a una fuerza cortante V = 5 klb. D eterm ine el flu jo cortante máximo en la sección transversal.
Probs. 7-64/65
7-67. Determ ine la variación del esfuerzo cortante sobre la sección transversal del tubo de pared delgada en fun ción de la elevación y y dem uestre que rmás = 2 V /A , don de A = 2rrrt. Sugerencia: escoja un elemento diferencial de área d A = R td d .C on dQ = y dA , exprese Q para una sec ción circular de 0 a (ir - 0) y dem uestre que Q = 2R 2t eos 0. donde eos 0 = \ / ( R 2 - y 2)]/2/R.
Prob. 7-67
416 • CAPÍTULO 7 Esfuerzo cortante transversal
*7-68. D eterm ine la localización e del centro de corlan te, punto O, para el miembro de pared delgada que tiene la sección transversal mostrada, donde ¿>2 > b\. Los seg mentos del miembro tienen todos el mismo espesor r.
I—e—\
P ro b . 7-70
7-71. Determine la posición e del centro de cortante, pun to O, para el miembro de pared delgada que tiene la sec ción transversal mostrada.Todos los segmentos del miem bro tienen el mismo espesor t. P ro b . 7-68
7-69. Determine la posición e del centro de cortante, pun to O , para el miembro de pared delgada que tiene la sec ción transversal mostrada. Todos los segmentos del miem bro tienen el mismo espesor t.
Tih 1 Piob. 7-71
|— 1.80 p u lg —*j
T 1 pulg
■f
1 pulg
h<
1 pulg
*7-72. D eterm ine la posición e del centro de cortante, punto O, para el miembro de pared delgada que tiene la sección transversal mostrada, donde b2 > b ¡.Todos los seg mentos del miembro tienen el mismo espesor t.
+ 1 pulg
P ro b . 7-69
7-70. Determine la posición e del centro de cortante, pun to O, para el miembro de pared delgada que tiene la sec ción transversal mostrada. Todos los segmentos del miem bro tienen el mismo espesor t.
Prob. 7-72
P r o b le m a s
7-73. Determine la posición e del centro de cortante, pun to O. para el miembro de pared delgada que tiene la sec ción transversal mostrada. Todos los segmentos del miem bro tienen el mismo espesor t.
•
417
j—100 m m -j
100 mm
100 mm
P ro b . 7-75
T d_ 9 •O *7-76. D eterm ine la posición e del centro de cortante, punto O, para el miembro de pared delgada que tiene la sección transversal m ostrada. Todos los segm entos del miembro tienen el mismo espesor t.
P ro b . 7-73
7-74. Determine la posición e del centro de cortante, pun to O, para el miembro de pared delgada que tiene la sec ción transversal mostrada. Todos los segmentos del miem bro tienen el mismo espesor /. P ro b . 7-76
7-77. Determine la posición e del centro de cortante, pun to O. para el miembro de pared delgada que tiene la sec ción transversal mostrada.
7-75. Determine la posición e del centro de cortante, pun to O. para el miembro de pared delgada que tiene una ra nura a lo ancho de uno de sus lados.
Prob. 7-77
418 • CAPÍTULO 7 Esfuerzo cortante transversal
7-78. Si el ángulo tiene un espesor de 3 mm, una altura h = 100 mm y está som etido a una fuerza cortante V = 50 N, determ ine el flujo de cortante en el punto A y el flu jo cortante máximo en el ángulo.
7-82. Determine la posición e del centro de cortante, pun to O , para el miembro de pared delgada que tiene la sec ción transversal mostrada.
7-79. El ángulo está som etido a una fuerza cortante V = 2 klb. Esboce la distribución del flujo cortante a lo largo del lado A B . Indique los valores numéricos de cada pico. El espesor es de 0.25 pulg y los lados (A B ) son de 5 pulg.
P ro b s. 7-78/79
P ro b . 7-82
*7-80. D eterm ine la posición e en que debe colocarse la fuerza P para que la viga se flexione hacia abajo sin tor cerse. Considere h = 200 mm. 7-81. Se aplica una fuerza P al alma de la viga, como se muestra. Si e = 250 mm, determ ine la altura h del patín derecho de manera que la viga se deflexione hacia abajo sin torcerse. Los segmentos del miembro tienen el mismo espesor t.
7-83. Determine la posición e del centro de cortante, punto O. para el miembro de pared delgada que tiene la sección transversal mostrada. El espesor es t.
300 mm
Probs. 7-80/81
Prob. 7-83
REPASO DEL CAPÍTULO • E l esfuerzo cortante transversal en vigas se determina indirectamen te usando la fórmula de la flexión y la relación entre el momento y la fuerza cortante ( V = d M /d x ). E l resultado es la fórm ula del cortante r = V Q /lt. E n particular, el valo r de Q es el momento del área A ' respecto al eje neutro. E sta área es la porción del área transversal que está “ unida" a la viga arriba del espesor t donde t va a ser determinado. • Si la viga tiene una sección transversal rectangular, entonces la distribución del esfuerzo cortante será parabólica y se obtiene un valor máxim o al nivel del eje neutro. • Se usan conectores, pegamentos o soldaduras para conectar las partes de una sección “ com puesta” . L a resistencia de esos suje tadores se determ ina a partir del flujo de cortante, o fuerza por unidad de longitud, que debe ser soportada por la viga. Tal fuer za unitaria es q = V Q / I. • Si la viga tiene una sección transversal de pared delgada, enton ces el flujo de cortante en la sección puede determ inarse usando q = V Q /I- E l flujo de cortante varía linealm ente a lo largo de seg mentos horizontales y parabólicam ente a lo largo de segmentos inclinados o verticales. • Si la distribución del esfuerzo cortante en cada elemento de una sección de pared delgada se conoce, entonces, estableciendo el equilibrio de momentos, la localización del centro de cortante pa ra la sección transversal puede ser determ inada. Cuando se apli ca una carga al miem bro a través de este punto, el miembro se flexionará pero no se torcerá.
420 • CAPÍTULO 7 Esfuerzo cortante transversal
PROBLEMAS
DE
REPASO
*7-84. D eterm ine la posición e del centro de cortante, punto O, para la viga que tiene la sección transversal mos trada. El espesor es t.
7-87. La viga está hecha con cuatro tablones clavados en tre sí, como se muestra. Si cada clavo puede soportar una fuerza cortante de 100 Ib. determ ine las separaciones re queridas s' y s entre los clavos cuando la viga está som eti da a una fuerza cortante V = 700 Ib. *7-88. La viga está hecha de cuatro tablones clavados en tre sí, como se muestra. Si la viga está sometida a una fuer za cortante V = 1200 Ib, determ ine la fuerza cortante en cada clavo. La separación en los lados es s = 3 pulg y en la parte superior, s' = 4.5 pulg.
Prob. 7-84
7-85. D eterm ine el esfuerzo cortante en los puntos B y C sobre el alma de la viga, en la sección a-a. 7-86. Determine el esfuerzo cortante máximo que actúa en la sección a-a de la viga. 7-89. La viga se compone de tres placas delgadas solda das como se muestra. Si se somete a una fuerza cortante V = 48 kN, determine el flujo cortante en los puntos A y B. Además, calcule el esfuerzo cortante máximo en la viga. 8000 Ib 150 lb/pie a Ç
'
> \3 n ¥)
B
a
1.5 pies 1.5 pies
4 < 7 !í
0-75 pulg
1 _ L _ U
C6 pulg 0.5 pulg-
~n 4 pulg Probs. 7-85/86
0.75 pulg Prob. 7-89
P ro b le m as de repaso
7-90. La viga está som etida a una fuerza cortante V = 25 kN. D eterm ine el esfuerzo cortante en los puntos A y B y calcule el esfuerzo cortante máximo en la viga. Se tiene una pequeña abertura en C.
•
421
*7-92. D eterm ine la posición e del centro de cortante, punto O, para el miembro de pared delgada que tiene la sección transversal mostrada.
P ro b . 7-90
7-91. La viga está som etida a una fuerza cortante V — 25 kN. D eterm ine el esfuerzo cortante en los puntos A y B y calcule el esfuerzo cortante máximo en la viga. Supon ga cerrada la abertura en C de manera que la placa cen tral quede unida a la placa superior.
7-93. La viga T está som etida a una fuerza co rtan te V = 150 kN. Determ ine la porción de esta fuerza que es soportada por el alma B.
Prob. 7-91
Prob. 7-93
La columna excéntrica que soporta este letrero está sometida a las cargas combinadas de fuerza normal, fuerza cortante, momentos flexionante y torsionante.
capitulo
Cargas combinadas
Este capítulo sirve como repaso del análisis de esfuerzos expuesto en las capítulos previos con respecto a carga axial, torsión, flexión y cortante. Veremos la solución de problemas donde varias de esas cargas internas se presentan simultáneamente sobré la sección transversal de un miembro. Sin embargo, antes de eso. el capítu lo comienza con el análisis del esfuerzo originado en recipientes a presión de pa red delgada.
8.1
Recipientes de presión de pared delgada Los recipientes cilindricos o esféricos que sirven como calderas o tanques son de uso común en la industria. Cuando se someten a presión, el material del que están hechos soporta una carga desde todas las direcciones. Si bien éste es el caso que estudiaremos aquí, el recipiente puede ser analizado de manera simple siempre que tenga una pared delgada. En general, "pa red delgada " se refiere a un recipiente con una relación de radio interior a espesor de pared de 10 o más (r/t > 10). Específicamente, cuando r/t = 10. los resultados de un análisis de pared delgada predicen un esfuerzo que es casi 4% menor que el esfuerzo máximo real en el recipiente. Para ra zones r/t mayores, este error será aún menor. Cuando la pared del recipiente es "delgada", la distribución del esfuer zo a través de su espesor t no variará de manera significativa. V por tanto se supondrá que es uniforme o comíante. Con esta suposición, se analizará ahora el estado de esfuerzo en recipientes de presión cilindricos y esféri cos de pared delgada. En ambos casos se entiende que la presión dentro del recipiente es la presión ntanométrica, ya que mide la presión por en cima de la presión atmosférica, la que se supone existe tanto en el inte rior como en el exterior de la pared del recipiente.
424 • CAPÍTULO 8 Cargas combinadas
Recipientes cilindricos.
(a)
Considere que el recipienie cilindrico tiene un espesor de pared / y un radio interior r como se muestra en la figura 8-l<7. D e n tro del recipiente, a causa de un gas o fluido de peso insignifican te, se desarrolla una presión manom ètrica p . D ebido a la uniform idad de esta carga, un elem ento del recipiente suficientem ente alejado del extre mo y orientado como se m uestra, está sometido a los esfuerzos normales (t j en la d ire cció n a n u la r o circu n feren cia l y cr2 en la dirección lon gitu d in a l o a xia l. E s ta s dos componentes de esfuerzo ejercen tensión sobre el m aterial. Q uerem os determ inar la magnitud de cada una de esas com ponentes en térm inos de la geometría del recipiente y de la presión inter na. P ara hacer esto, usamos el método de las secciones y aplicam os las ecuaciones de eq u ilib rio de fuerzas. Para el esfuerzo anular, considere que el recipiente es seccionado por los planos a ,b y c. E n la figura 8 -l/> se muestra un diagrama de cuerpo li bre del segmento posterior junto con el gas o fluido que contiene. E n es ta figura se m uestran sólo las cargas en la dirección x . Estas cargas se de sarrollan por el esfuerzo circunferencial uniform e trj, que actúa a través de la pared del recipiente y la presión que actúa sobre la cara vertical del gas o fluido seccionado. Para el equilibrio en la dirección x se requiere: 1 ^ = 0:
2[
( 8 - 1)
Para obtener el esfuerzo longitudinal ¿^.consideraremos la porción iz quierda de la sección b del cilindro, figura 8 -la . Com o se muestra en la f i gura 8 -lc.
<72( 27rrt) - p(7rr2) - 0 02 =
EL 2l
( 8 -2 )
E n las ecuaciones anteriores. = esfuerzo norm al en las direcciones circunferencial y longitudi nal. respectivam ente. Se supone que son constantes a través de la pared del cilindro y que someten el m aterial a tensión p = presión m anom etrica interna desarrollada por el gas o fluido contenido
r = radio in te rio r del cilindro
Fig.8.1
t = espesor de la pared (r/t ^ 10 )
Sección 8.1
Recipientes de presión de pared delgada
• 425
Com parando las ecuaciones 8-1 y 8-2, se ve que el esfuerzo circunferen cial o anular es dos veces más grande que el esfuerzo longitudinal o axial. E n consecuencia, cuando se fabrican recipientes de presión con placas lam i nadas, las juntas longitudinales deben diseñarse para soportar dos veces más esfuerzo que las juntas circunferenciales.
Recipientes esféricos. Podemos an aliza r un recipiente esférico a pre sión de m anera sim ilar. Por ejemplo, considere que el recipiente tiene un espesor de pared /, un radio interno r y que va a estar sometido a una pre sión ¡) m anomètrica interna, figura 8-2«. Si el recipiente se divide en dos usando la sección « .e l diagram a de cuerpo libre resultante se muestra en la figura 8-2b. A l igual que el cilindro, el eq uilib rio en la dirección y re quiere: 1 F V = 0;
Se muestra el barril de una escopeta que se atoró con basura ¡intes de ser disparada. La presión del gas de la carga increm entó el es fuerzo circunferencial del barril lo que cau só la ruptura del mismo.
02(27377) - /?(7!T2) = O (T-> = EL 2f
(8-3)
Por com paración, éste es el m ism o resultado que el obtenido para el es fuerzo longitudinal en el recipiente cilin d rico . Adem ás, de acuerdo con el análisis, este esfuerzo será el mismo sea cu á l sea la orientación del diagra ma de cuerpo libre hem isférico. E n consecuencia, un elemento de mate ria l está sometido al estado de esfuerzo m ostrado en la figura 8-2a. E l análisis anterior indica que un elem ento de m aterial tomado del re ci piente de presión cilindrico o del esférico queda sometido a esfuerzo b ia x ia l. esto es. a un esfuerzo normal que exis.te en sólo dos direcciones. De hecho, el m aterial del recipiente también está sometido a un esfuerzo ra d ia l. (Tj, que actúa a lo largo de una línea radial. Este esfuerzo tiene un valo r m áxim o igual a la presión p en la pared in terio r y decrece a través de la pared hasta un valo r cero en la superficie exterior del recipiente, ya que ah í la presión manom etrica es cero. S in embargo, para recipientes de pared delgada despreciarem os la com ponente radial del esfuerzo, puesto que la suposición lim itante, r/t = 10 . da por resultado que o 2 y &\ sean, res pectivamente. 5 y 10 veces m ayores q u z el esfuerzo radial m áxim o, (
(a)
426 • CAPÍTULO 8 Cargas combinadas
E J E M P L O U n recipiente a presión cilind rico tiene un diám etro interio r de 4 pies y un espesor de i pulg. D eterm ine la presión interna máxim a que pue de soportar sin que sus componentes de esfuerzo circunferencial y lon gitudinal resulten mayores de 20 klb/pulg2. B a jo las mismas condicio nes, ¿cu ál es la presión interna m áxim a que un recipiente esférico del mismo tam año puede soportar?
Solución R e cip ie n te c ilin d ric o a presión . E l esfuerzo m áxim o se presenta en la dirección circunferencial. D e la ecuación 8-1. tenemos:
pr
o-, = — t
™ > /K24 Pu,g) 20 klb/pulg~ = — 7— ----¿pulg
p - 417 lb/pulg 2
Resp.
A d v ie rt a que cuando se alcanza esta p resió n, de acuerdo con la ecuación 8 -2 . el esfuerzo en la dirección longitudinal será a 2 = 1(2 0 klb /pulg2) = 10 klb/pulg2. Adem ás, el esfuerzo m áxim o en la dirección ra d ia l o curre sobre el m aterial en la pared in te rio r del recipiente y es (tfjOmáx = P = 417 lb/pulg2. E ste valo r es 4S veces más pequeño que el esfuerzo circunferencial (20 klb/pulg2) y. como se dijo antes, sus efec tos serán despreciados.
R e cip ie n te esférico. E l esfuerzo máxim o se presenta aquí en dos d i recciones perpendiculares cualesquiera sobre un elemento del recipien te. figura 8-2a. D e la ecuación 8-3. tenemos:
p = 833 lb/pulg 2
Resp.
Si bien es más difícil de fabricar, el recipiente a presión esférico re siste el doble de presión interna que un recipiente cilindrico.
PR081EMAS
•
427
PROBLEMAS 8-1. Un tanque esférico para gas tiene un radio interno r = 1.5 m. D etermine su espesor requerido al estar some tido a una presión interna p = 300 kPa. si el esfuerzo nor mal máximo no debe exceder de 12 MPa. 8-2. Un tanque esférico a presión va a fabricarse de ace ro con 0.5 pulg de espesor. Si va a estar som etido a una pre sión interna p = 200 lb/puJg2, determ ine su radio exterior para que el esfuerzo normal máximo no exceda de 15 klb/ pulg2. 8-3. El tanque de una com presora de aire está sometido a una presión interna de 90 Ib/pulg2. Si el diám etro interno del tanque es de 22 pulg y el espesor de su pared es de 0.25 pulg. determ ine las com ponentes del esfuerzo que actúan en un punto y muestre los resultados sobre el elemento. *8-4. El cilindro de pared delgada puede ser soportado de dos m aneras diferentes, tal como se m uestra. Determine el estado de esfuerzo en la pared del cilindro en ambos casos si el émbolo P genera una presión interna de 65 lb/pulg2. La pared tiene un espesor de 0.25 pulg y el diám etro interior del cilindro es de 8 pulg.
8 -6 .
La tubería de extremos abiertos de cloruro polivi nilico tiene un diám etro interior de 4 pulg y espesor de 0.2 pulg. D etermine el estado de esfuerzo en las paredes del tubo cuando fluye en él agua con una presión de 60 Ib /pulg2.
8-7. Si el flujo de agua en la tubería del problem a 8-6 se detiene debido al cierre de una válvula, determ ine el es tado de esfuerzo en las paredes del tubo. Desprecie el peso del agua. Suponga que los soportes sólo ejercen fuerzas verticales sobre la tubería.
Ih
D
’B f
'I
Probs. 8-6/7
*8 -8 . La banda de acero A-36 de 2 pulg de ancho está fi ja alrededor del cilindro rígido liso. Si los pernos están apretados con una tensión de 400 Ib. determine el esfuerzo normal en la banda, la presión ejercida sobre el cilindro y la distancia que se alarga la mitad de la banda.
8-9. La tapa de un recipiente a presión se fabrica unien do con pegam ento la placa circular al extrem o del reci piente com o se muestra. Si en el recipiente se tiene una presión interna de 450 kPa. determine el esfuerzo cortante prom edio en el pegam ento y el estado de esfuerzo en la pared del recipiente.
f— 450 nun H IO inni 20 pies
Prob. 8-5
20 mm
Prob. 8-9
-
428 • CAPÍTULO 8 Cargas combinadas
8-10. U n cincho de acero A-36 tiene diám etro interior de 23.99 pulg. espesor de 0.25 pulg y ancho de 1 pulg. Si el cincho y el cilindro rígido de 24 pulg de diám etro tienen una tem peratura de 65° F. determine la tem peratura a la que el cincho debe calentarse para que deslice apenas sobre el cilindro. ¿Cuál es la presión que el cincho ejerce sobre el cilindro y el esfuerzo de tensión en el cincho cuando éste se enfría a su tem peratura original de 65° F?
Prob.
8-13. Para incrementar la resistencia del recipiente a pre sión se dispuso un em bobinado a base de filamentos del mismo material alrededor de la circunferencia del recipien te como se muestra. Si la pretensión en el filamento es T y el recipiente está som etido a una presión interna p. deter mine los esfuerzos circunferenciales en el filamento y en la pared del recipiente. Use el diagrama de cuerpo libre mos trado y suponga que el em bobinado de los filamentos tiene un espesor i' y ancho \v para toda longitud L del recipiente. 8-11. Las duelas o miembros verticales del barril de m a dera se mantienen unidas mediante aros semicirculares tic 0.5 pulg de espesor y 2 pulg de ancho. Determine el esfuerzo normal en el aro A B cuando el tanque se somete a una pre sión manomé trica interna de 2 Ib/pulg2)' esta carga se trans mite directamente a losaros. Asimismo,si se utilizan pernos de 0.25 pulg de diámetro para conectar los aros entre sí. d e term ine el esfuerzo de tensión en cada perno A y B. S u ponga que el aro A B soporta la carga de presión a lo largo de una longitud de 12 pulg del barril como se muestra. Prob. 8-13
Prob. 8-11
*8-12. Una caldera está construida con placas de acero de 8 mm de espesor unidas entre sí a tope en sus extrem os por medio de dos cubreplacas de S mm y remaches de 10 mm de diám etro espaciados a 50 mm como se muestra. Si la presión del vapor en la caldera es de 1.35 MPa, determ ine (a) el esfuerzo circunferencial en la placa de la caldera a un lado de la junta, (b) el esfuerzo circunferencial en la cubreplaca exterior a lo largo de la línea a-a de rem aches y (c) el esfuerzo cortante en los remaches.
8-14. Un recipiente a presión de extrem os cerrados se fabrica trenzando filamentos de fibra de vidrio sobre un mandril, de manera que el espesor i del recipiente está com puesto enteramente de filamento y de un pegamento epóxico como se muestra en la figura. Considere un segmento del recipiente de ancho w y trenzado a un ángulo 0. Si el reci piente está sometido a un« presión interna /¿.demuestre que la fuer/a en el segmento es Fs = (r0\vt, donde crn es el esfuer zo en los filamentos. Demuestre también que los esfuerzos en las direcciones circunferenciales y longitudinales son = 0 sen 20v oy =
Prob. 8-14
Se cció n 8 .2
8.2
Estado de esfuerzo causado por cargas combinadas • 4 2 9
Estado de esfuerzo causado por cargas com binadas
E n los capítulos anteriores desarrollam os métodos para determ inar las distribuciones del esfuerzo en un miembro sometido a carga axial inter na. a fuerza cortante, a momento flexionante o a momento torsionante. S in embargo, la sección transversal de un m iem bro suele estar sometida simultáneamente a varios de esos tipos de carga y, en consecuencia, el mé todo de superposición, si es aplicable, puede usarse para determ inar la dis tribución resultante del esfuerzo causado por las cargas. E n aplicaciones se determ ina prim ero la distribución del esfuerzo debido a cada carga y luego se superponen esas distribuciones p ara determ inar la distribución resultante del esfuerzo. Com o se estableció en la sección 4.3. el principio de superposición puede usarse para este fin siempre que exista una relación lineal entre el esfuerzo y las cargas. A dem ás, la geometría del miem bro no debe experim entar cam bios significativos cuando se aplican las cargas. E s to es necesario para garantizar que el esfuerzo generado por una carga no esté relacionado con el esfuerzo generado por cualq uier otra carga. E l análisis se confinará a los casos en que se cum plan esas dos hipótesis.
PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS E l siguiente procedim iento proporciona un medio general para de term inar las componentes norm al y cortante del esfuerzo en un pun to de un miem bro cuando éste está som etido a varios tipos diferen tes de cargas sim ultáneas Se supondrá que el m aterial es homogéneo y que se com porta de m anera elástico-lineal. E l principio de SaintVenant requiere que el punto donde va a determ inarse el esfuerzo es té alejado de cualquier discontinuidad en la sección transversal o de puntos de aplicación de carga. C argas internas. • Seccione el m iem bro perpendicularm ente a su eje en el punto en que el esfuerzo va a ser determinado y obtenga las componentes resultantes internas de fuerza norm al y cortante así como las com ponentes de momento flexionante y torsionante. • L a s componentes de fuerza deben pasar por el centroide de la sección transversal y las com ponentes de momento deben calcu larse respecto a ejes centroidales, que representen los ejes princi pales de inercia en la sección transversal. E sfu e rzo n o rm a l prom edio. • C alcu le la componente de esfuerzo asociada con cada carga in terna. E n cada caso, represente el efecto, ya sea como una d istri bución del esfuerzo actuando sobre toda el área de la sección transversal, o bien, m uestre el esfuerzo sobre un elem ento de m aterial localizado en un punto específico sobre la sección trans versal.
Esta chim enea estáí som etida a la carga com binada de viento y peso propio. Es im pór tam e investigar el csfucr/o de tensión en la chim enea ya que la m anipostería es débil en tensión.
430 • CAPÍTULO 8 Cargas combinadas
F u e rz a norm al. L a fu erza norm al interna es generada por una distribución uniforme del esfuerzo norm al determ inado por la ecuación a = P /A . F u e rz a cortante. L a fuerza cortante interna en un miem bro sometido a flexión es ge nerada por una distribución del esfuerzo cortante determ inado por la fórm ula del cortante r = V Q /lt. Sin embargo, debe tenerse un cui dado especial al aplicar esta ecuación, como se hizo ver en la sección 7.3. M o m en to fle xio n a n te . E n m iem bros rectos, el momento flexionante interno es generado por una distribución del esfuerzo norm al que varía linealm ente de cero en e l eje neutro a un m áxim o en la superficie exterior del m iem bro. L a distribución del esfuerzo es determinada por la fórm ula de la fle xión
Lo s problemas en esta sección, que im plican cargas combinadas, sirven como un repaso básico de la aplicación de muchas de las importantes ecua ciones de esfuerzo estudiadas antes. U n pleno entendim iento de cómo se aplican esas ecuaciones, tal como se indicó en los capítulos previos, es ne cesario para poder resolver con éxito los problemas al final de esta sec ción. L o s siguientes ejem plos deben estudiarse cuidadosamente antes de proceder a resolver los problemas.
Sección 8.2
Estado de esfuerzo causado por cargas combinadas • 431
Se aplica una fuerza de 150 Ib al borde del miembro mostrado en la fi gura 8-3«. Desprecie el peso del m iem bro y determ ine el estado de es fuerzo en los punios B y C. S o lu c ió n
C argas internas. E l miem bro se secciona por B y C . Por equilibrio en la sección se debe tener una fuerza a x ia l de 150 Ib actuando a tra vés del centroide y un momento flexionante de 750 Ib • pulg respecto al eje centroidal principal, figura 8-3b. Com ponentes de esfuerzo. Fu erza n o rm a l. L a distribución del esfuerzo norm al uniforme debi do a la fuerza norm al se muestra en la figura 8-3c. Por tanto, (a)
P
150 Ib
„ „
,
17 ~ ^4 ~ (10 pulg) (4 pulg) =
lb/pulg
M om ento fle x io n a n te . L a distribución del esfuerzo norm al uniforme debido al momento flexionante se m uestra en la figura 8-3d. E l esfuer zo m áxim o es Me
* máx = t
I
750 Ib • pulg (5 pulg)
=
t t t .—
n ^ iL )
2
r r r : — r r ? r = 1L25 ib/puig-
[ 12.(4 Pulg)(10 pulg)3]
S u p erp osición . Si las distribuciones de esfuerzo norm al anteriores se suman algebraicam ente, la distribución resultante del esfuerzo es co mo se muestra en la figura 8-3e. A unque no se requiere aquí, la posi ción de la línea de esfuerzo cero puede determ inarse por triángulos se mejantes, esto es. 7.5 lb/pulg 2
15 Ib/pulg 2
x
(10 p u l g - * )
Fig. 8-3
x = 3.33 pulg Lo s elementos del m aterial en B y C están sometidos sólo a esfuer zo norm al o uniaxial, como se muestra en las figuras 8-3/ y 8-3/?. Por tanto.
t c ú w m n m 'p v -------3.75 lb/pulg2 Fuerza normal (c)
m 15 lb/pulg b W 2 77.¿ib /p u tf
3 75 ih/pulg2
m (n
I pulg-.«) ((10 10 pulg —Af) Momento flexionante Id) (d)
Carga combinada (e)
1 c ® ¥ l51b/Pu1^ , v (í>
432 • CAPÍTULO 8 Cargas combinadas
E J E M P L O
í = 0.5 pulg
2-Tpulg
E l tanque en la figura 8-4a tiene un radio interio r de 24 pulg y un es pesor de 0.5 pulg. E stá lleno hasta el borde superior con agua de peso específico yw = 62.4 Ib /p ie' y está hecho de acero con peso específico yac = 490 Ib /pie3. D eterm ine el estado de esfuerzo en el punto A . E l tanque está abierto en su parte superior. Solución C a rg a s internas. E l diagrama de cuerpo libre de la sección del tan que y el agua arriba del punto A se muestra en la figura 8-4¿>. Observe que e l peso del agua es soportado por la superficie del agua justo aba jo de \a sección, no por la s paiedes del tanque. E n \a dirección verticaL las paredes sim plemente sostienen el peso del tanque. E ste peso es:
= y„clC = (490 Ib/pie’ )
(a)
P¡eS) ’ - W&
CS) '
(3 pies) =777.7 Ib
E l esfuerzo en la dirección circunferencial es desarrollado por la pre sión del agua en el nivel A . Para obtener esta presión debemos usar la ley d e Pascal que establece que la presión en un punto situado a una profundidad z en el agua es p = y wz . E n consecuencia, la presión sobre el tanque en el nivel A es: 3 pies
= (62.4 lb/pie?)(3 pies) = 187.2 lb/pie 2 = 1.30 lb/pulg 2
p= y*
C om ponentes de esfuerzo. E sfu e rz o circu n feren cia l. A p licando la ecuación 8-1 con el radio in te rio r r = 24 pulg, tenemos: pr 10.2 lb/pulg Ib
62.4 lb/pulg2
(c)
ai =
1.30 lb/pulg 2 (24 pulg) (0.5 pulg)
= 62.4 lb/pulg 2
Resp.
E sfu e rz o lo n g itu d in a l. Com o el peso del tanque es soportado unifor memente por las paredes, tenemos:
(T2 =
777.7 Ib A m.
7j-((24.5 pulg )2 - (24 pulg)2]
10.2 lb/pulg 2
Resp.
Fig. 8-4
N ote que la ecuación 8-2.
Sección 8.2
Estado de esfuerzo causado por cargas combinadas • 433
E J E M P L O E l miembro mostrado en la figura 8-5a tiene una sección transversal rectangular. Determ ine el estado de esfuerzo que la carga produce en el punto C .
C
A 250
Í_ L -•* — 50 mm
F í r . 8-5
Solución
Cargas internas. La s reacciones en los soportes sobre el miem bro ya se calcularon y se muestran en la figura 8-5b. S i se considera el segmen to A C izquierdo del miembro, figura 8-5t\ las cargas resultantes inter nas en el miem bro consisten en una fuerza norm al, una fuerza cortan te y un momento fiexionante. Resolviendo se obtiene N = 16.45 kN
V = 2\ .93 kN
M = 32.89 kN • m
Continúa
434 • CAPITULO 8 Cargas combinadas
a c = 63.15 MPa
v=o
a c = 1.32 MPa
y
HT
:
ti ~ r\ -__ . > M omento flcxionantc
Fuerza normal
<0
(e)
(d)
Fig. 8.5 (cont.)
Componentes de esfuerzo. Fu erza n o rm al. L a distribución uniform e del esfuerzo norm al que actúa sobre la sección transversal es producida por la fuerza norm al, figura 8-5 d. E n el punto C . P
16.45 kN
° C ~ ~ A ~ (0.050 m )(0 .25 0 m ) ~ Fu erza corta nte. E n este caso. A ' - ü. ya que el punto C está situado en la parte sup erio r del m iem bro. A s í. Q = y A ' = 0 y para C , figura 8-5e,el esfuerzo cortante T c= 0 M om ento fle x io n a n te . E l punto C está localizado en y = c = 125 mrn desde el eje neutro, por lo que el esfuerzo norm al en C . figura 8-5/, es: Me (32.89 k N - m )(0 .1 2 5 m ) crc = —T” = T í ---------------------- 7T~ = 63.15 M Pa l [¿ (0 .0 5 0 m )(0 .2 5 0 )3] Su p erpo sició n . E l esfuerzo cortante es cero. Sumando los esfuerzos normales determinados antes, se obtiene un esfuerzo de compresión en C que tiene un valo r de: a c = 1.32 M Pa + 63.15 M Pa = 64.5 M Pa
64.5 MPa
Resp.
Este resultado, que actúa sobre un elemento en C , se muestra en la fi gura 8-5g.
Sección 8.2
E J E M P L O
Estado de esfuerzo causado por cargas combinadas • 435
8.5
L a barra sólida mostrada en la figura 8 -6 « tiene un radio de 0.75 pulg. D eterm ine el estado de esfuerzo en el punto A al estar sometida a la carga mostrada.
Fír. 8-6
Solución
Cargas internas. L a barra se secciona por el punto A . U sando el dia grama de cuerpo libre del segmento A B . figura 8 -6 b. las cargas resul tantes internas se pueden determ inar a partir de las seis ecuaciones de equilibrio. Verifique esos resultados. L a fuerza normal (500 Ib) y la fuerza cortante (800 Ib) deben pasar por el centroide de la sección transver sal y las componentes del momento flexio nante (8000 Ib • pulg y 7000 Ib • pulg) están aplicadas respecto a ejes centroidales (p rincip ales). P a ra “ visualizar” m ejor las distribuciones de esfuerzo debido a cada una de esas cargas, considerarem os las resultantes iguales p e ro opuestas que actúan sobre el segmento A C de la b arra, figura 8 -6c. Continúa
436
• CAPÍTULO 8 Cargas combinadas
7000 lb-pulg) ,T
8000 lb-pulg)
^ J P v ° ° ,b |t2(X )|b pu|g) ' ^ ¿ 0 2 8 3 klb/pulg2 ^ j^ Q .604 klb/pulg2
8 0 ° Ib t
Carga combinada
Fuerza normal (5001b)
Fuerza cortante (8001b)
(d)
(e)
. 13 klb/pulg2
Momento flexionantc Momento flexionantc (8000 lb-pulg) (7000 lb-pulg)
(0
(g)
16.90 klb/pulg2
Momento torsionantc < 112 0 0 lb-pulg) (h)
Com ponentes (le esfuerzo. Fu e rz o norm al. L a distribución del esfuerzo norm al se muestra en la figura 8 -6d. Para el punto A tenemos: 0.604 U.OU klb/pulg' + 16.90 klb/pulg"
5001b P = 283 lb/pulg 2 = 0.283 klb/pulg 2 °‘a = T = A tt(0.75 pulg)
0.283 klb/pulg2 + 21.13 klb/pulg: , 17.5 klb/pulg'
Fu erza cortante. L a distribución del esfuerzo cortante se muestra en la figura 8-6. Para el punto A . Q se determina con el área sombreada semi circular. Usando la tabla en el forro interior de la cubierta tenemos:
21.4 klb/pulg2
(i)
4(0.75 pulg) c = y 'A' = J
Fig. 8-6 (cont.)
3
¿*■(0.75 pulg )2 = 0.2813 pulg 3
de m anera que
~A =
VQ
800 lb(0.2813 pulg3)
li
[jjr(0.7S pulg)‘*]2(0.75 pulg)
= 604 lb/pulg 2 = 0.604 klb/pulg 2
M om en to s fle x ió n antes. Para la componente de 8000 Ib • pulg, el pun to A se encuentra sobre el eje neutro, figura 8 -6/, por lo que el esfuer zo norm al es: trA - 0 Para e l momento de 7000 Ib • pulg, c = 0.75 pulg. por lo que el esfuer zo norm al en el punto A . figura 8 -6g .e s: M e _ 7000 Ib • pulg (0.75 pulg) (Ta =
[¿«■(0.75
pulg)4]
= 21 126 lb/pulg 2 = 21.13 klb/pulg 2
M o m en to torsionante. E n el punto A . pA = c = 0.75 pulg, figura 8-6h. E l esfuerzo cortante es entonces. - .i =
Te
J
11 200 Ib - p u lg (0.75 pulg) , . , = -------y~.------------ — ;— — = 16 901 lb/pulg 2 = 16.90 klb/pulg 2
[1,7(0.75 pulg)4]
S u p e rp o sic ió n . Cuando los resultados anteriores se superponen, se ve que un elemento de m aterial en A está sometido tanto a componen tes de esfuerzo normal como corlante, figura 8 -6/.
Sección 8.2
Estado de esfuerzo causado por cargas combinadas • 437
8.6
E J E M P L O
E l bloque rectangular de peso despreciable mostrado en la figura 8.7« está sometido a una fuerza vertical de 40 k N . aplicada en una de sus es quinas. Determ ine la distribución del esfuerzo norm al que actúa sobre una sección a través de ABCD. 40 kN
0.8 m
(a) Fig. 8-7
Solución C argas internas. Si consideramos el eq uilib rio del segmento inferior del bloque, figura 8-7b, se ve que la fuerza de 40 kN debe pasar por el centroide de la sección transversal y deben actuar también dos com ponentes de momento fiexionante respecto a los ejes centroidales prin cipales de inercia de la sección. V erifiq u e esos resultados. Com ponentes de esfuerzo. Fu e rz a n o rm a l. L a distribución unifo rm e del esfuerzo norm al se muestra en la figura 8-7c. Tenemos:
a
P A
40 kN (0 .8 m )(0 .4 m )
“3
M om en tos fle x io n a n te s . L a d istrib u ció n del esfuerzo norm al para el momento de 8 kN • m se muestra en la figura 8-7d. E l esfuerzo má xim o es: A4xCy 8 kN • m (0.2 m )
[ ¿ ( 0 .8 m ) ( 0 .4 m ) 3]
Continúa
438 • CAPÍTULO 8 Cargas combinadas
D e la m ism a m anera, para el momento de 16 kN • m. figura 8-7e. el esfuerzo norm al m áxim o es:
Mycx 16 kN • m (0.4 m )
Fuerza normal (40 kN) (c)
Momento flexioname ( 8 kN-m)
Momento flexionantc (lókN-m )
Carga combinada
(c)
(0
(d) Fij». 8-7 (conl.)
S u p erp o sició n . E l esfuerzo norm al en cada esquina puede determ i narse por adición algebraica. Suponiendo que el esfuerzo de tensión es positivo, tenemos: aA =
- 1 2 5 kP a + 375 kP a + 375 kPa = 625 kPa
crB =
- 1 2 5 kP a -
ere =
- 1 2 5 kPa - 375 kP a - 375 kPa = -8 7 5 kPa
aD =
- 1 2 5 kPa + 375 kP a - 375 kPa = - 1 2 5 kPa
375 kP a + 375 kPa = - 1 2 5 kPa
Com o las distribuciones de esfuerzo debido al momento flexionante son lineales, la distribución resultante del esfuerzo es también lineal y por lo tanto se ve como se muestra en la figura 8-7f L a línea de es fuerzo cero puede localizarse a lo largo de cada lado por triángulos se mejantes. D e acuerdo con la figura, se requiere: (0.4 m — e ) 625 kP a
c *
125 kPa
c = 0.0667 m
y ( 0 .8 m - h ) 625 k P a
¡i '
125 kPa
h = 0.133 m
Sección 8.2
Estado de esfuerzo causado por cargas combinadas • 439
E J E M P L O U n bloque rectangular tiene un peso despreciable y está sometido a una fuerza vertical P. figura 8-8«. (a ) D eterm in e el intervalo de valo res para la excentricidad c\. de la carga a lo largo del eje y de manera que no se presente ningún esfuerzo de tensión en el bloque, (b ) E sp e cifique la región sobre la sección transversal en que puede aplicarse P sin que se presente un esfuerzo de tensión en el bloque. Solución P a rle (a ). Cuando P se mueve al centroide de la sección transversal, figura 8-8b. es necesario agregar un momento concentrado M x = Pey para mantener una carga estáticam ente equivalente. E l esfuerzo nor mal combinado en cualquier posición y sobre la sección transversal, causado por esas dos cargas, es: _ p _
( Pey)y
A
/,
p ( ,
(a)
. A eyy'
E l signo negativo indica aquí un esfuerzo de com presión. Para una ey positiva, figura 8-8 «, el esfuerzo de com presión m ás pequeño se pre senta a lo largo del borde A B , donde y = - h f l . figura 8 -8¿>. (P o r ins pección. P genera compresión en tal lugar, pero Mv genera tensión.) Por tanto. P f
A e yh \
/ll
2lx )
E s te esfuerzo será negativo, es decir, de com presión, si el térm ino en paréntesis es positivo; esto es Fig. 8-8
l > A e yfl 2 ¡x Com o A = b h e I x = — b / r . entonces 6ev
!> t
ey < 6 ^
Resp.
E n otras palabras, si -~h ^ ey < | / i.e l esfuerzo en el bloque a lo largo de los bordes A B o C D será cero o de com presión. A esto se le llama a veces “regla d el tercio m edio ". E s m uy importante m antener esta re gla en mente al cargar columnas o arcos con secciones rectangulares y hechos de m aterial de piedra o concreto, que pueden soportar poco o ningún esfuerzo de tensión.
Continúa
440
• CAPÍTULO 8 Cargas combinadas
P arte (b) . Podemos extender el análisis anterior en dos direcciones suponiendo que P actúa en el cuadrante positivo del plano x-y , figura 8-Sc. L a carga estática equivalente cuando P actúa en el centroide se muestra en la figura &■$
C r~
P
P e yy
A
/,
P e xx ly
Por inspección, figura S-8d , ambos momentos generan esfuerzos de ten sión en el punto A y la fuerza normal genera un esfuerzo de compresión. Por consiguiente, el esfuerzo de compresión más pequeño se presenta en el punto A . para el cual .v = -/>/2 y y = - h / 2 . A s í,
CTa '
P (
A e yh
A e xb \
¿V
~2IX
2 1 ,)
Igual que antes, el esfuerzo normal permanece negativo o de compre sión en el punto A . si los térm inos en paréntesis permanecen positivos, esto es. / A e .Jí A e xb \
0<('-ir-üf) Sustituyendo A = bh , l x = ~2 b lr\ I v = ~ hb3, se obtiene:
E n consecuencia, independientemente de la magnitud de P, si ésta se aplica en cualq uier punto dentro de los lím ites de la línea G i l m ostra da en la figura 8-8e, el esfuerzo norm al en el punto A será de com pre sión. D e m anera sim ilar, el esfuerzo normal en las otras esquinas de la sección transversal será de compresión si P actúa dentro de los lím ites de las líneas E G , F E y H F . A l paralelogram o sombreado así definido se le llama núcleo central de la sección transversal. D e acuerdo con la "regla del íe rcio m edio" vista en la parte (a ), las diagonales del para lelogramo tienen longitudes de bí3 y ht3.
Se ve aquí un ejemplo de dónde un esfuer zo combinado, axial y de flexión, se puede presentar.
(c)
Fig. 8-8 (cont.)
Problem as
•
441
PROBLEMAS 8-15. El tom illo de la prensa ejerce una fuerza de com presión de 500 Ib sobre los bloques de madera. Determine el esfuerzo normal máximo desarrollado en la sección a-a. La sección transversal ahí es rectangular, de 0.75 pulg por 0.50 pulg.
8-19. La segueta tiene una hoja ajustable que se tensa con una fuerza de 40 N. Determ ine el estado de esfuerzo en los puntos A y B del marco.
"8-16. El tornillo de la prensa ejerce una fuerza de compre sión de 500 Ib sobre los bloques de madera. Esboce la dis tribución del esfuerzo en la sección a-a de la prensa. La sección transversal ahí es rectangular, de 0.75 por 0.50 pulg.
$ mi»
4 pulg
Probs. 8-15/16
8-17. La prensa está formada por los m iembros A B y A C conectados entre sí por un pasador en A . Si se ejerce una fuerza de compresión en C y B de 180 N. determ ine el es fuerzo máximo de compresión en la sección a-a de la prensa. El tornillo E F cstá sometido sólo a una fuerza de tensión a lo largo de su eje. 8-18. La prensa está formada por los m iembros A B y A C conectados entre sí por un pasador en A . Si se ejerce una fuerza de compresión en C y B de 180 N, esboce la distri bución del esfuerzo que actúa sobre la sección a-a. El to r nillo E F c siá som etido sólo a una fuer/a de tensión a lo largo de su eje.
T i15 m m i I-— A
15 mm
*8-20. El eslabón excéntrico soporta la carga P = 30 kN. Determino su ancho w requerido si el esfuerzo normal per misible es «/pero,= 73 MPa. El eslabón tiene un espesor de 40 mm. 8-21. El eslabón excéntrico tiene un ancho w = 200 mm y un espesor de 40 mm. Si el esfuerzo normal permisible es cTpem, = 75 MPa, determ ine la carga máxima P que pue de aplicarse a los cables.
P
180 N
180 N
Sección a- a
P Probs. 8-17/18
Probs. 8-20/21
442
• CAPÍTULO 8 Cargas combinadas
8-22. La junta está sometida a las fuerzas P = 80 Ib y F - 0 . Esboce la distribución del esfuerzo normal que actúa sobre la sección a-a si el miembro tiene una sección transversal rectangular de 2 pulg de ancho y 0.5 pulg de espesor. 8-23. La ju n ta está som etida a las fuerza P = 200 Ib y F = 150 Ib. D etermine el estado de esfuerzo en los puntos A y B y esboce los resultados sobre elementos diferencia les situados en esos puntos. El miembro tiene una sección transversal rectangular de 0.75 pulg de ancho y 0.5 pulg de espesor.
8-25. La fuerza vertical P actúa en el fondo de la placa que tiene un peso despreciable. D etennine la distancia más pequeña <1 al borde de la placa en que P puede aplicarse para que no se generen esfuerzos de compresión sobre la sección a-a de la placa. La placa tiene un espesor de 10 mm y P actúa a lo largo de la línea central de este espesor.
200 mm H
500 mm
2 pulg
1.25 pulg
Probs. 8-22/23
“8-24. La góndola y los pasajeros pesan 1500 Ib y su centro de gravedad está en G. E l brazo A E tiene una sección transversal cuadrada de 1.5 pulg por 1.5 pulg y está conec tada por pasadores en sus extremos A y E. D eterm ine el máximo esfuerzo de tensión generado en las regiones A B y D C del brazo.
8-26. La barra tiene un diám etro de 40 mm. D etermine las com ponentes de esfuerzo que actúan en el p u nto A cuando está sometida a la fuerza de 800 N, como se mues tra. Exponga los resultados sobre un elem ento de volumen localizado en esc punto. 8-27.
Resuelva el problema 8-26 para el punto B.
1.25 pies
Prob. 8-24
P robs. 8-26/27
Problemas
*8-28. El p o ste cilindrico, con d iám etro d e 40 m m , está siendo ja la d o del su elo usando una cu erda d e esp eso r d es preciable. Si la c u erd a está som etida a una fuer/.a vertical P = 500 N. determ ine el esfuerzo en los p u n to s A y B. M ues tre los resu ltad o s sobre un e lem en to de volum en situ ad o en cada uno de eso s puntos.
•
443
*8-32. El so p o rte d e p asad o r está h echo de un a b arra de acero que tiene un diám etro de 20 mm. D eterm ine las com p o n e n te s d e esfuerzo en los p u n to s A y B y rep resen te los resu ltad o s so b re un e le m e n to d e volum en localizado en cad a un o d e estos puntos. 8-33.
R esuelva el p ro b lem a 8-32 p ara los p u n to s C y D.
8-29. D eterm in e la carga m áxim a P q u e p u e d e aplicarse a la cuerd a, que tiene un esp eso r d esp reciab le, de m anera q u e el e sfu erzo n orm al en el poste n o ex ced a de a = 30 M Pa. El poste tiene un d iám etro d e 50 m m .
150 N
Probs. 8-32/33
Probs. 8-28/29
8-34. La viga de patín ancho está som etida a la carga m os trada. D eterm in e las com ponente« d e esfu erzo en los p u n to s A y B y m u estre los resu ltad o s sobre un elem en to de volum en en cada u n o de esos puntos. U se la fórm ula del co rta n te p ara calcular el esfuerzo cortante.
8-30. El ancla de ' pulg de d iám etro está so m e tid a a una carga F = 150 Ib. D eterm in e las c o m p o n e n te s d e esfuerzo en el pu n to A del vástago. M u estre los resu lta d o s so b re un elem en to d e volum en localizado en este p u nto. 8-31. El ancla d e j pulg de d iám etro está so m e tid a a una carga F = 150 Ib. D eterm in e las c o m p o n en tes d e esfuerzo en el p u n to B del vástago. M uestre los resul tad o s sobre un e lem en to d e volum en localizado en este p u nto.
Probs. 8-30/31
Prob. 8-34
444
.
CAPÍTULO 8 Cargas combinadas
8-35.
l,a viga en voladizo se usa p ara so p o rta r la carga de 8 kN. D eterm ine el estad o de esfuerzo en los p u n to s A y B y esboce los resu ltad o s so b re elem en to s diferen ciales lo calizados en cad a u no de estos puntos.
El reso rte está so m etid o a una fuerza P. Si s u p o n e m os que el esfuerzo co rta n te causado p o r la fuerza co rtan te en cu alq u ier sección vertical del alam b re d el resorte es uniform e, d e m u estre que el esfuerzo c o rta n te m áxim o en el reso rte es rniix = P/A + PRr/J, d o n d e J es el m o m ento p o la r d e in e rc ia d e l a la m b re del re s o rte y A es su áre a transversal.
8-37.
8 kN P r o b .8-35
P r o b .8-37
*8-36. La m énsula so p o rta una carga d istrib u id a ce n tra l m ente aplicada de 1.8 k lb /p ie. D eterm in e el e sta d o de e s fuerzo en los p u n to s A y B del m iem b ro CD e in d iq u e los resu ltad o s so b re un e lem e n to d e volum en lo calizad o en cada uno d e esos puntos. L os p asad o res e n C y D están si tuados al nivel del eje n e u tro d e la sección transversal.
8-38. La b arra m etálica está som etida a una fuerza axial P = 7 kN. Su sección transversal original va a ser a lterada co rtan d o una ranura circular en un lad o de ella. D eterm ine la distancia a q u e la ran u ra p u ed e p e n e tra r en la sección transversa) d e m odo q u e el esfuerzo d e tensión n o exceda el esfuerzo perm isible = 175 M Pa. P roponga una m e jo r m an era d e rem o v er esta p ro fu n d id ad d e m aterial de la sección transversal y calcule el esfuerzo d e tensión para ese caso. D esprecie los efectos d e la concentración de es fuerzos.
mm Prob. 8-36
Prob. K-38
Pro b lem a s
8-39. I-a p alanca d e co n tro l está so m e tid a a u n a fuerza horizontal d e 20 Ib so b re la m anija. D e te rm in e el estad o de esfuerzo e n los pu n to s A y B. E sboce lo s resultados so bre elem entos diferenciales localizados en c ad a uno d e esos puntos. El conjunto está conectado por un pasador en C y unido a un cable en D. *8-40. L a palanca d e c o n tro l está so m etid a a una fuerza horizontal d e 20 Ib sobre la m anija. D ete rm in e el estad o de esfuerzo en los p u n to s E y F. E sboce lo s resu ltad o s s o bre elem entos diferenciales localizados en c ad a un o d e esos puntos. El co n ju n to está co n ectad o p o r un p asad o r en C y unido a un cable e n D.
•
445
8-43. La estru ctu ra so p o rta la carga distribuida m o stra da. D eterm in e el estad o de esfuerzo q u e a ctú a en el p u n to D. M uestre los resu ltad o s sobre un e lem en to d iferen cial localizado e n este punto. '8 -4 4 . La estru ctu ra so p o rta la carga d istribuida m o stra da. D eterm in e el e stad o d e esfuerzo que actúa en el p u n to E. M uestre los resultados sobre un elem en to diferencial localizado en este punto.
Probs. 8-43/44
8-41. El pasador soporta la carga de 700 Ib. D eterm ine las com ponentes de esfuerzo en el m iem bro d e so p o rte en el p u n to A. El soporte tiene 0.5 pulg de espesor.
8-45. Las pinzas constan de dos p artes de acero unidas en tre sí por un pasador en A Si un p erno liso se m antiene entre las m ordazas y se aplica una fu er/a de apriete de 10 Ib en las m anijas d e las pinzas,determ ine el estado de esfuerzo d esa rro llad o en los p u n to s B y C. L a sección transversal es rec tang u lar con las d im ensiones m ostradas en la figura. 8-46.
Resuelva el problem a 8-45 p ara los puntos D y E.
8-42. El pasador s o p o n a la carga de 700 Ib. D eterm ine las com ponentes de esfuerzo en el m iem bro d e soporte en el p unto B. El soporte tiene 0.5 pulg de espesor.
0.18 pulg
Probs. 8-41742
10 Ib
Probs. 8-45/46
446 • CAPÍTULO 8 Cargas combinadas
8-47. El en g ran e cónico está s o m e tid o a las cargas m os tradas. D eterm ine las com ponentes d e esfu erzo q u e actúan sobre la flecha en el punto A y m uestre lo s resultados sobre un e lem en to d e volum en localizado en este punto. La fle cha tiene un d iám etro de 1 pulg y está e m p o tra d a en la p a red en C. *8-48. El en g ran e cónico está so m etid o a las cargas m os tradas. D eterm in e las co m p o n en tes d e esfu erzo q u e aclúan sobre la flecha en el p unto B y m uestre los resultados sobre un e lem en to d e volum en localizado e n este punto. L a fle cha tiene un d iám etro d e 1 pulg y e stá e m p o tra d a en la p a red en C.
8-51. La flecha d e ¿ pulg de d iám etro está som etida a la carga m ostrada. D eterm ine las com ponentes de esfuerzo en el p u n to A. E sboce los resu ltad o s so b re un e lem en to de volum en localizado en este p unto. E l c o jinete de apoyo en C p u ed e ejercer sólo co m p o n en tes d e fuerza C v y C ; sobre la flecha y el co jinete d e em puje e n D p u ed e e jercer com p o n en tes d e fu e r/a D „ D v y D ; sobre la flecha. *8-52. R esuelva el p ro b lem a 8-51 p a ra las com ponentes del esfuerzo en el p u n to B.
20 puls
Probs. 8-51/52
Probs. 8-47/48
8-49. E l le tre ro está so m etid o a la carg a d e v iento u n i form e m ostrada. D eterm ine las com ponentes de esfuerzo en los p u n to s A y B so b re el p o ste d e 100 m m d e d iám etro que lo soporta. M uestre los resultados so b re un elem ento de volum en localizado en cad a u no d e eso s puntos. 8-50. E l letrero está so m etid o a la c a rg a d e v ien to u n i form e m ostrada. D eterm ine las com ponentes d e esfuerzo en los p u n to s C y D sobre el p o ste d e 100 mm d e d iám etro que lo soporta. M uestre los resultados so b re un elem ento de volum en localizado en cad a u no d e eso s puntos.
Probs. 8-49/50
8-53. La flecha acodada está em p o tra d a en la p ared en A. Si se aplica en B una fuerza F .d ete rm in e las com ponen tes d e esfuerzo en los p u n to s D y E. M uestre los resulta do s sobre un elem en to diferencial localizado en cada uno de esos p untos. C on sid ere /r = 1 2 l b y 0 = O ° . 8-54.
L a flecha aco d ad a está em p o trad a en la p ared en
A. Si se aplica en B una fuerza F .d e te rm in e las com p o n en tes d e esfuerzo en los pu n to s D y E. M uestre los resu lta dos so b re un elem en to diferencial localizado e n cada uno d e esos puntos. C onsidere /•' = 12 Ib y 9 = 90°. 8-55. L a flecha aco d ad a está em p o tra d a en la p ared en A. Si se aplica en B una fuerza F .d ete rm in e las com p o n en tes d e esfu erzo en los pu n to s D y E. M uestre los resu lta d o s so b re un e lem en to diferencial localizado e n cada uno d e esos puntos. C onsidere F = 12 Ib y 6 - 45°.
Probs. 8-53/54/55
F
Pro b lem a s
*8-56. La barra de 1 pulg de diám etro está som etida a las cargas mostradas. D etermine el estado de esfuerzo en el punto A y muestre los resultados sobre un elem ento dife rencial localizado en este punto. 8-57. La barra de 1 pulg de diám etro está som etida a las cargas mostradas. D etermine el estado de esfuerzo en el punto B y muestre los resultados sobre un elem ento dife rencial localizado en este punto.
•
447
8-59. El pilar de manipostería está som etido a la carga de 800 kN. Determ ine la ecuación de la línea y = f[x) a lo largo de la cual la carga puede colocarse sin que se gene ren esfuerzos de tensión en el pilar. Desprecie el peso del pilar. *8-60. El pilar de manipostería está som etido a la carga de 800 kN. Si .v = 0.25 m y y = 0.5 m, determine el esfuerzo normal en cada esquina A . B. C y D (no m ostrada) y trace la distribución del esfuerzo sobre la sección transversal. Desprecie el peso del pilar.
801b P robs. 8-56/57 P robs. 8-59/60
8-58. El poste tiene una sección transversal circular de radio c. Determine el máximo radio e en que la carga pue de aplicarse de manera que en ninguna parte del poste se presente un esfuerzo de tensión. D esprecie el peso del poste.
8-61. El gancho tiene las dimensiones mostradas. D eter mine el esfuerzo normal máximo en la sección a-a cuando soporta una carga en el cable de 800 kN y esboce la distri bución del esfuerzo que actúa sobre la transversal.
800 Ib
800 Ib Prob. 8-61
44» . CAPITULO 8 Cargas comb'madas 8-62. La prensa de tornillo en forma de C aplica un es fuerzo de com presión sobre la pieza cilindrica de 80 Ib/ pulg:. Determ ine el esfuerzo normal máximo generado en la prensa.
8-63. La manivela de la prensa está sometida a una fuer za de 20 Ib. Debido al engranaje interno, esto ocasiona que el bloque quede som etido a una fuerza de compresión de 80 Ib. D etermine el esfuerzo normal que actúa en puntos a lo largo de los patines exteriores A y D. Use la fórmula de la viga curva para calcular el esfuerzo de flexión.
0,75 pyij P ro b . 8-62
P ro b . 8-63
REPASO DEL CAPÍTULO • U n recipiente a presión se considera que tiene una pared delgada si rft ^ 10. Para un recipiente c ilin d rico de pa red delgada, el esfuerzo circunferencial o esfuerzo anular es cr\ = p rft. Este esfuerzo es el doble que el esfuerzo longitu d in a l.^ = pr/2t. L o s recipientes esféricos de pared delgada tienen el mismo esfuerzo dentro de sus paredes en todas direcciones por lo que d\ = ar2 = p r / lt . • L a superposición de las componentes de esfuerzos se pue de usar para determ inar el esfuerzo norm al y cortante en un punto de un miem bro sometido a carga com binada. Pa ra hacerlo, es necesario prim ero determ inar la fuerza resul tante axial y cortante y el momento resultante torsional y flexionante en la sección donde está localizado el punto. Luego se determ inan las componentes de esfuerzo debido a cada una de esas cargas. L a s resultantes de los esfuerzos norm al y cortante se determ inan entonces sumando alge braicamente las componentes del esfuerzo norm al y co r tante.
Problemas
PROBLEMAS
DE
oe repaso
•
449
REPASO
*8-64. El bloque está sometido a las tres cargas axiales mos
8-67. La presión del aire en el cilindro se incrementa ejer
tradas. Determine el esfuerzo normal generado en los pun tos A y fí. Desprecie el peso del bloque.
ciendo fuerzas P = 2 kNr sobre los dos pistones, cada uno de los cuales tiene un radio de 45 mm. Si el cilindro tiene un es pesor de pared de 2 mm. determine el estado de esfuerzo en la pared del cilindro.
100 Ib
*8 -68 . D etermine la fuerza máxima P que puede ejercer se sobre cada uno de los dos pistones de m anera que la com ponente circunferencial del esfuerzo en el cilindro no exceda de 3 MPa. Cada pistón tiene un radio de 45 mm y el cilindro tiene un espesor de pared de 2 mm.
47 mm
Prob. 8-64
y
8-65. La estructura en forma de C se usa en una máquina remachadora. Si la fuerza aplicada por el pistón sobre la prensa en D es P = S kN. esboce la distribución del esfuer zo que actúa sobre la sección a-a. 8 -6 6 .
D eterm ine la fuerza máxima P q u e el m artinete puede aplicar a la prensa en P si el esfuerzo normal per misible en el material es
P robs. 8-67/6«
8-69. 1.a silleta tiene un espesor de 0.25 pulg y se usa pa ra soportar las reacciones verticales de la viga cargada co m o se muestra. Si la carga se transfiere uniform emente a cada placa lateral de la silleta, determine el estado de es fuerzo en los puntos C y D de la silleta en A . Suponga que una reacción vertical F actúa en este extremo en el centro y sobre el borde del soporte mostrado.
200 mm —! 10 mm
40 mm 60 mm b
t '--lOm m
Probs. 8-65/66
Prob. 8-69
450 • CAPÍTULO 8 Cargas combinadas
8-70. La silleta tiene un espesor de 0.25 pulg y se usa para soportar las reacciones verticales de la viga cargada como se exhibe. Si la carga se transfiere uniform em ente a cada placa lateral de la silleta, determ ine el estado de esfuerzo en los puntos C y D de la silleta en B. Suponga que una reacción vertical F actúa en este extremo en el centro y so bre el borde del soporte mostrado.
8-73. La tapa del tanque cilindrico está unida por pernos al tanque a lo largo de sus rebordes. El tanque tiene un diá metro interno de 1.5 nt y un espesor de pared de 18 mm. Si el esfuerzo normal máximo no debe exceder de 150 MPa, determine la presión máxima que el tanque puede soportar. Calcule también el número de pernos requeridos para unir la tapa al tanque si cada perno tiene un diámetro de 20 mm. El esfuerzo permisible en los pernos es (ít,*™)/, = 180 MPa. 8-74. La tapa del tanque cilindrico está unida por pernos al tanque a lo largo de sus rebordes. El tanque tiene un diá metro interno de 1.5 m y un espesor de pared de 18 mm. Si la presión en el tanque es p - 1.20 MPa, determine la fuer za en los 16 pernos que se usan para unir la lapa al tanque. Especifique también el estado de esfuerzo en la pared del tanque.
lO klb
P ro b . 8-7«
P robs. 8-7.V74
8-71. Una barra con sección transversal cuadrada ele 30 por 30 mm tiene 2 m de longitud y es m antenida verticalmente. Si la barra tiene una masa de 5 kg/m . determ ine el mayor ángulo 0. medido desde la vertical, en que puede ser soportada antes de quedar sometida a un esfuerzo de ten sión a lo largo de su eje cerca del agarre.
8-75. La palanca de pata de cabra se usa para extraer el clavo en A . Si se requiere una fuerza de 8 Ib, determ ine las com ponentes de esfuerzo en la palanca en los puntos D y E. M uestre los resultados en un elem ento diferencial de volumen localizado en cada uno de esos puntos. La palan ca tiene una sección transversal circular con diám etro de 0.5 pulg. No ocurre ningún deslizamiento en B.
"8-72. Resuelva el problem a 8-71 si la barra tiene una sección transversal circular de 30 mm d e diámetro.
Pr o b lem a s
*8-76. La ménsula de acero se usa para coneclar los ex trem os de dos cables. Si la fuerza aplicada P = 500 Ib. d e termine el esfuerzo normal máximo en la ménsula; ésta tiene un espesor de 0.5 pulg y un ancho de 0.75 pulg.
d e repa so
• 451
8-78. La prensa está hecha de los miembros A B y AC, que están conectados por un pasador en A . Si la fuerza de com presión en C y B es de 180 N. determine el estado de esfuer zo en el punto G e indique los resultados en un elemento diferencial de volumen. El tornillo D E está sometido sólo a una fuerza de tensión a lo largo de su eje.
0.75 pulg ■
2 pulg
P ro b . 8-76
8-77. La prensa está hecha de los miembros A B y A C que están conectados por un pasador en A . Si la fuerza de com presión en C y B es de 180 N. determine el estado de esfuer zo en el punto F e indique los resultados en un elemento diferencial de volumen. El tornillo D E está sometido sólo a una fuerza de tensión a lo largo de su eje.
P ro b . 8-78
8-79. La viga de patín ancho está sometida a la carga mos trada. D etermine el estado de esfuerzo en los puntos A y B. y muestre los resultados en un elem ento diferencial de volumen localizado en cada uno de esos puntos.
Estos álabes de turbina están sometidos a una pauta compleja de esfuerzos, que se wsualiza con las bandas de color que aparecen en las paletas cuando se fabrican con un material transparente y se ven a la contraluz polarizada. Para comprobar su diseño, los ingenieros deben poder determinar dónde se presenta el esfuerzo máximo y qué dirección tiene. (C o rte sía d e M e a s u re n te n ts G ro u p . Inc., R a leig h , N o n t i C a ro lin a 27 6 1 1 , E s ta d o s U n id o s .}
capirulo
Transformación de esfuerzo
OBJETIVOS DEL CAPÍTULO
E n este capítulo mostraremos cómo transformar los componentes del esfuerzo que están asociados a determinado sistema de coordenadas» en componentes asociados con un sistemas de coordenadas que tiene una orientación diferente. U na vez estable cidas las ecuaciones de transformación necesarias,podremos obtener el esfuerzo nor mal m áxim o y el esfuerzo cortante máximo, en un punto, y determinar la orientación de los elementos sobre los que actúan. La transformación de esfuerzo plano se des cribirá en la primera parte del capítulo, porque esta condición es la más común en la práctica do la ingeniería. A l final del capítulo describiremos un método para determi nar el esfuerzo cortante máximo absoluto en un punto, cuando el material se somete a estados de esfuerzo tanto plano como tridimensional.
9.1
Transformación del esfuerzo plano E n la sección 1.3 se demostró que el estado general de esfuerzo en un punto se caracteriza por seis componentes independientes, de esfuerzo norm al y cortante, que actúan sobre las caras de un elemento de m aterial ubicado en el punto, figura 9-1«. Sin embargo, este estado de esfuerzo no se encuentra con frecuencia en la práctica de la ingeniería. E n lugar de e llo , los ingenieros hacen aproxim aciones o sim plificaciones.con frecuen c ia . de las cargas sobre un cuerpo, para que el esfuerzo producido en un m iem bro estructural o un elemento mecánico se pueda analizar en un so lo p la n o . Cuando se da este caso, se dice que el m áterial está sujeto a un esfuerzo plano, figura 9-l/>. Por ejem plo, si no hay carga sobre la sup erfi cie de un cuerpo, entonces los componentes de esfuerzo normal y cortante serán cero en la cara de un elemento que esté en la superficie. E n conse cuencia, los componentes de esfuerzo correspondientes, en la cara opues ta. tam bién serán cero, por lo que el m aterial en el punto estará sometido a esfuerzo plano.
454
•
CAPÍTULO 9 Transformación de esfuerzo
a.
<*r
Estado general de esfuerzo
Esfuerzo plano
Esfuerzo plano (vista en dos dimensiones)
(•)
(b)
(c)
Fig. 9-1
y 0>
------- TX)
ib) F ig .9 -2
Entonces, el estado general de esfuerzo p la n o se representa por una com binación de dos componentes de esfuerzo norm al. .de modo que representen el m ism o estado de esfuerzo en el punto. E s como conocer dos compo nentes de fuerza, por ejemplo F , y F v, dirigidas a lo largo de los ejes y . que producen una fuerza resultante F * . y tratar entonces de determ inar los componentes de esa fuerza F v-y F v- con la dirección de los ejes x '. y '. para que produzcan la mism a fuerza resultante. Sin embargo, la transfor m ación de componentes de esfuerzo es más d ifícil que la de componentes de fuerza, porque para el esfuerzo la transform ación debe tener en cuen ta la magnitud y la dirección de cada componente de esfuerzo, y también la orientación del área sobre la que actúa cada componente. E n el caso de la fuerza, la transform ación sólo debe tener en cuenta la magnitud y la di rección de sus componentes.
Sección 9.1
Transformación del esfuerzo plano
PROCEDIMIENTO PARA ANÁLISIS
cr,
Si se conoce el estado de esfuerzo en un punto, para determinada orientación de un elemento de m aterial, figura 9-3«, entonces se pue de determ inar el estado de esfuerzo p ara alguna otra orientación, figura 9-3b, usando el siguiente procedim iento. • Para determ inar los componentes de esfuerzo norm al y cortante o y, r xy , que actúan sobre la cara x ' del elemento, figura 9-3b. se corla el elemento de la figura 9-3« com o se ve en la figura 9-3c. Si se supone que el área cortada de A / \ , entonces las áreas adya centes del segmento serán A A sen 0 y A A eos 0.
(a)
• Se traza el diagrama de cuerpo libre del segmento, para lo cual se requiere m ostrar las fu e rza s que actúan sobre el elemento. Esto se hace m ultiplicando los com ponentes de esfuerzo sobre cada cara, por el área sobre la que actúan.
>r una i comel c ie rzo en fuerzo mues ca una ompoplan o ictúan
• Se aplican las ecuaciones de eq u ilib rio de fuerzas en direcciones .y' y y ' para obtener los dos com ponentes desconocidos de esfuer zo. o y y t x Y . • Si .
»trans a n un fuerzo 3s ejes y> 7xVi senten ampoes x>y% m inar i x '.f. tnsfornentes icuenm bien o de la / la di-
cr,
l ig. 9-3
\
•
455
Sección 9.1
Transformación del esfuerzo plano
PROCEDIMIENTO PARA ANÁLISIS Si se conoce el estado de esfuerzo en un punto, para determinada orientación de un elem ento de m aterial, figura 9-3«, entonces se pue de determ inar el estado de esfuerzo p ara alguna otra orientación, figura 9-3b. usando el siguiente procedim iento. • Para determ inar los componentes de esfuerzo normal y cortante o y , Tvy , que actúan sobre la cara x ' del elemento, figura 9-3b. se corta el elemento de la figura 9-3« com o se ve en la figura 9-3c. Si se supone que el área cortada de A / l, entonces las áreas adya centes del segmento serán A z i sen 0 y A A eos 0. • Se traza el diagrama de cuerpo libre del segmento, para lo cual se requiere m ostrar las fu e rza s que actúan sobre el elemento. E sto se hace m ultiplicando los componentes de esfuerzo sobre cada cara, por el área sobre la que actúan. i
>r una i comel elerzo en fuerzo muesga una ompoplan o ic tú a n
• Se aplican las ecuaciones de equilib rio de fuerzas en direcciones x ' y >■' para obtener los dos com ponentes desconocidos de esfuer zo. < t x- y T ,y . • Si o y , que actúa sobre la cara del elem ento en la figura 9-3b, se va a determ inar, entonces es necesario considerar un seg mento del elem ento como el de la fig ura 9-3d . y seguir el mismo procedim iento que acabamos de describ ir. E n este caso, sin em bargo. el esfuerzo cortante r ry no habrá que ser determ inado, si se calculó antes, porque es com plem entario; esto es, tiene la m is ma magnitud en cada una de las cuatro caras del elemento, figu ra 9-3b.
>trans ió a un fuerzo os ejes
y* Vv* senten ompoes x . y , rm inar \x insfornentes i cuenunbién ;o de la v la di-
(d)
(c) Fig.9-3
\
•
455
456
•
CAPITULO 9 Transformación de esfuerzo
9.1
E J E M P L O
E l estado de esfuerzo plano en un punto de la superficie del fuselaje de un avión se representa en el elemento orientado como se indica en la figura 9-4a. Represente el estado de esfuerzos en el punto de un ele mento que está orientado a 30° en el sentido de las manecillas del reloj, respecto a la posición indicada.
TOT SO MPa «a)
Solución A/t iíA sen 30° t\A eos 30" (b>
E l elem ento se corta con la línea a-a en la figura 9-4«, se quita el seg mento inferio r y. suponiendo que el plano cortado (inclinado ) tiene el área A j4, entonces los planos horizontal y vertical tienen las áreas que muestra la figura 9-4/>. E l diagrama de cuerpo libre del segmento se mues tra en la figura 9-4c. A l aplicar las ecuaciones de equilibrio de fuerzas en direcciones .v' y y ’ para evitar una solución sim ultánea de las dos in cógnitas « y y r t V , entonces + /" I
« 0;
o y A A - (50 Azi eos 30°) eos 30° + (25 A A eos 30°) sen 30° + (80 A A sen 30°) sen 30° + (25 A A sen 30°) eos 30° = 0 = - 4 .1 5 MPa R esp
+ ^ I / y = 0:
7xy A A - ( 5 0 A A eos 30°) sen 30° - (25 A A eos 30°) eos 30° - (80 A A sen 30°) eos 30° +(25 A A sen 30°) sen 30° = 0 r , y = 68.8 MPa
(c) Fig. 9-4
R esp
Com o o y es negativo, actúa en dirección contraria que la que se indi ca en la figura 9-4c. L o s resultados se ven en la parte su p e rio r del ele m ento en lafigura 9-4d . ya que esta superficie es la que se considera en la figura 9-4c.
Sección 9.1
Transformación del esfuerzo plano
A ho ra se debe repetir el procedimiento para obtener el esfuerzo en el plano p e rp e n d icu la r b-b. A l cortar el elem ento de la figura 9-4« en b-b, resulta un segmento cuyas caras laterales tienen las áreas que se indican en la figura 9-4. S i el eje -hv' se orienta hacia afuera, perpend icular a la cara seccionada, el diagram a correspondiente de cuerpo libre se ve en la figura 9-4/. Entonces.
^ a a eos 30
AA
+ \ I / y = 0:
Rcsp.
50 A/\ sen 30'
+ S I / y = 0; -
r vy A A + (25 A /l eos 30°) eos 30° +(80 AA eos 30°) sen 30° - (25 A /l sen 30°) sen 30° + (50 A A sen 30°) eos 30° = 0
7 , v — 68.X M Pa
Resp.
Ya que « y es una cantidad negativa, actúa en sentido contrario a su d i rección que m uestra la figura 9-4/. Lo s com ponentes de esfuerzo se muestran actuando en el lado derecho del elemento, en la figura 9-4J. De acuerdo con este análisis podemos entonces llegar a la conclu sión que el estado de esfuerzo en el punto se puede representar eligien do un elem ento orientado com o m uestra la figura 9-4«. o bien uno orientado como indica la figura 9-4d . E n otras palabras, los estados de esfuerzo son equivalentes.
25 A A sen 25 A.A eos 80A A eos
rr A A
•
457
458
9.2
•
CAPÍTULO 9 Transformación de esfuerzo
Ecuaciones generales de la transform ación de esfuerzo plano A h o ra se desarrollará el método para transform ar los componentes de esfu e r/o norm al y cortante, en los ejes coordenados x , y , a los ejes coorde nados x ' , y \ en una forma general, y se expresará como un conjunto de ecuaciones de transform ación de esfuerzo. C o n v e n c ió n d e s ig n o s . A n te s de deducir las ecuaciones de transfor m ación, prim ero se debe establecer una convención de signos para los componentes del esfuerzo. A q u í adoptaremos el que usamos en la sección 1.3. E n forma breve, una vez que se han establecido los ejes x , y o x \ y \ un componente de esfuerzo norm al o de esfuerzo cortante es p o sitivo si actúa en la dirección de las coordenadas positivas sobre la cara positiva del elemento, o si actúa en la dirección de las coordenadas negativas so bre la cara negativa del elemento, figura 9-5a. Por ejemplo. trx es positivo porque actúa hacia la derecha sobre la cara vertical del lado derecho, y actúa hacia la izquierda (dirección - x ) sobre la cara vertical negativa. E l esfuerzo cortante en la figura 9-5« se muestra actuando en dirección po sitiv a sobre las cuatro caras del elemento. E n la cara derecha, rxy actúa ha cia arrib a (dirección + y ); sobre la cara inferio r. t x>, actúa hacia la izquier da (dirección —je), y así sucesivamente. Todos los componentes de esfuerzo que se muestran en la figura 9-5« mantienen el equilibrio del elemento, y por lo mismo, si se conoce la di rección de rxy sobre una cara del elemento, se define su dirección sobre las otras tres caras. Por consiguiente, la convención de signos anterior tam bién se puede recordar sólo si se nota que e l esfuerzo n o rm a l p o sitiv o ac túa h a cia afuera so b re todas la s caras, y e l esfuerzo corta nte p o sitiv o a ctú a h acia a rrib a so bre la cara derecha d e l elemento.
y
C onvención d e signos positivos
Fig. 9-5
Je esorde;to de
isforra los ¡cción x\y\ tivo si tsitiva as so r t iv o cho. y va. E l >n poúahaquier-
Sección 9 .2
Ecuaciones generales de la transformación de esfuerzo plano
Dado el estado de esfuerzo plano de la figura 9-5«, se definirá la orien tación del plano inclinado sobre el cual se van a determ inar los compo nentes de esfuerzo norm al y cortante, usando el ángulo 6. Para m ostrar en forma adecuada este ángulo, prim ero es necesario establecer un eje .v' positivo, dirigido hacia afuera, perpen dicu la r o norm al al plano, y un pla no y ' asociado, dirigido a lo largo del plano, figura 9-5h. O bserve que los conjuntos de eje sin prim a y con prim a form an sendos conjuntos de ejes coordenados derechos: esto es. que el eje z (o z ') positivo se determina con la regla de la mano derecha. Encogiendo los dedos desde x ( o * ' ) ha cia y ( o y ') .e l pulgar indica la dirección del eje : ( o : ' ) positivo.que apun ta hacia afuera. E l ángulo Ose mide desde el eje x positivo hacia el eje .v' positivo. E s p ositivo siempre que siga el enroscam iento de los dedos de la mano derecha, es decir, tenga dirección co ntraria a la de las m anecillas del reloj, como se ve en la figura 9-5h.
a 9-5« : la d i sobre r tam-
vo actsiíivo
(b) (a)
Fíg. 9-6
Componentes de esfuerzo normal y cortante. A l usar la conven ción establecida de signos y cortar al elem ento de la figura 9-6« por el pla no inclinado.se aísla el segmento que m uestra la figura 9-6b. Suponiendo que el corle tenga el área A A . las caras horizontal y vertical del segmen to tendrán un área A A sen Oy A A eos 6. respectivam ente. E l diagrama de cuerpo libre que resulta, del segm ento.se ve en la figu ra 9-6c. Si se aplican las ecuaciones de eq u ilib rio de fuerzas para determ i nar los componentes de esfuerzo norm al y cortante desconocidos, a x y rA.y • obtenemos -/■ 2 /v = 0:
<7 A A - ( t av A A sen tì) cos tì — {
+ \ 2 F V. = 0 :
crv sen 2 tì + r rv(2 sentì cos tì)
xy A A + ( Txy A A se n tì) sentì - ( a y A A sentì) cos tì - ( r xy A A cos tì) cos tì + (
sen tì co stì + T j^ c o s2 # - s e n 2 tì)
(O
•
459
460
•
CAPÍTULO 9 Transformación de esfuerzo
«*> Fig. 9-6 (cnnt.)
E sta s dos ecuaciones se pueden sim p lificar con las identidades trigono m étricas sen 20 = 2 sen 0 cos & sen 20 = (1 - c o s 20 )/ 2 y c o s2tf = (1 + eos 20 ) / 2 , y en ese caso.
ít * cr y
o\ Try = -
a ^
i
sen 20 + r xy eos 20
(9-1)
(9-2)
Si se necesita el esfuerzo normal que actúa en la dirección y ', se puede o btener si sólo se sustituye (0 = 0 + 90°) en vez de 0 e n la ecuación 9-1. figura 9-6d . D e ese modo se obtiene
(9-3)
Si se calcula que o y es una cantidad positiva, eso indica que actúa en di rección de y ' positiva, como se ve en la figura 9-6d.
PROCEDIMIENTO PARA ANALISIS P ara aplicar las ecuaciones de transform ación de esfuerzos. 9-1 y 9-2. sólo se necesita sustituir en ellas los datos conocidos de crx, cr*, rxy y 0 de acuerdo con la convención establecida de signos, figura 9-5. Si al calcu la r ax-y txy resultan cantidades positivas, esos esfuerzos actúan en la dirección positiva de los ejes .v' y y \ Para m ayor comodidad, esas ecuaciones se pueden program ar con fa cilidad en una calculadora de bolsillo.
Seccíón 9.2
Ecuaciones generales de la transformación de esfuerzo plano
•
461
E J E M P L O E l estado de esfuerzo plano en un punto se representa con el elem en to que muestra la figura 9-7a. D eterm in e el estado de esfuerzo en el punto, sobre otro elemento orientado 30° en el sentido de las m aneci llas del reloj, respecto al prim er elemento.
50 MPa
S o lu c ió n SO MPa
E l problema se resolvió en el ejemplo 9 .1 , usando los principios bási cos. A q u í aplicarem os las ecuaciones 9-1 y 9-2. De acuerdo con la con vención de signos establecida, figura 9-5, se ve que crx = - 8 0 M Pa
cry = 50 M P a
rxy = - 2 5 M Pa
Plano CD.
Para obtener los com ponentes de esfuerzo sobre el p la no C D . figura 9-7/;, el eje a-' positivo se dirige hacia afuera, perpendicu la r a C D . y el eje y ’ asociado se dirige a lo largo de C D . E l ángulo m e dido desde el eje .v hasta el eje x ' es 6 = - 3 0 ° (e n sentid o de las m anecillas del re lo j). A l aplicar las ecuaciones 9-1 y 9-2 se obtiene o , + crv
(a)
cr, — crv +
2
25 MPa
- 8 0 + 50
eos 26 + 7XV sen 20
2
- 8 0 - 50
+
2
eos 2 ( - 3 0 ° ) + ( - 2 5 ) sen 2 (- 3 0 ° )
= - 2 5 .8 M Pa cr* - (T 7Vv' = — sen 26 + r vv eos 20 Y _ - 8 0 - 50 2
Resp.
sen 2 ( - 3 0 ° ) + ( - 2 5 ) eos 2 ( - 3 0 ° )
= - 68.8 M Pa
Resp.
Lo s signos negativos indican que crx• y r t v- actúan en las direcciones negativas de .v' y y \ respectivamente. L o s resultados se muestran ac tuando sobre el elemento de la figura 9-7d.
Plano BC.
D e forma parecida, se obtienen los componentes de es fuerzo que actúan sobre la cara B C , figura 9-7c. usando 0 = 60fJ. A l apli car las ecuaciones 9-1 y 9-2’ se obtienen - 8 0 + 50 ov =
- 8 0 - 50
= -4 .1 5 M Pa - 8 0 - 50
T¿rV — —
= 68.8 M Pa
eos 2 (6 0 °) + ( - 2 5 ) sen 2(60°) Resp.
4.15 MPa
sen 2 (6 0 °) + ( - 2 5 ) eos 2 (6 0°) Resp.
A q u í se ha calculado dos veces r Ty , p ara tener una com probación. E l signo negativo de ax■indica que este esfuerzo actúa en la dirección de x ' negativo, figura 9-7c. L o s resultados se ven en el elemento de la f i gura 9-7d. 'A lternativam ente, podem os aplicar la ecuación 9-3 con 0 = -3 0 ° en lugar de la ecua ción 9-1.
F.g. 9-7
462
•
CAPÍTULO 9 Transformación de esfuerzo
9.3 Esfuerzos principales y esfuerzo cortante máximo en el plano D e acuerdo con las ecuaciones 9-1 y 9-2 se puede ver que crx• y r ty de penden del ángulo 0 de inclinación de los planos sobre los que actúan esos esfuerzos. E n la práctica de ingeniería con frecuencia es im portante de term inar la orientación de los planos que causa que el esfuerzo normal sea m áxim o y m ínim o, y la orientación de los planos que hace que el es fuerzo cortante sea máxim o. E n esta sección se exam inará cada uno de esos problemas. E s fu e r z o s p rin c ip a le s e n el p la n o . Para determ inar el esfuerzo n o r mal m áxim o y mínimo, se debe diferenciar la ecuación 9-1 con respecto a 0, e igualar a 0 el resultado. De este modo se obtiene
i(T r* trs -
A l reso lver esta ecuación se obtiene la orientación 0 = 0p. de los planos de esfuerzo norm al m áxim o y mínimo.
2en
•p ?) r
Fíg.9-8
f
^1
T
tan 2 0n = 7 ' K
20,
Txy
(9-4)
- °> )/2
L a solución tiene dos raíces, oPi y ep2. E n forma específica, los valores de 20p1 y 2 Gp2 están a 180° entre sí. por lo que 0p\ y 0p2 forman 90°. Lo s valores de 0pX y 0p2 deben sustituirse en la ecuación 9-1. para poder obtener los esfuerzos norm ales que se requieren. Se puede obtener el se no y el coseno de 20/;1 y 2 0p2 con los triángulos sombreados de la figura 9-8. L a construcción de esos triángulos se basa en la ecuación 9-4, supo niendo que txv y (
sen 20/)1 — T .y
eos 20 pl
y para 0p2,
+
f
2
7
*y
E z Æ 2
f )
+T 2 Tsy
Sección 9.3
Esfuerzos principales y esfuerzo cortante máximo en el plano
Si se sustituye cualquiera de estos dos conjuntos de relaciones trigonomé tricas en la ecuación 9-1, y se sim plifica, se obtiene
(9-5)
Dependiendo del signo escogido, este resultado determ ina el esfuerzo norm al m áxim o o m ínim o en el plano, que actúa en un punto, cuando (j[ 5: cr2- Este conjunto particular de valores se llam an esfuerzos p rin c i p a le s en el plano, y los planos correspondientes sobre los que actúan se llaman p la n o s p rin cip a le s de esfuerzo, figura 9-9/). Adem ás, si las relacio nes trigonométricas para 0p\ y 0p2 se sustituyen en la ecuación 9-2, se po drá v e r que r l V - 0 : esto e n so b re lo s p la n o s p rin cip a le s no a ctúa e l es fu e rz o cortante.
•
463
Las Srielas en esta v¡£a de concreto fue ron causadas por esfuerzo de tensión, aun cuando la viga estaba sometida a un mo mento interno y a una fuerza cortante, en forma simultánea. Se pueden usar las ecuaciones de transformación de esfuer zo para pronosticar la dirección de las grietas, y los esfuerzos normales principa les que las causaron.
464
•
CAPÍTULO 9 Transformación de esfuerzo
E s fu e r z o c o rta n te m á x im o e n el p la n o . L a orientación de un ele mento que está sometido a esfuerzo cortante m áxim o en sus caras se pue de determ inar sacando la derivada de la ecuación 9-2 con respecto a 6 e igualando a cero el resultado. A s í se obtiene
(9-6)
L a s dos raíces de esta ecuación. 8sl y 0& se pueden determ inar con los triángulos sombreados de la figura 9-10. Com parando con la figura 9-8, cada raíz de 20, está a 90° de 20p. A s í, las raíces 0, y 0p forman 45° entre ellas, y e l resultado es que lo s p la n o s d e l esfuerzo cortante m áxim o se pueden d e term in ar orien tando a un elemento a 4 5 ° con respecto a la p o sició n de un elemento que d efin a lo s p la n o s d e l esfuerzo p rin cip a l. Usando cualquiera de las raíces 6s[ o 0,?, se puede determ inar el esfuer zo cortante m áxim o sacando los valores trigonom étricos de sen 20* y eos 20s en la figura 9-10, y sustituyéndolos en la ecuación 9-2. E l resultado es
(9-7)
E l valor de r s f í ,^ calculado con la ecuación 9-7 se llama esfuerzo co rta n te m á xim o en e l p la n o . porque actúa sobre el elemento en el plano x-y. S i se sustituyen los valores de sen 20v y eos 20s en la ecuación 9-1, se ve que tam bién hay un esfuerzo norm al sobre los planos de esfuerzo cortan te m áxim o en el plano. Se obtiene crx + o y (Tprom
(9-8)
Com o las ecuaciones de transform ación de esfuerzos, es conveniente program ar las ecuaciones anteriores para poderlas usar en una calculado ra de bolsillo.
PUNTOS IMPORTANTES • L o s esfuerzos principales representan el esfuerzo norm al m áxim o y m ínim o en el punto. • C uando se representa el estado de esfuerzo mediante los esfuer zos principales, sobre el elem ento no actúa esfuerzo cortante. • E l estado de esfuerzo en el punto también se puede representar en función del esfuerzo cortante m áxim o en el p la n o . E n este ca so. sobre el elemento también actuará un esfuerzo norm al p ro m e dio sobre el elemento. • E l elem ento que representa el esfuerzo cortante m áxim o en el piano, con el esfuerzo norm al prom edio correspondiente, está orientado a 45° respecto al elemento que representa los esfuer zos principales.
Sección 9.3
Esfuerzos principales y esfuerzo cortante máximo en el plano
E J E M P L O Cuando se aplica la carga de torsión T a la barra de la figura 9-11«. pro duce un estado de esfuerzo cortante p uro en el m aterial. D eterm inar a) el esfuerzo cortante m áxim o en el plano, y el esfuerzo norm al pro medio asociado, y b) el esfuerzo principal. Solución D e acuerdo con la convención de signos que se ha establecido. ax = 0
erv = 0
E sfu e rz o co rta n te m á xim o en e l p la n o . 9-7 y 9-8, para obtener
7" mi»
«flcip&ao
=
p
^prom
)
+ V 0 +
rxy — —r Se aplican las ecuaciones (a)
= V ( 0 ) 2 + ( - T ) 2 = ±T
0
Resp.
Resp.
= 0
A s í, como era de esperarse, el esfuerzo cortante m áxim o en el plano está representado por el elemento de la figura 9-11«. E n los experim entos se ha encontrado que los m ateriales que son dúctiles fallan debido al esfuerzo cortante. E l resultado es que si se ap li ca un par de torsión a una barra de acero suave, el esfuerzo cortante m áxim o en el plano hará que falle como se ve en la foto adjunta. E sfu e rz o p rin c ip a l.
arx + CTy
^ 1.2 = -- Ô-- ±
A l aplicar las ecuaciones 9-4 y 9-5 se obtiene
CT* ~ (T. .\\ 22 - J + r xv2 — 0
±
\ /( 0 ) 2 + t 2 = ± t
Resp.
Y si ahora se aplica la ecuación 9-1, con 6p2 = 45°. entonces
eos 26 + r xv sen 20 = 0 + 0 + ( —r ) sen 90° = - r
A s í. a2 = - r actúa en 0p2 = 45° como se ve en la figura 9-11 b . y o-\ = t actúa sobre la otra cara. dpX = 135*. Lo s m ateriales que son frá giles fallan debido ai esfuerzo norm al. E s la razón por la que cuando un m aterial frágil, como el hierro colado, se sujeta a torsión, falla en tensión, con una inclinación de 45°, como se ve en la foto adjunta.
Flg. 9-11
•
465
466
•
CAPÍTULO 9 Transformación de esfuerzo
Cuando se aplica la carga axial P a la barra de la figura 9-12«. produce un esfuerzo de tensión en el m aterial. D e term in ar a ) el esfuerzo p rin cipal, y b) el esfuerzo cortante m áxim o en el plano, y el esfuerzo nor mal prom edio asociado. Solución De acuerdo con la convención de signos establecida.
V (a)
crT = cr
Txy = 0
Esfu erzo p rin c ip a l. Por observación visual, el elemento orientado co mo se ve en la figura 9-12« ilustra una condición de esfuerzo principal, porque no hay esfuerzo cortante actuando sobre este elemento. Esto también se puede dem ostrar por sustitución directa de los valores an teriores en las ecuaciones 9-4 y 9-5. A s í, CT] =
R esp.
cr-> = 0
(T
Como se ha visto, con experim entos, que el esfuer/o normal hace que fallen los m ateriales frágiles, entonces, si la barra está hecha de mate rial frá g il, como hierro colado, causará la falla que se ve en la foto ad junta. E sfu e rz o co rta n te m á xim o en e l p la n o . 9-6,9-7 y 9-8, se obtiene
tan 20, =
-(< 7 , - cry) / 2
------ —
-
'x y
- l a - 0)/2
—-— 0
m ptinn
(b) F ig.9-12
0t. *1 = 45°, 0„ = 135*
- n \2
y mil
cr,prom
A l ap lica r las ecuaciones
CT
+
+ ( 0)¿ = ±
0
Resp.
Resp.
2
Para determ inar la orientación correcta del elemento, se aplica la ecua ción 9-2. cr, - a v -se n 20+
t x>,eos
20 =
sen 90°+ 0 =
Este esfuerzo cortante negativo actúa sobre la cara x ' . en la dirección de y ' negativa, como se ve en la figura 9-126. Si la barra se hace de un m aterial dú ctil, como acero suave, entonces el esfuerzo cortante la hará fallar cuando se someta a tensión. E sto se puede ver en la foto adjunta, donde en la región del encuellam iento.el esfuerzo cortante ha causado ‘'deslizam ientos” a lo largo de las fronte ras cristalin as del acero, y causado una falla plana que ha formado un cono alrededor de la barra, orientado a unos 45°. como se calculó arriba.
S ección 9.3
Esfuerzos principales y esfuerzo cortante máximo en el plano
•
E J E M P L O
m El estado de esfuerzo plano en un punto sobre un cuerpo se muestra en el elemento de la figura 9-13«. Representar este estado de esfuerzo en términos de los esfuerzos principales.
90 MPa
60 MPa
S o lu c ió n
De acuerdo con la convención de signos establecida.
20 MPa
a y = 90 MPa
a x~ -20 MPa Orientación del elemento.
Tn.= 60 MPa Al aplicar la ecuación 9-4. se obtiene Txy
tan 20,,= ---------— —
f o r -
60 ( - 2 0 - 90)/2
Se despeja, y si se llama esta raíz 0P:. como se mostrará abajo, se ob tiene
(a)
0*= -23.7e
2ePz= "47.49e
Como la diferencia entre 2 0p< y 20p. es 180°. entonces 20pt = 180° + 20^ = 132.51°
0px = 66.3°
Recuérdese que 6 es positivo si se mide en sentido contrario a las ma necillas del relojsdesde el eje .t hasta la normal hacia afuera (eje.v') so bre la cara del elemento, por lo que los resultados se ven en la figura 9-13í>. Se tiene que
Esfuerzos principales.
a y
< rr +
° '1-2 —
2
—
l/crx -
- V v— i — 7 ”
- 2 0 + 90
2
< rv \ z
'xy
lf -20 - 90 V (b )
± _ TV V- ) 2+ (60)
= 35.0 ± 81.4
Resp. Resp.
El plano principal sobre el que actúa el esfuerzo normal se puede de terminar con la ecuación 9-1, por ejemplo con 0 = 0p¡ = -23.7°. En tonces. CTJ + (Ty
O, = 116 MPa
— (Ty
oy = ---- r— ~ + ——- — -eos 26 + r x>, sen 20 -2 0 + 90 -20 - 90 ^ = ----- -------H--------- -------cos2(—23.7 ) + 60 sen 2(-23.7°) = -46.4 MPa Por consiguiente, cr2 = -46.4 MPa actúa sobre el plano definido por 0P. = —23.7°, mientras que = 116 MPa actúa sobre el plano definido por 0p = 66.3;. Los resultados se muest ran en el elemento de la figura 9-13c. Recuerde que sobre este elemento no actúa esfuerzo cortante.
(c)
Fig. 9-13
467
468
•
CAPÍTULO 9 Transformación de esfuerzo
E J E M P L O
El estado de esfuerzo plano en un punto de un cuerpo se representa en el elemento de la figura 9-14«. Representar este estado de esfuerzo en función del esfuerzo cortante máximo en el plano, y el esfuerzo normal promedio asociado.
90 MPa
60 MPa
20 MPa
Solución
Como
Orientación del elemento.
tan 20, =
- K
- cry)f 2 xy
2eS: = 42.5° 20,, = 180° + 20s
(a)
- ( - 2 0 - 90)/2 60 0S, = 21.3° 0„ = 111.3°
Obsérvese que esos ángulos, que se muestran en la figura 9-14/), están a 45° de los pianos principales de esfuerzo, que se determinó en el ejem plo 9.5. Esfuerzo corlante máximo en el plano.
Al usar la ecuación 9-7 se ob
tiene + (60)2
T mi»
cnrlpbno
= 81.4 MPa
Resp.
La dirección correcta de t sobre el elemento se puede determi nar si se considera que 0 = 0V;= 21.3°, y se aplica la ecuación 9-2. En tonces. (b) ( V x ~
—
)
sen 20 + r xy eos 20
/ —20 - 90\ = - ( ----- -------J sen 2(21.3°) + 60 eos 2(21.3°) = 81.4 MPa Así. t = Tj:y actúa en la dirección de y' positiva, sobre esta cara (0 = 21.3°). como se ve en la figura 9-14¿>. Los esfuerzos cortantes sobre las otras tres caras tienen las direcciones que muestra la figura 9-14c. Esfuerzo normal promedio. Además del esfuerzo cortante máximo, que se calculó arriba, el elemento también está sujeto a un esfuerzo normal promedio, determinado con la ecuación 9-8; esto es. crn mm= ' prom Fíg. 9-14
-2 0 + 90 ^/}
= 35 MPa
Resp.
Es un esfuerzo de tensión. Los resultados se ven en la figura 9-l4c.
P r o b le m a s
•
469
PROBLEMAS 9-1. Demuestre que la suma de los esfuerzos normales. crx + (Ty = ov + cry•es constante. Vea las figuras 9-2a y 9-2b. 9-2. El estado de esfuerzo en un punto de un miembro se indica sobre el elemento. Determine los componentes de esfuerzo que actúan sobre el plano inclinado AB. Re suelva el problema usando el método de equilibro, que se describió en la sección 9.1.
9-3. El estado de esfuerzo en un punto de un miembro se muestra en el elemento. Determine los componentes de esfuerzo que actúan sobre el plano inclinado AB. Resuel va el problema usando el método de equilibrio, descrito en la sección 9.1.
9-5. El estado de esfuerzo en un punto de un miembro se muestra en el elemento. Determine los componentes de esfuerzo que actúan sobre el plano inclinado AB. Resuel va el problema usando el método de equilibrio, descrito en la sección 9.1.
Prob. 9-5
9-6. El estado de esfuerzo en un punto de un miembro se muestra en el elemento. Determine los componentes de esfuerzo que actúan sobre el plano inclinado AB. Resuel va el problema usando el método de equilibrio, descrito en la sección 9.1.
65 MPa
Prob. 9-3
a
_e
"'9-4. El estado de esfuerzo en un punto de un miembro se muestra en el elemento. Determine los componentes de esfuerzo que actúan sobre el plano inclinado AB. Resuel va el problema usando el método de equilibrio, descrito en la sección 9.1. Prob. 9-6
. zo
10
9-7. Resuelva el problema 9-2 usando las ecuaciones de transformación de esfuerzo deducidas en la sección 9.2.
sp.
*9-8. Resuelva el problema 9-4 usando las ecuaciones de transformación de esfuerzo deducidas en la sección 9.2. 9-9. Resuelva el problema 9-6 usando las ecuaciones de transformación de esfuerzo deducidas en la sección 9.2.
470
•
CAPÍTULO 9 Transformación de esfuerzo
Determine el estado equivalente de esfuerzo sobre un elemento, si está orientado a 30°. en el sentido de las manecillas del reloj, del elemento que se muestra aquí. Use las ecuaciones de transformación de esfuerzo.
9-10.
180 MPa
150 MPa
Prob. 9-14
300 lb/pulg-
El estado de esfuerzo en un punto se muestra en el elemento. Determine a) los esfuerzos principales y b) el esfuerzo cortante máximo en el plano, y el esfuerzo nor mal promedio en el punto. Especifique, en cada caso, la orientación del elemento. 9-15.
950 lb/pulg2
Prob. 9-10 30 klb/pulg2
Determine el estado equivalente de esfuerzo sobre un elemento, si está orientado a 50° en sentido contrario de las manecillas del reloj, del elemento que se muestra aquí. Use las ecuaciones de transformación de esfuerzo. 9-11.
10 klb/pulg2
*9-16. El estado de esfuerzo en un punto se muestra en el elemento. Determine a) los esfuerzos principales y b) el esfuerzo cortante máximo en el plano, y el esfuerzo nor mal promedio en el punto. Especifique, en cada caso, la orientación del elemento.
16 klb/pulg2
Prob. 9-11
12 klb/pulg*
Prob. 9-15
250 MPa
Resuelva el problema 9-6 usando las ecuaciones de transformación de esfuerzo. *9-12.
El estado de esfuerzo en un punto se muestra en el elemento. Determine a) los esfuerzos principales y b) el esfuerzo cortante máximo en el plano, y el esfuerzo nor mal promedio en el punto. Especifique, en cada caso, la orientación del elemento. 9-13.
Prob. 9-16 60 MPa
Un punto sobre una placa delgada se sujeta a los dos estados sucesivos de esfuerzo que se ve en la figura. Determine el estado resultante de esfuerzo, representado en el elemento orientado como se ve a la derecha.
9-17. 30 MPa
45 MPa
Prob. 9-13
9-14. El estado de esfuerzo en un punto se muestra en el elemento. Determine a) los esfuerzos principales y b) el esfuerzo cortante máximo en el plano, y el esfuerzo nor mal promedio en el punto. Especifique, en cada caso, la orientación del elemento.
Prob. 9-17
471
PR08LEMAS
9-18. Un pum o sobre una placa delgada se sujeta a los dos estados sucesivos de esfuerzo que se ve en la figura. D eterm ine el estado resultante de esfuerzo, representado en el elem ento orientado como se ve a la derecha.
9-21. Se indica el esfuerzo que actúa sobre dos planos en un punto. D eterm ine el esfuerzo normal <7/>y los esfuerzos principales en el punto.
4 klb/putg2
/
J¡É_
■2 klb/pulg-
9-19. Se indica el esfuer/o a lo largo de dos planos, en un punto. D eterm ine los esfuerzos norm ales sobre el plano b b, y los esfuerzos principales.
Los siguientes problem as implican material cubierto en el capítulo 8. 9-22. La viga de m adera está som etida a una carga de 12 kN. Si la orientación de las fibras (hilo) de la madera de la viga, en el punto A . forman un ángulo de 25° con el eje horizontal indicado, determ ine el esfuerzo norm al y cortante que actúan perpendiculares a éstas, debido a la carga. 9-23. La viga de madera se som ete a una carga distribui da. D etermine los esfuerzos principales en un punto A , y especifique la orientación del elemento.
Prob. 9-19
1300 nun '9-20. Se indica el esfuerzo que actúa en dos planos, en un punto. Determ ine el esfuerzo corlante sobre el plano a-a y los esfuerzos principales en el punto.
M " 1"
200 mm Probs. 9-22/23
*9-24. Las fibras de la tabla forman un ángulo de 20° con la horizontal, como se indica. Determ ine el esfuerzo nor mal y cortante que actúan perpendiculares a éstas, si la ta bla se som ete a una carga axial de 250 N.
Ttt 60 Rlb/pulg~
300 mm
f
160 nuil 250 N
250 N
20a Prob. 9-20
Prob. 9-24
25 mm
A
472
•
CAPÍTULO 9 Transformación de esfuerzo
9-25. El bloque de madera falla si el esfuerzo cortante que actúa sobre las fibras es de 550 lb,/pulg2. Si el esfuer zo normal
*9-28. La viga simplemente apoyada está sometida al es fuerzo de tracción r0 en su superficie superior (su “lecho alio"). Determine los esfuerzos principales en los puntos A y B. ^ To
J
/ A 58*
•
y -GmaBr I----- L /2 ----- ----- L /2 ----- 1
_____ _____________
i' b
Prob. 9-28
Prob. 9-25
9-26. La placa cuadrada de acero tiene 10 mm de espe sor, y está sometida a cargas en sus bordes, como se indi ca. Determine el esfuerzo cortante máximo en el plano, y el esfuerzo normal promedio desarrollado en el acero.
9-29. El brazo articulado está sujeto en A, y sostenido por un eslabón corto BC. Está sometido a 80 N de fuerza. Determine los esfuerzos principales en a) el punto D y b) el punto E. El brazo es de una placa de aluminio de 20 mm de espesor.
50 N/m
200 mm
50 N/m
Prob. 9-29 Prob. 9-26
|---------- 200 mm—
*]
9-27. La placa cuadrada de acero tiene un espesor de 0.5 pulg y está sometido a cargas en sus bordes, como se indica. Determine los esfuerzos principales que se desa rrollan en el acero. .• 16 lb/pulg
9-30. La prensa oprime las superficies lisas en C y D, cuando se aprieta la tuerca. Si la fuerza de tensión del tor nillo es 40 kN, determine los esfuerzos principales en los puntos A y B, c indique los resultados en elementos ubi cados en cada uno de esos puntos. El área transversal en A y B se indica en la figura adjunta.
-16 lb/pulg
4 pulg
25mmTÍ0I5Omm 30 mm 4 pulg Prob. 9-27
Prob. 9-30
P r o b lem a s
9-31. La b arra rectan g u lar en voladizo está som etida a la fuerza d e 5 klb. D eterm in e los esfuerzos prin cip ales en los puntos A y B.
•
473
9-35. D eterm in e los esfuerzos principales q u e a ctúan en el p u n to A del m arco d e soporte. M uestre los resultados en un elem en to con orien tació n co rrecta, u bicado en este punto. •9-36. D eterm in e los esfuerzos prin cip ales qu e actúan en el p u n to B , u bicado ju sto arrib a del alm a, y ab ajo del seg m en to ho rizo n tal, en el co rte transversal. Indique los resultados en un elem ento con orientación co rrecta, ubica d o en este punto. A unque no e s m uy exacto, use la fórm u la d el co rta n te para calcular el esfuerzo cortante.
I pulg
5 klb
Prob. 9-31
*9-32. Se form a un tu b o d e carto n cillo e n ro lla n d o una banda d e cartoncillo en espiral, y pegando lo s lados, com o se ve en la figura. D eterm ine el esfuerzo c o rta n te q u e ac tú a a lo largo d e la p eg ad u ra, q u e form a 30° con la v erti cal, cu a n d o el tu b o e stá so m e tid o a u n a fu e rz a axial d e 10 N. El cartoncillo tien e 1 m m d e esp e so r, y el d iám etro ex tern o del tu b o e s 30 mm. 9-33. R esuelva el problem a 9-32. para el esfu erzo norm al qu e actú a p erp en d icu lar a la pegadura.
30°,
ION
ION 30 mm
9-37. La viga tu b u la r c u a d ra d a se s u je ta a un a fu erza de 26 kN q u e se aplica en el centro d e su ancho, a 75 mm de c a d a la d o . D e te rm in e lo s e s fu e rz o s p rin c ip a le s e n el p u n to / l . e indique los resu ltad o s en un e lem en to u bicado en este p u nto. U se la fórm ula del co rta n te p ara calcular el esfuerzo cortante.
Probs. 9-32/33
9-38.
R esuelva el problem a 9-37 para el p u n to B.
9-34. U n a varilla tiene sección transversal red o n d a , con 2 pulg d e diám etro. E stá so m etid a a un p a r d e 12 klb • pulg y a un m om ento de flexión M. El esfuerzo principal m ayor en el pu n to d e esfuerzo m áxim o de flexión e s 15 k lb /p u lg2 D eterm in e la m agnitud del m o m en to d e flexión.
26 kN
V. 2m
3m 130 inm
l7l min mm
130 mm 50 mm 150 mm
Prob. 9-31
Probs. 9-37/38
474
•
CAPÍTULO 9 Transformación de esfuerzo
9-39. L a viga de p a tín a n c h o se so m ete a la fu e rz a de 50 kN. D eterm in e los esfuerzos principales en u n p u n to A de esa viga, ubicado en el alma, en el lecho b ajo del p a tín superior. A unque n o es m uy exacto, use la fórm ula del co r te p ara calcular el esfu erzo co rtan te.
*9-44. El eje m acizo se so m ete a un p a r d e to rsió n , un m o m en to d e flexión y una fuerza co rtan te, co m o se ve en la figura. D eterm in e los esfuerzos principales q u e se d esa rrollan en el p u n to A. 9-45.
R esuelva el p rob lem a 9-44 p ara el p u n to B.
*9-40. R esuelva el problem a 9-39 p a ra el p u n to li, ub i cado en el alma, en el lecho alto del patín inferior.
300 N m 10 mm
45 N m 800 N P ro b s. 9-39/40
Probs. 9-44/45
9-41. El tornillo está fijo e n su so p o rte en C. Si se aplica una fuerza de 1S Ib a la llave, p ara apretarlo , d ete rm in e los esfuerzos principales que se d esarrollan en el v astag o del tom illo en el punto A. R ep resen te los resultados en un ele m en to u b icado en esc punto. E l d iám etro d el v á stag o es 0.25 pulg. 9-42.
R esuelva el p ro b lem a 9-41 para el p u n to B.
9-46. Las cargas internas en un co rte transversal a través del eje im pulsor, d e 6 pulg d e d iám etro , de una tu rb in a, c o n siste n en una fu erza axial d e 2500 Ib. un m o m e n to d e flex ió n d e 800 Ib • p ie y un m o m e n to d e to rsió n de 1500 Ib • pie. D eterm in e los esfu erzos prin cipales e n un pu n to A .T am bién calcule el esfuerzo co rtan te m áxim o en el plano, en este punto. 9-47. L as cargas in tern as en un co rte transversal a través del eje im pulsor, d e 6 pulg d e d iám etro , d e una tu rb in a, co n sisten en u n a fu e rz a axial d e 2500 Ib, un m o m e n to d e flexión d e 800 Ib • p ie y un m o m e n to d e to rsió n de 1500 Ib • pie. D ete rm in e los esfuerzos p rin cip ales en un p u n to B .T am bién calcule el esfuerzo co rta n te m áxim o en el plano, en este punto.
Probs. 9-41/42
9-43. L a carretilla de p ro a del avión e stá som etida a una carga de diseño d e 12 kN. D eterm in e los esfuerzos p rin ci pales qu e actúan sobre el so p o rte d e alum inio, en el p u n to A.
20 mi 20 mm
Prob. 9-43
12kN
-175 mm
Probs. 9-46/47
*9-48. El eje im pulsor A B de 2 pulgadas d e diám etro, del helicóptero, está su jeto a una tensión axial d e 10 000 Ib y un p a r d e torsió n d e 300 Ib • pie. D eterm in e los esfuerzos principales y el esfuerzo co rta n te m áxim o en el plano, que actúan en un p u n to d e la superficie del eje.
P r o b le m a s
•
475
Prob. 9-48
9-49. La viga tubular cuadrada está sometida a la carga que se indica. Determine los esfuerzos principales en la vi ga, en los puntos A y B. 1200 Ib
800 Ib
A'
Probs. 9-51/52/53
■9-54. La viga tiene un corte transversal rectangular, y está sometida a las cargas que se indican. Escriba un pro grama de cómputo que se pueda usar para determinar los esfuerzos principales en los puntos A, B, C y D. que se in dican. Demuestre una aplicación del programa, con los va lores h = 12 pulg. b = 8 pulg, Nx = 400 Ib. Vy = 300 Ib. V. = 0. My = 0 y M. = -150 Ib • pie.
■
6 pulg I [IISd II ]
Prob. 9-49
500 N N
, 88pulg
8 pul8
9-50. Una barra tiene sección transversal redonda, con un diámetro de 1 pulg Se somete a un par de torsión y a un momento de flexión. En el punto del esfuerzo máximo de flexión, los esfuerzos principales son 2 0 klb/pulg2 y - 1 0 klb/pulg2. Determine el par y el momento de flexión. 9-51. Las cargas internas en una sección de una viga con sisten en una fuerza axial de 500 N, una fuerza cortante de 800 N y dos componentes de momento, de 30 N • m y 40 N • m. Calcule los esfuerzos principales en el punto A. También calcule el esfuerzo cortante máximo en el plano, en ese punto.
Prob. 9-54
«9-55. El miembro tiene sección transversal rectangular y está sometido a las cargas que se indican. Escriba un pro grama de cómputo que se pueda usar para determinar los esfuerzos principales en los puntos A. B y C. Demuestre una aplicación del programa con los valores b = 150 mm. h = 200 mm. P = 1.5 kN,.r = 75 mm. z = -5 0 mm. Vx 300 N y V. = 600 N.
*9-52. Las cargas internas en una sección de una viga con sisten en una fuerza axial de 500 N, una fuerza cortante de 800 N y dos componentes de momento, de 30 N • m y 40 N • m. Calcule los esfuerzos principales en el punto B. También calcule el esfuerzo cortante máximo en el plano, en ese punto. 9-53. Las cargas internas en una sección de una viga con sisten en una fuerza axial de 500 N. una fuerza cortante de 800 N y dos componentes de momento, de 30 N • m y 40 N • m. Calcule los esfuerzos principales en el punto C. También calcule el esfuerzo cortante máximo en el plano, en ese punto.
Prob. 9-55
476
•
CAPÍTULO 9 Transformación de esfuerzo
9.4 El círculo de Mohr (esfuerzo plano) En esta sección explicaremos que las ecuaciones para transformación de esfuerzo plano tienen una solución gráfica, que a m enudo conviene usar y es fácil de recordar. Además, este m étodo nos permitirá “visualizar’*la forma en que varían los componentes de esfuerzo normal y cortante, oy y rxy cuando el plano sobre el que actúan se orienta en distintas direc ciones. figura 9-15a. Las ecuaciones 9-1 y 9-2 se pueden escribir en la forma ( a x + a y\ o y -( — — J
T*y (a)
( < jt - <7y\ J ° ° s 2 0 + t xy sen 20
)
sen 20 + rxy eos 20
(9-9) (9-10)
Se puede eliminar el parám etro 0. elevando al cuadrado cada ecuación y sumando las ecuaciones. El resultado es
(Tx + cry ^prom (9-12)
Si se definen los ejes coordenados a positivo hacia la derecha y r positivo hacia abajo, y se grafica la ecuación 9-11, se verá que esa ecuación representa un círculo con radio R y centro en el eje o-en el punto C(crproni,0), figura 9-156. Este círculo se llama círculo de Mohr. porque fue desarro llado por O tto Mohr. ingeniero alemán.
S ec c ió n 9 .4
n de usar r” la irec-
9-9) - 10)
ón y
sí. la gue:
El circulo de Mohr (esfuerzo plano) •
Para trazar el círculo de M ohr es necesario establecer prim ero los ejes .). figura 9-16c. Al aplicar el teorema de Pitágoras al área triangular sombreada, se podrá determ inar el radio R , que coincide con la ecuación 9-12. Conocidos los puntos C y A . se puede trazar el círculo com o se indica. A hora imaginemos que el eje x ' gira 90° en sentido contrario al de las manecillas del reloj, figura 9-166. Entonces ¡ay = <*>■, V / = " Txy Estos va lores son las coordenadas del punto G(cry —txv) en el círculo, figura 9- 16c. Por consiguiente, el radio CG está a 180°, en sentido contrario a las ma necillas del reloj, de la “línea de referencia” CA. En otras palabras, una rotación 0 del eje a-' en el elemento, corresponderá a una rotación 20 en el círculo, en la misma dirección.* Una vez determinado, el círculo de M ohr se puede usar para determ i nar los esfuerzos principales, el esfuerzo cortante máximo en el plano, y el esfuerzo promedio normal asociado, o bien el esfuerzo en cualquier pla no arbitrario. El m étodo para hacerlo se explica en el siguiente procedi miento para análisis. •Si el eje r se construyera p o sitivo hacia arriba, entonces el ángulo 20 en el círculo se medi ría en la dirección opuesta a la orientación 0 del plano.
- 11)
Fig. 9-16
477
Trr = T , y
0 =0° ay =0,
(a)
-A. .X
CAPÍTULO 9 Transformación de esfuerzo
PROCEDIMIENTO PARA ANÁLISIS Para trazar el círculo de Mohr se requieren los siguientes pasos: Construcción del círculo. • Establecer un sistema coordenado tal que las abscisas represen ten el esfuerzo normal cr. siendo positivo hacia la derecha, y las ordenadas representen el esfuerzo cortante r, siendo positivo ha cia ahajo. figura 9-17«.* • Usando la convención de signo positivo para o-„ cry y rxv que se indica en la figura 9-176. graficar el centro del círculo C. ubicado en el eje cr a la distancia . • Unir el punto A con el centro C del círculo, y determinar CA por trigonometría. Esta distancia representa el radio R del círculo, fi gura 9-17«. • Una vez determinado R, trazar el círculo. Esfuerzos principales. • Los esfuerzos principales y cr2 (cr, s cr2) se representan con los dos puntos B y D donde el círculo corta al eje
S ec c ió n 9 .4
El círculo de Mohr (esfuerzo plano)
°y
Esfuerzo cortante máximo en el plano. • Los componentes de esfuerzo normal promedio y el esfuerzo cor tante máximo en el plano se determ inan en el círculo, como coor denadas del punto E o del punto F, figura 9-17«. li
jas
fflse do ira irx,
y el ira »or fi-
los ide
• F.n este caso, los ángulos 0S} y 0 y. definen la orientación de los pla nos que contienen esos componentes, figura 9-l7d. F.1 ángulo 20K¡ se ve en la figura 9-17«. y se puede determ inar mediante trigono metría. En este caso, la rotación es en el sentido de las manecillas del reloj, por lo que 0 Í( debe ser en el sentido de las manecillas del reloj, en el elemento, figura 9-1I d * Esfuerzos en un plano arbitrario. • Los componentes de esfuerzo norm al y cortante, o y y r x y , que actúan sobre determ inado plano definido por el ángulo 0 , figura 9-176'. se pueden obtener a partir del círculo, mediante trigono metría. para determ inar las coordenadas del punto P, figura 9-17«. • Para ubicar a P el ángulo conocido 0 del plano (en este caso, en sentido contrario al de las manecillas del reloj), figura 9-17e*. debe medirse en el círculo en la misma dirección 2 0 (en sentido con trario a las manecillas del reloj), desde la línea de referencia ra dial CA. hacia la línea radial CP, figura 9-17«.*
♦Si el eje Tse construyera positivo hacia arriba, entonces el ángulo 20cn el círculo se mediría en la dirección opuesta a la orientación 0 del plano.
guánrtir es-uLe-
(«i»
50.
la x)
T
(a) F¡g. 9-17
•
479
480
•
CAPÍTULO 9 Transformación de esfuerzo
E J E M P L O La carga axial P produce el estado de esfuerzos en el material, como se indica en la figura 9-18a. Trazar el círculo de M ohr para este caso. Solución
Construcción del círculo.
De la figura 9-18a,
Txy— 0
Se definen los ejes a y r e n la figura 9-186. El centro del círculo C está en el eje a en
0
\.
ff +
0
a
^prom
Desde la cara derecha del elemento, figura 9-18«. el punto de referen cia para 0 = 0° tiene las coordenadas A{a. 0). Por consiguiente, el ra dio del círculo CA es R = a ¡2, figura 9-186.
F
Esfuerzos. A y D. \
RmQ
2 c
a 2
|/l<<7.0)
I j
E
i
Observe que los esfuerzos principales están en los puntos
ir, = a
0 2
=
0
J El elem ento de la figura 9-18« representa este estado de esfuerzos prin cipales. El esfuerzo cortante máximo en el plano, y el esfuerzo normal pro medio asociado, se identifican en el círculo como el punto E o F. figu ra 9-186. En £ , sucede que
(b) 1
m *<
•n<1
=
cr
—
2
_ cr ^prom — -y
Por observación, el ángulo 2QSi = 90°. Por consiguiente, 0Si = 45°. por lo que el eje x ' está orientado a 45°, en el sentido de las manecillas del reloj, respecto al eje x, figura 9-18c. Ya que £ tiene coordenadas posi tivas. entonces rrprom y r .. actúan en las direcciones x' y y ' positivas, respectivamente.
S ec c ió n 9 .4
El círculo de Mohr (esfuerzo plano)
E J E M P L O La carga de torsión T produce el estado d e esfuerzos en el eje. que se representa en la figura 9-19«. Trazar el círculo de Mohr para este caso. Solución Construcción del círculo.
crx =
De acuerdo con la figura 9-19«,
CTy =
0
0
Try = - T (a)
En la figura 9-19/? se han trazado los ejes o-y r. El centro del círculo C está en el eje eren el lugar
^prom
A partir de la cara derecha del elem ento, figura 9-19«. el punto de re ferencia para 0 = 0o tiene las coordenadas A (0, - r ) , figura 9-19b. Por consiguiente, el radio CA es R = r.
Esfuerzos. En este caso el punto A representa un punto de esfuerzo normal prom edio y un esfuerzo cortante máximo en el plano, figura 9-196; entonces.
