I. GARIS PENGARUH ( INFLUENCE LINE ) 1. Umum
Pada bab sebelumnya telah dibicarakan mengenai reaksi, gaya lintang, momen dan gaya normal suatu struktur oleh adanya beban luar yang bersifat statik (tetap) pada suatu posisi. Berikut ini akan dibicarakan cara menghitung suatu reaksi, gaya lintang, momen dan gaya normal suatu struktur sederhana, batang tersusun, rangka batang tiga sendi, pelengkung tiga sendi dan kerangka 2D oleh berbagai macam beban bergerak.
2. Struktur batang sederhana (simple ( simple beam) beam) a.
Garis pengaruh reaksi
Bila beban sebesar sebesar 1 satuan (P) dijalankan dijalankan dari titik A ke titik B maka reaksi pada tumpuan A akan bervariasi memenuhi rumus: Ra = P.x/L persamaan persamaan ini merupakan merupakan persamaan linear y = a.x dengan a = P/L. Pada saat x = L maka Ra P=1 (a )
B
A
= 1 dan pada pada saat saat x = 0 maka Ra = 0
G a r isi s p e n g a r u h r e a k s i A (b )
1
dapat
dilihat
garis itu seperti
gambar (b) di samping ini. Bidan idang g di ant antara ara gari gariss G a r isi s p e n g a r u h r e a k s i B 1
(c)
luru luruss mirin iring g dan dan gari gariss datar datar menunj menunjukka ukkan n nilainilainilai banding ( 0 sampai dengan 1) reaksi tumpuan
Gb.1.1. Garis pengaruh reaksi tumpuan
A oleh beban yang bekerja
di sepanjang bentangan AB. Demikian Demikian pula untuk mengetahui pengaruh pengaruh beban luar pada tumpuan B dapat dilakukan dengan cara serupa : Rb = P.(L-x)/L = P – P.x/L
persamaan garis lurus y = ax – b
b.
Garis pe pengaruh momen
Garis pengaruh momen dapat dilakukan dengan cara seperti berikut. Dalam contoh di bawah ini akan diamati g.p momen di titik I yang berjarak a dari tumpuan A :
a. Letakkan beban 1 satuan di atas titik B
amati momen di titik I
momen pada titik I sebesar 0
satuan
gambarkan garis tegak
senilai 0 satuan di atas titik B (berskala) b. Letakkan beban 1 satuan di atas titik I
amati momen di titik I
momen pada titik I sebesar
a.b/L (positive) P =1 I
A (a )
B
gambarkan
garis tegak di atas titik I sebesar
b
a
a.b/L (berskala)
P = 1 I
( bA )
B Ba g i a n a K n a n
(c )
c. Letakkan beban 1 satuan di atas titik A
amati momen di titik I
i r i B a g ia n K
(d )
momen pada titik I sebesar 0
G a r is I p e n g a r uh M o m e n
b
B a g ia n K a n a n
satuan
gambarkan garis tegak
a
( e ) ri Ba g ai n K G a r is p I e n g a r u h g a y a l i n t a n g B a g ia n Ka n a n
senilai 0 satuan di atas titik A (berskala)
(f ) B a g i a n K ir i
G a r is p I e n g a r u h g a y a l i n t a n g (g )
1
B a g ia n Ka n a n
d. Hubungkan ujung-ujung ketiga
B a g i a n K ir i 1
titik tersebut
g.p momen di
titik I terbentuk e. Apabila garis-garis hubung itu di teruskan hingga memotong garis tegak di atas tumpuan A maka panjang garis tegak di atas A itu sebesar a dan di atas tumpuan B sebesar b, sehingga sebenarnya Gb.1.2. Garis pengaruh momen
g.p itu dapat juga dibuat dengan terlebih dahulu menarik garis
tegak di atas A sebesar a, di atas B sebesar b dan menghubungkan ujung-ujungnya
menyilang dengan titik 0 pada tumpuan B dan A yang memotong garis tegak di atas titik I
c.
