Doble Integración

“AÑO DE LA CONSOLIDACION CONSOLIDACION DEL MAR DE GRAU”

UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO FACULT ACULTAD DE INGENIERIA CIVIL, SISTEMAS S ISTEMAS Y ARQUITECTURA ARQUITEC TURA

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

DOCENTE:

Ing. Coronado Zuloeta O!ar

ASIGNATURA:

Re"#"ten$#a de de lo lo" !a !ater#ale" I

TE%A:

De&or!a$#'n en V#ga": %(todo de la do)le #ntegra$#'n

INTEGRANTES: Pere#ra *errera +an#na

,-,/0G

Saa1edra Cr#ollo 2un#or

,-,30C

Delgado Ca!4o" Lu#"

,-5-06

*#dr *#drog ogo o Ca) Ca)re rera ra C7# C7#ld ldre re ,-, ,-,//-0I 0I

LA%8A+E9UE %ARZO DEL 5,3

U.N.P.R.G - Ing. Civil Resistencia de los materiales I

INDICE 1. INTRODUCCI INTRODUCCIÓN.... ÓN.......... .......................................3 .................................3 2. OBJETIVOS..................................................3 3. RELACIÓN RELACIÓN DE MOMENTO CURVA CURVATURA..... TURA... .... .... .... ..4 4 4. ECUAC ECUACIÓN IÓN DIFERENCIAL DIFERENCIAL GOBERNANTE... GOBERNANTE..... .... ....5 ..5 5. SOLUCIONES POR INTEGRACIÓN DIRECTA....11 6.- CONDICIONES DE FRONTERA.....................14

3.,................................................. E!4otra!#ento: ,; 3.......... So4orte de rod#llo o "o4orte art#$ulado ,; 3.-.................................................... E
Método de la doble !te"#a$%!

&'"!a (


INDICE 1. INTRODUCCI INTRODUCCIÓN.... ÓN.......... .......................................3 .................................3 2. OBJETIVOS..................................................3 3. RELACIÓN RELACIÓN DE MOMENTO CURVA CURVATURA..... TURA... .... .... .... ..4 4 4. ECUAC ECUACIÓN IÓN DIFERENCIAL DIFERENCIAL GOBERNANTE... GOBERNANTE..... .... ....5 ..5 5. SOLUCIONES POR INTEGRACIÓN DIRECTA....11 6.- CONDICIONES DE FRONTERA.....................14

3.,................................................. E!4otra!#ento: ,; 3.......... So4orte de rod#llo o "o4orte art#$ulado ,; 3.-.................................................... E

&'"!a (


DEFORMACIÓN EN IGA!" M#$ODO DE %A %A DO&%E IN$EGRACIÓN ,. INT INTROD RODUC UCCI> CI>N N La a$$%! de )*e#+a a-l$ada e! *!a "a $*al/*e#a 0a$e /*e eta e de1e de * -o$%! !$al -o# lo $*al e2-#e e b*$a dete#2!a# $o! e3a$tt*d la de4e3o!e. E! lo lo ed5 ed5$ $o o,, la la "a "a de -o o deb debe! #e*! e*!## la $o!d$ $o!d$o!e o!e !e$ea# !e$ea#a a -a#a -a#a $o!t# $o!t#a# a##e #eta ta## de4e3 de4e3o! o!e e e3$ea 6 eta# lo !deeable e)e$to $ol%"$o de lo -o 4e3ble de lo o$*-a!te a1 $o2o ta2bé! la #*-t #*-t*# *#a a e! lo lo 2a 2ate te# #al ale e )#'" )#'"l le e de lo lo a$ a$ab abad ado, o, "*al2e!te "*al2e!te 2-o#ta!te 2-o#ta!te e $o!o$e# $o!o$e# la $a#a$te#1 $a#a$te#1t$a t$a de de)o#2a$%! e! lo 2ate#ale. E! ete t#aba7o e dea##olla *!a e$*a$%! d)e#e!$al "obe#!a!te -a#a la de4e3%! "a, a1 $o2o ta2bé! e da! a $o!o$e# la $o!d$o!e de )#o!te#a /*e e debe! te!e# e! $*e!ta $*a!do e dete#2!e el "#o 6 la 4e$0a e! $*al/*e# -*!to. Se -#e -#ee! e!ta ta! ! ta2b ta2bé é! ! "a "a $o $o! ! d)e d)e##e!te e!te t-o t-o de $a#"a 6 a-o6o e! lo /*e a-l$a#e2o el 2étodo de doble !te"#a$%!. 8&o-o (Ed, -. 9:(;

. O82 O82ETI ETIVO VOS S  Se# $o!$e!te /*e lo ele2e!to et#*$t*#ale tale $o2o *!a "a "a e2-#e e2-#e e a a de)o#2a# -o# a$$%! de la $a#"a /*e a$t 8L?lo!"t*d de la "a;.


