UNIVERSIDAD TÉCNICA DEL NORTE
FACULTAD DE INGENIERIAS EN CIENCIAS APLICADAS
CARRERA DE INGENIERIA EN ELECTRÓNICA Y REDES
TRABAJO DE CÁLCULO VECTORIAL
INTEGRANTES: JOHN RECALDE, ALJANDRA TOBAR, JEFFERSON FLORES, ESTEAVEN BUSTOS, JARRIN.
TUTOR(A): ING. MISLAIDYS RIERA GARGÍA
IBARRA; 10-11-2014
RESUMEN:
El cálculo vectorial o análisis vectorial es un campo de las matemáticas referidas al análisis real multivariable de vectores en 2 o más dimensiones. Es un enfoque de la geometría diferencial como conjunto de fórmulas y técnicas para solucionar problemas muy útiles para la ingeniería y la física.
Tres operaciones son de suma importancia en el cálculo vectorial; el Gradiente que mide la tasa y la dirección del cambio en un campo escalar; el gradiente de un campo escalar es un campo vectorial; la divergencia que mide la tendencia de un campo vectorial a originarse o converger hacia ciertos puntos; la divergencia de un campo vectorial es un campo escalar, mientras que por ultimo tenemos al Rotor o rotacional que mide la tendencia de un campo vectorial a rotar alrededor de un punto; el rotor de un campo vectorial es otro campo vectorial.
ABSTRACT:
The vector calculus or vector analysis is a field of mathematics refer to multivariate real analysis of vectors in two or more dimensions. It is an approach of differential geometry as a set of formulas and techniques useful for solving problems in engineering and physics.
Three operations are important in vector calculus; Gradient measuring the rate and direction of change in a scalar field; the gradient of a scalar field is a vector field; divergence that measures the tendency of a vector field to spring or converge to some points; the divergence of a vector field is a scalar field, while finally we have the Rotor or rotational measures the tendency of a vector field to rotate around a point; the rotor of a vector field is another vector field.
PROBLEMA:
Para entender y estudiar el entorno que nos rodea desde el punto de vista de la física necesitamos entender el mundo en 3D, y para esto existen varios métodos, teoremas, formulas y estudios que nos permiten hacerlo.
Uno de los cuestionamientos planteados es el hecho de si ¿El gradiente, la divergencia y el rotacional nos ayudan a entender este mundo en 3D?
HIPOTESIS:
El estudio del gradiente, la divergencia y el rotacional ayuda a comprender el mundo en 3D.
Mediante el uso de los tres conceptos antes mencionados, podremos, analizar cualquier tipo de figura en 3D y obtener sus medidas, en cuanto a superficie, volumen, etc.
INTRODUCCION:
Vamos a saltar de ese aburrido mundo en 2-D (bueno, que no era tan aburrido después de todo), al apasionante mundo 3-D en el que todos vivimos y respiramos. En lugar de funciones de x que pueden visualizarse como líneas, podemos tener funciones de x y y que pueden visualizarse como superficies. Pero, ¿la idea de derivada todavía tiene sentido? ¡Por supuesto que sí! Siempre que especifiques en qué dirección vas. ¡Bienvenido al mundo de las derivadas parciales, gradientes, divergentes y rotacionales!
Los conceptos que se estudian en cálculo vectorial, tales como el gradiente, divergencia y divergencia rotacional, son muy importante para el estudio de la mecánica y electromagnetismo.
Vemos todos los días fenómenos que involucran estos tres conceptos, por ejemplo cuando llueve y una gota se desliza por el cristal, esta sigue la trayectoria más fácil de recorrer; y es así que en este sencillo ejemplo podemos observar que el gradiente se hace presente.
El uso del cálculo multivariable en áreas tan importantes como el electromagnetismo genera mayor conocimiento sobre cómo se comportan las cosas alrededor, también como crear nuevos productos que realicen una función deseada; es necesario tener conocimiento sobre los fenómenos que generan energía.
En el siguiente ensayo se presentan algunas aplicaciones del gradiente, divergencia y divergencia rotacional, así como una breve definición de los conceptos. Además se enfatizaron los conceptos relacionados con la mecánica y electromagnetismo que son temas fundamentales para entender otras materias.
DESARROLLO:
GRADIENTE
Alguna vez caminaste sobre una colina y te preguntaste cuál sería la forma más rápida para bajar (o para subir). Ahora puedes averiguar esto exactamente con el uso del gradiente.
