UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA CURSO DE ENGENHARIA CIVIL
DIMENSIONAMENTO DIMENSIONAMENTO DE PILAR DE PONTE DE CONCRETO ARMADO
Isadora De Souza Cardoso Marco Aurélio Borgeo Elton de Carvalho
Barra do Garças/MT, novembro de 2014.
Exercício: Dimensionamento de um pilar P4, em uma ponte de classe 45 com tabuleiro contínuo. Dados: fck = 20 Mpa; φ = 1,0 m.
Figura 1-Esquema longitudinal da ponte
•
Características dos Pilares e dos aparelhos de apoio Segundo as peças adotadas pra pré-dimensionamento temos as seguintes
características para as peças adotadas
Pilares
- φ = 1,0m -Fck=20 Mpa - Ecs = Eci × 0,85 = 5600 ×
fck × 0,85
=
5600 × 20 × 0,85
=
21287,37 Mpa
Portanto, adotaremos Ec = 21000 Mpa
=
2,1×107 KN/m²
-Área dos pilares A =
π × d ²
4
=
π × 1²
4
=
0,785m 2
-Inércia dos pilares I =
π × d 4
64
=
π × 1²
64
=
4,9 ×10 2 m 4 −
Aparelho de Neoprene Fretado (P1 e P4)
Constituído por 2 chapas de aço externas= 2mm e 1 interna= 3mm. Com dimensões: 250x900x37 mm³.
Figura 2-Aparelho de apoio
O aparelho é revertido com camadas de neoprene com 3mm de espessura, logo as medidas úteis serão: Área de apoio: Aa=24,4 x 89,4=2181,36 cm² =2181,4 x10 4 m² −
Altura útil: ha= 2x12=24 cm= 0,024
m
Módulo de elasticidade transversal do neoprene= G=1000 KN/m²
Aparelho de apoio Freyssinet (P2 e P3)
A rigidez é infinita já que esse apoio não deforma na horizontal.
•
Cálculo dos esforços horizontais longitudinais Adotando um modelo que considera como apoio elástico os conjutos pilar-
neoprene que recebem as cargas dos tabuleiros, podemos determinar a parcela de carga absorvida por cada apoio. Um esquema do modelo é mostrado a seguir.
Figura 3-Modelo de cálculo da distribuição de forças longitudinais entre os apoios elásticos
Primeiro é preciso calcular as rigezas.
Calculando as rigezas dos apoios elásticos
Lembrando que rigidez é o esforço que deve ser aplicado para se produzir um deslocamento unitário.
Figura 4- Rigidez do apoio elástico
Cálculo da rigidez do pilar, do aparelho de apoio e do conjunto
Temos que Kpi =
Fi
δ pi
, também se sabe pelo Método das Cargas Unitárias
(MCU- Teoria das estruturas) que para uma força horizontal aplicada no topo de um pilar engastado - livre, o deslocamento é: δ pi =
Fi × lpi 3
3 Ec × Ipi
, logo Kpi =
Fi Fi × lpi
3 Ec × Ipi
= 3
Fi ×
3 Ec × Ipi Fi × lpi
3
Kpi =
3 Ec × Ipi lpi
3
Onde: Ec= Módulo de elasticidade do material Ipi= Inércia do pilar i Lpi= comprimento do pilar i De forma análoga para o aparelho de neoprene temos:
Figura 5-Rigidez do aparelho de Neoprene
Temos, tgγ =
δ ai hai
, e que γ =
Além disso, temos que: γ = Igualando-as temos:
δ ai hai
=
δ ai hai
(para ângulos que tendem a zero)
Fi Gai × Aai Fi
Gai × Aai
Pela definição de rigidez: Kai =
Fi
δ ai
⇒ δ ai =
=
Fi × hai Gai × Aai
Fi Gai × Aai ⇒ Kai = Fi × hai hai Gai × Aai
Onde: Gai=Módulo de elasticidade transversal do material do aparelho de apoio. Aai=Área (útil) hai=Altura (útil)
Como era de se esperar a rigidez depende apenas da geometria e do material. Observe agora que o apoio existente é um conjunto pilar – neoprene, para associá-los faremos o seguinte:
Figura 6-Rigidez do apoio elástico (pilar+aparelho de apoio)
Assim, ∆ = δ ai + δ pi =
Considerando Onde:
∆
1 Ki
Fi Kai
+
Fi Kpi
=
1
Fi ×
Kai
1 1 + Kai Kpi , temos:
=
+
1
Kpi
∆ × Ki =
Fi
= Deslocamento total
1 Ki= Rigidez do conjunto dado por Ki = 1 1 + Kai Kpi