&'"!a @

U.N.P.R.G - Ing. Civil Resistencia de los materiales I  Utl+a# $o##e$ta2e!te $o##e$ta2e!te el 2étodo de doble !te"#a$%! -a#a dete#2!a# el "#o 6 la 4e$0a e! $*al/*e# -*!to de *!a "a.  A-l$a# $o##e$ta2e!te la $o!d$o!e de )#o!te#a.

-. RELA RELACI>N CI>N DE D E %O%ENTO %O%EN TO CURVATURA CURVATURA La de4e3o!e de "a debdo a 4e3%! e dete#2!a! a -a#t# de la de)o#2a$o!e /*e te!e! l*"a# a lo la#"o del $la#o. Ella e baa! e! la 0-%te $!e2't$a /*e etable$e /*e d*#a!te la 4e3%! la e$$o!e -la!a e! toda la "a -e#2a!e$e! -la!a. &o# a0o#a *-o!d#e2o /*e la 4e3%! te!e l*"a# %lo e! #ela$%! $o! *!o de lo e7e -#!$-ale de la e$$%! t#a!e#al. Tal $ao e l*t#a e! la 5"*#a B, do!de e *-o!e ade2' /*e el #ado de $*#at*#a - de la $*#a el't$a -*ede a#a# a lo la#"o del $la#o. E3$e-to -o# -o# *!a *!a l"e l"e#a #a 2od 2od5$ 5$a$ a$%! de $a $a#' #'$t $te# e# "e!e "e!e#a #al, l, la ded*$$%! /*e "*e $o!d*$e a lo 22o #e*ltado. 8&o-o (Ed, -. 9:@;


&'"!a B


;. ECUACI>N DIFERENCIAL GO8ERNANTE C*a!do *!a "a $o! *! e7e lo!"t*d!al #e$to e $a#"a $o! )*e#+a late#ale, el e7e e de)o#2a 6 ado-ta *!a )o#2a $*#a, de!o2!ada $*#a de de4e3%! de la "a . La 2a6o# -a#te de lo -#o$ed2e!to -a#a dete#2!a# la de4e3o!e e baa! e! e$*a$o!e d)e#e!$ale de la $*#a de de4e3%! 6 * #ela$o!e ao$ada -o# eta #a+%! !$a#e2o ded*$e!do la e$*a$%! b'$a -a#a la $*#a de de4e3%! de *!a "a. &a#a 5!e de a!'l, $o!de#e *!a "a e! olad+o $o! *!a $a#"a $o!$e!t#ada /*e a$t
&'"!a 9


C*a!do la "a e 4e3o!a, !o %lo 0a6 *!a de4e3%! e! $ada -*!to a lo la#"o del e7e, !o ta2bé! *!a #ota$%!. El '!"*lo de #ota$%! θ del e7e de la "a e el '!"*lo e!t#e el e7e 3 6 la ta!"e!te a la $*#a de de4e3%!, e"
ρdθ = ds


&'"!a 


e! do!de d θ et' e! #ada!e 6 d e la dta!$a a lo la#"o de la $*#a de de4e3%! e!t#e lo -*!to 2 6 2(. &o# ta!to, la $*#at*#a J 8"*al al #e$1-#o$o del #ado de $*#at*#a; et' dada -o# la e$*a$%!H dθ 1 k = = ρ ds

.,

Obe#e /*e la $*#at*#a e -ota $*a!do el '!"*lo de #ota$%! a*2e!ta $*a!do !o 2oe2o a lo la#"o de la "a e! la d#e$$%! 3 -ota.

La -e!de!te de la $*#a de de4e3%! e la -#2e#a de#ada d=d3 de la e3-#e%! -a#a la de4e3%! . E! té#2!o "eo2ét#$o, la -e!de!te e el !$#e2e!to d e! la de4e3%! 8$o!)o#2e a2o del -*!to 2 al -*!to 2( e! la 5"*#a .(; dddo e!t#e el !$#e2e!to d3 e! la dta!$a a lo la#"o del e7e 3. Co2o d 6 d3 o! !5!te2al2e!te -e/*eKo, la -e!de!te d=d3 e "*al a la ta!"e!te del '!"*lo de #ota$%! θ 85"*#a .(b;. &o# ta!to, dv = tan θ dx

θ= tan

−1

dv dx


..a

&'"!a 


De 2a!e#a 2la#, ta2bé! obte!e2o la "*e!te #ela$o!eH

cos θ

=

dx ds

sin θ

=

dv ds

.-.a

Obe#e /*e $*a!do lo e7e < 6 ? te!e! la d#e$$o!e /*e e 2*et#a! e! la 5"*#a .(a, la -e!de!te d=d3 e -ota $*a!do la ta!"e!te a la $*#a e !$l!a 0a$a a##ba a la de#e$0a. La e$*a$o!e 8.; a 8.@; e baa! %lo e! $o!de#a$o!e "eo2ét#$a 6, -o# ta!to, o! 'lda -a#a "a de $*al/*e# 2ate#al. Ade2', !o 0a6 #et#$$o!e -a#a la 2a"!t*de de la -e!de!te 6 de4e3o!e. VIGAS CON @NGULOS DE ROTACI>N PE9UEOS

