UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE INGENIERÍA APLICADA
Curso: Vibraciones Mecánicas (MC 571)
Periodo Académico 2015-I
CAPÍTULO 5: SISTEMAS CON VARIOS GRADOS DE LIBERTAD Modelo de dos grados de libertad (Resolución matricial) Sean x1(t) y x2(t) los desplazamientos lineales del sistema mostrado en la figura 1 (o angulares de ser el caso de un sistema vibratorio giratorio).
Figura 1. Fundamental sistema vibratorio de dos grados de libertad Las matrices asociadas al sistema son:
;
;
Y si la vibración es forzada, la matriz asociada a las fuerzas es:
.
Así, la dinámica de este sistema de dos grados de libertad será de la forma:
Siendo:
M = Matriz de masa. C = Matriz de amortiguamiento. K = Matriz de rigidez. F = Matriz de excitación.
Con el propósito de determinar las ecuaciones de movimiento de cada masa, trabajando con sus diagramas de cuerpo libre se tiene:
Figura 2. DCL de la masa m1 Profesor: Ing. Martín Casado Márquez
Lima, 03/06/15
Ecuación de movimiento:
(1)
⇒
Figura 3. DCL de la masa m2
(2)
⇒
En forma matricial, las ecuaciones (1) y (2) quedan expresadas del siguiente modo:
!
!
"
#
"
#
APLICACIÓN: Vibración de una fresadora en un cimiento elástico
Fig. 3. Fresadora
Profesor: Ing. Martín Casado Márquez
Fig. 4. Modelo vibratorio de los movimientos verticales de la fresadora. Lima, 03/06/15
Las ecuaciones diferenciales de movimiento del sistema, presentadas en forma matricial, son:
$0 0
0 $
0 0 &' (
0 0
$
0
0
0 &' (
'
0 0
&' ( (
Fig. 5. DCL’s de cada masa del sistema vibratorio.
APLICACIÓN: Motociclista en marcha
Fig. 6. Elementos de una marcha en motocicleta
Fig. 7. Motocicleta modelada como sistema vibratorio Profesor: Ing. Martín Casado Márquez
Lima, 03/06/15
CASO: El péndulo doble (en oscilaciones pequeñas)
Figura 8 Conforme a los diagramas de cuerpo libre de los péndulos A y B, tomando momentos en sus respectivos pivotes, se tiene:
∑
*
+* ,
- , -
⇒
.
- ,
- , -
Figura 9
∑
0
+0 ,
⇒
Ordenando se tiene:
/-,
+* ,
(3)
Figura 10 .
12 3
19 3
- ,
4
- , 56
Profesor: Ing. Martín Casado Márquez
3
5
6
4
- , 7683 5
6
/-,
56
3
7683
+0 ,
(4)
!
!
Lima, 03/06/15
Matricialmente:
12 ! Siendo:
! 3 : ; 19 3 12 !
:
! 19
5
6 56
76
:
;
5 5
6 56
56
3 ; 76 3
6
76
! " # !
56
; 76
6
5
Con: M = Matriz de inercia. K = Matriz de rigidez torsional. Coordenadas Generalizadas y Ecuaciones de Lagrange Se emplean según conveniencia. Son independientes entre sí.
Cinemática: <
<
=
<
=
Siendo: D = # de ecuaciones definidoras. E = # de ecuaciones de ligadura o acoplamiento.
GL = D – E = K = 2
⇒
TRABAJO VIRTUAL
>?
