BAB
B
entuk Akar & Pangkat, Logaritma
1
Hasil yang harus Anda capai
Memecahkan masalah yang berkaitan dengan bentuk pangkat, akar, dan logaritma Setelah mempelajari bab ini Anda harus mampu
Menggunakan aturan pangkat,akar, pangkat, akar, dan logaritma Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan yang melibatkan pangkat, akar, dan logaritma Setelah mempelajari bab ini Anda diharapkan dapat
Memahami bentuk dan sifat perpangkatan suatu bilangan Memahami pengertian, sifat operasi, dan penyederhanaan suatu bilangan bilangan bentuk akar Memahami sifat dan operasi perpangkatan bentuk aljabar Memahami konsep logaritma sebagai invers dari perpangkatan Memahami dan menggunakan logaritma dalam menyelesaikan masalah
Sumber : www.clipart.co.id
Jarak dari bumi ke matahari diperkirakan sekitar 150 juta kilometer. ika diukur dalam satuan meter, jarak itu setara dengan 150.000.000.000 meter. Melalui bentuk pangkat bilangan, kamu dapat menuliskan angka itu cukup dengan meter. Selain lebih singkat, penulisan seperti itu juga dapat membantumu mengoperasikan angka tersebut dengan bilangan lain secara praktis dan sederhana. ika kamu diminta menghitung sama dengan berapa, maka melalui pengetahuan pengetahuan logaritma kamu dapat pula menghitung ! pangkat berapa yang hasi lnya 10. "engetahuan mengenai bentuk pangkat, akar, dan logaritma akan kamu pelajari pada bab ini.
Kata Kunci : #entuk "angkat, $otasi %lmiah, #entuk &kar, 'ogaritma
Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma
1
Sebelum mempelajari bab ini, ukurlah kemampuan Anda dengan menjawab soal-soal berikut
(. , maka n ) ...
5.
Untuk mempermudah Anda dalam mempelaari materi !a! ini, !erikut disaikan diagram alurn"a
2
Matematika Matematika untuk Kelas Kelas X Semester Semester I
A. Bilangan Berpangkat Bilangan Bulat 1.
Bilangan dengan Pangkat Bilangan Bulat positif
ika &nda mengalikan bilangan * dengan * sebanyak ( kali, &nda dapat menuliskannya dengan cara * × * × * × * = +1 atau dengan mengunakan bentuk pangkat, yaitu *( = +1 . "ada bentuk pangkat *( = +1 , * disebut bilangan pokok atau basis, sedangkan ( disebut pangkat atau eksponen. Sedangkan +1 merupakan hasil perpangkatan tersebut. "enulisan dalam pangkat tentu lebih praktis dan memudahkan dibandingkan dengan penulisan perkalian secara berulang. Misalnya &nda akan lebih mudah menuliskan ! daripada menuliskan ! × ! × ! × ! × ! × ! . -emikian juga dalam perhitungan yang melibatkan operasi untuk bilangan berpangkat, penulisan bentuk pangkat jauh lebih praktis. Secara umum, dapat &nda simpulkan:
#ilangan bulat ) integer . #asis ) Base. #entuk "angkat ) inde# $orm "angkat ) indes#%power% e#ponent
ika sebuah bilangan a dikalikan dengan bilangan itu sendiri sebanyak n kali, perkalian itu dapat kamu nyatakan dalam bentuk , dengan . -alam hal ini, n merupakan bilangan bulat positif atau bilangan asli.
itunglah hasil perpangkatan berikut: 5
1.
!.
*
( 5÷
*
(
*.
( *)
Pen"elesaian: 1. * × * × * × * × * = !(/ (
!.
5
2.
(
(
(
5
5
1!5
× × =
*.
*× *× *× *
= * ×* =
Bilangan dengan Pangkat Nol
&nda telah mempelajari pangkat bilangan bulat positif. $ah, sekarang bagaimana jika sebuah bilangan dipangkatkan 0 #erapa hasilnya 2ntuk memahaminya, perhatikan uraian berikut.
!(
= ! × ! × ! × ! = 1
!*
= !×!×! =
!!
= =(
!1
= =!
1 !
=+
+
! ( !
0 ika diteruskan, maka akan &nda dapatkan bah3a !
!
= = 1 . -an ternyata,
! ini berlaku untuk semua bilangan selain 0. -engan demikian, dapat &nda simpulkan:
Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma
!
ika a sebarang bilangan bukan nol 89, maka berlaku 4esimpulan itu dapat &nda ingat sebagai berikut: Bilangan !erapapun selain nol ika dipangkatkan nol hasiln"a adalah 1. $ah, dapatkah &nda menunjukkan mengapa pada kesimpulan di atas disyaratkan a ≠ 0 a, bilangan 0 jika dipangkatkan n, dengan n bilangan bulat positif, hasilnya selalu 0. %ni disebabkan oleh adanya perkalian dengan 0. Misalnya 0* = 0 × 0 × 0 = 0 , dan seterusnya. Sekarang tentu tidak mungkin &nda nyatakan bah3a 00 = 1 , karena 0 dikalikan dengan berapapun hasilnya tidak mungkin 1. 6leh sebab itu, bentuk 00 merupakan bentuk tak tentu. 2raian tersebut menyimpulkan hal7hal berikut:
3.
"angkat bulat positif ) negati&e e#ponent
Bilangan dengan Pangkat Bilangan Bulat Negatif
2ntuk mengetahui pangkat bilangan bulat negatif, perhatikan kembali uraian berikut. ! ( = ! × ! × ! × ! = 1 1 * ! = !× !×! = =+ ! + ! ! = =( ! ( 1 ! = =! ! ! 0 ! = =1 ! ika pangkat dari ! terus berkurang satu7satu, maka akan didapat bah3a 1
! −1 =
! −!
=!= =
! −*
=(= =
! 1
1
1
!
( 1
!! 1
1
! + !* dan seterusnya, sehingga dapat &nda simpulkan: ika maka
itunglah perpangkatan berikut. 1.
"
!
Matematika untuk Kelas X Semester I
−*
!.
! *÷
−!
Pen"elesaian: −!
!−*
1.
4.
=
1 !
*
=
1 !× !×!
=
1
! = 1 = 1 = 1 = *÷ ! ! ! × !÷ (÷ ( *÷ * *
!.
