BAB 1 Barisan Dan Deret

BAB 1 BARISAN & DERET Latihan Kompetensi Siswa 1 A. Evaluasi Pengertian atau Ingatan 1. a. U n 2n 1

U1 2.1 1 2 1 3 U 2 2.2 1 4 1 5 U3 2.3 1 6 1 7 U 4 2.4 1 8 1 9 U5 2.5 1 10 1 11 b. U n n

3

U1 13 1 U 2 23 8 3 U3 3 27 U 4 43 64 3 U5 5 125 

c. U n 2n 1

U1 2.12 1 2 1 1 U 2 2.22 1 8 1 7 2 U3 2.3 1 18 1 17 U 4 2.42 1 32 1 31 2 U5 2.5 1 50 1 49 d. U n n n 2

U1 12 1 0 U 2 22 1 3 2 U3 3 1 8 U 4 42 1 15 2 U5 5 1 24

e. Un  2 n

U1  22 1

U 2  2 4 2

U3  28 3

U 4  216 4

U5  232 5

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino

n 1 n 1 1 1 0 U1   0 1 1 2 2 1 1 U2   2 1 3 3 1 2 1 U3    3 1 4 2 4 1 3 U4   0 4 1 5 5 1 4 2 U5    5 1 6 3 g. U n n  n 1 f. U n 

U1 1 1 11.2 2 U2 2 2 1 2.3 6 U3 3 3 13.4 12 U4 4 4 1 4.5 20 U5 5 5 15.6 30 h. U n 2n 5 U1 2.1 5 7 U2 2.2 5 9 U3 2.3 5 11 U4 2.4 5 13 U5 2.5 5 15 1 i. U n  n n 3 1 1 U1   1 1 3 4 1 1 U2   2 2 3 10 1 1 U3   3 3 3 18 1 1 U4   4 4 3 28 1 1 U5   5 5 3 40 n2 j. U n  n 1 12 1 U1   1 1 2 22 4 U2   2 1 3

Bab 1 | Page 1

32 9 U3   3 1 4 42 16 U4   4 1 5 52 25 U5   5 1 6 1 k. U n 1 n 1 U1 1  1 1 0 1 1 2 1 1 U 2 1    2 2 2 1 3 1 2 U3 1    3 3 3 1 4 1 3 U 4 1    4 4 4 1 5 1 4 U5 1    5 5 5 1   l. U n sin n 4  1 1 1  U1 sin .1.sin  2 4 2 4  1 1  U 2 sin  .2.sin 1 2 4  3 1 1  U3 sin .3.sin  2 4 2 4  1  U 4 sin  .4.sin 0 4  5 1 1  U5 sin .5.sin  2 4 2 4  2 m. U n n  n 2 1 2 U1 1   3 1 1 2 4 2 U2 2   3 2 1 2 9 2 11 U3 3    3 3 3 2 16 2 18 9 U4 4     4 4 4 2 2 25 2 27 U1 1    5 5 5

n 1

n. U n 

n 1 1 U1  1 1 2 1 1 U2   2 2 3  1 1 U3   3 3 4 1 1 U4   4 4 5 1 1 U5   5 5 1 o. U n  4n 3 2n 1 1 1 1 U1    4.1 3  2.1 1 1.1 1 1 1 1 U2    4.2 3 2.2 1 5.3 15 1 1 1 U3    4.3 3 2.3 1 9.5 45 1 1 1 U4    4.4 3 2.4 1 13.7 91 1 1 1 U5    4.5 3 2.5 1 17.9 153 2. a. 1, 2,3,..... Tiga suku berikutnya : 4, 5, 6

Un n b. 3,5, 7, ..... Tiga suku berikutnya : 9,11,13

3, 5, 7, 9, 11, 13,..... 2 2 2 2 U1 3, b 2, m 1 b 2 Pendekataan  nm  n1 2n m! 1! Un Pendekatan  U1 b 

2n  3 2 2n 1 c. 8, 4, 0, .....

Tiga suku berikutnya : 4,8,12

U1  8, 4, 0, 4, b 4 4 4

8, 12,.....

sama di tingkat 1 Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino

Bab 1 | Page 2

U1 8, b 4, m 1 b m 4 1 Pendekataan  n  n 4 n m! 1! U n Pendekatan  U1 b  4n  8 4  4n 12 d. 15,12, 9, ..... Tiga suku berikutnya : 6, 3, 0 U1  15, 12, 9, 6, 3, 0,..... b  3 3 3 sama di tingkat 1

U1 15, b 3, m 1 b 3 Pendekataan  n m  n1 3n m! 1! U n Pendekatan  U1 b   3n  15  3  3n 18 e. 1, 4, 9,..... Tiga suku berikutnya : 16, 25, 36 1, 4, 9, 25, 36, .....,Un 12 , 22 , 32 , 42 , 5 2 , 62 ,....., n 2 Maka, U n n 2 f. 1, 2, 4, ..... Tiga suku berikutnya : 7,11,16 Awal : 1, 2, 4, 7, 11, Tingkat 1 : 1 2 3 4 Tingkat 2 : 1 1 1 1 2 1 2 Pendekataan 1  n  n 2! 2 Langkah 1 : Awal : Pendekatan 1

n : 1 2

2

1 1 2 1 2

2 2

Langkah 2 : Hasil Operasi 1 :

1 1  n 2  n 1 2 2 1  n n 1 1 2 g. 1, 8, 27, ..... Tiga suku berikutnya : 64,125, 216

1, 8, 27, 64,125, 216,.....,U n 13 , 23 , 33 , 43 , 53 , 63 ,....., n 3 Maka, U n n3 h. 2, 4,8, ..... Tiga suku berikutnya : 16, 32, 64 Awal : 2, 4, 8, 16 Tingkat 1 : 2 2 2 r 2, m 1 n

n

Pendekataan 1 r m ! 21! 2 Awal : 2 4 8 16 n Pendekatan 2 : 2 4 8 16

1 1 1 1

n



Un 1. Pendekatan 1 1.2 2 i. 4, 2, 1, ..... n

16,...

n

1 2

, 14 , 18 Awal : 4, 2, 1, 12 , Tingkat 1 : 12 12 12 r 12 , m 1 Tiga suku berikutnya :

1 4

,

1 8

1 1! 1 Pendekataan 1 r m !   2 2 n

4

7 8

9 2 1 2



0  1 Pendekatan 2   n :  1  2  1 1 1 1 Hasil Operasi 2 : Pendekatan 3 1 0 0 0 1 2

1 2 1 2

Pendekatan 3

(stop)

0  1 1 2 12 12 1 1 Pendekataan 2  2 n1  n 1! 2

Hasil Operasi 1 : Tingkat 1 :

Un Pendekatan 1 + Pendekatan 2 +

1 2 3 2

(stop)

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino

n

Awal :

4 2 1

Pendekatan 2n :

1 2

1 4

1 8

1 2 1 16

8 8 8 8

n



(stop)

Un 8. Pendekatan 1 1 n 23. 2

23.2 n 2 3n j. 1, 2 , 2,..... Tiga suku berikutnya : 2 2 , 2, 4 2 Awal :

1,

2,

2,

2 2,

4, 4 2

Tingkat 1 :  2  2  2

r  2 , m 1

Bab 1 | Page 3

 2 2

n

n 1!

Pendekataan 1 r m !  2

1

Awal : n

2

n

2 2

e. 4, 2,1, 12 ,..... Awal :

2 2 2

2 2 2 2 4

Pendekatan 2 :

n 2

2 2

2 2

2 2



1! Pendekataan 1 r m !  12   12  n

U n  22 .Pendekatan 1

(stop)

Un 8.Pendekatan 1  2 . 2  3

8, 27, 64,125, 216,.....,U n

3 n

Jadi, U n n 1 3

1 1

3. a. 2, 2, 2, 2,.....

, 12 , 13 , 14 ,.....

Pembilangan dari setiap bilangan pada barisan itu adalah 1, berarti U Pembilang 1

U n 2 1 b. 2, 2, 2, 2,..... n

Penyebut dari setiap bilangan pada barisan itu adalah 1, 2, 3, 4,.....,

n 1 U n 2 1 c. 1, 3, 9, 27,..... 1,1, 1 3,19, 1 27,..... Bilangan kiri : 1, 1,1, 1,.....

UPenyebut n

UPembilang 1  UPenyebut n

Jadi, U n 

1  1 , 1 1 1

g.

 1 ,...,  1 Bilangan kanan : 1, 3, 9, 27,..... 2 1

n 1

1 1 12 3 4

, 518 , 7 116 ,..... UPembilang 1 ,

Penyebut merupakan perkalian antara bilangan kiri dan bilangan kanan. Bilangan kiri : 1, 3, 5, 7,.....,2n 1

30 , 31 , 32 ,.....,3n 1 U n Bilangan kiri Bilangan kanan

Bilangan kanan : 2, 4, 8,16,....., 2 n



 1 3n 1

UPenyebut  2 n 12 n UPembilang 1 Jadi, U n   UPenyebut  2n 1 2 n 

n 1

 3

n 1

d. 1, 12 , 14 , 18 ,.....

1,

12 , 14 , 18 Tingkat 1 : 12 12 12 r 12 , m 1

h.

n

n

n

1 12 14 18 1 2

1 4

1 8

1 16

2 2 2 2

1 1 2 4

, , 18 , 161 ,..... UPembilang 1

UPenyebut 2n U 1 Un  Pembilang  n 2n U Penyebut 2

1 1! 1 Pendekataan 1 r m !   2 2 1 n  : 2

n

 2 1 1 1 f. 1, 2 , 3 , 4 ,.....

23 ,33 , 43 , 53 , 63 ,....., n3

Pendekatan

n

4 2 1 12 n Pendekatan  12 : 12 14 18 161  8 8 8 8

Tiga suku berikutnya : 125, 216, 343

Awal :

n

Awal :

1

1 n  22 n 1  1 .2 2 2 2 2 2 n 1 1 n 1  22 2 2 2 k. 8, 27, 64,.....

Awal :

4, 2, 1, 12 ,..... 12 12 12 r 12 , m 1



(stop)

U n 2. Pendekatan 1 1  2 2 n

1.21.2 n 1.21 n Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino

i.

1 8

1 , 271 , 641 , 125 ,..... UPembilang 1

UPenyebut n 13 U 1 3 Un  Pembilang   n 1 3 U Penyebut  n 1 Bab 1 | Page 4

j.

1 2

, 12 2, 12 3 , 12 4 ,.....