La et#*$t*#a /*e e e!$*e!t#a! e! la da $otda!a, $o2o ed5$o, a*to2%le, ae#o!ae 6 ba#$o, e3-e#2e!ta! $a2bo #elata2e!te -e/*eKo e! * )o#2a 2e!t#a et'! e! e#$o. Lo $a2bo o! ta! -e/*eKo /*e !o lo !ota *! obe#ado# $a*al. E! $o!e$*e!$a, la $*#a de de4e3%! de la 2a6o# -a#te de la "a 6 $ol*2!a te!e! '!"*lo de #ota$%! 2*6 -e/*eKo, de4e3o!e 2*6 -e/*eKa 6 $*#at*#a 2*6 -e/*eKa. E! eta $o!d$o!e -ode2o 0a$e# al"*!a a-#o32a$o!e 2ate2't$a /*e 2-l5$a! e! "#a! 2edda el a!'l de la "a. Co!de#e, -o# e7e2-lo, la $*#a de de4e3%! /*e e 2*et#a e! la 5"*#a .(. S el '!"*lo de #ota$%! θ e *!a $a!tdad 2*6 -e/*eKa 86 de a/*1 /*e la $*#a de de4e3%! ea $a 0o#+o!tal;, de !2edato obe#a2o Método de la doble !te"#a$%!

&'"!a :


/*e la dta!$a d a lo la#"o de la $*#a de de4e3%! e -#'$t$a2e!te la 22a /*e el !$#e2e!to d3 a lo la#"o del e7e 3. Eta 22a $o!$l*%! e -*ede obte!e# de 2a!e#a d#e$ta a -a#t# de la e$*a$%! 8.@a;. Dado /*e $o   $*a!do el '!"*lo θ e -e/*eKo, la e$*a$%! 8.@a; daH d  d3 Co! eta a-#o32a$%!, la $*#at*#a #e*ltaH dθ 1 k = = ρ dx

.;

Ade2', 6a /*e θ  θ $*a!do θ e -e/*eKo, -ode2o 0a$e# la "*e!te a-#o32a$%! -a#a la e$*a$%! 8.(a;H θ



tan θ

=

dv dx

E!to!$e,  la #ota$o!e de *!a "a o! -e/*eKa, -ode2o *-o!e# /*e el '!"*lo de #ota$%! θ 6 la -e!de!te d=d3 o! "*ale. Al de#a# θ $o! #e-e$to a 3 obte!e2oH 2

dθ d v = dx d x 2


&'"!a 


Co2b!a2o eta e$*a$%! $o! la e$*a$%! 8.B; -a#a obte!e# *!a #ela$%! e!t#e la $*#at*#a de *!a "a 6 * de4e3%!H 2

d v k = = ρ d x 2 1

.=

Eta e$*a$%! e 'lda -a#a *!a "a de $*al/*e# 2ate#al, e2-#e /*e la #ota$o!e ea! -e/*eKa. S el 2ate#al de *!a "a e l!eal2e!te el't$o 6 "*e la le6 de ooJe, la $*#at*#a eH M ρ EI 1

=

.3

e! do!de M e el 2o2e!to 4e3o!a#te 6 EI e la #"de+ a la 4e3%! de la "a. La e$*a$%! 8.; 2*et#a /*e *! 2o2e!to 4e3o!a#te -oto -#od*$e *!a $*#at*#a -ota 6 *! 2o2e!to 4e3o!a#te !e"ato #e*lta e! *!a $*#at*#a !e"ata.

Al $o2b!a# la e$*a$%! 8.9; $o! la e$*a$%! 8.; e obte!e la e$*a$%! d)e#e!$al b'$a de la $*#a de de4e3%! de *!a "aH

.B 2

d v M = 2 d x EI


&'"!a >


Teora re$o4#lada del teN DE LA CURVA EL@STICA 1

Al *tt*#

ρ

-o# * alo# e3a$to #e*ltaH

2

d v 1

ρ

=

dx

2

( ( )) dv 1+ dx

2

3 2

e! do!de d=d3 6 d (=d3( o! la -#2e#a 6 e"*!da de#ada de la )*!$%! 683; #e-#ee!tada -o# ea $*#a. &e#o, e! el $ao de la $*#a el't$a de *!a "a, la -e!de!te d=d3 e 2*6 -e/*eKa 6 * $*ad#ado e de-#e$able $o2-a#ado $o! la *!dad. E!to!$eH 2

d v M = 2 d x EI

.B

=. SOLUCIONES POR INTEGRACI>N DIRECTA 2

d v M = 2 d x EI

El -#od*$to EI  a#1a a lo la#"o de la "a, $o2o e! el $ao de *!a "a de e$$%! a#able, debe e3-#e'#ele $o2o )*!$%! de 3 a!te de !te"#a# la e$*a$%! a!te#o#. S! e2ba#"o, -a#a *!a 1#ga 4r#"!t#$a, /*e e el $ao $o!de#ado a/*1, la #"de+ a 4e3%! e $o!ta!te. Método de la doble !te"#a$%!