+
Sifat-sifat Bilangan Berpangkat
"ada bagian ini, &nda akan mempelajari sifat7sifat operasi dari bilangan berpangkat. Sifat7sifat ini diturunkan berdasarkan sifat7sifat operasi yang telah &nda pelajari sebelumnya di bangku SM", yaitu:
Sifat komutatif perkalian
: a×!=!×a
Sifat asosiatif perkalian
: a × 8! × c 9 = 8a × !9 × c
Sifat pembagian
: a : a = 1, untuk a ≠ 0
4etiga sifat di atas akan membantu dalam menurunkan sifat7sifat berikut. a
Si$at 11
a
m
×a
n
#erdasarkan definisi perpangkatan, maka am
= 1a ×4a2× ...4 ×3a
dan a n
m faktor
a m × an
n faktor
sehingga
= 8a1×4a2× ...4 ×3a9 × 8 1 a ×4a2× ... 4 ×3a 9 m faktor
= a1×4a2× ...4 ×3a , n faktor
= a1×4a2× ...4×3a × a1×4a2× ...4 ×3a m faktor
sifat asosiatif
n faktor
= a1×4a 4× ...4×4a2× a4×4a 4× ...43 ×a m n faktor
=a
m+ n
-engan demikian, dapat &nda simpulkan sifat berikut Sifat 1.1
b
m
Si$at 12 8a 9
8a m 9n
n
m am = a1m 4× a42 ×4... ×43
8definisi9
n faktor
8a m 9 n
=
a × ... × a × a × a × ...× a × ... × a × a × ... × a 1×4a2 43 14243 14243 faktor m faktor m faktor 1 4m 4 4 4 4 4 442 444 444 4 43 n faktor
=
a × a × ... × a
1 42 43 m×n faktor
=
a
mn
-engan demikian, dapat pula &nda simpulkan sifat berikut -alam aljabar, penulisan dapat disederhanakan menjadi
Sifat 1.2
Selain dua sifat di atas, masih ada sifat7sifat yang lain, yaitu : c
Si$at 1!
am : an
= a m −n ,
dengan a ≠ 0
Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma
#
n
d
Si$at 1"
e
Si$at 1#
a = a n , dengan ! ≠ 0 , dan !÷ !n 8 a × !9 n = a n × ! n
-iskusikan dengan teman7teman sekelasmu tentang sifat7sifat bilangan berpangkat yang baru saja kamu pelajari. Setelah itu, dengan cara yang hampir sama, buktikanlah sifat 1.*, sifat 1.(, dan sifat 1.5.
itunglah bentuk7bentuk berikut dengan menyederhanakannya terlebih dahulu. 1.
*5 8!* × ! ! 9
!. +
( Pen"elesaian: 1.
*5 8!* × ! ! 9
=
( =
=
=
*5 8!*+ ! 9 (
*5 8!5 9 ( 5
=
(
1
=
8* × !9 5
=
(
5 − (
−!
1 × ! × ÷ !
*
5
8sifat 19
8sifat 59 8sifat *9
*
!.
+
−!
1 1 × ! × = 8!* 9 −! × !5 × * ÷ ! ! = !− × !5 × !−* 8sifat ! dansifat pangkat bil.bulat negatif9 = !8 − +5 −* 9 8sifat 1 dan *9 = !−( 5
= 5. #ukalah situs http:;;333.aaakno3.com; g +1f=1.htm atau http'%%www.aaaknow.com% g()*+g#+.htm . "ada situs ini, &nda dapat berlatih mengkonversikan bilangan ke notasi ilmiah dan sebaliknya.
%
1 !(
=
1 1
8sifat pangkat bil. bulat negatif9
Notasi Ilmiah
Setiap bilangan p dapat dinyatakan ke dalam bentuk notasi ilmiah. &dapun bentuk notasi ilmiah adalah sebagai berikut, , dengan dan bilangan bulat 2ntuk menentukan bilangan a , seringkali digunakan aturan pembulatan, yaitu sebagai berikut. ika &turan suatu pembulatan adalah sebagai berikut: ika angka yang mengalami pembulatan lebih dari 5, maka angka di depannya bertambah satu. ika angka yang mengalami pembulatan kurang dari 5, maka angka di depannya tetap.
Matematika untuk Kelas X Semester I
ika angka yang mengalami pembulatan adalah 5, maka aturanya sebagai berikut:
ika angka di depannya merupakan bilangan ganjil, maka angka itu bertambah satu, dan
ika angka di depannya merupakan bilangan genap, maka angka itu tetap.
2bah bilangan7bilangan berikut ke dalam notasi ilmiah dengan pembulatan dua angka di belakang koma. 1.
!5./0.000
!. 0,0*(5*
Pen"elesaian: 1.
=
!5./0.000
!,5/ ×10.000.000
= !,5/ ×10 /
8aturan pembulatan dansifat perpangkatan9
!.
0,0*5*
=
=
,*(5*
=
100 ,*( × 10 −!
,*( ×
1 100
8aturanpembulatan9
8aturanperpangkatan9
itunglah hasil perpangkatan berikut: c. d. >unjukkan bah3a : Setiap bilangan negatif jika di pangkat7kan bilangan genap hasilnya selalu positif. Setiap bilangan negatif jika di pangkat7kan bilangan ganjil hasilnya selalu negatif. Setiap bilangan genap jika di pangkat7kan bilangan asli hasilnya selalu bilangan genap. itunglah hasil perpangkatan berikut : d. e. f. Sederhanakan bentuk7bentuk berikut dalam bentuk pangkat bulat positif.
d. Sederhanakan bentuk7bentuk berikut dalam bentuk pangkat bulat positif. c. itunglah tanpa menggunakan kalkulator dan tuliskan ke dalam notasi ilmiah dengan pembulatan dua angka di belakang koma. c. 4akek buyut ?ita menghabiskan seluruh masa hidupnya pada tahun 1/007an . #eliau meninggal pada usia ! tahun. ! tahun sebelum beliau meninggal, beliau pernah berkata : @ -ulu aku berusia pada tahun A. "ada tahun berapa beliau mengatakan hal tersebut
b.
Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma
&
ambatan total dari sebuah rangkaian seri7 paralel diberikan oleh persamaan
#erapakah ketinggian bola dari tanah setelah * kali memantul
>entukan jika + ) , - ) , ) , / ) , dan 0
itung panjang lintasan yang ditempuh bola selama * kali memantul. >uliskan hasilnya dalam pecahan sederhana.
) Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian h meter dari atas tanah. 4etika bola menyentuh tanah, bola memantul hingga mencapai ketinggian /5B dari tinggi sebelumnya. 4etinggian maksimum bola setelah n kali dijatuhkan dirumuskan sebagai berikut:
B.
