BAB 1 DERET TAK HINGGA dan DERET PANGKAT
1.1. Pendahuluan
Suatu proses yang terjadi berulang dengan waktu dapat dirumuskan dalam bentuk deret. Banyak persoalan fisika yang dirumuskan melalui deret, diantaranya peristiwa peluruhan bahan radio aktif, pencemaran lingkungan karena proses pengecatan, pertumbuhan bakteri, dan lain-lain. Bab ini akan membahas tentang notasi deret, sifat konvergen dan divergen dari suatu deret, uji konvergensi dan divergensi, deret bolak-balik (alternating series), dan deret pangkat. Pada akhir bab ini dibahas tentang penjabaran suatu fungsi ke dalam bentuk deret, dan contoh-contoh deret. Setelah mengikuti kuliah ini mahasiswa diharapkan dapat mengenal bentuk deret, melakukan uji konvergensi dan divergensi pada suatu deret, dan menjabarkan suatu fungsi ke dalam bentuk deret.
1.2. Definisi dan Notasi
Deret merupakan suatu bilangan yang tersusun di dalam bentuk penjumlahan dari banyak bilangan (tak hingga). Ada deret yang mempunyai nilai terbatas, dan ada juga yang mempunyai nilai tak hingga. Bilangan penyusun deret dapat berupa rumus tertentu (misal deret pangkat), juga ada yang berupa bilangan yang tak dapat dirumuskan. Contoh :
1
1 2
1
1
3
4
Dalam banyak bentuk, deret dapat dirumuskan ke dalam suatu bentuk perulangan (looping) yang bergantung pada suatu nilai variabel yang membesar ketika download on
www.enggar.tk
berulang. Seperti contoh di atas, dapat dilihat penyebut dari bilangan penyusunnya membesar dengan beda satu, artinya setiap perulangan bilangan penyusunnya (penyebutnya) ditambah satu. Untuk merumuskan deret di atas dapat digunakan variabel n yang membesar dengan beda satu, digunakan sebagai penyebut
bilangan penyusun deret, dan operasi penjumlahan digunakan notasi
n
atau
1
sigma yang artinya perulangan n dimulai dari satu sampai tak hingga. Perumusan deret di atas adalah :
1
1
1
1
2
3
4
1
n 1 n
Contoh lain :
1
n 1 2
n
1
n 1 n !
1
2
n 1
1
4
1
8
1
1 2
1n 1
1
n
6
1 16 1
24
1 32
1
1
1
2
3
4
1
1n 1 n
1.3. Deret Konvergen dan Deret Divergen
Tijau suatu deret berikut :
1 n
2
3
4
1 1 1 1 2 2 2 2 n 0
download on
www.enggar.tk
n
1 2
Namakan deret dengan S n :
Sn
1
1
1
1 2
4
8
1 16
n
1 2
Kita kalikan Sn dengan ½, akan didapat :
1 2
Sn
1
1
1
1
2
4
8
16
1 2
n 1
Jumlahkan Sn dengan (-½) Sn, akan didapat :
1 2
1
1
1
1
2
4
8
16
n
Sn
1
Sn
1 1 1 1 2 4 8 16
1 2
1 2
n 1
+
1 Sn 1 2 2
1
n 1
dengan demikian kita dapat menghitung nilai deret di atas :
Sn
1 1 2
n 1
1
2 S lim n S n
2
Oleh karena nilai S dapat dihitung dan bernilai terbatas, maka deret tersebut dinamakan deret konvergen. Jika nilai S tidak dapat dihitung atau bernilai tak hingga maka deretnya dinamakan deret divergen.
download on
www.enggar.tk
1.4. Uji Deret Konvergen dan Divergen
Suatu deret dapat dikatakan konvergen bila telah diuji dengan beberapa jenis uji yang dapat memberikan kepastian tentang sifat konvergen. Ada beberapa jenis uji konvergensi bagi deret, diantaranya :
a. Uji Awal (Preliminary Test)
Uji ini dilakukan pertama kali sebagai uji apakah deret bisa bersifat konvergen atau bahkan divergen. Melalui uji ini, suatu deret dapat langsung dinyatakan bersifat divergen, atau deret masih memiliki kemungkinan bersifat konvergen dan harus dilakukan uji lain untuk mementukan sifat konvergen dari deret t ersebut.