Bilangan di luar akar : 12 , 12 , 12 , 12 ,.....

U Bilangan di luar akar 12 Bilangan di dalam akar : 1, 2 , 3 , 4 ,.....

U Bilangan di dalam akar  n U n Bilangan di luar akar  Bilangan di dalam akar



1 2

4. a.

n

3, 4 5, 6 7 ,..... Bilangan di luar atas tanda akar :

2, 4, 6, 8,..... 2 2 2 U n 2n  2 22n Bilangan di dalam tanda akar :

Ukanan dalam akar 2n  2 2  2n Un U kiri U kanan  2n 3  2 n 5. a. U n an b akan ditunjukkan : U n 1 U n a

Un 1 Un  a n 1 b  an b   an a b  an b a b. Jika U n ar n 1 U 1 1 akan ditunjukkan : n  Un r Un 1 arn 11 ar n 2  n 1  n 1 Un ar ar n 1  rn 2  r 2 1 1 r1  r

3, 5, 7, 9,..... 2 2 2 U n 2n  3 22n 1

U n 2 n 2n 1 b. 2  3, 3 2, 3 6,..... atau

3 2, 3 2, 3 6,.....

Bilangan kiri :

3 , 3 , 3, 3,.....

U kiri  3

2, 6, 10 4 4 4 U kanan 4n  2  4   4n 6 U n Ukiri U kanan Bilangan kanan : 2,

 3  4n 6 

c.

 3 6 4n 5  2, 7  4 , 9  6 ,..... Bilangan kiri : 5 , 7 , 9 , 11,..... Bilangan di dalam akar :

5, 7, 9, 11,..... 2 2 2 U kanan dalam akar 2n  5 2 2n 3 U kiri  2n 3 Bilangan di dalam akar :

2, 4, 6, 8,..... 2 2 2

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino

B. Evaluasi Pemahaman dan Penguasaan Materi. 1. a. U n 3n 1

U1 3.1 1 2 U2 3.2 1 5 U3 3.3 1 8 U4 3.4 1 11 U5 3.5 1 14 Jadi, lima suku pertamanya adalah

2,5, 8,11,14 b. U n 194 maka n ? 3n 1 194 3n 194 1 3n 195 195 n 65 3 Jadi, 194 adalah suku ke–65 2. a. U n 2n 1 2

U1 2.12 1 1 U2 2.2 2 1 7 2 U3 2.3 1 17 U4 2.4 2 1 31 2 U5 2.5 1 49 Bab 1 | Page 5

Jadi, lima suku pertamanya adalah :

1, 7,17, 31, 49 b.

U n 199 2n 2 1 199 2n 2 199 1 2n 2 200 200 n2  2 2 n 100 n  100 10 Jadi, 199 adalah suku ke–10

b.

2, 2 2 , 4 2 , 8 2 ,..... 1 2 , 2  2 , 4  2, 8  2 ,..... Bilangan kiri : 1, 2, 4, 8,..... 2 2 2 n

Pendekatan 1 : 2 1! 2n Bilangan kiri awal : 1 2 4 8

2 4 8 16

Pendekatan 1 :

1 2

1 2

1 2

1 2



(stop)

Ukiri 12 .Pendekatan 1 1

12 .2 2 .2 n

n

2 n 1

3. a. U n n3 1

U1 13 1 0 U 2 23 1 7 U3 33 1 26

Bilangan kanan :

Ukanan  2 Jadi, U n U kiri U kanan

U 4 43 1 63 U5 53 1 124 Jadi, lima suku pertamanya adalah :

0, 7, 26, 63,124 b. U n 1.727 n 1 1.727 3 n 1.727 1 3 n 1.728 n 3 1.728 n 12 Jadi, 1.727 adalah suku ke–12 3

4. a. 2, 5,10,17, 26, ..... Awal : 2, 5, 10, 17, 26,..... Tingkat 1 : 3 5 7 9 Tingkat 2 : 2 2 2

2 2!

2 , 2, 2 ,.....

Pendekatan 1  n n 2

2

Langkah 1 Awal : 2 5 1017 2 Pendekatan 1 n : 1 4 9 16  Hasil Operasi 1 : 1 1 1 1



Pendekatan 2 1

U n Pendekatan 1 Pendekatan 2 n 1 2

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino

2n 1. 2 c. 7, 9,13,19,..... Awal : 7, 9, 13, 19 Tingkat 1 : 2 4 6 Tingkat 2 : 2 2 2 Pendekatan 1  n 2 n2 2! Langkah 1 Awal : 7 9 13 19 2 Pendekatan 1 n : 1 4 9 16



Hasil Operasi 1 : Tingkat 1 :

6 5 4 3 1 1 1



1 1 n n 1!

Pendekatan 2 

Langkah 2 Hasil Operasi 1 : 6 5 4 3 Pendekatan 1 2 n: 1 2 3 4  7 7 7 7 0 0 0

Pendekatan 3 7 Un Pendekatan 1 + Pendekatan 2 + Pendekatan 3

n 2 n 7 2

2

4

2

2

4

d. 2 2 , 22 , 22 , 2 2 ,.....

22 , 22 , 2 2 , 22 ,..... Un 22

n

Bab 1 | Page 6

e. 3  5, 3  5 , 3  5 ,..... Bilangan kiri : 3, 3, 3,.....

1 n

b. Pola : X n 

1 1 1 1 1 X 6  , X 7  , X 8  , X 9  , X 10  6 7 8 9 10 1 1 X10 X 8   10 8 8 10 2 1    80 80 40

U kiri 3 Bilangan kanan :  5 , 5,  5 ,..... n U kanan  1 5 U n Ukiri Ukanan

3  1 5 1 1 1 f. , , ,..... 2 1 3  2 4  3 U Pembilang 1 n

Bilangan Penyebut :

2 1, 3  2 , 4  3

U Penyebut  n 1  n U 1 U n  Pembilang  UPenyebut n 1  n 1, n 1

5.

Xn  X n 1 , n 1 1 X n 1 a.

n Xn

1 1

2

3

4

5

1 2

1 3

1 4

1 5

X 1 1

X 1 X X2  2  1 1 X 2 1 1 X 1 1 1   1 1 2 X 1 X X3  3  2 1 X 3 1 1 X 2 1 1 1  2 1 23  1 2 2 3

X 1 X X4  4  3 1 X 4 1 1 X 3 1 1 1  3 1 34  1 3 3 4 X 1 X X5  5  4 1 X 5 1 1 X 4 1 1 1  4 1 45  1 4 4 5

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino

1, n 1 & n 2

6.

Fn  Fn 2 Fn 1 , n 3 a. Ditanya F20 ? & F30 ? n Fn n n Fn

Fn

1 1 11 89 21 10.946 2 1 12 144 22 17.711 3 2 13 233 23 28.657 4 3 14 377 24 46.368 5 5 15 610 25 75.025 6 8 16 987 26 121.393 7 13 17 1.597 27 196.418 8 21 18 2.584 28 317.811 9 34 19 4.181 29 514.229 10 55 20 6.765 30 832.040 Jadi, F20 6.765 & F30 832.040 b. akan ditunjukkan :

F100 F101 F102 2 F100 F101 

Bukti : F100 F101 F102 F100 F101 F100 F101 2 F100 2 F101 2  F100 F101  7. a. 2, 4, 1, 2 12 ,.....

U1 2 U2 4 2 3 2 U3   1 2 2 4  1 4 1 U4   2 2 5 1  2 2 2 U n 1 U n 2 Un  2 2, n 1 Un  4, n 2 Un 1 U n2 , n 3 2 Bab 1 | Page 7

8. a. U1 1

b. 1, 2, 9,121,.....

U1 1 U 2 2

Un 1 n.U n , n 1 U2  2 1 U 2 1 1.U1 1.1 1 U3  3 1 U 3 1 2.U 2 2.1 2 U4  4 1 U 4 1 3.U 3 3.2 6 U5  5 1 U5 1 4.U4 4.6 24 U6  6 1 U 6 1 5.U5 5.24 120

2 U3 9 32  1 2 

 U1 U 2  2

U 4 121 112  2 9  2

2  U2 U3 

Maka,

1, n 1 2, n 2

Un 

2  U n 2 U n 1  , n 3

Enam suku pertamannya adalah :

1,1, 2, 6, 24,120 b. 1, n 1 Un  2, n 2

U n 1 , n 3 Un 2

c. 3, 6,9, 9, 0,.....

U1 3 U 2 6 U3 9 3.3  6 33 U 2 U1  U 4 9 3.3  9 63 U 3 U 2  U 5 0 3.0  9 93 U 4 U3  Maka,

3, n 1 6, n 2

Un 

3 U n1 U n 2  , n 3

d. 2,18, 6, 6 3 ,.....

U1 2 U 2 18  2 18  U1 U2 U 4 6 3  108

 18 6  U 2 U 3 U 5 0 3.0  9 93 U 4 U3 

Un 

U 2  2  2 U1 1 U 2  3  1 U2 2 U 1  4  U3 2 1 U 1  5 2  U4 1 2

Jadi, enam suku pertamanya adalah :

1, 2, 2,1, 12 , 12 c.

0, n 1

Un 

U3 6  36

Maka,

U1 1 U2 2 U U3  3 1 U3 2 U U4  4 1 U 4 2 U U5  5 1 U5 2 U U6  6 1 U 6 2

2, n 1 18, n 2

U n2 Un 1 , n 3

2U n 1 , n 2

U1 0 U2 2U 2 1 2U1 20 1 U3 2U3 1 2U 2 21 2 U4 2U 4 1 2U3 2 2 4 U5 2U 51 2U 4 24 16 U6 2U 6 1 2U 5 216 65.536 Jadi, enam suku pertamanya adalah :

0,1, 2, 4,16, 65.536 C. Evaluasi Kemampuan Analisis 1. a. 1, 4,10, 20, 35, 56,.....

1 1 U1 4 1  1 21.2 2.1 U 2 Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino

Bab 1 | Page 8

10 1  1 2 1 2 3 1.3 2.2 3.1 U3 20 1  1 2   1 2 3  12 3 4 1.4 2.3 3.2 4.1 U 4 35 1  1 2 1 2 3  12 3 4  1 2 3 4 5 1.5 2.4 3.3 4.3 5.1 U5 U n 1.n 2 n 1 3 n 2...  n 2  .3  n 1 n.1 b. 5, 15, 35, 70, 127,..... 10 20 35 57 10 15 22 5 7 2 Barisan tingkat 4

 4

1 12 59 12

4 3 41 3

27 64 4 3 113 146 4 3 105 175 245 12 12 12 70 70 12 12

 70

Hasil Operasi 1 : Pendakatan 2

 n : 2

35 12



Barisan pangkat bilangan kedua :

1, 2,3, 4,..... Un n Maka formula ke– n 23n 6.3n d.

