DERET KONVERGEN DAN DIVERGEN AUGUST 25, 2014SARJANAPEN 2014SARJANAPENDIDIKAN DIDIKAN 3 COMMENTS Barisan konvergen merupakan barisan yang menuju ke suatu titik atau limitnya memiliki nilai. Sementara barisan divergen sebaliknya. Barisan konvergen biasanya dapat langsung ditentukan jika barisan itu terbatas. Contohnya 4,6,8,10. Tetapi untuk barisan divergen tidak dapat ditentukan untuk barisan terbatas. Namum Namum jika barisan itu tak terbatas pun harus dilakukan perhitungan menggunakan limit untuk mengetahuinya. Sama halnya dengan barisan, deret pun ada yang konvergen dan ada yang divergen. Untuk menyelidikinya dapat digunakan Teorema Limit Barisan. Barisan. Deret merupakan penjumlahan dari suatu barisan. Deret pun dapat dibagi menjadi 2 berdasarkan jumlah batasnya yaitu deret terbatas dan deret tak terbatas/tak hingga. Deret terbatas contohnya : 2 + 3 + 4 + 5 sedangkan deret tak terbatas contohnya
2 + 3 + 4 + 5 + …. .
Deret pun dapat dibagi berdasarkan jenisnya. Terdapat deret positif, deret negatif dan deret alternating. Untuk mengetahui bahwa suatu deret tak hingga akan konvergen atau divergen dapat dilakukan 2 cara yaitu 1. Menggunakan Teorema yang sudah ada 2. Menggunakan Tes a. Tes Banding b. Tes Rasio c. Tes Integral Sekarang mari kita bahas yang menggunakan menggunakan cara 1 yaitu menggunakan menggunakan teorema. Dengan menggunakan teorema maka akan lebih mudah mencarinya tanpa menghitungnya. Terdapat dua teorema yang dapat digunakan yaitu Teorema Deret Harmonis dan Teorema Deret Geometri. Berikut penjelasannya : 1. Teorema Deret Harmonis Dalam teorema ini dikatakan bahwa jika ji ka sebuah deret berbentuk
maka untuk menentukan deret konvergen atau divergen, kita hanya melihat pangkatnya itu p, jika p > 1 maka deret tersebut konvergen sedangkan jika p<= 1 maka deret tersebut divergen. Walaupun begitu bentuknya tidak harus seperti diatas, maksudnya bentuk lain boleh asalkan memiliki pola yang hampir mirip dengan deret harmonis tersebut. 2. Teorema Deret Ukur/Geometri Ukur/Geometri Dalam teorema ini dikatakan bahwa jika ji ka sebuah deret berbentuk
maka untuk menentukan deret konvergen atau divergen, kita dapat menggunakan rasio ( r ) antar tiap suku. Rasio antar tiap suku dapat dicari dengan membagi suku yang berdekatan. Contohnya suku kedua dan suku pertama. Jika telah mengetahui rasionya maka jika deret itu konvergen maka -1 < r < 1. Letak rasionya diantara -1 dan 1 maka dikatakan deret tersebut konvergen. Jika deret konvergen maka akan didapatkan hasil dari deret tersebut yaitu menggunakan rumus jumlah deret geometri tak hingga yaitu suku awal/(1-r). Jika deret itu divergen maka rasionya r <= -1 atau r >=1 . - See more at: http://sarjanapendidikan.com/deret-konvergen-dandivergen/#sthash.sKzVWS1m.dpuf
Deret Tidak Berhingga
Deret Bilangan
1. Beberapa Pengertian
Deret Un, maksudnya u 1+u2+u3+…+un = Deret tak hingga, maksudnnya: maksudnnya: banyaknya suku tersebut tak terbatas. Karena ada pengertian “jumlah n suku suatu deret”, maka bila dikatakan “deret”, maksudnya deret tak hingga.
kemungkinan suatu deret konvergen atau divergen, dengan ciri-ciri:
1. Jika
L ~ deret konvergen L = ~ deret divergen
2. Jika
deret
divergen
2. Konvergensi Suatu Deret
Untuk mendeteksi konvergensi suatu deret ada beberapa cara. I.
Dengan Uji Banding Vn deret pembanding dan Un deret yang diselidiki.
