CUADERNILLO DE PRACTICAS 1

INDICE

INTRODUCCIóN 4

TASAS UTILIZADAS EN EL SISTEMA FINANCIERO 5

TASA EFECTIVA PARA NÚMEROS DE PERÍODOS ENTEROS 5

TASA EFECTIVA PARA NÚMERO DE PERÍODOS NO ENTERO 8

TASA NOMINAL A PROPORCIONAL 11

TASAS EQUIVALENTES De una Tasa efectiva dada a una Tasa efectiva por
calcular 13

INTERÉS COMPUESTO 16

CÁLCULO DEL MONTO 16

CÁLCULO DEL VALOR PRESENTE 19

CÁLCULO DE LA TASA 22

CÁLCULO DEL TIEMPO 25

DESCUENTO 28

DESCUENTO RACIONAL SIMPLE 28

DESCUENTO RACIONAL COMPUESTO 31

DESCUENTO BANCARIO SIMPLE 34

DESCUENTO BANCARIO COMPUESTO 37

ECUACIONES DE VALOR 41

ANUALIDADES 47

ANUALIDADES VENCIDAS 47

ANUALIDADES ANTICIPADAS 51

AMORTIZACIONES 54

EVALUACIÓN DE PROYECTOS 59

GLOSARIO DE VARIABLES Y FÓRMULAS 64

VARIABLES 64

FÓRMULAS Y FACTORES 65

TASAS UTILIZADAS 65

INTERÈS COMPUESTO 65

DESCUENTO 66

FACTORES 67


LISTADO DE RESPUESTAS 69

TASAS UTILIZADAS EN EL SISTEMA FINANCIERO 69

TASA EFECTIVA PARA NÚMERO DE PERÍODOS ENTERO 69

TASA EFECTIVA PARA NÚMERO DE PERÍODOS NO ENTERO 69

TASA NOMINAL A PORPORCIONAL 70

TASAS EQUIVALENTES 71

INTERÉS COMPUESTO 71

CÁLCULO DEL MONTO 71

CÁLCULO DEL VALOR PRESENTE 72

CÁLCULO DE LA TASA 72

CÁLCULO DEL TIEMPO 73

DESCUENTO 74

DESCUENTO RACIONAL SIMPLE 74

DESCUENTO RACIONAL COMPUESTO 75

DESCUENTO BANCARIO SIMPLE 75

DESCUENTO BANCARIO COMPUESTO 76

ECUACIONES DE VALOR 76

ANUALIDADES 78

ANUALIDADES VENCIDAS 78

ANUALIDADES ANTICIPADAS 79

Amortizaciones 79


BIBLIOGRAFÍA 81

INTRODUCCIóN

El presente cuaderno de problemas es una herramienta necesaria para
el proceso de enseñanza – aprendizaje, ya que éste, permitirá el adecuado
manejo de los cálculos financieros con el fin de tomar decisiones acertadas
frente al financiamiento y evaluación de las inversiones aplicadas a la
administración.

Consta de 280 problemas planteados y 38 problemas desarrollados,
acompañados de un glosario de variables y fórmulas que permitirán el
desarrollo de las competencias matemáticas.
A su vez, éstos están dosificados con grado de dificultad creciente. Así
mismo, las respuestas alcanzadas por los estudiantes pueden ser
verificadas a través del listado de respuestas que se incluye al finalizar
el cuaderno.

TASAS UTILIZADAS EN EL SISTEMA FINANCIERO

Ejemplos.-

1.-Calcule la TEA equivalente de una TNA del 12% capitalizable
trimestralmente

Solución:

TEA = ?
j = 12% = 0,12

H = 360 días

f = 90 días

2.- Calcule la TET a partir de una TNA del 24% capitalizable mensualmente

Solución:
TET = ?

j= 24% = 0,24

H= 90 días

f= 30 días

EJERCICIOS

Nivel I

1.-Calcula las tasas efectivas para 0,25%,7%, 21% 28%,45% 50% tasas
nominales, con períodos de capitalización semestral, trimestral, mensual
y diaria.

"Tasa "Tasa "Tasa "Tasa "Tasa "Tasa "Tasa "Tasa "
"nominal "de "nominal "de "nominal "de "nominal "de "
"capitaliz"interé"capitaliz"interé"capitaliz"interé"capitaliz"interé"
"ación "s "ación "s "ación "s "ación "s "
"semestral"efecti"trimestra"efecti"Mensual "efecti"diaria "efecti"
" "va "l "va " "va " "va "
"0,25% " "0,25% " "0,25% " "0,25% " "
"7% " "7% " "7% " "7% " "
"21% " "21% " "21% " "21% " "
"28% " "28% " "28% " "28% " "
"45% " "45% " "45% " "45% " "
"50% " "50% " "50% " "50% " "

2.- Calcule la TEA equivalente de una TNA del 24% capitalizable
trimestralmente.

3.- Calcule la TEA que producirá un depósito de ahorro por el cual se
percibe una TNA del 18% con capitalización mensual.

4.- Determine la tasa de interés efectiva que se recibe de un depósito
bancario si la tasa nominal es de 30% y se convierte semestralmente.

5.- ¿Cuál es la tasa efectiva que se paga por un préstamo bancario de
$250 000 que se pactó a 16% de interés anual convertible trimestralmente?

Nivel II

1.- Halla la tasa efectiva i, a partir de j=0,0525 convertible
trimestralmente.

2.- Calcule la TET a partir de una TNA del 36% capitalizable mensualmente

3.- Calcule la TES para un depósito de ahorro que gana una TNA del 24%
abonándose mensualmente los intereses en la libreta de ahorros.

4.-Determine la tasa de interés efectiva que se recibe de un depósito
bancario si la tasa nominal es del 45% anual capitalizable:
a) Bimestralmente
b) Cuatrimestralmente
c) Semestralmente
d) Anualmente

Nivel III

1.- ¿Cuál será la TET si la TNA para los depósitos a plazo que pagan los
bancos es de 24% y la frecuencia de capitalización es diaria?

2.- ¿Cuál será la tasa efectiva cada 128 días ganada en un depósito a plazo
pactado a una TNA del 18% con capitalización diaria?

3.- Si la TNM es del 2 % y el período de capitalización mensual, ¿Cuál es
la tasa efectiva. a) Trimestral; b) de 8 meses y c) anual?

4.- Calcule la TEA que producirá una TNM del 2% que se capitaliza
trimestralmente.

5.- Un préstamo no pagado al Banco tiene la tasa de interés del 3% mensual
sobre el saldo pendiente de pago a) Determina la tasa efectiva semestral
b) Si la tasa de interés es de 7% por trimestre. Calcula las tasas
efectivas semestrales y anuales.

Ejemplos.-

1.- El 20 de Enero la ORNA compró un paquete de acciones invirtiendo 9 000
soles, el cuál vendió el 28 del mismo mes, por un importe neto de 9 450
soles. ¿Cuál fue la TEM de rentabilidad obtenida en esa operación?

Solución:

-La tasa de rentabilidad obtenida en 8 días:

-1= 0,05

-La TEM se calcula del siguiente modo:

TEM=(1+0,05)30/8-1= 0, 20077= 20,08%

2.- Una acción que se compró en la bolsa de Valores el 6 mayo acumuló una
tasa de rentabilidad de 17, 5% el día 14 junio del mismo año. Calcule la
TEM que está rindiendo la acción.

Solución:
TE39días: 17,5% n: 39días

TEM= (1+TE39días) 30/39-1

TEM= (1+0,175)30/39-1

TEM=0,132075214

EJERCICIOS

Nivel I

1.- Las acciones de la compañía OMEGA han tenido una rentabilidad del 17%
durante 15 días, calcule la rentabilidad mensual.

2.- Una operación financiera produjo una tasa de rentabilidad efectiva de
1,5% en 10 días. ¿Cuál será la tasa de rentabilidad proyectada efectiva
mensual?

3.- Tomando como base una TNM del 2% con capitalización cada: 29 Y 26,
días. Calcule sus respectivos TET.

4.- Si la TEM para créditos hasta 360 días es de 5%, ¿Cuál será la tasa
efectiva que debe cobrarse por un sobre giro de 4 días?

5.- Tomando como base una TNM del 2% con capitalización cada: 23 Y 20,
días. Calcule sus respectivos TET.

Nivel II

1.-La autoridad monetaria estableció para las operaciones activas una tasa
máxima efectiva mensual del 7%. Determina la tasa efectiva bimestral. .
(Utilizar año calendario = 365 días)

2- Las acciones de la compañía, Gamma, adquiridas el 3 de mayo y vendidas
en la Bolsa de Valores de Lima el 11 de agosto, han tenido una tasa de
rentabilidad del 26% durante ese período. Calcule la tasa de rentabilidad
efectiva anual proyectada.

3.- ¿Cuál será la tasa efectiva que se acumuló en una operación a interés
compuesto en el plazo del 3 de abril al 26 de mayo del mismo año? En esta
operación se aplicó una TNA de 12% capitalizable trimestralmente.

4.- Una acción que se compró en la bolsa de Valores el 6 mayo acumuló una
tasa de rentabilidad de 17, 5% el día 14 junio del mismo año. Calcule la
TEM que está rindiendo la acción.

Nivel III

1.- Halla las tasas efectivas anuales y efectivas mensuales
correspondientes al 56% anual con capitalización 30, 60 y 120 días.
(Utilizar año calendario = 365 días)

2.- Tomando como base una TNA del 24% calcule las TES si la frecuencia de
capitalización es cada 18, 22, 30, 35, 40 y 45 días.

3.- Calcule la tasa efectiva que ganó un depósito de ahorro, desde el 3
mayo al 8 de junio, cuya capitalización es mensual. Durante ese período la
tasa mensual fue del 4% hasta el 16 de mayo y a partir de esa fecha bajó al
3,5%.

4.- La Compañía ATLANTIC TRADERS tiene una rotación anual de mercaderías
de 5 obteniendo un margen de utilidad bruta de 15% en cada rotación
.¿Cuál es la tasa de rentabilidad bruta anual?

5.- El 20 de enero la empresa Solid compro en la bolsa de Valores un
paquete de acciones por 9 000 um, el cual vendió el 28 del mismo mes por un
importe neto de 9 450 um. ¿Cuál es la TEM de rentabilidad proyectada de la
operación si esta mantiene la misma razón de crecimiento?

Ejemplos.-

1.- Cuál será la tasa nominal proporcional de 88 días de un depósito, a
partir de una tasa nominal trimestral de 6%.

Solución:
i: 0, 06 ; n: 90/88

TN88días = =0,058666…

2.- Cuál será la tasa nominal proporcional trimestral de un depósito, a
partir de una tasa nominal semestral de 12%.

Solución:
i: 0, 12 ; n: 2semestres= 180/90

TNT = =0,06

EJERCICIOS

Nivel I

1.- Si la TNA es del 48% ¿Cuánto es la proporcional: a) mensual;
b) trimestral?

2.- ¿Cuál será la tasa proporcional de 46 días correspondiente a una TNA
del 20%?

3.- A cuanto equivale una TNA = 24 % con respecto a una Trimestral.

4.- Se tiene una tasa efectiva anual de 18% encontrar la tasa efectiva
mensual.

5.-Determina la tasa nominal i convertible trimestralmente, que produce un
rendimiento anual del 40%.

Nivel II

1.- Si la TNM es del 1,5% ¿Cuánto es la tasa proporcional : a) trimestral;
b) 8 meses; y c) anual.

2- Si la TNS es de 10% ¿Cuál es la tasa proporcional cuatrimestral?

3.- Calcula la tasa nominal proporcional anual, a partir de una tasa
nominal mensual de 2%.
partir de una tasa nominal bimestral de 6%.
partir de una tasa nominal mensual de 2%.

Nivel III

1.- La tasa aplicada al cálculo de un interés simple por 36 días ha sido de
2,4 %, ¿Cuál fue la TNA cobrada en esa operación? Compruebe la tasa con un
capital supuesto.

2.- Por un préstamo de S/. 2 000 se cobró al término de 42 días una tasa
de interés simple de 2,8% ¿Cuál será la tasa proporcional de 90 días?

3.-Si la tasa efectiva anual es del 62,87%, calcular la tasa nominal
correspondiente a una capitalización de 10, 30 7 90 días. (Utilizar año
calendario = 365 días)
4.-Del 18% efectivo trimestral encuentre la tasa nominal trimestral
capitalizable mensualmente.
5.-Del 24% nominal anual capitalizable anualmente, encuentre la tasa
nominal trimestral capitalizable semestralmente.

Ejemplos.-

1.- Calcule la TEM a partir de una TEA del 24%.