3 , 43 3,1.296 3,1.259.712 3 ,..... U1  3 4 12 U2  3  3 3 9

 

12191 3  22 .3 32 3 1

Barisan menjadi :

3, 2 2.31 3, 2 4.34 3, 2 6 , 39 3 ,.....

35 2 n 12

Barisan pangkat dari 3 mulai suku ke–2

2, 4, 6,8,..... Un 2 n 12n 2

41 3 4 3

113 4 27 4

146 3 64 3

2

2

2

2



U n 121 n 35 12 n 2 c.

Un 3n 6

Barisan pangkat dari 2 mulai suku ke–2

Pendekatan 3 2 4

Pendekatan 2 6

   

59 12 1 12



U4 1.259.712 3 26.39 3

Pendekatan 2 12 n 2 

2!

6 6 6 6

2 231 3 U3 1.296 3 2 4.34 3

2 n4 Pendekatan 1  n4  4! 12 Awal : 5 15 35 70 Pendakatan 1 n12 : Hasil Operasi 1 :

Pendekatan 1 3n Awal : 3 0 3 6 Pendakatan 1  3n : 3 6 9 12

2

3 8

, 9, 216,5.184,..... 3 3 3 1  3 2 .3 8 2 2 0 2 9 3 2 .3 3 3 3 3 216 2 .3 2 .3 6 4 5.184 2 .3

1, 4, 9,..... 5 5 Pendekatan 1 5 n 1 Awal : 1 4 9 14 5n  5 10 15 20  6 6 6 6

Un 5 n 16 5n 11

jadi

3 , n 1

Un  22 n 2.35 n 11 3, n 2

U n ? Barisan pangkat bilangan pertama :

3,

0,

3,

6,.....

3 3 3

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino

Bab 1 | Page 9

1  5 1  5   n

2. U n

1 Un  n 2

n

2n 5

 5  C .1 5     5 ...  C .1 5     5  C .1 5     5 ...  C .1 5  

 25 25 C 0 . 1 .  23 25 C 2 . 1 .   C . 125 25 0  C . 123. 25 2 

0

25

1

2

0

25

0

25

Jadi,

Un 

5

 ...  5  2. C 5  23

25

25

2

25

25

c. 1,

5

25 C1 5 25 C3 5 5 ...  2  11 12   C 5 5  C r 5 25 23 25 25   25 2 5

1 2

Untuk suku ganjil merupakan perkalian antara

1 3 dengan suku sebelumnya. 3

Untuk suku genap merupkan perkalian antara  3 dengan suku sebelumnya Jadi,

2 , 0, 12 2,  2 ,.....

1, n 1 2, n 2

Barisan bilangan tersebut merupakan perkalian dari dua buah barisan bilangan 1 2

2 3

2,

Un 

 2 , 0  2 , 12  2, 1  2,.....

1 3 U n 1 , n 3, 5, 7,..... 3  3 U n 1 , n 4, 6, 8,.....

Barisan sebelah kiri : 1 2

, 0, 12 , 1,..... 12 12 12 d. 0,

1 1  1  U kiri  n  2 2   2    1  n 1 2

1 2

Jadi,

Un 

2 , 2, 2, 2 ,.....

U kanan  2 Jadi, U n U kiri U kanan

b.

1 2

, 12

Suku ganjil : 12 ,

1, 32 ,..... 12 12

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino

2,

1,

12 2,

0,.....

12 2  2 12 2 12 2

Barisan sebelah kanan :

1   n 1 2 2  1 3,1, 2 3,.....

1 3 , n 2, 4, 6, 8,..... 2 3, 2, 23 3,......

13 3  3 13 3 Un 1, n 1 Un 2, n 2

25 C1 25 C3 5 ...   2 5 11 12  25 C 235 25 C 25 5     25 2 5 1  24  25 C1  25 C 3 ...  25 C 23 25 C 25  2

3. a.

1 3, n 1, 3,5, 7,..... 2

25

25

3

2.25 C1 . 5 225 C 3 5 2. C  25 23

1

0

25

3, 12 3 , 12 3,.....

1 3 2

1

2

1 2

Maka U n 

25

25

24

25

2

Suku genap :

1

24

0, n 1 1 Un 1  2 , n 2, 5, 8,..... 2

 2 U n 1 , n 3, 6, 9,..... 1 2 Un 1 , n 4, 7,10,..... 2 4.

A m.n

n 1, ; n 0 A m 1,1; m 0 & n 0 A m 1, A m, n 1  , m 0 & n 0

Bab 1 | Page 10

Ditanya : A 2,3?

A  0,10 1 1 ; m 0

Jadi, empat suku pertamanya adalah :

1, 32 , 17 , 577 12 408

A  1,0A 1 1,1

A 0,1 1 A  1,1A 1 1, A 1,1 1  A 0, A 1,0   A 0,11 A  2,0  A 2 1,1 A 1,1 1 ; m 0 & n 0 A  2,1A 2 1, A 2,1 1  A 1, A  2,0  A 1,1 1 A  2,2 A 2 1, A 2, 2 1  A 1, A 2,1  A  1,11 A  2,3A 2 1, A 2,3 1  A 1, A 2,2  A 1,11 Jadi, A 2,31 5.

A ; n 1 2

an 

1 A   an 1  n 2  2 an 1   Jika, A 2 , tuliskan 4 suku pertamanya A 2 a1   1 2 2 1 A  1 A   a2   a  a1   2  1 2    2 a  2 1   a1  1 2 1 3   1    1 2 2 1 2 2

1 A  1 A   a3   a   a  3  1 2  2 a   2 a  3 1   2  1 3 2  1 17 17   3   .    2 2 2  2 6 12 1 A  1 17 2    a4   a   17  3  2  2 a 12  3  12  1 12 24  1 577  577       2 12 17  2 204  408 Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino

Latihan Kompetensi Siswa 2 A. Evaluasi Pengertian atau Ingatan 1. D. 2 Jumlah n suku pertama f n f n 1 dengan f n n n 2

Un Jumlah n suku pertama – Jumlah  n 1suku pertama f n f n 1  f n 1 f n 2  f n 2 f n 1 f n 2



 



2 U10 102 10 2  20 1  10 1

10 210 2 2

 100 10 1 81 9 64 8 90 144 56 2 1 x z 2 x , y , z membentuk deret aritmetika maka y x akan sama dengan z y y x z y y y z x 2 y x z 1 y  x z 2

2. E.

3. E. 25 Barisan 500, 465, 430,395,..... Suku negatif, berarti U n 0 Dari barisan diketahui :

a 500 b 465 500 35 Un a  n 1 b

500  n 1  35 500 35n 35 535 35n Un 0 535 35n 0 35n 535 535 n 35

Bab 1 | Page 11

n 15

10 35

Ambil bilangan bulat terkecil yang lebih besar dari 15

10 yaitu 16 35

Maka suku negatif pertama adalah :

U16 535 35 16 535 5650 25

6. C. 22 Deret aritmetika :

n n 1 4. D. 2 Barisan bilangan bulat positif :

1, 2, 3, 4, 5, 6,..... Barisan dari jumlah bilangan bulat positif :

1,1 2,1 2 3,1 2 3 4,..... 1, 3, 6,10,.....

Merupakan barisan tingkat 2 Awal : 1, 3, 6, 10, 15,..... Tingkat 1 : 2 3 4 5 Tingkat 2: 1 1 1

1 2!

1 2 1 3 : 12 2 1 1 2

Pendekatan 1  n2  n 2 Awal : Pendekatan 1

n  2

1 2

Hasil Operasi 1 :

6 9 2 3 2

10 8  2

12 12 12 1 2

1 2

1 1 2 2 1 32 2

Pendekatan 2  n    n Hasil Operasi 1 : Pendekatan 2

n : 1 2

2

1 2 1 2

1 32 0 0 0

2  0

(stop) Maka U n Pendekatan 1 + Pendekatan 2

1 2 1  n  n 2 2 1 n n 1  n n 1 2 2 Jadi, jumlah n bilangan bulat positif n n 1 pertama adalah 2 5. E.

n n 1  2 2 n 2 n   2 1 2 1  n  n 2 2

1 2 1 n  n 2 2

Sama seperti pada no. 4 Jumlah n bilangan bulat posistif pertama Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino

U6 24.000  a 5b 24.000 a 9b 18.000 U10 18.000   4b 6.000 6.000 b 4 b 1.500 a 5b 24.000 a 5 1.50024.000 a 7.500 24.000 a 24.000 7.500 a 31.500 Un a  n 1 b 31.500  n 1 1.500  33.000 1.500 n Jika, U n 0 maka n ? Un 0 33.000 1.500n 0 1.500n 33.000 33.000 n 1.500 n 22 7. D. 10 Jika a 5, U n 23 dan U 8 U 3 10 Ditanya : n ?

