DERET FOURIER
Oleh :
Nama
:
1. Neti Okmayanti
(2007.121.460)
2. Retno Fatin Amanah (2007.121.465) 3. Feri Febriansyha Kelas
:
6. L
Mata Kuliah
:
Matematika Lanjutan
Dosen Pengasuh
:
Fadli, S.Si
(2007.121.458)
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS PGRI PALEMBANG 2010
DERET FOURIER A. Fungsi Periodik
Bila f(x) merupakan fungsi periodik dalam interval (-L, L) yaitu periode 2L, maka f(x) dapat dinyatakan dalam bentuk deret yang disebut Deret Fourier : f(x)
dimana
an
=
=
a0
2 1
∞
+
∑ (a
n
cos
nπ x L
n =1 L
∫
L −L
f ( x ) sin
nπ x L
+
bn sin
nπ x L
)
dx
n = 0, 1, 2, . . . . . bn
=
1
L
f ( x ) sin L ∫ −L
nπ x L
dx
bila f(x) periodik dalam interval (c, 2L), maka koefisien a n dan bn dapat ditulis dalam bentuk : an
=
1 L
c+2L
∫
f ( x) cos
c
nπ x L
dx
n = 0, 1, 2, . . . . . bn
=
1 L
c +2 L
∫ c
f ( x) sin
nπ x L
dx
B. Syarat Dirichlet
Bila f(x) ditentukan dalam interval (-L , L) a. Bernilai tunggal b. Terbatas ( bounded ) c. Merupakan fungsi periodik diluar (-L, L) dengan periode 2L d. Kontinu kecuali pada beberapa titik diskontinu e. Mempunyai maksimum dan minimum yang berhingga
1
Maka deret Fourier konvergen ke : 1. f(x) di x dimana f(x) continu 2.
1 2
{ f ( x + 0) + f ( x − 0)} untuk x dimana f(x) tidak kontinu.
C. Yang Sering Digunakan Pada Deret Fourier
1.
∫ u dv = u v - ∫ v du atau ∫ uv = u v
’
’’
– u v2 + u v3 - . . . . . dimana
1
’
u = turunan pertama v1 =
∫ v dx dan seterusnya
Contoh : 1.
∫
3
x
2
3x 6x 6 0
sin 2x dx = −1
2 -
1 4
1 8
−
x
2
3
3x 2
cos 2 x − −
4
6 x 6 cos 2 x − sin 2 x 8 16
sin 2 x +
cos 2 x
sin 2 x
cos 2 x
1 16
sin 2 x
Jadi bagian kiri diturunkan sampai menjadi 0 dan bagian kanan di integralkan, kemudian dikalikan dari kiri ke kanan sesuai dengan arah panah, dimulai dengan tanda positif lalu negatif yang selalu berganti-ganti.
0 Perderetkan f(x) = 3
−
2
0< x<2
2
menurut deret Fourier:
(periode 4, L = 2) Penyelesian : Y 3
-2
a0 =
a0 =
1
0
∫
2 −2 1
0 dx +
0
0 cos 2 ∫
2
1
∫
3 dx =
2
nπ x
−2
2
1
2
0
3 cos 2 ∫
dx +
2
3x
2
1
X
2
0
=
nπ x
dx
2
0
0
2
nπ x 3.2 = 1 2 sin 2 0 nπ
bn =
1
0
∫
2 −2
0 sin
nπ r
2
=
dx +
0,
n = 1, 2, . . . . . (sin nπ = 0 )
2
1
∫
2
nπ r
0
2
nπ x 3.2 = 1 2 − cos 2 0 nπ
3 sin
=
3 nπ
2
dx
(1 − cos nπ ),
n = 1, 2, . . . . . bn = 0 untuk n genap
jadi: f (x) =
3 2
+
6
(sin
π
x
π
2
+
1 3
sin
3π x 2
+
1 5
sin
5π x 2
+
f (x) dapat ditulis sebagai berikut: f (x) =
3 2
+
1 (2n − 1)π x sin ∑ π n 1 ( 2n − 1) 2 6
∞
=
3
1 7
sin
7π x 2
+ ...)