Solución:

TEA: 24% n: 30/360
TET= (1+TES) n
TEM= (1+0, 24)30/360-1
TEM= 0,018087582
TEM= 1, 81%

2.- Calcule la TET a partir de una TES del 10%.

Solución:

TES: 10% n: 90/180
TET= (1+TES) n-1
TET= (1+0, 1)90/180-1
TET= 0,048808848
TET= 4,88%

EJERCICIOS

Nivel I



3.- Calcule la TET a partir de una TES del 10%.

4.- Un bono tuvo de rentabilidad efectiva anual de 800%. ¿Cuál fue su tasa
de rentabilidad promedio semestral?

5.- Calcula la tasa efectiva anual de interés correspondiente a una
tasa nominal anual de 17%, con capitalización mensual.

6.- ¿Cuál es la tasa nominal anual equivalente a una tasa efectiva
anual de 12,5%, si la capitalización es trimestral?

7.- ¿Cuál es la tasa nominal anual equivalente a una tasa efectiva
anual de 23%, si la capitalización es mensual?

Nivel II

1.- Del 12% nominal anual capitalizable trimestralmente, encuentre la tasa
nominal semestral capitalizable trimestralmente.

2. -Del 22% efectivo semestral, encuentre la tasa efectiva bimensual.

3.- Del 30% nominal bimensual capitalizable semestralmente, encuentre la
tasa nominal trimestral capitalizable anualmente.

4. -Del 52% nominal anual capitalizable anualmente, encuentre la tasa
nominal trimestral capitalizable semestralmente.

Nivel III

1.- ¿A qué TEQ ( Tasa Efectiva Quincenal) debe colocarse un capital para
obtener al fin de un trimestre igual monto que si hubiese colocado a una
TEM del 4%.

2.- Calcule las tasas efectivas mensuales de los créditos promocionales
sujetos al sistema de reajuste de deudas, si sus respectivas TET son: 8%,
8,5% y 9%

3.- Si se concertó un crédito a 90 días pagando una TET del 8 % y se
canceló a los 73 días, ¿qué tasa se debe aplicar por ese período?.

4.- Una acción en la bolsa de valores tuvo una tasa de rentabilidad del
17,5% en 39 días.

a) ¿Cuál fue su rentabilidad mensual?
b) ¿Cuál sería su rentabilidad proyectada Trimestral?

5.-Determine la tasa nominal convertible trimestralmente que resulte
equivalente a una tasa del 35% convertible:
a) Bimestralmente
b) Cuatrimestralmente
c) Semestralmente
d) Anualmente

INTERÉS COMPUESTO

Ejemplos.-

1.- Se depositan $500.00 en un banco a una tasa de interés de 18% anual
capitalizable mensualmente. ¿Cuál será el monto acumulado en 2 años?

Solución:

Se calculo la Tasa mensual i: 18/12=1,5% ; n: 24 meses

S = 500$714,75

2.- Calcule el monto que produjo un capital inicial de 10 000 um, colocado
en un banco durante 45 días, a una TEM de 2%.

Solución:

P: 10 000 i: 0.02 n: 45/30

S=10 000(1+0.02)45/30

S=10 301, 50

EJERCICIOS

Nivel I

1.- Halla el valor futuro a interés compuesto de $100 para 10 años,
al 5% efectivo anual.

2.- Calcule el monto de un capital inicial de S/. 1 000 colocado durante 4
años a una tasa efectiva anual del 18 %.

3.- Calcule el monto de un depósito inicial de $ 2 000 colocado durante 5
meses en un banco que paga una tasa efectiva mensual del 4%.

4.- Calcula el monto acumulado al cabo de 4 años, a partir de un capital
inicial de 10 000 um, a una TEA de 18%.

5.- Determine el interés que gana en seis meses un depósito de $ 1
000 en una cuenta de ahorros que paga 20% de interés mensual compuesto .

6.- Determina el interés que gana en 5 años un depósito de $ 1 000
en una cuenta de ahorros que paga 15% de interés anual compuesto .

Nivel II

1.-Un depósito en un banco por $ 750 000. Cuanto acumulará en 15 meses si
la tasa es del 18%, capitalizable trimestralmente?

2.- Calcular el monto a pagar dentro de 5 meses por un préstamo bancario de
S/. 50 000 que devenga una tasa nominal anual del 36% con capitalización
mensual.
3.- Calcular el importe capitalizado de un depósito a plazo de S/. 20 000
colocado durante 6 meses a una tasa nominal anual del 36% capitalizable
diariamente.

4.- Consideremos un capital de S/. 1 000 depositado en un banco donde gana
una tasa efectiva anual del 10%. ¿Qué monto tendrá que pagarse si el
depósito se cancela al finalizar el primer semestre?

5.- Una persona solicita a un banco un préstamo de S/. 2 000, el mismo que
se abona en su cuenta corriente el 26 de mayo. ¿Qué monto deberá pagar el
24 de julio, fecha que cancela el préstamo, si el banco cobra una tasa
efectiva mensual del 5 %?

6.- Un banco paga por los depósitos que recibe del público una tasa nominal
mensual del 3% con capitalización trimestral. ¿Qué monto se habrá acumulado
con un capital inicial de S/. 3 000 durante 6 meses?

Nivel III

1.- El 1 de abril el precio de una materia fue de S/. 20 000 por tm. 45
días después se incrementó a S/. 22 000 ¿Cuál será el precio a pagar por el
nuevo stock que lo renovaremos dentro de 180 días contados a partir del 1
de abril, si nuestro proveedor nos manifiesta que los precios se
incrementarán periódicamente (cada 45 días) en el mismo porcentaje
original?

2.-Una persona deposita 900 000 dólares en el Banco Local que paga un
interés del 18%, capitalizable mensualmente. Retira 500 000 dólares al
final del tercer año, 1 000 000 dólares al final del quinto año y el
resto al final del octavo año. Cuánto retira al final del octavo año?
Cuanto hubiera acumulado si no hubiera efectuado ningún retiro?

3-Se desea invertir $ 5 000 000 a un plazo de 2 años y se tiene las
siguientes opciones: a) al 30% de interés, capitalizable anualmente, b) al
34% de interés simple y c) al 28% con capitalización trimestral. Cuál
opción es más conveniente?

4.- En la compra de un televisor con valor de $3 000,00 se pagan $1 500 al
contado y se firma un documento por la diferencia a pagar en 6 meses con un
interés de 2% mensual. ¿Cuál es el importe del documento?

Ejemplos.-

1.- Calcule el importe con que se abrió una cuenta a una TEM de 2%, en la
cual 7 meses luego de su apertura se acumuló un interés compuesto de 112
um.

Solución:
Interés generado: 112 ; i: 0, 02 ; n: 7
meses

P=

2.- Calcular un capital inicial "P" colocado en un banco durante 5 meses,
a una TEA de 18% generando un monto final de 10 713, 98 um.

Solución:
S: 10 713, 98 ; i: 0, 18 ; n: 5 meses

P= um = 10 000 um

EJERCICIOS

Nivel I

1.- Hace 4 meses se colocó en un banco un capital al 3% efectivo mensual,
lo que permitió acumular un monto de S/. 2 000. ¿Cuál fue el importe del
capital original?

2.- Si espera recibir ¢10.000.000 dentro de 3 años. Cuanto representa hoy
si la tasa de interés es del 15%?
3.- ¿Qué suma de dinero mínima se debe invertir si en 2 años se desea
disponer de $1.500.-y se consigue una tasa de interés compuesto del 6%
anual?

4.- ¿Qué intereses producirán $300,invertidos 4 años al 7% de interés
compuesto anual?

5.- Hace 5 meses se colocó en un banco un capital al 5% efectivo mensual,
lo que permitió acumular un monto de S/. 5 000. ¿Cuál fue el importe del
capital original?

Nivel II

1.- Faltando 28 días para su vencimiento una letra de $ 6 000 es descontada
en un banco a una tasa nominal anual del 48% con capitalización mensual.
¿Qué importe recibió el descontante?

2.- Aplicando una tasa efectiva del 4% mensual calcule el valor presente de
un capital inicial de S/. 2 000 que genera una tasa de interés nominal
anual del 24% capitalizable mensualmente, durante un trimestre.

3.- ¿Cuánto debo de invertir hoy para acumular S/. 20 000 dentro de 120
días en una institución de crédito que paga una tasa nominal anual del 24%
con capitalización diaria?

4.- ¿Cuánto podré disponer hoy, si me han descontado un paquete de 4
letras cuyos importes son S/. 2 000; 6 500; 8 000 y 7 500 las cuales vencen
dentro de 15; 30; 45 y 60 días respectivamente? La tasa efectiva quincenal
que cobra la entidad financiera es del 1%.

5.- Hallar el valor actual de S/. 100 000, el cual se consiguió en un lapso
de 10 años a una tasa nominal anual del 6% con capitalización trimestral.

6.- Un pagaré con valor nominal de $ 9 000 y vencimiento dentro de 60 días
es descontado matemáticamente hoy, aplicando una tasa nominal anual del
36% con capitalización mensual. Calcule el valor presente.

7.- Determinar si los importes de 537, 17 um y 566, 85 um, ubicados al
final de los meses 4 y 7 respectivamente, son equivalentes en el presente.
Utilice una TEA de 24%.

Nivel III

1.- El 6 de abril la empresa Pert descontó en el banco Mercante un pagaré
cuyo valor nominal fue de 8 000 soles y su vencimiento el 5 de junio.
Calcule el importe abonado por el banco a Pert, considerando una tasa
nominal con capitalización mensual.

2.- ¿Qué capital colocado a una TEM de 2% producirá un interés compuesto de
96 um en el periodo comprendido entre el 19 de abril y el 30 de junio del
mismo año?

3.- Una cierta suma de dinero se deposita el 1/7/01 en un banco que
capitaliza semestralmente los intereses a razón del 42% anual. A partir del
1/1/02 los intereses disminuyen al 33% anual, con igual capitalización.
Determine la suma depositada sabiendo que los intereses ganados al
31/12/03 fueron de $1.394,80.

4.- Una deuda de $50 000 se documenta mediante un pagaré que incluye
intereses a razón de 3% trimestral, y que será pagadero al cabo de un año.
¿Qué cantidad puede obtenerse por él si se descuenta al cabo de 4 meses a
una tasa de interés de 12% convertible mensualmente?

5.- Por la venta de una casa, una compañía inmobiliaria recibe un pagaré
por $140 000 con vencimiento a 5 años que devenga intereses a razón de 10%
anual convertible semestralmente. ¿Qué cantidad recibirá la empresa si al
cabo de un año descuenta el documento en su banco y éste le cobra 16% de
interés anual?

Ejemplos.-

1.- ¿Cuál es la tasa nominal anual "j" convertible mensualmente equivalente
a una tasa anual del 14% convertible trimestralmente?

Solución:

Igualamos tasas de periodos distintos a su plazo anual

i= ; i=

=

TNA = j =0,138398

2.- ¿A qué tasa efectiva mensual un capital de 10 000 um, se convirtió en
un monto de 10 519, 24, si se colocó en un banco desde el 5 de agosto al 15
de noviembre del mismo año?

Solución:
S: 10 519, 24 P: 10 000 n: 102/30
meses

i=

i= 0, 01499.. = 0,015 = 1,50 %

EJERCICIOS

Nivel I

1.- ¿Cuál es la tasa de interés por periodo de:

a) 30% anual capitalizable mensualmente?

b) 16% anual capitalizable trimestralmente?

c) 2% trimestral?

d) 15% anual?

2.- ¿A qué tasa efectiva mensual un capital de S/. 1 000 se habrá
convertido en un monto de S/. 1 100. Si dicho capital original fue colocado
durante 3 meses a interés compuesto?

3.- Después de 3 meses de haber colocado un capital de S/. 3 000 se obtuvo
un monto de S/. 3 500 ¿A qué tasa de interés efectivo mensual se colocó el
capital?

4.- ¿Cuál es la tasa efectiva que se paga por un préstamo bancario de
$250 000 que se pactó a 16% de interés anual convertible trimestralmente?

5- Determinar la tasa nominal convertible trimestralmente, que produce un
rendimiento de 40% anual.

6.- ¿Cuál es la tasa efectiva de interés que se recibe de un depósito
bancario de $1 000, 00 pactado a 18% de interés anual convertible
mensualmente?