1. Vn konvergen
Jika 0
Jika 0
Jika , maka Un konvergen
5. V divergen
Jika , maka Un divergen
Sedangkan deret pembanding biasanya digunakan: 1. Deret Geometri
2. Deret Hiperharmonis
3. Deret Bertrand
Contoh: Selidiki konvergensi deret Jawab Deret pembanding ,deret harmonis yang divergen. Untuk n 3
Karena Vn divergen maka Un divergen
Contoh-contoh yang lain
DERET 1.1
Definisi dan notasi Deret merupakan suatu bilangan yang tersusun di dalam bentuk penjumlahan dari banyak bilangan (tak hingga). Ada deret yang mempunyai nilai terbatas dan ada juga yang mempunyai nilai tak hingga. Bilangan penyusun deret dapat berupa rumus tertentu juga ada berupa bilangan yang tidak dapat dirumuskan. Contoh 1+
….
Dalam banyak bentuk, deret dapat dirumuskan ke dalam suatu bentuk perulangan (looping) yang bergantung pada suatu nilai variabel yang membesar ketika berulang. Seperti contoh diatas, dapat dilihat penyebut dari bilangan penyyusunannya membesar dengan beda satu, artinya setiap perulangan bilangan penyusunannya (penyebutnya) ditambah satu. Untuk merumuskan deret di atas dapat digunakan variabel n yang membesar dengan beda satu, digunakan sebagai penyebut bilangan penyusun deret, dan operasi penjumlahan digunakan dengan notasi
∑=
atau sigma yang
artinya perulangan n dimulai dari satu sampai tak hingga. Perumusan deret di atas adalah
∑=
= 1 +
….
Contoh
1 1 1 1 = 2 1 2 3 4 …. 1 1 1 1 = n! 1 2 6 24 …. 1.2
Deret Konvergen dan Deret Divergen Deret tak hingga terbagi menjadi dua yaitu, deret tak hingga yang konvergen dan deret tak hingga yang divergen. Tinjau suatu deret berikut :
1 1 1 1 1 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) …. ( ) …. 2 2 2 2 2 = Namakan deret dengan Sn : Sn =
1 … … … + …
Kita kalikan Sn dengan ½ akan didapat : ½ Sn =
Jumlahkan Sn dengan (-1/2) Sn akan didapat : Sn =
1 … … [ … + …] +
-1/2 Sn = -
+
½ Sn = 1 -
Dengan demikian kita dapat menghitung nilai deret di atas Sn = S=
−
lim Sn →
= 2
Oleh karena nilai S dapat dihitung dan bernilai batas maka deret tersebut dinamakan deret konvergen. Jika S tidak dapat dihitung atau bernilai tak hingga maka deretnya dinamakan deret divergen. Suatu barisan (Sn) dikatakan konvergen ke suatu bilangan hingga s jika berlaku
ϵ
lim Sns →
.
Artinya : untuk sembarang bilangan positif kecil, ada bilangan bulat positif m, sedemikian sehingga untuk n > m, maka
|s sn| < ∈
Sn mempunyai limit
disebut barisan konvergen, tapi jika baris tak mempunyai limit maka barisan disebut divergen.Suatu barisan (Sn) dikatakan divergen ke ∞ atau
∞
lim Sn →
jika untuk sembarang bilangan positif m bagaimana besarnya, selalu ada
bilangan positif m, sedemikian sehingga untuk n > maka > m,
lim Sn ∞ →− lim Sn ∞ →+ dan
|Sn|
> m atau jika Sn
Dalil dalil untuk barisan -
Setiap barisan tak trun (tak naik) tetapi terbatas konvergen
-
Setiap barisan tak terbatas adalah divergen
-
Suatu barisan konvergen (divergen) akan tetap konvergen (divergen) jika beberapa atau semua suku – suku ditukar
-
Limit dari barisan konvergen adalah unik
lim Sn±tn st → lim k .Sn k .s → lim Sn .tn s . t → l→+im a |r| →lim r 0
lim Sn →
∞
= 0
Jika a > 1 maka
- Jika
1.3
dan
Jika Sn adalah barisan yang suku – sukunya tak nol dan jika
maka lim -
lim Sns →− lim tn t →
∞
< 1 maka
Uji Deret Konvergen dan Divergen Suatu deret dapat dikatakan konvergen bila telah diujji dengan beberapa jenis uji yang dapat memberikan kepastian tentang sifat konvergen. Ada beberapa jennis uji konvergensi bagi deret, diantaranya a. Uji Awal (Preliminary Test) Uji ini dilakukan pertama kali sebagai uji apakah deret bisa bersifat konvergen atau bahkan divergen. Melalui uji ini, suatu deret dapat langsung dinyatakan bersifat divergen, atau deret masih memiliki kemungkinan bersifat konvergen dari deret tersebut.