lim n a n
0 , ada kemungkinan deret konvergen
lim n a n
0 , deret pasti divergen
Tinjau suatu deret berikut :
1
(i).
n 1 n
1
1
1
2
3
4
1
lim n a n
0,
deret belum pasti divergen tetapi memberikan kemungkinan deret konvergen (walaupun akhirnya deret divergen). Harus dilakukan uji lain yang dapat memastikan deret konvergen.
(ii).
1
n 1 n
lim n a n
download on
1
1
1
2
3
4
1 lim n
www.enggar.tk
1 1
1 n!
1 , deret pasti divergen
b. Uji Perbandingan dengan Deret Lain (Comparison Test)
Setelah melalui uji awal dan ada kemungkinan deret konvergen, dilakukan uji perbandingan untuk memastikan deret konvergen.
b n yang
Suatu deret
telah diketahui bersifat konvergen digunakan untuk
n 1
a n , dimana
membandingakan (uji perbandingan) deret
n 1
a n < bn
n 1
a n konvergen
, deret
n 1
n 1
n 1
n 1
n 1
a n > b n , digunakan uji lain untuk menentukan a n konvergen atau divergen
Tinjau suatu deret berikut :
Telah diketahui bahwa deret
1
n 1 2
deret
merupakan deret yang konvergen ( sebagai
n
1
b n ). Ada deret lain
n 1 n!
n 1
yang hendak diuji apakah konvergen atau
divergen.
bn =
1 n
n 1
n 1 2
1
n 1
n 1 n!
an =
download on
1
1
1
2
4
8
1 16
1
1
1
1
1
2
6
24
www.enggar.tk
1 32
1 120
3
1
n 1 2
1 720
n
1
n 4 2
3
1
n 1 n!
n
1
n 4 n!
Dapat dilihat, bahwa :
n 4
n 4
(i). Untuk nilai n mulai dari 4 ke atas berlaku 3
(ii).
1
1
1
7
1
1
1
10
1
2
6
6
a n < bn
bn 2 4 8 8
n 1 3
(iii).
n 1
an
7
19
8
24
Dengan demikian :
an <
n 1
n 1
bn
19
24
1
n 1
n 1 n!
an =
Dari hasil diatas maka deret
dinyatakan bersifat konvergen
c. Uji Integral an
a1
Luas persegi panjang yang diarsir menunjukkan nilai : a1x1 = a1
a n merupakan
a2
Nilai
a3
n 1 jumlah luas semua persegi panjang tersebut. n 1
download on
2
3
www.enggar.tk
4
an
a1
Luas daerah di bawah kurva merupakan hasil integrasi :
a n dn
a2
1
a3
n 1
2
3
4
Terlihat bahwa :
1
n 1
a n dn < a n
Dengan demikian dapat diambil kesimpulan :
1
n 1
a n dn maka a n bersifat divergen
(i). Jika
(2). Jika
a n dn
bernilai berhingga, maka gunakan uji yang lain.
1
Tinjau suatu deret berikut :
1
n 1 n
1
1
1
1 2
3
4
Lakukan integrasi :
1
1
1
a n dn n dn lim n ln n
download on
www.enggar.tk
1
Karena
n 1
>
n
1
1
a n dn
a n dn , dan
, maka
n 1
1 n
bersifat divergen.
d. Uji Perbandingan a n dengan an+1 (Ratio Test)
Uji ini sering diterapkan pada deret pangkat. didefinisikan nilai ratio () : n
a n 1 an
lim n
n
Penentuan deret konvergen atau divergen adalah : (i). < 1 , deret konvergen (ii). = 1 , harus digunakan uji yang lain (iii). > 1 , deret divergen
Tinjau suatu deret berikut :
1
1
n 1 n !
an
n
1
1 2
1 n!
