PROBLEM SECTION BAB I (DERET PANGKAT DAN DERET TAK HINGGA)
1. PROBLEM SECTION 1
NIM
: AL_01_PS1_01
1. In the bouncing ball example above, find the height of the tenth rebound, and the distance traveled by the ball after it touches the ground the tenth time. Compare this distance with the total distance traveled. Terjemahan : Ada sebuah contoh, bola memantul ke atas, tentukan ketinggian ketika melambung di titik kesepuluh, dan jarak tempuh bola setelah menyentuh tanah kesepuluh kalinya. Bandingkan jarak ini dengan total jarak yang ditempuh.
Jawaban :
Jika bola memantulkan ketinggian pantulan sebelumnya, maka ketinggian berturut-turut berada dalam urutan geometri adalah
,,²,….,
dimana = 1, r =
Jadi, setelah kesepuluh kesepuluh kembali terpental, tinggi yang di raih dapat dihitung, sebegai berikut :
− 1 =
10-1
9
=
0,026012294
Hitung jarak yang ditempuh setelah angka ksepuluh ( jumlah dalam istilah sepuluh dalam perkembangan geometris)
1 1 1 +
=1
2
+ ..... +
9
10
10
= 2,947979797541
Jadi total jarak yang di tempuh bola :
− −
=
=3
Jadi dengan membandingkan jarak yang ditempuh setelah kesepuluh jarak total dan setelah terpental hampir sama hasilnya.
NIM : AL_24_PS1_2 2. Derive the formula (1.4) for the sum
−
. Hint: multiply
… || <1; || <1
of the geometri progression
by r and substrac the result from
the geometric series (1.6) converges if and only if sum is given by equation (1.4)
; then slove for
also show that if
Translate indonesia
show that the
… || <1 | | <
Turunkan rumus (1.4) ke dalam penjumlahan sn dari deret geometri
− 1
. petunjuk kalikan sn ke r dan substrak hasil penjumlahan dari sn lalu masukkakan sn
tunjukkan deret geometri (1.6) konvergen jika dan hanya penjumlahan memperoleh persamaan (1.6)
; juga tunjukkaan jika
Answere :
−− − − × 1 1 −− ||<1, →lim || 0 l→im − →lim 1 1 10 1 …
…
…
Jika
-
lalu
Lalu,
− −
Dengan demikian jumlah n mendekati pendekatan jumlah dari seri di konvergen dan konvergen ke jumlah n syarat sebagai Maka jika
|| <1
→∞
.)
, diperoleh jumlah
−
sebagai n, dapat mengatakan bahwa
(jumlah deret tak terbatas adalah batas
NIM
: AL_50_PS1_3
Gunakan persamaan (1.8) untuk menemukan pecahan yang setara dengan pengulangan decimal berikut:
3. 0,55555 =…… Menggunakan persamaan
− − −
0,55555 Maka Jadi,
NIM
4.
−
=
+
dan
+
+
=
+
=
: AL_52_PS1_4
0,818181… 0,818181… 0,81 0,0081 0,000081 … 2 0 : 0,81 102 − = =
=
− −, ,
= = =
NIM
6.
NIM
7.
:AL_32_PS1_6
0,611111
11 Sn0, 5 10,11⁄10 0, 5 90,⁄101 0, 5 0,0,19 0, 5 19 12 19 92 18 18
:AL_33_PS1_7
0,185185 , ,
0,10185 0,10185 a 0,10185
, , 110− − − 0, 1 8510 0, 1 8510 1 1 110− 999 10− 54001 NIM
8.
: 57_PS1_8
0,694444… 0,250,444444… ⋯ ⋯
Dik :
/ / 1/10 Ditanya : S = ? Jawab :
− / −/ // + NIM
: AL_61_PS1_9
9. Use equation (1.8) to find the fractions that are equivalent to the following repeating decimals:
0.857142857142 · · ·
Jawab : = 0,5 + 0,357142 = =
−= ,
NIM
: 31_PS1_10
10.
0.576923076923076923... = 0.5 + 0.076923 + 0.000000076923 + ... 0.076923 + 0.000000076923 + ... Diket.
