PRODI TEKNIK INFORMATIKA
STT POMOSDA NGANJUK TAHUN 2014
DERET TAK HINGGA DAN DERET PANGKAT
Tujuan Pembelajaran: Dapat mendefinisikan pengertian deret •
•
Dapat membedakan deret konvergen dan divergen
•
Dapat menguji suatu deret konvergen atau divergen
•
Dapat mengaplikasikan deret konvergen dalam pemecahan masalah fisika Dapat mengalikasikan deret divergen dalam penyelesaian masalah
•
fisika Dapat menguraikan fungsi menjadi deret (menggunakan deret Taylor
•
dan Maclaurin) Dapat
•
mengaplikasikan
deret
pangkat
dalam
penyelsaian
permasalahan fisika •
Dapat menerapkan aplikasi deret binomial
1. DERET GEOMETRI
Deret geomeri adalah jumlah dari barisan dimana setiap dua suku yang berurutan mempunyai pebandingan (ratio) yang sama. Bentuk umummnya : a+ ar+ar 2+ar 3+……………ar n-1
Jumlah suku ke n Rumus dimana
a : adalah suku pertama
r
: perbandingan /ratio dua suku beraturan
Sn : adalah jumlah n suku yang pertama
DERET TAK HINGGA DAN DERET PANGKAT
Tujuan Pembelajaran: Dapat mendefinisikan pengertian deret •
•
Dapat membedakan deret konvergen dan divergen
•
Dapat menguji suatu deret konvergen atau divergen
•
Dapat mengaplikasikan deret konvergen dalam pemecahan masalah fisika Dapat mengalikasikan deret divergen dalam penyelesaian masalah
•
fisika Dapat menguraikan fungsi menjadi deret (menggunakan deret Taylor
•
dan Maclaurin) Dapat
•
mengaplikasikan
deret
pangkat
dalam
penyelsaian
permasalahan fisika •
Dapat menerapkan aplikasi deret binomial
1. DERET GEOMETRI
Deret geomeri adalah jumlah dari barisan dimana setiap dua suku yang berurutan mempunyai pebandingan (ratio) yang sama. Bentuk umummnya : a+ ar+ar 2+ar 3+……………ar n-1
Jumlah suku ke n Rumus dimana
a : adalah suku pertama
r
: perbandingan /ratio dua suku beraturan
Sn : adalah jumlah n suku yang pertama
Deret geometri tak hingga
Suatu deret geometri memiliki limit jumlah jika deret geometri tersebut konvergen.
| |
dengan Syarat :
Dari
untuk n
<1
maka
,
maka :
=
Contoh soal 1. 0.555 = 5/10+5/100+5/1000+5/1 5/10+5/100+5/1000+5/10000+5/100000+……. 0000+5/100000+……... a = 5/10, r=1/10
2. 4/3+4/9+4/27+4/81+………..
2. DEFENISI DAN NOTASI
Deret tak hingga adalah pernyataan penjumlahan bilangan yang tak hingga banyaknya berbentuk : a1+a2+a3+………+an+……………………………….. Penulisan deret tak hingga lazimnya ditulis dengan notasi jumlah
(dibaca “sigma n =1 sampai dengan tak hingga) diikutin dengan bentuk umum suku an. Jadi deret tak hingga hingga dalam notasi ditulis sebagai berikut :
a1+a2+a3+……an+…….=
contoh soal : 1.