T
te il pbiHi
'p ro m
=
—T
=
0
(b)
Los esfuerzos principales se identifican con los puntos B y D en el círculo. Así,
El ángulo de CA a CB. en sentido de las manecillas del reloj, es 20Px = 90°, por lo que 0Pi = 45°. Este ángulo en sentido de las manecillas del reloj define la dirección de
(c)
Fig. 9-19
•
481
482
•
CAPÍTULO 9 Transformación de esfuerzo
E J E M P L O
Debido a las cargas aplicadas, el elemento en el punto A del cilindro macizo en la figura 9-20« está sometido al estado se esfuerzo que se ilustra. D eterm inar los esfuerzos principales que actúan en este punto. Solución Construcción del círculo. ax =
1 .2
De acuerdo con la figura 9-20«.
klb/pulg 2
cry =
rxy = —6 klb/pulg 2
0
El centro del círculo está en 12 klb/pulg2
+
-1 2
crrprom
0
=
- 6
klb/pulg 2
6 klb/pulg2
(a)
El punto inicial A ( - \ 2 . - 6 ) y el centro C ( - 6 ,0) se grafican en la figu ra 9-20b. El círculo SC traza con un radio de R = V (1 2 -
6 ) 2
+ (6
) 2
= 8.49 klb/pulg 2
Esfuerzos principales. Los esfuerzos principales se determinan con las coordenadas de los puntos B y D. Para v¡ > a2. se tiene que o (klb/pulg2)
o-! = 8.49 cr2 =
r (klb/pulg2) (b)
- 6
6
= 2.49 klb/pulg 2
— 8.49 = -14.5 klb/pulg 2
Resp. Resp.
Se puede determ inar la orientación del elem ento calculando el ángu lo 2$p. en sentido contrario « las manecillas del reloj en la figura 9-20b. que define la dirección 0Pi de cr2 y su plano principal asociado. Enton ces,
6
** =
,a n “ 1
(1
2
^ )
= 45.0e
0 * = 22.5° El elem ento está orientado de tal manera que el eje x' o
Fij*. 9-20
S e c c ió n 9 .4
E J E M P L O
El
círculo de Mohr (esfuerzo piano)
•
483
9.10
El estado de esfuerzo plano en un punto se indica en el elemento, en la figura 9-21«. Determinar los esfuerzos cortantes máximos en el pla no, y la orientación del elemento sobre el que actúan.
90 MPa
60 MPa
S o lu c ió n
-------- 20 MPa
Construcción del círculo. (Tx = -2 0 MPa
Según los datos del problema, o y = 90 MPa
r xy = 60 MPa
Los ejes o, rse establecen en la figura 9-216. El centro C del círculo está en el eje eren el punto
^proin
(a)
-20+90 2
----- ------ = 35 M Pa
Se grafican el punto C y el punto de referencia /4(-20.60). Al apli car el teorema de Pitágoras al triángulo sombreado, para determinar el radio CA del círculo, se obtiene
<7(MPa)
R = V (6 0 )2 + (55)2 = 81.4 MPa
El esfuerzo cortante máxi mo en el plano y el esfuerzo normal promedio se identifican con el pun to E o F en el círculo. En particular, las coordenadas del punto £(35. 81.4) dan como resultado Esfuerzo cortante máximo en el plano.
7 m»<
= 81.4 MPa
<7prom= 35 MPa
r(MPa) (b )
Resp. Resp.
El ángulo 0Xi contrario a las manecillas del reloj se puede determinar a partir del círculo: se identifica como 2 0S¡ Entonces.
eSt = 21.3°
Resp.
El ángulo en sentido contrario a las manecillas del reloj define la direc ción del eje x \ figura 9-21c. Como el punto E tiene coordenadas posi tivas , el esfuerzo normal promedio y el esfuerzo cortante máximo en el plano actúan, ambos, en las direcciones positivas de .v' y y ’, como se indican.
fig. 9-21
484
•
CAPÍTULO 9 Transformación de esfuerzo-
E J E M P L O El estado de esfuerzo plano en un punto se indica en el elem ento de la figura 9-22a. R epresentar este estado de esfuerzo sobre un elemento orientado a 30° en sentido contrario al de las manecillas del reloj, de la posición que se muestra.
12 klb/pulg 2
S klb/pulg2
Solución 6 klb/pulg2
Construcción del circulo. u x = —8 klb/pulg 2
(a)
Según los datos del problema. <7V
= 1 2
klb/pulg 2
rxy
=
- 6
klb/pulg 2
Los ejes cry r s e establecen en la figura 9-22b. El centro del círculo C está en el eje a a la distancia
<7prom
- 8 + 12
=
2
klb/pulg 2
El punto inicial para 0 = 0° tiene las coordenadas v4(-8. - 6 ). E nton ces. de acuerdo con el triángulo sombreado, el radio CA es
R = V ( 1 0 ) 2 + (6
) 2
=
1 1 .6 6
Esfuerzos sobre el elemento a 30°. Como se debe girar el elemento 30° en sentido contrario a las manecillas del reloj, se debe trazar un ra dio CP a 2(30°) = 60° en sentido contrario a ¡as manecillas del reloj , a partir de CA(0 = 0o). figura 9-22b. Ahora se deben obtener las co ordenadas del punto P( =
5.66klb/pu!g: \ 12.2 klb/pulg2'
¿ad
= 30.96°
•Jj = 60° - 30.96° = 29.04°
o y ** 2 - 11.66 eos 29.04° = -8.20 klb/pulg 2
Resp.
t xy = 1 1 .6 6 sen 29.04° = 5.66 klb/pulg 2
Resp.
Estos dos componentes de esfuerzo actúan sobre la cara BD del ele mento que se ve en la figura 9-22c, porque el eje x' para esta cara está orientado a 30° del eje x, en sentido contrario al de las manecillas del reloj. Los com ponentes de esfuerzo que actúan sobre la cara DE adjunta, del elem ento, que está a 60° del eje positivo X en sentido de las mane cillas del reloj, figura 9-22c. se representan por las coordenadas del punto Q del círculo. Este punto está en el radio CQ , que está a 180° de CP. Las coordenadas del punto Q son
(c) Fig. 9-22
T jy — —(11.66 sen 29.04) = —5.66 klb/pulg 2
Resp. (comprobar)
Observe que en este caso rxy actúa en dirección de - y ’.
S ección 9.5
Esfuerzos en ejes, debidos a carga axial y a torsión
•
485
9.5 Esfuerzos en ejes, debidos a carga axial y a torsión A veces, los ejes redondos se sujetan a los efectos combinados de una car ga axial y una torsión, al mismo tiempo. Siempre que el material perm a nezca linealmente clástico y sólo se som eta a pequeñas deformaciones, se puede usar el principio de la superposición para obtener el esfuerzo resultante en el eje, debido a las dos cargas. A continuación se pueden calcular los esfuerzos principales, usando las ecuaciones de transform a ción de esfuerzo o el círculo de Mohr. E J E M P L O 900 N
Se aplican una fuerza axial de 900 N y un par de torsión de 2.50 N • m al eje que muestra la figura 9-23«. Si el diám etro del eje es 40 mm,calcu lar los esfuerzos principales en un punto P de su superficie.
2.50 N-m
900 N
,50 N-m
Solución
Cargas internas. Las cargas internas consisten en el par de 2.50 N • m y la carga axial de 900 N, figura 9-23b. Componentes de esfuerzo. son, en consecuencia.
r =
Te
2.50 N • m (0.02 m)
(a)
= 198.9 kPa 716.2 kPa
4M
(b)
767.7 kPa
198.9 kPa
900 N tt( 0.02
*900 N
Los esfuerzos producidos en el punto P
^ ( 0 .0 2 m)4
A
' ^ ^ 2 .5 0 N r
mY
= 716.2 kPa
El estado de esfuerzo que definen esos dos componentes se ilustra en el elemento, en P. en la figura 9-23c.
(c)
Esfuerzos principales. Se pueden determ inar los esfuerzos principa les con el círculo de Mohr, figura 9-23d. En este caso, el centro C del círculo está en el punto 0 + 716.2 ^prom
= 358.1 kPa
Al graficar C(358.1.0) y el punto de referencia A (0,198.9), se ve que el radio del círculo es R = 409.7. Los esfuerzos principales se represen tan con los puntos B y D. En consecuencia. cri = 358.1 + 409.7 = 767.8 kPa
486
•
CAPÍTULO 9 Transformación de esfuerzo
9.6 Variaciones de esfuerzos a través de una viga prismática
Z]
Distribución del esfuerzo cortante
Distribución del esfuerzo de flexión (c)
H-
J&
0
Como las vigas resisten cargas tanto de cortante interno como de momen tos. el análisis de esfuerzos en una viga requiere aplicar las fórmulas de cortante y de flexión. Aquí se describirán los resultados generales que se obtienen al aplicar esas ecuaciones a varios puntos de una viga en voladi zo con sección transversal rectangular y que sostiene una carga P en su extremo, figura 9-24«. En general, en un corte arbitrario a-a en algún punto del eje x de la vi ga, figura 9-246, se desarrollan el cortante interno V y el momento M pa ra una distribución parabólica del esfuerzo cortante, y una distribución li neal del esfuerzo normal, figura 9-24c. El resultado es que los esfuerzos que actúan sobre elementos ubicados en los puntos 1 a 5 sólo están suje tos al esfuerzo normal máximo, mientras que el elemento 3. que está en el eje neutro, sólo está sujeto al esfuerzo cortante máximo. Los elementos in termedios 2 y 4 resisten esfuerzos normales y cortantes al mismo tiempo. En cada caso, se puede transformar el estado de esfuerzos para cono cer los esfuerzos principales. usando ya sea las ecuaciones de transforma ción de esfuerzo o el círculo de Mohr. Los resultados se ven en la figura 9-24e. En este caso, cada elemento sucesivo, de 1 a 5. tiene una orienta ción contraria a las manecillas del reloj. En forma específica,y en relación con el elemento 1 que se considera estar en la posición de 0o, el elemento 3 está orientado a 45°, y el elemento 5 está orientado a 90°. También, el esfuerzo m áxim o ¿le tensión que actúa sobre las caras verticales del ele mento 1 se vuelve más pequeño que el que actúa sobre las caras corres pondientes de cada uno de los elementos siguientes, hasta que es cero en las caras horizontales del elemento 5. En forma parecida, el esfuerzo m á xim o de compresión sobre las caras verticales del elemento 5 se reduce a cero sobre las caras horizontales del elemento 1. Si se amplía este análisis a muchos cortes verticales a lo largo de la vi ga, que no sean el a-a. un perfil de los resultados se puede representar por las curvas llamadas trayectorias de esfuerzo. Cada una de esas curvas in dica la dirección de un esfuerzo principal, de magnitud constante. Para la viga en voladizo de la figura 9-25 se han indicado algunas de esas trayec torias. Allí, las líneas llenas representan la dirección de los esfuerzos prin cipales de tensión, y las líneas interrumpidas representan la dirección de los esfuerzos principales de compresión. Como era de esperarse, las líneas cruzan al eje neutro formando ángulos de 45°, y las líneas llenas y las de puntos siempre se cortan a 90° entre sí. ¿Por qué? Conocer la dirección de esas líneas puede ser útil para ayudar a los ingenieros a decidir dónde reforzar una viga, para que no se fracture o se vuelva inestable.
# 5
— ■ —
5
Componentes x -y del esfuerzo (d)
Esfuerzos principales
Fíg. 9-24
■
m Trayectorias de esfuerzo en una viga en voladizo Fig. 9-25
S e c c ió n
9.6 Variaciones de esfuerzos a través de una viga orismática
•
487
E J E M P L O L a viga de la figura 9-26a está so m etida a la carga d istrib u id a w = 120 kN /m . D eterm inar los esfuerzos principales en ella, en el pun to P en la parte superior del alm a. D esp recie el tamaño de los chafla nes y las concentraciones de esfuerzo en este punto. I = 67.4(10 ~6) m4.
15 mm 200 mm
¿ d b r- 10 mm
I'— H 15 mm 175 mm
iv = 120 kN/m
i in m r r n iT T
2
36 kN
0.15 m
ma
m (n)
10.3 m
Solución
V=84 kN
120 kN
«»)
C argas internas. Se determ ina la reacción en el apoyo B de la viga, y por el equilibrio del tramo de viga que se ve en la figura 9-26b , se ob tiene V = 84 kN Com ponentes de esfuerzo.
Af= 30.6 kN-m
35.2 MPa
M = 30.6 kN • m
45.4 MPa
E n el punto P .
(O a =
T =
- M y _ 30.6(10*) N -m (O .lO O m )
- - 4 5 .4 M Pa
~ 67.4(10-6) mJ VQ
84( 103) N [(0.1075 m ) ( 0 .175 m )(0.015 m )]
//
67.4(10-6) m4(0.010 m )
Resp.
a (MPa)
= 35.2 M Pa
Resp.
Estos resultados se indican en la figura 9-26c*. E sfu e rz o s p rin cip a le s. Se pueden determ inar los esfuerzos principa les en P con el círculo de M ohr. Com o se ve en la figura 9-26d hel cen tro del círcu lo está a (- 4 5 .4 -I- 0 )/2 = 22.7. y las coordenadas del punto A son (- 4 5 .4 , - 3 5 .2 ). E sto indica que el radio es/? = 41.9, y por consiguiente (rx = (41.9 - 22.7) = 19.2 M Pa
7 (MPa) (d)
19.2 MPa
cr2 = - (2 2 .7 + 41.9) = - 6 4 .6 M Pa E l ángulo en sentido contrario al de las m anecillas del reloj es 2$[>: = 57.2°. por lo que
6P; = 28.6° En la figura 9-26e se indican estos resul tados.
(e)
Fig, 9-26
488
•
CAPÍTULO 9 Transformación de esfuerzo
PROBLEMAS *9-56. Mohr.
R esuelva el problem a 9-4 usando el círculo de
9-57. Resuelva el problem a 9-2 usando el círculo de Mohr. 9-58. R esuelva el problem a 9-3 usando el círculo de Mohr.
*9-68. D etermine el estado equivalente de esfuerzo si un elem ento está orientado a 30° en sentido de las manecillas del reloj, respecto al elem ento siguiente:
230 MPa
9-59. Resuelva el problem a 9-10 usando el círculo de Mohr. *9-60. Mohr.
9-61. Resuelva el problem a 9-11 usando el círculo de Mohr. 9-62. Resuelva el problem a 9-13 usando el círculo de Mohr. 9-63. Resuelva el problem a 9-14 usando el círculo de Mohr. *9-64. Mohr.
350 MPa
Resuelva el problem a 9-6 usando el círculo de
Resuelva el problem a 9-16 usando el círculo de
480 MPa
P ro b . 9-68
9-69. Determ ine el estado equivalente de esfuerzo en un elemento orientado a 25° en sentido contrario al de las ma necillas del reloj, respecto al elem ento siguiente:
9-65. Resuelva el problem a 9-15 usando el círculo de Mohr. 9-66. Determ ine el estado equivalente de esfuerzo, si un elem ento está orientado a 60°, en sentido de las maneci llas del reloj, respecto al elem ento siguiente: 65 klb/pulg2
550 MPa
Pro!». 9-69
: Prob. 9-66 9-67. Determ ine el estado equivalente de esfue rzo si un elem ento está orientado a 60° en sentido contrario al de las manecillas del reloj, respecto al elem ento siguiente:
9-70. D eterm ine a) los esfuerzos principales y b) el es fuerzo cortante máximo en el plano y el esfuerzo normal promedio. Especifique la orientación del elem ento, en ca da caso.
800 Ib/pul* 2 450 lb/pulg7
150 MPa
750 Ib/pulg2
Prob. 9-67
Prob.9-70
P r o b le m a s
9-71. D eterm in e a) los esfuerzos p rin cip ales y b) el es fuerzo co rtan te m áxim o en el plano, y el esfu erzo norm al prom edio. E specifique la orien tació n d el e lem en to , en ca da caso.
489
9-74. D eterm in e a ) los esfuerzos principales y b ) el es fuerzo c o rta n te m áxim o en el plano, y el esfuerzo norm al prom edio. E specifique la orientación del elem ento, en c a d a caso.
30 MPa
10 klh/pulg2 8 klh/pulg2
45 MPa
15 klh/pulg2
; 50 MPa
Prob. 9-74
Prol». 9-71
*9-72. D eterm in e a ) los esfuerzos prin cip ales y b) el es fuerzo co rla n te m áxim o en el plano, y el e sfu erzo norm al prom edio. E specifique la o rien tació n del elem en to , en c a d a caso.
50 MPa
9-75. D eterm in e a) los e sfuerzos principales y b) el es fuerzo c o rta n te m áxim o en el plano, y el esfuerzo norm al p rom edio. E specifique la orientación del elem ento, en ca da caso.
50 MPu
30 MPa
30 MPa
Prob. 9-72
Prob. 9-75
9-73. D eterm in e a ) los esfuerzos p rin cip ales y b) el es fuerzo co rtan te m áxim o en el plano, y el esfu erzo norm al prom edio. E specifique la orientación del e lem en to , en ca da caso.
*9-76. D eterm in e a ) los esfuerzos principales y b ) el es fuerzo c o rta n te m áxim o en el plano, y el esfuerzo norm al prom edio. E specifique la o rien tació n del elem ento, en ca d a caso.
120 lb/pulg 2
8 klb/pulg2
4 klb/pulg2 300 lb/pulg2 12 klb/pulg2
Prob. 9-73
Prob. 9-76
490
•
CAPÍTULO 9 Transformación de esfuerzo
9-77. Trace el círculo de M ohr que describa cada uno de los siguientes estados de esfuerzo.
200 lb/pulg2
*9-80. En la figura 9-15b se muestra el círculo de Mohr para el estado de esfuerzos de la figura 9-15«. Demuestre que al determ inar las coordenadas del punto P(orx-. rxy ) en el círculo se obtiene el mismo valor que las ecuaciones de transformación de esfuerzo, las 9-1 y 9-2. Los problem as que siguen incluyen material cubierto en el capítulo 8.
3 klb/pulg2
0
100 Ib/pulg
9-81. Las fibras de la labia forman un ángulo de 20° con la horizontal, como se indica. Determ ine el esfuerzo nor mal y cortante que actúan en dirección perpendicular y paralela a estas, si la tabla está sujeta a una carga axial de 250 N.
» P ro b . 9-77
9-78. Trace el circulo de M ohr que describa cada uno de los siguientes estados de esfuerzo. 5 MPa
9-82. El poste tiene un área transversal cuadrada. Si se fija soportándolo en su base, y se aplica una fuerza hori zontal en su extremo, como se indica, determ ine a) el es-
20 klb/pulg2
60 nun 250 N
fuerzo cortante máximo en el plano que se desarrolla en A y b) los esfuerzos principales en A.
18 MPa
P ro b . 9-7«
9-79. Un punto de una placa delgada está sujeto a dos e s tados sucesivos de esfuerzo, como se indica. Determ ine el estado resultante de esfuerzo,con referencia a un elem en to orientado como se indica a la derecha.
45 Ib/pulg2
18 Ib/pulg-2
I pulg
Prob. 9-79
Prob. 9-82
Pr o b l e m a s
La cortina de concreto descansa en un cimiento anterior, y está sometida a las presiones h idrostáticas in dicadas. Si su ancho es 6 pies,determine los esfuerzos prin cipales que actúan sobre el concreto en el punto A. Indique los resultados en un elemento orientado en forma adecua da en ese punto. El peso específico del concreto es y - 150 Ib/pie3.
9-83.
•
491
Un recipiente esférico a presión tiene un radio in terior de 5 pies, y el espesor de su pared es 0.5 pulg. Trace un círculo de Mohr para el estado de esfuerzo en un pun to del recipiente, y explique el significado del resultado. El recipiente está sometido a una presión interna de 80 psi.
9-85.
El recipiente cilindrico a presión tiene un radio in terior de 1.25 m. y el espesor de su pared es 15 mm. El re cipiente fabricado con placas de acero soldadas en la unión a 45°. Determine los componentes de esfuerzo normal y cortante a lo largo de esta unión, si el recipiente está suje to a una presión interna de 8 MPa. 9-86.
I.2S m
Prob. 9-86 Pro!». 9-83
La escalera está apoyada sobre la superficie áspe ra en A, y en una pared lisa en B. Si un hombre de 150 Ib de peso está parado en C. determine los esfuerzos princi pales en una de las alfardas (los laterales de la escalera) en el punto D. Cada alfarda es de tabla de I pulg de espe sor y su sección transversal es rectangular. Suponga que el peso total del hombre se ejerce verticalmente en el peldaño en C, y se divide por igual en cada una de 3as dos alfardas de la escalera. No tenga en cuenta el peso de la escalera, ni las fuerzas desarrolladas por los brazos del hombre. *9-84.
El poste tiene un área transversal cuadrada. Si es tá fijo y soportado en su base, y se aplican las cargas que se indican en su extremo, determine a) el esfuerzo cortan te máximo en el plano desarrollado en A, y b) los esfuer zos principales en A. 9-87.
i i
492
•
CAPÍTULO 9 Transformación de esfuerzo
9.7 Esfuerzo cortante máximo absoluto
(a)
(b)
Cuando un punto de un cuerpo está sometido a un estado general de es fuerzo tridimensional, un elem ento del material tiene un com ponente de esfuerzo norm al y dos componentes de esfuerzo cortante que actúan so bre cada una d e sus caras, figuras 9-27«. Como el caso del esfuerzo plano, es posible desarrollar ecuaciones de transformación de esfuerzo que se pueden usar para calcular los com ponentes de esfuerzo normal y cortan te, cr y r, que actúan sobre cualquier plano inclinado del elemento, figura 9-276. Además, en el punto también es posible determ inar la orientación única de un elem ento que sólo tenga esfuerzos principales actuando so bre sus caras. C om o se ve en la figura 9-27c, se supone que esos esfuerzos principales tienen magnitudes de intensidad máxima, intermedia y míni ma, es decir. crmáx > ^inl - ^mínUna descripción de la transformación de esfuerzo en tres dimensiones sale del alcance de este texto: sin em bargo.se describe en libros relacio nados con la teoría de la elasticidad. Para nuestros fines,supondremos que se conocen la orientación del elem ento y los esfuerzos principales, figura 9-27c. Es una condición llamada esfuerzo triaxial. Si se ve este elem ento en dos dimensiones, esto es, en los planos y '- z ^ x '- z ' y x '- y \ figuras 9-28«. 9-28b y 9-28c.se puede usar entonces el círculo de Mohr para determ inar el esfuerzo cortante máximo en el plano para cada caso. Por ejemplo, el diám etro del círculo de M ohr queda entre los esfuerzos principales ojm y °mín Para el c a s 0 de figura 9-28«. De acuerdo con este círculo, figura 9-28¿/, el esfuerzo cortante máximo en el plano es ( r v c )máx = ( y 9-28c. Los elementos co rrespondientes que tienen una orientación a 45° y están sujetos a com ponentes máximos cortantes en el plano y promedio normal se ven en las figuras 9-28/y 9-28#. respectivamente.
\
esfuerzo u-iaxi.il
(c)
Fig. 9-27
S e c c ió n
es: de soino, ; se :an,ura ión
9.7 Esfuerzo cortante máximo absoluto
Si se comparan los tres circuios de la fig U T a 9-28d . se ve que el esfuerzo cortante m áxim o absoluto, t , •se define con el círculo que tiene el radio mayor, que corresponde al elem ento de la figura 9-28b. En otras palabras, el elem ento de la figura 9-28/está orientado por una rotación de 45° res pecto al eje y \ desde el elem ento de la figura 9-27b. Obsérvese que esta condición también se puede determ inar directam ente, sólo escogiendo los esfuerzos principales máximo y mínimo en la figura 9-27c, en cuyo caso el esfuerzo cortante máximo absoluto será:
-------------------- ÿ (a)
SO
T lt lt t
TO S
**
—
................-
(9-13)
2
ini>nes cioque jura ínto 2Sa,
•
Y el esfuerzo normal promedio correspondiente será:
(9-14)
^prom
inar x el ím y •ura
(b>
)/2. ntes i en sd e . coomi las
(C)
z‘
493
494
•
CAPÍTULO 9 Transformación de esfuerzo
En el análisis sólo se consideraron tres componentes de esfuerzo que actúan sobre elem entos ubicados en posiciones que se determ inan por rotaciones respecto al eje x \ y ' o z'. Si hubiéramos usado las ecuaciones tridimensionales de transformación de esfuerzos, de la teoría de la elasti cidad, para obtener valores de los componentes de esfuerzo normal y cor tante que actúan sobre cualquier plano inclinado en el punto, como en la figura 9-27/?. se podría dem ostrar que. independientem ente de la orienta ción del plano, los valores específicos del esfuerzo cortante r sobre el pla no siempre serán menores que el esfuerzo cortante máximo absoluto que se determ inó con la ecuación 9-13. Además, el esfuerzo normal rrque ac túa sobre cualquier plano, tendrá un valor entre los de los esfuerzos prin cipales máximo y mínimo; esto es. ¿rmix 2 : a > a min. Los resultados anteriores tienen una implicación im portante para el caso del esfuerzo plano, en especial cuando los esfuer zos principales en el plano tienen el mismo signo, es decir, ambos son de tensión o am bos de compresión. Por ejemplo, imagine el material que se va a som eter a un esfuerzo plano tal que los esfuerzos principales en el plano se representan por trm!íx y
(9-15)
Tr = (T*v)máx =
z'
o
f OiyJmáx
v'
x
Esfuerzo cortante m áxim o absoluto
E sfuer/o plano x '-y ' r
(a) Fig. 9.29
(b)
V
Esfuerzo cortante máximo en el plano
S ecció n 9 .7
Esfuerzo cortante máximo absoluto
z‘
' Esfuerzo cortanle máximo en pluno y esfuerzo cortante máximo absoluto
(a)
0»)
Flg. 9-30
En el caso cuando uno de los esfuerzos principales en el plano tiene sig no contrario respecto al otro, entonces esos esfuerzos se representarán por (7miíx y crmín, y el esfuerzo principal fuera del plano rrin, = 0 . figura Los círculos de Mohr que describen este estado de esfuerzos, para orientaciones de elemento respecto a cada eje coordenado, se ven en la figura 9-30¿>. Es claro que en este caso
9-30«.
Tr
z
^
^mitN — ^min
= ( T*y)má* = -------^------
(9-16)
Es importante el cálculo del esfuerzo cortante máximo absoluto, al di señar miembros hechos de materiales dúctiles, porque la resistencia del material depende de su capacidad para resistir el esfuerzo cortante. Este caso se seguirá describiendo en la sección 10.7.
PUNTOS IMPORTANTES • El estado general de esfuerzo tridimensional en un punto se pue de representar por un elemento orientado de tal manera que só lo actúen sobre él tres esfuerzos principales. • A partir de esta orientación, se puede obtener la orientación del elemento que represente el esfuerzo cortante máximo absoluto, girando 453 al elemento, respecto al eje que define la dirección de <7int. • Si los esfuerzos principales en el plano tienen ambos el mismo signo, el esfuerzo cortante máximo absoluto estará hacia afuera del plano y tiene un valor T y = (rmáxj 2. • Si los esfuerzos principales en el plano tienen signos contrarios, el esfuerzo cortante máximo absoluto es igual al esfuerzo cortan te máximo en el plano-, esto es, r = (<7mjix - a m i n ) / 2 -
•
495
496
•
CAPÍTULO 9 Transformación de esfuerzo
E J E M P L O Debido a la carga aplicada, el elem ento en el punto indicado en el m ar co de la figura 9-31«, está sometido al estado de esfuerzo plano que se m uestra. D eterm inar los esfuerzos principales y el esfuerzo cortante máximo absoluto en el punto.
A_____
40
iK 20
1
a (lb/pulg2) '7 « W 0 )
hó \ V
— 20 —
20 lb/pulg 2
r (lb/pulg')
40 lb/pulg 2
(a)
Fig. 9-31
Solución Esfuerzos principales. Los esfuerzos principales en el plano se pue den determ inar con el círculo de Mohr. El centro del círculo está en el eje o-en
R = V (2 0 - 10) 2 + (40)2 = 41.2 lb/pulg 2 Los esfuerzos principales están en los puntos donde el círculo corta el eje cr>es decir. a mÁX = - 1 0 + 41.2 = 31.2 lb/pulg 2 *Wn = - 1 0 - 41.2 = -51.2 lb/pulg 2
S ección 9.7
Esfuerzo cortante máximo absoluto
En el círculo se ve que el ángulo 20. m edido en sentido contrario a las manecillas del reloj desde CA hacia el eje —eres 20 = tan“
1 \ 2 0
-
1 0
/
76.0°
Así, 0 = 38.0° Esta rotación en sentido contrario al de las manecillas del reloj define la dirección del eje x ' para trmln y su plano principal correspondiente, figura 9-3le. Como no hay esfuerzo principal sobre el elem ento en la dirección z. se obtienen 0-máx = 31.2 lb/pulg 2
(rmin = -51.2 lb/pulg2
Esfuerzo cortante m áxim o absoluto. y 9-14 se obtienen
Resp.
Al aplicar las ecuaciones 9-13
(c)
r ~ = amix r
2
— ^prom—
=
3 1 ,2
i— iL2) = 41.2 Ib/ pulg2
2
^mfn _ 31.2 ~ 51.2 = o ~ o
- 1 0
Resp.
lb/pulg 2
Estos mismos resultados tam bién se pueden obtener trazando el círculo de Mohr para cada orientación de un elemento, respecto a los ejes x \ y ' y z \ figura 9-31 d. Como rrmáx y crmfn tienen signos opuestos, entonces el esfuerzo cortante máximo absoluto es igual al esfuerzo cor tante máximo en el plano. Esto se debe a una rotación de 45° del ele m ento de la figura 9-3le en torno al eje z \ por lo que el elem ento con su orientación correcta se ve en la figura 9-3U'. 2 9 = 76.0°+ 90°= 166
o (lb/pulg2) <7mXx= 3l.2 lb/pulg 2
-51.2 lb/pulg 2
Tmüx= 4 «-2 lb/pulg2* r (lb/pulg2)
«l>
(e)
•
497
498
•
CAPÍTULO 9 T ra n s fo rm a c ió n d e e s fu e r z o
E J E M P L O
9.15 E l punto en la superficie del recipiente cilindrico a presión de la figu ra 9-32a está sometida a un estado de esfuerzo plano. D eterm inar el es fuerzo cortante m áxim o absoluto en ese punto.
S olució n Lo s esfuerzos principales son crmáx = 32 M P a ,
Resp.
16 M Pa
Esto s mismos resultados se pueden obtener con la aplicación direc ta de las ecuaciones 9-13 y 9-14. esto es
^mrix
^mín
32
r ib m** » = -------” -------= — -—
2
(Tprom T (MPa)
^máx
0
2
°"mín
4/ w n .
= 16 M Pa
32 + 0
n .
Resp.
= 16 M Pa
(b )
H r . 9-32
Por com paración, puede determ inarse el esfuerzo cortante m áxim o en el plano a partir del circulo de M ohr trazado entre
3 2 -1 6 = ----- -— = 8 M Pa
32 - 16 »■prom= 16 + ---- ----- = 24 M Pa
P r o b le m a s
•
499
PROBLEMAS *9*88. Trace los tres círculos de Mohr qu e describen ca- 9-89. da uno de los siguientes estados de esfuerzo.
TVace los tres círculos de M ohr que describen cada uno de los siguientes estados de esfuerzo.
15 klb/pulg2
klb/pulg:
4 klb/pulg2
(a)
MPa
P ro b . 9-89
9-90. Los esfuerzos principales que actúan en un punto de un cuerpo se ven a continuación.Trace los tres círculos de Mohr que describen este estado de esfuerzo y calcule los esfuerzos cortantes máximos en el plano y los esfuerzos normales promedio en los planos x-y, y-z y x-z. Para cada caso indique los resultados en el elem ento orientado en la dirección adecuada.
500
•
CAPÍTULO 9 Transformación de esfuerzo
9-91. El esfuerzo en un punto se indica sobre el elem en to. Determ ine los esfuerzos principales y el esfuerzo cor tante máximo absoluto.
9-93. El estado de esfuerzo en un punto se indica sobre el elemento. D etermine los esfuerzos principales y el es fuerzo cortante máximo absoluto.
2.5 klb/pulg2
5 klb/pulgi 60 MPa
Prob. 9-91
P ro b . 9-93
*9-92. El esfuerzo en un punto se indica sobre el elem en to. Determ ine los esfuerzos principales y el esfuerzo cor tante máximo absoluto.
■ 9-94. Considere el caso general de esfuerzo plano que se muestra. Escriba un programa de cómputo que haga una gráfica de los tres círculos de M ohr para el elem ento y que también calcule el esfuerzo cortante máximo en el plano, y el esfuerzo cortante máximo absoluto.
Prob. 9-92
Prob. 9-94
Pro b lem a s
En los siguientes problem as se usa m aterial cubierto en el capítulo 8. 9-95. El cilindro macizo que tiene un radio r se coloca en un recipiente sellado sometido a una presión p. Calcule los com ponentes de esfuerzo que actúan en el punió A . ubi cado en el eje central del cilindro. Trace círculos de M ohr para el elem ento en esc punto.
P ro b . 9-97
Prob. 9-96
501
9-97. El marco está sometido a una fuerza horizontal y al m omento de un par en su extremo. Determ ine los es fuerzos principales y el esfuerzo cortante máximo absolu to en el punto A . El área transversal en ese punto se ve en el detalle.
P ro b . 9-95
*9-96. La placa está som etida a una fuerza de tensión P = 5 klb. Si tiene las dimensiones indicadas, determine los esfuerzos principales y el esfuerzo cortante máximo ab soluto. Si el material es dúctil, fallará p o r cortante. Haga un esquema de la placa, donde se indique cóm o aparece ría esa falla. Si el material es frágil, la placa fallará debido a los esfuerzos principales. Muestre cómo sucede esa falla.
•
502
•
CAPÍTULO 9 Transformación de esfuerzo
REPASO DEL CAPÍTULO • El esfuer/o plano se presenta cuando un punto del material está sometido a dos componentes de es fuerzo normal. trx y
PROBLEMAS
DE
REPASO
9-9S. Sobre el elemento se muestra el esfuer/.o en un pun to. Determ ine los esfuerzos principales y el esfuerzo cor tante máximo absoluto.
Con el pescante se sostiene la carga de 350 Ib. De term ine los esfuerzos principales que actúan sobre la plu ma en los puntos A y li. El corte transversal es rectangu lar. con 6 pulg de ancho y 3 pulg de espesor.
9-99.
Ib/pulg1
70 Ib/pulg’
Prob. 9-9K
Prol». 9-99
Pr o b lem a s
Determine el estado equivalente de esfuerzo, si un elemento se orienta a 40f. en sentido de las manecillas del reloj, respecto al elemento que se muestra. Use el círculo de Mohr. *9-100.
•
503
El estado de esfuerzo en un punto se indica en el elemento. Determine a) los esfuerzos principales y b) el esfuerzo cortante máximo en el plano, y el esfuerzo nor mal promedio en el punto. En cada caso, especifique la orientación del elemento. 9-103.
10 klb/pttlg2
60 MPn 6 klb/puig-
45 MPa
P ro b . 9-100
Prol». 9-103
La tabla de madera está sometida a las cargas in dicadas. Determine los esfuerzos principales que actúan en el punto C.y especifique la orientación del elemento en este punto. La viga está sostenida por un tornillo (pasa dor) en B y un soporte liso en A.
9-101.
La tabla de madera está sometida a la carga que se muestra. Si las fibras de la madera en el punto C forman un ángulo de 60° con la horizontal, como se indica, deter mine los esfuerzos normal y cortante que actúan en direc ciones perpendicular y paralela a las mismas, respectiva mente. debido a las cargas. La tabla está so-slenida por un tornillo (pasador) en B y un soporte liso en A.
9-102.
50 N
50 N
í i
i ID
-H h 25 mm
40 N
El estado de esfuerzo en un punto de un miem bro se indica en el elemento. Determine los componentes de esfuerzo que actúan sobre el plano inclinado AB. Re suelva el problema empleando el método de equilibrio des crito en la sección 9.1. *9-104.
40 N
:
r
B
A 50 mm
100 inni
100 mm
Probs. 9-101/102
Prob. 9-104
Los esfuerzos com plejos q u e se desarrollan en esta ala d e avión se analizan a partir de datos obtenidos en galgas extensométricas (Cortesía d e M easurem ents G roup, Inc.. Raleigh, N orth Carolina. 27611. Estuiios Unidos.)
C A P Í T U L O
10
Transformación de deformación unitaria
OBJETIVOS DEL CAPÍTULO
La transformación de la deformación unitaria en un punto es similar a la transfor mación d e esfuerzo, y en consecuencia se aplicarán los m étodos del capítulo 9 en este capítulo. A quí también describiremos varias formas de medir la deformación y desarrollarem os algunas relaciones im portantes con las propiedades del m ate rial. incluyendo una forma generalizada de la ley de Hooke. Al final de este capí tulo se describirán algunas de las teorías que se usan para predecir la falla de un material.
10.1
Deformación unitaria plana C om o se describió en la sección 2.2. el estado general de la deformación unitaria en un punto de un cuerpo se representa por una combinación de tres componentes de deformación unitaria normal. ev e,, e:. y tres com ponentes de deformación unitaria cortante. yxy, y,., yy:. Estos seis com po nentes tienden a deformar cada cara de un elemento del material, y como el esfuerzo, los componentes de deformación unitaria normal y cortante en el punto varían de acuerdo con la orientación del elemento. Los com ponentes de la deformación unitaria en un punto se determ inan con fre cuencia usando galgas extensométricas. que miden esos componentes en .direcciones especificadas. Sin embargo, tanto para análisis como para di seño. a veces los ingenieros deben transform ar esos datos para obtener los componentes de la deformación unitaria en otras direcciones.
505
506
•
CAPÍTULO 10 Transformación de deformación unitaria
y
y
y 2fv 2
r t i / i
----------------- -- - 1
i ■■
x
Deformación unitaria normal f (a)
Deformación unitaria normal f v (b )
*"7 /
i i i / - r ftv 1 2
Deformación unitaria cortante yJV
F lg . 10-1
El espécim en de hule está restringido entre dos soportes fijos, por lo que su frirá deformación unitaria plana cuan do se le apliquen cargas en el plano horizontal.
Para com prender cómo se hace primero confinaremos nuestra atención en el estudio de la deformación unitaria plana. En forma específica, no tendrem os en cuenta los efectos de los componentes ez, yxz y yyz. Enton ces en general, un elem ento deformado en un plano está sujeto a dos com ponentes de deformación unitaria normal, ev, ev, y a un componente de deform ación unitaria cortante. yxy. Las deform aciones de un elemento, causadas por cada una de esas deformaciones unitarias.se ven gráfica m ente en la figura 10-1. Observe que las deformaciones unitarias norm a les se producen por cambios de longitud del elemento en las direcciones .v y v, y la deformación unitaria cortante se produce por la rotación rela tiva de clos lados adyacentes del elemento. Aunque tanto la deformación unitaria plana como el esfuerzo plano tie nen tres componentes que están en el mismo plano.se debe tener en cuenta que el esfuerzo plano no necesariamente causa la deformación unitaria plana, o viceversa. La razón tiene que ver con el efecto de Poisson. que se describió en la sección 3.6. Por ejemplo, si el elemento de la figura 1 0 - 2 se som ete a un esfuerzo plano ax y *xv, no sólo se producen las defor maciones unitarias normales ex y ev. sino también hay una deformación unitaria normal correspondiente. Es obvio que ése no es el caso del es fuerzo plano. Entonces, en general, a menos que v = O.el efecto de Pois son evitii la ocurrencia simultánea de la deformación unitaria plana y el esfuerzo plano. También se debe hacer notar que ya que el esfuerzo cor tante y la deformación unitaria cortante no son afectados por la relación de Poisson. para la condición de r t. = = 0 se requiere que yx : = yyz = 0.
S e c c ió n 1 0 .2
Ecuaciones generales de transformación de deformación unitaria plana
•
El csfucrz-o plano,
10.2
Ecuaciones generales de transform ación de deformación unitaria plana
En el análisis de la deformación unitaria plana, es im portante establecer ecuaciones de transformación para determ inar los componentes x \ y'de la deformación unitaria normal y cortante en un punto, cuando se conoz can los componentes x, y de la deformación unitaria. En esencia este pro blema es de geom etría, y se requiere relacionar las deformaciones y las rotaciones de segmentos diferenciales de línea, que representan los lados de elem entos diferenciales que sean paralelos a cada conjunto de ejes. A ntes de poder desarrollar las ecuaciones de transformación de deformación unitaria, prim ero se debe establecer una convención de signos de las deformaciones. Esa convención es igual a la establecida en la sección 2 .2 .y las volveremos a mencionar aquí para la con dición de esfuerzo plano. Con referencia al elem ento diferencial de la fi gura 10-3«, las deformaciones unitarias normales ex y ey son positivas si causan alargamiento a lo largo de los ejes x y y, respectivamente, y la de formación unitaria cortante yxy es positiva si el ángulo interno A O B se ha ce menor que 90°. Esta convención de signos también es consecuencia de la correspondiente para el esfuerzo plano, figura 9-5a. esto es, los esfuer zos o\, cry y Txy positivos causan que el elem ento se deforme en las direc ciones positivas e„ ey y yvv. respectivamente. En este caso, el problema será determ inar las deformaciones unitarias normal y cortante en un punto. ev-, ev*y yAy , medidas en relación con los ejes .v\ y ', si se conocen e„ ev y yxr medidas en relación con los ejes x, y. Si el ángulo entre los ejes x y x ' es 0. entonces, como en el caso del esfuer zo plano, 0 será positivo si sigue el enroscam iento de los dedos de la ma no derecha, es decir, si es contrario al m ovimiento de las manecillas del reloj, como se ve en la figura 10-3/>.
+ (ytiy T
C o n v e n c ió n d e s ig n o .
+€xd\
(b) Convención de -signos positivos F ig . 10-3
507
CAPÍTULO 10 Transformación de deformación unitaria
D e f o r m a c io n e s u n ita r ia s n o rm a l y c o r t a n t e . Para deducir la ecua ción de transformación de deformación unitaria para determ inar €x-. se debe determ inar el alargamiento en un segmento de recta dx' que estó a lo largo del eje .v' y esté sometido a los com ponentes de deformación uni taria €x. 6 V , yxy. Como se ve en la figura 10-4«, los componentes de la rec ta d x ' a lo largo de los ejes .r y y son
v
d x = d x *eos tí d y = rf.v'sen tí Ames de la deformación (a)
( 1 0 -1 )
C uando se presenta la deformación unitaria normal ex, figura 10-4Z). la recia dx se alarga er dx. lo que hace que la recia dx' se alargue ex dx eos tí. D e igual modo, cuando se presenta ev. figura 10-4c, la recta dy se alarga ey d y , lo que hace que la recta dx' se alargue cy dy sen tí. Por último, supo niendo que dx permanezca fijo en su posición, la deformación cortante yxv, que es el cambio del ángulo entre dx y dy, hace que la parte superior de la recta dy se desplace yx>, dy hacia la derecha, como se ve en la figura lü-4í/. Eslo hace que d.v 's e alargue y xy dy eos tí. Si se suman los tres alar gamientos, el alargamiento resultante de dx' es, entonces, $ x f = ex d x eos 0 + ey d y sen tí + y xy d y eos 0
y
D e acuerdo con la ecuación 2-2, la deformación unitaria normal, a lo largo de la recta d x ', es ex- = 8x‘/d x '. Entonces, usando la ecuación 1 0 - 1 , se obtiene ex. = e r eos 2 0 + €y sen 2 tí + y xy sen 6 eos 0
( 1 0 -2 )
La ecuación de transformación de deformación unitaria para determ i nar yxy se puede deducir si se considera la cantidad de rotación que su fre cada uno de los segmentos de recta dx' y dy’ cuando se someten a los com ponentes de deformación unitaria ex, ey yxv. Primero se examinará la rotación de d x \ que se define por el ángulo a, en sentido contrario al de las manecillas del reloj tal y como se ilustra en la figura 10-4. Se puede determ inar a partir del desplazamiento 8 y \ usando a = 8y'/dx'. Para ob tener $y\ s e consideran los tres componentes siguientes de desplazamien to que actúan en la dirección y ': uno de ex, que es - € x dx sen tí. figura 10-46; otro de er que es ey dy eos 0, figura 10-4c. y el último de yxy, que es “ 7ty dy sen 6. figura 10-4d. Así. 8 y resultado de los tres componentes de deformación unitaria.es 8 y' = ~ e x d x sen 0 + e Yd y eos 0 - y xy d y sen 0 Usando la ecuación 10-1, con ct = 8y' /dx'. se obtiene a = {—ex + ey) sen 0 eos 0 — y xy sen 2 0
Deformación unitaria normal e, (c) Fig. 10-4
(10-3)
C om o se ve en la figura 10-4e. la recta dy' gira una cantidad /3. Se pue de determ inar este ángulo con un análisis similar, o sólo sustituyendo tí por 0 + 90° en la ecuación 10-3. Si se usan las identidades sen(0 + 90°) = eos 0,cos(0 + 90°) = - s e n tí, se obtiene fi = ( - € x + cy) sen(tí + 90°) cos(0 + 90°) - y xy sen2(tí + 90°) = —’(—€ , + e v) eos tí sen tí - y xy eos2 tí
S ección 10.2
Ecuaciones generales de transformación de deformación unitaria plana
(O
Defonnación unitaria cortante yxy
(d>
Fig. 10*4 (cont.)
Como (x y (3 representan la rotación de los lados dx' y dy' de un elem en to diferencial cuyos lados estaban orientados originalmente a lo largo de los ejes x' y y ', y /3 tiene dirección contraria a a. figura 10-4í?. entonces el elemento está sujeto a una deformación unitaria de y ,y = a - 0 = - 2 ( e x - cy) sen 0 eos 0 + y ,y(cos 2 0 - sen 2 0) (10-4) Si se usan las identidades trigonométricas sen 20 = 2 sen 0 eos 0. cos20 = (1 + eos 20)¡2 y sen20 + cos20 = 1. las ecuaciones 10-2 y 10-4 se pueden convertir en su forma final: + €y
€x ~ €v
yxy
€.■ - — - —- + — - — -eos 2 0 + — sen 20 2 2 2
m 2f
(10-5)
( 10-6 )
- - ( m
Estas ecuaciones de transformación de deform aciones unitarias repre sentan la deformación unitaria normal ex- en la dirección ,v' y la deform a ción unitaria cortante yxy de un elem ento orientado en un ángulo 0 , co mo se ve en la figura 10-5. De acuerdo con la convención de signos establecida, si ex- es positiva, el elem ento se alarga en la dirección de x ' positiva, figura 10-5«. y si y ,y es positiva, el elem ento se deform a como se ve en la figura 10-56. Observe que esas deformaciones se presentan co mo si sobre el elem ento actuaran el esfuerzo normal positivo
“ «y
—
- —
_
7xv
---------- — eos ”2 0 — — sen
1
2 0
(10-7)
Se debe notar la semejanza entre las tres ecuaciones anteriores y las de transformación del esfuerzo plano, ecuaciones 9-1,9-2 y 9-3. Por compa ración. „ txy corresponden a J x y f 2 . yxy / 2 .
(b )
Fig. 10-5
•
509
510
•
CAPÍTULO 10 Transformación de deformación unitaria
D e fo rm a c io n e s u n ita ria s p rin c ip a le s. Como en el esfuerzo, se puede determ inar la orientación de un elem ento en un punto tal que la deform a ción del elem ento se represente con deformaciones unitarias normales. sin deformación unitaria cortante. Cuando eso sucede, las deformaciones unitarias normales se llaman deformaciones unitarias principales. y si el m aterial es isotrópico. los ejes a lo largo de los cuales se hacen esas defor maciones coinciden con los ejes que definen los planos de esfuerzos prin cipales. De acuerdo con las ecuaciones 9-4 y 9-5. y con la correspondencia entre esfuerzo y deformación unitaria que se indicó anteriormente, las direccio nes de los ejes, y los dos valores de las deformaciones unitarias principa les e, y e2. se determ inan con
tan 20p =
y*y
( 10-8)
<“»>
*1
L os esfu erzos com p lejos a m enud o se desarrollan en las uniones donde los reci p ien tes se conectan . Los c síu c r /o s se determinan al medir la deformación uni taria.
D e fo rm a c ió n u n ita r ia m á x im a e n e l p la n o . A l usar las ecuaciones 9-6.9-7 y 9-8. se determ inan la dirección de los ejes y la deformación uni taria máxima en el plano, así como la deformación unitaria normal pro medio. con las siguientes ecuaciones:
tan 20,
- m
ñ
( 10-10)
( 10- 11 )
e prom
( 10- 12 )
PUNTOS IMPORTANTES • Debido al efecto de Poisson. el estado de deformación unitaria plana no es un estado de esfuerzo plano, y viceversa. • Un punto de un cuerpo se somete a esfuerzo plano cuando la superficie del cuerpo no tiene esfuerzos. Se puede usar el análisis de deformación unitaria plana dentro del piano de los esfuerzos, para analizar los re sultados de las galgas extensométricas. R ecuérdese,sin embargo, que hay una deformación unitaria normal que es perpendicular a los deformímetros o galgas. • Cuando el estado de deformación unitaria se representa por las deformaciones unitarias principales, no ac túa deformación unitaria cortante sobre el elemento. • El estado de deformación unitaria en el punto también se puede representar en función de la deformación unitaria máxima en el plano. En este caso, sobre el elem ento también actuará la deformación unitaria nor mal promedio. • El elemento que representa la deformación unitaria cortante máxima en el plano, y sus deformaciones unita rias normales promedio, forma 45° con el elem ento que representa las deformaciones unitarias principales.
S ec c ió n
10.2
Ecuaciones generales de transformación de deformación unitaria plana
E J E M P L O U n elemento diferencial de m aterial en un punto se sujeta a un estado de deformación unitaria plana, , = 5()0( 10-6). ey = -ÍOOOO-6). y xy = 200(10 "6), que tiende a distorsionar al elem ento como muestra la figu ra 10-6
Se usarán las ecuaciones de transform ación de deformación unitaria, ecuaciones 10-5 y 10-6. para resolver este problema. Y a que 0 e s posi tivo en el sentido contrario de las manecillas del reloj, entonces 0 = -30° para este problema. A sí,
** + C* - Cy ^ y.xy e x = — - — - + — - — e o s 20 + — s e n 28 2 2 2 [500 + ( - 3 0 0 ) '
(10~6) c o s (2 (- 3 0 ° ))
2
+
'2 0 0 ( 1 0 -*) j
s e n (2 (-3 0 °))
Resp.
ex" = 213(10-6)
y.ry f€X- €y\ 7.xv — = - y — - — J sen 20 + — eos 20 500 — ( - 3 0 0 ) 1 ,,__ _ ________ 200(10 (10"6)s e n (2 (- 3 0 ° )) + y * , = 793(10"6)
-6 \ co s(2 (—3 0 °))
Resp.
L a deformación unitaria en la dirección y ' se obtiene con la ecuación
10-7. con 0 = -30°. Sin embargo, tam bién se puede obtener 6V- usando la ecuación 10-5 con 0 = 60° (0 = -3 0 ° + 90°), figura 10-6b. Si ev- sus tituye a ex-, entonces + €y €x - e y y xy €y’ = — - —- + — ■ eos 20 + —^sen 26 500 + (-3 0 0 ) , -------- i — J (( 11 00 "*) + 2 0 0
( 1 0 -6)
500 - (-3 0 0 )
(10~6) c o s(2 (6 0 °))
se n (2 (6 0 °)) = —13.4(10“* )
Resp.
D e acuerdo con estos resultados, el elem ento se tiende a distorsionar como se ve en la figura 10-6c.
Fíg. 10-6
•
511
512
•
CAPÍTULO 10 Transformación de deformación unitaria
E J E M P L O Un elemento diferencial de material en un punto está sometido a un estado de deformación unitaria plana, definido por ex = -350(10-6), €y = 2 0 0 ( 1 0 "6). yxy = 80(10~6), que tiende a distorsionar al elem ento com o se indica en la figura 10-7«. Determ ine las deformaciones unita rias principales en el punto, y la orientación correspondiente del ele mento.
*2
«
Solución
r"
Orientación del elemento.
Según la ecuación 10-8,
y,y
dx
- * - J |
80(10"*)
€xdx
(-3 5 0 - 200)(10“*) (a)
Así, 20, = -8.28°, y -8.28° + 180° = 172°. por lo que 0P = -4.14° y 85.9°
Resp.
C ada uno de esos ángulos se mide en dirección positiva , en contra de las manecillas del reloj, a partir del eje x hacia las normales hacia afue ra sobre cada cara del elemento, figura 10-76. Deformaciones unitarias principales. Las deformaciones unitarias principales se determinan con la ecuación 10-9, como sigue: «t
+
6,
«u = (- 3 5 0 + 200) (10“*)
( f ) V ,
= -75.0(10“*) ± 277.9(10-6) e, = 203(10“*)
Fig. 10-7
«e2
= -353(10"6)
Resp.
Al aplicar la ecuación 10-5. con 0 = -4.14° se puede determ inar cuál de esas dos deformaciones unitarias deforma al elem ento en la direc ción x'. Entonces, fy Y.ÏV — - — eos 20 + — sen 20 2 2
e,. = —353(10-6) Por consiguiente, ex = 6 2 - Cuando se somete a las deformaciones unita rias principales.el elem entóse distorsiona como muestra la figura 10-76.
S ección 10.2
Ecuaciones generales de transformación de deformación unitaria plana
E J E M P L O Un elem ento diferencial de material en un punto se som ete a un esta do de deformación unitaria plana, definido por ex — -350(10 -6), ey = 200(IÜ-6). yxy = 80(10"6),q u e tiende a distorsionar al elem ento como se ve en la figura 10-8«. Determine la deform ación unitaria máxima en el plano, en el punto, y la orientación correspondiente del elemento. Solución
Orientación del elemento.
De acuerdo con la ecuación 10-10:
» -p e )-
tan
+€vdy X
( - 3 5 0 - 200)(10~6)
yxy )
80(10"6)
Así, 20s = 81.72° y 81.72° + 180° = 261.72°. por lo tanto.
$s = 40.9° y 130.9° Nótese que esta orientación forma 45° con la que se muestra en la fi gura 10-76, en el ejemplo 10.2. como era de esperarse. Deformación unitaria cortante máxima en el plano. ción 10-11 y se obtiene
Se aplica la ecua
Resp.
T S — " 556(10-6)
El signo correcto de y r s e obtiene aplicando la ecuación 10-6, con 0S = 40.9°. Entonces, yxy
e* - e v y*v — - —-sen 20 + —=-cos20
2
2
-3 5 0 - 200
- (
) ( l O ^ s e n 2(40.9°) +
80(10-6)
eos 2(40.9°)
y ,y = 556(10"6) Así, y tiende a distorsionar al elem ento de tal manera que dismi nuye el ángulo recto entre dx' y dy' (convención de signo positivo), fi gura 10-86. También, hay deformaciones unitarias promedio asociadas en el ele m ento que se calculan con la ecuación 10-12: Fig . 10-8
-3 5 0 + 200 -prom
2
2
(10”6) = -7 5 (1 0 “*)
Estas deformaciones tienden a hacer que se contraiga el elemento, fi gura 10-86.
•
513
514
•
*10.3
CAPÍTULO 10 Transformación de deformación unitaria
Círculo de M ohr (deform ación unitaria plana) Como Las ecuaciones para transformación de deformación unitaria plana son matemáticamente parecidas a las de transformación de esfuerzo plano, tam bién se pueden resolver problemas de transformación de deformacio nes unitarias usando el círculo de Mohr. Este m étodo tiene la ventaja de posibili tar la apreciación gráfica de la forma en que varían los componentes de la deformación unitaria normal y cortante en un punto, de una orien tación del elem ento respecto a otra. Al igual que el caso del esfuerzo, el parám etro 0de las ecuaciones 10-5 y 10-6 se elimina, y el resultado se ordena en la forma siguiente:
siendo
ex + ey e prom
La ecuación 10-13 representa la ecuación del círculo de M ohr para la de formación unitaria.Tiene un centro en el eje ee n el punto C(eplom,0) y un radio R.
PROCEDIMIENTO PARA ANÁLISIS El procedim iento para trazar el círculo de M ohr para deformación unitaria es el mismo que se estableció para los esfuerzos. Construcción del círculo. • Definir un sistema de coordenadas tal que las abscisas represen ten la deformación unitaria normal e, positivo hacia la derecha, y la ordenada represente la mitad del valor de la deformación cor tante. y/2 , siendo positivo hacia abajo. figura 10-9. • Aplicar la convención de signo positivo a er, yxv, como se ve en la figura 10-3, y determ inar el centro del círculo C, que está en el eje e a una distancia eprom = (ex + ev) /2 del origen, figura 10-9. • G raficar el punto de referencia A con coordenadas A(ex, yxy/2). E ste punto representa el caso en el que el eje x 'coincide con el eje x. Por consiguiente. 0 = 0o. figura 10-9. • U nir el punto A con el centro C del círculo,y con el triángulo som breado determ inar el radio R del círculo, figura 10-9.
Fíg. 10-9
• U na vez determ inado R, trazar el círculo.
Sección 10.3
Círculo de Mohr (deformación unitaria plana)
Deformaciones unitarias principales. • Las deformaciones unitarias y se determ inan con el círculo, y son las coordenadas de los puntos B v D. esto es, donde y /2 = 0. figura 10-10«. • La orientación del plano sobre el que actúa 6j se determ ina en el círculo, calculando 2 0lh m ediante trigonom etría. En este caso, el ángulo se mide en sentido contrario al de las manecillas del re loj, desde la línea radial de referencia CA hacia la línea CB. figura 10-10«. Recuerde que la rotación de 0p, debe tener esta misma di rección, desde el eje de referencia del elem ento .v hacia el eje x fi gura 10-106.* • C uando se indica que 6] y son positivos, com o en la figura 10-10«, el elem ento de la figura 10-106 se alarga en las direcciones .v' y y ', com o indica el contorno en línea interrumpida.
y*
y
D efo rm ación u n ita ria cortante m áxim a en e l p la n o .
• La deformación unitaria normal prom edio, y la mitad de la defor mación unitaria cortante máxima se determ inan en el círculo, co mo las coordenadas de los puntos E y F. figura 10-10«. • La orientación del plano sobre el cual actúan y eproin se de term inan en el círculo.calculando20* m ediante trigonometría. En este caso, el ángulo se mide en el sentido de las manecillas del re loj, desde la línea radial de referencia CA hacia la línea CE. figura 10-10«. Recuérdese que la rotación d e 0,, debe tener esta misma dirección, desde el eje de referencia a- del elemento, hacia el eje x \ figura 10-ÍOc'.* Deformaciones unitarias sobre un plano arbitrario. • Los componentes de deformación unitaria normal y cortante, exy y*•>■’>P<‘ra un plano especificado que forma un ángulo 0, figura lO-lOrf, se obtienen con el círculo y em pleando trigonom etría para determ inar las coordenadas del punto P, figura 10-10«. • Para localizar P. se mide el ángulo 0 conocido del eje x \ en el círculo, como 20. Esta medición se hace desde la línea radial de re ferencia CA hacia la línea radial CP. R ecuérdese que las medicio nes de 20 en el círculo, deben tener la misma dirección que 0para el eje • Si se requiere el valor de ey-. se puede determ inar calculando la coordenada edel punto Q, en la figura 10-10«. La línea CQ está a 180° de CP, así que representa una rotación de 90° del eje x'.
Fíg . 1010
•
515
516
•
CAPÍTULO 10 Transformación de deformación unitaria
10.4
E J E M P L O
El estado de deformación unitaria plana en un punto se representa con los componentes er = 250(10-6), ey = -150(10'6) y y xy = 120(10~6). Determ inar las deformaciones unitarias principales y la orientación del elemento. Solución
Construcción del círculo. Se definen los ejes e y y /2 como en la figu ra 10-11«. Recuérdese que el eje positivo de y/2 debe estar dirigido ha cia abajo, para que las rotaciones contrarias al sentido de las maneci llas del reloj del elem ento correspondan a rotaciones contrarias al sentido de las manecillas del reloj en tom o al círculo, y viceversa. El cen tro del círculo C está ubicado sobre el eje e en Dí-íj.O)
fdO"6)
250 + (-1 5 0 )
(10"6) = 50(10"*)
C om o yAV/ 2 = 60(10~6). el punto de referencia A (0 - 0o) tiene las coor denadas ,4 (250(1(T D),60(10-6)). De acuerdo con el triángulo som brea do de la figura 10-11«. el radio del círculo es CA: esto es, R = [V (2 5 0
50)2 + (60)2]( 10“6) = 208.8(10"6)
(a) Deformaciones unitarias principales. Las coordenadas e de los pun tos B y D representan las deformaciones principales. Éstas son:
y
lJ
Resp.
é2 = (50 - 208.8)(10-6) = -159(10-6)
Resp.
La dirección de la deformación unitaria principal positiva ei se defi ne por el ángulo 26pi en sentido contrario al de las manecillas del reloj, m edido desde la línea radial de referencia CA hacia la línea CB. Entonces, ---------- '
dy'
e, = (50 + 208.8) (10-6) = 259(10“6)
\
60 tan 2 6 = p' (250 - 50) 0pi = 8.35°
Resp.
^ — -dx'~
(b) Fig. 10-11
Por consiguiente, el lado dx' del elem ento está orientado a 8.35° en sen tido contrario al de las manecillas del reloj. como se ve en la figura 10-11/). Esto también define la dirección de ej.También se muestra la deformación del elem ento en esa figura.
S ección 10.3 Círculo de Mohr (deformación unitaria plana)
E J E M P L O
---------------------------------------------------------------
El estado de deformación unitaria plana se representa por los compo nentes ex = 250(10-6). €y = -150(10 6) y yxy = 120(10~6). Determine las deformaciones unitarias máximas en el plano, y la orientación del elemento. Solución
El círculo se trazó en el ejemplo anterior, y se ve en la figura 10-1 la. Deformación unitaria cortante m áxim a en el plano. La mitad de la deformación unitaria cortante máxima en el olano. v la deformación unitaria normal promc to E o F e n el círculo.
Para orientar al elemento, se puede determ inar el ángulo 20u en sentido de las manecillas del reloj, en el círculo.
y_ 2 (a)
26íy = 90° - 2(8.35°) 0Sl = 36.6°
Fig. 10-12
Resp.
El ángulo se muestra en la figura 10-12/>. Como la deformación unitaria cortante definida en el punto E del círculo tiene un valor positivo, y la deformación unitaria normal promedio también es positiva, corresponden a esfuerzo cortante positivo y a esfuerzo normal promedio positivo.que deforman al elem ento hacia la forma indicada con línea interrumpida en la figura.
y
•
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518
•
CAPÍTULO 10 Transformación de deformación unitaria
E J E M P L O E l estado de deformación unitaria en un punto se representa en un ele mento que tiene com ponentes ex = - 3 0 0 (1 0 -6) . ey = —100(10-6) y yxy = 100(10"6). D eterm ine el estado de deform ación unitaria sobre un elem ento orientado a 20° en sentido de las m anecillas del relo j, res pecto a la posición original. S o lu c ió n
Construcción del circulo.
L o s ejes e y y /2 se definen como en la figu ra 10-13«. E l centro del círculo está en el eje e en
- 3 0 0 - 100' ^prom
i
*
€ (10**) E l p u m o de re fe re n cia A tiene las coordenadas /1 (-1 0 0 (1 0 ~ 6),
50(10 -6)) . E l radio C A determinado con el triángulo sombreado es, por consiguiente.
R = [V (300 - 200)2 + (50)2](10-*) = lll.8(10“6) Deformaciones unitarias sobre el elemento inclinado. Com o el e le mento se va a orientar a 20° en sentido de las manecillas del reloj, se debe traza r una línea radial C P a 2(20°) = 40° en sentido de las mane cillas deJ reloj, medidos desde C A (0 = 0o). figura 10-13«. L a s coorde nadas d el punto P ( ex•. —yx y / 2) se obtienen con la geom etría del círculo. O bsérvese que
Gs^W) -
= tan-11
26-57*-
*-4
26-5 r
-
,3 -43<
A sí. = - (2 0 0 + 111.8 eos 13.43°) (10-6) = —309( 10“6)
yxy
=
-(1 1 1 .8 sen 13.43°) (10"*)
y , y = -5 2 .0 (1 0 “ )
Fijj. 10-13
Resp.
Resp.
L a deform ación unitaria norm al cy- se determina a p artir de la coor denada € del punto Q del círculo, figura 10-13«. ¿Por qué? e v = - (2 0 0 - 111.8 eos 13.43°)(10~6) = - 9 1 .3 (1 0 ^ )
Resp.
Com o resultado de esas deformaciones unitarias, el elemento se defor ma respecto a los ejes x', y ' como se indica en la figura 10-13/>.
P roblemas
•
519
PROBLEMAS 10*1. Demuestre que la suma de las deformaciones unita rias normales en direcciones perpendiculares es constante. 10-2. El estado de deformación unitaria en el punto de la ménsula tiene componentes cx = -20()(10"6). ey - -650(10"6). yvv = -175(10-6). Use las ecuaciones de transformación de deformación unitaria para determinar las deformaciones unitarias equivalentes en el plano, so bre un elemento orientado en un ángulo de 0 = 20°. en sentido contrario a las manecillas del reloj, respecto a la posición original. Trace el elemento deformado debido a esas deformaciones unitarias en el plano x-y.
10-5. El estado de deformación unitaria de un punto de la ménsula tiene componentes ex = 400(10 6)?ev = 250( 10 '6). yx>. = 310( 10‘ 6). Use las ecuaciones de transformación de deformación unitaria para determinar las deformaciones unitarias equivalentes en el plano, de un elemento que for ma un ángulo de 0 = 30° en sentido de las manecillas del reloj, respecto a la posición original.Tracc el elemento defor mado. debido a esas deformaciones unitarias, dentro del plano x-y.
P rob .10-5
10-3. Un elemento diferencial del soporte se somete a deformación unitaria plana, cuyos componentes son: í , = 150(10“®). €y = 200(10 " 6), y ,v = - 7 0 0 ( 1 0 - 6). Use las ecuaciones de transformación de deformación unitaria, y determine las deformaciones unitarias equivalentes en el plano, sobre un elemento orientado cu un ángulo de ff = 60" en sentido contrario al de las manecillas del reloj, respecto a la posición original.Trace el elemento deforma do en el plano x-y. debido a esas deformaciones unitarias. *10-4. Resuelva el problema 10-3 para un elemento orientado a 0 = 30° en sentido de las manecillas del reloj.
Probs. 10-3/4
10-6. El estado de deformación unitaria en un punto de una Uavc tiene los componentes ex = 120(10 6),
Prob. 10-7
520
•
CAPÍTULO 10 Transformación de deformación unitaria
*10-8. El estado de deformación unitaria en un punto del diente de un engranaje tiene los componentes ex = 520(10"6). €y = -7 60(10 -6). yxv = -750(10 “6). Use las ecuaciones de transformación de deformación unitaria para calcular (a) las deformaciones unitarias principales en el plano, y (b) la deformación unitaria cortante máxima en el plano y la de formación unitaria normal promedio. En cada caso, espe cifique la orientación del elemento, e indique el m odo en que este elem ento se deform a en el plano x-y.
10-10. El estado de deformación unitaria en un punto del brazo tiene los componentes ex = - 130(10"*), er = 280(10-6), yxy = 75(10 6). Use las ecuaciones de transformación de deformación unitaria para calcular (a) las deformaciones unitarias principales en el plano.y (b) la deformación uni taria cortante máxima en el plano y la deformación unita ria normal promedio. En cada caso, especifique la orien tación del elem ento, e indique el m odo en que este elem ento en el plano x-y.
Prob. 10-8
Prob. 10-10
10-9. El estado de deformación unitaria en un punto del brazo tiene los componentes €, - 250(10"6).é), = -450(10~h), yx> = -825(10-,>). Use las ecuaciones de transformación de deformación unitaria para calcular (a) las deform acio nes unitarias principales en el plano, y (b) la deformación unitaria cortante máxima en el plano y la deformación uni taria norm al prom edio. En cada caso, especifique la orientación del elemento, c indique el modo en qu e este elem ento se deform a en el plano x-y.
Prob. 10-9
10-11. El estado de deformación unitaria en un punto del brazo de una grúa hidráulica tiene los com ponentes é, = 250(10'*), €y = 300(10-6), yxy = - 180(10"6). Use las ecuaciones de transformación de deformación unitaria pa ra calcular (a) las deformaciones unitarias principales en el plano, y (b) la deformación unitaria cortante máxima en el plano y la deformación unitaria normal promedio. En cada caso, especifique la orientación del elemento, e in dique la forma en que se deforma el elem ento en el plano x-y.
Prob. 10-11
} P r o b lem a s
*10-12. U n a galga ex ten so m é trica es c e m e n ta d a en el eje de a cero A-36 de 1 pulg d e diám etro , e n la form a que se indica. C u an d o el eje gira con u n a velocidad an g u lar de w = 1760 rpm ,co n un anillo deslizante p a ra la indicación. € = 800( 10“6). D eterm in e la p otencia del m o to r. S uponga que el eje sólo está so m etid o a p a r d e to rsió n .
•
521
■ 10-14. E xam ine el caso gen eral d e d eform ación u n ita ria plana, d o n d e se conocen cx, ey y yxy. E scriba un p rog ra m a d e có m p u to para d eterm in a r la deform ación unitaria norm al y co rtan te. ex - y y, y ■.en el p la n o d e un elem ento o rie n ta d o a 0 g rad o s re sp e c to a la h o riz o n ta l. T am bién calcule las d eform aciones unitarias principales y la o rien tación del elem ento, a sí com o la d eform ación unitaria c o r tan te m áxim a en el plano, la d eform ación u nitaria norm al pro m ed io y la orien tació n del elem ento.
10-15. M ohr.
R esuelva el p ro b lem a 10-2, u san do el círculo de
*10-16. M ohr.
R esuelva el problem a 10-4, u san d o el círculo de
10-17. M ohr.
R esuelva el p ro b lem a 10-3. u san d o el círculo de
10-18. M ohr.
R esuelva el p ro b lem a 10-5. u san d o el círculo de
10-19. M ohr.
R esuelva el p ro b lem a 10-6, u san d o el círculo de
*10-20. M ohr.
R esuelva el problem a 10-8, u san d o el círculo de
10-21. Mohr.
R esuelva el p ro b lem a 10-7, u sa n d o el círculo de
10-22. M ohr.
R esuelva el p ro b lem a 10-9, u sa n d o el círculo de
Prob. 10-12
10-13. El estado de deform ación u n itaria en el p unto del soporte tiene los com ponentes ex = 350(10_<5,),er = 400(10~6). yx> = -675(10"6). U se las ecuaciones d e transform ación de d eform ación u n itaria p a ra d eterm in ar (a) las d efo rm a ciones unitarias principales en el plano y (b ) la deform ación unitaria cortante m áxim a en el plano, y la deform ación n o r m al prom edio. E n cad a caso especifique la o rientación del e le m e n to , c in d iq u e có m o las d e fo rm a c io n e s u n ita ria s defo rm an al e lem en to en el p lan o x-y.
/ . Prob. 10-13
522
•
*10.4
CAPÍTULO 10 Transformación de deformación unitaria
Deformación unitaria cortante máxima absoluta
(l +
(a)
E n la sección 9.7 se hizo notar que. en tres dimensiones, el estado de es fuerzo en un punto se puede representar por un elemento orientado en una dirección específica tal que el elemento sólo está sujeto a esfuerzos principales cuyos valores m áxim o, interm edio y m ínim o son írmáx,
Y “ ‘ = e mAx -
e max f prom
Fig . 10-14
(c)
6 min
e mín
(10-14)
(10-15)
S ección 10.4
esen ios ii y ¡as ro ías o. ;an jra
/. sar ná;lerse enido enura
ná-
Esnto ;sta
-14)
-15)
Deformación unitaria cortante máxima absoluta
D e fo rm a c ió n u n ita r ia p la n a . Como en el caso del esfuerzo plano, el análisis anterior tiene una implicación im portante cuando el material está sometido a deform ación unitaria plana , e n especial cuando las deform a ciones unitarias principales tienen el m ism o sign o, es decir, ambas causan alargamiento, o ambas causan contracción. Por ejemplo, si las deform a ciones unitarias principales en el plano son em4x y eim, mientras que la de formación unitaria principal fuera del plano es emin = 0. figura 10-15«. en tonces los tres círculos de M ohr que describen los com ponentes de deformación unitaria normal y cortante para los elem entos orientados respecto a los ejes x ’ , y f y z' son los que m uestra la figura 10-15/). Por ins pección. el círculo mayor tiene un radio R = (yxy)m¿xP-. Por consiguiente.
A-
x'~ y'dcíorm ación unitaria plana (a)
F¡g. 10-15 ^mín
Por consiguiente, se pueden resumir los puntos anteriores como sigue. Si las deformaciones unitarias principales en el plano tienen ambas el m is m o signo, la deform ación unitaria cortante m áxim a absoluta estará fuera del p la n o , y su valor es y ü ,= «máx- Sin embargo, si las deformaciones uni tarias principales en el plano tienen signos opuestos, entonces la deform a ción unitaria cortante máxima absoluta es igual a la deformación unitaria cortante máxima en el plano.
PUNTOS IMPORTANTES • El estado general tridimensional de deformación unitaria en un punto se puede representar por un elem ento orientado de tal mo do que sólo actúen sobre él tres deform aciones unitarias princi pales.
523
(1 +íin.)rf/S5r< (l +fn*u)¿v' y
Este valor representa la deform ación unitaria cortante m áxim a absoluta para el material. Nótese que es m ayor que la deformación unitaria cor tante máxima en el plano, que es (yTr')máS = em¡¡x - ejnl. Por otra parte, si una de las deform aciones unitarias principales en el plano tiene signo opuesto a la otra deform ación unitaria principal en el plano, entonces causa alargamiento. emin causa contracción,)' la de formación unitaria principal fuera del plano es e,nl = 0. figura 10-16«. Los círculos de Mohr que describen las deformaciones unitarias en cada orien tación del elem ento.respectoa los ejes.v'. y ' , z ' . se ven en la figura 10-166. En este caso, ('Vjr'yOmáx —
•
x ’- >•’ deformación unitaria plana (a)
• A partir de esta orientación, el elem ento que representa la defor mación unitaria cortante máxima absoluta se puede obtener ha ciendo girar 45c al elem ento respecto al eje que define la direc ción de einl. • La deformación unitaria cortante máxima absoluta será mayor que la deformación unitaria cortante máxima en el plano cuan do las deformaciones unitarias principales en el plano tienen el mismo signo. Cuando eso sucede, la deformación unitaria cortan te máxima absoluta actúa fuera del plano. Fig . 10-16
524
•
CAPÍTULO 10 Transformación de deformación unitaria
E J E M P L O El estado de deformación unitaria plana en un punto se representa por los com ponentes de deform ación unitaria ex = - 4 0 0 (1 0 -6 ) , ey = 200(10 “ 6) , Tty = 150(10 ' 6). Determine la deformación unitaria cortan te máxima en el plano, y la deformación unitaria cortante máxima.
Solución
Deformación unitaria máxima en el plano. Resolveremos este pro blem a usando el círculo de Mohr. De acuerdo con los componentes de deformación unitaria, el centro del círculo está en el eje e en -4 0 0 + 200 sproni
(IO-6) = -100(10“*)
Ya que yxy/2 = 75( 10-6), el punto de referencia tiene las coordena das y4(-40Ó(10- *).75(10- *)). Como se ve en la figura 10-17. el radio del círculo es. entonces. R = [V (4 0 0 - 100)2 + (75)2](10~6) = 309(10“*) Al calcular las deformaciones unitarias principales en el plano, resulta «máx = (" 1 0 0 + 309)(10~*) = 209(10"6) «mín = (-1 0 0 - 309)(10"*) = -409(10”6) Según el círculo, la deformación unitaria cortante máxima en el plano es em¡u -
= [209 - ( —409)](10~6) = 618(KT‘ )
Resp.
Deformación unitaria cortante máxima absoluta. De acuerdo con los resultados anteriores, emáx = 209(10' *), = 0, emín = -4 0 9 ( 10"6). También se muestran en la figura 10-17 los tres círculos de Mohr. para las orientaciones del elem ento respecto a cada uno de los ejes x \ y \ z '. Se ve que como las deformaciones unitarias principales en el plano tienen signos opuestos, la deformación unitaria cortante máxima en el plano tam bién es la deformación unitaria cortante máxima absoluta: es decir. 72*
= 618(10“*)
Resp.
S ecció n
10.5 Rosetas de deformación
•
525
10.5 Rosetas de deform ación Se mencionó en la sección 3.1 que la deformación unitaria normal en un espécimen de prueba de tensión se mide usando una galga extensométrica de resistencia eléctrica, que consiste en una red de alambre, o una pie za de hoja metálica pegada al espécimen. Sin embargo, para cargas gene rales sobre un cuerpo, con frecuencia se determ inan las deformaciones unitarias normales en un punto de su superficie libre, con un conjunto de tres galgas extensométricas de resistencia eléctrica, arregladas en una for ma especificada. A esa forma se le llama roseta de deformación. y una vez que se determinan las lecturas de deformación en las tres galgas, éstas pue den emplearse para determ inar el estado de deformación unitaria en el punto. Sin embargo, se debe hacer notar que estas deformaciones unita rias sólo se miden en el plano de las galgas, y como el cuerpo no tiene es fuerzos en su superficie, los medidores pueden estar sometidos a esfuer zo plano, pero no a deformación plana. A este respecto, la línea normal a la superficie libre es un eje principal de deformación, por lo que la defor mación unitaria normal principal, a lo largo de ese eje,no la mide la rose ta de deformación. Lo importante aquí es que el desplazamiento fuera del plano, causado por esta deformación unitaria principal,no afectará las me didas en el plano, hechas con las galgas. En el caso general, los ejes de las tres galgas se arreglan en los ángulos 0a, %, 0ft como se ve en la figura 10-18«. Si se toman las indicaciones eu, ef„ €c, se pueden determ inar los com ponentes ex, ev, yxv en el punto, apli cando la ecuación 10-2, de transformación de deformación unitaria, a ca da galga. Entonces. €„ = € x eos2 0a + ey sen20„
+
Rósela de deform udón de 45° (b)
y xv sen 6„ eos 0a
= c x eos2 0¡t + €y sen20b + y XY se n 0b eos 0,,
ec - €x eos2 0C + €y sen20f
+
yAvsen 0 c cos0(.(10-16)
Los valores de ex. ev y yv>.se determ inan resolviendo estas tres ecuaciones simultáneas. Con frecuencia, las rosetas de deformación se disponen en arreglos de 45° o 60°. En el caso de la roseta de deformación de 45° o ‘'rectangular", que muestra la figura 10*186. 0a = 0o. 0t) = 45° y 9C = 90°. por lo que la ecuación 10-16 da como resultado
Roseta de deformación de 60°
(c)
Fig. 10-18
y xy = 2eb - (ea + €c) y para la roseta de deformación de 60° de la figura 10-18c. 0„ = 0o, 0(, = 60°, 0C = 120°, y en este caso la ecuación 10-16 da como resultado
e y = - { 2 e b + 2 e c - ea)
yxy = -^ (« /> - O
(10-17)
Una vez determ inadas e„ ey y yx>, se usan entonces las ecuaciones de transformación de la sección 10-2 o el círculo de Mohr para determ inar las deformaciones unitarias principales en el plano, y la deformación uni taria cortante máxima en el plano, en el punto.
R oseta de deformación de 4 5 a base de re-
s is te ig g p f« !^ * .-
**• - v ' ÁPTTrnfe
526
•
CAPÍTULO 10 Transformación de deformación unitaria
E J E M P L O El estado de deform ación unitaria en el punto A del soporte en la figura 10-19« se mide con la roseta de deformación que se ve en la fi gura 10-19/). D ebido a las cargas, las lecturas en las galgas son etJ = 60(10~6), eb = 135(10 6) y €c = 264(10“°). Determine las deformaciones unitarias principales en el plano, en el punto, y las direcciones en las que actúan. Solución
U sarem os la ecuación 10-16 para obtener la solución. Definiendo un eje .v com o se ve en la figura 10-196, y midiendo los ángulos en senti do contrario al de las manecillas del reloj a partir del eje x hacia las líneas de centro de cada galga.se tiene que 9a = 0o. 6h - 60° y 0C= 120°. Al sus tituir esos resultados, junto con los datos del problem a,en la ecua ción 10-16, se obtiene 60( 10“fi) = é v eos" 0o + 6 v sen2 0o + y xy sen 0o eos 0o (1) 135(10 6) = e r cos2 60° + e vsen260° + y xysen 60° eos 60c
(2 )
= 0.25er + 0.75ev + 0.433y,v 264(10~6) = €t eos2 120° + €,. sen2 120° + y x>. sen 120° eos 120° = 0.25ct + 0.75c,. - 0.433yt>.
(3)
Se aplica la ecuación 1. y se resuelven simultáneamente las ecuaciones 2 y 3, y los resultados son f(IO) *
K»l«<
€ ,* 6 0 (1 0 " * ) ey = 246(10-*) y xy = -1 4 9 (1 0”6) Se pueden obtener estos mismos resultados, en forma más directa, con la ecuación 10-17. Las deform aciones unitarias principales en el plano se determ inan usando el círculo de Mohr. El punto de referencia en el círculo está en /4(60(10~6). -7 4 .5 (1 0 "6)) y el centro del círculo, C. está en el eje e en eproni = 153(10 -6), figura 10-19c. Según el triángulo sombreado, el radio es
(10-*) (O
R = [V (1 5 3 - 60)2 + (74.5)2](10-6) = 119.2(10"^) Entonces, las deformaciones unitarias principales en el plano son €X = 153(10^) + 119.2(10"^) = 272(10-*)
Resp.
€Z = 153(10"«) - 119.2(10“^) = 33.8(10"*)
Resp.
74 5 20P, .: ' = 38.7e 'Pi = tan"1— (153 - 60) eP) = 19.3°
Resp.
El elem ento deform ado se indica con línea interrum pida en la figura 10-19rf. Se debe observar que, debido al efecto de Poisson,el elemento también está sujeto a una deformación unitaria fuera del plano, es de cir, en la dirección z, aunque ese valor no influye sobre los resultados calculados.
P r o b le m a s
•
527
PROBLEMAS 1 0 -2 3 . La deformación unitaria en el pum o A del soporte tiene com ponentes et = 300(10"6). ey = 550(10 6). y xy = -650(10 -6). í. = 0. Determ ine (a) las deform aciones uni tarias principales en A (b) la deformación unitaria cortante máxima en el p lano x -y y (c) la defo rm ació n u n itaria cortante máxima absoluta.
P ro b .10-25
Prob. 10-23
' 1 0 -2 4 . La deformación unitaria en el punto A de una vi ga tiene com ponentes cx = 4 5 0 (I0 -6), ey = 825(10~6). yt) = 275(10~6), f . = 0. D eterm ine (a) las deformaciones unitarias principales en A , (b) la deformación unitaria cor tante máxima en el plano .v-y y (c) la deform ación unita ria cortante máxima absoluta.
1 0 -2 5 . La deformación unitaria en el punto A de la pared del recipiente a presión tiene com ponentes ex = 480(10' 6). (y = 720(10-6). y,, * 650(10 6).e. = 0. D eterm ine (a) las deformaciones unitarias principales en /!. (b) la deform a ción unitaria co rtante m áxim a en el p lan o x-y y (c) la deformación unitaria cortante máxima absoluta.
10*26. La deformación unitaria en el punto A del patín del ángulo tiene com ponentes ex = -140(10~ 6). ey = 180(10-
528
•
CAPÍTULO 10 Transformación de deformación unitaria
10-27. La barra de acero está sometida a la carga de te n sión de 500 Ib. Si tiene 0.5 pulg de espesor, determ ine la deform ación u nitaria co rtan te m áxim a absoluta. E 29(103) klb/pulg2. v = 0.3.
10-29. La roseta de deformación de 45° se m onta en la articulación de una retroexcavadora. En cada galga se tienen las siguientes lecturas: e„ = 650(10 e,, = -3 0 0 (1 0 ’*), cr = 480(10 -6). D eterm ine (a) las deform aciones u ni ta ria s p rin c ip a le s en el p lan o , y (b ) la d efo rm ació n unitaria co rtan te máxima en el plano, con la deform a ción unitaria normal prom edio correspondiente.
2 pulg
5001b
5
•15 pulg
P ro b .10-27
Prob. 10-29
La roseta de deformación de 45: se m onta en un elem ento de una máquina. En cada galga se tienen las si guientes lecturas: cít = 650(10~6), = -3 0 0 (1 0 -6). ec = 480( 10“6). Determine (a) las deformaciones unitarias prin cipales en el plano, y (b) la deformación unitaria cortante máxima en el plano, con la deformación unitaria normal prom edio correspondiente. En cada caso muestre el e le m ento deform ado debido a esas deformaciones unitarias. * 1 0 -2 8 .
Prob. 10-28
10*30. La roseta de deformación de 60° se m onta en una viga. En cada galga se tienen las siguientes lecturas: ea = 250(10 -6). = -400(10 ^ = 280(10“6). Determine (a) las deform aciones unitarias principales en el plano y su orientación (b) la deformación unitaria cortante máxima en el plano, con la deformación unitaria normal promedio correspondiente. En cada caso muestre el elem ento defor mado debido a esas deformaciones unitarias.
P rob .10-30
P r o b le m a s
1 0 *3 1 . La roseta de deformación de 60° se m onta en la superficie de una placa de aluminio. En cada galga se tie nen las siguientes lecturas: = 950( 10“6), = 380( 10-6), et ~ -220(10 6). D etermine las deformaciones unitarias principales en el plano, y su orientación.
Prob. 10-31
/
Prob. 10-32
529
Para la orientación general de los tres galgas cxtensométricas ilustrada en la figura, escriba un programa de cóm puto que se pueda usar para determ inar las defor (naciones unitarias principales en el plano, y la deformación unitaria cortante máxima en el plano, en el punto. Demues tre una aplicación del programa con los valores siguientes: 0„ = 40", = I60(10~h). 0,, = 125r. €h = 100(10 6). 0C = ■ 1 0 -3 3 .
220°. ef = 80(10“h).
* 1 0 -3 2 . La roseta de deformación de 4 5 ° está montada en un eje de acero. Las lecturas de deformación registra das por cada galga son: é„ = 800( 10~6). = 520(10 ). et = -450(10~6). D etermine las deformaciones unitarias prin cipales en el plano, y su orientación.
•
Prob. 10-33
530
•
10.6
CAPÍTULO 10 Transformación de deformación unitaria
Relaciones de propiedades de los m ateriales A h o ra que se han presentado los principios generales del esfuerzo y de formación m ultiaxiales, se usarán esos principios para deducir algunas re laciones importantes acerca de las propiedades de los materiales. Para ha cerlo, se supondrá que el m aterial es homogéneo e isotrópico, y que se comporta en form a elástica lineal. L e y d e H o o k e g e n e r a liz a d a . Si el m aterial en un punto se somete a un estado de esfuerzo tria xia l o\, ,el elemento se alarga en la di rección x y la deformación unitaria ex~es
L a aplicación de cry hace que se contraiga el elemento, con una deform a ción unitaria eÁ'en la dirección x , figura 10-20c. E n este caso,
D e igual m anera, la aplicación de crv figura 10-2Od, causa una contracción en la dirección x tal que
1
Orx ~ v((Ty + 0-z)
t*l|
¡t II
Cuando se sobreponen esas deform aciones unitarias norm ales, la de formación unitaria norm al ex se determina para el estado de esfuerzos de la figura 10-20«. Pueden desarrollarse ecuaciones sim ilares para las defor maciones unitarias normales en las direcciones y y z. E l resultado final se escribe como sigue:
i ' (Ty
1 €z ~ E
- v{(Tx + cr,)
(10-18)
• (Tz
-
v {(T x
+
(T y )
E stas tres ecuaciones expresan la ley de H oo ke en una form a general, para un estado de esfuerzo triaxial. Com o se hizo notar en la deducción sólo son válidas si se aplica el principio de la superposición, para lo cual se requiere una respuesta lineal-elástica del m aterial, y la aplicación de deformaciones unitarias que no alteren mucho la form a del m aterial; esdecir, se requiere que las deformaciones sean pequeñas. Cuando se apli can estas ecuaciones se debe observar que los esfuerzos de tensión se con sideran cantidades positivas, y los esfuerzos de compresión son negativos. Si una deformación unitaria norm al resultante es positiva, indica que el m aterial se alarga, m ientras que una deform ación unitaria norm al negati va indica que el m aterial se contrae. Como el m aterial es isotrópico, el elemento de la figura 10-20« seguirá siendo un bloque rectangular cuando se someta a esfuerzos normales, es decir, en el m aterial no se producirán deform aciones unitarias cortantes. Si ahora se aplica un esfuerzo cortante rxy al elemento, figura 10-21«, las observaciones experim entales indican que el m aterial sólo se deformará a causa de una deformación unitaria cortante yxy\esto es, t xv no causará otras deformaciones unitarias en el m aterial. De igual m anera, Tyz y txz sólo cau sarán deformaciones unitarias cortantes y vz y ysz, respectivam ente. L a ley de H ooke para el esfuerzo cortante y la deform ación unitaria cortante se puede escribir, por consiguiente, en la forma
1
y.fy ~ Q r xy
1 Tyz - Q Tyz
1 y.xz = Q T.xz
(10-19)
Fig. 10-21
>
532
CAPÍTULO 10 Transformación de deformación unitaria
R e la c ió n d o n d e in t e r v ie n e n E, v y G. E n la sección 3.7 dijim os que el módulo de elasticidad E se relaciona con el módulo G de cortante por la ecuación 3-11, es decir.
( 10-20) U n a form a de deducir esta ecuación es considerar un elemento del ma terial que se somete a cortante puro (crv = o y = a . = 0 ). figura 10-22«. A l aplicar la ecuación 9-5 para obtener los esfuerzos principales se obtiene crmáx = TXy y crmin = - r vv. D e acuerdo con la ecuación 9-4, el elemento de be estar orientado a = 45° en sentido contrario al de las m anecillas del reloj respecto al eje .v, para definir la dirección del plano sobre el cual ac túa figura 10-22/?. Si los tres esfuerzos principales a¡nt = 0 y ermfn = —tx>, se sustituyen en la prim era de las ecuaciones 10-18, se puede relacionar la deformación unitaria principal emáx con el esfuerzo cortante rAV. E l resultado es (a)
^máx
■ vy ,1 E
,
-,
( 10-21 )
Esta deformación unitaria del elemento a lo largo del e je .r' también se puede relacionar con la deformación unitaria cortante yxy usando las ecua ciones de transform ación de esfuerzos, o el círculo de M ohr para defor m ación u n ita ria . P ara h acerlo se debe notar p rim ero que, com o a x =
_ ^1
<7 • = v'nnn
emí¡.\
Tfxy
2
De acuerdo con la ley de Hooke. yxy = txJ G . así que emáx = txy/ 2 G . Esto se sustituye en la ecuación 10 -2 1 . se reordenan los términos y se obtiene el re sultado final, la ecuación 10 -20 .
— T*vv
D ila ta c ió n y m ó d u lo d e v o lu m e n . Cuando un m aterial elástico se somete a esfuerzo norm al su volumen cambia. Para calcular este cambio se considera un elemento de volumen que está sometido a los esfuerzos principales ax, . E l cambio de volumen del elemento es, entonces.
(b)
SV = (1 + e v) ( l + ev) ( l + e, ) d x d y d z — d x d y d z
Fig. 10-22
Sin tener en cuenta los productos de las deformaciones unitarias, por ser éstas muy pequeñas, se obtiene S V = ( e v + ey + e ,) d x d y dz A l cambio de volum en por unidad de volum en se le llam a “ deform a ción unitaria volum étrica” o dilata ció n , e. Se puede expresar como sigue: e =
5K dV
e.v + e v + e .
( 10-22)
E n comparación, las deformaciones unitarias cortantes no cambian el volu men del elemento: más bien sólo cambian su forma rectangular.
S ección 10.6 Relaciones de propiedades de los materiales
}ue Dor
Si se usa la ley de H ooke generalizada definida por la ecuación 10-18, se puede escribir la dilatación en función del esfuerzo aplicado. Entonces, e =
20) na,A1 :ne dedel act= . se rzo
21) i se ua:or-
r— ido ob-
3 se re) se bio ■zos eninsura
ser
1 - 2v
o-, + o- + crz)
d;
(10-23)
Cuando se somete un volum en de m aterial a la presión uniforme p de un líquido, la presión sobre el cuerpo es igual en todas direcciones, y siem pre es normal a cualquier superficie sobre la que actúa. Lo s esfuerzos cor tantes no existen, porque la resistencia de un líquido al corte es cero. Este estado de carga "hidro stática” requiere que los esfuerzos normales sean iguales en todas y cada una de las direcciones, y en consecuencia el ele mento del cuerpo está sujeto a los esfuerzos principales crY = cry = a z = —p , figura 10-24. A l sustituir en la ecuación 10-23 y reordenar los términos se obtiene (10-24) e 3(1 - 2») E l térm ino de la derecha só lo consiste en las propiedades E y v del m aterial. E s igual a la relación del esfuerzo norm al uniform e p entre la dilatación o “ deform ación unitaria volum étrica” . Com o esta relación se parece a la relación del esfuerzo elástico lineal entre la deformación uni taria, que define a E , es decir, a/e = E , a los térm inos de la derecha se les llam a m ódulo volum étrico de elasticidad, o m ódu lo de volum en (también m ódulo de com presión y m ódulo h id ro stá tico ).T ien e las mismas unidades que el esfuerzo, y se representa por la letra k\ esto es, k =
3(1 - 2v)
Fig. 10-23
(10-25)
Nótese que para la m ayor parte de los metales v ~ - . y entonces k = £ . Si existiera un m aterial que no cam biara de volum en, entonces SV = 0 y k sería infinito. D e acuerdo con la ecuación 10-25. el valo r m áxim o teóri co de la relación de Poisson es.entonces. v = 0.5.Tam bién, durante la fluen cia. no se observa un cambio real en el volumen por lo que se usa v = 0.5 cuando se presenta la fluencia plástica.
PUNTOS IMPORTANTES • Cuando un material homogéneo e isotrópico se somete a un estado de esfuerzo triaxial, la deformación unitaria en una de las direccio nes de esfuerzo es afectada por las deformaciones unitarias que pro ducen todos los esfuerzos. Esto es consecuencia del efecto de Pois son. y tiene como consecuencia una ley de Hooke generalizada.
o .= p
• U n esfuerzo cortante aplicado a un m aterial homogéneo e isotró pico sólo produce deformación unitaria en el mismo plano. • Las constantes E , G y v de un m aterial están relacionadas mate máticamente.
maiue: -22 )
olu-
• L a dilatación, o deformación unitaria volumétrica, sólo la causa la de formación unitaria normal, y no la deformación unitaria cortante. • E l m ódulo de volumen es una medida de la rigidez de un volumen del m aterial. E sta propiedad del m aterial define un lím ite superior de la relación de Poisson, de v = 0.5, que permanece en este valor mientras se produce la fluencia plástica.
Fig. 10-24
•
533
534
•
CAPÍTULO 10 Transformación de deformación unitaria
E J E M P L O
10.9 E l soporte del ejem plo 10-8, figura 10-25a, es de acero para el que E s = 200 G P a , vs = 0.3. D e te rm in e los esfuerzos p rin cip a le s en el punto A .
S olución I D el ejemplo 10.8. se determ inaron las siguientes deformaciones unita rias principales: e t = 272(10~6) e2 = 33.8(10“ 6) Como el punto A está sobre la superficie del soporte, donde no hay car ga, el esfuerzo en la superficie es cero, por lo que el punto A está suje to a esfuerzo plano. Se aplica la ley de H oo ke con 0-3 = 0, y se obtiene (T1
V
€' = ~ Ë ~ E * *
272(10
) =
cri
0.3
2 0 0 (1 09)
2 0 0 (1 0 )
a2
54.4(106) = o-, - 0.3ct2 cr2
v
33.8(101-6 )\
=
( 1) 0.3
2 0 0(10 )
200(10'
(2)
6.76(106) =
A l resolver sim ultáneamente las ecuaciones 1 y 2, los resultados son o-! = 62.0 M Pa
Resp.
a 2 = 25.4 M Pa
Resp.
S olución II Tam bién es posible resolver el problema usando el dato del estado de deformación unitaria: e , = 60(10"
6y = 2 4 6 ( 1 0
)
y xy = - 1 4 9 ( 1 0
)
que se especificó en el ejemplo 10.8. Se aplica la ley de H oo ke en el plano x-y para obtener
S ección 10.6 Relaciones de propiedades de los materiales
(b )
0.3o-.,
v E
60(10-6) =
I a ?'
246(10~6) =
ax
- 29.4 M Pa
200(10 ) Pa
200(10 ) Pa
200(10 ) Pa
200(10 ) Pa
a y — 58.0 M Pa
E l esfuerzo cortante se determina aplicando la ley de H oo ke para cor tante. Sin embargo, prim ero hay que calcular G .
G =
200 G P a 2(1 + v )
2(1 + 0.3)
= 76.9 G P a
A sí, Txy
=
Tx y
G y Xy,
= 76.9( 109) [ —149( 10-6)] = -1 1 .4 6 M Pa
E l círculo de M ohr para este estado de esfuerzo plano tiene el punto de referencia A (29.4 M Pa, -11.46 M P a), y el centro está en <7prom = 43.7 M Pa, figura 10-25¿>. E l radio se determina con el triángulo sombreado. R = V (43.7 - 29.4)2 + (1 1 .4 6 )2 = 18.3 M Pa Por consiguiente, a ¡ = 43.7 M Pa + 18.3 M Pa = 62.0 M Pa
Resp.
a 2 = 43.7 M Pa - 18.3 M Pa = 25.4 M Pa
Resp.
O bserve que cada una de estas soluciones es vá lid a siem pre que el m aterial sea tanto linealm ente elástico como isotrópico. porque en tonces coinciden los planos principales de esfuerzo y deformación un i taria.
•
535
536
•
CAPÍTULO 10 Transformación de deformación unitaria
E J E M P L O
10.10 L a barra de cobre de la figura 10-26 está sometida a una carga uniforme en sus orillas, como se ve en la figura. Si su longitud es a = 300 mm, an cho b = 50 mm y espesor t = 20 mm antes de aplicar la carga, deter mine su nueva longitud, ancho y espesor después de aplicar la carga. Suponer que E cu = 120 G P a , vcu = 0.34.
500 MPa
*, í
'i ‘I '! '! ■ ! 'I 'I ‘i -
800 MPa
800 MPa 500 MPa
Fig. 10-26 Solución
Por inspección se ve que la barra está sometida a un estado de esfuer zo plano. Con los datos de la carga se calcula lo siguiente: crv = 800 M Pa
cry = —500 M Pa
Txy = 0
az = 0
L a s deformaciones unitarias normales correspondientes se determinan con la ley de H oo ke generalizada, ecuación 10-18, esto es, cr, E ~ ¿ K 800 M Pa
0.34
120(10 ) M Pa
120(103) M Pa
u
- ~ ^ { a x + Vz) -5 0 0 M Pa
0.34
120(10 ) M Pa
120(10 ) M Pa
£Z = - f -
0
(- 5 0 0 M P a ) = 0.00808
V
V
e.v = -j
=
+ «O
(800 M Pa + 0) = -0.00643
+ (Ty) 0.34
-
120( 103) M Pa
(800 M Pa - 500 M P a ) = -0.000850
E n consecuencia, las nuevas dimensiones de la barra son: a ' = 300 mm + 0.00808(300 m m ) = 302.4 mm
Resp.
b ' = 50 mm + (-0 .0 0 6 4 3 )(5 0 m m ) = 49.68 mm
Resp.
t ' = 20 mm + (-0 .0 0 0 8 5 0 )(2 0 m m ) = 19.98 mm
Resp.
S ección 10.6 Relaciones de propiedades de los materiales
E J E M P L O
10.11
Si el bloque rectangular de la figura 10-27 se somete a una presión uni forme de p = 20 lb/pulg2. determ inar la dilatación y el cambio de lon gitud de cada lado. Suponer que E = 600 lb/pulg2. v = 0.45.
pulg
Fig. 10-27
S olución D ila ta ció n . L a dilatación se puede determ inar con la ecuación 10-23 con o;T =
1 - 2v e = — - — (
^ [3<' 2 0 2 0 1 b /p U lg )1
= -0 .0 1 pulg 1 /pulg '1
Resp.
C am bio de longitud. L a deformación unitaria norm al en cada lado se determina con la ley de H ooke. ecuación 10-18; esto es
e = jW x -
+ o-:)]
= 60 0 1 b /p u l ° 2 l ~ 20 lb /P ul§2 “ (0 .4 5 ) ( —20 lb /p ulg 2 — 20 lb/pulg2 )] = -0.00333 pulg/pulg
A s í, el cambio de longitud de cada lado es
5a =
-0 .0 0 3 3 3 (4 pulg) = -0 .0 1 33 pulg
Resp.
8b = -0 .0 0 3 3 3 (2 pulg) = -0.00667 pulg
Resp.
8c = -0 .0 0 33 3 (3 pulg) = -0 .0 1 0 0 pu\g
Resp.
Lo s signos negativos indican que cada dimensión disminuye.
•
537
538
•
CAPÍTULO 10 Transformación de deformación unitaria
PROBLEMAS 10-34. Para el caso del esfuerzo plano, dem ostrar que la ley de H ooke se puede escribir en la siguiente forma:
*10-40. La barra de cloruro de polivinilo (PVC) se so mete a una fuerza axial de 900 Ib. Si sus dimensiones ori ginales son las que se indican, determ ine el cambio en el ángulo 9 después de que se aplica la carga. Epvc = 800(103) lb/pulg2. i'pvc = 0.20.
E E v* = -------- 2 ^(e.x + W ,),
10-35. Use la ley de Hooke, ecuación 10-18, para dedu cir las ecuaciones de transformación de deformación uni taria. ecuaciones 10-5 y 10-6. a partir de las ecuaciones de transformación de esfuerzo, ecuaciones 9-1 y 9-2.
10-41. La barra de cloruro de polivinilo se somete a una fuerza axial de 900 Ib. Si tiene las dimensiones originales que se indican en la figura, determ ine el valor de la rela ción de Poisson,si el ángulo 6 disminuye en A6 = 0.01° des pués de aplicar la carga. £ pvc = 800(103) lb/pulg2.
*10-36. U na barra de aleación de cobre se carga en una m áquina de tensión, y se determ ina que ex = 940(10 6), y ax = 14 klb/pulg2, (Ty = 0. £r; = 0. Determ ine el módulo de elasticidad Eco, y la dilatación eco del cobre. Dato: vco = 0.35.
10-37. Los esfuerzos principales en el plano, y las defor maciones unitarias correspondientes en el plano, para un punto, son
10-38. D eterm ine el módulo volumétrico para cada uno de los materiales siguientes: (a) hule, Er = 0.4 klb/pulg2, vr = 0.48 y (b) vidrio. Eg = 8(103) klb/pulg2, vg = 0.24.
10-39. Las deformaciones unitarias principales en un pun to sobre el fuselaje de aluminio de un avión a chorro son e! = 780(10-6) y e2 = 400(10 6). D eterm ine los esfuerzos principales asociados, en el punto del mismo avión. £ ai = 10(103) klb/pulg2, i^i = 0.33. Sugerencia: vea el problema 10-34.
Probs. 10-40/41
10-42. U na varilla tiene 10 mm de radio. Si se som ete a una carga axial de 15 N tal que la deform ación unitaria axial en la varilla es ex = 2.75(10-6), determ ine el módulo de elasticidad £ y el cambio en su diámetro. Para el m ate rial, v = 0.23.
10-43. Las deformaciones unitarias principales en un pun to de la superficie de alum inio en un tan q u e son e] = 630(10~6) y e2 = 350(10'6). Si éste es un caso de es fuerzo plano, determine los esfuerzos principales corres pondientes en el punto del mismo plano. £ a( = 10(103) klb/pulg2, vai = 0-33. Sugerencia: vea el problem a 10-34.
P r o b lem a s
*10-44. U na galga extensom étrica es colocada sobre la superficie de una caldera con pared delgada de acero, co mo se muestra. Si ésta tiene 0.5 pulg de longitud, determ i ne la presión en la caldera cuando la galga se alarga 0.2(10-3) pulg. El espesor de la pared es 0.5 pulg, y el diá metro interno es 60 pulg.También, determ ine la deform a ción unitaria corlante máxima en el plano x,y. del material. Eac = 29(103) klb/pulg2, v3C = 0.3.
•
539
El eje tiene 15 mm de radio, y es de acero para he rramientas L2. Determ ine las deformaciones unitarias en las direcciones .r 'y y ', si al eje se le aplica un par de tor sión T = 2 kN • m. 10-46.
P ro b . 10-44
10-45. El eje de acero tiene un radio de 15 mm. D eter mine el par de torsión T en el eje, si las dos galgas extensométricas cementadas sobre la superficie indican que las deform aciones unitarias son ev- = —80(10-6) y ev< = 80(10-6). También calcule las deformaciones unitarias en las direcciones x y y. £ ac = 200 GPa, v3C = 0.3.
10-47. El corte transversal de la viga rectangular se so mete al momento de flexión M. Deduzca una ecuación del aum ento de longitud de las líneas A B y CD. El material tiene módulo de elasticidad E y relación de Poisson v.
540
•
CAPÍTULO 10 Transformación de deformación unitaria
*10-48. Se mide la deformación unitaria en dirección .r, en un punto A de la viga de acero, y resulta ser ex = -100(10~ 6). D eterm ine ia carga aplicada P. ¿Cuál es la deformación unitaria cortante yvv en el punto A l E ac = 29(103) klb/pulg2. vM = 0.3.
ir
i
3 pulg i___
1— 3 pi< pics -
- 4 pies -
-7 pies-
3 pulg
v_r 0.5 pul
0.5 pulg 8 pulg P q T 0.5 pulg
P ro b . 10-52
6 pulg P ro b . 10-48
10-49. Se mide la deformación unitaria en la direcciónx, en el punto A de la viga de acero estructural A-36, y resul ta ser ex = 100(10~6). Determine la carga aplicada P. ¿Cuál es la deformación unitaria cortante yxy en el punto A l 10-50. Se mide la deformación unitaria en la dirección x, en el punto A de la viga de acero estructural A-36, y resul ta ser ex = 200(10 ' 6). Determine la carga aplicada P. ¿Cuál es la deformación unitaria cortante yxr en el punto A l
10-53. Los esfuerzos principales en un punto se indican en la figura. El m aterial es aluminio, para el que E a| = 10( 103) klb/pulg2 y í/ai = 0.33. D eterm ine las deformacio nes unitarias principales.
26 klb/pulg2
10-51. Si se aplica una carga P = 3 klb a la viga de acero estructural A-36. determine las deformaciones unitarias ex y yxy en el punto A .
2 pulg I 2 pulg T a U ^ J l 2 pulg
■
fl—I I -3 pies-
4 pies
6 pulg
P robs. 10-49/50/51
*10-52. Un material se somete a los esfuerzos principa les o\. y crv. Determine la orientación 6 a la cual debe ser cem entada una galga extensométrica para que su lectura de deformación unitaria normal sólo responda a crv y no a <7V. Las constantes del m aterial son E y v.
10-54. Un recipiente a presión cilindrico con paredes del gadas tiene radio interior r, espesor t y longitud L. Si se le somete a una presión interna p. demuestre que el aumento en su radio interior es d r = re\ = p r 2{1 — i v )/E t, y el aumento de su longitud es AL = p L r{\ — v)/Et. Con estos resultados demuestre que el cambio de volumen interno es d V = 7rr2(l + ej )2(1 + )L — n r 2L. Como e¡ y e2 son cantidades pequeñas, dem uestre entonces que el cambio de volumen por unidad de volumen, llamado deformación unitaria volumétrica, se puede representar por d V /V = pr (2.5 - 2v)/Et.
P ro b le m as
10-55. El recipiente cilindrico a presión se fabrica con ta pas hemisféricas para reducir el esfuerzo de flexión que habría si las tapas fueran planas. Los esfuerzos de flexión en la unión donde llegan las tapas se puede eliminar con una elección adecuada de los espesores ih y tc de las tapas y el cilindro, respectivamente. Para esto se requiere que la expansión radial sea igual para los hemisferios y para el ci lindro. D em uestre que esta relación es tc/th = (2 - v)¡ (1 - v ) . Suponga que el tanque está hecho del mismo ma terial. y que tanto el cilindro como los hemisferios tienen el mismo radio interno. Si el cilindro debe tener un espe sor de 0.5 pulg, ¿cuál es el espesor necesario de los hemis ferios? Suponga que v = 0.3.
P ro b . 10-55
•
541
10-59. El recipiente cilindrico a presión, con paredes del gadas. de radio interior r y espesor de pared t. se somete a una presión interna p. Si las constantes del material son E y v, determine las deformaciones unitarias en las direccio nes circunferencial y longitudinal. Con estos resultados calcule el aum ento tanto del diám etro como de la longi tud de un tanque de acero a presión, lleno de aire con una presión manomètrica interna de 15 MPa. El tanque tiene 3 m de longitud, su diámetro interno es 0.5 m y el espesor de su pared es de 10 mm. Además. E ac = 200 GPa, vac = 0.3. *10-60. Estime el aum ento en el volumen del tanque de! problema 10-59. Sugerencia: use los resultados del proble ma 10-54 para comprobar.
P robs. 10-59/60
*10-56. U n recipiente cilindrico a presión, con paredes delgadas, tiene radio interior r, espesor de pared t y está sometido a una presión interna p. Si las constantes del ma terial son E y v, determ ine la deformación unitaria en di rección circunferencial, en función de los parámetros men donados.
10-61. Un m aterial suave se pone dentro de un cilindro rígido que descansa sobre un soporte rígido. Suponiendo que ex = 0, ev = 0, determ ine el factor en el que se aum en ta el módulo de elasticidad cuando se aplica una carga, si v = 0.3 para el material.
10-57. Se bombea aire al interior de un recipiente a pre sión de acero, con paredes delgadas, en C. Si los extremos del recipiente se cierran con dos pistones unidos con un vástago A B . determine el aum ento del diám etro del reci piente cuando la presión manométrica interna es 5 MPa. También, ¿cuál es el esfuerzo de tensión en el vástago A B , si su diám etro es 100 mm? El radio interno del recipiente es 400 mm, y su espesor de pared es 10 mm. Eac = 200 GPa y í'ac = 0.3.
z
10-58. D eterm ine el aum ento de diám etro del recipien te en el problem a 10-57, si los pistones se sustituyen por paredes unidas a los extremos del recipiente.
P ro b . 10-61
400 mm
P robs. 10-57/58
10-62. Un recipiente esférico a presión, de pared delga da, tiene radio interior r y espesor de pared t; se somete a una presión interna p. D em uestre que el aum ento de vo lumen interno del recipiente es = (2pn>A/ E t)(l - u). Use un análisis de deformación unitaria pequeña.
542
•
*10.7
CAPÍTULO 10 Transformación de deformación unitaria
Teorías de la falla
Líneas de Lüder en una banda d escero suave
Cuando un ingeniero se encuentra con el problem a de diseñar usando un m aterial específico, adquiere importancia establecer un lím ite superior pa ra el estado de esfuerzo que define la falla del m aterial. Si el m aterial es dúctil, la falla se suele especificar por el inicio de la fluencia o cedencia, m ientras que si el m aterial es frá g il, se especifica por la fra ctu ra . Eso s mo dos de falla se definen con facilidad si el miem bro se somete a un estado de esfuerzo u niaxial, como en el caso de la tensión sim ple; sin embargo, si el m iem bro se somete a esfuerzos biaxiales o triaxiales, es más difícil es tablecer el criterio de falla. E n esta sección describirem os cuatro teorías que se usan con frecuen cia en la práctica de la ingeniería, para predecir la falla de un m aterial su jeto a un estado de esfuerzo m ultiaxial. Esa s teorías, y otras como ellas, también se usan para determ inar los esfuerzos admisibles que aparecen en muchos códigos de diseño. Sin embargo no hay una sola teoría de fa lla que se pueda aplicar siem p re a un m aterial específico, porque un m a terial se puede com portar ya sea de form a dúctil o frágil dependiendo de la tem peratura, rapidez de carga, ambiente quím ico o de la form a en que se moldea o form a el m aterial. Cuando se usa determ inada teoría de fa lla, prim ero es necesario calcular los componentes del esfuerzo norm al y cortante en puntos donde son máximos en el miembro. E s o se puede ha cer usando los fundam entos de la m ecánica de m ateriales, y aplicando factores por concentración de esfuerzos donde sea necesario, o en situa ciones com plejas,se pueden calcular los componentes m áxim os de esfuer zos usando un análisis matem ático basado en la teoría de la elasticidad, o mediante una técnica experim ental adecuada. E n cualquier caso, una vez establecido este estado de esfuerzo, se determinan entonces los esfu erzo s principales en esos puntos críticos, ya que cada una de las teorías que va mos a describir se basa en el conocimiento del esfuerzo principal. M a t e r ia le s d ú c tile s
Fig. 10-28
T e o ría d e esfu e rz o c o rta n te m áxim o. L a causa más común de la flu e n cia de un m a teria l d ú ctil, como el acero, es el d esliza m ien to , que sucede a lo largo de los planos de contacto de cristales ordenados al azar, que fo r man el m aterial. E s e d esliza m ie n to se debe al esfu erzo cortante, y si un espécimen se trabaja para que quede una tira delgada pulida, y se sujeta a una prueba de tensión sim ple, se puede ver cómo hace que el m aterial flu ya , figura 10-28. L a s orillas de los planos de deslizamiento, tal como apa recen en la superficie de la banda, se llam an líneas d e L ü d er. E sa s líneas indican con claridad los planos de deslizamiento en la banda, que form an aproxim adamente 45° con el eje de esa banda. A h o ra imagine un elemento del m aterial tomado de un espécimen de tensión, que sólo se somete al esfuerzo de fluencia ay, figura 10-29«. E l esfuerzo cortante m áxim o se calcula trazando el círculo de M ohr para el elemento, figura 10-2% . L o s resultados indican que
S ección 10.7
)-26)
Q II Q
A(0, 0) 90^ --- Gy Tmáx ” 2
(b)
Por otra parte, si los esfuerzos principales en el plano tienen signos contra rios, la falla se presenta en el plano, y según la ecuación 9-16,
^mín
Si se usan esas ecuaciones junto con la 10-26, la teoría del esfuerzo cor tante máximo, para el esfu erzo p la n o , se puede expresar para dos esfuer zos principales en el plano cualquiera, como crx y cr2, mediante los siguientes criterios:
k l | = (Ty W i\ = o y ,
n de 2. E l ra el
(a)
_cY ^prom“ "2"
í7máx
^máx
lende a forí es:ta a flu apaneas man
Tensión axial
h o
ensulas. cen fana>de que faal y haid o :uaíerd ,o vez -zo s va-
•
II
,9
un paes :ia, noido ), si es-
Adem ás, este esfuerzo cortante actúa sobre planos a 45° de los planos de esfuerzo principal, figura 10-29c, y esos planos coin cid en con la dirección de las líneas de Lü d e r que aparecen en el espécimen, e indican que en rea lidad la falla sucede por cortante. A l usar esta idea, que los m ateriales dúctiles fallan por cortante, H e n ri Tresca propuso, en 1868, la teoría d e l esfuerzo cortante m áxim o o el c ri terio de Tresca. E sta teoría se usa para predecir el esfuerzo de falla de un m aterial dúctil sometido a cualquier clase de carga. L a teoría de esfuerzo cortante máxim o indica que la fluencia del m aterial se inicia cuando el es fuerzo cortante m áxim o absoluto en el m aterial llega al esfuerzo cortan te que hace que fluya el mismo m aterial cuando só lo está sujeto a tensión axial. E n consecuencia, para evitar la falla de acuerdo con la teoría del es fuerzo corlante m áxim a, r i¡£ en el m aterial debe ser menor o igual a o y / 2 , donde u Y se determ ina en una prueba sim ple de tensión. E n las aplicaciones, expresaremos el esfuerzo cortante m áxim o absolu to en función de los esfu erzo s principales. E l procedim iento para hacerlo se describió en la sección 9.7, para una condición de esfu erzo p la n o , esto es, donde el esfuerzo principal fuera del plano es cero. Si los dos esfuer zos principales en el plano tienen el m ism o signo, es decir, si ambos son de tensión o ambos son de com presión, la falla se presentará hacia a fu e ra d e l p la n o , y según la ecuación 9-15,
Teorías de la falla
W\ ~ 0 2 1 = ° v }
Fig. 10-29
o-], o 2 tienen signo igual ab
a2 tienen signos opuestos
(10-27)
E n la figura 10-30 se muestra una gráfica de estas ecuaciones. E s claro que, si algún punto del m aterial se somete a esfuerzo plano, y si sus esfuer zos principales en el plano se representan con las coordenadas (o j, cr2) graficada en la fro n te ra o fu e ra del área hexagonal sombreada en esta fi gura, el m aterial fluye en el punto, y se dice que sucede la falla.
Fig. 10-30
543
544
•
CAPÍTULO 10 Transformación de deformación unitaria
Teo ría de la energía m áxim a de distorsión.
Se dijo en la sección 3.5 que cuando se deform a un m aterial debido a carga externa, tiende a alm ace nar energía internamente en todo su volum en. La energía por unidad de volum en de un m aterial se llama densidad de energía de deform ación u ni ta ria , y si el m aterial se som ete a un esfuerzo a uniaxial, la densidad de energía de deform ación unitaria, definida po r la ecuación 3-6, se puede expresar com o sigue: u = ^cre
Ca)
II
(10-28)
Es posible form ular un criterio de falla basado en las distorsiones cau sadas p o r la energía de deform ación unitaria. Sin em bargo, antes necesi tam os determ inar la densidad de energía de deform ación unitaria en un elem ento de volum en de un m aterial som etido a los tres esfuerzos prin cipales O], cr2 y er3. figura 10-31«.E n este caso, cada esfuerzo principal apor ta una parte de la densidad total de energía de deform ación unitaria, por lo que 1 w=
1 1 + 2 a i í l + 2 0’3e3
Si el m aterial se com porta en forma lineal elástica, se aplica la ley de H ooke. E n consecuencia, al sustituir la ecuación 10-18 en la ecuación an terior y simplificar, se obtiene u = — .[a 2 + < t 2 + o 2 — 2 v ( a \a 2 + cr\0-$ + cr3cr,)] (10-29) 2E
(b)
+
Fig. 10-31
Se puede considerar que esta densidad de energía de deform ación uni taria es la sum a de dos partes, una que representa la energía necesaria p a ra causar un cam bio de volumen del elem ento, sin cam bio de form a, y la o tra p a rte que rep resen ta la energía necesaria para distorsionar al ele m ento. E n form a específica, la energía alm acenada en el elem ento com o resultado de su cam bio de volum en se debe a la aplicación del esfuerzo principal prom edio. erprom = (c^ + cr2 + <73)/3 , ya que este esfuerzo causa deform aciones unitarias principales iguales en el m aterial, figura 10-316. La p arte restante del esfuerzo, (o-j - Oprom), (a 2 -
=
“
^ í)2 +
(cr2 -
r r 3) 2 + (o-3 -
a r f]
S ección 10.7
Teorías de la falla
•
545
E n el caso del esfuerzo plano, cr3 = 0, y la ecuación se reduce a ud =
1 + v 3E
' (< T i
—
( T i<72
+
CT2
P ara una p ru eb a de tensión uniaxial, a \ — a Y, cr2 — cr3 = 0, así que / \ 1 + v M r = —
Ya que en la teoría de energía m áxim a de distorsión se requiere que ut¡ (U/i) y , entonces, p ara el caso del esfuerzo de plano o biaxial, CF\
—
(7\(72
+
a 2 = a Y2
(10-30)
E sta ecuación represen ta una elipse, figura 10-32. Así, si se som ete a es fuerzo un pu n to en el m aterial hasta que las coordenadas del esfuerzo (crb ct?) queden fuera del contorno, o fuera del área som breada, se dice que el m aterial falla. En la figura 10-33 se ve una com paración de los dos criterios de falla anteriores. O bserve que am bas teorías dan los mismos resultados cuando los esfuerzos principales son iguales, es decir, de acuerdo con las ecuacio nes 10-27 y 10-30, cr¡ = cr2 = ay, o cuando uno de los esfuerzos principa les es cero, y el otro tiene la m agnitud ay. Por otra parte, si el m aterial se sujeta a c o rta n te puro r,e n to n c e s las teorías tienen la m áxima discrepan cia en su predicción de la falla. Las coordenadas de esfuerzo de estos putos en las curvas fueron determ inadas para el elem ento que se ve en la figura 10-34«. De acuerdo con el círculo de M ohr correspondiente a este estado de esfuerzo, figura 10-34¿>, se obtienen los esfuerzos principales crl = r y a 2 = - 7. Al aplicar las ecuaciones 10-27 y 10-30, la teoría del esfuerzo cor tante m áxim o y la de la energía m áxim a de distorsión dan los resultados o-] = (7y/2 y cr, = c ry /V 3 . respectivam ente, figura 10-33. Las p ru e b a s de to rsió n re a l, q u e se usan p a ra te n e r u na condición de cortante p uro en un espécim en dúctil, han dem ostrado que la teoría de energía de distorsión m áxim a produce resultados más exactos para la falla po r cortante puro, que la teo ría del esfuerzo cortante máximo. De hecho, ya que (crY/ V 3 )/(< ry /2 ) = 1.15, el esfuerzo cortante para que el m aterial fluya, determ inado con la teo ría de energía de distorsión m áxim a, es 15% más exacta que cuando se d eterm ina con la teoría del esfuerzo cortante máximo.
