Tercera Edición
CAPÍTULO
5
RESISTENCIA DE MATERIALES Resistencia de Materiales Autor: Víctor Vidal Barrena Universidad Ricardo Palma
E d e r i c c e i ó r n a
RESISTENCIA DE MATERIALES
Víctor Vidal Barrena
Deformaciones Transversales 5.1 RELACIÓN DE POISSON.
Siempre que un cuerpo se le somete a la acción de una fuerza, se deformará en la dirección de la fuerza aplicada y se producirán también deformaciones laterales. La figura 5.1 muestra la deformación total de un cuerpo durante la carga y que la carga P está dirigida a lo largo del eje X. Se tiene que:
P y z 0 A donde A es la sección tr ansversal de la barra. barra.
x
y por p or la Ley de Hooke
Fig. 5.1 Deformación transversal de una barra
x
x E
y
z 0
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RESISTENCIA DE MATERIALES
Víctor Vidal Barrena
Deformaciones Transversales 5.1 RELACIÓN DE POISSON.
La deformación lateral tiene una relación constante con la deformación transversal (axial, a esta constante se le denomina el
Módulo de Poisson (µ)
Deformació n lateral Deformació n axial
y x
z x
(5.1)
Para la mayoría de los materiales: 0.25 ≤ µ ≤ 0.35 Se ha asumido que el material es homogéneo e isotrópico. 1.
Homogéneo: Las diferentes propiedades mecánicas son independientes del punto seleccionado.
Fig. 5.1 Deformación transversal de una barra
2.
Isotrópico: que sus propiedades son iguales en cualquier dirección.
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Deformaciones Transversales Del capítulo, utilizamos la ecuación (2.2):
x
x
E
(1)
y
z 0
De la ecuación (5.1):
x z x y
Fig. 5.2 Deformación de una barra.
( 2) (3)
Igualando (2) y (3) se obtiene que: εy = εz
Sustituyendo (1) en (2) y (3) se obtiene: y
z
x
E x
E
(5.3)
El signo negativo se usa aquí, ya que un alargamiento longitudinal (deformación unitaria positiva) ocasiona una contracción lateral (deformación unitaria negativa).
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Deformaciones Transversales 5.2 ESTADOS DE DEFORMACIÓN BIAXIAL Y TRIAXIAL.
Se considerarán ahora elementos estructurales sometidos a fuerzas que actúan en las direcciones de los tres ejes coordenados produciendo los esfuerzos x, σy y z; todos diferentes de cero. Esta condición se denomina carga multiaxial.
x
y
z
x
E x
E x E
y
E y
z
E z E E y z E E
Fig. 5.3 Deformación multiaxial.
(5.4)
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Deformaciones Transversales 5.3 DILATACIÓN. MÓDULO DE COMPRESIBILIDAD. En su estado no esforzado es un cubo de volumen unitario, y
z se transforma en un bajo los esfuerzos x, σy y paralelepípedo rectangular de volumen: v=1+
εx + εy + εz
(5.5)
Llamando e el cambio de volumen del elemento, se escribe: e = v – 1 =1 + εx + εy + εz – 1
e = εx + εy + εz
(5.6)
Sustituyendo εx + εy + εz de las ecuaciones (5.4) en la
ecuación (5.6),
Fig. 5.3 Deformación multi axial.
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Deformaciones Transversales 5.3 DILATACIÓN. MÓDULO DE COMPRESIBILIDAD. Como el elemento tenía un volumen original unitario, la cantidad e representa el cambio de volumen y se le llama dilatación del material.
e 1 1 x 1 y 1 z
y z 1 2 x y z e
1 1 x y z
e x
E
(5.7)
Para un cuerpo sometido a presión hidrostática uniforme p.,
31 2 p E k E módulo de compresibilidad 31 2
e p k
Fig. 5.3 Deformación multi axial.
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RESISTENCIA DE MATERIALES PROBLEMAS
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Problema Nº 5.1: Una barra de 500mm de longitud y 16mm de diámetro, hecha de un material homogéneo e isotrópico, se alarga 300 m y su diámetro decrece en 2.4m al ser sometida a una fuerza axial de 12 kN. Halle el módulo de elasticidad y la relación de Poisson del material.
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RESISTENCIA DE MATERIALES Problema Nº 5.1: Solución a) Transformando medidas
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L 500mm 500 x10 m 3
300 m 300 x106 m y 2.4 m 2.4 x106 m x
d 16mm 16 x10 m 3
b) Hallamos el área de la sección transversal de la barra
A r
2
8 x10
3
m
2
201.06 x106 m2
b.1) Hallamos el esfuerzo en el eje x
P 12 x10 3 N x A 201.06 x10 6 m 2 x 59.68 MPa
59.68 x10 6 m 2
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RESISTENCIA DE MATERIALES Problema Nº 5.1: Solución.
De la ecuación 5.1 hallamos la relación de Poisson del material.
c) Hallamos las deformaciones en los ejes x, y
x y
x L y L y
6
300 x10 m 3
600 x10
500 x10 m y 2.4 x106 m d
3
16 x10 m
E x E
59 .68 x10 6 E 600 x10 6 E 99.46GPa
6
150 x10
Aplicamos la Ley de Hooke para hallar la elasticidad
x
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x x
99.46 x10 9
6
y x
150 x10
600 x10
6
6
0.25m
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Problema 5.2: Una barra de acero A – 36 tiene las dimensiones mostradas en la figura 5.1. Si se aplica una fuerza axial P = 100 kN a la barra, determinar el cambio en su longitud y el cambio en las dimensiones de su sección transversal después de aplicada la carga. El material se comporta elásticamente. Considere E ac= 200 Gpa, = 0.32.