Garis pengaruh gaya lintang
Perlu diingat kembali bahwa gaya lintang memiliki dua polaritas yaitu positif dan negatif. Tanda / polaritas positif apabila gaya-gaya di sebelah kanan potongan bergerak ke bawah dan di sebelah kiri ke atas dan sebaliknya. Garis pengaruh gaya lintang dari struktur sama dengan gambar 1.2.f dan 1.2.g akan diselesaikan dengan cara seperti berikut ini: Letakkan beban 1 satuan pada titik B amati gaya lintang pada titik I
a.
nilai gaya lintang di titik I = 0 satuan gambarkan garis tegak sebesar 0 satuan di
atas B. b.
Letakkan beban 1 satuan di atas I
amati gaya lintang pada titik I
nilai gaya lintang di titik I = b/L satuan (positif) gambarkan garis tegak sebesar b/L satuan di atas I. Hubungkan ujung-ujung garis tegak itu Letakkan beban 1 satuan pada titik A amati gaya lintang pada titik I
c.
nilai gaya lintang di titik I = 0 satuan gambarkan garis tegak sebesar 0 satuan di
atas A. Letakkan beban 1 satuan di atas I amati gaya lintang pada titik I
d.
nilai gaya lintang di titik I = a/L satuan (negatif)
gambarkan garis tegak sebesar a/L
satuan di atas I. Hubungkan ujung-ujung garis tegak itu e.
Ternyata bila garis-garis hubung itu dipotongkan dengan garis tegak di atas tumpuan A dan B maka akan memberikan nilai masing-masing sebesar 1 satuan dan –1 satuan. Jadi penggambaran g.p gaya lintang dapat pula dilakukan dengan terlebih dahulu menggambarkan garis tegak 1 satuan dan –1 satuan, kemudian menarik garis lurus ujung-ujungnya ke titik 0 menyilang pada titik B dan A dan memotong garis tegak di titik I.
f.
Tanda positif dan negatif disesuaikan dengan tanda pada gaya lintang oleh beban statik.
3. Struktur kantilever
Garis pengaruh reaksi, momen dan gaya lintang pada kantilever dapat digambarkan dengan cara serupa. Untuk mendapatkan g.p reaksi, momen dan gaya lintang dilakukan dengan cara sebagai berikut : a.
Letakkan
1
satuan
pada ujung kantilever b.
dan amati reaksi di atas tumpuan jepit A c.
Pindahkan
beban
1
satuan di sepanjang bentang dan amati terus reaksi di atas titik A. Reaksi tumpuan tidak berubah oleh beban 1 satuan yang bergerak yaitu sebesar 1 satuan pula
g.p berupa
garis lurus datar (gambar b).
d.
Ulangi butir (a) tetapi amati momen di atas tumpuan A, maka pada saat 1 satuan di ujung kantilever momen di A maksimum, dan pada saat 1 satuan di atas A momen nol. Memenuhi persamaan R = P.x (memenuhi persamaan linear y = a.x) gambar (d)
e.
Untuk mengetahui g.p. momen dan gaya lintang pada titik I dapat dilakukan dengan cara serupa seperti butir (a) dan (b), hanya pengamatan dilakukan pada titik I (gambar c dan e). P = 1
f.
P = 1
M a
Saat 1 satuan di ujung I
(a ) c
A
G a r is P e n g a r u h r e a k s i A
kantilever maka momen di titik I maksimum yaitu = 1.c dan gaya lintang sebesar 1 satuan, (b )
1
sedang pada saat 1 satuan di atas I (sedikit ke kiri) maka momen di I = 0 tetapi gaya (c )
c
G a r is P e n g a r u h M oI m e n
lintang 1 satuan. (d )
g.
Saat
1
satuan
di
G a r is P e n g a r u h M oA m e n
sebelah kiri titik I maka momen dan gaya lintang di titik I = 0
G a r is P e n g a r u h
( e ) G a y I a l in t a n g 1
4. Struktur batang sederhana dengan kantilever
Cara serupa dapat dilakukan pada sistem struktur sederhana dengan kantilever pada salah satu ujungnya. Untuk mencari garis pengaruh reaksi tumpuan A maka : Gb.1.3. Garis pengaruh reaksi, momen dan a. Buat garis lurus sejajar batang A’AB gaya lintang pada kantilever b.
Letakkan beban 1 satuan pada titik A maka Ra = 1 gambarkan garis tegak lurus A’AB sebesar 1 satuan berskala (misal 1 satuan = 2 cm) di atas titik A. Letakkan beban 1
satuan pada titik B
maka Ra = 0
gambarkan garis tegak lurus A’AB sebesar 0
satuan di atas titik B c.
