1
MODUL V BARISAN TAK HINGGA DAN KEKONVERGENANNYA
Definisi barisan tak hingga : Jika untuk setiap bilangan bulat positif n ada suatu bilangan zn, maka bilanganbilangan z1 , z 2 ,..., z n ,... dinamakan barisan tak hingga (infinite sequence) atau singkatnya barisan.
Barisan ini sering dituliskan dalam bentuk z1 , z 2 ,... atau z n n1 atau lebih singkat
z n .
Barisan yang suku-sukunya bilangan nyata dinamakan barisan bilangan nyata.
Suku awal dari suatu barisan menspesifikasikan pola dari barisan itu sendiri.
Contohnya :
:
1,4,7,10,13,...
barisan
rumus eksplisit untuk suku ke-n : z n 3n 2
rumus rekursi
: z n z n 1 3 , n 2 , z1 1
Definisi barisan yang konvergen : Suatu barisan z1 , z 2 ,... dikatakan konvergen jika ada suatu bilangan c, dinamakan limit barisan itu dengan sifat bahwa untuk setiap 0 ada suatu bilangan bulat N , sedemikian sehingga untuk setiap n N berlaku z n c .
Karena itu dapat dituliskan lim lim
n
z n c
atau singkatnya Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB
ACHMAD KODAR
KALKULUS LANJUT
2 z n c
dan dapat dikatakan bahwa barisan itu konvergen ke c atau mempunyai limit c.
Contoh : Barisan dengan suku-suku z n 1
2 n
adalah 3,2, 53 , 64 , 75 ,...
konvergen dengan limit
c 1.
Sehingga berdasarkan definisi, maka z n c 1
2 n
1
2 n
dan 2 n
bila
n 2
1
atau n
2
.
Misalnya dengan mengambil
0,01
kita peroleh 2
n
artinya barisan z n 1
2 n
0,01 bila n 200 .
akan mendekati c 1 dengan
0,01 setelah n 200 .
Untuk barisan bilangan nyata, konvergen berarti semua suku dengan n N terletak di dalam selang yang panjangnya 2 dengan titik-tengah di c dan sebanyakbanyaknya ada terhingga banyaknya suku yang terletak di luar selang ini.
Untuk barisan yang yang tidak konvergen dikatakan barisan tersebut divergen.
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB
ACHMAD KODAR
KALKULUS LANJUT
3
Contohnya :
Barisan n! divergen, sehingga bisa kita tulis lim lim
n
n!
Hal yang serupa dengan barisan
ln 1n divergen menuju
.
Tetapi berbeda dengan barisan
1 1,1,1,1,1,... divergen n
dengan tidak menuju ke manapun.
Soal latihan : Buktikan berdasarkan definisi bahwa untuk sebarang p bilangan bulat positif (asli), maka
lim lim
1
n np
0.
Teorema 1: Andaikan
a n
b
dan
n
adalah barisan-barisan yang konvergen dan
k
sebarang konstanta, maka : 1) 2) 3) 4)
lim lim
n lim
n lim lim
n lim
n
k k k an k
lim
n
a n bn
a n bn
an
lim
n lim lim
n
an
an
lim lim
n lim lim
n
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB
bn
bn
ACHMAD KODAR
KALKULUS LANJUT
4 lim lim
5)
an lim lim n bn 0 asalkan lim n n bn bn n lim lim
an
Contoh soal 1 : Tentukan
lim lim
3n
n 7n
2
2
1
.
Penyelesaian : Untuk melihat apa yang terjadi dengan suatu hasil bagi dua suku banyak dalam n apabila n membesar, kita bagi pembilang dan penyebut dengan pangkat n pangkat n yang terbesar yang ada pada pembilang dan penyebut tersebut. Kemudian gunakan sifat-sifat sifat-sif at dari Teorema 1 sehingga didapat lim
3n
2
n 7n 1 2
lim
3
n 7 1
n
n 2 lim lim 3
lim n
[7
7
n
lim n
lim n
7
3
lim n
1 n
2
3
7
2
lim n
1 n
2
3 70 3
. 7
Oleh karena limit dalam contoh di atas adalah agak sederhana, biasanya kita dapat melampaui berbagai langkah dan langsung menuju ke langkah terakhir. Barisan dengan suku-suku z n 1 n2 Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB
ACHMAD KODAR
KALKULUS LANJUT
5 adalah 3,2, 53 , 64 , 75 ,...
konvergen dengan limit
c 1.
Sehingga berdasarkan definisi, maka z n c 1
2 n
1
2 n
dan 2 n
bila
n 2
1
atau n
2
.
Misalnya dengan mengambil
0,01
kita peroleh 2
n
artinya barisan z n 1
2 n
0,01 bila n 200 .
akan mendekati c 1 dengan
0,01 setelah n 200 .
Untuk barisan bilangan nyata, konvergen berarti semua suku dengan n N terletak di dalam selang yang panjangnya 2 dengan titik-tengah di c dan sebanyakbanyaknya ada terhingga banyaknya suku yang terletak di luar selang ini.
Untuk barisan yang yang tidak konvergen dikatakan barisan tersebut divergen.
Contohnya :
Barisan n! divergen, sehingga bisa kita tulis
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB
ACHMAD KODAR
KALKULUS LANJUT
6 lim lim
n
n!
Hal yang serupa dengan barisan
ln 1n divergen menuju
.
Tetapi berbeda dengan barisan
1 1,1,1,1,1,... divergen n
dengan tidak menuju ke manapun.
Soal latihan : Buktikan berdasarkan definisi bahwa untuk sebarang p bilangan bulat positif (asli), maka
lim lim
1
n np
0.
Contoh Soal 2 : ln n konvergen, jika demikian berapakah limitnya ? n e
Apakah barisan
Penyelesaian : Di sini dan pada banyak persoalan barisan, kita akan menggunakan fakta berikut Jika
lim lim
x
f ( x ) L, maka
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB
lim
n
f (n) L.
ACHMAD KODAR
KALKULUS LANJUT
7 Fakta ini memudahkan karena kita dapat memakai Kaidah l’Hopital untuk soal peubah kontinu. Dalam hal ini, menurut Kaidah l’Hopital,
lim
ln x
x e x
lim lim
1 x x
x e
0
sehingga, lim
ln n
n en
0
e
Artinya, lnnn konvergen menuju 0.
Soal latihan : Apakah
barisan
n 2 ln n 1 s n 3 n 1
konvergen,
jika
demikian
berapakah
limitnya? (tips. Gunakan kaidah l’Hopital)
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB
ACHMAD KODAR
KALKULUS LANJUT
