INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TIJUANA. UNIDAD OTAY.
ING. CIVIL. ECUACIONES DIFERENCIALES. GRUPO: 2IC4B
REPORTE FINAL DEL MODELO DE ECUACIONES DIFERENCIALES (CALEFACCIÓN Y ENFRIAMIENTO DE EDIFICIOS). PROFESOR: ING. SERGIO IVÁN NAVA DOMÍNGUEZ. INTEGRANTES.
LEÓN CASTELLANOS ROLANDO…………………………………….……………… 10210856
ZEPEDA LÓPEZ LUIS ALBERTO…………………………………………………….… 10211494
TIJUANA, BAJA CALIFORNIA A MARTES 13 DE DICIEMBRE DEL 2011. INTRODUCCIÓN.
En el siguiente trabajo se podrá apreciar las diferentes ecuaciones diferenciales que influyen en el calentamiento y enfriamiento de edificios, así como los diferentes casos que se pueden presentar para poder obtener los valores deseados que entornen en el control de la temperatura de un edificio. De la misma forma trataremos de abordar de manera breve los antecedentes históricos del calentamiento y enfriamiento en edificios, y con esto nos podremos dar cuenta de la relevancia que ha tenido e inclusive como el calentamiento y enfriamiento fue resolviendo algunos problemas en la industria textil. También daremos un vistazo a lo que vendría siendo nuestra aplicación de nuestro modelo matemático, pero solo visto de una manera teórica y con ello podremos ver qué valores esperaríamos encontrar a la hora de realizar nuestra práctica.
OBJETIVOS.
Nuestro objetivo principal en este trabajo es dar nuestro modelo matemático y con este plantear las bases de nuestra practica que elaboraremos, y con nuestro modelo matemático poder realizar nuestra practica y darnos una idea de cómo adecuar nuestro modelo para poder aplicarlo.
ANTECEDENTES DE LA CALEFACCIÓN Y ENFRIAMIENTO EN EDIFICIOS.
En 1902 Willis Carrier sentó las bases de la maquinaria de refrigeración moderna y al intentar aplicarla a los espacios habitados, se encontró con el problema del aumento de la humedad relativa del aire enfriado, y al estudiar cómo evitarlo, desarrolló el concepto de climatización de verano. Por aquella época un impresor neoyorquino tenía serias dificultades durante el proceso de impresión, que impedían el comportamiento normal del papel, obteniendo una calidad muy pobre debido a las variaciones de temperatura, calor y humedad. Carrier se puso a investigar con tenacidad para resolver el problema: diseñó una máquina específica que controlaba la humedad por medio de tubos enfriados, dando lugar a la primera unidad de refrigeración de la historia. Durante aquellos años, el objetivo principal de Carrier era mejorar el desarrollo del proceso industrial con máquinas que permitieran el control de la temperatura y la humedad. Los primeros en usar el sistema de aire acondicionado Carrier fueron las industrias textiles del sur de Estados Unidos. Un claro ejemplo, fue la fábrica de algodón Chronicle en Belmont. Esta fábrica tenía un gran problema debido a la ausencia de humedad, se creaba un exceso de electricidad estática haciendo que las fibras de algodón se convirtiesen en pelusa. Gracias a Carrier, el nivel de humedad se estabilizó y la pelusilla quedó eliminada.
Debido a la calidad de sus productos, un gran número de industrias, tanto nacionales como internacionales, se decantaron por la marca Carrier. La primera venta que se realizó al extranjero fue a la industria de la seda de Yokohama en Japón en 1907. En 1915, empujados por el éxito, Carrier y seis amigos reunieron 32.600 dólares y fundaron “La Compañía de Ingeniería Carrier”, cuyo gran objetivo era garantizar al cliente el control de la temperatura y humedad a través de la innovación tecnológica y el servicio al cliente. En 1922 Carrier lleva a cabo uno de los logros de mayor impacto en la historia de la industria: “la enfriadora centrífuga”. Este nuevo sistema de refrigeración se estrenó en 1924 en los grandes almacenes Hudson de Detroit, en los cuales se instalaron tres enfriadoras centrífugas para enfriar el sótano y posteriormente el resto de tienda. Tal fue el éxito, que inmediatamente se instalaron este tipo de máquinas en hospitales, oficinas, aeropuertos, fábricas, hoteles y grandes almacenes. La prueba de fuego llegó en 1925, cuando a la compañía Carrier se le encarga la climatización de un cine de Nueva York. Se realiza una gran campaña de publicidad que llega rápidamente a los ciudadanos formándose largas colas en la puerta del cine. La película que se proyectó aquella noche fue rápidamente olvidada, pero no lo fue la aparición del aire acondicionado. En 1930, alrededor de 300 cines tenían instalado ya el sistema de aire acondicionado. A finales de 1920 propietarios de pequeñas empresas quisieron competir con las grandes distribuidoras, por lo que Carrier empezó a desarrollar máquinas pequeñas. En 1928 se fabricó un equipo de climatización doméstico que enfriaba, calentaba, limpiaba y hacía circular el aire y cuya principal aplicación era la doméstica, pero la Gran Depresión en los Estados Unidos puso punto final al aire acondicionado en los hogares. Hasta después de la Segunda Guerra Mundial las ventas de equipos domésticos no empezaron a tener importancia en empresas y hogares.
