CAPITULO II: 2.- PREGUNTAS DE REPASO 1 Sugiera un método para determinar la constante de amortiguamiento de un sistema vibratorio sumamente amortiguado con amortiguamiento viscoso. Utilizando el decremento logarítmico
2. ¿Puede aplicar los resultados de la sección 2.2 en los que la fuerza de restauración no es proporcional al desplazamiento, es decir, donde k no es una constante?
Si, por que se resolverá la ecuación diferencial, que corresponde a toda las condiciones de los coeficientes de la ecuación diferencial diferencial
3. Mencione los parámetros correspondientes a m, c, k y x para un sistema torsional.
:
Momento de inercia del disco
: Par de torsión de restauración por unidad de desplazamiento angular :
Constante de amortiguamiento torsional :
Desplazamiento angular
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CAPITULO 2:
4.
FUNDAMENTOS DE VIBRACIÓN
¿Qué efecto tiene la reducción de la masa en la frecuencia de un sistema?
Se reduce la frecuencia natural 5. ¿Qué efecto tiene la reducción de la rigidez del sistema en el periodo natural? Se incrementa la frecuencia natural 6. ¿Por qué la amplitud de vibración libre se reduce gradualmente en sistemas prácticos? Porque a pesar de que no se le amplie fuerzas excitadoras directamente, existen condiciones que le aportan amortiguamiento, y progresivamente disminuye la amplitud 7. ¿Por qué es importante determinar la frecuencia natural de un sistema vibratorio? Para calcular la ecuación de movimiento, y para tener una nocion general del comportamiento del sistema vibratorio 8. ¿Cuántas constantes arbitrarias debe tener una solución de una ecuación diferencial de segundo orden? ¿Cómo se determinan estas constantes? Tiene 2 constantes que en la ecuación serán las constantes de integración, se calcula de acuerdo a las condiciones iniciales. 9. ¿Puede usarse el método de energía para hallar la ecuación diferencial de movimiento de todos los sistemas de un solo grado de libertad? No , ya que la amortiguación es una forma quitar energía al sistema, por lo tanto en el sistema no se conserva la energía. 10. ¿Qué suposiciones se hacen al determinar la frecuencia natural de un sistema de un solo grado de libertad cuando se utiliza el método de energía? Que no existan amortiguadores 11. ¿La frecuencia de una vibración libre amortiguada es menor o mayor que la frecuencia natural del sistema?
√ √ √ Es menor ya que :
, donde para sus resultados reales
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4.
FUNDAMENTOS DE VIBRACIÓN
¿Qué efecto tiene la reducción de la masa en la frecuencia de un sistema?
Se reduce la frecuencia natural 5. ¿Qué efecto tiene la reducción de la rigidez del sistema en el periodo natural? Se incrementa la frecuencia natural 6. ¿Por qué la amplitud de vibración libre se reduce gradualmente en sistemas prácticos? Porque a pesar de que no se le amplie fuerzas excitadoras directamente, existen condiciones que le aportan amortiguamiento, y progresivamente disminuye la amplitud 7. ¿Por qué es importante determinar la frecuencia natural de un sistema vibratorio? Para calcular la ecuación de movimiento, y para tener una nocion general del comportamiento del sistema vibratorio 8. ¿Cuántas constantes arbitrarias debe tener una solución de una ecuación diferencial de segundo orden? ¿Cómo se determinan estas constantes? Tiene 2 constantes que en la ecuación serán las constantes de integración, se calcula de acuerdo a las condiciones iniciales. 9. ¿Puede usarse el método de energía para hallar la ecuación diferencial de movimiento de todos los sistemas de un solo grado de libertad? No , ya que la amortiguación es una forma quitar energía al sistema, por lo tanto en el sistema no se conserva la energía. 10. ¿Qué suposiciones se hacen al determinar la frecuencia natural de un sistema de un solo grado de libertad cuando se utiliza el método de energía? Que no existan amortiguadores 11. ¿La frecuencia de una vibración libre amortiguada es menor o mayor que la frecuencia natural del sistema?
