BAB X BARISAN DAN DERET Barisan U1, U2, U3, …, U n, adalah fungsi dengan domain bilangan asli. Unsur barisan disebut suku-suku suku-suku barisan. Dalam hal ini Un di baca sebagai suku ke – n. Deret atau jumlah n suku pertama Un adalah barisan S1, S2, S3, … , S n dimana S1 = U1, S2 = U1 + U2, …, Sn = U1 + U2 + … + Un. Un = Sn − Sn−1 untuk n = 2, 3, 4, …
U1 = S1
10.1 Barisan Aritmatika Ciri barisan : Selisih dua suku yang berurutan konstan konstan Un − Un−1 = konstan, dengan n = 2, 3, 4, … Nilai konstan ini biasanya dinotasikan dengan b (beda). Ciri :
Un − Un−1 = b, dengan n = 2, 3, 4 …
Misalkan a = suku pertama barisan = U1 ; b = beda barisan Un = a + (n − 1) b, dengan n = 1, 2, 3, …
Maka …
Barisannya: a, a + b, a + 2b , a + 3b, …, a + (n − 1)b, …
Contoh : Barisan aritmatika dengan U3 = 7 dan U5 + U11 = 44, maka U2 = … Jawab : U5 + U11 = a + 4b + a + 10b = 2a + 14b = 2(a + 2b) + 10b = 2 U3 + 10 b Maka 44 = 2 . 7 + 10 b ⇒ b = 3 Dengan demikian U2 = a + b = (a + 2b) − b = U3 − b = 7 − 3 = 4 Rumus Jumlah n suku pertama barisan aritmatika ( Sn ) 1. Sn = 1 n ( 2a + (n − 1) b ) 2 1 2. Sn = n ( a + Un ) 2
3. Sn = n Ut , dimana banyak suku ( baca : n ) ganjil dan Ut suku tengah atau U t = 1 ( a + Un ) 2
Barisan aritmatika Un dapat ditulis ditulis sebagai fungsi linier dari n, yaitu … Un = b n + c ; b = beda, c suatu konstanta konstanta Deret aritmatika Sn dapat ditulis sebagai fungsi kuadrat kuadrat tanpa konstanta tetap dari n , yaitu … Sn = b n2 + d n ; b = beda, d suatu konstanta konstanta 2
142
143 Contoh 1. Jika Un menyatakan suatu barisan aritmatika dan Sn adalah jumlah n suku pertama
Un, maka nilai (A) 7
2
S20 −S13 U11+ U 23
(B) 11
=…
(C) 7
3
(D) 33
33
34
(E) 11 34
Jawab : A
S20 − S13 = 20 (2a + 19 b) − 13 (2a + 12 b) = 7 a + 112 b = 7 (a + 16 b) b) 2
2
U11 + U23 = a + 10b + a + 22 b = 2a + 32b = 2 (a + 16b) Jadi
S20 −S13 U11+ U 23
= 7
2 2
2. Diketahui barisan aritmatika dengan jumlah n buah suku pertama Sn = 5n + 4n. Suku yang nilainya 159 adalah suku ke … (A) 12 (B) 16 (C) 18 (D) 20 (E) 24 Jawab : B 2 Sn = 5n + 4n ⇒
b 2
= 5 ⇒ b = 10
Ingat: Sn dapat dituliskan 2 Sn = b n + d n; b = beda
2 a = U1 = S1 = 9 Dengan demikian Un = 9 + (n − 1) 10 ⇒ 159 = 9 + (n − 1) 10 ⇒ n = 16
Cara lain a = U1 = S1 = 9; U2 = S2 − S1 Ingat : Un = Sn − Sn−1 = 28 − 9 = 19 Jadi b = U2 − U1 = 19 − 9 = 10 Dengan demikian Un = 9 + (n − 1) 10 ⇒ 159 = 9 + (n − 1) 10 ⇒ n = 16 3. Jumlah bilangan antara 1 sampai dengan 250 yang habis dibagi 3 tetapi tidak habis dibagi 5 adalah … (A) 14898 (B) 12498 (C) 10458 (C) 8418 (D) 2040 Jawab D I. Habis dibagi 3 antara 1 sampai 250 3, 6, 9, 12, … Un ⇒ Un = 3 + (n − 1) 3 ⇒ Un = 3n Suku terakhir < 250 ⇒ Un < 250 ⇒ 3n < 250 ⇒ n < 83 1
3
⇒ Suku terakhir Jumlah bilangannya SI =
83 2
= U83 = 3 . 83 = 249 ( 3 + 249) = 10458
II. Habis dibagi 3 dan habis dibagi 5 antara 1 sampai sampai 250 ⇒ Habis dibagi 15 15, 30, 45, …, U n ⇒ Un = 15 + (n − 1) 15 ⇒ Un = 15n Suku terakhir < 250 ⇒ Un < 250 ⇒ 15 n < 250 ⇒ n < 16 2 3
⇒ Suku terakhir Jumlah bilangannya SII =
16 2
= U16 = 15 . 16 = 240 ( 15 + 240) = 2040
Jumlah bilangan yang habis dibagi 3 tetapi tidak habis dibagi 5 antara 1 sampai dengan 250 adalah … S = (Jumlah yang habis dibagi 3) − ( Jumlah yang habis dibagi 15 ) = SI − SII = 10458 − 2040 = 8418
Barisan dan Dere
144 4. Diantara bilangan 14 dan C disisipan 10 bilangan sehingga membentuk barisan aritmatika. Jika enam kali suku kesembilan barisan yang disisipkan sama dengan jumlah suku-suku sisipan sisipan dan yang mengapitnya, mengapitnya, maka nilai C adalah … (A) 102 (B) −74 (C) 8 (D) 47 (E) 80 Jawab : B
14
14 + b
10 bilangan disisipkan antara 14 dan C 14 + 2b
14 + 2b
14 + 10b
C
Pehatikan: S = Jumlah bilangan yang disisipkan dan yang mengapitnya = n ( 2a + (n−1) b ) = 12 ( 28 + (12 −1) b ) = 168 + 66b 2
2
Diketahui : S = enam kali bilangan kesembilan yang disisipkan ⇒ 168 + 66b = 6 ( 14 + 9b) ⇒ 12 b = −84 ⇒ b = −7 Dengan demikian C = 14 + 11 11 b = 3 + 11 (− 7) = −74 5. Diketahui barisan bilangan 2, 13, 24, 35, …. Diantara suku pertama dan suku kedua disisipkan 3 bilangan, diantara suku ke ke dua dan suku ke tiga disisipkan disisipkan 5 bilangan, diantara suku ke tiga dan keempat disisipkan 7 bilangan, dan seterusnya. Jika suku-suku yang disisipkan dan yang mengapitnya membentuk barisan aritmatika, maka bilangan kelima suku-suku suku-suku sisipan antara antara suku ke 19 dan suku suku ke 20 adalah … (A) 102 3 (B) 201 3 (C) 261 1 (D) 311 1 (E) 403 2 5
Jawab : B
8
4
5
2
disisipkan 3 + 2 . 18 bilangan
disisipkan disisipkan disisipkan 3 3+2.1 3+2.2 bilangan bilangan bilangan
2
13
24
35
A
Perhatikan, A dan B dan sejumlah 39 bilangan yang disisipkan diantara A dan B membentuk barisan aritmatika. Misalkan barisan tersebut … A, A + bs , A + 2bs , …, A + 39bs , B Akibatnya B = A + 40 bs ⇒ 211 = 200 + 40 bs ⇒ bs = 11
B
A = U19 = a + 18 b = 2 + 18 . 11 = 200 B = A + 11 = 211
40
Bilangan kelima yang disisipkan antara A dan B adalah … A + 5 bs = 200 + 5 11 = 200 + 11 = 200 + 1 3 = 201 3 40
8
8
8
6. Jumlah n suku pertama barisan aritmatika Sn = (p − 2) n 2 + (13 maka nilai negatif pertama dari barisan ini adalah suku ke … (A) 26 (B) 20 (C) 11 (D) 9 (E) 7
− 4p) n + 5p − 8,
Barisan dan Dere
145 Jawab D 2 Sn = (p − 2) n + (13 − 4p) n + 5p − 8 ⇒ 5p − 8 = 0 dan b = p − 2
Ingat: Sn dapat dituliskan Sn = b n2 + d n; b = beda 2
2
Dengan demikian p =
8 5
,b=−
4 5
dan a = U1 = S1 = −
2 5
+
33 5
=
31 5
Un akan bernilai negatif ⇒ Un = a + (n − 1) b < 0 ⇒ 31 + (n − 1) (− 4 ) < 0 ⇒ −4n + 35 < 0 ⇒ n > 8 3 5
5
4
Nilai negatif pertama dari barisan Un adalah suku ke−9 10. 2. Barisan geometri Ciri barisan : Hasil bagi dua suku yang berurutan konstan Un = konstan, dengan n = 2, 3, 4, … U n −1
Nilai konstan ini biasanya dinotasikan dengan r (rasio). Un = r, dengan n = 2, 3, 4 … U n −1
Ciri :
Contoh :
3, 12, 48, 192, … barisan geometri dengan rasio r = 4 2, −3, 9 , − 27 , … barisan geometri dengan rasio r = − 3 2
4
2