Fi= Força aplicada. Agora, de posse da rigidez do conjunto podemos calcular a parcela de força absorvida pelo apoio. Da figura 2, temos: F =
Fi Ki
∑ Fi = ∑ Ki × ∆ , logo ∆ =
=
F
∑ Ki
⇒ Fi =
Ki
∑ Ki
F
∑
Ki
, como Fi = Ki × ∆
× F
Sendo: Ki=Rigidez do apoio elástico i Fi=Força absorvida pelo conjunto i F=Força longitudinal aplicada no tabuleiro
Com as informações estabelecidas até aqui, vamos calcular as rigezas dos apoios da ponte em estudo. A tabela abaixo apresenta as rigezas dos pilares, dos neoprenes e do conjunto: Lembrando que Kpi = Apoio Elástico i Ec (kN/m²)
3 Ec × Ipi lpi
3
e Kai =
Gai × Aai hai
Pila
Apa!lho "! Apoio
Ip (m^4)
Lp (m)
Kp (N/m) Ga (kN/m²)
Aa (m²)
ha (m)
0,21814
0,024
1
21000000
0,0491
5,00
24746,40
2
21000000
0,0491
10,00
3093,30
3
21000000
0,0491
10,00
3093,30
4
21000000
0,0491
5,00
24746,40
1000
Apoio Freyssinet 1000
0,21814
0,024
Conjunto Ka (kN/m) Kpa (kN/m) 9089,17
6647,57
Infinita
3093,30
Infinita
3093,30
9089,17
6647,57
Figura 7-Tabela das rigezas
Obs: Nessa análise considerou-se que há apenas um pilar no apoio i, caso haja mais que um (na direção transversal), nesse caso existem dois, a força aplicada a cada um será igual à Fi/n. Onde n é o número de pilares, logo a força em cada apoio será dividida por dois.
Cálculo das forças horizontais
Frenagem ou aceleração de veículos (Ff) A NBR 7187 diz que o efeito pode ser estimado da seguinte maneira: Ff
≥ 5%
da carga móvel total 30% do peso do veículo-tipo
Ff ≥ 0,05 x (L ponte x B ponte x q – Lvt x Bvt x q) + Pvt 0,30 x (Pvt) Ff ≥ 0,05 x [(75 x 12,8 x 5- 6 x 3 x 5) +450]=258 KN 0,30 x (450)=135 KN Logo, Ff= 258 KN
Onde: L ponte=comprimento da ponte B ponte=largura da ponte q=carga móvel distribuída no tabuleiro Lvt e Bvt=comp. e largura do veículo tipo Pvt=Peso do veículo tipo Ff=Força de frenagem
Como a força de vento que atua longitudinalmente no tabuleiro é estimada como sendo uma parcela da força de vento que atua horizontalmente, aqui será calculado a força de vento horizontal transversal e na sequência horizontal longitudinal.
Força horizontal transversal devido ao vento ( Fvt ) a. Situações descarregadas ( Fvtd ) Para está situação, utilizamos w=1,5 KN/m² A área de incidência pode ser calculada através de: A tabuleiro=h tabuleiro x L tabuleiro Portanto, A tabuleiro=(2,25+0,8)x75=228,75 m² Logo, Fv td = 1,5 × 228,75 = 343,13KN b. Situação carregada ( Fv tc ) Neste caso w=1,0 KN/m² e considera-se altura adicional ao tabuleiro de 2,0m
(altura média dos veículos), logo: Atabuleiro= (2,25+0,8+2)x75=378,75 m² Sendo assim: Fv tc = 1,0 × 378,75 = 378,75KN Portanto a força de vento considerada será de 378,75 KN
Força horizontal longitudinal devido ao vento ( Fv L ) Segundo a norma americana AASHTO, considera-se atuante na ponte,
simultaneamente, à força transversal do vento, uma força longitudinal composta pelas seguintes parcelas: - vento na superestrutura= 25% da força do vento transversal - vento na carga móvel = 40% do vento transversal a. Situação descarregada Fv Ld
=
0,25 × Fvtd = 0,25 × 343,13 = 85,78KN Área do veículo=0m²
b. Situação carregada Lc
Fv
=
w × ( Atab × 0,25 + Aveic × 0,4)
1,0 × (3,05 × 75 × 0,25 + 2 * 75 × 0,4) Lc Fv = 117,19 KN Lc
Fv
=
Onde: Atab=Área do tabuleiro Aveic=Área do veículo w= pressão do vento Portanto a força do vento Fv L considerada será de 117,19 KN.