Teoría de la energía de distorsión máxima
Fig. 10-32
Fig. 10-33
546
•
CAPÍTULO 10 Transformación de deformación unitaria
i •■ .(S&SN"
Falla de tn material frágil por tensión
(a)
i!)
<«
M a te r ia le s fr á g ile s Teoría del esfuerzo norm al máxim o. A ntes in dicam os que los m ateriales frágiles, com o el hierro colado gris, tienden a fallar repentinam ente po r fractura, sin que haya fluencia aparente. En una p ru eb a d e te n sió n , la fractura se presenta cuando el esfuerzo norm al lle ga al esfuerzo últim o crÚU, figura 10-35«. Tam bién, en una p r u e b a de to r sión se presenta fractura frágil debida a e sfu erzo m á x im o de te n sió n , ya que el plano de fractura de un elem ento form a 45° con la dirección de cor te, figura 10-35¿>. La superficie de la fractura es helicoidal, por consiguiente, com o se indica en la figura.* Los experim entos han dem ostrado adem ás que d u ran te la torsión, la resistencia del m aterial casi n o se afecta po r la presencia del esfuerzo correspondiente de com presión, que form a ángu lo recto con el esfuerzo principal de tensión. E n consecuencia, el esfuer zo de tensión necesario para fracturar un espécim en d urante una prueba de torsión es aproxim adam ente igual al necesario para fractu rar un espé cim en en tensión simple. D ebido a esto, la teoría del esfuerzo n o rm a l m á x im o establece que un m aterial frágil falla cuando el esfuerzo principal m áxim o en el m aterial llega a un valor límite, que es igual al esfuerzo norm al últim o que puede resistir el m aterial cuando se le som ete a te n sión simple. Si el m aterial está som etido a esfu erzo p la n o se requiere que
l° " il ~ ° \ in K 2 I = ° ú lt
Falla de un material frágil por torsión (b)
(10-31)
Estas ecuaciones se representan gráficam ente en la figura 10-36. E n este caso se ve que si las coordenadas de esfuerzo cr2) en un punto en el m aterial quedan en el lím ite del área som breada, o fuera de ella, se dice que el material se fractura. Esta teoría se suele acreditar a W. Rankine, quien la propuso a m ediados de los años 1800. Se ha determ inado experim en talm ente que concuerda bien con el com portam iento de m ateriales frá giles que tienen diagram as de esfuerzo-deform ación u n itaria p a re cid o s tan to en tensión com o en com presión.
Fig. 10-35
C riterio de falla de M ohr. E n algunos m ateriales frágiles, las p ropieda des en tensión y en com presión son diferentes. C uando eso sucede se usa un criterio basado en el uso del círculo de M ohr, para predecir la falla del m aterial. E ste m étodo fue desarrollado por O tto M ohr, y a veces se le llama criterio de falla de M ohr. P ara aplicarlo, p rim ero se hacen tres p ru e b a s al m aterial. U na prueba de tensión uniaxial y o tra de com presión uniaxial se usan para d eterm inar los esfuerzos últim os de tensión y com presión, (ova,), y (o-últ)c, respectivam ente. Tam bién se hace una p rueba de torsión p ara d eterm inar el esfuerzo cortante últim o r ü|t en el m aterial. E ntonces se grafica el círculo de M ohr para cada una de esas condiciones de esfuer zo, com o se ve en la figura 10-37. El círculo A representa la condición de esfuerzo — a 2 = 0, <73 = —(trúlt)c; el círculo B representa las condicio nes de esfuerzo o-j = (£rúlt)„
Fig. 10-36
♦Un trozo de gis falla de esta manera al retorcer sus extremos con los dedos.
S ecció n 1 0 .7
dición de esfuerzo co rtan te p uro causado p o r E stos tres círculos es tán dentro de una “envolvente de falla” definida por la curva extrapola da tangente a los tres círculos. Si una condición de esfuerzo plano en un pu n to se rep resen ta con un círculo que quede dentro de la envolvente, se dice que el m aterial no falla. Sin em bargo, si el círculo tiene un punto de tangencia con la envolvente, o si se sale del contorno de la envolvente, se dice que se p resen ta la falla. Tam bién se puede re p re se n ta r este criterio en una gráfica de esfuerzos principales y cr2 (03 = 0). E so se ve en la figura 10-38. E n este caso, la falla se presenta cuando el valor absoluto de cualquiera de los esfuerzos principales llega a ser igual o m ayor que (orü|t), o a (c7ú|t)c, o en general, si el estado de esfuerzo en un p un to definido p or las coordenadas de esfuer zo (o j, a2), cae en el límite, o fuera del área som breada. Se puede usar cualesquiera de los dos criterios, en la práctica, para p re decir la falla de un m aterial frágil. Sin em bargo se debe te n er en cuenta que su utilidad es bastan te lim itada. U n a falla p or tensión se presenta en form a muy repentina, y en general su inicio depende de concentraciones de esfuerzo desarrolladas en im perfecciones m icroscópicas del m aterial, com o inclusiones o lagunas, penetraciones en superficie y grietas pequeñas. C om o cada una de esas irregularidades varía de un espécim en a otro, es difícil especificar la falla con base en una sola prueba. Por otra parte, las grie tas y o tras irre g u la rid a d e s tie n d e n a c e rra rse cu a n d o el espécim en se com prim e, y en consecuencia no form an puntos de falla, com o sucede cuando el espécim en se sujeta a la tensión.
Teorías de la falla
•
547
Fig. 10-37
Criterios de falla de Mohr Fig. 10-38
PUNTOS IMPORTANTES • Si un m aterial es dúctil, la falla se especifica p o r el inicio de 1afluencia. m ientras que si es frágil se especifi ca por la fractura. • La fractura dúctil se pu ed e definir cuando se presenta deslizam iento en tre los cristales que form an el m a terial. E ste deslizam iento se debe al esfuerzo cortante y la teoría del esfuerzo cortante m áxim o se basa en esta idea. • E n un m aterial se alm acena energía de deform ación cuando se som ete a esfuerzo norm al. La teoría de la energía de distorsión m áxim a depende de la energía de deformación unitaria que distorsiona al m aterial, y no de la parte que aum enta su volumen. • La fractura de un material frágil sólo se debe al esfuerzo m áxim o de tensión en el m aterial, y no al esfuer zo de com presión. E so es la base de la teoría del esfuerzo norm al m á xim o , y se aplica si el diagram a de es fuerzo-deform ación unitaria es sim ilar en tensión y en com presión. • Si un material frágil tiene un diagram a de esfuerzo-deform ación distinto en tensión y en com presión, en tonces se pued e aplicar el criterio de falla de M ohr para predecir la falla. • A causa de las im perfecciones del m aterial, la fractura p o r tensión de un m aterial frágil es difícil de prede cir. p o r lo que se deben usar con precaución las teorías de falla en m ateriales frágiles.
548
•
CAPÍTULO 10 Transformación de deformación unitaria
E J E M P L O
---------------------------------------------------El tub o de acero de la figura 10-39« tiene 60 mm de diám etro interno, y 80 m m de diám etro externo. Si se som ete a un m om ento de torsión de 8 kN • m y a un m om ento de flexión de 3.5 kN • m, determ ine si esas cargas causan la falla definida por la teoría de la energía de distorsión máxima. El esfuerzo de fluencia del acero, determ inado en una p ru e ba de tensión, es a Y = 250 MPa.
Solución
Para resolver este problem a se debe investigar un punto en el tubo que esté som etido a un estado de esfuerzo crítico máximo. Los m om entos de torsión y de flexión son uniform es en toda la longitud del tubo. En el corte arbitrario «-«, figura 10-39«. esas cargas producen las distribu ciones de esfuerzo que se ven en las figuras 10-39b y 10-39c. Por ins pección se ve que los puntos A y B están som etidos al mismo estado de esfuerzo crítico. Investigarem os el estado de esfuerzo en A . E n tonces,
3.5 kN m
(a)
ta
=
(b)
(8000 N • m )(0.04 m)
J
(7r/2)[(0.04 m )4 - (0.03 m )4]
Me
(3 5 0 0 N -m )(0 .0 4 m )
= 116.4 MPa
= 101.9 M Pa (ir/4 )[(0 .04 m )4 - (0.03 m )4] Estos resultados se indican en una vista tridim ensional de un elem en to de m aterial en el punto A , figura 10-39d. y tam bién, com o el m ate rial está som etido a esfuerzo plano, se ve en dos dim ensiones en la fi gura 10-39e. El círculo de M ohr para este estado de esfuerzo plano tiene el cen tro en o-a =
(c)
Te
I
(7prom
0 - 101.9
= -5 0 .9 M Pa
Se grafica el punto de referencia A (0, —116.4 M Pa) y se traza el círcu lo, figura 10-39/. A q u í ya se calculó el radio con el triángulo som brea do, resultando R — 127.1, por lo que los esfuerzos principales en el pla no son o-, = -5 0 .9 + 127.1 = 76.2 M Pa exj = -5 0 .9 - 127.1 = -1 7 8 .0 M Pa A l usar la ecuación 10-30 se requiere que ( o -] 2 —
CT jC T 2 +
(T2~)
—
o -y2
[(76.2)2 - (7 6 .2 )(-178.0) + (-1 7 8 .0 )2] ¿ (250)2 r (MPa)
Fig. 10-39
51 100 < 62 500 OK C om o se ha satisfecho el criterio, el m aterial en el tubo no fluirá (“fa llará” ), de acuerdo con la teoría de energía m áxim a de distorsión.
S ección 10.7
E J E M P L O
10.13
El eje macizo de hierro colado de la figura 10-40a está som etido a un p ar de torsión de T = 400 Ib • pie. D eterm in ar su radio m ínimo para que no falle, de acuerdo con la teoría del esfuerzo norm al máximo. U n espécim en de hierro colado, p ro b ad o en tensión, tiene esfuerzo último (oúit)/ = 20 k lb /p u lg 2.
7= 400 Ib-pie
(b)
Fig. 10-40 Solución
El esfuerzo crítico o máxim o está en un punto ubicado sobre la super ficie del eje. Suponiendo que el eje tenga radio r ,e 1esfuerzo cortante es Tc_ _ (400 Ib • p ie ) (12 p u lg /p ie ) r _ 3055.8 Ib • pulg ( tt/ 2 ) ia
~
r3
El círculo de M ohr p ara este estado de esfuerzo (cortante puro) se ve en la figura 10-406. C om o R = r máx, entonces 3055.8 Ib • pulg
La teoría del esfuerzo norm al m áximo, ecuación 10-31, requiere que
k t I -
3055.8 Ib • pulg
CTúlt
s 20 000 lb/pulg-
Así, el radio m ínim o del eje se calcula con 3055.8 Ib • pulg _
20 000 lb/pulg 2
r = 0.535 pulg
Resp.
Teorías de la falla
•
549
550
•
CAPÍTULO 10 Transformación de deformación unitaria
E J E M P L O
E l eje macizo de la figura 10-41« tiene 0.5 pulg de radio, y es de acero con esfuerzo de fluencia a Y = 36 klb/pulg2. D eterm in ar si las cargas hacen fallar al eje. de acuerdo con la teoría del esfuerzo cortante m á ximo, y con la teo ría de la energía de distorsión máxima. S olución
0.5 p u V
El estado de esfuerzo en el eje se dehe a la fuerza axial y al par de to r sión. C om o el esfuerzo cortante máximo causado por el par de torsión está en la superficie externa del m aterial,
3 2 5 klb ' pulg
(a)
16.55 k lb /p u lg 2
m e n i o u e r n a L e ria i e n u n p u m u s í , c u la íi g u r u
c u
vez. u c u s a r
el círculo de M ohr, tam bién se pueden ob ten er los esfuerzos principa les con las ecuaciones de transform ación de esfuerzo, ecuación 9-5. Fig. 10-41
= -9 .5 5 ± 19.11 a } = 9.56 k lb /p u lg 2 cr, ——28.66 k lb /p u lg 2 Teoría d e l esfuerzo cortante m áxim o. Com o los esfuerzos principa les tienen signos contrarios, entonces, según la sección 9.7, el esfuerzo co rtan te m áxim o absoluto estará en el plano y así, aplicando la segun da de las ecuaciones 10-27, se obtiene
\cri - cr21 :£
cty
19.56 - (-28.66)1 I 36 38.2 > 36 E ntonces, de acuerdo con esta teoría, habrá falla del m aterial por cor tante. Teoría de ¡a energía de d isto rsió n m áxim a.
A l aplicar la ecuación
10-30, se obtiene (ctj2 — 0
^ 2
+ cr2 ~) ^ a Y
[(9.56)2 - (9 .5 6 )(-2 8 .6 6 ) - (-2 S .6 6 )2] ¿ (36)2 1187 < 1296 Si se usa esta teoría no h abrá falla.
P ro b le m as
•
551
PROBLEMAS 10-63. Un material se somete a esfuerzo plano. Exprese la teoría de energía de distorsión, para la falla, en térm i nos de <7V, (Ty y Tyy. *10-64. Un material se somete a esfuerzo plano. Exprese la teoría de energía de distorsión, para la falla, en térm i nos de cr„ cry y rxy. Suponga que los esfuerzos principales tienen distintos signos algebraicos. 10-65. La placa es de cobre duro, con fluencia a cry = 105 klb/pulg2. Con la teoría del esfuerzo cortante máximo determine el esfuerzo de tensión o\ que se puede aplicar a la placa, si también se aplica un esfuerzo de tensión crv = 0.5
10-71. El esfuerzo de fluencia para un m aterial plástico es oy = 110 MPa. Si este material se somete a esfuerzo pla no y se presenta falla elástica cuando un esfuerzo princi pal es 120 MPa, ¿cuál es la magnitud mínima del otro es fuerzo principal? Use la teoría de la energía de distorsión máxima. *10-72. Resuelva el problema 10-71 usando la teoría del esfuerzo cortante máximo. Los dos esfuerzos principales tienen el mismo signo. 10-73. La figura muestra el estado de esfuerzo plano en un punto crítico de un soporte de acero para máquina. Si el esfuerzo de fluencia del acero es a Y = 36 klb/pulg2, de termine si hay fluencia, usando la teoría de la energía de distorsión máxima. 10-74. Resuelva el problem a 10-73 con la teoría del es fuerzo cortante máximo.
0-,. = 0.5o-, 12 klb/pulg2
'
*"18 klb/pulg2
20 klb/pulg2
Probs. 10-65/66
P robs. 10-73/74
10-67. El esfuerzo cortante de una aleación de zirconiomagnesio es oy = 15.3 klb/pulg2. Si una parte de máquina es de este material y tiene un punto crítico que se somete a esfuerzos principales y a 2 = -0.5o-! en el plano, determ ine la m agnitud de cr\ que causa la fluencia, de acuerdo con la teoría del esfuerzo cortante máximo. *10-68. Resuelva el problema 10-67 usando la teoría de energía de distorsión máxima. 10-69. Si un eje es de un m aterial para el que a Y = 50 klb/pulg2. determ ine el esfuerzo máximo cortante de torsión que se requiere para causar la fluencia, usando la teoría de la energía máxima de distorsión. 10-70. Resuelva el problem a 10-69 con la teoría del es fuerzo cortante máximo.
10-75. En un eje de transmisión macizo se usa aleación de aluminio 6061-T6. y transm ite 40 hp a 2400 rpm. Con siderando un factor de seguridad de 2 con respecto a la fluencia, determ ine el eje de diám etro mínimo que se pue de seleccionar, con base en la teoría del esfuerzo cortante máximo. *10-76. Resuelva el problem a 10-75 con la teoría de la energía de distorsión máxima. 10-77. Se va a usar una aleación de aluminio para un eje motriz tal que transm ita 25 hp a 1500 rpm. Considerando un factor de seguridad de 2.5 con respecto a la fluencia, determine el mínimo diámetro del eje que se pueda selec cionar con base en la teoría de la energía de distorsión má xima. cry = 3.5 klb/pulg2.
552
•
CAPÍTULO 10 Transformación de deformación unitaria
10-78. Una barra redonda es de acero A-36. Si la barra se somete a un par de torsión de 16 klb • pulg, y a un mo m ento de flexión de 20 klb • pulg, determ ine el diámetro necesario de la misma, de acuerdo con la teoría de la ener gía de distorsión máxima. Use un factor de seguridad de 2 con respecto a la fluencia.
10-82. La figura m uestra el estado de esfuerzo que actúa en un punto crítico de un elemento de máquina. D eterm i ne el esfuerzo de fluencia mínimo para un acero que se pueda seleccionar para fabricar la parte, con base en la teo ría del esfuerzo cortante máximo.
10-79. Resuelva el problema 10-78 usando la teoría del esfuerzo cortante máximo. *10-80. El hierro colado, cuando se prueba en tensión y en compresión, tiene resistencia última (erÚIt), = 280 MPa, y (o'üiJc = 420 MPa, respectivamente. También, cuando se somete a torsión pura, puede sostener un esfuerzo cortan te último de t ü1, = 168 MPa. Trace los círculos de M ohr para cada caso y determine la envolvente de falla. Si una parte hecha con ese material se somete al estado de esfuer zo plano de la figura, determ ine si falla de acuerdo con el criterio de falla de Mohr.
10 klb/pulg2 4 klb/pulg2 ------► 8 klb/pulg2
P ro b . 10-82
10-83. El esfuerzo de fluencia de una aleación de uranio es oy = 160 MPa. Si se fabrica una parte de máquina con este material, y un punto crítico de la misma se somete a esfuerzo plano tal que los esfuerzos principales sean cri y
120 MPa
*10-84. Resuelva el problema 10-83 usando la teoría del esfuerzo corlante máximo.
P ro b . 10-80
10-81. Los esfuerzos en el plano principal que actúan so bre un elemento diferencial se ven en la figura. Si el m a terial es acero de máquina con esfuerzo de fluencia crY = 700 MPa, determine el factor de seguridad con respecto a la fluencia, si se considera la teoría del esfuerzo cortante máximo.
50 MPa
10-85. Una aleación de aluminio se va a usar para un eje de transmisión macizo que transm ite 30 hp a 1200 rpm. Considerando un factor de seguridad de 2.5 con respecto a la fluencia,determine el eje con diám etro mínimo que se puede seleccionar, con base en la teoría del esfuerzo cor tante máximo, a y = 10 klb/pulg2. 10-86. El elemento está bajo los esfuerzos indicados en la figura. Si crY = 36 klb/pulg2, determ ine el factor de se guridad para la carga, considerando la teoría del esfuerzo cortante máximo. 10-87. Resuelva el problem a 10-86 con la teoría de la energía de distorsión máxima. 12 klb/pulg2
80 MPa
4 klb/pulg2
8 klb/pulg2
Prob. 10-81
Probs. 10-86/87
P ro b lem a s
•
553
*10-88. Si un eje macizo de diámetro d se somete a un par de torsión T y a un momento M, dem ostrar que, de acuer do con la teoría del esfuerzo cortante máximo, el esfuerzo cortante máximo admisible es radm = (16/jk/3) V M 2 + T1. Suponga que los esfuerzos principales tienen signo alge braico contrario.
10-94. El cilindro de acero inoxidable 304 tiene un diá metro interior de 4 pulg, y un espesor de pared de 0.1 pulg. Si se somete a una presión interna p = 80 Ib/pulg2. una carga axial de 500 Ib y un m om ento de torsión de 70 Ib • pie, determ ine si hay fluencia, de acuerdo con la teoría de la energía de distorsión máxima.
10-89. Deduzca una ecuación para determ inar un par de torsión equivalente Te, que cuando se aplica sólo a una ba rra redonda maciza causa la misma energía de distorsión que la combinación de un momento de flexión M y un mo mento de torsión T.
10-95. El cilindro de acero inoxidable 304 tiene un diá metro interior de 4 pulg, y un espesor de pared de 0.1 pulg. Si se somete a una presión interna p = 80 lb/pulg2. una carga axial de 500 Ib y un m om ento de torsión de 70 Ib • pie, determ ine si hay fluencia, de acuerdo con la teoría del esfuerzo cortante máximo.
10-90. Deduzca una ecuación para determ inar un m o mento de flexión equivalente, M e, que si se aplica sólo a una barra redonda maciza, causa el mismo esfuerzo cor lante máximo que la combinación de un momento aplica do M y un par de torsión T. Suponga que los esfuerzos prin cipales tienen signos algebraicos contrarios.
70 Ib-pie
500 Ib
5001b
70 lb-pie
10-91. Deduzca una ecuación para determ inar un mo mento de flexión equivalente M e, que si se aplica sólo a una barra redonda maciza, produce la misma energía de distorsión que la combinación de un momento de flexión M y un momento de torsión T. *■10-92. Si las cargas internas en una sección crítica de un eje motriz de acero, en un barco, vienen dadas por un par de torsión de 2300 Ib • pie. un momento de flexión de 1500 Ib • pie y un empuje axial de 2500 Ib y considerando que la fluencia para tensión y co rtan te es Ty = 100 klb/pulg2 y Ty = 50 klb/pulg2. respectivamente, calcule el diámetro necesario del eje, aplicando la teoría del esfuer zo cortante máximo.
P ro b s. 10-94/95
*10-96. El cilindro corto de concreto, de 50 mm de diá metro, se somete a un par de 500 N • M y a una fuerza de compresión axial de 2 kN. Determ ine si falla de acuerdo con la teoría del esfuerzo normal máximo. El esfuerzo úl timo del concreto es o-ü|, = 28 MPa.
2 kN
■ 10-93. Si las cargas internas en una sección crítica del eje motriz de acero en un barco vienen dadas por un par de torsión de 2300 Ib • pie, y un m om ento de flexión de 1500 Ib • pie, y un empuje axial de 2500 Ib. Considerando que los puntos de fluencia para tensión y cortante son oy - 100klb/pulg2y xy = 50 klb/pulg2, respectivamente, calcu le el diám etro necesario del eje, usando la teoría de la energía de distorsión máxima. P ro b . 10-96
10-97. Si un eje macizo con diámetro el se somete a un par T y a un momento M. demuestre que de acuerdo con la teo ría del esfuerzo normal máximo, el esfuerzo principal má ximo admisible es cra()m = (l6 /n d 3)(M + V iW 2 + T 2).
M
£
T S"
.....................
T
—
v M i ¡ Im m m m m
\ y
2500 Ib Probs. 10-92/93
Frob. 10-97
M
)i y \ \
CAPÍTULO 10 Transformación de deformación unitaria
REPASO DEL CAPÍTULO • C uando un elem ento de m aterial se som ete a deform aciones que sólo están en un plano, sufre deform ación unitaria plana. Si se co nocen los com ponentes de deform ación unitaria e„ ey y yxy para determ in ad a orientación del elem ento, las deform aciones u n ita rias que actúan en cualquier otra orientación del elem ento se p u e den determ inar, con las ecuaciones de transform ación de deform a ción u n ita ria p lan a. D e igual m odo, se p u e d e n d e te rm in a r las deform aciones unitarias norm ales principales y la deform ación uni taria cortante m áxim a en el plano, con las ecuaciones de tran sfo r mación. • Los problem as de transform ación de deform ación unitaria se p u e den resolver en form a semigráfica usando el círculo de M ohr. P a ra trazar este círculo, se establecen los ejes e y y /2 y se grafican el centro del círculo [(e* + ey) / 2 , 0 ] y el punto de control (ex, yx/2). El radio del círculo se extiende en tre estos dos puntos, y se calcu la con trigonom etría. • La deform ación unitaria m áxim a absoluta será igual a la deform a ción unitaria cortante máxima en el plano, siem pre que las d efo r m aciones unitarias principales en el plano tengan signos opuestos. Si tienen el m ism o signo, la deform ación unitaria cortante m áxim a absoluta estará fuera del plano, y se determ ina con -ymáx = emáx/ 2 . • La ley de H o o k e se pued e ex p resar en tre s dim ensiones, y cada deform ación u n itaria se relacio n a con los tres com p o n en tes de esfuerzo norm al, usando las propiedades E y v del m aterial, com o indican las ecuaciones 10-18. • Si se conocen E y v, se puede calcular G usando G = E / [2(1 + *»)].
• La dilatación es una m edida de la deform ación unitaria volum étri ca, y el m ódulo de volum en se usa para m edir la rigidez de un vo lum en de m aterial. • Siem pre que se conozcan los esfuerzos principales en un m aterial, se puede usar una teoría de falla com o base de diseño. Los m a te riales dúctiles fa lla n p o r cortante , y en este caso, se pueden usar la teoría de esfuerzo cortante máxim o, o la teoría de energía de dis torsión m áxim a, para pronosticar la falla. A m bas teorías se com paran con el esfuerzo de fluencia de un espécim en sujeto a esfuer zo uniaxial. Los m ateriales frá g iles fa lla n en tensión, por lo que se pueden usar la teo ría del esfuerzo cortante máximo, o el criterio de falla de M ohr, para predecir la falla. E n este caso, se hacen las com paraciones con el esfuerzo últim o de tensión que se desarro lla en un espécim en.
P r o b le m a s
PROBLEMAS
DE
de repa so
♦
555
REPASO
10-98. Determ ine el módulo de volumen para una ebonita, si E r = 0.68(103) klb/pulg2, vr = 0.43.
10-103. Resuelva el problema 10-102 usando la teoría del esfuerzo cortante máximo.
10.99. U n recipiente esférico a presión, con pared delga da, tiene radio interior r, espesor de pared t y está someti do a una presión interna p. Si las constantes del material son E y u, determ ine la deformación unitaria en dirección circunferencial, en función de los parám etros indicados.
*10-104. El estado de deformación unitaria de un punto de un soporte tiene com ponentes ex = 350(10-6), ey = -860(10~6), yxy = 250( 10-6). Use las ecuaciones de trans formación de deform ación unitaria para determ inar las deformaciones unitarias equivalentes en el plano, en un elemento que forma un ángulo de 6 = 45° en sentido de las manecillas del reloj, con la posición original. Trace el elemento deformado en el plano x-y, debido a esas defor maciones unitarias.
*10-100. La deformación unitaria en el punto A del cas carón tiene com ponentes e, = 250(10-6), ey = 400(10~6), yxv = 275(10-6), e- = 0. Determ ine (a) las deformaciones unitarias principales en A , (b) la deformación unitaria cor tante máxima en el plano x-y y (c) la deformación unita ria cortante máxima absoluta.
10-101. U n elemento diferencial está sometido a defor mación unitaria plana con los siguientes com ponentes: ev = 950(10-6), €y = 420(10“6). y„ = -325(10~6). Use las ecuaciones de transformación de deformación unitaria y determine (a) las deformaciones unitarias principales y (b) la deformación unitaria cortante máxima en el plano, y la deformación unitaria cortante promedio correspondiente. En cada caso, especifique la orientación del elem ento e in dique cómo lo distorsionan las deformaciones unitarias. 10-102. Se m uestran los com ponentes de un plano que ejercen esfuerzo en el punto crítico de una delgada placa de acero. Determ ine si la falla ocurrió con base en la teo ría de energía de distorsión máxima. El esfuerzo de defor mación para el acero es oy = 65 MPa.
y
Prob. 10-104
10-105. La viga de aluminio tiene la sección transversal rectangular que se indica en la figura. Si se somete a un momento de flexión de M = 60 klb • pulg, determine el au mento de la dimensión de 2 pulg en la parte superior de la viga, y la disminución de esta dimensión en su cara infe rior. E3\ = 10(103) klb/pulg2, i/ai = 0.3.
340 MPa
--------------- ► 65 MPa
55 MPa
Probs. 10-102/103
Prob. 10-105
Las vigas son elementos estructurales importantes que se usan para soportar cargas de techo y de piso.
C A P Í T U L O
11
Diseño de vigas y ejes
OBJETIVOS DEL CAPÍTULO
E n este capítulo describirem os cómo diseñar una viga para que pueda resistir car gas de flexión y de cortante, al mismo tiem po. E n form a específica se desarrolla rán m étodos que se usan para diseñar vigas prism áticas y para d eterm inar la form a de vigas totalm ente esforzadas. A l final del capítulo se describirá el diseño de ejes, con base en la resistencia a m om entos de flexión y de torsión.
| 11.1
Base para el diseño de vigas Las vigas son m iem bros estructurales diseñados p ara soportar cargas apli cadas perpendiculares a sus ejes longitudinales. D ebido a esas cargas, las vigas desarrollan una fuerza cortante y un m om ento de flexión internos que, en general, varían de un punto a otro a lo largo del eje de la viga. A l gunas vigas tam bién pueden estar som etidas a una fuerza axial interna; sin em bargo, con frecuencia no se tienen en cuenta los efectos de esa fuer za en el diseño, ya que en general el esfuerzo axial es m ucho m enor que los esfuerzos que se desarrollan po r cortante y flexión. U na viga que se selecciona p ara resistir los esfuerzos cortante y de flexión a la vez se dice que está diseñada con base en la resistencia. Para diseñar una viga de es ta form a se requiere el uso de fórm ulas de co rtan te y de flexión deduci das en los capítulos 6 y 7. Sin em bargo, la aplicación de estas fórm ulas se lim ita a vigas hechas con un m aterial hom ogéneo que tiene co m p o rta m iento elástico lineal.
557
558
•
CAPÍTULO 11 Diseño de vigas y ejes
A
-4 T t*>'
\ L íTTTrm ■É TV Fig. 11-1
En general, las vigas soportan una gran fuer za cortante en sus apoyos. Por esta razón, con frecuencia se usan rigidizadores (“riostras") metálicas unidas con el alma de la viga, co mo se ve aquí, para evitar deformaciones lo calizadas de la viga.
Por lo general, el análisis de esfuerzos en una viga no tiene en cuenta los efectos causados por cargas externas distribuidas y fuerzas concentra das aplicadas a la viga. C om o se ve en la figura 11-1, esas cargas crean es fuerzos adicionales en la viga directam ente bajo la carga. E n form a no ta ble, se desarrolla un esfuerzo de com presión crv adem ás del esfuerzo de flexión o-x y del esfuerzo cortante rxy que se describieron antes. Sin em bargo. se puede dem ostrar, usando m étodos avanzados de análisis que se tom an de la teoría de la elasticidad, que el esfuerzo cry dism inuye rápida m ente en el peralte (la altura) de la viga, y para la m a y o r p a rte de las re laciones de claro a peralte que se usan en la práctica de la ingeniería, el valor m áxim o de ay suele representar sólo un pequeño porcentaje, en com paración con el esfuerzo de flexión, esto es, crx » a y. Adem ás, en gen e ral se evita la aplicación directa de cargas concentradas en el diseño de las vigas. E n lugar de ello se usan placas d e a p o yo para rep artir esas car gas con m ás uniform idad sobre la superficie de la viga. A unque las vigas se diseñan principalm ente por resistencia, tam bién se deben arriostrar en form a adecuada a lo largo de sus lados, para que no se pandeen o se vuelvan inestables en form a repentina. Además, en algunos casos se deben diseñar las vigas para resistir una cantidad lim itada, d efle x ió n o fle c h a , com o cuando soportan techos de m ateriales frágiles, com o yeso. Los m étodos para calcular las deflexiones de las vigas se describirán en el capítulo 12 , y las lim itaciones para el pandeo de vigas se describen con frecuencia en los códigos de diseño estructural o mecánico.
S ección 11.2
11.2
Diseño de vigas prismáticas
•
559
Diseño de vigas prismáticas
Para diseñar una viga con base en la resistencia, se requiere que el esfuerzo real de flexión y de cortante en la viga no rebasen el esfuerzo admisible, de flexión y de cortante, p ara el m aterial, com o se definen en los códigos estructurales o mecánicos. Si el tram o suspendido de la viga es relativa m ente largo, de m odo que los m om entos internos se hacen grandes, el in geniero debe ten er en cuenta prim ero un diseño basado en la flexión, para d esp u és co m p ro b a r la resisten cia al c o rta n te . U n d iseñ o p o r flexión requiere la determ inación del m ód u lo de sección de la viga, que es la re lación de I en tre c; esto es, 5 = I /c . A l aplicar la fórm ula de la flexión, a = M c ll, se tiene que
c
= req
M eradm
( 11- 1)
En este caso M se determ ina con el diagrama de m om entos de la viga, y el esfuerzo de flexión admisible, cradm, se especifica en un código de diseño. En muchos casos, el peso desconocido de la viga será pequeño, y se puede des preciar en comparación con las cargas que debe soportar la viga. Sin embar go, si el mom ento adicional causado por el peso se debe incluir en el diseño, se hace una selección de S tal que rebase un poco el Sreq. U na vez conocido Sreq, si la viga tiene una form a transversal simple, co m o un cuadrado, un círculo o un rectángulo de proporciones de ancho a peralte conocidas, se pueden determ in ar sus d im en sio n es en form a direc ta a p artir de Sreq. porque, p o r definición, Sreq = l/c . Sin em bargo, si el cor te transversal está form ado de varios elem entos, p o r ejem plo un perfil I, se puede calcular una cantidad infinita de dim ensiones de patín y alm a que satisfagan el valor de Sreq. Sin em bargo, en la práctica los ingenieros escogen determ inada viga que cum ple con el requisito S > 5req,e n un m a nual donde aparecen los perfiles e stán d ar disponibles con los fabricantes. Con frecuencia, se pued en seleccionar en esas tablas varias vigas que tie nen el mismo m ódulo de sección. Si las deflexiones no están limitadas, en general se escoge la viga que tenga la m enor área transversal, ya que es tá hecha con m enos m aterial y en consecuencia es m ás ligera y más eco nóm ica que las otras. En la descripción an terio r se supone que el esfuerzo de flexión admisi ble p ara el m aterial es igual tan to p ara tensión com o para com presión. Si es así, entonces se debe seleccionar una viga que tenga una sección trans versal sim étrica con respecto al eje neutro. Sin em bargo, si los esfuerzos de flexión, de tensión y compresión, no son iguales, entonces la selección de un corte transversal asim étrico p o d rá ser más eficiente. B ajo esas circuns tancias, la viga debe diseñarse p ara resistir el m áxim o m om ento positivo y el máximo m om ento negativo en el claro a l m is m o tiem p o .
Las dos vigas de piso están unidas a la viga perimetral, que transmite la carga a las columnas de esta estructura de edifi cio. En los análisis de fuerzas se puede considerar que las conexiones funcionan como articulaciones (pasadores).
560
•
CAPÍTULO 11 Diseño de vigas y ejes
U na vez seleccionada la viga se aplica la fórm ula de co rtan te Tadm > V Q /Il para com probar que no se rebase el esfuerzo cortante admisible. Con frecuencia este requisito no presenta problemas. Sin em bargo, si la viga es “co rta” y soporta grandes cargas concentradas, la lim itación de esfuerzo cortante puede dictar el tam año de la viga. E sta limitación tiene especial im portancia en el diseño de vigas de m adera, porque la m adera tiende a abrirse a lo largo de las fibras, debido al cortante (vea la figura 7-6). V ig a s c o m p u e sta s. C om o las vigas se fabrican con frecuencia con ace ro o m adera, ahora describirem os algunas de las propiedades tabuladas de vigas hechas con esos m ateriales.
Vista típica de un perfil de viga de acero de patín ancho.
Perfiles de acero. La m ayor p a rte de las vigas industriales de acero se producen lam inando un lingote caliente de acero hasta conform ar la for m a deseada. Estos llam ados perfiles laminados tienen propiedades que se tabulan en el m anual del Instituto A m ericano de C onstrucción en A cero (A ISC , de Am erican Institute o f Steel Constructiori). E n el apéndice B se presenta una lista representativa de vigas I tom adas de ese m anual. C o m o se indica en ese apéndice, los perfiles I se especifican por su peralte y su peso p o r unidad de longitud: p or ejemplo, W 18 X 46 indica una viga I (en inglés “W ”, de wide-flange, patín ancho) con p eralte de 18 pulgadas y que pesa 46 lb/pie, figura 11-2. P ara cualquier perfil, se indican el peso por longitud, las dim ensiones, el área transversal, el m om ento de inercia y el m ódulo de sección. Tam bién aparece el radio de giro, r, que es una p ro piedad geom étrica relacionada con la resistencia del perfil al pandeo. E sto se describirá en el capítulo 13. E l apéndice B y el M anual A IS C tam bién contienen datos de otros perfiles, com o canales y ángulos.
0.605 pulg
18 pulg
— 0.360 pulg
W 18 x 46
□ 6 pulg —-)
Fig. 11-2
Perfiles de m adera. La m ayor parte de las vigas de m adera tienen corte transversal rectangular, porque dichas vigas son fáciles de fabricar y de m a nejar. H ay manuales, como el de la National Forest Products Association, que m uestran las dimensiones de la madera para construcción que se usa con fre cuencia en el diseño de vigas de madera. Muy a m enudo aparecen las dimen siones nom inales y reales. La m adera para construcción se identifica por sus dimensiones nominales, como 2 X 4 (2 pulg por 4 pulg); sin embargo, sus dimensiones reales o “acabadas” son menores, de 1.5 pulg por 3.5 pulga. La reducción de las dim ensiones se debe al requisito de o b ten e r superficies lisas, con m adera para construcción que está cortada en form a tosca. Es obvio que se deben usar las dimensiones reales siem pre que se hagan cálcu los de esfuerzos en estas vigas.
S ección 11.2
Diseño de vigas prismáticas
•
r
J Soldada
Atornillada
Vigas compuestas de acero
Fig. 11-3
Perfiles com puestos. Un perfil compuesto se forma con dos o más partes unidas para form ar una sola unidad. Com o indica la ecuación 11-1, la capa cidad de la viga para resistir un m om ento varía en form a directa respecto a su m ódulo de sección, y como S — He, S aumenta si 1 aumenta. Para aum en tar I, la mayor parte del material se debe alejar todo lo posible del eje neutro. Esto, claro está, es lo que hace tan eficiente a una viga I de gran peralte para resistir determ inado momento. Más que usar varias de las vigas disponibles para sostener la carga, los ingenieros suelen “com poner” una viga con placas y ángulos. U n perfil I que tenga esa form a se llama viga I compuesta. Por ejem plo, la viga com puesta de acero de la figura 11-3 tiene dos patines que se pue den soldar o, m ediante ángulos, atornillar a la placa del alma. Tam bién las vigas de m ad era se “com ponen” , en general en form a de una viga de cajón, figura 11-4«. P ueden fabricarse con alm as de m adera terciada, y con tablas m ayores com o patines. P ara claros m uy grandes se usan vigas lam inadas pegadas o glulam (del inglés,glued laminated). Esos m iem bros se fabrican con varias tablas pegadas y lam inadas entre sí para form ar una sola unidad, figura 11-46. Igual que en el caso de los perfiles lam inados, o de vigas hechas de una sola pieza, en el diseño de los perfiles com puestos se requiere com probar los esfuerzos de flexión y cortante. Adem ás, se debe com probar el esfuerzo cortante en los sujetadores, com o soldadura, pegam ento, clavos, etc., para estar seguros de que la viga funcione com o una sola unidad. Los principios para hacer esas com probaciones se describieron en la sección 7.4.
Viga de cajón, de madera
viga glulam (laminada pegada)
(b> Fig. 11-4
PUNTOS IMPORTANTES • Las vigas soportan cargas que se aplican perpendicularm ente a sus ejes. Si se diseñan con base en su resistencia, deben resistir los esfuerzos cortante y de flexión admisibles. • Se supone que el esfuerzo de flexión máxim o en la viga es m ucho m ayor que los esfuerzos localizados causados por la aplicación de cargas sobre la superficie de la viga.
561
562
•
CAPÍTULO 11 Diseño de vigas y ejes
PROCEDIMIENTO PARA EL ANÁLISIS Con base en nuestra descripción anterior, el siguiente procedim iento es un m étodo racional para el diseño de una viga con base en su resistencia. D iagram as de cortante y de momento de fle x ió n .
• D eterm in ar el cortante y el m om ento de flexión m áxim os en la viga. Con frecuencia esto se hace trazan do los diagram as de co rtan te y de m om entos de la viga. • P ara vigas com puestas, los diagram as de cortante y de m om entos son útiles para identificar regiones don de el cortante y la flexión son dem asiado grandes, y pueden necesitar refuerzos estructurales adicionales, o sujetadores. E sfu e rzo norm al prom edio.
• Si la viga es relativam ente larga, se diseña calculando su m ódulo de sección con la fórm ula de la flexión, ^req
^ m á x A ’adra-
• U na vez determ inado Sreq, se calculan las dim ensiones de la sección transversal cuando el perfil es simple, ya que S req = I/c. • Si se van a usar perfiles lam inados de acero, se pueden seleccionar varios valores posibles de S en las tablas del apéndice B. D e ellas, elegir la que tenga el área transversal mínima, porque será la que tiene el peso m í nim o y en consecuencia será la m ás económ ica. • A segúrese que el m ódulo de sección seleccionado S sea un p o co m ayor que Sreq, para ten er en cuenta el m om ento adicional debido al peso de la viga. E sfu e rzo cortante.
• E n el caso norm al, las vigas cortas que soportan grandes cargas, y en especial las de m adera, se diseñan p ri m ero p ara resistir el cortante, y después se com prueban los requisitos del esfuerzo de flexión admisible. • Se usa la fórm ula del co rtan te p ara com probar que no se rebase el esfuerzo cortante adm isible: esto es, usar ^adm — ^máx
Q 1^-
• Si la viga tiene un corte transversal rectangular lleno, la fórm ula del cortante se transform a en Tadm s 1.5 (KnüvM ), ecuación 7-5, y si el p erfil es /, en general es adecuado suponer que el esfuerzo cortante es cons tante dentro del área transversal del alm a de la viga, por lo que radm s Vm^ / A a!ma, d onde A aima se d eterm i na con el producto del p eralte de la viga por el espesor del alm a. (Vea la sección 7.3.) A d ecuación de lo s sujetadores.
• La adecuación de los sujetadores que se usan en las vigas com puestas depende del esfuerzo cortante que p u ed en resistir esos sujetadores. E n form a específica, se calcula la distancia requerida en tre clavos o to m i llos de determ inado tam año, a p artir del flujo de cortante admisible, <7adm = V Q /I, calculado en los puntos del corte transversal d onde están ubicados los sujetadores. (Vea la sección 7.4.)
S ección 11.2
Diseño de vigas prismáticas
•
563
E J E M P L O
U na viga de acero con esfuerzo de flexión admisible cradm = 24 klb/pulg 2 y esfuerzo cortante admisible radm = 14.5 klb/pulg 2 va a soportar las cargas de la figura 11-5«. Seleccione un perfil W adecuado. Solución
D iagram as de cortante y de m om entos. Se han calculado las reacciones en los apoyos, y los diagram as de cortante y de m om entos se ven en la figu ra 11-56. Según esos diagramas, = 30 klb y Mmáx = 120 klb • pie. Esfuerzo de flexió n . E l módulo de sección necesario para la viga se deter mina con la fórmula de la flexión:
c
° re q
=
M máx = 120 klb • pies (12 pulg/pie) ^adm
40 klb
20 klb
1
1
s 'v
--------- ----------------- ^
1
1*— 6 pies— - •— 6 pies— 1*— 6 pies— (a) 20 klb
40 klb
= 6Q
24 k lb /p u lg 2
E n la tabla del apéndice B se ve que las siguientes vigas son adecuadas: W18 W16 W 14 W12 W10 W8
X X X X X X
40 45 43 50 54 67
S 5 S S S 5
= = = = = =
68.4 pulg 3 72.7 pulg 3 62.7 pulg 3 64.7 pulg 3 60.0 pulg 3 60.4 pulg 3
* (pie)
x (pie)
Se escoge la viga que tiene el m enor peso por pie, es decir, W18 x 40 -120
El m om ento m áxim o real, M máx, que incluye el peso de la viga, se puede calcular p ara co m p ro b ar la adecuación de la viga seleccionada. Sin em bargo, en com paración con las cargas aplicadas, el peso de la viga, (0.040 klb/pie)(18 pies) = 0.720 klb, sólo aumentará un poco Sreq. N o obstante. •Sreq = 60 pulg 3 < 68.4 pulg 3
(b)
Fig. 11-5
OK
Esfuerzo cortante. Com o la viga es un perfil 1, se determ inará el esfuerzo cortante prom edio dentro del alma. E n este caso se supone que el alma se ex tiende desde la mismísma cara superior (el lecho alto) hasta la mismísima ca ra inferior (el lecho bajo) de la viga. Del apéndice B, para una W18 X 40, d = 17.90 pulg, r„. = 0.315 pulg. Entonces, 30 klb ' prom
Usar una W18
= 5.32 klb/pulg 2 < 14.5 klb/pulg 2
(17.90 pulg) (0.315 pulg) X
40.
Resp.
OK
564
•
CAPÍTULO 11 Diseño de vigas y ejes
E J E M P L O
La vigaT (o viga te) de m adera de la figura 11-6a se fabrica con dos tablas de 200 mm X 300 mm. Si el esfuerzo de flexión adm isible es cradm = 12 M Pa y el esfuerzo cortante admisible es Tadm = 0.8 M Pa, determ ine si la viga puede sostener con seguridad las cargas indicadas. También espe cifique la separación máxima entre clavos, necesaria para sujetar las dos tablas, si cada clavo puede resistir 1.50 kN en cortante.
Solución
D iagram as de cortante y de m omentos. Se indican las reacciones en la viga, y los diagramas de cortante y de momentos se ven en la figura 11-66 . En este caso, Vmáx = 1.5 kN, M mAx = 2 kN • m. Esfuerzo de flexió n . El eje neutro (el centroide) se localiza partiendo del lecho bajo de la viga. Haciendo cálculos en metros, se tiene que
0.5 kN /m ..........._ t
ly A
_
1.5 kN
y ~ IA E j
■
2m
(0.1 m)(0.03 m )(0.2 m ) + 0.215 ni(0.03 m)(0.2 m) 2m
0.03 m(0.2 m ) + 0.03 m(0.2 m)
-t I kN
1.5 kN
= 0.1575 m
Así,
V (kN)
/ =
1.5
~
(0.03 m )(0.2 m )3 + (0.03 m)(0.2 m)(0.1575 m - 0.1 m )2
„C.5 --v(m)
+
12
(0.2 m)(0.03 m )3 + (0.03 m)(0.2 m)(0.215 m - 0.1575 m )2
= 60.125(1(H) m^ A/(kN-m )
Com o c = 0.1575 m (no 0.230 m — 0.1575 m = 0.0725 m), se requiere que
^adm ■
-,v(m)
^máxc
(b)
12(10-') kPa < Fig, 11-6
m) = 5.24(103) kPa 60.125(10“6) m 4
OK
566
•
CAPÍTULO 11 Diseño de vigas y ejes
E J E M P L O
11.3 La viga de m adera laminada de la figura 11-7« sostiene una carga unifor m em ente distribuida de 12 kN/m. Si esa viga debe tener una relación de peralte a ancho de 1.5, determ ine el ancho mínimo. El esfuerzo de flexión adm isible es eradm = 9 M Pa y el esfuerzo cortante adm isible es radm = 0.6 MPa. No tener en cuenta el peso de la viga. Solución
D iagram as de cortante y de momentos. Las reacciones en los apoyos A y B se calcularon, y los diagramas de cortante y de m om ento se ven en la figura ll-7¿>. En este caso, = 20 kN. Mmáx = 10.67 kN • m. E sfu erzo de fle x ió n .
Al aplicar la fórmula de la flexión se obtiene
= 10.67 kN • m = 0 0 0119 m 3
S rcq = 12 kN /m
V (kN)
16 kN
o-adm
9 (1 0 0 k N /m 2
Suponiendo que el ancho es a, entonces el peralte es h = 1.5«, figura 11-7«. Así,
= / = n (a )(1 .5 a )3 _
v A'
req
c
(0.75«)
0.00119 m 3
«3 = 0.003160 m 3 « = 0.147 m M (kN-m)
E sfu e rzo cortante.
Se aplica la fórmula de cortante para perfiles rectan gulares (que es un caso especial de rmáx = V Q /It), y resulta
a- (m)
-máx
20 kN (L 5) (0.147 m )( 1 .5 ) (0.147 m )
l -5 A
= 0.929 M Pa > 0.6 M Pa Ecuación
Como falla el criterio de cortante, se debe volver a diseñar la viga con ba se en el cortante. 3 V ■ Kmax ^adm
2 ~A~
3 20 kN 600 kN /m - = 2 («)(1.5«) a = 0.183 m = 183 mm
Resp.
Esta sección es mayor, y resistirá tam bién en form a adecuada el esfuerzo normal.
Pr o b le m a s
PROBLEMAS
•
567
150 mm
No tenga en cuenta el peso de la viga, en los siguientes pro blemas. 11-1. La viga simplemente apoyada es de madera para cons trucción. que tiene un esfuerzo de flexión admisible cradm = 6.5 MPa. y un esfuerzo cortante admisible Tadm = 500 kPa. Determine sus dimensiones, si debe ser rectangular y tener una relación de peralte a ancho de 1.25.
8 kN/m
:
t i c t e i
:
..
..
.
i=—
*11-4. Trace los diagramas de cortante y de momento de flexión para el eje, y calcule su diámetro necesario, cerrando al -*- de pulg, si cradm = 7 klb/pulg2 y radm = 3 klb/pulg2. Los cojinetes en A y en D sólo ejercen reacciones verticales so bre el eje. La carga se aplica a las poleas en B. C y E.
1 2m
2m
4m
Prob. 11-3
Prob. 11-1
11-2. La viga es de abeto Douglas. con un esfuerzo de fle xión admisible
800 Ib
.
|
80 lb/pie
..
3 pies
1 !¡ -
•
6 pies
.
ililt -|-
■3 pies
T li = 2b _L
Prob. 11-4
11.5. La viga simplemente apoyada es de madera con es fuerzo admisible de flexión cradm = 960 lb/pulg2, y esfuerzo cortante admisible radm = 75 lb/pulg2. Calcule sus dimensio nes, para que sea rectangular y tenga una relación de peralte a ancho de 1.25.
5 klb/pie
Prob. 11-2
11-3. La viga de madera se carga como muestra la figura. Si los extremos sólo sostienen fuerzas verticales, determine la máxima magnitud de P que puede aplicarse. cradm = 25 MPa, Tadm = 700 kPa.
Prob. 11-5
b
568
•
CAPITULO 11 Diseño de vigas y ejes
11.6. El balancín de carta A B se usa para subir lentamente el tubo de 300 Ib que está centrado, con abrazaderas en C y D. Si la viga es una W 12 X 45, determinar si puede sopor tar con seguridad esa carga. El esfuerzo admisible de flexión e s °adm = 22 klb/pulg2. y el esfuerzo cortante admisible es Tadm = 12 klb/pulg2.
11-9. La viga simplemente apoyada está formada por dos perfiles W 12 x 22, dispuestos como se indica. Determine si la viga soporta con seguridad una carga w = 2 klb /pie. El es fuerzo de flexión admisible es cradm = 22 klb/pulg2y el esfuer zo cortante admisible es radm = 14 klb/pulg2.
3000 Ib
C
D Prob. 11-9
Prob. 11-6
11-7. Seleccione el perfil W de acero más ligero, en el apéndice B. que soporte con seguridad la carga indicada. El esfuerzo de flexión admisible es rradm = 24 klb/pulg2, y el esfuerzo cortante admisible es Tadm = 14 klb/pulg2.
11-10. Determine el ancho mínimo de la viga, en incremen tos de ~ de pulg, que soporte con seguridad la carga de P = 8 klb. El esfuerzo de flexión admisible es cradm = 24 klb/pulg2. y el esfuerzo cortante admisible es radm = 1.5 klb/pulg2. 11-11.
Resuelva el problema 11-10, si P - 10 klb.
P ( •
6 p ie s ------------ -i------------ 6 p ie s--------------j
1
J ÍL Probs. 11-10/11
*11-8. La viga simplemente apoyada está formada por dos perfiles W 12 X 22. dispuestos como se indica. Determine la carga uniformemente repartida máxima, w, que soporta esa viga.si el esfuerzo de flexión admisible es cradm = 22 klb/pulg2 y el esfuerzo cortante admisible es radm = 14 klb/pulg2.
*11-12. Trace los diagramas de cortante y de momentos para la viga W 12 X 14, y com pruebe que soporte con se guridad la carga indicada. Suponga que
1.5 klb/pie 50 k lb p ie
(
A~ — 3 pies-
Prob. 11-8
■12 pies *
Prob. 11-12
P r o b le m a s
11-13. Seleccione la viga de acero, patín ancho (W) más li gera. que soporte las cargas indicadas. El esfuerzo de flexión admisible es
•
569
11-15. Seleccione, en el apéndice B, la viga de acero, perfil W, que tenga el menor peralte y el menor peso y que soporte con seguridad las caigas indicadas. El esfuerzo de flexión admisi ble es crldm = 22 klb/pulg2. y el esfuerzo cortante admisible es radm = 12 klb/pulg2.
lO klb 4 klb 15 klb/pie
'"“ffirríTITITTlTmfr 2L
i ___ I
) klb/pie
m
6 {lb
AJLS Z I— 4 pies
• 4 pies
- 4 pies
4 pies — I
- 6 pies~
i pies -
Prob. 11-15 Prob. 11-13
11-14. La viga ("trabe carril”) de la figura se usa en un pa tio de ferrocarril, para cargar y descargar furgones. Si la car ga máxima prevista en la garrucha es 12 klb, seleccione el per fil W de acero más ligero, en el apéndice B, que soporte con seguridad la carga. La garrucha se mueve sobre el patín infe rior de la viga. 1 pie s x £ 25 pies, y su tamaño es desprecia ble. Suponga que la viga está fija con pasador en la columna, en B, y soportada con rodillos en A . El esfuerzo de flexión admisible es oradm = 24 klb/pulg2, y el esfuerzo cortante ad misible eS Jad[Tl 12 klb/pulg2.
*11-16. Dos miembros de plástico de acetilo se van a pe gar y usar para soportar las cargas que se ven en la figura. Si el esfuerzo adm isible de flexión para el plástico es Oadm = 13 k lb /p u lg 2, y el esfuerzo co rtan te adm isible es Ta d n = 4 klb/pulg2, calcule la carga máxima P que pue de soportar, y especifique la capacidad de esfuerzo cortan te que debe tener el adhesivo. r
r
I
1
3 pulg H L T ? pulg 6 pulg 8 pulg
-5 pies
5 pies
4*— 5 pies-
Prob. 11-16
11-17. La viga T en voladizo, de acero, se fabrica con dos placas soldadas, como muestra la figura. Calcule las cargas máximas P que puede soportar con seguridad esa viga, si el esfuerzo de flexión admisible es eradm = 1 7 0 MPa, y el esfuer zo cortante admisible es 7adm = 95 MPa.
15 pies
Prob. 11-14
150 mm r -----r j 15 mm
Prob. 11-17
570
•
CAPÍTULO 11 Diseño de vigas y ejes
11-18. Determine si la viga T en voladizo, de acero, puede sostener con seguridad las dos cargas P = 3 kN, si el esfuer zo de flexión admisible es cradm = 170 MPa, y el esfuerzo cor tante admisible es radm = 95 MPa.
*11-20. La viga se usa para soportar la máquina, que ejer ce las fuerzas de 6 klb y 8 klb que se indican. Si el esfuerzo cortante máximo no debe ser mayor que cradra = 22 klb/pulg2, determine el ancho necesario b de los patines.
150 mm
11-19. La viga simplemente apoyada sostiene una carga P = 16 kN. Determine la mínima dimensión a, de cada viga, si el esfuerzo de flexión admisible para la madera es <7adm = 30 MPa, y el esfuerzo cortante adm isible es radm = 800 kPa. También, si cada tornillo puede resistir un cortante de 2.5 kN, calcular la separación de los tornillos, con la dimensión calculada a.
11-21. La viga de acero tiene un esfuerzo de flexión ad misible cradm = 140 MPa. y un esfuerzo cortante admisible "adm = 9 0 MPa. Determine la carga máxima que puede sos tener con seguridad.
-----
--------------------V ------ 2 m —
. ------ 2 m ------
20 mm^_J_|_ 150 mm ¡ '
ll
11
'
ü I I rll-
50 mm
y 50 mm
20 mm Prob. 11-19
Prob. 11-21
L J
P r o b le m a s
11-22. La viga de madera tiene corte transversal rectan gular. Si su ancho es 6 pulgadas, determine su peralte h pa ra que llegue en forma simultánea a su esfuerzo de flexión admisible o-adm = 1.50 klb/pulg2, y a su esfuerzo cortante admisible Tadm = 50 lb/pulg2. También, ¿cuál es la carga máxima P que puede soportar esa viga?
•
571
11-25. La viga se fabrica con tres tablas, como se ve en la figura. Si cada clavo puede resistir una fuerza cortante de 300 N, calcule la separación máxima s y s' de los clavos, en las regiones A B y BC.
-3 0 mm 300 mm
6 pulg
Jl
í
-H, h- -Hi h*
Prob. 11-22
30 mm-
'3 0 mm
Prob. 11-25
11-23. La viga se compone de tres bandas de plástico. Si el adhesivo puede resistir un esfuerzo co rtan te radm = 8 kPa, calcule la magnitud máxima de las cargas P que se pueden aplicar a la viga. *11-24. La viga se compone con tres tablas de madera. Si el esfuerzo de flexión admisible es cradm = 6 MPa y el adhesivo puede resistir un esfuerzo cortante radm = 8 kPa, determine la magnitud máxima de las cargas P que puede resistir la viga.
11-26. La viga se forma con tres tablas, como se ve en la figura. Si cada clavo puede resistir una fuerza de corte de 50 Ib, determine las separaciones máximas s, s' y s" en las regiones AB, B C y CD, respectivamente.
800 Ib
12001b
--
200 mm
-----300 mm
30 mmy
Prob;,. 11-23/24
I 30 mm T
-8 pulg—t 1 pulg-'-p
!
6 pulg ^ 3 0 mm
-1 pulg -1 pulg Prob. 11-26
572
•
CAPÍTULO 11 Diseño de vigas y ejes
11-27. El larguero A B que se usa en la construcción de una casa.es de tabla d e8pulg por 1.5 pulg. de pino del sur. Si se pone la carga de diseño en cada tabla como se ve en la figura, determine el ancho máximo de recinto L que pue den sostener las tablas. El esfuerzo cortante admisible pa ra la madera es o-adm = 2 klb/pulg2. y el esfuerzo cortante admisible es radm = 180 lb/pulg2. Suponga que la viga está simplemente apoyada en las paredes, en A y B.
11-29. En la construcción de un piso se usa la viga sim plemente apoyada. Para que el piso sea bajo con respecto a las vigas maestras C y D. los extremos de las vigas se re bajan como se ve en la figura. Si el esfuerzo cortante ad misible para la madera es radm = 350 lb/pulg2, y el esfuer zo de flexión admisible es cradnl = 1700 lb/pulg2, calcule la altura mínima h para que la viga soporte una carga P = 600 Ib. También, ¿toda la viga soportará con seguridad la carga? No tenga en cuenta la concentración de esfuerzo en la muesca.
Prob. 11-29
*11-28. En la construcción de un piso se usa la viga sim plemente apoyada. Para que el piso sea bajo con respecto a las vigas maestras C y D. los extremos de las vigas se re bajan como se ve en la figura. Si el esfuerzo cortante ad misible para la madera es
11-30. La viga en voladizo se forma con dos piezas de m adera de 2 pulg por 4 pulg. sujetas como se ve en la figu ra. Si el esfuerzo de flexión adm isible es o-adm = 600 lb/pulg2. determ ine la carga máxima P que se puede apli car. También calcule la separación máxima s de los clavos a lo largo del tramo A C de la viga, si cada clavo puede re sistir una fuerza cortante de 800 Ib. Suponga que la viga está articulada en A, B y D. No tenga en cuenta la fuerza axial en la viga, que se desarrolla a lo largo de DA.
10 pulg
ic
Prob. 11-28
Prob. 11-30
S ecció n 1 1 .3
11.3
Vigas totalm ente esforzadas
•
573
Vigas totalm ente esforzadas
E n la sección anterior presentam os un m étodo para determ inar las dimen siones de la sección transversal de una viga prismática, para que resistiera el mom ento máximo de flexión. /V/máx. en su claro. Como el m om ento de flexión en la viga varía en general en su longitud, la elección de una viga prismática suele ser ineficiente, porque nunca se som ete a esfuerzos máximos en los pun tos donde M < Mmáx a lo largo de ella. Para refinar el diseño y reducir el peso de la viga, a veces los ingenieros seleccionan vigas que tengan área transver sal variable, tal que en cada sección transversal a lo largo de la viga, el esfuer- • zo de flexión llegue a su valor máximo admisible. Las vigas que tienen corte transversal variable se llaman vigas no prismáticas. Suelen usarse en las má quinas, porque se pueden conform ar con facilidad colándolas. E n la figura 11-8« se ven algunos ejem plos. E n las estructuras, esas vigas pueden ser “arriñonadas” (de “riñón de bóv ed a” ) en sus extrem os, com o la de la fi gu ra 11-86. T am bién, las vigas se p u e d e n “c o n stru ir” o fa b rica r en un taller, usando placas. U n ejem plo es una viga I form ada con una viga pris m ática lam inada, con cubreplacas soldadas en la región donde el m om en to es máximo, figura l l - 8 c. E l análisis de esfuerzo en una viga no prism ática suele ser muy difícil, y qu ed a fuera del alcance de este texto. Con m ás frecuencia esas formas se analizan usando m étodos experim entales, o la teoría de la elasticidad. Sin em bargo, los resu ltad o s o b ten id o s en esos análisis indican que las hipótesis usadas p ara deducir la fórm ula de la flexión sí son aproxim ada m ente correctas p a ra p redecir los esfuerzos de flexión en perfiles no pris máticos, siempre que el declive o pendiente del contorno superior o inferior de la viga no sea m uy grande. P o r o tra p a rte , la fórm ula del co rtan te no se puede usar para diseñar vigas no prismáticas, porque los resultados que se obtienen con ella son m uy engañosos. A unque se aconseja ten er precaución al aplicar la fórm ula de la flexión al diseño de vigas no prism áticas, aquí indicarem os, en principio, cómo se puede usar esta fórm ula com o m edio aproxim ado para o b ten er la form a general de la viga. A este respecto se puede determ inar el tamaño de la sección transversal de una viga no prism ática que soporta determ inada carga, con la fórm ula de la flexión escrita en la siguiente forma:
S =
(a)
Viga de concreto arriñonada (b)
-- S ir1
Viga compuesta de acero con cubreplacas
(c) Fig. 11-8
M ^adm
Si se expresa el m om ento interno M en función de su posición x a lo largo de la viga, entonces, como cradm es una constante conocida, el módulo de sección S o las dimensiones de la viga se vuelven una función de a-. U na viga diseña da de esta m anera se llama viga totalmente esforzada. Aunque sólo se han tenido en cuenta esfuerzos de flexión para aproxim ar su forma final, se debe también poner atención para asegurar que la viga resista corlante, en espe cial en puntos donde se aplican cargas concentradas. El resultado es que la form a ideal de la viga no se puede determ inar por entero a partir sólo de la fórmula de la flexión.
El muelle de hojas que sostiene este carro de ferrocarril es una viga no prismática
574
•
CAPITULO 11 Diseño de vigas y ejes
E J E M P L O
11.4
n D eterm inar la forma de una viga totalm ente esforzada, sim plem ente apo yada, que soporta una fuerza concentrada en su centro, figura 11-9«. La vi ga tiene sección transversal rectangular de ancho constante b, y el esfuer zo admisible es cradm.
i I ,
£• 2 *
'r
L 2 M
h
I I £ J*i.
MH h 1
I-----V----(a)
(b)
Fig. 11-9 Solución
E l m om ento interno en la viga, figura 11-%, se expresa en función de la posición, 0 < x < L / 2, y es P
M = —*
2
Por consiguiente, el módulo de sección requerido es M P S = ------- = -------- -x °"?dm
2 O"al]m
Como S = I /c , entonces, para un área transversal h y b, I
L u iJ -kbh 12 c
c
k/2
2 o-adm
3P n = ------- —x ,2
^adm^1
Si h = ho en x = L/2, entonces /. 2 — 3 P I n0 ~ o L
2cradmb
de m odo que h2 =
x
Resp.
Por inspección, el p eralte h debe variar, en consecuencia, en form a parabólica con la distancia x. En la práctica esta fo rm a es la base del diseño de m uelles de hojas como los que soportan los ejes traseros en la m ayor parte de los cam iones pesados. O bserve que, aunque este re sultado indica que h = 0 cuando x = 0 , es necesario que la viga resista esfuerzo cortante en sus soportes, p o r lo que hablando prácticam ente, se necesita que h > 0 en los soportes, figura 11-9«.
S ección 11.3 Vigas totalmente esforzadas
•
575
11.5
E J E M P L O
La viga en voladizo de la figura 11-10« tiene form a trapezoidal, con un peralte h0 en A . y 3h0 en B. Si soporta una carga P en su extremo, deter minar el esfuerzo norm al m áxim o absoluto en la viga. A dvierta que la viga tiene un corte transversal rectangular de ancho constante b.
(a)
V= P
t > " (b) Fig. 11-10
Solución
E n cualquier corte transversal, el esfuerzo normal máximo está en las su perficies superior e inferior de la viga. Sin embargo, como crmáx = M /S y el módulo de sección S aum enta cuando aum enta x, el esfuerzo normal máximo absoluto no necesariam ente está en la pared B, donde el m om en to es máximo. Con el uso de la fórmula de la flexión se puede expresar el esfuerzo norm al máximo en cualquier corte arbitrario en función de su posición x, figura 11 -106. E n este caso el m om ento interno tiene magnitud M = Px. C om o la pend ien te del lecho bajo de la viga es 2h0/L , figura 11- 10«, el peralte de la viga en la posición x es
2 ht\ hr) h = —j - x + h 0 = ~ ^ ( 2 * + L )
Continúa
576
•
CAPÍTULO 11 Diseño de vigas y ejes
A l aplicar la fórmula de la flexión se obtiene Me
P x (h /2 )
I
( ± b h 3)
6 P L 2x ~ b h 02(2 x + L ) 2
Para determ inar la posición x donde existe el esfuerzo norm al máximo absoluto se debe sacar la derivada de a con respecto a x e igualarla a cero. D e este m odo,
d a = / 6 P L 2\ l(2 x + L )2 - x (2 )(2 x + L ) ( 2 ) = q dx
V bh02 )
(2x
+ L )4
Por consiguiente, 4 x 2 + 4x L + L 2 - 8 x 2 - 4 x L = 0 L 2 - 4x2 = 0
Se sustituye en la ecuación 1 y se simplifica; entonces el esfuerzo normal máximo absoluto es
Resp' O bsérvese q u e en la p are d , B , el esfuerzo n o rm al m áxim o es
Me
P L (1 .5 h 0)
2 PL
I
[ ^ ( 3 ¿ 0)3]
3 bh02
{CTmÁx)B que es 11 .1 % m enor que a T
Se debe reco rd ar que la fórm ula de la flexión se dedujo con base en la hipótesis de que la viga es prismática. Com o no es este el caso, cabe esperar cierto erro r en este análisis y en el del ejem plo 11.4. U n análi sis m atem ático más exacto, aplicando la teoría de la elasticidad, reve la que la aplicación d e la fórm ula de la flexión com o en el ejem plo anterior, sólo produce pequeños errores en el esfuerzo norm al, si el án gulo de inclinación de la viga es pequeño. Por ejemplo, si este ángulo es 15°, el esfuerzo calculado arriba es 5% m ayor que el calculado con el aná lisis más exacto.También vale la pena hacer notar que el cálculo de (a m:ix)B fue hecho sólo con fines ilustrativos ya que, de acuerdo con el principio de Saint-Venant, la distribución real del esfuerzo en el soporte (en la pared) es muy irregular.
*
S ección 11.4
Diseño de ejes
11.4 Diseño de ejes Los ejes redondos se usan con frecuencia en muchas clases de equipos y m a quinaria mecánicos. Com o resultado, con frecuencia están sometidos a es fuerzos cíclicos o a fatiga, causados por las cargas combinadas de flexión y de torsión que deben transmitir o resistir. A dem ás de esas cargas pueden exis tir concentraciones de esfuerzos en un eje, debidos a cuñas, acoplamientos (“copies”) y a transiciones repentinas en su área transversal (sección 5.8). Pa ra diseñar bien un eje es necesario, en consecuencia, tener en cuenta todos esos efectos. E n esta sección describirem os algunos de los aspectos im portantes del diseño de ejes uniform es que se usan para transm itir potencia. Esos ejes están som etidos, con frecuencia, a cargas aplicadas a poleas y engrana jes fijos a ellos, com o los de la figura 11-1 la. C om o las cargas se pueden aplicar al eje en varios ángulos, los m om entos internos de flexión y de to r sión en cualquier corte transversal se pueden calcular prim ero sustituyen do las cargas por sus co n trap artes estáticam ente equivalentes, y después descom poniendo esas cargas en com ponentes en dos planos perpendicu lares, figura 11-11 ¿>. L os d iag ram as de m o m e n to de flexión para las cargas en cada p la n o se p u ed en tra z a r entonces, y el m o m ento interno re sultante en cu alq u ier sección se d eterm in a con sum a vectorial, M = V M v2 + M f , figura 1 1 - llc . A dem ás del m om ento, los tram os del eje tam bién están som etidos a pares internos de torsión diferentes, figura 11-11 Se ve aquí que, p a ra que haya equilibrio, la torsión desarrollada en un engranaje debe equilib rar la que se desarrolla en el otro. P ara ten er en cuenta la variación general del p ar de torsión a lo largo de un eje, tam bién se p u ed e trazar un diagram a de torsión, figura 11-1 Id.
Ai,
Diagrama de momentos debido a cargas en el plano x-y
Diagrama de momentos debido a cargas en el plano y-z (c) Z.
Diagrama de torsión debido a los pares de torsión aplicados en tom o al eje (d)
Fig. 11-11
(b)
•
577
578
•
CAPÍTULO 11 Diseño de vigas y ejes
U na vez determ inados los diagram as de m om entos y de torsión, es p o sible ya investigar ciertos tram os críticos a lo largo del eje, donde la co m binación de un m om ento resu ltan te M y un par de torsión T causen la peo r situación de esfuerzo. A este respecto, el m om ento de inercia del eje es igual respecto a cualquier eje diam etral, y com o ese eje rep resen ta un eje principal de inercia p a ra la sección transversal, se p u ed e aplicar la fórm ula de la flexión, usando el m om ento resultante para obtener el esfuer zo de flexión máximo. C om o se ve en la figura 11- lie ,e s te esfuerzo se p re sen tará en dos elem entos, C y D, ubicados am bos en el contorno exterior del eje. Si en esta sección tam bién se resiste una torsión T, entonces, tam bién se desarrolla un esfuerzo cortante máximo en esos elem entos, figura 11-11/. A dem ás, las fuerzas externas tam bién crearán esfuerzo cortante en el eje, d eterm inado con r = V Q /If, sin em bargo, en general este esfuer zo ap o rtará una distribución de esfuerzo m ucho m enor sobre la sección transversal, en com paración con el desarrollado por la flexión y la torsión. E n algunos casos se debe investigar, pero para sim plificar no tendrem os en cuenta este efecto en el análisis que sigue. E n general, entonces, el ele m ento crítico D (o C) en el eje está sometido a un esfuerzo plano com o el que m uestra la figura 11 - llg , donde Me
cr=—
(f)
y
Te
r = y
Si se conoce el esfuerzo adm isible norm al o cortante para el m aterial, el tam año del eje se basa entonces en el uso de estas ecuaciones, y en la selección de una teoría adecuada de la falla. Por ejem plo, si se sabe que el m aterial es dúctil, entonces será adecuada la teoría del esfuerzo cortante máximo. C om o se tra tó en la sección 10.7, esta teoría requiere que el esfuerzo co rtante adm isible, que se determ ina con los resultados de una p ru eb a sim ple de tensión, sea igual al esfuerzo c ortante m áxim o en el ele m ento. A plicando la ecuación de transform ación de esfuerzo, ecuación 9-7, al estado de esfuerzo de la figura 1 1 -llg , se obtiene
O-\ 2
2
\l\ 2 i + 7
Tadm
M c \2
(T c \2
277 + I t J (g) Fig. 11-11 (cont.)
Como I = 7tc4/4 y / = 7rc4/2 , esta ecuación se convierte en 2_ Tadm = ----- V M 2 + T 2 77’C
'
Se despeja el radio del eje y se obtiene 2
c =
_________ \ 1/3
■Vm 2 + T2 ^^adm
( 11-2)
La aplicación de cualquier o tra teoría de falla conducirá, n atu ralm en te, a una form ulación distinta para c. Sin em bargo, en todos los casos se rá necesario aplicar esta form ulación en distintas “secciones críticas” a lo largo del eje, para d eterm inar la com binación particular de M y T que p ro duzca el m ayor valor de c. E l ejem plo siguiente ilustra el procedim iento, en form a num érica.
S ección 11.4 Diseño de ejes
po-
•
579
E J E M P L O
3777-
n la . eje i un r la uerprerior am;ura inte aer:ión ión. mos eleo el
E1 eje de la figura 11-12« está sostenido por cojinetes rectos lisos en A y en B. D ebido a la transm isión de potencia desde y hacia el eje, las bandas en las poleas están sometidas a las tensiones indicadas. Calcular el diáme tro mínimo del eje, usando la teoría del esfuerzo cortante máximo, con Tadm = 50 MPa.
rial, n la que tane el una ele:ión
Solución
Se han calculado las reacciones en los soportes, y se m uestran en el dia grama de cuerpo libre del eje, figura 11-126. Los diagramas del momento de flexión, para M x y M z se indican en las figuras ll-12c y 11-12d, respec tivamente. El diagrama del par de torsión está en la figura 1l-12e. Por ins pección. los puntos críticos para el m om ento de flexión están en C o en B. También, justo a la derecha de C y también en B el m om ento de torsión es 7.5 N • m. E n C, el m om ento resultante es 1- 2 )
Mc = V ( 1 1 8 .7 5 N - m ) 2 + (37.5 N - m )2 = 124.5 N ■m ensea lo >ro-
mientras que en B es menor, M D = 75 N • m Continúa
580
•
CAPÍTULO 11 Diseño de vigas y ejes
Problem as
•
581
PROBLEMAS 11-31. Determine la variación del ancho w en función de para la viga en voladizo que sostiene una fuerza concentra da P en su extremo, para que tenga un esfuerzo de flexión máximo
11-33. D eterm ine la variación en el peralte d de una vi ga en voladizo que sostiene una fuerza concentrada P en su extremo, para que tenga un esfuerzo de flexión cons tante máximo
Prob. 11-33 Prob. 11-31
*11-32. Determ ine la variación de peralte de una viga en voladizo que sostiene una fuerza concentrada P en su extremo, para que tenga un esfuerzo de flexión constante máximo
0 y
11-34. La viga se hace con una placa con espesor cons tante t y su ancho varía como muestra la figura. Si sostie ne una fuerza concentrada P en su centro, determ ine el es fuerzo de flexión máximo absoluto en la viga, y especifique su lugarx , 0 < x < L /2 .
582
•
CAPÍTULO 11 Diseño de vigas y ejes
11-35. La viga triangular sostiene una carga uniform e m ente distribuida w. Si se hace con una placa de ancho constante ¿>0>determine el esfuerzo de flexión máximo ab soluto en la viga.
11-38. Las dos poleas fijas al eje tienen las cargas indi cadas si los cojinetes en A y B sólo ejercen fuerzas verti cales sobre el eje, determine el diámetro requerido en el mismo, al ^ de pulg, con la teoría del esfuerzo cortante má ximo. Tadm = 12 klb'pulg2. 11-39. Resuelva e! problem a 11-38, usando la teoría de la energía máxima de distorsión. cradm = 67 klb/pulg2.
Probs. 11-38/39
Prob. 11-35
*11-36. La viga triangular soporta una carga uniform e m ente distribuida vv. Si se hace con una placa de ancho constante b, d eternine el esfuerzo de flexión máximo ab soluto en la viga.
*11-40. Los cojinetes en A y D sólo ejercen com ponen tes de fuerza y y z sobre el eje. Si radm = 60 MPa, determ i ne, al milímetro más cercano, el diám etro mínimo de eje que soporte las cargas. Use la teoría de falla por esfuerzo cortante máximo. 11-41. Resuelva el problem a 11-40 usando la teoría de falla por energía máxima de distorsión. cradm = 130 MPa.
I* o
Prob. 11-36
11-37. D eterm ine la variación en el ancho b, en función de x, para la viga en voladizo que sostiene una carga uni formemente distribuida a lo largo de su línea de centro, de modo que tenga el mismo esfuerzo de flexión máximo
Probs. 11-40/41
11-42 Las poleas fijas al eje se cargan como indica la fi gura. Si los cojinetes en A y B sólo ejercen fuerzas hori zontales y verticales sobre el eje, determ ine el diám etro necesario que debe tener, al ^ de pulg más cercano, usan do la teoría de falla por esfuerzo cortante máximo. radm = 12 klb/pulg2. 11-43. Resuelva el problema 11-42, usando la teoría de falla por energía de distorsión máxima,
Pro b lem a s
•
583
11-47. Determine, al milímetro, el diám etro del eje ma cizo, que está sometido a las cargas de los engranajes. Los cojinetes en A y B sólo ejercen com ponentes de fuerza en direcciones y y z sobre el eje. Base el diseño en la teoría de falla por energía máxima de distorsión, con <7adm = 150 MPa. Probs. 11-42/43
*11-44. El eje está soportado por cojinetes en A y B, que ejercen sólo com ponentes de fuerza en direcciones x y z, sobre el eje. Si el esfuerzo normal admisible para el eje es o’adm - 15 klb/pulg2. determ ine el menor diám etro del eje, al - de pulg más cercano, que soporte la carga. Use la teo ría de falla por energía de distorsión máxima. 11-45. Resuelva el problem a 11-44, usando la teoría de falla por esfuerzo cortante máximo. Suponga que radm = 6 klb'pulg2.
Prob. 11-47 F ;= 1 0 0 1 b
= 300 Ib
Probs. 11-44/45
*11-48. El engranaje unido al eje está sometido a las car gas indicadas. Si los cojinetes en A y B sólo ejercen com ponentes de fuerza y y z sobre el eje, determ ine el par T de equilibrio en el engranaje C, y después determine el diá metro mínimo del eje, al milímetro más cercano, que so porte la carga. Use la teoría de falla por esfuerzo cortante máximo, con Tadm = 60 MPa. 11-49. Resuelva el problem a 11-48 usando la teoría de energía máxima de distorsión, con cradm = 80 MPa.
■11-46. El eje tubular tiene diám etro interior de 15 mm. Determine su diám etro exterior, al milímetro más cerca no, si está sometido a las cargas de los engranajes. Los co jinetes en A y B sólo ejercen componentes de fuerza en las direcciones y y z del eje. Use un esfuerzo cortante admisi ble radm = 70 MPa y base su diseño en la teoría de falla por esfuerzo cortante máximo.
Probs. 11-48/49
584
•
CAPÍTULO 11 Diseño de vigas y ejes
REPASO DEL CAPÍTULO • La falla en una viga se p resen ta cuando el esfuerzo cortan te o el m om ento de flexión internos son m á ximos en ella. Para resistir esas cargas es im portante, en consecuencia, que el esfuerzo cortante m áxim o y el esfuerzo de flexión m áxim o no excedan los valores adm isibles que establecen los códigos. • E n general, prim ero se diseña la sección transversal de una viga para que resista el esfuerzo de flexión ad misible, después se revisa el esfuerzo cortante admisible. Para secciones rectangulares, Tadm > \.5 { V mAx/A ) . y para vigas I es adecuado usar Tadm > • Para vigas com puestas, la separación de los sujetadores, o la resistencia del adhesivo o de la soldadura, se determ inan usando un flujo de co rtan te adm isible qadm = V Q /I. • Las vigas totalm ente esforzadas son no prism áticas, y se diseñan de tal m odo que cada corte transversal en cada punto de la viga resista el esfuerzo de flexión admisible. Eso definirá la form a de la viga. • E n general, los ejes m ecánicos se diseñan p ara resistir tan to esfuerzos de torsión com o de flexión. G en e ralm ente, la flexión se puede descom poner en dos planos, po r lo que es necesario trazar los diagram as de m om entos p ara cada com ponente de m om ento de flexión, y entonces seleccionar el m om ento máxim o m ediante sum a vectorial. U na vez d eterm inados los esfuerzos máximos de flexión y cortante, depen d ien do del tipo de m aterial, se usa una teoría de falla adecuada, para com parar el esfuerzo adm isible con el que se requiere.
PROBLEMAS
DE
REPASO
11-50. La viga es de ciprés, y tiene un esfuerzo de flexión admisible
Prob. 11-50
11-51. La viga en voladizo tiene corte transversal circu lar. Si sostiene una fuerza P en su extremo, determ ine su radio y en función de x, para que esté sometida a un es fuerzo de flexión máximo constante cradnl en toda su lon gitud.
Prnb.11-51
P r o b le m a s
*11-52. La viga simplemente apoyada es de madera, que tiene un esfuerzo de flexión admisible o-adm = 8 MPa, y un esfuerzo cortante admisible Tadm = 750 kPa. Calcule sus dimensiones, para que sea rectangular y tenga una relación de peralte a ancho h / b = 1.25. 11-53. Resuelva el problem a 11-52, si la relación de p e ralte a ancho de la viga debe ser h / b = 1.5.
d e repa so
•
585
11-55. Los cojinetes en A y B sólo ejercen com ponentes de fuerza x y z, sobre el eje de acero. D eterm ine el diám e tro del eje, al milímetro, para que pueda resistir las cargas de los engranajes, sin rebasar un esfuerzo cortante adm i sible radm = 80 MPa. Use la teoría de falla por esfuerzo cortante máximo. *11-56. R esuelva el problem a 11-55 usando la teoría de falla p o r energía de distorsión máxima, con eradm = 200 MPa.
P robs. 11-55/56
11-54. Seleccione la viga en voladizo I de patín ancho (W) más ligera, en el apéndice B. que soporte con seguridad la carga. Suponga que el soporte en A es un pasador, y que el soporte en B es un rodillo. El esfuerzo de flexión admisible es oadm = 24 klb/pulg2. y el esfuerzo cortante admisible es cradra = 14 klb/pulg2.
11-57. Seleccione la viga I de acero más ligera, en el apén dice B, que soporte con seguridad las cargas indicadas. El esfuerzo de flexión admisible es o-adm = 22 klb/pulg2. y el es fuerzo cortante admisible es Tadm = 12 klb/pulg2.
8 klb
2 klb
Prob. 11-54
10 klb
2 klb
Prob. 11-57
8 klb
La carga de anaquel causa una deflexión notable de la viga de apoyo que puede calcularse usando los métodos que se exponen en este capítulo.
C A P I T U L O
12
Deflexión de vigas y ejes
OBJETIVOS DEL CAPÍTULO
C on frecuencia se deben establecer límites para la cantidad de deflexión que p u e da sufrir una viga o un eje, cuando se le som ete a una carga, p o r lo que en este ca pítulo describirem os varios m étodos para determ inar la deflexión y la pendiente en puntos específicos de vigas y ejes. E n tre los m étodos analíticos están el de in tegración. el uso de funciones de discontinuidad y el de superposición. Tam bién se p resen tará una técnica semigráfica, llam ada m étodo de m om ento de área. A l final del capítulo usarem os esos m étodos para determ inar las reacciones en los so p ortes de una viga o un eje que sean estáticam ente indeterm inados.
12.1
La curva elástica
A ntes de determ inar la p endiente o el desplazam iento en un punto de una viga (o un eje), con frecuencia es útil bosquejar la forma flexionada de la viga al cargarla, p ara “visualizar” los resultados calculados, y con ello com probar en form a parcial esos resultados. E l diagram a de deflexión del eje longi tudinal que pasa p o r el centroide de cada á rea transversal de la viga se llam a curva elástica. P ara la m ay o r p a rte d e las vigas la curva elástica se p u ed e b osquejar sin grandes dificultades. Sin em bargo, al hacerlo es necesario conocer cóm o se restringen la p endiente o el desplazam iento en diversos tipos de soportes. E n general, los soportes que resisten una fu e rza , como un pasador, restringen el desplazam iento, y los que resisten un mom ento, p o r ejem plo una p a re d fija, restringen la rotación o la p en diente, y tam bién el desplazam iento. C on lo anterio r en m ente, se m ues tra n dos ejem plos característicos de curvas elásticas p ara vigas (o ejes) cargadas, bosquejadas con una escala m uy exagerada, en la figura 12- 1 .
Fig. 12-1
587
588
•
CAPÍTULO 12 Deflexión de vigas y ejes
C uando parece difícil establecer la curva elástica de una viga, se sugie re trazar prim ero su diagram a de m om entos. A l usar la convención de sig nos para vigas establecida en la sección 6 . 1 , un m om ento interno positivo tiende a do b lar la viga en form a cóncava hacia arriba, figura 12-2«. D e igual form a, un m om ento negativo tiende a doblar la viga p ara que quede cóncava hacia abajo, figura 12-2&. Por consiguiente, si se conoce el diagra m a de m om entos, será fácil form ar la curva elástica. Por ejem plo, veam os la viga de la figura 12-3«, con su correspondiente diagram a de m om entos de la figura 12-36. D ebido a los apoyos de rodillo y de pasador (apoyo “li b re ” y “ articulado” o “libre pero guiado” , respectivam ente), los desplaza m ientos en B y en D deben ser cero. D entro de la región A C , de m om ento negativo, figura 12-3¿>, la curva elástica debe ser cóncava hacia abajo, y d en tro de la región CD de m om ento positivo, la curva elástica debe ser cóncava hacia arriba. Por consiguiente, debe h aber un pu n to de inflexión en el punto C, donde la curva cam bia de cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo ya que éste es un punto donde el m om ento es cero. A p ro v e chando lo anterior, la curva elástica de la viga se bosqueja a una escala m uy exagerada en la figura 12-3c. Tam bién se debe observar que los des plazam ientos A A y ¡\E son especialm ente críticos. E n el p u n to E, la p en diente de la curva elástica es cero, y allí la deflexión de la viga puede ser m áxim a. El que A£ sea en realidad m ayor que A^ depende de las m agni tudes relativas de P[ y P2, y de la ubicación del rodillo en B. D e acuerdo con estos principios, obsérvese cóm o se trazó la curva elástica de la figura 12-4. En este caso la viga está en voladizo, desde un soporte fijo en A , y en consecuencia la curva elástica debe tener desplaza m iento cero y p endiente cero en ese punto. Tam bién, el m áxim o despla zam iento estará en D , donde la pendiente es cero, o en C.
+M
+M
M o m en to in tern o positivo cóncava hacia arrib a (a )
M
-M, M o m en to in te rn o negativo cóncava hacia abajo (b)
Fig. 12-2
P,
' í
„ (a)
A L
¿-
C
M (a) A
i
M x
(b) D iag ram a de m o m en to
(c) /t P unto de inflexión
D C urva elástica
C urva elástica Fig. 12-3
Fig. 12-4
S ecció n 12.1
La curva elástica
R e la ció n e n t r e m o m e n t o y c u r v a t u r a . A hora desarrollarem os una im portante relación e n tre el m om ento interno en la viga y el radio de cur vatura p (rho) de la curva elástica en un punto. La ecuación que resulte se usará en to d o el capítulo com o base para establecer cada uno de los m étodos que se p re se n ta n p ara d e te rm in a r la p en d ien te y el desplaza m iento de la curva elástica p ara una viga (o eje). El análisis a continuación, en esta sección y en la siguiente, necesitará usar tres coordenadas. C om o se ve en la figura 12-5«, el eje x se extiende positivo hacia la derecha, a lo largo del eje longitudinal inicialm ente rec to de la viga. Se usa p ara u b icar al elem en to diferencial, que tiene un ancho dx no deform ado. E l eje v e s positivo hacia arriba a partir del eje x. M ide el desplazam iento del centroide en el área transversal del elem ento. C on estas dos coordenadas, después definirem os la ecuación de la curva elástica, de v en función de x. Por últim o, una coordenada y “localizada” se usa para especificar la posición de una fibra en el elem ento de viga. Es positiva hacia arriba a p a rtir del eje n eu tro, com o se ve en la figura 12-56. R ecuérdese que es la m ism a convención de signos de x y y que se usó al deducir la fórm ula de la flexión. P ara deducir la relación en tre el m om ento interno y p, lim itarem os el análisis al caso m ás com ún de una viga inicialm ente recta, que se defor m a elásticam ente m ediante cargas aplicadas en dirección perpendicular al eje x de la viga, y que están en el p lano de sim etría x-v, para el área transversal de la viga. A causa de las cargas, la deform ación de la viga se deb e tanto a la fuerza co rtan te intern a com o al m om ento de flexión in terno. Si la viga tien e una longitud m ucho m ayor que su peralte, la m á xim a deform ación se d eb erá a la flexión, y en consecuencia dirigirem os nuestra atención a sus efectos. Las deflexiones causadas po r cortante se describirán m ás adelante en el capítulo.
■>
: ' '•'{
ds
i
-d x
A n tes de la deform ación
D esp u és de la deform ación (b)
Fig. 12-5
•
589
590
•
CAPÍTULO 12 Deflexión de vigas y ejes
C uando el m om ento interno M deform a al elem ento de la viga, el án gulo en tre los cortes transversales se transform a en d6, figura 12-56. El a r co dx rep resen ta una porción de la curva elástica que corta al eje neutro p ara cada sección transversal. El radio de curvatura de este arco se defi ne com o la distancia p m edida desde el centro de curvatura O' hasta dx. Todo arco en el elem ento que no sea dx está som etido a una deform ación unitaria norm al. Por ejem plo, la deform ación unitaria en el arco ds, ubi cado en la posición y respecto al eje neutro, es e = ( ds ' - ds)/ds. Sin em bargo, ds = dx = p d6 y ds’ = (p - y) dd, por lo que e = [(p - y) dd pdd)\/p dd; es decir, que
A n tes d e la d efo rm ació n
D esp u és de la d eform ación (b)
1
e
P
y
(12-1)
Si el m aterial es hom ogéneo y se co m porta en form a lineal-elástica, se aplica la ley de H ooke, e = cr/E.Tam bién, com o se aplica la fórm ula de la flexión, cr = -M y /I . Al com binar estas ecuaciones y sustituir en la (12-1), se obtiene
Fig. 12-5
K El
( 12-2 )
donde, p = radio de curvatura en un punto específico de la curva elástica ( 1 /p se le llam a la curvatura)
M = m o m en to in tern o en la viga, en el p u n to d o n d e p se va a d e te r m inar
E = m ódulo de elasticidad del m aterial I = m om ento de inercia del área transversal de la viga, respecto al eje neutro E n esta ecuación, al producto E l se le llam a rigidez flexionante, o rigi dez a la flexión, y siem pre es una cantidad positiva. El signo p, entonces,
Fig 12-6
depende de la dirección del momento. Com o se ve en la figura 12-6, cuando M es positivo, p se dirige hacia arriba de la viga, es decir, en la dirección de v positiva; cuando M es negativo, p se dirige hacia abajo de la viga, o sea hacia la dirección de v negativa. C uando se usa la fórm ula de la flexión, a = -M y /I, tam bién se puede expresar la curvatura en función del esfuerzo en la viga, com o sigue: - =
P
Ey
(12-3)
Las ecuaciones 12-2 y 12-3 son válidas para radios de curvatura p eq u e ños o grandes. Sin em bargo, casi siem pre el valor de p que se calcula es una cantidad m uy grande. Por ejem plo, p ara una viga de acero A-36 de W 14 X 53 (ap é n d ice B ), d onde £ ac = 20(103) k lb /p u lg 2 y o y = 36 k lb /p u lg 2, y cuando el m aterial en las fibras exteriores y = ± 7 pulg está a pu n to de fluir, entonces, de acuerdo con la ecuación 12-3, p = ± 5639 pulg o 143 m etros. Los valores de p calculados en otros puntos a lo largo de la curva elástica de la viga, pueden ser todavía mayores, ya que a no puede ser m ayor que
S ecció n 1 2 .2
Pendiente y desplazamiento por integración
•
591
12.2 Pendiente y desplazamiento por integración L a curva elástica de una viga se puede expresar en forma matemática co mo u = f ( x ) . Para obtener esta ecuación prim ero debemos representar la curvatura (1 /p) en función de v y x . E n la m ayor parte de los libros de cálculo se demuestra que esta relación es 1
d rv / d x 2
P
[1 + ( d v / d x ) 2]3/2
A l sustituir en la ecuación 12-2, se obtiene d 2v / d x 2
M_
[1 + ( d v / d x ) 2f /2
El
(12-4)
Ésta es una ecuación diferencial no lineal de segundo orden. Su solución, llam ada la elástica, define la form a exacta de la curva, suponiendo, natu ralmente, que la deflexión de la viga sólo se debe a la flexión. Con el uso de matemáticas superiores se han obtenido soluciones de la elástica sólo para casos sim ples de geometría y carga de la viga. Para facilitar la solución de m ayor cantidad de problemas de deflexión, se puede m odificar la ecuación 12-4. L a m ayor parte de los códigos de di seño en ingeniería especifican lim itaciones de la deflexiones, con fines de tolerancias o estéticos, y en consecuencia las deflexiones elásticas de la mayor parte de las vigas y los ejes forman curvas no pronunciadas. En to n ces. la pendiente de la curva elástica que se determ ina con dv/dx debe ser m uy pequeña, y su cuadrado será despreciable en comparación con la uni dad.* Por consiguiente, la curvatura, tal como se definió anteriorm ente, se puede aproxim ar con 1/p = d 2v/dx2. Con esta sim plificación, la ecua ción 12-4 se puede escribir como sigue:
d 2v _
M
dx2
El
(12-5)
También es posible escribir esta ecuación en dos formas alternativas. Si se diferencia cada lado con respecto a x , y si se sustituye V = d M /d x (ecua ción 6-2 ), se obtiene
¿ C « g )-v W
(-,
Diferenciando de nuevo, con —w = d V /d x , la ecuación (6-1) resulta
d2 ( l A *V éasc ejem plo 12.1.
d 2v \ E l 1 ? ] “ ~ w {x)
(12-7)
El momento de inercia de este tablero de puente varía a lo largo de su longitud, co sa que se debe tener en cuenta al calcu lar su deflexión.
592
•
CAPÍTULO 12 Deflexión de vigas y ejes
Para la m ayor parte de los problemas, la rigidez flexionante será cons tante a lo largo de la viga. Suponiendo que ese es el caso, los resultados anteriores se pueden reordenar en el siguiente conjunto de ecuaciones:
(12-8) (12-9)
(12-10)
w
ÍÍÍH ilH
__
A-
(a)
0
Para resolver cualquiera de estas ecuaciones se requieren integraciones sucesivas para obtener la deflexión v de la curva elástica. Para cada inte gración es necesario introducir una “ constante de integración” para des pués determ inar todas las constantes y obtener una solución única para determinado problema. Por ejemplo, si la carga distribuida se expresa en función de x , y se usa la ecuación 1 2 -8, se deben evaluar las cuatro cons tantes de integración; sin embargo, si se determ ina el momento interno M y se usa la ecuación 12-10, sólo se deben determ inar dos constantes. L a e lecció n de con cuál ecuación com en zar depende del p ro b lem a. S in embargo, en general es más fácil determ inar el momento interno M en función de x , integrar dos veces y sólo evaluar dos constantes de integración. Recuérdese de la sección 6.1 que si la carga en una viga es discontinua, esto es, es una serie de varias cargas distribuidas y concentradas, se debe rán escribir varias funciones para d efinir el momento interno, cada una válida dentro de la región entre las discontinuidades. Tam bién, para co modidad de escritura de cada ecuación de momentos, el origen de cada coordenada x se puede seleccionar en fo rm a arbitraria. Por ejemplo, para la viga de la figura 12-7«, el momento interno en las regiones A B , B C y C D se puede escribir en función de las coordenadas x ¡ ,x 2 y x 3 selecciona das, como se ve en las figuras 12-76 o 12-7c, o de hecho en cualquier forma en que M = f ( x ) sea la form a más sim ple que sea posible. U n a vez integradas esas funciones usando la ecuación 12 - 10 , y determ inadas las constantes de integración, las funciones determ inarán la pendiente y la deflexión (la curva elástica) para cada región de la viga para la que son válidas esas funciones.
w
JTTTTTTT1
HTÍTTTT1
A .
D
B I— xr (C)
*3-----(b) Fig. 12-7
S ección 12.2
rm r
•
593
,
+w( t E Z Z H ^ +V
Pendiente y desplazamiento por integración
+M
+K
Convención del signo positivo (a)
v
O'
Curva elástica +p' \d \ +v
Convención del signo positivo
Convención del signo positivo (b)
(c) 12-8
A l ap licar las ecuaciones 12-8 a 12-10, es importante usar los signos adecuados de M , V o w. como se definen con la convención de signos que se usó al deducir esas ecua ciones. Como repaso, esos términos se muestran en la figura 12-8a con sus direcciones positivas. A dem ás, recuérdese que la deflexión positiva v es hacia arriba, y en consecuencia, el ángulo d con pendiente positiva se me dirá en sentido contrario al de las m anecillas del re lo j a p artir del eje x , cuando x es p ositivo hacia la derecha. L a razón de ello se ve en la figura 12-86. E n ella, los aumentos positivos d x y dv, en x y v, crean un ángulo 6 mayor, que es contrario a las m anecillas del reloj. Por otra parte, si x p o sitiva se dirige hacia la izquierda, entonces 6 será po sitivo en el sentido de las manecillas del reloj, figura 1 2 -8c. Se debe hacer notar que al suponer que dv/dx es muy pequeño, la lon gitud horizontal original del eje de la viga, y el arco de su curva elástica serán aproxim adamente iguales. E n otras palabras, ds en las figuras 1286 y 12-Sc es aproxim adam ente igual a dx, ya que ds = \ /\ d x ) 2 + (d v )2 = V i + (d v/d x)2 dx = dx. E n consecuencia, los puntos en la curva elástica se suponen estar desplazados verticalmente, y no horizontalmente. Tam bién, como el ángulo pendiente 6 será m uy pequeño, su valo r en radianes se puede determ inar en form a directa con 6 ~ tan 6 = dv/dx. C o n v e n c ió n d e s ig n o s y c o o r d e n a d a s .
El diseño de un sistema de techo requie re tener muy en cuenta las deflexiones. Por ejemplo, se puede acumular la lluvia en algunas zonas del techo, causando es tancamientos, causando más deflexión y la posible falla del techo.
594
•
CAPÍTULO 12 Deflexión de vigas y ejes
TABLA
12-1
A = 0 R o d illo
A = 0 A rtic u la d o
A = 0 R o d illo
A = 0 A rtic u la d o
0= 0 A = 0 E x tre m o fijo
V= 0 M= 0 E x tr e m o lib re
M= 0 A rtic u la c ió n o b isag ra in te rn a
C o n d ic io n e s e n la fr o n te r a y d e c o n t in u id a d . L a s constantes de in tegración se determinan evaluando las funciones de cortante, momento, pendiente o desplazamiento en un punto determinado de la viga, donde se conozca el valo r de la función. E so s valores se llam an co n diciones en la fro n te ra . V arias condiciones posibles en la fro ntera, que se usan con frecuencia para resolver problemas de deflexión de vigas (o ejes) se ven en la tabla 12-1. Por ejemplo, si la viga está soportada por un rodillo o un pasador ( 1 , 2 ,3 ,4 ), se requiere que el desplazamiento sea cero en esos pun tos. Adem ás, si esos apoyos están en los extrem o s de la viga (1 ,2 ), el mo mento interno en la viga debe ser cero. E n el soporte empotrado o fijo (5 ), la pendiente y el desplazamiento son cero, ambos, m ientras que en la viga con extrem o libre ( 6 ) el momento y el cortante son cero. Por últim o, si dos segmentos de una viga se conectan con un pasador o bisagra “ inter nos” (7 ), el momento debe ser cero en esta conexión. Si no se puede usar una sola coordenada* para expresar la ecuación de la pendiente o de la curva elástica, se deben usar co n dicio n es de co n ti n u id a d para evaluar algunas de las constantes de integración. Por ejem plo, para la viga de la figura 12-9a, donde las coordenadas x se escogen ambas con orígenes en A . Cada una sólo es válida dentro de las regiones 0 < x i < a y a < x 2 ^ {a + 6 ). U na vez obtenidas las funciones de la pen diente y la deflexió n, deben dar los m is m o s valores de pendiente y de deflexión en el punto B , para que físicam ente la curva elástica sea co n ti nua. Exp resad o en form a matemática, se necesita que 0 j(a ) = d2{a) y que vi( a) = V2(«)• Entonces se pueden usar esas ecuaciones para evaluar dos constantes de integración. Por otra parte,si la curva elástica se expresa en función de las coordenadas 0 < . t i < í i y 0 s í 2 s 6 , como en la figura 12-96, p ara que haya continu idad de pendiente y d e fle xió n en B se requiere que d\(a) = d2(b ), y que v ^ a ) = vj(b ). E n este caso en particular es necesario un signo n eg a tivo para que coincidan las pendientes en B , porque x x se prolonga positivo hacia la derecha, mientras x 2 se prolonga positivo hacia la izquierda. E n consecuencia, 0\ es positivo en sentido con trario al de las m anecillas del relo j, y 02 es negativo en sentido de las m anecillas del relo j. V ea las figuras 12-86 y 12-8c.
S ección 12.2
; innto, nde s en con ven 3 un junmofijo :n la imo, ítern de mtijem3gen ones peny de ontif que r dos sa en igura B se icular en B , longa ) conie las
Pendiente y desplazamiento por integración
PROCEDIM IENTO PARA EL ANALISIS El procedimiento que sigue es un m étodo para determ inar la pendien te y la deflexión de una viga (o de un eje) usando la integración. C u rva elástica.
• Trazar una vista exagerada de la curva elástica. R ecordar que en todos los soportes fijos o em potrados la pendiente es cero y el desplazam iento es cero, y que en todos los apoyos con pasador y con rodillo el desplazam iento es cero. • E stablecer los ejes coordenados x y v. El eje x debe ser paralelo a la viga no flexionada y pued e te n er el origen en cualquier pun to de la viga, con la dirección positiva que puede ser hacia la de recha o hacia la izquierda. • Si hay varias cargas discontinuas presentes, definir las coordena das x que sean válidas para cada región de la viga en tre las dis continuidades. E scoger esas coordenadas para que simplifiquen el trabajo algebraico que siga. • E n todos los casos, el eje se hacia arriba.
v
positivo correspondiente debe dirigir
Fu n ció n de carga o de momento.
• Para cada región en la que hay una coordenada x, expresar la car ga w o el m om ento interno M en función de x. E n particular, su poner siem p re que M actúa en dirección p o sitiva al aplicar la ecua ción de equilibrio de m om entos p ara determ inar M = f( x ) . Pendiente y curva elástica.
• Siem pre que E l sea constante, aplicar la ecuación de carga E l d 4v /d x 4 = - w ( x ) , para lo que se requiere cuatro integraciones pa ra llegar a v = v ( x ), o la ecuación de m om ento E l d 2v / d x 2 = M (x), que sólo requiere dos integraciones. Es im portante incluir una cons tante de integración, en cada integración. • Las constantes se evalúan usando las condiciones en la frontera para los apoyos (tabla 12-1) y las condiciones de continuidad que se apliquen a la pend ien te y al desplazam iento en puntos donde dos funciones se encuentran. U na vez evaluadas las constantes, y sustituidas en las ecuaciones de pendiente y deflexión, se pueden determ inar entonces la p en d ien te y el desplazam iento en p u n to s específicos de la curva elástica.
H
• Los valores num éricos obtenidos se pueden com probar en forma gráfica, com parándolos con el esquem a de la curva elástica. Se debe te n e r en cuenta que los valores p o sitiv o s de la p en d ie n te son en contra de las m anecillas d el reloj, si el eje x se extiende p o siti vo hacia la derecha, y en el sen tid o de las m an ecilla s d el reloj si el eje x se extiende p o sitiv o hacia la izq u ierd a . En cualquier caso, el d esp la za m ien to p o sitiv o es hacia arriba.
•
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596
•
CAPÍTULO 12 Deflexión de vigas y ejes
E J E M P L O L a viga en voladizo de la figura 12-10« está sometida a una carga ver tical P en su extremo. D ed ucir la ecuación de su curva elástica. E l es constante. Solución I C u rva elástica. L a carga tiende a flexio nar a la viga como se ve en la figura 12-10«. Por inspección, el momento interno se puede represen tar en toda la viga con una sola coordenada x . F u n ció n de momento. D e acuerdo con el diagrama de cuerpo libre, con M actuando en dirección positiva, figura 12-106, M = -P x Pendiente y curva elástica. veces se obtienen
A l aplicar la ecuación 12-10 e integrar dos
d v E l — - = —P x dxL El
P x2
dv dx
(1)
+ C,
P x5 E I v = — -— l- C \x + C 2 6
(a)
0
Fig. 12-10
(3)
Se usan las condiciones en la frontera dv/dx = 0 en x = L , y v = 0 en x = L ; entonces las ecuaciones 2 y 3 se transform an en PL2
0 =
(b)
(2)
PU =
-
+ Cj
+ C \L + Ci
Por consiguiente. C j = P L 2/ 2 y C 2 = - P L 3/ 3. Se sustituyen estos re sultados en las ecuaciones 2 y 3, con 6 = dv/dx, y se obtiene
v = - — í - x 3 + 3 L 2x - 2 L 3 ) 6 E1 '
Resp.
L a pendiente y el desplazamiento m áxim os están en A ( x = 0 ), para el cual PL2 2E l
va
=
PL3 3E I
(4)
(5)
S ección 12.2
Pendiente y desplazamiento por integración
E l resultado positivo para dA indica una rotación en sentido contrario de las manecillas del reloj y el resultado negativo para vA indica que vA es hacia abajo. Esto concuerda con los resultados bosquejados en la figura 12-10a. Para tener alguna idea de la m agnitud real de la pendiente y el des plazam iento en el extrem o A , supongamos que la viga de la figura 12-10« tiene 15 pies de longitud, que sostiene una carga P = 6 klb y que es de accro A-36 con E ac - 29(103) klb/pulg2. A l aplicar los métodos de la sección 11.3, si esa viga estuviera diseñada sin factor de seguridad, al suponer que el esfuerzo norm al adm isible es igual al esfuerzo de fluencia o-adm = 36 klb/pulg2, entonces se ve que es adecuada una viga W12 X 26 (/ = 204 pulg4). Con las ecuaciones 4 y 5 se obtienen _ A
6 klb (1 5 pies) 2( 1 2 pu ig /pie) ^ ^
^
2[29(10 ) klb/pulg2](204 pulg4)
6 k lb ( 15 pies)3(12 pulg/pie )3 v A = ------------ 5------------ 5------------ T = —1-97 pulg 3[29(10 ) klb/pulg ](204 pulg ) Y a que dA = ( d v /d x )2 = 0.000270 rad 2 « 1, esto justifica el uso de la ecuación 12-10, y el no aplicar la ecuación 12-4, más exacta, para calcular la deflexión de las vigas. También, como esta aplicación numérica es para una viga en voladizo, hemos obtenido valores mayores á e d y v que los que se hubieran obtenido usando pasadores, rodillos u otros soportes fijos.
Solución II También se puede resolver este problema usando la ecuación 12-8, E l d4v/dx4 = ~ w (x ). E n este caso tv(x) = 0 para 0 s x < L , figura 12-10«, por lo que al integrar una vez se obtiene la form a de la ecuación 12-9, es decir, d*v
El
d^v dx3
Se puede evaluar la constante del cortante C \ en x = 0, ya que VA = - P (negativo, de acuerdo con la convención de signos, figura 12-8«). A s í, C \ = —P . A l integrar de nuevo se obtiene la fo rm a de la ecuación 12 -10 , es decir, d ^v E l — r = -P dx3 d~v E l — r = - P x + C'2 = M dx¿ E n este caso, M = 0 en x = 0, por lo que C'2 = 0, y el resultado es que se obtiene la ecuación 1 y la solución prosigue como se indicó antes.
•
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598
•
CAPÍTULO 12 Deflexión de vigas y ejes
E J E M P L O
12.2 L a viga simplemente apoyada de la figura 12-11« sostiene la carga dis tribuida triangularmente. D eterm inar su deflexión m áxim a. E l es cons tante.
í( > ) f = ¥ 2 2wq w = —ya-
4 WnL (a)
M
l
(b )
Fig. 12-11
Solución I
C u rva elástica. D ebido a la sim etría, sólo se necesita una coordena da x para la solución; en este caso 0 s x < L / 2 . L a viga se flexiona co mo indica la figura 12-11«. Observe que la deflexión m áxim a está en el centro, porque en ese punto la pendiente es cero. F u n ció n de m om ento. L a carga distribuida actúa hacia abajo, y por consiguiente es positiva de acueido con nuestra convención de signos. E n la figura 12-116 se muestra un diagrama de cuerpo libre del seg mento de la izquierda. L a ecuación para la carga distribuida es
2Wn IV
Por consiguiente.
2 M am = 0:
M +
Wq-y
M =
L
\3
W0XJ
W0L + — x
(1)
S ección 12.2
Pendiente y desplazamiento por integración
Pendiente y cu rva elástica. Se usa la ecuación 12-10 y se integra dos veces, para obtener
d 2v w>o 3 , woL E l — r = M = ~ z y x 3 + -^— x dx~ 3L
(2 )
d v _ _J0o_ 4 , ^ k x 2 . r £ / dx 12LX + 8 v i
^0
5
,
3
,
r
,
r
E,v = “ s r * + i r * + Ci* + c¡ La s constantes de integración se obtienen aplicando la condición en la frontera v = 0 en x = 0 , y la condición de sim etría dv/dx = 0 en x = L / 2 . Esto conduce a 5 w0L 3
a - o
Por consiguiente. dv El — = dx
4
w0 12 L w0
w0L 2 5w0L 3 + ~ x ¿ 8 192
, , w0L
E ,v - - M Í *
,
Sh-qL 3
~24~*
~ iñ ~ x
Se determina como sigue la deflexión m áxim a en x = L / 2 : » o í .4
= “ Í20£7 S olución II Partiendo de la carga distribuida, ecuación 1, y aplicando la ecuación 12 -8, se llega a
E‘ 7.?' 'IT* Eij^=v- x2+ c; d 4v
2w0
dx
L
Com o V = + wqL / A en x = 0, entonces C 'j = iv 0L / 4 . E sto se integra de nuevo
e,7?-v--Tx+~ 2
d 3v
E, i l m . J £ dx1
x3
3i
w0L
+ ^
+ cí 4
E n nuestro caso M = 0 en jc = 0, por lo que C '2 = 0. Se obtiene así la ecuación 2. E n adelante la solución prosigue como se indicó anterior mente.
•
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600
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CAPÍTULO 12 Deflexión de vigas y ejes
E J E M P L O
12.3 L a viga sim plem ente apoyada de la figura 12-12« está sometida a la fuerza concentrada P . D eterm inar la deflexión m áxim a de esa viga. E l es constante.
By ' /i D
- x 2-
(b)
(a)
Solución
C u rva elástica. L a viga se flexiona como se ve en la figura 12-126. Se deben usar dos coordenadas, porque el momento es discontinuo en P . E n este caso se definirán x¡ y x 2, con el m ism o origen en A . por lo que 0 £ X) < 2a, y 2a < x 2 ^ 3«. F u n ció n m omento. 12 -12 c,
Según los diagramas de cuerpo libre de la figura
P Mi - T x, P 2P M i = - J x2 ~ P ( x 2 ~ 2a) = — (3a - x 2) P endiente y cu rva elástica. Se aplica la ecuación 12-10 a M \ , y se in tegra dos veces, para obtener f d \ = P j* -2 o -
d x ,2
(.v2 - 2o)
^'I
^0
,T
M
3
FJ ¿ü = L x 2+ r dx1 e Xl Cl
= 3 .
(1)
E l v i = — x x3 + C iX i + C 2
(2)
P 3
Se hace lo mismo con M 2:
(e) El
d 2v2 dx7
2P = ~ ( 3 a - x 2)
Fig. 12-12
dv2
£/^
2P (
= y
x2
r
2“ y
2P ( 3 E lv 2 — “ I ~ a x22 3 W
| + C3 y
+ C3x 2 + C4
(3) (4)
S ección 12.2
Pendiente y desplazamiento por integración
L a s cuatro constantes se evalúan usando dos condiciones en la fronte ra, que son x x = 0, vx = 0 y x 2 = 3a, = 0. Tam bién, se deben aplicar dos condiciones de continuidad en B , que son d v x/d x x = dv1/áx2 en X i = x2 - 2a, y = ih en x x = x 2 = 2a. A l sustituir como se indicó se obtienen las cuatro ecuaciones siguientes: v x = 0 en x i = 0;0 = 0 + 0 + C 2 v2 = 0 en x 2 = 3a;
0 =
+ C^ a ) + Q 2p ,
d v \(2 a ) _ d v 2(2a) dxi
dx2
’
6
'
k
+
(2 a )2\
= ~T'{. 3 V 3 fl( 2 tf)
f (2o), + C i(2a) + c 2 ,
^
o2 0
) +
a( 2 o) 2 _
+ C 3(2a) + C 4
E ste sistema se resuelve y se obtiene Q =
- A ~Pa2
C2 = 0
C3 =
22 , - y F «2
4 , C* = 3 P a
A s í. las ecuaciones 1 a 4 se convierten en = dxi Vl
2 _
6EI
1
a 18E I Xl
d v 2 _ 2Pa
^ 9E l
( c\ K’
4 f fl2 9 E l Xl
^
P
j
22P a 2
“ ~ e7*2 ” 3 £ 7 * 2 “ Pa
7
P
,
.
9EI 22Pa2
4Pa3
“ E /”* 2 ~ 9 £ 7 X2 ~ ~ 9 E I~ X2 + 3 £ 7
( *
Por inspección de la curva elástica, figura 12-126, la deflexión m áxi ma está en D , en algún lugar de la región A B . E n ese punto la pendien te debe ser cero. Según la ecuación 5, 1
2
4
“ 9°
i
„ * °
X] = 1.633a Se sustituye .vi en la ecuación 6 , Pa3 ^máx = _ 0 '4 8 4 ^ 7 E l signo negativo indica que la deflexión es hacia abajo.
ReSP-
•
601
602
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CAPÍTULO 12 Deflexión de vigas y ejes
E J E M P L O L a viga de la figura 12-13« está sujeta a una carga P en su extremo. D e term ine el desplazam iento en C. E l es constante. P
p
(b) Fig. 12-13
Solución
C u rva elástica. L a viga se flexiona en la form a que muestra la figu ra 12-13«. D ebido a la carga, se definirán dos coordenadas x , que son 0 £ Xi < 2« y 0 <■x 2 < «, donde x 2 se dirige desde C hacia la izquier da, ya que así es fácil form ular el momento interno. Fu n cio n e s de m om ento. bre de la figura 12-136,
D e acuerdo con los diagramas de cuerpo li
Pendiente y cu rva elástica.
Se aplica la ecuación 12-10:
(1)
E l Vi =
- — x i 3 + C ix i + C 2
(2)
para 0 :£ x 2 < a,
(3) P
E I v2 = - —x 2 + C3x2 + C4
(4)
S ección 12.2
Pendiente y desplazamiento por integración
L a s cuatro constantes de integración se determ inan usando tres con diciones en la fro ntera, que son u, = 0 en x x = 0 , i»] = 0 en x x = 2a y vi = 0 en x 2 = a, y una ecuación de continuidad. E n este caso, la con tinuidad de la pendiente en el rodillo requiere que d v x/d x x = —dv1¡d x2 en x x = 2a y x 2 = a. ¿Por qué hay un signo negativo en esta ecuación? (Observe que se ha tenido en cuenta, en forma indirecta, la continuidad del desplazam iento en D , en las condiciones en la fro n te ra , ya que uj = v¿ = 0 en = 2a y x 2 = a.) A l ap licar estas cuatro condiciones se obtiene
= 0 en Jtj = 0 ;
0 — 0 + 0 + Cn
v¡ = 0 en x x = 2a;
° = " 12(2fl)3 + Cl(2a) + Cl
v2 = 0 en x 2 = a;
dv\{2 a)
d v 2{a )
dx\
dx7
0 =
— — a + C$a + C 4
~ ( 2 a )2 + C , = -
- y ( f l )2 + C3
La s soluciones son
Se sustituyen C 3 y C 4 en la ecuación 4, para obtener
P V2=
,
IP a 2
Pa3
~ 6 É Í X2 + 6 J T X 2 - T T
E1 desplazamiento en C se determ ina igualando x 2 = 0. El resultado es
vc =
Pa3 El
Resp.
•
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604
•
CAPÍTULO 12 Deflexión de vigas y ejes
PROBLEMAS 12-1. U na solera de acero L2 de 0.125 pulg de espesor y 2 pulg de ancho se dobla formando un arco circular de 600 pulg. Calcule el esfuerzo m áxim o de flexión en la solera.
*12-4. Deduzca las ecuaciones de la curva elástica, usan do las coordenadas jq y x 2. E l es constante.
P
12-2. La hoja de acero L2 de la sierra circular rodea a la polea de 12 pulg de radio. Calcule el esfuerzo normal m á ximo en la hoja. Está hecha de acero y tiene 0.75 pulg de ancho y 0.0625 pulg de espesor.
I -- --- 1 ----------------------a -------------------- ------ b ---------------------------*2------------------------ "I ------------------------------- L ----------------------------------P ro b . 12-4
12-5. Deduzca las ecuaciones de la curva elástica, usan do las coordenadas x\ y x 2. E l es constante.
P ro b . 12-2
a 12-3. Deduzca la ecuación de la curva elástica para la viga, usando la coordenada x que sea válida p ara 0 ^ x < L fl. Especifique la pendiente en A y la deflexión má xima de la viga. E l es constante.
-vi
It**2
Prob. 12-5
12-6. El eje simplemente apoyado tiene un mom ento de inercia 2 / en la región B C c l e n las regiones A B y CD. D e term ine la deflexión máxima del eje debido a la carga P. P
P
rrob. 12-3
Prob. 12-6
Pr o b le m a s
12-7. Deducir las ecuaciones de la curva elástica para la viga, usando las coordenadas y x 2. Especifique la pendiente en A y la deflexión máxima. E l es constante.