Satu atomic mass unit 8amu9 sama dengan kg. ika massa 1 atom oksigen sama dengan 1,0 amu, berapakah massa /./50.000 atom karbon dalam kg >uliskan hasilnya dalam notasi ilmiah dengan pembulatan ! angka dibelakang koma.
Bentuk Akar
1.
Bilangan asional dan Bentuk Akar a
(engertian )ilangan *asional
Sebelum membahas bentuk akar, di sini akan dibahas terlebih dahulu pengertian dari bilangan rasional. 2ntuk itu perhatikan bilangan7bilangan berikut. 1.
/
!.
−+
5.
1!
*. #ilangan yang saling prima adalah bilangan yang C"#7 nya adalah 1. Misalnya ! dan 5, 11 dan 1!, dan sebagainya. Sementara ! dan ( bukan bilangan yang saling prima, karena C"# dari ! dan ( adalah !.
(. /
.
+
!
/. !,1!5
*
1 ! *
#ilangan7bilangan di atas dapat dinyatakan ke dalam bentuk
a !
, dengan a
dan ! bilangan bulat yang saling prima, yaitu sebagai berikut: /
1.
/=
!.
−+ = − 1!
*.
+
(. /
1
=
! *
+
!
!*
5.
1
*
=
.
! *
=
! *
/. !,1!5 =
* 1
!.1!5 1.000
=
1/ +
=(
8tetap9
4arena bilangan7bilangan tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk
a
, ! dengan a dan ! bilangan bulat yang saling prima, maka bilangan7bilangan tersebut termasuk ke dalam !ilangan rasional . Sekarang perhatikan bilangan dengan desimal berulang berikut. 1.
0,******....
!.
!,1!51!51!5...
2ntuk memudahkan penulisan, desimal berulang dari dua bilangan itu dapat dinyatakan dengan menuliskan tanda @ Adi atas angka desimal yang berulang itu. -engan cara ini, kedua bilangan tersebut dapat ditulis sebagai 0,* dan !,1!5 .
'
Matematika untuk Kelas X Semester I
4edua bilangan di atas termasuk ke dalam bilangan rasional, karena kedua a 1 bilangan itu dapat dinyatakan ke dalam bentuk , yaitu 0,* = , dan ! * 1!5 !1!* !,1!5 = ! + = . -engan demikian, 0,* dan !,1!5 juga termasuk bilangan rasional. Secara umum, bilangan yang memiliki jumlah desimal berhingga atau berulang merupakan bilangan rasional. Sekarang perhatikan bilangan7bilangan berikut. 1. !.
'ambang akar diturunkan dari huruf r yang berasal dari bahasa 'atin, yaitu radi= yang berarti akar.
* !,*5/+*+/+*...
4edua bilangan tersebut tidak dapat dinyatakan ke dalam bentuk
a
, karena * ! memiliki desimal yang tak hingga dan tidak berulang. -emikian pula dengan !,*5/+*+/+*... #ilangan7bilangan yang bukan merupakan bilangan rasional disebut !ilangan irasional . >ermasuk ke dalam bilangan irasional di antaranya adalah 5 , ( * , ! − / , dan π . -ari uraian di atas, pengertian bilangan rasional dapat dinyatakan sebagai berikut: e$inisi
#ilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan ke dalam bentuk dengan a dan ! bilangan bulat yang saling prima dan
2bahlah 0,*5 menjadi bentuk
a !
Seringkali ada yang menuliskan bah3a . Mulai saat ini harus kamu pahami bah3a kedua nilai tersebut hanyalah nilai pendekatan dari nilai yang sebenarnya, karena sendiri merupakan bilangan irasional.
.
Pen"elesaian: 0,*5 = 0,*5*5*5*5... # = 0,*5*5*5*5...
Misalkan
⇔ 100 # = *5, *5*5*5... 8kedua ruasdikali1009 ⇔ 100 # = *5 + 0,*5*5*5... ⇔ 100 # = *5 + # 8karena = ) 0,*5*5...9 ⇔ 100 # − # = *5 ⇔ adi, 0,*5
#
=
=
*5
*5
#uktikan bah3a
* merupakan bilangan irasional.
Pen"elesaian:
Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma
+
melambangkan bilangan rasional, dan melambangkan bilangan bulat.
*=
* ∈ ¤ , maka terdapat p , 1 ∈ ¢ sehingga
&ndaikan
p
dan 1 sehingga
1
p 1
. "ilih pasangan p
merupakan pecahan yang paling sederhana, yaitu jika p dan
1 saling prima. p
*=
⇔* =
1
p! 1!
⇔ *1 ! = p ! ⇔ p ! merupakan bilangan genap ⇔ p bilangan genap >unjukkan bah3a merupakan bilangan irasional. Setelah itu, secara umum apa yang dapat kamu simpulkan dari bentuk bilangan irasional yang dioperasikan dengan bilangan rasional
&kibat p bilangangenap maka 1 juga bilangan genap. 4arena p dan 1 bilangan genap, maka * merupakan faktor p dan 1. 4ontradiksi dengan pemilihan p dan 1 yang saling prima. -engan demikian dapat disimpulkan bah3a b
* ∉¤
8>erbukti9
)ilangan )entuk Akar sebagai )ilangan *asional
Setelah mempelajari pengertian bilangan irasional, sekarang &nda akan mempelajari pengertian dari bilangan bentuk akar.
#ilangan rasional ) ational num!er . #ilangan irrasional ) irrational num!er .
#ila &nda menarik akar dari suatu bilangan, maka ada tiga kemungkinan dari hasil yang &nda peroleh, yaitu:
asilnya berupa bilangan rasional, misalnya , !5
5
!(* = *,
−+ = !,
dan
= !,5 .
asilnya berupa bilangan irasional, misalnya *
*
5
= !, !*...,
dan
= 1, +1/... , atau
asilnya bukan berupa bilangan real, misalnya
−( , dan ( −1 . ika
&nda menghitung penarikan akar dari kedua bilangan itu dengan menggunakan kalkulator, akan tampil tulisan error pada layar.
, dibaca: @akar pangkat dua dari aA atau @akar aA, sementara dibaca: @akar pangkat n dari aA. . >anda @A dibaca: @jika dan hanya jikaA atau @ekuivalen denganA
$ah, yang dimaksud dengan !ilangan !entuk akar adalah akar dari suatu bilangan yang menghasilkan bilangan irasional. -engan demikian, *, +, dan * adalah beberapa contoh dari bilangan bentuk akar. Sementara itu,
1, 1 dan
*
!/ bukan merupakan bilangan bentuk akar.