&'"!a 


&*ede! 2*lt-l$a#e a2bo 2e2b#o de la e$*a$%! a!te#o# -o# EI e !te"#a# e! 3. Se e$#beH X

dv EI = Mdx+ C 1 dx 0

∫

e!do C *!a $o!ta!te de !te"#a$%!. S θ e el '!"*lo e! #ada!e /*e la ta!"e!te a la $*#a el't$a )o#2a $o! la 0o#+o!tal e! Q 85"*#a;, 6 #e$o#da!do /*e ete '!"*lo e -e/*eKo, e te!eH dy =tan θ ≈ θ dx

E! $o!e$*e!$a, la e$*a$%! 8.:; -*ede e$#b#e e! la )o#2a alte#!ataH X

∫

EI θ= Mdx + C 1 0

I!te"#a!do lo do 2e2b#o de la e$*a$%! 8.:; e! 3, e te!eH x

x

∫ ∫ Mdx+ C x +C

EIy = dx 0

1

2

0


&'"!a (


e! do!de C( e *!a e"*!da $o!ta!te 6 el -#2e# té#2!o del 2e2b#o de#e$0o e la )*!$%! de 3 obte!da !te"#a!do do e$e e! 3 el 2o2e!to 4e$to# M83;. S !o )*e#a -o#/*e C 6 C( -e#2a!e$e! !dete#2!ada, la e$*a$%! 8.; de5!#1a la de4e3%! de la "a e! $*al/*e# -*!to dado Q 6 la e$*a$%! 8.:; de5!#1a del 22o 2odo la -e!de!te de la "a e! Q. La $o!ta!te C 6 C( e dete#2!a! de la $o!d$o!e de )#o!te#a o, d$0o $o! 2a6o# -#e$%!, de la $o!d$o!e 2-*eta e! la "a -o# * a-o6o. L2ta!do al a!'l e! eta e$$%! a "a et't$a2e!te dete#2!ada, e de$#, a "a a-o6ada de tal 2a!e#a /*e la #ea$$o!e -*ede! obte!e#e -o# et't$a, obe#e /*e a/*1 -*eda! $o!de#a#e t#e t-o de "a 85"*#a .:;H a; la "a 2-le2e!te a-o6ada, b; la "a de *! t#a2o e! olad+o 6 $; la "a e! olad+o.


&'"!a @


3.0 CONDICIONES DE FRONTERA &a#a la ol*$%! de -#oble2a de de4e3o!e e! "a, ade2' de la e$*a$o!e d)e#e!$ale debe! -#e$#b#e $o!d$o!e de )#o!te#a. Va#o t-o de $o!d$o!e 0o2o"é!ea de )#o!te#a o! lo "*e!teH 8&o-o (Ed, -. 9>;

3.,. E!4otra!#ento: E! ete $ao, el de-la+a2e!to y 6 la -e!de!te d=d3 debe! e# $e#o. &o# $o!"*e!te, e! el e3t#e2o $o!de#ado, do!de 3 ? a,

x =0 y A =0

x =0 θ A =0

3.. So4orte de rod#llo o "o4orte art#$ulado : E! el e3t#e2o $o!de#ado, !o -*ede e3t# ! de4e3%! 6 ! 2o2e!to M. A/*1, la $o!d$%! )1$a2e!te ede!te -a#a M et' #ela$o!ada $o! la de#ada de y #e-e$to a 3.


&'"!a B

U.N.P.R.G - Ing. Civil Resistencia de los materiales I x =0 y A =0

x = L y B =0

3.-. E
x = L y L ≠ 0

x = L

θ L ≠ 0

3.;. Ca"o e"4e$#al: V#ga" $on r'tula:

Debdo a /*e eta "a e dete#2!ada "#a$a a la e$*a$o! ad$o!al de la #%t*la, -#ee!!ta !$o!te!$a !o e! la e$*a$o! de !"*la#dad !o e! la #et#$$o!e de * a-o6o 6 al t#ata# de e!$o!t#a# la $o!ta!te de !te"#a$o! /*eda#a al"*! a-o6o ! #et#!"#. 7tt4:e"."$r#)d.$o!do$-5,3De&or!a$# one"0Por0Fle<#onH"$r#)d


&'"!a 9


F#g: 7tt4:e"."$r#)d.$o!do$-5,3De&or!a$# one"0Por0Fle<#onH"$r#)d

La e$*a$%! de !"*la#dad *-o!e $o!t!*dad e! la el't$a, -e#o la e#dade#a el't$a e d$o!t!*a e! la #%t*la, e!do el "#o -o# la +/*e#da d)e#e!te al de la de#e$0a. 7tt4:e"."$r#)d.$o!do$-5,3De&or!a$# one"0Por0Fle<#onH"$r#)d &o# lo ta!to la ol*$%! e debe t#aba7a# $ada lado e! )o#2a !de-e!de!teH

Gr$a": 7tt4:e"."$r#)d.$o!do$-5,3De&or!a$# one"0Por0Fle<#onH"$r#)d Método de la doble !te"#a$%!