Tarik garis lurus menghubungkan ujung-ujung ke dua garis tegak tersebut
d.
dari gambar ini didapat bahwa di atas titik A’ terdapat garis tegak lurus A’AB sebesar 1 + k/l
e.
dengan cara serupa dapat dilakukan penggambaran g.p reaksi di B yang memberikan P=1
nilai sebesar k/l di atas titik A’ A
(a)
B
Dengan cara serupa dapat
dilakukan penggambaran garis pengaruh pada struktur
G a r is p e n g a r u h r e a k s i A
(b )
+
sederhana dengan kantilever pada kedua ujungnya seperti tergambar di atas (gambar 1.5). 1
1
Satu satuan diletakkan di atas titik B dan dengan demikian reaksi A, Ra = 0. Sedang bila gaya G a r is p e n g a r u h r e a k s i B 1
1 satuan diletakkan di atas titik A maka reaksi A, Ra = 1. Pada saat 1 satuan di ujung (c)
kantilever maka reaksi A tetap ada dan semakin membesar bila gaya 1 satuan itu di sebelah kiri tumpuan A. Demikian pula saat 1 satuan berada di sebelah kanan B maka reaksi A akan berkebalikan (negatif). Dengan cara serupa dapat dicari g.p Gb.1.4. Garis pengaruh reaksi pada batang sederhana dengan satu kantilever reaksi B seperti pada gambar 1.5 disamping. A
P=1
B
I
(a )
A P = 1 dengan kantilever pada satu Pada sistem batang sederhana B II
G a r is p e n g a r u h r e a k s i A (b )
I
(a )
ujungnya dapat pula dicari garis a bpengaruh momen pada berbagai c
1
titik yang diinginkan oleh beban luar yang berjalan di atasnya. G a r is p e n g a r u h r e a k s i B
1
(c) Gb.1.5. Garis pengaruh reaksi pada batang sederhana dengan dua kantilever
(b )
II
A
I
B
Gambar di samping ini menunjukkan bagaimana garis pengaruh itu di buat berdasarkan prinsip di pula gambar 1.2). G a r atas i s P e n g (lihat a r u h M oI m e n
Dari struktur di samping dapat diketahui bahwa oleh beban b a
berjalan di atas bentang AB momen pada titik I positif dan (c )
G a r is P e n g a r u h
a y I a l i n t a n saat g mencapai nilai maksimumnyaG pada beban 1 satuan ada di 1
(d )
atas titik I. Pada saat beban 1 satuan berjalan di atas kantilever 1
maka momen di titik I menjadi negatif dan mencapai nilai pada saat beban 1 G a r maksimumnya is P e n g a r u h M oI I m e n
satuan ada di ujung kantilever. Gaya lintang di titik I( e ) dapat pula diamati perilakunya oleh c
beban berjalan di atas bentang tersebut seperti terlihat pada gambar (1.6.d). G a r is P e n g a r u h G a y IaI L i n t a n g
Bila garis pengaruh di titik II akan dicari maka perlu diketahui bahwa momen dan gaya (f)
1
lintang di titik II hanya dipengaruhi oleh beban berjalan yang berada di sebelah kirinya (ke arah
ujung
kantilever),
sedang beban
yang berada di sebelah
kanannya tidak
mempengaruhinya sama sekali. Di bawah ini ditunjukkan cara menggambar garis pengaruh Gb.1.6. Garis pengaruh momen dan gaya lintang batang sederhana dengan kantilever
momen dan gaya lintang pada berbagai titik yang ditinjau oleh beban yang berjalan di atas tumpuan sederhana dengan kantilever pada I
ke dua ujungnya.
(a)
5.