Nivel II

1.- Calcule la tasa de rentabilidad efectiva mensual de un bono comprado en
S/. 2 000 y vendido al cabo de 90 días en S/. 2 315,25

2.- ¿A qué tasa efectiva mensual una inversión de S/. 10 000 se convirtió
en un monto de S/. 11 151,23 si fue colocada durante 67 días?
3.- Calcule la tasa de rentabilidad efectiva anual de un capital de S/. 5
000 que en el lapso de 88 días produjo un interés efectivo de S/. 500.

4.- ¿A qué tasa de interés se deben depositar $15 000 para disponer de $50
000 en un plazo de 5 años? Considerar que los intereses se capitalizan
semestralmente.

5.- ¿A qué tasa nominal convertible trimestralmente, un capital de $ 30 000
crecerá hasta $100 000 en 5 años?

Nivel III

1.- Se realiza una inversión de $1 000 000 que reconoce un 15% anual,
capitalizable anualmente durante los 2 primeros años, un 16%, capitalizable
semestralmente los 3 años siguientes y un 18%, capitalizable
trimestralmente el último año. Cuanto se acumula en los 6 años?. Qué tasa
de interés efectiva anual se ganó?

2.- ¿A qué tasa de interés un capital quintuplica su valor en 10 años?

3.- ¿Qué tasa de interés nominal ha ganado un capital de $20 000 que se ha
incrementado a $50 000 en 3 años, si dicho interés se capitaliza:
a) mensualmente?

b) trimestralmente?

4.- Pablo Pérez depositó $100 000 en una cuenta bancaria hace 3 años y 9
meses. Actualmente tiene $208 862, y desea saber cuál es la tasa de interés
que ha ganado si la capitalización es trimestral.

Ejemplos.-

1.- En cuánto tiempo reduce $1, 00 su valor adquisitivo al 50% anual, dada
una inflación del 10% anual.

Solución:

S: 1, 00 ; P: 0, 50 ; i: 0, 10

S/P=

1, 00/0, 50=

n=

2.- ¿En cuánto tiempo se duplicará una inversión de $1000 si se considera
una tasa de interés de 24% anual también convertible mensualmente?

Solución:

S: 2 000 P: 1 000 imensual: 0, 02 n:?

S= P (1+i)n =

n=35 ( lo cual indica que en 35 meses se duplicará el capital.

EJERCICIOS

Nivel I

1.- Después de colocar un capital de S/. 1 000 a una tasa de interés
efectiva del 4 % mensual se ha obtenido un monto de S/. 1 500 ¿A qué tiempo
se colocó el capital?

2.- ¿Cuál será el tiempo en el cual un capital de S/. 120 000 con una tasa
efectiva anual del 5% nos dará un monto de S/. 160 811?

3.- ¿Qué tiempo han estado impuesto S/. 1 920 que al 10 % han producido S/.
384?

112?

79.5?

Nivel II

1.- Si se deposita $ 500 000 en un Banco que paga el 20%, capitalizable
mensualmente. En cuanto tiempo se acumula $1 200 000?

2.- ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que los intereses generados por un
capital sean igual al mismo capital colocado a una tasa del 5% de interés
efectivo mensual?

3.- ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que un capital de $ 1 500 aumente
al doble, a una tasa nominal anual del 6%, cuya capitalización es
trimestral?

4.- ¿Cuánto tiempo se necesitará para que el monto de $ 2 500 sea $6 000 a
una tasa nominal anual del 5%, cuya capitalización es semestral?

Nivel III

1.- ¿En cuánto tiempo se duplicará una inversión de $1 000.00 si se
considera una tasa de interés

a) de 36% anual convertible mensualmente, y

b) de 24% anual también convertible mensualmente?

2.-¿En cuánto tiempo se duplica un capital si la tasa de interés efectiva
anual es de:
a) 10%?

b) 20%?

3.- ¿Cuánto tiempo tardará una suma de dinero en duplicarse a una tasa
efectiva anual del 5%?

4.- Una inversión duplica su valor en 18 meses a una determinada tasa de
interés. ¿En cuánto tiempo lo triplicará?

5.- Se realiza una inversión de $50 000 en un banco el día 1º de febrero.
¿En qué fecha valdrá $55 000 si la tasa de interés es de 15% compuesta
mensualmente?

6.- En cuantos años un depósito de $ 450 000 hecho hoy y otro de $600 000
que se hará en 18 meses, acumularán $ 3 200 000 si el banco reconoce el
15%, capitalizable semestralmente?

DESCUENTO

Ejemplos.-

1.- Una letra de cambio que tiene un valor nominal de 5 000 um se descontó
en el banco ORUX cuando faltaban 90 días para su vencimiento. Se requiere
conocer el importe del descuento racional simple que efectuó el banco que
aplicó como tasa de interés simple mensual de 1,5%.

Solución:

S: 5 000 ; i: 0, 015 ; n: 90 días o 3
meses

D= um

2.- Se requiere calcular el descuento racional simple que debe efectuarse a
un pagaré con un valor nominal de 5 000 um, que vencerá el 30 de setiembre
y se descontará por el banco Norte el 2 de julio del mismo año. En la fecha
del descuento, la TNA fue de 24%, la cual cambiará a 22% a partir del 15de
julio y a 20% a partir del 16 de setiembre, esta TNA se mantendrá hasta el
vencimiento del plazo del descuento.

Solución:

S: 5 000; i1: 0, 24 i2: 0, 22 i3: 0, 20 ; n1: 13/360, n2: 63/360,
n3:14/360

D=5 000 =260,41

EJERCICIOS

Nivel I

1.- Calcula el descuento por anticipar un capital de 500 000 soles, por 4
meses a un tipo de descuento del 12%; aplicando el descuento racional.

2.- Se ha descontado un capital de 1 000 000 soles, por 3 meses, y los
intereses de descuento han ascendido a 40 000 soles. Calcula el tipo de
interés aplicando descuento racional.

3.- Se descuentan 200 000 soles, al 12% y los intereses de descuento
ascienden a 15 000 soles. Calcula el plazo del descuento racional.

4.- Los intereses de descuento de anticipar un capital por 8 meses, al 10%,
ascienden a 120 000. Calcula el importe del capital inicial.

Nivel II

1.- Calcule el descuento racional de un pagaré al día 26 de abril cuya
fecha de vencimiento es el 30 de mayo, su valor nominal es S/. 10 000 y la
tasa de interés simple anual es del 30 %.

2.- Dos letras de S/. 5 000 y S/. 8 000 cada una con vencimiento a 30 y 45
días son descontadas aplicando una tasa de interés simple del 12% y 15%
anual respectivamente. Calcule el importe total del descuento simple
racional.

3.- Una letra de S/.3 800 con vencimiento el 26 de febrero es descontada el
18 de enero a una tasa de interés simple anual del 24%. Calcule el importe
del descuento racional.

4.- Una letra de S/. 20 000 con vencimiento dentro de 60 días se descuenta
hoy a una tasa nominal anual del 24%. Calcule: a) el descuento racional
simple; b) su valor presente; c) el interés que se cobrará sobre el importe
realmente desembolsado.

5.- Un pagaré con valor nominal de S/. 6 000 vence el 14 de abril. Se
descuenta el 1 de marzo. ¿Qué importe se recibirá en esta fecha aplicando
un descuento racional simple con una tasa de interés simple del 24% anual?

6.- Una letra de $ 8 000 de valor nominal se descuenta a una tasa de
interés simple anual de 9% faltando 45 días para su vencimiento. Hallar el
descuento y el importe neto a recibir.

7.- Un pagaré descontado al 7,5% de tasa de interés simple anual sufrió un
descuento de $ 60 faltando 40 días para su vencimiento. Calcular el valor
nominal del documento.

Nivel III

1.- Un pagaré con valor nominal de S/. 10 800 es descontado racionalmente
el 6 de junio, obteniéndose un valor presente de S/. 10 000. Halle la fecha
de vencimiento del documento considerando una tasa mensual de interés
simple del 4%

2.- ¿Por qué valor nominal deberá aceptarse un pagaré con vencimiento
dentro de 65 días pagando una tasa nominal anual del 18%? El pagaré será
descontado racionalmente a interés simple y el importe neto requerido es de
S/. 8 000.

3.- Se tiene un pagaré con valor nominal de $ 20 900 descontado
racionalmente el 31 de mayo, obteniéndose un importe neto a recibir de
$ 20 100. Hallar la fecha de vencimiento del documento considerando una
tasa mensual de interés simple del 4%.

4.-Una letra de cambio que tiene un valor de nominal de $ 3750 fue
descontada por el BBVA, cuando faltaba cinco meses para su vencimiento. Se
requiere conocer el importe del descuento racional compuesto que efectuó el
banco que aplico una TNT de descuento anticipada de 8,5%. Asimismo, calcule
el valor descontando o valor presente de la letra de cambio.

5.-Una letra de cambio que tiene un valor de nominal de $ 8 820 fue
descontada por el BBVA, cuando faltaba 136 días para su vencimiento. Se
banco que aplico una TNQ de descuento de 1,25%. Asimismo, calcular el valor
descontado o valor presente de la letra de cambio pagaré.

6.- Calcule el descuento racional simple que se efectuará a un pagaré con
valor nominal de $ 12 500. El pagaré se descontará el 13 de febrero y
vencerá el 9 de Julio del mismo año. La TNA será de 14% hasta el 26 de mayo
y a partir de esa fecha se incrementará al 16% .A su vez calcule el valor
descontado o valor presente del pagaré.

Ejemplos.-

1.- Una letra de cambio cuyo valor nominal es 20 000 um, que fue girada el
1 de abril y descontada el 7 de abril por el Banco Comercial, con una TEA
de 18%, tiene como fecha de vencimiento el 6 de julio del mismo año. Se
requiere calcular el importe del descuento racional compuesto que se
efectuó al valor nominal de la letra.

Solución:
S: 20 000 ; i: 0, 18 ; n: 4 días

D=20 000
D=810,68

2.- Un empresario solicitó al Banco del Centro un crédito de 10 000 um, el
mismo que será otorgado con el descuento de un pagaré que estará sujeto a
las sgtes. Tasas:

TASA A PARTIR DEL

TEA 16, 0% 24-09
TET 3, 8% 11-10
¿Cuál sería el valor nominal del pagaré si el descuento racional compuesto
se realiza el 24 de setiembre, fecha que se requiere disponer 10 000um, y
el pagaré vencerá el 15 de Noviembre del mismo año?

P=10 000 ; i1=0,038 ; n1=35/90 ; i2=0,16; n2=17/360

S=10 000=10 217, 46 um

EJERCICIOS
Nivel I

1.- ¿Cuál es el descuento compuesto verdadero a una tasa nominal del 8% de
interés compuesto, capitalizable trimestralmente, sobre $5 000,00 a pagar
dentro de 5 años?

2.- ¿Cuál es el descuento compuesto verdadero a una tasa nominal del 12% de
interés compuesto, capitalizable semestralmente, sobre $2 500,00 a pagar
dentro de 10 años?

3.- Calcula el descuento compuesto por anticipar un capital de S./ 2
500 000 por 4 meses a un tipo de descuento del 12%.

4.- Calcula los intereses de descuento por anticipar un capital de S/.
900 000, durante 8 meses, a un tipo de interés del 14%.

Nivel II
1.- Calcule el importe del descuento racional compuesto de un pagaré de S/.
8 000 el cual vence dentro de 4 meses, si es descontado mensualmente a la
tasa nominal anual del 18%.

2.- Calcule el descuento racional compuesto a practicarse hoy, a una letra
con valor nominal de S/. 15 000 la cual vence dentro de 42 días. La tasa
activa vigente es del 1,5 % efectiva mensual.

3.- Calcule el importe total del descuento racional a practicarse hoy a 2
pagarés con vencimiento a 30 y 60 días cada uno y cuyos valores nominales
son de S/. 4 000 y S/. 5 000 respectivamente. La institución financiera
cobra una tasa anual del 12% con capitalización trimestral.

4.- Calcule el descuento racional compuesto a practicarse a un pagaré con
valor nominal de S/. 10 000 y vencimiento a 60 días. Utilice una tasa
efectiva mensual del 4%.

5.-Calcule el descuento racional efectuado a un pagaré faltando 60 días
para su vencimiento aplicando TNA del 36 % con capitalización mensual. Su
valor nominal es de S/. 5 000.
6.- Calcular el descuento racional compuesto a practicarse a un pagaré con
valor nominal de $ 3 500 y con un vencimiento a 120 días, teniendo una tasa
efectiva mensual del 7%.

7.- Calcular el importe del descuento racional compuesto y el importe neto
a recibir de una letra de S/. 8 000, la cual vence dentro de 120 días, si
es descontado mensualmente a una tasa nominal anual del 18%.