&'"!a 


M I = 7.5 x −22.5 y M D =7.5 x −15 ( x −1.5 )

A0o#a !te"#a2o a2ba e$*a$o!e -a#a $ada ladoH x −1.5

¿

2

7.5 x

−7.5 (¿ ¿ 2+C ) 3

2

θ I =

1

EI

(

7.5 x

2

)

−22.5 x + C θ D= 1

2

1

¿

EI

x −1.5

¿ 7.5 x +2.5 (¿ ¿ 3 + x C + C ) 3

3

6

δ I =

1

EI

(

4

3

7.5 x 62

2

)

−11.25 x + xC + C δ D = 1

2

1

¿

EI

A0o#a 6a -ode2o a-l$a# la $o!d$o!e !$ale 6 de )#o!te#a -a#a $ada lado 6 dete#2!a# la $o!ta!te H Método de la doble !te"#a$%!

&'"!a 

U.N.P.R.G - Ing. Civil Resistencia de los materiales I Ladoizquierdo ( empotrado ) : x =0 : θ= δ =0 Lado dere!o ( apoyo"i#o ) x =0 : δ =0 Adem$s : δ ( x =3 ) I =δ ( x =3 ) D

F!al2e!te e te!d#1a /*e el "#o e! la #%t*la -o# la +/*e#da e#' d)e#e!te al "#o -o# la de#e$0a.


&'"!a :


3. RESU%EN DEL PROCEDI%IENTO Lo 22o t#e $o!$e-to b'$o de la 2e$'!$a de %ldo #e-etda2e!te a-l$ado a!te#o#2e!te e *a! -a#a dea##olla# la teo#1a de la de4e3%! el't$a de "a. to -*ede! #e*2#e $o2o "*eH . La $o!d$o!e de e/*lb#o 8et't$a; e *a! e! *! ele2e!to de "a -a#a etable$e# la #ela$o!e e!t#e la $a#"a a-l$ada 6 la )*e#+a $o#ta!te, a1 $o2o e!t#e la )*e#+a $o#ta!te 6 el 2o2e!to 4e3o!ate. (. La "eo2et#1a de de)o#2a$%! 8$!e2't$a; e *a *-o!e!do /*e la e$$o!e -la!a de *! ele2e!to de "a -e#2a!e$e! -la!a de-*é de la de)o#2a$%!. Tale e$$o!e -la!a e !te#e$a! 6 de5!e! de)o#2a$o!e *!ta#a de la "a a1 $o2o el #ado de $*#at*#a de *! ele2e!to. A*!/*e e! el e!tdo a!te 2e!$o!ado la e3-#e%! -a#a la $*#at*#a, e e3a$ta, la teo#1a e l2ta a de4e3o!e -e/*eKa, 6a /*e se%θ e a-#o32ado -o# >,. No e to2a e! $*e!ta e! la )o#2*la$%! !!"

&'"!a 


B. E2ERCICIOS DE APLICACI>N EJer$#$#o NK , En la "#gu#ente 1#ga 7allar el d#agra!a de !o!ento el g#ro ? la Me$7a 4ara <, "# "e t#ene una "e$$#'n la "e$$#'n tran"1er"al re$tangular de 5.;! 4or 5.3! &$B5g$!.

C@LCULO DE REACCIONES

∑ & =0 y

' A + ' B=50 ( 4 ) +

( )

30 4 2

' A + ' B=140

∑ M =0 A

' B ( 14 )−60

( )+ 8

+

4 3

−80 (4 )= 0

50

' A =80.7 () ' B=59.3 ()


&'"!a (>


EI

M =80.7 x −

−7.5 ( x −12 )

3

+

6

20

20

( x −6 )

( x −2 )

2

+

2

y 2

d x

= M

2

2

2

d

−50 ( x −7 ) − 0

30

( x −8 )

2

2

3

( x −8 )

7.5

6

ECUACION DE GIRO:

EIθ=

80.7

( x )

2

−7.5 ( x −12 ) 24

2

−

4

+

10

10

( x −2 ) 3

( x −6 ) 3

3 1

−50 ( x −7 ) −5 ( x − 8 )

3

+

( −8)

7.5 x

24

3

4

+ C

1


&'"!a (


ECUACI>N DE LA FLEC*A EI δ y =

80.7

( x )

3

6

−

5

( x −2 )

4

6

−25 ( x −7 ) − 2

−7.5 ( x −12 )

5

+

120

( x −8 )

5

4

4

10

( x −6 )

4

+

12

( −8)

7.5 x

5

+ C x + C 1

120

2

 A-l$a2o la $o!d$o!e de )#o!te#a e! la e$*a$%! de δ y =0

la 4e$0a -a#a 3?>, 57o. EI ( 0)=

( )