U8 U3 10 a 7b a 2b 10 5b 10 10 b  2 5 U n a  n 1 b 5  n 1 2 32n  Un 23 3 2n 23 2n 23 3

Bab 1 | Page 12

20 2 n 20 n  10 2 8. B. 16 Tiga bilangan membentuk barisan aritmetika, misalkan bilangan tersebut

x, y, z Diketahui : x y z 36 dan

x. y. z 1.536 Ditanya : Bilangan terbesar ? Karena x , y , z membentuk barisan aritmetika, maka :

y x z y x 2 y z 0 …..(i) x y z 36 …..(ii)

Diketahui : a b c 75 …..(ii) Eliminasi (i) dan (ii)

a 2b c 0 a  b c 75 3b 75 75 b 3 b 25 Masukkan b 25 ke (i) a 2b c 0 a 2 25  c 0 a c 50 c 50 a …..(iii) Diketahui :

c a 700 2 2 50 a  a 700 masukkan 2

Eliminasi (i) & (ii)

x 2 y z 0 x  y y 36  3 y 36 36 y 3 y 12 Masukkan y 12 ke persamaan (ii) x y z 36 x 12 z 36 x z 4 z 24 x …..(iii) x. y.z 1.536 …..(iv) Masukkan y 12 & persamaan (iii) ke (iv) x.12. 24 x 1.536 x 24 x 128 x 24 x 128 0 2 x 24 x 128 0 x 16 x 80 x 16 x 8   z 24 x z 24 x 24 16 24 8 8 16 2

Barisan aritmetikanya adalah : 16,12, 8 atau 8,12,16 Jadi, bilanagan terbesarnya adalah 16 9. E. 18, 25, 32 Tiga bilangan membentuk barisan aritmetika tersebut a, b, c maka b a c b a 2b c 0 …..(i) Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino

2

Persamaan (iii)

2.500 100a a 2 a2 700 100 a 1.800 a 18 Masukkan a 18 ke persamaan (iii) c 50 a c 50 18 c 32 Jadi, barisan tiga bilangan tersebut adalah

18, 25, 32 10. B. 12

3a, 8 a, 4 membentuk barisan aritmetika Diketahui : a ?  8 a3a 4  8 a  8 a 3a 4 8 a 8 2a 4 a a 2a 4 8 a 12 a 12

11. B. 150 Sudut–sudut segilima membentuk deret aritmetika, misalkan X 1 , X 2 , X 3 , X 4 , X 5 dengan X 1 66 (sudut terkecil)

Ditanya : sudut terbesar  X 5 ? Jumlah sudut pada bangun segilima adalah

450  Sudut–sudutnya adalah

X 1, X 2 , X 3 , X 4, X 5

Bab 1 | Page 13

atau 66, 66b, 662b,

663b , 66 4b Jumlah seluruhnya



 



66 , 66b  662b   663b  664b 33010b adalah 540 330 10b 540 10b 210 b21 Maka sudut terbesar X 5 664b





664.21 6684 150 12. B. 25 Barisan aritmetika 84,80 12 ,.....

1 84 2 1 3 2  1 Un 84  n 1 3   2 1 1 Un 87 3 n 2 2 Jadi, U n 0 maka n  ? a 84, b 80

U n 0 1 1 87 3 n 0 2 2 1 1 3 n 87 2 2 n 25

36. C. 36 Diketahui :

U1 U3 U5 U 7 U9 U11 72 Ditanya : U1 U 6 U11 ? U1 U3 U5 U 7 U9 U11 72 a  a 2b   a 4b a 6b a 8b  a 10b72 6a 30b 72 6 a 5b 72 a 5b 12 …..(i) U1 U6 U11 a  a 5b   a 10b  3a 15b 3a 5b n [masukkan (i)] 3.12 36 15. C. 39 Banyak bilangan asli antara 100 dan 300 Yang habis dibagi 5 ? Barisan bilangannya adalah Merupakan barisan aritmetika dengan a 105 dan b 110

Un 105  n 1 5 100 5n Jika, U n 295 maka n ? Un 295 100 5n 295 5n 195 n 39

U3 9 U5 U 7 6 Ditanya : U n ? U 3 9 

2a 4b 18

U 5 U 7 36  a 4b a 6b 36 

U n 3  n 1 3 U n 3n

105,110,115,.....,295

13. C. 3n Barisan aritmetika

a 2b 9 

a 2b 9 a 2.3 9 a 9 6 a 3 U n a  n 1 b

2a 10b 36  6b  18 b 3

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino

B. Evaluasi Pemahaman dan Penguasaan Materi. 1. a. 17, 13, 9,.....

b  13  17 13 17 4 b. 8,11,14,..... b 11 8 3

Bab 1 | Page 14

d. a 3, b 3, n 8

c. 10, 7, 4,.....

b 7 10 3 d. 51, 44, 37,.....

b 44 51 7 e. 3, 3 14 , 3 12 ,..... 1 1 b 3 3  4 4 f. 5, 3 12 , 2,..... 1 1 1 b 3  53 5 1 2 2 2 g. 2, 5,12,..... b 5  2 5 2 7 h. 3, 2, 7,..... b 2 3 5 i. 2, 6, 4,54,..... b 4 2,6 1,4 j. 1,1  2 ,1 2 2 ,1 3 2 ,.....





b 1  2 1  2 k.

1 5 2 6 , 3, ,..... 3 2 3 2  1  b  3   3  2 





3 3  2 1 3 2 3  6 1 2 6   3 2 3 2  2  2 3   2 3 2 





2. a. a 1, b 2, n 11

U n 1  n 1 b U11 1  11 1 2 1 10.2 21 b. a 3, b 2, n 14 U n a  n 1 b U14 3  11 1 3 3 13.3 42 c. a 2,b 5, n 17 U n a  n 1 b U17 2  17 1 5 2 16.5 78

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino

Un a  n 1 b U8 3  8 1 3 3 7 3 18 1 e. a 7, b  , n 22 3 Un a  n 1 b 1 U22 7  22 1 3 1 7 21 14 3 f. a 100, b 1, n 50 Un a  n 1 b U50 100  50 1 1 100 49 151 1 g. a 10, b  , n 31 2 Un a  n 1 b 1 U31 10  31 1 2 1 10 30 5 2 h. a 0, b 0,5, n 101 U n a  n 1 b U101 0  101 1 0,5 100 0,5 50 3. a. 17, 13, 9,.....

a 17, b 4 Un a  n 1 b

U12 17  12 1 4 17 44 27 b. 8,11,14,..... a 8,b 3 Un a  n 1 b U12 8  21 1 3 41 c. 10, 7, 4,..... a 10, b 3 Un a  n 1 b U21 10  21 1 3 50

Bab 1 | Page 15

d. 5, 1, 3,.....

a 5, b 4 U n a  n 1 b

U 20 5  20 1  4 71 e. 51, 44, 37,..... a 51, b 7 U n a  n 1 b U17 51  17 1 7  61 f. 5, 3 12 ,12,..... 1 a , b 8 2 U n a  n 1 b 1 U99 5  99 1 8 2 5 833 828

a 3b 12 a 3 2 12 a 12 6 a 6 Jadi, a  6 dan b 2 5. Barisan aritmetika :

2n 1, 3 n 1 , 3 n 2 ,..... Ditanya n ? Karena merupakan barisan aritmetika, maka

U 2 U1 U3 U 2 3 n 1  2n 1 3 n 2  3 n 1  3n 3 2n 1 3n 6 3n 3 n 2 3 n 1 Jadi, n 1 6. jadi suku pertama dari barisan aritmetika yaitu : a b, a, a b Diketahui :  a ba  a b21

3a 21 a 7

4. a. U 10 21 dan U 5 11

U10 21  a 9b 21 U15 11  a 4b 11  5b 10 b 2 a 9b 21 a 9.2 21 a 21 18 a 3 Jadi, a 3 dan b 2 b. U 8  17 dan U 3 13 U8 17  a 7b 17 U 3 13  a 2b 13  5b 30 b 6 a 7b 17 a 7 617 a 17 42 a 25 Jadi, a 25 dan b  6 c. U4 12 dan U12 28 U 4  12  a b 12 U12  28  a 11b 28  8b 16 b 2

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino

Diketahui :

2 2 a b  a 2  a b 197

a 2 2ab b 2 a2 a2 2 ab b2 197 3a2 2b 2 197 3.7 2 2b2 197 147 2b 2 197 2b2 50 b 2 25 b 5 Jika b 5 maka barisannya 2, 7,12 (menaik) Jika b 5 maka barisannya 12, 7, 2 (menurun) Hasil kali ketiga suku pertama tersebut

2 7 12 168

7. Diketahui barisan aritmetika dengan

a 2, n 50, U12 U7 30 Ditanya : b ? U12 U7 30 a 11b a 6b30 5b 30 30 b 5 b 6 Bab 1 | Page 16

Jadi, b 6 8. a. Bilangan antara 1.000 dan 1.600 yang habis dibagi 3 antara lain

1.002,1.005,1.008,.....,1.599 Merupakan barisan aritmetika dengan

a 1.002, b 3 U n a  n 1 b

Jika, U n 1.599 maka

1.599 1.002  n 1 3 3 n 1597 n 1 199 n 200

Banyak bilangan bulat positif antara 1.000 dan 1.600 yang habis dibagi 3 sebanyak 200 buah b. Bilangan antara 0 dan 150 yang habis dibagi 3 tetapi tidak habis di bagi 5 , adalah bilangan kelipatan 3 yang bukan kelipatan 15 Bilangan keliptan 3 : 3, 6, 9, .....,147

U n1 1  n1 1 b 147 3  n1 1 3 3n1 147 n1 49 Bilangan keliptan 15 : 15, 30,.....,135 Un 2 a  n2 1 b 135 15  n2 1 15 15n2 135 n2 9 Banyak bilangan antara 0 dan 150 yang habis dibagi 3 tetapi tidak habis di bagi 5 adalah n1 n2 49 9 40 buah

9. a. 5,10,15,....., 55

U n a  n 1 b 55 5  n 1 5 55 5n n 11 Banyak suku 11 b. 4,1, 2,....., 26 Un a  n 1 b 26 4  n 1 3 26 7 3n

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino

3n 33 n 11

Banyak suku 11 c. 12,15,18,....., 36

U n a  n 1 b 36 12  n 1 3 36 9 3n 3n 27 n 9 Banyak suku 9 d. a 2 x, a 2 x ,....., a 38 x U n a  n 1 b

a 38 x  a 2x  n 1 a 2x a 2 x  

a 38 x  a 2x  n 1 4 x  a 38 x a 2x 4 xn 4 x 4xn a 2 x 4 x a 38 x 4xn 44 x 44x n 4x n 11 Banyak suku 11

10. tiga suku pertama barisan aritmetika

a b, a, a b

Dengan jumlah tiga suku pertama 6

a b a a b 6

3a 6 a 2

Jumlah kubik tiga suku pertama 197 3 3  a ba 3  a b197 3 3 2 b  23  2 b 197

2 3.2 b 3.2b 2 3.2 b 3.2b

 

b3 23  3 2 2 b3 197 8 6b 2 8 8 6b 2 197 12b2 24 197 12b 2 173 173 b2  12 173 b 12 3