Nivel III

1.- Una letra de cambio cuyo valor nominal es 3 800 um y que tiene como
fecha de vencimiento el 26 de febrero se descuenta en el Banco Nacional el
18 de Enero del mismo año, con una TEA de 24%. Se requiere calcular el
importe del descuento racional compuesto que se efectuó al valor nominal de
la letra.

2.- ¿Por qué valor nominal deberá aceptarse un pagaré que vence el 26 de
mayo? El pagaré será sometido al descuento racional compuesto el 22 de
marzo del mismo año, en un banco que aplica una TEA de 18% y el descontante
requiere que le sea abonado un importe de 8 000 um en la fecha del
descuento.

3.- El 14 de abril la empresa Alpha efectuó un descuento racional compuesto
en el Banco Republicano, de un pagaré con valor nominal de 7 000 um y fecha
de vencimiento el 14 de julio del mismo año. Con una TEA del 16%, calcule
el importe que abonó el banco Republicano en la cuenta corriente de Alpha
en esta fecha.

4.- Calcule el interés de descuento racional compuesto que aplica el banco
por una letra de cambio que asciende a $ 4250, faltando un año para su
vencimiento. Asimismo Calcule el valor presente de la letra de cambio. El
banco cobra una TNS del 12%.

5.- Una letra de cambio que tiene un valor de nominal de $ 3 750 fue
descontada por el BBVA, cuando faltaba cinco meses para su vencimiento. Se
banco que aplico una TET de descuento anticipada de 8,5%. Asimismo, calcule
el valor descontando o valor presente de la letra de cambio.

6.- Una letra de cambio que tiene un valor de nominal de $ 8820 fue
descontada por el BBVA, cuando faltaba 136 días para su vencimiento. Se
banco que aplico una TNQ de descuento de 1,25%. Asimismo, calcula el valor
descontado o valor presente de la letra de cambio pagaré.

Ejemplos.-

1.- Calcule la tasa anticipada nominal mensual de descuento bancario simple
aplicada a un pagaré cuyo valor nominal fue 22 222,22 um y su descuento fue
500 um en un periodo de 45 días.
Solución: S: 22 222,22 ; D: 500 ;
n: 45/30

D=

2.- Un empresario solicitó al Banco DSA un crédito por 10 000, el cual
será otorgado con el descuento bancario simple de un pagaré que estará
sujeto a las sgtes. Tasas anticipadas nominales:
TASA A PARTIR DEL

TEA 16, 0% 24-09

TET 3, 8% 11-10

¿Cuál será el valor nominal del pagaré si el descuento bancario simple se
realizará el 24 de setiembre, fecha en la cual se requiere disponer
10 000um? El pagaré vence el 15 de Noviembre del mismo año.
Solución:

P: 10 000 ; d1: 0,038; d2:0,16 ; n1: 35/90;
n2:17/360

S=10 000=10 228, 44.

EJERCICIOS

Nivel I

1. -¿A qué tanto por ciento fue descontada una letra de S/ .6 000, si al
haber sido descontada 3 meses antes de su vencimiento tuvo un descuento
de S/ 702?

2. -¿Cuánto tiempo antes de su vencimiento fue descontada una letra de
S/ 4000 al 36% anual, para haber obtenido un descuento de S/. 480?

3.- ¿Cuál es el descuento de una letra de S/ 12 000 ,al 24% de
interés anual ,descontada 90 días antes de su vencimiento?

4.- ¿Cuál es el valor nominal de una letra, que al ser descontada 5
meses de su vencimiento, al 30% de interés anual, produce un descuento
S/ 2 250?

5.- Halla el valor nominal y actual de una letra descontada al 9% en
S/ 376,20 faltando 4 meses para su vencimiento .

6.- Halla el valor nominal y actual de una letra descontada el 7 de
mayo al 3,75 % en S/ 28,12 y que vence el 6 de julio del mismo
año.

Nivel II

1.- Una letra con valor nominal de S/. 5 000 se descuenta aplicando una
tasa de descuento del 12% anual faltando 38 días para su vencimiento. Halle
el descuento bancario simple.

2.- El descuento bancario simple de un título valor, faltando 43 días para
su vencimiento ha sido de S/. 425 a una tasa de descuento anual del 15 %,
¿Cuál fue su valor nominal?

3.- El descuento bancario simple de una letra que vence dentro de 72 días
es de S/. 230 aplicando una tasa de descuento del 1% mensual. Halle el
valor nominal de la letra.

4.- A una letra cuyo valor nominal es de S/. 5 000 y que vence dentro de 52
días se le ha efectuado un descuento bancario simple de S/. 260. Calcule la
tasa mensual de descuento aplicada.

5.- ¿Cuántos meses falta para el vencimiento de una letra de S/. 4 000 si
se recibió S/. 3 910, Después de haberla descontado a una tasa anual de
descuento simple del 18%?

6.- ¿A cuántos meses se descontó un pagaré con valor nominal 22 222, 22 con
una tasa anticipada nominal mensual de 1,5% si su descuento bancario simple
fue 500 um?

Nivel III

1.- Una letra presentada al descuento sufrió una disminución de su valor
nominal del 3,5 % faltando 60 días para su vencimiento. ¿Cuál fue la tasa
anual de descuento bancario simple aplicada?

2.- Por cuántos días se ha efectuado el descuento bancario de una letra de
s/. 5 000 por lo cual se recibió S/. 4 860? La tasa mensual de descuento
simple fue del 2%

3.- Una letra de cambio que tiene un valor nominal de 5 000 um fue
descontada en el banco del Oriente, cuando faltaban 90 días para su
vencimiento. Se requiere conocer el importe del descuento bancario simple
que efectuó el banco del Oriente aplicando una tasa de descuento anticipada
nominal de 1, 5 % mensual.

4. – ¿Por cuánto valor nominal deberá aceptarse un pagaré que vence el 26
de mayo? El pagaré será sometido al descuento bancario simple el 22 de
marzo del mismo año, en un banco que aplica una tasa anticipada nominal de
18% anual y el descontante requiere que le sea abonado un valor liquido de
8 000 um en la fecha del descuento.

Ejemplos.-

1.- Calcule la tasa anticipada efectiva mensual de descuento bancario
compuesto aplicada a un pagaré cuyo valor nominal fue 22 306, 08 um y su
descuento fue 500 um, en un periodo de 45 días.
Solución:

S: 22 306, 08 ; D: 500 ; n:
45/30

d=1 -

d=0,015

2.- ¿Por cuánto nominal deberá aceptarse un pagaré que vence el 26 de
mayo? El pagaré será sometido al descuento bancario compuesto el 22 de
marzo del mismo año, en un banco que aplica una tasa anticipada efectiva de
18% anual y el descontante requiere que le sea abonado un valor líquido de
8 000 um en la fecha de descuento.
Solución:

P: 8 000 ; D: 0,18 ; n: 65/360

S=8 000 = 8 291,85

EJERCICIOS

Nivel I

1.- Un pagaré con valor nominal de S/. 5 000 se somete a descuento bancario
compuesto aplicando una tasa del 24% anual con período de descuento
mensual, 3 meses antes de su vencimiento. Calcule los descuentos de cada
mes. Calcule los descuentos de cada mes.

2.- Calcule el descuento bancario compuesto efectuado en una letra con
valor nominal de S/. 2 500 faltando 37 días para su vencimiento, si a este
título – valor se le aplicó una tasa anual del 18% con período de descuento
mensual.

3.- ¿Cuál será el importe del descuento bancario compuesto de un pagaré de
s/. 7 000 con vencimiento a 110 días si se aplicó una tasa de descuento
anual del 12% con período de descuento trimestral?

4.- Una letra de cambio que tiene un valor nominal de 5 000 um fue
descontada en el banco BRP, cuando faltaban 90 días para su vencimiento. Se
requiere conocer el importe del descuento bancario compuesto que efectuó
el banco BRP, al aplicar como tasa de descuento una tasa anticipada
efectiva del 1,5% mensual.

5. – Calcule la tasa anticipada efectiva mensual de descuento bancario
compuesto aplicada a un pagaré cuyo valor nominal fue 22 306, 08 um y su
descuento fue 500 um, en un periodo de 45 días.

Nivel II

1.- Calcula los intereses de descuento bancario compuesto que aplica el
banco por una letra de cambio que asciende a $ 4 250, faltando un año para
su vencimiento. A su vez calcule el valor descontado o valor presente de la
letra de cambio. El banco cobra una TES del 12%.

2.– Una letra de cambio cuyo valor nominal es 3 800 um y que tiene como
fecha de vencimiento el 26 de febrero, se descuenta en el banco Nacional el
18 de Enero del mismo año, con una tasa anticipada efectiva de 24% anual.
Calcular el importe del descuento bancario compuesto que se efectuó al
valor nominal de la letra.

3.– Una letra de cambio con valor nominal de 20 000 um, que fue girada el 1
de abril y fue descontada el 7 de abril por el banco Comercial, con una
tasa anticipada efectiva de 18% anual, tiene como fecha de vencimiento el 6
de julio del mismo año. Calcular el importe del descuento bancario
compuesto.

4.– Determine el valor nominal de un pagaré cuyo descuento bancario
compuesto fue de 500 um, al aplicar una tasa anticipada efectiva de
descuento de 1. 5% mensual. La fecha de descuento del pagaré fue el 24 de
setiembre y su fecha de vencimiento el 8 de noviembre del mismo año.

Nivel III

1.– Una empresa descontó el 26 de mayo un pagaré con valor nominal de 1000
um y con vencimiento dentro de 90 días, en un banco que aplica una tasa de
descuento anticipada efectiva, que cambiará conforme al sgte. Cronograma:

d nominal A partir del

Anual 24, 0% 26-05

Trimestral 6, 5% 30-06

Mensual 2, 1% 31-07

Se requiere calcular el descuento bancario compuesto que se aplicará al
pagaré.

2. – Un empresario solicito a banco del Centro un crédito de 10 000 um, el
cual será otorgado con el descuento bancario de un pagaré que estará sujeto
a las sgtes. Tasas anticipadas efectivas:

d efectiva A partir del

Anual 16, 0% 24-09

Trimestral 3, 8% 11-10

¿Cuál es el valor nominal del pagaré si el descuento bancario compuesto se
realiza el 24 de setiembre, fecha en que se requiere disponer 10 000 um y
el pagaré vence el 15 de noviembre del mismo año?

3.-Una letra de cambio que tiene un valor de nominal de $3750 fue
descontada por el BCP. Cuando faltaba 5 meses para su vencimiento. Se
requiere conocer el importe del descuento bancario compuesto que efectuó el
banco que aplico una TET de descuento anticipada de 8,5%. A su vez calcule
el valor descontado o valor presente de la letra de cambio.

4.- Calcule el descuento bancario compuesto que se efectuará a un pagare
con valor nominal de $ 12500. El pagare se descontara el 13 de febrero y
vencerá el 9 de Julio del mismo año. La TNA será de 14% hasta el 26 de mayo
y a partir de esa fecha se incrementara al 16% asimismo, calcule el valor
descontado o valor presente del pagare.

5.-Calcule el descuento bancario compuesto que se efectuará a un pagare con
valor nominal de $ 25000. El pagare se descontara el 8 de enero y vencerá
el 20 de octubre del mismo año. Al término del plazo se conoce que las
tasas de descuento fueron las siguientes:

"Tasa "A partir "
" "de "
"TES 8,0% "08/01 "
"TET 4,5% "26/05 "
"TEQ 0,8% "05/09 "

Calcule el interés descuento en las fechas de cierre, así como el valor
descontado o valor presente del pagare.

ECUACIONES DE VALOR

Ejemplos.-

1.- Determinar si los importes de 537,17 y 566,85um ubicados al final de
los meses 4 y 7 respectivamente, son equivalentes en el presente. Utilice
una TEA de 24%
Solución:
S1: 537, 17 S2:566, 85 ; i: 0, 24 ; n1:4/12
n2: 7/12

P1=537, 17=500

P2=586,85=500

Como P1 = P2( si son equivalentes.

2.- El día 30 de setiembre la empresa el Sol SA tiene vigente deudas con el
banco BQP por 5000, 8000 y 9000 um, las cuales vencerán el 20 de octubre,
14 de noviembre y 29 de noviembre del mismo año respectivamente. Si el Sol
negocia con el banco BQP un pago único de 24 000 um en una fecha
posterior al 29 de Noviembre y cancelar todas sus deudas que devengarán una
TEA de 24% a partir de su vencimiento. ¿En qué Fecha deberá efectuar dicho
pago?
Solución:
Como la fecha se ubica después del día 29 de Nov. Puede formularse una
ecuación de equivalencia con una fecha "x" desconocida:

5 000 8 000 9 000
S=24 000
p
0 20 45 60
n=?