Misalkan a = suku pertama barisan = U1 r = rasio barisan Maka … − Un = a r n 1 , dengan n = 1,2, 3, … − 2 Barisannya: a, a r, a r , a r3, …, a r n 1 , …
Contoh 1. Jika Un barisan geometri, maka U1 . U3 . U11 . U17 = 4 8 4 (A) 8 U4 (B) U8 (C) 4 U7 (D) U7
8
(E) U7
Jawab: B 2 10 16 4 28 7 4 4 U1 . U3 . U11 . U17 = a . ar . ar . ar = a r = ( a r ) = U8
2. Suku ke-2 dan ke-9 barisan geometri masing-masing adalah A dan B, maka nilai suku ke 12 adalah … (A) A B
7
(B) A B
7
3
B A
(C) A B
4
B 3 A
(D) A B
7
7
B A3
(E) A B2
7
AB
A3B2
Jawab: A
Perhatikan
U9 U2
8
= aarr = r
7
11
⇒
B A
U12 = a r = ( a r ) r = A
( ) B A
10 7
7
=r
10
=A B
⇒r=
= U2 r
( ) 3
B A
1 7
10
( ) B A
1 7
10
=Ar
= A B
7
3
B A
Barisan dan Dere
146 3. Contoh berikut ini dapat anda hafalkan sebagai rumus Misalkan U1, U2, U3, …. barisan geometri dengan rasio r Maka U1 + U1+k , U2 + U2+k , U3 + U3+k , …. barisan geometri dengan rasio r
Bukti Tulislah U1, U2, U3, …. sebagai a, ar, ar 2, ar3, … Maka barisan U1 + U1+k , U2 + U2+k , U3 + U3+k , … k k+1 2 k+2 a + ar , ar + ar , ar + ar ,… k k k 2 a + ar , ( a + ar ) r , ( a+ ar ) r , … adalah barisan geometri rasio r 4. Contoh berikut ini dapat anda hafalkan sebagai rumus Misalkan U1, U2, U3, …. barisan geometri dengan rasio r Maka U1+k − U1, U2+k − U2, U3+k − U3, …. barisan geometri dengan rasio r
Bukti 2 3 Tulislah U1, U2, U3, …. sebagai a, ar, ar , ar , … Maka barisan U1+k − U1, U2+k − U2, U3+k − U3, … k k +1 − ar , ar k + 2 − ar 2 , … ar − a, ar k k k 2 ar − a, (ar − a)r , (ar − a)r , … adalah barisan geometri rasio r 5. Barisan geometri x− 3, x + 5, x + 77, … mempunyai rasio r maka x + r = … (A) 1 (B) 4 (C) 13 (D) 23 (E) 29 Jawab : C Tuliskan U1 = x − 3, U2 = x + 5, U3 = x + 77 … Perhatikan U1, U2, U3, … rasio r ⇒ U2 − U1, U3 − U2, … rasio r
⇒r=
U3− U 2 U 2 − U1
Aplikasi rumus pada contoh nomor 4. Persisnya dengan cara nilai k = 1
= 72 = 9 8
Perhatikan U2 = a r ⇒ x + 5 = (x Jadi x + r = 13
− 3) 9 ⇒ x = 4
Cara lain Barisan x − 3, x + 5, x + 77 … mempunyai rasio r ⇒ r = x +5 = x +77 ⇒ x2 +10x+25 = x2 + 74x − 231 ⇒ 64x = 256 ⇒ x = 4 x −3
x +5
Jadi barisannya adalah 1, 9, 81. Diperoleh r = 9. Dengan demikian x + r = 13 6. Un Barisan aritmatika dengan beda tidak nol dan suku ke-3, suku ke-7 dan suku ke-15 membentuk barisan geometri. Jika jumlah 8 suku pertama barisan arit matika tersebut sama dengan 11. Suku ke-6 barisan geometri adalah … (A) 16 (B) 24 (C) 32 (D) 36 (E) 45
Barisan dan Dere
147 Jawab : C Diketahui Un Barisan aritmatika dengan U3, U7, U15 barisan geometri ⇒ a + 2b, a + 6b, a + 14b adalah barisan geometri
⇒ r = aa ++62bb = aa++146bb ⇒ (a + 6b)2 = (a + 2b) (a + 14b) ⇒ a2 + 12 ab + 36 b2 = a2 + 16 ab + 28b2 ⇒ 8 b2 − 4 ab = 0 ⇒ b (8b − 4a) = 0 ⇒ b = 0 ( tidak dipakai ) atau b = 12 a
Diketahui jumlah 8 suku pertama barisan aritmatika = 16 ⇒ 8 (2a + (8 −1)b) = 11 ⇒ 8a + 28b = 16 ⇒ 22 a = 11 ⇒ a = 2
n−1
Jadi barisan geometri : 1, 2, 4, …,2
⇒ Suku ke-6
1 2
5
= 2 = 32
Cara lain a + 2b, a + 6b, a + 14b rasio r
⇒ r = ((aa++146bb))−−((aa++26bb))
= 8b = 2. 4b
Dengan demikian a + 6b = (a + 2b) r ⇒ a + 6b = 2a + 4b ⇒ a = 2b Dari S8 = 11 ⇒ 8a + 28b = 11 ⇒ 22 a = 11 ⇒ a = 1 dan b = 1 2
7. Diantara
1 8
4
dan 32 disisipkan 7 bilangan sehingga membentuk barisan geometri,
maka jumlah dari bilangan bilangan ini adalah … (A) 63 (B) 127 (C) 255 (D) 511 8
8
8
8
(E)
1023 8
Jawab : D
Karena 32 =
1 8
r8
⇒
r 8 = 32 . 8 = 25 23 = 28
9 Jumlah semuah bilangan = S9 = a r − 1 =
r− 1
1 8
⇒
r=2
2 1 2 1
Barisan dan Dere
148 Jawab : C U1 = 2 A ; U2 = A, U3 =
1 2
A,…
2
1 2
Barisan diatas adalah barisan geometri dengan r = S12
12 = a 1 −−r 1 r
⇒ 42 = ⇒ A=
A
2
1− 1 64 1 1− 2 2
2
dan a = U1 =
⇒ A = 42 (1 − 12
) 64 63
2
1 2
A A3 A2
5
A1
A1A2 + A2A3 + … + AnAn+1 > 90 adalah … (A) n > 2 5 (C) n > 4 2 (B) n >
4
3 log 5
Jawab E ∆ OA1A2
⇒
+
2
(D) n >
2
+
3
4 log 2
+
3
(E) n >
2
4 log 5
−
O
2
OA1 OA 2
⇒
OA 1 cos α
=
5 4
OA 2 cos α
=
OA 1
OA2 =
OA1
A2A3 = OA2 tan α cos α =
∆ OA3A4 ⇒
5
log 5
αα α α
A1A2 = OA1 tan α cos α =
∆ OA2A3 ⇒
2
A5
Jika OA1 = 2, sin α = 3 , maka nilai n agar
−
A.
(2 − 2 )
64 3
9. Pada segitiga disamping ini, ∆OA1A2 siku-siku di A 1 dan ∠ A1OA2 = α, ∆OA2A3 siku-siku di A 2 dan ∠ A2OA3 = α, ∆OA3A4 siku-siku di A3 dan ∠ A3OA4 = α dan seterusnya.
log 3
2
OA 2 OA 3
⇒
OA3 =
cos
2
= ( 5 ) OA1
α
2
4
A3A4 = OA3 tan α cos α =
OA 3 OA 4
⇒
OA4 =
OA 3 cos α
OA 1
=
cos
3
3
α
= ( 5 ) OA1 4
Cara yang sama berlaku pada segitiga-segitiga berikutnya Perhatikan A1A2 + A2A3 + A3A4 + … + AnAn+1 > 90 ⇒ OA1 tan α + OA2 tan α + OA3 tan α + … + OAn tanα > 90 ⇒ tanα ( OA1 + OA2 + OA3 + … + OAn−1 ) > 60 ⇒ tan α ( OA1 + 5 OA1 + ( 5 )2 OA1 + … + ( 5 )n−1 OA1 ) > 90 4
⇒ ⇒
3 4
( 2+
1+
5 4
5 4
. 2 + (
2 (5 ) 4
+…+
⇒
(5)
⇒
n ( log5 − 2) > 4
n
4
2
4
5 )2 4
− 1 > 15 ⇒ ( 54 )n ⇒
.2+…+( n−1 (5) 4
>
4
5 )n−1 4
. 2 ) > 90
5 60 ⇒ (4 ) 5 4
n
−
−
1
> 60
1
> 16 ⇒ log( 5 ) > log 16 2
n
2
4
n>
2
4 log 5
−
2
Barisan dan Dere
149 1− p
10. Jumlah n suku pertama suatu barisan geometri Sn = 9 rasio barisan, maka nilai p . r = … (A) −3 (B) −2 (C) −1 (D) 1 (E) 2
−
3
p +1−3n
. Jika r adalah
Jawab C 1− p
Perhatikan
−
Sn = 9
3
p +1−3 n
⇒
Sn = 3
⇒
3
Ingat, Sn barisan geometri dapat ditulis sebagai … n Sn = d − d r
⇒
2−2 p
2− 2 p
= 3
p +1
−
3
p +1
⎛ 1 ⎞ n ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 27 ⎠
−3 dan r = 1 = 3
2 − 2p = p + 1⇒ p =
27 1 3
Dengan demikian p r = − 1 Notasi :
S∞ = lim S n = U1 + U2 + U3 + U4 + … n →∞
Ada dua kemungkinan hasil dari S∞, yaitu … Untuk | r | < 1, berlaku
Untuk | r | > 1, berlaku S∞ = ∞
S∞ =
disebut jumlah tak hingga suku divergen
a
1
−
r
disebut jumlah tak hingga suku konver en
Syarat jumlah tak hingga suku konvergen adalah | r | < 1
11. Jika akar-akar persamaan x + 2x − 6 = 0 adalah x1 dan x2, maka … 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +…=… x x 2
1
(A)
x12
2
− 43
Jawab : E Perhatikan
x 22
x13
(B) − 10
(C)
3
1 x1
+
1 x12
dengan a = Jadi
1 x1
+ 1 x2
Dengan cara sama
1 x13
+ 1 x1
1 2 x1
+
+
1 2 x2
(E)
5
1 x1
4 3
+
1 x12
.
