5. Deret Kompleks
5. DERET KOMPLEKS Seperti Seperti halnya halnya dalam bilangan bilangan riil, dalam bilangan bilangan kompleks kompleks juga juga dikenal istilah barisan dan deret kompleks serta sifat-sifat kekonvergenannya. Hal penting dalam bab ini yaitu setiap fungsi analitik dapat disajikan dalam deret pangkat (deret Taylor, deret Macaurin atau deret aurent!. Sebelumnya, perlu pengertian barisan dan deret bilangan kompleks, deret pangkat, dan jari-jari kekonvergenanan. Setelah membaca "ab #, mahasis$a diharapkan dapat %
men mengert gertii
defi defin nisi isi
bari barissan
dan dan
dere derett
pan pangkat gkat
bese besert rta a
sifa sifatt
kekonvergenannya.
Menyajikan fungsi analitik dalam deret Taylor, deret Macaurin atau deret aurent.
49
5. Deret Kompleks
5.1 Barisan dan Deret Bilangan Kompleks 5.1.1 Barisan Bilangan Kompleks "arisan bilangan kompleks %
Defnisi Barisan Bilangan Kompleks
merupakan fungsi yang memetakan setiap bilangan bulat
•
positif n dengan suatu bilangan kompleks. &otasi barisan bilangan kompleks %
Kekonverg enan Barisan
"arisan
•
lim z n n→∞
n ≥1 .
konvergen
z n
jika
z ∈ C sehingga
ada
= z . ∀ ε > 0 , ∃ n0 ∈ N sehingga
'ika
•
} = { z 1 , z 2 , z 3 , , z n } ,
atau { z n
z n
z n − z < ε
untuk
n ≥ n0 .
Contoh 1
= −2 +
Tunjukkan barisan z n
(−1) n n2
,n
= 1, 2,
konvergen ke -2.
Penyelesaian :
lim z n n→∞
= lim −2+ n →∞
z n Jadi lim n→∞
(−1)
n
n2
lim − 2 − 1 = −2 , n = ganjil 2 n →∞ n = lim − 2 + 12 = −2 , n = genap n n→ ∞
= −2 .
Seperti halnya dalam barisan bilangan riil, pada bilangan kompleks berlaku beberapa teorema berikut.
Teorema 5.1
Jika z n
konvergen ke
a dan Teorema 5.2
= x n + i y n
dengan xn ∈ ℜ dan y n ∈ ℜ , maka
z = a + i b jika
dan hanya jika xn konvergen ke
y n konvergen ke b .
Jika z n dan wn berturut-turut konvergen ke c konstanta kompleks, maka 1. z n + wn konvergen ke z + w . 2.
c z n konvergen ke c z .
.
z n wn konvergen ke
!.
1 z n
konvergen ke
setiap
n.
5.1.2 Deret Bilangan Kompleks
50
z n
z dan w , dan
z w .
1
z
asalkan z n
≠ 0 dan z ≠ 0 untuk
5. Deret Kompleks
∞
"iberikan
deret
bilangan
∑ z n
kompleks
dengan
suku-suku
deret
yaitu
n =1
z 1 , z 2 , z 3 ,
. #isalkan,
= z 1 S 2 = z1 + z 2 S 3 = z1 + z 2 + z3 S 1
merupakan jumlah suku pertama merupakan jumlah dua suku pertama merupakan jumlah tiga suku pertama
S n $ilangan
= z1 + z2 + + z n
n suku pertama S menyatakan jumlah deret di atas apabila lim S n = S . merupakan jumlah
n→∞
S n konvergen ke S jika dan hanya jika nlim →∞
Teorema 5.3
∞
Jadi deret ∑ z n n =1
∞
= S , dan ditulis
∑ z n
= S .
n =1
∞
"iberikan deret bilangan kompleks ∑ z n dengan z n n =1
= x n + i y n , xn
dan yn bilangan riil, maka berlaku si%at-si%at berikut : ∞
∑ z n
1.
⇔
konvergen
n =1 ∞ n =1 ∞
∑ z n konvergen
.
∞
n =1
n =1
∑ xn dan ∑ y n konvergen.
⇒
∑ z n konvergen
2.
∞
lim z n
n→∞
=0.
terdapat bilangan riil M sehingga
⇒
n =1
z n ≤ M , ∀n∈ N . ∞
∑ z n konvergen
!.
n =1
⇒
∞
∑ z n konvergen .
n =1
∞
Seperti dalam deret bilangan riil, kekonvergenan deret ∑ z n dapat diuji dengan n =1
beberapa uji kekonvergenan berikut. ∞
1.
⇒
∑ z n konvergen n =1
lim z n n →∞
lim z n n →∞
∞
≠ 0 ⇒ ∑ z n divergen. n =1
∞
∞
2.