DESARROLLO DEL MODELO MATEMÁTICO. Un enfoque natural para modelar la temperatura en un edificio es el uso del análisis por comportamientos. Sea T(t) la temperatura interior de un edificio en el instante t y veamos al edificio como un único comportamiento. Entonces la razón de cambio en la temperatura queda determinada por todos los factores que generan o disipan el calor. Suponemos que afectan 3 factores principales en la temperatura: 1. El primero el calor producido por las personas, luces y maquinas,
esto causa una razón de incremento de la temperatura a la que llamaremos H(t). 2. El segundo es el calentamiento (enfriamiento) producido por la calefacción (aire acondicionado), está razón de incremento o decremento en la temperatura será representada por U(t). 3. El tercer factor es el efecto de la temperatura exterior e interior: la Ley de Newton de Enfriamiento. Esta ley establece que hay una
razón de cambio de la temperatura T(t) que es proporcional a la diferencia entre la temperatura exterior Mt y la temperatura interior T(t). Es decir la razón de cambio en la temperatura del edificio debido a Mt es: KMt-Tt
La constante K es una constante real que depende de las propiedades del edificio (numero de puertas y ventanas, aislamiento, material, etc.); pero K no dependerá de M, T o t. Por lo tanto cuando la temperatura exterior es mayor que la temperatura interior, Mt-T(t)>0 y hay un incremento en la temperatura en el edificio debido a Mt. Por otro lado, cuando la temperatura exterior es menor que la temperatura interior, entonces Mt-T(t)<0 y la temperatura del edificio disminuye. En resumen vemos que: dTdt=K(Mt-Tt)+Ht+Ut
Cuando la razón de calentamiento adicional Ht siempre es no negativa y U(t) es positiva para la calefacción y negativa para el aire acondicionado. Como nuestra ecuación es lineal, la podremos resolver utilizando el método del factor integrante: dTdtt+PtTt=Q(t)
Dónde: Pt=K , Qt=KMt+Ht+U(t)
Vemos el desarrollo del método de solución de la ecuación a continuación: 1. Primero encontramos nuestro factor integrante: ePt=eKdt=eKt
2. Segundo multiplicamos toda la ecuación por nuestro factor integrante: eKtdTdtt+KeKtTt=eKtQ(t)
3. Simplificamos toda la ecuación diferencial con la derivada de un producto: ddteKtTt=eKtQt 4. Por último se integra ambos lados de la ecuación del paso 3 y encontramos nuestra solución despejando nuestro valor de la Tt: eKtTtd=eKtQ(t)dt
eKtTt=eKtQ(t)dt+C Tt=e-KteKtQ(t)dt+C Tt=e-KteKtKMt+Ht+U(t)dt+C
SOLUCIONES PARA NUESTRO MODELO MATEMÁTICO. A continuación desenvolveremos 3 casos para nuestro modelo matemático y observaremos paso por paso la solución de dichos casos: 1.-Supongamos que al final del día (en el instante t0), cuando las personas salen del edificio, la temperatura exterior permanece constante e igual M0, la razón de calentamiento adicional H dentro del edificio se anula y la razón de uso del calefactor o el aire acondicionado U también se anularía. Determinemos Tt, dada la condición inicial Tt0=T0 (esto refleja como la temperatura del edificio varia).
