BARISAN DAN DERET TAK HINGGA (MATEMATIKA WAJIB) Kompetens iDasar :
Mendeskripsikan konsep barisan tak hingga sebagai fungsi dengan daerah asal himpunan bilangan asli. Menerapkan konsep barisan dan deret tak hingga dalam penyelesaian masalah sederhana.
A. DERET GEOMETRI TAK HINGGA 1. KONSEP DAN RUMUS DERET GEOMETRI TAK HINGGA
… . Dengan , , Barisan geometri memiliki suku-suku :
Keterangan :
adalah suku pertama/suku awal adalah rasio adalah bilangan asli, sehingga , bilangan asli disebut juga fungsi dengan daerah asal himpunan bilangan asli. adalah suatu deret yang diperoleh dari penjumlahan suku-suku Deret geome geometr tr i tak h in gga pada barisan geometri dimana suku terakhirnya tidak pernah berakhir. Deret geometri tak hingga sebagai suatu penjumlahan dari suku-suku pada barisan geometri dinyatakan sebagai :
Dan bias ditulis sbb :
Bandingkan dengan rumus untuk menghitung jumlah deret geometri terhingga yang telah anda pelajari di kelas X, yaitu :
dengan Atau Untuk menentukan rumus jumlah deret geometri tak hingga, perhatikan contoh deret geometri tak hingga berikut ini :
Jumlah deret ini secara rinci dapat dihitung sbb :
diperoleh Untuk diperoleh Untuk diperoleh … Untuk diperoleh … Untuk
diperoleh …
Untuk
dengan dan
Untuk lainnya kita hitung dengan menggunakan rumus
, sehingga
menjadi Untuk menjadi …. Untuk menjadi …. Untuk menjadi …. Untuk menjadi …. Untuk menjadi …. Untuk
Jika digambar grafiknya dalam koordinat Cartesius, sbb : Y
u k u s h a l m u J
0
X
Banyaksukun
Dari grafik di atas kita dapat menyimpulkan bahwa deret geometri tak hingga memiliki jumlah berhingga.
Latihan : Apakah deret-deret geometri berikut memiliki jumlah , hitunglah juga rasio tiap deret geometri tersebut. a. 12 + 4 +
…
c.
b.
d.
Apakah nilai rasio menentukan deret geometri tak hingga memiliki jumlah atau tidak? Jika ya, nyatakan syarat nilai rasio agar suatu deret geometri tak hingga memiliki jumlah.
Kesimpulan :
Suatu deret geometri tak hingga adalah konvergen (memiliki jumlah) jika memenuhi syarat
|| atau Catatan :
atau , maka deret itu tidak mempunyai jumlah /
Jika deret geometri tak hingga dengan
jumlah nya adalah tak hingga(divergen ).
Bahan diskusi : Bagaimana jumlah deret geometri tak hingga jika :
a. Rasio deret sama dengan 1 (
b. Rasio deret sama dengan negatif 1 (
Cara menurunkan rumus untuk menghitung jumlah deret tak hingga konvergen.
dengan syarat || atau Jadi rumus deret geometri tak hingga konvergen adalah :
atau dengan suku pertama dan rasio deret. Contoh soal : 1. Menghitung jumlah deret geometri tak hingga tanpa rumus
tanpa menggunakan rumus
Hitunglah
Penyelesaian :
Maka Misalkan
Latihan : 1. Hitung tanpa menggunakan rumus
b. a.
c. 200 + 100 + 50 + 25 + … d.
2. Apakah deret tak hingga berikut memiliki jumlah? Jika ya, hitunglah jumlah tersebut ! a) b) c) d) e)
…
2. Menggunakan rumus deret geometri konvergen Contoh : Hitung jumlahd eret geometri berikut :
a. 5 + 3 + b.
Penyelesaian : a. 12,5 b.
3. Menentukan rasio deret geometri tak hingga Contoh soal : Suatu deret geometri tak hingga memiliki suku pertama 6 dan jumlahnya 15. Tentukan rasio deret tak hingga tersebut !
Penyelesaian:
dan
Latihan :
Tentukan rasio dari deret geometri berikut jika diketahui :
a. Suku pertamanya 5 dan jumlahnya 20 b. Suku pertamanya 1,5 dan jumlahnya 2,5 c. Suku pertamanya 21 dan jumlahnya 63
Tentukan suku pertama dari suatu deret geometri tak hingga jika diketahui rasionya dan jumlahnya
!