5000(1,24 )+ 8000(1,24 )+9000(1,24 ) =24 000

=24 000

X=131,0024847(lo que significa que el pago debe realizarse 131 días
después del 29 de Nov.

EJERCICIOS

Nivel I

1.- LUJO S. A debe al Banco SANTANDER $ 1 000 pagaderos en 2 años y $ 3 000
pagaderos en 5 años. Acuerdan que LUJO liquide sus deudas mediante un pago
único al final de 3 años sobre la base de un rendimiento del 6 % anual, con
capitalización semestral.

2.- La empresa MOVITEX obtiene un préstamo de $ 5 000 con intereses a una
TNA del 5% con capitalización semestral. Acepta pagar $ 1 000 dentro de 1
año, $ 2 000 en 2 años y el saldo en 3 años. Hallar el pago final.

3.- Usted recibe un préstamo, cobrándole una TEB del 4,04%, por lo que se
compromete a pagar S/. 728, 28 dentro de 2 meses y S/. 883,27 dentro de 5
meses. ¿Cuál fue la cantidad que le prestaron?

4.- Sustituir dos deudas de S/. 20 000 y S/. 30 000 con vencimiento dentro
de 2 y 4 meses respectivamente por un único pago con vencimiento a 3 meses,
asumiendo una tasa nominal anual del 60% con capitalización mensual.

5.- En la fecha se depositan S/. 10 000 con el objeto de acumular S/. 20000
dentro de 8 meses. El banco paga una tasa nominal anual del 36% con
capitalización mensual. ¿Qué importe deberá depositar el segundo mes para
cumplir con el objeto propuesto?

6.- Una deuda de $ 500 pagaderos en 2 años y otra deuda de $ 750 pagaderos
en 6 años se van a liquidar mediante un pago único dentro de 4 años. Hallar
el importe del pago suponiendo una TNA del 4% con capitalización
trimestral.

7.- Una deuda de $ 250 vencida hace dos años y otra de $ 750 pagaderos en
3 años se van a liquidar en la fecha (hoy) mediante un pago único. Hallar
el importe del pago suponiendo una TNA del 5% con capitalización semestral.

8.- CONVERSA debe $ 1 000 pagaderos dentro de 3 años. Si hace, el día de
hoy, un pago de $ 400. ¿Cuál será el importe del pago que tendrá que hacer
en 2 años para liquidar su deuda a una TNA del 5 % con capitalización
semestral.
9.- PROACER firmó un documento por $ 1 500 con intereses acumulados por 2
años a una TNA del 5 % con capitalización trimestral, vencido el día de
hoy. Paga $ 500 únicamente y acuerda pagar el resto en 1 año. Hallar el
importe del pago requerido.

10.- En la negociación sostenida por la empresa UNISA con el sectorista de
crédito del Banco de Fomento, se aprobó un contrato para sustituir las
deudas de esa empresa de S/. 8 000 y S/. 9 000 con vencimientos dentro de 2
y 4 meses respectivamente por un único pago con vencimiento a tres meses a
una tasa anual del 48% con capitalización mensual ¿Cuál será el importe del
pago que deberá realizar UNISA en esa fecha?

11.- Para cancelar una deuda se deberán realizar los siguientes pagos $
800 dentro de 45 días, $ 500 dentro de 3 meses y $ 700 un mes después.
Suponga que el deudor acuerda con el acreedor efectuar un pago único a los
75 días de modo que se cancela la deuda. Si la tasa de interés es del 24%
anual con capitalización mensual, a cuánto ascenderá dicho pago?

12.- Un cliente que efectuó compras en Ripley y debe efectuar los
siguientes pagos: S/. 800 dentro de 45 días, S/. 500 dentro de 3 meses y
S/. 600 dos meses después. Los pagos se calcularon en base a una TEM del
3,5 %. Hallar el importe actualizado de la deuda si se retrasó 25 días en
todos los pagos.

13.- ¿Cuál será el precio de contado de un artículo ofertado al crédito con
una cuota inicial de S/. 2 000 y 4 cuotas de S/. 500 cada una pagadera cada
fin de mes? Se requiere ganar una tasa efectiva mensual del 3 %.

14.- En la compra de un televisor con valor de $ 3 000,00 se pagan $1 500
al contado y se firma un documento por la diferencia a pagar en 6 meses con
un interés de 2% mensual. ¿Cuál es el importe del documento?

15.- El comprador del ejercicio anterior decide pagar el saldo con dos
abonos iguales a 3 y 6 meses. ¿Cuál es el importe de dichos pagos si se
considera un interés de 6% trimestral?

Nivel II
1.- La empresa ENERSUR debe $ 1 000 pagaderos en 1 año y $ 3 000 pagaderos
en 4 años. Acuerda pagar $ 2 000 de inmediato y el resto en 2 años. ¿Cuánto
tendrá que pagar al final del 2do. Año suponiendo una TNA del 5% con una
capitalización semestral?

2.- Suponiendo una tasa efectiva de 4%, ¿Con qué pagos iguales X al final
de 1 año y al final de 3 años es posible reemplazar las siguientes
obligaciones: $ 2 000 con vencimiento en 3 años sin intereses y $ 4 000 con
una TNA del 4% con capitalización semestral con vencimiento en 6 años?

3. - Se efectúa una venta por S/. 9 876, girándose dos letras, para pagarse
a 30 y 75 días, respectivamente. Si la TEM es del 3%. Determinar el
importe de las letras si el valor nominal de la primera es un 30% mayor que
el de la segunda.

4.- Para pagar un préstamo de S/. 2 000, a la TEA del 22%, se deben
realizar los siguientes depósitos: S/. 800 dentro de 2 meses; S/. 700
dentro de 5 meses y el resto 1 mes después. ¿Cuál es la cantidad a pagar?

5.- Usted abre una cuenta de ahorros con un depósito de S/. 800, siendo la
tasa de interés 1,2% anual con capitalización mensual; 4 meses después
realiza otro depósito de S/. 1 000 y 3 meses más tarde efectúa un retiro de
S/. 500. Determine el monto de la cuenta de ahorros dentro de 1 año.

6.- Una persona abre una cuenta bancaria el 14 de abril con S/. 1 000
percibiendo una tasa nominal mensual del 4 % con capitalización diaria. El
2 de mayo retira S/. 400, el 15 de mayo retira S/. 200 y el 3 de junio
deposita S/. 100. ¿Qué monto acumuló desde la fecha de su depósito inicial
hasta el 24 de junio, fecha que canceló la cuenta?

7.- La empresa COMSAC S. A tiene con el Banco de Fomento dos deudas, $ 3
000 con vencimiento en 2 años sin intereses y $ 2 000 con intereses al 4%
anual convertible trimestralmente, pagaderos en 6 años. Acuerdan sustituir
ambas deudas por un pago único dentro de 4 años a una tasa del 5% anual
convertible semestralmente. ¿De cuánto sería dicho pago?

8.- La compañía DEPORTEX debe pagar al Banco Comercial dos deudas de S/. 8
000 y S/. 10 000 cada una, la primera a 30 días y la segunda a 60 días. La
Gerencia Financiera de DEPORTEX, analizando su estado de flujo de caja
proyectado, conoce de la futura falta de efectivo para esas fechas, por lo
que negociando con el Banco Comercial se difieren los pagos para el día
120, a una tasa efectiva mensual del 5% (incluyendo mora) ¿Qué importe
deberá pagar DEPORTEX el día 120?

9.- Se solicita un préstamo de S/. 4 000 con una TEM del 3% que se
cancelará con un primer pago de S/. 1 500 dentro de 1 mes y 2 pagos de
igual valor dentro de 2 y 4 meses respectivamente. Calcular dichos pagos.

10.- Una empresa vende una maquinaria en $35 000,00. Le pagan $15 000 al
contado y le firman dos documentos por $10 000 cada uno, con vencimiento a
6 y 12 meses. ¿Qué cantidad liquidará la deuda al cabo de 6 meses si se
aplica un interés de 30% convertible mensualmente?

11.- María debe $15 000 a pagar en un año. Abona $2 000 al cabo de 3 meses
y $3 000 a los 6 meses. ¿Qué cantidad debe entregar a los 9 meses para
liquidar la deuda si se considera un interés de 1,5% mensual?

Nivel III
1.- PERUSAL debe $ 3 000 con vencimiento en 2 años sin intereses; y
$ 2 000 con intereses a una TNA del 4 % capitalizable trimestralmente,
pagaderos en 6 años. Suponiendo un rendimiento a una TNA del 5%
capitalizable semestralmente, ¿cuál sería el pago único que tiene que hacer
dentro de 4 años para liquidar sus deudas?

2. - Se recibe un préstamo de $ 3 500 con una TEA del 40%, el cual será
cancelado con 3 cuotas iguales en 30, 60 y 75 días respectivamente. Al
cancelar la primera cuota se solicita nuevas condiciones, y se acepta que
el saldo sea cancelado con 4 pagos, en forma mensual y además cada pago
será un 10 % menor que el anterior. Calcular cuál será el valor del primer
pago.

3.- Se recibe un préstamo de $ 2 500 con una TEA del 40%, el cual será
cancelado mediante tres pagos iguales dentro de 1, 2 y 4 meses
respectivamente. Si a los 18 días de cancelar el primer pago se refinancia
el saldo de modo que éste será cancelado mediante 4 pagos, en forma mensual
y de modo que cada pago sea un 10% menor que el anterior. Calcular cuál
será el valor del primer pago.
4.- Se recibe un préstamo de $ 1 800 con una tasa de interés del 24% anual
con capitalización semestral, y que será cancelado mediante 3 cuotas: $800
dentro de 2 meses y 2 cuotas de igual valor dentro de 3 y 5 meses
respectivamente. Si al momento de cancelar la primera cuota se nos informa
que la tasa nominal disminuyó en 4 puntos porcentuales, cuál es el valor de
los otros pagos y cuál es el porcentaje en que disminuye con respecto a las
cuotas originales?

5.- La empresa exportadora Tejidos de Alpaca S.A. ha conseguido la
refinanciación de sus deudas vencidas y por vencer (según diagrama
adjunto), pagando una tasa efectiva del 5% mensual. Calcule el importe a
cancelar en el mes 3 que sustituya el total de sus obligaciones.

6.- Andrés solicita un préstamo de 158 000 dólares para la compra de una
casa. Ofrece pagar 20 000 en un año, 30 000 en 2 años y el saldo a 3 años.
¿Qué cantidad debe pagar para liquidar la deuda si la tasa de interés es
de:
a) J4 = 8%?
b) J4 = 12%?

ANUALIDADES

Ejemplos.-

1.- Calcule el valor presente de 5 flujos anuales de 400um cada uno. La
tasa de descuento es una TEA de 10%.
Solución:

R: 400 ; i: 0, 1 ; n: 5

P=R*FAS( P=400=1 516, 31um

2.- Hoy la empresa Sara S.A. decide cancelar las 4 últimas cuotas fijas
insolutas de un préstamo contraído con una entidad financiera. El importe
de cada cuota es de 500 um; las cuales vencerán dentro de 30, 60, 90 y 120
días respectivamente. ¿Qué importe debe cancelarse hoy si el banco acreedor
descuenta las cuotas con una TEM de 2%?

Solución:

R: 500 ; i: 0, 02 ; n: 4

P=R*FAS( P=500=1 903, 86um

EJERCICIOS
Nivel I
1.- Calcular el monto de una serie de 8 depósitos de $ 2 000 efectuados
cada uno de ellos al final de cada mes, los cuales perciben una tasa
nominal anual del 36%, capitalizable mensualmente.
2.- Halle usted el valor actual de una anualidad simple vencida de $ 100
mensuales pagaderos durante 10 años al 9% de TEM.
3.- Una empresa metal mecánica necesita adquirir una maquinaria que tiene
un costo de $ 20 000 y desea saber cuánto es lo que tiene que depositar en
el banco para que en 6 meses pueda adquirir la maquinaria, sabiendo que el
banco paga una tasa nominal anual de 60% con capitalización mensual

4.- Un edificio cuyo precio al contado es de $ 100 000 se decide pagar en
18 cuotas anuales vencidas. Determinar el valor de cada cuota, teniendo
como costo del dinero el 8% de TEA.

5.- Por la compra de un terreno se firmaron 6 letras de $ 40 000 cada una,
las cuales tienen vencimientos anuales y una TEA del 37%. Si se quisiera
pagar de inmediato ¿cuál sería el importe que tendría que desembolsarse?

