“AÑO DE LA CONSOLIDACIÓN DEL MAR DE GRAU”.
FACULT FACULTAD AD DE INGENIERI INGENIERIA A CARRERA INGENIERIA DE MINAS
INFORME ACADÉMICO Autor(es):
Cercado Wualter, Inr!. "ern#nde$ %ulca, &e!'on. Mor!llo G!l, Ro(ert Curso:
Calculo III Docente:
Alc#ntara Ort!$, Ort!$, Del!a. 07/06/2016
CAJAMARCA – PERÚ
INTRODUCCIÓN
APLICACIÓNES DE DERIVADA DIRECCIONAL Y GRADIETE
I.
DESARROLLO DEL TEA II.I De!"n"c"#n $e %& $er"'&$& $"recc"on&% La der!)ada d!recc!onal de una *unc!+n en un unto -/,01 0 la d!recc!+n de un )ector un!tar!o en el 'ent!do del )ector, e' or de*!n!c!+n, el l23!te de un coc!ente !ncre3ental '!e3re 4ue e'te e/!'ta. E' dec!r, un n53ero 0 d!c6o n53ero unto rere'ente la rad!ente de una *unc!+n de do' )ar2ale' en unto e' un )ector de R7 4ue 'e o(t!ene a art!r de la' der!)ada' arc!ale' de la *unc!+n en d!c6o unto. Sea * una *unc!+n de do' )ar!a(le' / e 0, 0 'ea u= cos θi + sin θj un )ector un!tar!o. Entonce' la der!)ada d!recc!onal de * en la d!recc!+n de u 'e denota or Du! , 0 e'8 θ x + t cos θ . y + t sin ¿−f ( x ; y )
¿ ¿
t f ¿
¿ ¿ Duf =lim ¿ t→0
El c#lculo de la der!)ada d!recc!onal 3ed!ante e'ta de*!n!c!+n e' co3ara(le al de encontrar la der!)ada de una *unc!+n de una )ar!a(le. Una *+r3ula de tra(a9o 3#' '!3le ara o(tener der!)ada' d!recc!onale' recurre a la' der!)ada' arc!ale' */1 0 *01.
II.I.I Teore&s Teore& . S! * e' una *unc!+n d!*erenc!a(le de / e 0, entonce' la der!)ada d!recc!onal de * en la d!recc!+n del )ector un!tar!o μ=cos θi + sin θj e'. Dμf ( x ; y ) =fx ( x ; y ) cos θ + fy ( x ; y ) sin θ
O('er)ar 4ue 6a0 !n*!n!ta' der!)ada' d!recc!onale' en un unto dado de una 'uer*!c!e :una ara cada una de la' d!recc!one' e'ec!*!cada' or el )ector u, co3o 'e 3ue'tra en la *!ura. Do' de ella' re'ultan 'er la' der!)ada' arc!ale' */ 0 *0.
.
El )ector u e'ec!*!ca una d!recc!+n en el lano /;01 <1 En la d!recc!+n o'!t!)a del e9e / 4=>18 μ=cos θi + sin θj =i
71 En la d!recc!+n o'!t!)a del e9e 0
θ= π /2
II.II L& Gr&$"ente La der!)ada d!recc!onal Du*/, 01 uede e/re'ar'e co3o el roducto e'calar del )ector un!tar!o.
El )ector
E'te )ector e' !3ortante 0 t!ene u'o' d!)er'o'. Lo lla3a3o' )ector rad!ente de *. S! $=*/;01, entonce' el rad!ente de *, 4ue 'e denota 3ed!ante ∇ f ( x ; y ) , e' el )ector ∇ f ( x ; y )= fx ( x ; y ) i + fy ( x ; y ) j . Otra anotac!+n ara la rad!ente e'
∇ f ( x ; y )
. -ue'to 4ue el rad!ente e' *
e' un )ector, ode3o' e'cr!(!r d!recc!onal de * en la d!recc!+n de
II.II.I Teore&s Teore& .
d μ co3o8
S! * e' una *unc!+n d!*erenc!a(le de / e 0, la der!)ada d!recc!onal de * en la d!recc!+n del )ector un!tar!o U e'
Duf =∇ f ( x , y ) . u
II.III A*%"c&c"ones $e %& Gr&$"ente Teore& . S! * e' una *unc!+n d!*erenc!a(le en el unto /,01 <1 S!