+ …= a
1 3 x1
x1 + x 2 − 2 1− (x 1 + x 2 ) + x 1x 2 2
(D) 3
10 3
+ … adalah jumlah tak hingga suku deret geometri
dan r =
Akibatnya S = x1 + x1 + 2 1 =
x 23
1− r
1 3 x2
+
…=
1 x 22
=
+
1 x1
= 1
−
1 x1
= x 1−1 1
1 x 2 −1 1 x13
+
−2 − 2 1 − ( − 2) − 6
1 x 23
+ … = x 1−1 + 1 x 2 −1 1
= 4 3
3
12. Deret x + xy + xy + xy + … konvergen dengan suku-suku negatif, jika (A) x < 0 dan −1 < y < 0 (D) y > 0 dan 0 < x < 1 (B) x < 0 dan 0 < y < 1 (E) y > 0 dan −1 < x < 0 (C) x > 0 dan −1 < y < 0
Barisan dan Dere
150 Jawab B U1, U2, U3, … bernilai negatif ⇒ x = U1 < 0 U2 U1
rasio=
…….(1) = ( − ) = (+) ⇒ y > 0 …….(2) ( −)
Karena deret ini konvergen, maka −1 < rasio = y < 1 Dari (1), (2) dan (3) , diperoleh x < 0 dan 0 < y < 1
……(3)
13. Jika x memenuhi 1 ≤ tanx + tan x + tan x + … ≤ 3 maka nilai terbesar dari 2 4 6 1 − sin x + sin x − sin x + … adalah … (A) 1 (B) 3 (C) 25 (D) 3 (E) 5 2
2
34
4
Jawab E Misal p = tanx
3
5
6
⇒ 1 ≤ p + p2 + p3 + … ≤ 3 ⇒1≤ p ≤3 1− p
⇒( ⇒ ⇒ ⇒ Perhatikan S =
p 1− p
− 1)(
p 1− p
( 2 p −1)( 4 p − 3) (1− p )
2
−3) ≤ 0
a ≤ x ≤ b ⇒ (x−a)(x−b) ≤ 0
≤0
+
+
+ 1 2
3 4
1
≤ p ≤ 43 (memenuhi syarat konvergen −1 < rasio = p < 1) ≤ tanx ≤ 43 2 4 6 1 S∞ = 1 − sin x + sin x − sin x + … = a = 1−r 2 1 2 1 2
Untuk tanx =
1 2
diperoleh sinx =
1 5
Untuk tanx =
3 4
diperoleh sinx =
3 5
Dengan demikian
25 34
≤S≤
5 6
⇒ ⇒
1
S= S=
⇒ Smaks =
+
sin x
5 6
25 34
5 6
14. Pada deret geometri konvergen, diketahui Sn = p dan S2n = q, maka S∞ = … 2 2 (A) 2 pp− q (B) qp (C) 2 qq− p (D) p (E) q 2 p−q 2p−q Jawab D n n Sn = a (1−r ) ⇒ p = S∞ ( 1−r ) 1−r S2n = a 1−r
(1−r ) ⇒ q = S∞ ( 1−r ) (1 + r ) ⇒ q = p ( 1+ r ) ⇒ r = 2n
n
n
n
n
Akibatnya diperoleh p = S∞ ( 2− qp ) ⇒ p = S∞ ( 2pp−q ) ⇒ S∞ =
q p
−1
p2 2 p−q
Barisan dan Dere
151
SOAL & PEMBAHASAN MATEMATIKA IPA 2
4
16
1. Jumlah deret geometri tak hingga log x + log x + log x + …. adalah 2 2 2 a. 1 log x b. 2 log x c. 1 log x d. log x e. 2 log x 2
2
(Matematika ’89 Rayon A) Jawab : E 2 S~ = log x +
a
1 2log 2
x +
u
= log x ; r = u2 = 1 2 1 2
1 2log 4
⇒
x+…
S~ =
a
1− r
=
2 log x 1− 1 2
2
= 2 log x
2. Diketahui p = log 2 + log 2 + … + log 2 nilai p untuk n → ~ adalah … 5 5 2 a. − log 2 b. log 2 c. log 5 d. log 2 e. log 5 2
n
2
5
(Matematika ’89 Rayon B) Jawab : B Karena n → ~, maka p = S~ = a
p =
1− r log 2 log 2 = 1 − log2 log10 − log2
log 2
5
= log5 = log 2
3. Deret geometri 1 + 3log (x − 5) + 3log2 (x − 5) + … konvergen jika … a. 0 < x < 5 c. 5 1 ≤ x ≤ 8 e. 5 1 < x < 8 3
b. 5 < x < 8
d. 0
3
≤
x
≤
8 (Matematika ’89 Rayon C)
Jawab : E 3 Perhatikan : r = log ( x − 5) 3 Syarat konvergen | r | < 1 ⇒ −1 < r < 1 ⇒ −1 < log ( x − 5) < 1 3 I. log ( x − 5) terdefinisi untuk x − 5 > 0. Deperoleh x > 5 −1 3 1 II. −1 < log ( x − 5 ) < 1 ⇒ 3 < x − 5 < 3 ⇒ 1 < x − 5 < 3 ⇒ 51 < x < 5 3
Dari ( I ) dan ( II ) diperoleh
51 3
3
4. Diberikan lingkaran L1 dengan jari-jari r. Di dalam L1 dibuat bujur sangkar B1, dengan keempat titik sudutnya terletak pada busur L1. Dalam B1 dibuat pula lingkaran L2 yang menyinggung keempat sisi bujur sangkar tersebut. Dalam L 2 dibuat pula bujur sangkar B2 dengan keempat titik sudutnya terletak pada busur L2. Demikian seterusnya sehingga diperoleh lingkaran-lingkaran L1, L2, L3, … dan bujur sangkar B1, B2, B3, … Jumlah luas seluruh lingkaran dan seluruh bujur sangkar adalah … 2 2 2 a. 2(π + 2)R c. (π + 2)r e. (π + 2)r 2 2 2 b. (π + 2)R 2 d. (π + 2 )r (Matematika ’90 Rayon A) Jawab : A
Barisan dan Dere
152 I. Jari-jari lingkaran L1 = r. 2 Luas lingkaran L1 = πr . AC = diameter = 2r 2 2 2 Misal : AB = x = BC ⇒ AC = AB + BC ⇒ AC2 = x2 + x2 ⇒ 4r2 = 2x2 ⇒ BC = AB = x = r 2 Jari-jari lingkaran L2 = 1 AB = 1 r 2 2
L2 = π
Luas lingkaran Maka rasio = rL =
L2 L1
G
D
H
P
A
E
C
F
B
2
(1 2
2 r 2) =
1 2
π r2 = = π r2
1 2
πr2
1 ; 2
Jumlah semua luas L1 + L2 + L3 + ….= S~ =
L1 1 − rL
2 2 = πr = 2πr 1− 1 2
II. Panjang AB = BC = r 2 2 Luas bujursangkar B1 = AB.BC ⇒ B1 = r 2 . r 2 = 2r Sisi bujursangkar B2 = HE = AP = jari-jari L1 = r 2 Luas bujursangkar B2 = HE . HG = r . r = r dan seterusnya 2 2 Maka ratio = rB = r 2 = 1 ; u1 = a = 2r
2
2r
2 2 = S~ = 2r = 4r
Jumlah semua luas B1 + B2 + B3 + … = S~ = a
1 − rB
1− 1 2
Dari (I) dan (II), jumlah semua luas = 2πr + 4r = 2(π + 2) r 5. Deret x 1 + x 1 2 + x 1 3 + … konvergen untuk nilai x berikut … 2
log 5
a. b.
( log 5)
2
2
( log 5)
−1 < x < 1 −5 < x < 5, x ≠ 1
c.
1 5
< x < 5, x
≠1
e. x < −1atau x > 1
d. x < 1 atau x > 1 5
(Matematika ’90 Rayon B) Jawab : C I. Bentuk log diatas mempunyai syarat x > 0, x ≠ 1 1 ( log 5) 2 1 x log 5 x
II. Ratio = r =
= x1 = log x log 5 5
Syarat konvergen jika −1 < x < 1 Dari (I) dan (II), maka
1 5
⇒ −1 < 5log x < 1 ⇒
1 5
≠1
6. Deret geometri log (x − 6) + log (x − 6) + log (x − 6) + ….konvergen pada interval a. 6,5 < x < 8 c. 0 < ⏐x − 6⏐< 2 e. x > 6 b. 6,5 ≤ x ≤ 8 d. 0 ≤ ⏐x − 6⏐ ≤ 2 (matematika “90 Rayon C) Jawab : A 2 Ratio = r = log (x − 6) ; konvergen bila −1 < r < 1 2 Akibatnya −1 < log (x − 6) < 1 ⇒ 1 < x − 6 < 2 ⇒ 6 1 < x < 8 2
2
2
2
2
3
2
Barisan dan Dere
153
7. Jika Pn = 2
a. 5
10
log 2 +
10
b. 5
2
log 2 + … +
c. 5
log2
10
n
P
log 2 dan lim Pn = P maka 5 = … n →∞
d. 2
e. 2
5
(Matematika ’90 Rayon C) Jawab : D Untuk n → ~ log 2
P~ = S~ = a
1− r
P
log 2
5
= 1 − log2 = log 5 = log 2
5 log 2
Maka 5 = 5 =2 2 3 8. Perhatikan deret 1 + log cos x + log cos x + log cos x + … Jumlah deret ini, yaitu s dapat mengambil setiap nilai … a. 1 < s ≤ 1 b. 1 < s < 2 c. s < 1 d. s > 1 e. s > 1 2
2
2
2
(Matematika ’91 Rayon A) Jawab : A S~ = s = a dengan a = U1 = 1 dan ratio = r = log cos x
s=
1− r a 1 − logcosx
mempunyai nilai apabila konvergen, yaitu | r | < 1.
⏐r⏐ < 1 ⇒ −1 < r < 1 ⇒ −1 < log cos x < 1 ⇒ 101 < cos x < 10 Tetapi batas kurva cos x adalah −1 ≤cos x ≤ 1 ⇒ 1 < cos x ≤ 1 10 ⇒ −1 < log cos x ≤ 0 ⇒ −1 < r ≤ 0 Untuk r = log cos x = −1 berlaku s = 1 = 1 2 1− ( − 1) Untuk
r = log cos x = 0
Dengan demikian diperoleh
berlaku s = 1 2
1 1− 0
=1
9. Tiga buah bilangan merupakan barisan geometri dengan pembanding lebih besar dari satu. Bila suku terakhir dikurangi 3, maka ketiga bilangan itu merupakan barisan aritmetika dengan jumlah 54. Selisih suku ketiga dan suku pertama deret aritmetika ini adalah … a. 16 b. 14 c. 12 d. 10 e. 8 Jawab : C Misal : ketiga suku barisan geometri a, ar, ar2 2 2 Diketahui a, ar, ar − 3 barisan aritmetika ⇒ ar − a = ar − 3 − ar ⇒ ar2 − 2ar + a = 3 2 ⇒ ar2 + ar + a = 57 Diketahui juga a + ar + ar − 3 = 54
−3ar = 54 ⇒ a r = 18 | kali r | ar − 2ar + a = 3 ⇒ 18 r − 2 . 18 + =3 ⇒ 18r2 − 39r + 18 = 0 ⇒ 6r2 − 13r + 6 = 0 ⇒ r1 = 23 ; r2 = 32 Untuk r = r1 = 2 ⇒ a = 27 ⇒ barisan aritmatika : 27, 18, 9 ⇒ U3 − U1 = − 18 3 Untuk r = r2 = 3 ⇒ a = 12 ⇒ barisan aritmatika : 12, 18, 24 ⇒ U3 − U1 = 12 2 2
18 r
Barisan dan Dere
154
10. Diketahui y = 1 + x + x + x + …, sin y > 0 dalam selang 0 < y < 2π untuk … 2
a. b.