80.7 0

3

−

6

5

( x −2 ) 6

4 2

− 25 ( x −7 ) −

−7.5 ( x −12 ) 120

0

5

+

6a /*e e t#ata de *! a-o6o

( −8)

5 x

4

4

10

( x −6 )

3

+

12

7.5

5

( x −8 ) 120

+ C 0 + C 1

2

=C

2

 A-l$a2o la $o!d$o!e de )#o!te#a -a#a 3?B, 6a /*e e t#ata de *! a-o6o 2-le. EI δ y =

(

80.7 14 6

)

3

−

( −2 )

5 14

6

4 2

−25 ( 14−7 ) −


(

5 14

−8 )

δ y =0

4

4

&'"!a ((

U.N.P.R.G - Ing. Civil Resistencia de los materiales I −7.5 ( 14 −12 )

5

+

120

0

( −6 )

10 14

12

4

+

(

7.5 14

−8 )

5

+ C 14 + C 1

120

2

=20679.13 + C ( 14 ) 1

C 1 =

−20679.13 14

C 1 =−1477.08

El "#o -a#a 3?( e#'H EIθ=

(

80.7 12 2

−7.5 ( 12−12 )

2

−

4

24

θ=

)

+

( −2)

10 12 3

(

10 12

−6 )

3

3 1

3

−50 ( 12−7 ) −5 ( 12−8 )

3

+

( −8 )

7.5 12

24

4

+ C

1

1229.99

EI

La 4e$0a -a#a 3?( e#'H EI δ y =

−80.7 ( 12 ) 6

3

−

( −2 )

5 12

6

4

−25 ( 12−7 ) −

−7.5 ( 12−12 ) 120

2

5

+

( −6 )

10 12

12


( −8)

5 12

4

4

4

+

5

( −8 )

7.5 12

120

+C ( 12 )+ C 1

2

&'"!a (@

U.N.P.R.G - Ing. Civil Resistencia de los materiales I δ y =

−2617.69 EI

Cl$ulo del !o!ento de #ner$#a >.2

3

I =

* (! )

>.B2

12

−3

I =7.2 ( 10 ) m

4

Cl$ulo de E &Q$B5 g$!  E=15000 √ "  E=15000 √ 270 4

E= 2417.92( 10 ) () / m

2

Ree2-la+a!do e! la e$*a$o!e a!te#o#e el "#o 6 la 4e$0a e#1aH θ=

1229.99 () m

( 7.2 ( 10 )−

3

m

4

2

) ( 2417.92 ( 10 ) () / m ) 4

2

θ= 0.40 +


&'"!a (B

U.N.P.R.G - Ing. Civil Resistencia de los materiales I 3

− 2617.69 () m δ y = − ( 7.2 ( 10 ) m ) ( 2417.92 (10 ) () / m 3

4

4

2

)

δ =−0.015 m

EJer$#$#o NK  En la 1#ga !o"trada 7allar el g#ro ? la Me$7a 4ara <B! la "e$$#'n tran"1er"al de la 1#ga e" de 5.;!5.3! ? 4ara F$B56g$!.


∑ & =0 y

' A =10 (3 )+

( )

18 3 2

' A =57 ()

∑ M =0 A

M A−30 ( 3.5 ) + 30 −27 ( 10 )= 0 M A=345 ()


&'"!a (9


EI

M ¿− 345+ 57 x −

+ 6 ( x − 9 )

3

6

M =−345 +

57 x 2

+

10

( x −5 )

10

( x −2 ) 2

d

2

y 2

d x

= M

2 0

−30 ( x −7 ) −

18

( x −9 )

2

2

2

2

2 2

−5 ( x −2 ) −30 ( x −7 )

0


&'"!a (


3

−9 ( x − 9 ) + ( x −9 ) + 5 ( x −5 )

2

ECUACION DEL GIRO: 2

3

3

4

3

( x −9 ) 5 ( x −5 ) 57 ( x ) 5 ( x −2 ) 9 ( x −9 ) dy − −30 ( x −7 )1− + + + C 1 EI = EIθ=−345 x + 2 3 3 4 3 dx

ECUACION DE LA FLEC*A: 2

EIδ =

−345 ( x ) 2

+

57

( x ) 6

+ ( x − 9 ) 20

3

−

5

+

5

( x −2 )

4

12

5

( x −5 )

−

30

( x −7 ) 2

2

−

9

( x −9 )

4

12

4

+ C x + C 1

12

2

 A-l$a2o la $o!d$o!e de )#o!te#a e! la e$*a$%! de

la 4e$0a -a#a 3?>, e2-ot#ado.