4. Syarat deret geometri tak hingga konvergen Contoh soal :
,
Tentukan himpunan nilai-nilai dimana deret geometri
, memiliki jumlah tertentu ! Penyelesaian :
. sedangkan syarat deret tak hingga memiliki jumlah (konvergen) adalah|| . Dengan demikian . …… (1) Karena| | , maka mengalikan kedua ruas dengan | | tidak membalik tanda ketidaksamaan, sehingga pertidaksamaan (1) menjadi
|| | | atau | | Akibatnya
atau atau Jadi himpunan yang dimaksud adalah
Ingatbahwa :
| | , maka atau
jika
{| } Latihan : Tentukan nilai-nilai x sehingga deret geometri tak hingga berikut konvergen kesuatu jumlah tertentu : a. b. c.
Penyelesaian : a.
{| }
b. c.
{| } {| }
MENULISKAN BENTUK DESIMAL BERULANG KE BENTUK PECAHAN
Contohsoal : Tulislah bentuk desimal berulang berikut kebentuk pecahan : a. 0,272727 … b. 1,142424242 …
Penyelesaian : a. 0,272727 … =
̅
= 0,27 + 0,0027 + 0,000027 + 0,00000027 +…
dan
Tampakbahwa 0,272727 … merupakansuatuderetgeometrikonvergendengan
. Dengandemikian
=
0,272727 … =
b. 1,142424242 … = 1,1 + 0,042 + 0,00042 + 0,0000042 + … Tampak bahwa 1,142424242 … = 1,1 + deret geometri tak hingga konvergen dengan
dan . dengan demikian 1,142424242 … = 1,1 + =
Latihan : Tulislah bentuk desimal berulang berikut ke dalam bentuk pecahan : a. 0,33333 … b. 0,525252 ….
̅ ̅ d. 0,43 c. 0,
e. 63,636363 … f. 293,293293 …
2. NOTASI SIGMA
penulisannya dapat disingkat dengan menggunakan notasi sigma ( , sebagai berikut : Deret geometri tak hingga yang ditulis
Notasi secara sederhana memerintahkan kita untuk melakukan penjumlahan suku-suku
dalam barisan. Bilangan disebut indeks dari suku yang menyatakan dari mana memulai
penjumlahan dan ke mana mengakhiri penjumlahan. Denman demikian operator pada ruas
∑ , memerintahkan kita untuk melakukan penjumlahan dimulai dari sampai dengan , sehingga persamaan akan menjadi : ∑ ∑ kanan persamaan
Catatan :
Indeks bisa diganti dengan indeks lainnya ,seperti
dan sebagainya.
Contoh soal : Menghitung penjumlahan dengan notasi sigma. Hitunglah jumlah dari deret geometri tak hingga berikut jika ada a. 3.
B. APLIKASI DERET GEOMETRI TAK HINGGA 1. Menghitung panjang total lintasan vertikal bola yang memantul Contoh soal : Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 10 m. setiap kali memantul, bola naik sejauh 60 % dari ketinggian sebelumnya. a. Berapa ketinggian maksimum bola, setelah bola menumbuk tanah untuk ketiga kalinya? b. Berapa jarak vertikal total yang telah ditempuh bola sesaat sebelum menumbuk tanah untuk kelima kalinya? c. Berapa jarak vertikal total yang ditempuh bola sampai berhenti?
Penyelesaian : Bola dijatuhkan dari ketinggian 10 m
Setiap kali memantul, bola naik sejauh 60 % = 0,6 dari ketinggian sebelumnya
Deret geometrinya sbb : 10 + 0,6 . 10 + 0,6 . 0,6 . 10 + … Atau 10 + 0,6 . 10 +
.
a. Ketinggian maksimum bola, setelah bola menumbuk tanah untuk ketiga kalinya (
b. Jarak vertikal total yang telah ditempuh bola sesaat sebelum menumbuk tanah untuk kelima
. = kalinya (
() () () = =
.
c. Jarak vertikal total yang ditempuh bola sampai b erhenti (
= = = 2. Jarak total ayunan bandul Contoh soal : Sebuah bandul diayunkan secara bebas. Pada ayunan pertama, bandul menempuh jarak 45 cm. Karena adanya gesekan udara, maka setiap ayunan berikutnya, bandul selalu menempuh 90 % jarak dari ayunan sebelumnya. a. Berapa jarak total yang ditempuh ayunan bandul sampai berhenti ? b. Setelah berapa kali mengayun, bandul telah menempuh 80 % dari jarak total ?