2

2

Maka tiga suku pertamanya a b, a, a b adalah

2

173 173 , 2, 2  12 12

Bab 1 | Page 17

13. Untuk setiap barisan aritmetika a. akan ditunjukkan

Un m Un m 2Un Bukti

U n m U n m  a  n m 1 b   a  n m 1 b 2a 2bn 2b 2 a bn b 2 a  n 1 b 2U n

b. akan ditunjukkan

U p U q U r 3a p q r 3 b

Eliminasi (i) ke (ii)

a b 3 a 3b 5  2b 2 b 1 a b 3 a 1 3 a 2 a1 a2 a3 a4 a5

a  a b   a 2 b  a 3b   a 4 b  5a 10b 5.2 10.1 10 10 20

Bukti U p U q U r

 a  p 1 b  a  q 1 b  a  r 1 b

a pb b a q b b a r b b 3a p b q b r b 3b 3a  p q r 3  b

c. akan ditunjukkan

U3 n U n 2U2 n Bukti U3 n U n  a  3n 1 b  a  n 1 b a 3 nb b a nb b 2a 4 nb 2b 2 a 2 nb b  2 a  2 n 1 b 2U 2 n 12. an suku ke- n dari barisan aritmetika Diketahui : a1 a2 a3 9 0 dan

a3 a4 a5 15 Ditanya : a1 a2 a3 a4 a5 ? a1 a2 a3 9 0 a  a b a 2b9 0 3a 3b 9 0 3a 3b 9 3 a b9 a b 3 …..(i) a3 a4 a5 15  a 2b   a 3b  a 4b15 3a 9b 15 3 a 3b 15 a 3b 5 …..(ii)

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino

13. a , b, c, merupakan suku-suku barisan aritmetika , maka

b a c b 2b a c a c b 2

a c  2 a 2 b 2 c 2 a 2  c 2  a 2 ac c 2 a 2    c 2 4 2 4 5 2 2 ac 5 2  a   c 4 4 4 1  5a 2 2ac 5c 2 4 2





14. Panjang sisi sebuah trapezium membentuk barisan aritmetika.

184 2 cm , a1 10 cm , 3 16 t  cm 3 a1 a4 t L 2 184  a a 3b  163  1 1 3 2

Diketahui : L 

Bab 1 | Page 18

16 184 2a1 3b  6 3 8 2.10 3b 184 3 3 184 20 3b  8 20 3b 23 3b 3 b 1 a1 10 a2 a1 b 10 1 11 a3 a1 2b 10 2.1 12

a4 a1 3b 10 3.1 13 Keliling 10 1 12 13 46 cm 15. a. U10 U 20 70

a 9b a 19b 70

10b 70 b 7 b. U 15 U 7  1

a 14ba 6b1 8b 1 1 b 8

b. akan ditunjukkan

2ac b a c Bukti

U2 U1 U 3 U2 1 1 1 1    b a c b 1 1 1 1    b b a c 2 c a  b ac b a c 2 ac 2ac b a c 2. Jika, a, b, c merupakan tiga suku pertama deret aritmetika berarti U 2 U 1 U 3 U 2

b a c b 2b a c a c b 2 a. akan dibuktikan bahwa

1 1 1 , , bc ca ab

merupakan barisan aritmetika, berarti akan dibuktikan bahwa barisan tersebut

a c 2 U2 U1 U 3 U2 1 1 1 1    ca bc ab ca b a c b  abc abc b a c b b b a c 2b a c a c b 2

memenuhi b  C. Evaluasi Kemampuan Analisis 1. Tiga suku pertama barisan aritmetika adalah

1 1 1 , , a b c

a. akan dibuktikan

a a b  c b c

Bukti

U 2 U1 U3 U2 1 1 1 1    b a c b bc b c  ab a b c b c  a a b a a b  c b c

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino

b. akan dibuktikan barisan b c , c a,

a b juga merupakan barisan aritmetika U 2 U1 U3 U2

 c a   b c  a b   c a a b b c b b a c 2b a c

Bab 1 | Page 19

a c b 2 a c b 2

2. D. 24 Panjang sisi segitiga siku-siku membentuk barisan aritmetika. Sisi miring 40

3 5

Sisi siku-siku terpendek  40 24

3. Jika, a , b, c barisan aritmetika akan





dibuktikan  a c 4 b 2 ac Bukti Jika a, b, c barisan aritmetika maka 2

3. B. 32 cm Panjang sisi-sisi segitiga siku-siku membentuk barisan aritmetika, yaitu misalkan 3k , 4 k , 5k Jika sisi siku-siku terpendek 24 cm

c b b a 2b a c kuadratkan 4b2 a 2 c 2 2ac 4b2 a 2 c 2 2ac 4ac 4b 2 4 ac a2 c 2 2ac 2 4 b 2 ac  a c 



4k 24 32 cm 3k

Sisi siku-siku yang lain 



4. a. a c 2b 0 Jika

1 1 1 , , adalah barisan aritmetika a b c

Akan dibuktikan :



ln a c  ln a 2b c ln a 2ac c 2

2



Bukti

1 1 1 , , barisan aritmetika maka a b c 2ac 1 1 2 a c 2     b  a c b ac b a c ln a c ln a 2 b c  ln a c a c 2b  

Jika

  2ac   ln  a c a c 2     a c       2     ln  a ca c4ac     a c     

  ln  a c 2 ac  ln  a 2 ac c  ln a 2 c 2 2ac 4 ac 2

2

2

2

Terbukti

Latihan Kompetensi Siswa 3 A. Evaluasi Pengertian atau Ingatan 1. E. 68

U1 U n 2 5 131  68 2

Suku tengah U t 

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino

4. B. 20 cm Panjang sisi-sisi segitiga siku-siku membentuk barisan aritmetika, yaitu misalkan 3k , 4 k , 5k . Sisi siku-siku terpanjang 16 cm

5k 16 cm 20 cm 4k

Sisi miring  5. E. 6

x 2 bx 8 0 punya akar x1 dan x2 Dengan x1 x2 dan x1 0 dan x 2 0 Jika x1 , x 2 , 3x1 membentuk barisan aritmetika Ditanya : b ?

x1 , x2 , 3x1 membentuk barisan aritmetika, maka

x2 x1 3x1 x2 2x 2 4x1 x2 2x1 …..(i)

Persamaan kuadrat x 2 bx 8 0

x1 .x2 8 x1  2 x1 8 (masukkan persamaan (i)) 2x12 8 x12 4 x1 2 Masukkan x1 2 ke persamaan (i) x2 2x1 x2 2.2 x2 4

Bab 1 | Page 20

Masukkan a p q 1 dan b 1 ke Up p q a  p q 1 b

Jika, x1 x2  b

2 4 b b 6 b 6

 p q 1 P q 1  1  p q 1  p q 1 0

6. D. 4 Bilangan antara 12 dan 18 disisipkan x bilangan sehingga terbentuk barisan aritmetika dengan beda y dengan jumlah 60 Ditanya : x y ?

b 18 12 1 b  y k 1 x 1 6 y …..(i) x 1 Barisannya : 12, 12 y , 12 2 y ,.....,12 xy,18 Jumlah barisan 60 12   12 y ...  12 xy  18 60  x x 1   12 18   12 x  . y60 

  x x 1 6  30  12 x  . 60 2 x 1    30  12x 3 x60 15x 60 30 x 2 2

6 6 y  x 1 2 1 6  2 3 x y 2 2 4 7. D. 0 U p q, U q p U p q  U q p 

Karena log , log  , log  membentuk barisan aritmetika, maka log  loglog log    log log        2   

2 2 2 2 2 30 2   230 2   50 …..(i)

Persamaan kuadarat x 2  k 10  x k 0

k 10 k masukkan ke persamaan (i)

k 102 5k 0

a  p 1 b q

a  q 1 b p   p 1 q 1  b q p p q  b q p

a  p 1 b q a  p 1  1 q a p 1 q a p q 1

8. A. 5 atau 20 Akar persamaan kuadrat x 2  k 10  x k 0 adalah  dan  log,log   , log  membentuk barisan aritmetika Ditanya : k  ?

q p b p q q p   q p  1

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino

k 2 20k 100 5k 0 k 2 25k 100 0 k 20 k 50 k 20 k 5 9. D. 216 Panjang sisi-sisi suatu segitiga siku-siku membentuk barisan aritmetika, misalkan sisisisinya 3k , 4k ,5k Diketahui : keliling 72 Ditanya : luas = ? Keliling 72

3k 4k 5k 72 12k 72 k 6

Maka panjang sisi siku-sikunya adalah 3k 3 6 18 dan 4 k 4 6 24

18 24 216 2

Luas 

Bab 1 | Page 21

10. D. 36 Panjang sisi-sisi segitiga siku-siku membentuk barisan aritmetika, misalkan

3k , 4k , 5k Diketahui : Luas 54 cm 2 Ditanya : keliling = ? Luas 54

3 k .4 k 54 2 2 6k 54 2 6k 9 2 k 9 k  9 3 Panjang sisi-sisinya

3k 3.3 9 cm 4k 4.3 12 cm 5k 5.3 15 cm Keliling 9 12 15 36 cm 11. D. a 0, b 0 Persamaan kuadrat x 2 ax b 0 memiliki akar-akar x1 dan x2 jika x1 , x1 x2 , x2 merupakan barisan aritmetika, maka

x1 x2 x1 x 2 x1 x 2 

x1 x2 x1 x2 0 …..(i) Karena x1 dan x 2 adalah akar persamaan kuadrat maka x1 x 2  a …..(ii) Eliminasi (i) dan (ii)

x1 x 2 0 x1 x 2 a  0 0 a a 0

Karena persamaan kuadrat punya 2 akar yang berlainan (dilihat dari x1 x2 0 maka x1 x 2 ), jadi

D 0 b 4 ac 0 2 a 4.1.b 0 2 0 4b 0 4b 0 b 0  maka b 0 Sehingga, a 0 dan b 0 2

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino

12. D. 14.400 Tiga bilangan a b, a , a b membentuk barisan aritmetika

a b a a b 75

3a 75 a 25 2 2 a b   a b700

a 2 ab b a 2ab b 700 2

2

2

2

4 ab 700 4.25.b 700 100b 700 b 7 a b  .a a b 25 7 .25 25 7 18.25.32 14.400 13. C. 226 Kelompok bilangan genap positif :

 2 , 4, 6 , 8,10,12 , 14,16,18, 20 ,....

Kelompok 1 dengan 1 anggota,….., Kelompok 4 dengan 4 anggota Suku-suku awal kelompok 2, 4, 8, 14 membentuk barisan 2 4 6 tingkat 2

2 2

2 2!