Con los datos que tenemos: M=M0, H=0, U=0
Con esto nuestra ecuación queda de la siguiente manera: Tt=e-KteKtKM0dt+C
La cual al resolverla nos quedara: Tt=e-KteKtM0+C
Tt=Mo+Ce-Kt
Al hacer t0=t y usar el valor inicial T0 vemos que la constante C es (T0M0)e-Kt0 por lo tanto: Tt=Mo+(T0-M0)e-K(t-t0)
Cuando M0
Donde M0 es una constante. En cualquier caso la constante de tiempo es 1/K , lo que representara el tiempo que tarda la diferencia de temperaturas T-M0 en cambiar de T-M0 a T-M0e. También decimos que 1/K es la constante de tiempo para el edificio (sin calefacción y sin aire acondicionado). Un valor típico para la constante de tiempo del edificio será de 2 a 4 horas, pero esta constante puede ser menos si las ventanas están abiertas o si existe un ventilador. 2.-Supongamos que H es constante H0; U=0 (no hay calefacción o enfriamiento) y la temperatura exterior está dada por Mt=MO-Bcoswt, donde B es una constante real positiva, MO es la temperatura exterior promedio y w=π/12 (onda senoidal de periodo de 24 horas con mínimo en t=0 (medianoche) y máximo en t=12 (mediodía)), calculemos la solución sabiendo que a media noche la temperatura es T0(esto refleja como varia la temperatura en primavera u otoño cuando no hay calefacción ni aire acondicionado).
Con lo siguiente nuestra primera ecuación será afectada de la siguiente manera: dTdtt+PtTt=Q(t)
Dónde: Pt=K , Qt=KM0-Bcoswt+H0
Al hacer B0=M0+H0/K , podemos escribir Qt como: Qt=KM0-Bcoswt
Donde KB0 representa el valor promedio diario de Qt: es decir,
KB0=124024Qtdt
Cuando la función de forzamiento Q(t) se sustituye en la expresión para la temperatura en la ecuación Tt=e-KteKtQ(t)dt+C el resultado (después de integrar por partes) es: Tt=e-KteKtKB0-KBcoswtdt+C
Nos queda resolviendo todo de la siguiente manera: Tt=B0-BFt+Ce-Kt
Donde F(t) es: Ft=coswt+(wK)sinwt1+(wK)2
Elegimos la constante de modo que C es en medianoche (t=0), el valor de la temperatura T sea igual a cierta temperatura inicial T0. Así: C=T0-B0+BF0=T0-B0+B1+(wK)2
Observando la ecuación de Tt=B0-BFt+Ce-Kt vemos que C tiende a 0 de manera exponencial. Mientras que B0 es igual a M0+H0/K y representa la temperatura promedio diaria dentro del edificio (despreciando el termino exponencial). Cuando no hay una razón de calentamiento adicional del edificio (H0=0), esta temperatura promedio es igual a la temperatura exterior promedio M0. Y por último el término BFt representa la variación senoidal de la temperatura dentro del edificio correspondiente a la variación de la temperatura exterior. Como F(t) se puede escribir de la siguiente manera: Ft=1+(wK)2-1/2cos(wt-∅)
Donde tan∅=w/K , la variación senoidal dentro del edificio se retrasa con respecto de la variación en el exterior por ∅/w horas. Además de la magnitud de la variación dentro del edificio es ligeramente menor, por un factor de 1+(wK)2-1/2, que la variación en el exterior. La frecuencia angular de variación w es de 2π/24 radianes/hora (que es aproximadamente¼). Los valores usuales para la razón dimensional w/K están entre ½ y 1. Para este rango, el retraso entre la temperatura interior y la exterior es aproximadamente de 1.8 a 3 horas y la magnitud de la variación interior estará entre el 89% y el 71% de la variación en el exterior.
3.-En el apartado 2, supongamos que hay un termostato para controlar la temperatura del edificio en relación con la temperatura deseada Td. Si la temperatura real es menor que la temperatura deseada, el calefactor comienza a funcionar y en caso contrario se desconecta. Si la temperatura real es mayor que la temperatura deseada, el aire acondicionado comienza a enfriar y en caso contrario se desconecta (en la práctica, hay una cierta zona muerta alrededor de la temperatura deseada en donde la diferencia de temperaturas no es suficiente para activar el termostato, pero que ignoraremos en este caso). Si la cantidad de calentamiento o enfriamiento es proporcional a la diferencia de temperatura; es decir, Ut=ku(Td-Tt).