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Problema 5.2: Solución.
Deformación Longitudinal de la barra Utilizamos la ecuación 5.4
x
P x L x ...(1) A x E
Reemplazamos valores en (1)
P x 100 103 N
A x
100mm 50mm
E 200 x10 9
N m
2
x
1m 2 6
10 mm
2
L x
1.5m
150 µm
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Problema 5.2: Deformación transversal de la barra: b1) Eje Y: Utilizamos la ecuación 5.5:
y
P x L y v ...( 2) A x E
Reemplazamos valores en (2)
P x 100 103 N
A x
100mm 50mm
E 200 x10
9
N m
2
u
0.32
L y 0.5m
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Problema 5.2: 100 x103 N 0.05m Y 0.32 2 N 1 m 50 mm x 100 mm 200 x109 x 2 6
10 mm 2
m
b2) Eje Z: Utilizamos la ecuación 5.6:
1.6 µm
Z
Px v Ax
Lz ...(3) E
Reemplazamos valores en (3)
P x 100 103 N
E z
A x
100mm 50mm
200 x10
9
N m
2
u
0.10m
0.32
100 x 10 3 N 0.10 m 0 . 32 2 9 2 50 100 200 10 1 x mm x N m x m2
L z
10 6 mm 2
3.2 µm
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Problema 5.3: Una barra de plástico acrílico mostrado en la figura 5.3, tiene una longitud de 200mm y un diámetro de 15mm. Si se le aplica una carga axial de 300 N, determine el cambio en su longitud y en su diámetro. Considere Ep = 2.70 Gpa, = 0.4
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Problema 5.3: Solución
x
F x A x
300 Nt
x d 1 L y E
15 d 2
2
/ 4mm
x E
2
1.69MPa
Lz
x x Tracción: L x EA x E 1.69 MP a Luego: d d x 0.125mm x 2.70GP 200 mm 0.125mm à 1.69 MPa d z d y 0.4 15mm d z d y 0.0375mm 2.70GPa
P x L x
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Problema 5.4. Un bloque cilíndrico corto de aluminio , mostrado en la figura, que tiene inicialmente un diámetro de y una longitud de , se sitúa entre las mordazas lisas de un tornillo de banco y se comprime hasta que la carga axial aplicada sea . Determine la disminución en su longitud y su nuevo diámetro. Considere el modulo de elasticidad del aluminio de y la relación de Poisson .
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Problema 5.4: Solución a)Deformación Longitudinal:
x
( P x )( L x ) ( Ex )( A x )
( 4 x10 3 N )(50 x10 3 m ) x 3 2 9 N 2 (75 x10 )( 15 x 10 ) x m m2 4 x 1.509 z 10 5 m
b) Deformación Transversal
y x
Entonces:
x x
x
L x
z
....(1)
x
1.509 x10 5 m 50 x10 3 m
3.018 x10
4
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Problema 5.4: Solución Reemplazando en (1) u=0.3
Para y: Dato:
y
LY
y
L y
y x
y
3.018 x10 4 x 0.3
y
0.9054 x10 4
....( 2)
L Z Dcilindro 15 x10 3
Reemplazando en (2): 0.9054 x10
4
y
15 x10 3 y 1.36 x10 6 m
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Problema 5.5. Un eje macizo mostrado en la figura 5.9, de 80mm de diámetro se introduce concéntricamente dentro de un tubo de acero. Determinar el diámetro interior del tubo de manera que no exista presión de contacto entre el eje y el tubo, aunque el aluminio soporte una fuerza axial de 400KN .considerar para el aluminio=70GPa, u=1/3
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Problema 5.5: Solución Datos:
D0 80 mm
P 400 KN
E 70GPa
u 1 / 3
a) Cálculo del esfuerzo producido y la deformación unitaria longitudinal:
P A
400 KN
4
2
(80) mm
2
400 x103 N
2
2
m
2
(80) mm ( 6 ) 2 4 10 mm
4 x 400x109 N 2 2 x 80 m
79.57 MPa
Hall ando la longitud : longitud
E
longitud
longitud
1.136 x103 mm / mm
E
79.57 MPa 70 GPa
79.57 x109 70 x106
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Problema 5.5: Solución b) Hallando el diámetro interior del tubo de acero:
u
lateral longitudinal
u x longitudinal
lateral u x longitudinal ; lateral lateral D0
lateral D0
; lateral u x longitudinal x D0
Re emplazando valores : 1
3
lateral x (1.136 x10 ) x80mm 0.03029mm 3 D f D0 lateral 80mm 0.03029mm 80.03029mm
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Problema 5.6. Una barra de aluminio mostrado en la figura 5.2, tiene un diámetro do = 25mm y una longitud calibrada Lo = 250mm. Si una fuerza de 165 kN alarga la longitud calibrada 1.20mm, determine el módulo de elasticidad y cuanto se reduce el diámetro debido a esta fuerza. Considere Gal = 26 Gpa y σy = 440 MPa.
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Problema 5.6: SOLUCIÓN
Se hace uso de la ecuación : E
185 103 Nx250mm 1.2mm (
4
2
•
G
28GPa
2
x 25 mm )
E 78.5GPa : b. H allando la reducción de diámetro
Hallando γ :
P x L x EA x
x
•
y
L y
106 mm2 1m 2
P x L y y z ( ) L x E
E 2( 1)
78.5GPa 2( 1)
1.43x103
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Problema 5.6: SOLUCIÓN Reemplazando datos hallamos δy:
185kN 35mm ) y z 1.43 x10 ( 350mm 56.08GPa 3
y z 0.47 nm 2
La reducción del diámetro es::
y
L y
0.47 x10 9 m 2 35 x10 3 m
1.34 x10 8 m