→lim a 0 →lim a ≠0 ∞
∞
, ada kemungkinan deret konvergen
, deret pasti divergen
Dalil Jika
∑= a
konvergen, maka
→lim a ∞
= 0
Dalil ini tidak bisa dibalik, jadi jika diperoleh dikatakan bahwa deret Contoh
∑= a
→lim a ∞
= 0 belum dapat
konveregen (lanjutkan ke uji yang lain)
= 12 1 12 13 14 …… →lim a 0 ∞
, deret belum pasti divergen tetapi memberikan kemungkinan
∞
deret konvergen (walaupun akhirnya deret divergen). Harus dilakukan uji lain yang dapat memastikan deret konvergen. b. Uji Perbandingan dengan Deret Lain (Comparison Test) Setelah melalui uji awal dan ada kemungkinan deret konvergen, dilakukan uji perbandingan untuk memastikan deret konvegen.
∑= b ∑= a ∑= b ∑= a ∑= a ∑= b ∞
Suatu deret
yang telah diketahui bersifat konvergen digunakan
untuk membandingkan (uji perbandingan) deret ∞
∞
<
∞
∞
, deret
∞
>
konvergen
∑= a ∞
, dimana
, digunakan uji lain untuk menentukan
konvergen atau divergen. Contoh : Uji deret
∑= ∞
∑= ! ∞
yang merupakan deret konvergen
N
n!
2n
1
1
2
2
2
4
3
6
8
4
24
16
5
120
32
untuk n ≥ 4
Maka deret c. Uji Integral
∞
dengan uji banding, gunakan sebagai deret pembanding
Bandingkan
! <
∑= a
∑= ! ∞
konveregen
1
1n! 12 16 124 1120
> > > < <
12 12 14 18 116 132
∫N adn ∫N f ndn ∫N f xdx ∫N f xdn ∫ f xdx ∫ f xdx ∑= a ∑= a ∞
→
∞
→
∞
∞
↔
=
∞
∞
Ketentuan jika
∞
1. Nilainya berhingga maka deret
2. Nilainya tak berhingga maka deret
konvergen
∞
divergen
Untuk lebih memudahkan, batas integral bisa ditinjau batas atasnya saja
Contoh Selidiki kekonvergenan deret
∑= ∞
Penyelesaian
a dk l→im ak dk 12 →lim e− 12 →lim (e1 1e) 2e1 ∑= ∑= ∞
∞
∞
∞
Karena integral tak wajar di atas kekonvergen konvergen ke
maka deret
∞
∞
dan
d. Uji Nisbah (test d’allembert) Teorema
∑= a ∞
Tinjau deret
lalu cari nilai ρ
ρ
kemudian lakukan
→lim ∞
ρ
Jika : ρ ρ ρ
<1 ,konvergen >1 , 1 ,pengujian gagal
melakukan kesimpulan (dilakukan dengan tes lain)
Contoh
∑= ! l→im lim→ + 0
Selidiki kekonvergenan deret Jawab Misal
a !
maka
∞
∞
∞
∑= ! ∑= a ∞
Jadi deret
konvergen
e. Tes Akar (Test Couchy) Misal
∞
l→im √ a a ∑= a ∑= a
deret positif dan
Maka 1. Bila a < 1 maka deret
∞
∞
konvergen
2. Bila a > 1 atau a = ∞ maka deret
∞
divergen
3. Bila a = 1 maka tes gagal melakukan kesimpulan (dilakukan dengan tes lain) Contoh Tentukan kekonvergenan deret
∑= + − ∞
Jawab : Misal
lim √ a lim + a + − → → − ∑= + − ∑= a ∑= b maka
∞
Jadi deret f.