6.- ¿Qué monto puede acumularse durante 3 años consecutivos depositando S/.
1 000 cada fin de mes y percibiendo una TNA del 24% con capitalización
mensual?

7.- ¿Qué monto se habrá acumulado en una cuenta de ahorros si a fin de mes
y durante 8 meses consecutivos se depósito S/. 800 en un banco que paga una
TEA del 12%.

Nivel II
1.- La empresa Dratex S.A. decide cancelar hoy las últimas 8 cuotas
constantes, que aún debe, de un préstamo solicitado al Banco Porteño. Las
cuotas vencerán dentro de 30, 60, 90, 120, 150, 180, 210 y 240 días,
respectivamente y cada una es de S/. 650,25. ¿Qué importe se deberá pagar
si la tasa de interés que se aplica a esta operación es de 18,96% Anual con
capitalización mensual?

2.- Una empresa educativa, en el ramo de comercio exterior, ha decidido
adquirir dentro de 45 meses una cierta cantidad de computadoras, cuyo
precio se estima en $ 38 500. Qué cantidad fija se deberá depositar
trimestralmente en ese periodo para disponer de ese importe si el banco
donde se efectuará el depósito paga el 15,42% TEA.
3.- ¿Cuántos pagos de fin de mes de $ 500 deben hacerse para cancelar una
deuda de $ 5 000, si la tasa nominal anual es de 24% capitalizable
mensualmente.

4.- Un hombre espera recibir una prima anual de fin de año de $ 500 durante
los próximos 5 años y planea depositarlos en el banco a una TNA de 4 %
capitalizable trimestralmente. ¿Cuánto tendrá al cabo de los cinco años?

5.- Si un trabajador ha cotizado a una Administradora de Fondos de
Pensiones (AFP) el equivalente de $ 360 anual, durante sus últimos cinco
años de actividad laboral dependiente, ¿Qué importe habrá acumulado en ese
período si percibió una Tasa Efectiva Anual del 10%?

6.- ¿Qué monto se acumulará en una cuenta de ahorros, si a fin de mes y
durante 4 meses consecutivos de depósito S/. 100 por los cuales se percibe
una Tasa Nominal Anual del 24 % capitalizable mensualmente?

7.- Actualmente, la empresa Sara S. A decide cancelar las 4 últimas cuotas
fijas insolutas de un préstamo contraído con una entidad financiera,
ascendente cada una a S/. 500; las mismas que vencerán dentro de 30, 60, 90
y 120 días respectivamente. ¿Qué importe deberá cancelar hoy si la Tasa
Efectiva Mensual es del 5%?

8.- Una persona deposita en una cuenta de ahorros al final de cada
trimestre un importe constante de S/. 2 000. ¿Qué monto acumulará en el
plazo de dos años percibiendo una TNA del 24% capitalizable
trimestralmente?

9.- ¿Cuál será el importe capitalizado al final del sexto mes, efectuando
depósitos de S/. 1000 al final de cada 30 días en una institución bancaria
que paga una TNA del 36% con capitalización trimestral?

10.- Una maquina es vendida con una cuota inicial de S/. 2 000 y 12 cuotas
de S/. 300 cada una a pagarse cada 30 días. Calcule el respectivo precio de
contado equivalente utilizando una TET del 9%.

11.- Dentro de 70 días se recibirá S/. 2 000. ¿Cuál es su valor actual
aplicando una TNA del 18% anual con capitalización mensual?

Nivel III
1.- Se abre una cuenta de ahorros con S/. 450 y un mes después se realiza
el primero de un total de 20 depósitos mensuales y consecutivos de S/. 158
c/u. Si la inversión rinde 8,74 % TEA. ¿Cuál será el monto acumulado 30
meses después de abrir la cuenta?

2.- Una entidad educativa requiere de un proyector multimedia, cuyo precio
al contado es de $ 3 418. Se comprará al crédito pagando una cuota inicial
del 28% del precio al contado y ocho cuotas bimestrales iguales. La tasa de
interés efectiva que se cobrará será del 15,7625 % trimestral. Hallar el
valor de la cuota.

3.- Si deseas adquirir un departamento valorizado en $ 65 000 para lo cual
te exigen el pago de una cuota inicial del 20% y el saldo será financiado
mediante un crédito hipotecario, cuya tasa de interés es del 12,35 % TEA,
con un plazo total de 3 años, que incluyen 3 meses diferidos. Pagarás
cuotas mensuales iguales, excepto las de julio y diciembre que serán
dobles. Hallar el valor de las cuotas de julio y diciembre.

4.- Un crédito mutual fue pactado para cancelarse en 20 cuotas uniformes de
S/. 250 cada una cada fin de trimestre aplicando una TNA del 36%
capitalizable trimestralmente. Habiendo cumplido puntualmente sus pagos, al
vencimiento de la duodécima cuota, el cliente decide cancelarla
conjuntamente con las cuotas insolutas. ¿Cuál es el importe total a pagar
en esa fecha?

5.- Calcule el valor presente de una anualidad compuesta de 20 rentas
uniformes vencidas de S/. 2 000 cada, aplicando una TEM del 4%. La primera
renta se pagará dentro de tres meses y las siguientes en períodos de 3
meses cada una.

6.- La empresa Alfa alquila un local comercial durante 5 años por una
merced conductiva de $ 3 000 por trimestre vencido. Alfa recibe como
alternativa del arrendatario la propuesta de efectuar un único pago de $
17 000 al inicio del contrato por cinco años. Considerando que Alfa puede
invertir el importe de los alquileres que percibirá a una TEM del 5%. ¿Le
conviene la alternativa propuesta?
7.- Habiéndose descontado el día de hoy una letra de cambio con valor
nominal de S/. 1 000, aplicando una TEM del 5%, la cual vencerá dentro 42
días. ¿Cuál es el importe neto que podrá disponerse?

Ejemplos.-

1.-Se alquila un local comercial por cuatro meses con pagos anticipados de
500 um cada uno. ¿Cuál es el valor actual del contrato de arriendo con una
TEM de 3%?
Solución:
Ra: 500 ; i: 0, 03 ; n: 4
meses

P=Ra (1+i)*FAS( P=500(1+0, 03)=1 914, 31um

2.- Calcule el importe de la imposición mensual que al cabo de 4 meses
permitirá acumular 5 000, con una TEM de 3%.

Solución:
Ra: ? ; i: 0, 03 ; n: 4 meses;
S: 5000

Ra= FDFA( Ra==1 160, 33

EJERCICIOS

Nivel I

1. Se depositan $ 1000 al principio de cada mes en un banco que paga
una tasa de interés del 2% mensual capitalizable cada mes. ¿Cuál será el
monto al finalizar un año?

2.-Calcula el valor actual y final de una renta de tres términos anuales
situados a principios del año de 100 euros cada uno a un tanto de interés
del 10% efectivo anual.

3.- Si se efectúan cuatro depósitos de inicio de mes de S/. 1 000 cada uno
en una institución bancaria que paga una TNA del 36% con capitalización
mensual, ¿Qué importe se acumulará al final del cuarto mes?

4.- El primer día útil de cada mes la compañía Prondinsa coloca en un banco
el 20% de sus excedentes de caja ascendentes a S/. 500. Si por dichos
depósitos percibe una TEM del 3%, ¿Cuánto habrá acumulado al término del
sexto mes?

5.- El alquiler de un local comercial es de s/. 500, pago que debe
efectuarse a inicios de cada mes. El dueño del local le propone al
arrendatario efectuar una tasa efectiva del 4% mensual en el caso que le
abone anticipadamente los alquileres correspondientes a un año. Calcule el
valor presente de los doce pagos anticipados.

6.- Calcule el precio de contado de una maquinaria vendida al crédito en 12
cuotas mensuales anticipadas de S/. 200 utilizando una TEM del 2%.

Nivel II

1.- La compañía Jacobs ha tomado la decisión de adquirir, dentro de seis
meses, una nueva camioneta para distribuir sus productos (se estima que el
precio de la camioneta será de $ 13 000) Para este efecto decide ahorrar
mensualmente, en ese plazo, una cantidad uniforme a inicio de cada mes.
Calcule el importe de la cuota constante anticipada que le permita formar
dicho fondo a fines del sexto mes, si sus ahorros perciben una TEM del 4%.

2.- Se estima que dentro de 4 meses deberá adquirirse una máquina cuyo
precio será de S/. 5 000. Empezando el día de hoy, ¿qué cantidad uniforme
deberá depositarse cada 30 días durante ese período de tiempo, en un banco
que paga una TEM del 5%, a fin de comprar dicha máquina con los ahorros
capitalizados?

3.- Calcule el importe de la imposición uniforme que colocada cada mes en
un banco ganando una TEM del 4,5% durante el plazo de 4 años nos permita
acumular un fondo para sustituir una maquinaria cuyo precio se estima al
finalizar ese período en S/. 32 000.

4.-Un préstamo de S/. 5 000 debe cancelarse en 12 cuotas uniformes
mensuales anticipadas pagando una TNA del 36 % capitalizable mensualmente.
Calcule el importe de cada cuota.

Nivel III

1.- Un crédito mutual fue contratado para ser amortizado con 20
imposiciones trimestrales fijas de S/. 250 a una TNA del 36% capitalizable
trimestralmente. Al vencimiento de la imposición 12, el cliente decide
cancelarla conjuntamente con las cuotas insolutas, ¿cuál es el importe
total a cancelar en esa fecha?

2.- Calcule el importe total del interés a pagar en la amortización de un
préstamo pactado a una TEM del 4% durante medio año con imposiciones
iguales mensuales de S/. 500

3.- Para la adquisición de una máquina se dispone del 20% de su precio de
contado. El saldo será financiado por el mismo proveedor con 12
imposiciones iguales mensuales de S/. 500 c/u cargando una TEM del 3%.
Calcule el precio de contado equivalente de la máquina.

aMORTIZACIONES

Ejemplos.-

1.- Una empresa de arrendamiento financiero decidió redimir dentro de 2
años los bonos emitidos en su cuarta serie, con un desembolso de 800 000
um, para lo cual está calculando el importe de los aportes bimestrales
uniformes que deberá colocar en un fondo de amortización que ganará una TET
de 3%. ¿A cuánto ascenderá el importe de cada aporte?

Solución:
S: 800 000 ; TEB: n: 12

R=800 000*FDFA
R=800 000*0,07460098375
R= 59 680, 79

2.- Prepare la tabla referencial de reembolso de un préstamo de S/ 10 000
otorgado el 8 de marzo, el mismo que debe ser reembolsado en 5 cuotas
trimestrales vencidas con amortizaciones constantes a una TET del 5%.

Solución:

Amortización constante = Saldo Deudor (Préstamo)
Número de cuotas

Amortización = 10 000/ 5 = 2 000

Interés = Saldo anterior * Tasa

Luego tenemos: Cuota = Interés + Amortización

Saldo deudor = Saldo anterior – Amortización

Deuda extinguida = Suma acumulada de la Amortización

"Período "Cuota "Interés "Amortizaci"Saldo "Deuda "
"(n) " " "ón "Deudor "Extinguid"
" " " " " "a "
"FEN "-2 000,00"15 000,00 "18 000,00 "14 000,00 "14 000,00"

Si se espera una tasa de rendimiento sobre la inversión del 15.5 % anual,
Calcule el VAN y determine la conveniencia de comprar dicho activo

2.- Un capital de S/ 100 mil soles ,se invirtió durante 2 años en un
negocio de alfarería y durante tal horizonte generó un flujo de
efectivo de S/, 50 mil soles durante el primer año y de S/ 150
mil soles al cabo del segundo año ¿Cuál fue la TIR generada ? y
.Decide sobre si acepta o rechaza el proyecto si la TREMA =45% .

3.-Un capital de S/ 100 invertido en un determinado negocio, durante un
año generó un monto (Capital más interés) de S/150 ¿Cuál fue el TIR ?
Y .Decide si acepta o rechaza el proyecto si TMAR=35%.

4.- Una empresa galletera está analizando la posibilidad de comprar una
nueva máquina de producción cuyo costo es de US$ 28 000. Con la
incorporación de este activo proyectan ingresos adicionales durante los
próximos 5 años según lo siguiente:

"Año "1 "2 "3 "4 "5 "
"FEN "10 000,00"15 000,00 "13 000,00 "12 000,00 "8 000,00 "

La empresa evalúa sus inversiones considerando una tasa mínima de
rendimiento del 12% TEA. Con estas proyecciones, calcular el VAN y decidir
si se compra la nueva máquina.