Pendekatan 1  n n 2

2

Awal : 2 2 Pendekatan 1 n : 1



Hasil Operasi 1 :

4 8 14 4 9 16  1 0 1 1 1 1 1

1 1 n n 1! Hasil Operasi 1 : 1 0 1 2 2 Pendekatan 1 n : 1 2 3 4  2 2 2 2 Pendekatan 3 2 Suku awal kelompok ke- n Pendekataan 2 



= Pendekatan 1 + Pendekatan 2 + Pendekatan 3

n n 2 2

Suku awal kelompok ke-15

15 15 2 212 2

Suku akhir kelompok ke-15

212 14b 212 14.2 212 28 240

Bab 1 | Page 22

B. Evaluasi pemahaman dan Penguasaan Materi. 1. a. sisipkan tujuh bilangan antara 13 dan 15

Suku tengah kelompok ke-15

212 240  2 452  226 2

15 13 2 1 b'    7 1 8 4 U6 a 5b' 1 13 5. 4 5 1 13  14 4 4 U 8 a 7b' 1 13 7. 4 7 3 13  14 4 4

14. C. 7

U2 8, U 4 14, Un 23 Ditanya : n ? U4 U 2 Un U 2  4 2 n 2 14 8 23 8  2 n 2 6 15  2 n 2 15 3 n 2 3 n 215 n 2 5 n 7

b. sisipkan sembilan bilangan antara –15 dan –5

5  15 10 b'   1 9 1 10 a 15 U3 U5 U 7 U9

15. B. 20

U1 U 2 U3 24 dan U 3 U 10 Ditanya : U 4 ? U1 U 2 U3 24 a  a b a 2b  24 3a 3b 24 3 a b 24 a b 8 b 8 a …..(i) 2 U3 U1 10 2 1

a 2b a 10 a 2 8 a a 2 10 a 16 2a 0  a 3 a 2 0 a 3 atau a 2 2

b 8 a 8 2 6 Tidak mungkin, karena barisan adalah bilangan positif

U4 a 3b 2 3.6 2 18 20

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino

 a 2 b   a 4b   a 6b   a 8 b  4 a 20b 4  15 20.1 60 20 40

2. 5, 8,11,14,..... Diantara dua bilangan disisipkan 7 bilangan

8 5 3 b'   7 1 8 U100 a  100 1 b'

3 8 40 297 337   8 8 5 99

3. a 5, U n 23

U8 U3 10 Ditanya : a. n ?

U8 U3 10  a 7b   a 2b 10 5b 10 b 2 U n 23 a  n 1 b 23 Bab 1 | Page 23

5 n 1 2 23 2 n 118 n 19 n 10 b. U t ? a Un Ut  2 5 23  14 2

ambil a 7 Persamaan (i) : b 16 2 a

b 16 2.7 b 2 U1 a b 7 2 5 U2 a 7 U3 a b 9

U4 a 2b 11  U 2 U 4   U1 U3  7 11  5 11 18 16 2

4. Barisan aritmetika 7,11,15,19,..... disisipkan dua suku

6. b 6, U2 2, k 2

11 7 4 b'   2 1 3

U2 2 a b 2 a 6 2 a 8 b b'  k 1 6 6   2 2 1 3 U10 a 9b ' 8 9.2 10 U25 a 24b ' 8 24.2 40

4 3

Beda yang baru  U 20 a 19b'

4 3 12 76 97   3 3 U 30 a 29b' 7 19

4 3 12 116 137   3 3 7 29

7. Lima bilangan membentuk barisan aritmetika yaitu :

5. Empat bilangan a b, a, a b, a 2b membentuk barisan aritmetika

a b a a b a 2b 32

4a 2b 32 2 2a b 32 2a b 16

b 16 2a …..(i)

 

2

 a  16 2a  a2 a  16 2a   2

Jumlah lima bilangan 75

a 2b a b a a b  a 2b 75

5a 75 a 15 Bilangan terkecil Bilangan terbesar 161

a 2b  a 2b 161 a 4b 161 2 2  154b 161 2

 a ba 2 a b 2  a 2b276 2

a 2b, a b, a, a b, a 2b

2

225 4b 161 2 4b 64 2 b 16 b  16 4 2

a 2 16 2a  2 276 2 2  3a 16a 2  a 16  3a 322 276 9a2 192a 1024 276 20 a2 320a 1536 276 0 20a 320a 1260 0 2

a 16 a 63 0 a 9 a 7 0 2

2

: 20

2 2 Ditanya :  a 2b  a 2b?

2 2 a 2b2 a 2b 2  15 2.4  15 2.4 

23 7 529 49 480 2

2

a 9 atau a 7 , Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino

Bab 1 | Page 24

8. Persamaan suku banyak

x 3 12 x 2 39 x 28 0 akar-akarnya membentuk barisan aritmetika, misalkan akar-akarnya , , Persamaan x 3 12 x 2 39 x 28 0

a 1, b 12, c 39, d 28 b     a 12 3 1 312 4 d   ..  a 28 3 2  1 3 2 4 4 28

4 2 28 64 36 2  4 2  9

 9 3 Akar-akarnya adalah 4 3, 4, 4 3 yaitu : 1, 4, 7 Beda 4 1 3 9. Diantara bilangan 1 dan 31 disisipkan m suku sehingga membentuk barisan aritmetika, berarti a 1

31 1 b'  m 1 30 b'  m 1 b' m b' 30 b' m 30 b' …..(i) U7 5  U m1 9 a 6b' 5  a  m 2 b' 9

1 6b 5  1 mb '2b' 9 1 6b' 5  1  30 b' 2b' 9 1 6b' 5  31 3b' 9 9 1 6b '5 31 3b ' 1

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino

9 54b' 155 15b ' 69b ' 146 146 b ' 69 Persamaan (i) b' m 30 b' 30 b' m b' 30 30  1 146 1 b' 69 30 69  1 146 2.070 146 1.94   146 146 10. Jika 1, ylog x, z log y, 15 xlog z membentuk barisan aritmetika, tentukan hubungan x , y , z ?

U1 U3 2U 2 1 zlog y 2 y log x z log y 2 ylog x 1 …..(i) y log x 15 x log z 2 z log y Masukkan persamaan (i) maka y log x 15 x log z 2 2 y log x 1



y y y



log x 15 x log z 4 y log x 2

log x 4 y log x 2 15 xlog z

log x y log x4 ylog y 2 15 xlog z xy 2 15 x log z x4 y log x 3 y2 15 x log z y

y y

log

log x 3 y 2 xlog z15

log x 3 y log y 2 15 xlog z

Hubungan : 3 y log x 2 15 x log z

C. Evaluasi kemampuan Analisis 1. a, b, c merupakan barisan aritmetika a. akan dibuktikan bahwa

a 2 b c  , b2  c a  , c2  a b 

Juga merupakan barisan aritmetika Bukti : Jika a ,b, c barisan aritmetika Maka a c 2b atau

a c b …..(i) 2

Akan ditunjukkan

a 2 b c  c 2  a b 2b 2  c a  Bab 1 | Page 25

Bukti :

2. jika a 2 , b 2 , c 2 adalah barisan aritmetika a. akan dibuktikan

a  b c c  a b a2 b a2 c ac 2 bc 2 a2 b bc 2 a 2 c ac 2  a 2 c 2 b  a c  ac 2

2



1 1 1 , , juga barisan b c c a a b



aritmetika Buktikan 2 2 2 Jika a , b , c adalah barisan aritmetika,

   2b 2ac  b 2abc

 a c 2ac b 2b.ac 2

2

a 2 c 2 maka a c 2b atau b  2 2 2 a c atau b  2 1 1 2 akan dibuktikan :   b c a b a c 2

4b3 2abc 2abc 4b3 2.2b.b 2 2 a c  .b2

2b2  a c 

b. akan dibuktikan

1 1 1 , , b c c a a  b Jadi, akan dibuktikan

1 1 2   b c a b a c Bukti 1



a c  c 2

2 a c  c 4

a







       2 a a 2 c 2 2 a c    2 2 a c  a  c 2a  c a  c  2 a a 2 c 2 2 a c    a  c 2 2a c 2a  c 

2

2

2  2c 2a  2 a2 c 2













    22a 2c 2 2 a c      2 a 2 a c 2 a c  4ac 2c 2  a c    2 2a 2c 2 2 a c      2 2 a c  a c 2 a c   a c     2 2a 2c 2 2 a c        a c 2 2  a c 2 a c     2

2

2

2

2

2 a 2 a c 2 a c  4 a c 2 c 2 a c 



2

2

2 a  2a c 2a c2 c  2a c2 c 2 a  2a c 2 2 a 2 c 2 2 a c   



2 a a 2 c 2 2 a c   2  2  2 2 a c  a  c 2 a  c 2 a c   



2

1 2

2

 2 a  2 a c 

2 a a 2 c 2 2 a c  2 a 2 a c 2 c 2 a c 2 a c 2 ac

1

2



2



2

  2 2 2 2a  2 a c 2c        2 2 2 2   2 a  2 a c  2 a c 2c      

2 a c  4

2

2 a c 2 c

1 2

2 a c

  1 1 2   1  1 2 a c  c a  2 a c  2  2 2 

2

1

2a c ca  2a c   



2

1



2

2

1 1  b c a b 1 1   2 2 2 2 a c c a  a c 2 2



a  a c 2

1



1



2

2 ac

Terbukti

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2  a c

b. akan dibuktikan

a b c , , adalah barisan b c c a a b aritmetika berarti akan ditunjukkan

a c 2b   b c a b c a a c  b c a b a a b  c b c    b c  a b 

Bab 1 | Page 26

a2 ab cb c 2  ab b 2 ca bc a 2 c 2 ab cb  2 c2 ab  a  ac bc 2

69 z 231 81 z  log x  . log x 28 27 196 69 z 693 z  log x  log x 28 196 483693z  log x 196 1.176 z  log x 196 6 z log x 2 3 zlog x

 

2b 2 b a c   1 2 1 2 ab 2 a 2 c 12 .2ac bc 2b b 12  a c    2 2 1 ab bc 2 a c 2ac 2b b 12  a c    b a c  12  a c  a c  1 2b b 2  a c    2b  1  a c  b 2 a c  a c









  



4. log 2, log 2 x 1 , log 2 x 3 barisan aritmetika Ditanya : nilai x ?