6
, dan a n 1
a n 1 an
lim n
24
1
n 1 !
1 n 1
n
lim n
Dengan demikian deret
download on
1
1
n 1 n !
www.enggar.tk
1 n 1
0 1 1
1
1 2
6
1 24
bersifat konvergen.
Contoh lain :
1
1
n 1 n an
n
1
1
1 2
1 n
3
, dan a n 1
a n 1 an
lim n
4
1
n 1
n n 1
n
1 1 lim n 1 1 n
Dengan demikian deret
1
n 1 n
tidak dapat diuji dengan ratio test, dan harus
digunakan uji lain, yakni uji integral seperti yang telah dijelaskan sebelumnya.
1.5. Deret Bolak-Balik ( Alternating Series )
Deret bolak-balik ditandai dengan tanda (polaritas) a n yang selalu berubah tanda untuk nilai n yang berikutnya, seperti contoh berikut ini.
1n 1
n 1
n
1
1
1
1 2
3
4
1n 1 n
Untuk mengetahui apakah deret konvergen atau divergen, dilakukan uji konvergensi sebagai berikut : (i). lim n a n download on
0
www.enggar.tk
(ii). a n 1
an
Jika suatu deret bolak-balik memenuhi kedua uji di atas dikatakan sebagai deret konvergen, sebaliknya jika deret bolak-balik tidak memenuhi salah satu atau kedua uji di atas dikatakan deret divergen.
Tinjau suatu deret berikut :
1n 1
n
n 1
1
1
2
3
4
1
(i). lim n a n (ii). a n 1
1
1n 1 n
1
lim n 0
1 n 1
n
,
an
1 n
Terlihat bahwa untuk semua nilai n berlaku a n 1 Dengan demikian deret
1n 1
n 1
n
an
bersifat konvergen.
1.6. Deret Konvergen Absolut
Suatu deret dikatakan konvergen absolut jika (i). Deret dalam bentuk deret bolak-balik bersifat konvergen. (ii). Deret dalam bentuk bukan deret bolak-balik bersifat konvergen
Contoh :
1n 1
n
n 1
n 1
merupakan deret bolak-balik yang bersifat konvergen.
1 n
merupakan deret bukan bolak-balik yang bersifat divergen.
download on
www.enggar.tk
Dengan demikian deret
1n 1
bersifat konvergen saja, bukan konvergen
n
n 1
mutlak. Deret semacam ini dinamakan deret Konvergen Bersyarat
1.7. Deret Pangkat (Power Series)
Deret pangkat tersusun oleh bentuk x
n
atau
x a n . Deret pangkat (Power
Series) dirumuskan sebagai berikut :
a n x n a 0 a1x a 2 x 2 a 3x 3
n 0
anxn
Perumusan lain :
a n (x - a)n a 0 a1(x - a) a 2 (x - a)2
n 0
a n (x - a)n
Untuk mengetahui apakah deret pangkat bersifat konvergen atau divergen dilakukan : (i). Uji Awal (Preliminary Test) (ii). Uji Perbandingan an dengan an+1 (Ratio Test)
Tinjau suatu deret berikut :
x n
2
n 0
n
x
1 2
x2 4
x3 8
x n 2
n
(i). Uji Awal
lim n a n
download on
lim n
www.enggar.tk
x n 2
n
lim n
xn 2
n
0
jika
x 2
1
(ii). Uji Perbandingan an dengan an+1 (Ratio Test)
n
a n 1
an
x n 1 2n 2 n 1 x n
x
2
Agar konvergen haruslah :
lim n
n
x 2
1 atau x 2
Untuk x = 2, deret menjadi :
2n
n 0
2
2
1
n
22
2
4
23
8
2n
2
n
Deret ini bersifat divergen Untuk x = -2, deret menjadi
2 n
n 0 2
n
2
1 2
22 4
23
8
2n
2
n
Deret ini bersifat divergen Dikatakan
bahwa
x n
deret
2
n 0 bersifat konvergen untuk x Interval
n
x
1
x2
2
4
x3 8
x n 2
n
2.