∑
z n konvergen
⇒
∞
∑ z n
∑ z n konvergen mutlak. n =1
n =1
∞
konvergen dan
n =1
∑
∑ z n
z n divergen
n =1
∞
.
=0.
konvergen mutlak
n =1
⇒
⇒
∞
∑ z n konvergen bersyarat. n =1
∞
∑ z n konvergen. n =1
!. &ji $anding z n ≤ bn dan
∞
∑b
n
n =1
konvergen
⇒
∞
∑ z n konvergen. n =1
51
5. Deret Kompleks
∞
∞
an
≤ z n dan ∑ a
⇒ ∑ z
divergen
n
n
n =1
divergen.
n=1
'. (atio Test
lim n ←∞
z n+1
= L
z n
∞ L < 1, ∑ z n konvergen mutlak n =1 ∞ L > 1, ∑ z n divergen n =1 L = 1, uji gagal
⇒
). (oot Test
lim
z n
n
= L
∞ L < 1, ∑ z n konvergen mutlak n =1 ∞ L > 1, ∑ z n divergen n =1 = L 1 , uji gagal
⇒
n ←∞
*. "eret +eometri ∞
$entuk umum :
∑q
n
= 1+ q + q2 +
n =1
Jika Jika
q
<1
q
≥1
maka deret konvergen. maka deret divergen.
. "eret p ∞
$entuk umum :
∑ n1 n =1
p
= 1+
1 2
p
+
1 3 p
+
Jika p < 1 maka deret konvergen. Jika p ≤ 1 maka deret divergen.
5.2 Deret Pangkat )eret pangkat dalam z − z 0 berbentuk %
Bentuk Deret Pangkat
∞
∑ a ( z − z ) 0
n
n
= a0 + a1 ( z − z 0 ) + a 2 ( z − z 0 ) 2 +
n=0
denga dengan
z
bilangan kompleks, z 0 bilangan kompleks sebarang
yang disebut pusat deret, a0 , a1 , a 2 , konstanta kompleks yang disebut koefisien deret. *pabila z 0
= 0 diperoleh bentuk khusus dari suatu deret pangkat dalam z yaitu
∞
∑ a z n=0
n
n
= a 0 + a1 z + a 2 z 2 +
∞
+ntuk setiap deret pangkat
∑a
n
n ( z − z 0 ) terdapat bilangan tunggal ρ dengan
n =0
0 ≤ ρ ≤ ∞ yang dinamakan jari-jari kekonvergenan deret.
disebut lingkaran kekonvergenan deret.
52
Sedangkan z − z 0 = ρ
5. Deret Kompleks
∞
Teorema 5.4
Misal
diberikan
deret
∑a
pangkat
n
( z − z 0 ) n .
'ika
n =0
lim n →∞
an
= ρ , dengan
a n +1
0 ≤ ρ ≤ ∞ maka ρ adalah jari-jari
kekonvergenan. ∞
Teorema 5.5
Misal diberikan deret pangkat
∑a
n
( z − z 0 ) n .
n=0
1
'ika lim n→∞
1
an
n
= ρ ,
dengan 0 ≤
ρ ≤
∞ maka ρ adalah jari-
jari kekonvergenan.
Si%at jari-jari kekonvergenan deret pangkat. = 0 maka deret konvergen hanya di z = z 0 pusat deret.
1.
Jika
2.
Jika 0 <
ρ
ρ
< ∞ maka deret konvergen mutlak atau konvergen untuk setiap
z dengan
dengan z − z 0 < ρ dan deret divergen untuk setiap .
Jika ρ =
z
z − z 0 > ρ .
∞ maka deret konvergen mutlak atau konvergen untuk setiap z
dengan z − z 0 < ∞ .
Contoh 2
∞
Tentukan pusat dan jari-jari kekonvergenan deret
∑ n =1
z n n3
.
Penyelesaian : #isal a n
ρ
=
1 , pusat deret yaitu z 0 n3
1
an
= lim n→ ∞
a n +1
= lim n→∞
1
n3
= 0.
= lim n →∞
+ 3n 2 + 3n + 1 = 1
n3
n3
( n + 1) 3
leh karena itu % deret konvergen pada z < 1 • • deret divergen pada z > 1 ∞
*pabila
z
=1
, maka
∑ n =1
deret p dengan p > 1 !,
z n n
3
∞
=∑
dan
∑ n =1
∞
∑
z n
n3 'adi,
konvergen pada
z
=1
n
n =1
∞
n
z
=
3
∞
∑ n =1
1 n3
(merupakan
n
z n
3
konvergen .
Sehingga
.
n =1
z
=1
konvergen pada
z > 1 .