•
605
12-11. La barra está soportada por un apoyo de rodillos en B , que permite desplazamiento vertical, pero resiste la carga y el m om ento axiales. Si la barra está som etida a la carga indicada, determ ine la pendiente en A y la defle xión en C. E l es constante. *12-12. D eterm ine la deflexión en B, de la barra del pro blema 12 - 11 .
r
— i
l ~ — i
l sp? 0.1—\áL,
"
C
______ Prob. 12-7
*1 2 -8 . El eje está soportado en A por un cojinete recto que sólo ejerce reacciones verticales sobre el eje, y en C por un co jinete axial que ejerce reacciones horizontales y verticales so bre el eje. Deduzca las ecuaciones de la curva elástica, usando las coordenadas x\ y x 2- E l es constante.
Probs. 12-11/12
12-13. D eterm ine la curva elástica para la viga en vola dizo, sometida al momento de un par M0. También deter mine la pendiente máxima y la deflexión máxima de la viga. E l es constante.
)
M„
Prob. 12-8 Prob. 12-13
La viga está formada por dos cilindros, y está sometida a la carga concentrada P. D eterm ine la deflexión máxima de esa viga, si los momentos de inercia de los cilindros son lAR e IBc- y el módulo de elasticidad es E. 12-9.
12-10. La viga está formada por dos cilindros, y está som eti da a la carga concentrada P. D eterm ine la pendiente en C. Los momentos de inercia de los cilindros son IAg e /ge, y el m ódu lo de elasticidad es E.
Probs. 12-9/10
12-14. Deduzca la ecuación de la curva elástica para la viga, usando la coordenada a.-. Especifique la pendiente en A , y la deflexión máxima. E l es constante. 12-15. Determ ine la deflexión en el centro de la viga, y la pendiente en B. E l es constante.
Probs. 12-14/15
606
•
CAPÍTULO 12 Deflexión de vigas y ejes
*12-16. Determ ine la curva elástica para la viga simple mente apoyada, sujeta a momentos de par M0. También, calcule la pendiente máxima y la deflexión máxima de la viga. E l es constante.
*12-20. Deduzca las ecuaciones de la curva elástica, usan do las coordenadas.vj y x2, y especifique la pendiente y la deflexión en el punto B. E l es constante. 12-21. Deduzca las ecuaciones de la curva elástica, usan do las coordenadas x¡ y x 3, y especifique la pendiente y la deflexión en el punto B. El es constante.
M»
Ivlo
.F T —
x l—
”1
M
Prob. 12-16
» -
--------------------------------------L —
P ro b s. 12-20/21
12-17. D eterm ine la deflexión máxima de la viga, y la pendiente en A . E l es constante.
12-22. La viga del piso de un avión está sometida a la car ga indicada. Suponiendo que el fuselaje sólo ejerza reac ciones verticales en los extremos de la viga, calcule la de flexión máxima de esa viga. E l es constante.
Air,
A Jk. Vs-------------- Y -------------
. -
n
7
P ro b . 12-17
12-18. Deduzca las ecuaciones de la curva elástica, usan do las coordenadas y x 2, y especifique la deflexión y la pendiente en C. E l es constante. 12-19. Deduzca las ecuaciones de la curva elástica usan do las coordenadas .v, y x 2, y especifique la pendiente en A . E l es constante.
12-23. Las dos reglas de un m etro, de m adera, están separadas en sus centros por un cilindro liso y rígido, de 50 mm de diámetro. Calcule la fuerza F que debe aplicar se en cada extremo para hacer que lleguen a tocarse. Cada regla tiene 20 mm de ancho y 5 mm de espesor. Ew = 11 GPa.
) m°
n
~x2' • 0.5 m Probs. 12-18/19
0.5 mProb. 12-23
P r o b le m a s
•
607
*12-24. Se puede suponer que los extrem os del tubo, apoyados en rodillos, y en su centro C m ediante una sille ta rígida. La silleta descansa en un cable conectado a los apoyos. D eterm ine la fuerza que debe desarrollar el cable, para que la silleta impida que el tubo se cuelgue, o flexione, en su centro. El tubo y el fluido en su interior tienen un peso combinado de 125 Ib/pie. E l es constante.
*12-28. Determ ine la curva elástica para la viga en vola dizo, usando la coordenada x. También determ ine la pen diente máxima y la deflexión máxima. E l es constante.
P ro b . 12-24
12-25. La viga está sometida a la carga distribuida lineal mente variable. Determine la pendiente máxima de esa vi ga. E l es constante. 12-26. La viga está sometida a la carga distribuida lineal mente variable. Determine la deflexión máxima de esa vi ga. E l es constante.
P ro b . 12-28
12-29. La viga triangular tiene sección transversal rec tangular. D eterm ine la deflexión de su extremo, en fun ción de la carga P, longitud L, módulo de elasticidad E y el momento de inercia I0 de su extremo.
P robs. 12-25/26
12-27. D eterm ine la curva elástica de la viga simplemen te apoyada, usando la coordenada . v 0 s .v < L /2. También, determine la pendiente en A y la deflexión máxima de la viga. E l es constante.
608
•
CAPÍTULO 12 Deflexión de vigas y ejes
12-30. La viga romboidal tiene sección transversal rec tangular. Determine la deflexión en su centro, en función de la carga P, longitud L, módulo de elasticidad E y el mo mento de inercia Ic de su centro.
*12-32. La viga tiene un ancho constante b, y es triangu lar como se indica. Si sostiene una carga P en su extremo, determine la deflexión en B. La carga P se aplica a una cor ta distancia del vértice B, donde s « L. E l es constante.
P ro b . 12-30
P ro b . 12-32
12-31. La viga está hecha de una placa de espesor cons tante t. y con un ancho que varía en forma lineal. La placa se corta en bandas, para formar una serie de hojas que se apilan para formar un muelle de n hojas. D eterm ine la de flexión en su extremo, cuando está cargada. No tenga en cuenta la fricción entre las hojas.
Prob. 12-31
12-33. U na varilla delgada y flexible de 20 pies de longi tud, con 0.5 lb/pie de peso, descansa sobre la superficie lisa. Si se aplica una fuerza de 3 Ib en su extremo, para le vantarla, determine la longitud suspendida x y el momen to máximo desarrollada en la varilla.
Prob. 12-33
S ección 12.3
*12.3
Funciones de discontinuidad
•
609
Funciones de discontinuidad
E l método de la integración, que se usa para deducir la ecuación de la elás tica para una viga o un eje, es adecuada si la carga o el momento interno se pueden expresar como función continua en toda la longitud de la viga. Sin embargo, si sobre la viga actúan varias cargas distintas, el método se vuelve de aplicación más tediosa, porque se deben plantear distintas fun ciones de carga o de momento, para cada región de la viga. Adem ás, para integrar esas funciones se requiere la evaluación de constantes de inte gración usando condiciones en la frontera y/o condiciones de continuidad. Por ejemplo, la viga de la figura 12-14 requiere plantear cuatro funciones de momento, las cuales describen el momento en las regiones A B , BC , C D y D E . A l aplicar la relación entre momento y curvatura, E l d 2v /d x 2 = M , e integrar dos veces cada ecuación de momento, se deben evaluar ocho constantes de integración, las cuales involucran el empleo de dos condi ciones en la frontera que requieren que el desplazamiento sea cero en los puntos A y E . más seis condiciones de continuidad, para pendiente y des plazamiento en los puntos B , C y D . E n esta sección describirem os un método para deducir la ecuación de la curva elástica para una viga con cargas m ú ltip les usando u n a sola ecua c ió n ,se a formulada a partir de la carga en la viga, w = w (x ), o del momen to interno de la viga, M = M (x ). Si la ecuación de w se sustituye en E l d 4v /d x 4 - —w (x ) y se integra cuatro veces, o bien si la ecuación de M se sustituye en E l d 2v /d x 2 = M (x ), y se integra dos veces, se determinarán las constantes de integración sólo a partir de las condiciones en la frontera. Com o no intervendrán las ecuaciones de continuidad, el análisis se sim p lificará mucho. F u n c io n e s d e d is c o n t in u id a d . Para expresar la carga en la viga, o el momento interno en ella, usando una sola ecuación, usaremos dos clases de operadores matemáticos llamados fu n c io n e s de d isco n tin u id a d .
W
p
A
I
\ t »_______________ ríT T T Í] i K
B
C
_•_________.
7
Fig. 12-14
D
Por motivos de seguridad, estas vigas en voladizo deben diseñarse tanto para resis tencia como para una cantidad restringi da de deflexión.
610
•
CAPÍTULO 12 Deflexión de vigas y ejes
TABLA
12-2
p _ ro . s
1
F unción de carga w=w(x)
C o rta n te V=-Jw(x)dx
M o m en to M=JVdx
Mo >= M 0'2
E T
iv = P~'
V = -Mo~' M = - M 0°
V = -P< x-a> °
M = -P < x-a> 1
E 2 -I 3 1 ! IU U <
w
= wq< x- íí>^
V = -u'o 1 M = - ^ ¡ ~ < x -a > 2
Ë S -H 4 '
pendiente = »>
——( x—1 1--
tv = m]
V =^Y< x-a>2
M = ^ < x-a > 3
Funciones de M acaulay. Para fines de cálculo de deflexión en vigas o ejes se pueden usar las funciones de M acaulay, que llevan el apellido del matemático W .H . M acaulay, para describir cargas d istrib u id a s. Se escri ben en la siguiente form a general:
0
para x < a
( x — a )"
para x ^ a
n > 0
(12-11)
E n ellas, x representa la coordenada de la posición de un punto a lo la r go de la viga, y a es el lugar de la viga donde hay una “ discontinuidad” , o sea, el punto donde com ienza una carga distribuida. Observe que la fun ción de M acaulay (x - a)" se escribe con paréntesis angulares, para dife renciarla de la función ordinaria (x — a )n que se escribe con paréntesis normales. Com o se indica en la ecuación, (x - a)n = ( x — a)" sólo cuando x £ a: en caso contrario es cero. Adem ás, esas funciones sólo son válidas para los valores de exponente n ^ 0. L a integración de las funciones de M acaulay tiene las mismas reglas que para las funciones ordinarias, por ejemplo, H+ l ( x — a }" d x —
+ c
(12-12)
Obsérvese la forma en que las funciones de M acaulay describen tanto la carga uniform e w0(n = 0 ) como la carga triangular (n = 1 ), que se in dican en la tabla 12-2, renglones 3 y 4. Naturalm ente que esta clase de des cripción se puede am pliar a las cargas distribuidas que tengan otras fo r mas. Tam bién, es posible usar la superposición con las cargas uniform es y triangulares, para crear la función de M acaulay de una carga trapezoidal. E n la tabla también se muestran las funciones de M acaulay obtenidas por integración, para el cortante V = - J w ( x ) dx y el momento, M = j V dx.
S ección 1 2 .3
Funciones de discontinuidad
•
611
Funciones de singularidad. Esa s funciones sólo se usan para describir el lugar del punto de aplicación de fuerzas concentradas o momentos de par que actúen sobre una viga o eje. E n form a específica, una fu e rz a concen trada P se puede considerar como caso especial de la carga distribuida, donde la intensidad de la carga es w — P/e tal que su ancho es e, y e —» 0, figura 12-15. E l área bajo este diagrama de carga equivale a P , positivo hacia abajo, por lo que se usará la función de singularidad
w = P (x
p a ra * =£ a P p a ra * = a
(12-13)
para d escrib ir la fu e rza P . O b se rve aq uí que n = —1, para que las unidades de w sean fuerza entre longitud, tal como deben. A dem ás, la función sólo asume el valo r de P en el punto x = a, donde se aplica la carga; en cualquier otro caso es cero. E n forma parecida, un momento de par M 0, considerado positivo en sentido contrario al de las m anecillas del re lo j es una lim itación cuando e 0, de dos cargas distribuidas como se ven en la figura 12-16. E n es te caso, la siguiente función describe su valor: gas o lo del escri-
2- 11)
o larid ” , o ifu n difentesis lando ílidas es de s, por
2 - 12) tanto se ing dess fo r mes y oidal. js por ’ clx.
Fig. 12-15
P M0 € €2
w = - = -X
w = M 0{ x - a) -2 _
0
p a ra * # a
M 0 p a ra * = a
(12-14)
-w= P - = M0 € €2
E l exponente n = - 2 , para asegurar que las unidades de w, fuerza entre longitud, se mantengan. L a integración de dos funciones anteriores de singularidad se apega a las reglas del cálculo operacional, y produce resultados distintos a los de las funciones de M acaulay. E n form a específica,
Mq A _
T (12-15)
** Fig. 12-16
E n este caso sólo aumenta el exponente n una unidad, y no se asocia cons tante de integración con esta operación. A l usar esta fórm ula, observe có mo se integran una vez y después dos veces, M 0 y P , descritos en la tabla 12 -2 , renglones 1 y 2 , para obtener el cortante y el momento internos en la viga. L a aplicación de las ecuaciones 12-11 a 12-15 es un método bastante di recto de expresar la carga o el momento interno en una viga, en función de x . A l hacerlo se debe poner mucha atención a los signos de las cargas externas. Como se dijo antes, y como se ve en la tabla 12-2, las fuerzas con centradas y las cargas distribuidas son positivas hacia abajo, y los momen tos de p ar son p ositivos en sentido contrario al de las m anecillas del reloj. Si se sigue esta convención de signos, el cortante y el momento internos coinciden con la convención de signos para vigas, establecida en la sec ción 6. 1 .
612
•
CAPÍTULO 12 Deflexión de vigas y ejes
r .e _
P U
w = - R \ ( x - 0) 1 + P ( x - a) 1 - M 0( x - b) 2 + iv0( x - c)°
(a)
A q u í no se incluye la fuerza de reacción en el rodillo, porque x nunca es m ayor que L , y además este valor no tiene consecuencia al calcular la pen diente o la deflexión. Nótese que cuando x = a, w = P, y todos los demás términos son cero. Tam bién, cuando x > c, w = w0, etcétera. A l integrar dos veces esta ecuación se obtiene la relación que describe el momento interno en la viga. La s constantes de integración aquí no se toman en cuenta, porque se han calculado las condiciones en la frontera, o el cortante y el momento ( V = R\ y M = 0) y esos valores están inco r 6 kN/m porados en la carga vv de la viga. Tam bién se puede obtener este resulta do en form a directa con la tabla 12-2. E n ambos casos,
M ¥■
l R.
Com o ejemplo de cómo se aplican las funciones de discontinuidad pa ra describir las cargas o los momentos internos en una viga, veamos la viga cargada como muestra la figura 12-17«. E n este caso la fuerza de reacción R j creada por el pasador, figura 12-176, es negativa, porque actúa hacia arriba, y M 0 es negativo, porque actúa en sentido de las m anecillas del re loj. A l usar la tabla 12-2, la carga en cualquier punto de la viga es, por con siguiente,
h
(b)
Fig. 12-17 3 kN/m
'•5kN- ? r T T T l ^ -3 m
3 kN /m , " ' = —3 m ~ = 1.5 kN-m í~ 7
7
wq(x
- c )2
(12-16)
i ' i ' i 'T ^ T l 3 ^ A 11
r r m
m
M - RyX - P ( x - a) + M 0
3 m-
-3 m -
Fig. 12-18
M = R i ( x - 0) - P ( x - «) - M 0( x - b)° - \
Se puede com probar la validez de esta expresión, por ejemplo con el mé todo de las secciones, dentro de la región b < x < c, figura 12-176. Para el ,3 kN /m equilibrio de momentos se requiere que
(a)
2.75 kN
£
-3 m -
(b)
Bv
(12-17)
E ste resultado concuerda con el obtenido con las funciones de disconti nuidad, ya que según las ecuaciones 12-11,12-13 y 12-14, sólo el últim o térm ino de la ecuación 12-16 es cero cuando x < c. Com o un segundo ejemplo, veamos la viga de la figura 12-18«. L a reac ción en el apoyo A se ha calculado en la figura 12-186, y la carga trape zoidal se ha separado en cargas triangular y uniforme. D e acuerdo con la tabla 12 -2 , la carga es
w = -2 .7 5 k N (x — 0 )_1 - 1.5 kN • m (x — 3 m )~2 + 3 kN /m (jc - 3 m )° + 1 kN /m 2( x — 3 m )1 Se puede determ inar la ecuación de momento, en forma directa con la ta bla 12 -2 . en vez de integrar dos veces esta ecuación; en cualquier caso, , n 3 kN /m , 1 kN /m 2 , M = 2.75 k N (x - O) 1 + 1.5kN -m < Jt - 3 m ) ° -------- ^ — ( x - 3 m )2 --------- j — {x - 3 m )3
2
6
= 2.75* + 1.5(jc - 3 )° - 1.5<* - 3 )2 - \ ( x - 3 )3 6
A h o ra se puede determ inar la deflexión de la viga, integrando dos veces sucesivas esta ecuación y se evalúen las constantes de integración usando las condiciones en la frontera de cero desplazamiento en A y en B .
S ección 12.3
PROCEDIMIENTO PARA EL ANÁLISIS E l p ro c e d im ie n to q u e sigue es un m é to d o p a ra u sa r las fu n cio n e s de dis c o n tin u id a d en la d e te rm in a c ió n d e la cu rv a elástica d e u n a viga. E ste m é to d o es e s p e c ia lm e n te ú til p a r a re so lv e r p ro b le m a s d e vigas o ejes so m e tid o s a varias cargas, p o rq u e se p u e d e n e v a lu a r las c o n stan tes d e in te g ració n u sa n d o s ó lo las co n d icio n e s e n la fro n te ra , m ie n tra s q u e se satisfacen en fo rm a a u to m á tic a las co n d icio n e s d e co m p atib ilid ad . C u rva elástica. •
B o sq u eja r la c u rv a elástica d e la viga, e id e n tifica r las co n d icio n es en la fro n te ra p a ra los apoyos.
• E n tod o s los so p o rte s con p a s a d o r y co n ro d illo h ay d esp laz am ien to cero, y en los s o p o rte s e m p o tra d o s h ay p e n d ie n te c e ro y d e sp la z a m ie n to cero. •
E sta b le c e r el eje x p a ra q u e se e x tie n d a h acia la d e re c h a , y tenga su origen en el e x tre m o iz q u ie rd o de la viga.
F u n ció n de carga o de m omento. •
C a lcu lar las rea ccio n es en los apoyos, y a co n tin u a c ió n u s a r las fu n ciones de d isc o n tin u id a d en la ta b la 1 2 -2 p a ra e x p re sa r la carg a w o el m o m e n to in te rn o M e n función d e x. A se g u ra rse d e se g u ir la c o n vención d e signos p a ra ca d a carga, al ap lica rla e n e s ta ecuación.
• O b se rv a r que las cargas d istrib u id as se d e b e n p ro lo n g a r h as ta el ex tre m o d e re c h o d e la viga, p a ra se r válidas. Si eso n o su ced e, usar el m é to d o d e la su p e rp o sició n , q u e se ilu stra en el e jem p lo 12.5. Pendiente y cu rva elástica. • S u stitu ir w en E l d * v /d x 4 = -w (.x ), o M en la re la c ió n d e m o m e n to /c u rv a tu ra , E l d 2v/dx~ = M ,e in te g ra r p a ra o b te n e r las ecu acio n es de la p e n d ie n te y la deflex ió n d e la viga. • E v a lu a r las c o n s ta n te s d e in te g ra c ió n u sa n d o las c o n d icio n e s en la fro n te ra , y su stitu ir esas c o n s ta n te s en las ecu ac io n e s d e p e n d ie n te y deflexión p a ra o b te n e r los re su lta d o s finales. • C u a n d o e v a lú a n las ecu ac io n e s de p e n d ie n te y d eflex ió n en cu alq u ier p u n to d e la viga, un a p en d ie n te p o sitiva es en contra d e las m anecillas del reloj, y un desp la za m ien to p o sitiv o es hacia arriba.
Funciones de discontinuidad
•
613
614
•
CAPÍTULO 12 Deflexión de vigas y ejes
E J E M P L O D e te rm in e la ec u ac ió n d e la curva elástica p a ra la viga en v o lad izo d e la fig u ra 12-19a. E l es co n stan te. 12 kN
8 kN/m
| —
Solución
C u rva elástica. L a s cargas hacen que la viga se flexione como se ve en la figura 12-19«. L a s condiciones en la frontera requieren que la pen diente y el desplazamiento en A sean cero.
___
1 ^-----------5 m ------- ——■-------- 4 m-------- -j (a)
//.JO 258 *kN-m
I t t l t H U t ,
%
A 'S z k rs
12 kN
8 kN/m _ L
B DUKiN-m
u m
i
Í T t t t t T 8 kN/m ----------- 5 m ----------- - •-------- 4 m------- (b)
Fig. 12-19
Fu n ció n de carga. La s reacciones en el apoyo A se han calculado con la estática, y se muestran en el diagrama de cuerpo libre de la figura 12-196. Com o la carga distribuida en la figura 12-19« no se extiende hasta C como sucede en realidad, se puede usar la superposición de las cargas que muestra la figura 12-196, para representar el mismo efecto. D e acuerdo con nuestra convención de signos, el momento del par de 50 kN • m, la fuerza de 52 kN en A y la parte de la carga distribuida de B a C , en la parte inferior de la viga, son negativas todas. E n consecuen cia, la carga de la viga es w = - 5 2 k N (x - 0 )_1 + 258 kN • m<* - O)“ 2 + 8 k N /m (x - 0)° - 50 kN • m (x - 5 m )~2 - 8 k N /m (x - 5 m )° L a carga de 12 kN no se incluye aquí, porque x no puede ser m ayor que 9 m. Com o d V /d x = —w (x ), al integrar sin tener en cuenta la constan te de integración, ya que las reacciones están incluidas en la función de carga, se obtiene V = 5 2 (x - 0)° - 258
M = —2 58 (x - 0 )° + 5 2 (x - 0 )1 - | ( 8 ) ( * -
O)2 + 50
= (- 2 5 8 + 5 2* - 4 x 2 + 4 (x - 5) 2 + 5 0 (x - 5 )°) kN ■m Este mismo resultado se puede obtener en form a directa de la tabla 12-2. P endiente y cu rva elástica. dos veces, para obtener
Se aplica la ecuación 12-10 y se integra
d 2v E l — r = -2 5 8 + 52* - 4 * 2 + 50(x - 5)° + 4 {x - 5 )2 dx dv 4 4 E l — = —258.* + 2 6 x2 - - * 3 + 5 0 (x - 5 )1 + - ( x - 5 )3 + C x dx 3 3 E I v = -1 2 9 x2 + ^ * 3 -
+ 25(jc - 5 )2 + j ( x - 5 )4 + Q x + C 2
Com o dv/dx = 0 cuando x = 0, C x = 0; ya que v = 0 cuando x = 0, entonces C 2 = 0. E s decir,
v = - r r ¡ { ~ ^ 2 9 x 2 + ^ x 3 - \ x A + 2 5 {x - 5 ) 2 + \ ( x - 5 ) 4 ) m El \ 3 3 3
Resp.
S ección 12.1
E J E M P L O
Funciones de discontinuidad
•
615
---------------------------
D eterm ine la deflexión m áxim a de la viga de la figura 12-20«. E l es constante.
J
120 klb-pie
D
120 klb-pie
(b) Fig. 12-20
S olución C urva elástica. L a viga se flexiona como se indica en la figura 12-20a. L a s condiciones en la frontera requieren que el desplazamiento sea ce ro en A y en B . Fu n ció n de carga. Se han calculado las reacciones y se indican en el diagrama de cuerpo libre de la figura 12-206. L a función de carga pa ra la viga se puede expresar como sigue: w = 8 klb(;c - 0 ) 1 - 6 k lb (;t - 10 pies) 1 E l momento del par y la fuerza en B no se incluyen aquí, porque están en el extremo derecho de la viga, y x no puede ser m ayor que 30 pies. Se aplica d V /d x = - w ( x ) , para obtener V
= - 8 { x - 0 )° + 6 (x - 10)°
E n forma parecida, d M /d x = V da como resultado M = - 8 ( * - 0 )1 + 6 (x - 10 )1 = (~ 8 x + 6 (x - 10 ) 1) k lb - p ie
Continúa
616
•
CAPÍTULO 12 Deflexión de vigas y ejes
Observe cómo esta ecuación se puede plantear en fo rm a directa usan do los resultados de la tabla 12-2 para el momento. P endiente y curva elástica.
Se integra dos veces para obtener
»2
E l — ^ = —8 x + 6 (x — 10 )1 dx2 ' ' dv E l — = - 4 x 2 + 3(x - 1 0 )2 + C i
dx
E I v = - | . v 3 + { x - 10 )3 + C yx + C 2
(1)
D e acuerdo con la ecuación 1, la condición en la frontera v = 0 en
x = 10 pies, y v = 0 en x = 30 pies hace que 0 = -1 3 3 3 + (10 - 10 )3 + <^(10 ) + C 2 0 = - 3 6 000 + (30 - 10 )3 + Q (3 0 ) + C 2 E stas ecuaciones se resuelven simultáneamente para obtener Q = 133 y C 2 = - 1 2 000. A s í. ~ 4x2 + 3<* “ 10 >2 + 1333
E l E Iv =
(2 )
- | x 3 + ( x - 10 )3 + 1333x - 12 000
(3 )
Según la figura 12-20a, el desplazamiento m áxim o puede estar en C o en D . donde la pendiente es dv/'dx = 0. Para obtener el desplazamien to de C se iguala x = 0 en la ecuación 3. A s í se obtiene
12 000 klb • pie 3 vc -
—
E l signo negativo indica que el desplazamiento es hacia abajo, como se indica en la figura 12-20«. Para ubicar el punto D se usa la ecuación 2 con x > 10 pies, y dv/dx = 0. Esto da como resultado = - 4 x D2 + 3( x d - 10 )2 + 1333
0
x D2 + 60xd - 1633 = 0 Despejando la raíz positiva, x D = 20.3 pies Por consiguiente, de la ecuación 3, EIvd =
4 - - ( 2 0 .3 )3 + (20.3 - 10 )3 + 1333(20.3) - 12 000
5000 klb • pie 3 v D = --------£y7¡ — A l com parar este valo r con vc se ve que vmáx = vc .
ResP-
P r o b le m a s
•
617
PROBLEMAS 12-34. La viga está sometida a la carga indicada. Deduzca la ecuación de la curva elástica. E l es constante.
12-37. El eje sostiene las dos cargas de las poleas en la figura. Determine la ecuación de la curva elástica. Los coji netes en A y B sólo ejercen reacciones verticales sobre el eje. E l es constante.
3 klb/pie 5 klb-pie
5 klb'pie
)
(
PT (— 20 pulg
-1- 20 pulg —t — 20 pulg ■
40 Ib - 4 pies -
4 A
60 Ib
4 pies
8 pies -
P ro b . 12-37 P rob. 12-34
12-35. El eje está soportado en A por un cojinete recto que sólo ejerce reacciones verticales sobre él, y en C está soporta do por un cojinete axial que ejerce reacciones horizontales y verticales sobre el eje. Deduzca la ecuación de la curva elásti ca. E l es constante.
a ---------------- ------------ b
12-38. El eje sostiene las dos cargas de las poleas que muestra la figura. Deduzca la ecuación de la curva elásti ca. Los cojinetes e n A y B sólo ejercen reacciones vertica les sobre el eje. E l es constante.
P rob. 12-38
P ro b . 12-35
*12-36. La viga está sometida a la carga que muestra la figu ra. Deduzca la ecuación de la curva elástica. E l cs constante.
12-39. El eje soporta las dos cargas de las poleas que muestra la figura. Determ ine la pendiente del eje en los cojinetes A y B. Los cojinetes sólo ejercen reacciones ver ticales sobre el eje. E l es constante.
1 1 1 A
L 1.5 m -------------- 3 m
Prob. 12-36
B — 1.5 m —:
Prob. 12-39
618
•
CAPÍTULO 12 Deflexión de vigas y ejes
* 1 2 -4 0 . La viga está sometida a las cargas que se mues tran. Deduzca la ecuación de la curva elástica. E l es cons tante.
12-43. La viga está sujeta a la carga que muestra la figu ra. Deduzca la ecuación de la curva elástica. E l es cons tante.
4 klb 4 klb-pie
r> 8 pies
Prob. 12-43 Prob. 12-40
12-41. Determine la ecuación de la curva elástica. E l es constante.
*12-44. La viga de m adera está sujeta a la carga que m uestra la figura. Deduzca la ecuación de la curva elásti ca. Si E w = 12 GPa, determ ine la deflexión y la pendiente en el extrem o B.
4 klb
Ü 400. 200 mm
Prob. 12-44
12-42. La viga está sometida a la carga que muestra la fi gura. Deduzca las ecuaciones de la pendiente y de la cur va elástica. E l es constante.
3 kN/m
12-45. La viga está sometida a la carga que m uestra la fi gura. Deduzca la ecuación de la curva elástica. E l es cons tante.
20 kN
20 kN
i
15 kN m
f e ----------------------------------
■ L
-
— C
)
A~
--------- X -------- -
5 m -------------
Prob. 12-42
---------- 3 m ---------- -
* -l — 1.5 m -
■3 ni
Prob. 12-45
-1.5 m
P ro b lem a s
12-46. La viga de madera está sujeta a la carga que se in dica. Deduzca la ecuación de la curva elástica. Especifique la deflexión en el extremo C. E w = 1.6(103) klb/pulg2.
0.8 klb/pie
619
12-49. D eterm ine la pendiente del eje en los cojinetes A y B. El eje es de acero y tiene 30 mm de diámetro. Los co jinetes en A y B sólo ejercen reacciones verticales sobre el eje. £ ac = 200 GPa.
1.5 klb
t=rB
p----------- 9 pies----------- -
•
-II9 pies----------- •
|— 250 mm — — 250 mm — — 250 mm — — 250 mm
-
6 pulg
150 N
60 N
150 N
P ro b . 12-46 P ro b . 12-49
12-47. Determ ine la pendiente en B y la deflexión en C para la viga W10 X 45. £ ac = 29(103) klb/pulg2.
12-50. Deduzca la ecuación de la curva elástica. Especifi que la pendiente en A . E l es constante. 12-51. Deduzca la ecuación de la curva elástica. E speci fique la deflexión en C. E l es constante.
5 klb
10 klb
A —< ^
i
5 klb
*12-52. Deduzca la ecuación de la curva elástica. Espe cifique la pendiente en B. E l es constante.
C
|-— 10 pies— 1— 10 pies— - -— 10 pies— 4 -----10 pies— P ro b . 12-47
P robs. 12-50/51/52
*12-48. Determ ine la deflexión en cada una de las poleas C,D y E. El eje es de acero y tiene 30 mm de diámetro. Los cojinetes e n A y B sólo ejercen reacciones verticales sobre el eje. £ ac = 200 GPa.
Prob. 12-4«
12-53. El eje es de acero y tiene 15 mm de diám etro. Determ ine su deflexión máxima. Los cojinetes en A y en B sólo ejercen reacciones verticales sobre el eje. £ ac = 200 G Pa.
Prob. 12-53
620
•
12.4
CAPÍTULO 12 Deflexión de vigas y ejes
Pendiente y desplazamiento por el método del momento de área
rT T rrrT T n T i —í/.V
tan B
tan A
C urva elástica (a)
M .,
E l método momento de área es una técnica semigráfica para determ inar la pendiente y el desplazamiento en puntos específicos de la curva clásti ca de una viga o eje. Para aplicar el método se requiere calcular las áreas asociadas con el diagram a de momento de la viga; así, si este diagram a consiste en formas sencillas, es muy cómodo de usar ese método. E s el caso normal cuando la viga se carga con fuerzas concentradas y momentos de par. P ara desarrollar el método del momento de área seguiremos las m is mas hipótesis que usamos para el método de integración: la viga es recta inicialm ente, se deforma elásticamente debido a las cargas en form a tal que la pendiente y la deflexión de la curva elástica son muy pequeñas, y que las deformaciones se deben a la flexión. E l método del momento de área se basa en dos teoremas para determinar la pendiente y el desplazamiento en un punto de la curva elástica.
Teorema 1 .
Para la viga simplemente apoyada con su curva elástica co rrespondiente, figura 12 -2 1 a. un segmento diferencial d x de la viga se aísla en la figura 12-216. Se ve que el momento interno de la viga M deforma al elemento en forma tal que las tangentes a la curva elástica, a cada lado del elem ento.se cortan formando un ángulo cid. Este ángulo se puede de term inar con la ecuación 12 - 10 , escrita como sigue:
M -i <10 -dx
(b)
El
d 2v dx2
= El
d _ (d v\ = M d x\d x.
Com o la pendiente es pequeña, 6 = dv/d x, y en consecuencia d6 = T T jd x El
M
(12-18)
Si el diagrama de momento para la viga se traza y se divide entre el mo mento de inercia / de la viga y también entre el módulo de elasticidad E , figura 12 -2 1 c ,la ecuación 12-18 indica que d 6 e s igual al área bajo el “ dia grama M / E F para el segmento d x de la viga. A l integrar desde un punto seleccionado A en la curva elástica hasta otro punto B , se obtiene
El
®B/A ~
(c)
Fig. 12-21
M A
~e \
(12-19)
E sta ecuación es la base del prim er teorema del momento de área. Teorem a 1: E l ángulo entre las tangentes en dos puntos cualesquiera en la cu rva elástica es igual al área bajo el diagram a M / E I entre esos dos puntos. L a notación 0B/A se llam a ángulo de la tangente en B medido con res pecto a la tangente en A . Por la demostración debe ser evidente que ese ángulo se mide en sentido contrario al de las m anecillas del reloj, desde la tangente en A hasta la tangente en B si el área bajo el diagrama M / E I es positiva. Por el contrario, si el área es negativa o queda por debajo del eje a:, el ángulo 6 B /A se mide en el sentido de las agujas del reloj desde la tangente A a la tangente B . Adem ás, de acuerdo con las dimensiones de la ecuación 12-19, 0B/A se m ide en radianes.
S ecció n 1 2 .4
¡a iar ¡ti jas ma ISO
>ar. íiscta tal }ue rea nto
=r •>a
M A
X ~ÉÍ
:-i9)
a en dos ¡ rese ese de la E /e s ;le je de la es de
( 12-20) M
El
Como el centroide de un área se determina con x \ d A = \ x d A , e \ (M / E l) dx representa el área bajo el diagrama M / E I , también se puede escribir
M_
mod E, diamto
621
E l segundo teorema del momento de área se basa en la des viación relativa de las tangentes a la curva elástica. E n la figura 12-22« se ve un esquema muy exagerado de la desviación vertical dt de las tangen tes a cada lado del elemento diferencial dx. E sta desviación se debe a la curvatura del elemento, y se ha medido a lo largo de una línea vertical que pasa por el punto A , ubicado en la curva elástica. Com o se supone que la pendiente de la curva elástica y su deflexión son m uy pequeñas, basta con aproxim ar la longitud de cada tangente por x , y el arco d s ' por dt. A l usar la fórmula del arco circu lar s = 8r, donde r es la longitud x y s es dt, se pue de escribir que dt = x dd. Se sustituye la ecuación 12-18 en esta última y se integra de A a B , y entonces se puede determ inar la desviación verti cal de la tangente en A con respecto a la tangente en B , es decir,
E l'
- 18)
•
T eo rem a 2.
[A /B
coísla ma ado de-
Pendiente y desplazamiento por el método del momento de área
dx
( 12-21)
A q u í x es la distancia de A al centroide del área bajo la curva M / E l entre A y B , figura 12.22 b. Y a se puede enunciar el segundo teorema del momento de área, como sigue: ■tan A
Teorema 2: L a desviación vertical de la tangente en un punto ( A ) sobre la curva elástica, con respecto a la tangente prolongada desde otro punto (B ) es igual al momento del área bajo el diagrama M / E I entre esos dos puntos ( A y B ) . Este m omento se calcula con respecto al punto ( A ) , donde se va a determinar la desviación vertical (tA/B). L a distancia tMB que se usa en el teorem a también se puede interpre tar como el desplazam iento vertical desde el punto ubicado en la tangen te prolongada en B , hacia el punto A de la curva elástica. Nótese que tA/B no es igual a tB/A, lo que se ve en la figura 12-22c. E n forma específica, el momento del área bajo el diagrama M / E I entre A y B se calcula respec to al punto A , para determinar t ^ , figura 12-226,y se calcula con respecto al punto B para determ inar tB/A, figura 12-22c. Si el momento de un área positiva M / E l de A a B se calcula para tB/A, indica que el punto B está arriba de la tangente trazada desde el punto A , figura 12-22«. D e igual form a, las áreas M /E l negativas indican que el pun to B está abajo de la tangente prolongada desde el punto A . E sta misma regla se aplica para
622
•
CAPÍTULO 12 Deflexión de vigas y ejes
PROCEDIMIENTO PARA EL ANÁLISIS E l siguiente procedim iento es un método para aplicar los dos teore mas del momento de área. D ia g ra m a M I E L • D eterm inar las reacciones en los apoyos y trazar el diagrama M / E I de la viga. Si la viga se carga con fuerzas concentradas, el diagra ma M / E l consistirá en una serie de segmentos de recta, y las áreas y sus momentos necesarios en los teoremas del momento de área se rán relativam ente fáciles de calcular. Si la carga consiste en una serie de cargas distribuidas, el diagrama M / E l consistirá en curvas parabólicas, o quizá de orden m ayor, y se sugiere usar la tabla del interio r de la pasta anterior para ubicar el área y el centroide ba jo cada curva. C u rva elástica. • Tra zar un esquema exagerado de la curva elástica de la viga. R e cordar que los puntos de pendiente cero y desplazam iento cero siem pre están en un soporte fijo, y que el desplazamiento cero es tá en todos los soportes con pasador o con rodillo. • S i es d ifícil trazar la form a general de la curva elástica, usar el dia grama de momento (o de M j E I ) . Tener en cuenta que cuando la viga se somete a un m o m e n to p o s itiv o , se flexiona en form a có n ca va hacia a rriba, m ientras que los m o m e n to s n eg a tivo s flexionan la viga en form a có n ca va hacia abajo. Adem ás, se presenta un punto de inflexión o un cambio de curvatura donde el momento (o M / E I) en la viga es cero. • E n la curva se deben indicar el desplazamiento y la pendiente des conocidos que se van a determinar. • Com o los teoremas del momento de área só lo se aplican entre d o s tangentes, se debe poner atención a cuáles tangentes deben trazar se para que los ángulos o las desviaciones entre ellas conduzcan a la solución del problema. A este respecto, se d eb en co n sid era r las tangentes en lo s so p o rtes, ya que en general la viga tiene desplaza miento cero y/o pendiente cero en los apoyos. Teorem as d el m om ento de área. • A p lic a r el teorema 1 para determ inar el án g u lo entre dos tangen tes cualesquiera de la curva elástica, y el teorema 2 para determ i nar la desviación tangencial. • E l signo algebraico del resultado se puede com probar con el án gulo o la desviación indicados en la curva elástica. • U n ángulo dB/A p o sitiv o representa una rotación en se n tid o co n tra rio a l de las m an ecilla s d el reloj, de la tangente en B con respecto a la tangente en A , y un tB/A p o sitivo indica que el punto B en la curva elástica está arriba de la prolongación de la tangente al pun to A
S ección 12.4
Pendiente y desplazamiento por el método del momento de área
•
E J E M P L O Determ ine la pendiente de la viga que se ve en la figura 12-23«, en los puntos B y C . E I es constante. M Ei
Í A
L 2
L
2
A PL 2E l PL El
(a)
L B
2 ----
c
(b)
Fig. 12-23 Solución
D iagram a M / E I .
Vea la figura 12-23b.
C urva elástica. L a fuerza P hace que la viga se flexione como se ve en la figura 12-23c. (L a curva elástica es cóncava hacia abajo, porque M / E I es negativo.) La s tangentes en B y C se indican allí, porque se pi de calcular 0B y 0C. Tam bién se muestra la tangente en el soporte (A ). E sta tangente tiene una pendiente cero conocida. Por la construcción, el ángulo entre tan A y tan B , es decir, 0B/A, equivale a 0B, o sea, 6 r = 6,BIA tan A
También 0 r = 0 'CIA l Teorem a d e l m omento de área. A l aplicar el teorema 1, dB/A es igual al área bajo el diagram a M / E I entre los puntos A y B\ esto es, P L \ ÍL \ @B ~ ÜB/A ~
2£/
A
1í
2/ + 2
3PL
1
PL 2 E l)\ 2 Resp.
8E l
E l signo negativo indica que el ángulo que se mide a partir de la tangente en A hacia la tangente en B es en sentido de las manecillas del reloj. Esto es lo que debe ser, ya que la viga está inclinada hacia abajo en B . D e form a parecida, el área bajo el diagrama M / E I entre los puntos A y C es igual a %C/a ■Entonces, 1( PL Oc ~ 8c/a — ~ 1 — El
PL2 2E l
Resp.
623
624
•
CAPÍTULO 12 Deflexión de vigas y ejes
E J E M P L O D eterm ine el desplazam iento de los puntos B y C de la viga de la figu ra 12-24a. E l es constante. M El
*
f (a)
Solución
D ia g ra m a M / E I .
Vea la figura 12-246.
C u rva e lá stica . E l momento del par en C hace que la viga se flexione como indica la figura 12-24c. Se indican las tangentes en B y en C , ya que se pide calcular A B y A c . También se indica la tangente en el so porte ( / l) porque es horizontal. A h o ra se pueden relacio nar en form a directa los desplazamientos que se piden con las desviaciones entre las tangentes en B y en A , y en C y en A . E n form a específica, A B es igual a la desviación de tan A a partir de tan B . esto es, A
tan B -= = = »
tan A
Afi - tB/A ' c/a - ^
c
(c)
A c = l C/A tan C
Teorem a d el m om ento de área. A l aplicar el teorema 2, tB/A es igual al momento del área sombreada bajo el diagrama M / E l entre A y B , calculado con respecto al punto B (e l punto en la curva elástica), ya que es el punto donde se va a determ inar la desviación tangencial. Por consiguiente, de la figura 12-246, M 0L 2
8E l
Resp.
D e igual m anera, para tC/A se debe determ inar el momento del área bajo todo el diagrama M / E I, desde A a C , respecto al punto C (el pun to en la curva elástica). E n este caso
Ac - te/ a - (
Mo El
M 0Z/
-)]
2E l
Resp.
Com o ambos resultados son negativos, indican que los puntos B y C están abajo de la tangente en A . E s o coincide con la figura 12-24c.
S ección 12.4
Pendiente y desplazamiento por el método del momento de área
•
E J E M P L O Determine la pendiente en el punto C de la viga de la figura 12-25a. E l es constante.
L 4
L 2
m i
C
1D
L 4
(a) M
PL
El
- tan D (horizontal) ®C/D
tan C
(c) Fig. 12-25
Solución
D iagram a M / E I .
Vea la figura 12-256.
C urva elástica. Y a que la carga se aplica en form a sim étrica a la v i ga, la curva elástica será sim étrica, y la tangente en D es horizontal, fi gura 12-25c. Tam bién se traza la tangente en C , ya que se debe deter m inar la pendiente 0C. Por construcción, el ángulo d c /D entre la tangente a D y la tangente a C es igual a 8C; esto es, 9 c ~ &'c id
Teorema d e l m om ento de área. A l aplicar el teorem a 1, 8 C/ d es igual al área sombreada bajo el diagrama M / E I, entre los puntos D y C. E n tonces,
ÍP L \ (L \ c
C/D
1f PL
\8£7/\4y + 2\4£/
¿Q ué indica el resultado positivo?
P L \ ÍL \
3PL2
8£T//V 4 J
64£7
n 6Sp'
ÁffiOfiÉS
625
626
•
CAPÍTULO 12 Deflexión de vigas y ejes
E J E M P L O Determ ine la pendiente en el punto C , para la viga de acero de la figu ra 12-26a. Suponer que £ ac = 200 G P a , / = 17(106) mm4.
16 kN
Solución — 2m
•4 m •
(a)
2 m
D iagram a M / E I .
Vea la figura 12-266.
C u rva elástica. L a curva elástica se ve en la figura 12-26c. Se mues tra la tangente en C , ya que se pide determ inar 6C. L a s tangentes en los apoyos, A y B . también se muestran. E l ángulo 6 q a es el <3ue forman las tangentes en A y en C . L a pendiente 0A en A , en la figura 12-26c, se puede determ inar con \dA \ = \tB/A\/L AB. E sta ecuación es válida, por que tB/A en realidad es m uy pequeño, por lo que dA en radianes se pue de aproxim ar con la longitud de un arco circular definido por un radio L ab = 8 m, y una rotación 6A. (Recuérdese que s = 9r.) Según la geo m etría de la figura 12-26c, tB/A \0c\
=
\ ° a
\
~
I6
c
/ a
\
(1)
=
Nótese que también se hubiera podido resolver el ejemplo 12-9 con es te método. Teorem as d el m om ento de área. A l aplicar el teorema 1 ,0C/A es equi valente al área bajo el diagrama M / E I entre los puntos A y O, esto es,
8 kN • m \
8 kN ■m 2
El
El
A l ap licar el teorema 2, tB/A es equivalente al momento del área ba jo el diagrama M / E I entre B y A , respecto al punto B (el punto sobre la curva elástica), ya que ese es el punto donde se debe determ inar la desviación tangencial. Entonces, 1 ‘b / a
=
( 2 m
+
|( 6 m )
, _
, / 24 kN • m ~£¡
2 ( 6 m ) (^
. .'l.„
+ ^3
J l .2
/ 2 4 kN • m \
£/
_ 320 kN • m 3 Fig. 12-26
El Cuando se sustituyen estos resultados en la ecuación 1, se obtiene 320 kN • m 2 dc -
8 kN • m 2
(8 m ) E I
El
32 kN • m 2 ) El
Hemos calculado este resultado en kN y en m, así que al convertir E l a esas unidades se obtiene
0r
32 kN • m2 —
200(10 ) kN /m 2 17(10-6) m
0.00941 rad )
Resp.
S ección 12.4
Pendiente y desplazamiento por el método del momento de área
12.11
E J E M P L O
Determ ine el desplazamiento en C para la viga de la figura 12-21a. E l es constante. M El Mo El
M0
(a)
Aí0 __ 2 E l C
L 2
(t))
Fig. 12-27
Solución
D iagram a M / E I .
Vea la figura 12-276.
Curva elástica. L a tangente en C se traza sobre la curva elástica, por que se pide calcular A c-, figura 12-27c. (Nótese que C no es el lugar de la deflexión m áxim a de la viga, por las cargas, y en consecuencia, la cur va elástica no es sim étrica.) Tam bién se indican en la figura 12-27c las tangentes en los apoyos A y B . Se ve que A c = A ' — tc/B. Si se deter mina t^ B ' entonces se puede calcular A ' con triángulos proporcionales, esto es, A '/(L /2 ) = t ^ / L , o A ' = t ^ / 2 . Por consiguiente,
Ac
- tc ,B ( 1 )
Teorema del momento de área. nar tMB y tc/B, como sigue:
Se aplica el teorema 2 para determi
M0L2
1
Ia / b - (
lC/B -
3
2
1(L 3 V2
6E l
\ E I
1 2(V-2
M ()
M 0L 2
2E l
48 E l
A l sustituir estos resultados en la ecuación 1 se obtiene
lfMnL2
M0L2
2 V 6E l
48 E l
Ar = -
M0L 16£/
Resp.
L 2
iB
'
•
627
628
•
CAPÍTULO 12 Deflexión de vigas y ejes
E J E M P L O
12.12 Determine el desplazamiento en el punto C. de la viga de acero en vola dizo que muestra la figura 12-28a.Tomar £ ac = 29(103) klb/pulg2, / = 125 pulg4 5 klb
M
El
-12 pies 5 klb
T”
12 pies-
10 klb (a)
(b)
Solución D ia g ra m a M / E I .
Vea la figura 12-286.
C u rva elá stica . L a carga hace que la viga se flexione como muestra la figura 12-28c. Se pide calcular A c . Si se trazan tangentes en C y en los apoyos A y B , se ve que A c = \tC/A\ - A S i n embargo, A ' se pue de relacionar con tB/A con triángulos proporcionales; esto es, A ' / 2 4 = \tB/A\/\2 , o sea que A ' = 2\tB/A\. Por consiguiente, A c = \íc / a \ ~ 2 |fg//il Teorem a d e l m om ento de área. nar íq/a y !b /a - Entonces, tan A
Se aplica el teorema 2 para determi-
'1 ( 60 klb • pie tc/A = (12 pies) ( - ( 2 4 pies) ( ---------— ---8640 klb • pie-’ É7
Fig. 12-28
Ib/ a
= (
3 (12 p ie s )
■ s( - ( 1 2 p ,es)l
60 k lb -p ie —
1440 klb • pie 3 El
¿Por qué esos términos son negativos? Sustituyendo estos resultados en la ecuación 1 se obtiene
Ac —
8640 klb • pie 3 -
El
2
~\
1440 klb • pie ’ \
5760 klb • pie*
El
El
)
4
Com o los cálculos se hicieron en unidades de kip y pies, entonces 5760 klb • pie3(1728 pulg 3/pie3) [29(10’ ) k lb /p u lg l(1 2 5 p u lg < )
= 2 -7 5 P " W
Problemas
•
629
PROBLEMAS 12-54. Determ ine la pendiente y la deflexión en C. E l es constante.
12-57. D eterm ine la pendiente en B y la deflexión en C. E l es constante. 12-58. D eterm ine la pendiente en C y la deflexión en B. E l es constante.
------------
15 klb
II £?
P
c
30 p ie s------------------ -f"-------15 pies — -
.
|
JÍ
P ro b . 12-54 P robs. 12-57/58
12-55. tante.
Determine la pendiente y la deflexión en B. E l es cons-
P
12-59. Si los cojinetes en A y en B sólo ejercen reacciones verticales sobre el eje, determ ine la pendiente en B y la deflexión en C. E l es constante.
P
P
w
A
'r
B
0
JL
[
T i
* a
|
C
a
P ro b . 12-59 P ro b . 12-55
*12-56. D eterm ine la pendiente y la deflexión en B. si la viga de acero A-36 es (a) un cilindro sólido con diámetro de 3 pulg, (b) un tubo de 3 pulg de diám etro exterio r y 0.25 pulg de espesor.
*12-60. El eje compuesto de acero, simplemente apoyado, está sometido a una fuerza de 10 kN en su centro. D eter mine su deflexión máxima. Eac = 200 GPa.
200 mm
630
•
CAPÍTULO 12 Deflexión de vigas y ejes
12-61. Determine la pendiente máxima y la deflexión má xima de la viga. E l es constante.
12-66. Calcule la deflexión en C y la pendiente de la vi ga en A , B y C. E l es constante.
P ro b . 12-66 P ro b . 12-61
12-62. La viga está formada por dos ejes, para los que el momento de inercia de A B es I. y el de BC es 21. D eterm i ne la pendiente y la deflexión máximas de la viga, debidas a la carga. El módulo de elasticidad es E.
„________
■r
12-67. El muelle plano es de acero A-36, y tiene sección transversal rectangular, como se ve en la figura. Calcule la carga elástica máxima P que se puede aplicar. ¿Cuál es la deflexión en B cuando P llega a su valor máximo? Supo ner que el muelle está em potrado en A .
L _________ I_________L ___________I 2 T 2 ‘ ' P ro b . 12-62
12-63. Determine la deflexión y la pendiente en C. E l es constante.
A
B
C
3 J.
P ro b . 12-67
*12-68. El gimnasta pesa 150 Ib, y se cuelga uniform e mente en el centro de la barra. Determ ine el esfuerzo m á ximo de flexión en el tubo (la barra) y su deflexión máxi ma. El tubo es de acero L2, y tiene 1 pulg de diám etro exterior y un espesor de pared de 0.125 pulg.
P ro b . 12-63
*12-64. El eje soporta la polea en su extremo C. D eter mine la deflexión en C, y las pendientes en los cojinetes A y B. E l es constante. 12-65. El eje soporta la polea en su extremo C. D eterm i ne su deflexión máxima en la región A B . E l es constante. Los cojinetes sólo ejercen reacciones verticales sobre el eje.
Probs. 12-64/65
Prob. 12-68
P r o b le m a s
P ro b . 12-69
•
631
12-73. D eterm ine la pendiente en B y la deflexión en C. E l es constante.
12-70. La barra está soportada por un apoyo de rodillos en B , que permite desplazamiento vertical, pero impide la carga axial y el momento. Si la barra se somete a la carga indicada, deter mine la pendiente en A y la deflexión en C. E l es constante.
P ro b . 12-73
A [^
F~
P ro b . 12-70
12-71. D eterm ine la deflexión máxima del eje. E l es constan te. Los cojinetes sólo ejercen reacciones verticales en el eje.
12-74. El eje de acero A-36 se somete a las cargas que transmiten las bandas que pasan por las dos poleas. Si los cojinetes en A y B sólo ejercen reacciones verticales so bre el eje, calcule la pendiente en A . El diám etro del eje es 0.75 pulg. 12-75. El eje de acero A-36 se som ete a las cargas que transmiten las bandas que pasan por las dos poleas. Si los cojinetes en A y B sólo ejercen reacciones verticales so bre el eje, calcule la deflexión en C. El diám etro del eje es 0.75 pulg.
P ro b . 12-71
*12-72. La viga está sometida a la carga P que se indica. D e term ine la magnitud de la fuerza F que debe aplicarse en el ex trem o del voladizo C. para que la deflexión en C sea cero. E l es constante.
300 Ib
Probs. 12-74/75
632
•
CAPITULO 12 Deflexión de vigas y ejes
*12-76. El eje de acero A-36 de 25 mm de diám etro está sostenido e n A y B con cojinetes. Si la tensión en la banda de la polea en C es 0.75 kN, determ inar la máxima tensión T en la banda de la polea en D, para que la pendiente del eje en A o en B no sea mayor que 0.02 rad. Los cojinetes sólo ejercen reacciones verticales sobre el eje.
*12-80. Las dos barras están unidas con un pasador en D. D e termine la pendiente en A y la deflexión en D. E l es constante.
P
12-77. El eje de acero A-36 de 25 mm de diám etro está soportado en A y B con cojinetes. Si la tensión en la banda de la polea en C es 0.75 kN, determ ine la máxima tensión T de la banda sobre la polea en £>, para que la pendiente del eje en A sea cero. Los cojinetes sólo ejercen reaccio nes verticales sobre el eje.
P ro b . 12-80
100 mm
12-81. U na viga con E l constante está apoyada como se ve en la figura. Fija a la viga en A está un indicador, sin carga. Tanto la viga como el indicador están horizontales, originalmente, cuan do no se aplica carga. D eterm ine la distancia entre el extremo de la viga y la punta del indicador después de que cada uno se ha desplazado con la carga que se indica.
15 kN
20 kN
P ro b s. 12-76/77
12-78. La viga está sometida a la carga que se indica. D e termine la pendiente en B y la deflexión en C. E l es cons tante.
A t4 3 - ,
-Ira-
-2 m ---------------- 4"----- 1 m -
Prob. 12-81
ML t M
g
---------------------- ÍL A
12-82. Las dos barras de acero A-36 tienen 1 pulg de espesor y 4 pulg de ancho. E stán diseñadas para funcionar com o un muelle para la máquina, que ejerce sobre ellas una fuerza de 4 klb en A y en B. Si los soportes sólo ejercen fuerzas verticales sobre las barras, determine la deflexión máxima de la barra in ferior.
C r-------a --------
-------- b ---------P ro b . 12-78
12-79. Si los cojinetes en A y B sólo ejercen reacciones verticales sobre el eje. determine la pendiente en A y la de flexión máxima. 4 klb o
h
£
B
— ' --------------------
• 2a -
f
• D
4 klb
1 4
ü J
Æ
l“
-------
i 1
|—12 pulg—•----------------36 p u lg -----------------j~ 12 pulg—j
Prob. 12-79
Prob. 12-82
P r o b le m a s
12-83. Puede ser que algún día las vigas hechas de plástico reforzado con fibra reemplacen a muchas de las de acero A-36, porque su peso es la cuarta parte de las de acero, y son resisten tes a la corrosión. Usando la tabla del apéndice B, con
•
633
12-86. La viga está sometida a la carga que m uestra la fi gura. D eterm ine la pendiente en B y la deflexión en C. E l es constante.
5 klb P ro b . 12-86
10 pies -
10 pies
12-87. Las dos barras están conectadas con un pasador en D. D eterm ine la pendiente en A y la deflexión en D. E l es constante.
P ro b . 12-83
*12-84. D eterm ine la pendiente en C y la deflexión en B. E l es constante. P w
-i
L
1--------------- a ------------- * ------------- . ----------------
J
P ro b . 12-87
P ro b . 12-84
12-85. Un eje de acero A-36 se usa para soportar un rotor que ejerce una carga uniforme de 5 kN/m dentro de la región CD del eje. Determine la pendiente del eje en los cojinetes A y B. Esos cojinetes sólo ejercen reacciones verticales sobre el eje.
w
5 kN/m A
£
H T I
IT1
' i w c 20 mm
IV
B
y - ¡— 3y /d T 3
40 mm 20 mm -1 0 0 mm - -------------300 m m ------------- -—100 mm -
Prob. 12-85
*12-88. Determ ine la deflexión máxima de la viga. E l es constante.
/3\ ----------- a ---------- -1---------- a --------- *1------- — a --------- -
Prob. 12-88
634
•
12.5
CAPÍTULO 12 Deflexión de vigas y ejes
Método de superposición L a ecuación diferencial E l d AiJd xA - - w ( x ) satisface los dos requisitos necesarios para ap licar el principio de la superposición, que son que la carga w (x ) tenga una relación lineal con la deflexión v ( x ) , y que se supo ne que la carga no cam bia en form a im portante la geom etría original de la viga o el eje. E l resultado es que las deflexiones para una serie de cargas separadas que actúan sobre una viga se pueden sobreponer. Por ejemplo, si uj es la deflexión para una carga y v 2 es la deflexión para otra carga, la deflexión total para ambas cargas, cuando actúan jun tas, es la suma algebraica v x + v 2. Usando los resultados tabulados para diversas cargas en vigas, como los del apéndice C , o los que se encuentran en diversos manuales de ingeniería, es posible, entonces, calcular la pendien te y el desplazamiento en un punto de una viga sometida a varias cargas distintas, sumando algebraicamente los efectos de sus diversas partes com ponentes. E n los ejemplos siguientes se ilustra cómo usar el método de la super posición para reso lver problemas de deflexió n, cuando la deflexión no sólo se debe a deform aciones de vigas, sino tam bién a desplazam ientos de cuerpo rígido, que se pueden presentar cuando la viga está apoyada en resortes, o partes de una viga segmentada están soportadas por articu laciones.
L a d e fle x ió n r e s u lta n te e n c u a lq u ie r p u n to d e e s ta viga p u e d e d e te r m i n a rse a p a r tir d e la s u p e rp o s ic ió n d e las d e fle x io n e s c a u s a d a s p o r c a d a u n a d e las c a rg a s p o r s e p a ra d o , q u e a c tú a n s o b r e la viga.
Sección 12.5 Método de superposición
E J E M P L O D eterm in ar el desplazamiento en el punto C y la pendiente en el apo yo A de la viga que muestra la figura 12-29a. E l es constante. 8kN 2 kN /m
2 kN /m
T rm
m r =
vc
f ^
(v¿>\ 4m
-4 m -
4m ■
4m (b)
(a)
+ 8kN
Fig. 12-29
(0/l)2
(vch 4m
4 m (c)
Solución
L a carga se puede separar en dos partes componentes, como se ve en las figuras 12-296 y 12-29c. E l desplazamiento en C y la pendiente en A se determinan usando la tabla del apéndice C para cada parte. Para la carga distribuida,
( 0 /Ot -
3 w Ü _ 3 ( 2 k N / m ) ( 8 m )3 _ 2 4 k N - m 2 128£/ 128£/ EI 1 5w L 4 768E l
5(2 k N /m )(8 m )453.33 k N - m 3 El
168EI
1
Para la fuerza concentrada de 8 kN,
8 k N ( 8 m )232k N - m 2
PL2 ( 0 .4)2 _
16 E l
16 E l
PL3 ( vc ) i =
48£7
El
8 k N ( 8 m )385.33 k N - m 3 48 E l
El
I
E l desplazamiento total en C y la pendiente en A son las sumas algebrai cas de esos componentes. Por consiguiente,
(+ J)
. , . , 56 k N • m 2 0A = (0.4)i + (0 a )2 = ------Y l ----- J
(+1)
vc = (vc )i + (vc )2 =
Resp.
139 kN • m 3 El
1
Resp.
635
636
•
CAPITULO 12 Deflexión de vigas y ejes
E J E M P L O 10 kN 5 kN /m
H IIU IH H
c
Solución
■+— 2 m ■
-4 m
D eterm in ar el desplazamiento en el extrem o C de la viga en voladizo de la figura 12-30«. E l es constante.
Como la tabla en el apéndice C no incluye vigas con voladizos, esta viga se separará en una viga simplemente apoyada y una parte en voladizo. Prim ero calcularem os la pendiente en B , causada por la carga d istri buida que actúa sobre el tramo simplemente apoyado, figura 12-306.
(a)
5 kN /m
rn u u ii
w Ú _ 5 k N / m ( 4 m ) 3 _ 13.33 k N - m 2 ~ -------- ----------- 1 \ qb )i - 0 /irrr ---------- ^TrFr 24 E l 24 E l El Como este ángulo es pequeño, ( 0#)! ~ tan(0B) b y el desplazamiento ver tical en el punto C es
(vc )i = (2 m )
26.67 kN • m 3 t El
13.33 k N - m 2\ El
A continuación, la carga de 10 kN en el voladizo causa una fuerza es táticamente equivalente de 10 kN y un momento de par de 20 kN • m en 10 kN el apoyo B del tram o simplemente apoyado, figura 12-30c. L a fuerza de 10 kN no causa un desplazamiento o una pendiente en B\ sin em bargo, el momento de par de 20 kN • m sí causa una pendiente. L a pen-L(¿c)3 diente en B debida a este momento es
le
(d)
2m
26.67 k N - m 2 ,
/n ^ _ M 0L _ 2 0 k N - m ( 4 m ) Fig. 12-30
( B'2“ 3E l
~
3EÍ
“
^
Ti
Entonces el punto saliente C se desplaza
(■vc )2 = ( 2 m )
'26.7 k N - m 2\
53.33 k N - m 3
El
El
I
Por últim o, la parte empotrada B C se desplaza debido a la fuerza de 10 kN , figura 12-30el. E l desplazamiento es , . PL? (vc h = 3E l
10 k N (2 m )3 26.67 k N - m 3 , -----= ----------TTr-------1 3E l El
A l sumar algebraicamente esos resultados se obtiene el desplazamiento final del punto C. ,
<+¿)
26.7
53.3
«C = - £7 + Y
f
26.7
53.3 k N - m 3 ,
+ - J f ------ Y ,— *
Resp.
Sección 12.5 Método de superposición
E J E M P L O
12.15
D eterm inar el desplazamiento en el extrem o C de la viga empotrada de la figura 12-31. E l es constante.
I0 m-
3m-
Fig. 12-31
Solución A l usar la tabla en el apéndice C , para la carga triangular, se ve que la pendiente y el desplazam iento en el punto B son
h-0L 3 _ 4 k N / m ( 1 0 m )3 _ 166.67 k N - m 2 B ~ 24E l ~
vB =
24EI
~
El
w0L 4
4 k N / m ( 1 0 m )4
1333.33 k N - m 3
30 E l
30 E l
El
L a región no cargada B C perm anece recta, como se ve en la figura 12-31. Como 0B es pequeño, el desplazamiento en C es
( + ¿)
vc = v B + dB (3 m )
1333.33 kN ■m 3
166.67 kN • m 2
.
----- T i ---- (3m) ----- T i ----- + ^ 1833 kN • m 3 El
J,
Resp.
•
637
638
•
CAPITULO 12 Deflexión de vigas y ejes
E J E M P L O
12.16
n L a barra de acero de la figura 12-32« está apoyada en dos resortes, en sus extremos A y B . Cada resorte tiene una rigidez de k = 15 klb / pie, y originalmente no está deformado. Si la barra se carga con una fuerza de 3 klb en el punto C, determ ine el desplazamiento vertical de ese punto. No tener en cuenta el peso de la b arra, y suponer que E ac = 29(103) klb/pulg 2 e / = 12 pulg4.
Solución
3 klb i_ 3 pieS- 4 - _____ 6 pies _____ H
A
La s reacciones en los extremos A y B se calculan y se muestran en la I_fífisura ) -'V)h fiarla a aen figura1r12-32/;. Cadaresorte, resortesesedeform deform enlina unacantidad cantidad
.
'p i e ? k = 15 klb/pie
C
k = 15 klb/pie jf
(a)
2 klb
’ T s k iw iii“ 01333pie 3 klb
P osición original
o
_
1 klb
( ^ ) l = i 5 k í b 7 ^ = a 0 6 6 7 p ie
f„
2 klb
_ , Desplazanuento ... de cu erp o rígido (b)
|— 3 pies
á f
Si se considera que la barra es rígida, esos desplazamientos la ha. .. . .. A, _ 1 cen m overse a la posicion que muestra la figura 12-326. Para este ca1 klb , , , . ? , _ so, el desplazamiento vertical en C es
3 klb ----------6 pies-
= { V l¡ )l +
________ 2
"
(V B )l]
~ 0.0667 p ie + -[0 .1 3 3 3 p i e - 0.0667 pie] = 0.1111 p ie J,
D esp lazam ien to de cu erp o defo rm ab le
Se puede calcular el desplazamiento en C causado por la deform a ción de la b arra, figura 12-32c, usando la tabla del apéndice C . E n Fig. 12-32
tonces,
<■** “
~ b!
-
3 k lb (3 pies )(6 p ie s)[(9 pies )2 - (6 pies )2 - (3 pies)2] 6[29(103)] klb /p ulg 2(144 pulg2/ l pie2) 12 pulg4( l pie4/20 736 pulg4)(9 pies) = 0.0149 piesj, Sumando los dos componentes de desplazamiento se obtiene
(+|)
Ve - 0.1111 pie + 0.0149 pie = 0.126 pie = 1.51 pulg j
R eSp.
P r o b le m a s
•
639
PROBLEMAS 12-89. L a viga en voladizo W 8 X 48 es de acero A-36, y se somete a la carga que muestra la figura. Determine la deflexión en su extremo A
5 klb-pie
2L
10 klh
A
6 klb/pie
$ pies
1
Prob. 12-93
Y
15 klb-pie
'
P ro b . 12-89
12-90. La viga W12 X 45 sim plem ente apoyada es de acero A-36, y se sujeta a las cargas que muestra la figura. D eterm ine la deflexión en su centro. C.
12-94. La viga sostiene las cargas que muestra la figura. Por restricciones de código, para que un cielorraso sea de yeso, se requiere que la deflexión máxima no sea mayor que 1/360 de la longitud del claro. Seleccione en el apéndice B la viga de patín ancho, de acero A-36, de menor peso y que satisfaga este requisito y sostenga con seguridad la carga. El esfuerzo admisible de flexión es o-adm = 24 klb/pulg2,y el esfuerzo cor tante admisible es radm = 14 klb/pulg2. Suponga que A es un rodillo y que B es un pasador.
12 klb
P ru b . 12-94
12-91. La viga W14 X 43, simplemente apoyada, es de acero A-36, y está sometida a la carga que muestra la figura. D eter mine la deflexión en su centro C. *12-92. La viga W14 X 43, simplemente apoyada, es de ace ro A-36 y está sometida a las cargas que muestra la figura. D e term ine la pendiente en A y en B.
2 klb/pie
TI
12-95. La viga simplemente apoyada soporta una carga uniforme de 2 klb/pie. Por restricciones de código, para que un cielorraso sea de yeso, se req u iere que la deflexión máxima no sea mayor que 1/360 del claro. Seleccione la viga de patín ancho, de acero A-36, con el mínimo peso que sa tisfaga este requisito y que soporte con seguridad a la carga. El esfuerzo flexionante admisible es <7adm = 24 klb/pulg2, y el esfuerzo cortante admisible es radm = 14 klb/pulg2. Supon ga que A es un pasador y que B es un soporte de rodillo.
40 klb-pie
“
T
f )
-10 pies-
-10 pies P ro b s. 12-91/92
12-93. La viga W 8 X 24 sim plem ente apoyada, es de acero A-36, y está sometida a las cargas que muestra la figura. Calcu le la deflexión en su centro, C.
Prob. 12-95
640
•
CAPÍTULO 12 Deflexión de vigas y ejes
*12-96. La viga W10 X 30 en voladizo es de acero A-36, y está sometida a flexión asimétrica causada por el mo mento aplicado. Determine la deflexión del centroide en su extremo A. debido a la carga. Sugerencia: descompon ga el momento en com ponentes y use la superposición.
12-99. El conjunto de tubos consiste en tres tram os de iguales dimensiones, con rigidez flexionante E l y rigi dez de torsión GJ. D eterm ine la deflexión vertical en el punto A .
P ro b . 12-96
12-97. Determine la deflexión vertical en el extremo A del soporte. Suponga que está em potrado en su base B, y no tenga en cuenta la deflexión axial. E l es constante.
Prob. 12-99
*12-100. Determ ine la deflexión vertical y la pendiente en el extrem o A del soporte. Suponga que está em potra do en su base, y no tenga en cuenta la deformación axial del segmento A B . E l es constante.
P ro b . 12-97
12-98. La varilla está articulada en su extremo A , y está fija a un muelle de torsión con rigidez k, que mide el par de torsión por radián de rotación del resorte. Si siempre se aplica una fuerza P en dirección perpendicular al extre mo de la varilla, calcule el desplazam iento de la fuerza. E l es constante.
Prob. 12-98
Prob. 12-100
Sección 12.6
12-101. La viga de patín ancho es en voladizo. D ebido a un error se instala formando un ángulo 6 con la vertical. D eterm i ne la relación de su deflexión en dirección .r entre su deflexión en dirección y, en el punto A , cuando en ese punto se aplica una carga P. Los momentos de inercia son 7Ve /,.. Para la solución, descomponga P y use el método de la superposición. Nota: el resultado indica que pueden presentarse grandes deflexiones laterales (en dirección x) en vigas angostas con Iy « Ix, cuan do no se instalan en forma correcta. Para verlo en forma numé rica. calcule las deflexiones en las direcciones x y y para una viga de acero A-36 W10 x 15, con P — 1.5 klb, 6 = 10° y L = 12 pies.
Vigas y ejes estáticamente indeterminados
•
641
12-102. El m arco consiste en dos vigas en voladizo de acero A-36, CD y BA, y una viga CB simplemente apoya da. Si cada viga es de acero, y su m om ento de inercia respecto al eje principal es Ix = 1 1 8 pulg4, determ ine la deflexión en el centro G de la viga CB.
P ro b . 12-102
12.6 Vigas y ejes estáticamente indeterminados E l análisis de barras cargadas axialm ente y ejes cargados a la torsión, se ha descrito en las secciones 4.4 y 5.5, respectivamente. E n esta sección ilus traremos un método general para determ inar las reacciones en vigas y ejes estáticamente indeterminados. E n form a específica, un miembro de cual quier tipo se clasifica como estáticamente indeterm inado si la cantidad de reacciones incógnitas es m ayor que la cantidad disponible de ecuaciones de equilibrio. L a s reacciones adicionales en los apoyos sobre la viga o eje no se nece sitan para m antenerlas en equilibrio estable, y se llaman redundantes. L a cantidad de esas redundantes se llama grado de indeterminación. Por ejem plo, para la viga de la figura 12-33«, si se traza el diagrama de cuerpo li bre, figura 12-336. habrá cuatro reacciones incógnitas en apoyos, y como hay disponibles tres ecuaciones de equilibrio para la solución, la viga se clasifica como estáticamente indeterm inada de prim er grado. Y a sea A y, Bvo se pueden clasificar como redundantes, porque si cualquiera de esas reacciones se elim ina, la viga permanece estable y en equilibrio ( A v no puede clasificarse como redundante, porque si se quitara, 1 F X = 0 no quedaría satisfech a ). E n form a p arecida, la viga continua de la figura 12-34a es indeterm inada de segundo grado, porque hay cinco reacciones desconocidas y sólo hay tres ecuaciones de equilibrio disponibles, figura 12-346. E n este caso, se pueden elegir las dos reacciones redundantes en apoyos entre A y, B y, C y y D v.
r
t
/ (a)
1 M, ‘ a!
~
JL (b) Fig. 12-33
B,
642
•
CAPÍTULO 12 Deflexión de vigas y ejes
í
¡
i >l
J L B
M
C
D„
(a)
(b) Fig. 12-34
Para determ inar las reacciones sobre una viga (o eje) estáticamente in determinada, prim ero es necesario especificar las reacciones redundantes. Podemos determ inarlas a partir de las condiciones geométricas, llamadas condiciones de com patibilidad. U n a vez determinadas, las redundantes se aplican a la viga y las reacciones restantes se determinan a p artir de las ecuaciones de equilibrio. E n las siguientes secciones ilustrarem os este procedimiento de solución, usando el método de integración, de la sección 12.7, el del momento de área, sección 12.8, y el de superposición, sección 12.9. Un ejemplo de una viga estáticamente indeterminada usada para apoyar la pla taforma de un puente.
12.7 Vigas y ejes estáticamente indeterminados (método de integración)
i * aH
T (a)
A,
Mí
£ (b) Fig. 12-35
By
E l método de integración, descrito en la sección 12.2, requiere dos inte graciones de la ecuación diferencial d2v/dx2 = M / E l , una vez que el mo mento interno M de la viga esté expresado como función de la posición x . Sin embargo, si la viga es estáticamente indeterm inada, M también se puede expresar en función de las redundantes desconocidas. Después de integrar dos veces esta ecuación, habrá para determ inar dos constan tes de integración y las redundantes. Aunque éste sea el caso, siempre se pueden determ inar esas incógnitas a partir de las condiciones en la fron tera y/o de continuidad para el problem a. Por ejemplo, la viga de la fi gura 12-35« tiene una redundante. Puede ser A y, o B v, figura 12-356. U n a vez elegida, se puede expresar el momento interno M en función de esa redundante, y al integrar la relación entre momento y desplaza miento, se pueden determ inar entonces las dos constantes de integra ción, y la redundante, a partir de las tres condiciones en la frontera v = 0 en x = 0, dv/dx = 0 enA: = 0 y v = 0 en x = L . L o s siguientes problemas de ejemplo ilustran aplicaciones específicas de este método, usando el procedimiento de análisis descrito en la sec ción 1 2 . 2 .
-
Sección 12.7 Vigas y ejes estáticamente indeterminados (método de integración)
•
643
E J E M P L O L a viga de la figura 12-36« está sujeta a la carga distribuida que se mues tra. D eterm inar las reacciones en A . E l es constante.
Solución
C urva elástica. L a viga se flexiona como muestra la figura 12-36«. Só lo se necesita una coordenada x . Por comodidad la supondremos d iri gida hacia la derecha, ya que así es fácil fo rm ular el momento interno.
e inntes. adas es se e las :ió n, o de
Fu n ció n m om ento. L a viga es indeterm inada de prim er grado, como se ve en el diagrama de cuerpo libre, figura 12-366. Se puede expresar al momento interno M en función de la fuerza redundante en A , usan do el segmento de la figura 12-36c. E n ese caso, am 1 xJ M = A yX - ^ w 0~
\w0L ¡»v
4 -* »
1 'li/f - \ l — I " m-
Í L' (b)
Pendiente y curva elá stica .
Se aplica la ecuación 12-10 como sigue:
e,7?~a’x- 6W oT 1
d 2v
_
1
dv
7
x3
1
lw x 2 W° l
x4
„
E ' T x ~ 1 A ’ X - ü w° l + c ' f— § * -4 * * 1 E I v = ^ A yX3 - ^
(c)
W0~ + Q x + C 2 Fig. 12-36
L a s tres incógnitas Ay, C\ y C 2 se determinan a p artir de las condicio nes en la frontera x — 0, v — 0; x — L , dv/dx = 0 y x = L , v — 0. A l apli carlas se obtienen 0 — 0 — 0 + 0 + C-)
X = 0 ,V = 0;
m e mo rión :n se Dués tan•e se rona fi35 6 . rión azagrav= 'icas sec-
dx
0;
x = L , v = 0;
0 = ^ A yL 2 - ¿ h - q L 3 + C
0 = l- A yL 3 - ¿ H - o L 4 + C XL + C 2
Se despejan, Resp.
A .y = w woL Q =
- - ^
0L 3
V
C2 = 0
Se usa el resultado de A y, y se pueden determ inar las reacciones en B con las ecuaciones de equilibrio, figura 12-366. D em uestre que B x - 0, B v -- 2 wqL / 5 y M b = w0L 2/ 15.
644
•
CAPÍTULO 12 Deflexión de vigas y ejes
12.18 ------------------------
E J E M P L O
L a viga de la figura 12-37« e stá e m p o tra d a en am b o s ex trem o s, y so m e tid a a la carg a u n ifo rm e q u e se indica. D e te rm in a r las rea ccio n es en los so p o rtes. N o te n e r e n c u e n ta el efecto d e la carg a axial. Solución
C u rva elástica . L a viga se flex io n a com o m u e stra la fig u ra 12-37«. C o m o en el p ro b le m a a n te rio r, só lo es n ec esaria u n a c o o rd e n a d a x p a ra reso lv erlo , y a q u e la carg a es co n tin u a en to d o el claro.
(a)
F u n c ió n m o m e n to . D e a c u e rd o co n el d ia g ra m a d e c u e rp o lib re, fig u ra 12-376, el c o rta n te y los m o m e n to s d e rea cció n en A y B d e b e n se r iguales, ya q u e h ay sim etría ta n to d e carg a co m o d e g e o m e tría . D e b id o a ello, la ec u ac ió n d e e q u ilib rio 2 F V = 0 re q u ie re q u e wL Va = Vb = —
Rcsp.
L a viga es in d e te rm in a d a en p rim e r grado, y M ' es re d u n d a n te . A l u sa r el tra m o d e viga d e la fig u ra 12-37c,se ve q u e el m o m e n to in te rn o M se p u e d e e x p re sa r en fu n ció n d e M ' com o sigue: wL w , M = —~ - x - — x
2
P e n d ie n te y cu rva elá stica .
2
- M
Se aplica la ec u ac ió n 12-10 p a ra o b te n e r
d 2v 2 r ____________ r ____________ _•»-
wL w d x = ~ x ~ ~2 -j s
ÍC)
Mb = M'4 X~ 6 X ~ M x + ^
w L -, w A M' , E l v = — x 3 - — x 4 - — x 2 + C ¡x + C 2
(b)
— í*-1 -*j t j 2 ,t 1 |L - v -
r-i ;
w dv _____L L j j [.____ L .______I _______________________________________________________________________ |.___ . L . _____\ dx ‘ 4 * 6 1
ma = m'"
M
L as tre s incógnitas, M \ C \ y C->, se p u e d e n d e te rm in a r a p a rtir d e las tres co n d icio n e s en la fro n te ra v = 0 en x = 0 , q u e d e fin e a C 2 = 0 ; la o tra es d v /d x = 0 en x = 0 , q u e d e te rm in a Q = 0 , y la te rc e ra es v = 0 en x = L , q u e d e te rm in a
M' =
Resp.
Fig. 12-37
A l u sa r esto s re su lta d o s o b se rv e q u e d eb id o a la sim etría , la co n d ició n re s ta n te e n la fro n te ra d v /d x = 0 en x = L , se satisface en fo rm a a u to m ática. Se d e b e te n e r en c u e n ta q u e, en g en eral, este m é to d o d e so lu ció n es a d e c u a d o c u a n d o só lo se n e c e sita u n a c o o rd e n a d a x p a ra d e s c rib ir la c u rv a elástica. Si se n e c e sita n v arias c o o rd e n a d a s x , se d e b e n p la n te a r e c u ac io n e s d e c o n tin u id a d , co m p lic an d o así el p ro c e so d e solución.
P r o b le m a s
•
645
PROBLEMAS 12-103. D eterm ine las reacciones en los apoyos A y B, y a continuación trace los diagramas de cortante y de mo mento. Use funciones de discontinuidad. E l es constante.
12-106. La carga sobre una viga de piso de un avión se ve en la figura. Use funciones de discontinuidad y deter mine las reacciones en los apoyos A y B, y a continuación trace el diagrama de momento para la viga. Es de alumi nio y su momento de inercia es 1 = 320 pulg4.
P r
L 2
L 2
,1
Prob. 12-103
*12-104. D eterm ine las reacciones en los apoyos A y B, y a continuación trace los diagramas de cortante y de m o mento. £ /e s constante. No tenga en cuenta el efecto de la carga axial.
A ** U 120 pulg
- -¡
120 p u lg ----- -
-■ Prob. 12-106
2 3
3i Í, Prob. 12-104
12-107. D eterm ine las reacciones en los apoyos A y B. E l es constante. 12-105. Determ ine las reacciones en los apoyos A y B, y a continuación trace los diagramas de cortante y de mo mento. E l es constante.
Prob. 12-105
Prob. 12-107
646
•
CAPÍTULO 12 Deflexión de vigas y ejes
*12-108. U se funciones de discontinuidad y determ ine las reacciones en los apoyos; después trace los diagramas de cortante y de momento. E l es constante.
8 kN/m
Prob. 12-108
Prob. 12-110
12-111. D eterm ine los momentos de reacción en los apo yos / 4 y S ,y a continuación trace los diagramas de cortan te y de momento. Resuelva el problema expresando al m o m ento interno de la viga en función de A v y M A. E l es constante.
12-109. U se funciones de discontinuidad y determ ine las reacciones en los apoyos; después trace los diagramas de cortante y de momento. E l es constante. A
Prob. 12-111 3 klb/pie
*12-112. D eterm ine los m om entos de reacción en los apoyos A y B. E l es co n stan te.
12-110. La viga tiene E \I\ constante y está apoyada en el em potramiento en B y en la varilla AC. Si la varilla tiene área transversal A 2, y el material tiene módulo de elastici dad Ei, determine la fuerza en la varilla.
Prob. 12-112
S ección 12.8
Vigas y ejes estáticamente indeterminados (método del momento de área)
*12.8 Vigas y ejes estáticamente indeterminados (método del momento de área) Si se usa el método del momento de área para determ inar las redundan tes incógnitas de una viga o eje estáticamente indeterminados, entonces se debe trazar el diagrama M / E l de tal modo que se representen las re dundantes como incógnitas en él. U na vez establecido el diagram a M / E I , se pueden aplicar los dos teoremas del momento de área para obtener las relaciones adecuadas entre las tangentes de la curva elástica, para que cumplan con las condiciones de desplazamiento y/o pendiente en los apo yos de la viga o eje. E n todos los casos, la cantidad de esas condiciones de compatibilidad será igual a la cantidad de redundantes, y de este modo se puede obtener una solución para las redundantes. D ia g ra m a s d e m o m e n t o t r a z a d o s c o n el m é to d o d e s u p e r p o s i ció n . Com o la aplicación de los teoremas de momento de área requie
re calcular tanto el área bajo la curva M / E l como el lugar del centroide de esa área, con frecuencia conviene usar diagramas M / E l separados para cada una de las cargas y redundantes desconocidas, más que usar el dia grama resultante para calcular esas cantidades geométricas. Esto tiene validez especial si el diagrama resultante de momento tiene una form a complicada. E l método para trazar en partes el diagrama de momento se basa en el principio de la superposición. L a mayor parte de las cargas sobre vigas o ejes serán una combinación de las cuatro formas que muestra la figura 12-38. L a construcción de los respectivos diagramas de momento, que tam bién se ven en esa figura, se ha descrito en los ejemplos del capítulo 6 . C o n base en esos resultados de mostraremos ahora cómo usar el método de la superposición para repre sentar el diagrama resultante de momento para la viga empotrada de la figura 12-39«, mediante una serie de diagramas de momento separados. Para hacerlo, prim ero se sustituirán las cargas por un sistema de cargas estáticamente equivalentes. Por ejemplo, las tres vigas en voladizo de la figura 12-39« son estáticamente equivalentes a la viga resultante, ya que
(
l
M
M L ínea con p en d ie n te cero
Mn
(b)
l l l l l l l l l l
t M
t M
•
647
648
• CAPÍTULO 12 Deflexión de vigas y ejes
A i (k N - m ) 4 k N /m
í
13 k N
'i i
l
i
l
i
-2 m —
58 k N -m
|- ^ 3 0 k N - m
\
- + ------- 2 m -
II A Í( k N - m ) 4 k N /m 8 kN
TTTT1 A 'r-------2
-*(m)
m -
A i (k N - m )
* A
___________________
L
, m
0 0 kN -m
;
3 0 k N -m 1
5 kN 5 kN
(I
20 kN -m
4 m -
S u p e r p o s ic ió n d e c a r g a s
S u p e r p o s i c i ó n d e d ia g r a m a s d e m o m e n t o
(a)
(b )
Fig. 12-39
la carga en cada punto de la viga resultante es igual a la superposición o suma de las cargas en las tres vigas separadas. En realidad, la reacción de cortante en el extremo A es 13 kN, cuando se suman las reacciones en las vigas separadas. Del mismo modo, el momento interno en cualquier pun to de la viga resultante es igual a la suma de los momentos internos en cualquier punto de las vigas separadas. Así, si se trazan los diagramas de momento para cada viga separada, figura 12-396, la superposición de esos diagramas determinará el diagrama de momento para la viga resultante, que se ve en la parte superior. Por ejemplo, partiendo de cada uno de los diagramas separados de momento, el momento en el extremo A es MA = —8 kN •m - 30 kN •m - 20 kN •m = -5 8 kN •m, como se ve en el dia grama de la parte superior. Este ejemplo demuestra que a veces es más fácil trazar una serie de diagramas de momento estáticamente equivalentes para la viga, y no trazar el diagrama de momentos resultantes, el cual es más complicado. Es obvio que el área y la ubicación del centroide para cada parte es más fácil de determinar que la del centroide del diagrama resultante.
S ección 12.8
Vigas y ejes estáticamente indeterminados (método del momento de área)
M (k N - m ) 70 5 kN /m
207 1 I I I I I I H I P T"
\
V i
-20 -12 m ■
!
1
12 |
v(m)
V
6
-20
D ia g ra m a d e m o m e n to re su lta n te II A i (k N - m )
5 kN/m
1 1 1 I 1 l l 1 1 1 1 • “ aS . b----------- ■12 m ------------ H A i (k N - m )
2 0 kN -m
12 - A(m)
C jt
-20
12 m M (kN-m) 2 0 kN -m v (m )
-------------- 12 m --------------S u p e rp o s ic ió n d e c a rg a s
S u p e rp o s ic ió n de d ia g ra m a s d e m o m e n to
(a)
(b )
Fig. 12-40
En forma parecida, también se representa el diagrama de momento re sultante para una viga simplemente apoyada usando una superposición de diagramas de momento para una serie de vigas simplemente apoya das. Por ejemplo, la carga de la viga en la parte superior de la figura 12-40(7 es equivalente a la suma de las cargas de las vigas abajo de ella. En consecuencia, se puede usar la suma de los diagramas de momento para cada una de esas tres cargas, y no el diagrama de momento resultante de la parte superior de la figura 12-406. Para comprenderlos bien, se deben verificar estos resultados. Los ejemplos que siguen también deberían aclarar algunos de estos pun tos, e ilustrar cómo se usan los teoremas del momento de área para obte ner las reacciones redundantes sobre vigas y ejes estáticamente indeter minados. Las soluciones siguen el procedimiento de análisis descrito en la sección 12.4.
• 649
650
• CAPÍTULO 12 Deflexión de vigas y ejes
E J E M P L O
La viga está sometida a la carga concentrada que muestra la figura 12-41a. Determine las reacciones en los apoyos. El es constante. M
El
(a)
B, (b )
Fig. 12-41
Solución
En la figura 12-416 se muestra el diagrama de cuer po libre. Usando el método de superposición, los diagramas M/ EI se parados. para la reacción redundante B v y la carga P, se ven en la figu ra 12-41c.
D ia g ra m a M I E L
La curva elástica para esta viga se ve en la figura 12-41 Los tangentes en los apoyos A y B se han trazado. Ya que Ag = 0 , entonces C u rv a e lá stic a .
'B/A = Teorem a d e l m om ento de área.
0
Se aplica el teorema 2, para obtener 1 / B,,L 2 \ El
+,iL(
1f - P L L2\ E l
-PL El
L
(L )
(L)
= 0
By = 2.5 P
Resp.
Al usar este resultado, se determinan co mo sigue las reacciones en A sobre el diagrama de cuerpo libre, figura 12-416:
E cu a cio n e s de e q u ilib rio .
2 F X = 0;
+ t ZFy = 0;
Ax = 0 - A y 4- 2.5P - P - 0 Ay = 1.5P
U I M ^ = 0;
Resp.
Resp.
- M A + 2.5P(L) - P{2L) = 0 Ma = 0.5FL
Resp.
S ección 12.8
Vigas y ejes estáticamente indeterminados (método del momento de área)
• 651
E J E M P L O L a viga está sometida al momento del par en su extremo C , como mues tra la figura 12-42a. D eterm ine la reacción en B . E l es constante. Solución
(a)
D iagram a M / E I . E n la figura 12-426 se muestra el diagrama de cuer po libre. Por inspección se ve que la viga es indeterm inada de prim er grado. Para obtener una solución directa elegiremos a B v como la re dundante. Usando la superposición, los diagramas M / E I para B v y Mo se ven en la figura 12-42c, aplicado cada uno a una viga simplemente apoyada. (O bserve que para esa v ig a ,/l v, / l v y Cy no contribuyen en el diagrama M / E I.)
L
) Mo Cv
(b)
C u rva e lá stic a . L a curva elástica p ara la viga se ve en la figura 12-42rf. Se han trazado las tangentes en A , B y C . Com o A^ = A B = A c- = 0, las desviaciones tangenciales que se muestran deben ser pro porcionales, es decir,
1 >b / c ~
2 tA !c
(c)
D e acuerdo con la figura 12-42c,
(
+ [\ L -M o 2E l
‘ A /C = ( L )
Hitj(í)
(L )
1 f By L \
1 /-M 0
2 l ^ 7 > 2L)
2\ El
(2 L )
Se sustituye en la ecuación 1 y se sim plifica, para obtener
E cu a cio n es de e q u ilib rio . Y a se pueden determ inar las reacciones en A y C a p artir de las ecuaciones de equilibrio, figura 12-426. Dem ues tre que A x = 0, Cy = 5M 0/ 4 L y que A y = M 0/4 L . Observe que, de acuerdo con la figura 12-42e, este problema también se puede resolver en función de las desviaciones tangenciales.
1 lB/A - 2 tc!A
la n C
652
• CAPÍTULO 12 Deflexión de vigas y ejes
PROBLEMAS 12-113. Determine los momentos de reacción en los apo yos A y B. E l es constante.
12-117. Determine las reacciones en ios apoyos y a con tinuación trace los diagramas de cortante y de momento. E l es constante. Mn -v-
r
A
s e
:
B—
P ro b . 1 2 -117
Prob. 12-113
12-114. Determine los momentos de reacción en los apo yos A y B, y a continuación trace los diagramas de cortan te y de momento. E l es constante.
12-118. Determine las reacciones en los apoyos A y B, y a continuación trace los diagramas de cortante y de mo mento. E l es constante.
Mn
Mn
J P r o b . 1 2 -1 1 4
\ B
L
L
3
3
L 3
-1 1
P r o b . 12 -118
12-115. Determine las reacciones en los apoyos y trace después los diagramas de cortante y de momento. E l es constante.
12-119. Determine el valor de a para el cual el momen to positivo máximo tiene la misma magnitud que el mo mento negativo máximo. E l es constante.
-------
-------------
P r o b . 12 -1 1 5 P r o b . 12 -1 1 9
*12-116. Determine las reacciones en los apoyos y a con tinuación trace los diagramas de cortante y de momento. E l es constante.
*12-120. Determine los momentos de reacción en los apoyos A y B. E l es constante.
5 k lb
5 k lb
P i
'
B " .......
I*— 4 pies -
-6 pies -
i
i
i
r
A
, - 6 p ie s ------- 1— 4 pies — -
Prob. 12-116
B
-------------------------------------- L -------
Prob. 12-120
Sección 12.9
12 .9
Vigas y ejes estáticamente indeterminados (método de la superposición)
• 653
V ig a s y ejes estáticam en te in d e te rm in ad o s (m étodo de la superpo sición )
E l método de la superposición se usó antes para calcular las cargas redun dantes en barras con carga axial y ejes con carga de torsión. Para aplicar este método a la solución de vigas (o ejes) estáticamente indeterminados, prim ero es necesario identificar las reacciones redundantes en los apoyos, como se explicó en la sección 12.6. A l elim inarlas de la viga se obtiene la llamada viga prim aria, que es estáticamente determinada y estable, y sólo está sometida a la carga externa. Si a esta viga se le agrega una sucesión de vigas igualmente apoyadas, cada una cargada con una fuerza redun dante separada, entonces, por el principio de la superposición, se obtiene la viga cargada real. Por últim o, para determ inar las redundantes, se de ben escribir las condiciones de com patibilidad que existen en los apoyos donde actúa cada una de las redundantes. Com o las fuerzas redundantes se determinan en form a directa de esta m anera, a este método de an áli sis se le llam a a veces el m étodo de fu e rz a . U n a vez obtenidas las redun dantes, las demás reacciones de la viga se determ inan entonces, con las tres ecuaciones de equilibrio. Para aclarar estos conceptos veamos la viga de la figura 12-43a. Si se eli ge la reacción en el apoyo de rodillo como la redundante, la viga p ri m aria se ve en la figura 12-436, y la viga con la redundante B v actuando sobre ella se ve en la figura 12-43c. E l desplazam iento en el rodillo debe ser cero, y como el desplazamiento del punto B en la viga prim aria es vB, y como B v hace que el punto B se desplace v ’B hacia arrib a, se puede es crib ir como sigue la ecuación de com patibilidad en B :
A i-
V ig a re a l
(a)
0 = - v B + v'B
( + T)
Se pueden obtener los desplazamientos vB y v'B usando cualquiera de los mé todos descritos en las secciones 12.2 a 12.5. E n este caso los obtendremos en forma directa con la tabla del apéndice C. Entonces, ByL3 vB = 'D 3E l
5PL vb
48 E l
J
S ó lo s e a p lic a la r e d u n d a n t e B v
(c)
M
Sustituyendo lo anterior en la ecuación de compatibilidad se obtienen (d )
0 =
5P L ?
ByL
48 E l
3EI
B’ ~ ü p A h o ra que ya se conoce B v, se determ inan las reacciones en el muro con las tres ecuaciones de equilibrio aplicadas a toda la viga, figura 12-43d. Lo s resultados son A r = 0
/I
y
= ^ P 16
Fig. 12-43
16
654
• CAPÍTULO 12 Deflexión de vigas y ejes
P
r e d u n d a n t e e lim in a d o
+ (c) S ó lo s e a p li c a M ;1 r e d u n d a n t e
Fig. 12-44
Com o se dijo en la sección 12.6, la elección de cuál será la redundante es arbitraria, siempre y cuando la viga p rim aria permanezca estable. Por ejemplo, en la figura 12-44a también se puede escoger el momento en A para la viga como la redundante. E n este caso se elim ina la capacidad de la viga para resistir por lo que la viga p rim aria está soportada con un pasador en A , figura 12-44b. Tam b ién, la redundante en A actúa sola sobre esta viga, figura 12-44c. Llam ando 6A a la pendiente en A , causada por la carga P , y ^ a la pendiente en A causada por la redundante M^, la ecuación de com patibilidad para la pendiente en A requiere que
0=0,, +e'A
(r+)
D e nuevo, si se usa la tabla del apéndice C , se obtienen
PL 2
m al
A ~ 16E l
y
6a “
3E l
A sí,
0 =
M aL
PL 16 E l
MA =
3 E1
- - P L
E s el mismo resultado que se determinó antes. E n este caso, el signo ne gativo de M a sólo indica que actúa en sentido opuesto al que indica la figura 12-44c.
S e c c ió n 1 2 .9
Vigas
B
y
ejes estáticamente indeterminados (método de la superposición)
Pr
i
C
( a ) A ¿j V ig a re a l
II
(’fi
(c
R e d u n d a m o s B v y C v e lim in a d a s
vc
"i
S ó lo se a p lic a la re d u n d a n te B v
(d )
A L 'ü
VC
S ó lo se a p lic a la re d u n d a n te C v
Fig. 12-45
O tro ejemplo que ilustra este método se ve en la figura 12-45a. E n este caso, la viga es indeterm inada de segundo grado, y en consecuencia serán necesarias dos ecuaciones de com patibilidad en la solución. Elegirem os las fuerzas en los apoyos de rodillo B y C como las redundantes. L a viga prim aria (estáticam ente determ inada) se deforma como se ve en la figu ra 12-456 cuando se quitan las redundantes. C ada fuerza redundante deforma esta viga como muestran las figuras 12-45c y 12-45r/, respectiva m ente. Por superpo sición , las ecuaciones de co m p atib ilid ad para los desplazamientos en B y C son:
(+1 )
0 = v B + v'B + V¿
( + ¿)
0 =
+ v'c + v"c
E n este caso, los componentes de desplazamiento v'B y v'c se expresarán en función de la incógnita B v, y los componentes v"B y v"c se expresarán en fun ción de la incógnita C v. Cuando se han determinado esos desplazamientos, y sustituido en las ecuaciones 12 -22 , éstas se pueden resolver sim ultánea mente para obtener las dos incógnitas R v y C y.
•
655
PROCEDIM IENTO PARA EL ANÁLISIS E l siguiente procedim iento es para aplicar el método de la superpo sición (o el método de fuerza) en la determ inación de las reaccio nes sobre vigas o ejes estáticamente indeterminados. C u rva elá stica. • Esp ecificar las fuerzas o momentos redundantes desconocidos que deben elim inarse de la viga, para hacerla estáticamente determ ina da y estable. • U sando el principio de superposición, trazar la viga estáticamente indeterm inada m ostrándola igual a una sucesión correspondien te de vigas estáticamente determinadas. • L a prim era de esas vigas, la viga prim aria, sostiene las mismas car gas que la viga estáticamente indeterm inada, y cada una de las de más vigas se “ sum an” a la viga prim aria para cargarla con una fuer za o momento redundantes. • Trazar la curva de flexión para cada viga, e indicar, en form a sim bólica, el desplazamiento o la pendiente en el punto de aplicación de cada fuerza o momento redundante. E cu a cio n e s de co m p a tib ilid a d . • Fo rm u lar una ecuación de com patibilidad para el desplazam ien to o la pendiente en cada punto donde haya una fuerza o momento redundante. • D e te rm in ar todos los desplazam ientos o pendientes, usando un método adecuado de los que se explicaron en las secciones 12.2 a
12.5. • Sustituir los resultados en las ecuaciones de com patibilidad, y des pejar las redundantes desconocidas. • Si un valor numérico de una redundante es positivo, tiene el mis m o sentido y dirección que el que se supuso en forma original. E n forma parecida, un valor numérico negativo indica que la redundan te actúa contraria a su supuesto sentido de dirección. E cu a cio n e s de e q u ilib rio . • U n a vez determinadas las fuerzas y/o momentos redundantes, las restantes reaccio n es desconocidas se pueden d e te rm in a r con las ecuaciones de equilibrio aplicadas a las cargas que se indiquen en el diagrama de cuerpo libre de la viga.
Lo s ejemplos que siguen ilustran la aplicación de este procedim iento. Pa ra abreviar, se han determinado todos los desplazamientos y las pendien tes con la tabla del apéndice C.
Vigas
S e c c ió n 1 2 .9
y
ejes estáticamente indeterminados (método de la superposición)
•
657
12 21
E J E M P L O
1 D eterm inar las reacciones en el apoyo B de rodillo, en la viga de la fi gura 12-46«,y a continuación trazar los diagramas de cortante y de mo mento. E l es constante. H
Solución
5 p ie s —
m W
(a)
P rin c ip io de su p erp osición . Por inspección se ve que la viga es está ticamente indeterm inada de prim er grado. E l soporte de rodillo en B se escogerá como la redundante, por lo que B v se determ inará en fo r ma directa. La s figuras 12-466 y 12-46c muestran la aplicación del p rin cipio de la superposición. E n este caso hemos supuesto que B v actúa hacia arriba, en la viga.
8 k lb -I
2 k lb / p ie
b T lT n r r n i
•---------------- 10 p ie s ------
---- ^
V i g a re a l
ii 8 k lb ------ 5 p ie s ----- - |
E cu a ció n de co m p a tib ilid a d . Suponiendo que el desplazamiento po sitivo es hacia abajo, la ecuación de com patibilidad en B es (b)
2 k lb / p ie
T T T r r r r t iT íT T 'R i - 1 0 p ie s R e d u n d a n te
(1)
0 = v B - v'B
(+ 1)
Bve lim in a d a +
Los siguientes desplazam ientos se obtienen en form a directa en la (c) tabla del apéndice C. - 1 0 p ie s S ó l o se a p li c a la r e d u n d a n t e
vB =
wL4 8EI
+
5PL
Bv
! k lb
48 E l
18 k lb
u n u m
n m
r R
(d)u - 5 p ie s -
4 0 k lb p ie 1------ 5 p ie s -
2 klb /p ie( 10 p ie s )4
5(8 k lb )(1 0 p ies )3
8E l
3333 klb • pie 3
10 k lb
V
El
48 E l
(k lb )
( k lb )
18 - .v (p ie s )
-1 0
PL3 vB =
3E l
f í v(10 p ies )3
333.3 pies'B*
3EI
El
(e )
A i ( k lb p ie ) 25
t
-—
x
K -40 Se sustituye en la ecuación 1 y se despeja como sigue:
0 =
3333
3 3 3 .35 v
El
El
B y = 10 klb
5
Fig. 12-46
Resp.
E cu a cio n es de e q u ilib rio . A l usar este resultado y aplicar las tres ecuaciones de equilibrio, se obtienen los resultados que muestra el diagrama de cuerpo libre de la viga, en la figura 12-46d. E n la figura 12-46e se ven los diagramas de cortante y de momento.
(p ie s )
658
• CAPÍTULO 12 Deflexión de vigas y ejes
E J E M P L O D eterm ine las reacciones sobre la viga de la figura 12-47a. D ebido a las cargas y a defectos de construcción, el apoyo de rodillo en B se asien ta 12 mm. Suponer que E = 200 G P a e / = 80(106) mm4.
Solución 24 kN /m
ftHHH B
■
12 m m
h------- 4 m ------- 4 -------- 4 m ------- H
V ig a re a l
P rin c ip io de su p erp o sició n . Por inspección, la viga es indeterminada de prim er grado. E l soporte de rodillo en B se escogerá como la redundante. E l principio de superposición se muestra en las figuras 12-476 y 12-47c. E n este caso se supondrá que B v actúa hacia arrib a, en la viga. E cu a ció n de co m p a tib ilid a d . Con referencia al punto B , con metros como unidades, se requiere que
2 4 kN /m
H t í H H (b )
0.012 m = v B - v ' B
(+|)
(1)
A «
D e acuerdo con la tabla del apéndice C , los desplazamientos son:
vB =
5w L 4
5(24 k N /m )(8 m )4
6 40 kN -m 3
768£7
768E l
El
PL3 v 'b
S ó l o s e a p lic a la r e d u n d a n t e B v
~
48£ 7
I
B y(8 m )310.67m 3f iy 48£/
El
'
Entonces, la ecuación 1 se transform a en
9 6 kN
(d )
A
0.012£Y = 640 - 10.6 75 y
1 !
2m+ 2m
Se expresan E e l e n kN /m 2 y en m4, respectivam ente,com o sigue:
4 2 .0 k N
0.012(200)(106)[80(10~6)] = 640 - 10.67B y F ig . 1 2 -47
B v = 42.0 kN |
Resp.
E cu a cio n e s de e q u ilib rio . A l aplicar este resultado a la viga, figura 12-47d, se pueden calcular las reacciones en A y C , usando las ecuacio nes de equilibrio. A s í se obtienen
1+1M
a
= 0;
- 9 6 k N (2 m) + 4 2 .0 k N (4 m ) + C v( 8 m ) = 0 C y = 3.00 kN t
+ Î 2 F V = 0;
Resp.
A y - 96 kN + 42.0 kN + 3.00 kN = 0
A y = 51 kN I
Resp.
S e c c ió n
12.9 Vigas
y
ejes estáticamente indeterminados (método de la superposición)
• 659
E J E M P L O L a viga de la figura 12-48a está empotrada a la pared en A , y está ar ticulada a una va rilla de 1 pulg, B C . Si E = 29(103) klb/pulg 2 para am bos elementos, determine la fuerza desarrollada en la va rilla, debida a las cargas. E l momento de inercia de la viga, respecto a su eje neutro, es I = 475 pulg4.
8 p ie s
8 k lb
8 k lb
mía
-’B
- 5 p ie s -
- 5 p ie s -
S ó l o s e a p li c a la r e d u n d a n t e
R e d u n d a n te F / ¡c e lim in a d a
V ig a y v a r i ll a re a ie s
Fsc
(c)
(b )
(a )
Fig. 12-48 Solución I P rin c ip io de su p e rp o sició n . Por inspección, este problem a es inde terminado de prim er grado. E n este caso B sufrirá un desplazamiento desconocido v"B, ya que la varilla se estira. Se considerará que la v a ri lla es la redundante, y en consecuencia se quita la fuerza de la varilla en la viga, en B , figura 12-486, para vo lverla a aplicar, figura 12-48c. E cu a ció n de co m p a tib ilid a d . (+|)
E n el punto B se requiere que
(1)
Vg - VB ~ Vg
Lo s desplazamientos vB y v'g se determ inan con la tabla del apéndice C . v"B se calcula con la ecuación 4-2. E n kilolib ras y pulgadas se tiene que
vB
Vg =
Vg =
PL
F s c (8 pies )(12 pulg/pie)
AE
(7 r/4 )Q p u lg )2[29(103) klb/pulg 2
5P L 3
5(8 k lb )(10 p ie s)3(12 p ulg /p ie )3
48£7 -
48[29(103) klb/pulg2](475 pulg4)
P L?
F ßC(10 pies )3(12 p ulg /p ie )3
3E l
3 [2 9 (1 0 )3 klb/pulg2] (475 pulg4)
= 0.1045 pulg \
= 0.04181 F bc t
A sí. la ecuación 1 se transforma en (+ ¿ )
0.01686F ec = 0.1045 - 0 .0 4 1 8 1 /^ F BC = 1.78 klb
Resp.
Continúa
F e
; k lb
i R e d u n d a n te
e lim in a d a
S ó l o s e a p li c a la r e d u n d a n t e F ;¡ c
(f)
(e)
(d)
Solución II P rin c ip io de su p erp o sició n . E ste problema tam bién se puede resol ver quitando el soporte articulado en C , manteniendo la va rilla fija a la viga. E n este caso, la carga de 8 klb hara que los puntos B y C se des placen hacia abajo la misma cantidad vc , figura 12-48e, ya que no exis te fuerza en la varilla B C . Cuando se aplica la fuerza redundante F BC en el punto C , hace que el extrem o C de la varilla se desplace v'c hacia arriba, y que el extrem o B de la viga se desplace v'B hacia arrib a, figu ra 12-48/. L a diferencia entre esos dos desplazamientos, vBC, representa el estiram iento de la varilla debido a F s c , por lo que v'c = vBC + vB . Por consiguiente, de acuerdo con las figuras 12-48rf, 12-48e y 12-48/, la com patibilidad del desplazamiento en el punto C es
(+ 1)
0 = vc ~ {vBC + v'B)
(2)
D e la solución I se tiene que
Vc = vB = 0.1045 pulg 4
vBC = v "b = 0 .01686F bc | v'B = 0.04181 F/>c f
Por consiguiente, la ecuación 2 se transform a en
(+ 1)
0 = 0.1045 - (0.01686Fj3C + 0.04181 F BC)
F bc = 1.78 klb
Resp.
S ección 12.9 Vigas y ejes estáticamente indeterminados (método de la superposición)
E J E M P L O Determ ine el momento en B . en la viga de la figura 12-49«. E l es cons tante. No tener en cuenta los efectos de cargas axiales.
Solución P rin c ip io de su p erp o sició n . Com o la carga axial sobre la viga no se toma en cuenta, habrá una fuerza vertical y un momento en A y en B . E n este caso sólo hay dos ecuaciones de equilibrio disponibles (£ M = 0, I F V= 0 ), por lo que el problema es indeterminado de segundo grado. Supondremos que B vy M s son redundantes, por lo que de acuerdo con el principio de superposición, la viga se representa como en voladizo, cargada p o r separado con la carga distribuida y las reacciones B v y M B, figuras 12-49Í», 12-49c y 12-49
Ecu a cio n es de co m p a tib ilid a d . te en B . se necesita que
Para el desplazamiento y la pendien-
¿ u r r t n i W - 6 p ie s
------- 6 p ie s 1
(r+)
0 = 0B + d's + dB
(1)
V i g a re a l
(+ )
0 = v B + v ’B + v"B
(2)
II
1
Con la tabla del apéndice C se calculan las pendientes y los desplaza mientos siguientes: (b )
eB =
w L?
3 klb/pie (12 p ies )3
48£7
48 E l
108 R e d u n d a n te s M B y B.v e lim in a d a s
vB =
6"« =
vB =
384£Z
384E l B v( 12 pies)2
1134 El J
12By
(C)
II i
VB =
7(3 k lb /p ie )(1 2 pies )4
0,1
0r —
7w L4
2EI
El ¿
B v( 12 pies)3
5765 v
3EI
3E l
El
ML
M r {\2 pies)
12 M b
El
El
El
2EI PL%
S ó l o s e a p li c a la r e d u n d a n t e B v
(d) /I
'
M L2
M b( \2 pies )2
72 Mj
2E l
2E l
El
- 1 2 p ie s
4
S lo se a p lic a e l M s re d u n d an te
Estos valores se sustituyen en las ecuaciones 1 y 2, y anulando el fac tor común E l se obtienen
(f+)
0 = 108 + 1 2 B y + 12 M b
(+ 1)
0 = 1134 + 576By + 12M b
A l resolver sim ultáneamente estas ecuaciones se llega a los resultados B v = -3.375 klb
M b = 11.25 klb - pie
Resp.
F ig . 1 2 -49
• 661
662
• CAPÍTULO 12 Deflexión de vigas y ejes
PROBLEMAS 12-121. El conjunto está formado por una barra de hie rro y una de aluminio, cada una de las cuales tiene 1 pulg de espesor, empotradas en sus extremos A y B, conec tadas con un eslabón corto y rígido, CD. Si se aplica una fuerza horizontal de 80 Ib al eslabón, como se indica en la figura, determine los momentos que se crean en A y B. £ ac = 29(103) klb/pulg2: £ al = 10(103) klb/pulg2.
12-123. Para sostener la carga de 8 klb se usa la viga de acero A-36 y la varilla. Si se requiere que el esfuerzo nor mal permisible para el acero sea
1 p u lg — A ce ro 3 0 p u lg
—
0 .5 p u lg
/I
A lu m in io
B
4 p ie s -
Prob. 12-121
Prob. 12-123
12-122. Determine las reacciones en los apoyos y a con tinuación trace los diagramas de cortante y de momento. £ 7 es constante. Los cojinetes sólo ejercen reacciones ver ticales sobre el eje.
Prob. 12-122
*12-124. La viga tiene constante, y está soportada por el muro fijo en B v la varilla AC. Si la varilla tiene área transversal A 2, y el módulo de elasticidad del material es E2. determine la fuerza en la varilla.
Prob. 12-124
Pr o blem a s
12-125. El conjunto consiste en tres vigas simplemente apoyadas, para las cuales el lecho bajo de la viga superior descansa sobre el lecho alto de las dos vigas inferiores. Si se aplica una carga uniforme de 3 kN/m a la viga superior, determine las reacciones verticales en cada uno de los apo yos. E l es constante.
*12-128.
•
663
Cada uno de los dos miembros es de aluminio
6061-T6, y tiene un corte transversal cuadrado de 1 x 1 pulg. Están articulados en sus extremos, y entre ellos se coloca un gato para abrirlas hasta que la fuerza que ejer ce sobre cada miembro es 500 Ib. Determine la fuerza má xima P que se puede aplicar en el centro del miembro su perior sin hacer que haya fluencia en cualquiera de los dos miembros. En el análisis, no tener en cuenta la fuerza axial en cada miembro. Suponer que el gato es rígido.
1
A
B
P r o b . 12 -1 2 5
D
C
I
12-126. Determine las reacciones c n A y B . Suponga que el soporte en A sólo ejerce un momento sobre la viga. E l es constante. P r o b . 12 -1 2 8
P
P r o b . 1 2 -1 2 6
12-129. La viga empotrada A B en ambos extremos se re fuerza con la viga simplemente apoyada CD, y con el ro dillo en F, que se ajusta en su lugar justo antes de aplicar la carga P. Determine las reacciones en los apoyos, si E l es constante.
12-127. Los segmentos de la viga compuesta se encuen tran en el centro, donde hay un contacto liso (rodillo). D e termine las reacciones en los apoyos empotrados A y B. cuando se aplica la carga P. E l es constante.
P
---L_ _
Prob. 12-127
'
.¿ HL?
if _ _ L ______ _____ L _ ______ _____ jL
P r o b .12-129
664
• CAPÍTULO 12 Deflexión de vigas y ejes
12-130. E l eje de acero A-36 de 1 pulg de diámetro está sostenido por cojinetes rígidos en A y C. E l cojinete B descansa en una viga I de acero sencillamente apoyada que tiene un momento de inercia de / = 500 pulg4. Si las bandas de la polea cargan 400 Ib cada una, determine las reacciones verticales en A , B y C.
50 N
P r o b . 12 -1 3 2
12-133. La viga se hace con un material elástico suave con E l constante. Si originalmente está a una distancia A de la superficie del apoyo de su extremo, determine la dis tancia a que descansa sobre ese soporte, cuando se some te a la carga uniforme w0, que es suficientemente grande como para que eso suceda.
P r o b . 12 -1 3 0
12-131. Determine la fuerza en el resorte. E l es constan te en la viga.
------------ L —
P r o b . 1 2 -1 3 3
----
n
12-134. La viga está apoyada en los soportes atornilla dos en sus extremos. Cuando hay carga, esos soportes no dan una conexión verdaderamente empotrada, sino que permiten una pequeña rotación a antes de funcionar co mo empotrados. Determine el momento en las conexio nes, y la deflexión máxima de la viga.
P r o b . 12 -1 3 1
u ol
*12-132. Determine la deflexión en el extremo B de la barra de acero A-36 empotrada. La rigidez del resorte es k = 2 N/mm. La solera tiene 5 mm de espesor y 10 mm de altura. También, trace los diagramas de cortante y de mo mento para la barra.
na
Prob. 12-134
REPASO DEL CAPÍTULO • L a curva elástica refleja la flexión de la línea central de una viga o un eje. Se puede determinar su forma, usando el diagrama de momento. Lo s momentos positivos hacen que la curva elástica sea cóncava ha cia arriba, y los momentos negativos hacen que sea cóncava hacia abajo. E l radio de curvatura, en cualquier punto, se determina con 1/p = M / E I. • L a ecuación de la curva elástica, y su pendiente, se pueden obtener de terminando primero el momento interno en el miembro, en función de x. Si sobre el miembro actúan varias cargas, se deben determinar por separado las funciones de momento entre cada una de las cargas. A l integrar una vez esas funciones, usando E l ( d 2v/dx2) = M( x) . se obtiene la ecuación de la pendiente de la curva elástica, y al integrar otra vez se obtiene la ecuación de la deflexión. Las constantes de inte gración se determinan con las condiciones en la frontera en los sopor tes, o en los casos en que intervienen varias funciones de momento, debe satisfacerse la continuidad de la pendiente y la deflexión, en los puntos donde se unen esas funciones. • Las funciones de discontinuidad permiten expresar la ecuación de la curva elástica como una función continua, independiente de la canti dad de cargas en el miembro. Este método elimina la necesidad de usar condiciones de continuidad, ya que se pueden determinar las dos cons tantes de integración únicamente a partir de las dos condiciones en la frontera. • E l método del momento de área es una técnica sem igráfica para calcular la pendiente de las tangentes, o la desviación vertical de las tangentes, en puntos específicos de la curva elástica. Requiere deter minar segmentos de área bajo el diagrama M / E I o el momento de esos segmentos respecto a puntos en la curva elástica. E l método funciona bien con los diagramas M / E I compuestos por formas sencillas, como los producidos por fuerzas concentradas o momentos de par. • La deflexión o la pendiente en un punto de un miembro sometido a diversos tipos de cargas se pueden determinar con el método de la su perposición. Para este fin está disponible la tabla en la parte final del libro. • Las vigas y los ejes estáticamente indeterminados tienen más reaccio nes desconocidas en los apoyos que las ecuaciones disponibles de equilibrio. Para resolverlas, primero se identifican las reacciones re dundantes, y las demás reacciones desconocidas se escriben en fun ción de esas redundantes. A continuación se pueden usar el método de integración o los teoremas de momento de área para determinar las redundantes desconocidas.También es posible determinarlas usan do el método de superposición, donde se considera la continuidad del desplazamiento en la redundante. E n este caso, se determina el des plazamiento debido a las cargas externas, quitando la redundante, y de nuevo con la redundante aplicada y la carga externa eliminada. Se pueden usar las tablas en la parte final de este libro para determinar esos desplazamientos necesarios.
666
• CAPÍTULO 12 Deflexión de vigas y ejes
PROBLEMAS
DE
REPASO
12-135. El eje sostiene las dos cargas en las poleas, como se muestra. Use las funciones de discontinuidad para formular la ecuación de la curva elástica. Los cojinetes t n A y B sólo ejercen reacciones verticales sobre el eje. E l es cons tante.
12-137. Determine la deflexión máxima entre los soportes A y B. E l es constante. Use el método de integración,
IV
P r o b . 1 2 -1 3 7
P r o b . 12 -1 3 5
*12-136. Determine las ecuaciones de la curva elástica para la viga, usando las coordenadas x, y .v2. Especifique la pendiente en A y la deflexión máxima. E l es constante. Use el método de integración.
12-138. Si los cojinetes en A y B sólo ejercen reacciones verticales sobre el eje, determine la pendiente en B. y la deflexión en C. E l es constante. Use los teoremas del mo mentó de área.
w P
c ------------xl —
1
---------- L -
C
----- -V2 ------------- L ------------- Prob. 12-136
\ ß
B C yr ----------------- n¡———-------- 1 ¿ f e --------------|------- , ------- - ------- n------- -------- a--------A
rf= k
..............
Prob. 12-138
P r o b le m a s
•
d e repa so
667
12-139. Los cojinetes de apoyo A ,B y C sólo ejercen reac ciones verticales sobre el eje. Determine esas reacciones y a continuación trace los diagramas de cortante y de mo mento. E l es constante. Use los teoremas del momento de área. P r o b . 1 2 -1 4 1
12-142. Determine el valor de a para que la deflexión en C sea cero. E l es constante. Use los teoremas del momen to de área.
P r o b . 12 -1 3 9
\t
*12-140. El eje está apoyado en un cojinete recto en A, que sólo ejerce reacciones verticales sobre ese eje, y por un cojinete axial en B, que ejerce reacciones tanto hori zontales como verticales sobre el eje.Trace el diagrama de momento flexionante del eje y a continuación, de acuerdo con este diagrama, trace la curva de deflexión, o elástica, para la línea de centro del eje. Formule las ecuaciones de la curva elástica usando las coordenadas Xj y x 2. E l es cons tante.
8 0 Ib
P r o b . 1 2 -1 4 0
12-141. Determine las reacciones en los apoyos. E l es constante. Use el método de superposición.
A
■ r -iJ 1
'rC
B L 2
l
2 P r o b . 12 -1 4 2
*12-143. Con el método de superposición, determine la magnitud de M0 en términos de la carga distribuida w y de la dimensión a. para que la deflexión en el centro de la vi ga sea cero. E l es constante.