3
−1
c. − 1 − 1 < x < 1 − 1
π
e. x < π
π
d. x < 1 − 1
π (Matematika ’91 Rayon B)
Jawab : B
Perhatikan y = S~ =
1
a
= 1− x 1− r I. Syarat barisan konvergen | r | < 1. Diperoleh −1 < x < 1
⇒ ⇒ ⇒
II. sin y > 0
0
Sin y akan bernilai positif pada kuadran I dan kuadran II
1
0 < 1− x < π 1
1−x> π
⇒ −x > π1 − 1 ⇒ x < 1 − 1π
Dari (1) dan (2)
− 1 < x < 1 − π1
-1
1
1
1
π
11. Jumlah tiga suku pertama deret aritmatika 21, sedangkan hasil kalinya 280. Jika semua suku deret aritmatika ini positif maka jumlah 10 suku pertama deret itu sama dengan …. a. 175 b. 170 c. 160 d. 155 e. 150 (Matematika ’91 Rayon B) Jawab : A Mi sa l k a n Jumlahnya Hasil kalinya
tiga suku pertama deret aritmatika a − b, a, a + b a − b + a + a + b = 21 ⇒ 3a = 21 ⇒ a = 7 (a − b) . (a) . (a + b) = 280 (7 − b) . 7 . (7 + b) = 280 (7 − b) . (7 + b) = 40 2 49 − b = 40 2 b =9 ⇒ b=±3 Jumlah deret positif bila beda = b = 3 Deret yang dimaksud : 4, 7, 10 Maka S10 = 10 (2a + 9 b) 2
S10 = 5(2.4 + 9.3) = 175 12. Diketahui a + 1, a − 2, a + 3 membentuk barisan geometri. Agar ketiga suku membentuk barisan aritmatika, maka suku ketiga harus ditambah dengan … a. 8 b. 6 c. 5 d. −6 e. −8 (Matematika ’91 Rayon C) Jawab : E Diketahui barisan Geometri : a + 1, a − 2, a + 3 barisan aritmatika : a + 1, a − 2, a + 3 + x a + 1, a − 2, a + 3 + x barisan aritmatika ⇒ a − 2 − (a + 1) = a + 3 + x − (a − 2) ⇒ −3 = 5 + x ⇒ x = −8
Barisan dan Dere
155 13. Agar jumlah deret log(x − 2) + dan 2, maka haruslah … 64
log (x − 2) +
64
2
a. 129 < x < 66
c. 129 < x < 10
b.
d. 10 < x < 66
64 129 64
3
e. 10 < x < 18
64
< x < 18
log (x − 2) + … terletak antara 1
64
(Matematika ’91 Rayon C) Jawab : E misalkan 64log(x − 2) = p ⇒ a = p dan r = p I. Syarat logaritma x − 2 > 0 ⇒ x > 2
−1 < r < 1 ⇒ −1 < p < 1
II. Syarat konvergen III. Diketahui 1 < S~ = a
64 1−
log(x − 2) <2 64log(x − 2)
p
⇒
1 < 1− p < 2
⇒ ( 1 −p p −1)( 1 −p p − 2) < 0 ⇒ (2p−1)(3p2 −2) < 0
⇒ (x −a)(x −b) < 0
(1−p )
+
+
+ 1 2
2 Diperoleh 1 < p < 3
1
2 3
2
2 64 Dari (II) dan (III) diperoleh 1 < p < 3 ⇒ 1 < log(x − 2) < 1 2
2
2
⇒8
16 ⇒ 10 < x < 18
Dari (I) dan 10 < x < 18 diperoleh 10 < x < 18 14. Jumlah tak hingga suatu deret geometri adalah 8, dan jumlah semua suku pada kedudukan (urutan) genap adalah 8 . Suku kelima deret tersebut adalah … 3
a. 2
b. 1
c.
1 2
d.
1 3
e.
1 4
(Matematika ’92 Rayon A) Jawab : E 2 3 4 5 Diketahui S~ = a + a r + a r + a r + a r + a r + … = 8 3 5 SA = ar + ar + +ar + … = 8 3
2
SB = a Ratio deret r = Dari S~ = 8
4
+ ar S A S B
⇒ 1 −a r
=
8 3 16 3
=8
⇒
+ ar
+ … =
16 3
= 1
2
a 1− 1 2
⇒
=8
4
4
Dengan demikian u5 = ar = 4 . ( 1 ) = 2
a = 4 1 4
15. x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat x − (2k + 4)x + (3k + 4) = 0. Kedua akar itu bilangan bulat dan k konstan. Jika x 1, k, x2 merupakan tiga suku pertama deret geometri maka suku ke-n deret tersebut adalah … n n n n a. −1 b. 2(−1) c. −(−1) d. 1 + (−1) e. 1 − (−1) (Matematika ’92 Rayon A, Rayon B, Rayon C) 2
Barisan dan Dere
156 Jawab x Dari deret geometri x1, k, x2 ⇒ r = xk = 2
k
1
⇒
2
k = x1 . x2
………. (1)
Dari persamaan kuadrat x1 . x2 = 3k + 4 ………….…….. (2) 2 2 Dari (1) dan (2) ⇒ k = 3k + 4 ⇒ k − 3k − 4 = 0 ⇒ (k − 4)(k + 1) = 0 ⇒ k 1 = 4 ; k 2 = −1 ⇒ Persamaan kuadratnya x2 − 12x + 16 = 0. Untuk k = 4 Akar-akarnya tidak bulat ( tidak memenuhi) ⇒ Persamaan kuadratnya x2 −2x + 1 = 0. Untuk k = −1 Akar-akarnya adalah x1 = x2 = 1. Deret geometrinya adalah 1, −1, 1 n −1 n −1 n Un = a r = 1 . (−1) = −(−1) 16. Untuk k > 0, bilangan k – 2, k – 6, dan 2k + 3 membentuk tiga suku pertama suatu deret geometri. Jumlah n suku pertama deret tersebut adalah … 1
1
1
c. − 4 (1 – 3 )
n
a. 4 (1 – 3 ) n b. 1 (3 – 1)
e. 4 (1 – (−3) )
n
n
d. − 1 (1 – (−3) ) n
2
2
(Matematika ’92 Rayon B) Jawab : E 2 Ciri deret geometri : u2 = u1 . u3 2 (k – 6) = (k – 2)(2k + 3) 2 2 k – 12k + 36 = 2k – k – 6 2 k + 11k – 42 = 0 (k + 4)(k – 3) = 0 k 1 = −14, (tidak memenuhi) k 2 = 3 maka deret geometri tersebut : 1, −3, 9, …
Sn =
a (1 − r n ) 1− r
1
=
1 (1 − (−3)n ) 1 − ( −3)
Sn = 4 (1 – (−3) ) n
17. Tiga buah bilangan embentuk deret aritmatika. Jika suku kedua dikurangi 2 dan suku ketiga ditambah dengan 2, maka diperoleh deret geometri. Jika suku pertama deret semula ditambah dengan 5, maka ia menjadi setengah suku ketiga. Jumlah deret aritmatika semula … a. 42 b. 44 c. 46 d. 48 e. 50 (Matematika ’92 Rayon C) Jawab : A Misal deret aritmatika : a – b, a, a + b. 1 Diketahui : a − b + 5 = ( a + b) ⇒ 2a – 2b + 10 = a + b ⇒ a = 3b − 10 2
Diketahui deret geometris Jika U1, U2, U3 barisan
geometri, maka 2 U2 = U1 . U3
: a – b, a – 2, a + b + 2. ⇒ (a – 2)2 = (a – b) . (a + b + 2) ⇒ (3b – 10 – 2)2 = (3b – 10 – b)(3b – 10 + b + 2) ⇒ (3b – 12)2 = (2b – 10)(4b – 8) ⇒ 9b2 – 72b + 144 = 8b2 – 56b + 80 ⇒ b2 – 16b + 64 = 0 ⇒ b1,2 = 8
Barisan dan Dere
157 sehingga a = 3b – 10 = 14. Jumlah deret aritmatika semula adalah a – b + a + a + b = 3a = 3 . 14 = 42 2
18. Akar-akar persamaan kuadrat 2x – 20x + (7k – 1) = 0, merupakan suku pertama dan suku kedua suatu deret geometri dengan perbandingan yang lebih besar dari 1, jika kedua akar persamaan itu berbanding sebagai 2 dan 3, maka suku keempat deret geometri itu adalah a. 9 untuk k = 7 d. 15,5 untuk k sembarang b. 13,5 untuk k sembarang e. 15,5 untuk k = 7 c. 13,5 untuk k = 7 (Matematika ’94 Rayon A, Rayon B, Rayon C) Jawab : C b
Dari persamaan kuadrat x1 + x2 = − a = 10 ⇒ 2x1 + 2x2 = 20 Diketahui x1 : x2 = 2 : 3 ⇒ 2x2 = 3x1 ⇒ 2x1 + 3x1 = 20 ⇒ x1 = 4 ratio deret : r = U 2 = xx2 = 3 > 1. Deret tersebut adalah 4, 6, 9, 27 U1
2
2
1
⇒ 24 =
Dari persamaan kuadrat x1 . x2 = ac
7 k −1 2
⇒
48 = (7k – 1)
⇒
k=7
Jadi U4 = 13,5 untuk k = 7 19.