∑
∑
∑
2. 1/6+1/12+1/20+1/30+…………
3. APLIKASI DARI DERET GEOMETRI
Sebuah kelereng kecil yang dilepas jatuh menumbuk sebuah lantai datar tegar. Bila kelentingan kelereng cukup tinggi, ia akan terpantul berulang kali dari lantai ke udara dengan ketinggian yang semakin rendah hingga pada akhirnya berhenti dilanyai. Andaikan kelereng dijatuhkan dari ketinggian 1 m dan ketinggian yang dicapainya setelah terpantul adalah ¾ kali ketinggian sebelumnya. Maka ketinggian pencapaiannya secara berturut-turut adalah
1, 3/4, (3/4) 2, ………(1.1)
Jadi jarak total yang ditempuh kelereng adalah jumlah tinggi awal kelereng 1 m, ditambah 2 kali jumlah semua tinggi berikutnya (karena kelereng menempuh lintasan bolak balik yang sama panjang), yaitu
1, 2(3/4), 2(3/4) 2, 2(3/4)3 ………(1.2)
Menghitung jumlah bilangan yang tak terhingga banyaknya ini secar pasti tidaklah mudah, tetapi intuisi dan pengalaman menyatakkn bahwa jumlahnya menuju suatu nilai tak berhingga. Pernyataan jumlah bilangan yang dimulai dari suku kedua persamaan (1.2) yakni; 2(3/4), 2(3/4)2, 2(3/4)3
Memperlihatkan suatu pola teratur dalam mana suku-sukunya, mulai dari suku kedua, besarnya adalah ¾ kali suku sebelumnya. Jumlah bilangan persamaan (1.3) diatas adalah contoh pernyataan matematik yang disebut “deret tak ter hingga”
Contoh 1:
Sebuah bola tenis memantul dengan ketinggian 9 m, setelah mengenai lantaibola
itu
memantul 2/3 tinggi sebelumnya. Panjang lintasan yang ditempuh bola sampai berhenti adalah Penyelesaian :
Perhatikan diagram dari lintasan bola tersebut a = 9 , r= 2/3 maka
= 2
(ada angka 2 karena bola menempuh lintasan tegak bolak balik yang sama panjang) . Maka panjang lintasan itu adalah 54 m.
Contoh 2 :
sebuah bola dijatuhka dari ketinggian 2 m. Setiap kali bola menyentuh tanah bola dipantulkan kembali keatas dengan ketinggian ¾ dari jarak dimana bola jatuh. Tentukan jarak total yang ditempuh sebelum bola jatuh ? Penyelesaian :
Dari diagram dari lintasan bola tersebut didapat a = 2 , r= 3/4 maka
= 16 m =2
= 2
( ada angka 2 karena bola menempuh lintasan tegak bolak balik yang sama panjang) .
4. DERET KONVERGEN DAN DIVERGEN
Deret tak hingga terbagi menjadi 2. Yaitu, deret tak hingga yang konvergen dan deret tak hingga yang divergen. Konvergen artinya mempunyai jumlah tertentu. Sedangkan divergen artinya tidak bisa ditentukan jumlahnya, besarnya yaitu tak hingga.
Misalnya deret yang konvergen yaitu seperti deret berikut ini :
Deret tersebut adalah termasuk deret konvergen. Karena jika dijumlahkan sampai suku yang tak hingga, jumlahnya masih bisa ditentukan (jumlahnya masih berhingga). Kita akan mencari hasil dari deret tak hingga tersebut Misalnya
N = 1
Jumlah deret tak hingga tersebut adalah 1. Deret yang divergen misalnya
Misalnya
Perhatikan bahwa
Jumlah deret ini tidak bisa ditentukan. Dengan kata lain jumlahnya adalah tak hingga.. Contoh soal :
∑ ∑
= 1 ini adalah deret konvergen
= 0 ini adalah konvergen
APLIKASI DERET DIVERGEN DALAM FISIKA
Reaksi fisi (pembelahan inti) bahan radioaktif
Deret dari reaksi fisik berantai seperti gambar di atas adalah 1+2+4+8+…
Maka deret dari rekasi fisi berantai tersebut adalah
Dimana deret tersebut divergen, karena reaks fisi tidak akan berhenti sebelum ada kondisi yang menyebabkan reaksi tersebut berhenti.
5. UJI DERET KONVERGEN
Untuk menguji apakah deret tersebut konvergen atau divergen kita harus melakukan uji awal terlebih dahulu sebelum kita uji dengan metode lain, uji awal ini adalah dengan menguji apakah untuk barisan yang tak terhingga didapatkan hasilnya
Bila
maka dapat kita pastikan deret tersebut divergen,
akan tetapi kita harus berhati-hati bila
maka belum tentu deret ini
konvergen, maka untuk mendapatkan kepastiannya harus dilakukan pengujian lebih lanjut dengan tes yang lain, jadi dapat kita simpulkan bahwa uji awal bukan digunakan untuk menguji deret konvergen atau tidak, akan tetapi untuk menguji deret tersebut divergen atau tidak. Contoh
∑
1.
, apakah deret ini divergen atau kemungkinan konvergen?
Jawab :
Dengan menggunakan
∑
2.