Mn
C A P I T U L O
13
Pandeo de columnas
OBJETIVOS DEL CAPITULO
E n este capítulo describirem os el com portam iento de las columnas, e indicaremos algunos de los métodos que se usan para diseñarlas. E l capítulo com ienza con una descripción general del pandeo, seguida por la determ inación de la carga axial necesaria para que una columna, llam ada “ id e a l", se pandee. Después, se descri birá un análisis más realista, que tiene en cuenta cualquier flexión de la columna. Tam bién se presenta el pandeo inelástico de una colum na como tema especial. A l final del capítulo describiremos algunos de los métodos que se usan para diseñar columnas con carga concéntrica y también excéntrica, fabricadas con m ateriales comunes en la ingeniería.
f 1 3 .1
Carga crítica Siem pre que se diseña un miembro constructivo es necesario que satisfa ga requisitos específicos de resistencia, flexión y estabilidad. E n los capí tulos anteriores hemos descrito algunos de los métodos para determ inar la resistencia y la deflexión de un m iem bro, suponiendo que siem pre es té en equilibrio estable. Sin embargo, hay miembros que pueden estar so metidos a cargas de compresión, y si son largos y esbeltos, la carga puede ser suficientem ente grande como para hacer que el miem bro se flexione lateralm ente, o hacia los lados. Siendo más específicos, los miem bros la r gos y esbeltos sometidos a una fuerza axial de compresión se llaman co lu m n as, y la deflexión lateral que sucede se llam a pandeo. Con bastante frecuencia, el pandeo de una columna puede causar una falla repentina y dram ática de una estructura o un mecanismo, y en consecuencia se debe poner atención especial al diseño de columnas, para que puedan soportar con seguridad, sin pandearse, las cargas que se pretende.
669
670
• CAPÍTULO 13 Pandeo de columnas
P>Prr
'c r
i
Í
P>Pcr
Per (a)
(b)
Fig. 13-1 L a carga axial m áxim a que puede soportar una columna cuando está a punto de pandearse se llam a carga c rític a , P CI, figura 13-la. Toda carga adicional hará que la columna se pandee, y en consecuencia se flexione lateralm ente, como indica la figura 13-16. Para com prender m ejor la na turaleza de esta inestabilidad, imaginemos un mecanismo de dos barras, form ado por las barras sin peso, rígidas y articuladas en sus extrem os, figura 13-2a. Cuando las barras están en posición vertical, el resorte, que tiene una rigidez k , no está deformado, y una fuerza vertical P pequeña se aplica sobre un extremo de una de las barras. Se puede rom per esta posi ción de equilibrio desplazando el pasador en A una pequeña cantidad A, figura 13-26. Com o se ve en el diagrama de cuerpo libre de la articulación, cuando se desplazan las barras, figura 13-2c. el resorte producirá una fuerza de restitución F = /cA, m ientras que la carga aplicada P desarrolla dos componentes horizontales, P x = P tan 0. que tienden a em pujar al pasa dor (y a las b arras) sacándolo más del equilib rio . Com o 6 es pequeño, A = 6 ( L / 2 ) y tan 6 - 6 . Se ve entonces que la fuerza de restitución del re sorte es F = k d L / 2 , y que la fuerza perturbadora es 2P x = 2P6. Si la fuerza de restitución es m ayor que la fuerza de perturbación, esto es, ú k 6 L / 2 > 2P 6, entonces, como 6 se sim plifica y desaparece, se puede despejar P . con el resultado kL P < ——
equilibrio estable
E s una condición de equilibrio estable, porque la fuerza desarrollada por el resorte bastaría para restituir a las barras en su posición vertical. Por otro lado, si k L 6 / 2 < 2P 6 , o sea kL P > —
equilibrio inestable
entonces el mecanismo estaría en equ ilibrio inestable. E n otras palabras, si se aplica esta carga P , y si sucede un ligero desplazamiento en A , el me canismo tenderá a salirse del equilibrio y a no ser restituido a su posición original.
S e c c ió n
13.1 Carga crítica
• 671
r
L kL. líP \ A=e(4 )
\
2
Ptan©
A
^ 4. (a )
(b )
Fig. 13-2 :sta a :arga rione a nairras, :mos, :, que •ña se posiiad A, ición, uerza a dos pasaueño, leí reí.e sto puede
por el >r otro
labras, el m e ssidòri
E l valor interm edio de P , definido con el requisito k L d / 2 = 2P9, es la carga crítica. E n este caso
Per = !e L 4
equilibrio indiferente
E sta carga representa un caso del mecanismo que está en equilibrio neu tro o indiferente. Como P a es independiente del (pequeño) desplazamiento 6 de las barras, cualquier perturbación pequeña que reciba el mecanismo no.hará que salga del equilibrio, ni se restituirá a su posición original. E n ese caso, las barras perm anecerán en la posición flexionada. E sto s tres estados distintos de equilibrio se representan en forma grá fica en la figura 13-3. E l punto de transición en el que la carga es igual al valo r crítico P = P cr se llam a punto de bifurcación. E n ese punto, el me canismo estará en equilibrio para cualquier valor pequeño de 0, medido a la derecha o a la izquierda de la vertical. Físicam ente, P cr representa la carga a la cual el mecanismo está a punto de pandearse. E s válido deter m inar este valo r, suponiendo que los desplazam ientos son pequeños, co mo se hizo aquí; sin embargo, se debe com prender que P ct puede no ser el valor m áxim o de P que puede sostener el mecanismo. E n realidad, si sobre las barras se pone una carga m ayor, el mecanismo podría tener una m ayor deflexión antes que el resorte se com prim a o alargue lo suficiente para m antener al mecanismo en equilibrio. Como el mecanismo de dos barras que acabamos de describir, se pue den obtener las cargas críticas de pandeo sobre columnas soportadas en diversas formas, y el método que se use para hacerlo se explicará en la sec ción siguiente. Aunque en el diseño técnico se puede considerar que la carga crítica es la m áxim a que puede soportar la colum na, se debe tener en cuenta que, como el mecanismo de dos barras en la posición flexiona da o pandeada, en realidad una columna puede soportar una carga ma-
E q u ilib r io in e s t a b le .- - P u n t o d e b if u r c a c ió n E q u ilib r io n e u tro
E q u ilib r io e s t a b le
p
-ÈL
cr ~
Fig. 13-3
4
672
• CAPÍTULO 13 Pandeo de columnas yor que P cv Desafortunadamente, sin embargo, esa carga podría hacer que la columna sufriera una deflexión grande, lo que en general no se tolera en la ingeniería de estructuras o máquinas. Por ejemplo, podrían necesi tarse sólo unos cuantos newtons de fuerza para pandear una regla de un metro, pero la carga adicional que puede soportar sólo se puede aplicar después de que la regla experimente una deflexión lateral relativam ente grande.
13 .2
Co lum na id eal con soportes articulad o s
Algunos miembros articulados que se usan en maquinaria de movimiento de tie rras, como este eslabón corto, están some tidos a cargas de compresión, por lo que actúan como columnas.
E n esta sección se determ inará la carga crítica de pandeo para una colum na articulada en sus extremos, como la de la figura 13-4«. L a columna que se exam inará es una colum na ideal, lo que quiere decir que antes de car garla es perfectamente recta, es de un m aterial homogéneo, y a la que la carga se aplica pasando por el centroide de la sección transversal. A d e más se supone que el m aterial se comporta en form a linealm ente elásti ca, y que la columna se pandea o dobla en un solo plano. E n realidad, nunca se cumplen las columnas de derechura de la columna y de la aplicación de la carga; sin embargo, el análisis que se hará de una “ columna ideal” se parece al que se usa para analizar columnas inicialm ente torcidas, o las que tienen una aplicación excéntrica de la carga. Eso s casos más realistas se describirán más adelante en este capítulo. Y a que una columna ideal es recta, en form a teórica la carga axial P se podría aum entar hasta llegar a la falla, sea por fractura o por fluencia del m aterial. Sin embargo, cuando se llega a la carga crítica P cr, la columna está a punto de volverse inestable, por lo que una pequeña fuerza lateral F , figura 13-46, hará que la columna se quede en la posición ñexionada al quitar F , figura 13.4c. Toda pequeña reducción de carga axial P respecto a P CI, perm itirá que la columna se enderece, y todo aumento pequeño de P , respecto a P a , causará un aumento en la deflexión lateral.
S e c c ió n
13.2 Columna ideal con soportes articulados
• 673
E l que una columna permanezca estable o se vuelva inestable al some terse a una carga axial dependerá de su capacidad de restitución, que se basa en su resistencia a la flexió n. A s í, para determ inar la carga crítica y la forma pandeada de la columna, aplicaremos la ecuación 12 -10 , que rela ciona el momento interno en la columna con su forma flexionada, es decir, d~v E I— 0= M ax~
(13-1)
R ccu crd csc que en esta ecuación se supone que la pendiente de la curva elástica es pequeña* y que sólo hay deflexiones por flexión. Cuando la co lumna está en su posición flexionada, figura 13-5«, el momento interno de flexión se puede determ inar con el método de las secciones. E l diagrama de cuerpo libre de un segmento en la posición flexionada se ve en la figu ra 13-5¿. A q u í, se muestran tanto la deflexión vco m o el momento inter no M en dirección positiva, de acuerdo con la convención de signos que se usó para deducir la ecuación 13-1. A l sum ar momentos, el momento in terno es M = - P v . A s í, la ecuación 13-1 se transform a en
(b )
d v E l --- r = - P v dx d 2v dx2
Fig. 13-5 +
£ _Y — Jv = 0 E l,
(13-2)
E s una ecuación diferencial homogénea lin eal de segundo orden, con coeficientes constantes. Con los métodos de las ecuaciones diferenciales, o por sustitución directa en la ecuación 13-2, se puede demostrar que la solución general es
+ C 7 cos[
(13-3)
La s dos constantes de integración se determinan con las condiciones en la frontera, en los extrem os de la colum na. Com o v = 0 cuando x = 0, entonces C? = 0. Y como v = 0 en x = L , entonces
Esta ecuación queda satisfecha si = 0 ;sin embargo entonces v = O.que es una solución trivial que establece que la columna siempre esté recta, aunque la carga haga que se vuelva inestable. L a otra posibilidad se satis face si
* S i tie n e n q u e c o n s id e r a r s e d e f le x i o n e s g r a n d e s , la e c u a c ió n d if e r e n c i a l m á s p r e c is a , e c u a c ió n 1 2 -4 . t ie n e q u e h a c e r s e
El
( d J u /d .v 2) / f l +
( d v /d y 2]i/2 = M .
674
• CAPÍTULO 13 Pandeo de columnas P=4/>
n2TT2E l P = — -T—
n = 1 ,2 ,3 , . . .
(1 3 - 4 )
E l valor m ínim o de P se obtiene cuando n = 1, por lo que entonces la carga crítica de la columna es
tt2E
I
/5cr =
P=4Pcr n (a )
A esta carga se le llam a a veces carga de E u le r, por el matem ático suizo Leo nhard E u le r, quien resolvió por prim era vez este problem a en 1757. L a form a pandeada respectiva se define con la ecuación
=2 (c )
v = C] sen
7T
X
F i g . 13 -5 ( c o n t .)
E q u ilib r io in e s t a b le n t o d e b if u r c a c ió n E q u ilib r io n e u tro
E q u ilib r io e s t a b le
Prr =
Fig. 13-6
n -E l
L2
E n este caso, la constante C\ representa la deflexión m áxim a, umáx, que es tá en el punto medio de la columna, figura 13-5«. No se pueden obtener valores específicos de C j, porque se desconoce la form a flexionada exac ta de la columna, una vez pandeada. Sin embargo, se ha supuesto que esta deflexión es pequeña. Téngase en cuenta que n representa, en la ecuación 13-4, la cantidad de ondas en la form a flexionada de la columna. Por ejemplo, si n = 2, apare cerán dos ondas, de acuerdo con las ecuaciones 13-3 y 13-4, en la forma flexionada, figura 13-5c,y la columna soportará una carga crítica 4 P cr ju s to antes de pandearse. Como este valor es cuatro veces la carga crítica, y la forma flexionada es inestable, hablando en form a práctica esta forma de pandeo no existirá. Com o el mecanismo de dos barras descrito en la sección 13.1, se pue den representar las características de carga y deflexión de la columna ideal en la gráfica de la figura 13-6. E l punto de bifurcación representa el esta do de equ ilibrio neutro, y en ese momento sobre la columna actúa la car ga crítica. A q u í, la colum na está a punto de un pandeo inm inente. Se debe hacer notar que la carga crítica es independiente de la resisten cia del m aterial; más bien depende de las dimensiones de la columna (/ y L ) y de la rigidez o el módulo de elasticidad E del m aterial. Por esta ra zón, en lo que concierne al pandeo, las columnas de, por ejemplo, acero de alta resistencia, no son mejores que las de acero de menor resistencia, porque el módulo de elasticidad de ambas es aproxim adam ente igual. Tam bién, obsérvese que la capacidad de carga de una columna aumenta cuando aumenta el momento de inercia de su sección transversal. A s í, las columnas eficientes se diseñan de modo que la m ayor parte de su área transversal esté lo más alejada posible de los ejes centroidales p rincipa les de la sección. E s la causa por la que las secciones huecas, como los tu bos, son más económicas que las secciones macizas. Adem ás, los perfiles de ala ancha, y las columnas “ conform adas” por canales, ángulos, placas, etc., son m ejores que las que son macizas y rectangulares.
S e c c ió n
13.2 Columna ideal con soportes articulados
675
También es importante darse cuenta de que una columna se pandea res pecto al eje principal del corte transversal que tenga el m enor momento de inercia (el eje más débil). Por ejemplo, una colum na de sección trans versal rectangular, como la regla de la figura 13-7, se pandeará respecto al eje a-a, y no al eje b-b. E n consecuencia, los ingenieros suelen tratar de obtener un equilibrio m anteniendo los momentos de inercia iguales en todas direcciones. Entonces, desde el punto de vista geométrico, con tu bos redondos se harían unas columnas excelentes.Tam bién los tubos cua drados o las form as que tienen I x = I y se seleccionan con frecuencia para las columnas. Como resumen de la descripción anterior, la ecuación de pandeo de una columna larga, esbelta y con extrem os articulados se puede reform ular como sigue: tt2E
I
P er =
(13-5)
a Fig. 13-7
y sus términos se definen como sigue: P CT = carga axial crítica o m áxim a sobre la colum na, justo antes de que se comience a pandear. E sta carga no debe hacer que el esfuerzo en la columna sea m ayor que el lím ite de proporcionalidad E = módulo de elasticidad del m aterial / = momento de inercia m ínim o del área transversal de la columna L = longitud no soportada de la columna, cuyos extremos están articulados Tam bién la ecuación 13-5 se puede escribir, para fines de diseño, en una form a más útil, expresando I = A r 2, donde A es el área transversal y r es el radio de g iro de esa área transversal. Entonces,
P er
=
2E ( A r 2)
7t¿E = (L / r f A J cr o sea (13-6)
E n ella, acr = esfuerzo crítico, que es el esfuerzo promedio en la columna justo antes de que se pandee. Este esfuerzo es un esfuerzo elástico y en consecuencia
Columnas interiores típicas de tubo de acero, para soportar el techo de una construcción de una sola planta.
676
• CAPÍTULO 13 Pandeo de columnas E s posible graficar la ecuación 13-6 usando ejes que representan el es fuerzo crítico en función de la relación de esbeltez. U no s ejem plos de esta gráfica, para columnas fabricadas con un acero estructural típico, y una aleación de alum inio, se ven en la figura 13-8. Nótese que las curvas son hiperbólicas, y que sólo son válidas para esfuerzos críticos menores que el punto de fluencia (lím ite de proporcionalidad), ya que el m aterial se debe com portar en form a elástica. Para el acero, el esfuerzo de fluen cia es (o y )ac = 36 klb/pulg 2 [£ ac = 29(103) klb/pulg2], y para el alum inio es ( o y ) a i = 27 klb/pulg 2 [ £ a| = 10(103) klb/pulg2]. E n consecuencia, al sus tituir
Fig. 13-8
PUNTOS IMPORTANTES • L a s columnas son miembros largos y esbeltos que están someti dos a cargas axiales. • L a carga crítica es la carga axial m áxim a que puede soportar una columna cuando está a punto de pandearse. E sta carga represen ta un caso de equilibrio neutro. • U n a columna ideal es perfectamente recta al principio, es de m a terial homogéneo, y la carga se aplica pasando por el centroide de la sección transversal. • U na columna con extremos articulados se pandeará respecto al eje principal de la sección transversal que tenga el mínimo mo mento de inercia. • L a relación de esbeltez es L/r, siendo r el radio de giro mínim o de la sección transversal. E l pandeo sucederá respecto al eje res pecto al cual esta relación tenga el valo r máximo.
S e c c ió n
13.2 Columna ideal con soportes articulados
• 677
E J E M P L O U n tubo de acero A -36 de 24 pies de longitud, con la sección transver sal que se ve en la figura 13-9, se va a usar como columna con extremos articulados. Determ ine la carga axial m áxim a admisible que puede so portar la columna sin pandearse.
i *cr
Solución 2 .7 5 p u lg
Se usa la ecuación 13-5 para obtener la carga crítica, con £ ac = 29(103) klb/pulg^, 2 4 p ie s
P
3 pulg
¡2 -77-2[29( 103) klb/pulg 2 ] ( Í 7T( 3)4 - | 7r ( 2 . 7 5 )4) pulg 4 [24 pies(2 pulg/p ie )]2 = 64.5 klb
Resp.
Esta fuerza causa un esfuerzo promedio de com presión, en la colum na, de 64.5 klb &ex
A
[tt(3 )2 - tt(2 .7 5 )2] pulg 2
Fig. 13-9
= 14.3 klb/pulg 2
Como aCI < < j Y = 36 klb/pulg2, es adecuado aplicar la ecuación de Euler.
E J E M P L O E n la figura 13-10 se ve que un p erfil W 8 X 31 de acero A-36 se usa como una colum na con extrem os articulados. D eterm in e la m áxim a carga axial que puede resistir sin que comience a pandearse y sin que haya fluencia en el acero.
Solución E n la tabla del apéndice B , se ve que el área transversal y los momen tos de inercia de la columna son A = 9.13 pulg2, I x = 110 pulg 4 e /v = 37.1 pulg4. Por inspección, el pandeo será respecto al eje y-y. ¿Por qué? Se aplica la ecuación 13-5 y se obtiene P er
=
7t¿E I
tt2[29(103) klb/pulg 2 ](37.1 pulg4)
L2
[12 pies(2 pulg/pie )]2
= 512 klb
Cuando está totalmente cargada, el esfuerzo de compresión promedio en la columna es * cr
512 klb
A
9.13 pulg 2
= 56.1 klb/pulg 2
Como este esfuerzo es m ayor que el esfuerzo de fluencia (36 klb/pulg2), la carga P se determina mediante com presión simple: 36 klb/pulg 2 = ----- —— /F & 9.13 pulg 2
P = 329 klb
Resp.
E n la práctica se introduciría un factor de seguridad en esta carga.
678
13 .3
• CAPÍTULO 13 Pandeo de columnas
C o lu m n as con d iverso s tip o s de ap o yo s E n la sección 13.2 dedujimos la carga de E u le r para una columna que tie ne sus extremos articulados, o que tiene libertad de girar en sus extremos. Sin embargo, con frecuencia las columnas se sujetan de otro modo. Por ejemplo, veamos el caso de una columna empotrada en su base y libre en su extrem o superior, figura 13-11«. L a determ inación de la carga de pan deo para esta columna se apega al mismo procedimiento que el que se usó con la columna de extremos articulados. D e acuerdo con el diagrama de cuerpo libre, en la figura 13-116, el momento interno en el tramo arb itra rio es M = P (8 — v). E n consecuencia, la ecuación diferencial de la curva de deflexión es d 2v E , - 2- P ( S d 2v
P
v)
P „
7 ? * e 1 v = T is
( 1 3 ' 7 )
A diferencia de la ecuación 13-2. esta ecuación no es homogénea, debi do al térm ino del lado derecho, distinto de cero. L a solución consiste en una solución com plem entaria y en una solución p articular: son: v = Ci s J J { j X
) + C 2 co s( y f ^ J x ) + ^
L a s constantes se determinan con las condiciones en la frontera. E n x = 0, v = 0, por lo que C 2 = - ¿ .T a m b ié n ,
E n x = 0, dv/dx = 0, entonces Q = 0. Por consiguiente, la curva de defle xión es
1 - eos , — ~x El
Com o la deflexión en el extremo superior de la columna es 5, esto es, en x = L , v = 8, se requiere que 8 eos L a solución trivial 5 = 0 indica que no hay pandeo, independientemente de la carga P. E n lugar de ello.
R / —n7r T Í ~T L a carga crítica m ínim a ocurre cuando n = 1, por lo que f« , - ^ Las columnas tubulares que se usan pa ra soportar este tanque elevado se han arriostrado en tres niveles a lo largo de su longitud, para evitar que se pandeen.
(13-9)
A l com pararla con la ecuación 13-5 se ve que una columna con su base empotrada sólo soportará la cuarta parte de la carga crítica que se puede aplicar a una columna con extremos articulados.
S e c c ió n
13.3
Columnas con diversos tipos de apoyos
•
679
Lo s demás tipos de apoyos de columnas se analizan en form a muy pa recida, y no se detallarán aquí.* E n su lugar tabularemos los resultados para los tipos más comunes de apoyos de columnas, y sólo indicaremos cómo aplicar estos resultados, planteando la ecuación de E u le r en una form a general.
Longitud efectiva. Com o se dijo antes, la fórm ula de E u le r, ecuación 13-5, fue deducida para el caso de una columna con extremos articulados, o libres de girar. E n otras palabras. L en la ecuación representa la distan cia no soportada entre los puntos con momento cero. Si la columna está soportada en otras formas, la fórm ula de E u le r se puede usar para deter m inar la carga crítica, siempre que “ L ” represente la distancia entre pun tos con momento cero. A esta distancia se le llam a lon gitud efectiva de la columna, L e. E s obvio que para una columna con extrem os articulados, L e = L , figura 13-12«. Para la columna con un extrem o fijo y uno empo trado que se analizó arriba, se encontró que la curva de deflexión fue la mitad de la de una columna con sus extrem os articulados, cuya longitud es 2L , figura 13-126. A s í, la longitud efectiva entre los puntos de momen to cero es L e = 2L . E n la figura 13-12 se ven tam bién ejemplos de otras dos columnas con distintos apoyos en los extremos. L a columna empotra da en sus extremos, figura 13-12c, tiene puntos de inflexión, o puntos con momento cero, a L / 4 de cada extremo. Por consiguiente, la longitud efec tiva se representa con la mitad interm edia de su longitud, esto es, L e = 0 .5 L . Por últim o, la colum na con un extrem o em potrado y uno articu lado. figura 13-12é?. tiene un punto de inflexión aproxim adamente a 0.7L de su extremo articulado, por lo que L e = 0 .7 L . M ás que especificar la longitud efectiva de la colum na, muchos códigos de diseño contienen fórm ulas para columnas donde se usa un coeficiente adim ensional, llam ado fa c t o r de lo n g itu d efectiva , K . Se define como sigue: Le= KL
l
= l.
r
Mu
L, = 2 L
E x t r e m o s a rtic u la d o s
L K jli (a )
E x t r e m o s e m p o tra d o y lib re
¡E M (b )
(13-10)
Tam bién en la figura 13-12 se incluyen valo res específicos de K . Con base en esta generalización, la fórm ula de E u le r se puede escribir como sigue:
r «
(13-11) =0 .7 L
U
= 0 .5
L
o bien
(13-12) E x t r e m o s a rtic u la d o
E n este caso, ( K L / r ) es la relación de esbeltez efectiva de la columna. Por ejemplo, notaremos que para la columna empotrada en su base y libre en su extremo. K = 2, y por consiguiente la ecuación 13-11 da el mismo re sultado que la ecuación 13-9. * V ea pro b lem as 13-42. 13-43 y 13-44.
E x t r e m o s e m p o tra d o s
y e m p o tra d o
I A T = 0 .5 I
I K = 0 .7 I
(c )
(d )
F ig . 13-12
680
• CAPÍTULO 13 Pandeo de columnas
E J E M P L O U n a columna de acero, de p erfil W 6 X 15, cuenta con 24 pies de longi tud, y sus extremos están empotrados como se ve en la figura 13-13«. Su capacidad de carga aumenta arriostrándola respecto al eje y-y (el débil), mediante puntales que se suponen articulados a la mitad de la altura de la columna. Determ ine la carga que puede sostener para que no se pandee ni el m aterial rebase su esfuerzo de fluencia. Suponer que E ac = 29(10’ ) klb/pulg 2 y que o Y = 60 klb/pulg2.
Solución E l comportamiento de pandeo de la columna será distinto respecto a los ejes x y y , debido al arriostram iento. L a forma pandeada en cada uno de estos casos se ve en las figuras 13-136 y 13-13c. E n la figura 13-136 se ve que la longitud efectiva para pandeo respecto al eje x-x es ( K L ) X = 0.5(24 pies) = 12 pies = 144 pulg, y en la figura 13-13c se ve que la carga de pandeo respecto al eje y-y es ( K L ) y = 0.7(24 pies/2) = 8.40 pies = 100.8 pulg. L o s momentos de inercia de una W 6 X 15 se d eterm inan en la tab la del apéndice B . Son l x = 29.1 pulg 4 e I y = 9.32 pulg4. Se aplica la ecuación 13-11, y se obtienen ,
7t2E I x
7t2[29(103) klb/pulg2]29.1 pulg 4 (144 pulg )2
{P ci) x ~ ( K L ) l tt2E
(Pcr)y
Iv
tt2[29(103) klb/pulg2]9.32 pulg 4 (100.8 pulg )2
(K L )2 y
= 401.7 klb
(1)
= 262.5 klb
(2)
Por com paración, habrá pandeo respecto al eje y-y. E l área transversal es 4.43 pulg2, y entonces el esfuerzo de com pre sión promedio en la columna será (b)
(Tcr
Pn _
262.5 klb
A
4.43 pulg 2
= 59.3 klb/pulg 2
Com o este esfuerzo es m enor que el de fluencia, habrá pandeo antes de que haya fluencia de m aterial. A s í, P CI = 263 klb
Resp.
Nota: según la ecuación 13-11, se puede ver que siem pre habrá pan deo respecto al eje de la colum na que tenga la m a yo r re la ció n de esbeltez, ya que una relación de esbeltez grande producirá una carga crítica pequeña. A sí, usando los datos de radio de giro en la tabla del apén dice B , llegamos a K L\
144 pulg 2.56 pulg
KL P a n d e o re sp e cto a l e j e y - v
100.8 pulg 1.46 pulg
= 56.2 = 69.0
(c) Fig . 13-13
Por lo anterior, habrá pandeo respecto al eje y-y, la misma conclusión que la que se llegó al com parar las ecuaciones 1 y 2 .
S e c c ió n
13.3
Columnas con diversos tipos de apoyos
E J E M P L O L a columna de alum inio está empotrada en su parte inferio r y arrios trada en su parte superior mediante cables, para evitar movimientos a lo largo del eje x , en la parte superior, figura 13-14a. Si se supone em potrada en su base, determ ine la carga m áxim a adm isible P que se puede aplicar. U sa r un factor de seguridad para pandeo F.S. = 3.0. Su poner que £ a| = 70 G P a , a Y = 215 M P a , A = 7.5(10 3) m 2, I x = 61.3(10-6)m 4, I y = 23.2(10~6) m 4.
z
Solución E l pandeo respecto a los ejes x y y se muestra en las figuras 13-146 y 13-14c, respectivam ente. Usando la figura 13-12a, el pandeo para el eje x-x, K = 2, por lo que ( K L ) X = 2(5 m ) = 10 m. Tam bién, para el pan deo respecto al eje y-y, K = 0.7, y entonces ( K L ) y = 0.7(5 m ) = 3.5 m. A l aplicar la ecuación 13-11, las cargas críticas para cada caso son
7t2E I x (¿ U v
=
ir 2[70(109) N /m 2](6 1 .3 (1 0 -6) m4) (10 m )2
(K L )2 X ~ = 424 kN tt2£
/v
7t2[70(109) N /m 2](2 3 .2 (1 0 -6) m4) (3.5 m )2
{Pct)y~ ' ( K L j j ~ = 1.31 kN
Com parando, a medida que P aumenta, la columna se pandeará res pecto al eje x-x. E n consecuencia, la carga adm isible es PC[ Padm =
424 kN =
30
, XT • = 141 kN
Resp.
Como
cr
_ 56^ M pa < 2 15 M pa
Pcr
424 kN
A
7.5(10-3) m 2
se puede aplicar la ecuación de E u le r. I
L. = 10 m
I
\
P a n d e o re sp e c to a l e je .v-.v
P a n d e o re sp e c to a l e je
(c)
y -y
(b )
Fig. 13-14
• 681
682
• CAPÍTULO 13 Pandeo de columnas
PROBLEMAS 13-1. Determine la carga crítica de pandeo para la co lumna. Se puede suponer que el material es rígido.
13-3. La pierna en (a) funciona como una columna, y se puede modelar como se muestra en la figura (b) con dos miembros articulados fijos con un resorte de torsión de ri gidez k (par/rad). Determine la carga crítica de pandeo. Suponga que el material del hueso es rígido.
i
P r o b . 1 3 -1
(b ) P r o b . 1 3 -3
13-2. La columna consiste en un miembro rígido articu lado en su extremo inferior, fijo a un resorte en su extre mo superior. Si el resorte no está deformado cuando la co lumna está en posición vertical, determine la carga crítica que puede soportar la columna.
*13-4. La varilla de un avión es de acero A-36. Determi ne el menor diámetro, redondeando al pulg, para que soporte la carga de 4 klb sin pandearse. Los extremos es tán articulados.
4 k lb
4 k lb 18 p u lg
P r o b . 13 -4
Prob. 13-2
13-5. Una barra cuadrada es de plástico PVC con módu lo de elasticidad E = 1.25(106) lb/pulg2, y su deformación unitaria de fluencia es ey = 0.001 pulg/pulg. Determine las dimensiones transversales mínimas a para que no falle por pandeo elástico. Está articulada en sus extremos, y su longitud es 50 pulg.
Pr o blem a s
13-6. Una varilla de poliurelano tiene el diagrama de es fuerzo-deformación unitaria en compresión que muestra la figura. Si la varilla está articulada en sus extremos y tiene 37 pulg de longitud, determine el diámetro mínimo para que no falle por pandeo elástico. 13-7. Una varilla de poliuretano tiene el diagrama de es fuerzo-deformación unitaria en compresión que muestra la figura. Si está articulada en su parte superior y empotrada en su base, y tiene 37 pulg de longitud, determine su diá metro mínimo para que no falle por pandeo elástico.
•
683
13-10. Resuelva el problema 13-9 si la columna está em potrada en su extremo inferior y libre en su extremo supe rior. 13-11. El ángulo de acero A-36 tiene el área transversal A = 2.48 pulg2, y su radio de giro respecto al eje x es rx = 1.26 pulg: y respecto al eje y es ry = 0.879 pulg. El radio de giro mínimo es respecto al eje z, y vale r. = 0.644 pulg. Si el ángulo se va a usar como columna articulada en ambos extremos, de 10 pies de longitud, calcule la carga axial má xima que puede aplicarse pasando por el centroide C, sin hacer que se pandee el ángulo.
<7 (k lb / p u lg 2)
.y
P r o b s . 1 -3 -6 /7 P r o b . 13 -1 1
*13-8. Una columna de acero A-36 tiene 5 m de longi tud, y está empotrada en ambos extremos. Si su corte trans versal tiene las dimensiones indicadas, determine la carga crítica.
10 m m
*13-12. Determine la fuerza máxima P que se puede apli car al mango para que la varilla de control A fí de acero A-36 no se pandee. El diámetro de la varilla es 1.25 pulg. Está articulada en sus dos extremos.
10 0 m m
3 p ie s -
P r o b . 1 3 -8
13-9. Una columna de acero A-36 tiene 15 pies de longi tud, y está articulada en ambos extremos. Si el corte trans versal tiene las dimensiones de la figura, calcule la carga crítica.
:::as
2 p ie s -
3 p ie s
- 8 p u lg — H 1 0 .5 p u lg 0 .5 p u lg -
—
T 6 p u lg i
B
0.5 pulg
Probs. 13-9/10
Prob. 13-12
684
• CAPÍTULO 13 Pandeo de columnas
13-13. Los dos canales de acero se sujetan entre sí para formar una columna de 30 pies de longitud, para un puen te. que se supone articulada en sus extremos. Cada canal tiene área transversal A = 3 .1 0 pulg2v sus momentos de inercia son Ix = 55.4 pulg4. I v = 0.382 pulg4. El centroide C de su área se localiza en la figura. Calcule la distancia d adecuada entre los centroides de los canales, para que el pandeo se presente respecto a los ejes x-x y y'-y' debido a la misma carga. ¿Cuál es el valor de esta carga crítica? No tenga en cuenta el efecto de la celosía. £ ac = 29(103) klb/pulg2, ay = 50 klb/pulg2.
13-14. Una columna se forma con cuatro ángulos de ace ro A-36. unidos como se ve en el problema 13-13. La lon gitud de la columna debe ser 25 pies, y se supone que sus extremos son articulados. Cada ángulo de los que se ven abajo tiene A = 2.75 pulg2 de área, y los momentos de iner cia son / , = Iy = 2.22 pulg4. Determine la distancia d en tre los centroides C de los ángulos, para que la columna pueda soportar una carga axial P = 350 klb sin pandear se. No tenga en cuenta el efecto de la celosía. 13-15. Una columna se forma con cuatro ángulos de ace ro A-36, unidos como se ve en el problema 13-13. La lon gitud de la columna debe ser 40 pies, y se supone que sus extremos son empotrados. Cada ángulo de los que se ven abajo tiene A = 2.75 pulg2 de área, y los momentos de iner cia son 7V= / v = 2.22 pulg4. Determine la distancia d en tre los centroides C de los ángulos, para que la columna pueda soportar una carga axial P = 350 klb sin pandear se. No tenga en cuenta el efecto de la celosía.
*13-16. La columna de perfil W12 X 87 de acero estruc tural A-36 tiene 12 pies de longitud. Si su extremo inferior está empotrado, y su extremo superior es libre, y está so metida a una carga P = 380 klb, determine el factor de se guridad con respecto al pandeo. 13-17. La columna de perfil W12 X 87 de acero estructu ral A-36 tiene 12 pies de longitud. Si su extremo inferior es tá empotrado y su extremo superior es libre, determine la máxima carga axial que puede sostener. Use un factor de seguridad con respecto al pandeo de 1.75.
Probs. 13-16/17 13-18. La columna de tubo de acero A-36, de 12 pies de longitud, tiene 3 pulg de diámetro exterior y 0.25 pulg de espesor de pared. Determine la carga crítica, si se supone que ambos extremos están articulados. 13-19. La columna de tubo de acero A-36, de 12 pies de longitud, tiene 3 pulg de diámetro exterior y 0.25 pulg de espesor de pared. Determine la carga crítica, si se supone que el extremo inferior está empotrado, y el superior está articulado.
0 .9 3 2 p u lg • 2 .0 6 8 p u lg > J —{ d 0 .9 3 2 p u lg 2 .0 6 8 p u lg i |
C
C
c
c
.X
d Ti
y
'■
J Probs. 13-14/15
Probs. 13-18/19
P ro blem a s
•
685
*13-20. El tubo de acero A-36 tiene 2 pulg de diámetro exterior, y 0.5 pulg de espesor de pared. Si se sujeta en su lugar con un cable, determine la fuerza horizontal P máxi ma que puede aplicarse sin que se pandee el tubo. Supon ga que los extremos del tubo son articulados.
*13-24. La armadura es de barras de acero A-36, cada una de las cuales es redonda de 1.5 pulg de diámetro. D e termine la fuerza máxima P que se puede aplicar sin que alguno de los miembros se pandee. Los miembros están articulados en sus extremos.
13-21. El tubo de acero A-36 tiene 2 pulg de diámetro exterior. Si se sujeta en su lugar con un cable, determine el diámetro interior requerido en el tubo, cerrando al pulg, para que pueda soportar una carga máxima P = 4 klb sin que se pandee el tubo. Suponga que los extremos del tubo son articulados.
13-25. La armadura es de barras de acero A-36. cada una de las cuales es redonda. Si la carga aplicada es P = 10 klb, determine el diámetro del miembro A B , al g pulg más cer cano, que evite que se pandee ese miembro. Los elemen tos están articulados en sus extremos.
P r o b s . 1 3 -2 4 /2 5
P r o b s . 1 3 -2 0 / 2 1
13-22. Se supone que los miembros de la armadura están articulados. El miembro BD es una varilla de acero A-36. de 2 pulg de radio. Determine la carga máxima P que puede resistir la armadura sin hacer que se pandee el miembro.
13-26. Las varillas de control de una máquina son dos varillas de acero L2, B E y FG, cada una de las cuales tie ne 1 pulg de diámetro. Si un dispositivo en G hace que el extremo G se agarre y se comporte como articulado, deter mine la fuerza horizontal máxima P que se puede aplicar a la manija, sin hacer que se pandee alguna de las dos ba rras. Los miembros están articulados en A, B, D, E y F.
13-23. Resuelva el problema 13-22, para el caso del miembro A B . de 2 pulg de radio.
B
D
20 pulg
P ro b s. 13-22/23
P ro b . 13-26
686
• CAPÍTULO 13 Pandeo de columnas
13-27. El varillaje se hace con dos varillas redondas de acero A-36. Determine el diámetro de cara varilla, cerran1 do al g pulg, que soporte una carga P = 6 klb. Suponga que las varillas están articuladas en sus extremos. Use un factor de seguridad de 1.8 con respecto al pandeo. *13-28. El varillaje se hace con dos varillas redondas de acero A-36. Si el diámetro de cada una es j pulg, calcule la carga máxima que pueden sostener sin que se pandee al guna de las varillas. Suponga que las varillas están articu ladas en sus extremos.
13-31. La viga soporta la carga P = 6 klb. En consecuen cia el miembro BC de acero A-36 está sometido a una car ga de compresión. Debido a los extremos en horquilla de ese miembro, suponga que los soportes en B y C funcionan como articulaciones para el pandeo respecto al eje x-x, y co mo empotramientos para el pandeo respecto al eje y-y. Determine el factor de seguridad con respecto al pandeo en cada uno de esos ejes. *13-32. Determine la carga máxima P que soportará el marco sin que el miembro BC de acero A-36 se pandee. Debido a los extremos de horquilla del miembro, suponga que los soportes B y C funcionan como articulaciones para el pandeo respecto al eje x-x, y como empotramientos para el pandeo respecto al eje y-y.
12 p ie s
P r o b s . 1 3 -2 7 /2 8
13-29. El marco soporta la carga P = 4 kN. En conse cuencia, el elemento B C , de acero A-36, está sometido a una carga de compresión. A causa de sus extremos en hor quilla, considere que los soportes en B y C actúan como pa sadores para pandeo respecto al eje .v-.t, y como soportes empotrados para el pandeo respecto al eje y-y. Determine el factor de seguridad con respecto al pandeo en cada uno de esos ejes. 13-30. Determine la carga máxima P que soportará el marco, sin que el miembro BC, de acero A-36, se pandee. Debido a los extremos de horquilla del miembro, suponga que los soportes e n f i y C funcionan como articulaciones para el pandeo respecto al eje x-x, y como empotramien tos para el pandeo respecto al eje y-y.
P r o b s . 1 3 -3 1 /3 2
13-33. La barra de acero A B del marco está articulada en sus extremos. Si P = 18 kN, determine el factor de se guridad por pandeo respecto al eje y-y, debido a la carga aplicada. £ ac = 200 GPa. oy = 360 MPa. 13-34. Determine la carga máxima P que puede soportar el marco sin que se pandee el miembro A B . Suponga que A B es de acero, y que está articulado en sus extremos, pa ra pandeo respecto al eje y-y, y que está empotrado en sus extremos para pandeo respecto al eje x-x. Eac = 200 GPa,
f 50 mm 50 mm
P ro b s. 13-29/30
Probs. 13-33/34
30 mm
P ro blem a s
13-35. La barra A B , de acero A-36, tiene sección trans versal cuadrada. Si está articulada en sus extremos, deter mine la carga máxima admisible P que se puede aplicar al marco. Use un factor de seguridad 2, con respecto al pandeo.
•
687
13-38. Determine si el marco puede soportar una carga w = 6 kN/m si se supone que 3 es el factor de seguridad por pandeo del miembro A B . Suponga que A B es de ace ro, y que está articulado en sus extremos para pandeo respecto al eje y empotrado en sus extremos para pan deo respecto al eje y-y. £ ac = 200 GPa, ay = 360 MPa.
C
B
■ ------------ 1.5 m -----------0 .5 m
2m 30 mm B
1.5 p u lg
-I k 7 1.5 p u lg
P r o b . 1 3 -35 P r o b s . 13 -3 7 /3 8
*13-36. La barra de acero A B tiene corte transversal rec tangular. Si está articulada en sus extremos, determine la máxima intensidad w admisible, de la carga distribuida que se puede aplicar a BC sin hacer que la barra A B se pandee. Use un factor de seguridad por pandeo de 1.5; Eac = 200 GPa. oy = 360 MPa.
13-39. La plataforma está sostenida con las dos columnas cuadradas de 40 mm por lado. La columna A B está articulada en A y empotrada en B, mientras que CD está articulada en C y D. Si a la plataforma se le impiden los movimientos laterales, determine el peso máximo de la carga que se le puede aplicar sin que la plataforma colapse. El centro de gravedad de la carga está en d = 2 m. Ambas columnas son de abeto Douglas *13-40. La plataforma está sostenida con las dos columnas cuadradas de 40 mm por lado. La columna A B está articulada en A y empotrada en B, mientras que CD está articulada en C y D. Si a la plataforma se le impiden los movimientos laterales, determine el peso máximo de la carga que se le puede aplicar sin que la plataforma colapse. El centro de gravedad de la carga, está en d = 2 m. Ambas columnas son de abeto Douglas.
P r o b . 1 3 -36
13-37. Determine la intensidad máxima admisible w de la carga distribuida que se puede aplicar al miembro BC sin causar el pandeo del miembro A B. Suponga que A B es de acero, y que está articulado en sus extremos para el pan deo respecto al eje x-x, y que está empotrado en sus ex tremos para el pandeo respecto al eje y-y. Use un factor de seguridad 3 respecto al pandeo. £ ac = 200 GPa, ay = 360 MPa.
Probs. 13-39/40
688
• CAPÍTULO 13 Pandeo de columnas
13-41. La viga está soportada por las tres varillas de sus pensión articuladas, cada una de las cuales tiene 0.5 pulg de diámetro, y es de acero A-36. Determine la carga máxima uniforme w que se puede aplicar a la viga, sin hacer que A B ni CB se pandeen.
13-45. La columna está soportada en B por un dispositi vo que no permite la rotación, pero sí permite la flexión vertical. Determine la carga crítica P„. E l es constante.
P r o b . 13 -4 5
P r o b . 1 3 -4 1
13-42. La varilla es redonda, de acero, de 1 pulg de diá metro. Calcule la carga crítica de pandeo, si los extremos están soportados con rodillos. Eac = 29(103) klb/pulg2, oy = 50 klb/pulg2.
13-46. La columna ideal está sometida a la fuerza F en su punto medio, y a la carga axial P. Determine el momento máximo en la columna, en su parte media. E l es constan te. Sugerencia: plantee la ecuación diferencial de la defle xión, ecuación 13-1. La solución general es v = A sen kx + B eos k x — c2x /k 2, siendo c = F flE I , k 2 = P /E l.
J 5 - 2 0 p u lg
P r o b . 13 -4 2 P r o b . 1 3 -4 6
13-43. Para una columna ideal,como la de la figura 13-12c, con ambos extremos empotrados, demuestre que la carga crítica de la columna es Pcr = 4k 2E I/L 2. Sugerencia: debi do a la deflexión vertical de la parte superior de la co lumna, se desarrollará un momento constante M' en los soportes. Demuestre que d 2v/dx2 + (P /E I)v = M '/E l. La solución tiene la forma u = Cj sen( S /P /E l x) + C2 cos( V P / E l x ) + M '/P . *13-44. Imagine una columna ideal como la de la figura 13-12d, que tiene un extremo empotrado y el otro articu lado. Demuestre que la carga crítica en la columna es P„ = 20.19 E l/l? . Sugerencia: debido a la deflexión ver tical de la parte superior de la columna, se desarrollará un momento constante M' en el extremo fijo, y se desarrolla rán reacciones horizontales R' en ambos extremos. D e muestre que d2v /d x 2 + (P /E I)v = ( R '/E I)(L — x). La solución tiene la forma v = C¡ sen( ^ /P /E I x ) + C2 cos( V P /E I x ) + (R '/P )(L —x). Después de aplicar las con diciones en la frontera, demuestre que ta n (V P /E l L ) = V F J e Í L. Determine, por tanteos, la mínima raíz de la ecuación.
13-47. La columna ideal tiene un peso w (fuerza/longitud) y descansa en la posición horizontal, cuando se some te a la carga axial P. Determine el momento máximo en la columna, en su punto medio. E l es constante. Sugerencia: plantee la ecuación diferencial de la deflexión, ecuación 13-1, con el origen en el punto medio. La solución general es v = A sen k x + B eos kx + (w kP )x2 — (w L /2P )x — (w E l/P 2), siendo k 1 = P /E l.
VV
Prob. 13-47
13-4
* 13 .4
La fórmula de la secante
• 689
La fó rm u la de la secante
L a fórm ula de E u le r fue deducida suponiendo que la carga P siempre se aplica pasando por el centroide del área transversal de la columna, y que la columna es perfectam ente recta. E n realidad esto no es realista, ya que las columnas fabricadas nunca son perfectamente rectas, ni la aplicación de la carga se conoce con gran exactitud. Entonces, en realidad las columnas nunca se pandean de repente: más bien com ienzan a doblarse, aunque siempre en forma muy insignificante, inmediatamente después de aplicar la carga. E l resultado es que el criterio real para aplicación de la carga se lim ita ya sea a una deflexión especificada de la colum na, o no perm itien do que el esfuerzo m áxim o en la columna rebase un valo r admisible. Para estudiar este efecto aplicaremos la carga P a la columna, a una cor ta distancia excéntrica e del centroide de la sección tran sversal, figura 13-15a. Esta carga en la columna es equivalente, estáticamente, a la carga axial P y a un momento de flexión M ' = Pe, que se ve en la figura 13-156. Como se ve, en ambos casos los extremos A y B están soportados de mo do que son libres de girar (están articulados). Como antes, sólo se conside rarán pendientes y deflexiones pequeñas, y que el com portam iento del m aterial es elástico lineal. Adem ás, que el plano x - v e s plano de simetría para el área transversal. D e acuerdo con el diagrama de cuerpo lib re de la sección arb itraria, fi gura 13-15c, el momento interno en la columna es
M = -P(e + v)
(13-13)
E n consecuencia, la ecuación diferencial de la curva de deflexión es
Se puede considerar que estas colum nas de madera están articuladas en su base y empotradas en las vigas en sus extremos superiores. La flexión de las vigas hará que las columnas estén car gadas excéntricamente.
690
• CAPÍTULO 13 Pandeo de columnas o sea d v
P
dx2 + U
El
V ~
Esta ecuación se parece a la ecuación 13-7, y su solución general consiste en las soluciones com plem entaria y particular, es decir, rp ¡ p v = C\ s enA ,v + C? cos A -x VEl V El
(13-14)
Para evaluar las constantes debemos aplicar las condiciones en la fro n tera. E n x = 0, v = 0, por lo que C 2 = e, y en x = L , v = 0, con lo que se obtiene e [ l - eos [ V
p
/e
i l
)}
C, = se n (V P /£ / L ) Y a que 1 - co s ( V P / £ 7 L ) = 2 sen2( V P / £ 7 L / 2 ) , y s e n ( V P / £ 7 L ) = 2 sen( V P / E I L / 2 ) eos( V P / E I L / 2 ), se obtiene
c<-eanU % i Por consiguiente, la curva de deflexión, ecuación 13-14, se puede escribir como sigue: - 1
v = e tan
(13-15)
Deflexión máxima. D ebido a la sim etría de la carga, en el punto m e dio de la columna habrán la deflexión m áxim a y el esfuerzo máximo. E n consecuencia, cuando .v = L / 2 , v = vmía, y entonces sec
(Z L El 2
1
(13-16)
Observe que si e tiende a cero, entonces vmáx tiende a cero. Sin embargo, si los términos entre corchetes tienden a infinito cuando e tiende a cero, entonces i^áx no tendrá valo r cero. M atemáticam ente esto representaría el com portam iento de una colum na cargada en form a a x ia l, en la falla cuando se somete a la carga crítica P „ . A s í, para calcular P cr, se requiere que sec
El 2
= oo
7r El 2
2 7t2E I
F cr =
(13-17)
que es el mismo resultado determinado con la fórm ula de E u le r, ecuación 13-5. Si se grafica la ecuación 13-16 en la form a de carga P en función de la deflexión umáx para diversos valores de la excentricidad e, se obtiene la fam ilia de curvas de la figura 13-16. E n este caso la carga crítica es una asíntota a ellas, y naturalm ente representa el caso no realista de una co-
lum na ideal ( e = 0). Com o se dijo antes, e nunca es cero debido a im per fecciones en la form a inicial de la colum na, la cual se supone no comple tam ente recta y a la ap licació n de la carga; sin em bargo, cuando e -> 0, las curvas tienden al caso ideal. Adem ás, esas curvas sólo son ade cuadas para pequeñas deflexiones , ya que la curvatura se aproxim ó con d2v/dx2 cuando se dedujo la ecuación 13-16. Si se hubiera hecho un aná lisis más exacto, todas esas curvas tenderían a voltearse hacia arriba, cor tando la recta P = Pa , y subiendo más arrib a de ella. E sto , naturalm ente, indica que se necesita una carga m ayor P para crear deflexiones mayores en las columnas. Sin embargo no hemos descrito este análisis aquí, ya con más frecuencia, el diseño de ingeniería restringe las deflexiones de las co lumnas a tener valores pequeños. También se debe hacer notar que las curvas grises de la figura 13-16 sólo se aplican para el com portam iento elástico lineal del m aterial. E s el caso si la columna es larga y esbelta. Sin embargo, si se exam ina una columna corta o ce longitud interm edia, entonces al aumentar la carga aplicada, ter m inará por causar la fluencia del m aterial y la columna com enzará a com portarse en forma inelástica. E llo sucede en el punto A de la curva negra de la figura 13-16. A l aum entar más la carga, la curva nunca llega a la carga crítica, y en su lugar llega a un valor m áxim o en B. Después, se pre senta una dism inución repentina en la capacidad de carga, cuando la co lum na se continúa flexionando con mayores cargas. Por último, las curvas grises de la figura 13-16 también muestran que se presenta una relación no lineal entre la carga P y la deflexión v. E n con secuencia, no se puede usar el principio de superposición para determinar la deflexión total de una columna causada por la aplicación de cargas su cesivas. E n vez de ello, prim ero se deben sum ar las cargas, y después se puede determ inar la deflexión correspondiente debida a su resultante. Desde la perspectiva física, la razón de que no se puedan superponer las cargas y las deflexiones sucesivas es que el momento interno de la colum na depende tanto de la carga P como de la deflexión v; esto es, M = —P (e + u), ecuación 13-13. E n otras palabras, toda deflexión causada por una carga componente hace aum entar el momento. E ste comportamiento es distinto de las flexiones de vigas, donde la deflexión real causada por la carga no hace aum entar el momento interno.
692
♦ CAPÍTULO 13 Pandeo de columnas
La fórm ula de la secante. E l esfuerzo m áxim o en la columna se pue de determ inar al tener en cuenta que se debe tanto a la carga axial como al momento, figura 13-17«. E l momento m áxim o está en el punto medio de la colum na, y de acuerdo con las ecuaciones 13-13 y 13-16, su magni tud es M = \P{e + v máx)| M
M =Fesec(vSi
13-18
Como se ve en la figura 13-17¿>, el esfuerzo m áxim o en la columna es de com presión, y su valo r es
P ^máx — ^
Me
Pee
j >
-sec
Como el radio de giro se define como r 2 = 1/A , la ecuación anterior se puede escribir en una form a llamada fórmula de la secante:
'P
^máx
13-19
(a) E n ella, crmáx = esfuerzo elástico máximo en la colum na, que se presenta en el lado interno cóncavo, en el punto medio de la columna. E ste esfuerzo es de compresión
P = carga vertical aplicada a la columna. P < P cr, a menos que e = 0; en ese caso, P = Pcr (ecuación 13-5) e = excentricidad de la carga P , medida desde el eje neutro del área transversal de la columna hasta la línea de acción de P c = distancia del eje neutro a la fibra externa de la colum na, don de se desarrolla el esfuerzo m áxim o de com presión, crmáx Esfuerzo axial
A = área transversal de la columna L = longitud no arriostrada de la columna en el plano de flexión. P ara soportes distintos de las articulaciones, se deberá usar la longitud efectiva L e. Vea la figura 13-12
E = módulo de elasticidad del m aterial r - radio de giro, r = v7/<4, donde / se calcula respecto al eje E sfu e rz o
neutro, o de flexión
d e fle x ió n
^máx E sfu e rz o r e s u lt a n t e (b )
Fig. 13-17
A l igual que la ecuación 13-16. la 13-19 indica que hay una relación no lineal entre la carga y el esfuerzo. Por consiguiente no se aplica el p rinci pio de superposición y en consecuencia se deben sum ar las cargas antes de determ inar el esfuerzo. Adem ás, debido a esta relación no lineal, todo factor de seguridad que se use para fines de diseño, se aplica a la carga, y no al esfuerzo. Para determinado valo r de
13-4
que cuando e —> 0, o cuando ec/r 2 —> 0, con la ecuación 13-19 se obtiene crmáx = P / A , siendo P la carga crítica de la columna, definida con la fórm u la de E u le r. Esto da como resultado la ecuación 13-6, que se ha graficado en la figura 13-8, y repetido en la figura 13-18. Como las ecuaciones 13-6 y 13-19 sólo son válidas para cargas elásticas, los esfuerzos de la figura 1318 no pueden ser mayores que o y = 36 klb/pulg2. que en la figura se in dica con la línea horizontal. L a s curvas de la figura 13-18 indican que las diferencias en la relación de excentricidad tienen un efecto marcado sobre la capacidad de carga de columnas con pequeñas relaciones de esbeltez. Por otra parte, las que tie nen grandes relaciones de esbeltez tienden a fa lla r en la carga crítica de E u le r, o cerca de ella, independientemente de la relación de esbeltez. A l usar la ecuación 13-19 para diseño es im portante, en consecuencia, tener un valor algo exacto de la relación de excentricidad para las columnas de m enor longitud.
Diseño. U n a vez determ inada la relación de excentricidad, se pueden sustituir los datos de la columna en la ecuación 13-19. Si se elige un valor crmáx = o y ,la carga P Y correspondiente se determ ina con un procedimien to por tanteos, ya que la ecuación es trascendente y no se puede despejar P Y en forma explícita. Com o ayuda de diseño se pueden usar programas de cómputo o gráficas, como la de la figura 13-18, para determ inar P Y en form a directa. Téngase en cuenta que P Y es la carga que hará que la columna desarro lle un esfuerzo m áxim o de compresión crY en sus fibras internas. Debido a la aplicación excéntrica de P Y, esta carga siempre será menor que la car ga crítica P cr, determinada con la fórm ula de E u le r, que supone, en forma no realista, que la columna tiene carga axial. U n a vez obtenida P Y,se pue de aplicar entonces un factor de seguridad adecuado para especificar la carga segura de la columna.
PUNTOS IMPORTANTES • Debido a im perfecciones en la fabricación o en la aplicación de la carga, una columna nunca se pandea repentinam ente; en vez de ello comienza a flexionarse. • L a carga aplicada a una columna se relaciona con su deflexión en forma no lineal, por lo que no se aplica el principio de la super posición. • A medida que aumenta la relación de esbeltez, las columnas con carga excéntrica tienden a fa lla r en la carga de E u le r de pandeo, o cerca de ella.
La fórmula de la secante
693
■j- ( k lb / p u lg 2)
F ó r m u la d e E u l e r , e c u a c ió n 13-6
KL 50
100
¡5 0
20CT
r
A c e ro e stru ctu ra l A - 3 6
E„c= 29
(1 0 3) k lb / p u lg 2,
Fig. 13-18
(7y-
36 k lb / p u lg 2
694
• CAPÍTULO 13 Pandeo de columnas
E J E M P L O
13.5 L a colum na de acero de la figura 13-19 se supone articulada en sus ex tremos superior e inferior. Determ ine la carga excéntrica admisible P que puede aplicarse. Tam bién, ¿cuál es la deflexión m áxim a de la co lum na, debido a esa carga? Debido a arriostram ientos, suponer que no hay pandeo respecto al eje y . Suponer que E ac = 29(103) klb /p ulg 2, o y = 36 klb/pulg2.
z
F ig . 13 -1 9
Solución Se calculan las propiedades geométricas necesarias, como sigue:
Ix = ¿ ( 2 pulg )(6 pulg )3 = 36 pulg 4 A = (2 pulg )(6 pulg) = 12 pulg 2 rx = e = 1 pulg K L = 1(15 pies) (12 pulg/pie) = 180 pulg KL = rx
18° P U'8 . 1 0 4
1.732 pulg
2.2 Deformación unitaria
S e c c ió n
Como las curvas de la figura 13-186 corresponden a £ ac = 29(103) klb/pulg2, y cry = 36 klb/pulg2, se pueden usar para determ inar el valo r de P / A , evitando así resolver la fórmula de la secante por tanteos. E n este problema K L / r x = 104. Si se usa la curva definida por la relación de excentricidad = 1 pulg(3 pulg)/(1.732 pulg )2 = 1, se llega a
ec/r
-^(klb/pulg2) /
40 36
\ \ 7§ = ° i \
3Q
F ó r m u la d e E u l e r , e c u a c ió n 13-6
0 .5
20 P
.
1 .0 1.5------\
12 klb/pulg 2
A
• 695
Resp. 0
P = (12 klb/pulg2)(1 2 pulg ) = 144 klb
KL
..
50
10 0
150
200
A c c ro e stru ctu ra l A - 3 6 ^ ((.= 2 9 (1 0 3) k lb / p u lg 2.
Este valo r se puede comprobar, demostrando que satisface la fórm u la de la secante, ecuación 13-19:
t+ 36 l
ec
144 klb
12 pulg 2
Yr\¡EÁ 1 + ( 1 ) see
144 klb
180 pulg
2(1.732 pulg) V 29(103) klb/pulg2(12 pulg-)
36 1 12[1 + see (1.0570 rad)] 36 ¿
12(1 + sec 60.56°)
36 ~ 36.4
L a deflexión m áxim a se presenta en el centro de la columna, donde (rmáx = 36 klb/pulg2. Se aplica la ecuación 13-16 como sigue:
sec
= 1 pulg sec
144 klb
180 pulg -
1
29(10 ) k lb /pulg2 (36 pulg4
= 1 pulg[sec 1.057 rad - 1] = 1 pulg[sec 60.56° - 1]
= 1.03 pulg
Resp.
F ig . 13 -1 8
a Y= 36
k lb / p u lg 2
696
• CAPÍTULO 13 Pandeo de columnas
E J E M P L O L a columna W 8 X 40, de acero A -36 que se ve en la figura 13-20«, es tá empotrada en su base y arriostrada en su extrem o superior, por lo que no puede desplazarse, pero puede girar respecto al eje y-y. Tam bién se puede inclinar hacia un lado en el plano y-z. D eterm inar la carga excéntrica m áxim a que puede soportar la columna sin que comience a pandearse o que haya fluencia en el acero.
Solución D e acuerdo con las condiciones en los extremos, se puede ver que la columna se comporta como si estuviera articulada en su extrem o su p erior y empotrada en su extrem o inferior, en lo que concierne al eje y-y, y sometida a la carga axial P, figura 13-206. Respecto al eje x-x, es tá lib re en su extremo superior y empotrada en su extrem o inferior, y sometida a una carga axial P y a un momento M = P ( 9 pulg), figura 13-20c.
p
Pandeo respecto a l eje y-y. D e acuerdo con la figura 13-12«:/, el factor de longitud e fe ctiva es K y = 0.7, así que ( K L ) y = 0 .7 (1 2 ) pies = 8.40 pies = 100.8 pulg. D e nuevo, se usa la tabla del apéndice B para determ inar I y para la sección W 8 X 40 y al aplicar la ecuación 13-11 tenemos tr2E I y ( “ c r)v
y
=
--------
77 =
(K L )2
7T2[29(103) klb/pulg 2](49.1 pulg4) -------------------------------------------------- ; ----------------- i -
(100.8 p u lg )2
_ , „ = 1383 klb
F lu e n cia en e l eje x-x. D e la figura 13-126, K x = 2, por lo que ( K L ) X = 2(12) pies = 24 pies = 288 pulg. D e nuevo, se usa la tabla del apéndi ce R para ver que A = 11.7 pulg2, c = 8.25 pulg/2 = 4.125 pulg y rx = 3.53 pulg. A l aplicar la fórm ula de la secante se obtiene
Í7y =
Px
ec
( ( K L ) X I Px
r 2
\
1 + —rs e c
— ----- , / —— 2rx v EA
p o sea
421.2 = Px[\ + 2.979 sec (0.0700 V p x)} D e aquí se calcula Px por tanteos, teniendo en cuenta que el argumen to de la función trigonom étrica sec debe estar en radianes; entonces,
Px = 88.4 klb
Fig. 13-2«
Resp.
Com o este valo r es menor que ( P C!)y = 1383 klb, se presentará la falla respecto al eje x-x. Tam bién, cr = 88.4 klb/11.7 pulg 2 = 7.56 klb/pulg 2 < o y = 36 klb/pulg2.
S e c c ió n
* 13 .5
13.5
Pandeo ¡nelástico
• 697
Pandeo in elástico
E n la práctica de la ingeniería, en general se clasifican las columnas de acuerdo con las clases de esfuerzos que se desarrollan dentro de ellas en el momento en que fallan. L a s co lu m n a s largas y esbeltas se volverán ines tables cuando el esfuerzo de compresión permanezca elástico. L a falla que se presenta se llam a in e sta b ilid a d elá stica . L a s c o lu m n a s in te rm e d ia s fallan por inestabilidad inelástica, que quiere decir que el esfuerzo de com presión en el momento de la falla es m ayor que el lím ite de proporciona lidad del m aterial. Y las co lu m n a s cortas, que a veces se llam an postes, no se vuelven inestables; más bien el m aterial sólo fluye o se fractura. Para aplicar la ecuación de E u le r se requiere que el esfuerzo en la co lum na permanezca m e n o r que el punto de fluencia del m aterial (en rea lidad, que el lím ite de proporcionalidad) cuando la colum na se pandee, por lo que esta ecuación sólo se aplica a columnas largas. Sin embargo, en la práctica se selecciona la m ayor parte de las columnas para que tengan longitudes interm edias. E l com portam iento de esas colum nas se puede estudiar modificando la ecuación de E u le r para que se pueda aplicar al pandeo inelástico. Para indicar cómo se puede hacer eso, imagine que el m aterial tiene un diagrama de esfuerzo-deformación unitaria como el que muestra la figura 13-21«. E n ella, el lím ite de proporcionalidad es ap¡, y el módulo de elasticidad, o pendiente de la línea A B . es E. E n la figura 13-216 se ve una gráfica de la hipérbola de E u le r, figura 13-8. Esta ecua, .. , , _ cion es valid a para una colum na con relación de esbeltez tan pequeña como i K L / r ) pl, ya que en este punto el esfuerzo axial en la columna se vuelve (Tcr = ap¡. Si la columna tiene una relación de esbeltez m e n o r que ( K L /r)p¡, el es fuerzo crítico en la columna debe ser m ayor que a Y■Por ejemplo, supon ga que una columna tiene una relación de esbeltez ( K L /r )^ < ( K L /r ) p¡, y que el esfuerzo crítico correspondiente es crD > a p, necesario para causar inestabilidad. Cuando la columna está a p u n to d e p a n d ea rse, el cambio de deformación unitaria que sucede en la columna está dentro de una d is tancia p eq u eñ a Ae, por lo que el módulo de elasticidad o la rigidez del m a terial se pueden suponer iguales al m ódulo tangente E„ que se define co mo la pendiente del diagrama o - e en el punto D , figura 13-21«. E n otras palabras, en el momento de la falla, la colum na se comporta como si fue ra de un material de m enor rigidez que cuando se comporta en forma elásti ca, E, < E. a
(a)
Fig. 13-21
E1 brazo de la grúa falló por el pandeo queje causó una sobrecarga. Observe la región de aplastamiento localizado,
698
• CAPÍTULO 13 Pandeo de columnas Por consiguiente, en general a medida que dism inuye la relación de esbel tez, aumenta el esfuerzo crítico para una columna; y de acuerdo con el dia grama a - e, disminuye el módulo tangente para el m aterial. D e acuerdo con esta idea se puede m odificar la ecuación de E u le r para que incluya estos casos de pandeo inelástico, sustituyendo el módulo tangente E, del m aterial por E , de modo que
7T2E, '
(K L /r)2
( 13-20 )
É sta es la llam ada ecuación del módulo tangente, o ecuación de Engesser, propuesta por E Engesser en 1889. U n a gráfica de esta ecuación para co lumnas de longitud interm edia y cortas, para un m aterial definido por el diagrama a — e de la figura 13-21a se ve en la figura 13-216. Se puede considerar que ninguna columna real sea perfectamente rec ta o que esté cargada a lo largo de su eje centroidal, como aquí se supu so, y en consecuencia es realmente m uy difícil deducir una ecuación que resulte de un análisis com pleto de este fenómeno. Se debe hacer notar también que hay otros métodos para describir el pandeo inelástico de co lumnas. U no de ellos fue desarrollado por F. R . Shanley, ingeniero aero náutico, y se llama teoría de Shanley del pandeo inelástico. Aunque da una m ejor descripción del fenómeno que la teoría del módulo tangente que se ha explicado aquí, con pruebas experim entales con una gran cantidad de columnas, cada una de las cuales se aproxim a a la colum na ideal, se ha demostrado que la ecuación 13-20 es razonablemente exacta para prede cir el esfuerzo crítico de la columna. Adem ás, el método del módulo tan gente, para m odelar el com portam iento inelástico de las colum nas, es relativam ente fácil de aplicar.
In e lá s t ic o C o lu m n a s c o rta s
E lá s t ic o C o lu m n a s la rg a s
e in te rm e d ia s
(b )
F ig . 13-21 (co n t.)
S e c c ió n
beldia:rdo uya del
20)
13.5
Pandeo ¡nelástico
E J E M P L O U n a va rilla maciza tiene 30 mm de diám etro y 60 mm de longitud. E s de un m aterial que se puede modelar con el diagrama esfuerzo-defor mación unitaria de la figura 13-22. S i se usan como una columna articu lada en sus extremos, calcular la carga crítica.
(r(M P a )
Solución E l radio de giro es (V 4 )(1 5 )4
ser, co•r el
r
A
tt(1 5 )2
= 7.5 mm 0.001 0.002
y por consiguiente, la relación de esbeltez es Fig. 13-22
ree du que Dtar co;rouna que dad ; ha :de:ani- es
KL
1(600 mm
r
7.5 mm
= 80
A l aplicar la ecuación 13-20 se obtiene
7t2E , & c.r
tt2E ,
(.K L / r ) 2
(8 0 )2
= 1.542(10“ 3) £ ,
(1)
Primero se supondrá que el esfuerzo crítico es elástico. D e la figura 13-22, „ 150 M Pa £ = ■„ = 150 G P a
0.001
A s í, la ecuación 1 se transform a en crcr = 1.542(10"3)[150(103)] M Pa = 231.3 M Pa Como crcr > ap¡ = 150 M P a , hay pandeo inelástico. D e acuerdo con el segundo segmento de recta en el diagrama a — e de la figura 13-22, Aa
270 M Pa - 150 M Pa
= 17 =
0.002 - 0.00 !--------1 2 0 G P i
Se aplica la ecuación 1 como sigue: a cr = 1.542(10“ 3)[120(103)] M Pa = 185.1 M Pa Como este valo r cae dentro de los lím ites de 150 M Pa y 270 M Pa, es en realidad el esfuerzo crítico. L a carga crítica sobre la va rilla es entonces
Per = CcrA = 185.1 M Pa[ir(0.015 m )¿] = 131 kN
Resp.
• 699
700
• CAPÍTULO 13 Pandeo de columnas
PROBLEMAS *13-48. Determine la carga P necesaria para que la co lumna W8 X 15 de acero A-36 falle, ya sea por pandeo o por fluencia. La columna está empotrada en su base y li bre en su extremo superior.
13-51. La columna de madera tiene una sección trans versal cuadrada, de 100 x 100 mm. Está empotrada en su base y libre en su parte superior. Determine la carga P que se puede aplicar a la orilla de la columna, sin que ésta fa lle, ni por pandeo ni por fluencia. £ mad = 12 GPa, oy = 55 MPa.
I p u lg
8 p ie s
P r o b . 13 -5 1 P r o b . 1 3 -4 8
13-49. La columna W10 X 12 de acero estructural A-36 se usa para soportar una carga de 4 klb. Si la columna está empotrada en su base y libre en su extremo superior, determine la deflexión máxima en el extremo superior de bido a la carga. 13-50. La columna W10 X 12 de acero estructural A-36 se usa para soportar una carga de 4 klb. Si la columna es tá empotrada en su base y libre en su extremo superior, determine el esfuerzo máximo en ella, debido a la carga.
*13-52. El miembro estructural W14 X 26 de acero A-36 se usa como pie derecho (columna) de 20 pies de longitud que se supone empotrado en su extremo superior y tam bién empotrado en su extremo inferior. Si se aplica la carga de 15 klb a una distancia excéntrica de 10 pulg, determine el esfuerzo máximo en la columna. 13-53. El miembro estructural W14 X 36 de acero A-36 se usa como pie derecho (columna) que se supone empo trado en su extremo superior y articulado en su extremo inferior. Si se aplica la carga de 15 klb a una distancia excéntrica de 10 pulg, determine el esfuerzo máximo en la columna.
4 k lb
9 pu|g - p J
15 pies
Probs. 13-49/50
Probs. 13-52/53
P ro b le m a s
13-54. La columna W10 X 30 de acero estructural A-36 está articulada en sus extremos superior e inferior. Si está sometida a la carga excéntrica de 85 klb, determine el fac tor de seguridad con respecto a la fluencia. 13-55. La columna W10 X 30 de acero estructural A-36 está empotrada en su extremo inferior y libre en su extremo superior. Si se somete a la carga excéntrica de 85 klb, de. termine si la columna falla por fluencia. Está arriostrada para que no se pandee respecto al eje y-y.
•
701
13-58. Resuelva el problema 13-57, si la columna está empotrada en su base y libre en su extremo superior. 13-59. La columna de madera está empotrada en su ba se, y se puede suponer que está articulada en su extremo superior. Determine la carga excéntrica P máxima que se le puede aplicar sin que se pandee ni tenga fluencia. Emad = 1.8(103) klb/pulg2, <7y = 8 klb/pulg2. *13-60. La columna de madera que está empotrada en su base, y se puede suponer que empotrada en su extremo superior. Determine la carga excéntrica P máxima que se le puede aplicar sin que se pandee ni tenga fluencia. £ mad = 1.8(103) klb/pulg2, oy = 8 klb/pulg2.
P
x P
y
10 p ie s
i 8 5 k lb
P r o b s . 13 -5 4 /5 5
*13-56. Una columna W12 X 26 de acero estructural A36 está empotrada en sus extremos, y su longitud es L = 23 pies. Determine la carga excéntrica máxima P que se le puede aplicar para que no se pandee ni tenga fluencia. Compare este valor con una carga axial crítica /^aplicada pasando por su centroide. 13-57. Una columna W14 X 30 de acero estructural A-36 está empotrada en sus extremos, y su longitud es L = 20 pies. Determine la carga excéntrica máxima P que se le puede aplicar para que no se pandee ni tenga fluencia. Compare este valor con el de una carga axial crítica P 'apli cada pasando por su centroide.
P
Probs. 13-56/57/58
P r o b s . 1 3 -5 9 / 6 0
13-61. La columna de aluminio tiene el corte transver sal que se ve en la figura. Si está empotrada en su base y libre en su extremo superior, calcule la fuerza máxima P que se puede aplicar en A sin causar pandeo ni fluencia. Use un factor de seguridad de 3 con respecto a pandeo y también para fluencia. Ea¡ = 70 GPa, a Y = 95 MPa.
P
Prob. 13-61
P ro blem a s
13-71. Trace la curva de pandeo, P /A en función de L /r , para una columna cuya curva bilineal de esfuerzo-defor mación unitaria en compresión se ve en la figura.
•
703
13-73. Una columna de longitud intermedia se pandea cuando la resistencia a la compresión es 40 klb/pulg2. Si la relación de esbeltez es 60, determine el módulo tangente.
13-74 El diagrama esfuerzo-deformación de un material se puede aproximar con los dos segmentos de recta de la figura. Si una barra de 80 mm de diámetro y 1.5 m de lon gitud se fabrica con este material, determine la carga crí tica cuando los extremos están articulados. Suponga que la carga actúa por el eje de la barra. Use la ecuación de Engesser.
< y (k lb / p u lg 2)
P r o b . 1 3 -71
*13-72. Trace la curva de pandeo, P /A en función de L/r, para una columna que tiene su curva bilineal de esfuerzodeformación unitaria en compresión que se ve en la fi gura.
13-75. El diagrama esfuerzo-deformación de un material se puede aproximar con los dos segmentos de recta de la figura. Si una barra de 80 mm de diámetro y 1.5 m de lon gitud se fabrica con este material, determine la carga crí tica cuando los extremos están empotrados. Suponga que la carga actúa por el eje de la barra. Use la ecuación de Engesser.
*13-76. El diagrama esfuerzo-deformación de un material se puede aproximar con los dos segmentos de recta de la figura. Si una bari a de 80 mm de diámetro y 1.5 m de longi tud se fabrica con este material, determine la carga crítica cuando un extremo está articulado y el otro está fijo. Su ponga que la carga actúa por el eje de la barra. Use la ecua ción de Engesser.
cr ( M P a ) f f ( k lb / p u lg 2)
Proh. 13-72
Probs. 13-74/74/76
704
• CAPÍTULO 13 Pandeo de columnas
13 .6
D iseño de co lum n as para carga concéntrica
Estas columnas largas no arriostradas de madera se usan para soportar el techo de esta construcción.
L a teoría que hemos presentado hasta aquí se aplica a columnas que son perfectamente rectas, que están hechas con un m aterial homogéneo y que al principio no tienen esfuerzos. Hablando en términos prácticos, como ya se ha dicho, las columnas no son perfectamente rectas y la m ayor parte tiene esfuerzos residuales en ellas, debido más que nada al enfriam iento no uniform e durante su fabricación. Tam bién, los soportes de las colum nas son menos que exactos, y los puntos de aplicación y las direcciones de las cargas no se conocen con certeza absoluta. Para compensar estos efec tos, que en realidad varían de una a otra colum na, muchos códigos de di seño especifican el uso de fórm ulas em píricas para columnas. A l hacer muchas pruebas experim entales con una gran cantidad de columnas con carga axial, se pueden graficar los resultados y se puede desarrollar una fórm ula de diseño por ajuste del promedio de los datos con una curva. U n ejemplo de esas pruebas, para columnas de acero de patín ancho, se ve en la figura 13-23. Observe la semejanza entre estos resultados y los de la fa m ilia de curvas d eterm inada con la fó rm u la de la secante, figura 13-186. L a razón de esta semejanza tiene que ver con la influencia de una relación de excentricidad “ accidental” sobre la resistencia de la columna. Como se dijo en la sección 13.4. esta relación tiene más efectos sobre la resistencia de las columnas cortas y de longitud interm edia, que sobre las largas. L a s pruebas indican que ec/r2 puede ir de 0.1 a 0.6 para la m ayor parte de las columnas con carga axial. Para tener en cuenta el comportamiento de columnas de distintas lon gitudes, los códigos de diseño suelen especificar varias fórm ulas que se ajustan m ejor a los datos para los intervalos de columna corta, interm e dia y larga. Por consiguiente, cada fórmula sólo se aplicará en un intervalo específico de relaciones de esbeltez, por lo que es im portante que el inge niero tenga en cuenta, con cuidado, los lím ites de K L / r para los que de term inada fórm ula es válida. A h o ra se presentarán ejemplos de fórm ulas de diseño para columnas de acero, alum inio y m adera, que hoy se usan. E l objetivo es dar alguna idea de la forma en que se diseñan las columnas en la práctica. Sin embargo, estas fórmulas no se deben usar para el dise ño de columnas reales, a menos que se consulte el código que se mencione en cada caso.
Fig. 13-23
S e c c ió n
13.6
Diseño de columnas para carga concéntrica
Columnas de acero. L a s columnas de acero estructural se diseñan hoy en Estados U nidos con base en las fórm ulas propuestas por el Consejo de Investigación de Estabilidad Estru ctu ra l (S S R C , Structural Stabiiity R e search C ou ncil). E n esas fórm ulas se han aplicado factores de seguridad, y se adoptan como especificaciones para la construcción de edificios por el Instituto A m ericano de Construcción en A ce ro ( A IS C , Am erican lnstitute o f Steel C onstruction). E n forma básica, estas especificaciones indi can dos fórm ulas para diseñar columnas, y cada una de ellas determina el esfuerzo m áxim o perm isible en la colum na, para determinado intervalo de relaciones de esbeltez. Para columnas largas se propone la fórm ula de E u le r, es decir, <7máx = n2E / ( K L / r ) 2. Para aplicar esta fórm ula se requiere un factor de seguridad E S . = ~ *= 1.92. A sí, para el diseño. (13-21) Com o se indicó, esta ecuación se puede aplicar para una relación de es beltez acotada por 200 y ( KL/r)c. Se obtiene un valor específico de ( KL/r)c requiriendo que sólo se use la fórm ula de E u le r para el comportamiento elástico del m aterial. Se ha determinado, mediante experimentos, que pue den existir esfuerzos residuales de com presión en los perfiles de acero conformados por lam inación, que pueden llegar a ser hasta la mitad del esfuerzo de fluencia. E n consecuencia, si el esfuerzo según la fórmula de E u le r es m ayor que j oy, no se aplica la ecuación. A s í, se puede determi nar como sigue el valo r de ( K L /r)c:
(13-22) La s columnas con relaciones de esbeltez menores que ( K L /r)c se diseñan con base en una fórmula empírica, de curva parabólica, que tiene la forma (KL/r)2 1 JT T r 7~\ 2
^adm <7y
5 ■ '
3 8
3 (K L/r) (KL/r)e
(KL/r)3
8( K L / r ) 3
Se ve aquí que el E S . = = 1.67, cuando K L / r = 0, y aum enta hasta E S . = ~ «= 1.92 en ( K L / r ) c. Por consiguiente, para fines de diseño, o.2<
<7adm
{(5/3) + [ ( 3 / 8 ) ( K L / r ) / ( K L / r ) c] - [ ( K L / r ) 3/ 8 ( K L / r ) 3]}
( B ' 23)
L a s ecuaciones 13-21 y 13-23 se grafican en la figura 13-24. A l aplicar cualquiera de esas ecuaciones, en los cálculos se pueden usar unidades ingle sas o unidades S I.
Fig. 13-24
• 705
706
• CAPÍTULO 13 Pandeo de columnas
Columnas de aluminio. E l diseño de columnas de alum inio estructu ral lo especifica la A sociación del A lum inio (A lum inum A ssociation) y usa tres ecuaciones, cada una aplicable para determinado intervalo de re la ciones de esbeltez. Com o existen varias clases de aleación de alum inio, hay un conjunto único de fórm ulas para cada clase. Para una aleación co mún (2014-T6) que se usa en la construcción de edificios, las fórm ulas son
o-adm = 28 klb/pulg 2
30.7 - 0.23
^adm
0 <
KL
12
klb/pulg 2
“ )j
54 000 klb/pulg 2 CTa
(13-24) K i 12 < — < 55
KL
(13-25)
(13-26)
(K L/rf
E c . 13 -2 4 E c . 13 -2 5
E c . 1 3 -2 6
F ig . 13 -2 5
(Tadm
Estas ecuaciones se grafican en la figura 13-25. Com o se ve, las dos p ri meras representan líneas rectas, que se usan para m odelar los efectos de las columnas en los intervalos corto e interm edio. L a tercera fórm ula tie ne la misma form a que la de E u le r, y se usa con columnas largas.
Columnas de madera. L a s columnas para construcción en madera se diseñan, en Estados U nidos, con base en las fórm ulas publicadas por la Asociación Nacional de Productos Forestales (N F P A , National Forest P ro ducts A sso ciatio n ) o del Instituto A m ericano de Construcción en M ade ra ( A I T C , Am erican Institute o fT im b e r C onstru ction). Por ejem plo, las fórmulas de la N F P A , para calcular el esfuerzo admisible en columnas cor tas, interm edias y largas con sección transversal rectangular, de dim ensio nes b por d, siendo d la dimensión m ínim a del corte transversal, son
( k l b / p u l g 2)
KI
0 < —
lfKL/dV ( T ad m
= 1-20
3 \ 26.0 )
540 klb/pulg 2 ^adm
F ig . 13-26
(K L/d)2
klb/pulg 2
26 <
d
(13-27)
< 11
< 50
KL 11 < — < 26
(13-28)
(13-29)
E n este caso, la m adera tiene un m ódulo de elasticid ad £ mad = 1 .8( 10 3) klb/pulg 2 y un esfuerzo admisible de compresión de 1.2 klb/pulg2, en dirección paralela a la fibra. E n particular, la ecuación 13-29 no es más que la ecuación de E u le r con un factor de seguridad 3. E stas tres ecuacio nes se grafican en la figura 13-26.
S e c c ió n
13.6
Diseño de columnas para carga concéntrica
PROCEDIM IENTO PARA EL ANÁLISIS A n á lisis de una colum na. • A l usar cualquier fórm ula para analizar una colum na, esto es, pa ra calcular su carga adm isible, prim ero es necesario calcular su relación de esbeltez, para determ inar qué fórm ula se le aplica. • U n a vez calculado el esfuerzo promedio admisible, la carga ad misible en la columna se determ ina con P - cradmA D iseñ o de una colum na. • Si se usa una fórm ula para diseñar una colum na, esto es, para de term inar su área transversal para determ inada carga y longitud efectiva, en general se debe usar un método de tanteo y compro bación si la columna tiene forma compuesta, por ejemplo, si es un perfil de ala ancha. • U n a form a posible de aplicar un procedim iento de tanteo y com probación sería suponer el área transversal A ' de la columna y calcular el esfuerzo correspondiente a — P / A '. Tam bién, se usa una fórm ula de diseño adecuada, con A ', para determ inar el es fuerzo admisible <7adm. Con este esfuerzo se calcula el área reque rida /4req'd = P/cr.ádm en la columna. • Si A ' > ^4req'd> el diseño es seguro. A l hacer la com paración es práctico pedir que A ' sea cercana, pero m ayor, que -4,-eq'd- por lo general de 2 a 3 % . Si A ' < v4req'd, se necesitará repetir el diseño. • Siem pre que se repita un procedim iento de tanteo y comproba ción. la elección de un área se determ ina con el área requerida que se calculó antes. E n la práctica de ingeniería, este método de diseño se suele acortar mediante el uso de programas de cómpu to, o de tablas o gráficas ya publicadas.
• 707
708
• CAPÍTULO 13 Pandeo de columnas
E J E M P L O p
U n m iem bro W 10 X 100 de acero A-36 se usa como colum na articu lada en ambos extremos, figura 13-27. U se las fórm ulas de diseño de columnas del A I S C para determ inar la carga m áxim a que puede so portar con seguridad.
Solución Lo s siguientes datos para una W 10 x 100 se tom aron de la tabla del apéndice B : A = 29.4 pulg 2 rx — 4.60 pulg ry = 2.65 pulg Como K = 1 para pandeo con respecto a los ejes esbeltez es m áxim a cuando se usa r r Entonces,
a:
y y , la relación de
F i g . 1 3 -2 7
K L = 1(16 pies) (12 pulg/pie) r
(2.65 pulg)
D e acuerdo con la ecuación 13-22, K L\ r
Je
2tt2E
V °V /27t2[29(103) klb/pulg2] 36 klb/pulg 2
V = 126.1
E n este caso. 0 < K L / r < (K L / r ) c, así que se aplica la ecuación 13-23.
1 ^"adm
( K L / r )2 2 (K L / r ) 2 e\
aY
{(5 / 3 ) + [(3 /8 ) { K L / r ) / ( K L / r ) c] - [ ( K L / r ) 3/ 8 ( K L / r cf ] } = ___________ [1 - (7 2 .4 5 )2/2 ( 126.1 ) 2]36 klb/pulg 2__________ _ {(5 / 3 ) + [(3/8 )(72 .45 /1 2 6.1 )] - [(72.45) 3/8 ( 126.1 )3] } = 16.17 klb/pulg 2
L a carga admisible P sobre la columna es, por tanto,
' -
“ í
16 ' 1 7 k lb /p ,,l 8; “ i ^ P = 476 klb
Resp.
1 S e c c ió n
13.6
Diseño de columnas para carga concéntrica
E J E M P L O La barra de acero de la figura 13-28 se va a usar para sostener una car ga axial de 18 klb. Si £ ac = 29(103) klb/pulg2 y a Y = 50 klb/pulg2, de termine el diámetro mínimo de la barra, como indica la especificación del AISC. La barra está empotrada en ambos extremos.
18 k l b
—
1
Ms
klb 15 p ie s -
Fig. 13-28 S o lu c ió n
Para una sección transversal circular, el radio de giro es (1/4)-7t-(¿//2)
r =
(1/4)-7tí/2
d 4
Se aplica la ecuación 13-22 como sigue: /27t [29(10 ) klb/pulg2] = 126.1 36 klb/pulg2
2 t^ E
KL r
Como se desconoce el radio de giro de la barra, se desconoce KL¡r, y en consecuencia se debe decidir si usar la ecuación 13-21 o la 13-23. In tentaremos con la ecuación 13-21. Para una columna con extremos em potrados, K = 0.5, así que ^adm 18 klb ( 1/4 ) 7rd2
12tt2E 2 3 (K L /r)2
12tt2[29(103) klb/pulg2] 23[0.5(15 pies)(12 pulg/pie)(d/4)]2
22.92 , = = jP = 1.152í/
di2 d = 2.11 pulg
Usar d = 2.25 pulg = 21 pulg
Resp.
Para este diseño debemos verificar los límites de relación de esbeltez, es decir, KL r
0.5(15)(12) = 160 (2.25/4)
Como 107.0 < 160 < 200, es adecuado usar la ecuación 13-21.
709
710
• CAPÍTULO 13 Pandeo de columnas
E J E M P L O 12 leb
Una barra de 30 pulg de longitud se usa para soportar una carga axial de compresión de 12 klb. figura 13-29. Está articulada en sus extremos, y es de aleación de aluminio 2014-T6. Determine las dimensiones de su área transversal, si su ancho debe ser dos veces su espesor. S o lu c ió n
Como K L = 30 pulg es igual para el pandeo respecto al eje x-x y al eje y-y. se determina la máxima relación de esbeltez a partir del radio de giro mínimo, es decir, usando /mín = Iy: KL
KL
1(30)
103.9
VTJa
V (l/l2 )2 b (b )3 /[2 b (b )]
b
( 1)
En este caso debemos aplicar la ecuación 13-24. la 13-25 o la 13-26. En vista de que todavía no conocemos la relación de esbeltez, comenzare mos usando la ecuación 13-24. P_ = 28klb/pulg2 A
Fig. 13-29
12 klb 2b(b)
= 28 klb/pulg2
b = 0.463 pulg
Se verifica la relación de esbeltez como sigue: KL
103.9 = 224.5 > 12 0.463
Probaremos con la ecuación 13-26, válida para K L /r >: 55: _P = 54 000 klb/pulg2 /I ” { K L /r )2 12 54 000 2b{b) (103.9/ b ) 2 b = 1.05 pulg
Resp.
De la ecuación 1 KL 103.9 „ -----= —— = 99.3 > 55 OK r 1.05 Nota: sería satisfactorio especificarla sección transversal con dimen siones 1 pulg X 2 pulg.
S e c c ió n 1 3 .6
E J E M P L O
Diseño de columnas para carga concéntrica
13.11
Una tabla de dimensiones de sección transversal 5.5 pulg por 1.5 pulg se usa para soportar una carga axial de 5 klb, figura 13-30. Si se supo ne que la tabla está articulada en sus dos extremos, determine la lon gitud máxima permisible L , de acuerdo con las especificaciones de la NFPA. 5 klb
5 klb
Fig. 13-30
S o lu c ió n
Por inspección, la tabla se pandeará respecto al eje y. En las ecuacio nes de la NFPA. d = 1.5 pulg. Suponiendo que se aplique la ecuación 13-29, se tiene que P _
540 klb/pulg2
A ~
( K L /d )2
5 klb _ 540 klb/pulg2 (5.5 pulg)(1.5 pulg) (1 L/1.5 pulg)2 L = 44.8 pulg
En este caso, K L = 1(44.8 pulg) = ^ s d 1.5 pulg
Como 26 < K L /d =£ 50, es válida esta solución.
Resp.
•
711
S e c c ió n
E J E M P L O
13.6
Diseño de columnas para carga concéntrica
13.11
Una tabla de dimensiones de sección transversal 5.5 pulg por 1.5 pulg se usa para soportar una carga axial de 5 klb. figura 13-30. Si se supo ne que la tabla está articulada en sus dos extremos, determine la lon gitud máxima permisible L. de acuerdo con las especificaciones de la NFPA. 5 klb
5 klb
Fig. 13-30
S o lu c ió n
Por inspección, la tabla se pandeará respecto al eje y. En las ecuacio nes de la NFPA, d = 1.5 pulg. Suponiendo que se aplique la ecuación 13-29, se tiene que P_ _ A ~
540 klb/pulg2 (K L /d )2
5 klb _ 540 klb/pulg2 (5.5 pulg)(1.5 pulg) (1 L / 1.5 pulg)2 L = 44.8 pulg
En este caso, KL d
1(44.8 pulg) 1.5 pulg
Como 26 < K L /d s 50, es válida esta solución.
Resp.
• 711
712
• CAPÍTULO 13 Pandeo de columnas
PROBLEMAS 13-77. Determine la longitud máxima de un perfil W10 X 12 de acero estructural A-36, si está articulado en ambos extremos y está sometido a una carga axial de 28 klb. Use las ecuaciones del AISC.
13-86. Calcule la longitud máxima de un perfil W 8 X 31 de acero estructural A-36, si está articulado en ambos ex tremos y está sometido a una carga axial de 18 klb. Use las ecuaciones del AISC.
13-78. Calcule la longitud máxima de un perfil W10 X 12 de acero estructural A-36, si está empotrado en ambos extre mos y está sometido a una carga axial de 28 klb. Use las ecuaciones del AISC.
13-87. Usando las ecuaciones del AISC, seleccione, en el apéndice B, la columna de acero estructural A-36 que ten ga un peso mínimo, que tenga 30 pies de longitud y que pueda soportar una carga axial de 200 klb. Los extremos están empotrados.
13-79. Calcule la longitud máxima de un perfil W8 X 31 de acero estructural A-36, que está articulado en ambos extre mos y sometido a una carga axial de 130 klb. Use las ecua ciones del AISC.
*13-80. Determine la longitud máxima de un perfil W8 X 31 de acero estructural A-36, si está articulado en ambos ex tremos y está sometido a una carga axial de 80 klb. Use las ecuaciones del AISC.
Usando las ecuaciones del AISC seleccione, en el apéndice B, la columna de acero estructural A-36 de peso mínimo que tenga 12 pies de longitud y soporte una carga axial de 20 klb. Sus extremos están articulados. 13-81.
*13-88. Determine la longitud máxima de una columna de acero estructural A-36, W 8 X 31, para soportar una car ga axial de 10 klb. Los extremos están articulados.
13-89. El arreglo de viga y columna se usa en un patio de ferrocarril, para cargar y descargar vagones. Si la carga máxima prevista en la garrucha es 12 klb, determine si la columna W 8 X 31 de acero estructural A-36 es adecuada para soportar la carga. La garrucha recorre el patín inferior de la traba. 1 pie < ,v s 25 pies, y su tamaño es desprecia ble. Suponga que la trabe está articulada con la columna B y articulada en A . La columna también está articulada en C, y está arriostrada de forma que no se pandee fuera del plano de carga.
13-82. Usando las ecuaciones del AISC, seleccione en el apéndice B la columna de acero estructural de peso míni mo que tenga 14 pies de longitud y soporte una carga axial de 40 klb. Sus extremos están articulados. Suponga que crv = 50 klb/pulg2.
13-83. Use las ecuaciones del AISC para seleccionar, en el apéndice B, la columna de acero estructural A-36 de peso mínimo que tenga 12 pies de longitud y soporte una carga axial de 40 klb. Sus extremos están empotrados. Suponga que o-y = 50 klb/pulg2.
*13-84. Use las ecuaciones del AISC para seleccionar, en el apéndice B, la columna de acero estructural A-36 de peso mínimo que tenga 14 pies de longitud y soporte una carga de 40 klb. Sus extremos están empotrados.
13-85. Determine la longitud máxima de un perfil W8 X 48 de acero estructural A-36, si está articulado en ambos ex tremos y está sometido a una carga axial de 55 klb. Use las ecuaciones del AISC.
Prob. 13-89
P ro blem a s
•
713
El tubo cuadrado tiene paredes de 0.5 pulg de es pesor, y es de aleación de aluminio 2014-T6; está empo trado en sus extremos. Determine la carga axial máxima que puede soportar.
13-90. La varilla de 1 pulg de diámetro se usa para so portar una carga axial de 5 klb. Calcule su longitud máxi ma admisible L, si es de aluminio 2014-T6. Suponga que los extremos están articulados.
13-93.
13-91. La varilla de 1 pulg de diámetro se usa para so portar una carga axial de 5 klb. Calcule su longitud máxi ma admisible L, si es de aluminio 2014-T6. Suponga que los extremos están empotrados.
13-94. El tubo cuadrado tiene paredes de 0.5 pulg de es pesor, y es de aleación de aluminio 2014-T6; está empo trado en su extremo inferior y articulado en su extremo superior. Determine la carga axial máxima que puede so portar.
5 klb
JL
8 pulg
1 p u lg "
5
k lb
Probs. 13-90/91
El tubo cuadrado tiene paredes de 0.5 pulg de espesor, y es de aleación de aluminio 2014-T6; está articu lado en sus extremos. Determine la carga axial máxima que puede soportar. *13-92.
Probs. 13-93/94
13-95. La barra es de aleación de aluminio 2014-T6. Calcu le su espesor b, si su ancho es 1.56. Suponga que está ar ticulada en sus extremos.
8001b
8 pulg
Prob. 13-95
714
• CAPÍTULO 13 Pandeo de columnas
*13-96. La barra es de aleación de aluminio 2014-T6. Calcule su espesor b, si su ancho es 1.5£>. Suponga que eslá empotrada en sus extremos.
13-100. Resuelva el problema 13-99 si se supone que la columna está empotrada en sus extremos superior e inferior.
8 0 0 !b
8 0 0 Ib
P rob .13-100
Prob. 13-96
13-97. Una barra de 5 pies de longitud se usa en una má quina para transmitir una carga axial de compresión de 3 klb. Determine su diámetro, si está articulada en sus ex tremos, y es de aleación de aluminio 2014-T6. 13-98. Resuelva el problema potrada en sus extremos.
13-101. La columna de madera se usa para soportar una carga axial P = 30 klb. Si está empotrada en su extremo in ferior, y libre en su extremo superior, calcule el ancho mí nimo de acuerdo con las fórmulas de la NFPA.
13-97, si la varilla está em
13-99. La columna de madera es cuadrada, y se supone articulada en sus extremos superior e inferior. Si sostiene una carga axial de 50 klb. calcule la dimensión de sus lados. a. en incrementos de y pulg. Use las fórmulas de la NFPA.
P
P ro b . 13-101
PR08LEMAS
13-102. La columna de madera tiene 18 pies de longitud, y está articulada en sus extremos. Use las fórmulas de la NFPA para determinar la máxima fuerza axial P que pue de soportar.
•
715
*13-104. La columna es de madera. Está empotrada en su base y está libre en su extremo superior. Use las fórmulas de la NFPA para determinar su longitud máxima admisi ble para que pueda soportar una carga axial P = 6 klb.
P
Prob. 13-102
13-103. La columna de madera tiene 18 pies de longitud y está empotrada en ambos extremos. Use las fórmulas de la NFPA para determinar la máxima fuerza axial P que puede soportar.
Prob. 13-104
13-105. La columna es de madera. Está empotrada en su base y está libre en su extremo superior. Use las fórmulas de la NFPA para determinar la carga axial máxima admi sible P que puede soportar, si su longitud es L = 6 pies.
716
• CAPÍTULO 13 Pandeo de columnas
13 .7
D iseño de co lum n as por carga excéntrica
M = Pe
, r ei
En ocasiones.se puede necesitar que una columna soporte una carga que actúe ya sea en su orilla, o sobre un soporte angular fijo a su orilla, como el que se ve en la figura 13-3 la. El momento de flexión M = Pe, debido a la carga excéntrica, se debe tener en cuenta al diseñar la columna. Hay varias formas aceptables para hacerlo, en la práctica de la ingeniería. Aquí describiremos dos de los métodos más comunes. Uso de las fórm ulas disponibles para columnas. La distribución de esfuerzos que actúan sobre el área transversal de la columna se ve en la figura 13-31«, y se determina a partir tanto de la fuerza axial P como del momento de flexión M = Pe. En particular, el esfuerzo máximo de com presión es
(a)
_P Me ~ A + j
(13-30)
Un perfil típico de esfuerzos se ve en la figura 13-31¿>. Si en forma conser vadora se supone que toda la sección transversal esta sometida al esfuer zo uniforme o-máx determinado con la ecuación 13-30, entonces se pueden comparar y cradm, que es determinado usando las fórmulas de la sec ción 13.6. El cálculo de cradmse suele hacer usando la relación de esbeltez máxima para la columna, independientemente del eje respecto al cual se presenta la flexión. Este requisito se especifica normalmente en los códi gos de diseño, y en la mayor parte de los casos lleva a un diseño conser vador. Si ^adm entonces la columna puede soportar la carga especificada. Si no es válida esta desigualdad, se debe aumentar el área A de la columna y se deben calcular nuevos crmáx y cradm. Este método de cálculo es de aplicación bas tante sencilla, y funciona bien con columnas cortas o de longitud interme dia. Fórmula de interacción. Cuando se diseña una columna cargada en forma excéntrica es preferible ver cómo interactúan las cargas de flexión y axial, para poder alcanzar un balance entre estos dos efectos. Para ha cerlo se tendrán en cuenta las contribuciones separadas al área total de la columna aportadas por la fuerza axial y por el momento. Si el esfuerzo admisible para la carga axial es (£ra)adm, entonces el área requerida para que la columna soporte la carga P es
(® "«)adm
De igual manera, si el esfuerzo admisible de flexión es (cr6)adm, enton ces. como / = A r2, el área que requiere la columna para soportar el momento de excentricidad se determina con la fórmula de la flexión, es decir.
Sección
13.7 Diseño de columnas por carga excéntrica
717
Me
Ah -
(
que amo do a Hay kquí
El área total A necesaria para que la columna resista la carga axial y también el momento es Me
A„ + Ah — ( ^ í^ a d m
(°7>)adm ^
o sea n de :n la ) del :om-
(^ í^ a d m
^ a ( ° r¡j)adm
(^fr/adm
,
^b
(13-31)
( ° ’fc)adm
En estas ecuaciones (-30) íser:uer:den seceltez al se :ódiiser-
álida sben basrmela en :xión a ha de la terzo para
itonar el >n, es
<7n = esfuerzo axial causado por la fuerza P, determinado con cra = P/A, donde A es el área transversal de la columna
Ejemplo típico de una columna que se usa para soportar la carga excéntrica de un techo.
718
• CAPÍTULO 13 Pandeo de columnas
E J E M P L O La columna de la figura 13-32 es de aleación de aluminio 2014-T6,y se usa para soportar una carga excéntrica P. Determinar la magnitud de P que puede soportar, si la columna está empotrada en su base y libre en su extremo superior. Usar la ecuación 13-30.
2 pulg
- 1 pulg
2 pulg 2 pulg
80 pulg
v il Fig. 13-32
S o lu c ió n
De la figura 13-12Z?, K = 2. La máxima relación de esbeltez para la co lumna es, entonces, 2(80 pulg)
KL
V[(l/12)(4 pulg)(2 pu!g)3]/[(2 pulg)4 pulg]
= 277.1
Por inspección, se ve que se debe usar la ecuación 13-26 (277.1 > 55). Así. _ 54 000 klb/pulg2 _ 54 000 klb/pulg2 _ ( K L /r )2 (277.1 )2
e
E l esfuerzo máximo real de compresión en la columna se determina con la combinación de carga axial y de flexión. Entonces, P O’máy = — +
A
( Pe)c
I
P( 1 pulg) (2 pulg) P + 2 pulg(4 pulg) ' (1/12)(2 pulg)(4 pulg)3 = 0.3125P Suponiendo que este esfuerzo es uniforme en toda la sección transver sal, y no sólo en el límite exterior, se requiere que f'r adm
crn
0.703 = 0.3125P P = 2.25 klb
Resp.
S e c c ió n 1 3 .7
Diseño de columnas por carga excéntrica
E J E M P L O La columna W6 x 20 de acero A-36 de la figura 13-33 está articulada en sus extremos, y está sometida a la carga excéntrica P. Determine el valor máximo admisible de P, usando el método de interacción, si el esfuerzo de flexión admisible es (
En este caso K = 1. Las propiedades geométricas necesarias del perfil W6 X 20 se toman de la tabla del apéndice B. A = 5.87 pulg2
Ix = 41.4 pulg4
ry = 1.50 pulg
d = 6.20 pulg
Se temará en cuenta ry porque conducirá al valor mayor de la relación de esbeltez.También se necesita Ix, porque el pandeo es respecto al eje * (c = 6.20 pulg/2 = 3.10 pulg). Para calcular el esfuerzo admisible de compresión se tiene que K L _ 1(15 pies)(12 pulg/pie)
;•
1.50 pulg
=
120
Ya que KL r
2 irE o-y
/27T [29(10 ) klb/pulg2] = 126.1 V 36 klb/pulg2
entonces K L /r < (K L / r)c, por lo que se debe usar la ecuación 13-23. = ____________ [1 - ( K L /r ) 2/ 2 ( K L / r ) c2]a Y____________ <7adm [(5/3) + [(3/8) ( K L / r ) / ( K L / r ) c\ - [( K L / r ? / & ( K U r ) cz}} __________ [1 - (120)2/2(126.1)2]36 klb/pulg2 " [(5/3) + [(3/8)(120)/(126.1)] - [(120)3/8(126.1)3]] = 10.28 klb/pulg2 Al aplicar la ecuación de interacción, ecuación 13-31, se obtiene O"/l (^ a )a d m
P/5.87 pulg2 10.28 klb/pulg2
+
O"[y (^7 > )ad m
P(30 pulg)(3.10 pulg)/(41.4 pulg4) = 1 22 klb/pulg2 P = 8.43 klb
Resp.
Al comprobar la aplicación del método de interacción para el perfil de acero se requiere que o-„
8.43 klb/(5.87 pulg)
(O adm
10.28 klb/pulg2
= 0.140 < 0.15
OK
• 719
720
• CAPÍTULO 13 Pandeo de columnas
E J E M P L O
13 14
I La columna de madera de la figura 13-34 se compone de dos tablas cla vadas para que la sección transversal tenga las dimensiones indicadas. Si la columna está empotrada en su base y libre en su extremo supe rior. usar la ecuación 13-30 para calcular la carga excéntrica P que se puede soportar. P
Fig. 13-34
S o lu c ió n
De acuerdo con la figura 13-126, K —2. En este caso se debe calcular K L /d para determinar cuál de las ecuaciones de 13-27 a 13-29 es la que se debe usar. En vista de que
3 pulg
d
E l esfuerzo axial admisible se determina con la ecuación 13-29, ya que 26 < K L /d < 50. Entonces, _ 540 klb/pulg2 _ 540 klb/pulg2 . adm ( K L / d )2 (40) Al aplicar la ecuación 13-30, con cradm =
_ P
^
Mc_ j
p P(4 pulg) (3 pulg) 0.3375 klb/pulg- = 3 puIg(6 pulg) + (i/ i2)(3 pulg)(6 pulg)3 P = 1.22 klb
Resp.
Pr o blem a s
•
721
PROBLEMAS 13-106. Una columna de 16 pies de longitud es de alea ción de aluminio 2014-T6. Está empotrada en sus extremos superior e inferior, y se aplica una carga de compresión P en el punto A . Calcular la magnitud máxima admisible de P. usando las ecuaciones de la sección 13.6 y la ecuación 13-30. 13-107. Una columna de 16 pies de longitud es de alea ción de aluminio 2014-T6. Está empotrada en sus extremos superior e inferior, y se aplica una carga de compresión P en el punto A . Calcular la magnitud máxima admisible de P, usando las ecuaciones de la sección 13.6 y la fórmula de interacción con (cr¿,)adm = 20 klb/pulg2.
13-110. Se supone que la columna W 8 x 15 de acero es tructural A-36 está articulada en sus extremos superior e inferior. Determine la carga excéntrica máxima P que pue de aplicársele usando la ecuación 13-30 y las ecuaciones del AISC en la sección 13.6. 13-111. Resuelva el problema 13-110, si la columna está empotrada en sus extremos superior e inferior. *13-112. Resuelva el problema 13-110, si la columna es tá empotrada en su base y articulada en su extremo supe rior.
8 /
p u lg
0 .5 p u lg
p u lg p u lg
10
Probs. 13-106/107
*13-108. La columna W 8 X 15 de acero estructural A-36 está empotrada en sus extremos superior e inferior. Si so porta momentos de M = 5 klb • pie en sus extremos, deter mine la fuerza axial P que puede aplicársele. La flexión es respecto al eje x-x. Use las ecuaciones del AISC de la sec ción 13.6, y la ecuación 13-30. 13-109. La columna W 8 X 15 de acero estructural A-36 está empotrada en sus extremos superior e inferior. Si so porta momentos de M = 23 klb • pie en sus extremos, de termine la fuerza axial P que puede aplicársele. La flexión es respecto al eje x-x. Use la fórmula de la interacción con (o-fOadn, = 24 klb/pulg2.
Probs. 13-110/111/112
13-113. Se supone que la columna W10 X 19 de acero es tructural A-36 está articulada en sus extremos superior e inferior. Determine la carga excéntrica máxima P que se le puede aplicar, usando la ecuación 13-30 y las ecuaciones del AISC en la sección 13.6. 20
6
k lb
p u lg -
1 6 p ie s
12
P r o b s . 13-108/109
p ie s
P r o b . 13-113
p ie s
722
• CAPÍTULO 13 Pandeo de columnas
13-114. La columna W14 X 22 de acero estructural A-36 está empotrada en sus extremos superior e inferior. Si so porta momentos en los extremos M = 10 klb • pie, calcule la fuerza axial máxima admisible P que se puede aplicar. La flexión es respecto al eje x-x. Use las ecuaciones del AISC en la sección 13.6, y la ecuación 13-30. 13-115. La columna W14 x 22 está empotrada en sus extremos superior e inferior. Si soporta momentos en los ex tremos M = 15 klb • pie, calcule la fuerza axial máxima ad misible P que se puede aplicar. La flexión es respecto al eje x-x. Use la fórmula de interacción, con (a>;)adm= 24klb/pulg2.
13-117. La columna W12 X 87 de acero estructural A-36 está empotrada en su base y libre en su extremo superior. Determine la carga excéntrica máxima P que se puede aplicar, usando la ecuación 13-30, y las ecuaciones del AISC en la sección 13.6. 13-118. La columna W14 X 43 de acero estructural A-36 está empotrada en su base y libre en su extremo superior. Determine la carga excéntrica máxima P que se le puede aplicar, usando la ecuación 13-30 y las ecuaciones del AISC en la sección 13.6. 13-119. La columna W10 X 45 de acero estructural A-36 está empotrada en su base y libre en su extremo superior. Si está sometida a una carga de P = 2 klb, determine si es segura, con base en las ecuaciones del AISC en la sección 13.6, y la ecuación 13-30.
12 pies
P r o b s . 13-114/115 P r o b s . 1 3 -1 1 8 /1 1 9
*13-116. La columna W12 X 50 de acero estructural A-36 está empotrada en su base y libre en su extremo superior. Determine la carga excéntrica máxima P que se puede aplicar, usando la ecuación 13-30, y las ecuaciones del AISC en la sección 13.6.
*13-120. Compruebe que la columna de acero es ade cuada para soportar la carga excéntrica P = 800 Ib, aplica da en su extremo superior. Está empotrada en su base y libre en su extremo superior. Use las ecuaciones de la NFPA en la sección 13.6, y la ecuación 13-30. 13-121. Determine la carga excéntrica P máxima admi sible, que se puede aplicar a la columna de madera. Está empotrada en su base y libre en su extremo superior. Use las ecuaciones de la NFPA en la sección 13.6, y la ecuación 13-30. 5
pulg
p
3 pulg ^ 6 pulga
6 pies
Probs. 13-120/121
P ro blem a s
13-122. El poste eléctrico de 10 pulg de diámetro sopor ta al transformador, de 600 Ib de peso, que tiene su centro de gravedad en G. Si el poste está empotrado en el suelo y está libre en su extremo superior, determine si es adecua do de acuerdo con las ecuaciones de la NFPA de la sec ción 13.6, y la ecuación 13-30.
♦
723
13-123. Determine si la columna puede soportar la car ga excéntrica de compresión, de 1.5 klb. Suponga que los extremos están articulados. Use las ecuaciones de la NFPA en la sección 13.6, y la ecuación 13-30. *13-124. Determine si la columna puede soportar la car ga excéntrica de compresión de 1.5 klb. Suponga que la base está empotrada y el extremo superior está articulado. Use las ecuaciones de la NFPA en la sección 13.6, y la ecua ción 13-30.
1.5 klb
|^<^12pulg 3 p u lg '
-1.5 pulg
6 pies
r 1.5
P r o b . 13-122
klb
P ro b s . 13-123/124
REPASO DEL CAPÍTULO • El pandeo es la inestabilidad repentina que se presenta en columnas o miembros que soportan una carga axial. La carga máxima axial que puede soportar un miembro justo antes de que haya pandeo se llama carga crítica, Pa . • La carga crítica, para una columna ideal, se determina con la ecuación de Euler, Pa = n zE I / ( K L ) 2, donde K = 1 para extremos articulados, K = 0.5 para extremos empotrados, K = 0.7 para un extre mo articulado y un extremo empotrado, y K = 2 para un extremo empotrado y un extremo libre. • Si la carga axial se aplica en forma excéntrica a la columna, se debe usar la fórmula de la secante pa ra determinar el esfuerzo máximo en la columna. • Cuando la carga axial tiende a causar la fluencia en la columna, entonces se debe usar el módulo tan gente con la ecuación de Euler, para determinar la carga de pandeo. A esto se le llama ecuación de Engesser. • Se han desarrollado ecuaciones empíricas basadas en datos experimentales, para usarlas en el dise ño de columnas de acero, aluminio y madera.
724
• CAPÍTULO 13 Pandeo de columnas
PROBLEMAS 13-125.
DE
REPASO
La columna de madera tiene 4 pulg de espesor y
6 pulg de ancho. Use las ecuaciones de la NFPA en la sec
ción 13.6, y la ecuación 13-30, para determinar la carga ex céntrica máxima admisible que puede aplicársele. Supon ga que la columna está articulada tanto en su base como en su extremo superior. 13-126.
*13-128. Una columna de acero tiene 5 m de longitud, así como un extremo libre y el otro empotrado. Si el área transversal tiene las dimensiones de la figura, determine la carga crítica. £ ac = 200 GPa, oy = 360 MPa.
La columna de madera tiene 4 pulg de espesor y
6 pulg de ancho. Use las ecuaciones de la NFPA en la sec
ción 13.6, y la ecuación 13-30, para determinar la carga excéntrica máxima admisible P que puede aplicársele. Su ponga que la columna está articulada en su extremo supe rior y empotrada en su base.
10 m m
60 mm
n
10 mm
80 mm
Prob. 13-128 4 pulg
P r o b s . 1 3-125/126
13-127. El miembro tiene un corte transversal simétrico. Si está articulado en sus extremos, calcule la fuerza máxi ma que puede soportar. Es de aleación de aluminio 2014-T6.
13-129. El tubo cuadrado de acero estructural A-36 tie ne 8 pulg por 8 pulg de dimensiones exteriores. Su área transversal es 14.10 pulg2, y sus momentos de inercia son Ix = Iy = 131 pulg4. Si en su parte superior se aplica una carga de 120 klb. como muestra la figura, calcule el factor de seguridad del tubo con respecto a la fluencia. Se puede suponer que la columna está empotrada en su base y libre en su extremo superior.
Pro blem a s de repaso
13-130. El tubo de acero está empotrado en ambos extre mos. Si tiene 4 m de longitud y su diámetro es 50 mm, determine el espesor de pared necesario para que pueda soportar una carga axial P = 100 kN sin pandearse. E ac = 200 GPa. oy = 250 MPa.
•
725
20 m m
150 m m . 10 m m -
10 mm
100 mm 4 m
O
100 m m
100 m m
10 m m
Probs. 13-131/132
13-133. La columna W10 X 45 de acero soporta una carga axial de 60 klb, y además una carga excéntrica P. D e termine el valor máximo admisible de P, con base en las ecuaciones del AISC, en la sección 13.6, y la ecuación 13-30. Suponga que Kx = 1.0 en el planox-z.y Ky = 2.0 en el plano y -z■Eac = 29(103) klb/pulg2, oy = 50 kíb/pulg2.
4 m
Í P
Prob. 13-130
13-131. La columna de acero estructural A-36 tiene la sección transversal que muestra la figura. Si está empotrada en su base y libre en su extremo superior, determine la fuerza máxima P que puede aplicarse en A sin causar pan deo ni fluencia. Use un factor de seguridad 3 con respecto al pandeo y a la fluencia.
13-134. La columna W14 X 53 de acero estructural A-36 soporta una carga axial de 60 klb, y además una carga ex céntrica P. Determine el valor máximo admisible de P, con base en las ecuaciones del AISC en la sección 13.6, y la ecuación 13-30. Suponga que Kx = 1.0 en el plano x-z y que Ky = 2.0 en el plano y-z.
8 pulg
10 pies
*13-132. La columna de acero estructural A-36 tiene la sección transversal que muestra la figura. Si está empotrada en su base y libre en su extremo superior, determine si se pandea o tiene fluencia cuando la carga P — 10 kN. Use un factor de seguridad 3 con respecto al pandeo y a la fluencia.
h .M
52
Cuando los pilotes son colocados en su lugar, sus extremos están sujetos a carga de impacto. La naturaleza del impacto y la energía que deriva deben entenderse para determinar el esfuerzo desarrollado dentro del pilote.
(Cortesía de Manitowoc Engineering Company.)
capsulo
Métodos de energía
OBJETIVOS DEL CAPÍTULO
En este capítulo indicaremos cómo aplicar los métodos de energía para resolver los problemas donde interviene la deflexión. El capítulo comienza con una des cripción del trabajo y la energía de deformación, seguido por un desarrollo del principio de la conservación de la energía. Aplicando este principio se determi nan el esfuerzo y la deflexión de un miembro, cuando está sometido al impacto. A continuación se presentan el método del trabajo virtual y el teorema de Castigliano. y se usan esos métodos para determinar el desplazamiento y la pen diente en puntos de miembros estructurales y de elementos mecánicos.
14 .1
Trabajo externo y en erg ía de deform ación Antes de desarrollar alguno de los métodos de energía que se usarán en es te capítulo, primero definiremos el trabajo causado por una fuerza y un mo mento de par externos, e indicaremos cómo expresar el trabajo en función de la energía de deformación unitaria de un cuerpo. Las formulaciones que se presentarán aquí y en la siguiente sección son la base para aplicar los mé todos de trabajo y energía que siguen en todo el capítulo.
728
• CAPÍTULO 14 Métodos de energía
En mecánica, una fuerza efectúa trabajo cuan do sufre un desplazamiento dx en la misma dirección que la de la fuerza. E l trabajo efectuado es un escalar que se define como dUe = F dx. Si el desplazamiento total es x, el trabajo es
Trabajo d e una fuerza.
U. =
F dx
(14-1)
I A
(a)
(b)
Para mostrar cómo aplicar esta ecuación, calcularemos el trabajo efec tuado por una fuerza axial aplicada al extremo de la barra de la figura 14-la. A medida que la magnitud de F aumenta en form a gradual, de ce ro hasta un valor límite F = P, el desplazamiento final del extremo de la barra llega a A. Si el material se comporta en una forma elástica lineal, la fuerza será directamente proporcional al desplazamiento; esto es, F = (P /A )x. Se sustituye en la ecuación 14-1 y se integra de 0 a A, para obtener Ue = - P A
2
A
A’
(c) Fig. 14-1
(14-2)
Por consiguiente, a medida que la fuerza se aplica en forma gradual a la barra, su magnitud aumenta desde cero hasta cierto valor P, y en con secuencia el trabajo efectuado es igual a la magnitud promedio de la fuer za, P /2, por el desplazamiento total A. Esto se puede representar en forma gráfica como el área negra del triángulo de la figura 14-lc. Sin embargo, supongamos que P ya está aplicada a la barra, y que aho ra se aplica otra fuerza P' a la misma, de modo que el extremo de la barra se desplaza más en una cantidad A', figura 1-1-1/?. E l trabajo efec tuado por P (no por P') cuando la barra sufre este desplazamiento adi cional A' es, entonces,
Ue = P A'
(14-3)
En este caso, el trabajo está representado por el área rectangular gris oscuro en la figura 14-lc. En este caso P no cambia su magnitud, ya que el despla zamiento A' de la barra sólo se debe a P'. En consecuencia, en este caso el trabajo no es más que la magnitud P de la fuerza por el desplazamien to A'. Entonces, en resumen, cuando se aplica una fuerza P a la barra, segui da por la aplicación de la fuerza P', el trabajo total efectuado por ambas fuerzas se representa con el área de todo el triángulo de la figura 14-lc. E l área triangular gris claro representa el trabajo de P causado por su des plazamiento A. El área triangular de color negro representa el trabajo de P', porque esta fuerza se desplaza A'; y por último, el área rectangular de gris oscuro representa el trabajo adicional hecho por P cuando P se des plaza A', que es causado por P'.
Sección 14.1
uansrza. Si el
14-1) efecgura e ce de la neal, o es, para
Trabajo externo y energía de deformación
E l momento de un par M efectúa trabajo al sufrir un desplazamiento rotacional dO a lo largo de su línea de acción. El trabajo efectuado se define como dUe — M dd, figura 14-2. Si el ángulo total de desplazamiento rotacional es 8 rad, el trabajo es
Trabajo del momento de un par.
Ue =
M de
(14-4)
Como en el caso de la fuerza, si se aplica el momento del par a un cuer po de material elástico lineal, de tal modo que aumenta su magnitud en forma gradual de cero a 8 = 0 a M en 8, el trabajo es entonces Ue = - M 8
6
2
(14-5) a.