=
∞
∞
konvergen
Tes Limit Perbandingan Misal
∞
dan
∞
merupakan deret positif dan
l→im 1 ∞
Maka
kedua deret konvergen atau divergen secara bersama – sama bila 1 < ∞ dan 1 ≠ 0 Contoh Tentukan konvergensi deret Jawab Pandang deret – p,
l→im →lim − ∞
1.4
=
∞
∑= ∞
∑= − ∞
konvergen. Misal
= 1 Jadi deret
∑= − ∞
a b − dan
maka
konvergen
Deret Bolak-balik (Alternating Series) Deret bolak-balik adalah deret yang suku-sukunya berganti tanda. Sebagai contoh,
+ 1 1 1 1 1 2 3 4 ⋯ n
Deret bolak-balik
∑=1+a
a
, dengan
dua syarat berikut: i.
Setiap suku-suku deret ini secara numerik kurang dari suku-suku sebelumnya,
ii.
1.5
positif, konvergen jika memenuhi
lim |a| 0. →
|a+| < |a|
.
DERET PANGKAT 1.5.1 Definisi deret pangkat
C ( x a)
n
n
2
3
a
co c1 ( x a) c 2 ( x a) c ( x a ) ...
n 0
dimana
X
adalah variabel
a
C n dan
konstanta
Perhatikan bahwa dalam notasi deret pangkat telah sengaja memilih indeks nol untuk menyatakan suku pertama deret, c0 yang selanjutnya disebut suku ke-nol .Hal ini digunakan untuk memudahkan penulisan ,terutama ketika membahasa pernyataan suatu fungsi dalam deret pangkat . Beberapa contoh deret pangkat :
(a)
(b)
(c)
(d)
1
x
2 x
x
x
1
x
x
3
3!
x
4
2
2 x
2
x
( x 2) 2
x
5
5!
8
3
3
3
4
4 x
.....
( x)
.....
(1)
.....
( x 2) 2 3
(1)
.....
1
n
x
n
n
1
x
.....
2 n 1
.....
(2n 1)!
.....
1.5.2 TEOREMA DERET PANGKAT Konsep Dasar
n
n
7
7!
2
n
( x 2) n
n
1
.....
Deret pangkat merupakan suatu bentuk deret tak hingga
m
a
( x x0 ) a0 a1 ( x x0 ) a2 ( x x0 ) 2 a3 ( x x0 ) 3 ..... (1) m
m
0
Diasumsikan x,
x
0
, dan koefisien
a i merupakan
bilangan real. Jumlah
parsial untuk n suku pertama bentuk di atas adalah dituliskan
sebagai s n ( x) a 0
a1 ( x
x 0
) a 2 ( x x0 ) 2
s
n
yang dapat
......a n ( x x0 ) n
(2) Dan sisa deret pangkat (1) didefinisikan sebagai Rn ( x)
a 0 1 ( x
x 0
)
n 1
a n 2 ( x
x0 )
n2
Rn
......
(3)
Untuk persamaan (1) di atas dapat diperoleh s 0 R0 s1
a0
a1 ( x x 0 )
a0
a1 ( x
a 2 ( x x 0 )
s 2
a0
R2
a1 ( x
a 3 ( x
a 2 ( x
x 0
R1
x 0
2
x0
)2
a 3 ( x
x 0
)3
....
)
a3 ( x x 0 )
3
a 4 ( x x 0 )
x0
) a 2 ( x x0 ) 2
)3
a 4 ( x
x 0
)4
a 5 ( x
x 0
4
)5
...
...
1.5.3 Konvergensi Jika diambil suatu nilai x = x 1 maka deret pangkat (1) dinyatakan konvergen jika
lim →
s
n
( x1 )
( 1 ) hadir sebagai suatu bilangan real.
s x
Sebaliknya deret pangkat itu akan divergen jika
lim →
s
n
( x1 )
( 1 ) tidak
s x
hadir sebagai suatu bilangan real.jika deret (1) adalah konvergen pada x
x
1
,dan jumlah deret tersebut untuk
s ( x1 )
a m 0
m
( x1 x0 ) m
x
x
1
dapat dituliskan sebagai
Maka untuk tiap n tertentu dapat dituliskan s( x1 )
s n
( x1 ) Rn ( x1 )
(4)
Pada kasus konvergensi ,untuk suatu nilai positif suatu nilai N (yang tergantung terhadap
tertentu terdapat
) sedemikian sehingga
,untuk (4) Rn ( x1 )
s( x1 ) s n ( x1 )
untuk setiap n>N
Secara geometris ini berarti bahwa semua antara
s
n
( 1 ) dengan n>N ,terletak antara
s x
(5)
( x1 ) dengan n>N ,terletak ( 1 ) dan
s x
( 1 )
s x
.Untuk deret yang konvergen ,kita dapat menentukan nilai pendekatan dari s ( x) untuk
x
x
1
dengan mengambil harga n yang cukup besar .