Dengan menggunakan
Latihan
maka jelas deret ini divergen karena
, apakah deret ini divergen atau kemnungkinan konvergen?
Jawab
karena
maka deret ini kemungkinan konvergen
Tunjukkan deret dibawah ini apakah Divergen atau perlu tes lebih lanjut?
∑ ∑
1.
2.
6. UJI KONVERGENSI DERET POSITIF
Setelah kita melakukan uji awal dan ternyata di dapatkan hasil
maka tentu saja kita memerlukan beberapa tes lanjutan untuk menentukan kepastian konvergensinya. Untuk pembahasan berikut kita akan membatasi pada deret yang bertanda positif saja untuk semua barisanya (deret positif).
A. UJI BANDING
Uji banding ini digunakan untuk menguji konvergensi dan divergensi. Untuk menguji deret yang akan kita tinjau dibutuhkan suatu deret lain yang sudah diketahu konvergensi dan divergensinya, Teorema
-
Jika
||
< mn untuk n =1 , 2 , 3 … dan
konvergen
∑
konvergen , Maka
∑
Jika
-
Contoh .
||
> dn untuk n = 1, 2, 3 … dan
∑
, divergen, Maka
∑
Tinjaulah konvergensi deret berikut dengan pembanding
1. 2.
∑ ∑ ∑ ∑
Konvergen,
Divergen ;
penyelesaian : Maka dari hasil pembandingan deret di atas jelas terlihat bahwa 1. Berlaku
, untuk seluruh n sehingga dengan demikian deret tersebut
Konvergen berdasarkan uji ini. Sedangakan ; 2.
Berlaku , untuk = 2 dan seterusnya, dengan demikian deret tersebut divergen.
Latihan
1. Apakah
∑ ∑
konvergen atau divergen, bila diketahui
divergen 2. APakah
∑
adalah
konvergen atau divergen
B. UJI INTEGRAL
Dalam uji kovergensi dengan integral yang dilakukan adalah melakukan integrasi secara kontinyu terhadap n dimana
∑ ∫
jika hasil deret
yang di uji tersebut hasilnya berhingga maka deret tersebut konvergen, dan sebaliknya jika hasilnya tak-hingga maka deret tersebut divergen. Contoh : Uji Konvergensi deret berikut ini
1.
∑ ∫
Penyelesaian
dengan tes integral
∫
=
=
=
=∞
Maka deret tersebut divergen
∑ ∫ ∫ ∫
2. Selidiki konvergensi
dengan tes integral
Penyelesaian
Konvergen
Latihan
Selidiki konvergensi deret 1. 2.
∑ ∑
C. TES RASIO
Jika kita meninjau deret
∑
dan misalkan
* +
=
, maka
a) Deret konvergen jika < 1 b) Deret divergen jika > 1 c) Pengujian tidak dapat menetukan konvergen atau divergen bila = 1
Contoh :
Tes Konvergensi Deret berikut
+ + … + +… 1 + + + … + +…
1. 1 + 2.
Jawab 1.
:
dan
,
=
=
Karena
2.
, maka deret tersebut konvergen
=
Karena
maka berdasarka uji rasio tidak bisa ditentukan apakah deret ini
konvergen atau divergen, maka deret ini harus di uji dengan uji yang lain.
Latihan
Apakah deret berikut konvergen atau divergen 1. 2.
∑ ∑
D. UJI BANDING LIMIT
Pada uji ini terbagi atas uji konvergensi dan uji devergensi. Jika deret yang ingin di uji konvergensinya dengan ketentuan deret lain : a.
∑ ∑ ∑
adalah
dan terdapat
yang telah diketahui deret konvergen bentuk positif, jika a n ≥ 0 dan
b.
∑
< (bukan tak hingga) maka
∑
adalah deret konvergen
yang telah diketahui divergen bentuk positif, dan jika,
maka
adalah divergen,
Contoh
1. Tes konvergensi
∑ √
dan bila diketahui
adalah deret konvergen berdasarkan uji integral. Penyelesaian ;
∑ √ ∑
,
(√ ) √
=
=
√ , maka √ < , maka deret tersebut konvergen 2. Tinjau konvergensi dari deret sebagai pembanding kita gunakan deret ∑ sebagai deret ∑ =
divergen.