AB @ A?B. DE
? E
?F EF
?G EG
H E
FEF
GEG I (I)
Siendo x, y, z funciones de posición generalizadas, tales que:
< O
J , J , J ; … … JN J , J , J ; … … JN J , J , J ; … … JN
Así, las variaciones virtuales infinitesimales en función de la variación de q1, q2, q3, ……. qk, son:
Profesor: Ing. Martín Casado Márquez
Lima, 03/06/15
∑
PQ
RQ
RST
PJU
∑
PV
;
RV
RST
PJU
∑
PW
;
RW
RST
PJU
Ya que los qi son independientes, se puede evaluar el movimiento para el efecto de la variación de una de ellas mientras se mantienen constantes las demás. Así entonces, qi ≠ 0; lo cual da:
δq2 = δq3 = …….. = δqk RQ
PQ
En (*):
RSX
PJ
RV
PV
;
Y Q V RS W RS Z PJ RSX [\\\\\\\\]\\\\\\\\^ X X RQ
RV
RW
_`abacd fg hB fi`ajkg gl fgmnlaoapqgjkd rq`kial sSX
Llamemos:
RQ Q RS X
t
RV V RS X
RSX
PJ Y
RW W RS X
RW
PW
; RQ
RV
<
RSX
RSX
O
RSX
PJ
RW
RSX
Z PJ (II)
FUERZA GENERALIZADA
Siendo: Q1∂q1 el trabajo virtual efectuado por las fuerzas reales que se ejercen sobre el sistema. Para simplificar el segundo miembro de (II), se aprecia que: u
uv
Y
RQ
RSX
Z
RQ
RSX
uQ uv
Asimismo:
u
RQ
RSX
Y
RQ
uv RSX
J
Z ⇒
RQ
RSz
J
w
RQ
RS{
y
wx
y
J
w
Y
wx
Y las derivadas parciales respecto a cada término en J dan: RQ
RQ/Rv
RSX
RSX /Rv
RQ
RQ/Rv
RSz
;
RSz /Rv
RQ
y
Y
w
wx
Z
RQ/Rv
RS{
;
y
Z
RS{ /Rv
Paso conocido como “eliminación de los puntos”. Así entonces:
RQ
RSX
⇒
⇒
} }J
R
RSX
RQ
RSX
~ } • € ~ }J
Qz
Y Z u
"
∧ R
uv RSX
Qz
Y Z#
} }J
RQ
RSX
R
RSX
R
RSX
Qz
Qz
Y Z
Y Z
Para las coordenadas y ∧ z existen expresiones equivalentes. Sustituyendo ahora en (II), se tiene, para el caso tridimensional: Profesor: Ing. Martín Casado Márquez
Lima, 03/06/15
~ 1 } • ~ 2 }J
t }J Como …
<
<
1 } 2 }J
O
<
O „ }J
O , eliminando δq1, queda:
Expresión análoga:
†
y w‡ • € y wx
w‡ wx
†ˆ
y w‡ • € y wxˆ
w‡ wxˆ
Si las fuerzas actuantes sobre m son conservativas, entonces dará lugar a una función V (potencial), y la fuerza generalizada será de la forma:
t
}‰ }JŠ
Así entonces podemos introducir la cantidad:
L = T – V = FUNCIÓN DE LAGRANGE Quedando:
y
y
Y
w‹
wxˆ
Z
w‹
wxˆ
(III) i = 1, 2, 3,…., k,
y:
wŒ
wxˆ
!
(II) es válida aún con fuerzas no conservativas. Finalmente, para sistemas, (III) se convierte en: Ž
• tU U•
Ž
•• U•
~ }•U • € ~ }J
}•U „ }J
Como puede apreciarse, las ecuaciones de Lagrange proporcionan un método muy útil para obtener las ecuaciones diferenciales del movimiento expresadas según las coordenadas independientes del problema, sin más que derivar la energía cinética escrita en función de sistemas con múltiples grados de libertad. Tiene la ventaja de que no intervienen las fuerzas internas (o de ligadura), que no realizan trabajo y que suelen complicar la formulación de las ecuaciones de movimiento que se pueden obtener de la Segunda Ley de Newton. Además, el método de Lagrange constituye uno de los métodos superiores de la Mecánica más útiles, y han encontrado amplia aplicación en el análisis de sistemas eléctricos y electromecánicos. ************************ Profesor: Ing. Martín Casado Márquez
Lima, 03/06/15