0.076923 10−
− .−
+
0.576923076923076923... = 0.5 +
NIM
: 32_PS1_11
11. 0,678571428571428571... 0,678571428571428571... = 0,67 + 0,00857142 + 0,00000000857142 + ...
0,00857142 10⁻⁶
1 0857142 0,0110⁻⁶ 857142 10 10 999999 857142 99999900 0,678571428571428571... = 0,67 +
857142 10067 99999900 66999933857142 99999900
NIM
1928
: 33_PS1_12
12. In a water purification process, one-nth of the impurity is removed in the first stage. In each succeding stage. The amount of impurity removed is one-nth of that removed in the preceding stage. Show that if n=2. The water can be made as pure as you like, but that if n= 3 at least onehalf of the impurity will remain no matter how many stages are used. ANSWER Consider the case, when n=2 One half of the impurity is removed in the first stage, and in each successive stage, the amount of impurity removed is one-half the impurity removed in the preceding stage. From this information, the water purification procedure is as follows :
+
+
+..... =
−
= =
− / −/
=1 So, the water purification procedure is completed at one go .i.e 100 percent impurities can be removed. Consider the case, when n=3 One-third of the impurity is removed in the first stage and in each successivestage, one-third of the amount of impurity is removed from that removed in the preceding stage. Based on this information, the water purification procedure is as follows:
+
+
+..... = =
− −
− = =
=
That is, only half of the impurities are removed from the water.
NIM : 34_PS1_13
13.
Jika Anda berinvestasi dolar "bunga 6% ditambah bulanan" jumlah dolar
1.005
setelah n
bulan. Jika Anda berinvestasi $10 pada permulaan setiap bulan selama 10 tahun (120 bulan) berapa banyak Anda akan memiliki pada akhir 10 tahun jawab: bunga 6% bunga bulanan per tahun untuk 120 bulan, maka jumlah
× 0.005
. Jika prinsip berinvestasi adalah $10
1÷0.005 101.005 $18.1939
pada akhir dari sepuluh tahun
NIM
: 35_PS1_14
14. A computer program gives the result 1/6 for the um of the series
∑= 5
. Show that this
series is divergent. Do you see what happened? Warning hint!: always consider whether an answer or your work by hand. Answer :
= 5 ∑
Mempertimbangkan jumlah
∑= 5 ∑= || <1 convergent jika
menunjukkan bahwa
∑= 5
dimana a=1, r = -5 ingat bahwa deret geometri
dan divergent jika
|| >1
adalah divergent.
∑=
adalah
Nyatakan nilai dari r dalam kasus ini :
|| |5| =5 >1 Jadi, NIM
∑= 5
adalah divergent.
: 36_PS1_15
15. Hubungkan titik tengah sisi segitiga sama sisi membentuk 4 lebih kecil segitiga sama sisi. Biarkan segitiga kecil tengahnya kosong, tapi untuk masing-masing Tiga segitiga kecil lainnya, gambar garis yang menghubungkan titik tengah sisi untuk dibuat 4 segitiga kecil. Sekali lagi meninggalkan setiap segitiga kecil segitiga kosong dan menarik garis ke Bagi yang lain menjadi 4 bagian. Temukan rangkaian tak terbatas untuk total area yang dikosongkan Jika proses ini berlanjut tanpa batas waktu. (Saran: Biarkan area yang asli segitiga menjadi 1; maka area segitiga kosong pertama adalah 1/4.) Jumlahkan seri untuk mencari total area dibiarkan kosong Apakah jawaban yang Anda harapkan? Petunjuk: Apa itu "area" dari garis lurus (Komentar: Anda telah membuat fraktal yang disebut Sierpi'nski paking. Fraktal memiliki
properti yang bisa dilihat sebagai pemandangan yang memikat dari sebagian kecil tampilannya sangat mirip aslinya. Jawab Anggaplah segitiga sama sisi memiliki satu daerah satuan. Maka luas segitiga yang diperoleh dengan bergabung pada titik tengah sisi adalah 1/4 satuan. Kemudian daerah segitiga sama sisi yang diperoleh dengan bergabung dan titik sisi segitiga yang lebih kecil adalah 1/4 dari 1/4 persegi satuan. Dengan cara ini tiga segitiga, dan karenanya area yang dibiarkan kosong adalah
. Demikian juga daerah yang kosong berturut-turut
Dengan demikian kita mendapatkan urutan daerah yaitu
, , , , , ,
,
...