=
3
> 0 Divergen
Latihan Tentukan apakah deret berikut konvergen atau divergen 1. 2.
∑ ∑ √
7. DERET BOLAK-BALIK
Deret bolak-balik merupakan penjumlahan deret yang memiliki tanda berubahubah dari positif dan negatif. Sebagai contoh :
Untuk memeriksa konvergensi deret seperti di atas, kondisi yang akan dipenuhi jika deret tersebut konvergen adalah sebagai berikut : a. b.
|| || ||
dimana keduanya adalah nilai mutlak
Contoh :
Selidiki konvergensi deret di bawah ini 1.
,
Penyelesaian
|| || || || Terpenuhi
(1) (2) 2.
terpenuhi
, maka deret ini konvergen
Penyeleaian
Terpenuhi
(1) (2)
tak
terpenuhi, maka deret ini divergen
Latihan
Tentukan apakah deret dibawah ini konvergen atau divergen
∑ ∑
1.
2.
8. KONVERGENSI ABSOLUT DAN KONVERGENSI BERSYARAT
Misalkan deret
∑ ∑||
merupakan deret bolak-balik, maka berlaku teorema beriku
: jika deret mutlaknya
merupakan sebuah deret yang konvergen maka
konvergen. Tetapi tidak berlaku sebaliknya, jika
∑||
∑
∑
konvergen maka belum tentu
konvergen. Jika sebuah deret bolak-balik konvergen dan juga deret mutlak yang
terkait dengannya
konvergen maka deret tersebut dikatakan memiliki konvergensi
mutlak. Sedangkan jika deret bolak-balik tersebut konvergen sementara deret mutlaknya divergen maka deret tersebut dikatakan memiliki konvergensi bersyarat. Contoh ; 1.
Penyelesaian :
Berdasarakan teorema pertama maka deret di atas di mutlakkan
+ …..+
=
deret positif konvergen
Maka deret
adalah deret konvergen absolute
2. 1 –
Penyelesaian (1) (2)
|| ||
Terpenuhi
terpenuhi
, maka deret ini konvergen
Kemudian deret dimutlakkan menjadi 1 +
divergen (sudah di buktikan dengan uji
banding).
Maka deret
, merupakan deret konvergen bersyarat
9. ADA BEBERAPA HAL YANG DIPERHATIKAN TENTANG DERET
1. Deret konvergen atau divergen tidak dipengaruhi oleh pengalianpada setiap suku deret. Namun konvergen atau divergen dipengaruhi oleh penjumlahansuku Dari deret. 2. Dua buah deret yang diketahui konvergen yaitu dan dapat dijumlahkan atau dikurangkan pada setiap sukunya ( sehingga penjumlahan suku n adalah an + bn ). Akibatnya, deret tetap konvergen 3. Susunan deret konvergendapat diatur, tetapi tidak mengakibatkan berubahnya kekonvergenan sebuah deret
∑ ∑
Contoh :
∑
Penyelesaian :
||
Bila
, maka :
Untuk n = 1,2, 3, …
|| =
Karena
dan
Dan
||
Latihan :
Tentukan nilai dari
∑
10. INTERVAL KONVERGEN
Deret yang telah dipaparkan sebelumnya adalah deret tetapan. Adapun deret lain yang biasa digunakan adalah deret fungsi, misalnya fungsi x. kita megenal beberapa penampilan deret pangkat yang pada suku ke n berbentuk xn atau (x-a)n,dimana a adalah sebuah tetapan. Berikut adalah sebuah deret pangkat berbentuk :
∑ ∑
0 +
n
a1x + a2x2 + a3x3 + … atau
= a0 + a1 (x-a) + a2 (x-a)2 + a3 (x-a)3 + …
Metode uji yang biasa kita gunakan pada pengujian deret pangkat ini adalah uji
rasio. Pada uji ini diperoleh ρ n (n→ yang merupakan nilai mutlak hasil bagi suku ne (n+1), sebut saja (An+1), terhadap suku ke n, sebut saja (A n), Artinya ρ =
→∞
Contoh 1:
- + … + + …
1- +
Penyelesaian:
Ρn =
Ρ=
Menurut rasio, deret ini disebut konvergen jika ρ < 1, yang dipenuhi oleh
|⁄| || ||
||
, artinya, deret itu divergen jika
. Jadi
atau -2 < x <2.