    log 2 2 3 log2 1 2 2 3  2 1 2.2 6  2 2.2 1 2 4.2 5 0 2 5  2 10

log 2 log 2x 3 2 log 2x 1 x

3. Diketahui :

x y , x z , y z  x18 y 21 z 28   6 9 3 7  y x , z x 14 , z y 4   7

14

6

4

9

3

Akan dibuktkan

3,

9

3 143 4

4

14

4

4

18 y y  log x 4 log x 7 46 y  log x 7 23 y   2  log x  7  Akan dibuktikan



x

x

5. Diketahui :  b c  , c a , a b barisan aritmetika akan ditunjukkan : 2

3 y log x 1 y log x 3 3 ylog x 9

x

tidak mungkin 2 Jadi, nilai x yang mungkin adalah log 5

23 y  3 3 log x 2 log x  7  z z z 3 3 log x 3 log z 3 log x z

3 y log x

x 2

2 x 5 atau 2 x 1 x 2 log 5

Merupakan barisan aritmetika Akan ditunjukkan

3

2

x

x

x

23 y 231 x log x , 3 zlog x, log z 7 27

3

x

x 2

2

x

2

2

1 1 1 , , juga barisan aritmetika b c c a a b Bukti : 2 2 2 Jika,  b c  , c a  , a bbarisan aritmetika 2 2 2 maka  b c   a b  2 c a 



23 y 231 x log x  log z 3 3 zlog x 7 27 23 y 231 x log x  log z 7 27 23 4 231 149 9  z 3 log x  z log x 14 7 27 23 1 231 9 z  . 4 zlog x  . 14 log x 7 3 27 149

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino

2 2   b c   a b   2 b c  a b 2  c a  2 2 2 a c  2 b c  a b 2  c a  ; a cc a   2 2 2  b c  a b 2 a c  a c 2 b c  a b a c 

2

1 1 1 , , barisan aritmetika b c c a a b 1 1 2 Akan dibuktikan   b c a b c a 1 1  a b  b c   ; (masukkan (i)) b c a b b c  a b  Jika,

Bab 1 | Page 27



a c 2  a c

2

2  a c  a c  a c 

n 2



2 2   a c  a c 2  c a

2n 115  2 2 n 116 116.2n 115 2 2n  232n 230 230n 2n 230 n 115

Latihan Kompetensi Siswa 4 A. Evaluasi Pengertian atau Ingatan 1. B. 47

Sn 4n 2 13n

1 // / U n S n  Sn 2 1  8n 13 .8 2 8n 17 U8 8.8 17 64 17 47 2. C. 4

Sn 2n 2 6 n Sn/ 4n 6 b Sn 4 //

S 1   n 1 b n 2 1 S  n 2a  n 1 b 2 2 S n 2a  n 1 b 2S 2 a  n 1 b n 2S 2a   n 1 b n 2S  n 1 b a n 2 S 1 a   n 1 b n 2

3. E.

4. B. 115

1 3 5 ...  2n 1 115  2 4 6 ... 2n 116 S n Pembilang 115  S n Penyebut 116

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino

 1  2n 1  115  n  2 2n  116 2

5. D. 400

U7 13, U10 19 Ditanya : S20 ? U7 13  a 6b 13 U10 19  a 9b 19  3b 6 b 2 a 6b 13 a 6.2 13 a 13 12 a 1 n Sn   2 a  n 1 b 2 20 S 20   2.1  20 1 2 2 10 2 38  400 6. C. 29

1,3, 5, 7, ..... S n 225 Ditanya : n ? Un a  n 1 b

1  n 1 2 1 2n 2 2n 1 Sn 225 n a Un 225 2

n 2n 1225 2 n 2n 225 2 n2 225

n  225 n 15

Bab 1 | Page 28

U n 2.15 1 U15 2.15 1 30 1 29 1 n n 1 log a 2 log a log a 2 log a3 ... log a n .....?

7. D.

Deret tersebut merupakan deret aritmetika dengan a log a

b log a2 log a a2 log a a U n log a n n Sn   a Un  2 n n   log a log a n   log a.a n  2 2 n n   log a n 1   n 1 log a 2 2 1  n n 1 log a 2 log

8. C. 4.860 buah

U n 80 20n  a U1 80 20.1 100 n Sn   a Un  2 18 S18   100  80 20.18  2 9  100 440 4.860 9. C. 66.661 Bilangan bulat antara 250 dan 1000 yang habis di bagi 7 :

252, 259, 266,....., 994

a 25, b 7, Un 994 U n a  n 1 b 994 252  n 1 7 7 n 1 994 252 7 n 1742  n 1106 n 107

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino

107 S107  252 994 2 107   1.246 2 107 623 66.661 10. C. 768  Bilangan asli antara 1–100 yang habis dibagi 4

4, 8,12,....., 96 a 4, b 4, U n 96

Un a  n 1 b 96 4  n 1 4 4 n 96 n 24 24 S24   4 96 2 1.200

 Bilangan asli antara 1–100 yang habis dibagi 4 dan 6 :

12, 24, 36,....., 96 a 12, b 12, U n 96

U n a  n 1 b 96 12  n 1 12 12n 96 n 8 8 S8   12 96  2 4.108 432

 Jumlah bilangan asli antara 1–100 yang habis dibagi 4 tetapi tidak habis dibagi 6

1.200 432 768

11. C. 12

a 4, b 2, S n 180 Ditanya : n ? n Sn   2a  n 1 b 2 n 180   2.4  n 1 2 2 n 180   8 2n 2 2 n 180   2n 6 2 180 n 2 3n

Bab 1 | Page 29

n 3n 180 0  n 15 n 120 n 15 atau n 12 2

Tidak mungkin 12. C.

k 2n k 1 2n

Deret aritmetika

n 1 n 2 n 3   ..... n n n n 1 a n n 2  n 1  b     n n  n 2  n 1 1   n n k Sk   2a  k 1 b 2 k n 1  1    2 k 1      2  n   n  k 2 n 1  k 1      2 n n  k   2 n 1  k 1  2n k   2 n 2 k 1 2n k   2 n  k 1  2n

13. A. S n n2 9 n

Un 6n 4 a U1 6.1 4 10 b U2 U1  6.2 4  6.1 4  16 10 6 b b/  k 1 6 6   2 2 1 3 n Sn   2 a  n  b/  2 n   2.10  n 1 .2  2

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino

n   20 2n 2 2 n   2n 18 2 2 Sn n 9n 14. C. 84 Baruisan aritmetika awal 3,18, 33, ..... disisipkan 4 bilangan

a 3, b 18 3 15, k 4 b b/  k 1 15 15   3 4 1 5 7 S7   2.3  7 1 .3  2 7   6 18  84 2

15. B. 35

U 35 11, S20 230 Ditanya : S10 ? U 3 11  a 2b 11…..(i) 20 S20 230   2 a  20 1 b 230 2 10 2 a 19b230 2 a 19b 23 ….(ii) Eliminasi (1) ke (ii)

a b 11 2 2a 4b 2 2a 19b 23 1 2 a 19b 23  15b 45 b 3 a 2b 11 a 2.3 11 a 116 a 17 10 S10   2 . 17   10 1 .3  2 5 34 27 35 16. C. 100 U 6 U 9 U 12 U 15 20

a 5b(a 8ba 11ba 14b20 4a 38b 20 2 2a 19b20 2a 19b 10 (i)

Bab 1 | Page 30

 S8 58

20 S 20   2a  20 1 b 2 10 2a 19b  10. 10 (masukkan (i)) 100

8 2a 8 1 b58 2 4 2 a 7b 58 8a 28b 58 …..(ii)

17. C. 20n 9

Eliminasi (i) ke (ii)

Sn 5n 4n 2

Ditanya : U 2 n ? U 2 n S 2 n S2 n 1

  20n  20n

  8n   5 4 4n 1 4 2n 1  8n 20n 20n 5 8n 4

5 2 n4 2n 5 2n 14 2n 1 2

2 2

2

2

2

20n 9

4 a 6b 17 14 56 a 84b 238 8a 28b 58 3 24a 84b 174  32a 64 64 a 32 a 2

1 n x y  4 U1 U 2 x a a b x 2 a b x …..(i) Un Un 1 y

20. D. 18. B. 3

S 7 133 7 2a 7 1 b 133 2 7  2 a 6b  133 2 7 a 3b 133 a 3b 19 .....(i) S 6 120 6 2a 6 1 b 120 2 3 2a 5b120 2 a 5b 40 …..(ii)

 a  n 1 b  a  n 2  b y 2a  2n 3 b y …..(ii) Dari persamaan (i) ke (ii)

Eliminasi (i) ke (ii)

a 3b 19 2 2a 6b 38 2a 5b 40 1 2 a 5b 40 b 2 a 3b 19 a 3 219 a 19 6 a 25 U12 a 11b 25 11 2 25 22 3



19. B. 2  S4 17

4 2a  4 1 b17 2 2 2a 3b  17 4a 6b 17 …..(i) Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino

x y 2a b 2 a  2n 3 b 4a  2 n 3 1 b 4a  2 n 2 b 2 2a  n 1 b n Sn   2 a  n 1 b(masukkan (iii)) 2 n 1  .  x y  2 2 n   x y  4

21. D. 280

a 4, U 5 108 n Sn   a Un  2 5 S5   a U 5  2 5   4 108208 cm 2 22. E. nol Sn adalah jumlah n suku pertama suatu deret aritmetika

Bab 1 | Page 31

S n 3 3 S n 1 3S n 1 S n Sn 3 S n 2 2 S n 2 2 S n 1 S n 1 S n  S n 3 S n 2  2 Sn 2 S n 1  Sn 1 S n  U n 3 2U n 2 U n 1 Un 3 U n 2 U n 2 U n 1  U n 3 U n 2  U n 2 U n 1 

b b 0

23. C. 2a b 2n 1

S n2 S n Sn 2 Sn 1 _ S n 1 Sn  Sn 2 S n 1  Sn 1 Sn  U n 2 Un 1  a  n 2 1 b  a  n 1 1 b  a  n 1 b a nb  2 a  n 1 n b 2 a  2n 1 b 24. C. 275 Diketahui :

Ut 25, b 4, U5 21 Ditanya : S n ?  U5 21 a 4b 21 a 4.4 21 a 16 21 a 5 a Un  Ut  2 a Un 2Ut U n 2U t a 2.25 5 50 5 45 U n a  n 1 b 45 5  n 1 4 4 n 145 5 40 n 1  4 n 1 10 n 11 11 S11   5 45 2 11   50275 2 Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino

25. D. 150 Barisan bilangan positif genap

2, 4, 6, 8,....., 2 n a 2, b 2, Sn 306 Ditanya : Sn Sn 5 ?