Donde ku es la constante de proporcionalidad (positiva), nada más tendríamos que obtener T(t). Si el control proporcional U(t) se sustituye directamente en la ecuación diferencial: dTdt=KMt-Tt+Ht+Ut
Para la obtención de la temperatura en el edificio obtendremos la siguiente ecuación: dT(t)dt=KMt-Tt+Ht+ku(Td-Tt)
Al comparar nuestra ecuación obtenida con dTdtt+PtTt=Q(t) vemos que para este ejemplo, la cantidad P es igual a K+Ku mientras que la cantidad Q(t) que representa a la función de forzamiento incluye a la temperatura deseada Td. Es decir: P=K+KU , Qt=KMt+Ht+KuTD
Cuando la razón de calentamiento adicional es una constante H0 y la temperatura exterior varia como una onda senoidal sobre un periodo de 24 horas de la misma forma que en la segunda aplicación, la función de forzamiento será: Qt=KM0-Bcoswt+H0+KuTD
La función Q(t) tiene un término constante y un término coseno, como en la ecuación Qt=KM0-Bcoswt. Esta equivalencia es más evidente al sustituir:
Qt=K1B2-B1coswt
Dónde: w=2π24=π12 , B2=KuTD+KM0+H0K1,B1=BKK1 , K1=K+Ku .
Las expresiones para la ecuación P y la función de forzamiento Q(t) de la ecuación Qt=K1B2-B1coswt son iguales a la expresión de la aplicación 2, excepto por las constantes K , B0 y B se sustituyen, respectivamente, por K1, B2 y B1. Por lo tanto, la solución de la ecuación diferencial: dT(t)dt=KMt-Tt+Ht+ku(Td-Tt)
Será la misma solución que la solución de la temperatura de la aplicación 2, excepto que se modifican los 3 términos constantes. Así: Tt=B2-B1F1t+Ce-K1t
Dónde: F1t=coswt+(wK1)sinwt1+(wK1)2
La constante de tiempo en la ecuación: dTtdt=KMt-Tt+Ht+kuTd-Tt
Es 1/P=1/K1, donde K1=K+Ku . En este caso 1/K1 se conoce como la constante de tiempo con calefacción y aire acondicionado. Para un sistema típico de calefacción y aire acondicionado, Kues un poco menor que 2; para un edificio común, la constante K estar entre ½ y ¼. Por lo tanto, la suma le da un valor de K1cercano a 2, y la constante de tiempo para el edificio con calefacción y aire acondicionado es cercana a ½ hora. Al activar la calefacción o el aire acondicionado, se necesitan de 30 minutos para que el término exponencial de la ecuación Tt=B2B1F1t+Ce-K1t desaparezca.
APLICACIÓN DEL MODELO MATEMÁTICO.
Nuestra aplicación de nuestro modelo será como lo mostramos a continuación: Supondremos que un día en un salón de clases del edificio de ciencias de la tierra del ITT Unidad Otay, mientras los alumnos se encuentran en clases el aire acondicionado maneja la temperatura del salón en 22°C aproximadamente. Al acabar la clase (12:00 p.m.) se apaga el aire acondicionado y el salón permanece solo por todo el día. La temperatura exterior permanece constante en 30°C. Si la constante del tiempo del edificio es de 4 horas, ¿Cuál será la temperatura del edificio a las 2:00 p.m.? ¿Y a las 5:00 p.m.? ¿En qué momento la temperatura del salón llegara a los 28°C? Lo primero que haremos para resolver nuestro problema será establecer que la temperatura de la función T (t) cambia de acuerdo a La Ley de Enfriamiento de Newton de nuestro modelo dTdt=K(Mt-Tt)+Ht+Ut. Acordaremos que nuestra Ht= Ut=0, y fuera de la temperatura Mt=30°C, nuestra fórmula de solución general Tt=Mt+Ce-Kt quedara de la siguiente manera: Tt=30°C+Ce-Kt
Para encontrar nuestra condición inicial recurrimos a los datos que tenemos: T0=30°C+Ce-K0=22°C 22°C=30°C+C C=-8°C
Para esto ya nosotros tenemos nuestra constante de tiempo 1/K que es igual a 1/4, y la ecuación que describe la temperatura en el salón será Tt=30°C-8e-t/4. Entonces resolvemos nuestras preguntas: •
La temperatura en el salón a las 2:00 p.m. T2=30°C-8e-(2)/4 T2=25.14775472°C
•
La temperatura en el salón a las 5:00 p.m. T5=30°C-8e-(5)/4 T5=27.70796163°C
•
En qué momento llega la temperatura del salón a los 28°C. Para encontrar en qué momento la temperatura llega a dicha temperatura se realiza lo siguiente: Tt=30°C-8e-t/4=28°C
Con la ecuación planteada solo despejamos nuestro tiempo t y nos quedaría: 30-8e-t/4=28 -8e-t4=28-30 e-t/4=2/8 ln(e-t4)=ln.25 -t4=-1.386294361 t=5.545177444
Esto quiere decir que en 5.545177444 horas cambiara la temperatura a 25°C. A continuación mostraremos la grafica que describe la temperatura en el salón de clases analizado, nuestra ecuación de la grafica será Tt=30°C-8e-t/4.