δ y =0

6 P ? > 6a /*e e t#ata de *!

EIθ= 0 + C 1 C 1 =0

EIδ =¿ 0

>

C 2

=C


2

&'"!a (


 EL GIRO EN 3 ? H ( )

57 7

EIθ=−345∗7 +

2

−

2

+ 5 ( 7 −5 )

EIδ =

2

+

( )

57 7

3

1

+C

−1213.5 EI

3

6

+ 5 ( 7 −5 )

−30 (7 −7 )

1

θ=

2

3

3

3

−345 ( 7 )

( −2 )

5 7

−

( −2 )

5 7

4

12

−

( −7 )

30 7

2

2

4

+ C 7 + C 1

12

δ y =


2

−5447.75 EI

&'"!a (:


Cl$ulo del !o!ento de #ner$#a >. 2

>.B2

3

I =

* (!) 12

−3

I =7.2 ( 10 ) m

4

Cl$ulo de E &Q$B5 g$!  E=15000 √ "  E=15000 √ 270 4

E= 2417.92 ( 10 ) () / m

2

Ree2-la+a!do e! la e$*a$o!e a!te#o#e el "#o 6 la 4e$0a e#1aH 2

−1213.5 () m θ= ( 7.2 ( 10 )− m ) ( 2417.92 ( 10 ) () / m 3

4

4

2

)

θ= 0.40 +


&'"!a (


− 3658.03 () m δ y = − ( 7.2 ( 10 ) m ) ( 2417.92 (10 ) () / m 3

4

4

2

)

δ =0.031 m

EJer$#$#o NK En la 1#ga !o"trada 7allar el g#ro en el a4o?o Jo ? la Me$7a en el $entro de la 1#ga. La 1#ga t#ene una "e$$#'n tran"1er"al re$tangular de5.;!<5.3! ? &$;5g$!.


∑ & =0 y

' A + ' B=5 + 12+ 16 ' A + ' B=33 ()

∑ M =0 A

( ) ( )

−5 ( 2 )− 12 4 + 8 −8 8 + 4 − 8 (10 )−10− ' B ( 16 )= 0 3

3


&'"!a @>

U.N.P.R.G - Ing. Civil Resistencia de los materiales I ' A =17.08 () 'B =15.92 ()


&'"!a @


EI

1

M =17.08 x −5 ( x −2 ) −

6

−( x −12 ) 6

+ ( x − 8 ) 6

3

( −4 )

1.5 x

3

+

6

−

6

( x −8 ) 2

d

2

y 2

d x

= M

2

( x −8 ) 2

2

+

( − 8)

1.5 x

6

3

+

( −12 )

2 x

2

2

3

+ 10 ( X −14 )

0

M =¿


&'"!a @(

U.N.P.R.G - Ing. Civil Resistencia de los materiales I 17.08 x

−5 ( x −2 )−

( x −4 )

3

4

−

( x −12 )

3

6

+ 10 ( x − 14 ) +( x −12 ) + 0

2

( − 8)

2.5 x

3

6

ECUACION DE GIRO:

( )

EI

d y d x

=17.08

+ ( x −12 ) 3

3

+

2.5

x

2

2

−

5

( x −2 )

2

−

2

( x − 8 )

( x −4 ) 16

4

−

( x −12 )

4

24

4 1

+ 10 ( X −14 ) + C

1

24

ECUACION DE LA FLEC*A:

3

EI ( y )=17.08

+ ( x −12 )

4

+

12

x

6

10

−

5

( x −2 ) 6

3

−

( x − 4 ) 80

5

−

( x −12 ) 120

5

+

2.5

( x −8 )

5

120

2

( X −14 ) 2

+ x C + C 1

2

 A-l$a2o la $o!d$o!e de )#o!te#a e! la e$*a$%! de

la 4e$0a -a#a 3?>, 57o.

0

δ y =0

6a /*e e t#ata de *! a-o6o

=0 + C

2

0

=C

2


&'"!a @@


&a#a 3? 6 ?> C 16

(¿¿ 1 )+ 6978.35 0 =¿

−436.15 =C

1

ECUACION DE GIRO:

( )

EI

d y d x

=17.08

+ ( x −12 ) 3

3

+

2.5

x

2

2

−

5

2

−

2

( x − 8 ) 24

( x −2 )

( x −4 ) 16

4

−

( x −12 )

4

24

4 1

+ 10 ( X −14 ) − 436.15

ECUACION DE LA FLEC*A: 3

EI ( y )=17.08

+ ( x −12 )

4

12

+

x

6

10

−

5

( x −2 ) 6

3

−

( x − 4 ) 80

5

−

( x −12 ) 120

5

+

2.5

( x −8 )

5

120

2

( X −14 ) 2

−436.15 x

 EL GIRO EN EL A&OYO FIO QUEDARAH EIθ= 0− 436.15

θ=

−635.14 EI


&'"!a @B

U.N.P.R.G - Ing. Civil Resistencia de los materiales I  La 4e$0a e! el $e!t#o del $la#o de la "a eH EI ( y )=−2224.5

δ y =

−2224.51 EI

Cl$ulo del !o!ento de #ner$#a

>.2

3

I =

* (! )