2,2 dikatakan sebagai Interval Konvergensi bagi deret tersebut.
Tinjau suatu deret lain sebagai berikut :
1n 1 x n
n
n 0
x
x2 2
x3 3
x4 4
1n 1 x n n
(i). Uji Awal
lim n a n download on
lim n
www.enggar.tk
x n n
lim n
xn n
0
jika x
1
(ii). Uji Perbandingan a n dengan an+1 (Ratio Test)
n
a n 1
an
xn 1 n n
1 xn
x
n n 1
Agar konvergen haruslah :
lim n n x 1
Dikatakan bahwa deret :
1n 1 x n
n
n 0
x
bersifat konvergen untuk x
x2 2
x3 3
x4 4
1n 1 x n n
1.
Untuk x = 1, deret menjadi :
1n 1
n 0
n
1
1
1
2
3
4
1
1n 1 n
Deret in bersifat konvergen Untuk x = -1, deret menjadi :
1n 1- 1n
n 0
n
1
1
1
2
3
4
-1
1n 1 n
Deret ini bersifat divergen Interval konvergensi bagi deret tersebut adalah – 1 < x 1
Perumusan deret pangkat seperti di atas dapat berubah menjadi deret geometrik (geometric series) dengan mengambil nilai a n yang sama untuk semua nilai n.
a n x n a 0 a1x a 2 x 2 a 3x 3
n 0 an = a, maka
download on
www.enggar.tk
anxn
,
Sn
a n x n a ax ax 2 ax3
ax n
n 0 Untuk mencari nilai S n dapat dilakukan proses seperti berikut :
a ax ax 2 ax 3 ax n -1 x Sn ax ax 2 ax 3 ax n 1 x Sn a a x n a (1 x n ) Sn
Sn
n
a(1 x )
1 x
S lim n Sn
a 1 x
1.8. Penjabaran Fungsi ke dalam Bentuk Deret Pangkat
Suatu fungsi dapat dijabarkan ke dalam bentuk deret pangkat, dalam bentuk deret Taylor.
f(x)
a n x a n
n 0
a 0 a1 (x - a) a 2 (x - a)2
a n (x - a)n
a n merupakan konstanta yang harus dicari dengan jalan mendifferensialkan f(x)
beberapa kali dan mengambil nilai x = a.
f ' (x)
a1 2a 2 (x - a) 3a 3 (x - a)2
f ' ' (x) 2a 2
na n (x - a)n -1
2.3a3 (x - a) 3.4a 4 (x - a)2
f n (x) n n 1n - 2
1a n
Jika diambil nilai x = a, akan didapat :
f(a) a 0 f ' (a) a1 f ' ' (a) 2a 2 download on
www.enggar.tk
n n - 1a n (x - a)n - 2
f ' ' ' (a) 2.3a 3
3!a 3
dan seterusnya hingga didapat
f n (a) nn 1n - 2
1a n n!a n
Jika disusun kembali, akan didapatkan :
f(x)
f a f ' a (x - a)
1 2!
f ' ' a (x - a)2
1 n f (a) (x - a) n n!
Jika a = 0, deret Taylor menjadi deret Maclaurin :
f(x)
f 0 f ' 0 x
1 2!
f ' ' 0 x 2
1.9. Contoh-contoh :
(i). f(x)
Sin x
f ' (x)
Cos x
f ' ' (x)
Sin x
f ' ' ' (x)
Cos x
f ' ' ' ' (x)
Sin x
dan seterusnya, sehingga
Sin x
(ii). f(x)
x
x3 3!
x5 5!
Cos x
f ' (x)
-Sin x
f ' ' (x)
-Cos x
f ' ' ' (x)
Sin x
f ' ' ' ' (x)
Cos x
dan seterusnya, sehingga
download on
www.enggar.tk
x7 7!
1 n f (0) x n n!
1
Sin x
(iii). f(x)
x2 2!
x4
x6
4!
