Dominio de integridad Un dominio Un dominio de integridad, Cuerpo de cocie cociente ntess de de un domidomiintegridad , dominio íntegro, íntegro, anillo ín- 2 Cuerpo [1] un anillo (R, +, ·) que caretegro, tegro, dominio entero es un anillo nio íntegro ce de elementos de elementos divisores de cero por la izquierda y de elementos divisores de cero por la derecha (con lo cual Una de las propiedades más interesantes de un dominio carece de elementos divisores de cero). de integridad es la de que existe «el menor cuerpo que lo Un subanillo de un dominio de integridad es también un contiene». De forma más precisa: dominio de integridad. Sea R un dominio íntegro (conmutativo y unitario). DeEn la literatura “antigua” se exige (a veces se sobreennotamos por R∗ al conjunto R \ {0} . Establecemos en el tiende) que el anillo es conmutativo conmutativo y y unitario unitario,, porque se conjunto R × R∗ la relación la relación R definida por (a, b)R(c, d) ignoraba la existencia de anillos no conmutativos conmutativos que no cuando y sólo cuando a · d = b · c . Es sencillo comprobar tuvieran divisores de cero (por la izquierda o por la deque R es una relación una relación de equivalencia. equivalencia . Denotaremos por recha). Los dominios Los dominios de Maltsev[2] son un tipo de ani al conjunto cociente R×RR , y por ab a la clase la clase de Q(R) al conjunto llos no conmutativos conmutativos que carecen de elementos divisores equivalencia del equivalencia del par par ordenado (a, b) . de cero (ni por la izquierda ni por la derecha). Respecto a dominios íntegros no unitarios, el conjunto conjunto 2Z es un subanillo no unitario del dominio de integridad Z . En 2.1 Op Oper erac acio ione ness suma suma y prod produc ucto to en el este artículo, un dominio íntegro será siempre un anillo 2.1 conmutativo y unitario (ya que así se entiende en la macuerpo de cocientes yor parte de la literatura, señalándose los casos en que no se adopta estos criterios). 2.1. 2.1.11 Suma Suma Todo cuerpo es domin dominio io de integr integrid idad ad conmu conmutat tativ ivoo y uniuni −→ Q(R) de la la suma + : Q(R) × Q (R) −→ tario. Más en general, todo anillo de división es división es dominio Se define la suma siguiente manera: de integridad unitario. ∗
+
1 Ejemp jemplo loss
�a c � ,
b d
:=
(a d) + ( b c) a c + = b d b d
·
·
·
cualesq cualesquie uiera ra que sean ab , dc ∈ Q (R) . Es senc sencill illoo compr comproobar que es operaci operación ón interna, interna, asociati asociativa, va, conmutati conmutativa, va, que 0 a ∈ tiene elemento neutro 1 y que todo elemento b Q (R) tiene por elemento por elemento simétrico (elemento simétrico (elemento opuesto) a − ab . Así, (Q(R), +) es un grupo un grupo abelian abelianoo.
1. (Z, +, ·) 2. (Q, +, ·) ( R, +, ·) ( C, +, ·) [3]
3. (Z [i], +, ·) siendo Z siendo Z[i] [i] = {r+si/ r, s están en Z} Z } es un dominio entero llamado anillo llamado anillo de los enteros de 2.1.2 2.1.2 Produc Producto to Gauss. Gauss. Se define la multiplicación la multiplicación · : (Q(R) \ {0}) × (Q(R) \ {0}) −→ −→ Q(R) de la siguiente manera:
4. (H, +, ·) siendo sus elementos los números reales √ x = m + n 5 con m, n números enteros
�a c �
a
c
·
a c
5. (J, +, ·) siendo sus elementos los números comple- · , := · = √ b d b d b·d jos x = m + ni 5 con m, n números enteros, i , unidad imaginaria. cualesquiera cualesquiera que sean ab , dc ∈ Q(R) \ {0} . Es sencillo comprobar que es operación interna, asociativa, conmuelemento neutro 11 y que todo elemento 6. (K, +, ·) siendo sus elementos los números reales tativa, que tiene elemento √ √ a por elemento simétrico (elemento simétrico (elemento inverx = m + n 5 + p 25 con m,n,p números b ∈ Q (R) tiene por elemento b [4] enteros. so) a a . Así, (Q(R) \ {0}, ·) es un grupo un grupo abelian abelianoo. 3
3
1
2
4 PROPOSICIONES
2.1.3 Distributividad Se demuestra sin dificultad que · es distributiva respecto de+. Esto haceque (Q(R), +, ·) quede dotado de estructura de cuerpo.