∇ f ( x , y ) , entonce'
Duf ( x , y ) = 0
ara todo μ .
71 La d!recc!+n de +,"o crec""ento de * )!ene dada or . El )alor 3#/!3o de Du f ( x , y ) e' ∥ Du f ( x , y ) ∥
∇ f ( x , y )
?1 La d!recc!+n de -n"o crec""ento de * )!ene dada or El )alor 32n!3o de Du f ( x , y ) e' ∥ Du f ( x , y ) ∥ .
∇ f ( x , y )
Teore& .
S! * e' d!*erenc!a(le en />, 0>1 0 cur)a de n!)el 4ue a'a or />,0>1.
, entonce' e' nor3al a la
.
II.
E/ERCICIOS PROPUESTOS 0
E1erc"c"o2
La te3eratura, en rado' Cel'!u', 'o(re la 'uer*!c!e de una laca 3et#l!ca )!ene dada or
M!d!endo / e 0 en cent23etro'. De'de el unto 7,:?1, @en 4u d!recc!+n crece la te3eratura 3#' r#!da3enteB @A 4u r!t3o 'e roduce e'te crec!3!entoB
So%uc"#n El rad!ente e'
Se '!ue 4ue la d!recc!+n de 3#' r#!do crec!3!ento )!ene dada or
Co3o 'e 3ue'tra en la *!ura, 0 4ue la ra$+n de crec!3!ento e' -or cent23etro
Dirección de más rápido crecimiento en (2!"#
0
E1erc"c"o2
D!(u9ar la cur)a *unc!+n unto' de la cur)a.
de n!)el corre'ond!ente a c=> ara la 0 encontrar )ectore' nor3ale' en d!*erente'
Soluc!+n8 La cur)a de n!)el ara c=> )!ene dada or
Co3o 'e !nd!ca en la *!ura .. Co3o el )ector rad!ente de * en /,01 e'
-ode3o' ut!l!$ar el teore3a <. ara conclu!r 4ue e' nor3al a la cur)a de n!)el en el unto /,01. Aluno' )ectore' rad!ente' 'on
0
E1e*%o 32 Una art2cula ra'treadora de calor e't# '!tuada en el unto 7,:?1 de una laca 3et#l!ca cu0a te3eratura en /,01 e' . Encontrar la tra0ector!a de la art2cula al 3o)er'e de *or3a cont!nua en la d!recc!+n de 3#' r#!do crec!3!ento de la te3eratura. Soluc!+n8 Rere'entare3o' la tra0ector!a or la *unc!+n o'!c!+n
Un )ector tanente en cada unto /t1,0t11 )!ene dado or8
'on la' 3!'3a' en cada unto de la tra0ector!a. Lueo
E'ta' ecuac!one' d!*erenc!ale' rere'entan un crec!3!ento e/onenc!al 0 la' 'oluc!one' 'on
Co3o la art2cula arte de 7,:?1 'e '!ue 4ue 7=/>1=C< 0 :?=0>1=C7. Lueo la tra0ector!a 'e rere'enta 3ed!ante
El!3!nando el ar#3etro t, o(tene3o'
Mo'tra3o' e'ta tra0ector!a en la *!ura
0
E1erc"c"o42
Calcular la der!)ada d!recc!onal de d!recc!+n 4ue )a de'de - :<,?1 a F <,:71
en :<,?1 en la
Soluc!+n Un )ector en la d!recc!+n e'ec!*!cada e'
0 un )ector un!tar!o en e'ta d!recc!+n e'
Co3o
, el rad!ente :<,?1 e'
En con'ecuenc!a, en :<,?1 la der!)ada d!recc!onal e'
0
E1erc"c"o52
Suona 4ue la te3eratura en rado' Cel'!u'1 en el unto /,01 cerca de un aerouerto e't# dado or8 f ( x , y ) =
1 180
⌊ 7400 −4 x − 9 y −( 0.03 ) xy ⌋
Con la' d!'tanc!a' 0 3ed!da' en !l+3etro'1. Suona 4ue 'u a)!+n de'ea del aerouerto en la u(!cac!+n 0 'e '!ue al nore'te en la d!recc!+n e'ec!*!cada or el )ector @Cu#l e' la ta'a de ca3(!o !n!c!al de la te3eratura 4ue 'e o('er)ar#B / 0 7>>,7>>1 - ?,1.