Sebuah ayunan matematika yang panjang talinya 60 cm mulai berayun dari posisi terjauh dari kedudukan seimbang sebesar 5 π radian. Posisi terjauh yang 12
1 5
dicapainya setiap kali berkurang sebesar
posisi
terjauh sebelumnya. Panjang busur yang dijalani ujung ayunan itu sampai berhenti penuh adalah …radial a. 125 π b. 250 π c. 100π d. 125π e. 250π 4
4
(Matematika ’94 Rayon A, Rayon B, Rayon C) Jawab : Busur P1S = 5 π R = 5 π . 60 = 25 π 12
12
Busur P2S = Busur P 1S − 1 Busur P1S = 5 1 5
Busur P3S = Busur P 2S − Busur P2S =
π = 20π π = 16π
4 . 25 5 4 . 20 5
Lintasan Seluruhnya = P1P2 + P2P3 + P2P3 + … = (25π + 20π) + (20π + 16π) + …
P1
P2 S
P3
= a = 45 π4 = 225 π ( tidak ada jawaban ) 1−r
1−
5
20. Semua bilangan genap positif dikelompokkan seperti berikut (2), (4, 6), (8, 10, 12), (14, 16, 18, 20), …Bilangan yang terletak di tengah pada kelompok ke-15 adalah … a. 170 b. 198 c. 226 d. 258 e. 290 (Matematika ’95 Rayon A, Rayon B, Rayon C) Jawab : C Tengah-tengah dari Perhatikan Banyak anggota tiap kelompok : 1, 2, 3, 4, … 15 bilangan pada kelompok ke-15 Ujung kelompok ke-14 adalah bilangan ke
Barisan dan Dere
158 1 + 2 + 3 … + 14 = S14 = 14 (2a + 13 b) 2
= 7 (2 + 13) = 105
Bilangan yang ditanyakan merupakan suku ke 105 + 15+1 = 113 2
Barisan bilangannya adalah 2, 4, 6, 8, 10, 12, … Maka bilangan yang dicari adalah U113 = a + (113 – 1) b = 2 + 112 ⋅ 2 = 226 2
21. Diketahui x1 dan x2 adalah akar-akar positif persamaan kuadrat x + ax + b = 0. Jika 12, x1, x2 adalah tiga suku pertama barisan aritmatika dan x1, x2, 4 adalah tiga suku pertama barisan geometri maka diskriminan persamaan kuadrat tersebut adalah … a. 6 b. 9 c. 15 d. 30 e. 54 (Matematika ’96 Rayon A, Rayon B, Rayon C) Jawab : B 12, x1, x2 barisan aritmatika
U1, U2, U3 barisan aritmatika
⇒ 2x1 = 12 + x2 ⇒ 2 U2 = U1 + U3 ⇒ x2 = 2x1 − 12 U1, U2, U3 barisan geometri 2 x1, x2, 4 barisan geometri ⇒ x2 = 4x1 ⇒ U22 = U1 . U3 2 ⇒ (2x1 – 12) = 4x1 ⇒ 4x12 – 48x1 + 144 = 4x1 ⇒ x12 – 13x1 + 36 = 0 ⇒ (x1 – 9)(x1 – 4) = 0 ⇔ x1 = 9, x1 = 4 untuk x1 = 9; diperoleh x2 = 2 . 9 − 12 = 6 Dari persamaan kuadrat x1 + x2 = −a ⇒ 9 + 6 = −a ⇒ a = −15 Dari persamaan kuadrat x1 . x2 = b ⇒ 9 . 6 = b ⇒ b = 54 2 2 Jadi diskriminan D = a – 4b = (−15) – 4 . 54 = 9 Untuk x1 = 4; diperoleh x2 = 2 . 4 − 12 = −4 ( tidak memenuhi )
22. Jumlah 5 buah bilangan yang membentuk barisan aritmatika adalah 75. Jika hasil kali bilangan terkecil dan terbesar adalah 161, maka selisih dari bilangan terbesar dan terkecil adalah … a. 15 b. 4 c. 8 d. 16 e. 30 (Matematika ’96 Rayon A) Jawab : D Barisan aritmatika : a – 2b, a – b, a, a + b, a + 2b a − 2b + a – b + a + a + b + a + 2b = 75 ⇒ 5a = 75 ⇒ a = 15 2 Dari (a – 2b)( a + 2b) = 161 ⇒ (15 – 2b)(15 + 2b) = 161 ⇒ 225 – 4b = 161 ⇒ 4b2 = 64 ⇒ b1,2 = ± 4 untuk b = 4 berlaku U1 = 15 – 2 . 4 = 7 U5 = 15 + 2 . 4 = 23 ⇒ U5 – U1 = 23 – 7 = 16 23. Sebuah deret arotmatika terdiri dari n suku (n ganjil). Jumlah semua sukunya adalah 90, besar suku tengahnya 10, serta beda deret tersebut adalah 2. Suku kedua dari deret ini adalah … a. 2 b. 4 c. 6 d. 8 e. 10 (Matematika ’96 Rayon B)
Barisan dan Dere
159 Jawab : B Pada deret aritmatika : Sn = n Ut ; Ut suku tengah ⇒ 90 = 10 . n ⇒ n = 9 Karena n = 9, maka suku tengah adalah suku ke 9 +1 = U5. 2
Dengan demikian U5 = 10. Diperoleh U2 = U5 – 3 . b = 10 – 3 . 2 = 4 1
24. Jika suku pertama dan keempat barisan geometri berturut-turut
a2
dan a
3x + 1 2
91 2
sedang suku kesepuluh sama dengan a , maka nilai x adalah … a. – 25 b. –5 c. 5 d. 10 e. 15 (Matematika ’96 Rayon C) Jawab : C 1
3x + U4 2 a Ratio pada deret geometri : r = U = = a3x 1 1
3
⇒
x
r=a
a2
Karena U10 = a . r
9
91
1
⇒ a 2 = a 2 . (a x ) 9 90 ⇒ a 2 = a9x ⇒ a45 = a9x ⇒ x
=
45 9
=5
25. Jika x – 50, x – 14, x – 5 adalah tiga suku pertrama suatu deret geometri tak hingga. Maka jumlah semua suku-sukunya adalah … a. –96 b. –64 c. –36 d. –24 e. –12 (Matematika ’97 Rayon A) Jawab : B x – 50, x – 14, x – 5 deret geometri U1, U2, U3 barisan geometri ⇒ (x – 14)2 = (x − 50)(x – 5) ⇒ U22 = U1 U3 2 2 ⇒ x – 28x + 196 = x – 55x + 250 ⇒ 27x = 54 ⇒ x = 2 Diperoleh U1 = x – 50 = 2 – 50 = −48 Dengan demikian r =
U2 U1
2 − 14 = x − 14 = 2 − 50 = 1 x − 50 4
a Maka S~ = 1 − r = −48 = −64 1 1− 4
26. Diketahui deret geometri a1 + a 2 + a 3 + … Jika a6 = 162 dan log a 2 + log a3 + log a4 + log a5 = 4 log 2 + 6 log 3. Maka a 3 = a. 2 b. 3 c. 6 d. 8 e. 9 (Matematika ’97 Rayon A) Jawab C Perhatikan log a2 + log a3 + log a4 + log a5 = 4 log 2 + 6 log 3 4 6 log (a2 ⋅ a3 ⋅ a4 ⋅ a5 ) = log 2 + log 3 log (ar ⋅ ar2 ⋅ ar3 ⋅ ar4 ) = log ( 24 ⋅ 36 ) 4 10 4 6 a ⋅r = 2 ⋅3 2 5 2 4 6 a ⋅(ar ) = 2 ⋅3
⇒
5
Karena a6 = a . r = 162
2
a
⋅ (81 . 2)2 = 24 ⋅ 36 ⇒ a2 =
24 ⋅ 36 2 2 ⋅ 38
2
=2
⋅ 3−2 =
4 9
⇒ a = ± 23 Kasus untuk nilai a = − 2 3
5
ar = 162
⇒r
5
= − 243
⇒
r = −3 ⇒ a3 = ar = − 2 ⋅ (−3) = −6. 2
2
3
Barisan dan Dere
160 Tetapi, log a3 = log (−6) (tak terdefenisi) Kasus untuk nilai a = − 2 3
5
ar = 162
⇒r
5
⇒
= 243
r = 3 ⇒ a3 = ar = 2
2 3
⋅ (3)2 = 6
27. Tiga buah bilangan positif membentuk barisan geometri dengan rasio r > 1, jika suku tengah ditambah 4, maka terbentuk sebuah barisan aritmatika yang jumlahnya 30. Hasil kali ketiga bilangan itu adalah … a. 64 b. 125 c. 216 d. 343 e. 1000 (Matematika ’97 Rayon B) Jawab : C 2 Barisan geometri : a, ar, ar untuk r > 1 2 Barisan aritmatika : a, ar + 4, ar ⇒ a + ar2 = 2(ar + 4)
⇒ ⇒ ⇒
U1, U2, U3 barisan aritmatika ⇒ U1 + U3 = 2 U2
a + ar = 26 − ar 2(ar + 4) = 26 − ar 3ar = 18 ⇒ ar = 6 2 Maka hasil kali ketiga bilangan a, ar dan ar adalah … 2 3 3 3 3 a . ar . ar = a r = (ar) = 6 = 216 2
Diketahui a + ar + 4 + ar = 30
()
1 28. Diketahui barisan tak hingga 2 , 1 2
2
2 sin t
4 sin t
()
, 1 2
6 sin t
()
, 1 2
π
,….Jika t = 3 , maka hasil
kali semua suku barisan tersebut adalah … a. 0
1 3 2
()
1 b. 16
c. 1 2
1
()
1 d. 2
e. 1 2
2
(Matematika ’97 Rayon B) Jawab : B
Hasil kali semua suku =
⋅(
1 2
S
2
4
2 sin t
⋅
( ) 1 2
4 sin t
⋅
( ) 1 2
6 sin t
.…
2 4 6 1 + sin t + sin t + sin t + ...
( ) = (1 ) 2 =
1 2
)
1 2
~
6
dimana 1 + sin t + sin t + sin t + … = jumlah tak hingga deret geometri dengan 2 rasio r = sin t.