Sin embargo, si el momento del par ya está aplicado al cuerpo y otras car gas hacen que ese cuerpo gire más, una cantidad 0 ',el trabajo es entonces .7 }
U'e = M8'
-d y — ? /
14-2) Cuando se aplican cargas a un cuerpo, deforman al material. Si no se pierde energía en forma de calor, el trabajo externo efectuado por las cargas se convertirá en trabajo inter no llamado energía de deformación. Esta energía, que siempre es positiva, se almacena en el cuerpo, y es causada por la acción de esfuerzo normal o el cortante. Energía de deform ación u n itaria.
ual a confuer-
jr en ahode la efec>adi-
Esfuerzo normal. Si el volumen del elemento de la figura 14-3 se some te al esfuerzo normal crz, la fuerza creada sobre las caras superior e infe rior es clF. = cr, dA = crz dx dy. Si se aplica esta fuerza en forma gradual al elemento, como la fuerza P mencionada antes, su magnitud aumenta de cero a dFz, mientras que el elemento sufre un desplazamiento = e. d z ■El trabajo efectuado por dFz es entonces dU¡ = jd F z d k z = ~[az dx dy]ez dz. Ya que el volumen del elemento es dV = dx dy dz, entonces
14-3) dU¡ = ^ z ez d v
scuro :splaiso el nieneguimbas L4-lc. i desijo de guiar i des-
(14-6)
Observe que U¡ siempre es positiva, aunque crz sea de compresión, ya que a z y 6; siempre tendrán la misma dirección. Entonces, en general, si el cuerpo sólo se somete a un esfuerzo normal uniaxial a, que actúa en una dirección especificada, la energía de defor mación en el cuerpo es entonces U, =
(14-7)
También, si el material se comporta en forma elástica lineal, se aplica la ley de Hooke, cr = Ee, y por consiguiente se puede expresar la energía de deformación en función del esfuerzo normal como sigue:
f dz
Fig. 14-3
Sección 14.1
:uanerza. Si el
14-1) efecigura le ce de la ineal, to es, para
Trabajo externo y energía de deformación
E l momento de un par M efectúa trabajo al sufrir un desplazamiento rotacional dO a lo largo de su línea de acción. El trabajo efectuado se define como dUe = M d8, figura 14-2. Si el ángulo total de desplazamiento rotacional es 8 rad, el trabajo es
Trabajo del m om ento de un par.
Uf
■ r
M de
(14-4)
Como en el caso de la fuerza, si se aplica el momento del par a un cuer po de material elástico lineal, de tal modo que aumenta su magnitud en forma gradual de cero a 8 = 0 a M en 8, el trabajo es entonces Ue = ~M 8
(14-5) a.
Sin embargo, si el momento del par ya está aplicado al cuerpo y otras car gas hacen que ese cuerpo gire más, una cantidad 0', el trabajo es entonces 7y
dx. U ’e = M 81
— dy — y /
14-2) :ual a i confuer-
ar en : ahode la efecd adi-
14-3)
iscuro ;splaaso el mien>eguijnbas 14-lc. udesijo de igular e des-
Energía de deform ación u n itaria. Cuando se aplican cargas a un cuerpo, deforman al material. Si no se pierde energía en forma de calor, el trabajo externo efectuado por las cargas se convertirá en trabajo inter no llamado energía de deformación. Esta energía, que siempre es positiva, se almacena en el cuerpo, y es causada por la acción de esfuerzo normal o el cortante.
Esfuerzo normal. Si el volumen del elemento de la figura 14-3 se some te al esfuerzo normal a z, la fuerza creada sobre las caras superior e infe rior es dFz = crz dA = a z dx dy. Si se aplica esta fuerza en forma gradual al elemento, como la fuerza P mencionada antes, su magnitud aumenta de cero a dFz, mientras que el elemento sufre un desplazamiento dA - = ez dz. El trabajo efectuado por dFz es entonces dU¡ = \d F z dAz = ^[cr2 dx dy]e. dz. Ya que el volumen del elemento es dV = dx dy dz, entonces 1 dU¡ = -CTZ€ZdV
(14-6)
Observe que U¡ siempre es positiva, aunque a z sea de compresión, ya que crz y €z siempre tendrán la misma dirección. Entonces, en general, si el cuerpo sólo se somete a un esfuerzo normal uniaxial
(14-7)
También, si el material se comporta en forma elástica lineal, se aplica la ley de Hooke, a - Ee. y por consiguiente se puede expresar la energía de deformación en función del esfuerzo normal como sigue:
f dz
Fig. 14-3
•
729
730
• CAPÍTULO 14 Métodos de energía
Fig. 14-4
U, =
í a2 — (IV V
(14-8)
Esfuerzo cortante. Una ecuación para la energía de deformación pare cida a la del esfuerzo normal se puede deducir para el material que se su jeta a esfuerzo cortante. Veamos el elemento de volumen de la figura 14-4. En él, el esfuerzo cortante hace que se deforme de tal manera que sólo está la fuerza cortante dF = r(dx dy), que actúa sobre la cara superior del elemento, se desplaza y d z respecto a la cara inferior. Las caras verticales sólo giran y por consiguiente no hacen trabajo las fuerzas cortantes sobre esas caras. Así, la energía de deformación almacenada en el elemento es
dU¡ = \ [ T(áx d y ) ] y d z
o sea dU¡ = ^ r y d V
(14-9)
donde dV = dx dy dz es el volumen del elemento. Esta ecuación se integra sobre todo el volumen del cuerpo para obte ner la energía de deformación que se almacena en él; es
U¡ =
"ydV Jv ¿
(14-10)
Como en el caso del esfuerzo normal, la energía de deformación cortan te siempre es positiva, ya que r y y siempre tienen la misma dirección. Si el material es elástico lineal, entonces, al aplicar la ley de Hooke, y = t/G , se puede expresar la energía de deformación en función del esfuerzo cortante como sigue:
Ui = i ¿ i V
(14-11)
En la siguiente sección usaremos las ecuaciones 14-8 y 14-11 para ob tener ecuaciones formales de la energía de deformación almacenada en
Sección 14.1
Trabajo externo y energía de deformación
i (b) (a) Fig. 14-5
miembros sujetos a varios tipos de carga. Una vez hecho esto, podremos entonces desarrollar los métodos de energía, necesarios para determinar el desplazamiento y la pendiente en los puntos de un cuerpo. Esfuerzo multiaxial. E l desarrollo anterior se puede ampliar para deter minar la energía de deformación en un cuerpo cuando se somete a un estado general de esfuerzo, figura 14-5a. Las energías de deformación aso ciadas a cada uno de los componentes de esfuerzo normal y cortante se puede obtener con las ecuaciones 14-6 y 14-9. Como la energía es escalar, la energía total de deformación en el cuerpo es
+ 2 TxyJxy + 2
+ 2 TxzJxz dV
(14-12)
Las deformaciones unitarias se pueden eliminar empleando la forma ge neralizada de la ley de Hooke, expresada en las ecuaciones 10-18 y 10-19. Después de sustituir y combinar los términos se llega a
(14-13) Si sólo actúan los esfuerzos principales a x, a2 y cr3 sobre el elemento, fi gura 14-5£>, esta ecuación se reduce a la forma más simple:
£/,' = í -^={o-i2 + (T22 + a -32) - ^(a-ia2 + 0 - 2 ^ + ai(T3) dV
(14-14)
Recuerde que usamos esta ecuación en la sección 10.7, como base para desarrollar la teoría de la energía de distorsión máxima.
• 731
732
• CAPÍTULO 14 Métodos de energía
14 .2
En ergía de d efo rm ació n elástica para v a ria s ciases de carga Determinaremos ahora la energía de deformación almacenada en un miembro, al someterse a una carga axial, momento de flexión, corte trans versal y momento de torsión, usando las ecuaciones de la energía de de formación elástica deducidas en la sección anterior. Se presentarán ejem plos para demostrar cómo se calcula la energía de deformación en miembros sujetos a cada una de esas cargas. Carga a xia l. Imagine una barra de sección variable, ligeramente cóni ca, que se somete a una carga axial coincidente con el eje centroidal de la barra, figura 14-6. La fuerza axial interna en una sección ubicada a una distancia x de un extremo es N. Si el área transversal en esta sección es A, entonces el esfuerzo normal sobre la sección es a = N/A. A l aplicar la ecuación 14-8 se obtiene
Fig. 14-6
Si se escoge un elemento, o rebanada diferencial de volumen dV = A dx, la fórmula general de la energía de deformación en la barra es, por con siguiente,
(14-15)
Para el caso más común de una barra prismática de sección transversal constante A, longitud L y carga axial N constante, figura 14-7, al integrar la ecuación 14-15 se obtiene
Ui =
n 2l
2AE
(14-16)
Fig. 14-7
En esta ecuación se puede ver que la energía de deformación elástica de la barra aumentará si aumenta la longitud de la barra, o si disminuyen el módulo de elasticidad o el área transversal. Por ejemplo, una barra de aluminio [£aí = 10( 103) klb/pulg2] almacenará unas tres veces la energía que una barra de acero [£ac = 29(103) klb/pulg2] que tenga las mismas dimen siones y esté sometida a la misma carga. Por otra parte, al aumentar el área transversal al doble en determinada barra, disminuirá a la mitad su capa cidad de almacenar energía. El ejemplo que sigue ilustra esto, en forma numerica.
Sección 14.2
Energía de deformación elástica para varias clases de carga
E J E M P L O Se debe escoger uno de los dos tornillos de acero de alta resistencia, A y B de la figura 14-8, para soportar una carga repentina de tensión. Para elegir es necesario determinar la máxima cantidad de energía de de formación elástica que puede absorber cada tornillo. E l tornillo A es de 0.875 pulg de diámetro por 2 pulg de longitud, con diámetro de raíz (el diámetro mínimo) de 0.731 pulg en el tramo roscado de 0.25 pulg. El tornillo B tiene roscas “recalcadas”, tales que el diámetro en todo su tramo de 2.25 pulg se puede suponer de 0.731 pulg. En ambos casos, no tener en cuenta el material adicional que forma las roscas. Suponer que £ ac = 29(103) klb/pulg2, oy = 44 klb/pulg2.
2 pulg
2.25 p u lg !— 0.875 pulg
— 0.731 pulg
0.25 pulg
0.731 pulg
Fig. 14-8 S o lu c ió n
Tornillo A. Si el tornillo se somete a su tensión máxima, el esfuerzo máximo de oy = 44 klb/pulg2 se presentará en la región de 0.25 pulg. Esta fuerza de tensión es '0.731 p u lg V = 18.47 klb ^náx = o YA = 44 klb/pulg2 7r
6)1
Se aplica la ecuación 14-16 a cada región del tornillo como sigue: N 2L 2AE
(18.47 klb)2(2 pulg) (18.47 klb)2(0.25 pulg) + 2[tt(0.875 pulg/2)2][29(103) klb/pulg2] 2[tt(0.731 pulg/2)2]29(103) klb/pulg2 = 0.0231 pulg - klb
Resp.
Tomillo B. En este caso se supone que el tornillo tiene un diámetro uniforme de 0.731 pulg en su longitud de 2.25 pulg. También, de acuer do con el cálculo anterior, puede soportar una fuerza máxima de ten sión de Pmáx = 18.47 klb. Entonces, U¡ =
N 2L 2AE
(18.47 klb)2(2.25 pulg) = 0.0315 pulg •klb 2[tt(0.731 pulg/2)2][29(103) klb/pulg2]
Al comparar se ve que el tornillo B puede absorber 36% más energía elástica que el tornillo A. aun cuando su sección transversal es menor en su fuste.
Resp.
•
733
734
• CAPÍTULO 14 Métodos de energía
M om ento de fle xió n . Como un momento de flexión aplicado a un miembro prismático recto causa el desarrollo de esfuerzo normal en él, se puede usar la ecuación 14-8 para determinar la energía de deformación almacenada en el miembro, debido a la flexión. Por ejemplo, veamos la vi ga axisimétrica de la figura 14-9. En este caso, el momento interno es M y el esfuerzo normal que actúa sobre el elemento arbitrario a la distancia y del eje neutro es a = My/1. Si el volumen del elemento es dV = dA dx, donde dA es el área de su cara expuesta y dx es su longitud, la energía de deformación elástica en la viga es
Si se tiene en cuenta que la integral del área representa al momento de inercia de la viga respecto al eje neutro, el resultado final se puede escri bir como sigue:
(14-17)
Entonces, para evaluar la energía de deformación, primero hay que ex presar el momento interno como función de su posición a lo largo de la viga, para entonces hacer la integración sobre toda la longitud de la viga.* Los ejemplos que siguen ilustran este procedimiento.
Fig. 14-9
*Recuérdese que la fórmula de la flexión, tal como se usa aquí, también se puede usar con exactitud justificable para determinar el esfuerzo en vigas ligeramente cónicas (vea la sección 6.4). Entonces, en sentido general, 1 en la ecuación 14-17 también podrá ser ex presado en función de x.
Sección 14.2
Energía de deformación elástica para varias clases de carga
• 735
14.2
E J E M P L O
Determine la energía de deformación elástica debida a la flexión de la viga en voladizo, si está sometida a la carga uniformemente distribui da w, figura 14-10«. El es constante.
JTTTTTTTTTTTT (a) Fig. 14-1«
Solución
El momento interno en la viga se determina definiendo la coordenada x con origen en el lado izquierdo. El segmento izquierdo de la viga se
ve en la figura 14-106. Se tiene que i + ZM na = 0 ;
M + w*( — | = 0 M = —iv( —
Al aplicar la ecuación 14-17 se obtiene -M
Ui=
I0
2E l
J0
4 )
2E l »E l
o sea U¡ =
M
(b)
w2L 5
Resp.
40£7
También se puede obtener la energía de deformación usando una coordenada x que tenga su origen en el lado derecho de la viga, cuya dirección positiva sea hacia la izquierda, figura 14-10c. En este caso,
i,+ 1.Mna = 0;
—M -
+ wL(x) —
= 0
wL2
f x2
2
V2
M
tB H f
M = — - — I- ivL,v — iv —
(C )
Al aplicar la ecuación 14-17 se obtiene el resultado anterior.
-
736
• CAPÍTULO 14 Métodos de energía
E J E M P L O Determinar la energía de deformación de flexión, en la región A B de la viga que muestra la figura 14-11«. El es constante.
(a)
A ís.
__a
H 2P ~X}-
(b )
Fig. 14-U
Solución
En la figura 14-116 se ve el diagrama de cuerpo libre de la viga. Para llegar a la respuesta se puede expresar el momento interno en función de cualquiera de las tres coordenadas “ j e ” indicadas, para después apli car la ecuación 14-17. A continuación se examinará cada una de esas soluciones. 0 ^ x x ^ L. De acuerdo con el diagrama de cuerpo libre del tramo de la figura 14-1 le, Ai,
i+ 1 M na = 0;
M, + Px] = 0 M x = —Px\
I" M 2 dx = ( L { - P x t f d x x (C)
' J 2E l
oL P2L 3 6E l
2E l Resp.
Sección 14.2
Energía de deformación elástica para varias clases de carga
■CÍ!\~x2-
M ’v
I 2
P
(d) 0 < x2 ^ L. Se usa el diagrama de cuerpo libre del tramo en la figu ra 14-1 Id, y el resultado es 1+ 2 M na = 0;
- M 2 + 2P(x2) - P(x2 + L) = 0 M2 - P(x2 - L) M 2 dx [ L [P ( X 2 ~ L)]2 dx2 2EI P 2ZLr 3 6E l
Resp.
■CÍ!
A i,
(* 3 “
L )
■x 3 (e)
L < ¡ t 3 < 2L. ra 14-1 le,
De acuerdo con el diagrama de cuerpo libre de la figu
i+ S M na = 0;
-M 3 + 2P (*3 - L) - P (x 3) = 0 M3 = P{x3 - 2L)
U¡ =
M 2 dx 2E l
f 2L [P(JC3 “ 2L ) f dx3 2E l L P2L3 6E l
Resp.
Éste y el ejemplo anterior indican que la energía de deformación en la viga se puede calcular usando cualquier coordenada adecuada x. Só lo es necesario integrar sobre el intervalo de la coordenada donde se va a determinar la energía interna. En este caso, al elegir x\ la solución es más sencilla.
738
• CAPÍTULO 14 Métodos de energía
Cortante tran sversal. La energía de deformación debida al esfuerzo cortante en un elemento de viga se determina aplicando la ecuación 14-11. En este caso supondremos que la viga es prismática y que tiene si metría con respecto al eje y, como se indica en la figura 14-12. Si el cor tante interno en la sección .v es V, el esfuerzo cortante que actúa sobre el volumen del elemento de material que tiene longitud dx y área dA es r = VQ/It.Esto se sustituye en la ecuación 14-11,y la energía de deformación para cortante es
L (Y 2 \ 2d A dx
' 2 G \ It ) V
u - \ L y l t í 91 ' í 2GI2{ ) a t2 dA Fig. 14-12
dx
La integral entre paréntesis se evalúa sobre el área transversal de la viga. Para simplificar esta ecuación definiremos al factor deforma para cortan te como sigue: fs
(14-18)
dA
,2
Esto se sustituye en la ecuación anterior y se obtiene
(14-19) El factor de forma definido por la ecuación 14-18 es un número adimensional único para cada área transversal específica. Por ejemplo, si la viga tiene sección transversal rectangular de ancho b y altura h, figura 14-13, entonces t = b A = bh 1
' *
T ib lf
Q - y A
Fig. 14-13
-U
+ — -—
It
Estos términos se sustituyen en la ecuación 14-18, y se obtiene bh
( h/z b2 ( h 2
,V
6
(14-20)
El factor de forma de otras secciones se puede determinar en forma pa recida. Una vez obtenido, este número se sustituye en la ecuación 14-19 y se puede evaluar entonces la energía de deformación para el cortante transversal.
Sección 14.2
E J E M P L O
Energía de deformación elástica para varias clases de carga
14.4
Determinar la energía de deformación en la viga en voladizo, debida al cortante, si la viga tiene sección transversal cuadrada y está some tida a una carga uniformemente distribuida w, figura 14-14«. El y G son constantes.
rTTTTTTTT I
;D
M
(a)
(b )
Fig. 14-14
Solución
De acuerdo con el diagrama de cuerpo libre de una sección arbitra ria, figura 14-146, —V - wx = 0
+ T 2F, = 0;
V = —wx
Como la sección transversal es cuadrada, el factor de forma fs = ¡ (ecuación 14-20), y por consiguiente la ecuación 14-19 se transforma en f L l ( - w
x
)2
dx 3w2 ( L ,
2GA (Uds =
5CA w 2L?
5GA
Resp.
Usando los resultados del ejemplo 14.2, con A = a1,1 = -¡ya4, la relación de la energía de deformación cortante a la deflexión es (U i)s (Ufo
w2L?/5Ga2 w
Ya que G = E /2(1 + v) y v s ~ (sección 10.6), entonces, como lími te superior, E = 3G. por lo que ( U j) s = J a _
(Udb
\L
Se puede ver que esta relación aumenta cuando L disminuye. Sin em bargo. aun para vigas muy cortas en las que, digamos, L = 5a, la con tribución debida a la energía de deformación por cortante sólo es el 8 % de la energía de deformación por flexión. Por esta razón, en el análisis de ingeniería no se suele tener en cuenta la energía de defor mación por cortante almacenada en las vigas.
• 739
740
• CAPÍTULO 14 Métodos de energía
M om ento de torsión. Para determinar la energía de deformación in terna en un eje o tubo redondos, debida a un momento de torsión aplica do, se debe emplear la ecuación 14-11. Imagine el eje ligeramente cónico de la figura 14-15. Una sección del eje que esté a una distancia x de un extremo está sometida a un par interno de torsión T. La distribución del esfuerzo cortante que causa este par de torsión varía en forma lineal, a partir del centro del eje. En el elemento arbitrario de longitud dx y área dA, el esfuerzo es r = Tp/J. Así, la energía de deformación almacenada en el eje es
«-
\vÉ s d V - l h ( £f í d A d x T2
p2 dA 1dx
-o 2G J 2 "A F,g' 14-15
Ya que la integral de área representa el momento polar de inercia J del eje en la sección, el resultado final se puede escribir como sigue:
(14-21) El caso más común se presenta cuando el eje (o el tubo) tiene un área transversal constante, y la torsión aplicada es constante, figura 14-16. En tonces, la integración de la ecuación 14-21 da como resultado
U, =
Fig. 14-16
TlL 2GJ
(14-22)
De esta ecuación se puede concluir que, como un miembro con carga axial, la capacidad de absorción de energía de un eje con carga de torsión disminuye al aumentar el diámetro del eje, ya que con ello se aumenta J. Si el corte transversal del eje tiene una forma que no sea circular o tu bular, debe modificarse la ecuación 14-22. Por ejemplo, si es rectangular con dimensiones h > b, entonces, mediante un análisis matemático basa do en la teoría de la elasticidad.se puede demostrar que la energía de de formación en el eje se determina con U, =
T L 2Cb3hG
(14-23)
en donde C =
16
16 b( b4 — - 3.336- 1 --------t 3 h\ \2h
(14-24)
En el ejemplo que sigue se ilustra cómo determinar la energía de de formación en un eje, debida a carga de torsión.
Sección 14.2
E J E M P L O
Energía de deformación elástica para varias clases de carga
14.S
El eje tubular de la figura 14-17« está empotrado en un muro y some tido a los dos pares de torsión indicados. Determine la energía de de formación almacenada en el eje, debida a estas cargas. G = 75 GPa.
15 N m
7" = 4 0 N -m 40
40
Fig. 14-17 S o lu c ió n
Usando el método de la secciones, primero se determina el par de tor sión interna en las dos regiones del eje donde es constante, figura 14-176. Aunque esas torsiones (40 N •m y 15 N •m) tienen direcciones contrarias, eso no importará en la determinación de la energía de de formación, porque el par de torsión aparece al cuadrado en la ecuación 14-22. En otras palabras, la energía de deformación siempre es positi va. El momento polar de inercia del eje es j = |[(0.08m )4 - (0.065 m)4] = 36.30(10~6) m4
Se aplica la ecuación 14-22, y entonces T~I u‘ =^y — 2GJ
(40 N •m)2(0.750 m) 2[75(109) N/m2]36.30(10-6) m4 = 233 /iJ
(15 N •m)2(0.300 m) 2[75(109) N/m2]36.30(10“6) m4 Resp.
•
741
742
• CAPÍTULO 14 Métodos de energía
PUNTOS IMPORTANTES • Una fuerza efectúa trabajo al moverse en un desplazamiento. Si la fuerza aumenta de magnitud en forma gradual, de cero a F, el trabajo es U = (Ffl) A, mientras que si la fuerza es constante cuan do se efectúa el desplazamiento, entonces U = £A. • Un momento de par efectúa trabajo al moverse en una rotación. • La energía de deformación es causada por el trabajo interno de los esfuerzos normal y cortante. Siempre es una cantidad positiva. • La energía de deformación se puede relacionar con las cargas in ternas resultantes N, V, M y T. • A medida que la viga es más larga, la energía de deformación de bida a la flexión se hace mucho mayor que la energía de defor mación debida a cortante. Por esta razón, la energía de deforma ción cortante en las vigas en general se puede despreciar.
PROBLEMAS 14-1. Un material se somete a un estado general de es fuerzo plano. Exprese la densidad de energía de deforma ción en función de las constantes de elasticidad E. G y v, y de los componentes de esfuerzo
15mni „ i /i ;— 1--------1-----1 -r - <— -
»1
----5kN
1
2kN
°y
5kN ^(m
L__ onrv ______1 JUUlililí
*
HUU11UU
Prob. 14-3
*14-4. Usando tornillos del mismo material y área trans versal, se ven dos arreglos posibles para la cabeza del cilin dro. Compare la energía de deformación que se desarrolla en cada caso, y entonces explique qué diseño es mejor para resistir un choque axial o una carga de impacto. Prob. 14-1
14-2. La densidad de energía de deformación debe ser la misma, sea que el estado de esfuerzo se represente por
Prob. 14-4
Pro blem a s
•
743
*14-8. Determine la energía total de deformación axial y por flexión en la viga de acero A-36. A = 2300 mm2,1 = 9.5(106) mm4.
Ly-
1.5 k N /m
■ i O
Q)
-► 15 kN
-10 m -
Prob. 14-4 (cont.)
Prob. 14-8
14-5. Determine la energía de deformación por torsión en el eje de acero A-36. El radio del eje es 30 mm.
14-9. Determine la energía total de deformación axial y por flexión en la viga W8 x 58 de acero estructural A-36. 5 klb
Prob. 14-5 Prob. 14-9
14-6. Determine la energía de deformación por flexión en la viga estructural W 10 X 12 de acero A-36. Obtenga la respuesta usando las coordenadas (a) x t y x4 y (b) x 2 y x3.
6 klb
i h*41----x2 ~ 12 p ies---------------- - •-----6 pies — Prob. 14-6
14-7. Determine la energía de deformación por flexión en la viga debido a la carga indicada. E l es constante.
14-10. La viga simplemente apoyada está sometida a la carga que se indica. Determine la energía de deformación por flexión en la viga. w
ja 1
e 2
2 Prob. 14-10
14-11. Determine la energía de deformación por flexión en la viga de acero A-36. debida a la carga que se indica. Obtenga la respuesta usando las coordenadas (a) x x y x4 y (b) * 2 y * 3. / = 53.8 pulg4.
r
M„
8 k lb /p ie
.................
-* á 1— jt2 — ----------------- 10 p ie s---------------- - — Prob. 14-7
Prob. 14-11
5 pies ----- -
744
• CAPÍTULO 14 Métodos de energía
*14-12. Determine la energía de deformación por flexión en la viga en voladizo, debido a una carga uniforme w. Re suelva el problema en dos formas, (a) Aplique la ecuación 14-17. (b) La carga w dx que actúa sobre un segmento dx de la viga se desplaza una distancia y, siendo y = iv( —v4 + 4 L3x —3L4)/(24£7) la ecuación de la curva elástica. De aquí, la energía de deformación interna en el segmento di ferencial dx de la viga es igual al trabajo externo, es decir, dU¡ = |(>v d x )(-y ). Integre esta ecuación para obtener la energía total de deformación en la viga. E l es constante.
14-15. La columna de concreto contiene seis varillas de refuerzo de acero, de 1 pulg de diámetro. Si la columna soporta una carga de 300 klb, calcule la energía de defor mación en la columna. Eac = 29(103) klb/pulg2; Ec = 3.6(103) klb/pulg2. 3 00 klb
w dx
dx— |
XV T
Prob. 14-12 Prob. 14-15
14-13. Determine la energía de deformación por flexión en la viga simplemente apoyada, debida a una carga uni forme w. Resuelva el problema en dos formas, (a) Aplique la ecuación 14-17. (b) La carga w dx que actúa sobre el seg mento dx de la viga se desplaza una distancia y. siendo y = 24£ / ( —-v'4 + 4 ¿ 3a- —3L4) la ecuación de la curva elás tica. En consecuencia, la energía de deformación interna en el segmento diferencial dx de la viga es igual al traba jo externo, que es dU¡ = y (iv dx)( —y). Integre esta ecua ción para obtener la energía total de deformación en la viga. E l es constante.
*14-16. Calcule la energía de deformación por flexión en la viga, y la energía de deformación axial en cada uno de los dos postes. Todos los miembros son de aluminio y tie nen una sección transversal cuadrada de 50 mm por 50 mm. Suponga que los postes sólo soportan una carga axial. £ a, = 70 GPa.
ík N /m
rTTTTTTTirn
z iv
dx 1.5 m
■
Y
..
dx—
![
.....................................................................
| 11
XY
- L ------------------------------------------------- -
_ ------- 3 m -
Prob. 14-13
Prob. 14-16
14-14. Determine la energía de deformación cortante en la viga. La viga tiene un corte transversal rectangular con área A , y su módulo de cortante es G.
14-17. Determine la energía de deformación por flexión en la viga, debida a la carga distribuida. E l es constante.
P ro blem a s
14-18. La viga de la figura se reduce a lo largo de su an cho. Si se aplica una fuerza P en su extremo, determine la energía de deformación en ella, y compare este resultado con el de una viga que tenga una sección transversal rec tangular constante, de ancho b y altura h.
• 745
14-21. Los tubos están en el plano horizontal. Si el tubo de la figura se somete a una fuerza vertical P en su extre mo, determine la energía de deformación debida a flexión y a torsión. Exprese los resultados en función de las pro piedades del área transversal. / y J, y de las propiedades del material, E y G.
14-19. Calcule la energía total de deformación en el con junto de acero.Tenga en cuenta la energía de deformación axial en las dos varillas de 0.5 pulg de diámetro, y la ener gía de deformación por flexión en la viga, cuyo momento de inercia es I = 43.4 pulg4 respecto a su eje neutro. E.ic = 29(103) klb/pulg2.
P Prob. 14-21
14-22. Determine la energía de deformación en la barra curva horizontal, debida a la torsión. Hay una fuerza P ver tical que actúa en su extremo. JG es constante.
Dies 5001b
4 pies
4 pies
Prob. 14-19
*14-20. Se aplica una carga de 5 kN al centro de la viga de acero A-36, para la cual 1 = 4.5(106) mm4. Si la viga se apo ya en dos resortes, cada uno con k = 8 MN/m de rigidez, calcule la energía de deformación en cada uno de los resor tes, y la energía de deformación por flexión en la viga.
P Prob. 14-22
5 kN -3 m
3m -
Prob. 14-20
14-23. Considere el tubo de pared delgada de la figura 5-30. Use la fórmula del esfuerzo cortante, r prom= T/2t A,n, ecuación 5-18, y la ecuación general de energía de defor mación cortante, ecuación 14-11, para demostrar que el esfuerzo de rotación del tubo es dado por la ecuación 5-20. Sugerencia: iguale el trabajo hecho por el par de torsión T a la energía de deformación en el tubo, determinado a par tir de integrar la energía de deformación por un elemento diferencial, figura 14-4, sobre el volumen del material.
746
• CAPÍTULO 14 Métodos de energía
14 .3
Co nservació n de la en ergía Todos los métodos de energía que se usan en mecánica se basan en un balance de energía, que con frecuencia se llama conservación de la ener gía. En este capítulo sólo se considerará la energía mecánica en ese balance; esto es. no se tendrán en cuenta la energía debida al calor, reac ciones químicas y efectos electromagnéticos. E l resultado es que si una carga se aplica lentamente a un cuerpo, de tal modo que también se pue da despreciar la energía cinética, entonces, desde el punto de vista físico, las cargas externas tienden a deformar al cuerpo de tal modo que hacen trabajo externo Uc a medida que se desplazan. Este trabajo externo cau sado por las carga se transforma en trabajo interno, o energía de deformación U¡, que se almacena en el cuerpo. Además, cuando se quitan las fuerzas, la energía de deformación restituye al cuerpo a su posición original no de formada, siempre que no se haya excedido el límite elástico del material. En consecuencia, la conservación de la energía para un cuerpo se puede enunciar matemáticamente como sigue: (14-25) Ahora describiremos tres ejemplos de la forma en que se puede aplicar esta ecuación para determinar el desplazamiento de un punto en un miem bro o estructura deformables. Como primer ejemplo veamos la armadu ra de la figura 14-18, sometida a la carga conocida P. Si P se aplica en for ma gradual, el trabajo externo que efectúa P se determina con la ecuación 14-2, esto es, Ue = \PA, donde A es el desplazamiento vertical de la arma dura en el nudo donde se aplica P. Suponiendo que P causa una fuerza axial N en determinado miembro, la energía de deformación que almace na ese miembro se calcula con la ecuación 14-16,11¡ = N2L/2A F. Se su man las energías de deformación de todos los miembros de la armadura, y la ecuación 14-25 se podrá escribir como
(14-26) Una vez determinadas las fuerzas internas (N ) en todos los miembros de la armadura, y calculados los términos de la derecha, será posible deter minar el desplazamiento desconocido A.
A P Fig. 14-18
S e c c ió n
14.3 Conservación de la energía
Como segundo ejemplo, examinemos el cálculo del desplazamiento ver tical A debido a la carga conocida P que actúa sobre la viga de la figura 14-19. Otra vez el trabajo externo es Ue = |PA. Sin embargo, en este ca so la energía de deformación sería el resultado de las cargas internas de cortante y de momento causadas por P. En particular, la contribución de la energía de deformación por cortante se desprecia en general, en la ma yor parte de los problemas de deflexión a menos que la viga sea corta y que soporte una carga muy grande. (Vea el ejemplo 14.4.) En consecuen cia, la energía de deformación de la viga sólo se determinará con el mo mento interno de flexión M y por consiguiente, usando la ecuación 14-17, la ecuación 14-25 se puede escribir en forma simbólica como sigue: 'A M2 dx 2E l
(14-27)
Fig. 14-19
Una vez que M esté expresado en función de la posición y esté evaluada la integral, se podrá determinar A. Como último ejemplo, examinaremos una viga cargada por un momen to M0 de par, como se ve en la figura 14-20. Este momento causa el des plazamiento rotacional 6 en su punto de aplicación. Ya que el momento del par sólo efectúa trabajo cuando gira , de acuerdo con la ecuación 14-5 el trabajo externo es Ue = -M^d. Por consiguiente, la ecuación 14-25 se transforma en
1 ... fL M2 2 m °9 = ^0 L Y ü dx
(1 4 ' 28 )
En este caso la energía de deformación queda determinada por el mo mento de flexión interno M causado por la aplicación del momento del par M0. Una vez expresado M en función de x y evaluada la energía de deformación, se podrá calcular 0. En cada uno de los ejemplos anteriores se debe hacer notar que la apli cación de la ecuación 14-25 es bastante limitada, porque sobre el miem bro o estructura sólo debe actuar una fuerza o momento externo. En otras palabras, el desplazamiento sólo se puede calcular en el punto y en la di rección de la fuerza o el par externos. Si se aplicaran más de una fuerza o momento externos, el trabajo externo de cada carga implicaría su despla zamiento desconocido correspondiente. El resultado sería que todos esos desplazamientos desconocidos no se podrían determinar, ya que sólo se cuenta con la única ecuación 14-25 para la solución. Aunque la aplicación de la conservación de la energía, tal como se describe aquí, tiene esas res tricciones, sí sirve como introducción a métodos de energía más generales que describiremos en el resto de este capítulo. En forma específica, se de mostrará en secciones posteriores que si se modifica el método de aplica ción del principio de la conservación de la energía podremos efectuar un análisis totalmente general de la deflexión de un miembro o estructura.
Fig. 14-20
• 747
748
CAPÍTULO 14 Métodos de energía
E J E M P L O La armadura de tres barras de la figura 14-21« está sometida a una fuer za horizontal de 5 klb. Si el área transversal de cada miembro es 0.20 pulg2, determine el desplazamiento horizontal en el punto B. E = 29(103) klb/pulg2. B *■ 5 klb
- "¿no
4 pies
2 oies 5.77 klb
B
H\b = 2-89 klb
(a)
(b)
Fig. 14-21
S o lu c ió n
Se puede aplicar la conservación de la energía para resolver este pro blema, porque sobre la armadura sólo actúa una fuerza externa, y el desplazamiento que se presenta tiene la misma dirección que la fuer za. Además, las fuerzas de reacción sobre la armadura no efectúan tra bajo, porque no se desplazan. La fuerza en cada miembro se obtiene con el método de los nodos, como se ve en los diagramas de cuerpo libre de las articulaciones en B y C, figura 14-216. Al aplicar la ecuación 14-26 se obtiene 2AE
|(5 klb)(Ag)/,
(2.89 klb)2(2 pies) (-5.77 klb)2(4 pies) 2A E + 2AE (- 5 klb)2(3.4ó pies) 2AE
Observe que como N está elevado al cuadrado, no importa si determi nado miembro está en tensión o en compresión. Se sustituyen los da tos numéricos de A y E, y se hacen los cálculos: 47.32 klb •pie (12 pulg/pie) (0.2 pulg2)[29(103) klb/pulg2] = 0.0979 pulg —»
Resp.
S ec c ió n
14.3 Conservación de la energía
E J E M P L O La viga en voladizo de la figura 14-22« tiene sección transversal rec tangular, y se somete a una carga P en su extremo. Determine el des plazamiento de la carga. E l es constante. Solución
El cortante y el momento internos en la viga, en función de jc, se deter minan con el método de las secciones, figura 14-22b. Para aplicar la ecuación 14-25 se tienen en cuenta la energía de de formación debidas al cortante y a la flexión. Se usan las ecuaciones 14-19 y 14-17, como sigue: i « -
(a)
rL M - dx 2E l
f sV 2 dx 2GA
(I Y - P f d x 2GA
L__________
+
M = - Px
L( - P x ) 2 dx 2EI
,2 ,3
3P L P L + 5GA 6EI
----- A V = - P
( 1)
El primer término del lado derecho de esta ecuación representa la ener gía de deformación debida al cortante, y el segundo es la energía de de formación debida a la flexión. Como se dijo en el ejemplo 14.4, en la mayor parte de las vigas la energía de deformación por cortante es mu cho menor que la debida a la flexión. Para mostrar cuándo es ese el ca so para la viga de la figura 14-22« se requiere que 3 P2L « 5 GA 3 P2L « 5 G(bh)
P2L3 6E l P2L3 6 E [±(bh3)}
3 2 L2 « 5G Eh2 Ya que E < 3G (vea el ejemplo 14.4), entonces
Por consiguiente, si h es pequeña y L es relativamente grande (en com paración con h), la viga es esbelta, y la energía de deformación por cor tante se puede despreciar. En otras palabras, la energía de deformación por cortante se vuelve importante sólo para vigas cortas y profundas. Por ejemplo, las vigas en las que L - 5h tienen más de 28 veces más de energía de deformación por flexión que de deformación por cortante, por lo que si no se tiene en cuenta la energía de deformación por cor tante el error aproximado será de 3.6%. Con esto en mente, la ecua ción 1 se puede simplificar a 1 P 2L3 —P A = ------2 6E l De modo que A =
PU 3EI
Resp.
(b )
Fig. 14-22
• 749
750
• CAPÍTULO 14 Métodos de energía
PROBLEMAS *14-24. Determine el desplazamiento vertical de la ar ticulación C. A E es constante.
6 kN-ra
8 ni Prob. 14-27
*14-28. Determine el desplazamiento del punto B en la viga de acero A-36. / = 250 pulg4. ¡ k lb
• 15 pies
Prob. 14-24
10 pies
Prob. 14-28
14-25. Determine el desplazamiento horizontal de la ar ticulación D. A E es constante.
14-29. Determine el desplazamiento del punto B en la viga de acero A-36.1 = 80(106) mm4.
20 kN
Prob. 14-29 Prob. 14-25
14-26. La viga en voladizo se somete a un momento de par M0 aplicado en su extremo. Determine la pendiente de la viga en B. E l es constante.
14-30. Use el método del trabajo y la energía para deter minar la pendiente de la viga en el punto B, en el proble ma 14-7. E l es constante. 14-31. Determine la pendiente en el punto A de la viga. E l es constante.
A M
í
c
B
> ,
a
,
X L.
Prob. 14-26
Prob. 14-31
14-27. Determine la pendiente en el extremo B de la viga de acero A-36. / = 80(106) mm4.
*14-32. Determine la pendiente en el punto C de la viga de acero A-36.1 = 9.50(106) mm4.
Pro blem a s
B
Li a
C
“ 37 --------4 m -
-------- 1------ -----
4 m -------------
Prob. 14-32
•
751
14-37. La varilla es redonda, su momento polar de iner cia es / y su momento de inercia es /. Si se aplica una fuer za vertical P en A , determine el desplazamiento vertical en ese punto. Tenga en cuenta la energía de deformación debica a la flexión y a la torsión. Las constantes del mate rial son E y G.
14-33. Las barras de acero A-36 están articuladas en C. Si cada una tiene 2 pulg de diámetro, determine el despla zamiento en E. 2 klb
1-tfT | - 6 pies -j* 6 p ie s —f-—
8 pies
10 pies
Prob. 14-33
14.34. Las barras de acero A-36 están articuladas en C y D. Si cada una tiene la misma sección transversal rectan gular, y su altura es 200 mm y su ancho es 100 mm. calcu le el desplazamiento vertical en B. No tenga en cuenta la carga axial en las barras. Prob. 14-37
50 0 N
b
\
D
C
®) 2 ni
!
2m
3 ni
*•
3 m
Prob. 14-34
Las barras de acero A-36 están articuladas en B y C. Si cada una tiene 30 mm de diámetro, calcule la pen diente en E. 14-35.
300 N -m
' zz 3m -
B
m
C
:
D
■2 n i
2m
■3m
14-38. La carga P hace que las espiras del resorte formen un ángulo 0 con la horizontal, al estirarlo. Demuestre que para esta posición, eso causa un par de torsión T = PR eos d y un momento de flexión M — P R sen 6 en la sección transversal. Con estos resultados determine el esfuerzo normal máximo en el material. 14-39. El resorte helicoidal tiene n espiras, y es de un ma terial cuyo módulo de cortante es G. Determine la elon gación del resorte cuando se le aplica la carga P. Suponga que las espiras son cercanas entre sí, de modo que 6 = 0o, y que la deflexión se debe en su totalidad al esfuerzo de torsión en las espiras.
Prob. 14-35
*14-36. La varilla es redonda, y su momento de inercia es /. Si se aplica una fuerza vertical P en A . determine el desplazamiento vertical en ese punto. Sólo tenga en cuen ta la energía de deformación debida a la flexión. El módu lo de elasticidad es E.
Probs. 14-38/39
752
• CAPÍTULO 14 Métodos de energía
14 .4
Carga de im pacto
h
En todo este libro hemos considerado que todas las cargas se aplican a un cuerpo en forma gradual, de tal modo que cuando llegan a un valor má ximo permanecen constantes, o estáticas. Sin embargo, hay cargas que son dinámicas; esto es, varían en función del tiempo. Un ejemplo sería el del choque de objetos. A eso se le llama carga de impacto. En forma especí fica, hay un impacto cuando un objeto golpea a otro, de tal modo que se desarrollan grandes fuerzas en los objetos durante un tiempo muy corto. Si suponemos que durante el impacto no se pierde energía, podremos estudiar la mecánica del impacto aplicando la conservación de la energía. Para mostrar cómo se hace primero analizaremos el movimiento de un sistema sencillo, de bloque y resorte, como el de la figura 14-23. Cuando se suelta el bloque desde el reposo, cae una distancia h y golpea al resor te; lo comprime una distancia Amáx antes de llegar a un reposo momentá neo. Si no se tiene en cuenta la masa del resorte, y si se supone que la res puesta del mismo es elástica, la conservación de la energía establece que la energía del bloque que cae se transforme en energía almacenada (de deformación) en el resorte; en otras palabras, el trabajo efectuado por el peso del bloque al caer la distancia h + Amáx será igual al trabajo efectua do para desplazar el extremo del resorte una cantidad Amáx. Como la fuer za en un resorte se relaciona con Amáx por la ecuación F = ¿Amáx, siendo k la rigidez del resorte, entonces, al aplicar la conservación de la energía y la ecuación 14-2 se obtiene Ue = U¡ Ue = U¡ 1 W (h + Amáx) = ^ A:A^áx
A L, - f
A -, -
(14-29) >
- 0
De esta ecuación cuadrática se puede despejar Amáx. La raíz máxima es
Si el peso W se aplica en forma gradual al resorte, el desplazamiento de su extremo es Aac = W/k. Mediante esta simplificación, la ecuación ante rior se transforma en Esta barrera pretende absorber la carga de impacto debida a vehículos con veloci dades bajas.
Amáx = Aac+ V ( A ac)2 + 2Aac/j o sea ^máx
a 1 + , / l + 2i
(14-30)
Una vez calculado Amáx, se puede determinar la fuerza máxima aplica da al resorte con
S e c c ió n
^máx
14.4 Carga de impacto
(14-31)
Sin embargo se debe tener en cuenta que esta fuerza, y el desplazamien to correspondiente, suceden en un instante. Siempre que el bloque no re bote en el resorte, éste continuará vibrando hasta que se amortigüe el mo vimiento, y el bloque llegue a la posición estática Aac.También nótese que si el bloque se sostiene justo sobre el resorte, con h = 0 , y se deja caer, en tonces, de acuerdo con la ecuación 14-30, el desplazamiento máximo del bloque es
Amáx max = 2 A ac En otras palabras, cuando el bloque se deja caer desde el extremo supe rior del resorte (carga aplicada en forma dinámica), el desplazamiento es el doble del que sería si se dejara descansar sobre el resorte (carga apli cada en forma estática). Si se emplea un análisis parecido, también es posible determinar el des plazamiento máximo del extremo resorte cuando el bloque se desliza sobre una superficie horizontal lisa, con una velocidad v conocida justo antes de chocar con el resorte, figura 14-24. En este caso, la energía ciné tica del bloque,* -K ^/s)1'2, se transforma en energía almacenada en el resorte. Entonces V
Aináx
Ya que el desplazamiento en la parte superior del resorte, causado por el peso W que descansa en él es Ast = W /k , entonces (14-33) Los resultados de este análisis simplificado se usan para determinar tan to la deflexión aproximada como el esfuerzo desarrollados en un miem bro deformable cuando se somete a impacto. Para hacerlo se deben propo ner las hipótesis necesarias acerca del choque, para que el comportamiento de los cuerpos en colisión sea similar a la respuesta de los modelos de blo que y resorte que se acaban de describir. Por consiguiente supondremos que el cuerpo en movimiento es rígido, como el bloque, y que el cuerpo estacionario es deformable, como el resorte. Se supone que el material se comporta en forma elástica lineal. Además, durante el choque, no se pier de energía en forma de calor, ruido ni deformaciones plásticas localiza das. Cuando sucede el choque, los cuerpos permanecen en contacto has ta que el cuerpo elástico llega a su deformación máxima, y durante el movimiento se desprecia la inercia o masa del cuerpo elástico.Téngase en cuenta que cada una de esas hipótesis conducirá a una estimación conser vadora del esfuerzo y la deflexión del cuerpo elástico. En otras palabras, sus valores serán mayores que los que hay en la realidad. ^Recuérdese que en física la energía cinética es “energía de movimiento". La traslación de un cuerpo se determina con ~mv2. donde m es la masa del cuerpo, m = W/g.
Fig. 14-24
• 753
754
• CAPÍTULO 14 Métodos de energía
_l
I
Fig. 14-25
En la figura 14-25 se ven algunos ejemplos de cuándo se puede aplicar la teoría anterior. En ella, se deja caer un peso conocido (bloque) sobre un poste o una viga, haciéndolos deformar una cantidad máxima Amáx. La energía del cuerpo que cae se transforma en forma momentánea en ener gía de deformación axial en el poste, y en energía de deformación de fle xión en la viga.* Aunque se producen vibraciones en cada miembro des pués del impacto, se tenderán a disipar al paso del tiempo. Para calcular la deformación Amáx se podría usar el mismo método que en el sistema de bloque y resorte, que es escribir la ecuación de conservación de energía para el bloque y el poste, o para el bloque y la viga, para entonces despejar Amáx. Sin embargo, también se pueden resolver esos problemas en forma más directa, modelando el poste y la viga con un resorte equivalente. Por ejemplo, si una fuerza P desplaza el extremo superior del poste la distancia A = PL/AE, entonces un resorte que tenga una rigidez k = A E /L s e des plazaría la misma cantidad debido a P: esto es, A = P/k. En forma similar, de acuerdo con el apéndice C, una fuerza P aplicada al centro de una viga simplemente apoyada, hace desplazar al centro la distancia A = PL3/48EI, y por consiguiente, un resorte equivalente tendría una rigidez k = 48E//L3. Sin embargo, no es necesario determinar reahnente la rigidez equivalente del resorte para aplicar la ecuación 14-30 o la 14-32. Todo lo que se nece sita para determinar el desplazamiento dinámico Amax es calcular el des plazamiento estático, Aac, debido al peso W del bloque cuando descansa sobre el miembro. Una vez determinado Amáx, se puede calcular la fuerza dinámica máxi ma con Pmáx = /cAmáx. Si se considera que Pmáx es una carga estática equi valente, se puede determinar el esfuerzo máximo en el miembro, aplican do la estática y la teoría de la mecánica de materiales. Recuérdese que este esfuerzo actúa sólo durante un instante. En realidad, las ondas vibra torias atraviesan el material y el esfuerzo en el poste o en la viga no per manece constante. La relación de la carga estática equivalente Pmáx entre la carga W se lla ma factor de impacto, n. Ya que Pmáx = &Amáx, y W = M ac, entonces, de acuerdo con la ecuación 14-30, se puede expresar como sigue:
(14-34)
Los elementos de este tope deben dise ñarse para resistir determinada carga de impacto, para detener el movimiento de los furgones.
Este factor representa el aumento de una carga aplicada en forma estáti ca, para poder tratarla en forma dinámica. Si se aplica la ecuación 14-34, se puede calcular n para cualquier miembro que tenga una relación lineal entre carga y deflexión. Sin embargo, para un sistema complicado de miem bros conectados, los factores de impacto se determinan con la experien cia, o con pruebas experimentales. Una vez determinado n, se calculan con facilidad el esfuerzo dinámico y las deflexiones, a partir del esfuerzo está tico crac y la deflexión estática Aac, causados por la carga W; esto es, crmáx = no'üQ y Amáx —/2Aac. *La energía de deformación por cortante se desprecia por las razones descritas en el ejem-
pío 14.4.
S e c c ió n
ar re
PUNTOS IMPORTANTES
^a :r-
• Hay impacto cuando se desarrolla una gran fuerza entre dos obje tos que se golpean entre sí durante un corto intervalo de tiempo. • Se pueden analizar los efectos del impacto, suponiendo que el cuerpo en movimiento es rígido, que el material del cuerpo esta cionario es elástico lineal, que no se pierde energía en el choque, que los cuerpos permanecen en contacto durante el choque y que no se loma en cuenta la inercia del cuerpo elástico. • La carga dinámica sobre un cuerpo se puede considerar como una carga aplicada en forma estática multiplicada por un factor de mag
e:sar de ;ía
ar la or :ia
14.4 Carga de impacto
nificación.
:S-
ir, ?a 3
te e-
•ssa
E J E M P L O El tubo de aluminio de la figura 14-26 se usa para soportar una carga de 150 klb. Determinar el desplazamiento máximo de su extremo su perior si la carga (a) se aplica en forma gradual y (b) se aplica de re pente. soltándola sobre el tubo desde h = 0. Suponer que E al = 10(103) klb/pulg2 y suponer que el aluminio se comporta en forma elástica.
150 klb
Solución
cilinje a:r-
Cuando la carga se aplica en forma gradual, el trabajo efec tuado por el peso se transforma en energía de deformación elástica en el tubo. Al aplicar el principio de conservación de la energía se ve que
Parte (a).
Ue = Ui 1 „
a-
ie =
2 WAac_ 2AE 150 klb( 12 pulg) 7t [(3 pulg)2 - (2.5 pulg)2] 10( 103) klb/pulg2
W L ________ AE
= 0.02083 pulg = 0.0208 pulg Parte (b).
r= 0 .5 pulg
w 2l
12 pulg
Resp.
En este caso se puede aplicar la ecuación 14-30, con h = 0.
Entonces,
Fig. 14-26
1+
l + 2 ( -
= 2Aac = 2(0.02083 pulg) = 0.0417 pulg
Resp.
Por consiguiente, el desplazamiento del peso es el doble cuando se de ja caer que cuando se aplica en forma estática. En otras palabras, el fac tor de impacto es n = 2, ecuación 14-34.
• 755
756
• CAPÍTULO 14 Métodos de energía
E J E M P L O ¿ JL w -i- h = 2 p uig -u j-
La viga de acero A-36 de la figura 14-27a, es un perfil W10 X 39. Determinar el esfuerzo máximo de flexión en ella, y su deflexión máxi_ ma, si el peso W = 1.50 klb se deja caer desde una altura h = 2 pulg sobre la viga. £ at. = 29(103) klb/pulg2. Solución I Aplicaremos la ecuación 14-30. Sin embargo, primero se debe calcular Aac. Usando la tabla del apéndice C, y los datos del apéndice B, de las propiedades de una W10 X 39, se tiene que
>pies (a)
1.50 klb( 16 pies)3(12 pulg/pie)3 = 0.0365 pulg 48[29(10 ) klb/pu!g2](209 pulg4)
W lJ
Aar = ac 48 £7 *máx
= A, 1 +
l + 2 lf
= 0.0365 pulg 1 + J l + 2
■Cif
2 pulg ^0.0365 pulg,
= 0.420 pulg Resp.
Esta deflexión es causada por una carga estática equivalente Pmáx calculada con Pm¿x = (48£//L3)AmáK. El momento interno causado por esta carga es máximo en el centro de la viga, y entonces, por el método de las secciones, figura 14-276, A/máx = PmáxL/4. Se aplica la fórmula de la flexión para determinar el esfuerzo flexionante. como sigue:
2 (b)
Fig. 14-27
°^máx
Pm&\Lc
/
4/
12£A n ivC L2
12[29(103) klb/pulg2](0.420 pulg)(9.92 pulg/2) = 19.7 klb/pulg2 Resp. (16 pies)2(12 pulg /pie)2 Solución II También es posible obtener la deflexión dinámica o máxima, An .des de los principios fundamentales. El trabajo externo del peso que cae W es Ue = W(h + Amáx). Ya que la viga se flexiona Amáx, y PmAx = 48£/ Amáx/Í'3- entonces Ue = U¡
«im
, a
\
1 48£T/Amáx
W(h + Amáx) = - I -------------
(1.50 klb)(2 pulg + Amáx) = ^
*máx
48[29(103) klb/pulg2]209 pulg4 (16 pies)3(12 pulg/pie)‘
máx
20.55A2máx - 1.50Amáx - 3.00 = 0 Esta ecuación se resuelve y se escoge la raíz positiva: Amáx = 0.420 pulg
Resp.
14.10
E J E M P L O
Un furgón de ferrocarril, que se supone rígido, tiene 80 Mg de masa, y avanza a una velocidad v = 0.2 m/s, cuando choca con un poste de ace ro, de 200 mm X 200 mm en A, figura 14-28«. Si el poste está empotra do en el piso en C, determinar el desplazamiento horizontal máximo de su extremo superior B, debido al impacto. Suponer que Eac = 200 GPa. Solución
En este caso la energía cinética del furgón se transforma en energía in terna de deformación por flexión, sólo en la región AC del poste. Su poniendo que el punto A se desplaza (A ^ )^ , se puede determinar la fuerza P que causa ese desplazamiento de acuerdo con la tabla del apén dice C. Entonces,
Ue — U¡\
1 1 2 mV ~ 2 ^>máx^ ' 4^máx
i
2 _ I 3 £ Í /
2 m v ~ 2 L?
a
\2
■f A
'l
' A' máx’ ' -4'máx
=
H
yj
2 ¿^
2>El
Se sustituyen los datos numéricos: .. . /80(10‘ ) kg(0.2m/s)_(1.5m)‘ ... ----- 777 -^------------= 0.0116 m = 11.6 mm A^)máx = , — ^ V A) r n á x V 3[200(109) N/m ][^(0.2 m) ] Entonces PmÁXes. usando la ecuación 1, 3[200(109) N/m2][A(0.2 m)4l(0.0116 m) Pmáx = -- -------------------- ----------------------------- = 275.4 kN m (1.5 m )3 Con referencia a la figura 14-286. el segmento AB del poste perma nece derecho. Para calcular el desplazamiento máximo en B primero hay que determinar la pendiente en A. En la tabla del apéndice C se selecciona la fórmula adecuada para determinar 0A: _
_
2E l
275.4 0 0 ^ ( 1.5 ,^
_ 0 o n6 2 rad
2[200(109) N/m2][^(0.2 m)4]
Entonces, el desplazamiento máximo en B es (As)máx
(A>l)máx
®á E AB
= 11.62 mm + (0.01162 rad) 1( 103) mm = 23.2 mm
Resp.
758
• CAPÍTULO 14 Métodos de energía
PROBLEMAS *14-40. Una barra tiene 4 m de longitud y 30 mm de diá metro. Si se usa para absorber energía de tensión con una carga de impacto, calcule la cantidad total de energía elás tica que puede absorber si (a) es de acero, con E 3C = 200 GPa. crv = 800 MPa, y si (b) es de aleación de alumi nio con £ a| = 70 GPa, oy = 405 MPa.
14-45. Determine la velocidad v de la masa de 50 Mg, cuando está justo arriba del extremo superior del poste de acero si, después del impacto, el esfuerzo máximo de sarrollado en el poste es 550 MPa. La longitud del poste es L = 1 m, y su área transversal es 0.01 m2. E ac = 200 GPa, c r y = 600 MPa.
14-41. Calcule el diámetro de una barra de latón de 8 pies de longitud, que se usa para absorber 800 pies • Ib de ener gía en tensión causada por una carga de impacto. Supon ga que crv = 10 klb/pulg2, E = 14.6Í103) klb/pulg2. 14-42. El collarín pesa 50 Ib y cae por la barra de titanio. Si el diámetro de la barra es 0.5 pulg, calcule el esfuerzo máximo desarrollado en ella, cuando el peso (a) se deja caer desde h = 1 pie de altura, (b) se suelta desde una al tura h - 0 y (c) se coloca lentamente sobre la brida en A. E,¡ = 16(10J) klb/pulg2, oy = 60 klb/pulg2. 14-43. El collarín tiene 50 Ib de peso y cae por la barra de titanio. Si el diámetro de la barra es 0.5 pulg, calcule la altura máxima h desde donde se puede soltar el peso pa ra no dañar la barra, en forma permanente, por el choque en la brida A . Eü = 16(103) klb/pulg2, ay = 60 klb/pulg2.
l
Probs. 14-44/45
14-46. La barra compuesta de aluminio está formada por dos segmentos, de 5 mm y 10 mm de diámetro. Calcule el esfuerzo axial máximo producido en la barra, si el collarín de 5 kg se deja caer desde una altura h = 100 mm. £ al = 70 GPa, oy = 410 MPa.
4 pies
14-47. La barra compuesta de aluminio está formada por dos segmentos, de 5 mm y 10 mm de diámetro. Calcule la altura máxima h desde donde se debería dejar caer el collarín de 5 kg, para que produzca un esfuerzo axial má ximo crmix = 300 MPa en la barra. Ea\ = 70 GPa, o y = 410 MPa.
0.5 pulg
5 mm
200 mm
GL
Probs. 14-42/43
300 mm
*14-44. La masa de 50 Mg se sujeta justo sobre el extre mo superior del poste de acero, que tiene L = 2 m de al tura, y su área transversal es 0.01 m2. Si se suelta la masa, calcule el esfuerzo máximo desarrollado en el poste, y su deflexión máxima. E3C = 200 GPa, oy = 600 MPa.
10 mm Probs. 14-46/47
Pr o blem a s
*14-48. Un cable de acero de 0.4 pulg de diámetro se enrolla en un tambor, y se usa para bajar un elevador de 800 Ib de peso. El elevador está a 150 pies bajo el tambor, y desciende con rapidez constante de 2 pies/s, cuando de repente se para el tambor. Determine el esfuerzo máximo producido en el cable cuando eso sucede. £ ac = 29(103) klb/pulg2. crv = 50 klb/pulg2. 14-49. Resuelva el problema 14-48 si el elevador descien de con velocidad constante de 3 pies/s.
• 759
14-51. Se necesita que el tornillo de acero A-36 absorba la energía de una masa de 2 kg que cae h = 30 mm. Si el diámetro del tornillo es 4 mm, determine la longitud L que debe tener para que el esfuerzo en el tornillo no sea ma yor que 150 MPa. *14-52. Se requiere que el tornillo de acero A-36 absor ba la energía de una masa de 2 kg que cae h - 30 mm. Si el diámetro del tornillo es 4 mm, y su longitud es L = 200 mm. determine si el esfuerzo en él será mayor que 175 MPa. 14-53. Se requiere que el tornillo de acero A-36 absor ba la energía de una masa de 2 kg que cae a lo largo del fuste, que tiene 4 mm de diámetro y 150 mm de longitud. Calcule la altura máxima h a la que se suelta la masa, pa ra que el esfuerzo en el tornillo no sea mayor que 150 MPa.
Probs. 14-51/52/53
Probs. 14-48/49
14-50. El cincel de acero tiene 0.5 pulg de diámetro, y 10 pulg de largo. Es golpeado por un martillo que pesa 3 Ib, y que se mueve a 12 pies/s en el instante del impacto. Cakule el esfuerzo máximo de compresión en el cincel, suponiendo que 80% de la energía de impacto pasa al cincel. £ ac = 29(103) klb/pulg2, oy = 100 klb/pulg2.
Prob. 14-50
14-54. La barra compuesta de aluminio 2014-T6 consta de dos segmentos, cuyos diámetros son 7.5 mm y 15 mm. Calcule el esfuerzo axial máximo producido en la barra, si se deja caer el collarín de 10 kg desde una altura /? = 100 mm. 14-55. La barra compuesta de aluminio 2014-T6 consta de dos segmentos cuyos diámetros son 7.5 mm y 15 mm. Calcule la altura h desde donde se debe dejar caer el co llarín de 10 kg para que produzca un esfuerzo axial máxi mo en la barra de crmáx = 300 MPa.
Probs. 14-54/55
760
• CAPÍTULO 14 Métodos de energía
*14-56. Un cilindro con las dimensiones de la figura se fabrica en magnesio Am 1004-T61. Si es golpeado por un bloque rígido de 800 Ib de peso, que avanza a 2 pies/s, calcule el esfuerzo máximo en el cilindro. No tenga en cuenta la masa del cilindro. 2 pies/s
•------- 1.5 p ie s-------- -
® S © '0 0 0 0 0 0
-
Prob. 14-56
14-57. La viga de patín ancho tiene longitud 2L y peral te 2c, y tiene E l constante. Determine la altura máxima li desde la cual se puede dejar caer un peso W sobre su ex tremo, sin que el esfuerzo elástico máximo crm:ix sea reba sado.
*14-60. Se deja caer un peso de 40 Ib desde una altura h = 2 pies, sobre el centro de la viga de acero A-36 en vo ladizo. Si la viga es W 10 X 15, determine el esfuerzo de flexión máximo que se produce en ella. 14-61. Si el esfuerzo máximo admisible de flexión para la viga W10 X 15 de acero estructural A-36 es cradm = 20 klb/pulg2, calcule la altura h máxima desde la cual se puede dejar caer un peso de 50 Ib. desde el reposo, para que choque en el centro de la viga. 14-62. Se deja caer un peso de 40 Ib desde una altura h = 2 pies, sobre el centro de la viga en voladizo, de acero A-36. Si la viga es W10 X 15, calcule el desplazamiento vertical de su extremo B debido al impacto.
□
T
_L
A
5 pies
T33=T Prob. 14-57
14-58. El clavadista pesa 150 Ib. y estando rígido, golpea el extremo de un trampolín de madera (h = 0) con una ve locidad de caída de 2 pies/s. Calcule el esfuerzo máximo de flexión que se produce en la tabla. Ésta tiene un espe sor de 1.5 pulg y su ancho es 1.5 pies. Emadera = 1.8(103) klb/pulg2, oy = 8 klb/pulg2. 14-59. El clavadista pesa 150 Ib, y estando rígido, golpea el extremo de un trampolín de madera. Calcule la altura máxima li a la que puede saltar sobre el trampolín, para que el esfuerzo de flexión en la madera no sea mayor de 6 klb/pulg2. La tabla tiene 1.5 pulg de espesor y 1.5 pies de ancho. £ m adera = l . B ( 1 0 3) klb/pulg2.
5 pies Probs. 14-60/61/62
14-63. La viga de acero A B detiene al furgón, cuya masa es 10 Mg, y se desplaza hacia ésta con v = 0.5 m/s. Calcu le el esfuerzo máximo que se produce en la viga, si el carro choca en su centro. La viga está simplemente apoyada, y sólo se producen fuerzas horizontales en A y B. Suponga que el furgón y el marco de soporte de la viga permane cen rígidos. También calcule la deflexión máxima de la vi ga. EaQ = 200 GPa, (xy = 250 MPa.
v = 0.5 m/s
Prob. 14-63
|— 3 pies-
Probs. 14-58/59
*14-64. El remolcador pesa 120 000 Ib, y avanza a 2 pies/s cuando choca con el poste de tope, de 12 pulg de diáme tro A B , que se usa para proteger la pilastra del puente. Si el poste es de abeto blanco tratado y se supone empotra do en el lecho del río, calcule la distancia horizontal máxi ma que se moverá su extremo superior, debido al impac to. Suponga que el remolcador es rígido, y no tenga en cuenta el efecto del agua.
Pro blem a s
•
761
*14-68. El peso de 175 Ib se deja caer de una altura de 4 pies sobre la superficie superior de la viga de acero A-36. Determine la deflexión máxima y el esfuerzo máximo en la viga, si los resortes de apoyo en A y B tienen, cada uno, rigidez k - 500 Ib/pulg. La viga tiene 3 pulg de espesor y 4 pulg de ancho. 14-69. Se deja caer el peso de 175 Ib desde una altura de 4 pies sobre la superficie superior de la viga de acero A-36. Determine el factor n de carga si los resortes de apo yo en A y B tienen, cada uno. rigidez k = 300 lb/pulg. La viga tiene 3 pulg de espesor por 4 pulg de ancho.
Prob. 14-64
14-65. La viga W10 X 12 es de acero A-36. y está en vo ladizo, empotrada en la pared en B. El resorte montado en ella tiene una rigidez k = 1000 lb/pulg. Si se deja caer un peso de 8 Ib sobre el resorte, desde 3 pies de altura, calcu le el esfuerzo máximo de flexión producido en la viga. 4 pies
jß
I
\j_
M
1^3 puls
4 pulg
i pies------------- 1
s pies •
3 pies Probs. 14-68/69
—
8 pies —
Prob. 14-65
14-66. El bloque de 200 Ib tiene una velocidad de 4 pies/s hacia abajo, cuando está a 3 pies de la superficie superior de la viga de madera. Calcule el esfuerzo máximo producida en ella por el impacto, y calcule la deflexión máxima de su extremo C. £ madera = 1-9(103) klb/pulg2, ay = 6 klb/pulg2.
14-70. La viga W10 X 15 de acero estructural A-36, sim plemente apoyada, está en el plano horizontal y funciona como amortiguador del bloque de 500 Ib, que le llega a 5 pies/s. Determine la deflexión máxima de la viga, y el es fuerzo máximo en ella, durante el impacto. La rigidez del resorte es le = 1000 lb/pulg.
irK
14-67. El bloque de 100 Ib tiene una velocidad de caída de 4 pies/s. cuando está a 3 pies de la superficie superior de la viga de madera. Determine el esfuerzo máximo en la viga producido por el impacto, y calcule la deflexión máxima en el punto B. £ madera = 1.9(103) klb/pulg2. oy = 8klb/pulg2.
::
12 pies v = 5 pies/s
f l S/W! k
4 pies/s
'S1 12 pies
3 pies
i
- 5 pies -
5 pies Probs. 14-66/67
18 pulg
H
12 pulg Prob. 14-70
762
• CAPÍTULO 14 Métodos de energía
* 14 .5
Principio del tra b a jo virtu a l E l principio del trabajo virtual fue desarrollado por John (o Jean) Ber noulli en 1717, y como otros métodos de análisis de energía, se basa en la conservación de la energía. Aunque el principio del trabajo virtual tiene muchas aplicaciones en la mecánica, en este texto lo usaremos para obte ner el desplazamiento y la pendiente en diversos puntos de un cuerpo de formable. Sin embargo, antes de hacerlo, necesitaremos presentar algunas notas preliminares que se aplican en la deducción de este método. Cuando un cuerpo está fijo y se le impide el movimiento, es necesario que las cargas satisfagan las condiciones de equilibrio, y que los desplaza mientos satisfagan las condiciones de compatibilidad. En forma específi ca, las co n d icio n es de eq u ilib rio establecen que las cargas externas tengan una relación única con las cargas internas, y las co n d icio n es de c o m p a tib i lid a d requieren que los desplazamientos externos se relacionen en forma única con las deformaciones internas. Por ejemplo, si pensamos en un cuer po deformable de cualquier forma o tamaño, y le aplicamos una serie de cargas externas P, esas cargas causarán cargas internas u dentro del cuerpo. En este caso, las cargas externas e internas se relacionan por las ecuacio nes de equilibrio. Además, como el cuerpo es deformable, las cargas externas se desplazarán A, y las cargas internas sufrirán desplazamientos 8. En general, el material n o tiene que comportarse en forma elástica, por lo que los desplazamientos podrán n o relacionarse con las cargas. Sin em bargo, si se conocen los desplazamientos externos, los desplazamientos internos correspondientes se definen en forma única, porque el cuerpo es continuo. Para este caso, la conservación de la energía establece que
Ue = U,;
2P
A = 2u5
(14-35)
Basándonos en este concepto deduciremos ahora el principio del tra bajo virtual, para poder usarlo en la determinación del desplazamiento y la pendiente en cu a lq u ier p u n to de un cuerpo. Para hacerlo supondremos que el cuerpo tiene una forma arbitraria, como el de la figura 14-296. y que está sometido a las “cargas reales” Pj. P 2 y P 3. También se sobreentiende que esas cargas no causan movimiento de los apoyos; sin embargo, en ge neral pueden deformar al material m á s allá del límite elástico. Suponga mos que es necesario determinar el desplazamiento A de un punto A del cuerpo, causado por esas cargas. Para ello se examinará la aplicación del principio de la conservación de la energía, ecuación 14-35. Sin embargo, en este caso no hay fuerza que actúe en A , por lo que el desplazamiento desconocido A n o estará incluido como “término de trabajo” externo en la ecuación. Para superar esta limitación, pondremos una fuerza im aginaria o “vir tual”. P ', sobre el cuerpo en un punto A , de tal modo que P' tenga la m is m a dirección que A. Además, esta carga se aplica al cuerpo antes de que se apliquen las cargas reales, figura 14-29a. Por comodidad, cosa que se aclarará después, indicaremos que P' tenga una magnitud “unitaria”, es to es, P ' = 1. Se debe subrayar que el término “ virtual ” se usa para des cribir la carga, porque es im aginaria y no existe en realidad como parte
S e c c ió n
14.5 Principio del trabajo virtual
ir la ne teieías rio zaíñian bi-
ma erde po. iojas s 8. Dor mtos >es
35) raoy 30S
}ue ide gegadel ión 'go, nto i en virnis-
que : se esiesírte
Aplicación de carga unitaria virtual (a)
Aplicación de cargas reales (b)
Fig. 14-29
de la carga real. Sin embargo, esta carga virtual externa sí causa una carga virtual interna u en un elemento o fibra representativos del cuerpo, como se ve en la figura 14-29«. Como era de esperarse, se pueden relacionar P' y u mediante las ecuaciones de equilibrio. También, a causa de P' y u, el cuerpo y el elemento sufrirán un desplazamiento virtual, aunque no nos ocuparemos de sus magnitudes. Una vez que se aplica la carga virtual, y después el cuerpo se somete a las cargas reales Pj. P2 y P3, el punto A se desplazará una cantidad real A, que hace que el elemento se desplace d L , figura 14-296. El resultado es que la fuerza virtual externa P' y la carga virtual interna u “recorren” A y dL, respectivamente; en consecuencia, esas cargas efectúan el trabajo virtual externo 1 •A sobre el cuerpo, y un trabajo virtual interno u • dL sobre el elemento. Si sólo se considera la conservación de la energía virtual, el trabajo virtual externo será igual en tonces al trabajo virtual interno efectuado sobre todos los elementos del cuerpo. En consecuencia se podrá escribir la ecuación del trabajo virtual como sigue: cargas virtuales 1 •A = 1 u - d L
(14-36)
1---------- 1----------1
desplazamientos reales En esta ecuación P' = 1 = carga unitaria virtual externa que actúa en dirección de A u = carga virtual interna que actúa sobre el elemento A = desplazamiento externo causado por las cargas reales dL = desplazamiento interno del elemento en dirección de u, causa do por las cargas reales
• 763
764
• CAPÍTULO 14 Métodos de energía
Se puede ver que al escoger P ' = 1, la solución de A se obtiene en forma directa, ya que A = 1 u d L . En forma parecida, si se ha de determinar el desplazamiento rotativo o la pendiente de la tangente en un punto del cuerpo, se aplica en ese pun to un m o m e n to de p a r M' virtual, con magnitud “unidad”. En consecuen cia, este momento de par causa una carga virtual u g en uno de los elemen tos del cuerpo. Suponiendo que las cargas reales deformen al elemento una cantidad d L . la rotación 6 se puede determinar con la ecuación del trabajo virtual cargas virtuales 1•0 =
dL
(14-37)
desplazamientos reales
En esta ecuación M' — 1 = momento unitario de par virtual externo, que actúa en direc ción de 0
= carga virtual interna que actúa sobre un elemento d = desplazamiento rotativo externo, en radianes, causado por las cargas reales d L = desplazamiento interno del elemento en dirección de u e, cau sado por las cargas reales u„
Este método de aplicar el principio del trabajo virtual se llama, con fre cuencia, m é to d o d e las fu e r z a s virtuales, ya que se aplica una fu e r z a vir tual que resulta en un cálculo de un d esp la za m ien to real externo. La ecua ción del trabajo virtual, en este caso, representa un enunciado de los requisitos d e co m p a tib ilid a d para el cuerpo. Aunque aquí no tiene impor tancia, se debe tener en cuenta que también se puede aplicar el método del trabajo virtual como m é to d o de d esp la za m ien to s virtuales. En este ca so, se establecen d esp la za m ien to s virtuales al cuerpo, cuando está someti do a cargas reales. Con este método se puede determinar la fuerza exter na de reacción sobre el cuerpo, o una carga interna desconocida en el mismo. Cuando se usa de esa forma, la ecuación del trabajo virtual es un enunciado de los requisitos de equilibrio para el cuerpo.* Los términos del lado izquierdo de las ecua ciones 14-36 y 14-37 representan el trabajo virtual interno desarrollado en el cuerpo. Los desplazamientos internos reales d L en esos términos se pue den producir de diversas maneras. Por ejemplo, esos desplazamientos pueden resultar de errores geométricos de fabricación, de la temperatura, o en el caso más común, por el esfuerzo. En particular, no se ha estable cido restricción alguna sobre la magnitud de la carga externa, por lo que el esfuerzo puede ser suficientemente grande para causar la fluencia, o hasta el endurecimiento del material por deformación. Trabajo virtu al interno.
*V ea E ngineering M echanics: Statics, 10a. e d ic ió n . R .C . H ib b e le r. P re n tic e H a ll. Inc.. 2004.
S e c c ió n
14.5 Principio del trabajo virtual
T A B L A 14- 1 D eform ación causada p o r
E nergía d e deform ación
T rabajo in ferno virtual
Carga axial N
Cortante V
Momento de flexión M
['m M j„
:*
■
Momento de torsión T
Si suponemos que el comportamiento del material es elástico lineal, y que el esfuerzo no rebasa el límite de proporcionalidad, podremos formu lar las ecuaciones del trabajo interno causado por el esfuerzo, usando las ecuaciones de la energía de deformación elástica deducidas en la sección 14.2 las cuales se listan en la columna central de la tabla 14-1. Recuérde se que en cada una de esas ecuaciones se supone que la resultante del es fuerzo, N, V, M o T, se aplicó en forma gradual, desde cero hasta su valor completo. En consecuencia, el trabajo efectuado por la resultante del es fuerzo aparece en esas ecuaciones como la mitad del producto de la re sultante del esfuerzo por su desplazamiento. Sin embargo, en el caso del método de la fuerza virtual, “toda” la carga virtual se aplica antes de que las cargas reales causen desplazamientos, y en consecuencia el trabajo de la carga virtual interna no es más que el producto de la carga virtual in terna por su desplazamiento real. Indicando esas cargas virtuales internas ( u ) con los símbolos correspondientes en minúscula n , v, m y t, el trabajo virtual debido a la carga axial, cortante, momento de flexión y momento de torsión se listan en la columna del lado derecho de la tabla 14-1. Si se usan esos resultados, la ecuación del trabajo virtual para un cuerpo some tido a una carga general se podrá escribir, entonces, como sigue:
-í-
fsVV dx + f ~ d x GA J GJ
(14-38)
En las siguientes secciones aplicaremos la ecuación anterior a proble mas donde intervienen las deflexiones de armadura, vigas y elementos mecánicos. También presentaremos una descripción de la forma de ma nejar los efectos de los errores de fabricación y de temperaturas distintas. En la aplicación, es importante usar un conjunto de unidades consistente para todos los términos. Por ejemplo, si las cargas reales se expresan en kilonewtons, y las dimensiones del cuerpo están en metros, se debe apli car al cuerpo una fuerza virtual de 1 kN, o un par virtual de 1 kN •m. Al hacerlo, un desplazamiento calculado A estará en metros, y una pendien te calculada estará en radianes.
• 765
766
• CAPÍTULO 14 Métodos de energía
*14 .6 M étodo de las fu erzas virtu a le s a p licad o a arm ad u ras En esta sección aplicaremos el método de las fuerzas virtuales para de terminar el desplazamiento de un nodo de armadura. Para ilustrar los prin cipios, se determinará el desplazamiento vertical del nodo A de la arma dura de la figura 14-306. Este desplazamiento es causado por las “cargas reales” Pi y P2,y como esas cargas sólo causan fuerzas axiales en los miem bros, sólo es necesario tener en cuenta el trabajo virtual interno debido a cargas axiales, tabla 14-1. Para obtener este trabajo virtual supondremos que cada miembro tiene área transversal A constante, y que la carga vir tual n y la carga real N son constantes en toda la longitud del miembro. E l resultado es que el trabajo virtual interno para un miembro es
X
' nN ,
nNL j £ dx = l i ¡ í
«
Y por consiguiente, la ecuación de trabajo virtual para toda la armaduAplicación de carga unitaria virtual
ra e s
(a)
nNL
l - A - 2 AE
(14-39)
En esta ecuación 1 = carga unitaria virtual externa que actúa sobre el nodo de la arma
A= n= N = L A = E=
Aplicación de cargas reales (b) F ig . 14-30
dura, en la dirección establecida de A desplazamiento del nodo causado por las cargas reales sobre la ar madura fuerza virtual interna en un miembro de la armadura, causado por la carga unitaria virtual externa fuerza interna en un miembro de la armadura, causada por las car gas reales longitud de un miembro área transversal de un miembro módulo de elasticidad de un miembro
La formulación de esta ecuación es consecuencia natural del desarrollo en la sección 14.5. En este caso, la carga unitaria virtual externa genera las fuerzas “n” virtuales internas en cada uno de los miembros de la armadura, figura 14-30«. Cuando se aplican las cargas reales a la armadura, hacen que el nodo se desplace A en la misma dirección que la carga uni taria virtual, figura 14-306, y cada miembro sufre un desplazamiento N L /A E en la misma dirección que su fuerza n respectiva. En consecuen cia. el trabajo virtual externo 1 •A es igual al trabajo virtual interno, o a la energía de deformación interna (virtual) almacenada en todos los miem bros de la armadura, es decir, la ecuación 14-39.
S e c c ió n 1 4 .6
ieinla>as moa ios íiriro.
Método de las fuerzas virtuales aplicado a armaduras
Cambios de tem peratura. Los miembros de una armadura pueden cambiar de longitud debido a un cambio de temperatura. Si a es el coefi ciente de dilatación térmica de un miembro, y A T es su cambio de tempe ratura. el cambio de longitud correspondiente es A L = aATL (ecuación 4-4). Por consiguiente, se puede determinar el desplazamiento de deter minado nodo de la armadura, causado por ese cambio de temperatura, con la ecuación 14-36 escrita en la forma
1 •A = 'E.na A TL
(14-40)
En esta ecuación 1 = carga unitaria virtual externa que actúa sobre el nodo de la arma n=
iuA= 39)
a -
AT = L = naar-
dura en la dirección indicada de A fuerza virtual interna en un miembro de armadura, causada por la carga unitaria virtual externa desplazamiento externo del nodo causado por el cambio de tempe ratura coeficiente de dilatación térmica del miembro cambio de temperatura del miembro longitud del miembro
Errores de fabricación. A veces pueden presentarse errores de longi tud al fabricar los miembros de una armadura. Si eso sucede, el desplaza miento de un nodo de armadura en determinada dirección, respecto a su posición esperada, se puede determinar con la aplicación directa de la ecuación 14-36, escrita en la forma
3or ar-
>llo era : la ira, ininto enoa :m -
1 •A = 2« A L
(14-41)
En esta ecuación 1 = carga unitaria virtual externa que actúa sobre el nodo de la arma dura en la dirección establecida para A n = fuerza virtual interna en un miembro de la armadura, causada por
la carga unitaria virtual externa A = desplazamiento externo del nodo, causado por los errores de fabri cación AL = diferencia de longitud del miembro, respecto a su longitud teórica, causada por un error de fabricación Será necesario combinar los lados derechos de las ecuaciones 14-39 a 14-41 si actúan fuerzas externas sobre la armadura, y algunos de sus miem bros sufren un cambio de temperatura o han sido fabricados con dimen siones erróneas.
•
767
768
•
CAPÍTULO 14 Métodos de energía
PROCEDIMIENTO PARA EL ANÁLISIS E l procedimiento siguiente es un método para determinar el desplaza miento de cualquier nodo de una armadura, usando el método de la fuerza virtual. Fuerzas virtuales n. • Poner la carga unitaria virtual en el nodo de la armadura en el
que se vaya a determinar el desplazamiento. La carga debe estar dirigida a lo largo de la línea de acción del desplazamiento. • Estando puesta así la carga unitaria, y quitadas las cargas reales de la armadura, calcular la fuerza interna n en cada miembro de la armadura. Suponer que las fuerzas de tensión son positivas, y que las de compresión son negativas. Fuerzas reales N. • Determinar las fuerzas N en cada miembro. Esas fuerzas sólo se
deben a las cargas reales que actúan sobre la armadura. De nue vo, suponer que las fuerzas de tensión son positivas y que las de compresión son negativas. Ecuación del trabajo virtual. • Aplicar la ecuación del trabajo virtual para determinar el despla
•
•
•
•
zamiento que se busca. Es importante conservar el signo algebrai co de cada una de las fuerzas n y N correspondientes, al sustituir esos términos en la ecuación. Si la suma resultante I n N L /A E es positiva, el desplazamiento A tiene la misma dirección que la carga unitaria virtual. Si se obtie ne un valor negativo, A es opuesto a la carga unitaria virtual. Al aplicar 1 •A = I n a A T L , tener en cuenta que si alguno de los miembros sufre un aumento de temperatura, A T será positivo, mientras que una disminución de temperatura hará que el valor de A T sea negativo. Para 1 •A = 2« AL, cuando un error de fabricación aumenta la longitud de un miembro, AL es positivo, mientras que una dismi nución de longitud es negativa. Al aplicar este método se debe poner atención en las unidades de cada cantidad numérica. Sin embargo, nótese que a la carga virtual unitaria se le puede asignar cualquier unidad arbitraria: li bras, klbs, newtons, etc., ya que las fuerzas n tendrán esas mismas unidades, y en consecuencia las unidades de la carga unitaria vir tual y las fuerzas n se simplificarán en ambos lados de la ecua ción.
14.6 Método de las fuerzas virtuales aplicado a armaduras
S e c c ió n
E J E M P L O Determine el desplazamiento vertical del nodo C de la armadura de acero de la figura 14-31«. El área transversal de cada miembro es A = 400 mm2 y E ac = 200 GPa.
2 m
ir,
-2 m
2 m
T
Fuerzas virtuales
100 kN
(a)
(b)
S o lu c ió n
Como se va a determinar el desplazamiento ver tical en el nodo C. se pone sólo una carga virtual vertical de 1 kN en ese nodo, y se calcula la fuerza en cada miembro, usando el método de los nodos. En la figura 14-316 se indican los resultados de este análisis. De acuerdo con nuestra convención de signos, los números positivos indican fuerzas de tensión, y los negativos indican fuerzas de compre sión.
Fuerzas virtuales n.
La carga aplicada de 100 kN causa fuerzas en los miembros, que se pueden calcular con el método de los nodos. Los re sultados de este análisis se ven en la figura 14-3le.
Fuerzas reales N.
Se ordenan los datos y los resultados
Ecuación del trabajo virtual.
en una tabla como la siguiente: Miembro
N
n
AB BC AC CD
L
4 2.828 2.828
-1 0 0
0 0
-1.414
141.4 -141.4
2
200
1
nNL 0 0
565.7 400 2 965.7 kN 2 •m
Por consiguiente ^ nN L
l kN-Ac, = S —
-
965.7 kN 2 •m
^
Al sustituir los valores numéricos de A y E se obtiene 1 kN ' Ac-
965.7 kN 2 •m [400( 10-6) 2]200(106) kN/m2 6) m m2]200(106;
ACi, — 0.01207 m = 12.1 mm
Resp.
F u e rz a s r e a le s
•
769
770
•
CAPÍTULO 14 Métodos de energía
E J E M P L O 12 klb
El área transversal de cada miembro de la armadura de acero en la fi gura 14-32a es A = 0.5 pulg2, y su módulo de elasticidad es L ac = 29(103) klb/pulg2. (a) Determine el desplazamiento horizontal del nodo C, si se aplica una fuerza de 12 klb a la armadura, en B. (b) Si no actúan car gas externas sobre la armadura, ¿cuál es el desplazamiento horizontal del nodo C, si el miembro AC se fabrica corto en 0.25 pulg?
B
6 p ie s
S o lu c ió n
Parte (a).
8 pies
Fuerzas virtuales n. Como lo que se va a calcular es el desplazamien to horizontal del nodo C, se aplica en él una fuerza horizontal virtual de 1 klb. La fuerza n en cada miembro se determina con el método de
(a)
i klb
los nodos, y se indica en la armadura de la figura 14-32£>. Como de cos tumbre, un número positivo representa una fuerza de tensión, y un nú mero negativo una de compresión. La fuerza en cada miembro, causada por la fuerza de 12 klb aplicada externamente, aparece en la figura 14-32c. Fuerzas reales N.
— 0.75 klb
Como A E es constante, 2,nNL se
Ecuación del trabajo virtual.
calcula como sigue: n
Miembro F uerzas virtuales
(b)
AB AC CB CD
0
1.25
N
L
0
6 10 8 6
15
0
-1 2
-0.75
-9
1 klb •Ac„ = £
1
nNL 0
187.5 0
40.5 2 228.0 klb2 •pie
nN L
228.0 klb2 •pies
AE
AE
228.0 klb2 •pies (12 pulg/pies) C" ~ (0.5 pulg2)29(103) klb/pulg2 AC(i = 0.189 pulg
En este caso se debe aplicar la ecuación 14-41. Ya que se va a determinar el desplazamiento horizontal de C.se pueden usar los re sultados de la figura 14-326. Como el miembro AC se acorta en A L = -0.25 pulg, entonces
Parte (b). Fuerzas reales
(c) Fig. 14-32
1 •A = 2« A L;
1 klb •AC(i = (1.25 klb)(-0.25 pulg) AC/i = -0.312 pulg = 0.312 pulg <—
Resp.
El signo negativo indica que el nodo C se desplaza hacia la izquierda, en sentido contrario a la carga horizontal de 1 klb.
S e c c ió n
E J E M P L O
14.6 Método de las fuerzas virtuales aplicado a armaduras
14.13
Calcule el desplazamiento del nodo B de la armadura que aparece en la figura 14-33«. Debido al calentamiento por radiación, el miembro A B está sometido a un aumento de temperatura A T = +60 °C. Los miembros son de acero, para el cual aac = 12(10_6)/°C y £ ac = 200 GPa. E l área transversal de cada miembro es 250 mm2.
S o lu c ió n
Fuerzas virtuales n. Se aplica una carga virtual horizontal de 1 kN a la armadura en el nodo B, y se calculan las fuerzas en cada miembro. Los resultados se ven en la figura 14-336. Fuerzas reales N. Como las fuerzas n en los miembros A C y BC son cero, las fuerzas N en esos miembros no tienen por qué determinarse.
¿Por qué? Para tener el caso completo, todo el análisis de la fuerza “real” se muestra en la figura 14-33c.
Fuerzas virtuales
(b)
Las cargas y la temperatura afectan a la deformación; en consecuencia, se combinan las ecuaciones 14-39 y 14-40, con lo cual
Ecuación del trabajo virtual.
1 kN •A Bli =
„ nNL
_
. ,
+ ln a
(-1.155 kN )(—12 kN)(4 m) ” ° + ° + [250(10~6) m2][200(106) kN/m2] Fuerzas reales
+0 + 0 + (-1.155 kN)[12(10_6)/°C](60 °C)(4 m) (c)
A Bh = -0.00222 m Fig. 14-33
= 2.22 mm —*
Resp.
El signo negativo indica que el rodillo B se mueve hacia la derecha, contrario a la dirección de la carga virtual, figura 14-336.
•
771
772
•
CAPÍTULO 14 Métodos de energía
PROBLEMAS 14-71. Calcule el desplazamiento horizontal del nodo B del marco de dos miembros. Cada uno. de acero A-36. tie ne área transversal de 2 pulg2.
14-74. Determine el desplazamiento vertical del nodo B de la armadura. Cada miembro, de acero A-36, tiene 300 mm2 de área transversal. 14-75. Determine el desplazamiento horizontal del no do B de la armadura. Cada miembro, de acero A-36, tiene 300 mm2 de área transversal.
800 Ib
Prob. 14-71
*14-72. Determine el desplazamiento horizontal del no do B. Cada miembro, de acero A-36. tiene 2 pulg2 de área transversal.
Probs. 14-74/75
14-73. Determine el desplazamiento horizontal del no do B. Cada miembro, de acero A-36. tiene 2 pulg2 de área transversal.
*14-76. Determine el desplazamiento horizontal del no do C de la armadura. Cada miembro, de acero A-36, tiene 3 pulg2 de área transversal. 14-77. Determine el desplazamiento horizontal del no do B de la armadura. Cada miembro, de acero A-36. tiene 3 pulg2 de área transversal.
Probs. 14-72/73
Probs. 14-76/77
Pr o blem a s
14-78. Determine el desplazamiento vertical del nodo B. Para cada miembro de acero A-36, A = 1.5 pulg2. 14-79. Determine el desplazamiento vertical del nodo E. Para cada miembro de acero A-36, A = 1.5 pulg2.
•
773
14-83. Determine el desplazamiento vertical del nodo C de la armadura. Cada miembro de acero A-36 tiene 400 mm2 de área transversal.
Probs. 14-82/83
Probs. 14-78/79
*14-84. Determine el desplazamiento vertical del nodo A . Cada miembro de acero A-36 tiene 400 mm2 de área transversal.
*14-80. Determine el desplazamiento vertical del nodo C ce la armadura. Cada miembro de acero A-36 tiene A = 300 mm2 de área transversal. 14-81. Determine el desplazamiento vertical del nodo D de la armadura. Cada miembro de acero A-36 tiene A = 300 mm2 de área transversal.
4 0 kN
60 kN
Prob. 14-84
14-85. Determine el desplazamiento vertical del nodo C. Cada miembro de acero A-36 tiene un área transversal de 4.5 pulg2. 14-86. Determine el desplazamiento vertical del nodo //. Cada miembro de acero A-36 tiene un área transversal de 4.5 pulg2.
Probs. 14-80/81
14-82. Determine el desplazamiento horizontal del nodo B de la armadura. Cada miembro de acero A-36 tiene 400 mm2 de área transversal.
Probs. 14-85/86
774
•
* 14 .7
CAPÍTULO 14 Métodos de energía
M étodo de las fu erzas v irtu a le s ap licad o a vig a s En esta sección aplicaremos el método de las fuerzas virtuales para de terminar el desplazamiento y la pendiente de un punto en una viga. Para ilustrar los principios, se determinará el desplazamiento A del punto A de la viga que se ve en la figura 14-346. Este desplazamiento se debe a la “car ga real distribuida” w, y como causa tanto cortante como momento en el interior de la viga, en realidad consideraremos el trabajo virtual interno debido a ambas cargas. Sin embargo, en el ejemplo 14.7 se demostró que las deflexiones de la viga debidas al cortante son despreciables en com paración con las causadas por la flexión, en especial cuando la viga es lar ga y esbelta. Ya que en la práctica éste es el tipo de viga que se usa con más frecuencia, sólo consideraremos la energía de deformación virtual debida a la flexión, tabla 14-1. Al aplicar la ecuación 14-36, entonces, la ecuación del trabajo virtual para la viga es \ L mM , dx
l'-i
1 •A =
(14-42)
En esta ecuación 1 = carga virtual unitaria externa que actúa sobre la viga en dirección de A A = desplazamiento causado por las cargas reales que actúan sobre la viga m = momento interno virtual en la viga, expresado en función de x y causado por la carga unitaria virtual externa M = momento interno en la viga, expresado en función de x, causado por las cargas reales E = módulo de elasticidad del material I = momento de inercia del área transversal, calculado respecto al eje neutro De forma parecida, si se va a determinar la pendiente 9 de la tangente en un punto de la curva elástica de la viga, se debe aplicar un momento de par unitario virtual en ese punto, y se determina el momento interno virtual m e correspondiente. Si se aplica la ecuación 14-37 a este caso, sin tener en cuenta las deformaciones por cortante, se obtiene
(14-43)
Observe que la formulación de esta ecuación es consecuencia natural del desarrollo de la sección 14.5. Por ejemplo, la carga unitaria virtual ex terna produce un momento virtual interno m en la viga, en la posición x, figura 14-34«. Cuando se aplica la carga real w, hace que el elemento dx en x se deforme o gire un ángulo d6, figura 14-346. Si el material respon de en forma elástica, dd es igual a (M /EÍ)dx. En consecuencia, el trabajo
S e c c ió n 1 4 .7
Método de las fuerzas virtuales aplicado a vigas
JE v
iz a \ )» - i i - ' dx Cargas virtuales
(a) Cargas reales (b)
Fig. 14-34
virtual externo 1 •A es igual al trabajo virtual interno para toda la viga, Sm(M/EI) dx, ecuación 14-42. A diferencia de las vigas, como se dice aquí, también algunos miembros pueden estar sometidos a una energía de deformación virtual apreciable, causada por carga axial, cortante y momento de torsión. Cuando ése es el caso, debemos incluir en las ecuaciones anteriores los términos de ener gía para esas cargas, como se plantea en la ecuación 14-38. Al aplicar las ecuaciones 14-42 y 14-43 es importante tener en cuenta que las integrales del lado derecho representan la cantidad de energía de deformación virtual de flexión que está almacenada en la viga. Si sobre la viga actúan fuerzas concentradas o momentos de par, o si la carga distri buida es discontinua, no se puede hacer una sola integración en toda la longitud de la viga. En lugar de ello se deben definir coordenadas x sepa radas, dentro de las regiones que no tengan discontinuidad de la carga. También, no es necesario que cada x tenga el mismo origen; sin embargo, la x seleccionada para determinar el momento real M en determinada región debe ser la misma x que la definida para determinar el momento virtual m o m e dentro de la misma región. Por ejemplo, examine la viga de la figura 14-35«. Para determinar el desplazamiento en D, se puede usar para determinar la energía de deformación en la región AB, x2 para la región fíC, x 3 para la región D E y x4 para la región DC. En todo caso, ca da coordenada x debe seleccionarse de tal modo que se puedan formular con facilidad tanto M como m (o m g).
n u m m u S
V ~x 2
a •V|-H
- x 3-
-* 3 ~
-x4-
'*2
'
Cargas reales
Carga virtual
(a)
(b) Fig. 14-35
•
775
776
•
CAPÍTULO 14 Métodos de energía
PROCEDIMIENTO PARA EL ANÁLISIS El siguiente procedimiento es un método que puede emplearse para determinar el desplazamiento y la pendiente en un punto de la curva elástica de una viga, usando el método del trabajo virtual. Momentos virtuales m o m 9. • Colocar una carga unitaria virtual sobre la viga en el punto, y di
rigida a lo largo de la línea de acción del desplazamiento deseado. • Si se debe determinar la pendiente, poner un m o m e n to unitario de p a r virtual en el punto. • Definir las coordenadas a- adecuadas, que sean válidas dentro de las regiones de la viga donde no haya discontinuidad de carga real ni virtual. • Con la carga virtual en su lugar, y todas las cargas reales q u ita das de la viga, calcular el momento interno m o m B en función de cada coordenada x. • Suponer que m o m e actúa en dirección positiva, de acuerdo con la convención establecida de signos para viga, figura 6-3. Momentos reales. • Usando las m ism a s coordenadas x que las definidas para m o m H, determinar los momentos internos M causados por las cargas
reales. • Como se supuso que m o m 9 positivos actuaban en la “dirección positiva” convencional, es importante que M positivo actúe en es ta m ism a dirección. Esto es necesario, ya que el trabajo interno virtual positivo o negativo depende del sentido de la dirección tanto de la carga virtual, definido por ± m o ± m e, como del des plazamiento causado por ±M. Ecuación del trabajo virtual.
• Aplicar la ecuación del trabajo virtual para determinar el despla zamiento A o la pendiente 0 que se buscan. Es importante con servar el signo algebraico de cada integral calculada dentro de su región especificada. • Si la suma algebraica de todas las integrales, en toda la viga, es positiva, A o 6 tienen la misma dirección que la carga unitaria vir tual o el momento unitario de par virtual, respectivamente. Si se obtiene un valor negativo, A o 0 es contrario a la carga unitaria o al momento de par virtuales.
S e c c ió n 1 4 .7
E J E M P L O
Método de las fuerzas virtuales aplicado a vigas
14.14
Determine el desplazamiento del punto B en la viga de la figura 14-36«. E l es constante.
Til L(a)
vv.v 1
D
HH
.t
1
m = -\x
Cargas virtuales (b)
Cargas reales
(c) Fig. 14-36
S o lu c ió n
El desplazamiento vertical del punto B se obtie ne colocando una carga unitaria virtual en B, figura 14-366. Por inspec ción se ve que no hay discontinuidades de carga en la viga, para las car gas real y virtual. Así. se puede usar una sola coordenada x para determinar la energía virtual de deformación. Esta coordenada se se leccionará con su origen en B , ya que no deben determinarse las reac ciones en A para determinar los momentos internos m y M. A l aplicar el método de las secciones, se calcula el momento interno m como se indica en la figura 14-366. Momento virtual m.
Usando la misma coordenada x, el momento M se calcula como muestra la figura 14-36c. Momento real M.
Ecuación del trabajo virtual.
El desplazamiento vertical en B es, en
tonces, ,
1 •A« =
. mM ,
( L { - \ x ) ( - w x 1/2 ) dx — -d x = EI L El
wL 4
a =
¿17
R
e s p ■
•
777
778
•
CAPÍTULO 14 Métodos de energía
Determine la pendiente en el punto B de la viga de la figura 14-37a. E l es constante.
m 2= - n y + . v 2)|
Cargas virtuales Fig. 14-37
Carga real
(b)
(c) S o lu c ió n
Se determina la pendiente en B poniendo un momento unitario virtual de par en B, figura 14-37£>. Se deben de finir dos coordenadas x para determinar la energía virtual de deforma ción en la viga. La coordenada *1 se encarga de la energía de deformación dentro del segmento A B . y la coordenada x2 es para la energía de de formación en el segmento BC. Los momentos internos m e dentro de cada uno de esos segmentos se calculan con el método de las seccio nes, como se ve en la figura 14-376. Momentos virtuales mfí.
Usando las mismas coordenadas x¡ y x2 (¿por qué?), los momentos internos M se calculan como muestra la figura 14-37c.
Momentos reales M.
Ecuación del trabajo virtual . Entonces, la pendiente en B es
1 *0D = I 'O Ü -dx - \ El L/20 ( - P x l ) d x 1 + ( l/2 1 { -P [ { L /2 ) + x2] } d x 2
-i
El
J0
El
3PL2 9b
8EI
El signo negativo indica que dB es contrario a la dirección del momen to virtual del par, que muestra la figura 14-37£>.
S e c c ió n 1 4 .7
Método de las fuerzas virtuales aplicado a vigas
•
E J E M P L O Determine el desplazamiento del punto A en la viga de acero de la fi gura 14-38«. I = 450 pulg4, Eac = 29(103) klb/pulg2. 1 klb
3 klb/pie
£I—
^ r iT
U
B _^u 10 pies—4*—
-2 0 p ie s -
f
|—*2 - i 1.5 klb
0.5 klb
| 1 klb
(a)
| ^ = -1*1
Solución Momentos virtuales m. La viga se somete a la carga unitaria virtual en A. y se calculan las reacciones, figura 14-386. Por inspección se ve que se deben definir dos coordenadas .Vj y x2 para cubrir todas las re giones de la viga. Para fines de integración, lo más sencillo es que los orígenes estén en A y en C. Se usa el método de las secciones, y los mo mentos internos m se ven en la figura 14-386.
M ■>= - 0.5.V:
icti
^2r—-v2 0.5 klb
C argas virtuales (b)
Primero se determinan las reacciones sobre la viga real, figura 14-38«. Después, usando las mismas coordenadas a' que las que se usaron para m, se determinan los momentos internos M.
Momentos reales M.
3 k lb /p ie
Se aplica como sigue la ecuación del r 'í'f i / m I *t I I I \
Ecuación del trabajo virtual.
trabajo virtual a la viga:
a
1 klb -
=
mM dx — ~TT
10
£~
H -Vi H
( —1j c 1) ( —0 .05 j : j 3) dx\
í
I 47.5 klb
El 20
(-5.0*2)(27.5*2 - 1-5x1) dx2 El
o sea O.OIO(IO)3 4.583(20)3 0.1875(20)4 41 klb - A ,4 = ----- -----------------El
El
El
-5666.7 klb •pie3 C argas reales
Tí
(c)
Se sustituyen los datos de E e I, y el resultado es
Aj =
Fig. 14-38
-5666.7 klb •pie3(12 pulg/pie)3 [29(103) klb/pie2] 450 pulg4
= -0.750 pulg El signo negativo indica que el punto A se desplaza hacia arriba.
Resp.
ge 27.5 klb
779
780
• CAPÍTULO 14 Métodos de energía
PROBLEMAS 14-87. Determine el desplazamiento en el punto C. E le s constante.
!____ r
ar,
a 2
X
i '
s
JX I,
14-94. Determine la pendiente en A , de la viga W14 26, de acero A-36.
1'
Y
14-93. Determine el desplazamiento del punto C de la viga W 14 x 26, de acero A-36.
C a 2
a,
J
A
8 klb
8 klb
i l-----------— --------------------------------------------------------i
Prob. 14-87
\ C
*14-88. Determine el desplazamiento en el punto C. E l es constante. 14-89. tante.
Determine la pendiente en el punto C. E l es cons
14-90. tante.
Determine la pendiente en el punto A . E l es cons
P
— 5 pies —4-— 5 pies— - *— 5 pies —-j-— 5 pies— -
Probs. 14-93/94
14-95. Determine el desplazamiento en B, del eje de ace ro A-36 de 1.5 pulg de diámetro. *14-96. Determine la pendiente del eje de acero A-36, de 1.5 pulg de diámetro, en el punto A , en el cojinete de apoyo.
Probs. 14-88/89/90
14-91. Determine el desplazamiento del punto C de la viga de acero A-36. cuyo momento de inercia es / = 53.8 pulg4. *14-92. Determine la pendiente en B. de la viga de ace ro A-36, cuyo momento de inercia es I = 53.8 pulg4.
5 pies — }-----------10 p ie s -+ — 5 pies —-
Probs. 14-91/92
Probs. 14-95/96
Pro blem a s
•
781
14-97. Determine el desplazamiento en la polea B. El eje de acero A-36 tiene 30 mm de diámetro.
Probs. 14-99/100
14-101. La viga de acero A-36 tiene / = Determine el desplazamiento en D.
125(106) mm4.
14-102. La viga de acero A-36 tiene 1 = Determine la pendiente en A .
125(106) mm4.
14-103. La viga de acero A-36 tiene / = Determine la pendiente en B.
125(106) mm4.
Prob. 14-97
18 kN m
18 kN-rr.
14-98. La viga simplemente apoyada con sección trans versal cuadrada está sometida a una carga uniforme w. D e termine la deflexión máxima en ella, causada sólo por la flexión, y la causada por la flexión y el cortante. Suponga que E - 3 G.
[------ 4
T -----------------------l -------------------------r
d i ^
Prob. 14-98
14-99. Determine el desplazamiento en el punto C. E l es constante. *14-100.
Determine la pendiente en B. E l es constante.
-------*j— 3
m
—•)*— 3 m
4 m-
Probs. 14-101/102/103
*14-104.
f-b
m
Determine la pendiente en A . E l es constante.
782
•
CAPÍTULO 14 Métodos de energía
14-105. tante.
Determine el desplazamiento en C. E l es cons
14-106.
Determine la pendiente en B. E l es constante.
H'
w
...... B ^
14-109. Determine la pendiente y el desplazamiento en el punto C. E l es constante.
w
^ AjS
/T
B «U
I ----- +----- r,
1
U
Prob. 14-109
Probs. 14-105/106
14-107. La viga es de pino, para el cual Ep = 13 GPa. D e termine el desplazamiento en A .
14-110. Determine el desplazamiento del eje en C. E l es constante.
15 k N
H
Prob. 14-110
120 m m
Prob. 14-107
*14-108. tante.
Determine el desplazamiento en B. E l es cons-
14-111. Determine la pendiente del eje en el cojinete de apoyo A . E l es constante.
w
IV0
-t
a
r
9
Prob. 14-108
k __
.
t
T T T T
t
-
c L ' 2" Prob. 14-111
Pr o blem a s
*14-112. Determine el desplazamiento vertical del punto A en el soporte angular debido a la fuerza concentrada P. El soporte está empotrado en su base. E l es constante. Sólo tenga en cuenta el efecto de la flexión.
•
783
14-115. Determine los desplazamientos horizontal y vertical del punto C. En A hay un empotramiento. E l es constante.
P 400 Ib/pie
Prob. 14-112
Prob. 14-115
14-113. El marco en forma de L consta de dos segmen tos. cada uno de longitud L y rigidez a la flexión El. Si se somete a la carga uniformemente distribuida, determine el desplazamiento horizontal del extremo C. 14-114. El marco en forma de L consta de dos segmen tos, cada uno de longitud L y rigidez a la flexión El. Si se somete a la carga uniformemente distribuida, determine el desplazamiento vertical del punto B.
Probs. 14-113/114
*14-116. La varilla semicircular tiene área transversal A y módulo de elasticidad E. Determine la deflexión hori zontal en los rodillos, debida a la carga.
Prob. 14-116
784
•
*14.8
CAPÍTULO 14 Métodos de energía
Teorema de Castigliano En 1879, Alberto Castigliano, ingeniero italiano de ferrocarriles, publicó un libro donde escribía un método para determinar el desplazamiento y la pendiente en un punto de un cuerpo. Ese método, llamado segundo teo rema de Castigliano, sólo se aplica a cuerpos de temperatura constante, de material con comportamiento elástico lineal. Si se va a determinar el desplazamiento en un punto, el teorema establece que ese desplazamien to es igual a la primera derivada parcial de la energía de deformación en el cuerpo, con respecto a una fuerza que actúa en el punto, y que tiene la dirección del desplazamiento. En forma parecida, la pendiente de la tan gente en un punto de un cuerpo, es igual a la primera derivada parcial de la energía de deformación en el cuerpo, con respecto a un momento de par que actúa en el punto y que tiene la dirección del ángulo de la pen diente. Para deducir el segundo teorema de Castigliano, imaginemos un cuer po de forma arbitraria, sometido a una serie de n fuerzas P b P2, ..., P„, fi gura 14-39. Como el trabajo externo efectuado por esas fuerzas es igual a la energía interna de deformación almacenada en el cuerpo, se puede apli car la conservación de la energía: U, = Ue
Sin embargo, el trabajo externo es una función de las cargas externas, Ue = 2 ¡P dx, ecuación 14-1, por lo que el trabajo interno también es una función de las cargas externas. Así, U¡ = Ue = f(P u Pz, ...,P „ )
(14-44)
Ahora bien, si aumenta cualquiera de las fuerzas externas, por ejemplo P¡, en una cantidad diferencial dPr también aumentará el trabajo interno, de modo que la energía de deformación se transforma en
Fig. 14-39
S ecció n
dU¡ U, + dU¡ = U, + d p ~*j dP,
(14-45)
Sin embargo, este valor no debe depender del orden en que se aplican las fuerzas n al cuerpo. Por ejemplo, podríamos aplicarle primero dV¡, y después aplicar las cargas P b P 2, . . . , P„. En este caso, dP¡ haría que el cuerpo se desplazara una cantidad diferencial dk.¡ en la dirección de dV¡. De acuerdo con la ecuación 14-2 (í/f = |PyAy), el incremento de energía de deformación sería i dPjdkj . Sin embargo, esta cantidad es una diferen cial de segundo orden, y se puede despreciar. La aplicación sucesiva de las cargas P ,. P2, __ P,„ hace que dP¡ se mueva el desplazamiento Ay, por lo que la energía de deformación es
U¡ + dU¡ = U¡ + dPj A¡
(14-46)
Aquí, como arriba, U¡ es la energía de deformación interna en el cuerpo, causada por las cargas P b P2, __ P„ y dU¡ = dP¡\¡ es la energía de defor mación adicional causada por dF¡. En resumen, la ecuación 14-45 representa la energía de deformación en el cuerpo, determinada aplicando primero las cargas P b P2, . . . , P„ y des pués dP¡; la ecuación 14-46 representa la energía de deformación deter minada aplicando primero dP¡ y después las cargas Pl5 P2, . . . , P„. Como esas dos ecuaciones deben ser iguales, es necesario que
A- = — ' dPj
(14-47)
con lo que se demuestra el teorema: es decir, el desplazamiento Ay en la dirección de Py es igual a la primera derivada parcial de la energía de de formación con respecto a Py. Se debe hacer notar que la ecuación 14-47 es un enunciado acerca de los requisitos de com patibilidad del cuerpo, porque es una condición relacionada con el desplazamiento. También, en la deducción anterior se requiere que sólo se consideren fuerzas conservativas en el análisis. Estas fuerzas se pueden aplicar en cualquier orden, y además efectúan trabajo que es independiente de la trayectoria, y en consecuencia no causan pér didas de energía. Mientras el material tenga un comportamiento elástico lineal, las fuerzas aplicadas serán conservativas, y el teorema es válido. También se debe mencionar que el primer teorema de Castigliano es pa recido a este segundo; sin embargo, relaciona la carga P¡ con la derivada parcial de la energía de deformación con respecto al desplazamiento co rrespondiente: esto es, P¡ = d llj/ 3A;. La demostración es parecida a la pre sentada arriba. Este teorema es otra forma de expresar los requisitos de equilibrio del cuerpo; sin embargo, su aplicación es limitada, y en conse cuencia no se describirá aquí.
14.8 Teorema de Castigliano
•
785
786
•
14.9
CAPÍTULO 14 Métodos de energía
Teorema de Castigliano aplicado a armaduras Cuando un miembro de armadura se somete a una carga axial, la energía de deformación se define con la ecuación 14-16, U¡ = N 2L /2 A E . Al susti tuir esta ecuación en la 14-47, y omitir el subíndice i se llega a J L y ? !lk dP ^
2AE
En general, es más fácil hacer primero la diferenciación y después la suma.También, L , A y E son constantes en determinado miembro,y en con secuencia se puede escribir A =
fdN\ L \ d P ) AE
(14-48)
En esta ecuación A = desplazamiento del nodo de la armadura P = fuerza externa de m a g n itu d variable aplicada al nodo de la arma dura en dirección de A N = fuerza axial interna en un miembro, causada tanto por la fuerza P c o m o por las cargas en la armadura L - longitud de un miembro A = área transversal de un miembro E = módulo de elasticidad del material Para determinar la derivada parcial c)N/c)P, será necesario considerar a P como una variable y no una determinada cantidad numérica. En otras palabras, cada fuerza axial interna N se debe expresar en función de P. Al comparar, se ve que la ecuación 14-48 se parece a la que se usó pa ra el método de trabajo virtual, la ecuación 14-39 (1 •A = 2n N L /A E ),ex cepto que n se sustituye por dN/dP. Sin embargo, estos términos, n y dN/dP. deberán ser iguales ya que representan la tasa del cambio de la fuerza axial interna con respecto a la carga P o, en otras palabras, la fuer za axial por unidad de carga.
PROCEDIMIENTO PARA EL ANÁLISIS El siguiente procedimiento es un método que se puede usar para determinar el desplazamiento de cualquier nodo en una armadura, usando el segundo teorema de Castigliano. Fuerza externa P. • Poner una fuerza P en la armadura, en el nodo donde se va a determinar el desplazamiento que se bus
ca. Suponer que esta fuerza tiene m a g n itu d variable y se debe dirigir a lo largo de la línea de acción del desplazamiento.
S ección
14.9 Teorema de Castigliano aplicado a armaduras
•
787
Fuerzas internas N. • Determinar la fuerza N en cada miembro, causada tanto por las cargas reales (numéricas) como por la fuerza variable P. Suponer que las fuerzas de tensión son positivas y que las fuerzas de compresión son
negativas. • Determinar la derivada parcial dN/dP respectiva de cada miembro. • Después de haber determinado N y dN/dP , asignar a P su valor numérico, si en realidad ha reemplaza do una fuerza real sobre la armadura. En caso contrario, igual P a cero. Segundo teorema de Castigliano. • Aplicar el teorema de Castigliano para determinar el desplazamiento A que se busca. Es importante con servar los signos algebraicos de los valores correspondientes de N y de dN/dP al sustituir esos términos
en la ecuación. • Si la suma resultante 1N (dN /dP )L /A E es positiva, A tiene la misma dirección que P. Si se obtiene un va lor negativo, A es opuesto a P. E J E M P L O
14.17
Determine el desplazamiento horizontal del nodo C, de la armadura de acero en la figura 14-40«. E l área transversal de cada miembro se indica en la figura. Suponer que £ ac = 29(10-’) klb/pulg2. S o lu c ió n
Fuerza externa P. Ya que se va a determinar el desplazamiento hori zontal de C. se aplica en el nodo C una fuerza P horizontal variable, fi gura 14-406. Después esta fuerza se igualará al valor fijo de 8 klb. Fuerzas internas N. Usando el método de los nodos, se calcula la fuer za /Ven cada miembro. Los resultados se muestran en la figura 14-406. Los datos se ordenan en la forma tabular siguiente:
Miembro
N
AB BC AC CD
0 0 1.61 P -1.33 P
dN 8P
A\ P = 8 klb)
0 0
0 0
1.67 -1.33
13.33 -10.67
Segundo teorema de Castigliano.
L 8 6 10 8
0 0 222.2
113.8
Se aplica la ecuación 14-48 como
sigue:
1.33 P
(113.8 klb •pie)(12 pulg/pie) = o + o + (222~2 klb •pie) (12 pulg/pie) (1 pulg2) 29(103) klb/pulg2 + (2 pulg2) 29(103) klb/pulg2 = 0.115 pulg
Resp.
1.33 P
(b) Fis- 14’40
788
•
CAPÍTULO 14 Métodos de energía
E J E M P L O Determine el desplazamiento vertical del nodo C en la armadura de acero de la figura 14-41«. El área transversal de cada miembro es A = 400 mm2 y Eac —200 GPa.
.0 r**—
200
2 ni
2 m -----B
2m
B
200
100 kN
100 kN (b)
(a)
141.4 k N + 1.414 P
141.4 kN
y \ 45° 200 kN + P
fi t — A
45 100 kN
■, 1 ■ 100 kN 1'1 0 0 kN
100 kN + P
Fig. 14-41
(c)
Solución Una fuerza vertical P se aplica a la armadura en el nodo C, porque es donde se va a determinar el desplazamiento verti cal, figura 14-416.
Fuerza externa P.
Las reacciones en los apoyos A y D de la armadura se calculan y se ven los resultados en la figura 14-416. Se determinan las fuerzas N en cada miembro, con el método de los nodos, figura 14-41c.* Por comodidad, se ponen en forma tabular los resultados, junto con las derivadas parciales dN/dP. Observe que como P en reali dad no existe como carga real en la armadura, se pide que P = 0. Fuerzas internas N.
Miembro AB BC AC CD
N -1 0 0
141.4 -141.4 - 1.414P 200 + P
^ 0 0
-1.414 1
N (P = 0) -1 0 0
141.4 -141.4
L
4 2.828 2.828 2
0 0
565.7 400 2 965.7 kN • in
P ro blem a s
Segundo teorema de Castigliano.
c* -
•
789
Se aplica la ecuación 14-48:
L \ d p ) AE
965.7 kN-m AE
Sustituyendo los valores numéricos de A y E se obtiene _________ 965.7 kN •m_______ C" ~ [400(10-6) m2] 200(106) kN/m2 = 0.01207 m = 12.1 mm Resp. Esta solución se debe comparar con el ejemplo 14.11, con el método de los trabajos virtuales. *Pocría ser más cómodo analizar esta armadura sólo con la carga de 100 kN.y después analizarla con la carga P. Después se suman los resultados para obtener las fuerzas N.
PROBLEMAS 14-117. Resuelva el problema 14-71, usando el teorema de Castigliano.
14-125. Resuelva el problema 14-78, usando el teorema de Castigliano.
14-118. Resuelva el problema 14-73, usando el teorema de Castigliano.
14-126. Resuelva el problema 14-79. usando el teorema de Castigliano.
14-119. Resuelva el problema 14-74, usando el teorema de Castigliano.
14-127. Resuelva el problema 14-81, usando el teorema de Castigliano.
*14-120. Resuelva el problema 14-72, usando el teorema de Castigliano.
*14-128. Resuelva el problema 14-84, usando el teorema de Castigliano.
14-121. Resuelva el problema 14-75, usando el teorema de Castigliano.
14-129. Resuelva el problema 14-82, usando el teorema de Castigliano.
14-122. Resuelva el problema 14-76, usando el teorema de Castigliano.
14-130. Resuelva el problema 14-83, usando el teorema de Castigliano.
14-123. Resuelva el problema 14-77, usando el teorema de Castigliano.
14-131. Resuelva el problema 14-85, usando el teorema de Castigliano.
*14-124. Resuelva el problema 14-80, usando el teorema de Castigliano.
*14-132. Resuelva el problema 14-86. usando el teorema de Castigliano.
790
•
CAPÍTULO 14 Métodos de energía
*14.10
El teorem a de Castigliano aplicado a vigas La energía de deformación interna en una viga se debe a la flexión y al cortante. Sin embargo, como se vio en el ejemplo 14.7. si la viga es larga y esbelta, se pue de despreciar la energía de deformación debido a la fuerza cortante, en compara ción con la de flexión. Suponiendo que ése sea el caso, la energía de deformación interna de una viga es ¡ - IM2 dx/2EI. ecuación 14-17. Esto se sustituye en A, = dU¡/dPj. ecuación 14-47 y, omitiendo el subíndice i, se llega a d ( L M 2 dx ~ dP J0 2E l
Más que elevar al cuadrado la ecuación del momento M. integrar y sacar entonces la derivada parcial, en general es más fácil diferenciar antes de la integración. Si E e / son constantes,
(14-49)
donde A = desplazamiento del punto, causado por las cargas reales que ac túan sobre la viga P = fuerza externa de magnitud variable aplicada a la viga, en direc ción de A M - momento interno en la viga, expresado en función de x, y causa do tanto por la fuerza P como por las cargas en la viga E = módulo de elasticidad del material / = momento de inercia del área transversal, calculado respecto al eje neutro Si se debe determinar la pendiente de la tangente 6 en un punto de la curva elástica, se debe determinar primero la derivada parcial del momen to interno M con respecto a un momento de par externo M ' que actúa en el punto. Para este caso,
e =
, dM \ dx ‘
dM ’) E l
(14-50)
Las ecuaciones anteriores se parecen a las que se usaron para el méto do del trabajo virtual, las ecuaciones 14-42 y 14-43, excepto que m y m e aparecen en vez de dM /dP y dM/dM', respectivamente.
S e c c ió n 1 4 .1 0
El
teorema de Castigliano aplicado a vigas
Se debe mencionar que si la carga genera una energía de deformación apreciable dentro del miembro, debido a carga axial, momento de flexión, cortante y momento de torsión, se deben incluir los efectos de todas esas cargas al aplicar el teorema de Castigliano. Para hacerlo, se deben usar las funciones de energía de deformación deducidas en la sección 14-2, junto con sus derivadas parciales correspondientes. El resultado es (14-51)
El método para aplicar esta formulación general se parece al que se usó para aplicar las ecuaciones 14-49 y 14-50.