1 Perderetan f(x) = 2
0 < x < π π <
menurut deret Fourier.
x < 2π
(periode 2 π, L = π) Penyelesaian:
2
Y 1 2π
π
X
a0 =
=
1 π
1
2π
π
2π
1 ∫ f ( x)dx = ∫ 1dx + ∫ 2dx = {x] 1
π
0
1
π
0
π
π
π
0
+2 x
]
2π
π
}
{(π ) + (4π − 2π )} = 1 + 2 = 3
π
an =
=
1 π
1 π
2π
∫
f ( x)dx =
π
0 π
=
π
1 π
∫
1. cos
nπ x
dx +
π
0
1 π
2π
∫
2. cos
π
nπ x
dx
π
2π
∫ cos nxdx + ∫ 2 cos nxdx π
0 π
bn =
π
1
1 = sin nx nπ 0 1
1
2π
π
2π
2 + nx sin nπ 2 1
π
∫ f ( x)dx = ∫ 1. sin 0
π
π
0
1
nπ x
0
=
1
dx +
π
π
2π
∫ 1.sin nx dx + π ∫ 2.sin nx dx 0
π
π
1 = − cos nx nπ 0
2 + − nπ cos nx
2π
π
4
2π
∫ 2. sin
π
nπ x π
dx
= = bn =
−
1 nπ
1 nπ
cos nπ +
1 nπ
+
2 nπ
cos nπ −
2 nπ
; (cos 0 = cos 2π)
n = 1,2, . . . . , bn = 0 untuk n gebap
(cos nπ − 1), 2
(2n − 1)π
D. Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil Fungsi f(x) dikatakan fungsi genap (symmetric) bila : f(-x) = f(x) Perderetan fungsi genap tidak memuat suku-suku sinus, jadi b n = 0 a0
an
=
1 π
=
1 π
π
2
π
∫ f ( x)dx = ∫ f ( x).dx π
−π
0
π
∫
f ( x)cos nx dx =
2
f ( x).cos nx dx
π
−π
Fungsi f(x) dkatakan ganjil (kew synnetric) bila: f(-x) = -f(x). Perderetan fungsi ganjil hanya memuat suku-suku sinus, jadi a0 dan an = 0 bn
=
1 π
π
2
π
∫ f ( x) sin nx dx = ∫ f ( x).sin nx dx π
−π
0
Contoh Soal : 2
1. Perderetkan f(x) = x ,
-π ≤ x ≤ π (periode 2 π)
Fungsi ini adalah fungsi genap, jadi bn = 0 a0
=
π
1 π
=
=
2
π
∫ f ( x)dx = ∫ x −π
2 3π 2π
π
2
.dx =
0
(π 3 ) 2
3
5
2 3π
x
3
π
0
an
π
1
=
nπ x
∫ f ( x) cos
π
2
dx =
π
−π
π
π
∫ x
2
nπ x
. cos
=
2π cos nπ
(0 +
n
π
4
=
(−1)
2
n
0
3
4(
−
3
0)
1 n
sin nx
−1
2
n2 −1
0 π
Jadi f(x) = x = π
-
cos nx
n
2
Atau =
+
2
2x
dx
π 2 x 2x 2 ( sin nx + 2 cos nx − 3 sin nx) 0 n π n n
2
cos nx
π
2
=
x2
2
3
∞
+
cos x 2
1
∑
4
(−1) n n2
n =1
−
cos 2 x 2
2
2. Perderetkan f(x) = x,
+
n3
sin nx
cos nx cos 3x 3
2
cos 4 x
−
4
2
+ ....