6!
ex
f ' (x) e x f ' ' (x) e x f ' ' ' (x) e x f ' ' ' ' (x)
ex
dan seterusnya, sehingga
e
x
x2
1 x
2!
x3 3!
x4 4!
2
Dengan menggantikan x dengan – x , akan didapat :
e
(iv).
f(x)
-x 2
x4
2
1 x
ln 1 x
f ' (x)
1 x 1
f ' ' (x)
-1 x 2
f ' ' ' (x)
21 x 3
2!
x6 3!
f ' ' ' ' (x) -3!1 x 4 dan seterusnya, sehingga
ln 1 x x download on
www.enggar.tk
x2 2
x3 3
x4 4
Dengan mengalikan deret ln 1 x dengan 2 1 x ln 1 x x x 2 x
1
x3
3
x4
1 x
akan didapat :
4
Jika disederhanakan menjadi : 2 1 x ln 1 x x x x 2
1
(v). f(x)
x3 3
x4
4
1 x p p1 x p 1
f ' (x)
f ' ' (x) pp - 11 x p 2 f ' ' ' (x)
pp - 1p 21 x p 3
f ' ' ' ' (x) pp - 1p 2p 31 x p 4 dan seterusnya, sehingga p
1 x 1 px
(vi). f(x)
1 x -1
pp - 1x 2
1
1 x
f ' (x) 1 x 2
f ' ' (x) 21 x 3 f ' ' ' (x)
2.31 x 4
f ' ' ' ' (x)
2.3.41 x 5
dan seterusnya, sehingga download on
www.enggar.tk
2!
pp - 1p - 2x 3 3!
1 x -1
1 1 x
1 - x x 2 x3
Bentuk ini dinamakan deret Binomial.
x
(vii).
dp
arc tant
1 p 2
0
|
x 0
arc tan x
Dari contoh no. 6 didapat :
1 1 x
1 - x x 2 x3
Dengan menggantikan x dengan x 2, didapat :
1 1 x
2
1- x 2 x 4 x6
sehingga x
arc tan x
01 p
px-
x
dp
p
3
3 x3 3
2
1 - x 2 x 4 x 6
dp
0
p
5
5 x5 5
p
7
7 x7 7
|
x 0
1.10. Rangkuman
(i). Deret dapat dirumuskan dengan notasi seperti contoh berikut :
1
n 1 2
download on
n
1
1
1
2
4
www.enggar.tk
8
1 16
1 32
(ii). Jika deret dapat dihitung dan bernilai terbatas, maka deret tersebut dinamakan deret konvergen. Jika deret tidak dapat dihitung atau bernilai tak hingga maka
deretnya dinamakan deret divergen.
(iii). Uji Deret Konvergen dan Divergen a. Uji Awal (Preliminary Test)
lim n a n
0 , ada kemungkinan deret konvergen
lim n a n
0 , deret pasti divergen
b. Uji Perbandingan dengan Deret Lain (Comparison Test)
b n konvergen, maka
Jika
n 1
a n < bn
, deret
n 1
n 1
a n konvergen
n 1
a n > b n , digunakan uji lain untuk menentukan a n konvergen
n 1
n 1
n 1
atau divergen c. Uji Integral
(1). Jika
1
n 1
a n dn maka a n bersifat divergen
(2). Jika
a n dn
bernilai berhingga, maka gunakan uji yang lain
1
d. Uji Perbandingan a n dengan an+1 (Ratio Test) n
download on
a n 1 an www.enggar.tk
lim n
n
Penentuan deret konvergen atau divergen adalah : (1). < 1 , deret konvergen (2). = 1 , harus digunakan uji yang lain (3). > 1 , deret divergen (iv). Deret Bolak-Balik ( Alternating Series ) Deret bolak-balik ditandai dengan tanda (polaritas) a n yang selalu berubah tanda untuk nilai n yang berikutnya, seperti contoh berikut ini.