√ √ √ Es menor ya que :
, donde para sus resultados reales
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FUNDAMENTOS DE VIBRACIÓN
12. ¿Cuál es el uso del decremento logarítmico? Sirve para hallar la constante de amortiguación 13. ¿Es el amortiguamiento histerético una función del esfuerzo máximo? Si, ya que:
14. ¿Qué es el amortiguamiento crítico, y cuál es su importancia? Es cuando se cumple que:
15. ¿Qué le sucede a la energía disipada por el amortiguamiento? Se disipa de diferentes formas: sonido, calor, etc 16. ¿Qué es el amortiguamiento viscosos equivalente? ¿Es el factor de amortiguamiento viscoso equivalente una constante? Es el resultado de reemplazar muchos amortiguadores amortiguadores influyentes en un sistema vibratorio, con uno solo, el efecto producido hacia al sistema vibratorio debe ser el mismo. 17. ¿Cuál es la razón de estudiar la vibración de un sistema de un solo grado de libertad? Poder facilitar el entendimiento de un sistema de varios grados de libertad, para así entender el análisis estructural.
18. ¿Cómo puede determinar la frecuencia natural de un sistema midiendo su deflexión estática?
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CAPITULO 2:
FUNDAMENTOS DE VIBRACIÓN
19. Dé dos aplicaciones prácticas de un péndulo torsional. Reloj de péndulo torsional 20. Defina estos términos: relación de amortiguamiento, decremento logarítmico, coeficiente de pérdida y capacidad de amortiguamiento específico. Relación de amortiguamiento: es el coeficiente entre:
Decremento logarítmico: Representa a la velocidad a la cual se reduce la amplitud de una vibración libre amortiguada Coeficiente de pérdida: es igual al coeficiente de amortiguamiento Capacidad de amortiguamiento específico: 21. ¿En qué formas es la respuesta de un sistema con amortiguamiento de Coulomb diferente de los sistemas con otros tipos de amortiguamiento? 1. La ecuación de movimiento es no lineal con amortiguamiento de coulomb, mientras que es lineal con amortiguamiento viscoso. 2. Si se agrega amortiguamiento de coulomb la frecuencia natural no varía, mientras que en uno viscoso se reduce. 3. el movimiento es periódico con amortiguamiento de coulomb, mientas que en el viscoso, puede ser no periódico 22. ¿Qué es la rigidez compleja? Cuando la reacción entre la fuerza y la deformación no es lineal. 23. Defina la constante de amortiguamiento de histéresis.
, donde c: es la constante de amortiguamiento, h: constante de amortiguamiento histérico y w: frecuencia
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FUNDAMENTOS DE VIBRACIÓN
24. Dé tres aplicaciones prácticas del concepto de centro de percusión. En un automóvil, cuando un bache sacude la llante delantera, no existe reacción en la llanta trasera. En un bate de béisbol, cuando la pelota golpea al bate, no habrá reacion sobre el cuerpo que sujeta el bate.
25. ¿Cuál es el orden de la ecuación de movimiento dada por
Segundo orden, ya que:
̇
26. Defina la constante de tiempo.
27. ¿Qué es una gráfica del lugar geométrico de las raíces? Es un plano con uno de los ejes en la escala de los reales, y el otro con los números complejos 28. ¿Cuál es la importancia de
En que es un sistema no amortiguado 29. ¿Qué es un sistema invariable con el tiempo? Es un sistema en el que no hay variación de las condiciones de los elementos del sistema vibratorio.