Força horizontal longitudinal devido ao empuxo da carga móvel ( Fe )
Considerações para Cálculo: -Carga móvel distribuída no tabuleiro: 5 kN/m²; -Três eixos com 150 kN a cada 1,5 metros, com comprimento total de 6 metros e 3 metros de largura; -Peso Específico do solo: γ = 18
KN m
3
;
-Largura da ponte (lp) = 13,60 m; -Ângulo de atrito do solo: φ = 30 .
Figura 8-Coeficiente de empuxo ativo e passivo de acordo com φ
Portanto, para o cálculo do empuxo, será considerada a teoria de Rankine que é estudada na disciplina de mecânica dos solos, onde se determina a distribuição do empuxo junto ao elemento de contenção.
Figura 9-Esquema do empuxo de terra provocada por cargas móveis
q
A Passagem de um veículo sobre um aterro produz na superfície vertical de encontros e cortinas, uma pressão lateral uniforme, conforme a figura abaixo:
Figura 10-Esquema para cálculo da carga q
Onde o empuxo provocado por carga móvel, é dado pela equação: Eq = Ka × q × b × h
Sendo:
q=
qv × 3,0 + q × (lp − 3,0 ) lp
qv= Carga Uniformemente distribuída, resultante da divisão do peso total do veículotipo pela área de atuação do veiculo; q= Carga móvel distribuída sobre o tabuleiro da ponte; lp= Largura da ponte; h= Altura da cortina. Então, adotando a teoria demonstrada acima se calcula o empuxo a seguir: qv =
450 KN KN = 25 (3 × 6)m² m²
Como, q = 5KN/m² (classe 45) Logo, Eq = Ka × q × b × h
25
KN
Eq = 0,33 ×
m²
×
3,0m + 5
KN
×
m² 13,6m
(13,6m − 3,0m) ×
13,6 × 2,25
Eq = 96,00 KN
Força horizontal longitudinal devido à retração e temperatura ( FiT )
Se todos os apoios forem elásticos (Pilar + Aparelho de apoio), onde ocorrerão movimentos de retração e alongamento, ou seja, podendo ocorrer deslocamentos nas duas direções. Com isso, ao se introduzir um apoio em uma extremidade da superestrutura, resultara em um deslocamento nulo devido ao apoio. Com essa consideração, o deslocamento a determinar no apoio elástico é função da sua distância até o plano com deslocamento nulo. Para resolver o problema, é feito uma superposição de efeitos com duas soluções: -1º aplica-se efeito de temperatura e retração (∆Teq) a superestrutura com uma extremidade fixa, ou seja, introduzindo o apoio onde o deslocamento é nulo. -2º devolve-se a superestrutura à reação de apoio encontrada. Segue abaixo a imagem explicando o processo:
Figura 11-Força nos apoios elásticos devido a ∆Teq
a. Efeito de ∆Teq, com extremidade fixa (Apoio) Sabendo que o deslocamento é nulo no apoio, então o deslocamento no apoio “i”devido à variação de temperatura, é dado pela equação a seguir: δ oi = α × ∆ × Teq × xi
Pois, em resistência dos materiais: ε = Onde:
δ L L
⇒ δ L = ε × L e ε = α × ∆Teq .
α = Coeficiente de dilatação térmica (usaremos o coeficiente do concreto para o
cálculo). ∆Teq=
variação de temperatura equivalente á retração e temperatura.
xi= Distância entre a extremidade fixa até o apoio i.
