CONVOLUCION LINEAL Y CIRCULAR EN TIEMPO DISCRETO Arroyo Paredes Margarita Gioconda e-mail:
[email protected] [email protected] Ing. Electrónica e Instrumentación, 5to nivel, Universidad de las Fuerzas Armadas ESPEExtensión Latacunga, Márquez de Maenza S/N Latacunga, Ecuador. Fecha de presentación: Miércoles, 26 de Mayo del 2016. RESUMEN: La convolución es un valor que se encuentra netamente emparejado a todos los sistemas que son invariantemente lineales en el tiempo. Cabe recalcar que convolución discreta no es la misma que la continua o sus conceptos o las consideraciones aplicables pueden cambiar ya que en el análisis en discreta solo se dispone de valores en instantes discretos de tiempo. Hay que tener en cuenta que la convolución es un instrumento poderoso al determinar el resultado de un sistema después de saber la entrada arbitraria y la respuesta al impulso del sistema. PALABRAS
escribir con índices no periódicos de la forma siguiente = [.. . , (−3 (−3), ), (−2 (−2), ), (−1) (−1),, (0) (0) , (1) (1),, (2) (2),, . . . ]
Ambas formas, la periódica y la no periódica se consideran equivalentes y serán usadas para demostrar la convolución circular. 2 CONVOLUCION CIRCULAR
Convolución circular de dos secuencias periodicas () y (). Dada la secuencia periódica () de longitud y dada la secuencia () también periódica y de longitud . La convolución queda representada como f g (n) = f (n) g(n) y matemáticamente, la convolución circular se define como:
CLAVE:
Convolución, discreta, instrumento, respuesta al impulso. 1 INTRODUCCIÓN
Por lo general, en matemáticas una convolución es un operador matemático que transforma dos funciones y en una tercera función que en cierto sentido representa la magnitud en la que se superponen y una versión trasladada e invertida de .
Desarrollando convolución circular:
la
fórmula
de
la
El significado de la convolución varía según las funciones a operar, por ejemplo: la convolución de tiempo discreto también es empleada para multiplicar polinomios. Puede notarse que algunos de los índices en las fórmulas de convolución circular son negativos. Se puede aprovechar la periodicidad de las series de tal forma que:
A continuación, se definirá la convolución circular, sus métodos de resolución y las propiedades. 2 SECUENCIA PERIODICA
Sea
la
secuencia periódica con longitud = 3 tal como se ilustra a continuación (note que en la ecuación hay un origen definido) = [. . . , (0), (1), (2), (0), (1) (1), (2) (2),, . . . ]. Esta secuencia también puede 1
3 METODO DE CONCENTRICOS
LOS
CIRCULOS
completa. La figura 5.2 ilustra el proceso de convolución circular para las secuencias dadas. 4 METODO MATRICIAL
Sean siguientes:
las
secuencias
periódicas
Ilustración 1. Representación del operando f
En una sección pasada se desarrolló la fórmula de la convolución circular para [0, 1, 2] resultando:
Ahora las fórmulas se expresan en forma matricial de la forma siguiente:
Ilustración 2. Acomodo de los dos operandos f y g para la convolucion circular.
Sea
la secuencia = [ (0), (1), (2)] el primer operando de una convolución circular. Éste operando puede representarse con puntos equidistantes sobre un círculo. Los puntos se numeran en el sentido de las manecillas del reloj tal como ilustra la figura 1. Preste atención en donde se coloca el primer elemento de la secuencia. Sea la secuencia = [ (0), (1), (2)] el segundo operando de una convolución circular. Este operando se representa con puntos equidistantes sobre un círculo inscrito en el círculo del operando . Los puntos se numeran en sentido contrario al de las manecillas del reloj y haciendo coincidir el origen de la secuencia con el origen de la secuencia . Ya dispuestos los círculos, se realiza el siguiente algoritmo:
Simplificando la fórmula se tiene que:
En donde:
Se realiza el producto punto de los vectores tal como indican los círculos concéntricos. El círculo interior se gira un paso en sentido de las manecillas del reloj. Se repiten los pasos hasta que el círculo interior ha realizado un vuelta
Obsérvense las columnas de la matriz y nótese que los elementos de la secuencia () se acomodan por columnas que se rotan hacia abajo.
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5 PROPIEDADES DE LA CONVOLUCION CIRCULAR
Distributividad
Homogeneidad
Identidad.
Invarianza temporal
Dada la convolución se tiene que:
Conmutatividad
6 EJEMPLO
Proceso
de
secuencias
convolución
circular
= [ (0) , (1) , (2)] [ (0) , (1) , (2)] .
para
las
=
La figuras ilustran cómo se realiza la convolución circular de la secuencias. Finalmente, la secuencia de convolución es:
7 CONCLUSIONES
3
La convolución circular requiere que las dos secuencias sean de la misma
longitud . Si no fuera así habría que llenar de ceros la secuencia más corta.
La convolución en palabras sencillas no es más que un operador que transforma dos funciones en una tercera función en cierto sentido que representa la magnitud que se superpone entre las dos funciones. La convolución circular opera sobre secuencias periódicas.
BIBLIOGRAFIA:
[1]http://profesores.fib.unam.mx/maixx/Biblioteca/Librero_Telecom/Li bro_ProcDigitSeniales_Ibarra/DSP_Cap_05_Co nvolucion.pdf. Revisado el 16/12/2015
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