2.2 Indique si cada uno de los siguientes enunciados es verdadero o falso:
1. La amplitud de un sistema no amortiguado no cambiará con el tiempo. VERDADERO
1. Un sistema vibratorio en aire se puede considerar un sistema amortiguado. VERDADERO
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3. La ecuación de movimiento de un sistema de un solo grado de libertad permanecerá sin cambio ya sea que la masa se mueva en un plano horizontal o en un plano inclinado. VERDADERO
4. Cuando una masa vibra en una dirección vertical, su peso siempre puede ser ignorado al obtener la ecuación de movimiento. VERDADERO 5. El principio de conservación de la energía se puede usar para derivar la ecuación de movimiento de sistemas amortiguados y no amortiguados. FALSO 6. En algunos casos la frecuencia amortiguada puede ser mayor que la frecuencia natural no amortiguada del sistema. FALSO
7. La frecuencia natural puede ser cero en algunos casos. FALSO
8. La frecuencia natural de vibración de un sistema torsional está dada por
, donde y
indican la constante de resorte torsional y el momento polar
de inercia de masa, respectivamente. VERDADERO
9. El método de Rayleigh está basado en el principio de conservación de la energía. VERDADERO
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CAPITULO 2:
FUNDAMENTOS DE VIBRACIÓN
10. La posición final de la masa siempre es la posición de equilibrio en el caso de amortiguamiento de Coulomb. VERDADERO
11. La frecuencia natural no amortiguada de un sistema resulta de donde
es la deflexión estática de la masa.
VERDADERO
12. Para un sistema no amortiguado, la velocidad adelanta al desplazamiento en . VERDADERO
13. Para un sistema no amortiguado la velocidad adelanta a la aceleración en . FALSO
14. El amortiguamiento de Coulomb se conoce como amortiguamiento constante. VERDADERO
15. El coeficiente de pérdida indica la energía disipada por radián por energía de deformación unitaria. VERDADERO
16. El movimiento disminuye a cero en casos de subamortiguado y sobreamortiguado. VERDADERO
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FUNDAMENTOS DE VIBRACIÓN
17. El decremento logarítmico se puede utilizar para determinar la relación de amortiguamiento. VERDADERO
18. El lazo de histéresis de la curva-esfuerzo-deformación de un material provoca amortiguamiento. VERDADERO
19. La rigidez compleja se puede utilizar para determinar la fuerza de amortiguamiento en un sistema con amortiguamiento de histéresis. VERDADERO
20. El movimiento en el caso de amortiguamiento de histéresis se puede considerar armónico. VERDADERO
21. En el plano s, el lugar geométrico correspondiente a la frecuencia natural constante será un círculo. VERDADERO
22. La ecuación característica de un sistema de un solo grado de libertad puede tener una raíz real y una raíz compleja. VERDADERO
2.3 Llene los espacios en blanco con las palabras correctas:
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FUNDAMENTOS DE VIBRACIÓN
1. La vibración libre de un sistema no amortiguado representa un intercambio de energías de CINETICA y POTENCIAL 2. Un sistema sometido a movimiento armónico simple se conoce como oscilador ARMONICO
3. El reloj mecánico representa un péndulo SIMPLE
4. El centro de PERCUCION se puede utilizar ventajosamente en un bate de béisbol.
5. Con amortiguamiento viscoso y de histéresis, en teoría el movimiento OSCILA por siempre.
6. La fuerza de amortiguamiento en amortiguamiento de Coulomb está dada por
7. El coeficiente de AMORTIGUAMIENTO se puede utilizar para comparar la capacidad de amortiguamiento de diferentes materiales de ingeniería.
8. Ocurre vibración torsional cuando un cuerpo TORSIONAL oscila alrededor de un eje.
9. La propiedad de amortiguamiento de AMPLITUD se utiliza en muchas aplicaciones prácticas, como en cañones grandes.
10. El decremento logarítmico determina la velocidad a la cual la AMPLITUD de una vibración libre amortiguada disminuye.
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FUNDAMENTOS DE VIBRACIÓN
11. El método de Rayleigh se puede utilizar para determinar la frecuencia NATURAL de un sistema de forma directa.
12. Dos desplazamientos sucesivos del sistema, separados por un ciclo, se pueden utilizar para determinar el decremento LOGARITMICO
√
13. La frecuencia natural amortiguada ( la frecuencia natural no amortiguada (
) se puede expresar en función de
) como
14. La constante de tiempo indica el tiempo en el cual la respuesta inicial se reduce en un36.8 % por ciento.
15. El término disminuye MAS RAPIDO que el término el tiempo se incrementa.
a medida que
16. En el plano s, las líneas paralelas al eje real indican sistemas de frecuencias NATURALES diferentes.
2.4 Seleccione la respuesta más apropiada de entre las opciones múltiples dadas:
1. La frecuencia natural de un sistema con masa m y rigidez k es: a.
b.
c.