Portanto, obtido o deslocamento
δoi,
o esforço correspondente a esse
deslocamento será dado por: Fi = Ki × δ oi
Substituindo δoi nesta equação, temos: Foi = Ki × α × ∆Teq × xi
Sendo: Ki= Rigidez do apoio elástico. (calculado anteriormente) Foi= Força no topo do apoio “i” devido ao deslocamento δ oi produzido por ∆Teq .
Por equilibro da estrutura, tem-se: Fo =
∑ Foi
Substituindo na equação anterior, temos: Fo =
∑ Ki × α × ∆Teq × xi b. Efeito da devolução de Fo na estrutura
A força no apoio “i”, devido ao Fo, é dada por: ∆Fi =
∆Fi =
Ki
∑
Ki
Ki
∑
Ki
× Fo
×
(∑ Ki × α × ∆Teq × xi ) = ∑
Ki × Ki
∑
Ki
c. Superposição de efeitos Devido à superposição de efeitos, temos que:
×
(α × ∆Teq × xi )
∆ Substituindo, as equações seguintes: * Foi = Ki × α × ∆Teq × xi
*
∆Fi =
∑ Ki × Ki × (α × ∆Teq × xi ) ∑ Ki Temos:
Fi = Ki × α × ∆Teq × xi −
∑ Ki × xi ∑ Ki
Onde: Fi= Força correspondente a cada aparelho de apoio devido ao efeito de temperatura; Ki= Rigidez do conjunto (Aparelho de apoio + pilar); xi= Distância da origem “o”, que está colocado na extremidade da viga com deslocamento nulo, até o apoio “i”.
Segue a aplicação dos cálculos desenvolvidos a cima, da ponte em estudo. A força absorvida por cada pilar é dado pela equação acima, onde será adotada a extremidade esquerda da viga principal como a origem do sistema de coordenada oxy, conforme a figura abaixo:
Figura 12-Esquema de cálculo para o primeiro caso
Para facilitar o cálculo, montamos uma tabela com os dados necessários.
Sabe-se que: ∆Teq
=
± 25℃
∝ 10℃
e
Portanto, a tabela abaixo indica os valores das forças aplicadas em cada pilar devido ao modelo adotado. Pila
#i
Ki
Ki$#I
1
5
3629,38
18146,9
-35,80
2
25
3093
77325
-15,04
3
50
6042
302100
8,38
4
70
6647,54
465327,8
42,46
19411,92
862899,7
Σ
Fi
T
( KN )
Figura 13-Tabela de Forças nos pilares devido à retração e temperatura
Exemplo de demonstração: Pilar 4 Conforme a dedução da fórmula, a força que atua no topo do pilar elástico é dada pela equação:
Fi = Ki × α × ∆Teq × xi −
Fi = 6647,54
KN m
×
10
−5
∑ Ki × xi ∑ Ki
70m − 862899,70 KN 1 = 42,46 KN °C × 25°C × KN 19411,92 m −
Cálculo da distribuição das forças transversais horizontais entre os pilares
A distribuição dos esforços horizontais de vento é feito por uma analogia entre duas equações que se assemelham, onde, é comparado um problema de vento soprando contra o tabuleiro e a equação de RESMAT para flexão simples.