Contoh 2 :
Penyelesaian : Ρ n=
Ρ=
||
=
Artinya, deret itu konvergen jika dipenuhi ρ =
||
sehingga ada batas
kekonvergenan x = 1 dan x = -1, deret itu akan menjadi 1 –
-seling harmonic dan termasuk deret konvergen.
Sebaliknya, jika x = -1, deret menjadi -1 –
yang merupakan
deret harmonic dengan factor pengali (-1) dan termasuk deret divergen. Artinya interval konvergen deret itu adalah
Latihan 1:
Tentukan apakah deret ini konvergen atau tidak, dan nyatakan batasnya
11. TEOREMA TENTANG DERET
Telah dipaparkan sebelumnya bahwa deret
∑
disebut deret konvergen
jika nilai x tertentu membuat nilai itu terhingga. Jadi konvergen deret itu bergantung pada nilai x. berikutnya nilai dari deret itu kita sebut S(x) =
∑
yang
kekonvergenannya bergantung pada x. jika S(x) merupakan sebuah fungsi, S(x) dikatakan konvergen ke fungsi S(x). akibatnya, fingsi S(x) dapat dipresentasikan ke dalam deret atau sebaliknya, deret merupakn repre sentasi dari sebuah fungsi. Deret yang merupakan representasi dari sebuah fungsi dikuasai oleh empat buah t eorema, yaitu:
Teorema 1 :
sebuah deret dapat didiferensialkan atau di integralkan pembagian apabila deret yang didiferensialkan atau diintegralkan itu konvergenn, dan hasil diferensiasi atau integrasi juga konvergen Teorema 2 :
Pada dua deret dapat dilakukan operasi penambahan, pengurangan, atau perkalian asalkan deret hasil operasi itu konvergen atau setidaknya memiliki interval kekonvergenan yang sama. Jika pembilang atau pembagi sama-sama nol ( misalnya
), deret itu memiliki beberapakawasan kekonvergenan dan harus di uji dengan uji yang lain.
Teorema 3 : Sebuah deret dapat disubsitusikan ke deret yang lain asalkan dalam kawasan kekonvergenan yang sama.
∑
Teorema 4 : Deret ( konvergen ke fungsi itu.
) dapat merepresentasikan sebuah fugsi apabila deret itu
12. EKSPANSI FUNGSI KE BENTUK DERET
Fungsi yang mengandung peubah dapat direpresentasikan sebagai deret peubah itu dengan factor pengali di setiap sukunya asalkan deret ters ebut bersifat konvergen. Sebagai contoh, fungsi sin x dapat dideretkan dalam bentuk :
2
n
sin x = a x + a x + … + an x +… 0 + a 1 2
Nilai tetapan a0, a1,a2,…,an ditentukan dengan mengambil nilai khusus dari x sehingga sin x diketahui (sin 0 = 0 berarti a 0 = 0), serta dengan cara diferensial pada penentuan koefisien derajat berikutnya. Turunan dari sin x adalah cos x sehingga :
+ … + (n - 1)a x n
n-1
+…
Jika cos 0 = 1 sehingga a 1 = 1. Bentuk turunan berikutnya adalah
2a + 3.2a + 4. 3a x +… 2
3
4
2
Yang memberikan 0 = a 2, selanjutnya:
-cos x = 3.2a + 4.3.2a x + … 3
4
Atau -1 = 3!a3, yang berarti a 3 = -1/3!. Demikian seterusnya sehingga diperoleh bentuk penderetan dari sinx yang konvergen pada semua nilai x dan berbentuk
Cara penderetan fungsi ini disebut cara penderetan Maclaurin atau disebut deret Taylor di sekitar titik asal (x=0). Adapun fungsi deret Maclaurin:
Sedangkan Fungsi Taylor dinyatakan dalam deret pangkat dari (x-a) Rumus :
dimana a adalah tetapan. Melalui pengambilan fungsi x = f(x) disekitar x = a dan f(x) yang didiferensialkan diperoleh bentuk f(x) ,f’(x)=