El cálculo vectorial, el gradiente de un campo escalar es un campo vectorial. El vector gradiente de evaluado en un punto genérico del dominio de , (), indica la dirección en la cual el campo varía más rápidamente y su módulo representa el ritmo de variación de en la dirección de dicho vector gradiente. El gradiente se representa con el operador diferencial nabla seguido de la función (cuidado de no confundir el gradiente con la divergencia, ésta última se denota con un punto de producto escalar entre el operador nabla y el campo). También puede representarse mediante, o usando la notación.
A partir de su definición puede hallarse su expresión en diferentes sistemas de coordenadas. En coordenadas cartesianas, su expresión es simplemente
Propiedades
El gradiente verifica que:
Es ortogonal a las superficies equiescalares, definidas por =cte.
Apunta en la dirección en que la derivada direccional es máxima.
Su norma es igual a esta derivada direccional máxima.
Se anula en los puntos estacionarios (máximos, mínimos y puntos de silla).
El campo formado por el gradiente en cada punto es siempre irrotacional, esto es:
EJEMPLOS:
1. Dada la función su vector gradiente es el siguiente:
2. Dada la función su vector gradiente es el siguiente:
3. Dada la función su vector gradiente es el siguiente:
DIVERGENCIA
¿Las líneas de un campo vectorial están acercándose o separándose en un punto determinado en el espacio? La divergencia es un operador vectorial que nos da como resultado un valor escalar para cualquier punto en un campo vectorial. Si es positivo, entonces el campo vectorial diverge, de lo contrario, converge.
La divergencia de un campo vectorial mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control, por tanto, si el campo tiene "fuentes" la divergencia será positiva, y si tiene "sumideros", la divergencia será negativa.
LA DIVERGENCIA EN UN CAMPO VECTORIAL
La divergencia de un campo vectorial en un punto es un campo escalar, y se define como el flujo del campo vectorial por unidad de volumen conforme el volumen alrededor del punto tiende a cero:
Donde es una superficie cerrada que se reduce a un punto en el límite. El símbolo representa el operador nabla.
COORDENADAS CARTESIANAS
Cuando la definición de divergencia se aplica al caso de un campo expresado en coordenadas cartesianas,
TEOREMA DE LA DIVERGENCIA
El teorema de la divergencia, frecuentemente llamado teorema de Gauss, relaciona el flujo de un campo vectorial a través de una superficie cerrada con la integral de la divergencia de dicho campo en el interior del volumen encerrado por una superficie. Ese resultado lo hace interesante tanto en aplicaciones relacionadas con la electrostática como en la mecánica de fluidos.
El teorema se enuncia así: Sea una función vectorial diferenciable definida sobre un conjunto y sea un conjunto cerrado limitado por una frontera o superficie de contorno (que sea una variedad diferenciable) y sea el vector normal en cada punto de la superficie, entonces se cumple que:
EJEMPLO:
) Evaluar el flujo del campo vectorial
F(x;y;z) = xyi +(y2 + )j +sen(xy)k a través de la superficie frontera de la región E acotada por el cilindro parabólico z = 1 x2 y los planos z = 0, y = 0, y + z = 2.
Solución
El problema invita a la transformación de la integral de flujo en algún otro tipo de integral para evitar las complejidades que surgirían de parametrizar el segundo término de la segunda componente del campo vectorial, y también para hacer una sola integral en vez de cuatro.
(0;2;0) y = 2 - z z = 1 -x2(1;0;0)(0;0;1) yxz(0;2;0) y = 2 - z z = 1 -x2(1;0;0)(0;0;1) yxzPara aplicar el teorema de la divergencia calculamos:
(0;2;0)
y = 2 - z
z = 1 -x2
(1;0;0)
(0;0;1)
y
x
z
(0;2;0)
y = 2 - z
z = 1 -x2
(1;0;0)
(0;0;1)
y
x
z
div F = y + 2y = 3y
Evaluaremos la integral de volumen de esta función escalar tomando el dominio como una región de tipo 3; esto es, una región encerrada entre dos funciones de un dominio bidimensional ubicado sobre el plano xz.
ROTACIONAL:
El rotacional mide qué tanto gira un campo vectorial. Un poco laborioso de calcular, pero será útil más tarde cuando trabajemos con los teoremas de Stokes y de Green.
En el cálculo vectorial, el rotacional o rotor es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.