2. En amortiguamiento de Coulomb, la amplitud de movimiento se reduce en cada ciclo en: a.
b.
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c.
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CAPITULO 2:
FUNDAMENTOS DE VIBRACIÓN
̇
3. La amplitud de un sistema no amortiguado sujeto a un desplazamiento inicial de cero y velocidad inicial está dada por:
̇
b.
̇
c.
̇
4. El efecto de la masa del resorte se puede tener en cuenta agregando la siguiente fracción de su masa a la masa vibratoria:
b.
c.
5. Para un amortiguador viscoso con constante de amortiguamiento c, la fuerza de amortiguamiento es: a.
̇
b.
c.
̈
6. El deslizamiento relativo de los componentes en un sistema mecánico ocasiona: a. amortiguamiento de fricción seca b. amortiguamiento viscoso c. amortiguamiento de histerises.
7. En vibración torsional, el desplazamiento se mide en función de: a. coordenada lineal
b. coordenada angular
c. coordenada de fuerza
8. La relación de amortiguamiento, en función de la constante de amortiguamiento c y la constante de amortiguamiento crítico es: a.
b.
c.
9. La amplitud de un sistema subamortiguado sujeto a un desplazamiento inicial y una velocidad inicial 0 está dada por:
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10. El ángulo de fase de un sistema subamortiguado sujeto a un desplazamiento inicial x0 y a una velocidad inicial 0 está dado por: a.
b.
c. 0
11. La energía disipada debida a amortiguamiento viscoso es proporcional a la siguiente potencia de la amplitud de movimiento: a. 1
b. 2
c. 3
12. Para un sistema críticamente amortiguado, el movimiento será: a. periódico
b. aperiódico
c. armónico
13. La energía disipada por ciclo en amortiguamiento viscoso con constante de amortiguamiento c durante el movimiento armónico simple está dada por:
14. Para un sistema vibratorio con una energía total W y una energía disipada por ciclo DW, la capacidad de amortiguamiento específica es:
15. Si las raíces características tienen valores positivos, la respuesta del sistema será:
a. estable
b. inestable
c. asintóticamente estable
16. La frecuencia de oscilación de la respuesta de un sistema será más alt a si la parte imaginaria de las raíces es:
a. menor
b. cero
c. mayor
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CAPITULO 2:
FUNDAMENTOS DE VIBRACIÓN
17. Si las raíces características tienen una parte imaginaria cero, la respuesta del sistema será:
a. oscilatoria
b. no oscilatoria
c. estable
18. La forma del lugar geométrico de las raíces de un sistema de un solo grado de libertad para 0 #z# 1 es:
a) circular
b. línea horizontal
c. línea radial
19. La forma del lugar geométrico de las raíces de un sistema de un solo grado de libertad a medida que k varía es:
a. líneas verticales y horizontales b. arco circular
c. líneas radiales
2.5 Correlacione lo siguiente para un sistema de un solo grado de libertad con m=1, k = 2 y c = 0.5:
1. Frecuencia natural, vn 2. Frecuencia lineal, fn
(g)
a. 1.3919
(d)
b. 2.8284
3. Periodo de tiempo natural, tn 4. Frecuencia amortiguada, vd
(f) (a)
d. 0.2251
5. Constante de amortiguamiento crítico, cc 6. Relación de amortiguamiento, z 7. Decremento logarítmico, d
c. 2.2571
(c)
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(e)
(b)
e. 0.1768 f. 4.4429 g. 1.4142
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CAPITULO 2:
FUNDAMENTOS DE VIBRACIÓN
2.6 Correlacione lo siguiente para masa m=5kg, que se mueve a una velocidad v= 10m/s.
Fuerza de Amortiguamiento
Tipo de amortiguamiento
1. 20 N (c)
a. Amortiguamiento de Coulomb con coeficiente de fricción de 0.3
2. 1.5 N (a)
b. Amortiguamiento viscoso con un coeficiente de amortiguamiento de 1 N-s/m
3. 30 N
(d)
c. Amortiguamiento viscoso con un coeficiente de Amortiguamiento de 2 N-s/m
4. 25 N
(e)
d. Amortiguamiento viscoso con coeficiente de amortiguamiento
histéretico de 12 N/m a una
frecuencia de 4 rad/s] 5. 10 N
(b)
e. Amortiguamiento cuadrático (fuerza 5 av2) con constante de amortiguamiento a 5 0.25 N-s2/m2
2.7 correlacione las siguientes características del plano s Lugar geométrico Importancia 1. Círculos concéntricos
(d)
a. Valores diferentes de frecuencia natural
2. Líneas paralelas al eje real (a)
amortiguada
b. Valores diferentes de recíprocos de constante de tiempo
3. Líneas paralelas al eje imaginario (b)
c. Valores diferentes de relación de amortiguamiento
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CAPITULO 2:
4. Líneas radiales a través del origen (c)
FUNDAMENTOS DE VIBRACIÓN
d. Valores diferentes de frecuencia natural
EJERCICIO N° 2.4: Cuando el extremo de un resorte helicoidal se fija y otro se carga, se requiere una fuerza de 100 N para alargarlo 10 mm. Los extremos del resorte ahora están rígidamente fijos, un extremo verticalmente sobre el otro, y a la mitad de su longitud se fija una masa de 10 kg. Determine el tiempo requerido para completar un ciclo de vibración cuando se hace que la masa vibre en la dirección vertical.
*los resortes tienen la misma deformaciom se considera paralelo
EJERCICIO N° 2.15: Un bloque rígido de masa M está montado sobre cuatro soportes elásticos, como se muestra en la figura. Una masa m cae desde una altura l y se adhiere al bloque rígido sin rebotar. Si la constante de resorte de cada soporte elástico es k, determine la frecuencia natural de vibración del sistema (a) sin la masa m, y (b) con la masa m. También determine el movimiento resultante del sistema en el caso (b).
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CAPITULO 2:
FUNDAMENTOS DE VIBRACIÓN
( ̇) ̇ ̇ ̇ ̇ ̇
EJERCICIO N° 2.24: en la figura muestra una pequeña masa m sujetada por cuatro resortes elásticos linealmente, cada uno de los cuales tiene una longitud no alargada l y un ángulo de orientación de 45º con respecto al eje x. Determine la ecuación de movimiento correspondiente a pequeños desplazamientos de la masa en la dirección x.
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CAPITULO 2:
FUNDAMENTOS DE VIBRACIÓN
∑∑ ̈
EJERCICIO N° 2.32: El manómetro inclinado que se muestra en la figura se utiliza para medir presión. Si la longitud total del mercurio en el tubo es L, encuentre una expresión para la frecuencia natural de oscilación del mercurio.
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CAPITULO 2:
FUNDAMENTOS DE VIBRACIÓN
̈ ∑ ̈ ̈ ̈
EJERCICIO N° 2.33:El embalaje de 250 kg de masa que cuelga de un helicóptero se puede modelar como se muestra en la figura Las aspas del rotor del helicóptero giran a 300 rpm. Encuentre el diámetro de los cables de acero de modo que la frecuencia natural de vibración del embalaje sea al menos dos veces la frecuencia de las aspas del rotor.
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CAPITULO 2:
FUNDAMENTOS DE VIBRACIÓN
EJERCICIO N° 2.47: Derive la ecuación de movimiento aplicando el principio de conservación de la energía para cada uno de los sistemas que se muestran en las figuras
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CAPITULO 2: ENEERGIA CINETICA
̇ ̇
FUNDAMENTOS DE VIBRACIÓN
ENERGIA POTENCIAL
̇ ̇ ̇ ̈ ̇ ̈ ̇ ̇ ̇( ̈ ) ̇ ̈ [ ̈ ] ̇ ̈ ̈ EJERCICIO N° 2.56: Un resorte helicoidal, hecho de alambre musical de diámetro d, tiene un diámetro de espira medio espiras (vueltas) activas. Su frecuencia de vibración y su tasa k es de Determine el diámetro d del alambre y la cantidad de espiras N, suponiendo que el módulo de cortante G es de y la densidad de peso r es de La tasa de resorte y la frecuencia están dadas por
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CAPITULO 2:
FUNDAMENTOS DE VIBRACIÓN
⁄
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CAPITULO 2:
FUNDAMENTOS DE VIBRACIÓN
EJERCICIO N° 2.69: Se quita una de las aspas de un ventilador eléctrico (como se muestra mediante líneas punteadas en la figura 2.93. La flecha de acero, sobre la cual están montadas las aspas, equivale a una flecha uniforme de 1 pulg de diámetro y 6 pulg de largo. Cada aspa se puede modelar como una varilla delgada uniforme de 2 lb de peso y 12 pulg de largo. Determine la frecuencia de vibración de las tres aspas restantes con
respecto al eje y.