0
Dalam sinus ½ jangkauan, atau biasa disebut perderetkan dalam deret sinus Penyelesaian: (disini yang dicari hanya b n) bn
=
=
2 L
L
∫
x sin 2 ∫ 0
=
−
4
nπ ∞
Jadi f(x) =
4 4
(sin
x
π
2
nπ x
2
−
4
dx =
−
2x
nπ
cos
nπ x
2
−
−
n
2
4
π
2
sin
cos nπ sin
1 2
sin
nπ x
2
]02
1
0
π
−
2π x 2
nπ x
sin
2
dx
cos nπ
∑n n =1
Atau =
L
0 2
2
nπ x
f ( x) sin
x2
+
nπ x
2 1 3π x sin 3 2
6
−
1 4
sin
4π x 2
−
−
2
nπ −
n
2
cos
4
π
2
nπ x
sin
2 nπ x
2
E. Sinus dan Cosinus Fourier ½ - Jangkauan
Sinus fourier atau cosinus fourier ½ jangkauan adalah suatu deret yang hanya memuat suku-suku dari sinus atau cosinus. Pada sinus ½ jangkauan atau cosinus, fungsi hanya didefinisikan dalam setengah interval yaitu (0, L). Sinus ½ jangkauan, dalam interval (-L,L) merupakan fungsi ganjil demikian juga cosinus ½ jangkauan, merupakan fungsi genap dalam (-L, L) Jadi pada sinus ½ jangkauan yang dicari hanya b n, demikian juga pada cosinus ½ jangkaun yang divari hanya a 0 dan an. Untuk sinus ½ jangkauan : (dalam deret sinus) bn =
2
L
f ( x) sin L ∫
nπ x L
0
dx, a0 dan an = 0
untuk cosinus ½ jangkauan (dalam deret cosinus) a0 =
an =
2 L
2
L
∫ f ( x)dx 0 L
f ( x) cos L ∫
nπ x L
0
dx, bn = 0
Contoh Soal x
Perderetkan f(x) = e untuk 0 < x < π, dalam deret sinus. Penyelesaian : bn =
2
L
f ( x) sin L ∫
nπ x L
0
=
2 π
=
2
∫ e
x
sin nx dx =
0
2 n2 π
dx
2 n
+1
2 n
(
−1
n
x
e cos nx +
1 n
2
x
e sin nx − π
−
1 n
x
e cos nx +
2 e nx sin n2 0 1
7
1 n
2
π
∫ e 0
x
sin nx dx )
=
2 π
n 2
n
π
+1
ex
(1 − e cos nπ
π
x
f(x) = e =
π
2 1+ e 1 + eπ 1+ e ( 2 sin x + 2 2 sin 2 x + 3 2 sin 3x − ....) π 1 + 1 2 +1 3 +1
sin nx
−
ex
n − sin nx
ex
0< x<
1 2. Perderetkan f(x) =
−1
a
2
<
n
a
2
dalam cosinus.
x
( periode 2a)
Y
Penyelesaian : 1
-a
a
a/2
X
-1
a0
=
=
an
=
2 a
2 a
2 a
a / 2
a
2
2
∫ 1.dx + a ∫ (−1).dx = a [x] 0
2
+
a
a / 2
a / 2
∫
1.dx +
0
a / 2
∫ 1. cos 0
a / 2 0
2
a
∫
a a / 2
nπ x a
(−1).dx =
dx +
2
a
2 a
[x]0a / 2
∫ (−1) cos
a a / 2
8
+
[− x]aa / 2 = 1 − 1 = 0
2 a
nπ x a
[− x]aa / 2 = 1 − 1 = 0
dx
cos nx
2
a / 2
a
nπ x 2 sin = a 0 nπ
=
f(x) =
2 nπ
sin
nπ
∞
4
∑
π n =1
atau =
4
(cos
π
+
2
sin
2 nπ
x
a
sin
nπ
2
=
4 nπ
sin
nπ
2
, untk n genap a an = 0
(2m − 1)π 2
( 2m ) 2 π
nπ x 2 sin − nπ a a / 2
−
1 3
cos
−1
cos
3π x a
+
(2m − 1)π x 1 5
cos
5π x a
− ...)