Podemos apreciar que nuestra ecuación presenta una función exponencial, por lo tanto la temperatura del salón de 22°C va a ir en
aumento hasta que logre llegar a la temperatura exterior que es de 30°C. A continuación mostraremos los valores que colocamos en nuestra ecuación Tt=30°C-8e-t/4. TIEMPO
TEMPERAT URA
0
22
0.5
22.940024 78
1
23.769593 74
1.5
24.501685 77
2
25.147754 72
2.5
25.717908 57
3
26.221067 58
3.5
26.665103 84
4
27.056964 47
4.5
27.402780 26
5
27.707961 63
5.5
27.977283 23
5.54517 744
28
6
28.214958 72
6.5
28.424706
6 7
28.609808 45
7.5
28.773160 27
8
28.917317 73
8.5
29.044536 25
9
29.156806 2
9.5
29.255884 09
10
29.343320 01
Como podemos ver la temperatura va a ir en aumento hasta poder llegar a la temperatura exterior.
Como nuestro modelo anterior no se ha podido desarrollar por las condiciones climáticas, las cuales afectaban a las condiciones iníciales que habíamos propuesto, plantearemos un nuevo modelo matemático utilizando la ley de newton como principal base pero está sometida a un aparato de calefacción. Supondremos que un día en un edificio la calefacción maneja la temperatura interior del edificio en 20°C aproximadamente. A las 12:00 p.m. se apaga la calefacción y el edificio permanece solo por todo el día. La temperatura exterior permanece constante en 14°C. Si la constante
del tiempo del edificio es de 4 horas, ¿Cuál será la temperatura del edificio a las 2:00 p.m.? ¿Y a las 5:00 p.m.? ¿En qué momento la temperatura del salón llegara a los 18°C? Como nuestro modelo ha cambiado, nuestro desarrollo ha cambiado y es el siguiente: dTdt=KTt-Mt+Ht-Ut
Como el factor Ht no va a ser tomado en cuenta se eliminas y U(t) negativa para el aire acondicionado lo indicamos, pero como el aire acondicionado se apaga y no se vuelve a utilizar se elimina. Nuestra ecuación lineal nos queda de la siguiente manera: dTdt-KTt=-KM(t)
Y resolvemos nuestra ecuación diferencial por el método del factor integrante: ePt=e-Kdt=e-Kt e-KtdTdtt+Ke-KtTt=-Ke-KtM(t) ddt-e-KtTt=-Ke-KtMt -e-KtTtd=-Ke-KtM(t)dt -e-KtTt=-Ke-KtM(t)dt -Tt=eKt-Ke-KtM(t)dt -Tt=eKte-ktMt+C Tt=Mt-Ce-Kt
Ya establecida nuestra ecuación respecto a la temperatura, definiremos la constante de tiempo que es de 4 horas (K=14) y nuestra temperatura en el exterior Mt=14°C, y con dichos datos podremos encontrar nuestra condición inicial C. Tt=Mt-Ce-Kt Tt=14°C-Ce-t/4 T0=14°C-Ce-0/4=20°C -C=20°C-14°C C=6
Ya con la condición inicial obtenida ya podemos responder nuestras preguntas: •
¿Cuál será la temperatura del edificio a las 2:00 p.m.?
T2=14°C-(-6e-2/4) T2=17.63918396°C •
¿Cuál será la temperatura del edificio a las 5:00 p.m.? T5=14°C-(-6e-5/4) T5=15.71902878°C
•
¿En qué momento la temperatura del salón llegara a los 18°C? 18°C=14°C+6e-t4 18-146=e-t4 ln.666666667=lne-t4 t=1.621860432
A continuación se muestra la gráfica que representa a nuestra ecuación: Tt=14°C+6e-Kt.
