SOCIEDAD DE ESTUDIANTES CIENTIFICOS
UNA PROPIEDAD INTERESANTE (Introducci (Introducción ón al Análisis Análisis Combinato Combinatorio) rio)
¿Cuántas personas extranjeras?
desconocen
las
lenguas
En un instituto de investigación científica trabajan 67 personas. De estas, 47 conocen el inglés, 35, el alemán y 23, ambos idiomas. ¿Cuántas personas en el instituto no conocen el inglés ni el alemán? Resolución FORMULA DE INCLUSIONES Y EXCLUSIONES En el ejemplo analizado permite formular una ley general. Supongamos que se tiene N objetos, algunos de los cuales poseen las propiedades , , ,... . Cada objeto puede o bien no poseer 1 2 3 n ninguna de estas propiedades o bien tener una o varias de ellas. Denotemos mediante N(i , j ,...k ) la cantidad de objetos que poseen las propiedades i , j ,...k (y, puede ser, también algunas de las otras propie propiedade dades). s). Si nos hace falta falta subrayar subrayar que se toman sólo los objetos que no poseen cierta propiedad, ésta se escribirá con tilde. Por ejemplo N(12´4 ) denota el número de objetos que poseen las propiedades
4
1
y
2
, pero no poseen la
(la cuestión sobre las demás propiedades queda
sin resolver) El número de objetos objetos que no poseen ninguna ninguna de las propiedades indicadas indicadas se designa, según esta regla, mediante. N(1´2 ´...n´) La ley general consiste en: N(1´2 ´...n´) N N( 1) N( 2 ) .... ... N(n ) N(1 2 ) N(1 3 ).... ... N( 1n ) ... N( n
)
1 n
... N( 1 2 3 ) ... N( n
) ....
2 n1
Introd Introducci ucción ón al Anális Análisis is Combi Combinat natori orio o
... ( 1)n N(12 ...n ) La expresión anterior se llama formula de inclusión y exclusión. Demostración Analicemos “DONDE ESTA EL ERROR” El responsable de de una clase dio dio los siguientes datos sobr sobree los los alum alumno nos: s: “En “En la clas clasee estu estudi dian an 45 escolares, de los cuales cuales 25 son niños. 30 escolares escolares tienen nota de “BUENO” Y “SOBRESALIENTE”, entre ellos, 16 niños. 28 alumnos practican el deporte, habiendo entre ellos 18 niños y 17 escolares que tiene notas de “BUENO” y “SOBRESALIENTE”. 15 niño niñoss tie tiene nenn not notas as de “BUE “BUENO NO”” y “SOBRESALIENTE” y al mismo tiempo practican el deporte”. Al cabo de varios días el alumno fue llamado por el director de la clase (el (el cual, para para el colmo, dictaba matemáticas) quien le dijo que había un error en los datos. Tratemos de descubrir como lo supo. Resolución LA CRIBA DE ERATOSTENES Uno de los problemas más grandes de las matemáticas es la distribución de los números primos entre todos los naturales. A veces, entre dos números primos hay tan solo uno compuesto (por ejemplo, 17 y 19, 29 y 31); a veces, van uno tras otro un millón de números compuestos. Ahora ya los científicos conocen bastante bien cuantos números primos hay entre los “n” primeros números naturales. En esos cálculos resulto de suma utilidad un método que se remonta a ERATOSTENES, sabio de la GREC GRECIA IA ANTI ANTIGU GUA. A. (V (Viv ivió ió sigl sigloo III III a.n a.n.e en Alejandría). Er Erat atós óste tene ness estu estudi dioo los los prob proble lema mass más más vari variad ados os real realiz izóó inve invest stig igac acio ione ness inter interes esan ante tess en las matemáticas, la astronomía y otras ciencias. A
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propósito, esta diversidad le condujo a ser un tanto superficial. Los contemporáneos llamaban a Eratóstenes no sin ironía, entre “EL SEGUNDO EN TODO” (El segundo matemático después de Euclides, el segundo astrónomo después de Hiparco, etc.).
(Se sobreentiende que la suma anterior toma todas las combinaciones posibles de n propiedades tomadas de a k).
En las matemáticas, a Eratóstenes le interesaba precisamente el problema sobre como hallar todos los números primos entre los naturales de 1 a “n”.
N(0)
¿Cuántos números de la primera centena no se dividen por ninguno de los números 2, 3, 5? ¿Del primer millar? CASO PARTICULAR DE LA FORMULA DE INCLUSIONES Y EXCLUSIONES Muchas de las propiedades de las combinaciones se deducen a base de la fórmula de inclusiones y exclusiones. Nos será de utilidad un caso particular de ésta. Supongamos que N(1, 2 ,...k ) de elementos que poseen la propiedad
, ,...k depende no de estas
i j
propiedades, sino solamente de su cantidad, es decir, supongamos que: N(1 ) ... N( n ) , N(12 ) N(1 3 ) ... N( n
1 n
),
N(123 ) N( 134 ) ... N(n
2 n1 n
),
Por esto, en el caso considerado la fórmula de inclusiones y exclusiones adquiere la forma.
N C1nN(1) C 2nN(2) ... ( 1) nC nnN (n)
LA CHICA ESTA APURADA: TIENE UNA CITA Hace un tiempo, en las pantallas de la URSS se exponía una comedia cinematográfica con este nombre. En ella se narraban las tribulaciones de dos veraneantes que se olvidaron los pasaportes en sus casas. Decidieron enviarles los pasaportes por correo. Pero la chica que trabajaba en el correo tenía una cita. Y en su apuro confundió los sobres: el pasaporte de uno quedo en el sobre con la dirección del otro, y el de este último, en el sobre con la dirección del primero. Por suerte no le toco trabajar a la vez 5 cartas, pues entonces no a dos, sino a cinco infelices les habría tocado dormir en los duros bancos del parque del balnearios… A propósito, esto no es del todo cierto, ya que podría haber puesto, casualmente, algunos pasaportes en los sobre necesarios. Calculemos en cuántos casos ella habría hecho una confusión total. Es decir, que ninguno hubiese recibido su pasaporte. Este problema se puede enunciar de la siguiente manera. Se toman todas las permutaciones de los 5 números 1, 2, 3, 4, 5. ¿En cuantas de todas no hay ningún número en su lugar?
Etc. Entonces, la suma N( 1 ) ... N(n ) todos los términos son iguales a un mismo que denotaremos por N(1) .Como hay n sumandos aquí, esta será igual a n.N(1)
C1n .N (1) .De forma totalmente igual se
Bibliografía:
demuestra que: N(12 ) N(1 3 ) ... N( n
De donde N(2 )
) Cn2 .N(2)
1 n
N. Vilenkin, ¿De cuantas formas? URSS 1972 traducido del ruso por Juan José Tolosa. Alex Malpica Manzanilla. Análisis Combinatorio. Editorial Lumbreras 2012.
N(1 2 ) , y, en general, que
N(12 ...k ) .... N( n
... n ) C nk .N(k)
k 1
Introducción al Análisis Combinatorio
Prof.: J. Boris MENDOZA PORTOLATINO RPC: 993074361
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