()=
d2 f() 2
d
, …, f
f(x)
= a0 + a1(x-a) + a2 (x-a)2 + a3(x-a)3 + a4(x-a)4+ … + an(x-a)n+…
f’(x)
= a1 + 2a2 (x-a) + 3a3(x-a)2 + 4a4(x-a)3+… + na n(x-a)n-1 +…
f”(x)
= 2a2 + 3.2a 3(x-a) + 4.3a 4(x-a)2+ … + n(n-1)an(x-a)n-2 +…
f”’(x) = 3!a3 + 4.3.2a 4(x-a) +… +n(n-1)(n-2)an(x-a)n-3+… (n)
F (x) = n(n-1)(n-2)…1.an + (x-a)
Mengingat f(x-a)= f(a)= a0 f(a) = a0, f’(a) = a1 , f”(a) = 2a2 , f”’(a) = 3!a3 , … , f (n)(a) = n!an
Selanjutnya f(x) dapat dinyataakan: f(x) = f(a) + (x-a) f’(a) +
Pada saat x = 0, bentuk f)x) adalah : f(x) = f( 0) + xf’(0)+
f”(0) +
Sebagai contoh ke 2 yaitu fungsi cos x dapat dideretkan dalam bentuk :
Penyelesaian : cos x = a0 + a1 x + a2 x2 + … + an xn + … Bila nilai tetapan a0 , a1 , a2, ditentukan dengan mengambil nilai x sehingga x diketahui bahwa cos 0 = 1 berarti a0 = 1. Secara diferensial pada koefisien derajat berikutnya turunan cos x = -sin x, sehingga:
Misalkan sin x= 0, maka a 1 = 0, sehingga menjadi:
Jika – cos x = -1, maka a2= -1 selanjutnya
Jika sin x= 0, maka a 3= 0
Jika cos x= 1, maka a4= 1 Atau 1= 4!a4 yang berarti a4 = 1/4!,sehingga diperoleh bentuk penderetan cos x yang konvergen pada semua nilai x, yaitu:
Latihan :
Tuliskan (1 + x)2 sebagai suatu deret Maclaurin pada selang -1 < x< 1.
13. TEKNIK UNTUK MEMPEROLEH EKSPANSI DERET PANGKAT
Terdapat teknik sederhana yang sering digunakan untuk menemukan deret pangkat dari suatu fungsi dibandingkan dengan menggunakan proses penurunan berturut. Melalui teorema 4 pada bagian 11 kita mengetahui bahwa fungsi apapun yang diberikan hanya terdapat satu deret pangkat, yaitu deret pangkat dengan bentuk
∑
. Walaupun kita dapat memperolehnya dengan banyak metode yang tepat
dan yakin bahwa sama bentuknya dengan deret Maclaurin yang didapat pada bagian 12. Kita dapat mengilustrasikan variasi metode untuk memperoleh deret pangkat. Di bawah ini merupakan beberapa penyederhanaan dari deret. a.
Deret Geometris
||
b. Deret Binomial
|| (deret binomial; p adalah bilangan real bernilai positif atau negatif)
c.
Fungsi Eksponensial
d. Fungsi Trigonometri dan Hiperbolik
e.
Fungsi Logaritma
Berikut ini merupakan beberapa contoh untuk memperoleh ekspansi deret. a. PERKALIAN DERET DENGAN POLINOM ATAU DERET DENGAN DERET 1. CONTOH PENGGUNAAN CONTOH 1: Tentukan deret untuk ( x + 1) sin x!
Penyelesaian :
Contoh 2: Tentukan deret untuk e x cos x!
Penyelesaian:
2
Contoh 3: Tentukan deret untuk (1 + x ) cos x!
Penyelesaian:
2. APLIKASI DALAM FISIKA
Contoh yang paling sederhana yang biasa kita jumpai dalam persoalan Fisika dasar adalah persoalan bandul sederhana yang disimpangkan dan akan mengalami gerak periodik ketika dilepaskan akibat gaya gravitasi yang bertindak sebagai gaya pemulih seperti yang diperlihatkan pada gambar 1 untuk bandul bermassa m dengan panjang tali l .
Berdasarkan hukum kedua Newton, penggambaran dinamika gerak bandul dengan massa m tersebut diberikan oleh persamaan diferensial berikut:
Untuk sin dapat digunakan deret binomial.