Contoh pemakaian garis
pengaruh
Dalam merancang elemen jembatan Garis Pengaruh Momen I
(b)
yang dibebani oleh beban bergerak di atasnya harus didasarkan pada keadaan terburuknya yaitu reaksi, gaya lintang dan momen terbesarnya. Variasi beban bergerak
Garis Pengaruh Gaya lintang I
(c)
dari satu peraturan ke peraturan dan dari tahun ke tahun berikutnya dapat berubah. Menggunakan
pengetahuan
garis
pengaruh ini dapat dihitung momen dan gaya lintang struktur oleh berbagai kemungkinan beban. Apabila q.dx merupakan bagian terkecil dari beban terbagi rata, maka momen pada bagian itu (dx) adalah q.dx.hx. Karena hx.dx sama dengan luasan pada garis Gb.1.7. Mencari momen dan gaya lintang maksimum oleh beban bergerak terbagi merata
pengaruh, maka momen oleh beban terbagi rata q sama dengan luasan garis pengaruh di bawah beban q itu dikalikan dengan q = luas bidang sepanjang c-d dikalikan dengan q. Contoh lain di samping ini ditunjukkan bagaimana menghitung momen dan gaya
(a )
lintang pada titik I oleh beban terpusat pada G a r is P e n g a r u h M o mI e n
posisi tersebut. Pertama kali yang harus dilakukan
(b ) G a r is P e n g a r u h G a y a lI in t a n g (c)
Gb.1.8. Menghitung momen dan gaya lintang dengan bantuan garis pengaruh
adalah
menggambar
garis
pengaruh momen dan gaya lintang di titik I. Kemudian, momen dan gaya lintang dapat
diperoleh dengan menjumlahkan hasil perkalian antara gaya itu dengan ordinat pada garis pengaruh di bawah beban itu. Dalam contoh 1.8 diatas, M = - P1.h1 + P2.h2 + P3.h3 dan Q = P1.h’1 - P 2.h’2 + P3.h’3 . Contoh serupa dapat dilihat pada gambar 1.9 dimana momen di titik I oleh beban pada posisi itu sebesar Q = - 4.0,5 + 8.1 + 2.0 m 1.0 m
10.1 = -2 + 8 + 10 = 16 tm
2.0 m
(a ) 2.0 m
4.0 m 8.0 m
G a r i pengalaman s Pengaruh Penskalaan garis pengaruh yang benar akan memberikan keteknikan atau M o m eI n
“engineering sense” yang benar, dan pada akhirnya akan mempercepat penempatan beban 4.0 m yang akan memberikan momen dan gaya lintang yang maksimum. Pemilihan posisi beban ( b 1). 0 m
0.5 m
dapat dilakukan secara “coba dan ralat” dan selalu dapat dibalik arahnya karena beban berjalan dapat terjadi dalam berbagai posisi dan arah.
Gb.1.9. Momen pada titik I oleh pengaruh beban pada Gb.1.10. posisi tersebut Ekivalensi momen dari garis pengaruh α
Garis pengaruh titik S
. Namun demikian jarak antara beban titik, yang mencerminkan jarak gandar kendaraan, umumnya sudah tertentu. Bila ada beberapa beban terpusat P1 hingga Pn maka pengaruh beban-beban terpusat itu pada momen ataupun gaya lintang dapat diperoleh dengan mengalikan resultan gaya-gaya itu (R = P1 + P2 + P3 + …. Pn) dengan ordinat garis pengaruh di bawah resultan itu. Hal itu dapat dijelaskan sebagai berikut. M = P1. h1 + P2. h2 + … Pn.hn bila tan(α) = h1/a1, tan(α) = h2/a2 … dst. M = { P1. a1 + P2. a2 + … Pn.an }tan(α) = R.a0 tan(α) = R.h0
6. Struktur batang Gerber (beban tidak langsung)
Kenyataan pada struktur jembatan 3D umumnya gelagar utama tidak menerima beban berjalan secara langsung tetapi melalui gelagar lintang floor ( beam) yang berhubungan langsung dengan plat lantai jembatan. Beban yang diterima oleh gelagar utama/ gelagar bujur ( girder ) berupa beban titik pada tumpuan gelagar lintangnya ( floor beam). Struktur demikian memberikan keuntungan bahwa momen dan gaya lintang dapat sedikit berkurang. Pengaruhnya pada g.p. reaksi dari beban tidak langsung ini “tidak ada”. Tatacara Gelagar lintang (a)
Lantai jembatan
A
Garis Pengaruh Reaksi A
garis
pengaruh momen dan gaya lintang B
Gelagar utama
penggambaran
sama dengan penggambaran g.p untuk struktur
dengan
beban
langsung,
hanya pada sekitar tumpuan gelagar lintangnya
garis
pengaruh
itu
dihubungkan (ada connecting line).