PROCEDIMIENTO PARA EL ANÁLISIS El procedimiento que sigue es un método para aplicar el segundo teo rema de Castigliano. Fuerza P o momento de par M ' externos.
• Poner una fuerza P sobre la viga en el punto, y dirigida a lo largo de la línea de acción del desplazamiento que se desea. • Si se va a determinar la pendiente de la tangente, poner un mo mento de par M ' en el punto. • Suponer que tanto P como M ' tienen magnitud variable. M om entos internos M .
• Definir coordenadas x adecuadas, válidas dentro de las regiones de la viga donde no haya discontinuidad de fuerza,carga distribui da o momento de par. • Calcular los momentos internos M en función d e P o M ' y las de rivadas parciales 9M/9P o dM /dM ' para cada coordenada ,y. • Después de haber determinado M y dM/dP. o d M / d M asignar su valor numérico a P o a M ' s i en realidad ha sustituido una fuer za o un momento de par real. En caso contrario, igualar a cero P o M '. Segundo teorema de Castigliano.
• Aplicar la ecuación 14-49 o la 14-50 para determinar el desplaza miento A o 0 que se busca. Es importante conservar los signos algebraicos de los valores correspondientes de M y dM /dP o dM/dM'. • Si la suma resultante de todas las integrales definidas es positiva, A o 0 tiene la misma dirección que P o M '. Si se obtiene un valor negativo, A o 0 son opuestas a P o a M
•
791
792
•
CAPÍTULO 14 Métodos de energía
E J E M P L O
14.19 Determine el desplazamiento del punto B en la viga de la figura 14.42a. E l es constante.
.
1
TÍ 1----------------------- L ----------- -----------^ (a)
L -
(b)
Solución
Se pone una fuerza vertical P en la viga, en B, co mo se ve en la figura 14-42b. Fuerza externa P.
Para esta solución sólo se necesita una sola coordenada x, ya que no hay discontinuidades de carga entre A y B. Al aplicar el método de las secciones, figura 14-42c, determinan el momen to interno y la derivada parcial como sigue: Momentos internos M.
r
h H i ii í .' i 1
D
M
t+ 1 M na = 0;
M + wx[ — J + P (x) = 0
(c) wx~ M = — ------ Px
Fig. 14-42
2
dM_ = —x dP
Se iguala P = 0, para obtener
M =
—wx
Segundo teorema de Castigliano.
dM\ dx J p jlT i wL 8E l
dM dP
-x
Se aplica la ecuación 14-49: ( - w x 2/ 2 ) ( - x ) dx Ti
Resp.
Se debe observar la igualdad entre esta solución y la obtenida con el método del trabajo virtual, ejemplo 14.14.
S ecció n
E J E M P L O
14.10 El teorema de Castigliano aplicado a vigas
•
14.20
Determine la pendiente de la viga de la figura 14-43«, en el punto B. E l es constante.
i el ▼
S o lu c ió n
IB
L
Momento del p ar externo M'. Como se va a determinar la pendiente en el punto B. se pone un momento de par externo M ' en la viga, en
L
-
A
(a)
ese punto, figura 14-436. Se deben usar dos coordenadas, x¡ y x2, para determinar los momentos internos dentro de la viga, porque hay una discontinuidad, M', en B. Como se ve en la figura 13-436, xi rige de A a B y x2 rige de B a C. Usando el método de las secciones, figura 14-43c. se determinan como sigue los momentos internos y las derivadas parciales: Para x¡, Momentos internos M.
¿+ 1M„ a = 0;
M’ I—jfH
|— a-2—\y B
(b)
-M i - Pxy = 0 M, = - P x x dMi dM'
= 0 vi
Para x~ M
L+ ZM na = 0;
- M 2 + M'
-
P[ - +
x
2 )
=
0
v2 M2 = M' — P[ — +
x
2
M'
< t
•; \r 3
5M2 dM' Segundo teorema de Castigliano.
= 1
Fig. 14-43
Se iguala M ' = 0, y se aplica la ecua
dM' J E l
L* { - P x l )( 0 )d x 1 El 3PL ’ 8E l
l'2- P [ ( L /2 )
+ x 2] ( l ) d x 2 El Resp.
E l signo negativo indica que 0/¡ es contrario a la dirección del momen to del par MObserve la igualdad entre este resultado y el del ejem plo 14.15.
L
2 (C)
ción 14-50, entonces = \ M\
ctI—
793
794
•
CAPITULO 14 Métodos de energía
E J E M P L O Determine el desplazamiento vertical del punto C en la viga de acero de la figura 14-44«. Suponer que £ ae = 200 GPa./ = 125(10“6) m4. 5kN 4 kN /m 18 kN-m
6m
—4 m
(a)
S o lu c ió n
Se aplica una fuerza vertical P en el punto C, figu ra 14-446. Después se igualará esta fuerza con el valor fijo de 5 kN.
Fuerza externa P.
En este caso se necesitan dos coordenadas * en la integración, porque la carga es discontinua en C. Aplicando el mé todo de las secciones, figura 14-44c. los momentos internos y las deri vadas parciales se determinan como sigue: Para x1? Momentos internos M.
^ 3,
'h
+ %Mna = 0;
Mi + I * ! 2
- (9 + 0.4P)*! = 0 1
Mi = (9 + 0.4P)xi - “jfj3 9 kN +
OAP
c)M\ = 0.4x ~dP
IS k N -m
Para x2, - M 2 + 18 + (3 + 0.6P)x 2 = 0
i+ 1 M na = 0;
M2 = 18 + (3 + 0.6P)x 2 dM-> = 0.6x 7 dP
Segundo teorema de Castigliano.
Se iguala P = 5 kN, y se aplica la
ecuación 14-49, como sigue: . _ | . . . d M \ dx Ac' _ I ^d M j J l 6 ( l l x t - | x i 3)(0.4x]) d x i
El
+
' 4 (18 + 6x 2)( 0 .6x2) dx2
El
410.9 kN •m3 [200(106) kN/m2] 125(10“6) m4 = 0.0164 m = 16.4 mm
Resp.
P ro blem a s
•
795
PROBLEMAS 14-133. Resuelva el problema 14-87 usando el teorema de Castigliano. 14-134. Resuelva el problema 14-89 usando el teorema de Castigliano. 14-135. Resuelva el problema 14-90 usando el teorema de Castigliano. *14-136. Resuelva el problema 14-88 usando el teorema de Castigliano. 14-137. Resuelva el problema 14-91 usando el teorema de Castigliano. 14-138. Resuelva el problema 14-93 usando el teorema de Castigliano. 14-139. Resuelva el problema 14-94 usando el teorema de Castigliano. *14-140. Resuelva el problema 14-92 usando el teorema de Castigliano. 14-141. Resuelva el problema 14-95 usando el teorema de Castigliano. 14-142. Resuelva el problema 14-97 usando el teorema de Castigliano. 14-143. Resuelva el problema 14-99 usando el teorema de Castigliano. *14-144. Resuelva el problema 14-96 usando el teorema de Castigliano. 14-145. Resuelva el problema 14-101 usando el teorema de Castigliano.
14-146. Resuelva el problema 14-102 usando el teorema de Castigliano. 14 - 14 7 . Resuelva el problema 14-103 usando el teorema de Castigliano. *14-148. Resuelva el problema 14-100 usando el teorema de Castigliano. 14-149. Resuelva el problema 14-105 usando el teorema de Castigliano. 14-150. Resuelva el problema 14-106 usando el teorema de Castigliano. 14-151. Resuelva el problema 14-107 usando el teorema de Castigliano. *14-152. Resuelva el problema 14-104 usando el teorema de Castigliano. 14-153. Resuelva el problema 14-109 usando el teorema de Castigliano. 14-154. Resuelva el problema 14-113 usando el teorema de Castigliano. 14-155. Resuelva el problema 14-114 usando el teorema de Castigliano. *14-156. Resuelva el problema 14-108 usando el teorema de Castigliano. 14-157. Resuelva el problema 14-116 usando el teorema de Castigliano. 14-158. Resuelva el problema 14-115 usando el teorema de Castigliano.
REPASO DEL CAPÍTULO • Cuando una fuerza (o momento de par) actúa sobre un cuerpo deformable efectúa trabajo externo al desplazarlo (hacerlo girar). Los esfuerzos internos producidos en el cuerpo también sufren desplazamien to y con ello crean una energía de deformación elástica que se almacena en el material. • La conservación de la energía establece que el trabajo externo efectuado por la carga es igual a la ener gía de deformación interna producida en el cuerpo. Con esta base se pueden resolver problemas donde interviene el impacto elástico, donde se supone que el cuerpo en movimiento es rígido, y que la energía de deformación se almacena en el cuerpo estacionario. • E l principio del trabajo virtual se puede usar para determinar el desplazamiento de un nodo de una ar madura, o la pendiente y el desplazamiento de puntos en una viga o marco. Requiere poner una fuerza unitaria virtual externa (o un momento unitario de par virtual) en el punto donde se va a determinar el desplazamiento (la rotación). E l trabajo virtual externo se iguala entonces a la energía virtual interna de deformación en el miembro o la estructura. • También el teorema de Castigliano se puede usar para determinar el desplazamiento de un nodo en una armadura, o una pendiente, o el desplazamiento de un punto en una viga o un marco. En este caso se po ne una fuerza variable P (o un momento de par M) en el punto donde se va a determinar el desplaza miento (o la pendiente). A continuación se determina la carga interna en función de P (o de M) y se de termina su derivada parcial con respecto a P ( o a M). Se aplica entonces el teorema de Castigliano para obtener el desplazamiento (o la rotación) deseado.
796
•
CAPÍTULO 14 Métodos de energía
PROBLEMAS
DE
REPASO
14-159. Determine la energía de deformación por flexión en la viga, debida a la carga indicada. E l es constante.
P
P
I
1
14-163. La viga en voladizo se somete a un momento de par M0 aplicado en su extremo. Determine el desplaza miento de la viga en B. E l es constante. Use el método del trabajo virtual. *14-164. Resuelva el problema 14-163 con el teorema de Castigliano.
a ------ -------- a ------- J------- a Prob. 14-159
*14-160. El tornillo de acero L2 tiene 0.25 pulg de diá metro y la prensa A B tiene corte transversal rectangular, de 0.5 pulg de ancho por 0.2 pulg de espesor. Calcule la energía de deformación en la prensa A B debida a la fle xión, y en el tornillo debida a la fuerza axial. El tornillo se aprieta hasta que su tensión es 350 Ib. No tenga en cuenta el agujero de la prensa.
Probs. 14-161/162/163/164
14-165. Calcule el desplazamiento vertical del nodo A. Cada barra es de acero A-36, y su área transversal es 600 mm!. Aplique la conservación de la energía.
Prob. 14-160
14-161. La viga en voladizo se somete a un momento de par M0, aplicado en su extremo. Determine la pendiente de la viga en B. E l es constante. Use el método del traba jo virtual. 14-162. Resuelva el problema 14-161 con el teorema de Castigliano.
Prob. 14-165
P ro blem a s de repaso
14-166. Determine el desplazamiento del punto B en la viga de aluminio. Eal = 10.6(103) klb/pulg2. Aplique la con servación de la energía.
•
797
*14-168. Calcule el desplazamiento vertical del nodo B. Para cada miembro, A = 400 mm2, E = 200 GPa. Use el método del trabajo virtual.
14-169. Resuelva el problema 14-168 usando el teorema de Castigliano. 3 klb 3 p u l g - ^ 3 pulg
T J fp 1 ^ 18
,' - K — 12 pies ■
12 pies
Prob. 14-166
14-170. Calcule el desplazamiento vertical del nodo E. Para cada miembro, A — 400 mm2, E = 200 GPa. Use el método del trabajo virtual.
14-167. Un peso de 20 Ib se deja caer de una altura de 4 pies, para que llegue al extremo de la viga empotrada de acero A-36. Si la viga es W12 X 60, determine el esfuerzo máximo desarrollado en ella.
14-171. Resuelva el problema 14-170 usando el teorema de Castigliano.
4 pies
-
12 pies
Prob. 14-167
Probs. 14-168/169/170/171
APENDICE
A
A.1
Propiedades geométricas de un área
Centroide de un área El centroide de un área es el punto que define el centro geométrico del área. Si ésta tiene una forma arbitraria, como en la figura A-la, las coor denadas x y y que definen el lugar del centroide C se determinan con las fórmulas
_
JA
x
dA
L“
y -
dA
'A
(A -l)
[ dA A
Los numeradores en esas ecuaciones son formulaciones del “primer momento'’ del elemento de área dA respecto al eje y y al eje x, respecti vamente, figura A - l b\ los denominadores representan el área total A de la superficie plana.
Fig. A - l
798
S ecció n
A.1
Centroide de un área
y
X
Fig. A-2
Se debe hacer notar que el lugar del centroide, en algunas áreas, puede estar especificado en forma parcial o total por las condiciones de sime tría. En casos en que el área tiene un eje de simetría, el centroide del área estará en ese eje. Por ejemplo, el centroide C del área en la figura A-2 de be estar en el eje y, ya que por cada área elemental dA a la distancia +x, a la derecha del eje y, hay un elemento idéntico a la distancia —x. hacia la izquierda. El momento total de los elementos respecto al eje de simetría se anula; esto es, fx dA = 0 (ecuación A -l). por lo que x = 0. En los casos en que una figura tiene dos ejes de simetría, el centroide se localiza en la intersección de esos ejes, figura A-3. Con base en el principio de simetría, o de acuerdo con la ecuación A -l. los lugares del centroide para áreas de figuras comunes se encuentran en el interior de la pasta delantera de es te libro. Con frecuencia se puede dividir o seccionar en va rias partes con formas más sencillas. Si se conocen el área y el lugar del centroide de cada una de esas ‘‘áreas compuestas”, se puede eliminar la necesidad de integrar para determinar el centroide del área completa. En este caso se deben usar ecuaciones análogas a las ecuaciones A -l. pero las integrales se sustituyen con signos de suma finita, es decir. Áreas com puestas.
~2xA X ~ 'LA
Z yA y ~ 1A
En este caso, x y y representan las distancias algebraicas, o coordenadas jr, y del centroide de cada parte componente, y 2 A representa la suma de las partes componentes, o simplemente el área total. En particular, si den tro de una parte compuesta hay un agujero, o región geométrica que no tiene material, se considera que el agujero es una parte adicional que tie ne un área negativa. También, como se dijo anteriormente, si el área total es simétrica respecto a un eje, el centroide del área está en el eje. El ejem plo que sigue ilustra la aplicación de la ecuación A-2.
Fig. A-3
•
799
800
•
Apéndice A Propiedades geométricas de un área
E J E M P L O
A.1
I Ubicar el centroide C del área transversal de la viga T que se ve en la figura A-4 a.
p— 8 pulg 3 pulg
S o lu c ió n I
-c 11.5 pulg
i 0 pulg ,. 5 pulg
El eje y se establece en el eje de simetría, para que x = 0, figura A-4«. Para obtener y se establece el eje .v (eje de referencia) pasando por la base del área. Esta área se divide en dos rectángulos, como se indica, y se determina el lugar del centroide y para cada uno. A l aplicar la ecua ción A-2 se tiene que
2 pulg (a)
_ 'S.yA y =
[5 pulg] (10 pulg)(2 pulg) + [11.5 pulg] (3 pulg)(8 pulg) (10 pulg)(2 pulg) + (3 pulg)(8 pulg)
= 8.55 pulg
Resp.
-1.5 pulg
V -¡—
3 pulg
-8 pulg
S o lu c ió n II
Se usan los mismos dos segmentos, y el eje * puede estar en la parte su perior del área, como se ve en la figura A-4¿>. En ella
10 pulg
_ 2yA y = 2/1
[—1.5 pulg] (3 pulg)(8 pulg) + [-8 pulg](10 pulg)(2 pulg) (3 pulg)(8 pulg) + (10 pulg)(2 pulg)
2 pulg
= -4.45 pulg
(b)
Resp.
El signo negativo indica que C está abajo del origen, lo cual era de es perarse. También obsérvese que de acuerdo con las dos respuestas, 8.55 pulg + 4.45 pulg = 13.0 pulg, que es el peralte de la viga. -— 8 pulg
S o lu c ió n III
También es posible suponer que el área transversal es un rectángulo grande menos dos rectángulos pequeños, figura A-4c. En este caso,
13 pulg 10 pulg
6.5 pulg 5 pulg
3 pulg
3 pulg
_ X yA y =
[6.5 pulg](13 pulg)(8 pulg) - 2[5 pulg] (10 pulg)(3 pulg) (13 pulg)(8 pulg) - 2(10 pulg)(3 pulg)
(c) F ig . A -4
8.55 pulg
Resp.
S ección
A.2
A.2 Momento de inercia de un área
M omento de inercia de un área
Al calcular el centroide de un área se consideró el primer momento del área respecto a un eje. es decir, para el cálculo fue necesario evaluar una integral de la forma J* d A . Hay algunos temas en la mecánica de mate riales donde se requiere evaluar una integral del segundo momento de un área, esto es, f.x2d A . A esta integral se le llama momento de inercia del área A . Para mostrar cómo se define formalmente, veamos el área A de la figura A-5, que está en el plano x-y. Por definición, los momentos de iner cia del elemento diferencial d A respecto a los ejes x y y son d lx = y 2d A y d iy = x 2d A , respectivamente. Para toda el área, el momento de inercia se determina por integración:
Fig. A-5
y2dA
4 = A
(A-3) x 2d A
4 = A
También podemos formular el segundo momento de inercia del elemen to diferencial respecto al polo O o al eje z , figura A-5. A eso se le llama m o m e n to p o la r de inercia, d J Q — P 'dA . Aquí, res la distancia perpendicu lar del polo (o el eje z ) al elemento d A . Para toda el área, el momento polar de inercia es
r 2 d A — Ix 4- / v
Jo ~
(A-4)
A
La relación entre J Q e /„ l v es posible, ya que r 2 = .v2 + y 2, figura A-5. De acuerdo con las formulaciones anteriores se ve que Ix, Iy y J a sie m p re son p o sitivo s, ya que implican el producto de la distancia al cuadrado por el área. Además, las unidades del momento de inercia son de longi tud elevada a la cuarta potencia, por ejemplo m4, mm4 o pie4 y pulg4. Mediante las ecuaciones anteriores se han calculado los momentos de inercia de algunas figuras comunes respecto a sus ejes centroidales, y apa recen en el interior de la pasta delantera de este libro. Si se conoce el momento de inercia de un área respecto a un eje centroidal, se puede determinar su momento de inercia respecto a un eje paralelo a éste, con el teorem a d el eje paralelo. Para deducirlo, imaginemos que se trata de determinar el momento de inercia del área sombreada de la figura A-6, respecto al eje x . En ese caso, se define un elemento diferencial d A a una distancia arbi traria y ' del eje centroidal x ', mientras que la distancia fija entre los ejes Teorema del eje paralelo para un área.
Fig. A -6
•
801
802
•
Apéndice A Propiedades geométricas de un área
paralelos x y x' se representa por dy. Como el momento de inercia de dA respecto al eje -v es dlx = (y ' + dy)2dA. entonces, para el área completa, Ir
=
( y ' + d y)~ dA =
y
dA + 2d v y'd A + d
dA
E l primer término de la derecha representa el momento de inercia del área respecto al eje x ‘, que es /A.-. El segundo término es cero, ya que el eje x' pasa por el centroide C del área; esto es, fy'dA — y A = 0, por que y = 0. Entonces, el resultado final es h = h' + Ady-
(A-5)
Se puede deducir una ecuación parecida para 7V, que es Iy = Iy + A d 2
(A-6)
Y por último, el momento polar de inercia respecto a un eje perpendicu lar al plano x-y que pasa por el polo O (el eje z), figura A-6, es Jo - Je + A d
(A-7)
La forma de cada una de las ecuaciones anteriores indica que el mo mento de inercia de un área respecto a un eje es igual al momento de iner cia del área respecto a un eje paralelo que pase por su centroide, más el producto del área por el cuadrado de la distancia perpendicular entre los ejes. Muchas áreas transversales consisten en una serie de formas más sencillas unidas, como rectángulos, triángulos y semicírcu los. Siempre que se conozca el momento de inercia de cada una de esas áreas, o que se pueda calcular respecto a un eje común, el momento de inercia del “área compuesta” se puede determinar con la suma algebrai ca de los momentos de inercia de sus partes componentes. Para determinar en forma correcta el momento de inercia de una de esas áreas, respecto a un eje especificado, primero es necesario dividir el área en sus partes componentes, e indicar la distancia perpendicular del eje al eje centroidal paralelo de cada parte. Se calcula el momento de iner cia de cada parte respecto al eje centroidal usando la tabla en el interior de la pasta delantera del libro. Si ese eje no coincide con el eje especifica do, se debe aplicar el teorema del eje paralelo, 1 = 1 + A d 2, para deter minar el momento de inercia de la parte respecto al eje especificado. A continuación se determina el momento de inercia de toda el área respec to a este eje, sumando los resultados de sus partes componentes. En par ticular, si un componente tiene un “agujero”, se calcula el momento de inercia de éste, restando del momento de inercia de toda el área que incluye al agujero. Los ejemplos que siguen ilustran la aplicación de este método. Areas compuestas.
S ección
E J E M P L O
A.2 Momento de inercia de un área
•
803
A2 1
Determinar el momento de inercia del área transversal de la vigaT que muestra la figura A -la, respecto al eje centroidal x'. \-— 8 pulg— * 1.5 pulg_ 1.5 pulg“
4.45 pulg
10 pulg —i—
8.55 pulg
5 pulg
2 pulg (a)
Fig. A-7 S o lu c ió n I
El área se divide en dos rectángulos como se ve en la figura A -la, y se determina la distancia del eje x' a cada eje centroidal. En la tabla del interior de la pasta delantera del libro, se ve que el momento de iner cia de un rectángulo respecto a su eje centroidal es / = '2 bhr\ Se apli ca el teorema del eje paralelo, ecuación A-5, a cada rectángulo,y se su man los resultados, como sigue: I = 'ZI „• + A d ,?
(2 pulg)(10 pulg)3 + (2 pulg)(10 pulg)(8.55 pulg - 5 pulg)2 +
1 (8 pulg)(3 pulg)3 + (8 pulg)(3 pulg)(4.45 pulg - 1.5 pulg)2 .12
I = 646 pulg4
Resp.
S o lu c ió n II 4.45 pulg
Se puede considerar que el área es un rectángulo grande menos dos rectángulos pequeños, que se ven con línea interrumpida en la figura A -lb. Entonces, 13 Pu'g
10 pulg -
1
-2
16.5 pulf'55 PU‘g
5 pulg!
I = 2/,. 4- A d f
(8 pulg)(13 pulg)3 + (8 pulg)(13 pulg)(8.55 pulg - 6.5 pulg)2
3 pulg 3 pulg 2 pulg
(3 pulg)(10 pulg)3 + (3 pulg)(10 pulg)(8.55 pulg - 5 pulg)2
(b)
.1 2
I = 646 pulg4
Resp.
804
•
Apéndice A Propiedades geométricas de un área
E J E M P L O Calcular los momentos de inercia del área transversal de la viga que aparece en la figura A-8 a, respecto a los ejes centroidales x y y. S o lu c ió n
Se puede considerar que la sección está formada por tres áreas rectan gulares componentes, A, B y D, que se ven en la figura A-8 b. Para el cálculo, se ubica el centroide de cada rectángulo en la figura. Se ve, en la tabla del interior de la pasta delantera de este libro, que el momen to de inercia de un rectángulo respecto a su eje centroidal es / = ~ bh :\ Por consiguiente, aplicando el teorema del eje paralelo a los rectángu los A y D, se tienen los cálculos siguientes: Rectángulo A: Iy = 7,.- + A d 2 - — (100 mm)(300 mm)3 + (100 mm)(300 mm)(200 mm)2
= 1.90(109) mm4 Iy = Iy + A d 2 - ^ (3 0 0 mm)(100 mm)3 + (100 mm)(300 mm)(250 mm)2
= 1.90(109) mm4 Rectángulo B: /.v = ^ (6 0 0 mm)(100 mm)3 = 0.05(109) mm4 /v = ^ (1 0 0 mm)(600 mm)3 = 1.80(109) mm4 Rectángulo D\ Ix = 7X, + A d 2 = — (100 mm)(300 mm)3 + (100 mm)(300 mm)(200 mm)2
= 1.425(109) mm4
100 mm
1
Iy - Iy' + A dx~ = — (100 mm)(300 mm)-1 + (100 mm)(300 mm)(200 mm)2
200 mm
250 mm
300 mm
= 1.90(109) mm4 =
= r
250 mm
---------- X
!
I 300 mm
200 mm D 100 mm
(b) Fig. A-8
Los momentos de inercia de toda el área transversal son Ix = 1.425(109) + 0.05(109) + 1.425(109)
= 2.90(109) mm4
Resp.
Iy = 1.90(109) + 1.80(109) + 1.90(109)
= 5.60(109) mm4
Resp.
S ecció n
A.3
A,3 Producto de inercia de un área
•
805
Producto de inercia de un área
En general, el momento de inercia de un área es diferente para cada eje respecto al cual se calcula. En algunas aplicaciones de diseño mecánico o estructural es necesario conocer la orientación de los ejes que producen, en forma respectiva, los momentos de inercia máximo y mínimo del área. El método para determinarlos se describe en la sección A.4. Sin embargo, para usar este método primero se debe calcular el producto de inercia del área, así como sus momentos de inercia, respecto a ejes x y y dados. El producto de inercia del elemento diferencial dA de la figura A-9, que está en un punto (x, y) se define como dlxy = xy dA. Así, para toda el área, el producto de inercia es
(A-8)
Al igual que el momento de inercia, las unidades del producto de iner cia son de longitud elevada a la cuarta potencia, como m4, mm4 o pie4, pulg4. Sin embargo, como x o y pueden ser cantidades negativas, mientras que el elemento de área siempre es positivo, el producto de inercia pue de ser positivo, negativo o cero, dependiendo de la ubicación y la orien tación de los ejes coordenados. Por ejemplo, el producto de inercia Ixy de un área será cero si alguno de los ejes,x o y, es un eje de simetría del área. Para demostrarlo, examine el área sombreada de la figura A-10, donde por cada elemento dA ubicado en el punto (x, y) hay un elemento corres pondiente dA ubicado en (x, - y ) . Como los productos de inercia de esos elementos son, respectivamente, xy dA y - x y dA, la suma algebraica de ellos, o la integración de todos los elementos de área seleccionados en es ta forma, anulará cada par. En consecuencia, el producto de inercia del área total es cero. También, de acuerdo con la definición de Ixy, el “signo” de esta cantidad depende del cuadrante donde esté el área. Como se ve en la figura A - ll, el signo de 7VVcambia cuando el área pasa de un cua drante al siguiente.
Fig. A-10
Teorema del eje p aralelo . Examine el área sombreada de la figura A-12, donde x' y y' representan un conjunto de ejes centroidales, y x y y
un conjunto correspondiente de ejes paralelos. Ya que el producto de iner cia de dA con respecto a los ejes x y y es dlxv = (x' + dx)(y' + d.) dA, entonces, para toda el área,
l xy =
(x' + dx)(y ' + dy) dA A
[ x'y' dA + dx y' dA + d y x' dA + dxdy a
Ja
Ja
dA
ixy=fXydA~
Ixv = - ¡ x y d A
Ja
El primer término del lado derecho representa el producto de inercia del área con respecto al eje ccntroidal. Ixy . El segundo y el tercer términos
Fig. A - l l
806
•
Apéndice A Propiedades geométricas de un área
son cero, porque los momentos de área se calculan respecto al eje centroi dal. Se ve que la cuarta integral representa el área total, A , y en conse cuencia, el resultado final es x y + A dxd v
(A-9)
Se debe subrayar el parecido entre esta ecuación y la del teorema del eje paralelo para momentos de inercia. En particular, es importante man tener los sig n o s algebraicos de d x y dy al aplicar la ecuación A-9. Como se verá en el ejemplo siguiente, el teorema del eje paralelo tiene aplicacio nes importantes en la determinación del producto de inercia de un área compuesta con respecto a un conjunto de ejes x, y.
E J E M P L O Determinar el producto de inercia del área transversal de una viga, que se ve en la figura A-13a, respecto a sus ejes centroidales x y y.
100 mm
Solución 400 mm
± 400 mm
100 mm
100 mm
Como en el ejemplo A.3, se puede considerar que el área transversal está formada por tres áreas rectangulares A. B y D, figura A-13b. En la figura se muestran las coordenadas del centroide de cada uno de esos rectángulos. Por simetría, el producto de inercia de cada rectángulo es cero respecto a un conjunto de ejes x', y' que pasan por su centroide. Por consiguiente, la aplicación del teorema del eje paralelo a cada uno de los rectángulos da como resultado Rectángulo A:
- 600 mm -
l.xy
(a)
Ixy ’ + A dxd v = 0 + (300 mm)(100 mm)(-250 mm)(200 mm) = —1.50(109) mm4
Rectángulo B: Ix\ 100 mm
250 mm
Rectángulo D: lxy
250 mm /
A d xd y
= (300 mm)(100 mm)(250 mm)(-200 mm) = -1.50(109) mm4
200 mm
300 mm
Ix y
300 mm
Ix'y'
A d xd y
= 0 + (300 mm)(100 mm)(250 mm)(-200 mm) = —1.50(109) mm4
200 mm 100 mm
Entonces, el producto de inercia de toda el área transversal es I Xy = [—1.50( 109)] + 0 + [—1.50( 109)]
(b)
F ig . A -1 3
= -3.00(109) mm4
Resp.
S ección
A.4
A.4 Momentos de inercia de un área respecto a ejes inclinados
M om entos de inercia de un área respecto a ejes inclinados
En el diseño mecánico o estructural, a veces es necesario calcular los mo mentos y el producto de inercia Ix-,/v- e /vy respecto a un conjunto de ejes ' x' y y' cuando se conocen los valores de 9, I„ Iy e Ixy. Como se ve en la fi gura A-14, las coordenadas del elemento del área ¿A, en los dos sistemas coordenados se relacionan con las ecuaciones de transformación
y
x' = x eos 6 + y sen 9 y' = y eos 6 - x sen 6
A l usar esas ecuaciones, los momentos y el producto de inercia de dA respecto a los ejes x' y y' son d lx' = y '2 dA = ( y eos 6 - x sen O)2 dA dly' = x'2 dA = (*cos0 + y sen 6)2 dA
Fig. A-14
d lxy = x'y' dA = (x eos 9 + y sen 9)(y eos 9 - x sen 9) dA
Cada ecuación se desarrolla y se integra, teniendo en cuenta que Ix = f y 2dA,/,, = fx 2dA e Ixy = fxy dA; así se obtiene
IX' = Ix eos2 9 + Iy sen2 9 - 21 xy sen 9 eos 9 Iy' = Ix sen29 + Iy eos29 + 21xy sen 9 eos 9 I.x'y■~ Ix sen ® cos ®
Iy sen 0 eos 0 + IXJeo s2 6 — sen7 6)
Se pueden simplificar estas ecuaciones usando las identidades trigono métricas sen 29 = 2 sen 9 cos 9 y cos 29 = cos29 —sen29; en ese caso,
(A-10)
Observe que si se suman las ecuaciones primera y segunda, se ve que el momento polar de inercia, respecto al eje z que pasa por el punto O, es independiente de la orientación de los ejes x' y y', es decir, Jq Ix1 ”1” Iy
Ix
f"
Iy
•
807
808
• Apéndice A Propiedades geométricas de un área
M om entos d e inercia principales. En la ecuación A-10 se puede ver que Ix', /v' e /ry dependen del ángulo de inclinación 6. de los ejes x', y'. Ahora determinaremos la orientación de los ejes respecto a los cuales los momentos de inercia Ix>e Iy>del área son máximos y mínimos. Ese con junto particular de ejes se llama ejes principales de inercia del área, y a los momentos respectivos de inercia con respecto a esos ejes se les llama m o m e n to s de inercia principales. En general, hay un conjunto de ejes prin cipales. para cada origen O determinado; sin embargo, en el caso normal el centroide del área es el lugar más importante de O. El ángulo 6 = 6p, que define la orientación de los ejes principales para el área, se determina diferenciando la primera de las ecuaciones A - l0 con respecto a 6 e igualando el resultado a cero. Así,
dlx. de
=
-2
sen 26 — 2 Ixy eos 26 = 0
Entonces, cuando 6 = 6p,
1311 WP
(/, - Í ) / 2
(A -ll)
Esta ecuación tiene dos raíces, 6p¡ y 6pi, con 90° de diferencia, por lo que especifica la inclinación de cada eje principal. El seno y el coseno de 20p¡ y 2 6P, pueden obtenerse con los triángulos / de la figura A-15, basados en la ecuación A - ll . Si se sustituyen esas re laciones trigonométricas en la primera o la segunda ecuación A-10, y se simplifica, se ve que
lx + ly Fig. A-15
(A-12)
Según el signo que se escoja, este resultado define el momento de inercia máximo o mínimo del área. Además, si las relaciones trigonométricas an teriores de 6p¡ y 6p, se sustituyen en la tercera de las ecuaciones A-10, se verá que Ixy = 0; esto es, el p ro d u c to d e inercia con respecto a los ejes p r in cipales es cero. Como en la sección A.3 se indicó que el producto de iner cia es cero con respecto a cualquier eje de simetría, se sigue entonces que to d o eje d e sim etría representa un eje p rin c ip a l d e inercia d el área.
También, obsérvese que las ecuaciones que se dedujeron en esta sec ción se parecen a las de la transformación de esfuerzos y deformaciones unitarias que se dedujeron en los capítulos 9 y 10, respectivamente. El ejemplo siguiente ilustra su aplicación.
S ecció n
A .5 El círculo de Mohr para momentos de inercia
E J E M P L O Determine los momentos de inercia principales del área transversal de la viga que se ve en la figura A-16, con respecto a un eje que pase por el centroide C. S o lu c ió n
En los ejemplos A.3 y A.4 se calcularon los momentos y el producto de inercia de la sección transversal, con respecto a los ejes x, y. Los resul tados son /, = 2.90(10°) mm4 Iy = 5.60(109) mm4 Ixy = -3.00(109) mm4 Se aplica la ecuación A - ll para determinar los ángulos de inclina ción de los ejes principales x' y y': _
tanzyp
3.00(10' [2.90(109 5.60(10 )]/2 26Pí = 114.2° 26P2 = -65.8° ~ Ixy
_
( / , - / v)/2
=
-
2.22
Entonces, como se ve en la figura A-16, ePl = 57.1°
y
0P2 = -32.9°
Los momentos de inercia principales, con respecto a los ejes x' y y' se determinan con la ecuación A-12: /, - /,\2 2 VV 2 2.90(109) + 5.60(109)
2.90(109) - S-ÓO^O9) 1
+ [—3.00(109)]2
= 4.25(109) ± 3.29(109)
/máx = 7.54(109) mm4
/mín = 0.960(109)mm4
Resp.
En forma específica, el momento de inercia máximo es /máx = 7.54(109) mm4, presenta con respecto al eje x' (eje mayor), ya que por inspección, la mayor parte del área transversal está más alejada de este eje. Para demostrarlo, sustituya los datos con 8 = 57.1° en la primera de las ecuaciones A-10.
A.5 El círculo de Mohr para m omentos de inercia Las ecuaciones A-10 a A-12 tienen una solución gráfica, cómoda para usar la, y en general fácil de recordar. Si se elevan al cuadrado la primera y la tercera de las ecuaciones A-10, y se suman, se ve que I \\ 2 lIx +' Áv Ir'
~
+ w
- (
I + /,2
(A-13)
Fig. A-16
•
809
810
•
Apéndice A Propiedades geométricas de un área
En cualquier problema dado, /v- e ■son variables, e 1„ Iy e Ixy son cons tantes conocidas. Así, la ecuación A-13 se puede escribir en forma com pacta como sigue: (/,. - a)2 + lxy 2 = R 2
Cuando se grafica esta ecuación, resulta un círculo de radio
que tiene su centro en el punto (a, 0),donde a = (7V+ Iy) / 2. El círculo que así se traza se llama círculo de Mohr. Su aplicación es parecida a la que se usan para la transformación de esfuerzo y deformación unitaria, desarro llada en los capítulos 9 y 10, respectivamente.
PROCEDIMIENTO PARA EL ANÁLISIS Aquí, el objetivo principal del uso del círculo de Mohr es contar con un medio cómodo de transformar Ix, Iy e Ixy en los momentos prin cipales de inercia. El procedimiento que sigue es un método para hacerlo. Cálculo de Ix, I y e I xy.
Definir los ejes x, y del área, con el origen en el punto de interés P, que por lo general es el centroide, y determinar I„ ly e Ixy, figura A-17a. Construcción del círculo.
Establecer un sistema de coordenadas rectangulares, tal que la abs cisa represente el momento de inercia I y la ordenada represente el producto de inercia Ixy, figura A - llb . Determinar el centro del círcu lo, C. que está a la distancia (Ix + Iy)/2 del origen y graficar el “punto de referencia” A , cuyas coordenadas son (7V, Ixy). Por defini ción, Ix siempre es positivo, mientras que lxy puede ser positivo o negativo. Unir el punto de referencia A con el centro del círculo y determinar la distancia CA por trigonometría. Esa distancia repre senta el radio del círculo, figura A-17¿>. Por último, trazar el círculo. Momentos principales de inercia.
/
(b)
Fig. A.-17
Los puntos donde el círculo corta las abscisas definen los valores de los momentos principales de inercia /mín e 7máx. Observe que en esos puntos, el producto de inercia es cero, figura A-17b. Para determinar la dirección del eje mayor principal, determinar, por trigonometría, el ángulo 2 9Pl, medido a partir del radio CA ha cia el eje I positivo, figura A -llb . Este ángulo representa el doble del ángulo que hay entre el eje a: y el eje del momento de inercia máximo / máx, figura A-17a. El ángulo en el círculo, 26p] y el ángulo en el área, 0p¡. deben medirse en el mismo sentido, como se ve en la figura A-17. El eje menor es el del momento de inercia mínimo, /min, que es perpendicular al eje mayor que define a 7máx.
S ección
A .5 El círculo de Mohr para momentos de inercia
•
811
E J E M P L O Usar el círculo de Mohr para determinar los momentos principales de inercia del área transversal de la viga que muestra la figura A-18a,con respecto a ejes que pasen por el centroide C. Solución Cálculo de /„
Ixv. Los momentos de inercia y el producto de iner cia se han determinado en los ejemplos A.3 y A.4, con respecto a los ejes x, y de la figura A-18«. Los resultados son Ix = 2.90(109) mm4, Iy = 5.60(109) mm4 e 7VV= —3.00(109) mm4. — --— 100 mm
Los ejes / e lxy se muestran en la figura 1-186. El centro C del círculo está a una distancia (Ix + /v)/2 = (2.90 + 5.60)¡2 = 4.25 del origen. Cuando se une el punto de referencia ,4(2.90, -3.00) con el punto C, se determina el radio CA con el trián gulo sombreado CBA, con el teorema de Pitágoras: Construcción del círculo.
/,.,(!O9) mm4
C,4 = V (L 3 5 )2 + (-3.00)2 = 3.29 Ese círculo se traza en la figura A-18c.
Momentos principales de inercia.
El círculo corta al eje I en los puntos
(7.54,0) y (0.960,0). Entonces,
/máx = 7.54(109) mm4
Resp.
/mín = 0.960(109) mm4
Resp.
Como se ve en la figura A-18c, el ángulo 26Pi se determina en el círculo, midiéndolo en sen tid o contrario a l d e las m anecillas d el reloj a partir de C A , en dirección del eje / p o sitivo . Entonces, =0.960
20p¡ = 180° - tan-
\B A \
\BC\
= 180° - tan-1
3.00 1.35
= 114.2°
El eje mayor principal (para 7máx = 7.54(109) mm4) se orienta, por con siguiente. en un ángulo 8p¡ = 57.1°, medido en sen tid o contrario a l de las m anecillas d el reloj desde el eje x p o sitivo . El eje menor es perpen dicular al anterior. Los resultados se ven en la figura A -18«.
/ (109) mm4
812
•
Apéndice A Propiedades geométricas de un área
PROBLEMAS A -l. Determine la ubicación y del centroide C para el área transversal de la viga. Esa viga es simétrica respecto al eje y.
*A-4. Determine el centroide y para el área transversal de la viga, y a continuación calcule 7V'. A-5. Determine /,, para la viga que tiene el área trans versal indicada en la figura. 25 mm
/
25 mm
A 3 pulg
i
T £ ____ F¡
J7 L 2
Prob. A -l
Dula
VÁX V i 1pulg
2 Dula I pulg
1 pulg
50 mm
A-2. Determine y, que define la ubicación del centroide, y a continuación calcule los momentos de inercia Ix- e / v para la viga T.
75 mm
75 mm
50 mm
Probs. A-4/5
A-6. Determine x para ubicar el centroide C, y a conti nuación calcule los momentos de inercia 7V-e l y- del área sombreada.
50 mm 40 mm 250 mm
Prob. A-2
Prob. A -6
A-3. Determine la ubicación (.v, y) del centroide C, y a continuación calcule los momentos de inercia 7 /e 7V\
/
6 pulg
i
40 mm
A-7. Determine los momentos de inercia Ix e /,. del perfil Z. El origen de las coordenadas está en el centroide C.
200 mm
F
20 mm
y
C -7 200 mm
2 pulg
600 mm 20 mm -
Prob. A -3
2 pulg
- 6 pulgProb. A -7
20 m m
jl
P ro blem a s
•
813
Determine la ubicación (*, y) del centroide C del área transversal del perfil angular, y a continuación calcule el producto de inercia con respecto a los ejes x' y y'. *A-8.
______7 '
15 mm
15 mm 300 mm
6 pulg 2 pulg!
- 1 2 5 mm 2 pulg
■
Probs. A-10/11
-6 pulg
*A-12. Ubique la posición (J, y) del centroide C del área transversal, y a continuación determine el producto de inercia con respecto a los ejes x’ y y'.
Prob. A -8
A -9. Calcule el producto de inercia del área transversal, con respecto a los ejes x y y que tengan su origen en el centroide C.
■— x 50 mm
— 4 pulg
Si
100 mm
f e
t 50 mm
pulg 200 mm
y
Prob. A-12
0.5 pulg 5 pulg 3.5 pulg 1 pulg
|------ 4 pulg-------i
Prob. A-9
A-10. Localice el centroide Qc, y) del perfil en canal y a continuación calcule los momentos de inercia /*•, A - l l . Localice el centroide (3c, y) del perfil en canal, y a continuación calcule el producto de inercia Ix-y- con respec to al ele .
A-13. Calcule el producto de inercia con respecto a los ejes x y y.
814
•
Apéndice A Propiedades geométricas de un área
A-14. Determine los momentos de inercia Ix■e 7V- del área indicada.
A-17. Determine los momentos principales de inercia del área transversal, respecto a los ejes principales cuyo origen está en el centroide C. Use las ecuaciones deducidas en la sección A.4. Para el cálculo suponga que todas las esquinas son rectangulares. A-18.
Resuelva el problema A-17 con el círculo de Mohr.
A-15. Determine los momentos de inercia /*■ e /,.■ y el producto de inercia Ixy del área semicircular.
Probs. A-17/18
Prob. A-15
*A-16. Determine los momentos de inercia Ix
A-19. Calcule los momentos principales de inercia para el área transversal del perfil angular, con respecto a un conjunto de ejes principales que tengan su origen en el centroide C. Use las ecuaciones deducidas en la sección A .4. Para el cálculo, suponga que todas las esquinas son rectangulares. *A-20. Mohr.
Resuelva el problema A-19 usando el círculo de
y
Probs. A-19/20
APÉNDICE
Propiedades geométricas de los perfiles estructurales
B
Perfiles de viga de patín ancho, o perfiles W.
Unidades inglesas E je x-x
Patín
E spesor
E je v-j>
Á rea
P eralte
del alm a
ancho
espesor
A
d
t„
k
'/
I
S
r
/
S
r
pulg X Ib/pie
pulg2
pulg
pulg
pulg
pulg
pulg4
pulg3
pulg
pulg4
pulg3
pulg
W24 x 104
30.6
24.06
0.500
12.750
0.750
3100
258
259
40.7
2.91
W24 X 94
27.7
24.31
0.515
9.065
0.875
2700
222
9.87
109
24.0
1.98
W24 X 84
24.7
24.10
0.470
9.020
0.770
2370
196
9.79
94.4
20.9
1.95
W24 X 76
22.4
23.92
0.440
8.990
0.680
2100
176
9.69
82.5
18.4
1.92
W24 X 68
20.1
23.73
0.415
8.965
0.585
1830
154
9.55
70.4
15.7
1.87
W24 X 62
18.2
23.74
0.430
7.040
0.590
1550
131
9.23
34.5
9.80
1.38
W24X55
16.2
23.57
0.395
7.005
0.505
1350
114
9.11
29.1
8.30
1.34
D esignación
10.1
W18 X 65
19.1
18.35
0.450
7.590
0.750
1070
117
7.49
54.8
14.4
1.69
W18 x 60
17.6
18.24
0.415
7.555
0.695
984
108
7.47
50.1
13.3
1.69
W18X55
16.2
18.11
0.390
7.530
0.630
890
98.3
7.41
44.9
11.9
1.67
W 18X50
14.7
17.99
0.355
7.495
0.570
800
88.9
7.38
40.1
10.7
1.65
W 18X46
13.5
18.06
0.360
6.060
0.605
712
78.8
7.25
22.5
7.43
1.29
W 18X40
11.8
17.90
0.315
6.015
0.525
612
68.4
7.21
19.1
6.35
1.27
W18 X 35
10.3
17.70
0.300
6.000
0.425
510
57.6
7.04
15.3
5.12
1.22
W 16X57
16.8
16.43
0.430
7.120
0.715
758
92.2
6.72
43.1
12.1
1.60
W16 X 50
14.7
16.26
0.380
7.070
0.630
659
81.0
6.68
37.2
10.5
1.59
W16 x 45
13.3
16.13
0.345
7.035
0.565
586
72.7
6.65
32.8
9.34
1.57
W 16X36
10.6
15.86
0.295
6.985
0.430
448
56.5
6.51
24.5
7.00
1.52
12.4
4.49
1.17
3.49
1.12
W16X31
9.12
15.88
0.275
5.525
0.440
375
47.2
6.41
W16 x 26
7.68
15.69
0.250
5.500
0.345
301
38.4
6.26
9.59
W14X53
15.6
13.92
0.370
8.060
0.660
541
77.8
5.89
57.7
14.3
1.92
W14 x 43
12.6
13.66
0.305
7.995
0.530
428
62.7
5.82
45.2
11.3
1.89
W 14X38
11.2
14.10
0.310
6.770
0.515
385
54.6
5.87
26.7
W 14X34
10.0
13.98
0.285
6.745
0.455
340
48.6
5.83
0.385
291
42.0
5.73
7.88
1.55
23.3
6.91
1.53
19.6
5.82
1.49
W 14X30
8.85
13.84
0.270
6.730
W14X26
7.69
13.91
0.255
5.025
0.420
245
35.3
5.65
8.91
3.54
1.08
W14 X 22
6.49
13.74
0.230
5.000
0.335
199
29.0
5.54
7.00
2.80
1.04
815
816
•
Apéndice
B Propiedades geométricas de un área
'/
y,
Canale
Desigi Perfiles de viga de patín ancho, o perfiles W.
pulg X Ib/pie
W12 W12 W12 W12 W12 W12 W12 W10 W10 W10 W10 W10 W10 W10 W10 W8 W8 W8 W8 W8 W8 W8 W6 W6 W6 W6 W6 W6
X 87 X 50 X 45 X 26 X 22 X 16 X 14 X 100
x 54 X 45 X 39 X 30 X 19 X 15 X 12
X 67 X 58 X 48 X 40 X 31 X 24 X 15 X 25 X 20 X 16 X 15 X 12 X 9
pulg <
E je x-x
Patín
E sp eso r D esignación
Unidades inglesas
C15 *
E je y-y
C15 Jj
Á rea
P eralte
del alm a
ancho
esp eso r
A
d
K
bf
'/
I
S
r
I
S
r
pulg2
pulg
pulg
pulg
pulg
pulg4
pulg3
pulg
pulg4
pulg3
pulg
C12 *
25.6 14.7 13.2 7.65 6.48 4.71 4.16
12.53 12.19 12.06 12.22 12.31 11.99 11.91
0.515 0.370 0.335 0.230 0.260 0.220 0.200
12.125 8.080 8.045 6.490 4.030 3.990 3.970
0.810 0.640 0.575 0.380 0.425 0.265 0.225
740 394 350 204 156 103 88.6
118 64.7 58.1 33.4 25.4 17.1 14.9
5.38 5.18 5.15 5.17 4.91 4.67 4.62
241 56.3 50.0 17.3 4.66 2.82 2.36
39.7 13.9 12.4 5.34 2.31 1.41 1.19
3.07 1.96 1.94 1.51 0.847 0.773 0.753
C12 *
29.4 15.8 13.3 11.5 8.84 5.62 4.41 3.54
11.10 10.09 10.10 9.92 10.47 10.24 9.99 9.87
0.680 0.370 0.350 0.315 0.300 0.250 0.230 0.190
10.340 10.030 8.020 7.985 5.810 4.020 4.000 3.960
1.120 0.615 0.620 0.530 0.510 0.395 0.270 0.210
623 303 248 209 170 96.3 68.9 53.8
112 60.0 49.1 42.1 32.4 18.8 13.8 10.9
4.60 4.37 4.32 4.27 4.38 4.14 3.95 3.90
207 103 53.4 45.0 16.7 4.29 2.89 2.18
40.0 20.6 13.3 11.3 5.75 2.14 1.45 1.10
2.65 2.56 2.01 1.98 1.37 0.874 0.810 0.785
19.7 17.1 14.1 11.7 9.13 7.08 4.44
9.00 8.75 8.50 8.25 8.00 7.93 8.11
0.570 0.510 0.400 0.360 0.285 0.245 0.245
8.280 8.220 8.110 8.070 7.995 6.495 4.015
0.935 0.810 0.685 0.560 0.435 0.400 0.315
272 228 184 146 110 82.8 48.0
60.4 52.0 43.3 35.5 27.5 20.9 11.8
3.72 3.65 3.61 3.53 3.47 3.42 3.29
88.6 75.1 60.9 49.1 37.1 18.3 3.41
21.4 18.3 15.0 12.2 9.27 5.63 1.70
2.12 2.10 2.08 2.04 2.02 1.61 0.876
7.34 5.87 4.74 4.43 3.55 2.68
6.38 6.20 6.28 5.99 6.03 5.90
0.320 0.260 0.260 0.230 0.230 0.170
6.080 6.020 4.030 5.990 4.000 3.940
0.455 0.365 0.405 0.260 0.280 0.215
53.4 41.4 32.1 29.1 22.1 16.4
16.7 13.4 10.2 9.72 7.31 5.56
2.70 2.66 2.60 2.56 2.49 2.47
17.1 13.3 4.43 9.32 2.99 2.19
5.61 4.41 2.20 3.11 1.50 1.11
1.52 1.50 0.966 1.46 0.918 0.905
C15 «
C12 x
CIO *
C10 x
CIO <
CIO < C9 x j C9 Xj
C9 x ; C8 x ; C8 x C8 x
C7 x ; C7 x
C7 x !
C6 x 1
C6 x ]
C6 x í
C5 x «
C5 x < C4 X I
C4 x :
C3 x í C3 x 5
C3 x 4
Canales estándar americanos, o perfiles canal. Unidades inglesas
•
817
//
Canales estándar americanos, o perfiles canal.
Unidades inglesas
D esignación
pulg
X
Ib/ft
C15 x 50 C15 x 40 05
X
33.9
Á rea
P eralte
del alm a
ancho
espesor
A
d
tw
bf
'/
pulg
pulg
pulg
pulg
pulg2
14.7 11.8 9.96
15.00 15.00 15.00
0.716 0.520 0.400
C12 x 30
8.82
C12
X
25
7.35
12.00
0.387
C12
X
20.7
6.09
12.00
0.282
12.00
0.510
CIO x 30
8.82
10.00
0.673
CIO
25
7.35
10.00
0.526
CIO x 20
5.88
10.00
0.379
CIO
4.49
10.00
0.240
X
15.3
X
C9
X
20
5.88
9.00
0.448
C9
X
15
4.41
9.00
0.285
C9
X
13.4
3.94
9.00
0.233
C8
X
18.75
5.51
8.00
0.487
C8
X
13.75
4.04
8.00
0.303
C8
X
11.5
3.38
8.00
0.220
C7
X
14.75
4.33
7.00
0.419
C7
X
12.25
3.60
7.00
0.314
C7
X
9.8
2.87
7.00
0.210
C6
X
13
3.83
6.00
0.437
C6
X
10.5
3.09
6.00
0.314
C6
X
8.2
2.40
6.00
0.200
C5
9
2.64
5.00
0.325
C5 X 6.7
1.97
5.00
0.190
C4 X 7.25
2.13
4.00
0.321
C4 X 5.4
1.59
4.00
0.184
C3
X
6
1.76
3.00
0.356
C3 X 5
1.47
3.00
0.258
C3 X 4.1
1.21
3.00
0.170
X
E je x-x
Patín
E spesor
11 16 l 2 3 8 1 2 3 8 5 16 11 16 1 2 3 8 1 4 7 16 5 16 1 4 1 2 5 16
1
4 7 16 5 16 3 16 7 16 5 16 3 16 5 16 3 16 5 16 3 16 3 8 1 4 3 16
3.716
3 41
3.520
3-
3.400
3¿
0.650
4.29
5.14
2.06
0.763
144
24.1
4.43
4.47
1.88
0.780
129
21.5
4.61
3.88
1.73
0.799
103
20.7
3.42
3.94
1.65
0.669
0.436
28
0.436
2.648
2 -8
0.413
2.485
2 -2
0.413
2.433
2|
0.413
7 16 7 16 7 16 7 16 7 16 7 16 7 16 3 8 3 8 3 8
91.2
18.2
3.52
3.36
1.48
0.676
78.9
15.8
3.66
2.81
1.32
0.692
67.4
13.5
3.87
2.28
1.16
0.713
60.9
13.5
3.22
2.42
1.17
0.642
51.0
11.3
3.40
1.93
1.01
0.661
47.9
10.6
3.48
1.76
0.962
0.669
44.0
11.0
2.82
1.98
1.01
0.599
9.03
2.99
1.53
0.854
0.615
32.6
8.14
3.11
1.32
0.781
0.625
27.2
7.78
2.51
1.38
0.779
0.564
24.2
6.93
2.60
1.17
0.703
0.571
21.3
6.08
2.72
0.968
0.625
0.581
17.4
5.80
2.13
1.05
0.642
0.525
15.2
5.06
2.22
0.866
0.564
0.529
13.1
4.38
2.34
0.693
0.492
0.537
8.90
3.56
1.83
0.632
0.450
0.489
7.49
3.00
1.95
0.479
0.378
0.493
4.59
2.29
1.47
0.433
0.343
0.450
0.296
5 16 5 16
3.85
1.93
1.56
0.319
0.283
0.449
0.273
l 4
2.07
1.38
1.08
0.305
0.268
0.416
0.273
4
1.85
1.24
1.12
0.247
0.233
0.410
0.273
4
1.66
1.10
1.17
0.197
0.202
0.404
0.390 0.390
2|
0.366
23
0.366
2.090
2 -8
0.366
2.157
2 -8
0.343
2.034
2
0.343 0.343 0.320
1.750
0.320
1.721
0.296
1.410
2
36.1
0.390
2.194
1.498
0.886
27.0
2.600
l| i| ll
0.867
3.37
162
0.436
1.596
3.78
0.904
0.436
l|
9.23
11.0
3.11
2.739
1.584
5.44
8.13
2.886
ll
5.24
pulg
5.62
0.501
1.885
53.8 46.5
pulg3
42.0
0.501
1.920
404
pulg4
315
3
2.299
pulg
r
I 'í 1
3
2.260
pulg3
S
0.650
2.942
2l 2-
pulg4
I
5 8
3.047
2.343
r
l
0.501
2.527
S
0.650
3-
3
ls,
I
349
3.170
3.033
5
E je y-y
3 8 3 8 3 8 5 16 5 16 5 16 5 16 5 16
1 1
818
•
Apéndice B Propiedades geométricas de un área
y
z
Ángulos de lados iguales.
T am año y espesor pulg
L8 X 8 X 1
Unidades inglesas E je x-x
Peso por pie
Á re a
Ib
pulg2
L8 X 8 X |
51.0 38.9
L8 X 8 X \
26.4
L6 X 6 x 1
37.4
L6 X 6 X |
28.7
L6 x 6 X \
A
15.0 11.4
E je z-Z
/
S
r
y
/
S
r
X
r
pulg4
pulg3
pulg
pulg
pulg4
pulg3
pulg
pulg
pulg
89.0 69.7
15.8 12.2
2.44 2.47
2.37
2.47
2.37 2.28
2.28
1.56 1.58
89.0 69.7
15.8 12.2
2.44
48.6
8.36
2.50
2.19
48.6
8.36
2.50
2.19
1.59
35.5
8.57
1.80
1.86
35.5
8.57
1.80
1.86
1.17
8.44
28.2
6.66
1.83
1.78
28.2
6.66
1.83
1.78
1.17
19.6
5.75
19.9
4.61
1.86
1.68
19.9
4.61
1.86
1.68
1.18
L6 x 6 X |
14.9
4.36
15.4
3.53
1.88
1.64
15.4
3.53
1.88
1.64
1.19
L5 x 5 X |
23.6
6.94
15.7
4.53
1.51
1.52
15.7
4.53
1.51
1.52
0.975
L5 x 5 x \
16.2
4.75
11.3
3.16
1.54
1.43
11.3
3.16
1.54
1.43
0.983
L5 X 5 x |
12.3
3.61
8.74
2.42
1.56
1.39
8.74
2.42
1.56
1.39
0.990
L4 X 4 X \
18.5
5.44
7.67
2.81
1.19
1.27
7.67
2.81
1.19
1.27
0.778
L4 X 4 X j
12.8
3.75
5.56
1.97
1.22
1.18
5.56
1.97
1.22
1.18
0.782
L4 X 4 X |
9.8
2.86
4.36
1.52
1.23
1.14
4.36
1.52
1.23
1.14
0.788
1.05
1.25
1.09
3.04
1.05
1.25
1.09
0.795
L4 X 4 X |
7.75
E je y - y
11.0
6.6
1.94
3.04
X 3| x j
11.1
3.25
3.64
1.49
1.06
1.06
3.64
1.49
1.06
1.06
0.683
L3j X 3 j X |
8.5
2.48
2.87
1.15
1.07
1.01
2.87
1.15
1.07
1.01
0.687
L 3ÍX 3|X |
5.8
1.69
2.01
0.794
1.09
0.968
2.01
0.794
1.09
0.968
0.694
L3 X 3 X \
9.4
2.75
2.22
1.07
0.898
0.932
2.22
1.07
0.898
0.932
0.584
L3 X 3 X |
7.2
2.11
1.76
0.833
0.913
0.888
1.76
0.833
0.913
0.888
0.587
L3 X 3 X 1
4.9
1.44
1.24
0.577
0.930
0.842
1.24
0.577
0.930
0.842
0.592
L 2 \ X 2¡ X i
7.7
2.25
1.23
0.724
0.739
0.806
1.23
0.724
0.739
0.806
0.487
L2\ x 2 \ x ¡
5.9
1.73
0.984
0.566
0.753
0.762
0.984
0.566
0.753
0.762
0.487
L2{ X 2 \ X \
4.1
1.19
0.703
0.394
0.769
0.717
0.703
0.394
0.769
0.717
0.491
L2 X 2 X l
4.7
1.36
0.479
0.351
0.594
0.636
0.479
0.351
0.594
0.636
0.389
L2 X 2 X \
3.19
0.938
0.348
0.247
0.609
0.592
0.348
0.247
0.609
0.592
0.391
L2 X 2 X |
1.65
0.484
0.190
0.131
0.626
0.546
0.190
0.131
0.626
0.546
0.398
Vigas de patín ancho o perfiles W.
I-------
Unidades SI •
819
I y
— Vigas de patín ancho o perfiles W.
D esignación
Á re a A
E spesor P eralte del alm a
bf
Unidades SI
ancho
espesor
d
K
bf
•f
1
S
m m X kg/m
mm2
mm
mm
mm
mm
106 m m 4 103 m m 1
W610 X 155 W610 X 140
19 800 17 900 15 900 14 400 12 900 11 800 10 500
611 617 612
12.70 13.10 11.90 11.20 10.50 10.90 10.00
324.0 230.0 229.0
19.0 22.2 19.6
228.0 228.0 179.0
17.3 14.9 15.0
178.0
12.8
1 290 1 120 985 875 764 646 560
12 300 11 400 10 400 9 460 8 730 7 590 6 640
466 463
193.0 192.0
19.0 17.7
460 457 459 455 450
191.0 190.0 154.0 153.0 152.0
16.0 14.5 15.4 10.8
445 410 370 333 297 255 212
10 9 8 6 5 4
800 510 560 820 890 960
417 413 410 403 403 399
10.90 9.65
181.0
18.2 16.0 14.4 10.9 11.2 8.8
315 275 245 186 156 126
1 510 1 330 1 200 923 774
10 8 7 6 5 4 4
100 150 200 450 710 960 190
354
9.40
16.8
7.75 7.87 7.24
227 179 160 141 121 102 82.9
1 280
347
W610 x 125 W610 x 113 W610 x 101 W610 X 92 W610 X 82 W460 W460 W460 W460 W460
X 97 X 89 X 82 X 74 X 68
W460 X 60 W460 X 52 W410 X 85 W410 W410 W410 W410 W410
x 74 X 67 X 53 X 46 X 39
W360 X 79 W360 x 64 W360 x 57 W360 W360 W360 W360
X 51 X 45 X 39
x 33
608 603 603 599
358 355 352 353 349
11.40 10.50 9.91 9.02 9.14 8.00 7.62
8.76 7.49 6.99 6.35
6.86 6.48 5.84
180.0 179.0 177.0 140.0 140.0 205.0 203.0 172.0 171.0 171.0 128.0 127.0
E je y-y
E je x-x
Patín
13.3
13.5 13.1 11.6 9.8 10.7 8.5
4 220 3 630 3 220 2 880 2 530 2 140 1 870
I
r mm
255 250 249 247 243 234
S
10r>m m 4 103 m m 3
108
667 392 343 301
231
45.1 39.3 34.3 29.5 14.4 12.1
259 161 136
1 910 1 770 1 610
190 190 189
22.8 20.9 18.6
236 218 195
1 460 1 290 1 120
188 184
16.6 9.41 7.96 6.34
175 122 104 83.4
18.0 15.6
199
942
632
1 030 894 794 688 578 475
183 179 171 170 169 165 163 159 150 148 149 148 146 143 141
13.8 10.1 5.14 4.02
173 154 114 73.4 57.4
24.2 18.8
236 185
11.1 9.68 8.16 3.75 2.91
129 113 95.4 58.6 45.8
r mm
73.9 50.2 49.7 48.8 47.8 34.9 33.9 43.1 42.8 42.3 41.9 32.8 32.4 30.9 40.8 40.5 40.2 38.5 29.5 28.5 48.9 48.0 39.3 38.7 37.8 27.5 26.4
820
•
Apéndice B Propiedades geométricas de un área
ur JL ------- k/■— i Vigas de patín ancho o perfiles W.
D esignación
Á rea
E spesor P eralte del alm a
Unidades SI E je x-x
Patín ancho
espesor
d
K
'/
bf
nini2
inni
rnm
mm
min
16 500
318
W310 X 33 W310 X 24 W310 X 21
310 306 310 313 305 303
308.0 205.0 204.0 165.0 102.0
20.6
9 480 8 530 4 930 4 180 3 040 2 680
13.10 9.40 8.51 5.84 6.60 5.59 5.08
W250 X 149
19 000
X 80
10 200 8 560 7 400 5 700 3 620 2 350 2 280
282 256 257 252
17.30 9.40
266 260 254 251
7.62 6.35 5.84 4.83
263.0 255.0 204.0 203.0 148.0 102.0 102.0 101.0
28.4
W250 W250 W250 W250 W250 W250 W250 W200 W200 W200 W200 W200 W200 W200
X 100
12 700 11 000 9 100 7 580 5 890 4 570 2 860
229 222
14.50 13.00
210.0 209.0
216 210 203 201 206
10.20 9.14 7.24 6.22 6.22
206.0 205.0 203.0
23.7 20.6 17.4
4 730 3 790 2 860 2 290 1 730 3 060
162 157 152 153 150 160
8.13 6.60 5.84 5.84
154.0 153.0 152.0 102.0 100.0 102.0
A nini X k g /m
W310 X 129 W310 X 74 W310 X 67 W310 X 39
X 67 X 58 X 45 X 28 X 22 X 18
X 86 X 71 X 59
x 46 x 36 X 22
W150 X 37 W150 X 30 W150 x 22 W150 X 24 W150 X 18 W150 X 13.5
8.89 8.00
4.32 6.60
101.0 101.0
165.0 102.0
I
5
106 m m 4 103 m m 3
E je _y-_y r
/
mm
106 m m 4
308 165 145 84.8 65.0 42.8 37.0
1 940
259 126 104 87.3 71.1 39.9 28.8 22.5
1 840 984 809 693 535 307 227 179
14.2 11.0 10.2 8.0
113 94.7 76.6 61.2 45.5 34.4 20.0
987 853 709 583 448 342 194
11.6
22.2
274
68.5
9.3 6.6 7.1 5.5 10.3
17.1 12.1 9.19 6.84 13.4
218 159 120 91.2 168
67.2 65.0
16.3 14.6 9.7 10.8 6.7 5.7
15.6 15.7 13.5 13.0 10.0 6.9 5.3
1 060 948 547 415 281 244
137 132 130 131 125 119 117 117 111 110 109 112 105 101 99.3 94.3 92.8 91.7 89.9 87.9 86.8 83.6
63.3 62.9 66.2
100 23.4 20.7 7.23 1.92 1.16 0.986 86.2 43.1 22.2 18.8 7.03 1.78 1.22 0.919 36.6 31.4 25.4 20.4 15.3 7.64 1.42 7.07 5.54 3.87 1.26 0.912 1.83
S 103 m m 3
649 228 203 87.6 37.6 23.0 19.5 656 338 218 185 95 34.9 23.9 18.2 349 300 247 199 151 92.6 27.8 91.8 72.4 50.9 24.7 18.2 35.9
r mm
77.8 49.7 49.3 38.3 21.4 19.5 19.2 67.4 65.0 50.9 50.4 35.1 22.2 20.7 20.1 53.7 53.4 52.8 51.9 51.0 40.9 22.3 38.7 38.2 36.8 23.5 23.0 24.5
Canales estándar americanos, o perfiles canal.
Unidades SI
•
821
y
Canales estándar americanos, o perfiles canal.
mm X kg/m
Área
Eje y-y
Eje x-x
Patín
Espesor D esignación
Unidades SI
Peralte del alma ancho espesor
tw
bf
ír
I
mm
mm
mm
mm
106 m m 4
A
d
tnm 2
S 103 m m 3
r mm
S
r
106 m m 4
103 m m 3
mm
I
882 761 688
133 138 143
4.58 3.84 3.38
61.8 55.1 50.9
22.0 22.5 22.9
67.4 59.9 53.7
442 393 352
109 112 117
2.14 1.86 1.61
33.8 30.9 28.3
19.4 19.8 20.2
11.10 11.10 11.10 11.10
42.9 38.0 32.8 28.1
338 299 258 221
86.8 89.5 93.0 98.4
1.61 1.40 1.17 0.949
27.1 24.3 21.6 19.0
17.0 17.2 17.6 18.1
67.3 63.1 61.8
10.50 10.50 10.50
25.3 21.2 19.9
221 185 174
81.7 86.2 88.5
1.01 0.803 0.733
19.2 16.7 15.8
16.3 16.8 17.0
12.40 7.70 5.59
64.2 59.5 57.4
9.90 9.90 9.90
18.3 15.0 13.6
180 148 134
71.8 75.8 79.0
0.824 0.637 0.549
16.5 14.0 12.8
15.2 15.6 15.9
178.0 178.0 178.0
10.60 7.98 5.33
58.4 55.7 53.1
9.30 9.30 9.30
11.3 10.1 8.87
127 113 99.7
63.6 66.0 69.2
0.574 0.487 0.403
12.8 11.5 10.2
14.3 14.5 14.8
2 470 1 990 1 550
152.0 152.0 152.0
11.10 7.98 5.08
54.8 51.7 48.8
8.70 8.70 8.70
7.24 6.33 5.45
95.3 83.3 71.7
54.1 56.4 59.3
0.437 0.360 0.288
10.5 9.22 8.04
13.3 13.5 13.6
C130 x 13 C130 x 10
1 700 1 270
127.0 127.0
8.25 4.83
47.9 44.5
8.10 8.10
3.70 3.12
58.3 49.1
46.7 49.6
0.263 0.199
7.35 6.18
12.4 12.5
C100 x 11 C100 x 8
1 370 1 030
102.0 102.0
8.15 4.67
43.7 40.2
7.50 7.50
1.91 1.60
37.5 31.4
37.3 39.4
0.180 0.133
5.62 4.65
11.5 11.4
C75 x 9 C75 x 7 C75 x 6
1 140 948 781
76.2 76.2 76.2
9.04 6.55 4.32
40.5 38.0 35.8
6.90 6.90 6.90
0.862 0.770 0.691
22.6 20.2 18.1
27.5 28.5 29.8
0.127 0.103 0.082
4.39 3.83 3.32
10.6 10.4 10.2
C380 x 74 C380 X 60 C380 x 50
9 480 7 610 6 430
381.0 381.0 381.0
18.20 13.20 10.20
94.4 89.4 86.4
16.50 16.50 16.50
C310 x 45 C310 X 37 C310 X 31
5 690 4 740 3 930
305.0 305.0 305.0
13.00 9.83 7.16
80.5 77.4 74.7
12.70 12.70 12.70
C250 C250 C250 C250
X 30 x 23
5 690 4 740 3 790 2 900
254.0 254.0 254.0 254.0
17.10 13.40 9.63 6.10
77.0 73.3 69.6 66.0
C230 X 30 C230 x 22 C230 x 20
3 790 2 850 2 540
229.0 229.0 229.0
11.40 7.24 5.92
C200 x 28 C200 x 20 C200 X 17
3 550 2 610 2 180
203.0 203.0 203.0
C180 X 22 C180 x 18 C180 x 15
2 790 2 320 1 850
C150 x 19 C150 x 16 C150 x 12
X 45 X 37
168 145 131
822
• Apéndice B Propiedades geométricas de un área
y X
\
\ ■—
y
z
y
Ángulos de lados ¡guales.
Unidades SI Eje y-y
Eje x-x
Masa por metro
Área
kg
inm2
106 ni m4 106 mm4
mm
y ni ni
L203 X 203 X 25.4 L203 X 203 X 19.0 L203 x 203 X 12.7
75.9 57.9 39.3
9 680 7 380 5 000
36.9 28.9 20.2
258 199 137
61.7 62.6 63.6
60.1 57.8 55.5
36.9 28.9 20.2
X 152 X 25.4
55.7 42.7 29.2 22.2
7 5 3 2
100 440 710 810
14.6 11.6 8.22 6.35
139 108 75.1 57.4
45.3 46.2 47.1 47.5
47.2 45.0 42.7 41.5
L127 x 127 x 19.0 L127 X 127 X 12.7 L127 x 127 X 9.5
35.1 24.1 18.3
4 480 3 060 2 330
6.54 4.68 3.64
73.9 51.7 39.7
38.2 39.1 39.5
X 102 x 19.0 x 102 x 12.7
27.5 19.0 14.6 9.8
3 510 2 420 1 840 1 250
3.23 2.34 1.84 1.28
46.4 32.6 25.3 17.3
L89 X 89 X 12.7 L89 x 89 x 9.5 L89 X 89 x 6.4
16.5 12.6 8.6
2 100 1 600 1 090
1.52 1.20 0.840
L76 X 76 X 12.7 L76 x 76 x 9.5 L76 X 76 X 6.4
14.0 10.7 7.3
1 770 1 360 927
L64 X 64 X 12.7 L64 X 64 X 9.5 L64 X 64 X 6.4
11.5 8.8 6.1
L51 X 51 x 9.5 L51 X 51 x 6.4 L51 X 51 X 3.2
7.0 4.7 2.5
Tamaño y espesor mm
L152 L152 L152 L152
L102 L102 L102 L102
X 152 X 19.0 X 152 X 12.7 x 152 X 9.5
x 102 x 9.5 X 102 X 6.4
I
S
r
I
S
Eje z-z X
r
mm
mm
mm
258 199 137
61.7 62.6 63.6
60.1 57.8 55.5
39.6 40.1 40.4
14.6 11.6 8.22 6.35
139 108 75.1 57.4
45.3 46.2 47.1 47.5
47.2 45.0 42.7 41.5
29.7 29.7 30.0 30.2
38.7 36.4 35.3
6.54 4.68 3.64
73.9 51.7 39.7
38.2 39.1 39.5
38.7 36.4 35.3
24.8 25.0 25.1
30.3 31.1 31.6 32.0
32.4 30.2 29.0 27.9
3.23 2.34 1.84 1.28
46.4 32.6 25.3 17.3
30.3 31.1 31.6 32.0
32.4 30.2 29.0 27.9
19.8 19.9 20.0 20.2
24.5 19.0 13.0
26.9 27.4 27.8
26.9 25.8 24.6
1.52 1.20 0.840
24.5 19.0 13.0
26.9 27.4 27.8
26.9 25.8 24.6
17.3 17.4 17.6
0.915 0.726 0.514
17.5 13.6 9.39
22.7 23.1 23.5
23.6 22.5 21.3
0.915 0.726 0.514
17.5 13.6 9.39
22.7 23.1 23.5
23.6 22.5 21.3
14.8 14.9 15.0
1 450 1 120 766
0.524 0.420 0.300
12.1 9.46 6.59
19.0 19.4 19.8
20.6 19.5 18.2
0.524 0.420 0.300
12.1 9.46 6.59
19.0 19.4 19.8
20.6 19.5 18.2
12.4 12.4 12.5
877 605 312
0.202 0.146 0.080
5.82 4.09 2.16
15.2 15.6 16.0
16.2 15.1 13.9
0.202 0.146 0.080
5.82 4.09 2.16
15.2 15.6 16.0
16.2 15.1 13.9
9.88 9.93 10.1
106 mm4 106 mm4
r
APÉNDICE
C
Pendientes y deflexiones en vigas
Pendientes y deflexiones de vigas simplemente apoyadas
823
824
•
Apéndice C Pendientes y deflexiones de vigas
P e n d ie n t e s y d e f le x i o n e s d e v ig a s e n v o la d iz o
Viga
Pendiente
Deflexión
^máx
- PL2 2E l
^máx
-P L r 3E I
^máx
-P L 2 SE1
^máx
- 5 P I¿ 48 E l
Curva elástica
—p
v=w
(3¿ - *>
■ i S r < 3* - W
- w ¿3
6E I
MoL £/
vmi\
-w L 8E l
vmáx — 2E I
-w L 3 48 E l
v-
- 4¿* + 6¿2>
MpX 2E l
—Iw L 384 E l
* = T9?É7 (4* " ¿/2) L /2 & x £ L
6mix
- w 0L 3 24 E l
^máx
-W qL A 30 E l
-iv0x 120 E lL
(10L3- \0 L 2x + 5 L x2 - x 3)
Repaso para el examen de fundamentos de ingeniería
El examen de Fundamentos de ingeniería se hace cada semestre, por par te del National Council of Engineering Examiners, y es uno de los requi sitos para obtener una Licencia de Ingeniero Profesional. Una parte de este examen contiene problemas de mecánica de materiales, y este apéndice sirve para repasar los temas que se preguntan con más frecuen cia en ese examen. Antes de resolver cualquiera de los problemas, el lector debe repasar las secciones que se indican, para familiarizarse con las definiciones en letras negritas, y los procedimientos para resolver diversas clases de pro blemas. También repase los problemas de ejemplo en esas secciones. Los problemas siguientes se ordenan en la misma secuencia que los temas en cada capítulo. En la última parte de este apéndice aparecen soluciones parciales de todos los problemas.
826
•
Apéndice
D Repaso para el examen de fundamentos de ingeniería
Capítulo 1— Repase todas las secciones D -l. Calcule el momento interno resultante en el punto F del marco.
D-6.
Las barras de la armadura tienen 2 pulg2 de área transversal cada una. Determine el esfuerzo normal pro medio en el miembro CB.
P r o b . D -6
D-7. La ménsula soporta la carga indicada. El pasador en A tiene 0.25 pulg de diámetro. Si se somete a cortante doble, determine el esfuerzo cortante promedio en él. Prob. D -l
D-2. La viga está soportada por un pasador en A y por un eslabón BC. Determine el esfuerzo cortante interno re sultante en el punto D de la viga. D-3. La viga está soportada por un pasador en A y por un eslabón BC. Determine el esfuerzo cortante promedio en el pasador en B, si es de 20 mm de diámetro y está so metido a cortante doble. D-4. La viga está soportada por un pasador en A y por un eslabón BC. Determine el esfuerzo cortante promedio en el pasador en A, si es de 20 mm de diámetro y está so metido a cortante sencillo.
P r o b . D -7
D-8. La viga uniforme está sostenida por dos barras A B y C D , cuyas áreas transversales son 10 mm2 y 15 mm2, res pectivamente. Calcule la intensidad w de la carga distri buida para que el esfuerzo normal promedio en cada va rilla no sea mayor que 300 kPa.
2 kN/m
P r o b s . D -2 /3 /4
D-5. ¿Cuántos componentes independientes de esfuer zo hay en tres dimensiones?
Prob. D -8
Apéndice
D Repaso para el examen de fundamentos de ingeniería
El perno se usa para soportar la carga de 3 klb. Calcule su diámetro d ,con aproximación de 1 de pulg. El es fuerzo normal admisible en ese perno es cra
D-9.
•
827
Capítulo 2—Repase todas las secciones D-13. Una banda de hule tiene 9 pulg de longitud no deformada. Si se estira en torno a un poste de 3 pulg de diámetro, determine la deformación unitaria normal pro medio en la banda.
D-14. La barra rígida está soportada por una articulación en A y por los cables B C y D E . Si la deformación unitaria máxima admisible en cada cable es e adm = 0.003, determi ne el desplazamiento vertical máximo de la carga P.
Prob. D-9
D-10. Las dos barras soportan la fuerza vertical P = 30 kN. Calcule el diámetro de la barra A R , si el esfuerzo de tensión admisible para el material es o-adm= 150 MPa. D -ll. Los diámetros de las barras A B y A C son 15 mm y 12 mm, respectivamente. Calcule la fuerza vertical P má xima que puede aplicarse. El esfuerzo admisible de ten sión para las barras es cradm = 150 MPa.
Prob. D-14
D-15. La carga P causa una deformación unitaria nor mal de 0.0045 pulg/pulg en el cable A B . Determine el án gulo de rotación de la viga rígida, debido a la carga, si la viga estaba horizontal antes de cargarla. Probs. D -10/11
D-12. El esfuerzo admisible para el material bajo los soportes A y B es o-adm = 500 lb/pulg2. Calcule la carga uniformemente distribuida w que se puede aplicar a la viga. Las placas de apoyo en A y B son cuadradas, de 3 pulg X 3 pulg y de 2 pulg X 2 pulg, respectivamente.
- 4 pies -
6 pies
Prob.
D-12
i
828
•
Apéndice
D Repaso para el examen de fundamentos de ingeniería
D-16. El trozo rectangular de material se deforma hasta la posición representada por la línea interrumpida. Calcu le la deformación unitaria cortante en el vértice C.
D-23. Una barra de 100 mm de longitud tiene 15 mm de diámetro. Si se le aplica una carga axial de tensión de 100 kN, calcule el cambio en su longitud. E = 200 GPa. D-24. Una barra tiene 8 pulg de longitud, y 12 pulg2 de área transversal. Calcule el módulo de elasticidad del ma terial, si está sujeto a una carga axial de tensión de 10 klb, y se estira 0.003 pulg. El material tiene comportamiento elástico lineal. D-25. Una barra de latón, de 100 mm de diámetro, tiene E = 100 GPa de módulo de elasticidad. Si tiene 4 m de lon gitud y está sometida a una carga axial de tensión de 6 kN, calcule su alargamiento. D-26. Una barra de 100 mm de longitud tiene 15 mm de diámetro. Si se le aplica una carga axial de tensión de 10 kN, calcule el cambio en su diámetro. E = 70 GPa, v - 0.35.
Capítulo 4— Repase las secciones 4.1 a 4.6 D-27. ¿Cuál es el principio de Saint-Venant? 0.02 mm
Prob. D-16
Capítulo 3— Repase las secciones 3.1 a 3.7
D-28. ¿Cuáles son las dos condiciones para las que es vá lido el principio de superposición? D-29. Determine el desplazamiento del extremo A con respecto al extremo C del eje. El área transversal es 0.5 pulg2 y E = 29(103) klb/pulg2.
D-17. Defina qué es material homogéneo. D-18. Indique los puntos, en el diagrama esfuerzo-defor mación unitaria, que representen el límite de proporcio nalidad y el esfuerzo último. 6 klb
2 klb
- ¿ pies
Prob. D-29
Prob. D-18
D-30. Determine el desplazamiento del extremo A con respecto al punto C del eje. Los diámetros de cada segmen to se ven en la figura. E = 200 GPa.
D-19. Defina el módulo de elasticidad E . D-20. A la temperatura ambiente, el acero suave es un material dúctil. ¿Cierto o falso? D-21. Los esfuerzos y deformaciones unitarias ingenieriles o técnicos se calculan con el área transversal y la lon gitud r e a le s del espécimen. ¿Cierto o falso? D-22. Si una barra se somete a una carga axial, en el ma terial sólo hay deformación unitaria en la dirección de la carga. ¿Cierto o falso?
50 mm
Apéndice
D Repaso para el examen de fundamentos de ingeniería
D-31. Calcule el ángulo de inclinación de la viga rígida cuando se somete a la carga de 5 klb. Antes de aplicarla, la viga es horizontal. Cada varilla tiene 0.5 pulg de diáme tro, y E = 29(103) klb/pulg2.
•
829
D-34. La columna se construye en concreto, con seis va rillas de acero de refuerzo. Si se somete a una fuerza axial de 20 klb, determine la fuerza que soporta el concreto. Ca da varilla tiene 0.75 pulg de diámetro. £ conc = 4.20(103) klb/pulg2, £ ac = 29(103) klb/pulg2.
Prob. D-31
D-32. La barra uniforme se somete a la carga de 6 klb. De termine las reacciones horizontales en los soportes A y B .
Prob. D-34 Prob. D-32
D-33. El cilindro es de acero, y tiene centro de aluminio. Si sus extremos se someten a la fuerza axial de 300 kN, calcule el esfuerzo normal promedio en el acero. El diá metro exterior del cilindro es 100 mm, y el interior es de 80 mm. E ac = 200 GPa, E a, = 73.1 GPa.
D-35. Dos barras, cada una de material diferente, se unen y se colocan entre las dos paredes, cuando la temperatura es 7] = 15 °C. Calcule la fuerza ejercida sobre los empo tramientos cuando la temperatura llega a T 2 = 25 °C. Las propiedades de los materiales y su área transversal se ven en la figura.
P = 300 kN
Acero E m = 200 GPa
Prob. D-33
Prob. D-35
Latón £ pa= 1 0 0 G P a a pa = 21(10 6)/°C Apa = 300 mm2
830
•
Apéndice
D Repaso para el examen de fundamentos de ingeniería
D-36. La varilla de aluminio tiene 0.5 pulg de diámetro, y está fija a los soportes rígidos A y B , cuando T \ = 80 °F. Si la temperatura sube a T 2 = 100 °F y se aplica una fuerza axial P = 1200 Ib al collarín rígido, como se indica, calcule las reacciones en A y B . a 3\ = 12.8(10_6)/°F,£a) = 10.6(106) lb/pulg2.
S P
D-40. El eje macizo de 1.5 pulg de diámetro se usa para transmitir las torsiones que se indican. Calcule el esfuerzo cortante que se desarrolla en el eje en el punto B .
i C
- 6 pulg
8 pulg
Prob. D-40
Prob. D-36
D-37. La varilla de aluminio tiene 0.5 pulg de diámetro y se fija a los soportes rígidos A y B cuando = 80 °F. Determine la fuerza P que debe aplicarse al collarín rígi do para que. cuando T 2 = 50 °F, la reacción en B sea cero; a„i = 12.8(10-6)/°F; E ai = 10.6(103) klb/pulg2.
D-41. El eje macizo se usa para transmitir las torsiones que se indican. Determine el esfuerzo cortante máximo absoluto que se desarrolla en él.
200 mm
Prob. D-41
Capítulo 5— Repase las secciones 5.1 a 5.5 D-38. ¿Se puede usar la fórmula de la torsión, r = 7c//, si la sección transversal no es circular? D-39. El eje macizo de 0.75 pulg de diámetro se usa pa ra transmitir los pares de torsión que se indican. Calcule el esfuerzo cortante máximo que se desarrolla en ese eje.
D-42. El eje se somete a los pares de torsión que se mues tran. Calcule el ángulo de torsión del extremo A con res pecto al extremo B . El eje tiene 1.5 pulg de diámetro: G = 11(103) klb/pulg2.
300 lb pie
Ib-pie
Prob. D-39
Prob. D-42
Apéndice
D Repaso para el examen de fundamentos de ingeniería
D-43. Calcule el ángulo de torsión del extremo A del eje de 1 pulg de diámetro, cuando se le somete a la carga de torsión que se muestra. G = 11(103) klb/pulg2.
•
831
D-47. El eje es un tubo de acero con núcleo de latón. Si se fija al empotramiento, determine el ángulo de torsión que tiene su extremo. Gac = 75 GPa y G|at = 37 GPa.
950 N
Prob. D-47 Prob. D-43
D-48. Determine el esfuerzo cortante máximo absoluto en el eje. J G es constante. D-44. El eje está formado por un tramo macizo A B , de 30 mm de diámetro, y un tubo B D con 25 mm de diáme tro interior y 50 mm de diámetro exterior. Calcule el án gulo de torsión en su extremo A , cuando se le somete a la carga de torsión de la figura. G = 1 5 GPa. 600 N-in 50 inm
Prob. D-48
Capítulo 6—Repase las secciones 6.1 a 6.5 D-49. Calcule el momento interno en la viga, en función de x , siendo 2 m S x < 3 m.
D-45. Un motor entrega 200 hp a un eje de acero tubu lar, con diámetro exterior de 1.75 pulg. Si gira a 150 rad/s, determine su diámetro interno máximo, en incrementos de ^ de pulg, si el esfuerzo cortante admisible para el mate rial es radm = 20 klb/pulg2.
4 kN /m
D-46. Un motor entrega 300 hp a un eje de acero tubu lar, con 2.5 pulg de diámetro exterior y 2 pulg de diámetro interior. Calcule la mínima velocidad angular con la que puede girar, si el esfuerzo cortante admisible del material e s r adm = 2 0 k lb / p u lg 2.
Prob. D-49
832
•
Apéndice
D Repaso para el examen de fundamentos de Ingeniería
D-50. Calcule el momento interno en la viga, en función de x , siendo 0 s < 3 m.
D-54. Calcule el momento máximo en la viga,
kN/m
Prob. D-54
D-Sl.
Calcule el momento máximo en la viga. D-55. Determine el esfuerzo máximo de flexión en la viga.
16 klb
1.2 klb
re___
- — 2 pies-
-3 pies
8 klb
- 3 pies-
8 klb
Prob. D-51 B
D-52. Calcule el momento de flexión máximo absoluto en la viga.
8kN
2 pulg
2 kN /m
AC 2m-
y 6 Pu |g
H b
D
---- 2 m------- >
2m
D-56. Determine el esfuerzo de flexión máximo en la va rilla de 50 mm de diámetro, en el punto C . En A hay un co jinete recto.
16 kN
Prob. D-52 400 N /m
D-53. Calcule el momento máximo en la viga.
c----------- -----
-
2.5 m
2.5 m
----- -I
Prob. D-56
Prob. D-53
D-57. ¿Cuál es la deformación unitaria de una viga en el eje neutro?
Apéndice
D Repaso para el examen de fundamentos de ingeniería
D-58. Calcule el momento M que debe aplicarse a la viga para crear un esfuerzo de compresión de 10 klb/pulg2 en el punto D .
•
833
D-61. Calcule el esfuerzo máximo en el área transversal de la viga,
Capítulo 7— Repase las secciones 7.1 a 7.4
Prob. D-58
D-62. Calcule el esfuerzo cortante máximo en la viga. D-59. viga.
Determine el esfuerzo máximo de flexión en la
200 mm
lOkN-m 150 mm
Prob. D-62 Prob. D-59
D-60. Determine la carga máxima P que se puede apli car a la viga, que es de un material con esfuerzo de flexión admisible
150 mm —
_l^,20 mm T - 20 mm
_L
!•—^ T 100 mm
Prob. D-60
20 mm
D-63. La viga tiene corte transversal rectangular, y está sometida a un cortante V = 2 klb. Calcule el esfuerzo cor tante máximo en ella.
834
•
Apéndice
D Repaso para el examen de fundamentos de Ingeniería
D-64. Calcule el esfuerzo cortante máximo absoluto en el eje, de 60 mm de diámetro. Los apoyos en A y B son co jinetes rectos.
D-67. La viga se forma con cuatro tablas fijas entre sí arriba y abajo con dos hileras de clavos a 4 pulg de distancia entre sí. Si se aplica una fuerza cortante interna V = 400 Ib a las tablas, calcule la fuerza de corte que resiste cada clavo.
2 kN/m
-,-------------- ------------------------------------------
............................................
= L _
T
------------------3 m ----------------- -
3m
I
•!
Prob. D-64
D-65. Calcule el esfuerzo cortante en el punto A de la vi ga, que está en la parte superior del alma.
Capítulo 8— Repase todas las secciones D-68. Un tanque cilindrico se somete a una presión in terna de 80 lb/pulg2. Si su diámetro interno es 30 pulg y la pared tiene 0.3 pulg de espesor, calcule el esfuerzo máximo normal en el material.
D-69. Un tanque esférico a presión se va a construir con
Prob. D-65
D-66. La viga está formada por dos tablas sujetas entre sí, arriba y abajo, con clavos a cada 2 pulg. Si la fuerza cortante interna V = 150 Ib se aplica a las tablas, calcule la fuerza cortante que resiste cada clavo.
acero de 0.25 pulg de espesor. Si se somete a una presión interna p = 150 lb/pulg2, calcule su diámetro interno, si el esfuerzo normal máximo no debe ser mayor que 10 klb/pulg2.
D-70. Determine la magnitud de la carga P que cause un esfuerzo normal máximo crmáx = 30 klb/pulg2 en el esla bón, en la sección a -a .
-2 pulg —
0.5 pulg H-2 puig-H
Prob. D-66
Prob. D-70
D
Apéndice
D Repaso para el examen de fundamentos de ingeniería
D-71. Calcule el esfuerzo máximo normal en la parte ho rizontal del soporte. Éste tiene 1 pulg de espesor por 0.75 pulg de ancho.
•
835
D-74. El cilindro macizo se somete a la carga que se ve en la figura. Calcule los componentes del esfuerzo en el punto B .
7001b
----►
----------------------3 pulg • .J
0.75 pulg
Prob. D-71
D-72. Calcule la carga máxima P que se puede aplicar a la varilla para que el esfuerzo normal en ella no sea ma yor que a máx = 30 MPa.
Prob. D-74 ----- 20 mm
Capítulo 9—Repase las secciones 9.1 a 9.3 Prob. D-72
D-73. La viga tiene sección transversal rectangular, y se somete a la carga que se indica. Calcule los componentes del esfuerzo crx, cry y r xy en el punto B .
D-75. Cuando el estado de esfuerzo en un punto está re presentado por el esfuerzo principal, sobre el elemento no actuará esfuerzo cortante. ¿Cierto o falso? D-76. El estado de esfuerzo en un punto se muestra en el elemento. Determine el esfuerzo principal máximo.
6 klb/pulg2
--------- ►4 klb/pulg2
8 klb/pulg2
D-73
Prob. D-76
836
•
Apéndice
D Repaso para el examen de fundamentos de ingeniería
D-77. El estado de esfuerzo en un punto se muestra en el elemento. Determine el esfuerzo cortante máximo en el plano.
D-80. La viga se somete a la carga que indica la figura. Calcule el esfuerzo principal en el punto C .
75 mm 75 mm
8 kN/m
t
150 mm
T>
í
■
íiS z Prob. D-77
3m-
3m
Prob. D-80
D-78. El estado de esfuerzo en un punto se muestra en el elemento. Calcule el esfuerzo cortante máximo en el plano.
Capítulo 12—Repase las secciones 12.1, 12.2 y 12.5 D-81. La viga se somete a la carga que muestra la figu ra. Determine la ecuación de la curva elástica. E l es cons tante.
2 klb/pie
Prob. D-78
D-79. La viga se somete a la carga en su extremo. Calcu le el esfuerzo principal máximo en el punto B .
ii\
—
---------------------- — J í 3 pies
Prob. D-81
D-82. La viga se somete a la carga que se indica. Deter mine la ecuación de la curva elástica. E l es constante.
3 klb/pie
10 pies
Prob. D-79
Prob. D-82
Apéndice
D Repaso para el examen de fundamentos de ingeniería
D-83. Calcule el desplazamiento del punto C de la viga en la figura. Use el método de superposición. E l es cons tante.
•
837
D-87. Una columna rectangular de madera de 12 pies tiene las dimensiones que se ven en la figura. Calcule la carga crítica si se supone que sus extremos están articu lados. E = 1.6(103) klb/pulg2. No hay fluencia.
8 klb 2 k lb /p ie
- 3 pies
I*-------------- 3 pies
Prob. D-83
4 pulg 12 pies
2 pulg
D-84. Calcule la pendiente en el punto A de la viga en la figura. Use el método de superposición. E l es constante.
Prob. D-87 4 kN /m
I»------------------------------------- 3 m -------------------------------------•]
Prob. D-84
D-88. Un tubo de acero está empotrado en sus extremos. Si tiene 5 m de longitud y su diámetro exterior es 50 mm.con espesor de pared de 10 mm, calcule la carga axial máxima P que puede soportar sin pandearse. E ac = 200 GPa, ay = 250 MPa.
Capítulo 13—Repase las secciones 13.1 a 13.3 D-85. La carga crítica es la carga axial máxima que pue de soportar una columna cuando está a punto de pandear se. Esa carga representa un caso de equilibrio neutral. ¿Cierto o falso? D-86. Una varilla de acero tiene 50 pulg de longitud y 1 pulg de diámetro. Calcule la carga crítica de pandeo si los extremos están empotrados. E = 29(10’) klb/pulg2, oy = 36 klb/pulg2.
D-89. Un tubo de acero está articulado en sus extremos. Si tiene 6 pies de longitud y su diámetro externo es 2 pulg. calcule el espesor mínimo de pared para que pueda sopor tar una carga axial P = 40 klb sin pandearse. E ac = 29(103) klb/pulg2; crY = 36 klb/pulg2. D-90. Calcule el diámetro mínimo, en incrementos de pulg, de una varilla de acero macizo, de 40 pulg de lon gitud, para que soporte una carga axial de P = 3 klb/pulg2 sin pandearse. Los extremos están articulados. Eac = 29(103) klb/pulg2, (TV = 36 klb/pulg2. ~
838
•
Apéndice
D Repaso para el examen de fundamentos de ingeniería
Soluciones parciales y respuestas D-l. Todo el marco:
D-8.
0; A y = 800 Ib es un miembro con dos fuerzas Miembro A E : 2M b = CD
1 M e = 0; Fcd = 600 Ib Segmento A C F : 2 M f = 0; MF = 600 Ib • pie
Viga: 2 M „ = 0 ; Tc d = 2w ~2Fy - 0; Tas = w Varilla A B : 300(10’) = ^ ; w = 3 N/m
R esp.
Varilla C£>: D-2.
B C es un miembro con dos fuerzas. Viga A B :
c r = ^ ; 300(103) = ^ j ; w
'¿.MB = 0; Ay = 6 kN Segmento A D : 1 F y = 0; K = 2kN D-3.
tb
D-4.
=
A v
o-«, ' - ¿ - » - i ? 0.3989 pulg usar d — 0.5 pulg
d =
f(0.02);
= 6.37 MPa
R esp.
D-10. Nodo ,4: 2F„ = 0;
es un miembro con dos fuerzas Viga A B : 2 M a = 0; T b c = 4 kN BC
= 0;
Ax
= 3.464 kN
2 F V= 0;
A y
= 6 kN
2FX
R esp.
= 6 kN 4/2
Tbc/2
R esp.
R esp.
B C es un miembro con dos fuerzas. Viga A B :
2AÍS =0; Pasador B :
= 2.25 N/m
= 50 kN
a
= —; 150(10 ) =
d
= 20.6 mm
50(103) R esp.
D-ll. Varilla/l:
Fa
= V(3.464)2 + (6)2 = 6.928 kN
2F V= 0; F„B = 1.667P 2FX = 0; F^c = 1.333F
ta
Fa 6.928 = —— = 7---- r =22.1 MPa
Varilla A B :
4
| ( 0 .0 2 )
D-5.
6. (7V, (7y, <7-, 7jy, Tv-, T.v
D-6.
Nodo C : -*■ Z F X
R esp.
o r - A 150(10«) = 7 ^ ; /4 v |(0.015)
R esp.
P
= 15.9 kN
Varilla AC:
r
= 0; Tcb = 10 klb
Tcb _
10
2
P
a- = —— = — = 5 klb/pulg2
_ 1.333/- . 150(10 ) - 5(0 012)2,
= 12.7 kN
R esp.
R esp.
D-7.
D -1 2 .
Todo el marco 2FV= 0; A y = 600 Ib IM b Fa
rA
2 F V=
=0; A, = 800 Ib
A
1000/2 - ----- — = 10.2 klb/pulg2 f(0.25)2 F °
0; B y = 1.8 iv 0; A y = 4.2 iv
En A :
= V(600)2 + (800)2 = 1000 Ib Fa / 2
Viga: IM A =
p
Resp.
w= 1.07 klb/pie
4.2 w Resp.
Apéndice
En B: P
D Repaso para el examen de fundamentos de ingeniería
•
839
D-24. c = ^ =
1.8 w
b
AE PL
S = eL =
tv = 1.07 klb/pie
AE '
(10 000)( 8 )
0.003 = D-13.
- 9 = —-— = -- -- = 0.0472 pulg /pulg /
e
-
l0
tt{ 3 )
E =
R esp.
0-25. D-14. (SD£)máx = emixL DE = 0.003(3) = 0.009 m En proporción de A , S BC = 0.009(f) = 0.0036 m
D15'
0.00525 m = 5.25 mm
R esp.
2.22(106) klb/pulg2 Z. E
J L AE
PL
6(103)4
AE
¡(0.01)2100(109)
=3.06mm R esp.
n p 10 103) D-26. (j = ——= — ^ = 56.59 MPa A |(0.015)
R esp.
\/(4)2+(3)2 = 5pies 5 +5(0.0045) = 5.0225 pies El ángulo B C A era 0 = 90° originalmente. Aplicando la ley del coseno, el nuevo ángulo B C A ( 0 1) es Ia b =
l ’AB =
5.0225 = V (3 )2 + (4)2 - 2(3)(4) eos 0 9 = 90.538° Así, AG’° = 90.538° - 90° = 0.538°
12£
S = eL=
(^flc)máx= emáx/flc= 0.003(1) = 0.003 m<0.0036 m Usar S BC = 0.003 m. En proporción con A .
- o«b ( t ) -
_
"
o- 56.59(106) «long = t : = --- - r 1 = 0.808(10 ) g E 70(10 ) e,at = -velong= -0.35(0.808(10-3)) = -0.283(10 “3) S d = elat(15 mm) = -4.24 mm R e s PD-27. Las distribuciones de esfuerzo tienden a uniformarse en secciones más alejadas de la carga. R esp. D-28. 1) Material elástico lineal. 2) Sin deformaciones grandes. -2(2)(12) +
PL R esp.
R esp.
0.5(29(10 ))
AE
4(6)(12) 0.5(29(10 ))
= 0.0166 pulg D-I6.
Z B C D = Z .B A D
= tan_' y ^ = 89.962°
y,,= (90°- 8 9 .9 6 2 °)^ = 0.666(10-3)rad
D-17. El material tiene propiedades uniformes en su totalidad D-18. El límite de proporcionalidad es A . El esfuerzo último es D . D-19. La pendiente inicial del diagrama cr-e. D-20. Cierto.
R esp.
R esp.
D-31. Viga A B : = 0;
R esp.
2M A
R esp.
2FV= 0; AE
3 klb 3(8)( 12)
|(0.5)229(10 ) = 0 0506 Pul8 i
PL
2(3)(12)
A E
f (0.5)229(103)
~ Ia b ~
Resp.
= 2 klb
Fbd F ÁC =
PL
Aé _
D’23- € ~ ~E = e~AE
~AE~
R esp.
R esp.
D-22. Falso. También hay deformación en direcciones perpendi culares, debida al efecto de Poisson. R esp.
S = eL =
12(103)(0.5) |(0.02) 200(10 )
R esp.
R esp.
100(103)(0.100) = 0.283 mm f(0.015)2200(109)
PL A E
27(103)(0.3) +-----1---- t- = 0.116 mm f(0.05) 200(10 )
D-21. Falso. Se usa el área transversal y la longitud o r ig in a le s .
PL
R esp.
8a
~ SB ¡ab
= 0.01264 pulg J,
_
0.0506 - 0.01264
~
10(12)
= 0.000315 rad = 0.0181°
R esP■
840
•
Apéndice
D Repaso para el examen de fundamentos de ingeniería
D-32. Equilibrio:
FÁ + Fb =
D-36. Equilibrio: = 1200 Compatibilidad Quite el soporte en B . Requisito
Fa + Fb
6
Compatibilidad:
&C/A = ác/3’
Fa(1) = AE Fa
&B — ( ^ B / A ^ c o m p
(^B/ a ) c a r g a
0
Fb(2 ) AE
o
= 4 klb, F/, = 2 klb
R esp.
D-33. Equilibrio:
12.8(10_6)(100 - 80)(14) + 1200(6)
F b ( 14)
f (0.5)210.6( 106)
f (0.5)210.6( 106)
Pac + Pal = 300(103) Compatibilidad:
[f(0.1)2 - f(0.08)2]200(109) =
[f(0.08)2]73.1(109)
= 1.05 klb
R esp.
= 153 Ib
R esp.
Compatibilidad Quite el soporte en B . Requisito ^B — ( ^ B /A )comp ~ (^S/zO carga — ^
181.8
[f(0.1)2 - f (0.08)2
A
0
D-37. Equilibrio: Fa +F b = P Como f R = o, Fa = P
Pa,¿
Pac = 181.8 kN Pa, = 118 kN Pac
=
= 64.3 MPa
R esp.
a AT L + —^ = 0 AE
P(6) 12.8(10 )(50 - 80)(14) + ---- ----- r- = 0 f(0.5)2l 0.6(10°)
D-34. Equilibrio:
P = 1.86 klb
R esp.
Compatibilidad: ®conc — ^ac >
D-38. No, sólo es válida para secciones transversales circulares.
P c o n c (2 )
Las no circulares se torcerán.
[tt(6)2 - 6Íf)(0.75)2]4.20(103)
R esp.
Pac (2 ) ó(f )(0-75)229(103)
°-39- Pmáx=
Peone = 17.2 klb Pac = 2.84 klb
T cd
= 40 Ib • pie 40(12)(0.375)
Te _ R esp.
J
~
f(0.375)4
= 5.79 klb/pulg2
R esp.
D-40. Equilibrio del segmento A B : = 30 Ib-pie Te 30(12)(0.75) Tn = —— = —----- ¡— = 543 lb/pulgJ f (0.75) H 6
D-35.
„ SComp= 2 a A T L
R esp.
s carga= s l k D-41. Segmento A B :
Compatibilidad: 5comp+ Scarga= 0 12(10_6)(25 - 15)(0.4) + 21(10_6)(25 - 15)(0.2)+ —F(0.4) 175(10~é)(200(109)) P = 4.97 kN
_
P(0-2)
=
Tmàx
mx
Te 5(103)(0.05) = T = , ■ = 25.5 MPa J f(0.05 )4
Segmento B C : Te 10(103)(0.1) 7máx = — = — ----;— = 6.37 MPa J f( 0.1)4
300(10_6)(100(109)) Resp.
Resp.
Apéndice
TL
D-42.
4>a/b ~
2
D Repaso para el examen de fundamentos de ingeniería
JG
7'ac + 7b, = 950 Compatibility: <¿>ac = d>la:
200(12)(3)(12) | n
300(12)(2)(12)
f (0.75)411(106)
|(0.75)411(106)
rac(0.6)
TL
600(12)(3)(12)
JG
f(0.5)4ll(106)
71a (0.6)
|[(0.03)4 - (0.015)4]75(109) §(0.015)437(109) 7|a = 30.25 N • m Tac = 919.8 N • m 30.25(0.6) = 0.00617 rad R e s p . f(0.015)437(109)
= -0.0211 rad = 0.0211 rad en sentido de las maneci llas del reloj, visto desde A . R esp.
D-43. A = E
841
D-47. Equilibrio:
-400(12)(2)(12) f(0.75)4ll(106)
=
•
D-48. Equilibrio: 200(12)(2)(12) _ 100(12)(3)(12) + ¡(0.5)411(106)
600 Compatibilidad:
T a + Tc =
f (0.5)411(106)
7H1) = 7U(2)
= 0.253 rad en sentido contrario a las manecillas del reloj visto desde A . R esp.
JG Ta =
Tk
Tc =
40(0.3) =
f(0.015)475(109)
JG
JG
200 N • m 400 N • m Te 400(0.025) "(0.025)4
= 16.3 MPa
R esp.
_______ 20(0.2 )_________ f[(0.025)4 - (0.0125)4]75(109)
D-49.
30(0.3) ~~f [{0.025)4 - (0.0125)4]75( 109) = 1.90(10 3) rad en sentido contrario al de las maneci llas del reloj visto de A hacia D .
D-45. P =
(
T = w=
1
_Tc - j • r¡
550 pies • lb/s \
hp^---r l h p
200
R esp.
1i50°0 = 2 ° ( 10
)
J
7 3 3 3 3
=
110 0 0 0
*b ' PÍC =
D-50.
pies-lb/s
8800
lb ’
= 5.5 kN Usar el tramo de longitud x. 1 + 2M = 0; —5 . 5 j c + 4(2)(.v - 1) + M M — 8 —2 . 5 a :
A y
= 3 kN Usar la sección de longitud x .
i + SW = 0; —3 x
D-51.
1.53 pulg. Usar d¡ = 1.625 pulg = 11 pulg
_ P _
165 000
ai
ío
165000 Tc
—•
J
2 0
’
ti; = 54.7 rad/s
+
B }.
l>x
——
D-52. Trace el diagrama de M M máx = 20 kN ■m (en C )
(12) (1.25)
D-53.
- -— ÍL Í 1 0nS'i 3') = —-----------------
A y By
f [ ( 1.25)4 - ( l ) 4]
Resp.
iw(r)
+ M= 0 R esp.
= 2.6 klb = 4.6 klb
Trace el diagrama de M M m áx = 7.80 klb • pie (en C)
R esp.
f 550 pies-lb/s \ D-46. 300 hp^ -----j hp ) = 165 000 pies-lb/s r
en x .
x*
M -
A v d¡ =
w = ~x
PU '8
= 0.764 pulg
0 R esp.
Ay
Intensidad de
8800(0.875) (0.875)4 - r¡4]
=
R esp.
R esp.
= 2.33 kN = 6.617 kN
Trace el diagrama de M Resp.
842
•
D-54.
= 800 N Trace el diagrama de M M m ix = 1600 N • m (dentro de C D )
D-55.
Apéndice
D-62.
= By
A y
y=
A
D Repaso para el examen de fundamentos de Ingeniería
By =
=
M máx
1
á ( 2 )( 6 ) 3
By =
1000 N
R esp.
= 1250 = N • m Me 1250(0.025)
D-57.
R esp.
R esp.
= My 10M03s _ 1 '
y = £4
es la mitad superior o la inferior de la sección transversal.
Q
= (1)(2)(3) —(0.75)(1.5)(2) = 3.75 pulg3
D-64.
Ay
VQ - j f
=
Bv
R esp.
= 1.5 kN
Vmáx= 4.5kN(en<4) Q es la mitad superior de la sección transversal. ^ ( ^ [ ( « ^ ( O
lt
[n(4)(4 ) 3 - ík(3)(3)3]
. O
S ) 2]
[Ítt(0.03)4](0.06)
= 2.12 MPa
R esp.
40(80)(20) + 95(30)(100) = 75.870 mm 80(20) + 30(100)
2(3.75) = n5(1) = 0.652 klb/pulg2
= 4.5 kN,
"Tmáx
D-59. Desde la parte inferior de la sección transversal ly A
Q
VQ
«W
= 145 klb • pulg = 12.2 klb • pie
M
R esp.
D-63. / = ^(3)(4)3 —^(2)(3)3 = 11.5 pulg4
Tmáx
o-m áx = u /r =—f (0.025) -r = 102 MPa máx
D-58.
= 1 MPa
8 klb
8(4) = 32 klb -pie 32( 12) (3) ,, = — = -j---- - = 32 klb/pulg2
A y
20( 103)[(0.05)(0.1)(0.15)]
VQ
M e
D-56.
es la mitad superior o la inferior de la sección transversal.
T’máx
R esp.
M m ix = cr
Q
R esp.
D-65. Desde la parte inferior: 2yA
y =
3(6)(1) + 6.5(1 )(8) = 5 pulg 6 ( 1) + 1( 8 )
1
/ = ^(20)(80)3 + 20(80)(75.870 - 40)2
/ = ¿ ( 1 ) ( 6 ) 3 + 6(1)(5 - 3 ) 2 + ~ (8 )( 1 )3+ +^(100)(30)3+100(30)(95 - 75.870)2 = 4.235(10“6) m 10(103)(0.075870) »■máx = — = -- = 179 MPa I 4.235(10 )
8(1)(6.5-5 )2 = 60.67 pulg4
M e
D-60.
A y
=
R esp.
VQ
4(103 )[8(1)(6.5 - 5)]
lt
60.67(1)
= 791 lb/pulg2 R e s p .
P /2
M m ix = P / 2
D-66. / = y (6)(4)3= 32 pulg4
(2) = P (en C)
/ = -j^(0.02)(0.150)3 - 2
VQ
(0 .1 )( 0 .0 2 ) 3
<7 = —
+ (0.1)(0.02)(0.085)2
F= qs =
150[(1)(6)(2)] , = ----^ ---- = 56.25 lb/pulg (56.25 lb/pulg)(2 pulg) = 112.5 Ib
R esp.
= 34.66(10~6) m4 M e
f.
P { 0-095) 34.66(10 )
D-67. 1 = Í ( 6)(6)3 - ¿ ( 4 ) (4 )3 = 86.67 pulg4
1 2 1 2
cr = — ; 12(10 ) = — i------- xP
/ = 4.38 kN
V'
R esp.
D-61. El esfuerzo máximo está en D o en A . (50 eos 30°)12(3) (50 sen 30°)12(2)
r¿(6 )W 3
= 40.4 lb/pulg2
Resp.
400(2.5)(6)(1) = 69.23 lb/pulg 86.67 Para un clavo <7= 69.23/2=34.62 lb/pulg VQ
q
I
F = qs
= 34.62 lb/pulg (4 pulg) = 138 Ib
pr 80(15) D-68. o- = y = -p — = 4000 lb/pulg2 = 4 klb/pulg-
R esp.
R esp.
Apéndice
D Repaso para el examen de fundamentos de ingeniería
D-69. . = f ; ,0(103) =
" =
a
P =
= 500 N, Vy = 400 N, M x = 400(0.1) = 40 N • m M y = 500(0.05) = 25 N • m, Carga axial: Nz
Me
+—
2(0.5)
f2(0.5)(2)3
D-71. En un corte a través del centro del soporte, por el eje centroidal N = 700 Ib V = 0 M = 700(3 + 0.375) = 2362.5 Ib-pulg A ^
700
Momento respecto al eje y . (t z = 0 porque B está en el eje neutro. Par de torsión:
2362.5(0.375)
_
0.75(1) + [i(l)(0.75)3]
I
= 26.1 klb/pulg2
J
30(0.05)
f(0.05)4
= 153 kPa
Por consiguiente
R esp.
< jx= crv = a ;
P(0.01)(0.01)
0
R esp.
0
R esp.
= -63.66 - 407.4 = -471 kPa
r„ =
Me
P
Te _
7“
D-72. En un corte transversal N = P . M = P(0.01)
30(106) = ----- r + ' tt(O.OI)
= 30 N • m
Carga de corte: Ty= 0 porque en B . Q = 0. Momento respecto al eje x : = M e = 40(0.05) 4 = 407.4 kPa (C) ° z ~ I ~ f(0.05)
R esp.
M e _
Tz
O-, = 4 = — ° % = 63.66 kPa (C) - A 7r(0.05) V'
3 klb
_ P
R esp.
D-74. En el corte B:
(3 P )(1 )
30 =
R esp.
0
R esp.
D-70. En el corte por el eje centroidal N = P V = 0 M = (2 + \ ) P = 3P P
R esp.
ay =
rvv = 37.5 lb/pulg2
= 66.7 pulg
843
Por consiguiente = 41.667 - 250 = 208 lb/pulg2(C)
crx
r = 33.3 pulg d
•
R esp.
0
R esp.
Tzy
=
0
R esp.
t tx
=
-153 kPa
R esp.
W ( 0 .0 1 ) 4
= 1.88 k N
R esp.
D-75. Cierto.
R esp.
D-76. trv= 4 klb/pulg2, cry = - 6 klb/pulg2, r ty= —8 klb/pulg2
D-73. En el corte que pasa por tí: N = 500 Ib. V = 400 Ib M = 400(10) = 4000 Ib-pulg Carga axial:
Se aplica la ecuación 9.5; cr, = 8.43 klb/pulg2,
cr2 = —10.4 klb/pulg2
R esp.
<7x = A = i( f ) = 41-667 lb/Pu,g2(T) Carga de cortante: VQ 400[(1.5)(3)(1)]
Tjv
7/
[li(3)(4)3j3
Momento de flexión: M y 4000(1)
D-77. = 37.5 lb/pulg2
200 lb/pulg2,
crv =
-150 lb/pulg2, r vv= 100 lb/pulg2
Se aplica la ecuación 9.7,
= 202 lb/pulg2
R esp.
D-78.
Resp.
844
•
Apéndice
D Repaso para el examen de fundamentos de ingeniería
D-79. En el corte que pasa por B : N
kN,
V = 2
P
Me
= 4
**■ ~
A
+
kN.
D-84. De acuerdo con el apéndice C, examine por separado la
4(103)
I
carga distribuida y el momento.
= 2(2) = 4 kN • m
M
A
0.03(0.06) + X(0.03)(0.06)3
~
Observe que r B = 0_ porque (3 = 0 Por consiguiente o-, = 224 MPa
D-80.
R esp.
D-85. Cierto. R esp.
R esp.
^(29(10^(0.5)“) ^--- = 22.5 klb [0.5(50)]
n 2E ,
D-86.
0
= --- í ( K L )2
1
= 12 kN Segmento A C :
R esp.
A , = B,
= 0, M c = 24 kN • m tc = 0 (porque V C = 0) ítc = 0 (porque C está en el eje neutro)
Vc
(T\ = D-81.
M_L 6EI
4(3)^ 20(3) 12.4 kN-m2 _ 45£/ + 6El ~ El ,í
= 224 MPa (T)
cr2 =
= W pú 45 El
4(103)(0.03)
0 2
=
D-87.
D-88. 2 x ( jJ + M =
= 28.6 klb/pulg2 < o-y OK
^(1.6)(103)[íL(4)(2) 2--- = 2.03 klb [1(12)( 12)]2
P = (K L )2
A v = 3 klb Use la sección de longitud x . ~3x +
22.5 tt ( 0 .5 )
n 2E ¡ R esp.
0
i + SW = 0:
P A
A = i r ( ( 0.025)2 -
R esp.
(0.015)2) = 1.257(KT3) m2
0
/ = j7r((0.025)4 - (0.015)4) = 267.04(10‘ 9) m4 M
=
E l
—^=
3x -
x2
-
3x
tt2 E
=
P
x2
(K L )2
dx
Integre dos veces; use v = 0 enx = 0. v = 0 en.v = 3 m
+
° ‘ 5 'v 3
[0.5(5)]2
= 84.3 kN
1
v =
7T2(200(109)) (267.04) (10“9)
I
P
84.3; 103)
A
1.257(10 )
R esp.
“ 225x')
R esp.
= 67.1 MPa < 250 MPa OK
D-82. A v — 15 klb 100 klb • pie Use el tramo con longitud x .
Ma =
Intensidad de
w =
[—
]x
= 0;-15.v+ 100 +
1 .M
D-89.
( K L ) 2'
en.v.
(r)
= \5 x -
E l
d 2v , — r = 15* - 0.05.V - 100
x (x )
.2 VIO'
+ M
=0
r2
A
D-90.
P
=
3=
768E 5(2)(6)4 768EI
48£7
8(6)3 _ 52.875 klb • pie3 . + 48A7 " Y T
tt 2E 1
r
7r229(103)(fr4) [1(40)]2
= 0.382 pulg
3 = 6.53 klb/pulg2 < 36 klb/pulg2 OK tt(0.382)2 d = 2 r = 0.765 13 Usarrf = — pulg(0.8125 pulg) Resp. 16 P
PÜ l
R esp.
( K L ) 2' R esp.
D-83. De acuerdo con el apéndice C. examine por separado las cargas distribuidas y concentradas,
5ivL
40 = 17.6 klb/pulg2 < 36 klb/pulg2 OK ^-[(l)2- (0.528)2]
Entonces t = 1—0.528 = 0.472 pulg.
dx2
0.0025a;5 - 50.v2)
[1(6)(12)J2 = 0.528 pulg
o—— -
Integre dos veces; use u = 0 en,v = 0, d v / d x = 0 en x = 0
fcl
7r229(103)[f(l4 - r24)]
40 =
O.05.V3 - 100
M
v = - ~ ( 2 .5 x 3 -
7T2E ¡
=
P
A
Resp.
Respuestas 1-39. 29.5 MPa 1-41. 869 lb/pulg2, 50.5 lb/pulg2 1-42. arAC = 746 lb/pulg2
C ap ítu lo 1 •sp.
1-1. a) 13.8 klb, b ) 34.9 kN 1-2. T c = 250 N • m. T D = 0
sp.
1-3.
isp.
T[¡ =
150 Ib • pie, 7c = 500 Ib • pie
1-5. Nd = 131 N, V D = 175 N, M¡) = 8.75 N- m 1-6. ND = 3.75 klb, VD = 0, MD = 0 1-7. Ne = 3.75 klb, V E = 0, ME = 0 1-9. Nc = 45.0 klb, Vc = 0. Mc = 9.00 klb • pie
a ' =
1-51.