1º caso – Distribuição das forças sobre a ponte: quando atuam ações, referenciadas a um ponto “o” do plano horizontal, surgem esforços resultantes Fres e Mres. Considerando-se, inicialmente, apenas ação do momento Mres, o tabuleiro gira em torno do ponto “o”, de um ângulo α, provocando em cada pilar um deslocamento α.xi, ou seja, com um momento, o pilar se desloca α.xi, e consequêntemente como visto anteriormente que Fi = ki.∆ , logo:
.αxi A explicação acima é resumida na figura abaixo:
Fazendo o equilíbrio do tabuleiro, (lembrando que Fres ainda não esta sendo considerada) temos:
∑ 0 ∑ ∑.αxi α∑. 0 ∑0 ∑.∑.α.xi α∑.² 2º caso – Equação de flexão simples da RESMAT
Figura 14-Flexão simples
Dos conceitos de RESMAT para flexão simples, temos:
∑ 0 !".#$ %. ".#$ 0 ∑0 !".#$."%."².#$. Portanto, fazendo á analogia, temos:
$ ∑ & ∑.² " Considerando na estrutura que há um CG das rigezas, se a força de vento resultante, for aplicada nesse centro, haveria uma translação. Portanto, se essa resultante
for referenciada á esse CG das rigezas, o problema é semelhante a uma situação de flexão composta reta, que é desenvolvida em RESMAT, logo, temos:
! '( ± )* .e A = Ki para o apoio “i” Como:
.,! $ !.$ .+ $1 ± ∑. Segue a aplicação dos cálculos desenvolvidos a cima, da ponte em estudo. A única força transversal horizontal a considerar é a força de vento, Fvt=378,75 kN, o efeito dessas cargas nos pilares são calculados em relação ao CG das rigezas dos mesmos, segue abaixo a imagem para facilitar o entendimento:
Figura 15-Rigezas dos pilares para o cálculo do centro de gravidade das rigezas
Agora, vamos calcular o CG das rigezas, conforme a tabela abaixo:
Pilar 1 2 3 4 Somatorio
Ki (Kn/m) 6647,57 3093,3 3093,3 6647,57 19481,74
xi = Origem Até as Rigezas (m) Ki*xi (kn) 0 0,00 20 61.866,00 45 139.198,50 65 432.092,05 633.156,55
Ki*x² (kn.m) 0,00 1.237.320,00 6.263.932,50 28.085.983,25 35.587.235,75
XI = Distancia Rigezas até o CGr 32,50 12,50 12,50 32,50
Para determinar o CG. Das rigezas, temos que fazer:
∑/ ∑∑. ∑/ .15355 146137 ∑/ 2350 8 Calculado o CGR, as distancias dos apoios fica de imediato nas cotas do corte longitudinal.
Figura 16-CG rigeza
Nesse caso, como a estrutura e as forças são simétricas, não temos excentricidade, ou seja, e = 0. Devemos encontrar a inércia das rigezas em relação ao ponto de origem. De forma análoga a resistência dos materiais, o momento de inércia das rigezas em relação ao CGr, é dada por:
&"&"9$.#² Sendo que,
& ∑. 9∑.# & 5.567.25375 9 146137 .2350 1500473675 :;.< Calculando as forças que atuam em cada pilar, que é dado pela equação:
.,> .= $1 ± ∑. Como e = 0, logo a segunda parcela da equação é 0.
.= $1 > A=Somatório Apoio Força(Kn) Ki 1 378,75 19481,74 2 378,75 19481,74 3 378,75 19481,74 4 378,75 19481,74
e 0 0 0 0
Xi 32,50 12,50 12,50 32,50
Somatório Ki*x² 35.587.235,75 35.587.235,75 35.587.235,75 35.587.235,75
Ki 6647,57 3093,3 3093,3 6647,57
Forças (Kn) 129,24 60,14 60,14 129,24
Exemplo de calculo: Apoio P4
D = 129,24Kn 7357 .76375 .?@AB3CA Como estamos olhando o apoio, ou seja, na seção longitudinal, logo temos dois pilares na seção transversal, ou seja, Fi/2, que resulta em uma força aplicada no top de cada pilar Fi = 64,62 KN. •
Cálculo dos esforços horizontais transversais
Força transversal devido ao vento
Conforme calculado no item anterior Fv
t
=378,75 KN
Ação das águas
Os pilares e blocos das pontes ficam sujeitos a esforços horizontais devido à atuação dinâmica das águas. A pressão da corrente água é dada pela seguinte expressão: P = K × v 2
Sendo: P=pressão da água (Kgf/m²) K=coeficiente dimensional determinado experimentalmente. v=velocidade da correnteza (m/seg) Os valores de K dependem da forma da superfície da incidência da água no pilar. Para uma seção transversal circular, tem-se K=35. E a velocidade da correnteza será adotada igual: 3m/seg. Q = K × v 2 × φ Q = 35 × 32 × 1,0 = 315
Kg. f m
=
0,315
tf m
C arg a = Q × φ C arg a = 0,315 × 1,0 = 0,315tf
Com a ação da água calculada e com a rigidez dos pilares, é possível distribuir o esforço pelos pilares da ponte. Como segue:
•
Pila
Ki
Ki/%ki
&!i (kN)
1
6647,57
0,341
1,07
2
3093,3
0,159
0,50
3
3093,3
0,159
0,50
4
6647,57
0,341
1,07
Σ
19481,73
1
3,15
Cálculo dos esforços verticais
Carga permanente
A carga permanente em cada pilar consiste da reação de cada apoio, que leva em conta a ação de todo o peso próprio da superestrutura (dada no exercício). Carga Permanente= 1707,42 KN
Peso próprio dos pilares
Seguem em tabela os valores do peso próprio de cada pilar: Pilar
Se!o"#$
%o#pri#ento"#$
Peso Proprio "&'$
1 2 3
1 1 1
5 10 10
98,17 196,34 196,34
4
'
(
)*+',
Lembrando que o peso específico é γ = 25
KN m³
Carga móvel
Normal acidental máxima=1391,33 KN Normal acidental mínima= -138,74 KN •
Resumo dos esforços atuantes no pilar P4 Resumo dos esforços horizontais: 1!sumo "os !s-o2os 3oiontal Lon5itu"inal &-.! (kN)
&L (kN)
&t (kN)
177 117,19 (otal ) 218,06
42,46
3oiontal 0ans!sal &0 (kN)
&! a5ua (kN)
1,07 64,62 (otal ) 65,69
OBS: Lembrando que as cargas (Ff+e) e (FvL) foram divididas por 2, número de pilares de cada apoio. O mesmo acontece para a carga FvT, pelo mesmo motivo. Conforme teoria desenvolvida ao longo do trabalho.