Untuk deret kedua nilai sangat kecil, sehingga sin =
3. LATIHAN
1. Tentukan deret dari (1 + x) ln (1 + x)! 2. Tentukan deret dari
!
b. PEMBAGIAN DUA DERET ATAU DERET DENGAN POLINOM 1. CONTOH PENGGUNAAN Contoh : Tentukan deret dari
Penyelesaian:
!
2. LATIHAN
1. Tentukan deret dari fungsi 2. Tentukan deret dari fungsi
!
!
c. DERET BINOMIAL 1. CONTOH PENGGUNAAN Contoh 1: Tentukan deret dari
Penyelesaian:
!
Rumus dasar Maclaurin untuk deret binomial
Maka deret dari
adalah:
Contoh 2: Tentukan uraian fungsi f(x) =
!
Penyelesaian:
2. APLIKASI DALAM FISIKA 1) Energi Kinetik Relatif Energi Kinetik Newton (v << c)
Dalam relatifitas khusus, untuk sebuah partikel dengan massa m0 ,
(Total energi partikel bebas) (Energi kinetic relatif)
Dimana
Dengan
v = kecepatan partikel c = kecepatan cahaya
(asas korespondensi fisika/ asas yang saling berhubungan) Tinjau fungsi
dengan x = v/ c . Untuk kasus non-relativistik,
dimana x << 1, uraian Taylor fungsi tersebut hingga orde pertama di sekitar x = 0 adalah: Sesuai dengan deret binomial
|| ( )
Sehingga jika di subsitusikan ke dalam persamaan energi kinetik relatif diperoleh:
Dapat dilihat bahwa K
untuk |v| << c, sehingga energi kinetik
relatif menjadi Energi Kinetik Umum Newton (non relativistik).
2) Aproxsimasi Medan Jauh (“Far Field Approximation”)
-q
q d
x
P
Untuk menentukan medan pada titik P, dengan x >> d .
( ) Catatan :
[ ( )] Persamaan tersebut merupakan aproksimasi medan jauh, menunjukkan bagaimana sebaran dominan dari E dengan jarak.
3. LATIHAN.
1. Tentukan deret binomial dari 2. Tentukan deret binomial dari 3. Tentukan deret binomial dari
4. Tentukan deret binomial dari
!
!
!
!
d. DERET TAYLOR MENGGUNAKAN DASAR DERET MACLAURIN 1. CONTOH PENGGUNAAN Contoh 1. Tentukan deret fungsi ln x disekitar x = 1!
Penyelesaian.
Ini artinya deret dari pangkat (x – 1) dekat dengan x, sehingga dapat dituliskan: ln x = ln [1 + ( x – 1)] dengan menggunakan persamaan, dapat kita subsitusikan x dengan ( x – 1)
Maka didapat
Contoh 2: Uraikan cos x disekitar x = 3π/2!
Penyelesaian:
[ ( )]
Dengan menggunakan sifat: cos (A±B) = cos (A) cos (B) ± sin (A) sin (B) Maka persamaan di atas dapat diuraikan menjadi
[ ( )] ( )()( )() ( ) ( ) ( ) Dengan menggunakan persamaan,
[ ( )]( )
, subsutusi x dengan
Maka
2. APLIKASI DALAM FISIKA
1) Penentuan Besar Waktu Paruh pada Peluruhan Radioaktif Pada Nuklida Radioaktif yang Berumur Panjang (“ L ong-Li fe Nuclide ”)
Pernahkah kamu membayangkan waktu paru untuk nuklida yang berumur panjang dapat ditentukan dengan periode waktu yang singkat? Selama peluruhan adalah proses acak, kita tidak dapat menentukan kapan sebuah atom tertentu akan meluruh. Banyaknya peuruhan dN pada waktu tertentu bergantung pada nomor atom sampel, N. Jadi -
Peluruhan nuklida bervariasi, sehingga setiap radionuklida memiliki konstanta peluruhan tersendiri yaitu
. Kebalikan dari konstanta peluruah
adalah waktu T sebuah partikel sebelum meluruh. Peluang untuk peluruhan,
sebanding dengan waktu peningkatan dt.
Tanda negatif menunjukkan bahwa N berkurang tiap pertambahan waktu. Hasil dari penurunan persamaan di atas adalah
Dimana N0 adalah nilai N saat t = 0. Persamaan tersebut dapat ditulis:
Dimana
adalah banyaknya nuklida yang meluruh selama waktu t. Dapat
kita gunakan deret Taylor untuk mengembangkan
.