(b)
Perhatikan
Garis Pengaruh Reaksi B
perbedaan
itu
yang
memberikan pengurangan pada bidang
(c)
yang diarsir. Ini berarti pengurangan Garis Pengaruh Momen I Garis penghubung
momen dan gaya lintang yang harus ditanggung oleh batang utama/ gelagar utama. Kesamaan hasil akan terjadi
(d)
bila titik yang diamati persis pada titik Garis Pengaruh Gaya Lintang I
dimana
gelagar
melintang
( floor
beam) itu berada.
(e) Garis penghubung
Garis pengaruh reaksi pada sistem struktur ini tidak berbeda dari sistem
Gb.1.11. Garis pengaruh reaksi, momen dan gaya struktur sederhana sebelumnya. lintang pada batang sederhana dengan beban tidak Perbedaan terdapat pada bentuk garis langsung pengaruh momen dan gaya lintang. Penggambaran garis pengaruh momen dilakukan dengan cara serupa dengan batang sistem sederhana. Di samping akan dibuat garis pengaruh momen dan gaya lintang pada titik I. Caranya sebagai berikut. 1. Gambar garis tegak di atas titik A sebesar a (jarak titik I terhadap A). 2. Tarik garis lurus dari puncak garis tegak tersebut ke titik B, memotong garis tegak melalui
I. 3. Hubungkan titik potong ini dengan titik A. 4 Potongkan garis tegak melalui balok anak di sekitar titik I hingga memotong garis pengaruh dan hubungkan titik-titik potong tersebut. Dengan cara serupa dapat dibuat garis pengaruh gaya lintang. Caranya sebagai berikut : buat garis tegak sebesar 1 satuan di atas titik A dan di bawah titik B, kemudian hubungkan puncak-puncak garis tegak tersebut dengan titik tumpuan menyilang hingga memotong garis tegak melalui balok-balok anak di sekitar titik I. Hubungkan titik-titik potong garis tersebut. (a) Garis Pengaruh Momen I
(b) Garis Pengaruh Gaya Lintang I
(c)
Gb.1.12. pengaruh dan gaya pada sederhana beban langsung.
Garis momen lintang batang dengan tidak
Garis Pengaruh Momen II (d) Garis Pengaruh Gaya Lintang II (e)
Di atas ini contoh penyelesaian batang Gerber dengan kantilever pada salah satu ujungnya. Garis pengaruh momen dan gaya lintang di titik I dan II dapat dicari dengan cara serupa seperti di atas. 7. Struktur bentang banyak statik tertentu (multispan statically determinate )
Struktur bentang banyak dapat berupa statik tertentu dan statik tidak tertentu. Pada kesempatan ini hanya akan dibicarakan bentang banyak statik tertentu. Ciri-ciri struktur statik tertentu ialah bahwa sendi tambahan sama dengan jumlah batang pada tumpuan dikurangi tiga:
Gb.1.13. Batang menerus statik tertentu
S=M-3 Dalam gambar 1.13.a struktur itu dikatakan statik taktentu, karena jumlah sendi S lebih besar dari nol (0). Untuk itu karena jumlah batang dalam tumpuan = 7, maka diperlukan tambahan sendi S = 7-3 = 4 buah. Namun perlu diketahui bahwa penempatan sendi tambahan harus sedemikian hingga membentuk struktur yang stabil. Sedang struktur yang stabil dalam sistem bentang banyak ini dapat diketahui dengan cara memotong elemen batang melalui sendi-sendi yang ditambahkan dan memastikan batang satu akan ditumpu oleh batang yang lain hingga seluruh batang akan tertumpu oleh dukungan-dukungan yang tersedia. Dalam contoh di atas (gb.1.13) penyelesaian 1.13.f mengakibatkan struktur tidak stabil, karena batang paling kanan dapat berputar hingga struktur runtuh. Untuk itu setelah sendi tambahan dipasang kemudian harus dikontrol kestabilan struktur secara keseluruhan dengan memotong-motong batang pada sendi-sendi tambahan dan melihat reaksi-reaksi tumpuan itu oleh beban yang dijalankan di atasnya. Bila reaksi-reaksi itu dapat ditumpu oleh batang di sekelilingnya maka dikatakan struktur itu stabil. Contoh berikut ini menunjukkan bagaimana hal itu dilakukan. Untuk menggambarkan garis pengaruh perlu diketahui reaksi satu batang terhadap yang lain. Gambar di bawah ini menunjukkan statik tertentu dan stabil. Batang AE merupakan batang yang mampu menahan beban vertikal dan horisontal. Batang FD adalah batang yang paling lemah, karena oleh beban 1 satuan di atasnya maka reaksi di F harus didukung oleh batang EF (vertikal dan horisontal)