Resumo dos esforços verticais: Carga de peso próprio= Peso próprio do pilar + Carga permanente Carga de peso próprio= 98,17 (KN) + 1707,42 (KN) = 1805,59 KN Carga móvel- Nmáx= 1391,33 KN Nmin= -138,74 KN •
Dimensionamento do Pilar- (P4)
Seção de dimensionamento
A seção de dimensionamento do pilar P4 será em sua base, pois é a seção que possui os esforços mais desfavoráveis (Fig.14). Como o aparelho de apoio é de Neoprene, o pilar é engastado na base e livre no topo.
Figura 17-Seção de dimensionamento
Características geométricas
- O pilar é circular -L= 5m - φ = 1m - A = π × r ² = 0,785 m² - I =
π .d 4
64
= 0,049 m 4
Cálculo dos esforços de dimensionamento
Como o pilar é circular, deve ser calculado submetido à flexão composta reta, visto que somente pilares de seção transversal retangular podem ser calculados como submetidos à flexão composta oblíqua. Isso se explica pelo fato de que os esforços horizontais longitudinais e transversais podem ser resumidos a uma resultante atuante no topo do pilar, caindo no caso de flexão composta reta. a. Cargas atuantes Conforme exposto anteriormente, as forças são os seguintes: N P.próprio= 1805,59 KN N C.móveis: Nmáx= 1391,33 KN; Nmín = -138,74 KN H longitudinal = 218,06 KN H transversal = 65,69 KN b. Solicitação de projeto Cálculo da força horizontal resultante: F H
=
H 2 transversal
F H
=
65,69 2 + 218,06 2
+ H
2
longitudinal
=
227,74 KN
Cálculo do momento na base devido a carga horizontal: M A
=
F H × hp
M A
=
227,74 KN × 5m = 1138,7 KN .m
Cálculo da normal máxima: N máx N máx N máx
( × PCm ) + × P p = (1,4 × 1391,33) + (1,4 × 1805,59) = 4475,688KN =
γ × M A N máx
e0
=
e0
=
1,4 ×1138,7 = 0,35m 4475,688
Cálculo da normal mínima: N min
=
(1,4 ×138,74) + (1,4 × 1805,59) = 2722,062KN
e0
=
1,4 × 1138,7 = 0,58m 2722,062
Onde: γ =coeficiente de majoração PPc =Força devido às cargas móveis P p =Força
devido ao peso próprio.
Excentricidade acidental ( eLa ) Todo pilar deve ser calculado levando em conta a excentricidade acidental, pois existem incertezas da localização da força normal aplicada e do eixo não estar posicionado no ponto determinado em projeto, devido à construção.