8
1-53.
cta b
1-13. Nc = 2.94 kN, Vc = 2.94 kN, Mc = 1.47 kN -m
1-54.
cr
1-14. Ne = 2.94 kN, VE = 2.94 kN, ME = 2.94 kN - m
1-55. 16 lb/pulg2 1-57. 8 = 63.6°, a
Ne =
1- 11. VF =
75.0 Ib, 0 .N F
= 373 Ib, MD = 373 Ib -pie,
VD
= 355 Ib,
VE
= 727 Ib ■pie
ME
= 1004 Ib. M f = 0, N c = 75.0 Ib,
Vc = 205 Ib, Mg = 167 Ib - pie
1-15. NB = 0.4 klb, VB = 0.960 klb. Mg = 3.12 klb - pie 1-17. Ng = 0, Vg = 288 Ib, Mg = 1.15 klb-pie 1-18. Nc 1-19.
lesp. K
Nd
= 0, V D = 1.25 kN. M0 = 9.50 kN-m = 0, Md
Ne
1-23.
=
=
36.0 N-m
0, VE = 120 N, Me
=
48.0 N- m, K = 0,
(N g )x
= 0, ( V g ) y
=
0, (VB)Z = 70.6 N,
(r8).r = 9.42 N- m, ( MB)y = 6.23 N • m, (MB)Z = 0 1-25. (V*), = 105 Ib, (VB)y = 0. (N b)z = 0. (Mg)x = 0, (Ai»), = 788 Ib • pie. (T g ) z = 52.5 Ib- pie 1-26.
Re s p .
( V c )x
= -250 N, (Nc)v = 0, (Vc). = -240 N,
(M c
= -108 N-m, (Pe), = 0, {Mc )z = -138 N -m
\
1-27. (Vi), = 0. (NA)y = -25 Ib, (VA)Z = 43.3 Ib, (MA)X = 303 Ib -pulg, ( T A ) y = -130 Ib-pulg, (W^)z = -75 Ib-pulg 1-29. Nc
=
80 Ib,
Vc
= 0, Mc = 480 Ib ■pulg
1-30. Kg = 496 Ib. Nb
59.8 Ib. MB = 480 Ib • pie,
=
Nc = 495 Ib. Vc = 70.7 Ib, Mc = 1.59 klb • pie 1-31. Nb = - w r 6 eos 8 , 'uÍ£- OK
R esp.
a BC
=
M g = w r 2 (8
V,¡ = - w r O
eos 8
1-34. 1.82 MPa 1-35. 6.11 klb/pulg2 1-37. 22.5 klb. 0.833 pulg 1 - 3 8 . 36 kN, 110 mm
—
sen0)
sen 6 ,
1-59. 1-61. 1-62. 1-63. 1-65. 1-67.
=
2/1
1.63 klb/pulg2, a
BC
= 0.819 klb/pulg2
= 66.7 lb/pulg2, r = 115 lb/pulg2
ct E d
0, Vc = 1.75 kN, Mc
1- 21 . Fbc = 1.39 kN. F a = 1.49 kN. ND = 0.12 kN, 1- 22.
1-58.
= 45°, Tmáx =
8.50 kN -m
=
N = 1.39 kN, M = 0
[b pulg- OK
62.6 klb/pulg2, Tprom= 48.9 klb/pulg2, cr = 101 klb/pulg2, Tprom= 0
1-50.
1- 10. Nd = 527 Ib,
esp .
1-43. 720 lb/pulg2 1-45. x — 4 pulg. y ~ 4 pulg, cr = 9.26 lb/pulg2 1-46. a = 8 MPa, Tprom= 4.62 MPa 1-47. a n = 13.3 MPa (C),
=
316 MPa
10.7 klb/pulg2(T), crA E = 8.53 klb/pulg2 (C),
= 8.53 klb/pulg2(C). a
EB
= 4.80 klb/pulg2 (T),
= 23.5 klb/pulg2 (T), a BD = 18.7 klb/pulg2 (C) 6.82klb crAB = 333 MPa. a CD = 250 MPa 1.20 m 11.1 klb/pulg2 w =21.8 kN/m r B = Tt —324 MPa, r A = 324 MPa
1-69. 121 lb/pulg2 1-70. a = 8.15 klb/pulg2. r = 5.87 klb/pulg2 1-71. 339 MPa 1-73. 5.86 lb/pulg2 1-74. 3.39 lb/pulg2 1-75. cr = (238 - 22.6z ) kPa ,
_ _
f"ií£L
1-77. 1-78. 1-79. 1-81. 1-82. 1-83. 1-85. 1-86. 1-87. 1-89. 1-90. 1-91.
r = r xe \ =<■>z 49.5 kPa 6.85 rad/s 90 kN. 6.19(10-3) m2, 155 kN 15.2 mm 5.71 mm 19.8 klb 3.26 klb 3.09 klb 2.40 kN 4311b d = l f 6 pulg
1-93.
lA = \
pulg, l B = | pulg
1-94. Use una placa de 3" X 3" y una de 4|" X 4|"
846 •
R espu esta s
1-95. 1.16 klb 1-97. d AB = 15.5 mm. d AC = 13.0 mm 1-98. 7.54 kN 1-99. 1.53 klb/pulg2, 1.68 klb/pulg2 1-101. T= 23.9 klb/pulg2, F.S. = 1.05; ar = 30.6 klb/pulg2, 1.24
1-102. 1-103. 1-105. 1-106. 1-107. 1-109.
0.452 klb/pie 2.71,1.53 d B = 6.11 mm, d w - 15.4 mm 0.909 m 7.18 kN/m tv, = 5.33 klb/pulg, \v2 = 8 klb/pulg,
1-110.
P =
3.14 klb, tV) = 2.09 klb/pulg.
w2
d
= 0.714 pulg
= 3.14 klb/pulg
33.9 lb/pulg2, T „ _ a
=
=
0.
=
8.48 lb/pulg2,
Nd
= 1.20 klb,
VD
= -0.625 klb.
M 0
= -0.7É9 klb -pie,
Me
= 0
4.32 klb.
VD
VE
3-
2-23. 0.02 rad
3-
2-25. 0.0142 rad
3-
2-26.
e DB —
—0.00680 mm/mm,
€ad =
0.0281(10-3) mm/mm
2-27.
ex
= 0. e y = 0.00319, y xy - 0.0798 rad.
3-
= —0.0179 mm/mm
3m \ \ kL 2 2-29. (A.v)ß — g , (Cv)prom— 2 2-30. (A*)c -
7T
NE
2-33.
. íprom-
= -2.00 klb,
VE =
y A = 0 ,y B =
0,
333333-
77
= 0, M
D =
= 0.540 klb,
2.16 klb-pie, M E
= 2.16 klb • pie
1-118. 61.3 MPa 1-119. 0-40 = 3.98 MPa, o-30 = 7.07 MPa, rprom= 5.09 MPa
0.l99rad
sen 6 L
vB
2-34. «-i« =
1-115. 11.1 mm 1-117. N d = -2.16klb. Ne =
3.
2-31. 0.10 pie
Tft-i = 14.7 lb/pulg2
1-114.
2kx
2-22. AL = — [e - 1]
e BE
1-111. 620 kN
1-113.
2-21. e =
uA
eos 8 L
3-
C ap ítu lo 3 c
3-L 26.2(l03) klb/pulg2 3-2.
“i =
A
pulg.klb 16.3---— pulg3
4
3-3. 286 GPa, 91.6 kJ/m3 3-5.
C ap ítu lo 2 2-1. 0.167 pulg/pulg 2-2. 0.0472 pulg/pulg 2-3. e CE = 0.00250 mm/mm, e BD = 0.00107 mm/mm 2-5. 0.0343 , , 2-6.
_ 0-5 AL —
e AB —
2-13. 0.00443 mm/mm 2-14. 0.00884 mm/mm 2-15. e x = -0.03 pulg/pulg. ev = 0.02 pulg/pulg e DB -
2 - 1 8 . ec = 2-1 9. e
—0.00469 pulg/pulg. -0.0300 pulg/pulg 2
= ecA B
L
=
7.85 klb.
P úh
= 15.1 klb
3-6. 0.0035 pulg, 0.1565 pulg
3-9.
E
= 5.5 lb/pulg2, «, = 11
pulg3
«, = 19.25
4 4
4 0
pulg-Ib pulg.klb 3-7. »/ = 20-- 73—, li, = 17.6-- - r pulg5 pulg
3-11.
7 _ 0.5 AL 2-11 • eAB------ ——
e AB =
40(103) klb/pulg2, P Y
-V
4 4pulg
3-10. 1.82 MPa
2-7. 0.00578 mm/mm 2-9. 4.38 mm 2-10. 0.0398
2-17.
E =
e AC
2 L2 eos 2 6 + e c ¡ j s e n 2 0
= 0.0200 pulg/pulg,
lli
— 613
m-kN 3 , 5 = 24 mm
m
4-:
3-13. 0.979 pulg 3-14. 88.3 klb/pulg2
4-j 4-i
3-15. 0.209 pulg2, 1.62 klb 3-17. e DE = 0.00116 pulg/pulg. W = 1121b, e BC
= 0.00193 pulg/pulg
3-18. 0.162 pulg 3-19. 15.0 klb 3-21. a = 0.708° 3-22. 11.3 kN 3-23. 0.152 pulg
4-:
4-J 4 -2 4 -2
R e sp u e sta s
3-25. 3-26.
n
4-29. 5 = P L / [ E ( A 4-30. 0.0107 pulg
= 2.73, k = 4.23(10-6) 0.126 mm, Ad = -0.00377 mm
S =
P k )]
3-27. a) -0.577(10-3) pulg, b) 0.5000673 pulg 3-29. 8.33 mm
4-31.
3-30. 6 -
4-33. a 4-34.
5
Pü 2bhG
x = „ P, _ ln i r° 3-31. 5 2rhG r¡ 3-33. 7.41 mm, 741 kPa 3-34. e x = 0.0075 pulg/pulg,
ev
= -0.00375 pulg/pulg,
0.0122 rad
y xv =
3-35. 4.31 (103) klb/pulg2 3-37. x = 1.53 m, d'A = 30.008 mm 3-38. 3-39. 3-41. 3-42. 3-43.
6 = -0.0173 mm, d' = 20.0016 mm
a BC
4-43. crA = arc = 189 MPa, a ¡¡ = 21.4 MPa 4-45. 45.9 kN/m 4-46. 0.0489 pulg 4-47. F c d = 2 klb, F e f = 6 klb
2.46 kN 10.17 pulg 250 GPa 118 MJ/m3
4-49.
C ap ítu lo 4
4-51.
= 1.59 mm, 5^ = 6.14 mm
8b
a AB = a CD
22.2 klb/pulg2 (T). a BC = 41.7 klb/pulg2 (C),
= 25.0 klb/pulg2 (C), -0.00157 pulg
4-3. -0.0278 pulg = 2.64 mm 4-5. 6 « - 2.31 mm, 4-6. 0.697 mm 4-7. 8 a d = 0.129 mm, h' = 49.9988 mm. iv' = 59.9986 mm 4-9. 10.455 pulg 4-10. 0.0128 pulg 4-11. 0.0975 mm 4-13. 6.80 klb 4-14. 11.8 klb 4-15. 2.23 ir.m 4-17. 18.3 k.b 4-19. 17.3 mm 4-21.
c
pl ~
2E
+ AE
4-22. 13.6 klb/pulg2. 10.3 klb/pulg2, 3.20 klb/pulg2, 2.99 pies 4-23.
p
4-25. <5 =
/"máx 2
c
/"máN/3A E
’ ,
PL
ti E r 2r\
+ r x) 6E ( r 2 - r,)
y L 2( r 2
4-26. 0.00711 pulg 4-27. 8 =
Ph
Er(d2 -
d ,)
d2 In'i J
y L 2r \ 3 E r 2( r 2 -
= 80.4 MPa
4-38. 0.335 mm 4-39. T a b = 1.12 klb, T a c = 1-68 klb 4-41. 198 kN 4-42. T a b = 361 Ib, T a b = 289 Ib
4-50.
4-1. 4-2.
= 0.0055 pulg ac= 48.8 MPa. a con = 5.85 MPa
r x)
6
= 1.14(10~3)° 1P
P
P
17AB - 12A’
40.0 kN
4-53. crac = 102 MPa, crla = 50.9 MPa 4-54. 126 kN 4-55. T a b = T c d = 16.7 kN. T e f = 33.3 kN 4-57. 6 = 698° 4-58.
F<
P A \E \
=
2 A \E \
+A
P A 2E 2 2 A \E
2E 2
4-59. 4-61. 4.90 pulg 4-62. VAB = &CD ~
3E i M
0
A d [ 9 E x + E 2] ’ M 0E 2
ctgh
4-63. 4-65. 4-66. 4-67. 4-69. 4-70. 4-71. 4-73. 4-74. 4-75. 4-77. 4-78.
FA =
~ crEF - A ( j m + £z] 4.09 klb,
Fb =
14.0 kN 16.9 kN 0.0390(10~3) m AS = 0.838° 4.20 kN 463.41 pies 107°F, 80.5 lb/pulg2 87.5°C, 3.10 kN 85.5°C, 3.06 kN 904 N 244°
2.91 klb
i +A
22 ^E-2
•
847
848
•
R espu esta s
4-79. 598 kN 4-81. 1.85 kN 4-82. F a d = 6.54 klb, 4-83. 0.0407 pulg 4-85. 4-86. 4-87. 4-89. 4-90. 4-91. 4-93. 4-94. 4-95. 4-97. 4-98.
5-13. 2 | pulg F AC
=
FAB =
4.09 klb
aA E ,
-(T„ ~ Ta)
F = (
2 E 2 +
Ei
Y3 +E i). 190 MPa 2.49 pulg 1.21 klb 34.8 klb/pulg2 19 kN, 1.26 15 klb, 1.6 16.8 klb, 1.29 126 kN a) F ,c = 444 N, Fal = 156 N, b) Fa, = 480 N. Fac
4-99. 4-101. 4-102. 4-103.
5-11. 11.9 MPa
BC) r
= 3.75 klb/pulg2 (T)
53.33 klb/pulg2, 8.69 pulg 10.9 klb/pie a) 92.8 kN, b) 181 kN =
(7 y E
oy/t(2cos0 + 1), S A =
eos 8
fl? 3c2
«07. S - K j J V * 4-109. 4-110. 4-111. 4-114. 4-115. 4-117. 4-118. 4-119.
0.0120 pulg 16.5 klb 5.47 klb F b = 2.13 klb,
FA
510 N • m 0.841/0.707r t a = 3.45 klb/pulg2. t b tq
klb/pulg2, ( r m ix ) DE =
5 .0 7
3 .6 2
klb/pulg2
5-15. ( T £ f ) m á x — 0 , ( t c d ) m á x — 2 . 1 7 klb/pulg2 5-17. 2 . 4 4 klb/pulg2 5-18. ta = 6 . 8 8 MPa, tb = 1 0 . 3 MPa 5-19. 4 9 . 7 MPa 5-21. 1 5 7 N-m, 1 3 . 3 MPa 2
5-22. n =
r3
Rd2
5-23. 5-25. 5-27. 5-29.
5-6! 5-6! 5-71 5-71
MPa 1 8 . 3 klb/pulg2 c = ( 2 . 9 8 . v ) mm
5-73 5-74 5-7;
N-m, 6 . 6 6 MPa
6 7 0
5-71 27T
3
tT[rA { L _ - x) + r Bx
_ 2T a + t A L
5-31.
B
2
=
’ Tmás
f
(2 T a
+ tA L ) r a
TT(r40 - r ? )
5-71 5-7S
5-81 5-82
5-35. 1 ! pulg 5-37. 296 rad/s 5-38. 1.51 Ib-pie, 219 lb/pulg2
5-87
5-43. 1 1 pulg 5-45. 6.67% de aumento en el esfuerzo cortante y el
5-89
y
5-9« 5-9 L 5-93. 5-94 5-95.
2JG
0.879°
5-47.
4>A/ d =
5—49.
4>b / a
5-50. 5-51. 5-53. 5-54. 5-55.
4 > c/d = 0.243° 64.0 MPa 9.12 MPa. 0.585° 14.6 MPa, 1.11° 7.53 mm
5-57.
f/e =
2.76 klb/pulg2
6.62 klb/pulg2 tab = 7.82 klb/pulg2, tbc = 2.36 klb/pulg2 rmáx = 14.5 MPa, r, = 10.3 MPa
5-86
ángulo de torsión S'46,
= 3.91 klb/pulg2, t d = 1.56 klb/pulg2
5-83 5-85
5-39. (T/tfi)máx = 1.04 MPa, (rBC)máx = 3.11 MPa 5-41. 12.5 MPa 5-42. 296 rad/s
Tc
=
5-6: 5—6<
1 .1 7
5-30. ^máx
= 2.14 klb
4.85 klb 0.508 vuelta 10 pulg 0.491 mm
C ap ítu lo 5 5-1. 5-2. 5-3. 5-5. 5-6. 5-7. 5-9. 5-10.
=
5-33. 0.104 pulg 5-34. 0.120 pulg E
4-106. 8 =
(i-B c O m á x
= 240 N
(°\4fi)r = 3.75 klb/pulg2 (T), (a
4-105. P
5-14.
= 0.578°
0.999(10-3) rad,
Tmáx = 3.12 MPa
5-58. 5-59. 5-61. 5-62.
2.75 pulg 2.50 pulg 0.113° 1.74°, 6.69 klb/pulg7
5-9^.
=
0.999(10~3) rad,
5-98. 5-99. 5-10L 5-102. 5-103. 5-105. 5-106. 5-107. 5-109.
R e sp u e stas
5-63. t - l°L + 2Ta
B
2
+ 37^) **
3 7 r(ri -
r f)G
5-65. 1.74°, 6.69 klb/pulg2 5-66. A/c = 5.45° . kL 2 5-67. irc4G
5-69.
k =
5-70. = 5-71.
=
12.28(l03), 2 .9 7 ° 6 ttc4G
-4aLi
T [1
2 üttG
5-73. (Tcfl)máx = 9.55 MPa, 5-74. 42.7 mm 5-75. 64.1 MPa 5-77.
Í J b c )máx=
( r AC ) m ix
= 14.3 MPa
1-47 klb/pulg2, ( r BD ) m ix = 1.96 klb/pulg2,
0.338°
5-110. 5-111. 5-113. 5-114. 5-115. 5-118.
1.66 50.6 MPa 0.075 pulg No, no es posible 101 kW T = 2.71 klb • pie, T p
5-119. 5-121. 5-122. 5-123. 5-125.
0.105 N-m 1.16 pulg 193 Ib-pie, 17.2°
=
•
849
2.79 klb. pie
0.565 N-m
110 Ib-pie
5-126. 331 ib-pie 5-127. 702 Ib-pie 5-129. 6.98 kN-m, 9.11° 5-130. 19.2 kN- m, = 24.9°, <¡>r = 6.72° 5-131. 0.542 pulg, 6.34° 197"
5-78. 6 . 22 °
5-81. 6.70° 5-82. 7> = 22.1 N • m, 7^ = 14.8 N-m
5-133. rmáx = ------r 1 2 írr 5-135. 7.82 klb/pulg2 5-137. 216 lb/pulg2 5-138. 1.59° 5-139. 26.2 N, 1.86° 5-141. T cn = 0.282/43/2ry, el eje redondo soporta el par de torsión
5-83. 5.50 klb/pulg2 5-85. T c = 18.1 Ib • pie,
5-142. 1.10 kW. 825 kPa 5-143. 2.03 MPa, 0.258°
5-79. 0.116°, (Tac)máxBC = 395 lb/pulg2, (7ac)rafe = 34.3(10-6) rad, (r,a)máx = 96.1 lb/pulg2, (yIa)raáx = 17.2(10-6) rad
Ta
= 732 Ib • pie
5-86. 1.75°, 13.3 klb/pulg2 _ 7 r0¿ _ 3(0¿ 5-87. “ l 2 ~’ A ~ ~4~ 5-89.
Ct\
( T m á x )í?
/
( 'r m á x ):'
\b )
“
5-90. ( T m á x ) c = 3-26 MPa. (rmáx), = 9.05 MPa. 178% 5-91. 1041b 5-93. 2.86 MPa, 0.899° 5-94. 308 MPa 5-95. T b = 32 Ib • pie, T a = 48 Ib • pie, 0.0925° 5-97.
V
4# c t 5-98. 28.9 mm 5-99. 1.25 MPa 5-101. 2 klb.pie * 7 ac — 7
5-102. 3.35 k!b/pulg2 5-103. 50 kPa 5-105. 9.62 MPa 5-106. 381 kN-m. 0.542(10-3) rad 5-107. 357 kPa 5-109. 25%
máximo: el eje cuadrado el 73.7% y el eje triangular 62.2%
C ap ítu lo 6 6-1. ymáx = -24 kN, M m ix = - 6 kN-m 6-2. 7, = 250 Ib, T 2 = 200 Ib 6-3. K n á x = -108 Ib, M múx = 1196 Ib -pulg 6-5. Kmáx = 15 kN,
M m ix =
60 kN -m
6-6. 15.6 N./W = (15.6* + 100) N-m 6-7. Vmáx = 18 kN, Mmáx = -75 kN-m 6-9. Vmáx = 11.7 klb, M m ix = 46.7 klb -pie 2 klb, A^nlgX 6 klb -pie 6-10. K n á x 6-11. a = 0.866L 6-13. ^ r a á x = ± P / 2 , M m ix = — P L / 4 6-15. V = 17.7 - 1.5*, M = -0.75*2 + 17.7* 6-17. 281 Ib- pie
6-18. V'raáx = ±7 klb, A/máx = 21 klb -pie 6-19. K n á x = -10 klb, M m ix = -27.5 klb -pie 6-21. V = 1050 - 150*, M = —75*2 + 1050* 6-22. Kmáx = ±2.8kN, M máx = -2.4 kN-m 6-23. Knáx = 2 klb, A/máx = -12 klb -pie
850
•
R e sp u e stas
6-25. Vmáx = 20 klb. 6-27.
= -120 klb -pie
6-70. 331 kPa 6-71. 12.2 klb/pulg2 6-73. 31.3 mm
L
=
a
M m ix
\Í2
6-29. Vmáx =
± w 0 L / 2 . M m ix = w 0 L 2/ 1 2
6-30. Kim =
~ w o L / 4. M m ix =
6-74. 13.6 klb/pulg2 6-75. 1.28 pulg 6-77. 1191b
0.0345w0L2
6-31. Vmix = ±w 0L /3 , M mix = 23w0L 2/216 6-33. K,uix = ±112.5 kN, 6-34.
M mSx
3w ü L —----M =
V =
w 0x
3 w 0L
-I------;— x 4
2 w 0( L V ~
’M
6-35.
wQ
= 1.2 kN/m
6-37.
M
= 0.0190tvL2
6-38. Vmá* = -45 kN,
~
M m ix
= 500 - ~ . v 2, M
6-39.
V
6-41.
Vmáx =
-w0(L 3L
x )2
I
21.3 klb.
M máx
6-78. 1.35 klb/pulg2
= 169 kN • m 7w 0L 24
x )3
x3 +
6-83. w2 = 800 lb/pulg, iV] = 533 lb/pulg, a m ix = 45.1 klb/pulg2 6-85. 249 kPa 6- 86. 4.64 klb/pulg2
6-87. 5.60 klb/pulg2 500x - 600
= -128 klb- pie
6-42. Knáx = 2 w 0L / i r . M m ix = — w 0L 2/ tt 6-43. 167 lb/pulg2, 333 lb/pulg2 6-45. M = 2.50klb-pie
1
= 34.53;i0‘ 6) m4, o-máx = 2.06 MPa
199 MPa,
crB =
crc
=
Fra =
6-54.
I
O, F R b = 1.50 kN
= 13.7 klb
1 =
1093.07 pulg4, ( F r ) c
=
6-63. 9.05 MPa 6-65. 15.6 klb/pulg2
6- 66.
2.75 pulg
6-67. 24 klb/pulg2 6-69. 33.8 klb/pulg2
V E : +V
( V e, + V e a
bh2\
V
e,
= O, crB = 462 kPa, crD = —462 kPa, crE = O
crA
= -119 kPa, crB
= 119 kPa
=
446 kPa,
6-105. Cmáx = 3.33 klb/pulg2, a 36.6 mm,
z =
a B
33.0 lb/pulg2
{ami' )c
< j a
Iy =
=
= 3m
e¿
6-103.
11.8 klb
6-58. 15.4 klb/pulg2 6-59. / = 4.367 pulg4,
1.05
6- 102.
6-106.
6-55. / = 200.27 pulg4, 22.6% 6-57.
—h ,
h \ÍE c
3.61 MPa.
= 200.27 pulg4, o-máx = 5.00 klb/pulg2, FA = 17.7 klb,
Fb
=
6-101. c =
= 1.55 MPa
6-53.
h'
6-99. 8.36 pulg, 23.5 klb • pie
66.2 MPa
6-51. / = 0.3633(10~6) m4, crB
6-97. 2.18 klb/pulg2 6-98.
b) (Madm)y = 6.00 klb*pie
66.8 klb/pulg2 10.4 kN 11.5 MPa 114 klb
6-95. 21.1 klb/pulg2
6-49. a) (Madm )j = 20.8 klb. pie, 6-50.
6-89. 6-90. 6-91. 6-93.
6-94. 25.8 klb/pulg2
6-46. («•máx), = 2.40 klb/pulg2, (o-máx)c = 4.80 klb/pulg2 6-47.
3PL
6-81.
= -63 kN • m = - —
6-79. 20.4 klb/pulg2
[z
=
crD —
-63.1°
= 0.18869(10~3) m4,
16.3374(10‘ 6) m4. arA
=
4.38 MPa,
= -1.13 MPa. a = -87.1°
6-107. I = 36.6 mm, I z = 0.18869(10-3) m4, Iy
= 16.3374(10-6) m4, 5.23 MPa
6-109. 7.60 MPa 6- 110. 924 lb/pulg2, -25.3°, 800 lb/pulg2
6-113. 6-114. 6-115. 6-117. 6-118.
7.81 klb/pulg2 293 kPa (C) 293 kPa (C) 260 kPa (T) 2.60 Mra (T)
-446 kPa,
)
R espu esta s
6 -1 1 9 .
(o-ia)máx = 3.04 MPa, (o-ac)m¡ix = 4.65 MPa. (r | a = 1.25 MPa, crac = 2.51 MPa
6 -1 7 1 . Z =
bt{h - t) + - (h
6-123. Kc)máx = 1.40 klb/pulg2, (o-w)máx = 77.0 lb/pulg2 6-125. 1.53 klb/pulg2 6-126. K o n c ) m á x = 1.95 klb/pulg2, (
= 792 kPa (C), crB = 1.02 MPa (T)
K )m á x
= 366 lb/pulg2, (
(° " /)m á x
—( ^ c ) m
áx
—341 lb/pulg2
6-138. 4.77 MPa 6-139. 204 lb/pulg2 (T), 120 psi (C) 6-141. crA = 446 kPa (T), a B = 224 kPa (C), No, por la concentración de esfuerzo en la pared 6-142. 14.0 kN • m
851
2t)\
4bt(h - t) + t(h - 21)2
6- 121. (o-ac)máx = 3.70 MPa, (o\v)máx = 0.179 MPa 6- 122. (o-a,)máx = 27.6 lb/pulg2, (<7pi)máx = 4.60 lb/pulg2
-
•
Lb h 3 - ( b - t ) ( h - 2í)3 6-173. a) 25.0 kN. b) 37.5 kN 6-174. 18.0 klb/pie, 22.8 klb/pie 6-175. a) w = 4.27 klb/pie. b) w = 6.40 klb/pie
6-177. 251 N-m 6-178. 73.5
klb-pie
6-179. 81.7
klb-pie nbh2
6-181. M = 2 (2
n + 1 )’írmi\
6-182. 14.9 kN-m 6-183. 26.4 kN-m 6-185. 6-186. 6-187. 6-189. 6-190.
635 kPa Z = 0.963(10-3) m3, K = 1.22 55.0 MPa cta = 225 kPa (C), < j b = 265 kPa (T) Vmáx = -233 N, Mmáx = -50N-m
6-191. 8.41 klb/pulg2
6-143. 43.1 Ib • pie C ap ítu lo 7
6-145. 27.0 MPa 6-146. 97.2 N-m 6-147.
M
7-1.
= 2861b- pie,
M '* =
176 Ib-pie
6-149. 749 lb/pulg2 6-150. 950 mm 6-151. 8.0 mm 6-153. 15.0 klb-pie
0.21818(10-3) m4, t a = 1.99 MPa, = 1.65 MPa
7-2. 4.62 MPa 7-3. 27.1 kN 7-5. I = 4.864Ó(10HS) m4, t b = 98.7 MPa 7-6. rmáx = 276 lb/pulg2, (t a b ) w
6-158. z = 845(10"6) m3, K = 1.17 6-159. 43.5 MPa 6-161. 142 MPa 4r3 = 1.70, Z = — 3 6-163. M y = 63.6 klb -pie,
Mp
6-165. Z = 114 pulg3, K
1.78
K
=
6-166. 2 = 570(10'6) m3, K
=
= 108 klb -pie
1.16
7-10. 7-11. 7-13. 7-14. 7-15. 7-17. 7-18. 7-19. 7-21-
I
= 6.6911(10-6) m4, 1.96
9.96 klb 1.36 klb/pulg2 32.1 klb 4.48 klb/pulg2 100 kN 1.50 klb/pulg2 T máx
_
Tprom T mix
4
^ 3V'
= ^
6-167. 172 klb -pie 7-22. a = —, Traáx = -w^M 6-169. Z - g . K 6 -1 7 0 .
-
(t a b ) f = 156 lb/pulg2
7-7. 3.05 klb 7-9. / = 6.6911(10“6) m4,V = 307 kN
6-154. 12.0 klb/pulg2 6-155. 122 Ib 6-157. 8.25 klb -pie
6-162.
I = t ¡¡
- 2
My = 18 klb • pie. Mp = 36 klb ■pie
7 -2 3 . 7 -2 5 .
2.08 pulg 324 lb/pulg2
MPa
852
•
R e sp u e stas
7-26. 512 Ib 7-27.
L
4/-(sen a
h
=
4 7-29. / = 1.78625(10-6) m4, r B = 4.41 MPa 7-30. / = 1.78625(10-6) m4. rmáx = 4.85 MPa 7-31. 1.05 MPa 7-37 I = 1196.4375 pulg4, V = 4.97 klb, s , = 1.14 pulg, Sb = 1.36 pulg 7-38. 1.24 klb 7-39. t¡i = 646 lb/pulg2, t a = 592 lb/pulg2
7-41. 7-42. 7-43. 7-45. 7-46. 7-47. 7-50. 7-51. 7-53.
29.4909(10~6) m4. r = 14.4 MPa 499 kN 13.8 pulg 238 N / = 0.270236(10-3) m4, F = 12.5 kN 317 Ib 3171b F b = 316 Ib. F a = 206 Ib I =
= 1196.4375 pulg4. P = 4.97 klb, fov A C . 1.14 pulg, s b = 1.36 pulg 983 lb/pie 1.83 klb/pulg2 9.36 MPa, 1.34 MPa, 1.47 MPa 215 kN/m 232 kN/m I = 0.98197(10~6) m4. q A = 1.39 kN/m, q B = 1.25 kN/m I
BD.
7-62. I = 0.98197(10-6) m4, q m ix = 1.63 kN/m 7-63. a) 12.6 kN/m. b) 22.5 kN/m 7-65. I = 145.98 pulg4,
e
e
=
=
7-73. 7-74.
+ (/!,//,, ) 3
1 1
38
^
3 [ h 2b 2 e
— ( h — 2 h x)
= 1
-
(h -
eos a)
qB-
50.4 kN/m. rmáx = 17.2 MPa = 1.91 MPa. r mix = 2.99 MPa 2.99 MPa, r B = 1.91 MPa, rmáx=2.99MPa
2 h ¡ ) 2b 2¡]
/i3 + 6b h 2 + 66,( h - 2/ii)2 7-75. 70 mm 2V3 7-77. 6 3 ° 7-7 8. < 7/1 = o, <7máx = 375 N/m 7 - 7 9 . q = (—136y2 + 424) lb/pulg, q m ix = 424 lb/pulg 7 - 8 1 . 171 mm
8—
8 —1
8—
8
—
8-
7-90. t a= 2.99 MPa, r R 7-91. r A = 7-93. 131 kN
8
C ap ítu lo 8
8-f
8-5. 8-6. 8-7. 8-9. 8-10.
<72 = 11-5 klb/pulg2, cr, = 24 klb/pulg2
8- 11.
a i,
8-13.
<71 = 600 lb/pulg2, cr2 = 0 <7, = 600 lb/pulg2, <72 = 300 lb/pulg2 Tprom= 5.06 MPa, <7) = 5.06 MPa, <72 = 2.53 MPa 128 °F. cr 1 = 12.1 klb/pulg2, = 432 lb/pulg2, pr
a b
T
p
= 252 lb/pulg2
= 8.80 klb/pulg2 p r ____jT
(/ + /') + w t ’ (t + 6 = 54.7° o-m ix = 44.0 klb/pulg2(T) 1.07 MPa 1.07 MPa < t a = 123 MPa. a B = 62.5 MPa 109 kN o -fil
wt
t')
8-14. 8-15. 8-17. 8-18. 8-19. 8-21. 8-22. (fmáx)/ = 1.28 klb/pulg2, (<7máx)c = 1.12 klb/pulg2 8-23.
b{6hxh2 + 3h2b - 8h x3) 2h + 6b h
a
8-1. 18.8 mm 8-2. 75.5 pulg 8-3.
s, =
7-54. 7-55. 7-57. 7-58. 7-59. 7-61.
-
7-82. e = —4 ---------- ---- 2a — sen 2a 7-83. e = 1.26r 7-85. / = 57.05 pulg4, rg = 795 lb/pulg2, rc = 596 lb/pulg2 7-86. / = 57.05 pulg4, rmá!t = 928 lb/pulg2 7-87. / = 542.86 pulg4, s ' = 1.49 pulg, 5 = 9.88 pulg 7-89. 1 = 43.71347(10“®) m4. q A = 145 kN/m.
8-i
8-i
8-i
8
-í
8-5
8-5
8-5
8-6 8-6 8-6
8-6
= 0
8-25. 6 6 .7 mm 8-26. crA = 0.318 MPa, r A = 0.735 MPa 8-27. a B = -21.7 MPa, r B = 0 8-29. 11.8 kN 8-30.
^
8-6 8-6
8-6
8 - 1
=
2.69 klb/pulg2,
rB = 0.869 klb/pulg2 = 359 MPa (T), a B = 71.7 MPa (T), 8-35. t a = 4.48 MPa. = 5.92 MPa 8-38. 61.9 mm, 15.5 MPa 8-39. ctb = 8.89 klb/pulg2(C). r B = 0. a A = 720 lb/pulg2 (T), T4 = 0 7A = —2.12 klb/pulg2, t i4 = 0 8 -4 1 . <
8-7
8-T
8-7j
8-7: 8-^
8--1
R espu esta s
8-42. aB 8-43. aD 8-45.
=
5.35 klb/pulg2, t b = O —88.0 MPa, td = O
=
5.56 klb/pulg2 (T), rB =
=
8-79. aA = 5.89 klb/pulg2 (C), 1.68 klb/pulg2 (T),
tb
•
853
= 0, crB =
= 0.397 klb/pulg2
O,
ac = 62.5 lb/pulg2 (C), rC = 162 lb/pulg2 8-46. a D= O, td = 667 lb/pulg2, a E = 23.3 klb/pulg2, r£ = O 8-47. (cr^) v = 16.2 klb/pulg2, (t a) vx = —2.84 klb/pulg2, ( T A)yz = 0
9-2. ov = -4.05 klb/pulg2, rxy = -0.404 klb/pulg2 9-3. o-r. = 31.4 MPa, r , y = 38.1 MPa 9-5. ay = -33.3 MPa, rxy = 18.3 MPa
= 107 MPa, r A = 15.3 MPa. aB = 0, t 8 = 14.8 MPa 8-50. crc = 107 MPa, t c = 15.3 MPa, aD = 0, t „ = 15.8 MPa 8-49.
9
_6 . oy =
4 9 .7
MPa, rxy = -34.8 MPa
9-7. cr,. = -4.05 klb/pulg2, Tx'y>= -0.404 klb/pulg2 9-9. crx' = 49.7 MPa, rxy = -34.8 MPa 9-10. oy = -898 lb/pulg2, r,-v>= 605 lb/pulg2, oy =
8-51. t„ = 0, crA = 30.2 klb/pulg2 (C)
598 lb/pulg2
8-53. un = 0, (rD)yx = -80.8 lb/pulg2, (aF)y = -501 lb/pulg2, (r£)vz = -93.9 lb/pulg2 8-54. ( aD)y = -178 lb/pulg2, (aE)y = 9.78 lb/pulg2, (’"fíyjt = (t£) vj = 0 8-55. (cr0)v = -126 lb/pulg2, { t d ) vx = -57.2 lb/pulg2, (a E)y = _ 347 lb/pulg2. (t£)v¡. = -66.4 lb/pulg2 8-57. u B = 5.76 klb/pulg2 (C), ( r tv)B = 1.36 klb/pulg2, (Trz)fl = 0
9-11. oy = -19.9 klb/pulg2, rxy = 7.70 klb/pulg2, oy = 9.89 klb/pulg2 9-13. a) ai = 53.0 MPa, a2 = -68.0 MPa, é>/;1 = 14.9°, b) T„^„n = 6 0 -5 MPa- °'prom= -7.50 MPa, ds = -30.1° 9-14. a) a , = 265 MPa, a2 = -84.9 MPa, 0,,, = 60.5°, b)7 rcn-pUinc* = 175 MPa,1 crD rom= 90.0 MPa,7 6S = 15.5° H, u , n •» 9-15. a) a x = 4.21 klb/pulg2, a 2 = -34.2 klb/pulg2,
8-58. e = 7 4 8-59. y = 0.75 - 1.5* 8-61. (o-,)máx = 16.0 klb/pulg2, (crc)máx = -
C ap ítu lo 9
0pi = -70.7°, b>Tjft.. = 19.2 klb/pulg2, o-prom= -15 klb/pulg2, 1 0 .6
klb/pulg2
8-62. 8.38 klb/pulg2
6, = -25.7° 9-17.
8-63. crA = 94.4 lb/pulg2 (T), crB = 59.0 lb/pulg2 (C)
9-18. ax = -193 MPa, a y = -357 MPa, rxy = 102 MPa
8-Í5. / = 0.4773(10-6) m4, 106 MPa, -159 MPa
9-19. ah = 121 MPa, a¡ = 126 MPa, cr2 = —16.1 MPa
- 6 6 . / = 0.4773(10~6) m4, P = 9.08 kN 8-67. cr| - 7.07 MPa, a2 —0
9-21. a¡ = 8.29 klb/pulg2. cr2 = 2.64 klb/pulg2, ab =
8
8-69. (T/j = -23.2 klb/pulg2, t d = 0, a c = 11.6 klb/pulg2, rc = 0
7.46 klb/pulg2 9-22. ^paralelo = 1.78 MPa,
8-70. cr0 = —20.8 klb/pulg2, td = 0, crc = 10.4 klb/pulg2, rc = 0 8-71. 0.286° 8-73. 3.60 MPa, 113 tornillos 8-74. o-, = 50.0 MPa.
9-23. ax = 2.29 MPa, a 2 = -7.20 kPa, 6p = -3.21°
8-75. a o —576 lb/pulg2 ( T), r D = 0. a-£ = 0, r £ =
9-29. Para el punto D: a¡ = 7.56 kPa, a2 = -603 kPa,
9.60 lb/pulg2 8-77. crF = 6.40 MPa (C). tf = 0 8-78. crG = 0. r G = 1.60 MPa
9-25. ay = —824 lb/pulg2 9-26. t
854
•
R espu estas
9-31. Para el punto A:
9-69. oy = -421 MPa, oy = 421 MPa, rxy = —354 MPa 9-70. o-, = 227 MPa, cr2 = -177 MPa, 6p = -14.9°, T0„"¡¡L) = 202 MPa. o-prom = 25 MPa, ds = 30.1°
-0.0235 klb/pulg2, Para el punto B: a\ - 0.0723 klb/pulg2, a 2 =
9-71. a) o-, = 12.3 klb/pulg2, ar2 = -17.3 klb/pulg2, = -16.3°,
-0.683 klb/pulg2 9-33. 82.3 kPa 9-34. 8.73 klb ■pulg
b) r 6S =
9-35. 1 = 7.4862(10~6) m4, o-, = 0. cr2 = -70.8 MPa 9-37. cr, = 111 MPa, cr2 - 0
klb/pulg2,o-prom = -2.5 klb/pulg2,
9-73. a) a\ = -5.53 klb/pulg2, u2 = -14.5 klb/pulg2, 9p = -31.7°,
9-38. cr\ = 2.40 MPa, < j 2 = - 6 . 6 8 MPa 9-39. (t i = 198 MPa. cr2 - —1.37 MPa
b)
9-41.
9-46. o-¡ = 233 lb/pulg2, a2 - -774 lb/pulg2, r
=4.47
klb/pulg2,o-prom = -10 klb/pulg2,
es = 13.3° 9-74. a) o-, = 88.1 MPa,
9-42. o-[ = 34.7 klb/pulg2, a 2 = -34.7 klb/pulg2 9-43. cr\ = 4.33 MPa, cr2 = —13.0 MPa 9-45. a-, = 1.29 MPa, a 2 = -1.29 MPa
9-75. o-, = 64.1 MPa, o-2 = -14.1 MPa, 0p = 25.1°,
=
T«¡£. = 391 MPa' V m = 25.0 MPa, 6S = -19.9°
503 lb/pulg2
9-79. crx - 1AA lb/pulg2. cry = -42.4 lb/pulg2, rxy =
9-47. o-i = 382 lb/pulg2, < j 2 = -471 lb/pulg2, t j * . =
22.7lb/pulg2 9-81. o-para|elo= 147 kPa, crperp = 19.5 kPa, r = 53.6 kPa
427 lb/pulg2 9-49. Para el punto ^4: cri = 61.7 lb/pulg2, a2 = 0,
9-82. o-j = 0.976 lb/pulg2, a 2 = —81.0 lb/pulg2,
Para el punto B: o-\ = 0, a 2 = —46.3 lb/pulg2
=
41.0 lb/pulg2
9-50. M = 81.8 Ib. pie, 7 = 231 Ib - pie 9-51. o-,1 = 0, cr2 = -20 kPa. r cn-pluuo = 10 kPa 9-53.
=14.8 28.7°
9-83. (Ti = 0.178 Lb/pulg2, a2 = -5.61 lb/pulg2. 9 = -10.1° = 50.9 kPa
9-85. (T\ = cr2 = 4.80 klb/pulg2 9-86. oy = 500 MPa, rxy = 167 MPa
9-57. o> = -4.05 klb/pulg2, r A,v. = -0.404 klb/pulg2 9-58. oy = 31.4 MPa. r , y = 38.1 MPa
9-87. (ri = 639 lb/pulg2, o? = —5.50 lb/pulg2. r ■*» =
9-59. oy = -898 lb/pulg2, oy = 598 lb/pulg2, r tV =
9-90. Para el planos-}' c^rom = -2.0 klb/pulg2, r máx =
322 lb/pulg2
605 lb/pulg2
6 .0
9-61. oy = -19.9 klb/pulg2. T, y = 7.70 klb/pulg2, o-y =
Para el plano x-z &Prom =1.0 klb/pulg2, r m;íx =
9-62. ai = 53.0 MPa. a2 = -68.0 MPa, 0p = 14.9° = 60.5 MPa, orprom= -7.50 MPa. 6S = 30.1° 9-63. o-i = 265 MPa, v 2 = -84.9 MPa. 6p = 29.5° 175
MPa’ °> om =
90
MPa' 9* = 15.5°
9-65.
=
19.2 klb/pulg2, o-prom = —15 klb/pulg2 9-66. oy = -56.3 klb/pulg2, oy = 56.3 klb/pulg2. t vV = -32.5 klb/pulg2 9-67. oy - -22.8 lb/pulg2, oy = -27.2 lb/pulg2. r vV = -896 lb/pulg2
Para el plano .v-z o-prom = 7.0 klb/pulg2. r máx = 3.0 klb/pulg2,
9.89 klb/pulg2
=
klb/pulg2,
9.0 klb/pulg2 9-91. cri = 222 MPa, a 2 = 60.00 MPa, o-3 = —102 MPa. T,,b » = 162 MPa mriv 9-93. cr\ = 6.73 klb/pulg2, cr2 = 0, 0 -3 = -4.23 klb/pulg2, t * = 5.48 klb/pulg2 9-95. o‘i = or2 = o*3 = —p 9-97. cr\ = 6.27 kPa. cr2 = 0, 0 -3 = -806 kPa, r niií.v ah» = 406 kPa 9-98. (T\ = 75.4 lb/pulg2, a2= -95.4 lb/pulg2, o-3 = -120 lb/pulg2, r * = 97.7 lb/pulg2
R espu esta s
9-99. Para el punto
A :
= 0, a 2 = —1.20 klb/pulg2,
•
855
10-18. eA, = 103(10-°), e y = 46.7(10-6), y xy = 718(10" 6)
Para el punto B\ cr, = 9.88 lb/pulg2, a2 = -43.1 lb/pulg2 10-19. e,. = —116( 10-6), e y = 466(10-6), yvy = 393^0 6) 9-101.
cr i
= 26.4 kPa. er2 = —26.4 kPa, 9 p
9-102.
orx
= —22.9 kPa, Try = -13.2 kPa
9-103. a)
-
10- 21. e, = 1039(10-6), e2 = 291(10-6), y ^
-45°
= 53.0 MPa, a 2 = -68.0 MPa, 9 p l = 14.9°
cr¡
9 p = -24.8°, 6 S = 20.2° 10-23. a) t, - 773(10“6), e 2 = 76.8(10"6), b> ^ „ „ = 696(10-6), c )y £ = 773(10-6)
10-25. a) e, = 946(10-6), e2 = 254(10-6),
= -309(10-6), ey = -541(10"6),
b),c) y- = 344(10-6)
= 393(10 6)
10-29. a) e, = 1434(10'6), e 2 = -304(10-5), b) y.-L. = -----------/ 1738(10-6), rom= 5 6 5 ( 1 o - 6 ) » -p ro m enplan»
= 718(10-6)
10-6. a) e, = 138(10“6), e 2 = -198(10~6), 0,,, = 13.3°,
10-30. a) 6l = 487(10-6), e 2 = -400(10-6), 9p = 28.9°
dp2 = -76.7° b) y 0S =
jX .
9S =
10-37. 6 ) , d p]
= 30.2°,
120°, = 748(10-6), eprom= 665(10_c), -14.8° y 75.2°
10-9. a) e, = 441 (10-6), e2 = -641(10 6) , ^ i = -24.8°, = 65.2°,
6 p2
W r j s . - i. 0 8 ( i 0 -3), €prom = -io o (io -6), 9S
= 20.2° y 110°
10-10. a) £, = 283(10'6), e, = -133(10-6). 0 p l
=
84.8°,
= -5.18°,
9 p2
b>V ¿ L . = 417(10"6), eprom= 75.0(10-6), 6 , = 39.8” y 130° 10-11. a )e, 1e, = 2368(10^). e2 = 182(10“6), 9 p2
= -52.0°,
10-38. a) 3.33 klb/pulg2, b) 5.13(103) klb/pulg2 10-39. cr, = 10.2 klb/pulg2. cr2 = 7.38 klb/pulg2 10-41. 0.614 10-42. 17.4 GPa,-12.6(10-6) mm 10-43. o-, = 8.37 klb/pulg2, 10-45.
ex —
10^46.
ex-
cr2
= 6.26 klb/pulg2
ev = 0, y xy = —160(10“6)( r = 65.2 N - m
= 2.52(10-3)
10-49.
P
2>vM 6vM » — 2E b h ’ '- u E h 2 = 13.0 klb, y xy = 13.7(10-6)
10-50.
P
= 26.1 klb,
10-47. AL a b =
y xy =
27.5(10-6)
10-53.
ex
= 2.35(10-3), e y = -0.972(10~3),
= -2.44(10-3) 10-55. 0.206 pulg 10-57. 0.800 mm, 315 MPa 10-58. 0.680 mm ez
l>) y j * . = 187(10 ), eprom= 275(10 ), -7.76° y 82.2°
10-13. a) e, = 713(10~6), e2 = 36.6(10“6), 9 p
= 30.7(103) klb/pulg2, v = 0.291
E
10-51. e.t = 23.0(10-6). y xv = 3.16(10-6)
= 37.2°,
9S =
= 887(10-6), eprom= 43.3(10-6), 8 S = 16.1°
10-31. e, = 1046(10-6). e2 = -306(10-6),^ = -15.4°
-31.7° y 58.3°
9p2 =
b>y
b>
= 335(10-*), eprom= -30.0(10-6),
10-7. a)ie, e, = 1039(1 1039(10’ 6), e2 = 291(10
= 22.4(10-6)
10-27.
= 103(10-6), ev. = 46.7(10“6), yxy
= 946(10-6)
10-26. a) 6] = 192(10-6), e2 = -152(10"6),
10-3. e.t. = —116( 10-6), ey = 466(10“6),
10-5.
= 693(10-6), c)y*
b>
y ,y = —423(10-6)
y
30.2°, 9 S = -14.8
y-T£.= 1-08(10-3), eprom= -100(10-6),
-30.1°
C ap ítu lo 10 10-2.
=
10-22. e, = 441(10-6), e2 = -641(10-6),
b) T„%„ = 60 5 MPa-o-prom= -7.50 MPa, 9S =
= 665(10 ), 9 p
c p ro m
= 748(10“6),
=
42.9°,
pr
b) (y.ty)máx = 677(10-«), eprom= 375(1Q-6),
10-59.
10-15. e(. = -309(10“6), ey = -541(10“6), y ,y = -423(10'6)
1 0 -6 1 .
10-17. ex' = —116(10-6). ev- = 466(Hr6), yxW = 393(10-6)
10 -63 . c r j
pr
6cir _ 2E t ^ _ e|ong — 2E l ^ _ Ad - 3.19 mm, AL = 2.25 mm £ ' = 1.35£
"> +i cr% —2(Txory +i 3^r J?v
2
= cry
856
•
R espu esta s
11-10. 4 pulg
10-65. 105 klb/pulg2 10- 66. 121 klb/pulg2 10-67. 10.2 klb/pulg2 10-69. 28.9 klb/pulg2 10-70. 25 klb/pulg2 10-71. 23.9 MPa 10-73. Sí 10-74. Sí 10-75. 0.833 pulg 10-77. 1.88 pulg 10-78. 2.40 pulg 10-79. 2.44 pulg 10-81. 5.38 10-82. 19.7 klb/pulg2 10-83. 178 MPa 10-85. 1.59 pulg 10- 86 . 1.59 10-87. 1.80 10-89.
=
Te
1 1 -1 1 .
11-17.
11-21.
62
X
30
X
26
= 11.9180(10“6) m4, P = 2.90 kN
I =
15.3383(10"6) m\
11-23.
11-26.
I
= 0.2174625(10" 3) m4, P = 85.9 N
I = s"
95.47 pulg4, s = 0.710 pulg,
T2
11-33. d — dii , /— 3P L
11-34.
; el esfuerzo es constante en todo el claro.
2 b 0t 2 3w L2
; el esfuerzo es constante en todo el claro.
b 0h 2
10- 101. ej = 996(10-6), e2 = 374(10'6), 6pl = -15.8°,
= 622(10-6), ép[om= 685(10-«),
b0 2 L2
,
11-37.
b = —z x
= lfpulg
11-38.
d
10-102. No
11-39.
d =
10-103. No 10-105. En la parte superior 1.2(10-3) pulg,
11-41. 34.3 mm 11-42. d = 12pulg
= 29.23y 119°
en la parte inferior,—1.2(10-3) pulg
C ap ítu lo 11 11-1. 211 mm, 264 mm 11-2. 3.40 pulg 11-3. 1 = 19.162(10-6) m4, P = 2.49 kN 11-5.15.5 pulg 11-6. cr
= 0.568 pulg,
= 2.84 pulg.
11-35. a =
= 74.2°,
s'
11-27. 35.6 pies 11-29. 0.643 pulg. Sí, la viga soportará la carga con seguridad. 11-30. 178 Ib, 12.0 pulg w0 11-31. w - — x
10-99.
Bs
= 9.52 kN
11-25. / = 0.2174625(10"3) m4, s ■= 26.8 mm. s' = 10.7 mm
1.45 pulg No habrá fluencia No habrá fluencia 1.62(103) klb/pulg2
0 p2
p
11-22. 8.0 pulg, 3200 Ib
10-91. M. 10-93. 10-94. 10-95. 10-98.
I
X
11-18. I = 11.9180(10-6) m4. No 11-19. « = 106 mm, s - 44.3 mm
y jjM 2 + T 2
10-90. Me = V M 2 +
5 pulg
11-13. W24 11-14. W14 11-15. W12
1.21 klb/pulg2< 22 klb/pulg2, t = 371 lb/pulg2 < 12 klb/pulg2. Sí
= lfpulg
11-43.
d
11-45.
d =
11-46. 11-47. 11-49. 11-50.
21 mm
lgpulg
19 mm
33 mm 2.71 pulg 4p 11-51. y = -
=
11-7. W16 X 31 11-9. La viga falla debido al esfuerzo de flexión.
l¡pulg
11-53. 11-54. 11-55.
b = 5 4 .7 m m
W 1 0 X 12 44 m m
1/3
R e sp u e sta s
1 1 -5 7 .
W18
50
X
12- 21.
Wfl3
12- 22. ^máx
12-2. 75.5 klb/pulg2
12-23. 1.375 N
PLr 48 E l
12-5. Vi = 7777[3(L - a)2*! - 3a(L - a)2 - 2(L - a)3], 6El
2£7
«2 =
2
. 1 /
7
• ' " S ? 1' 1
(” '
u
a
~ L ) + a% t u = / i t i M"~ “ 3/' 2)
12-9. vmix —
P
3E Iab { ( ‘
5tv073 12-27. eA = 1927/’ V~ ì £ Ì F 7 T W L V - ' 6* ' - ^ w0L a
- è ) ' 1- " 1}
12-31. ^máx
12-34. v =
- M 0L
EJ . V -
MnL
-P L 3
v =
- M 0X 2
-
2 £ / ■^máx -
m
o
12-15.
X - X - 2L X)'
4M0L 12-18. «e
12-39.
A/0
1920
6720 Ib • pulg2
El
El
12-41. v = Y j [-0.0833a:3 + 3{a: - 8)2
5M0a2 - g£/
+ 3(a: - 16>2 + 8.00a:]
2
v 2 = ar-'j, [ -3Ex \ + 8 L 2x 2 - 5 L 3] , t>c =
12-42. 0 = ~ [2.25a:2 - 0.5a:3 + 5.25 (a: - 5 )2 El + 0 .5 (a: -
67/
5 )3 -
3 .1 2 5 ] k N - m 2,
v = - ^ y [0 .7 5 jc 3 - 0 .1 2 5 a :4 + 1 .7 5 (a: - 5>3
M0L 1 2 -1 9 .
0a
=
67/
Pab -
- 13.3(jc - 36)3 + 1680a: - 5760] lb-pulg 3
7 T r[ -^ i + L *il> 3EI - ®i = 76EIL Mi 6E IL
Pb 3 ^ p (a + b) ,
7 / “ 5TX + — £ - < ' - “>■
12-38. v = ~ [—8.33a:3 + 17.1 (a: - 12)3 El
- M 0L2 wl*-¿/2 = 16E l
M0a 12-17. 0,4 = — , «mix
- 12)4 - 24a: + 136 klb • pie
O
+ 18.33 + 4000a:] lb-pulg 3
1
£7
MnL
O
12-37. v = -J-[—1.67jc3 - 6.67(x - 20 )3 El
0l 2
2£/
A/n ,
12-14. ^ = - 3^ 7 . f = ^ e Í L
-2.5x2 + 2{x - 4)3 - h x - 4 )4
12-35.
12- n - ^ = “ 8 - W ’ Vc = -6 e T 12-13. K ix -
7/
+2(x - 12)3 +
i-(ú -ñ +j-} 27 J■*A lBCJ aB b 3 PL 2
_ 6PL?
Ebt 3 12-33. 12 pies, 9 Ib • pie
-P ’ 1
12-10. 0C =
máx
1207/ P73 12-29. vB = 27/o - PL 3 12-30. vc = 327/c
3P U 256E l
Paia — L) Px 1 r
• *'> *
0
Anáx
Vi = ¿ f y N “ 3(L “ a)X2Í
12-7.
[4Xi + a - 4L], vB = 2^=7 (« ~ 4L)
-JÜSÍL. 457/ 0.00652vvo74 12-26. Umáx ~ El 12-25.
12~3- °A = - Î 6 L E f V = Û ï (4x2- 3L2)'
12- 6. vmÁX —
,
-18.8 klb *pie3 El
12-1. 3.02 klb/pulg2
k'máx
,
857
eB = I E ï ’ v' = ï ï ï ï ï [- x ' + 4ax' - 6a]' wer* wa V3 ~ 24E l
C ap ítu lo 12
VV^I
•
+ 0 .1 2 5 {a t -
5 )4 -
3 .1 2 5 a ] k N - m 3
858
•
R espu esta s
12-43. v = -rr[-0.00556*5 + 12.9(* - 9)3
El
+ 0.00556{^ - 9)5 - 256x + 2637] klb - pie3 1 12-45. V = EI + y (x - 4.5}3 + 67.5* - 90 kN • m3 12-46. v = — [-0.05a:3 - 0.000741*5 + 0.9<* - 9)3
bl
PL3 3PL2 12_7°- °A " ~8£/~’ Ac " 6EI 12-71. Am¡Sv =
„
IPa2
12' 7312-74. 6.54°
vc - —0.765 pulg
12-75. 0.987 pulg
= J_ V El w + 24
12-77. 8.93 N 12-78.
f 4x4 + ' f i x - L>3 3 +~ X
4
,
-
Iw L4 24
W L?
c "
12-55. 0
0
12-58.
A„ =
- 3P°2 B~ E l'
12-57. O
_
5 P a 2
12-85. 0A = 0B = 0.175°
7w
PL3 3E l
- 4Pa3 c ~ 3E l A
_
p L l 12-87. 9a -- 12E l' " 8EI
12-89. 0.933 pulg
2 5 P 0 Í
dc ~ 2ET' Ab ~ ~ 6 E f 12-90. 0.895 pulg J,
Pa2 , Pa3 B12E l' c Y2EI
12-59. 6 p — ------ , A/~ = -----12-61. ^máx
Mol 0 A 2EI ’’ máx
12-62.
5PL2 16E l' Amáx
12-63. 12-65. 12- 66.
6máx Ac -
-
5M0L2 0C 6EI
12-93. 1.90 pulg
3PL3 1625/ 4M0L 3EI
0.00802PL3 El 84 8 6.43 Ib. 2.14 pulg
12-91. 0.429 pulg
M0E2 8E l
Ac " £ / ’ ^ ' £ 7 ’ 0 b " 1 2 -67 .
Y¡
fc//i =
12-83. W12 x 14,0.560 pulg, 0.903 pulg
3937. , 3937.5 50 625 ------- Ac = ------El El 2E l'
„2 IIP a1 _ 481 Pa3 12£/ ’ máx ” 288£/
12-82. 2.12 pulg
12-53. -3.64 mm 12-54.
A c- =
40
12-81.
IwL4 24 El
Vc
Ma(b- + 3ab2 - 2a3) 6EI(a + b)2
=
12-79. 0A
wL? 0A = 6EI 12-51.
9Pa3 Ac “
12-49. 0A = -0.128°, 0B = 0.128° 12-50.
llP a3 48£/
+ 0.0333(* - 9)4 + 0.000741 (x - 9)5 + 8.91*] klb . pie3
12-47. 0B = 0.574°, vc = 0.200 pulg
25Pai 6EI
5 /V 2EI
12-69. 0C =
12-94. W16
X
50
12-95. W14
X
34
12-97. A/i =
Pa2(3b + a) 3FJ
1 16
40
£ ? 0 c~
Ti
12-98.
k
— 3E l )) 1
12 -99 .
\2E l
8JG
M0ab(b - a) 3EI(a + b)
R espu esta s
1 2 -1 0 1 .
•^máx _
= f tan 6. ymix = 0.736 pulg. *máx = 3.09 pulg
P
1 2 -1 2 7 .
1y
^m áx
A x = 0, Ma 2 ’ ^y
12-103. A x = 0, By = -~ P , . „
12-105. A x = 0. By = 12-106. Bx = 0, A y Mb
12-107.
3w L
16
5w L , ,4 V= —— ,
394 Ib, B v
=
Ai* - 3 P ¿
16
P 2
T^ = ^
=
=
12-129. M A = M B = ~ P L , A y = By = ^ P ,
wL2
CV= Z5y = Í P
~ 8~
12-130. Sy = 634 Ib, /ly = 243 Ib, Cv = 76.8 Ib
3.21 klb,
= 122 klb" pulg
1
12-131.
.
.
2
. „
_
=
12-133. 12-109. Cx = O, By
12-134. . .
= 10.7 klb 3A
12-110. Tac =
V 9w0 /
14.4 klb, Cy = 1.07 klb j.
=
2E 2 w L \
8 ( A 2 E 2L í
3k w L *
*resorte ~ 24£/ +
1
= J ^ L , A y = 5 ^ 0^ . ^ 4
A r = 0,
A v
859
PL
12- 102. 5.82 pulg
.
PL
Ay —
•
\
PL 2EI ----máx
W0 /
» = ^ 192£7
^ 4
12-135. v = -¿yt-SOx3 + 46.25<* - 12)3
+ 3£,/,L2)
- 11.7
tví/ 12-111. M,, = , Mb = 12 12
700* - 412 560]
wL~
12-113.
y ~
1& V3EI
3w L 13 , ^32~’ v = 32 12-138.
.,
Mo ..
12-114. M . = T ,M B = T w 12-115. A y — p ^>4 12-117.
. •^y
M0 12-139. „
PL
P
g »B.v
2
3Mq ^
3M0 „
i r
'tT
>
>
2L
12-118. 5 V= -P,
M a
2L
’ By
’
®
PL 3
1
3M0 _ .
A ,
= 81.3 N, _
—P
12-142.
a =
12-143. M0 = 5»va2/48
M B
= 1.76 klb • pulg
— , >4y = ^ ^ L
By =
13-.. K, - ¡- f 13-2. P„ =
kL
13-3. Pr = f
12-123. 0.708 pulg
13-5. 1.74 pulg
2.15 kN.
Cy = Dy = Ey = Fy = 3.42 kN
13-6. 2.58 pulg 13-7. 1.81 pulg
12-126.
Ma
P l
= — ,Mb =
3PL
. fi, = 0, B y = P
= 138 N, C y = 18.8 N
llw Z ,
3L/16
C ap ítu lo 13
12-122. By = gWL, Cv =
By
12-141. By - Cy — JQ . A y ~
PL = — , A v = -P, /l, = 0
= 0.639 klb • pulg,
12-125. / l v =
_ L “L a - — B ~ 4EV c ~ 4El
, C j. — 0
12-119. 0.414L 12-121.
wL4
12—137. ^máx
13-9. 377 klb
2wL
^ , Dy ~
2wL
^ , Dj¡ = í
860
•
R espu esta s
13-10. 13-11. 13-13. 13-14. 13-15. 13-17. 13-18. 13-19.
94.4 klb 20.4 klb 8.43 pulg, 245 klb 6.07 pulg 4.73 pulg 475 klb 28.4 klb 58.0 klb
13-21.
d¡
13-67. 13-69. 13-70. 13-71. 13-73. 13-74. 13-75. 13-77. 13-78. 13-79. 13-81. 13-82. 13-83. 13-85. 13-86. 13-87. 13-89. 13-90. 13-91. 13-93. 13-94. 13-95. 13-97. 13-98.
= 1 i pulg
13-22. 73.2 klb 13-23. 37.5 klb .
-I
«
13-25. d = 14 pulg 13-26. 13.2 klb = 2g pulg,
= 2 pulg
13-27.
d A B
13-29. 13-30. 13-31. 13-33. 13-34. 13-35. 13-37. 13-38. 13-39. 13-41. 13-42.
2.12,4.32 8.46 kN Eje x - x 8.94, eje y - y 3.98 2.38 42.8 kN 2.42 klb 5.55 kN/m No,^1j3 fallará 4.31 kN 18.3 lb/pie 35.1 klb
13-45. 13-46.
P _ Cr M m¿x
” 2EI A T2 4 L f fe 1 ? L \ = - —, — tan ( A/r— — 2\ P VV E l 2 )
m ^máx 13-47. ■
13-49. 13-50. 13-51. 13-53. 13-54. 13-55. 13-57. 13-58. 13-59. 13-61. 13-62. 13-63. 13-65. 13-66.
d BC
w EI p P
fi1 - sec— k L 2
0.387 pulg & m áx = 4.57 klb/pulg2 <
]
< rY
31.4 kN (Tméx =
6.24 k'.b/pulg2 <
(T y
1.12 Sí P'
= 390 klb,
24.3 klb 73.5 klb 7.89 kN 36.8 klb 9.19 klb 1.23 pulg, 259 klb
P =
c rm ix
139 klb
= 15.6 klb/pulg- <
< rY
13-99. 13-101. 13-102. 13-103. 13-105. 13-106. 13-107. 13-109. 13-110. 13-111. 13-113. 13-114. 13-115. 13-117. 13-118. 13-119. 13-121. 13-122. 13-123. 13-125. 13-126. 13-127. 13-129.
2.86 klb/pulg2 8.34 m 3.20 MN, 70.5 mm (35.6,13), (70.2,13) 14.6(103) klb/pulg2 1323 kN 5292 kN 8.99 pies 18.0 pies 15.1 pies W6 X 12 W6
X
15
W6 x 9 33.9 pies 33.7 pies W8 x 48 a = 1.22 klb/pulg2 < 18.2 klb/pulg2 1.92 pies 3.84 pies 380 klb 347 klb 0.808 pulg 1.42 pulg 1.00 pulg a
= 7¿ pulg
9.48 pulg 8.68 klb 27.7 klb 4.22 klb 95.7 klb 98.6 klb 1.48 klb 8.83 klb 18.4 klb 3.91 klb 80.3 klb 79.4 klb 31.7 klb 4.07 klb La columna es segura. 703 Ib Sí Sí 5.76 klb 9.01 klb 57.6 klb 1.34
R espu esta s
13-130. 5.92 mm
1 4 -2 9 .
13-131. 77.2 kN
14-30.
13-133. 25.0 klb 14-31.
13-134. 34.2 klb/pulg2
14-33. 14-34. 14-35.
C ap ítu lo 14 1
14-38.
14-3. 0.372 J 14-5. 26.2 J
861
11.7 mm
B
12El 4M0a eA = 3E¡ 5.46 pulg 0.100 mm 3.15“ 4 , P S tt ±
T2vv
14-1. U = — {cr2 + a j - 2vcrx
•
+ i
^P R r „ 3- s e n e mr
o-máx = —
14-39. A =
14-6. 4306 Ib- pulg
+
„
1
]
6 4 P R 3n
6d*
14-41. 6.10 pulg 14-7.
V¡
'
14-42. a) crmiix = 45.4 klb/pulg2, b) crmáx = 509 lb/pulg2
= ^
24El
14-9. 45.5 pies’Ib 14-10.
Ut
14-43. 1.75 pies 14-45. 0.499 m/s
=
El
14-11. 2.00 pies-klb 14-13.
c) o-míx = 254 lb/pulg2
U¡ =
14-14. U¡ =
14-46. 359 MPa 14-47. 69.6 mm
w2L5
14-49. 26.0 klb/pulg2
240El
14-50. 43.6 klb/pulg2 14-51. 850 mm
w2L3
20CM
14-15. 0.129 pies • klb
14-53. 5.29 mm 14-54. 307 MPa 14-55. 95.6 mm
w2^ 14-17.
14-18.
U¡
..
14-57. h =
= 504E/
3 P2 I/3
’ la energía en la viga triangular es 1.5 veces
mayor que en la viga de sección transversal constante. 14-19. 2.23 pulg-Ib 14-21.
u¡ = p L
9 1 + 48EI 8JG
3EC
a m¿\l - 2 W Le
14-58. 4.49 klb/pulg2 14-59. 7.63 pulg 14-61. 7.45 pulg 14-62. 0.661 pulg 14-63. 237 MPa, 3.95 mm 14-65. 6.20 klb/pulg2 14-66. 4.55 klb/pulg2, 0.799 pulg
14-22.
14-26.
7C V 8
14-67. 0.226 pulg, 3.22 klb/pulg2
3.50PL AE
14-69. 16.7,
MÜL El
14-27. 1(10 3) rad
14-70. 0.481 pulg, 10.1 klb/pulg2 14-71. 0.00191 pulg 14-73. 0.00112 pulg 14-74. 11.3 mm
862 • Respuestas 14-75. 1.50 mm
5w L 4 8E l
14-113. Ar =
14-77. 0.0420 pulg 14-78. 0.0132 pulg
wL4
14-114. A„ =
4EI
14-79. 0.0149 pulg 14-81. 4.88 mm 14-82. 0.367 mm
14-118. 0.00112 pulg
14-85. 0.163 pulg
14-119. 11.3 mm
14-86. 0.156 pulg
14-121. 1.50 mm
23P a 3 24£/
C
14-122. 0.0482 pulg 14-123. 0.0420 pulg
14-89. 0
6c ~
14-125. 0.0132 pulg
5Pa2 6EI
14-126. 0.0149 pulg 14-90.
e
14-127. 4.88 mm
6E l
A
14-129. 0.367 mm
14-91. 0.369 pulg
14-130. 0.0375 mm
14-93. 0.122 pulg
14-131. 0.163 pulg
14-94. 4.05(10-3) rad 14-95. 1.54 pulg 14-97. 47.8 mm
14-134. ec = 14-98. '
-
m
23P L 3
14-133. Ac =
24EI 5 Pa2 6EI
.
14-135. dA =
Pa2
6
E l
14-137. 0.369 pulg 14-99.
5M 0a 2 6E l
c
14-138. 0.122 pulg 14-139. 4.05 (10~3) rad
14-101. 3.24 mm
14-141. 1.54 pulg
14-102. 0.289°
14-142. 47.8 mm
14-103. 0.124° wL4 14-105. Aa-— c 4£7 _
w l)
14-146. 0.289°
8E l
14-147. 0.124°
14-107. 57.9 mm
0C ~
2iva3
5w a 4
3EI ’
8EI
14-149. Ac = 14-150.
14-110. 14-111.
' c
120E
l
5WqL 3 °a ~
192E1
E l
14-145. 3.24 mm
°B ~
14-106.
14-109.
5 M 0a 2 6
14-143. Ac =
wL4 4EI
_ wL} B ~ &EI
14-151. 57.9 mm 14-153. 6C -
2wa3 , Ac 3EI
1 228 800 lb • pie3 E l
E l
14-117. 0.00191 pulg
14-83. 0.0375 mm
14-87.
640 0001b-pie3
14-115. Ac* =
5lVi7
8 ~El
R espu esta s
A p én d ice A
A-10. x = 33.9 mm.}' = 150mm, Ix- - 101 (IO6) mm'
/y = 10.8(106) mm4
A -l. 2.0 pulg
A - ll. x = 33.9 mm. y = 150 mm, 7xy = 0
A-5. 94.8(106) mm4
A-14. /,. = /„• = 85.3(106) mm4
x
= 68.0 mm.
lx.
= 49.5(106) mm.
= 36.9( IO6) mm4
1
A-3. 5 = 3 pulg, y = 2 pulg, Jx = 64 pulg4. 7y = 136 pulg4
>
A-2. 207 mm. l x- = 222(106) mm4, 7V= 115(106) mm4
A-6.
•
A-15.
97.75 pulg4
= 5.09(106) mm4. /,, = 5.09(106) mm4, Ixy
A-17. /max = 64.1 pulg4 , /mtn = 5.33 pulg4
A-7. ix. = 124( 106) mm4,/,. = 1.21(109) mm4
A-18. /mSx = 64.1 pulg4 , /mln = 5.33 pulg4
A-9. 36 pulg4
A-19. Imix = 4.92(106) mm4. 7min = 1.36(106) mm4
863
índice
A
Acero, características del, 87-90, 94 Alabeo, ejemplo de, 228, 374 Alargamiento longitudinal, 107 porcentual, 91 American Institute of Steel Construction (AISC), 558, 703,715 American Institute of Timber Construction (AITC), 704 Análisis de deformaciones unitarias pequeñas, 73 Ángulo de torsión. 186, 206-214, 233 área transversal, 207-208 convención de signos, 208-209 definición de, 186 determinación de, 206-207, 210-214 fórmula de, 207 par constante, 207-208 par interno, 209 tubos de pared delgada, 233 Área, 796-812 centroide de un, 796-798 compuesta, 800 momento de inercia de un, 799-802, 805-807, 807-809 círculo de Mohr, 807-809 eje inclinado, 805-807 teorema del eje paralelo, 799-800 producto de inercia de un. 803-804 promedio, 232 propiedades geométricas de, 796-812 transversal, 24, 51,125, 207-208 ángulo de torsión, 207-208 de conector sujeto a cortante, 51 de miembro en tensión, 51 definición de. 24 deformación elástica, 125 Armaduras, 764-769, 784-787 ecuación para trabajo virtual, 764 fuerzas virtuales aplicadas a, 764-769 cambio de temperatura, 765 determinación de, 766-769 errores de fabricación, 765 teorema de Castigliano aplicado a las, 784-787
Cantidad adimensional, 71 Caiga, 7-10, 27, 52, 421-449. 608. 702-709, 714-718. 750-755, 763 axial, 121-183,483, 730-731 concentraciones de esfuerzo, 162-167 deformación axial inelástica, 168-172 deformación elástica de, 124-131 energía de deformación elástica, 731 esfuerzo en ejes, debido a, 483 esfuerzo residual, 173-175 esfuerzo térmico, 154-158 fuerza axial interna, 730 método de fuerza para análisis, 145-146 miembro estáticamente indeterminado con carga axial, para, 39-144 principio de Saint-Venant, 121-123 principio de superposición, 138 combinada(s), 421-449 estado de esfuerzos causados por, 427-438 procedimiento para determinación de, 427-428 recipientes a presión de pared delgada, 421-424 crítica, 667-670, 672 columna ideal, 672 definición del, 668 equilibrio neutral, 669, 672 fuerza perturbadora, 668 fuerza restauradora del resorte, 668 punto de bifurcación, 669, 672 de Euler, 672, 676 de impacto, 750-755 carga estática equivalente, 752 desplazamiento estático, 752 factor de impacto, 752 resorte equivalente, 752 distribuida(s), 608 ecuación del trabajo virtual para carga en general, 763 excéntrica, 714-718 columnas de acero, 717 columnas de aluminio, 716 columnas de madera, 718 diseño de columnas para, 716-718 fórmula de interacción 714-715 fórmulas disponibles de columnas, uso de, 714 funciones de Macaulay para la descripción de, 608
866
•
Índ ice
internas resultantes, 7-10, 27, 52 427 coplanares, 9 determinación de, 27, 52 diagramas de cuerpo libre, 10 ecuaciones de equilibrio, 10 fuerza cortante, 8 fuerza normal, 8 momento de flexión, 8 momento de torsión, 8 par, 8 reacciones en los apoyos, 10 tres dimensiones, 8 triangular, 608 uniforme, 608 Carga concéntrica. 702-709 diseño de columnas, 702-709 de acero, 703, 706 de aluminio, 704, 708 de madera, 704, 709 procedimiento para, 705-709 Cargas externas, 3,4-5 fuerza del cuerpo, 5 peso, 5 fuerzas sobre la superficie, 4 carga linealmente distribuida, 4 concentrada, 4 resultante, 4 Cedencia, 88, 540-541 de materiales dúctiles, 540-541 definición de, 88 Centro de cortante, 406-411 definición del, 407 procedimiento para la localización de, 408-411 Centro de curvatura, 588 Centro de flexión, 407 Centroide, 10,796-798 área total de, 797 áreas compuestas de, 797 definición de, 10, 796 distancias algebraicas al, 797 Círculo de Mohr, 474-482, 512-516, 807-809 desarrollo del, 474-475 determinación de, 513, 515, 807-809 deformación unitaria cortante máxima en el plano, 513, 515 deformación unitaria principal, 513-514 momentos de inercia de un área, 807-809 teorema del eje paralelo, 799-800 pasos para trazarlo, 476-477, 512 transformaciones de deformación unitaria en el plano. 474-482,512-516
determinación de, 512-516 solución gráfica para, 474-482 Coeficiente de dilatación térmica lineal, 154 Columnas, 667-723 acero, diseño de, 703, 706, 717 para carga concéntrica. 703, 706 para carga excéntrica, 717 aluminio, diseño de, 704, 708. 716 carga concéntrica, para, 704, 708 carga excéntrica, para, 716 carga crítica, 667-670, 672 definición de, 667 diseño de, 702-709, 714-718 carga concéntrica para, 702-709 carga excéntrica para, 714-718 fórmulas para, 714-715 fórmula de la secante, 687-694 ideal, 670-675 carga de Euler, 672 con soportes articulados, 670-675 definición de, 670 madera, diseño de, 704, 709, 718 pandeo inelástico, 695-697 varios tipos de soportes, 676-679 madera, diseño de. 704. 709, 718 para carga concéntrica, 704, 709 para carga excéntrica, 718 Comba, ejemplo de, 228 Compatibilidad, 134-144,146, 222-225 de miembros con carga axial, 140-144 de miembros con carga de par, 222-225 determinación de, 134-144,146, 222 Componentes cartesianas de la deformación unitaria, 72 Comportamiento de materiales, 3, 22, 24 anisotrópicos. 24 cohesivos, 22 continuos, 22 homogéneos, 24 isotrópicos, 24 Comportamiento elástico, 88 lineal, 94 no lineal, 92 Comportamiento esfuerzo-deformación unitaria, 91-93 de materiales dúctiles, 91-92 de materiales frágiles, 93 Concentración de esfuerzo, 162-167, 242-244, 343-345 en cargas axiales, 162-167 en esfuerzo de torsión, 242-244 en flexión, 343-345 Concreto, características del, 94 Condición cinemática, definición de, 139
Í n d ic e
Condiciones de compatibilidad, 139,140, 640, 651, 760 definición de, 139, 140, 640 para vigas estáticamente indeterminadas y ejes, 651 trabajo virtual, relación con, 760 Condiciones de continuidad, 592 Condiciones en la frontera, 592 Conexiones a cortante sencillo, 33 Conexiones simples, diseño de, 50-58 área necesaria para, 51 -52 resistir el esfuerzo cortante, 52 resistir el esfuerzo de carga, 51 área transversal, 51 coneclor sometido a esfuerzo, 51 carga interna, 52 miembro en tensión, 51 Conservación de la energía, 744-747, 760 Contracción lateral, 107 Convenciones de signo, 126, 208-209, 264, 465-457, 505 ángulo de torsión, 208-209 deformación elástica, 126 desplazamiento por integración, 591 pendientes, 591 transformación de deformación unitaria plana, 505 transformación de esfuerzo plano, 456-457 vigas, 264 Cortante directo, 32 doble, 33 interno, 35 puro, definición del, 34 sencillo, 33 simple, 32 Cortante transversal, 373-419, 736-737 centro de cortante, 406-411 en miembros rectos, 373-375 energía de deformación unitaria elástica, 736-737 esfuerzos cortantes en vigas, 378-386 factor de forma, 736 flujo de cortante, 392-396, 401-405 en miembros combinados, 392-396 en miembros de paredes delgadas, 401-405 fórmula de cortante, 375-377 Criterio de cedencia de Tresca, 540-541 Criterio de falla de Mohr, 544-543 Curva elástica. 585-588, 589, 593, 611-614, 620-626 funciones de discontinuidad, uso de, 611-614 pendiente y desplazamiento por el método de área de momento, 620-626 pendiente y desplazamiento por integración, 589, 593 punto de inflexión, 586
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reacciones sobre vigas y ejes estáticamente indeterminados por el método de superposición, 654 relación entre momento y curvatura, 587-588
Definición de endurecimiento por deformación, 95 Deflexión, 556,585-665 curva elástica, 585-588 definición de, 556 funciones de discontinuidad para, 607-614 integración de, 589-601, 640-642 pendiente y desplazamiento. 589-601 vigas y ejes estáticamente indeterminados, 640-642 máxima, 688-689 método de los momentos y área para, 618-626, 645-649 pendiente y desplazamiento, 618-626 vigas y ejes estáticamente indeterminados, 645-649 método de superposición para, 632-636, 651-659 uso de, 632-636 vigas v ejes estáticamente indeterminados, 65 i-659 pendiente y desplazamiento, 589-601, 618-626 integración de, 589-601 método de área momento para, 618-626 vigas y ejes estáticamente indeterminados, 639, 640-642, 645-649 método de área momento para, 645-649 método de integración para, 640-642 método de superposición para, 651 -659 reacciones sobre, 639-640, 651-659 Deformación, 3, 69-70, 88, 291-294 axial inelástica, 168-172 definición de, 69-70 elástica, 121-131 alargamiento, 126,127 carga y área transversal constantes, 125 contracción, 126, 127 . convención de signos, 126 desplazamiento relativo, 124 miembro con carga axial, 121-123 flexión de un miembro recto, 291-294 máxima cortante en el plano, 508, 511, 513, 515 determinación de, 508, 511 permanente, 95 plástica, 88 por flexión, 291-294
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Índice
unitaria, 69-83, 503-553, 725, 727-729 análisis de deformaciones unitarias pequeñas, 73 como deformación, 69-70 como método de energía, 725, 727-729 componentes cartesianas, 72 ingenieril, 87 nominal, 87 normal, 70 transformación de, 503-553 unidades de, 71 unitaria cortante, 71.188. 505, 506-507 definición de, 71 transformación de deformación unitaria plana, 505, 506-507 variación lineal en, 188 unitaria máxima absoluta por cortante, 520-522 definición de, 520 deformación plana y, 521 determinación de, 521 -522 unitaria normal promedio, 70, 74-77, 334, 505, 506-507 definición de, 70 determinación de, 74-77 en vigas curvas, 334 transformación de deformación unitaria en el plano, 505, 506-507 unitaria plana, 503-504, 505-516 círculo de Mohr, uso del, 512-516 definición de, 504 deformación unitaria cortante máxima absoluta, 521 ecuaciones generales de, 505-511 transformaciones de, 505-511 unitaria principal, 508, 510 definición de, 508 determinación con el círculo de Mohr, 513, 514 determinación de, 510 Densidad de energía de deformación unitaria, 96 Desplazamiento(s), 124, 589-601, 618-626, 752 condiciones de continuidad, 592 condiciones en la frontera, 592 convenciones de signo para, 591 coordenadas para, 591 estático, 752 método de área de momento, 618-626 por integración, 589-601 relativo, 124 virtuales, método de, 762 Diagrama axial, 26 de cuerpo libre, 6, 10
de fuerza normal, 26 de ME/I, 618, 620, 645 de par de torsión, 191, 575 del ciclo de esfuerzos, 113 descripción del, 191 para diseño de ejes, 575 S-N, 113 Diagrama esfuerzo-deformación unitaria, 87-90, 109-111 convencional, 87-89 cedencia, 88 comportamiento elástico, 88 endurecimientcpor deformación, 89 formación de cuello, 89 definición de, 87 módulo de elasticidad en cortante o Módulo de cortante, 109 módulo de rigidez, 109 verdadero, 89-90 Diagramas de cortante y de momento, 263-283 definición de, 264 ejemplo de aplicaciones, 275 método gráfico para construcción del, 272-283 regiones de carga distribuida, 272-274 regiones de fuerza concentrada y momento, 274-275 procedimiento para su construcción, 265-271 Diagramas de momento, método de superposición y, 645-649 Dilatación, 530-531 Dimensiones, 558-559 nominales, 558 reales, 558 Dirección axial, 422 circunferencial, 422 longitudinal, 422 tangencial, 422 Diseño de ejes, 575-578 diagrama de par de torsión para, 575 Diseño de vigas, 555-574 base para, 555-556 fabricadas, 558-559 módulo de sección, 557 procedimiento de, 560-564 no prismáticas, 571 prismáticas, 557-564 totalmente cargadas, 571-574 y ejes, 555-583 Distancia de longitud calibrada, 86 excéntrica, 687
I n d ic e
Distribución lineal de esfuerzo normal, 484 parabólica del esfuerzo cortante, 484
E Ecuación de Engesser, 696 Ecuación del trabajo virtual, 761-762, 763, 764, 772 método de fuerzas virtuales, 762 para armaduras, 764 para carga en general, 763 para vigas, 772 principio de, 760-763 condiciones de compatibilidad, 760 condiciones de equilibrio, 760 desplazamientos, 762 ecuación de, 761 externo, 761 interno, 761, 762-763 momento del par, 762 requisitos de equilibrio, 762 Ecuaciones de compatibilidad, 651-654 Ecuaciones de equilibrio, 6, 10 Ecuaciones de transformación, 805 Eje(s) principal(es), 314, 806 Elástica, 589 Elasticidad, teoría de, 4 Elástico perfectamente plástico, 168 Elastoplástico, 168 Endurecimiento por deformación. 89 Energía cinética, 751 Energía de deformación unitaria, 96-97, 725, 727-729 definición de, 96, 727 esfuerzo cortante, 728 esfuerzo multiaxial, 729 esfuerzo normal, 727 módulo de resistencia, 96 módulo de tenacidad, 97 Energía de deformación unitaria elástica, 730-740 carga axial, 730-731 cortante transversal, 736-737 momento de flexión, 732-735 momento de torsión, 738-739 Equilibrio, 4-15, 25-26, 34, 760 condiciones, en relación con el trabajo virtual, 760 de fuerzas, 6 de momentos, 6 de un cuerpo deformable, 4-15 cargas externas, 4-5 cargas internas resultantes, 7-10 fuerzas del cueipo, 5
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fuerzas sobre la superficie, 4-5 reacciones en los soportes, 5 ecuaciones del, 6,10 esfuerzo cortante promedio de, 34 esfuerzo normal promedio de, 25-26 estable, 668 inestable, 668 neutro o estricción, 669, 672 requisitos para el, 6 equilibrio de fuerzas, 6 equilibrio de momentos, 6 Esfuerzo, 1-67,154-158.173-175, 252-254, 361 -363. 4 5 1 501 Admisible o permisible, 49-50 biaxial, 423 circunferencial 337 de apoyo, 51 de cedencia, 88 de fractura, 89 definición del cortante, 22 diseño de conexiones simples, 50-58 distribución uniforme de, 52 elástico, 673 equilibrio de un cueipo deformable, 4-15 ecuaciones de equilibrio, 6 en cargas externas, 4-5 en cargas internas resultantes, 7-10 en reacciones en los apoyos, 5 estado general de, 23 ingenieril, 87 introducción de, 3-4 máximo de compresión, 484 484 máximo de tensión, 484 multiaxial, 729 nominal, 87 transformación de, 451-501 triaxial, 490 último, 89 uniaxial, 25-26 unidades de, 23 Esfuerzo cortante, 23, 32-39, 52,188, 375-377, 378-386 área requerida para resistencia al, 52 distribución parabólica de, 378-379 doble, 33 en vigas, 378-386 limitaciones de la fórmula del cortante, 380-381 patín de ala ancha, 380 sección transversal rectangular, 378-379 fórmula para, 375-377 interno, 35 método de la energía de deformación unitaria, 728 propiedad complementaria del cortante, 34
puro, 34 sencillo, 32, 33 variación lineal en, 188 Esfuerzo cortante máximo absoluto, 490-496 definición de, 491 determinación de, 493-496 esfuerzo plano, 492-493 esfuerzo triaxial, 490 Esfuerzo cortante máximo en el plano, 462-464, 466, 490 definición del, 462 determinación del, 462-464, 466 Esfuerzo cortante promedio, 32-39, 232-233 cortante doble, para, 33 cortante interno, para, 35 cortante sencillo, para, 32, 33 definición de, 32 determinación de, 35-39 equilibrio de, 34 lubos de pared delgada, de, 232-233 Esfuerzo normal, 23, 24-31, 728 definición del, 23 máximo promedio, 26 método de energía de deformación, 728 Esfuerzo normal promedio, 24-31 determinación de, 27-31 distribución de, 25 en una barra con carga axial, 24-31 equilibrio de, 25 hipótesis para la determinación de, 24 Esfuerzo plano, 451-455, 474-482, 492-493 definición del, 451 esfuerzo cortante máximo absoluto, comparación del, 492 estado general del, 451, 452 procedimiento para la determinación del, 453 transformación del, 452 Esfuerzo radial, definición del, 337 para recipientes esféricos, 423 para vigas curvas, 337 Esfuerzo residual, 173-175, 252-254, 361-363 definición del, 173 deformación unitaria en recuperación máxima, 362 distribución lineal de esfuerzo, 253 en cargas axiales, 173-175 en flexión de vigas, 361-363 módulo de ruptura, 253, 362 recuperación elástica, 252-253, 361-362 torsión en ejes, 252-254 Esfuerzo térmico, 154-158 aplicaciones de, 155-158 coeficiente de dilatación térmica lineal, 154
definición de, 154 Esfuerzos principales, 460-461, 462-465,484 definición de, 461 determinación de, 460-461.463-465 en el plano, 460 planos principales de, 461 transformación a partir del estado de esfuerzo, 484 Estáticamente indeterminado, 139-144, 221-225, 639-642 definición de, 139 miembros con carga axial, 139-144 condiciones de compatibilidad, 139, 140 relación carga-desplazamiento, 139 miembros con carga de par, 221-225 condiciones de compatiblidad, 221, 222 vigas y ejes, 639-642, 651-659 condiciones de compatibilidad, 640, 651 grado de indeterminación, 639 método de área de momento, 645-649 método de la integración, 640-642 método de superposición, 651-659 reacciones de, 639-640 redundantes, 639 Estrangulamiento, 89 Extensómetro, 86 F Factor de concentración de esfuerzos de torsión, 242 concentración de esfuerzos, 163, 242, 343-344 impacto, 752 longitud efectiva, 677 seguridad, 49 transformación, 325-326 Falla. 540-548 determinación de, 545-548 en materiales dúctiles, 540-543 en materiales frágiles, 544-545 teorías de, 540-548 tipos de, 540 Fatiga, 113-114 Flexión, 263-371 concentraciones de esfuerzos, 343-345 deformación de un miembro recto, 291 -294 diagramas de cortante y de momentos, 263-267 métodos gráficos para construcción de, 272-283 esfuerzo residual, 361-363 fórmula de la flexión. 295-304 vigas compuestas, 324-330 vigas curvas, 333-342 vigas de concreto reforzado, 331-332
Í n d ic e
Flexión asimétrica, 313-321 momento aplicado a lo largo del eje principal 313-314 momento aplicado arbitrariamente, 315-316 orientación del eje neutro, 316 Flexión inelástica, 352-360 distribución lineal de deformación unitaria normal, 352 factor de forma, 355 fuerza resultante igual a cero, 352 momento elástico máximo, 353 momento plástico, 354-355 momento resultante, 352 momento último, 355-356 ubicación del eje neutro, 352 Fluencia, 112-113 definición de. 112 tasa de, 112 Flujo de cortante, 231-232, 233, 392-396,401-405 definición de, 231, 392 para miembros combinados, 392-396 para miembros con paredes delgadas, 401-405 para tubos de pared delgada. 231-232, 233 Forma hiperbólica de vigas curvas, 334 Fórmula de cortante, 373-377, 380-382 aplicación de, 382 deducción de la, 373-377 limitaciones para el uso de, 380-382 Fórmula de Euler, 672-673, 677 deducción de, 672-673 factor de longitud efectiva, 677 longitud efectiva, 677 para columna ideal articulada, 673 para columnas con varios soporte, 677 relación de esbeltez efectiva, 677 Fórmula de interacción, 714-715 Fórmula de la flexión, 295-304 Fórmula de la secante, 687-694 deducción de la, 690-691 deflexión máxima, 688-689 diseño con, 691 distancia excéntrica. 687 esfuerzo elástico, 687 plano de flexión, 690 relación de excentricidad, 690 Fórmula de la torsión, 188-198 aplicación de, 192, 195-196 aplicación en diagrama de par de torsión, 191 ecuaciones para, 188-189 esfuerzo de torsión máximo absoluto, 191 momento polar de inercia, 189
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871
para eje macizo, 190 para eje tubular, 191 Fórmula para viga curva, 336-337, 338 Fractura, 540, 544-545 Fuerza(s) conservativas, 783 internas, 3 perturbadora, 668 restauradora del resorte, 668 Fuerzas virtuales, método de, 762, 764-769 descripción, 762 en armaduras, 764-769 cambio de temperatura, 765 determinación de, 766-769 errores de fabricación, 765 en vigas, 762, 772-777 determinación de, 774-777 Funciones de discontinuidad, 607-614 de Macaulay, 608 definición de, 607 método para determinar la curva elástica, 611-614 singularidad, 609-610 Funciones de singularidad, 609-610 fuerza concentrada, 609 integración de, 609-610 uso de, 609 Fundamentos del examen de ingeniería, repaso para el, 823-843 G Galga de resistencia eléctrica, 86, 523 Grado de indeterminación, 639 H Hierro colado gris, características del, 94 Histéresis mecánica, 95 I Impacto, definición de, 750 Integración, 589-601, 609-610 constante de, 590 funciones de singularidad, 609-610 método de, 589-601, 640 pendiente y desplazamiento por el, 589-601 vigas y ejes estáticamente indeterminados, 640 Integral de línea, 232
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Í n d ic e
L Ley de Hooke. 94-95, 528-529 Límite de fatiga, 113 de proporcionalidad, 88 elástico, 88 Linealmente elástico, 88 Líneas de Lüder, 540 Longitud efectiva, 677 M Madera, características de la, 92 Magnitud fuerza interna resultante de, 26 promedio de la fuerza, 726 variable, 784 Material cohesivo, 22 continuo, 22 Materiales dúctiles, 91-92. 540-543 definición de, 91 falla de, 540-543 alargamiento porcentual de, 91 cedencia por, 540-541 criterio de cedencia de Tresca, 540-541 líneas de Lüder, 540 reducción porcentual de área de, 91 teoría ce energía de distorsión máxima, 542-543 teoría de esfuerzo cortante máximo, 540-541 Materiales frágiles, 93, 544-545 definición de, 93 falla de, 540, 544-545 criterio de falla de Mohr, 544-545 fractura por, 540, 544-545 prueba de tensión, 544 prueba de torsión, 544 teoría del esfuerzo normal máximo, 544 Máxima deformación unitaria recuperada 362 Mecánica de materiales, 3-4 definición de, 3 historia de la, 4 Método de análisis de flexibilidad, 145-146 Método de la fuerza, 651 Método de la fuerza para análisis de miembros con carga axial, 145-146 Método de superposición, 632-636. 645-649, 651-659 determinación de la deflexión, 632-636 método de la fuerza, 651
para vigas y ejes estáticamente indeterminados, 651-659 trazo de diagramas de momentos, 645-649 Método del área de momento, 618-626, 645-649 aplicación del, 618 pendiente y desplazamiento por el, 618-626 procedimiento, 620-626 teorema 1, 618 teorema 2, 618 vigas y ejes estáticamente indeterminados, 645-649 Método del desplazamiento, 91 Métodos de energía, 725-795 carga de impacto, 750-755 conservación de, 744-747 energía de deformación unitaria, 725, 727-729 energía de deformación unitaria elástica, 730-740 fuerzas virtuales, método de. 764-769, 772-777 aplicado a armaduras, 764-769 aplicado a vigas, 772-777 método del trabajo virtual, principio de, 760-763 teorema de Castigliano, 782-783, 784-787, 788-792 aplicado a armaduras, 784-787 aplicado a vigas, 788-792 trabajo externo, 725-727 Módulo de elasticidad, 94 elasticidad de cortante o Módulo de cortante, 109 elasticidad volumétrica o Módulo volumétrico, 530, 531 resistencia, 96 rigidez, 109 ruptura, 253, 362 flexión, 362 torsión, 253 sección. 557 tangente, 695-696 tenacidad, 97 Momento de flexión, 8, 732-735 definición de, 8 energía de deformación elástica, 732-735 Momento de inercia, 189, 673, 799 definición del, 799 polar, 189, 799 Momento de inercia de un área, 799-802, 805-807, 807809 área compuesta, 800 eje inclinado, 805-807 ecuaciones de transformación, 805 ejes principales, 806 momentos de inercia principales, 806
Í n d ic e
Momento de inercia mínimo, 673 Momento de par externo, 788 Momento de torsión, 8, 738-739 definición de, 8 energía de deformación unitaria elástica, 738-739 Momento del par, 727 Momento virtual de par, 762 Momentos principales de inercia, 806 Munciones de Macaulay, 608 cargas distribuidas, 608 descripciones de, 608 N
National Forest Products Association (NFPA), 704 P Pandeo,667-723 carga concéntrica, diseño de columnas para, 702-706 carga crítica, 667-670, 672 carga de Euler, 672, 676 carga excéntrica, diseño de columnas para, 714-718 columna ideal con soportes articulados, 670-675 determinación de, 674-675 columnas con varios tipos de soportes, 676-679 determinación de, 678-679 definición de, 667 deflexión máxima, 688-689 esfuerzo elástico, 673 fórmula de Euler, 672-673, 677 fórmula de la secante, 687-694 menor de inercia mínimo, 673 radio de giro, 673 relación de esbeltez, 673 Pandeo inelástico, 695-697 determinación del, 697 ecuación de Engesser, 696 módulo tangente, 695-696 teoría de Shanley, 696 Par de torsión, de cargas resultantes internas, 8 definición de, 185 interno, determinación del, 210-214 Par elástico máximo, 246 Par elastoplástico, 246-247 Par plástico, 248 Par último de torsión, 248-249 Pared delgada, definición de, 421
•
873
Pendiente, 589-601, 618-626 condiciones de continuidad, 592 condiciones en la frontera, 592 convenciones de signos para, 591 coordenadas para, 591 determinación de, 593-601 método de área de momento, 618-626 por integración, 589-601 Pendientes y deflexiones de vigas, 821-822 Perfectamente plástico, 88 Perfiles estructurales, propiedades geométricas de, 813-820 Peso, definición de, 5 Placas de apoyo, 556 Plano arbitrario, deformaciones unitarias en, 513 Plano de flexión, 690 Plasticidad, teoría de la, 4 Polímero, 92 Potencia, definición de, 197 Presión manomètrica, 421 Principio de Saint-Venant, 121-123 Principio de superposición, 138 Prismática, definición de, 24 Producto de inercia definición del. 314. 803 de un área, 803-804 compuesta, 804 teorema del eje paralelo, 803-804 Propiedad complementaria del cortante, 34 Propiedades geométricas, 796-812, 813-820 área, 796,812 perfiles estructurales, 813-820 Propiedades mecánicas de los materiales, 85-119 comportamiento de esfuerzo-deformación unitaria, 91-93 materiales dúctiles, 91-92 materiales frágiles, 93 diagrama de esfuerzo cortante-deformación unitaria cortante, 109-111 diagrama esfuerzo-deformación unitaria, 87-90 convencional, 87-89 verdadero, 89-90 energía de deformación unitaria, 96-97 falla de, 112-114 fatiga. 113-114 ley de Hooke, 94-65 prueba de compresión, 85-86 prueba de tensión, 85-86 relación de Poisson, 107-108
874
♦
Í n d ic e
Prueba de compresión, 85-86 tensión, 85-86, 544 torsión, 544 Punto de bifurcación, 669, 672 Punto de cedencia. 88 inferior, 88 Punto de inflexión, 586
módulo de elasticidad volumétrico o Módulo volu métrico, 530, 531 Resistencia a la fluencia, 112-113 Resistencia de cedencia, 91 Rigidez, 94 a la flexión, 588 Rosetas de deformación, 523-524 S
R
Radio de curvatura, 588 Radio de giro, 673 Reacciones en los apoyos, 5, 10 Reacciones, definición de, 5 Recipientes a presión con pared delgada, 421-424 cilindricos, 422-423 dirección circunferencial, 422 dirección longitudial o axial, 422 dirección tangencial, 422 esféricos, 423 esfuerzo biaxial, 423 esfuerzo radial, 423 Recipientes cilindricos, 422-423 dirección circunferencial, 422 dirección longitudinal o axial, 422 dirección tangencial, 422 Recipientes esféricos, 423 esfuerzo biaxial, 423 esfuerzo radial, 423 Recuperación elástica, 252-253, 361-362 flexión, 316-362 torsión, 252-253 Reducción porcentual de área, 91 Redundante(s). 639 definición de, 145 en vigas estáticamente indeterminadas, 639 grado de indeterminación, 639 Relación carga-desplazamiento, 39 Relación de esbeltez, 673 efectiva, 677 Relación de excentricidad, 690 Relación de Poisson. 107-108 Relación entre momento y curvatura, 587-588 centro de curvatura, 588 radio de curvatura, 588 rigidez flexionante, 588 Relaciones de propiedades de materiales 528-535 dilatación, 530-531 ley de Hooke, 528-529 donde intervienen E, v y G, 530-531
Sección transversal, 7, 229 definición de, 7 tabla para formas de, 229 Sistema de unidades pie-libra-segundo, 23, 71 Sistema inglés, 23 Sistema Internacional de Unidades (SI), 23, 71 Solución trivial, 671 Structural Stability Research Council (SSRC), 703 Suma algebraica, 800 Superposición, 138,173, 428, 632-636, 645-649 cargas de, 173 componentes de esfuerzo en cargas combinadas, 428 método de, 632-636, 645-649. 651-659 determinación de la deflexión, 632-636 método de la fuerza, 651 trazar diagramas de momentos, 645-649 vigas y ejes estáticamente indeterminados, 651 659 principio de, 138 T Tasa de fluencia. 112 Teorema de Castigliano, 782-783, 784-787, 788-792 aplicado a armaduras, 784-787 magnitud variable, 784 fuerzas conservativas para, 783 requisitos de compatibilidad, 783 requisitos de equilibrio, 783 vigas aplicado a. 788-792 momento del par externo, 788 Teorema del eje paralelo, 799-800, 803-804 momento de inercia, 799-800 producto de inercia, 803-804 Teoría de esfuerzo cortante máximo, 540-541 criterio de cedencia de Tresca, 541 definición de, 541 líneas de Lüder, 540 Teoría de la energía de distorsión máxima, 542-543 Teoría de Shanley, 696 Teoría del esfuerzo normal máximo, 544
Ín d ice
Teorías de falla, 540-548 para materiales dúctiles, 540-543 teoría de la energía máxima de distorsión, 542-543 teoría del esfuerzo cortante máximo, 540-541 para materiales frágiles, 544-545 criterio de falla de Mohr, 544-543 teoría de esfuerzo normal máximo. 544 Torsión, 185-261,483 ángulo de torsión, 206-214 concentración de esfuerzo de, 242-244 deformación de un eje redondo, 185-187 en ejes macizos no circulares, 228-230 en miembros estáticamente indeterminados carga dos con par de torsión, 221-225 en tubos de pared delgada con secciones transver sales cerradas, 231 -237 ángulo de torsión, 233 esfuerzo cortante promedio, 232-233 flujo de cortante, 231-232 esfuerzo residual, 252-254 esfuerzos en ejes, debidos a, 483 fórmula, 188-198 torsión inelástica, 245-251 transmisión de potencia, 197-199 diseño de eje, para, 197-199 Torsión inelástica, 245-251 par elástico máximo, 246 par elástico-plástico, 246-247 par plástico, 248 par último, 248-249 Trabajo externo, 725-727 fuerza, 726 magnitud promedio de la fuerza, 726 momento del par, 727 Trabajo virtual interno. 761, 762-763 Transformación de deformación unitaria. 503-553 círculo de Mohr para determinar la deformación unitaria plana, 512-516 deformación unitaria máxima absoluta por cortan te, 520-522 deformación unitaria plana como, 503-505 relaciones entre propiedades del material, 528-535 rosetas de deformación, 523-524 teorías de falla, 540-548 para materiales dúctiles, 540-543 para materiales frágiles, 544-545 transformación de deformación unitaria plana, ecuaciones generales para, 503-505 Transformación de esfuerzo, 451-501 a través de una barra prismática, 484-485
•
875
círculo de Mohr, como solución gráfica para la determinación e, 474-482 en ejes, debido a carga axial y torsión, 483 esfuerzo cortante máximo absoluto, 490-496 esfuerzo cortante máximo en el plano, 462-464, 466 esfuerzos principales, 460-461, 462-465 Transformación del esfuerzo plano, 451-455,456-459 aplicación de, 458 componentes del esfuerzo cortante, 457 componentes del esfuerzo normal, 457 convenciones de signo para, 456-457 descripción de, 452 ecuaciones generales de, 456-459 uso del círculo de Mohr, 474-482 Transformaciones de deformación unitaria plana, 505-511 convenciones de signo para, 505 deformación unitaria cortante máxima en el plano, 508,511 deformaciones unitarias normales, 505-507 deformaciones unitarias por cortante, 505-507 deformaciones unitarias principales, 508, 510
Unidades, 23, 71 deformación unitaria, 71 esfuerzo, 23 Sistema Internacional Estándar (SI). 23, 71 sistema pie-libra-segundo, 23, 71
Variación lineal, 188, 295 deformación unitaria cortante, 188 deformación unitaria normal, 295 esfuerzo cortante, 188 esfuerzo normal, 295 Viga(s), 266-271, 324-330, 331-332, 333-342, 373-375, 378-386, 557-574, 772-777, 788-792, 821-822 compuestas, 324-330 factor de transformación, 325-326 flexión en, 324-330 con extremo en voladizo, 263 con voladizo, 263 convenciones de signo para, 264 curvas, 333-342 esfuerzo circunferencial, 337 flexión en, 333-342 forma hiperbólica de, 334
876
•
Í n d ic e
de concreto reforzado, 331-332 de placas, 559 definición de, 263 diseño de, 555-574 ecuación de trabajo virtual para, 772 en voladizo, 263 esfuerzo cortante en, 378-386 fórmula para viga curva, 336-337, 338 fuerzas virtuales aplicadas a, 772-777 ilustraciones de cortes transversales para, 335 deformación unitaria normal, 334 esfuerzo radial, 337 no prismáticas, 571 pegadas y laminadas, 559 pendientes y deflexiones de, 821 -822 primaria, 651 prismática, 557-564 rectas. 291-294, 373-375 cortante transversal en. 373-375
deformación por flexión, 291-294 simplemente apoyada, 263 teorema de Castigliano aplicado a. 788-792 totalmente cargadas, 571-574 totalmente esforzadas, 571-574 Vigas fabricadas, 558-559 perfiles de acero. 558 de madera, 558 laminados, 558 perfiles fabricados, 559 encolado laminado, 559 viga de placas, 559 Vigas prismáticas, 484-485, 557-564 fabricadas, 558-559 perfiles de acero, 558 secciones combinadas, 559 secciones de madera, 558 variación del esfuerzo dentro de, 484-485
LTTOGRAFICAINGRAMEX, S A CENTENO No. 162-1 COL GRANJAS ESMERALDA 09810 MÉXICO, D.F. 2005
n ( I S O 9000 1
Oitlflnáe No. 011M7
w
Propiedades mecánicas promedio de materiales lípicos en ingeniería8 (Unidades inglesas)
C;
M ateriales •VP
f j[3f
Peso específico
y
M ódulo de
M ódulo de
elasticidad E
rigidez C
Resistencia de fluencia (klb/pulg’) try
(lb/pulg')
(lO3) klb/pulg-'
(105) klb/pulg: Tens.
0.101
10.6
3.9
60
60
0.098
10.0
3.7
37
37
0.260 0.263
10.0 25.0
3.9 9.8
0.316
14.6
5.4
0.319
15.0
5.6
11.4 50
Resistencia última (klh/pulg~) tru
Comp.1’ Corte Tens.
Comp.1’
Corte
% Alargamiento
Relación
espécimen de 2 pnig
de Poisson V
Coef. de expansión T é rm .« ( io ' V
Metálicos Aleaciones , oni „ forjadas de 2014- rfi aluminio 606I-T6
Aleaciones de hierro colado A leaciones de cobre
Gris ASTM 20 M aleable ASTM A -197 B ronce rojo C83400 Bronce C86100
A leación de U m 1004-T611 magnesio 1 de acero ^
_
25 19
68 42
68
42
10
0.35
42
27
12
0.35
13.1
-
26 40
97 83
0.6 5
0.28 0.28
6.70 6.60
35
35
50
-
95
95
-
40
40
58
58
75
75
116
116
145
145
_
11.4
0.066
6.48
2.5
22
22
Estructural A36
0.284
29.0
11.0
36
36
Inoxidable 304
0.284
28.0
11.0
30
30
H erram ientas L2
0.295
29.0
11.0
102
102
0.160
17.4
6.4
134
134
0.086 0.086
3.20 4.20
-
d e m tt nM A M V j
-
-
-
-
22
12.8
35
0.35
20
0.34
9.80 9.60
1
0.30
14.3
30
0.32
6.60
40
0.27
9.60
22
0.32
6.50
-
16
0.36
5.20
-
0.15 0.15
6.0 6.0
0.34 0.34
-
-
No metálicos ,, . Concreto
Baja resistencia .. Alta icsistcucia
, Plástico reforzado
M adera ( n ado estructural seleccionado
K evlar 49
0.0524
19.0
30% vidrio
0.0524
10.5
A beto Douglas
0.017
1.90
A beto blanco
0.130
1.40
-
-
"
"
-
-
-
-
-
—
-
-
1.8 5.5
_
-
-
~
“
“
KM
70
10.2
2.8
13
19
-
-
0.30c
3.78“
0.90“
0.36"
5.18J
0.97“
0.29c -
0.3T'
■'Los valores específicos pueden variar para m ateriales particulares debido a la composición de la aleación o el mineral, el trabajo mecánico del espécimen o el tratam iento térmico. Vea un valor exacto del valor que se va a consultar en libros de referencia. ’’Las resistencias de fluencia y última, para m ateriales dúctiles,se suponen iguales en tensión y compresión. ■•Medido perpendicular al hilo. d M edido paralelo al hilo. “Deformación medida perpendicular al hilo.cuando la carga se aplica siguier.do el hilo.
-
f
Propiedades mecánicas promedio de materiales típicos en ingeniería“ (Unidades SI) M ódulo de
Densidad p
M odulo de elasticidad E
(M g/nv')
GPa
rigidez G (i Ha
2014-T6
2.79
6061-T6
271
73.1 68.9
27 26
7.19 7.28
67.0 172
27 68
M ateriales
Resistencia de fluencia (M Pa) Tens. Comp.h Corte
Resistencia últim a (M Pa) tT»
% Alargamiento
Relación de Poisson
Coef. de expan
espécimen
Conip.1'
Corte
50 mm
V
(io~ V e
469
469 290
290 186
10
290
12
0.35 0.35
24
179 276
669 572
0.6 5
0.28 0.28
12 12
Tens.
sión Térm . a
Metálicos Aleaciones forjadas J e aluminio Aleaciones de hierro colado
Gris ASTM 20 M aleable ASTM A -197
414
414
255
255
172 131
-
-
-
-
-
-
-
-
23
Aleaciones de cobre
Bronce rojo C83400 Bronce C86100
8.74
101
37
70.0
70.0
*
241
241
-
35
0.35
8.83
103
38
345
345
-
655
655
-
20
0.34
18 17
Aleación de magnesio
[An) 1004-T6 I]
1.83
• 44.7
18
152
152
-
276
276
152
1
0.30
26
400
400
-
30
0.32
12
de acero CS
dclftartio
Estructural A36
7.85
200
75
25(1
250
-
Inoxidable 304
7.86
193
75
207
207
-
517
517
-
40
0.27
17
Herran\ientas L2
8.16
20(1
75
703
703
-
800
800
-
22
0.32
12
4.43
120
44
924
924
1 (XX
1 (X>0
-
16
0.36
9.4
Baja resistencia .. Alta resistencia
2.38 2.38
22.1 29.0
-
-
-
-
*• —
0.15 0.15
ir 11
K evlar49 , . 30% vidrio
1.45 1.45
131 72.4
n^A M V l No metálicos
... , ( oncreto . Plástico reforzado
M adera O rado estructural seleccionado
A beto Douglas 0 A beto blanco
0.47
13.1
3.60
9.65
-
12 38
717
_
-
-
-
483 131
20.3
2.8
0.34 0.34
—
2.1c
26d
6.2d
-
0.29“
f
2.5C
36d
6.7d
90
0.31°
"Los valores específicos pueden variar para m ateriales particulares d cbidoa la composición de la aleación o el m ineral.el trabajo mecánico del espécimen o el tratam iento térmico. Vea un valor exacto del valor que se va a consultar en libros de referencia. bLas resistencias de fluencia y última, para materiales dúctiles, se suponen iguales en tensión y compresión. * Medido perpendicular al hilo. J M cdido paralelo al hilo. ' Deformación medida perpendicular al hilo, cuando la carga se aplica siguiendo el hilo.
£
E cuaciones fundam entales de la m ecánica de m ateriales Carga axial
Cortante
Esfuerzo normal
Esfuerzo cortante directo promedio V
a =
Tprom ~
Desplazamiento
Esfuerzo cortante transversal f'* PCvKv 8 -
T=
A(.x)E
-’o
VQ
It
Flujo de cortante
PL 8 = I ----AE
VQ
q = rt =
8t = aA TL
Esfuerzo en recipiente a presión de paredes delgadas Torsión
Cilindro
pr
pr
Esfuerzo cortante en eje redondo
(Ti —
CTy — —
t
¿
21
Tp T~
j
Esfera
pr
donde J = *~c4 sección transversal llena
Ecuaciones de transformación de esfuerzo O’y’ =
Potencia
ax + (Ty
P = 77» = 27T/T Á ngulo de torsión
r—
crx - CTy 2 “ eos 26 + Txy sen 20
CTX CTy
—- sen 20 +
xy
txv eos
- T(x)dx
*
Jo J(x)G J(x TL
4>=Z
tan 2 0n = -------■ 7 (o* -
JG
Esfuerzo cortante promedio en un tubo de pared delgada ■prom
Esfuerzo principal
Esfuerzo cortante máximo en plano
2 rA,
(crv - crv)/2 tan 26, = - — ------
Flujo de cortante t =
T 2A
Flexión crx + cry
Esfuerzo normal
° p ro m ~
My
cr =
Esfuerzo cortante máximo absoluto ,_máN _ ^niáx ~ ^mín
Flexión asimétrica a = —
2
M-y
Mvz
*z
A*
,
tan a = y - tan 6 A*
^máx
^Vnír
20
Relaciones de propiedades de los materiales Relación de Poisson € lat
v =
^long
L ey de H ooke generalizada = -JrWx ~
Propiedades geométricas de los elem entos de área t /1 1
+
—f-----v - -12M i 3
c
A = tt^ 3
Área rectangular
6y = ~E^y ~ V^ x + 1
ez = ~£ £ Wz - v(°x +
~GTxy
G Tyz> y
y zi
donde
G=
2(1 + „)
Relaciones entre w, V, M dV — = -w {x). dx
dM dx
I
a — \^ A =
+ b)
= V i_ v
Curva elástica 1 _ M Área trapezoidal
p ” Ti d*v
EI-TÂ dxA = _lvW d?v
e i-
d2v El-
4 “ 871/4 ; = {jtr4
, = v(x) M(x)
d x1
Pandeo Carga axial crítica
tt2E I
P ct
/,= > 4
(K L )2
E sfuerzo crítico 7T
2E
(K L /r y Fórmula de la secante P °m áx -
~7
,/•= VTJÂ
ec / L P 1 + —^ secí — I — — r2 \ 2r V EA
M étodos de energía
i
1 b
Conservación de la energía Ue = U¡ Energía de deformación
N 2L
U¡ = ------2AE
carga axial constante
' M 2dx '
l
~ a —i-
pendiente cero
Área semiparabólica
m om ento de flexión
El
. = j ! f'V 2dx
2GA LT 2dx
A
1^ I*
ab
,
2G J
cortante transversal m om ento torsional
pendiente cero ^ i __ Area exparabolica
Propiedades mecánicas promedio de materiales típicos en ingeniería8 (Unidades SI)
\
\ -----------------
M ate riale s
\
\ \
M ó d u lo d e
M ó d u lo de
R e siste n cia de
R esiste n cia
% A la rg a m ie n to
R elac ió n
C o c í, d e e x p a n
D e n sid a d p
e la stic id a d E
rig id ez G
flu e n c ia (M P a ) a y
ú ltim a (M P a ) cr„
e sp é c im e n
d e P oisson
s ió n T é rin . a
(M g/iii3)
G Pa
G Pa
Comp.b
C o rte
50 m m
V
(10 6)/°C
2.79
73.1
27
414
271
68.9
26
255
7.19 7.28
67.0 172
27 68
-
-
-
-
-
T ens.
C o m p .b
C o rle
T ens.
414
172
469
469
290
10
0.35
23
255
131
290
290
186
12
0.35
24
179 276
669 572
-
-
-
0.6 5
0.28 0.28
12 12
M etálicos A leaciones forjadas de alum inio
2014-T6 " ', ‘ 6061-T6
Gris ASTM 20 M aleable ASTM A-197
A leaciones d e h ierro colado A leaciones de cobre
B ronce rojo C83400
8.74
101
37
70.0
70.0
241
-
35
0.35
18
8.83
103
38
345
345
-
241
Bronce C86100
655
655
-
20
0.34
17
A leación de m agnesio
[A m 1004-T61]
1.83
• 44.7
18
152
152
-
276
276
152
1
0.30
26
E structural A36
7.85
200
75
250
250
400
400
-
30
0.32
12
Inoxidable 304
7.86
193
75
207
207
517
517
40
0.27
17
H erram ientas L2
8.16
200
75
703
703
-
800
800
-
22
0.32
12
4.43
120
44
924
924
-
1 000
1 (X)0
-
16
0.36
9.4
Baja resistencia A lta resistencia
2.38 2.38
22.1 29.0
-
-
-
-
-
12 38
-
-
0.15 0.15
11 11
K e v la r49 30% vidrio
1.45
131
-
~
-—
717
2.8
72.4
90
483 131
20.3
1.45
2.1c
26d
6.2d
2.5e
36d
6.7d
A leaciones de acero Aleación de titanio
[TÍ-6A1-4V] No m etálicos
Concreto
o«/.,. f . a I lastico retorzado M adeia G rado estructural seleccionado
A b eto Douglas
*
0.47
13.1
A b eto blanco
3.60
9.65
_ -
:
-
0.34 0.34 0.29°
;
0.31e
:'Los valores específicos pueden variar para materiales particulares debido a la composición de la aleación o el mineral,el trabajo mecánico del espécimen o el tratamiento térmico. Vea un valor exacto del valor que se va a consultar en libros de referencia. bLas resistencias de fluencia y última, para materiales dúctiles, se suponen iguales en tensión y compresión. cMedido perpendicular al hilo. dMedido paralelo al hilo. cDeformación medida perpendicular al hilo, cuando la carga se aplica siguiendo el hilo.
_
Mecánica de Materiales es la obra im prescindible para entender el cómo y el porqué del com portam iento de los m ateriales. Su m anera lógica y orde nada de exponer las explicaciones teóricas sobre los principios del com portam iento físico, facilita al lector la comprensión de las aplicaciones prácticas. ♦ Cada capítulo com ienza con una ilustración que dem uestra una am plia gama de aplicaciones. ♦ Sus fo to g rafías perm iten visu alizar conceptos difíciles y com prender cómo se aplican los principios mecánicos. ♦ C ontiene más de 1,000 ejercicios, de los cuales 450 son nuevos en esta edición. ♦ Presenta más de 200 ejem plos resueltos. ♦ El núm ero de problem as se encuentra balanceado: tan to unidades del sistem a inglés como del sistem a internacio nal; con grados fá cil, m edio, d ifícil, y en algunos casos requieren solución por com putadora. ♦ La sección Procedim iento de análisis proporciona al lector un m étodo lógico para aplicar la te o ría . Los ejem plos son resueltos usando este orden para clarificar la aplicación num érica. ♦ La sección Puntos Im portantes provee un resumen de los conceptos fu n d a m e n ta le s y los tem as sig n ificativo s que deben d esarro llarse cuando se aplica la teo ría en la solución de problem as.
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