-engan demikian, pengertian dari bilangan bentuk akar dapat dinyatakan sebagai berikut: e$inisi
merupakan bilangan bentuk akar jika merupakan bilangan irasional.
Manakah di antara bilangan berikut yang merupakan bilangan bentuk akar. a.
1
Matematika untuk Kelas X Semester I
!5
b.
0
c. * !
d.
(
1!
!
)
Pen"elesaian:
a.
=
*
!5 5 bilangan bentuk akar.
b.
0
*
. 4arena
= 0.
4arena
5
∈¤ ,
maka
bukan merupakan
!5
0 ∈ ¤ , maka 0 juga bukan merupakan
bilangan bentuk akar. c.
* !
artinya , sehingga
= *×
! ∉ ¤ , maka * ! ∈ ¤ . 6leh sebab
! . 4arena
itu, ! * merupakan bilangan bentuk akar.
(
d.
(
1!
)
1!
!
) =
1! × 1!
=
1((
= 1! .
4arena
1! ∈ ¤ ,
maka
!
bukan merupakan bilangan bentuk akar.
2.
!en"ederhanakan Bentuk Akar !5 × 1 asilnya dapat &nda hitung dengan mudah, yaitu
#erapakah
!5 × 1 = 5 × ( = !0 . $amun, selain dengan cara tersebut, ada cara lain yang tampak serupa tapi tak sama. Dara itu adalah sebagai berikut: !5 × 1
=
!5 ×1
=
(00
= !0 .
Sepintas, cara kedua tampak tidak praktis. $amun coba bandingkan kedua cara tersebut jika &nda harus menghitung nilai dari 1!5 × 5 . -engan cara pertama, akan &nda dapatkan bah3a masing7masing akar menghasilkan bilangan irasional, dan tentunya lebih merepotkan. $amun dengan cara kedua, &nda akan mendapatkan bah3a 1!5 × 5 = 1!5 × 5 = !5 = !5 . "erhatikan bah3a dengan cara kedua hasilnya merupakan bilangan rasional. 2raian di atas sebenarnya bermaksud untuk menunjukkan sifat bah3a a × ! = a! . 'ebih dari itu, sifat ini dapat diperluas menjadi sifat berikut. ika , maka
Sifat 1.6
Selain itu, bantuan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan akan membantu dalam menunjukkan sifat berikut: , dengan
Sifat 1.7
Sifat distributif operasi kali terhadap jumlah dapat dinyatakan sebagai berikut: .
4edua sifat tersebut akan banyak kita gunakan dalam menyederhanakan suatu bentuk akar.
Sederhanakan bentuk akar berikut. a. /5 b.
c. ! (+ − 10+
* +5 ! 7 *
Pen"elesaian: a.
/5
=
!5 × *
=
!5 × *
=5×
*
=5
*
Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma
11
b.
* + 5 ! − * = 8 − 19 * + 5 !
=5
*
+5
=!
1 × *
!
=5(
*
−
×
+
!
)
c. ! (+ − 10+
=!
1 ×*
−
* ×*
= ! × (× 3.
* − *
=+
!en"ederhanakan
(
p
+2
* − *
*
=!
#entuk
*
*
akar
di
dalam
akar
)
$
#agaimana bila &nda diminta untuk menyederhanakan bentuk
p + ! 1
>ernyata, bentuk tersebut dapat &nda sederhanakan menjadi bentuk a + ! , dengan a + ! = p , dan a! = 1 . 2ntuk lebih jelasnya, perhatikan uraian berikut. a
+
! dapat dipandang juga dalam bentuk
8 a
+
! 9 ! . -ari sini dapat
diperoleh bah3a a
+
!
=
8 a
+
=
8 a 9!
=
a + ! a!
=
8 a + !9 + ! a!
! 9!
+!
a !
+8
!9!
+!
ika a + ! = p, dan a! = 1 , maka p + ! 1
=
+
!.
2bahlah bentuk7bentuk akar berikut menjadi bentuk
a
a
-engan cara yang sama, buktikan bah3a
+ + 0
1.
!.
+
! atau
a
−
!.
1! − ( +
Pen"elesaian: + + 0
1.
=
+ + ( ×15
+ + ! 15 sudah menjadi bentuk
=
+ + ! 15 .
4arena
bentuk
p + ! 1 , maka &nda hanya perlu
mencari bilangan a dan ! yang memenuhi a + ! = + dan a × ! = 15 . -an nilai a dan ! yang memenuhi adalah a = 5 dan ! = * . Sehingga + + 0
=
5+ * 1! − ( +
!.
menjadi bentuk
=
1! − ! *! . 4arena bentuk
1! − ( + sudah
p + ! 1 , maka &nda hanya perlu mencari bilangan a
dan ! yang memenuhi a + ! = 1! dan a × ! = *! . -an nilai a dan ! yang
12
Matematika untuk Kelas X Semester I
memenuhi 1! − ( +
a = +
adalah
=
4.
+− (
=
! = ( .
dan
Sehingga
−!.
+
Perkalian Bilangan Bentuk Akar
Sifat 1. dan sifat 1./ juga dapat membantu &nda dalam melakukan perkalian bentuk bilangan bentuk akar. 2ntuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut.
Sederhanakanlah perkalian bilangan7bilangan berikut.
(
a.
! *× ( 5
c. ! ! ( * − +
b.
/ *× ! *
d.
( ! * − 1) (
)
! +1
) #ukalah situs http:;;333.syvum.com;cgi; o nline;serve.cgi; gmat;math< revie3; arithmetic
Pen"elesaian: a.
! *×( 5
= !×(×
*× 5
= +×
* ×5
b.
/ *×! *
= /×!×
*× *
= 1( ×
c.
! ! ( *− +
(
!× (× !× * − !× !×+
=
+ − ! 1
=
+ −+ = +
=! 5.
! +1
(
=
15
= 1( × * = (!
) = ! ! × (* − ! ! ×+
=
( ! * − 1) (
d.
=+
8sifat distributif9
+ − !× (
)
−1
) = !× * ×
8sifatdistributif9
!
+!
* ×1 + 8 −19 × !
+ 8 −19 ×1
+ ! * − ! −1
Bentuk Akar Seka%an
"erhatikan contoh berikut.
4alikanlah bentuk7bentuk berikut. 5× 5
a.
b.