π ⇒ r=
Untuk t = 3
(12 3 )
2
3 4
=
(2 )
Dengan demikian diperoleh 1
S
~
⇒
S~ =
(2 )
= 1
4
1 1−
=
3
=4
4
1 16
29. Barisan (2k + 25), ( −k + 9), (3k + 7), … merupakan suatu barisan aritmatika. Jumlah 5 suku pertama deret tersebut adalah … a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. 5 (Matematika ’97 Rayon C) Jawab : E
Barisan dan Dere
161
⇒ 2(−k + 9) = 2k + 25 + 3k + 7 ⇒ −2k + 18 = 5k + 32 ⇒ −7k = 14 ⇒ k = −2
Barisan aritmatika : 2U2 = U1 + U3
Akibatnya u1 = 2k + 25 = 21, u2 = −k + 9 = 11 didapat beda = u 2 – u1 = −10 S5 = 5 (2a + 4b) = 5 (2 ⋅ 21 + 4 ⋅ (−10)) = 5 (42 – 40) = 5 2
2
2
1 , 1 + 2x 1 1+ 3
30. Perhatikan barisan
1 + 2x + 4x 1+ 3 + 5
,
suku ke-n barisan tersebut dan Vn = 2 a. x
b. x
2
2
,
1 + 2x + 4x + 6x 1+ 3 + 5 + 7
∫ un dx, maka lim V n→~
c. x
d. 1
e.
, … Jika un menyatakan n
=…
1 2
(Matematika ’97 Rayon C) Jawab : A Barisan pembilang suku ke-n, Pn = 1 + 2x + 4x + 6x + … Pn = 1 + S(n – 1) (a = 2x, b = 2x) 1 Pn = 1 + (n – 1)(2a + (n – 1)b)
Pn = 1 +
2 1 2
(n – 1)(4x + (n – 1)2x)
2
Pn = 1 + n x – nx Barisan penyebut suku ke-n, Qn = 1 + 3 + 5 + 7 + … Qn = Sn = 1 n(2a + (n – 1)b) 2
Qn = Jadi un =
Pn Qn
2 = 1 + n x2 − nx =
Sehingga Vn = lim
n →~
Vn = lim ( n→~
n
∫ ( n1
n
2
1 x) dx n
+ 12 x 2 −
1 x2 ) 2n
+
x
n(2 + 2n – 2) = n
2
+ x − n1 x
−
2
1 x n2
1
1 2
=
1 x n2
+ 12 x 2 −
= 0+
1 2
1 x2 2n
2
x –0 =
1 2
2
x
31. Keuntungan seorang pedagang bertambah setiap bulan dengan jumlah yang sama. Bila keuntungan sampai bulan ke-4 Rp. 30.000,00, dan sampai bulan ke-8 Rp. 172.0000,00, maka keuntungan samapai bulan ke-18 adalah … a. 1.017 ribu rupiah c. 1.100 ribu rupiah e. 1.137 ribu rupiah b. 1.050 ribu rupiah d. 1.120 ribu rupiah (Matematika ’98 Rayon A) Jawab : A Misal Un Keuntungan pada bulan ke-n. Karena Un − Un−1 = tetap, maka keuntungan sampai bulan ke-n adalah Sn deret aritmatika S4 = 4 (2a + 3b) = 30.000 ⇒ 2a + 3b = 15.000 S8 =
2 8 2
(2a + 7b) = 172.000
⇒
2a + 7b = 43.000
− 4b = −28.000
b = 7.000 Akibatnya 2a + 3 ⋅ 7.000 = 15.000 ⇒ 2a = −6.000 ⇒ a = −3.000 Jadi S18 = 18 (2a + 17 b) = 9( −6.000 + 119.000) = 1017.000 2
Barisan dan Dere
162 32. Seorang karyawan menabung dengan teratur setiap bulan. Yang ditabungkan setiap bulan selalu lebih besar dari yang ditabungkan bulan sebelumnya dengan selisih yang sama. Bila jumlah seluruh tabungannya dalam 12 bulan pertama adalah 192 ribu rupiah dan dalam 20 bulan pertama adalah 480 ribu rupiah, maka besar yang ditabungkan dibulan ke-10 adalah … a. 97 ribu rupiah
c. 23 ribu rupiah
e.
b. 28 ribu rupiah
d. 117 ribu rupiah
23 ribu rupiah 2
8
(Matematika ‘98 Rayon B) Jawab : C Misalkan Un uang yang ditabungkan pada bulan ke n. Karena Un − Un−1 = tetap, maka jumlah seluruh tabungan pada bulan ke-n adalah Sn deret aritmatika S12 = 12 (2a + 11b) = 192.000 ⇒ 2a + 11b = 32.000
S20 =
2 20 2
(2a + 19b) = 480.000
⇒
2a + 19b = 48.000
− 8b
= −16.000 b = 2.000 Akibatnya 2a + 22.000 = 32.000 ⇒ a = 5.000 Jadi U10 = a + 9b = 5.000 + 9 ⋅ 2.000 = 23 ribu rupiah 33. Pada sebuah kursus yang baru dibuka, murid baru yang mendaftar setiap bulan bertambah dengan jumlah yang sama. Jumlah murid baru yang mendaftar pada bulan ke-2 dan murid baru yang mendaftar pada bulan ke-4 berjumlah 20 orang, sedangkan yang mendaftar pada bulan ke-5 dan ke-6 adalah 40 orang. Jumlah semua murid kursus tersebut dalam 10 bulan pertama adalah … a. 220 orang b. 200 orang c. 198 orang d. 190 orang e. 180 orang (Matematika ’98 Rayon C) Jawab : B Masalah diatas merupakan deret aritmatika dengan U2 + U4 = 2a + 4b = 20 U5 + U6 = 2a + 9b = 40 − 5b = −20 b=4 Akibatnya 2a + 16 = 20 ⇒ a = 2 Jadi S10 = 10 (2a + 9b) = 5(4 + 36) = 200 2
o
34. Diketahui segitiga OP1P2 dengan sudut siku-siku pada P2 dan sudut puncak 30 pada O. Dengan OP2 sebagai sisi miring dibuat pula segitiga siku-siku OP 2P3 o dengan sudut puncak P2OP3 sebesar 30 . Selanjutnya dibuat pula segitiga sikuo siku OP3P4 dengan OP3 sebagai sisi miring dan sudut puncak P3OP4 sebesar 30 . Proses ini dilanjutkan terus menerus. Jika OP1 = 16, maka jumlah luas seluruh segitiga adalah … a. 64 3 b. 128 c. 128 3 d. 256 e. 256 3 (Matematika ’99 Rayon A, Rayon B, Rayon C )
Barisan dan Dere
163 Jawab : C O
0 P1P2 = OP1 ⋅ sin30 = 16 ⋅ 1 = 8 o
30
P4
P2
OP2 = OP1 ⋅ cos30 = 0
P3
P2P3 = OP2 ⋅ sin30 = 0
P1
L1 = luas ∆OP1P2 =
1 2
OP3 = OP2 ⋅ cos30 = 0
2 1 16 3 =8 3 2 8 3 1 =4 3 2 8 3 1 3 = 12 2
⋅
⋅
⋅
OP2 ⋅ P1P2 = 32 3
L2 = luas ∆OP2P3 = 1 OP3 ⋅ P2P3 = 24 3 2
S = L1 + L2 + L3 + … = a
1− r
= 32 33 = 128 3 1−
4
Barisan dan Dere
164
Kumpulan Matematika Dasar Barisan Dan Deret 1. Dari deret aritmetika diketahui U6 + U9 + U12 + U15 = 20, maka S 20 = …. (A) 50 (B) 80 (C) 100 (D) 200 (E) 400 (UMPTN 99 RY A) 2
2. Diketahui p dan q adalah akar-akar persamaan kuadrat 2x + x + a = 0. Jika p, q, dan pq/2 merupakan deret geometri maka a sama dengan (A) 2 (B) 1 (C) 0 (D) −1 (E) −2 (UMPTN 99 RY A). 3. Dari deret geometri diketahui U4 : U6 = p dan U2 x U8 = (A) p
(B) 1p
(C)
(D)
p
1 p
1 p
, maka U1 = ….
(E) p p
(UMPTN 99 RY A) 4. Tiga bilangan membentuk barisan arimetika. Jika suku ketiga ditambah 2 dan suku kedua dikurangi 2 diperoleh barisan geometri. Jika suku ketiga barisan arimetik ditambah 2 maka hasilnya menjadi 4 kali suku pertama. Maka beda barisan aritmetika adalah …. (A) 1 (B) 2 (C) 4 (D) 6 (E) 8 (UMPTN 99 RY A) 2
o
4
o
6
o
n
2n
o
5. Jumlah deret tak hingga 1 – tan 30 + tan 30 – tan 30 + … + (–1) tan 30 + … (A) 1 (B) 1 (C) 3 (D) 3 (E) 2 2
4
2
(UMPTN 99 RY A) 6. Jika r = rasio (pembanding) suatu deret geometri tak hingga yang konvergen dan S
adalah jumlah deret geometri tak hingga 1 +
1
3+ r
(A) (B)
1 4 3 8
< S <1
(C)
(D)
2 3 < 4
1 5 1 3
(3+ r )
2
+
1 (3+ r )
3
+…
(E) 3 < S < 4
4 3
4
3
(UMPTN 98 Ry A, B, C) 7. Jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika ditentukan oleh rumus 2 Sn = 2n – 6n. Beda deret tersebut adalah … (A) –4 (B) 3 (C) 4 (D) 6 (E) 8 (UMPTN 98 RY A) u1 u 3 8. Diketahui matriks A = u u dan un adalah suku ke-n barisan a ri tm at ik a.