Karena t jauh lebih kecil dari T. Oleh karena itu, di dapat
Hubungan di atas dapat digunakan untuk menentukan waktu paruh dari sebuah nuklida yang berumur lama.
2) Penentuan Besar Energi Potensial
Mengapa V = m gy untuk gravitasi?
Bukankah dalam permasalahan ini
′ ′
R r
m
M
Sehingga dengan menggunakan ekpansi Taylor untuk V (r) sekitar r = R
Dari gambar dapat dilihat bahwa (r – R) merupakan ketinggian dari atas tanah sehingga nilai
Maka :
= g = 9,81
Inilah yang sering kita sebut dengan Energi Potensial = mgy = mgh, di dekat permukaan bumi.
3. LATIHAN.
1. Uraikan sin x disekitar a = 3π/2! 2. Uraikan cos x disekitar a = π! 3. Uraikan cot x disekitar a = 3π/2! 4. Uraikan
disekitar a = 3π/2!
14. AKURASI DALAM PERHITUNGAN
Karena suku-suku deret Taylor tidak berhingga banyaknya, maka -untuk alasan praktis- deret Taylor dipotong sampai suku orde tertentu. Deret Taylor yang dipotong sampai suku orde ke-n dinamakan deret Taylor terpotong dan dinyatakan oleh:
Atau sering ditemui persamaan:
Dimana c adalah titik diantara a dan x. formula ini dapat digunakan untuk membuktikan deret Taylor dan Maclaurin untuk sebuah fungsi konvergen atau tidak.
15. BEBERAPA PENGGUNAAN DERET Perhitungan Numerik
Aplikasi deret pangkat dapat digunakan untuk menghitung nilai dari suatu fungsi tanpa menggunakan alat bantu hitung/kalkulator. penggunaan deret untuk perhitungan nilai fungsi yang tidak dapat dengan mudah dilakukan dengan menggunakan kalkulator. Contoh 1.
Tentukan nilai dari ln
– tan x dengan x = 0,0015.
Penyelesaian.
x = 0,0015
x = 0,0015
= 5,06 x 10 -16
Dengan galat sebesar x7 atau 10-21.
Contoh 2.
x = 0,0015
Tentukan nilai
Penyelesaian.
x = 0,1
Kemudian persaaman tersebut di turunkan empat kali dan dihitung nilainya dengan x = 0,1
Atau sekitar -2 dengan eror 10 -4
Penjumlahan Deret Contoh. Tentukan jumlah dari deret harmonik berikut:
Bentuk ini sama dengan deret.
Dengan mensubsitusi nilai x = 1
Evaluasi Deret Tentu Contoh.
Integral Fresnel (integral dari sin x2 dan cos x2) muncul dalam permasalahan difraksi Fresnel dalam optik.
= 0,33333 – 0,02381 + 0,00076 – … = 0, 31028 – … (dengan galat kurang dari 1/(15.7!) atau sekitar 10-5)
RANGKUMAN
1. Deret adalah penjumlahan semua suku-suku suatu barisan. 2. Jika jumlah deret S menuju harga tertentu, maka deretnya disebut konvergen. Sedangkan jika S nilainya takhingga, maka deret disebut divergen. 3. Uji konvergensi deret positif a. Uji Pendahuluan Jika lim an 0, maka deret divergen. Tetapi jika lim an 0, maka perlu uji n
n
lanjut. b. Uji banding
∑ ∑ ∑
i). Jika suku demi suku dari deret konvergen, maka
∑
adalah deret
juga konvergen.
ii). Jika suku demi suku deret maka
, dengan
, dengan
adalah deret divergen,
juga divergen.
c. Uji integral
I an dn
berharga tertentu, deret konvergen
,
deret divergen
d. Uji banding limit
Pengujian deret positif
a n menggunakan uji banding limit terdiri dari dua n 1
bagian yaitu uji konvergen dan uji divergen.
(i). Jika deret positif
bn konvergen dan lim n 1
n
an bn
(bukan takhingga),
maka deret
a n konvergen. n 1
(ii). Jika deret positif
d n divergen n 1
divergen. e. Uji bagi (Rasio)
lim n lim
n
n
a n 1 an
dan lim
n
an d n
0, maka deret
an n 1
