Faisal Shaleh Dyahayu Rahma Dini Silke Arinda Maulina Arma Desta Wiratama Octavia Setianingrum Tyas Dwi Arini Fitra Isni Rosita Reza Anandiraka
MEMPERSEMBAHKAN
DERET
Yang akan kita bahas.. Konvergensi Deret Taktentu
Deret Sederhana
Deret Arimatika
Deret Geometri
Deret Pangkat
Deret Maclaurin
Aplikasi Deret dalam Kimia
Pengujian Konvergensi
Deret Taylor
Yang akan kita bahas.. Konvergensi Deret Taktentu
Deret Sederhana
Deret Arimatika
Deret Geometri
Deret Pangkat
Deret Maclaurin
Aplikasi Deret dalam Kimia
Pengujian Konvergensi
Deret Taylor
Deret Sederhana a n a h r e d e S t e r e D
Deret adalah rangkaian bilangan yang tersusun secara teratur dan memenuhi kaidah tertentu. Suku/elemen adalah bilangan yang merupakan unsur pembentuk deret Deret menurut jumlah sukunya :
1. Deret berhingga = Deret yang suku-sukunya tertentu. 2. Deret tak berhingga = Deret yang jumlah suku-sukunya suku -sukunya tak terbatas . Deret Sederhana:
1. Deret Aritmatika 2. Deret Geometri
Deret Aritmatika a n a h r e d e S t e r e D
Deret/barisan bilangan aritmatika adalah sekumpulan bilangan yang disusun sedemikian rupa sehingga jarak/selisih antara setiap suku dengan suku berikutnya selalu tetap (konstan). Bentuk umum : Un = a +(n-1) b
a, a+b, a+2b, a+3b,....., a+(n-1)b dimana:
a = suku awal b = bilangan selisih (konstan)
1. Jumlah deret aritmatika hingga suku ke-n (Sn) Metode Gaussian a n a h r e d e S
Sn = U1 + U2 + U3 + ... + Un Dengan menggunakan rumus yang ditemukan Carl Friedrich Gauss
t e r e D
Sn = n/2 (2a + (n-1)b) = n/2 (a + Un) = n/2 (U1 + Un) Maka selisih dua jumlah deret yang berurutan adalah suku terakhir pada deret yang terakhir, Sn – Sn-1 = Un 2. Sifat deret aritmatik
U1 + U3 = 2 U2
Deret Geometri a n a h r e d e S t e r e D
Barisan bilangan yang memiliki sifat perbandingan dua suku berurutan adalah sama besar (tetap). Nilai perbandingan yang tetap dilambangkan dengan r. Bentuk umum : Un = arn-1 sehingga: a + ar1 + ar2 + ar3 +...+ arn-1 Dimana:
a=suku awal r= rasio/perbandingan
Rasio (r) =Un /Un-1 Barisan geometri dapat dipandang sebagai barisan eksponensial
Jumlah deret geometri hingga suku ke-n a n a h r e d e S t e r e D
Sn = a(1-rn) / (1-r) , untuk r<1 Sn = a(rn-1) / (r-1) , untuk r>1 Deret Geometri tak berhingga
Adalah penjumlahan dari : U1 + U2 + U3+ ...... Dengan rumus jumlah deret geometri : S∞ = a/(1-r)
Konvergensi Deret Tak Tentu Deret tak hingga merupakan jumlahan tak terhingga dari suku-suku
yaitu a1+a2+…+an
Notasi deret tak hingga adalah Penjumlahan parsial meliputi penjumlahan suku-suku tertentu
Jumlah S suatu deret tak terhingga diberikan limit : Jika limitnya eksis dan tertentu, maka deretnya merupakan konvergen Jika limitnya tak terbatas maka deretnya divergen
Sebagai contoh u t n e T
k a T
Jika r < 1, maka rn akan mendekati nol ketika n tak terhingga
t e r e D i s n e g r e v n o K
Limitnya eksis dan tertentu, maka deret ini konvergen
Jika r > 1, maka rn akan menjadi tak terhingga bila n tak terhingga sehingga limitnya tak tertentu, maka deret tersebut divergen
Contoh lainnya terdapat pada termodinamika statistik.
Pengujian Konvergensi Deret Suku Positif Sebuah
disebut deret suku positif, bila semua
suku-sukunya positif. Berikut ini adalah deret-deret suku positif yang sering digunakan : 1.Deret geometri 2.Deret harmonis
Deret Geometri i s n e g r e v n o K
Bentuk umum : Proses menentukan rumusan Sn adalah sebagai berikut :
n a i j u g n e P
Dari rumusan tersebut diperoleh bahwa sehingga .
untuk r 1. Kekonvergenan dari deret
geometri bergantung pada nilai r.