(
!− *
) ×(
!+ *
)
Pen"elesaian: 5× 5 =
a. b.
(
!
−
*
) ×(
!+
*
)=
5×5 !×
=
=
!+
!5 !×
=5 *+
(− *) ×
(+ − −
!+
(− * )×
*
= ! − * = −1
#ila &nda perhatikan contoh di atas, hasil perkalian tersebut semuanya dapat menghilangkan bentuk akar. $ah, suatu bentuk akar yang apabila dikalikan dengan bentuk akar yang lain dapat menghilangkan tanda akar disebut !entuk akar sekawan dari bentuk akar tersebut.
Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma
1!
-ari Dontoh 1.11, bentuk akar seka3an dari bentuk akar seka3an dari
(
) (
(
5 . Sementara itu,
) ! − * ) adalah ( ! + * ) .
! + * adalah
sebaliknya, bentuk akar seka3an dari
5 adalah
! − * . -emikian pula -engan
demikian, dapat &nda simpulkan sifat berikut:
Sifat 1.8 ika a dan ! adalah bilangan real positif, maka #entuk akar seka3an dari adalah . asil perkalian keduanya adalah a. #entuk akar seka3an dari , demikian juga sebaliknya. asil perkalian keduanya adalah . #entuk akar seka3an dari , demikian juga sebaliknya. asil perkalian keduanya adalah .
#entuk akar seka3an seperti ini seharusnya tidak terlalu mengejutkan &nda. %ni karena &nda telah mempelajari dan mengetahui dengan baik bah3a 8a + !98a − !9 = 8 a ! − ! ! 9 . D
&.
-apatkah &nda memaknai bentuk
1 satuan
&
1 satuan
!erasionalkan Pen"e#ut Suatu Pe'ahan
#
.ambar 11
1
satuan %ni artinya 1 satuan dibagi ! . ! -an ini cukup sulit dipahami dan dimaknai, baik secara geometris maupun secara numerik. 1 ! satuan. %ni artinya setengah dari Sekarang bandingkan dengan bentuk ! ! satuan. #entuk ini dapat diilustrasikan seperti pada gambar di samping. 8?ambar 1.19. 1
1
! . $amun secara makna, ! ! bentuk yang kedua lebih mudah dipahami dan digambarkan, baik secara geometris maupun secara numerik, daripada bentuk pertama. &dapun bentuk yang kedua merupakan hasil dari merasionalkan penyebut dari bentuk pertama. Sebenarnya bentuk
sama dengan bentuk
-ari uraian di atas, bila ada suatu bilangan yang penyebutnya mengandung bilangan irasional, maka sebaiknya bilangan tersebut diubah sedemikian sehingga penyebutnya adalah bilangan rasional, tanpa mengubah nilai dari bilangan tersebut. "roses untuk mengubah penyebut suatu bilangan sehingga penyebutnya menjadi bilangan rasional disebut proses merasionalkan pen"e!ut suatu pecahan. >entukan nilai n yang memenuhi persamaan
Dara merasionalkan penyebut suatu pecahan adalah dengan mengalikan pen"e!ut terse!ut dengan !entuk akar sekawann"a. 2ntuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut
Easionalkan penyebut dari bentuk7bentuk pecahan berikut:
1"
Matematika untuk Kelas X Semester I
*
a.
5
b.
!− /
c.
− *
!+ /
Pen"elesaian: *
a.
5
*
=
5
b.
− * + +
2atatan :
* *
!+ /
= (.
* 2atatan 5 * :
=
5
=
−
!− /
=
!+ /
(−( /+/
=
(−/
=
!5
*
= 1 . %ngat bentuk
!− /
c.
×
5
+ *
×
=
+ *
!− / !− /
11 − ( /
=
= 1 . Suatu !ilangan ika dikali +,
tidak mengu!ah nilai !ilangan terse!ut
8a − ! 98a + ! 9 = a
×
−*
5
5 55
=
(
!
) ( ) − ( *)
(
!
−!
!
!
!− /
!!
+ *
+(
)
/
!
)
!
( / − 11 *
Bilangan dengan Pangkat Bilangan asional a
(angkat )ilangan *asional
&nda telah mengetahui bentuk bentuk berikut..
= !, karena !! = ( . * !/ = * , karena ** = !/ . (
Selain dengan menggunakan notasi akar 8 9, penarikan akar suatu bilangan juga dapat dinyatakan dengan menggunakan pangkat. 1
( dapat dinyatakan pula sebagai ( ! , dan 1
1
!/ . -engan demikian, ( ! *
1
= ! dan !/ *
*
!/ dapat dinyatakan dengan
"angkat rasional ) ational indices.
=*. 1
Secara umum, dapat &nda tuliskan bah3a a n
=na.
1.
>unjukkan
bah3a
m
an
= n am
!.
itunglah 1
nilai
dari
!
0,1!5 * dan !/ * . Pen"elesaian: 1. m
a
n
=a
m×
1 n
1
=(a ) = m
n
n
am
!. 1
0,1!5 *
=
*
0,1!5
= 0,5 . 4arena
0,5 × 0,5 × 0,5
= 0,1!5
Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma
1#
!
!/
*
!
*×
= (* ) = * *
*
2atatan ' 8a 9 = a m
n
! *
= *! =
mn
$yatakan dalam bentuk akar paling sederhana. b. Sederhanakan bentuk akar berikut untuk .
e. f.
e.
f.
itunglah dan jika : dan dan dan 2bahlah bentuk7bentuk akar berikut menjadi bentuk atau . d. e. f.
Easionalkan penyebut dan nyatakan dalam bentuk yang paling sederhana. -iketahui dan . >entukan nilai G
Easionalkan penyebut dan nyatakan dalam bentuk paling sederhana. d. e. f.
Segitiga AB2 siku7siku di B. "anjang sisi cm dan cm. itunglah panjang sisi ! dalam bentuk akar yang paling sederhana. itunglah luasnya. Sebuah bola memiliki volume 1(.1*0 cm*. >entukan luas permukaan bola 8ambil 9.
itunglah. c.
8"etunjuk : Folume bola,dan luas permukaan bola, 9
d.
). 1.
