Deret Taylor Taylor dan dan Deret Deret Mclaurin Mclaurin
Materi •
Deret Pangkat
•
Deret Taylor
•
Deret Taylor untuk penyelesaian persamaan linear biasa
•
Implementasi Deret Taylor dalam program
•
Deret Mclaurin
•
Implementasi deret Mclaurin
Materi •
Deret Pangkat
•
Deret Taylor
•
Deret Taylor untuk penyelesaian persamaan linear biasa
•
Implementasi Deret Taylor dalam program
•
Deret Mclaurin
•
Implementasi deret Mclaurin
Pendahuluan •
Apa perbedaan deret dengan barisan?
•
Berapa rumus suku ke-n untuk deret berikut: 1+10+10000+1000000000+… 1+10+10000+1000000000+… dan d an berapa jumlahnya jumlahnya deret deret geometri geometri terseb tersebut? ut?
•
Bila suku ke-n barisan a adalah an n , selidikilah apakah barisan ini konvergen onvergen dan terikat?
Deret pangkat ( power series)
Deret pangkat merupakan deret tak hingga dengan sukusukunya berupa pangkat variabel, dalam hal ini variabel x atau (x-a). Istilah pusat / center di sini terkait dengan daerah yang menyebabkan deret ini konvergen (daerah konvergensi).
•
•
•
•
Deret-deret ini dapat dioperasikan dengan dijumlahkan, dikurangkan, dikalikan, diturunkan, atau diintegralkan sehingga membentuk deret pangkat yang lain.
Deret pangkat merupakan deret paling penting terutama dalam analisis bilangan kompleks, yang juga dapat diterapkan dalam analisis bilangan real. Jumlah deret pangkat ini adalah fungsi analitik dan setiap fungsi analitik dapat dinyatakan dengan deret pangkat. Deret pangkat ini dapat digunakan untuk mendekati fungsi f(x) secara numeris dengan membawa sejumlah galat/error
Teorema konvergensi deret pangkat Untuk setiap deret pangkat,
c x a
k
k
k 0
ada sebuah bilangan r dalam selang [0, ] yang dapat membuat deret pangkat menjadi divergen untuk |x-a| > r dan konvergen untuk |x-a| < r. Bilangan r disebut radius of convergence dari deret tsb. Nilai r dapat dihitung dengan ratio test. Contoh: bila suatu deret konvergen pada daerah (-< x<), maka besar r adalah + . Bila suatu deret konvergen pada daerah (0 < x < 2), maka r=+1.
Teorema Radius of Convergence (1)
Bila r adalah radius of convergence dari
c x a
k
k
k 0
maka persamaan menentukan k 0 suatu fungsi yang dapat diturunkan secara kontinyu dalam selang |x-a| < r . f ( x)
ck x a
k
Sehingga bisa saja diperoleh deret baru
f ' ( x)
kc x a
k 1
k
k 0
dan deret ini juga mempunyai radius of convergence r
Teorema Radius of Convergence (2) Kemudian, bila |b-a| < r dan |x-a| < r, maka x
b
f (t ) dt
Dapat diperoleh dengan mengintegralkan deret f per suku. Hasilnya berupa deret baru dengan radius of convergence juga r. Dengan kata lain, teorema ini menyatakan bahwa kita dapat menurunkan dan mengintegralkan suatu derep pangkat per suku dalam daerah konvergensinya.
Ratio test Jika pada sebuah deret pangkat dengan suku ke-n tidak nol, untuk setiap n>N,
un1
q 1
un Maka deret itu dinyatakan konvergen (dengan q<1 tetap). Dapat pula dengan konsep limit, bahwa untuk deret pangkat dengan suku ke-n tidak nol bila ada n>N, dapat dicari
lim
n
un1
L
un Sehingga deret konvergen bila L<1, divergen bila L>1, dan test gagal bila L=0.
Ratio test (contoh)
Pendekatan f(x) dengan deret pangkat •
Sebuah fungsi f(x) dapat dinyatakan dengan deret pangkat ini secara analitis dengan suatu polinomial pn(x) dan fungsi sisa E n(x) yaitu bahwa:
f ( x) pn ( x) E n ( x) •
•
pn(x): polinomial berderajat n, menunjukkan fungsi pendekatan untuk f(x) E n(x): fungsi sisa, yang menunjukkan besar penyimpangan/galat/error akibat pemangkasan deret hingga suku ke-n (truncation error )
Contoh 1
f ( x) pn ( x) E n ( x)
yn(x) E n ( x)
Contoh 2
Operasi perkalian deret pangkat
* Untuk operasi penjumlahan/pengurangan dilakukan per suku ( termwise )
Operasi turunan deret pangkat
Operasi integral deret pangkat
Pengembangan dari deret pangkat dengan nilainilai koefisiennya melibatkan turunan f(x) pada x=a yang nilainya ada hingga orde turunan tak hingga (kontinyu pada x=a) disebut deret Taylor. Bentuk khusus dari deret Taylor menjadi deret Mclaurin.
Deret Taylor dan Deret Mclaurin
Pendekatan dengan deret Taylor (Taylor polynomial)
Metode deret Taylor •
Deret Taylor digunakan dalam penyelesaian persamaan diferensial biasa secara pendekatan (numeris) seperti permasalahan nilai awal (initial value problem, IVP)
Algoritma penyelesaian IVP dengan metode deret Taylor (contoh) Input M 200; h 0,01; t -1,0; x 3,0 Output 0,t,x For k=1 to M do x’ cos t – sin x +t2 x’’ - sin t – x’ cos x + 2t x’’’ - cos t – x’’ cos x + (x’)2 sin x + 2 x(4) sin t + ((x’) 3 – x’’’) cos x + 3x’x’’ sin x x x + h(x’+h/2(x’’+h/3(x’’’+h/4(x (4))))) tt+h
Output k,t,x
End do