1.5.4 Radius Konvergensi Untuk menentukan nilai x, yang menghasilkan deret konvergen,tes rasio (Boas, 1983) dapat digunakan.Tes rasio menyatakan bahwa jika rasio absolute dari suku ke-m+1 terhadap suku ke-n mendekati suatu nilai karena
n
,maka deret dikatakan konvergen jika 1 dan
divergen jika 1
a m1
lim
am
m
1
x x 0
x
R
x 0
(6)
(7)
Dimana 1
R
lim m
a m1 am
x x0
atau
R
lim
m
am a m1
(8)
Jika limit ada ,maka deret adalah konvergen ,dan konvergensi menyatakan 1 ,sehingga x xo
R
(9)
R adalah radius konvergensi ,dan deret akan konvergen pada interval x0
R x x0 R
(10)
Jika deret konvergen ,maka deret yang diperoleh dari hasil turunannya juga konvergen. Untuk deret pangkat yang diberikn pada persamaan (1) hanya terdapat tiga kemungkinan
Deret tersebut konvergen hanya ketika
x
x ,jika diperoleh harga o
R=0
Deret tersebut konvergen pada
Deret tersebut konvergen untuk semua x,jika diperoleh harga R= Untuk
x xo
R
,jika diperoleh harga R=1
tiap x yang membuat deret(1) konvergen ,maka deret ini
akan menghasilkan nilai tertentu s(x) .Dapat dituliskan fungsi s(x) yang konvergen dalam interval berikut:
s( x)
a m ( x x0 )
m
( x x0
R)
(11)
m 0
Contoh 1 Selidikilah konvergensi dari deret berikut :
m! x
m
2
3
1 x 2 x 6 x .....
m 0
Penyelesaian Dari deret di atas ,diperoleh
: a
m
m!
,dengan demikian
R
am
lim
a ma
m
R
m!
lim
( m 1)!
m
R
1
lim
m 1
m
R
0
Menurut tes rasio ,kenvergensinya menyatakan bahwa
1 R
x x 0
1
x
R
Deret ini divergen untuk
1
x
0 dengan
demikian deret ini konvergen
hanya ketika x=0 Contoh 2 Selidikilah konvergensi deret geometri berikut :
1 1 x
m
x
m
2
1 x x ......
( x
1)
0
Penyelesaian : Dari deret geometri di atas diperoleh
R
lim
m x
R
a
m
1 untuk
setiap m ,sehingga
am a m 1
1
Menurut tes rasio ,konvergensinya menyatakan bahwa
1 R
x x 0
x
1
Dari tes rasio didapatkan bahwa deret geometri ini konvergen untuk x 1
1.5.5 Penurunan dan Pengintegralan Deret Pangkat
Jika y ( x ) merupakan fungsi dari deret pangkat pada persamaan (1)
y ( x )
am( x x 0 )
m
m0
Mempunyai
radius konvergensi R > 0 ,maka hasil turunan dan
integrasi dari deret pangkat tersebut pada selang
x x 0
R
diberikan
oleh
ma
y ' x
m
( x x 0 ) m 1
m 1
(12)
mm 1a
y ' ' x
m
( x x 0 ) m 2
m 1
x x m
1
y xdx a m 0
(13)
0
m
m 1
(14)
Penjumlahan Dua deret pangkat dapat dijumlahkan,misalkan
f x a m x x 0 m
(15)
m0
g x
bm x x 0
m
(16)
m0
Memiliki radius konvergensi positif (R>0) dan jumlah dari f(x) dan g(x) dapat dituliskan sebagai berikut
a
bm x x 0 m
m
(17)
m0
Konvergensi dari fungsi hasil penjumlahan ini terletak di dalam interval konvergensi dari tiap-tiap fungsi asal . Perkalian Dua deret pangkat f(x) dan g(x) yang dinyatakan pada persamaan (15) dan (16) dapat diperlakukan operasi perkalian ,dengan hasil berikut
a
0
bm a1 bm 1 .....a m b0 x x 0
(18)
m 0
a 0 b0
a0 b1 a1b0 x x0 a0 b2 a1b1 a2 b0 x x0 2 .....