Perpangkatan Bentuk Al*a#ar Sifat-sifat Perpangkatan Bentuk Al*a#ar
"engunaan huruf untuk #entuk aljabar adalah bentuk yang memuat variabel. ang dimaksud menyatakan suatu variabel tentu tidak sembarangan. dengan variabel adalah suatu bentuk yang tidak ditentukan secara pasti nilainya. Fariabel #, ", dan 3 biasa 4ebalikan dari istilah variabel adalah konstanta, yaitu suatu nilai yang telah digunakan untuk diketahui secara pasti. Fariabel dalam aljabar biasanya dinyatakan dengan huruf menyatakan variabel dengan kecil, misalnya #, ", 3 , a , !, c, n, m, dan sebagainya. domain bilangan real, sementara variabel a, !, dan c menyatakan bilangan Fariabel m,untuk n, danKelas i 1% bulat. Matematika X Semester I biasa digunakan untuk menyatakan bilangan asli. "enggunaan huruf7huruf tersebut disesuaikan dengan kebutuhan.
Meskipun suatu variabel dapat me3akili nilai berapapun, namun perlu diingat dan diperhatikan dua hal berikut ini, yaitu: 1. !.
penyebut suatu pecahan tidak boleh sama dengan nol, dan nilai di dalam tanda akar pangkat genap 8akar pangkat !, akar pangkat (, dan seterusnya9 selalu bernilai lebih dari atau sama dengan nol 8≥ 09 .
4edua rambu tersebut selalu menjadi patokan operasi7operasi dalam bentuk aljabar. #erbicara mengenai sifat7sifat perpangkatan bentuk aljabar pada dasarnya sama dengan sifat7sifat perpangkatan pada bilangan yang telah kita bahas sebelumnya. Sifat7sifat tersebut adalah:
(. 5. .
/.
Selain dari itu, apabila dalam penyederhanaan diharuskan melakukan operasi penjumlahan atau pengurangan antar bentuk aljabar, maka hanya suku yang sejenis yang dapat dijumlahkan atau dikurangkan. 2ntuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut.
Sederhanakan bentuk7bentuk ajabar berikut. !
# 8 "
1.
*
−#
*
−
9
!.
# − #* # 5
Pen"elesaian: ! * * # 8 " − # 9 −
1.
= # ! " * − # ! * = # ! " * − # 1 −
=
!
# "
*
− # ! .# * −
8sifat distributif9
8sifat19
−
= # ! " * −
#
# − # *
!.
#
= #1 5 − #* 5 = # ( − # ! −
−
= 2.
1
−
= #.# 5 − #* .# 5 −
−
8sifat 9
8sifat19
−
1
1
#
#!
− (
5
8sifat 9
8sifat 9
Persamaan Pangkat Bentuk Al*a#ar
Selain penyerderhanaan, seringkali masalah suatu bentuk aljabar disajikan dalam bentuk persamaan. Menyelesaikan suatu persamaan artinya &nda diminta
Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma
1&
untuk menentukan nilai7nilai dari variabel yang memenuhi persamaan tersebut. $ilai itu bisa hanya satu, bisa juga lebih dari satu. 2ntuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut.
>entukan nilai # yang memenuhi persamaan7persamaan berikut. 5 #
1.
=
1 1!5
+! # + !
!.
*. 5* # −1!
=1
= 1 # +1
Pen"elesaian: 5 #
+.
=
1 1!5
+! # + !
-.
+! # + !
=
1 5
*
= 5−* . 4arena
= 1 # +1 ⇔
= 1 # +1 ⇔
8! * 9 ! # + !
! # +
=
5 #
= 5−* , maka # = − *
= !(8 # +19 !( # +(
# +
= !( # + ( = !( # + ( 5* # −1! = 1 = 50 Ingat ' a 0 = 1 * # −1! = 50 , maka * # − 1! = 0 , sehingga didapat # = ( 4arena 5 ⇔! ! ⇔ !* # +*
.
"erhitungan perpangkatan dapat kamu lakukan dengan mudah dengan memanfaatkan soft3are maple .5. -engan program ini, selain perhitungan numerik, kamu juga dapat melakukan penyederhanaan perpangkatan bentuk aljabar. Soft3are ini dapat diakses melalui situs: 333.maplesoft.com
Sederhanakan dan nyatakan dalam pangkat positif untuk c. d. itunglah operasi aljabar berikut ini.
-iketahui dan . itunglah G >entukan nilai # dalam persamaan berikut : c. d. ika , hitunglah G ika , hitunglah G
ika , hitunglah G -iketahui dan . itunglah :
1'
Matematika untuk Kelas X Semester I
>entukan nilai # dalam persamaan berikut G c. d. ika , hitunglah G
+.
,ogaritma 1.
,ogaritma
Se#agai
Iners Perpangkatan ika &nda memakai kemeja dengan suatu proses tertentu 8misalnya dengan dimulai dari memasukkan tangan ke lengan baju, mengancingkan kancing baju, dan sebagainya9, maka dengan proses sebaliknya, &nda dapat juga melepas kemeja itu. -emikian pula dengan sebuah fungsi. ika $ 8 #9 = " menyatakan fungsi $ dengan domain # yang menghasilkan ", maka &nda juga dapat menentukan nilai # jika nilai " dari fungsi itu diketahui. Misalnya suatu fungsi memetakan setiap himpunan H ke himpunan , # dengan aturan fungsi $ 8 # 9 = ! . ika diketahui $ 8 #9 = *!, maka &nda dapat menentukan nilai # yang berpasangan dengan *!. $ilai tersebut adalah # = 5 , karena !5 = *! . Menentukan nilai # dari nilai " yang diketahui disebut operasi in&ers dari suatu fungsi. Singkat kata, jika memakai kemeja merupakan suatu fungsi, maka melepas kemeja merupakan invers dari fungsi tersebut. -emikian pula dengan operasi perpangkatan. %nvers dari perpangkatan disebut dengan istilah logaritma. "ada bahasan mengenai bilangan berpangkat, jika a n = c , maka &nda dapat menentukan nilai c jika diketahui a dan n . $ah, sekarang bagaimana bila &nda diminta menentukan nilai n jika a dan c diketahui 2ntuk menentukan nilai n, maka diperkenalkanlah istilah logaritma dari suatu bilangan.
'ogaritma ) Logarithm.
e$inisi
-ari uraian dan definisi tersebut, tampak jelas bah3a logaritma merupakan invers dari bentuk perpangkatan. -ari bentuk , didefinisikan hal7hal berikut. a disebut bilangan pokok atau basis. 2ntuk logaritma, didefinisikan bah3a dan . # disebut numerus. 4arena , maka . -engan demikian, maka . 'ogaritma dengan basis 10 cukup ditulis , tanpa menuliskan basisnya. -engan demikian jika, maka .