1n 1
n 1
n
1
1
1
2
3
4
1
1n 1 n
uji konvergensi bagi deret bolak-balik : 1. lim n a n 2. a n 1
0
an
Jika kedua uji di atas dipenuhi, dikatakan sebagai deret konvergen, sebaliknya jika salah satu atau kedua uji di atas tidak dipenuhi, dikatakan deret divergen. (v). Deret Pangkat (Power Series) Deret pangkat tersusun oleh bentuk x
n
atau x
a n . Deret pangkat (Power
Series) dirumuskan sebagai berikut :
a n x n a 0 a1x a 2 x 2 a 3x 3
n 0
anxn
Perumusan lain :
a n (x - a)n a 0 a1(x - a) a 2 (x - a)2
n 0 uji konvergensi bagi deret pangkat : (1). Uji Awal (Preliminary Test) download on
www.enggar.tk
a n (x - a)n
(2). Uji Perbandingan an dengan an+1 (Ratio Test) (vi). Penjabaran Fungsi ke dalam Bentuk Deret Pangkat Suatu fungsi dapat dijabarkan ke dalam bentuk deret pangkat, dalam bentuk deret Taylor.
f(x)
a n x a n
n 0
1
f a f ' a (x - a)
2!
f ' ' a (x - a)2
1 n f (a) (x - a)n n!
Jika a = 0, deret Taylor menjadi deret Maclaurin :
f(x)
f 0 f ' 0 x
1 2!
f ' ' 0 x 2
1 n f (0) x n n!
1.11. Latihan Soal
(i). Tuliskan anggota dari deret di bawah ini :
a.
n
1
n 1 n
1
b.
n 1 2
n
1
c.
n 1 n
2
d.
3n 1
n!
n 1 (n 1)!
(ii). Gunakan notasi deret untuk menuliskan deret di bawah ini : a.
1 4
1
1
9
16
download on
1 25
www.enggar.tk
b.
c.
d.
1 7 1 2
2
3
9
11 13
4
9
5
1 2
10
1
4
16 17
1
2
3
25 26
1
3
1 4
36 37
1
4
1 5
1
5
(iii). Gunakan uji konvergensi untuk menentukan deret konvergen atau divergen :
- 1n a. n n n 1 2 3
b.
c.
d.
3n
n3
5 2 n 1 n - 5n
n2
n(n
3n 4 4 3 n 1 n 7n 6n 3 1) 2 n 1 (n 2) (n 3)
(iv). Tentukan interval konvergensi bagi deret berikut :
- 1n x n a. n 1 n(n 1)
b.
n 1
c.
d.
- 1n x 2n (2n)
3/2
- 1n x n/2
n 1
n ln n
- 1n (x 1) n
n 1
n
download on
www.enggar.tk
e.
- 1n x n n
n 1 f.
n - x n
n 1 g.
n2
1
- 1n x n
n 1
(2n)!
1.12. Daftar Pustaka
1. Arfken , George , Mathematical Methods for Physicists , Academic Press, New Yook , 2 nd ed .,1970. 2. BOAS, Mary L., Mathematical Methods in The Physical Sciences , second Edition , John Wily and sons, 1983 . 3. Bradbury , Ted clay ., Mathematical Methods with Applications to Problems in the Physical Sciences , John Wily and Sons, 1984. 4. D’Azzo , John J . and Constantne H . Haupis , Feed back Control System Analysis and Synthesis , second Edition , Mc Graw – Hill , 1966. 5. Hilde brand , Francis B ., Advanced Calculus for Applications, Prentice – Hall, Engle wood Cliffs , 2 nd Ed . 1976. 6. Kaplan , Wilfred , Advanced Calculus , Second Edition , Addison-Wesley, Publishing Company , 1981. 7. Kreyszig , Erwin ., Advanced Engineering Mathematics, Fourth Edition , John Wiley and Sons , 1979. 8. Sokolnikoff , 1 . S . , and R . M . Redheffer , Mathematics of Physics and Modern Engineering , Mc Graw – Hill 2 nd ed . , 1966. 9. Wos pakrik , Hans J . , Dasar – Dasar Matematika untuk Fisika , ITB , Bandung , 1993 .
download on
www.enggar.tk