(
2
4
)
Jika u6 = 18 dan u10 = 30, maka determinan matriks A = … (A) –30 (B) –18 (C) –12 (D) 12 (E) 18 (UMPTN 98 RY A) 9. Setiap kali Ani membelanjakan
1 5
bagian uang yang masih dimilikinya dan tidak
memperoleh pemasukan lagi. Jika sisa uangnya kurang dari
1 3
uang semula,
berarti Ani paling sedikit sudah belanja … kali. (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 (E) 8 (UMPTN 98 Ry A)
Barisan dan Dere
165 2
2
2
2
3
10. Agar deret geometri log(x + 1) + log (x + 1) + log (x + 1) + … konvergen, maka batas-batas nilai x adalah … (A) –1 < x < 1 (C) – 1 < x < 1 (E) –3 < x < 0 2
(B) 0 < x < 1
(D) –2 < x < 0
(UMPTN 98 Ry B) 2
11. Jumlah n suku pertama suatu deret adalah S n = 2n – n. Deret tersebut adalah … (A) deret aritmatika dengan beda 2 (B) deret aritmatika dengan beda 4 (C) deret geometri dengan rasio 2 (D) deret geometri dengan rasio 4 (E) bukan deret aritmatika dan bukan deret geometri. (UMPTN 98 RY B) 12. Di suatu daerah pemukiman baru angka (tingkat) pertumbuhan penduduk adalah 10% per tahun. Kenaikan jumlah penduduk dalam waktu 4 tahun adalah … (A) 40,0% (B) 42,0% (C) 43,0% (D) 46,4% (E) 61,1% (UMPTN 98 RY B) 2
13. Jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika dinyatakan dengan S n = 2n – n. Maka suku ke-12 deret tersebut adalah … (A) 564 (B) 276 (C) 48 (D) 45 (E) 36 (UMPTN 98 RY C) 2
3
14. Log a + log(ab) + log(ab ) + log(ab ) + … adalah deret aritmatika. Maka jumlah 6 suku pertama sama dengan … (A) 6 log a + 15 logb (C) 6 log a + 18 logb (E) 7 log a + 12 logb (B) 6 log a + 12 logb (D) 7 log a + 15 logb (UMPTN 98 RY C ) 15. Selama 5 tahun berturut-turut jumlah penduduk kota A berbentuk suatu deret geometri. Pada tahun terakhir, jumlah penduduknya 4 juta. Sedangkan jumlah
tahun pertama dan ketiga sama dengan 1 1 juta. Jumlah penduduk kota A, pada 4
tahun keempat adalah … (A) 1,50 juta (C) 2,00 juta (B) 1,75 juta (D) 2,25 juta
(E) 2,50 juta
(UMPTN 98 Ry C) 16. Jika suku pertama dari deret aritmatika adalah 5, suku terakhir adalah 23 dan selisih suku ke-8 dengan suku ke-3 adalah 10, maka banyak suku dalam deret itu adalah … (A) 16 (B) 14 (C)12 (D) 10 (E) 8 (UMPTN 97 Ry A ) 17. Jika deret geometri konvergen dengan limit – 8 dengan suku ke-2 dan suku ke-4 berturut-turut 2 dan (A) 4
(B) 1
3 1 , maka suku pertamanya adalah … 2 (C) –4 (D) 1 (E) –8 2
(UMPTN 97 Ry A)
Barisan dan Dere
166 18. Antara dua suku yang berurutan pada barisan 3, 18, 33, … disisipkan 4 bilangan sehingga membentuk barisan aritmatika yang baru, Jumlah 7 suku pertama dari barisan yang terbentuk adalah … (A) 78 (B) 81 (C) 84 (D) 87 (E) 91 (Umptn 97 RyB) 19. Jika Un adalah suku ke n suatu deret aritmatika dan U1 + U2 + U3 = –9, U3 + U4 + U5 = 15. Maka jumlah lima suku pertama deret tersebut adalah … (A) 4 (B) 5 (C) 9 (D) 15 (E) 24 (Umptn 97 Ry B) 20. Suku ke-n barisan aritmatika adalah Un = 6 n + 4. Disetiap antara 2 sukunya disisipkan 2 suku yang baru sehingga terbentuk deret aritmatika. Jumlah n suku pertama deret yang terjadi adalah … 2 2 2 (A) Sn = n + 9n (C) Sn = n + 8n (E) Sn = n + 6n 2 2 (B) Sn = n − 9n (D) Sn = n − 6n (Umptn 97 Ry C) 2
21. Diberikan deret geometri tak hingga dengan U1 = 1 dan rasio r = x – x. Jika deret tersebut konvergen, maka x memenuhi (A) 1 2 (B) 1 2 (C)
– 2
(D) 1 ( 1 – 5 ) < x < 1 ( 1 + 5 )
(1 – 3 ) < x < 1 (1 + 3 )
(E) 1 – 5 < x < 1 +
2
2
2
1– 3 < x < 1 +
2
5
3
(UMPTN 97 RY C) 22. Jika dalam deret aritmatika b adalah beda, s adalah jumlah n suku pertama, dan n adalah banyaknya suku, maka suku pertama deret tersebut dapat dinyatakan sebagai (A) a = 2s – 1 (n + 1)b (C) a = 2s + 1 (n – 1)b (E) a = 2s – 1 (n – 1)b n
(B) a
2
= s + 1 (n + 1)b n 2
(D)
n 2 s 1 a = – (n n 2
n
2
– 1)b
(UMPTN 96 Ry A) suatu barisan geometri tak hingga adalah pos itif , 23. Suku-suku jumlah suku U1 + U 2 = 45 dan U3 + U 4 = 20, maka jumlah suku-suku barisan itu adalah (A) 65 (B) 81 (C) 90 (D) 135 (E) 150 (UMPTN 96, Ry A) 24. Sn adalah jumlah n suku pertama deret aritmatik. Jika a adalah suku pe rtama dan b beda deret itu, maka nilai Sn+2 – Sn adalah … (A) 2 (a + nb) – 1 (C) 2a + b(2n + 1) (E) a + nb + 1 (B) 2a + nb + 1 (D) a + b (n + 1) (UMPTN 96 Ry B) 25. Dalam suatu barisan geometri U1 + U3 = p, dan U2 + U4 = q, maka U4 = … (A) (B)
p3 p2
+ q2 q3
p2
+
q2
(C)
+ q3 p2 + q2
(D)
q2
p3
p2
(E)
+ q3 p2 + q2 p2
+ q2
(UMPTN 96 RY B)
Barisan dan Dere
167 26. Jumlah n suku pertama suatu deret ditentukan suatu rumus tn – tn–1, dengan 2 tn = n – n. Suku ke sepuluh deret tersebut adalah … (A) 1 (B) 1 (C) 3 (D) 2 (E) 5 2
2
2
(UMPTN 96 Ry C) 27. Diketahui barisan aritmatik log 2, log 4, log 8,… Jumlah delapan suku pertama barisan itu adalah … (A) 8 log 2 (B) 20 log 2 (C) 28 log 2 (D) 36 log 2 (E) 40 log 2 (UMPTN 96 Ry C) 28. Dari sebuah deret aritmatika diketahui bahwa jumlah 4 suku pertama, S4 = 17 dan S8 = 58, maka suku pertama sama dengan … (A) 3 (B) 1 (C) 4 (D) 5 (E) 2 (UMPTN 96 Ry C) 29. Jika suku pertama deret geometri adalah 3 m 2 adalah m , maka suku ke-21 adalah (A) m8 3 m 2 (C) m4 3 m 2 (E) 3 m 2 6 2 (B) m 3 m 2 (D) m 3 m 2
dengan m > 0, sedang suku ke-5
(UMPTN 95, Ry A Ry B & Ry C) 30. Diketahui deret log 2 + log 4 + log 8 + … (A) deret hitung dengan beda b = 2 (B) deret hitung dengan beda b = log 2 (C) deret ukur dengan pembanding p = 2 (D) deret ukur dengan pembanding p = log 2 (E) bukan deret hitung maupun deret ukur
(UMPTN 95 Ry A) 31. Sebuah bola jatuh dari ketinggian 10 m dan memantul kembali dengan ketinggian 3 / 4 kali tinggi sebelumnya. Pemantulan ini berlangsung terus menerus hingga bola berhenti. Jumlah seluruh lintasan bola adalah (A) 60 m (B) 70 m (C) 80 m (D) 90 m (E) 100 m (UMPTN 95 Rayon A) 32. Tiga bilangan merupakan barisan aritmatika. Jika jumlah ketiga bilangan itu 36 dan hasil kalinya 1536, maka bilangan terbesarnya adalah (A) 12 (B) 16 (C) 18 (D) 21 (E) 24 (UMPTN 95 Ry A) Dari suatu barisan aritmatika diketahui suku ke-1, ke-2 dan ke-6 merupakan 33. barisan geometri, sedangkan jumlah ketiga suku tersebut sama dengan 42. Maka beda barisan aritmatika itu adalah (A) 7 (B) 6 (C) 4 (D) 3 (E) 2 (UMPTN 95 Rayon B) 3 3 3 3 3 3 34. log 2, log 4, log 8, log 16, log 32, log 64. Bilangan-bilangan tersebut membentuk (A) deret ukur dengan pembanding log 2 (B) deret hitung dengan beda 2 (C) deret hitung dengan beda log 2 (D) deret ukur dengan pembanding 2 (E) bukan deret hitung maupun deret ukur (UMPTN 95 Rayon B)
Barisan dan Dere
168 35. Sebuah bola jatuh dari ketinggian 1 m dan memantul kembali dengan ketinggian 3 / 4 kali tinggi sebelumnya. Pemantulan ini berlangsung terus menerus hingga bola berhenti. Jarak seluruh lintasan bola adalah (A) 6 m (B) 7 m (C) 8 m (D) 9 m (E) 10 m (UMPTN 95 Rayon B) 2
36. Akar-akar dari x + bx + 8 = 0 adalah x1 dan x2 semuanya positif dan x2 > x1. supaya x1, x2, dan 3x1 berturut-turut suku pertama, suku kedua, dan suku ketiga dari deret aritmatika, maka b = … (A) 6 (B) 4 (C) 2 (D) −4 (E) −6 (UMPTN 95 Rayon C) 37. Diketahui deret 3log 2 + 6log 2 + 12log 2 + … Deret ini 3 (A) merupakan deret hitung dengan beda log 2 (B) merupakan deret hitung dengan beda log 3 3 (C) merupakan deret ukur dengan pembanding log 2 3 2 (D) deret ukur debgan pembanding log 2 (E) bukan deret hitung maupun deret ukur