Konvergensi dari fungsi hasil perkalian ini terletak di dalam interval konvergensi dari tiap-tiap fungsi asal.
1.6
Ekspansi Deret Kadang kala dalam menyelesaikan sebuah permasalahan dalam fisika, sebuah fungsi diekspansikan ke dalam bentuk deret agar mempermudah penyelesaian permasalahan tersebut. Sebuah fungsi f(x) jika diekspansasikan menjadi bentuk deret disebut bderet Taylor – Mc Laurin
Dengan
f
(0) adalah turunan ke – n dari f(x)
Misalkan f(x) = sin x ; maka : C0 = 0 C1 = 1 C2 = 0
!
C3 = -
Sehingga sin x = c0x0 + c1x1 +c2x2+c3x3+......
Dengan cara yang serupa,bentuk deret dapat didapatkan untuk beberapa fungsi lainnya
Untuk nilai x sangat kecil, maka : Sin x = x Cos x =1 Exp (x) =1+x Pendekatan nsemacam ini kadang dijumpai pada bidang ilmu mekanika misalnya pada ayunan bandul dengan sudut simpangan yang kecil. Bukti : Deret Taylor Konsep deret ini sungguh tidak sulit jika kita sudah mengenal konsep derivatif. Sangat mudah.. Berikut adalah formula yang dikenl dengan nama Deret Taylor Untuk setiap fungsi f(x) yang diferensiabel di titik c, maka berlaku ekspansi dari f(x) sebagai berikut .
′
F(x) = f(c)+
! ! ′′
(x-c) +
′′′
+
+......(dst)
Teorema Taylor Untuk fungsi f(x) yang diferensiabel dititik c, maka hanya akan terdapat 1 fungsi yang memenuhi kondisi berikut.
xc ⋯
F(x) = a0 + a1(x-c)+a2 Conto soal :
Diketahui f(x) =
x 3x 2x1 xc xc
, dengan c=1 , berapakah nilai daro
a0,a1,a2,a3,dst,, yang memenuhi persamaan berikut ? F(x) = a0+a1(x-c)+a2
+a3
+...
Jawab : Fungsi di atas merupakan polinomial yang berderajat 3. Oleh karena itu , kita tidak perlu memperhatikan derajat yang lebih besar dari 3 , seperti
c, xc
x
. Artinya , nilai yang perlu dicari adalah nilai a0,a1,a2,dan a3 saja.
(sisanya bernilai nol). Soal ini dapat dikerjakan dengan penjabaran biasa(yang sesungguhnya, akan lebih efektif menggunakan formula Deret Taylor).
x 3x x 3x
xc x1 x 2x1 x 3x 3x1
+2x+1 = a0+a1(x-1)+a2 +2x+1 =a0+a1(x-1)+a2
+a3
+a3
Setelah dikalikan dan dijumlahkan menjadi sbb:
x 3x 2x1 a3x a23a3x a12 3xa0a1a2 a3 Dengan menghubung-hubungkan koefisien ruas kiri dan kanan , kita akan menemukan jawaban : A0 = 7 , a1=11,a2=6,dan a3=1. Bukti Deret Taylor Dari Teorema Taylor , didapat fungsi yang didefinisikan sbb: F(x)=a0+a1(x-c)+a2(x-c)2+a3(x-c)3+.....+an(x-c)n+... Bagaimana
jika
fungsi
tersebut
kita
seterusnya?Hasilnya ditunjukkan dibawah F’(x)=a1+2a2(x-c)+3a3(x-c)2+..... F’’(x)= 2a2+33.2..a3(x-c)+4.3a4(x-c)2+...