#ukalah situs http:;;333.thocp.net; re$erence%sciences% mathematics% logarithm)hist.htm. "ada situs ini, &nda dapat mengetahui sejarah dan perkembangan logaritma sejak ditemukan oleh ohn $apier
Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma
1+
2.
Sifat-sifat ,ogaritma
4arena logaritma merupakan invers dari perpangkatan, maka sifat7sifat logaritma pada dasarnya diturunkan dari sifat7sifat perpangkatan. Sifat7sifat tersebut adalah sebagai berikut. Sifat-sifat logaritma/ (.
/.
5.
+.
.
.
#erikut ini akan dibuktikan beberapa sifat logaritma tersebut. a )ukti Si$at 1/ log1 = 0
1.
•
Sifat ini sudah cukup jelas, coba &nda buktikan sendiri. a )ukti Si$at 2/ log a = 1
!.
• #ukalah situs http:;;333.edhelper.com %logarithms.htm. "ada situs ini, &nda dapat berlatih soal7soal mengenai pangkat dan logaritma dengan worksheet yang tersedia dengan lengkap.
#ukti sifat ini juga cukup jelas. Doba &nda buktikan sendiri. a a a )ukti Si$at !/ log #" = log # + log "
*.
a ika log # = p , maka a p
= # . -an jika a log " = 1 , maka a 1 = " . p 1 p +1 ika # dan " dikalikan, maka diperoleh #" = a × a = a . -ari persamaan #" = a p + 1 , jika ditulis dalam bentuk logaritma, maka didapat a log #" = p + 1 . a a a a a 4arena p = log # dan 1 = log " , maka log #" = log # + log "
•
8terbukti9 a )ukti Si$at "/ log
(.
•
# "
=a log # −a log "
"embuktian sifat ini hampir sama dengan pembuktian sifat *. -engan menggunakan sifat a p : a 1 = a p − 1 , silakan &nda buktikan sifat ini sendiri. a n )ukti Si$at #/ log #
5.
•
= n ×a log #
2ntuk membuktikan sifat ini, silakan &nda coba dengan mengisi titik7 titik di ba3ah ini. a
n log #
=a
log... ...× .... 1 ×442 4 ×43.... ....faktor
= ... + ... ...2 1 +44 4 +43...
8sifat (9
...faktor
= n × ...
8terbukti9 p
)ukti Si$at %/ log # = a
.
•
p
log # log a
=
a Misalkan log # = k , maka a k
1 #
log a
=#
ika kedua ruas diambil logaritma dengan basis p, maka
2
Matematika untuk Kelas X Semester I
=# p log a k = p log # k p log a = p log # a k
p
k =
8sifat 59
log #
p
log a p
karena log # = k , maka log # = a
a
ika dipilih p = # , maka # log # a log # = # log a
= #
log #
p
.... 8 terbukti9
log a
1 log a p
dengan demikian terbukti bah3a /.
)ukti Si$at &/
a
m
log # =
1
a
m
a
log # =
p
log # log a
=
1 #
log a
.
log #
-engan menggunakan sifat , silakan &nda buktikan sifat ini. a ! a )ukti Si$at '/ log ! × log c = log c
+.
Doba &nda buktikan sifat ini. Sebagai bantuan, gunakan sifat . .
)ukti Si$at +/ a
a
log #
=#
a ika log # = k , maka a k
•
# = a k
=a
a
= # . 4arena
a
log # = k , maka
log #
-engan demikian, maka a
a
log #
= # ...8terbukti9
>entukan nilai logaritma berikut. 1.
!
log ! + ! log *!
−! log *!
!.
a
!
log ! ×! log * c ×c log
1 a!
Pen"elesaian: !
1.
log ! + ! log *! 1
=
log !
!
5
+
!
log ! !
=
1
=
5 .1 + .1 − 5.1 ! ! 1 5 + −5 = −! ! !
= !.
!
!
! 1
a
−! log *!
log ! +
5 !
!
!
− !log !5
8sifat perpangkatan9
log ! − 5 !log !
log ! ×! log * c ×c log
8sifat 59 8sifat !9
1 a!
Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma
21
1 *
!
= a log ! × ! log c × c log a −!
8sifat perpangkatan9
1
= a log ! × * ! log c × 8 −!9 clog a !
=
1
8 −!9 a log ! × ! log c × c log a
=− =− =−
1a * 1a * 1
8sifat 5 dan sifat /9
8sifat assosiatif9
log c × c log a
8sifat+9
log a
8sifat+9
8sifat !9
*
! ( 5 ika log 5 = a dan log * = ! , tentukan log* .
Pen"elesaian: -iketahui
! ( : log 5 = a dan log * = !
-itanyakan
5 : log* ...
a3ab
: log* =
(
log*
(
log5
(
log*
5
= = =
!!
8sifat ,dengan pengambilan p ) (9
8sifat perpangkatan9
log5
(log* 1 ! !
! 1 !
8sifat /9
log5
a
=
!! a
!enentukan Nilai ,ogaritma Suatu Bilangan
3.
2ntuk menentukan nilai logaritma suatu bilangan, &nda dapat menggunakan tabel logaritma. >abel tersebut selengkapnya disajikan sebagai lampiran di buku ini. ang disajikan dalam tabel logaritma hanyalah nolai logaritma dengan basis 10, dan dengan numerus 1 < # < 10 . -engan menggunakan sifat7sifat logaritma, &nda dapat menghitung nilai logaritma dari banyak bilangan. Dara menggunakan tabel logaritma dijelaskan dalam contoh berikut.
itunglah nilai dari log1,!* . Pen"elesaian:
# 1 11
22
Matematika untuk Kelas X Semester I
1
2
!
"
#
%
&
'
+
12
'++
1! 1"
#ilangan 1,!* didapat dengan mencari angka 1,! pada kolom #. Setelah itu, untuk mendapatkan bilangan 1,!*, tarik garis dari baris 1,! sampai kolom *. &ngka yang didapat adalah .0+, yang maksudnya 0.0+. -engan demikian, log1,!* = 0,0+ . Selain dengan menggunakan tabel, penghitungan nilail logaritma juga dapat menggunakan kalkulator ilmiah 8 scienti$ic calculator 9.
-engan menggunakan bantuan tabel logaritma, tentukan nilai dari: 1. log(!,5
!.
*
log!