Penyelesaian :
.
Pada ayunan pertama, bandul menempuh jarak 45 cm (
a. b. (dibulatkan ke satuan terdekat)
Jadi bandul menempuh 80 % dari jarak total ayunannya setelah bandul mengayun 15 kali.
LATIHAN : 1. Sebuah bola pingpong dijatuhkan dari ketinggian 25 m dan memantul kembali dengan ketinggian
kali tinggi sebelumnya. Pantulan ini berlangsung terus menerus sampai bola
berhenti. a. Berapa ketinggian maksimum bola pingpong setelah bola memantul naik untuk kelima kalinya ?
8,2 m
b. Berapa jarak vertikal total yang telah ditempuh bola pingpong sesaat sebelum memantul untuk ke empat kalinya?
122,6 m
c. Berapa jumlah seluruh lintasan yang ditempuh bola pingpong?
2.
225 m
Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 1 meter. Setiap kali sesudah jatuh mengenai lantai, bola
itu memantul lagi dan mencapai ketinggian dari tinggi sebelumnya. Tentukan : a. Panjang seluruh jalan yang dilalui bola itu mulai dari pantulan kedua sampai berhenti. b. Panjang seluruh jalan yang dilalui bola itu sampai berhenti
3. Seseorang berjalan lurus dengan kecepatan tetap 4 km / jam selama jam pertama. Pada jam kedua kecepatan dikurangi menjadi setengahnya, demikian seterusnya, setiap jam kecepatannya menjadi setengah kecepatan sebelumnya. Berpa km kah jarak terjauh yang dapat dicapai orang itu selama perjalanan?
4. Sebuah kipas angin berputas 12 putaran per sekon. Sesaat setelah tombol off ditekan, kelajuan kipas berkurang 75 % persekon. Berapa banyak putaran lengkap yang dilakukan kipas setelah tombol off ditekan ? 5. Sebuah baterei isi ulang merek tertentu mengiklankan b ahwa setiap kali baterei diisi ulang, baterei mampu diisi 99,8 % dari kapasitas sebelumnya. Jika kapasitas awal sebelum dibeli baterei itu bisa nyala selama 10 jam, berapa jam kah baterei itu tidak dapat diisi ulang lagi (umur baterei sudah habis)? Anggap isi ulang dilakukan saat muatan listrik bateri habis. 6. Dalam suatu eksperimen fisika, laju sebuah bola b aja pada suatu lintasan datar dipercepat, dan kemudian dibiarkan menggelinding secara bebas. Setelah menit pertama, bola telah menggelinding sejauh 36 m. Setiap menit bola hanya dapat menempuh 60 % dari jarak yang ditempuh pada jarak sebelumnya. Berapa jauh jarak yang bisa ditempuh bola baja itu ? 7. Seorang anak yang sedang duduk pada ayunan diberi dorongan kuat. Ia menempuh sejauh 3,6 meter pada jarak ayunan pertamanya (yang dimaksud jarak ayunan adalah jarak bolak-balik
ayunan) tetapi pada setiap jarak ayunan berikutnya ayunannya hanya dapat menempuh dari jarak sebelumnya. Berapa jauh (jarak total) yang telah ditempuh anak itu sampai ayunan berhenti?
8. Sebuah persegi memiliki panjang sisi 16 cm. titi-titik tengah tiap sisinya dihubun gkan untuk membentuk suatu persegi baru yang terdapat di dalam persegi semula, dan proses ini dilanjutkan terus. a. Gambarlah sketsa persegi-persegi yang anda peroleh jika persegi pertama memiliki panjang sisi 16 cm. b. Tentukan jumlah keliling semua persegi c. Tentukan jumlah luas semua persegi
9. Perhatikan gambar berikut. Jika proses memberi warna abu-abu terus dilanjutkan, berapa luas total bagian yang diberi warna abu-abu dibandingkan dengan luas persegi awalnya?
C.