batang FD adalah batang
yang membebani dan batang EF adalah batang yang dibebani oleh karena reaksi ini kemudian akan membebani batang AE (karena P = 1 batang AE mampu menahan beban vertikal dan horisontal) maka batang AE adalah batang yang dibebani oleh EF. Secara keseluruhan ( a )A
B D
C
batang-batang itu stabil. Dengan cara sama batang menerus dalam gambar 1.15 dapat =1 dicari kestabilannya. Kontrol semacam ini Ppenting sekali untuk menetapkan sejauh mana
garis pengaruh nantinya harus dihentikan. ( b )A
B
Di bawah ini disajikan sebuah contoh penggambaran garis pengaruh dari struktur Gb.1.14. Penyelesaian penempatan G a r i s P e n g sendi a r u h tambahan R e a k s i tertentu C menerus. Struktur ini dikatakan statik karena jumlah batang pada tumpuan M = 4 dan kontrol kestabilan 1
(c )
G a r is p e n g a r u h R S e a k cukup si A sehingga jumlah sendi yang ditambahkan = 1, stabil karena batang ABD (d )
1
mendukung batang DC dan tidak sebaliknya. Bila garis pengaruh reaksi pada titik C akan G a r ismulai p e n g a r dari u h R e titil a k s i BC-C hingga titik A. Pada saat di atas C dicari maka gaya P = 1 dijalankan 1 reaksi C = 1 dan pada saat di( eatas D reaksi C = 0. Karena batang CD ditumpu oleh batang )
Gb.1.15. Kontrol kestabilan struktur menerus Gb.1.16. Garis pengaruh reaksi pada batang menerus
ABD di titik D maka pada saat gaya P berada di atas bentangan ABD reaksi di C tetap = 0. Bila garis pengaruh reaksi di titik A ingin dicari maka gaya P = 1 dijalankan mulai dari titik A hingga titik C. Pada saat P di atas A maka reaksi A = 1 dan saat P di atas B reaksi A = 0 sedang pada saat P di atas D maka reaksi A berbalik tanda dan saat P berada di atas DC maka reaksi A tetap ada karena batang DC ditumpu oleh batang ABD. Saat P berada di atas C maka reaksi A = 0. Garis pengaruh reaksi di titik B dapat pula dicari dengan cara sama. Yang perlu diketahui adalah bahwa batang ABD menumpu batang DC sehingga saat gaya P berada di atas DC maka reaksi di B tetap ada dan pada saat P berada di atas C maka reaksi B =0. Cara serupa dapat dilakukan pada batang ABCD seperti tertera dalam gambar 1.17 dan 1.18 di bawah ini. Jumlah batang pada pendukung = 6 (jepit memiliki 3 batang), sedang jumlah sendi yang ditambahkan S = 3 S = M - 3 (sesuai). Batang ini stabil karena batang H1H2 ditumpu oleh batang ABH1 dan H2CH. Batang reaksi ABH1 diteruskan ke tumpuan A .
dan B, sedang reaksi batang H2CH3 ditumpu oleh batang H3D. Jadi garis pengaruh momen di titik D akan dipengaruhi oleh beban berjalan P selama beban berjalan itu berada di atas batang H1H2CH3D. Pengaruh beban berjalan P di atas bentang ABH1 terputus oleh adanya batang H1H2.
Gb.1.17. Garis pengaruh reaksi dan momen di D
(a)
A 1m
C
B 2m
1
m
1
m 1 . 2m
D 2.5 m
2 m
(b) Ga ris penga ruh titi k A (c) G a r i s p e n g a rDu h M (d)
(a)
(b)
A
B
C
D
E
Garis pengaruh reaksi A
Garis pengaruh reaksi D (c)
Garis pengaruh Momen n (d) Garis pengaruh Momen k (e)
F
Gb.1.18. Garis pengaruh reaksi dan momen di n