Deret Harmonis i s n e g r e v n o K n a i j u g n e P
Bentuk umum :
Untuk menentukan kekonvergenan, dapat diketahui dari nilai limit dari Sn nya, yaitu
i s n e g r e v n o K n a i j u g n e P
Uji Awal ( preliminary test ) menyatakan, jika deret divergen. 1. Uji Banding 2. Uji Integral 3. Uji Nisbah 4. Uji Banding Khusus
1. Uji Banding i s n e g r e v n o K n a i j u g n e P
Jika suku demi suku dari deret , dengan adalah deret konvergen, maka deret juga konvergen. Jika suku demi suku deret , dengan membentuk deret divergen, maka deret juga divergen.
2. Uji Integral
3. Uji Nisbah i s n e g r e v n o K n a i j u g n e P
Jika
deret konvergen
Jika
deret divergen
Jika
uji nisbah tidak memberi kesimpulan
4. Uji Banding Khusus Ditinjau deret positif
Jika deret positif konvergen.
konvergen dan
Jika deret positif divergen.
divergen dan
deret deret
Deret Bolak-Balik i s n e g r e v n o K n a i j u g n e P
Deret bolak-balik adalah deret yang suku-sukunya berganti tanda. Sebagai contoh,
Deret bolak-balik ,dengan jika memenuhi dua syarat berikut: •
•
positif, konvergen
Setiap suku-suku deret ini secara numerik kurang dari sukusuku sebelumnya, Jika
Deret Pangkat Deret pangkat merupakan suatu bentuk deret tak hingga Bentuk Umum : f(x) = ai xi Ada 2 macam deret pangkat: 1. Deret pangkat dalam x = a0 + a1 x2 + ... + an xn + ... 2. Deret pangkat dalam x – c = a0 + a1 (x – x0) + a2 (x – x0)2 +...an(x – x0)n ( pers. A )
Dari persamaan A, Diasumsikan x, x0, dan koefisien a i merupakan bilangan real. Jumlah parsial untuk n suku pertama bentuk di atas adalah sn yang dapat dituliskan sebagai t a k g n a P t e r e D
sn (x) = a0 + a1 (x − x0) + a2 (x − x0 )2 + ... + an(x − x0)n Dan sisa deret pangkat (pers. A) didefinisikan sebagai Rn Rn(x) = an+1 (x – x0 )n+1 + an+2 (x – x0 )n+2 + ...
t a k g n a P t e r e D
Untuk persamaan (A) di atas dapat diperoleh s0 = a0 R0 = a1(x – x0) + a2(x – x0)2 + a3(x – x0)3 + ... s1 = a0 + a1(x – x0) R1 = a2(x – x0)2 + a3(x – x0)3 + a4(x – x0)4 + ... s2 = a0 + a1(x – x0) + a2(x – x0)2 R2 = a3(x – x0)3 + a4(x – x0)4 + a5(x – x0)5 + ...
Radius Konvergensi t a k g n a P t e r e D
Untuk menentukan nilai x, yang menghasilkan deret konvergen, dapat menggunakan tes rasio. Tes rasio menyatakan bahwa jika rasio absolut dari suku ke-m+1 terhadap suku ke-n mendekati suatu nilai ξ karena n → ∞, maka deret dikatakan konvergen jika ξ <1 dan divergen jika ξ > 1.
ξ = 1 −x-x0
Konvergensi pada Deret Pangkat t a k g n a P t e r e D
Jika x = x1 , maka deret pangkat (pers. A) konvergen jika
lim sn (x1) = s(x1) merupakan suatu bilangan real. Sebaliknya, deret pangkat itu akan divergen jika lim sn (x1) = s(x1) bukan sebagai suatu bilangan real.
t a k g n a P t e r e D
Untuk deret pangkat yang diberikan pada pers. A hanya terdapat tiga kemungkinan : 1. Deret tersebut konvergen hanya ketika x = x0 jika diperoleh harga R = 0 2. Deret tersebut konvergen pada x-x0 < R , jika diperoleh harga R = 1 3. Deret tersebut konvergen untuk semua x, jika diperoleh harga R = ∞
Deret Maclaurin Deret Maclaurin adalah penaksiran polinom derajat tak hingga
Catatan: Deret infinite (tak hingga) menyatakan bahwa akhirnya deret ini sama dengan fungsi sebenarnya, bukan penaksiran lagi.
Perbandingan Maclaurin dengan Taylor Series n i r u a l c a M t e r e D
TAYLOR SERIES: Dari awal kita selalu memulai perkiraan pada nilai Sesungguhnya, kita bisa membuat deret polinom yang berasal dari titik manapun. MACLAURIN SERIES: merupakan Deret Taylor yang berpusat pada x 0=0
n i r u a l c a M t e r e D
Ide awal dari deret MacLaurin adalah sebuah fungsi dapat dinyatakan dalam bentuk deret polinomial. Misalkan
Jika kita memasukkan nilai x = 0, maka kita dapatkan Kemudian kita turunkan fungsi tersebut terhadap x , maka kita dapat
Dan jika kita memasukkan nilai x , kita dapat
Kita turunkan fungsi tersebut sekali lagi
n i r u a l c a M
Masukkan lagi x=0 dan kita dapat
Ulangi lagi langkah yang selanjutnya, sehingga kita dapat
t e r e D
Jadi, deret MacLaurin dapat ditulis dengan
Deret Taylor
Dalam matematika, deret Taylor adalah representasi fungsi matematika sebagai jumlahan tak hingga dari suku-suku yang nilainya dihitung dari turunan fungsi tersebut di suatu titik. Deret ini dapat dianggap sebagai limit polinomial Taylor.