Co3o no e' un )ector un!tar!o, r!3ero de(e3o' ree3la$arlo co3o uno 4ue '2 lo 'ea 0 4ue e'te en la 3!'3a d!recc!+n8 ) ( 3,4 ) v 3 4 u= = 2 2 = , 5 5 IvI √ 3 + 4
( )
Ahora utilizamos la formula (*) la cual produce
Cuando 'e 'u't!tu0e, 'e encuentra 4ue 7>>
E'ta ta'a !n'tant#nea de ca3(!o :>.<>CH3 '!n!*!ca 4ue 'e o('er)ar# en un !n!c!o una d!'3!nuc!+n de >.<>C en la te3eratura or cada !l+3etro 4ue 'e )!a9e.
0
E1erc"c"o62 Sea *8 IR7::::::: IR de*!n!da or8 f ( x , y ) =ln ( 1 + x + y ) − Arc. tang ( x ) . En el unto <,<1, calcular el )alor de la der!)ada d!recc!onal 3#/!3a de *0 encontrar la d!recc!+n en la cual alcan$a e'te )alor 3#/!3o.
2
2
2
0
E1erc"c"o728 Calcule la der!)ada d!recc!onal de la *unc!+n */,0,$1=/7:J/0K$7 en el unto ,>,<1 en la d!recc!+n de la “nor3al e/ter!or a la 'uer*!c!e / 7K07K$.
0
E1erc"c"o82 2
Sea
2
x − y f ( x , y ) = 2 2 x + y
a1 @En 4u d!recc!+n un!tar!a e' !ual a cero la der!)ada d!recc!onal en el unto <,<1B (1 @En 4u d!recc!+n un!tar!a e' !uala acero la der!)ada d!recc!onal en el unto ar(!trar!o / >, 0>1B
0
E1erc"c"o92 Pro%e&: Una a(e9a e'ta )olando de'de un *oco cal!ente 4ue 'e encuentra en el or!en, en tra0ector!a 4ue
de'cr!(e una cur)a C, de tal 3anera, 4ue el )ector o'!c!+n > o'!c!+n de la a(e9a1 en el !n'tante t e' 8 f ( t )=( tcosπt , tsenπt , t ) , t ∈ R
a1 Deter3!ne la o'!c!+n de la a(e9a en el !'tante t=< 0 el )ector tanente a C en e'e unto. (1 La te3eratura en rado' Cel'!u' en /, 0, $1 e' 10 T ( x , y , z )= x + y + z , allar la ra$+n de ca3(!o de la 2
2
2
te3eratura '! la a(e9a dec!de 'eu!r en la d!recc!+n del )ector tanente a la cur)a.
0
E1erc"c"o;2 Pro%e& Calcula la deri!ada direccio"al de la fu"ci#" f ( x , y ) = x + 3 x y e" el pu"to ($%) e" la direcci#" &ue 2
2
!a desde el ori'e" hacia este pu"to
III.
CONCLUSIONES
Llea3o' a la conclu'!+n, de 'a(er la al!cac!+n de la der!)ada d!recc!onal 0 rad!ente. Conoc!3o' 'u' teor2a' co3o ta3(!n al!cac!one' en la )!da cot!d!ana del 6o3(re. De'arrollar ro(le3a' lanteado' en nue'tra )!da d!ar!a, co3o ta3(!n la naturale$a.
IV.
REFERECIAS
L"ros
:
Anal!'!' 3ate3#t!co III , Mo!'e' la$aro C.
0
L"n=o>r&!"&
0
?tt*:@@es.s%"$es?&re.net@1u&nc&r%osronc¬orres@ses"n0;303;;9;46
0
?tt*:@@.s%"$es?&re.net@B;@$er"'&$&0$"recc"on&%07854446
0
?tt*:@@.c&rt&>en&99.co@recursos@&%unos@e1erc"c"os@*ro%e&s$er"' &c"on.*$!
0
?tt*s:@@*reB".co@r1*%ee!>!&@$er"'&$&0$"recc"on&%00>r&$"ente@