(UMPTN 95 Rayon C) 38. Dari sebuah deret aritmatika diketahui bahwa jumlah 4 suku pertama, S4 = 17 dan S8 = 58, maka suku pertama sama dengan (A) 3 (B) 1 (C) 4 (D) 5 (E) 2 (UMPTN 95 Rayon C) 39. Sebuah bola jatuh dari ketinggian 2,5 m dan memantul kembali dengan ketinggian 3 / 5 kali tinggi sebelumnya. Pemantulan ini berlangsung terus menerus hingga bola berhenti. Jarak seluruh lintasan bola adalah …….. (A) 5 m (B) 7,5 m (C) 9 m (D) 10 m (E) 12,5 m (UMPTN 95 Rayon C) 2
40. Jika jumlah n suku pertama suatu deret didefinisikan sebagai Sn = 12 n – n , maka suku kelima deret tersebut adalah (A) – 1 (B) 1 (C) – 3 (D) 3 (E) 0 (UMPTN 94 Rayon A No 21) 2 1 41. Persamaan 2x + x + k = 0 mempunyai akar-akar x1 dan x2. Jika x1, x 2.dan / 2 (x1 . x2) merupakan suku pertama, kedua dan ketiga suatu deret geometri, maka suku keempat deret tersebut (A) – 4 (B) – 1 (C) 1 (D) 1 (E) 8 4
8
(UMPTN 94 Ry A, Ry B, Ry C) 42. Jika suku pertama deret geometri tak hingga adalah 1, sedang jumlah suku-suku yang bernomor ganjil = 2, maka jumlah deret dengan rasio yang positif adalah (A) 4 (C) 3 (E) 2 4− 5 3 (B) 3− 6
3− 5 (D) 2 2− 2
2− 3
(UMPTN 94 Rayon A) 43. Suku pertama dan suku keempat suatu deret geometri berturut-turut adalah 2 dan 1 / 4. Jumlah 6 suku pertama deret tersebut adalah (A) 4 63 (B) 4 31 (C) 2 63 (D) 63 (E) 63 64
32
64
32
16
(UMPTN 94 Rayon B)
Barisan dan Dere
169 44. Jika suku pertama deret geometri tak hingga adalah a dan jumlahnya 5, maka (A) –5 < a < 0 (C) 0 < a < 8 (E) –8 < a < 10 (B) –8 < a < 0 (D) 0 < a < 10 (UMPTN 94 Rayon B) 2
45. Deret geometri tak hingga dengan ratio log(x – 3) adalah konvergen, apabila x memenuhi 1 1 (A) 3 < x < 5 (C) 3 / 2 < x < 5 (E) 4 < x < 5 / 2 (B) 3 < x <31 / 2 (D) 31 / 4 < x < 4 (UMPTN 94 Rayon B) 46. Jika jumlah deret geometri tak hingga adalah 12 dan suku keduanya –5 1 / 3, maka su ku pe rt a ma deret tersebut adalah : (A) 13 (B) 14 (C) 15 (D) 16 (E) 17 (UMPTN 94 Rayon C) 47. Banyaknya suku suatu deret aritmatika adalah 15, suku terakhir adalah 47 dan jumlah deret sama dengan 285. Suku pertama deret ini adalah (A) – 9 (B) – 5 (C) 0 (D) 3 (E) 5 (UMPTN 94 Rayon C) 48. Pada segitiga sama sisi ABC yang mempunyai sisi a, digambarkan titik-titik 1 1 1 A , B , C berturut-turut di tengah sisi BC, CA, dan AB sehingga terjadi segitiga A’B’C’. Proses semacam ini dikerjakan pada segitiga A”B”C”, dan seterusnya. Maka jumlah luas segitiga ABC, A’B’C’, A”B”C”, dan seterusnya adalah 2 (A) 4 a 3 3
C
2
(B)
3 4
(C)
1 4
a
(D)
1 3
a
(E)
2 3
a
a
2
3 3
B’
3
A”
2 2
A
3
C”
A’ B”
C’
B
(UMPTN 93 Ry A, Ry B, Ry C) 49. Jumlah bilangan bilangan bulat antara 250 dan 1000 yang habis dibagi 7 (A) 45692 (B) 66661 (C) 73775 (D) 80129 (E) 54396 (UMPTN 93 Ry A ) x
log 2 50. Jika 0 < x < 1 dan deret tak terhingga 1 + konvergen, maka (A) 0 < x < 14 (C) 14 < x < 12 (E) 14 < x < 1 (B) 0 < x <
1 2
(D)
1 2
+
x
( log 2 )
2
+
…
< x < 1 (UMPTN 93 Rayon B)
51. Jika pada suatu deret aritmatika suku ke 7 dan suku ke 10 berturut-turut 13 dan 19, maka jumlah 20 suku pertama adalah (A) 100 (B) 200 (C) 300 (D) 400 (E) 500 (UMPTN 93 Rayon B)
Barisan dan Dere
170 52. Tiga bilangan membentuk deret aritmatik, jumlah ketiga bilangan itu 75, sedang selisih kuadrat bilangan ketiga dan kuadrat bilangan pertama 700, maka ketiga bilangan itu adalah (A) 20, 25, 30 (C) 5, 25, 45 (E) 18, 25, 32 (B) 10, 25, 40 (D) 0, 25, 50 (UMPTN 93 Rayon C) 53. Sisi-sisi suatu barisan aritmatik. Jika sisi miringnya 40, maka sisi siku-siku yang terpendek adalah (A) 8 (B) 16 (C) 20 (D) 24 (E) 32 (UMPTN 92 Rayon A) 54. Jika jumlah tak hingga deret a + 1 + 1 + 12 + 1 + … 3 a
adalah 4a, maka a = (A) 4 (B) 3 3
(C) 2
2
a
(D) 3
a
(E) 4
(UMPTN 92 RAYON A) 2 55. Suatu deret geometri dengan suku pertama a dan pembanding log(x−3). Deret ini mempunyai limit bila x memenuhi (A) 3 < x < 4 (C) 2,5 < x < 5 (E) 4 < x < 5 (B) 3 < x < 5 (D) 3,5 < x < 5 (UMPTN 92 Rayon A) 56. Jumlah deret geometri tak hingga 2 + 2 + 1 +… (A) 4 2 (B) 2 − 2 (C) 2+ 2 (D) 4 −2 2 (E) 4+2 2 (UMPTN 92 Rayon B) 57. Sisi-sisi sebuah segitiga siku-siku membentuk barisan aritmatik. Jika sisi siku-siku terpanjang 16 cm, maka sisi miring (A) 18 cm (B) 20 cm (C) 22 cm (D) 24 cm (E) 32 cm (UMPTN 92 Rayon B) 58. Jumlah deret geometri 3 + 3 + 1 + … (A) 9 3 (C) 3 (3 + 3 ) (E) 9( 3 + 3 ) 2
(B) 3 + 3
(D) 3( 3 +
3)
(Umptn 92 Rayon C) 59. Sisi sebuah segitiga siku-siku membentuk barisan aritmatika. Jika sisi terpendek adalah 24 cm, maka sisi siku-siku yang lain adalah (A) 28 cm (B) 32 cm (C) 34 cm (D) 36 cm (E) 40 cm (UMPTN 92 Rayon C) 60. Untuk 0 <
α < π2 , maka deret tak hingga sin α + sinα cos2α + sinα cos4α + …
mempunyai jumlah : (A) cosα
(B) sinα
(C) 1
sin α
(D) 1
cos α
(E) tanα (UMPTN 92 Rayon C )
61. Penyelesaian yang bulat positif persamaan 1 + 3 + 5 + . . .+ ( 2 n − 1 ) 115 = 2
(A) 58
+
4
+ 6 + . . .+ 2 n
(B) 115
116
(C) 116
(D) 230
(E) 231 (Umptn 91 Ryn A, Ryn B, Ry C)
Barisan dan Dere
171 62. Jumlah k suku pertama deret n − 1 + n − 2 + n − 3 + … dst adalah n
n
n
(A) k { 2n – (k – 1) } (B) (C)
1 2n
(C)
{ n – (k – 1) }
k 2n
k n
{ 2n – (k – 1 ) }
(E) n k { n – (k – 1 ) }
{ 2n – (k +1 ) } (UMPTN 91 Rayon A)
63. Seorang pemilik kebun memetik jeruknya setiap hari, dan mencatatnya. Ternyata banyaknya jeruk yang dipetik pada hari ke-n memenuhi rumus U n = 80 + 20 n. Banyaknya jeruk yang dipetik selama 18 hari yang pertama adalah (A) 4840 hari (C) 4860 hari (E) 4880 hari (B) 4850 hari (D) 4870 hari (UMPTN 91 Rayon A) 64. Jika tn adalah suku ke-n dari suatu deret geometri dan p > 3, maka tp-3 . t 3p+5 sama dengan 2 2 (A) ( 2 tp + 1 ) (C) ( t2p ) (E) tp – 1 2 2 ( t ) ( t ) (B) 2p+1 (D) 2p–1 (UMPTN 91 Rayon B) 65. Persentase pertambahan penduduk setiap tahun untuk suatu kota tidak berubah, sejak 1980 sampai dengan tahun 1990. Penduduk kota itu pada tahun 1980 adalah A orang, dan pada tahun 1990 adalah B orang. Banyaknya penduduk pada tahun 1985 adalah (A) A B (B) A B (C) B A (D) AB (E) A AB (UMPTN 91 Rayon B) 66. Jika diketahui p = log 5 + log2 5 + log3 5 +… maka nilai dari 2p adalah 2 5 (A) 2 (B) log 5 (C) log 5 (D) 5 (E) log 2 (UMPTN 91 Rayon B) 67. Seutas tali dipotong 5 bagian dengan panjang masing-masing bagian membentuk barisan aritmatika. Bila tali yang terpendek adalah 4 cm dan tali yang terpanjang 108 cm, maka panjang tali semula adalah (A)160 cm (B)180 cm (C)240 cm (D)280 cm (E)300 cm (Umptn 91 Rayon C No 18) 68. Diketahui bahwa A = 2 dan B = 1 + 9(0,1) + 9(0,1)2 + 9(0,1)3 + ... + 9 (0,1) 6784 , maka (A) A
(C) A=B
(D) A=0,9 B
(E) A = B 2
(B) A>B
(UMPTN 91 Rayon C) 3
69. Diketahui sebuah deret geometri turun tak hingga dengan U1 – U3 = 8 dan log 3 3 U1 + log U2 + logU3 = 3, maka jumlah deret tersebut sama dengan (A) 12 (B) 2 12 (C) 9 12 (D) 10 12 (E) 13 12
(UMPTN 91 Rayon C)
Barisan dan Dere