5.- Calcular la TIR del siguiente flujo si el COK = 17.45% TEA

"Año "0 "1 "2 "3 "4 "
"FEN "-20 115,00"8 700,00 "8 700,00 "8 700,00 "8 700,00 "

Nivel II

"Años "0 "1 "2 "3 "4 "5 "
"Proyecto B"-9 890,00"3 100,00 "3 100,00 "3 100,00 "3 600,00 "3 600,00 "

1.-.Sean los siguientes flujos anuales esperados de los siguientes
proyectos mutuamente excluyentes.

Calcular la TIR de cada proyecto.

2.- "Madertálica", empresa dedicada a la fabricación de muebles y equipos
para oficina ha estimado los flujos de efectivo neto para los seis años de
vida de dos proyectos, X y Y. Estos flujos se resumen a continuación:

" "Proyecto X "Proyecto Y "
"Inversión Inicial "41 000 "23 000 "
"Año "Entradas de Efectivo "
"1 "10 800 "6 500 "
"2 "10 800 "6 500 "
"3 "14 500 "8 500 "
"4 "14 500 "8 500 "
"5 "18 000 "9 500 "
"6 "18 000 "9 500 "

Halle la TIR de cada proyecto.

3.- Una máquina tiene un costo inicial de $ 1 100 y una vida útil de 6
años, al cabo de los cuales su valor de salvamento es de $ 100. Los costos
de operación y mantenimiento son de $ 30 al año y se espera que los
ingresos por el aprovechamiento de la máquina asciendan a $ 300 al año.
Calcula el VAN si la tasa de rendimiento requerida es del 10% y decidir si
se compra la máquina.

4. –Para invertir un capital el arquitecto Gómez tiene las sgtes. Opciones:

a) Inversión a plazo fijo con interés del 21, 5% capitalizable por
semestres.
b) Certificados que abonan el 20, 6% capitalizable cada semana.
c) Bonos que le dan a ganar el 20, 68% compuesto por meses.
Suponiendo que todas ofrecen la misma liquidez, es decir iguales
posibilidades de recuperar la inversión, ¿por cuál deberá decidirse?

5. – Un proyecto de inversión que demanda un financiamiento bancario de
10 000 um y devenga una TET de 4%, será amortizado en el plazo de 2 años
con cuotas trimestrales uniformes vencidas. ¿Cuál será el importe de la
sétima cuota principal?

Nivel III

1.- A un empresario se le presentan dos alternativas de inversión:

a) Llevar a cabo un proyecto que supone una inversión inicial de 4
millones de dólares, con una duración de dos años y unos flujos de
caja de 2 millones de dólares el primer año y 2.5 millones el
segundo.

b) Colocar los mismos 4 millones de dólares en un fondo de inversión
de renta fija durante dos años, con una rentabilidad anual
garantizada del 8.5%.

Calcular la TIR del proyecto y decidir cuál de las dos alternativas es más
conveniente para el empresario.

1. –Una persona invierte en un proyecto $2 000 000, y recibe unas
utilidades trimestrales de $ 603 842 durante un año. Si la tasa de
oportunidad del inversionista es del 7,5% trimestral, determinar a
partir de la TIR, si se debe o no llevar a cabo el proyecto.

3.- Una empresa estudia un proyecto de inversión que presenta las
siguientes características:
Desembolso inicial: 80 000 u.m.
Flujo de caja 1er año: 30 000 u.m.
Para el resto del año se espera que flujo de caja sea un 10% superior al
del año anterior.
Duración temporal: 5 años.
Valor residual: 20 000 u.m.
Coste medio capital: 6%
A) Según el criterio del VAN, ¿se puede llevar a término esta inversión?
B) Si la empresa solo acepta aquellos proyectos que representan una
rentabilidad de un 5% superior al coste del capital. ¿Crees que hará
esta inversión?
C) Calcula el desembolso inicial que habría de hacer para que la
rentabilidad fuera un 50%
4. La señora TEODORA LIVIA quiere empezar un negocio de confección de
ropa deportiva. Por eso necesita comprar diversas máquinas, que
representaran un importe de 15 000 u.m. También necesitará comprar un
edificio valorado en 20 000 u.m. y una furgoneta que le costará 4 000
u.m. Además tendrá que adquirir materias primas como hilo, ropa,
botones, etc. Por un total de 2 000 u.m. y utillaje necesario (tijeras,
agujas, etc.) por un importe de 2 000 u.m. Para financiar esta inversión
dispone de 23 000 u.m. para el resto tiene que pedir un préstamo a una
entidad financiera. La entidad financiera solo dará el préstamo si el
proyecto demuestra ser rendible económicamente. Se conocen los datos
siguientes:
Coste medio del capital 5%
Flujos netos de caja anuales 10.00 u.m.
Duración temporal 4 años.
La empresa se liquidará al final del 4º año con el valor de los activos en
este momento de 22 000 u.m.

5.- La empresa Ortiz Flores S.R.L quiere fabricar y vender un nuevo
detergente para lavadoras. Por eso necesita hacer una inversión inicial de
20 000 u.m. Los flujos anuales de caja suben 7 000 u.m. Después de 3 años
se liquida la empresa y se venden los activos por 15 000 u.m. El coste del
capital de este proyecto es de 5%. Determina mediante el criterio del VAN,
si este proyecto es rendible y razona las conclusiones.

GLOSARIO DE VARIABLES Y FÓRMULAS

VARIABLES

P o VP = PRINCIPAL, CAPITAL O STOCK INICIAL DE EFECTIVO, VALOR P RESENTE

VALOR PRESENTE DEL TÍTULO – VALOR EN EL DESCUENTO RACIONAL Y VALOR
LÍQUIDO EN EL DESCUENTO BANCARIO

I= INTERÉS

S o VF= MONTO, CAPITAL O STOCK FINAL DE EFECTIVO, VALOR FUTURO.

VALOR NOMINAL DEL TÍTULO VALOR, VALOR FUTURO

i = TASA EFECTIVA DEL PERÍODO CAPITALIZABLE

j= LA TASA NOMINAL ANUAL

f = NÚMERO DE DÍAS DEL PERÍODO CAPITALIZABLE

m = NÚMERO DE PERÍODOS DE CAPITALIZACIÓN EN EL AÑO.

H = HORIZONTE DE TIEMPO

n = NÚMERO DE PERÍODOS DE CAPITALIZACIÓN EN EL HORIZONTE TEMPORAL.

PERÍODOS DE TIEMPO QUE FALTAN PARA EL VENCIMIENTO DEL TÍTULO – VALOR
(en caso de descuento)

D= DESCUENTO

d= TASA DE DESCUENTO POR PERÍODO DE TIEMPO APLICABLE SOBRE S

i' = TASA EQUIVALENTE O EFECTIVA PERIODICA A CALCULAR

fÓrmulas y factores

TASAS UTILIZADAS

CÀLCULO DE TASA EFECTIVA PARA PERÌODOS ENTEROS.

CÀLCULO DE TASA EFECTIVA PARA PERÌODOS NO ENTEROS.

CÀLCULO DE TASA EFECTIVA DESDE UNA TASA NOMINAL.

INTERÈS COMPUESTO

CÁLCULO DEL MONTO

CÁLCULO DEL CAPITAL

CÁCULO DE LA TASA

CÁLCULO DEL NÚMERO DE PERÍODOS DE CAPITALIZACIÓN

CÁLCULO DEL INTERÈS

CÁLCULO DEL CAPITAL

CÁLCULO DE LA TASA

CÁLCULO DEL NÚMERO DE PERIODOS DE CAPITALIZACIÓN.

DESCUENTO

DESCUENTO RACIONAL SIMPLE

DESCUENTO RACIONAL COMPUESTO

DESCUENTO BANCARIO SIMPLE

VALOR LIQUÍDO DEL TÍTULO – VALOR O PRINCIPAL.

DESCUENTO

VALOR LÍQUIDO DEL TÍTULO- VALOR O PRINCIPAL

FACTORES

FSC: FACTOR SIMPLE DE CAPITALIZACIÓN

FSA: FACTOR SIMPLE DE ACTUALIZACIÓN

FRC: FACTOR DE RECUPERACIÓN DE CAPITAL

FAS: FACTOR DE ACTUALIZACIÓN DE UNA SERIE

FDFA: FACTOR DE DEPOSITO AL FONDO DE AMORTIZACIÓN

FCS: FACTOR DE CAPITALIZACIÓN DE UNA SERIE

EVALUACIÓN DE PROYECTOS

FENt = FLUJO EFECTIVO NETO EN EL PERÍODO t
I0 = INVERSIÓN INICIAL
n = NÚMERO DE PERÍODOS
COK = COSTO DE OPORTUNIDAD DE CAPITAL, TASA DE DESCUENTO, TASA DE
AMORTIZACIÓN

LISTADO DE RESPUESTAS

TASAS UTILIZADAS EN EL SISTEMA FINANCIERO

TASA EFECTIVA PARA NÚMERO DE PERÍODOS ENTERO

"NIVEL I "Nivel II "Nivel III "
"1.- 0, 25 % "1. – 5,34% "1 - TET = "
"7,1859 %; " "6,18 % "
"23,14% " " "
"64,82%,..etc " " "
"2. - 26, 25 % "2. - 9, 27 % "2. - TE = 6, "
" " "61 % "
" 3. - TEA = 19, "3. - 12, 62% " a) 6,12 %; "
"56 % " "b)17,17% c)"
" " "26, 82% "
" 4. - 32, 25% "4.- a) 54,35 %; "4. - 26, 25 % "
" "b) 52, 09% " "
" "c) 50, 06% " "
" "d) 45% " "
"5. - 16, 98% " "5.- a) 19, 41 "
" " "%; b) "
" " "14, 49% "
" " "c) 31, 08% "

TASA EFECTIVA PARA NÚMERO DE PERÍODOS NO ENTERO

"1.- TEM = 36, 89%"1.-Tasa "1.-30días "
" "Bimestral=0,1449 "TEA=0,72892/TEM=0,04603 "
" " "60días "
" " "TEA=0,70865/TEM=0,04501 "
" " "90días "
" " "TEA=0,67199/TEM=0,046315 "
"2.- TEM = 4, 57 %"2.- TEA = 129,79 % "2.- TES: 12,669%; 12,651%; "
" " "12,616%; 12,594%; 12,572%; "
" " "12,550%. "
"3.- 6, 122% ; "3.-Tasa= 0, 017559232"3.- 4, 43 % por los 36 días."
"6, 129% " " "
"4.- 0, 653% "4.-TEM= 0, 132075214 "4.- TEA= 101,14 % "
" " " "
"5.- 6, 135 % ; " "5.-TEM = 0, 200770118 "
"6, 141 % " " "

TASA NOMINAL A PORPORCIONAL

"1.- a) 4 %; b) 12% "1.- a) 4,5%; "1.- 24% "
" "b) 12%; c) 18% " "
"2.- 2,55% "2.- 6,66 % "2.- 6% "
"3.-TNT= 0, 06 "3.-TNA= 0, 24 "3.-TNA/10=0,4911 "
" " "TNA/30=0,4977 "
" " "TNA/90=0,5183 "
"4.-TEM=1,39 % "4.-TN46 días= 0, 046 "4.- 17,01% "
"5.- 35,10 % "5.-TN128 días= 0, "5.- 5,6% "
" "08533 " "

TASAS EQUIVALENTES

"1. - TEM = 2,21% "1.- 6% "1. - TEQ= 1, 9803903% "
"2. - TEM = 1,81% "2.-6,85% "2. - TEM = 2,598% "
" " "; 2,756%; 2,914% "
"3. - TET = 4,88 % "3.- 65,25% "3.- Tasa de 73 días = "
" " "6,44135% "
"4.- TES = 200% "4.- 11,54% "4.- a) 13, 21% mensual"
" " "b)45,09%trimestral "
"5. - i = 18,40% " "5.- a) 35, 51% "
" " "b) 34,51% "
" " "c) 33,59% "
" " "d) 31,16% "
" " " "
"6. - j = 11,95% " " "
"7. - j = 20, 88% " " "

INTERÉS COMPUESTO

CÁLCULO DEL MONTO

"1. - S/ 162, 89 "1 - S/. 934 "1. - S/. 2 9 282 "
" "636,45 " "
"2.- S/. 1 938, 78"2. - S/. 5 7 963,"2.- S/. 3 758 "
" "70 "223,17 "
"3. - S/ 2 433, "3. - S/. 23 942, "3. - La mejor opción "
"31 "19 "es la C "
"4 - S/ 561, 84 "4. - S/. 1 048, "4. - S/. 1 689, "
" "81 "24 "
"5. - S/ 1985, 98"5. - S/. 2 201, " "
" "42 " "
"6. - S/ 1 011, "6. - S/. 3 564, " "
"36 "30 " "