Podemos apreciar que nuestra ecuación presenta una función exponencial, por lo tanto la temperatura del edificio de 20°C va a ir en decreciendo hasta que logre llegar a la temperatura exterior que es de 14°C.
En la siguiente tabla se muestra como nuestra ecuación obtiene valores respecto al tiempo en horas. Tiempo Temperat (hr) ura (°C) 0
20
0,5
19,29498 14
1
18,67280 47
1,5
18,12373 57
1,62
18
2
17,63918 4
2,5
17,21156 86
3
16,83419 93
3,5
16,50117 21
4
16,20727 66
4,5
15,94791 48
5
15,71902 88
5,5
15,51703 76
6
15,33878 1
6,5
15,18147 01
7
15,04264 37
7,5
14,92012 98
8
14,81201 17
8,5
14,71659 78
9
14,63239 53
9,5
14,55808 69
10
14,49251
PRACTICA DEL MODELO MATEMÁTICO. A continuación mostraremos como hemos realizado la aplicación del modelo y ver los resultados al momento de la experimentación:
El edificio en el cual realizamos el experimento fue en Fracc. Leonardo Rodríguez Alcaine en una tienda de autoservicio, el experimento se efectuó el día 11 de diciembre del 2012 a partir de las 12:00 p.m. En la práctica solo necesitamos lo siguiente: • •
Termómetro digital. Calefacción instalada en el edificio.
Las condiciones climáticas se presentaron favorablemente, ya que se pudo establecer condiciones iníciales como la temperatura exterior Mt=14°C y también la temperatura inicial en el edificio T(0)=20°C. De esta manera comenzamos la aplicación del modelo matemático. Se estuvo monitoreando cada hora el termómetro para ver el cambio de la temperatura, y así ver si cumplía con nuestro modelo y estos fueron los resultados: 1. A la primera hora del experimento se registró una temperatura de 2. 3. 4. 5.
19.3°C. A la segunda hora del experimento se registró una temperatura de 17.2°C A la tercera hora del experimento se registró una temperatura de 16.4°C A la cuarta hora del experimento se registró una temperatura de 15.8°C A la quinta hora del experimento se registró una temperatura de 14.2°C
En base a los resultados nuestro modelo matemático no ha sido muy preciso, ya que ningún resultado dado no corresponde a los resultados obtenidos. En el desarrollo del experimento logramos percibir como la temperatura exterior variaba, y con esto nuestro experimento fracaso, distintos factores pudieron influir como: •
•
•
La Altitud, ya que a mayor sea la altitud sobre el nivel del mar, menor es la temperatura. Los Vientos, ya que los vientos cálidos aumentan la temperatura y los fríos la disminuyen. La Topografía (disposición del relieve), ya que a menor relieve mayor circulación de los vientos, tanto fríos como cálidos, dependiendo las variaciones térmicas del predominio que ejerce un viento sobre otro.
•
La Distancia al Mar, ya que entre más alejado del mar este la zona, mayor es la amplitud térmica, también se expondría menos a la humedad.
A continuación se muestran las imágenes que logramos tomar en nuestra experimentación. Equipo de control de la temperatura del edificio.
CONCLUSIONES.
Con nuestro modelo matemático podremos describir el perfil de la temperatura en un edificio estableciendo las condiciones iniciales a analizar. Las complicaciones que encontramos en la aplicación del modelo se presentaron, de una forma u otra, esto nos ha hecho entender que nuestro modelo podría aplicarse solamente en condiciones extremadamente controladas, ya que la temperatura exterior al edificio no permanece de manera constante, varía demasiado, y por ello no se pudo obtener los resultados deseados.
BIBLIOGRAFÍA. FUENTES BIBLIOGRÁFICAS.
R. Kent Nagle, Edward B. Saff , Arthur David Snider, ECUACIONES DIFERENCIALES Y PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA, Ed. Pearson Educación, Cuarta Edición, México, 2005, 816 pág. FUENTES VIRTUALES. http://www.dmae.upct.es/~jose/ayedo/temas.pdf http://www.uji.es/bin/publ/edicions/s49.pdf http://www2.uca.es/matematicas/Docencia/FC/0206024/Apuntes/tema1_0506.p df