• Un mínimo común múltiplo de a y b , (denotado por mcm(a, b) ) es, si existe, un elemento m ∈ R de tal manera que a|m , b|m y si m ∈ R es tal que a|m y b |m , entonces m |m . ′
′
′
′
Es de destacar que no se dice el máximo común denominador ni el mínimo común múltiplo, sino un máximo divisor o un mínimo común múltiplo. Esto es de3 Divisibilidad en un dominio ín- común bido a que, tal y como están definidos, un mismo par de tegro (conmutativo y unitario) elementos a, b ∈ R pueden tener más de un máximo común divisor y más de un mínimo común múltiplo. Por cualquiera otra parte, en un dominio de integridad no siempre está asegurada la existencia del mínimo común múltiplo o del Quizás el aspecto más interesante que ofrecen los domi- máximo común denominador de dos elementos cualesnios íntegros es el de poder genralizar a ellos muchas de quiera. las propiedades sobre divisibilidad que conocemos en el Dos elementos a, b ∈ R se dicen coprimos si existe anillo de los números enteros Z . mcd(a, b) y además mcd (a, b) ∈ U (R) (es decir, 1 es En adelante, a,b,c,d,r,x,y,m,u representa- mcd(a, b) ). rán elementos en el dominio íntegro R (i.e. a,b,c,d,r,x,y,m,u ∈ R ). 3.1.1 Propiedades Se dice que a y b son asociados si existe un u ∈ U (R) de manera que a = b · u . Se denota por a ∼ b . • Si d ′ y d′ son mcd(a, b) , entonces d ∼ d′ ′ . Si m y m son mcm(a, b) , entonces m ∼ m . EscriSe denota por U (R) el conjunto formado por todos los biremos entonces siempre d ∼ mcd(a, b) en lugar divisores de la identidad, 1, llamados unidades del anillo. de d = mcd(a, b) y m ∼ mcm(a, b) en lugar de Se dice que a divide a b si existe un r ∈ R de manera m = mcm(a, b) . que b = a · r . Se denota por a|b . Si a y b son asociados, entonces a divide a b y b divide a a . • mcd(a · c, b · c) = mcd(a, b) · c . Se dice que un elemento a de un dominio íntegro R es un • Si d ∼ mcd (a, b) entonces mcd( ad , db ) ∼ 1 (es deátomo o elemento irreducible (a veces se dice simplecir, ad y db son coprimos). mente que es un irreducible) de R si a̸ = 0 , a ∈ / U (R) , y si a = b · c entonces o bien es b ∈ U (R) o bien • Si a y b son coprimos (i.e. mcd (a, b) ∈ U (R) ), c ∈ U (R) (o los dos). entonces, para cualquiera que sea r ∈ R se cumple que mcd(r, a · b) = mcd(r, a) · mcd(r, b) . Se dice que un elemento a de un dominio es un elemento primo (o simplemente primo) si el ideal generado por a • Si a|b entonces mcd(a, b) = a . es ideal primo de R . • Si d ∼ mcd(a, b) y m ∼ mcm(a, b) entonces m · Lo cierto es que la notación es un poco confusa cuando d ∼ a · b (en particular esto significa que si existe nos referimos a los números enteros. En ese caso, el conmáximo común divisor de dos elementos, entonces cepto de número primo corresponde con el de elemento existe su mínimo común múltiplo, y viceversa). irreducible (que además sea positivo), y tedríamos que el 0 y el 1 serían elementos primos de Z , aunque no serían • Si a, b, c, r ∈ R \ {0} y a = b · c + r , entonces números primos. mcd(a, b) ∼ mcd(b, r) . Si a es elemento primo del dominio íntegro R , a̸ = 0 y / U (R) entonces a es irreducible. a∈ Estas son las principales afirmaciones que podemos decir sobre divisibilidad en dominios de integridad sin exigir más condiciones, como que el anillo R sea dominio de 3.1 Máximo común divisor y mínimo co- factorización única, dominio de ideales principales o que sea dominio euclídeo. mún múltiplo Sean a, b ∈ R .
4 Proposiciones
• Un máximo común divisor de a y b , (denotado por mcd(a, b) ) es, si existe, un elemento d ∈ R de tal manera que d |a , d |b y si d ∈ R es tal que d |a y d |b , entonces d |d . ′
′
′
Teorema
′
Todo dominio entero finito es un campo [5]
3 Corolario Si p es un primo, entonces el dominio entero Z(p)= {0, 1, 2,..., p-1} es un campo [5]
5 Bibliografía Birkhoff- Mc Lane. Algebra Moderna ( en un capítulo inicial)
6 Véase también
• Dominio (álgebra) 7 Notas y referencias [1] Este último término es un abuso de lenguaje y puede dar lugar a confusión, ya que la palabra dominio tiene varios usos en Matemática [2] Entre otros, hay un manual de Álgebra lineal de Maltsev [3] Kostrikin «Introducción al álgebra» Editorial Mir, Moscú ( 1987) [4] Kostrikin. Op. cit. [5] Fraleigh. álgebra abstracta (1987)
8 Enlaces externos
• Weisstein, Eric W. «Integral Domain». En Weiss-
tein, Eric W. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
• Wikilibros • Wikilibros alberga un libro o manual sobre Álgebra Abstracta. incluyendo un capítulo sobre Dominios de Integridad.
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9 ORIGEN DEL TEXTO Y LAS IMÁGENES, COLABORADORES Y LICENCIAS
9 Origen del texto y las imágenes, colaboradores y licencias 9.1 Texto •
Dominio de integridad Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/Dominio_de_integridad?oldid=98349737 Colaboradores: Tano4595, Halcón, Yrbot, FlaBot, Wewe, KnightRider, Maldoror, CEM-bot, Ingenioso Hidalgo, JAnDbot, TXiKiBoT, HiTe, Rehernan~eswiki, Pólux, VolkovBot, Castelo, YonaBot, SieBot, Juan Mayordomo, Raulshc, LucienBOT, Dangelin5, SuperBraulio13, Xqbot, WikitanvirBot, MerlIwBot, Julio grillo, Invadibot, Acratta, Legobot, X2y3, Rehernan, MomijiRoBot, Matzapin y Anónimos: 9
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