CÁLCULO DEL VALOR PRESENTE

"1. - S/. 1 776, 97 "1. - S/. 5 784, 34 "1. - S/. 7 540, 77 "
"2. - S/. 6 575 "2. - S/. 1 886, 82 "2. - P= 1972, 31 um "
"162,32 " " "
"3. - S/. 1 334, 99 "3. - S/. 18 462, 82 "3. - S/. 1 135 "
"4. - I= 93, 24 "4. - S/. 23 324, 20 "4. - S/. 46 174, "
" " "161124 "
"5. - S/. 3 917, 63 "5. - S/. 5 51 26, 23 "5. - S/. 125 947, 36"
" " "valor que recibe la "
" " "empresa un año después"
" "6. - $ 8 483, 36 " "
" "7.-Las cantidades son " "
" "equivalentes en el " "
" "momento cero pues " "
" "originan un mismo " "
" "valor presente de 500 " "
" "um " "

CÁLCULO DE LA TASA

"1.- a) 2, 50% anual "1.- 5% "1.- 16,52% "
"b) 4% trimestral " " "
"c) 2% trimestral " " "
"d) 15% anual " " "
"2.- 3,23% "2.- 5% "2.- 17,4618943 % "
" " "anual "
" " " "
"3.- 5, 27266 % "3.- 47, 684% "3. - a) j=30, 94% "
" " "b) j=31,74% "
"4.- i= 16, 98% "4- i= 12,79% " 4.- i= 20,13% "
"5.- 35, 10% "5,-Tasa=24,82% " "
" " " "
"6.- 19, 56% " " "

CÁLCULO DEL TIEMPO

"1.- 10,34 meses o 310"1.-n=52,96 es decir "1.-a) 23,45 meses "
"días "aprox. 53 meses "b) 35 meses "
"2.- 6 años "2.- 14, 2066 meses o "2.-a) 7,272540897 años"
" "14 meses y 6 días "b) 3,8018 años "
"3.- 2 años "3.- 11,64 años "3.- 14,21 años "
"4.- 8 meses "4.- 17,73 años "4.- n=20,53 meses "
"5.- 53 días " "5.- n=7,63 meses o "
" " "n=7 meses 20 días "
" " "6.- n=14,04 es "
" " "decir aporx,14 "
" " "semestres por lo "
" " "tanto, deben pasar 8,5"
" " "años. "

DESCUENTO

DESCUENTO RACIONAL SIMPLE

"1.-D=19 230,77 "1.- S/. 275,53 "1.- 60 días, vence "
" " "el 05 de agosto. "
"2.- i=0,166666 "2. - S/. 196, 74 "2. - S/. 8 260 "
" " " "
"3.- n=0,67567 años o "3. - S/. 96, 30 "3.- 30 de junio "
"n=8,1 años " " "
"4.- S= 1 920 000 "4. - a) S/. 769, 23 "4.-D=465,33 "
" "b) S/. 19 230,77 "P=3 284,67 "
" "c) S/. 769, 23 " "
" "5. - S/. 5 829,02 "5.-D=897,84 "
" " "P= 7922,16 "
" "6. - S/. 88, 99 y"6.-D=698,89 "
" " "P=11 801,11 "
" "S/. 7 911, 01 " "
" "7. - S/. 7 260 " "


"NIVEL I "NIVEL II "NIVEL III "
"1.-D=1 635,14 "1.- S/. 462, 53 "1. - 87, 53 um "
"2.- D=1 720,49 "2. - S/. 309, 42 "2. - 8 242, 68 "
" " " "
"3.- D= 92,679 "3. - S/. 136, 78 "3.- 6 742, 24 um "
"4.- D= 75,281 "4. - S/. 754, 44 "4. - D= 861, 93 "
" " "P=3 388,07 "
" "5. - S/. 287, 02 "5- D= 476, 73 "
" " "P=3 273,27 "
" "6. - S/. 829, 87 "6. D= 939, 50 "
" " "P=7 880,50 "
" "7. - S/. 462, 53 y " "
" "S/. 7 537, 47 " "


"1.-48% anual o 4% "1. - S/. 63, 33 "1.- 21% anual "
"mensual " " "
"2.- t=4 meses "2. - S/. 23 720, 93 "2. - 42 días "
"3.- D=720 "3. - S/. 9 583, 33 "3.- 225 u,m "
" " " "
"4.-valor nominal=18 "4.- 3% anual "4. - 8 268, 73 um "
"000 " " "
"5.- "5.- 1,5 meses " "
" " " "
"6.- "6.- 1,5 meses " "
" " " "

DESCUENTO BANCARIO COMPUESTO

"1.- S/. 100; S/. 98; "1.- D= 958, 80 "1.- 64, 63 um "
"S/. 96,04 "P=3 291,67 " "
"2.- S/. 46,17 "2.- 111, 31 um "2.- 10 235, 73 um "
"3.- S/. 255,80 "3.- 968, 04 um "3.- D= 516, 05 "
" " "P=3 233,95 "
"4.- 221, 64 um "4.- 22 308, 08 um "4.- D= 775, 44 "
" " "P=11 724,56 "
"5.- 0, 015 " "5.- D= 3 270, 51 "
" " "P= 21 729,49 "

ECUACIONES DE VALOR

"1. - $ 3 726, 36 "1. - $ 1 560, 84 "1. - $ 5 612, 08 "
" " " "
"2. - $ 2 593, 40 "2. - $ 3 127, 33 "2. - $736, 59 "
"3.- S/. 1 500, 00 "3. - S/. 5 860, 05 y "3. - $ 551, 83 y $ 0, "
" "S/. 4 507, 73 "59% "
"4.- $ 922,67 "4. - $ 531, 28 "4. - $ 5 453, 47 "
"5.- $ 510,29 "5. - S/. 20 286 "5.- $ 1 234,04 "
" " " "
"6.- $ 1 215,66 "6. - S/. 16 973, 85 "6.- a) $ 144476 , 05 "
" " "b) $ 166169,56 "
"7.- $ 922,67 "7. - S/. 1 389, 17 " "
"8.- $ 510,29 "8. - S/. 1 990, 58 " "
" " " "
"9.- $ 1 215,66 "9. - S/. 49 571, 43 " "
" " " "
"10. - S/. 2 123, 53 "10.- $ 36018,37 " "
"11.- S/. 6 140,69 "11.- $ 9020, 84 " "
" " " "
"12- S/. 1667, 43 " " "
"13.- S/. 3858, 55 " " "
" " " "
"14.- $ 1 689, 24 " " "
"15.- $ 818,16 (Importe" " "
"de cada uno de los 2 " " "
"pagos ) " " "

ANUALIDADES

ANUALIDADES VENCIDAS

"1. - $ 17 784, 67 "1.- S/. 4 850,80 "1. - S/. 4 178, 43 "
"2. - $ 1 111, 08 "2. - S/. 1 973, 24 "2. - S/. 465, 50 "
"3. - $ 2 940, 35 "3.- 11,3 "3. - $ 3 230, 99 "
" " " "
"4. - $ 10 670, 21 "4. - $ 2 711, 43 "4. - S/. 1 633, 70 "
"5. - $ 91 757, 46 "- 2 197, 84 "5.- S/. 1 4494,80 "
" " " "
"6. - S/. 51 994, 37 "6. - S/. 412, 16 "6- No, ya que el "
" " "valor presente de los "
" " "alquileres es $ "
" " "18013,60 "
"7. - S/. 6 616, 63 "7. - S/. 1 772, 98 "7. - S/. 933, 97 "
" " " "
" "8. - S/. 19 794, 94 " "
" "9. - S/. 6 454, 50 " "
" " " "
" "10.- S/. 5 001,55 " "
" "11. - S/. 1931, 71 " "

ANUALIDADES ANTICIPADAS

"1. - S= S/. 13 680, 3 "1. - Ra = $ 1 884, 52 "1.-S/. 1633, 70 "
"2.-P=S/.273,55 "2. - Ra = S/. 1 104, "2.- S/. 274, 09 "
"S=S/. 364,1 "82 " "
"3. - S= S/. 4 309, 14 "3. - Ra = S/. 189, 51 "3. - P = S/. 6 407, 89"
"4. - S= S/. 3 331, 23 "4. - Ra = S/. 487, 68 " "
" " " "
"5. - P = S/. 4 880, " " "
"24 " " "
"6. - P = S/. 2 157, 37" " "

Amortizaciones

"1.–A=800 TEM= " 1. – TEC45 días= 0, "1. – TEM= 0, 0162215 "
"0, 0025 "0301495 "a) S/. 1012, 70 "
" "C=S/ 1140,37 "b) S/. 725, 46 "
"2. – Ra=2087,34 " 2. – A5= 192, 59 " 2. - TET= 0, 05 "
" " "C= S/. 1970, 17 "
" " "a) A3= S/. 1620, 26 "
" " "b) S/. I3 =S/. 349, 31 "
"3.-An= 2833, 33 "3. – A6= 1413, 48 " 3. – TET= 0, 05 "
"TEB= 0, 030225 " "A= S/. 1666, 67 "
" " "C3= S/. 2000 "
"4.-TEB=0, 059134"4.- R= 2754, 90 " 4. – A4 = 2 648,"
"C=S/ 1014,05 " "94 "
" "5.-a) Pago = Cuota = S/. " 5. - TET= 0, 06"
" "10 607, 92 "R= 6902,93 "
" " " "
" "b) A3= S/. 9996, 08 " "

EVALUACIÓN DE PROYECTOS

"1.- VAN = -2 127,23; "1.- TIR(A) = 23,39% "1.- TIR = 7,9%; "
"No conviene comprar. "TIR (B) = 19,20% "alternativa b "
"2.-i=50% ; Si acepta "2.-TIR (X) = 23,59% "2.-TIR: 44,71% "
"el proyecto. "TIR (Y) = 24,65 % "efectiva anual. "
"3. TIR = 50%; Si "3.- VAN = 132,36; Si"3.-a)VAN=87 545,2092; "
"acepta el proyecto. "compro. "Si se puede llevar a "
" " "término esta "
" " "inversión. "
" " "b) VAN=86 023,08;la "
" " "inversión "
" " "representaría una "
" " "rentabilidad mayor del"
" " "5% por lo que la "
" " "empresa la realizaría "
" " ". "
" " "c) El desembolso "
" " "inicial sería : 61 "
" " "727,45 "
"4.- VAN = 14 134,43; "4.-La opción que más "4.-VAN=10 558,93 "
"Si compro "le conviene es la 2da."La inversión es "
" " "rentable. "
"5.- TIR = 26,20% "5.-cuota (7) = 1 373, "5,- VAN=12 020,30 "
" "22 um "Es rentable porque el"
" " "VAN es superior a 0 "

BIBLIOGRAFÍA

ALIAGA VALDEZ, Carlos
2004 Manual de Matemática Financiera: Textos, Problemas y Casos. 3ª. Ed.
Corr. – Lima: Universidad del Pacifico.

ALIAGA CALDERÓN, Carlos
2002 Matemáticas Financieras – Un enfoque
práctico 1era
Edición. Bogotá DC.: Pearson
Educación de Colombia.

LARSON, Roland E.; HOSTETLER, R. Edwards, B
2000 Matemáticas Financieras. México D.F.: McGraw
-Hill.INT

GARCIA, Jaime A.
2000 Matemáticas Financieras con Ecuaciones de
Diferencia Finita. Cuarta Edición Santa Fe de Bogotá
D.C - Prentice Hall –

DIAZ MATA, Alfredo; Víctor M. AGUILERA GÓMEZA
1999 Matemáticas Financieras. México DF.:
McGraw-Hill.

GOÑI GALARZA
1990 Elementos de Matemática Financiera. J. Lima. Ingeniería, s.f.

AYRES, F
1988 Matemáticas Financieras. México DF.: McGraw-Hill.

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INGENIERÍA ECONÓMICA

CUADERNO DE TRABAJO

INGENIERÍA

INDUSTRIAL

Tasa Efectiva para NúmeroS de Períodos EnteroS

Tasa Efectiva para Número de Períodos no Entero

Tasa Nominal a Proporcional

TASAS EQUIVALENTES De una Tasa efectiva dada a una Tasa efectiva por
calcular

Cálculo del Monto

Cálculo del Valor Presente

Cálculo de la tasa

Cálculo del Tiempo

Descuento Racional Simple



DESCUENTO BANCARIO COMPUESTO

ANUALIDADES VENCIDAS

ANUALIDADES ANTICIPADAS

CUADERNILLO DE PRACTICAS 1

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