Matemáticamente, esta idea se expresa como el límite de la circulación del campo vectorial, cuando la curva sobre la que se integra se reduce a un punto:
U rot F =U ×F limΔS 01ΔS F dr
Aquí, ΔS es el área de la superficie apoyada en la curva C, que se reduce a un punto. El resultado de este límite no es el rotacional completo (que es un vector), sino solo su componente según la dirección normal a ΔS y orientada según la regla de la mano derecha. Para obtener el rotacional completo deberán calcularse tres límites, considerando tres curvas situadas en planos perpendiculares.
Aunque el que el rotacional de un campo alrededor de un punto sea distinto de cero no implica que las líneas de campo giren alrededor de ese punto y lo encierren. Por ejemplo, el campo de velocidades de un fluido que circula por una tubería (conocido como perfil de Poiseuille) posee un rotacional no nulo en todas partes, salvo en el eje central, pese a que la corriente fluye en línea recta:
La idea es que si colocamos una rueda de paletas infinitamente pequeña en el interior del campo vectorial, esta rueda girará, aunque el campo tenga siempre la misma dirección, debido a la diferente magnitud del campo a un lado y a otro de la rueda.
Expresión en coordenadas cartesianas
Partiendo de la definición mediante un límite, puede demostrarse que la expresión, en coordenadas cartesianas, del rotacional es:
Que se puede expresar de forma más concisa con ayuda del operador nabla como un producto vectorial, calculable mediante un determinante:
Debe tenerse muy presente que dicho determinante en realidad no es tal pues los elementos de la segunda fila no tienen argumento y por tanto carecen de sentido. Además dicho determinante sólo puede desarrollarse por la primera fila. En definitiva, la notación en forma de determinante sirve para recordar fácilmente la expresión
Propiedades del Rotacional
1. Si el campo escalar f (x, y, z) tiene derivadas parciales continuas de segundo orden entonces el rot ( f) = .
2. Si F (x, y, z) es un campo vectorial conservativo entonces rot (F) = .
3. Si el campo vectorial F (x, y, z) es una función definida sobre todo cuyas componentes tienen derivadas parciales continuas y el rot (F ) = entonces F es un campo vectorial conservativo.
El rotacional de un campo vectorial tiene su principal interpretación física cuando la función vectorial F (x, y, z) representa el flujo de un fluido, el rotacional en este caso se interpreta como la circulación que presenta el fluido alrededor de un punto (Xo,Yo,Zo). Si el campo vectorial F representa el flujo de un fluido y rot(F) = entonces se dice que el fluido es irrotacional.
Conclusiones:
Al concluir este ensayo nos dimos cuenta que las aplicaciones del gradiente, divergencia y la divergencia rotacional son muy amplias y que conforme vayamos avanzando en la carrera, estos conceptos serán de más importancia en el estudio de fenómenos de la vida diaria, y que nos ayudaran en nuestro desarrollo profesional.
La vida de una persona está llena de triunfos y fracasos: es imposible vivir sin cometer errores. Sin embargo siempre se tiene en mente evitarlos y así lograr los resultados que deseamos.
En las matemáticas es lo mismo: el error se hace presente ejemplos simples serian el manejo de números irracionales como π ó 2. Hacer cálculos con esta clase de números puede llevar a cometer errores que son a simple vista poco importante; sin embargo, a largo o corto plazo (dependiendo de la actividad que se lleve a cabo) pueden ocasionar resultados no deseados.
BIBLIOGRAFÍA:
Stewart,JAMES; Cálculo Conceptos y Contextos; Thomson Editorial, McMaster University, 3ra edición; pag. 940-947;966-972.
Dennis G. Zill; Matemáticas avanzadas para la ingeniería 2; Pearson Education; pag. 187-192; 254-259.
Edwards, C. Henry; Purcell, Edwin J.; Penney, David E.; Calculo 2; Pearson Education; 2009.
Purcell, Edwin J.; Varberg, Dale; Rigdon, Steven E.; Calculo diferencial e integral; Pearson; 2007.
Larson, Ron; Hostetler, Robert P.; Edwards, Bruce H.; Calculo Esencial; Cengage Learning; 2010.
Wesley, Adisson; Jerrold E. Marsden; Anthony J. Tromba; Cálculo Vectorial; 3ra edición; 2009.
Ramos, Espinoza; Análisis Matemático III Para estudiantes de Ciencia e Ingeniería; 3r edicón; 2005.
Leithold, Luis; El Cálculo; Pepperdine University; 7ma edición; 2000.
LINKOGRAFÍA:
http://es.wikipedia.org
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu
www.porWikiMatematica.org
http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Divergencia