53
z
≤1
dan divergen pada
5. Deret Kompleks
5.3 Deret Talor dan Ma!La"rin Suatu %ungsi f ( z ) tidak dapat direpresentasikan dalam dua deret pangkat dengan pusat deret yang sama. *pabila f ( z ) dapat dinyatakan dalam deret pangkat dengan pusat z 0 , maka deret tersebut tunggal. Setiap %ungsi analitik dapat disajikan dalam deret pangkat. /pabila f ( z ) analitik di dalam lingkaran C maka f ( z ) dapat disajikan dalam deret Taylor atau deret Macaurin bergantung pada
pusat deretnya.
C f ( z ) analitik di dalam C
r 0
z 0
Gambar 5.1 0ingkaran C dengan pusat deret z 0
Deret Taylor
'ika f ( z ) analitik di dalam lingkaran C yang berpusat di z 0 dan berjari-jari r 0 ( lihat ambar #./ !, maka untuk setiap titik z di dalam C berlaku ∞ f ( n) ( z ) 0 ( z − z 0 ) n . f ( z ) = f ( z 0 ) + (#./! n ! n =1 Persamaaan '.1 disebut deret Taylor dari f ( z ) di sekitar titik z 0 .
∑
Deret a!"aurin
'ika pada persamaan (#./!, z 0 dalam C berlaku
= 0 maka untuk setiap titik z
∞
f (n) (0) n f ( z ) = f ( 0) + z . n ! n =1
∑
(#.0!
Persamaan '.2 disebut deret #a0aurin dari f ( z ) . $eberapa ontoh deret #a0aurin. z 2 1. e = 1 + z + 2!
z 3 + 3!
z 3
z 5
z
2. sin z = z −
3!
+
5!
+
∞
=∑ n=0
−
=
z n , n!
z < ∞
∞
∑ (−1) n =0
n
z 2 n +1 ( 2 n + 1) !
54
,
z < ∞
.
di
5. Deret Kompleks
2
. cos z = 1 − !. '.
1
z
2!
4
+
1 − z 1 1 + z
∑ (−1)
− =
4!
n=0
= 1 + z + z + z + 2
2n
∞
z
4
n
z
(2n)!
,
z < ∞
.
∞
= ∑ z n ,
z < 1 .
n =0
= 1 − z + z 2 − z 3 + z 4 −
Contoh 3
∞
= ∑ (−1) n z n
,
z < 1 .
n =0
Tentukan deret Taylor untuk f ( z )
= 1 di sekitar z 0 = 1 . z
Penyelesaian : Titik singular f ( z ) yaitu z = 0 . "ibuat lingkaran C dengan pusat z 0 = 1 dan jari-jari 1 C : z − 1 = 1 , sehingga f ( z ) analitik di dalam C . f ( z 0 ) = f (1) = 1 −2
f ' ( z ) = −1. z
⇒ f ' (1) = −1
−3
= 2. z ⇒ f ' ' (1) = 2 −4 ⇒ f ' ' ' (1) = −6 f ' ' ' ( z ) = −6. z
f ' ' ( z )
#enggunakan persamaan '.1 diperoleh deret Taylor : f ( z ) = 1 − ( z − 1) + ( z − 1) 2 − ( z − 1) 3 + , z − 1 < 1
Cara lain : menggunakan deret #a0aurin f ( z )
= =
1 z 1 1 + ( z − 1) ∞
= ∑ (−1) n ( z − 1) n n =0
= 1 − ( z − 1) + ( z − 1) 2 − ( z − 1) 3 + 5.#
, z − 1
<1
Deret La"rent /pabila f ( z ) tidak analitik di z 0 , tetapi f ( z ) analitik untuk setiap
z
di
dalam annulus R2 < z − z 0 < R1 , maka f ( z ) dapat diekspansi dalam deret 0aurent.
Deret "aurent
'ika f ( z ) analitik di dalam annulus R1 < z − z 0 < R2 ,
dan C sebarang lintasan tertutup sederhana di dalam annulus
R1 < z − z 0 < R2
untuk setiap
z di
yang mengelilingi z , maka
dalam
0
R1 < z − z 0 < R2 , f ( z ) dapat
dinyatakan sebagai
f ( z ) =
∞
∑ n=0
a n ( z − z 0 ) n
55
∞
+∑ n =1
bn ( z − z 0 ) n
(#.0!
5. Deret Kompleks
dengan an
bn
=
=
1
f ( z )
2π i
1 2π
∫ ( z − z ) C
n +1
dz , n
= 0, 1, 2,
0
f ( z )
i ∫ ( z − z ) C
dz , n = 1, 2, 3,
− n +1
0
1ersamaan (#.0! sering ditulis dengan f ( z ) =
∞
∑c
n
( z − z 0 ) n
n = −∞
(#.2!