Definisi Deret Taylor
r o l y a T
Deret Taylor dari sebuah fungsi riil atau fungsi kompleks f ( x ) yang terdiferensialkan tak hingga dalam sebuah persekitaran sebuah bilangan riil atau kompleks a adalah deret pangkat.
t e r e D
Dalam bentuk lebih ringkas dapat dituliskan sebagai :
Teorema Taylor dalam Satu Variabel
r o l y a T t e r e D
Teorema Taylor menyatakan sembarang fungsi dapat dihampiri dengan polinomial. Contoh sederhana penerapan teorema Taylor adalah hampiran fungsi eksponensial e x di dekat x = 0:
Hampiran ini dinamakan hampiran Taylor orde kee x karena menghampiri nilai fungsi n’ terhadap eksponensial menggunakan polinomial derajat n. Hampiran ini hanya berlaku untuk x mendekati nol, dan bila x bergerak menjauhi nol, hampiran ini menjadi semakin buruk. Kualitas hampiran dinyatakan oleh suku sisa:
Bentuk Lagrange
r o l y a T t e r e D
Bentuk Lagrange dari suku sisa menyatakan bahwa terdapat bilangan ξ antara a dan x sedemikian sehingga:
Bentuk Cauchy
r o l y a T t e r e D
Bentuk Cauchy suku sisa menyatakan bahwa terdapat bilangan ξ antara a dan x sehingga :
Secara umum, bila G(t ) adalah fungsi kontinyu pada selang tertutup [a, x ], yang terturunkan dengan turunan tidak nol pada (a, x ), maka ada suatu bilangan ξ antara a dan x sehingga :
Pembuktian Satu Variabel
r o l y a T
Berikut adalah bukti teorema Taylor dengan suku sisa integral. Teorema dasar kalkulus menyatakan bahwa : yang dapat disusun ulang menjadi:
t e r e D
Sekarang kita dapat melihat bahwa penerapan integrasi parsial menghasilkan :
r o l y a T t e r e D
Dimana dv = dt ; persamaan kedua didapatkan dengan mencatat bahwa :
Persamaan ketiga didapatkan dengan mengeluarkan faktor yang sama. Bila integrasi parsial ini diteruskan didapatkan:
Aplikasi Deret pada Kimia Osilator Harmonik
Energi rata-rata osilator harmonik menurut mekanika kuantum pada temperatur dapat diperoleh dengan menjumlahkan fungsi partisinya Z
exp n h 1 2
n0
/ kT
exp 21 h / kT exp nh / kT n 0
Penjumlahan suku-suku dalam persamaan di atas menyerupai bentuk x ( 1 x ) sehingga fungsi partisinya
n
1
n 0
Z
exp 12 h / kT
1 exp h
/ kT
Energi rata-rata osilator adalah
log Z kT 2 T log kT 2
exp 12 h / kT
1 exp h
/ kT
T
1 1 h 2 exp h / kT 1
Pada temperatur tinggi dimana kita dapat mengurai 2 bentuk eksponen h h h 1 1 2 kT kT kT
exp
suku-suku di atasnya dapat diabaikan, jadi
1 1 h 2 2 1 h / kT 2 h / kT
kT
Gerakan Vibrasi Molekul Diatomik
Untuk gerak vibrasi, dapat kita ambil model osilator harmonik sederhana sebagai pendekatan. Fungsi partisinya : exp 21 h / kT Z v 1 exp h / kT
Untuk fungsi partisi elektronik, kita akan nyatakan dalam bentuk keadaan dasar, energi yang diperlukan untuk mengeksitasi elektron dari keadaan dasar ke keadaan diatasnya. Fungsi partisinya Ze go g1 exp e1 / kT g2 exp e2 / kT ...
Fungsi partisi total molekul diatomik diperoleh dari masingmasing komponen h /kT e Z 3 2 mkT (2 j 1)exp j( j 1)K / kT h / kT h 1 e j 0
V
3 2
1 2
g0 g1 exp e1 / kT Z n
Jadi, Energi molekul gas diatomik 3 2 log Z N 2 kT kT ( 2 j 1)exp j( j 1)K / kT T j 0 / kT g1 e1e 1 1 h 2 h / kT / kT 1 g0 g1 e1e e e1
e1
Sekian presentasi dari kami. Terima Kasih
ADA PERTANYAAN?