1 × 500 = 2,5cm 200 Onde: θ =Desaprumo l= altura do pilar e La
= θ × l =
Hipóteses de dimensionamento
Hipótese 1
N=4775,68 KN
( N máx × (e0 + ea )) M = 1138,7 + (4775,68 × (0,35 + 0,025)) M = 2929,58kNm M = M A
+
Hipótese 2
N=2722,062 KN M = 1138,7 + (2722,062 × (0,58 + 0,025)) M = 2785,55kNm
Portanto, a favor da segurança, no dimensionamento do pilar utilizaremos os valores da hipótese 1: N=4775,68 KN e M=2929,58 kNm
Classificação do Pilar
Os pilares das pontes são dimensionados à flexão composta reta ou oblíqua, levando-se em conta os esforços de primeira ordem (esforços iniciais), as excentricidades acidentais e os esforços de segunda ordem devido ao efeito de flambagem nos casos de índice de esbeltez λ > λ 1 . Ou seja, λ 1 é o valor limite. Portanto, antes de ser calculado se o pilar sofre efeito de flambagem, deve-se calcular o λ 1 , ou seja, o λ Lim . De acordo com a NBR 6118, temos: 35 ≤ λ 1 ≤ 90
25 + 12,5 × λ 1
=
α b
e1 h
25 + 12,5 × =
0,9
0,61 1 = 36,25
Onde: α b (para pilares em balanço) é:
α b
=
0,8 + 0,2 ×
M C M A
≥
0,85
2929,58 2 α b = 0,8 + 0,2 × 2929,58
Mc=Momento de primeira ordem no meio do pilar em balanço Ma=Momento de primeira ordem no engaste
=
0,90 ≥ 0,85
e1 =excentricidade de
primeira ordem, onde ocorre o maior momento de primeira ordem no pilar, no nosso caso, na base. Será dada por: e1
=
M N
=
2929,58 = 0,61m 4775,68
a) Índice de Esbeltez
λ =
Le i
Sendo: λ = índice de esbeltez Le= comprimento de flambagem i= raio de giração Para esse tipo de peça engastada e livre, o comprimento de flambagem é o dobro do comprimento da peça. Ou seja, Le= 2.L
Figura 18- Comprimento de Flambagem
Logo: i =
λ =
I A
i=
0,049 0,785
2×5 ≤ 36, 25 0,25
=
0,25 # λ = 40 ≥ λ lim
Portanto, de acordo com a NBR 6118, devemos calcular os efeitos de segunda ordem. Será utilizado o método do pilar padrão com curvatura aproximada. Nesse método o momento total máximo no pilar é dado pela seguinte expressão: Md , total = α b × M 1 d + Nd ×
Le 2
10
×
1 r
≥ M 1 d
Onde: α b e Le foram definidos anteriormente. M 1d = momento de primeira ordem calculado.
Nd= força normal que atua na seção.
1 r
1
é igual a curvatura dada por:
0,005 = 5,4 × 10 r Nd 4775,68 + 0,5 1,0 + 0,5 φ 0,785 × 14285,71 ( Ac × fcd ) =
0,005
=
−
3
Portanto o momento máximo atuante é: Md , total = α b × M 1d + Nd ×
Le 2
10
×
1 r
10 2 × 5,4 × 10 Md , total = 0,90 × 2929,58 + 4775,68 × 10
−
3
=
2894,51kNm
Como o Md,total é menor que o M 1d para dimensionamento do pilar será adotado o maior valor, ou seja M 1d .
Cálculo da área de aço
Para o cálculo das áreas de aço foram utilizados os ábacos de dimensionamento de seções circulares submetidas à flexão composta reta. Pelo ábaco temos: ρ = 4,2% = 0,042 , pois
ν =
µ =
4775,68 = 0,427 Ac × fcd π 20 × × 1000 4 1,4 Nd
=
2929,58 = 0,261 20 Ac × h × fcd π × 1× × 1000 4 1,4 Md
=
Armadura Longitudinal π 20 1,28 × × ×1000 4 1,4 ω × Ac × fcd = 3,30 × 10 2 m² = 330cm² As = = fyd 500 × 1000 1,15 −
500 fyd 1,15 ω = ρ × = 0,42 × = 1,28 20 fcd 1,4 Então, para um φ =25mm Temos: Asφ = π ×12,52
=
4,91cm²
Numero de barras=
Armadura Transversal (Estribos) 5mm φ ≥ 1 4 φ barra Longitudinal
φ min
=
6,25mm
Bitola escolhida=10mm
Espaçamento Mínimo 20cm Smín ≤ 12φ
Smín=12 cm
As Asφ
=67 barras