turunkan
1
kali,2
kali,dan
F’’’(x)=3.2.a3+4.3.2.a4(x-c)+..... Fn(x)= n!(an)+(n+1)!an+1(x-c)+(n+2)!an+2(x-c)2+....(dst) Kemudian, pada fungsi awal dan fungsi-fungsi turunan tersebut , jika kita bmenetapkan x=c, maka : F(c)=a0 F’(c)=a1 f ’’(c)=2!.a2 f ’’’(c)=n!.an dengan memasukkan harga a 0, a1, a2, a3, dst, maka Deret Taylor pun terbukti
! xc ! xc ! xc ⋯dst
f(x)=f(c)+
1.7
′
′′
′′′
Latihan Soal 1. Tentukan deret berikut menggunakan uji awal Penyelesaian
∑= +
l→im + →lim ++ ∫ ⁄ + ∫ ⁄ ~ ∫⁄1x x x x x x ⋯. dx + ~x ⋯ / ~ . . . . . ⋯ =
= 1 (divergen)
2. Hitung
dengan pengembangan deret satelit empat desimal.
Penyelesaian
-
–
~ ~ 0,4636
0,50000 – 0,04167 + 0,00625 – 0,001112 – 0,0004 +0,00001 -
…
3. Selidiki konvergensi deret Penyelesaian
∑−
Suku-suku dari deret ini lebih kecil dari suku-suku deret harmonis Tetapi tidak dapat kita ambil kesimpulan Tetapi
∫ ∫ →lim loglog x| ∞
Deret tersebut divergen
4. Selidiki konvergensi dari deret Penyelesaian
u
∑
> untuk n
Diketahui deret
∑−
≥3
divergen, maka deret tersebut diatas divergen.
∑− ! l→im →lim +! . ! →lim + 0 ∑− ! l→im →lim ++! . ! →lim ++ + l→im 1 e>11. ∑= ..………..+
5. Selidiki konvergensi dari deret Penyelesaian
=
6. Selidiki konvergensi dari deret Penyelesaian =
=
=
7. Selidiki konvergensi deret Penyelesaian
.
lim →lim ..………..++ → l→im + ∑→ + =
Deret Konvrgen.
8. Selidiki konvergensi deret Penyelesaian
+ u ∑ +
Masing-masing deret
dan
konvergen pula.
9. Selidiki konvergensi dari deret Penyelesaian
∑
konvegen. Maka jumlah dari dua deret
∑= 1 ≤ − ∑
Dapat dipahami bahwa ln n < n dan Maka :
− ≤ ∑=
Ternyata deret
=
. Deret
konvergen.
konvergen.
10. Selidiki konvergensi dari deret Penyelesaian
∑= +
x dx x 1 → lim xx dx1 1 2 →lim dxx11 →lim ln x 1 l→im {lnM 1 ln 2} = =
∞
Deret divergen
11. Selidiki konvergensi dari deret
∑=1− + ∞
Penyelesaian
|u| + |u 1| +++ l→im u →lim +⁄ ∑ + dan
Jelas un + 1 < un untuk n ≥ 1 Sedangkan
=
∞
= 0
∞
Deret alternative konvergen, tetapi deret dengan suku – suku positif ∞
12. Selidikilah konvergensi deret berikut e
x
x
m
!
1 x
m m0
x
2
.....
2!
Penyelesaian : Menurut tes rasio ,konvergensi menyatakan bahwa
1 R
x x 0
1
1
x
R
Karena harga R= ,maka deret di atas konvergen untuk semua x ,dan dari tes rasio diperoleh
x
13. Tentukan radius konvergensi dari deret berikut
m
1
0
8
m
x
3m
1
x
m
3
8
x
6
64
x
9
512
..... .....
Penyelesaian Deret ini merupakan deret dengan pangkat am
R
( 1) m / 8 m , maka
lim m
R
lim m
R
8
am a m 1
8
m 1
8
m
t
x
3
denga koefisien
Menurut tes rasio ,konvergensi menyatakan bahwa
1 R
x x 0
1
R
x
3
1
Dengan demikian deret ini konvergen untuk x
2
14. Gunakan ratio test
22n1 + + 2 2 2 u 2n1 ; u+ 2n1 1 2n1 + 2 l→im uu+ lim→ 2n1 22n1 + 2 lim→ 2n1 2n1 2 2 lim→ 2n1.2 2n1 2 lim→ 4n2 2n1 4n 2 lim→ 2nnn n1n 4 2 2 1 42 2 divergen ∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞ ∞ ∞ ∞
∞ ∞
15. Gunakan Couchy test
n ( ) n1e = n n u (n1e) ne 1e ∞
t x
3
8 yang
memenuhi
n →lim u lim → ne 1e n lim→ ne 1e ⁄ n lim→ nee ⁄ n lim→ ne⁄ e⁄ ⁄ n ne⁄n e⁄ n∞ ∞∞ ∞ f x cosx ∞
∞
∞
∞
16. Ekspansikan fungsi Penyelesaian
disekitar
x π
!