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CAPITULO 2:
FUNDAMENTOS DE VIBRACIÓN
⁄ EJERCICION°2.74: Un cilindro de masa m y momento de inercia de masa J0 rueda libremente sin deslizarse pero está restringido por dos resortes de rigideces k1 y k2, como se muestra en la figura. Encuentre su frecuencia natural de vibración, así como el valor de a que maximiza la frecuencia natural de vibración.
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CAPITULO 2:
FUNDAMENTOS DE VIBRACIÓN
̈ ̈ ̈ ̈
EJERCICION°2.77: Un disco circular uniforme gira alrededor del punto O, como se muestra en la figura . Encuentre la frecuencia natural del sistema, así como su frecuencia máxima al variar el valor de b.
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CAPITULO 2:
FUNDAMENTOS DE VIBRACIÓN
EJERCICION°2.81: Una masa m1 se fija en un extremo de una barra uniforme de masa cuyo otro extremo gira alrededor del punto O como se muestra en la figura. Determine la frecuencia natural de vibración del péndulo resultante para pequeños desplazamientos angulares.
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CAPITULO 2:
FUNDAMENTOS DE VIBRACIÓN
∑ ̈ ̈ ̈ ̈ INGENIERIA CIVIL
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CAPITULO 2:
FUNDAMENTOS DE VIBRACIÓN
EJERCICION°2.85: La ecuación de movimiento de un cohete, de masa m, que se eleva verticalmente bajo un empuje F y resistencia o arrastre del aire D es
̇ ̇ ̇ ̇ ∫ ∫ ∫ INGENIERIA CIVIL
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CAPITULO 2:
FUNDAMENTOS DE VIBRACIÓN
[] []
EJERCICION°2.99: Suponiendo que el ángulo de fase es cero, demuestre que la respuesta x(t) de un sistema de un solo grado de libertad subamortiguado alcanza un valor máximo cuando y un valor mínimo cuando
Demuestre también que las ecuaciones de las curvas que pasan por los valores máximo y mínimo de x(t) son, respectivamente
[ ] INGENIERIA CIVIL
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CAPITULO 2:
FUNDAMENTOS DE VIBRACIÓN
EJERCICION°2.119: El sistema que se muestra en la figura tiene una frecuencia natural de 5 Hz con los siguientes datos: m 5 10 kg, J0 5 5 kg-m2, r1 5 10 cm, r2 5 25 cm. Cuando el sistema experimenta un desplazamiento inicial, la amplitud de vibración libre se reduce en 80 por ciento en 10 ciclos. Determine los valores de k y c.
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FUNDAMENTOS DE VIBRACIÓN
∑ ̈ ∑ ̈ ̈ ( ̇) ̈ ̈ ̈ ( ̇ )̈ ( )̈ ̇ ̈ ̇ ̈ ̇ () ⁄ ⁄ √ √ √
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CAPITULO 2:
FUNDAMENTOS DE VIBRACIÓN
⁄
EJERCICION°2.149: La masa del sistema de resorte-masa vibra sobre una superficie inclinada a 30º con respeto a la horizontal como se muestra en la figura a. Derive la ecuación de movimiento. b. Encuentre la respuesta del sistema con los datos siguientes:
̇
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CAPITULO 2:
FUNDAMENTOS DE VIBRACIÓN
̈ ̈ ̇ ̇ ̈ ̈ ̇ ̈ ̇ ̈ ̇ ̇ ̇ ⁄ ̈ ̈ Cuando x=+ y
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