Pen"elesaian: 1.
log (!,5
= log (, !5 ×10
=
log (, !5 − log10
=
log (, !5 − 1
8sifat *9
-engan menggunakan tabel, log (!,5 = 0, !+( − 1 = − 0,*/1
didapat
log (, !5
= 0, !+( ,
sehingga
>entukan nilai logaritma berikut. log! * log! = 8sifat denganmengambil p ) 109 !.
log*
#erdasarkan tabel, log ! 0,*010 * log ! = = 0,*1 0,(//1
= 0,*010
dan
itunglah nilai yang memenuhi persamaan berikut.
ika dan , nyatakanlah logaritma berikut dalam a sehingga dan !.
log * = 0, (//1 ,
b.
c.
-iketahui persamaan sebagai berikut. >entukanlah nilai G $yatakanlah dalam a jika diketahui G
-engan menggunakan tabel logaritma tentu7kan nilai dari logaritma berikut. d. e. f. -iketahui dan . itunglah logaritma berikut. c. d. >entukan nilai pada persamaan berikut.
#akteri amoeba akan membelah secara biner setiap !0 menit sekali. ika terdapat suatu koloni dengan !5000 bakteri, maka setelah # jam jumlah tersebut akan berkembang biak menjadi bakteri. #erapa lama 3aktu yang diperlukan koloni bakteri tersebut untuk berkembang biak menjadi *,! juta bakteri %kmayanti menabung pada sebuah bank yang memberi bunga B per tahun. 2ang yang ia tabung sebesar Ep. !./50.000,00. #erapa tahun ia harus menabung supaya nilainya menjadi Ep. *.!/!.500,00 ika S n ) jumlah tabungan setelah n tahun, p ) nilai tabungan a3al, dan r ) suku bungan per tahunI maka :
Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma
2!
"enerapan konsep perpangkatan dan logaritma sangat banyak di kehidupan sehari7hari, seperti dalam peluruhan Jat Eadioaktif, penentuan " larutan, menghitung bunga majemuk, dan sebagainya. >ugas &nda sekarang, carilah penerapan7penerapan konsep perpangkatan dan logaritma pada permasalahan7permasalahan selain yang telah diuraikan di atas. %nformasinya dapat &nda cari dari buku7buku sumber maupun intenet.
ika sebuah bilangan a dikalikan dengan bilangan itu sendiri sebanyak n kali, perkalian itu dapat kamu nyatakan , dengan >uliskan materidalam padabentuk bab ini yang .sudah &nda 2ntuk materi yang belum &nda pahami, coba n -alam hal ini, merupakan bilangan bulat positif atau bilangan asli. pahami. diskusikan dengan teman &nda, kemudian konsultasikan hasilnya dengan guru &nda. ika a sebarang nol 89,belum maka berlaku >uliskan materi bilangan pada babbukan ini yang &nda ika maka pahami. #uat rangkuman dari materi yang telah &nda Sifat7sifat "erpangkatan pelajari pada bab ini. 4emudian hasilnya bandingkan dengan rangkuman berikut. Sifat 1.1 Sifat 1.5 Sifat 1.!
Sifat 1.
ika , maka
Sifat 1.* Sifat 1./ , dengan Sifat 1.( Sifat 1.+ ika a dan ! adalah bilangan real positif, maka #entuk akar seka3an dari adalah . asil perkalian keduanya adalah a. #entuk akar seka3an dari , demikian juga sebaliknya. asil perkalian keduanya adalah . #entuk akar seka3an dari , demikian juga sebaliknya. asil perkalian keduanya adalah . Sifat7sifat logaritma: . /. +. .
2"
Matematika untuk Kelas X Semester I
#entuk sederhana dari adalahK
"enyelesaian persamaan adalah K
d. e.
d. e. * ! -iketahui. $ilai )K
$ilai dari adalahK
d. e.
d. e. ika dan , maka ) K
)K 0,/!5 d. (,(!!5 0,+!5 e. (,!5 0,1!5 (ilihlah salah satu jawaban yang paling tepat $ilai dari bentuk adalah K
d. e. #entuk sederhana dari adalahK d. e.
d. 5 e. -iketahui , dan . $ilai dari adalah K
)K
d. +1 e. !(* !/ #entuk sederhana dari adalahK d. e. 4Soal Kompetisi Matematika SMU 5KI 6akarta -77-8
d. e. $ilai # yang memenuhi adalah K 7! 71 1
d. ! e. (
Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma
2#
$ilai # dari persamaan
dan $ilai K d. e.
! d. * e. + ( ika , maka nilai adalahK 75 7(
4Soal Kompetisi Matematika SMU 5KI 6akarta -77-8
d. ( e. 5
$ilai # yang memenuhi adalah K d. ! e. (
-iketahui . #erapakah nilai dari 7(,*/5! 7*,*/5! 7*,!(+
d. *,*/5! e. (,!(+
-iketahui , dan . $yatakanlah dalam p dan 1G d. e.
-iketahui dan . $ilai adalah K + 10
d. 1! e. 1(
ika maka K
$ilai a yang memenuhi persamaan adalahK. 7!
d. 1 e. (
0 -iketahui dan , dan p, 1, r bilangan positif , . $ilai dari adalahK d. e. ika ,, dan maka dalam # adalahK d. e.
menyatakan suku ke n dari suatu barisan. ika . Maka rumus untuk sama dengan ... d. e. 4Soal Kompetisi Matematika SMU 5KI 6akarta -77-8
-iketahui , maka K d. e.
2%
Matematika untuk Kelas X Semester I
Jawablah dengan singkat, tepat, dan jelas
-engan merasionalkan penyebutnya, sederhanakan G
itunglah # jika
itunglah -iketahui itunglah : c. d. 49uliskan awa!anmu sampai empat tempat desimal8
ika dan , buktikan bah3a :
itunglahG
&am memiliki gitar dengan panjang da3ai 0 cm dan massa kg. Saat getar dipetik, diketahui cepat rambat gelombang transversal dalam da3ai sebesar +0 m;s. #erapakah tegangan tali da3ai gitar &am >entukan nilai # dari Sebuah pesa3at yang akan lepas landas menimbulkan bunyi 1!5 d# pada jarak 50 m dari pengamat. "ada jarak berapa meter si pengamat dapat menangkap bunyi pesa3at tersebut dengan intensitas +5 d# Sebuah elektron bergerak pada bidang H dengan kecepatan gerak Llektron tersebut berada pada daerah medan magnetik dengan induksi magnetik . >entukan besar gaya yang dialami elektron 8muatan elektron ) 9
Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma
2&
2'
Matematika untuk Kelas X Semester I