Chapitre 5

− → Ω •

∆

→ − • Ω ∆

• A

M 

 − → − ∆ → v (A) = 0

H 

dτ 

• M  • H  ∆

M  A (∆)

•

(S )

− → LA =

A

(R)

 

−−→ → AM  ∧ dm− v (M )

(S )

→ −−→  − − → −−→ − → v (M ) =  − v (A) + Ω ∧ AM  = Ω ∧ AM  • → → → − → − →→ − − → → → • → a ∧( b ∧− c ) = (− a .− c ) b − (− a . b ) − c → − −−→ → −−→ − AM  ∧ dm( Ω ∧ AM ) = • LA =

 

 

(S )

  

−−→2 − → AM  dm Ω −

(S )

−−→ − → −−→ (AM. Ω )AMdm

(S )

−−→  −−→ −−→ • AM  = AH  + HM  − → −−→2 − → AM  dm Ω − • LA =

     −−→ −→ −−→ −−→ (AH. Ω )(AH  + HM )dm   −−→  −→   −−→ −→ −−→ (S )

=

(S )

HM 2 dm

Ω−

(AH. Ω )HMdm

(S )

(S )

J ∆

• J ∆ =

(∆)

 

r2 dm

(S )

r  = H M 

• ∆

M 

∆

S  =  { P i (mi )}i=1...N  N 

m d J  =

2

∆

i i

i=1



[J ∆ ] = M L2 J ∆   kg.m2

 

J ∆

J ∆

J ∆

• • J ∆

G

(S ) G G

∆G G

• J ∆

H  ∆

• d

d

G 

H 

M 



  −−→ −−−→ HM  dm = (HH  + H  M ) dm   −−−→   −−→ HH  dm + 2HH  . H  Mdm +   −−→ −−→ −−→

  J  =   ∆

2



(S )

=

(S )

2



(S )

2







(S )

= md 2 + HH  . 

H  M 2 dm 

(S )



(H  G + GM )dm + J ∆

G

(S )

 

−−→ −−→ H  G⊥HH  −−→  − → GMdm = 0 



 

S 

J ∆  = J ∆  + md2 G

− → → − L A = J ∆ Ω −

 

−−→ − → −−→ (AH. Ω )HMdm

(S )

− • → u • A

(∆)

 − → → L∆  = L A .− u = J ∆ Ω



A =  H  ∆

A

− → → − L A = J ∆ Ω 

∆ M 

H 



M 

− → → − L A = J ∆ . Ω A

• E c (R) =

1− → v 2 (M )dm (S ) 2

 

• M  B → −−→ − − → v (M ) =  − v (B) + Ω ∧ BM  • →

  1 −→ −→ −→ −−→ • E  (R) = v (M )( v (B) + Ω ∧ BM )dm 2 →   −→   −−→ −→  → − 1 − • E  (R) = V  (B). V  (M )dm + Ω . BM  ∧ V  (M )dm 2 → → − − → − → 1 − V  (B). P  + L . Ω E  (R) = c

(S )

c

(S )

c

(S )

B

2

• − → − − → − → 1 → E c (R) = V  (B). P  + L B . Ω 2





1 →2 v (G/R) E C (R) = m− 2 

1 E C (R) = J ∆ Ω2 2



M  dτ 

  • P (R) =   −→

− → → f  v (M ).− v (M )dτ  =

(V   )

=

v

(V   )

 −→

f  v (M )dτ  . v (B) +

v

  −→ −→ −−→ −→ f  (M ).( v (B) + BM  ∧ Ω )dτ    −−→ −→  −→ (BM  ∧ f  v (M ))dτ  . Ω

v

 − →→ − → − → P (R) = F . − v (B) + MB . Ω •  − →→ − → − → P (R) = F . − v (B) + MB . Ω 

 − →→ v (G) P  = F . − 

B



 − → → − v (B) = 0  − → − → P  = MB . Ω =  M∆ Ω − →  − → B MB = 0  − →→ P  = F . − v (B)



 − →− → P  = Γ . Ω 

P int  = 0

dE c (R) =  P ext (R) dt

+

− → u  y

− → N 

θ

− → u  x

− → u  z

− → T 

G I 

− → P 

m

•

α R

→ → → (O, − u  x , − u  y , − u  z )

• G(x,R, 0)

θ

•

t = 0, x = 0 θ = 0 → − → − → → u  x ; N  = N − u  z • T  =  − T −

• − → → Ω =  − θ˙− u  z



→ − − → → → m− a (G) = m − g + T  + N 

 m¨x  00



= mg sin α − T  = N  − mg cos α = 0

− →  − → − → − → − → − →  −→ − → dL → = MG (m− g ) + MG ( N ) + MG ( T  ) = GI  ∧ T  dt − → → 1 − → − 1 → • L = J Gz Ω = mR2 Ω =  − mR2 ˙θ− u  z 2 2 1 → → → ¨ (−R− u  y  ∧ −T − u  x ).− u  z =  − RT  − mR2 θ = 2 ∗

∗



4

 

T,N, ¨ x

θ¨

3



 − → − → → • → v g =  − v (I 2 ) − − v (I 1 ) = 0  − → − • → v (I 1 ) = 0 I 1 −−→ − →  − → − → − → → → ˙ − ˙ − • → v (I 2 ) =  − v (G) + I 2G ∧ Ω = x˙ → u  x  + R− u  y  ∧ (−θ) u  z = (x˙ − Rθ) u  x  = 0 ˙ 0 x˙ − Rθ =

 N    T   x¨   θ¨



T   fN 

=

mg cos α

=

1 mg sin α 3

=

2 g sin α 3

=

2g sin α 3R

f  1 f    tan α 3

α 

• ˙  R θ˙ x =

→ → − − − − → − → → − − → v (I 2) + MI  ( T  + N ). Ω • P nc = ( T  + N ).→ 2

• I 2 •

 − → → − v  (I 2 ) = 0 − → − → − →  − → MI  ( T  + N ) = 0

•

I 

2

dE m =  P nc = 0 ⇔ E m  = cte dt  1 1 1 1  1 3 2 • E C  =  E C  + mvG  = J Gz ˙θ2 + mx˙ 2 = mR2 ˙θ2 + mx˙ 2 = mR2 ˙θ2 2 2 2 4 2 4 G • z (G) • E  p = mgz (G) + cte =  − mgx sin α + cte • 3 E m = mR2 ˙θ2 − mRg sin α = cte 4

•

∗

¨ 2g sin α θ = 3R

• •

T  = f N 

 N    T   x¨   θ¨

=

mg cos α

=

f mg cos α



f  = g sin α 1 − tan α =

2fg cos α R