=
dengan c n
f ( z )
1 2π i
∫ ( z − z ) C
n +1
dz , n
= 0, ± 1, ± 2,
0
3uas kanan persamaan (#.0! dan (#.2! disebut deret aurent f ( z ) dalam annulus /pabila
an
=
1
f ( z )
analitik
f ( z )
f n ( z 0 )
2π i ∫ ( z − z ) C
n +1
dz =
0
n!
R1 < z − z 0 < R2 .
z − z 0 < R2 ,
untuk
bn
dan
=
1 2π
maka
f ( z )
i ∫ ( z − z ) C
sehingga persamaan (#.0! menjadi deret Taylor f ( z ) =
− n +1
dz = 0 ,
0
∞
∑ n=0
f n ( z 0 ) n!
( z − z 0 ) n .
'adi deret Taylor merupakan kejadian khusus dari deret aurent.
Contoh 4
Tentukan deret #a0aurin dan deret 0aurent dari f ( z ) =
1 ( z − 1) ( z − 2)
Penyelesaian : f ( z ) =
1 ( z − 1) ( z − 2)
=−
1 ( z − 1)
+
1 ( z − 2)
Titik singular f ( z ) yaitu z = 1 dan z = 2 . "ibuat annulus 1 < z < 2 , sehingga dapat diperoleh deret #a0aurin untuk z < 1 dan deret 0aurent untuk 1 < z < 2 dan z > 2 . a. "eret #a0aurin untuk f ( z ) analitik untuk z
z < 1 . < 1,
56
sehingga
5. Deret Kompleks
1 + = − f ( z ) = − z ( z − 1) ( z − 2) 1 − z 2 1 − 2 1
∞
1
∞
= ∑ z − ∑ n
n =0
n=0
1
z n 2n
1
,
+1
z
<1
b. "eret 0aurent untuk 1 < z < 2 . f ( z ) analitik untuk 1 < z < 2 . 1 + 1 . f ( z ) = − ( z − 1) ( z − 2) n 1 1 ∞ 1 = − ∑ − =− z − 1 z 1 − 1 z n=0 z z
1
1
∞
= −∑ n =0
1
1 1 =− z − 2 2 1 − z
∞
= −∑ n=0
<1
z
, 1 < z
n +1
z
1
1
,
1 =− 2 2
z n
, z
2 n +1
∞ z n ∑ n =0 2
z 2
,
<1
<2
Jadi, f ( z ) =
1 ( z − 1) ( z − 2) ∞
= −∑ n =0
1 z n +1
=−
∞
−∑ n =0
1 ( z − 1)
z n
+
1 ( z − 2)
, 1 < z
2 n +1
< 2.
. "eret 0aurent untuk z > 2 . f ( z ) analitik untuk z > 2 . 1 + 1 . f ( z ) = − ( z − 1) ( z − 2)
1 1 − =− 1 z − 1 z 1 − z ∞ 1 =− n +1 n = 0 z 1
=
∑
1 1 =− z − 2 z 1 − 2 z 1
∞
= −∑ n=0
2n z n +1
−1 z ,
=
−1 z
, z
Jadi,
57
∞ 1 ∑ z = n
1 z
,
n 0
z
>1
∞ 2 n ∑ n =0 z >2
<1
,
2 z
<1
5. Deret Kompleks
f ( z )
=
1 ( z − 1) ( z − 2) ∞
= −∑ n =0
1 z n +1
=−
∞
1 ( z − 1)
2n
−∑
( z − 2)
,
z n +1
n =0
1
+
z
> 2.
#ingkasan Setiap fungsi analitik dapat disajikan dalam deret pangkat (deret Taylor, deret Macaurin atau deret aurent! bergantung pada pusat deretnya.
Soal$soal 1. Tentukan jari-jari kekonvergenan deret
3n 2 + n 2 ( z + i ) n ∑ n = 2 n − 1 ∞
a.
2.
∞
b.
∑ n =0
2 n +1
z
(2n + 1) !
Tentukan deret Taylor dari %ungsi berikut dengan pusat deret z 0 . 1
a. f ( z ) = b. f ( z )
z + 2
=1
, z 0
, z 0
z 1
c. f ( z ) =
4 − 3 z
= 1+ i
= 2 + 3i
, z 0
= 1+ i
. kspansikan %ungsi berikut dalam deret 0aurent dengan pusat deret z 0 . a.
f ( z ) =
b. f ( z ) = c. f ( z ) =
1 z
2
+1
, z 0
=i
1
z (1 + z ) 2 2
z + 1 + i ( z + i) 2
, z 0
, z 0
=0
= −i
!. Tentukan deret #a0aurin dan deret 0aurent dari 1 a. f ( z ) = 2 1 − z
58
5. Deret Kompleks
4
b. f ( z )
=
c. f ( z )
= z + 1 z − 1
1 − z
4
59