f xsinx f ππ1 f xcosx f ′0 f x sinx f π1 f IVxcosx f IVxπ0 f Vx sinx f V π1 f VIxcosx f VI π0 −! − π cosxx ! ! ⋯ 17. Ekspansikan fungsi Penyelesaian :
fxsinx,f xcosx,f x:f xlnx1di sekitar 0
x x x sinxx 3! 5! 7! .. cosx1 ! ! . e 1x ! Ln1xx ⋯ − f x e +…
18. Ekspansikan ke dalam deret taylor dan max laurins : dengan b = 0 dan n = 4 penyelesaian :
− f b e−. e−. e− 1 f x e −. 2e− 2 fII Ixe−− . 22e−− f IIb 2e fIII x 2e− .24e− f IIIIb 4e−− 4e− 4 f IVx 4e −. 28e − f IVb 8e − 8e−− 8 f x8e . 216e f b16e 16e 16
19. Ekspansikan ke dalam deret taylor dan mac laurins.
f x1x/
Penyelesian :
f x1x/ f x1x/ f b1b/ 10/ √ 1 1 f Ix 1x−/ f Ib 1b−/ 10−/ /√ f IIx 1x−/ f IIb 1b−/ 10−/ −/√ f IIIx 1x−/ f IIIb 1b−/ 10−/ /√ dengan b = 0 dan n = 3
Deret taylor :
I I I I II f f f f xf b 1! xb 2! xb 3! xb …… 1 1/21! x0 1/42! x0 3/83! x0 …… 1 12 x 14 x 38 x …….. Deret max laurins
I I I I II I V f b f b f b f f x f b 1! x 2! x 3! x 4!b x ……… 1 1/21! x 1/42! x 3/83! x …… 1 12 x 14 x 38 x …….. 20. Ekspansikan kedalam deret taylor dan mac laurins a.
fxe f b e 1 f xe .1 f be 1 f x e .1 f b e 1 f x e .1 f b e 1 f xe .1 f be 1 f xe .1 f be 1 b b b f f f f Fxf b 1! xb 2! xb 3! xb 4!b xb f 5!b xb 1 1!1 x0 2!1 x0 3!1 x0 4!1 x0 5!1 x0 1 1!1 x 2!1 x 3!1 x 4!1 x 5!1 x ′
′
′′
′′
′′′
′′′
′
′
Deret taylor
′
′′
′′′
′
Deret mac laurin
f b f b f b f b f Fx f b 1! x 2! x 3! x 4! x 5!b x 1 1!1 x 2!1 x 3!1 x 4!1 x 5!1 x 1 1!1 x 2!1 x 3!1 x 4!1 x 5!1 x f x x1 − − f b01− 1− f x 1x1− f 101− 1 f x 2x1 − f′b 201 −2 f x6x1− f 601− 6 f x 24x1 f b 2401 24 f b f b f Fx f b 1! xb 2! xb 3!b xb f 4!b xb 1 11! x0 2!2 x0 63! x0 244! x0 1xx x x ′
b.
′′
′′′
′
Deret taylor
Deret mac laurin
f b f b f b f b f Fx f b 1! x 2! x 3! x 4! x 5!b x 1 11! x 2!2 x 63! x 244! x 1xx x x 21.Tentukan konvergen atau divergen dengan menggunakan integral test a. f (n) = sin n penyelesaian : F (n) = sin n
~ f x dx → lim si n x dx →lim cosx u1 →lim cosucos 1
cos~cos1 ~0,99~
b. f (n) =
+
misal : t = x+1
1
dxdt 50 ~ f x dx → lim t dt →lim 50 ∫ dt →lim 50ln tu1 →lim 50 .lnx1u1 karena
50 ln~1 ln11 50 00,693 34,65 34,65<1
maka disebut konvergen