.....
seri tak terbatas untuk total area yang dibiarkan kosong adalah total area yang kosong adalah =
,
..........
.......... (istilah tak terbatas)
Ini adalah deret geometris dengan angka pertama, a = dan rasio , r = ,
=
,
.......... (istilah tak terbatas) =
− − 1.
NIM
: 37_PS1_16
16.
Suppose a large number of particles are bouncing back and forth between x = 0 and x = 1, except that at each endpoint some escape. Let r be the fraction reflected each time; then (1−r ) is the fraction escaping. Suppose the particles start at x = 0 heading toward x = 1; eventually all particles will escape. Write an infinite series for the fraction which escape at x = 1 and similarly for the fraction which escape at x = 0. Sum both the series. What is the largest fraction of the particles which can escape at x = 0? (Remember that r must be between 0 and 1.)
Terjemahan :
Misalkan sejumlah besar partikel memantul bolak-balik antara x = 0 dan x = 1, kecuali pada setiap titik akhir pelarian. Misalkan r adalah fraksi yang tercermin setiap kali; maka (1-r) adalah fraksi yang keluar. Misalkan partikel dimulai pada x = 0 menuju x = 1; akhirnya
semua partikel akan luput. Tulis deret tak hingga untuk pecahan yang lolos pada x = 1 dan sama dengan fraksi yang lolos x = 0. Jumlahkan kedua seri. Berapakah fraksi partikel terbesar yang bisa melarikan diri di x = 0? (Ingat bahwa r harus antara 0 dan 1.)
Jawab :
Ketika
1
Ketika
0
maka maksimun Ketika
1 1 11 1 0 1\2 adalah
2. PROBLEM SECTION 2
NIM 1.
: 38_PS2_1
+√ +
5 → → 2 3√ 4 1 5 → 2 3 1 4
+ → ++
NIM
2.
: 39_PS2_2
=
+ √ + +
+ ² lim →lim + + → =
=
+ ² lim + + →
1 5 → 23 1 4 235 1
=
² + lim + + →
NIM
: 40_PS2_3
3.
√ + −
0 =
NIM
: 41_PS2_4
4.
1 1 1 √ || 1 1 →lim|| lim → 1 1 lim→ √ lim→ 1 1 [∴ 0]
Dengan menggunakan metode kalkulus, kita dapatkan :
→ Karena pembilang dan penyebut cenderung L’hospitall :
∞
dengan n, dengan menggunakan aturan
2 2 → → 2 2 2 2 → 2
∞
Oleh karena itu, limit dari urutan harus
Note :
NIM
∞
′ ln
: 42_PS2_5
∞
5. Tentukan limit n→ dari
!
!
Jawaban :
! +! ÷ ! × ! +! . × ! +! + + + + an =
Dan
=
=
= =
=
=
= =
=0
an+1 =
+!
NIM
: 44_PS2_6
6. berdasarkan masalah, carilah limit
^! −−… .…sebyk − − − ... . .− .− ….⋅⋅ .
.
n→∞
.
Aplikasi limit lim
n→∞ !
=
.− .− ….⋅⋅
0 .⋅.⋅. ∞
karena = =
NIM
: 46_PS2_7
7.
Temukan nilai limit jika
Jawab :
→∞
1 (+ ) lim 1 →lim (+) → →lim (+ ) → lim
NIM
8)
: 47_PS2_8
!!² Tentukan limit dari fungsi tersebut Masukan limit n
→∞
!!²
Dengan batas n
→∞
l i→m !!² li→m !!! l i→m −−!!…+! −−… .. l i→m −−…+ =
= =
Selanjutnya sederhanakan
l i→m !!² li→m ... . l i→m . . …+ = =
=
..…
=0
dari dari
. →0 l i→m 0 , ...
dengan batas n mendekati tak hinga.