>.B2

12

−3

I =7.2 ( 10 ) m

4

Cl$ulo de E &Q$;5 g$!  E=15000 √ "  E=15000 √ 240 4

E = 2279.638 ( 10 ) () / m

2

Ree2-la+a!do e! la e$*a$o!e a!te#o#e el "#o 6 la 4e$0a e#1aH −436.15 () m

θ=

( 7.2 ( 10 )

−3

m


4

)

(

2

(

2279.638 10

m

2

4

) ()

) &'"!a @9

U.N.P.R.G - Ing. Civil Resistencia de los materiales I θ=−0.15 +

3

−2224.51 () m δ y = ( 7.2 ( 10 )− m ) 2279.638 ( 10 ) () 3

4

(

4

2

m

)

δ =−0.013 m

EJer$#$#o NK ; E! la "a 2ot#ada dete#2!a# el "#o 6 la 4e$0a -a#a 3? , abe!do /*e la e$$%! t#a!e#al de la "a e *! #e$t'!"*lo de >.B22 -o# >.@22 6 *! )$?(> J"=$2(

D CALCULO DE REACCIONES

∑ & =0 y

'C + ' D=100 ()

∑ M = 0 C

' D ( 4 ) −50

( ) ( )= 2

+ 4 −50 3

2

3

0

Por "#!etra ' D=50


&'"!a @

U.N.P.R.G - Ing. Civil Resistencia de los materiales I 'C =50

∑ & =0 y

' A −50 + 50= 0

∑ M =0 A

2

M A−50 ( 2 ) + 50 ( )= 0 3

M A=

200 3

() , m

Tra!o Iu#erdo


&'"!a @


2

M =25 x − θ=

1

(

200 3

−200 x

EI

3

1

−200 x

δ =

(

EI

6

− +

25 x 6

25 x

2

+

3

3

3 25 x 12

−

25 x

4

−

4

+ C ) 1

24 25 x

5

120

+ C x + C ) 1

2

&o# $o!d$o!e de )#o!te#a -o# e# *! e2-ot#ado δ =θ =0 •

E$*a$%! de "#o


&'"!a @:


•

( )∗

=

0

+ C

1

C 1=0

EI

E$*a$%! de la 4e$0a 0

=0 + C ∗C =0 2

2

Tra!o Dere$7o

M =50 x −

50 x 2

2

−2

[

25

( x −2 ) 6

3

]

+

25 x

3

6


&'"!a @


M =50 x −25 x −

θ=

θ=

1

[

EI 1

50 x

2

−

2

2

[ 25 x −

δ = [ EI

25 x

3

3

−

( x −2 )

3

3

25 x

3

−

3

25 x

EI 1

25

3

−

3

25 x 12

−

4

+

12

( x −2 )

4

12

( −2 )

25 x

60

3

6

( −2 )

25 x

25

4

+

25 x

+

25 x

+

+ C ] 3

24

25 x

5

4

4

+C ] 3

24

25 x

5

120

+C x + C ] 3

4

&o# $o!d$o!e de )#o!te#a -a#a δ =0

?> •

Ree2-la+a!do e! la e$*a$%! de la 4e$0a >?> 

C 4

C 4=0

Co!d$%! ad$o!al δ ( x =2) I = δ ( x = 4 ) D

−320 3

4 C 3

=200 + 4 C

3

=

−920 3

2

C 3 =−76.67 () , m

ECUACI>N DE GIRO Método de la doble !te"#a$%!

&'"!a B>

U.N.P.R.G - Ing. Civil Resistencia de los materiales I θ=

1

2

[ 25 x −

EI

25 x

3

3

−

( −2 )

25 x

4

12

+

25 x

4

24

−76.67 ]

ECUACI>N DE FLEC*A 1

δ = [ EI

25 x 3

3

−

25 x 12

4

−

( −2 )

25 x

60

5

+

25 x

5

120

−76.67 x ]

Deter!#na!o" el !o!ento de #ner$#a −3

I =1.6 ( 10 ) m

4

5.; ! 5.! -

"  =210 E=15000 √ 210 (. / m E= 217370.65 (. / m 4

2

2

2

E= 2132.406 x 10 () / m

Por la #u#erda Método de la doble !te"#a$%!

&'"!a B


?(2 θ=

1

[

−250

EI

]

3

θ=−2.44 ( 10

) rad

θ=−2.44 ( 10

) rad

−3

−3

θ=−0.14 +

1

δ = [ EI

−320 () m 3

2

]

δ =−3.13 mm

Por la dere$7a: <;! θ=

1

[ 23.33 ]

EI

θ= 6.84 ( 10

−4

) rad θ= 0.039 +

1

3

δ = [−106.68 () m ] EI δ =−3.13 mm

Se $u!4le δ I = δ D=−3.13 mm

θ I ≠ θ D


&'"!a B(


/. CONCLUSIONES  U!a "a e2-#e e de)o#2a -o# a$$%! de la $a#"a /*e a$t

&'"!a B@

Doble Integración

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