F. Harmonic Analisis
Untuk mendapatkan konstante dari deret fourier dari data-data yang diberikan digunakan suatu formula yaitu : a0 =
1 π
2π
∫ f ( x)dx = 2 2
π −
0
2π
1 0
∫ f ( x)dx. 0
a0 = 2 (mean dari f(x) dalam interval (0, 2 π). an = 2 (mean dari f(x) cos nx dalam interval (0,2 π). b0 = 2 (mean dari f(x) sin nx dalam interval (0, 2 π).
Contoh:
Tentukan konstante a 0, a1, a2, b1, dan b2 dari deret Fourier dari data-data yang diberikan sebagai berikut: x
0
1
2
3
4
5
f(x)
9
18
24
28
26
20
9
Penyelesaian : x
x/3
Sin x / 3
Cos x / 3
f(x)
f(x) sin x / 3
f(cos) x / 3
0
0
0
1
9
0
9
1
/3
0,687
0,5
18
15,606
9
2
2/3
0,687
-0,5
24
20,808
-12
3
3/3
0
-1
28
0
-28
4
4/3
-0,687
-0,5
26
-22,542
-13
5
5/3
-0,687
0,5
20
-17,340
10
125
-3,468
-25
a0 = 2 (mean dari f(x) = 2 x 125/6 = 41,66 a1 = 2 (mean dari f(x) cos x/3 = 2x(-25 / 6) = -8,33 b1 = 2 (mean dari f(x) sin x/3 = 2x (-3,468/6) = -1.156
Jadi
f(x)
=
a0
2
+
a1 cos
x
π
3
+ ... +
= 20,83 – 8,33 cos
x
π
3
b1 sin
x
π
3
+ ...
+ −1,156 sin
x
π
3
+ ....
Identitas Parsevel
Bila deret Fourier dari f(x) konvergen uniform ke f(x) dalam interval (-L, L) maka: L
1
∑ { f ( x)} dx = L 2
−L
Contoh:
Buktikan:
π
4
90
=
1 14
+
1 24
+
1 34
+
1 44
+ ....
10
a 02
2
+
∑ (a
2 n
+
2
bn )
Bila diberikan : π
2
x =
∞
4
+
3
∑
(−1) n n
n =1
2
∫
( f ( x)) dx
−π
a0
an
2
4 n
(−1)
2
π
5
5 π
45
1
∑n
4
1
=
90
1
2
Diberikan deret : x = 1
1
−
12
∞
4
22
+
1 32
π
2
+
4
2
3 −
1
+
4
1 3
∞
+
4
∑ n =1
1 42
4
+
(−1) n2
1 44
0=
0= π
+
3 π
2
−
2
12
4
∑
(−1)
n =1
3 =
∞
cos nx,
+ .....
(
1 2
1
1 4( 2 1 −
1 2
2
n
cos 0
n2 −
+
1 2
2
1 3
2
+
−
1 3
2
1 4
2
−
1 4
2
+ .......
n
Untuk x = 0 didapat: 2
4
1
1
π
π
5π
1
∑n
= 16
5 π
1 16 +∑ 4 2 1 n
∞
4
∞
+ 16
2
2π 2 = 3
2π 4
2
n
1 2π 2 ( ) 2 2
=
=
3
2
4
5
2π 2
atau a 0
3
=
2(9 − 5)
π
21
4
π
=
2
Hitung :
ο
2
2
2
cos nx( f ( x) = x 2 ,−π ≤ x ≤ π)
x dx x = = ∫ 0 π π 5 0
π
1 π
2
+ ...)
+ ...)
11
-π ≤ x ≤ π
LEMBAR KERJA
2
−
x
6≤ x≤2
1. Perderetan f(x) =
2≤ x≤0
menurut deret fourier Dimana periode 4, L = 2
3
2. Perderetan f(x) = x ,
− π < π < π periode
(2 π )
3
Dimana f(x) = x , adalah fungsi ganjil! 3. Perderetan f(x) = cos x, 0 < x <
π
, ke dalam deret sinus!
12