S n 306 n  2.2 n 1 2 306 2 n 2 2 n306 2 n2 n 306 0  n 18 n 170 n 18 atau n 17

Tidak mungkin S n S n 5 S17 S175 S 17 S12

17 12   2.2  17 1 2   2.2  12 1  2 2 2 17 12   36   26 2 2 306 56 150

B. Evaluasi Pemahaman dan Penguasaan Materi. 1. a. 2 4 6 ... U 10

a 2, b 4 2 2 10 S10   2.2  10 1 2 2 5 22 110 b. 8  4 0 ... U 20

a 8, b 4  84 20 S20   2 8 20 1  4 2 10 16 76600 c. 0 x 2 x ... U11 a 0, b x 11 S11   2.0  11 1 x 2 11   10 x 55 x 2

Bab 1 | Page 32

d. 15 12 9 ... U 15

a 15, b 12 15 3 15 S15   2.15  15 1 3  2 15   30 4290 2 e. 18 14 12 13 ... U 16 1 1 a 18, b 15 18 2 2 2 16  5  S16   2.18  16 1    2 2  

 75  8 36  12 2   1 1 2 f. 3 2 3 ... U 21 1 2 1 a , b  3 3 2 4 3 1   6 6 21  1 1 S 21  2.  12 1  2 3 6 21 1 1  2.  21 1  2 3 6 21 2 10  21     .4 42 2 3 3  2 1 1 g. 1  ... U 6 1 2 1 2 1 1 a , b 1  1 2 1 2 1  2 1  1 2 2  2  1 2

 2  2  6 1 S6   2.  6 1    2 1  2 1  2     





 2 10 5 1  3   1 2 1 2   8 5 2  3  1 2 

24 15 2  1 2

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino

h.

 1 1   ... U10 1  3  2  1 3 1 1  1  a , b    2 1  3  1 3 1

1  3 2  2 1 3

 

3  3  2 1 3

 

3  3  10  1 S10   2.  10 1    2  1  3 2 1  3     

   2 27 9 3   5   1 3 2 1 3    4 27 9 3   5  21 3    23 9 2   5  2 1 3   

 

 

115 45 3  21 3

 

2. a. f  x 2 x 3

a f  1 2.13 1 b f  2 f  1  2.2 2 2.1 3 1   2 50 S50   2 1  50 1 2 2 25 962.400 b. f  x 18 3x a f  1 18 3.1 15 b f  2 f  1  18 3.2 18 3.1 12 15 3 50 S50   2.15  50 1 3 2 25 117 2.925 c. f  t 4t 3 a f  1 4.13 7 b f  2 f  1  4.2 3 4.1 34 Bab 1 | Page 33

50 S 50   2.7  50 1 4 2 25 2105.250 d. f  t 3 2t 1 a f  1 3 2.1 1 9 b f  2 f  1 3 2.2 19 6 50 S 50   2.9  50 1 6 2 25 312 7.800 3. a. a 5, U 18 56 Ditanya : b dan S18 ?

18 S18   a U18  2 9  5 56  549

U18 56 a 17b 56 5 17b 56 b 3 b. a 0,5, U12  33,5 Ditanya : b dan S12 ? U12 33,5 a 11b 33,5 0,5 1b 33,5 11b 33 b 3 12 S12   a U12  2 6  0,5  33,5 204 c. a 16, b 2, n 30 Ditanya : U 30 dan S30 ? U 30 a 29b 16 29 2 16 58 42 30 S 30   16  42   2 15 26 390

d. a 10, U n 31, S n 164 Ditanya : b dan n ?

n Sn   a U n  2 n 164   10 31 2 n 164   41 2 164 2 n 8 41 n 8  U8 31 a 7b 31 10 7b 31 7b 21 b 3 e. a 4, b 6, S n 570 Ditanya : n ? n Sn   2a  n 1 b570 2 n 24n 1 6570 2 n  8 6n 6 570 2 n 6n 14570 2 2 3n 7 n 570 0

b  b 2 4ac n1,2  2a 2 7  7  4.3 570   2.3 7  6.889  6

7  7 4.3 570  2 .3 7  6.889 7 83   6 6 7 83 7 83 n1  atau n2  6 6 76 15  6 2

Maka n 15

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino

Tidak mungkin

Bab 1 | Page 34

4. a 2, U 5 U 10 200 Ditanya : U 20 dan S 20 ?

U 5 U10 200 a 4b  a 9b200 2 4b 2 9b 200 2 4 18b 8b 36b 200 0 2 36b 26b 196 0 2 18b 13b 98 0  b 2   18b 490 49 b 2 atau b  18 Tidak mungkin, karena barisan adalah bilangan positif

20 S20   a U20  2 10 2 40420

23 ... 133  2   13 a  , b    , Un  3 3 3 3 3 13 Un  3 13 a  n 1 b 3   13 n 1  3 3 3  13 n 3 3 n 13 n Sn   a Un  2 13  13 19      2 3 3  3 b. 1e 3e 5e ...21 e 1 3 1 2 21 a  , b    , Un  e e e e e 21 Un  e 21 a  n 1 b e 1 2 21  n 1  e e e

5. a.

 3

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino

2 1 21 n  e e e 2 22 n e e 11 1 21  121 Sn     2 e e  e 6. a. Bilangan bulat positif antara 200–600 yang habis dibagi 4

204, 208,.....,596 a 204, b 4, Un 596

Un 596 a  n 1 b 596 204 n  1 4 596 200 4n 596 396 n 99 4 99 Sn   204 59639.600 2 b. Bilangan bulat positif yang habis dibagi 3 antara 1.000–1.600

1.002,1.005,1.008,.....,1.599 a 1.002, b 3, U n 1.599

U n 1.599 a  n 1 b 1.599 1.002 n 1 3 1.599 3n 999 1.599 3n 600 n 200 200 Sn   1.002 1.599  2 100 2.601260.100 c. Bilangan bulat positif antara 200–600 600 yang habis dibagi 4 :

204, 208,.....,596 Pada jawaban 6. a. didapat Sn 39.600 Bilangan bulat positi antara 200–600 yang habis dibagi 4 dan 3 :

204, 216, 228,....., 588 a 204, b 12, U n 588

Un 588 204 n 1 12 588 12n 192 588 396 n 33 12 Bab 1 | Page 35

33 Sn   204 58813.068 2 Jumlah bilangan positif antara 200–600 yang habis dibagi 4 tetapi tidak habis dibagi 3 adalah :

39.000 13.068 26.532

d. Bilangan positif antara 1.000 dan 1.600 yang habis dibagi 3 dan 2

1.002,1.008,1.014,.....,1.596 a 1.002, b 6, U n 1.596

Un 1.596 1.002 n 16 1.596 6n 996 1.596 6n 600 n 100 100 Sn   1.002  1.596 2 50 2.598129.900 Bilangan positif antara 1.000–1.600 yang habis dibagi 2, 3, dan 4 adalah bilangan kelipatan 12 :

1.008,1.020,.....,1.596 a 1.008, b 12, U m 1.596

U n 1.596 1.008 n 1 12 1.596 12n 996 1.596 600 n 50 12 50 Sn   1.008 1.596 2 25 2.60465.100 Jumlah bilangan positif antara 1.000– 1.600 yang habis dibagi 4 adalah :

129.900 65.100 64.800 7. a. akan ditunjukkan

S n 2 2Sn 1 S n b

Bukti :

S n 2 2Sn 1 S n Sn 2 S n 1 S n 1 Sn S n2 S n1  S n1 Sn  Un 2 Un 1  a  n 2 1 b  a  n 1 1 b  n 1 b nb nb b nb b Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino

b. S2 n 2 Sn n b Bukti : S 2 n 2S n 2

2n n   2a  2 n 1 b 2  2a  n 1 b 2 2 2 an  2 n 1 bn 2 an  n 1 bn 2 bn2 bn bn 2 bn bn2 n 2 b c. akan ditunjukkan S 3 n 3 S 2 n S n  Bukti : 3 S 2 n Sn 

2n   n    2a  2n 1 b   2 a  n 1 b     2  2 

  n 1  3 2an  2n 1 bn  an  bn 2     n 1   32an an 2 n 1   bn  2       n 1  3an 2n 1   bn 2      3n 1   3an   bn    2  

n  3  2a  3n 1  b 2   3n   2a  3n 1 b 2 S3 n

8. U n m, U m n, m n Ditanya : Sn m ?

a  n 1 b m a  m 1 b n   n 1m 1 b m n n m b m n m n b n m m n   m n 1 b  1 1 a  n 1 b m a  n 1 1m a n 1 m a m n 1 Un m  Um n 

Bab 1 | Page 36

n m S nm  2a n m 1 b 2 n m  2 n m 1  n m 1  1  2 n m   2 n m 1  n m 1  2 n m   n m 1 2

n 2 a  n 1 2a   m 2 a  m 1 2a  n 2 a 2an 2a   m 2 a 2am 2a 2an 2 n 2   2am2 m2 11. Diketahui : Sn Rp .8.800.00,

a Rp.250.000, b Rp. 20.000,

2

Sn n  S m m2 U 2n 1 Akan dibuktikan n  U m 2m 1

9. Diketahui :

Bukti : 2

Sn n  2 Sm m

n 2 m 2

2a n 1 b n2  2a m 1 b m 2

n  m  m2   2a  n 1  b n2   2a  m 1 b  2 2     mn mn m2a n 1 b  n 2a m 1 b  2 2 2ma  n 1 mb 2na  m 1 nb 2 ma nmb mb 2na mnb nb 2ma 2na mb nb 2m 2n  a  m n b m n a b 2m 2n m n a b 2 m n 1 a  b …..(i) 2 Un a  n 1 b  U m a  m 1 b 1

12

b  n 1 b

b  m 1 b 2

(masukkan (i))

n 12  m 12 2 n 1 2 m2 1 2

n Sn   2a  n 1 b 2 n 8. 800.000   2 250.000  n 1 20.000 2 n 8. 800.000   500.000 20. 000n 20. 000 2 8. 800.000 240. 000n 10.000 n

2

10. 000n 240. 000n 8.800. 000 0 2

n 24 n 880 0 n 44n 200 2

n 44 atau n 20

Tidak mungkin Jadi, hutang akan lunas dalam 20 bulan 12. Penurunan kuat arus

25%, 22%,19%,..... a 25%, b 22% 25% 3% Pengukuran kelima

U5 a 4b 25% 4 3%  25 12   100 100 13  13% 100

Besar penurunan kuat arus pada pengukuran kelima

13  960 124,8 mA 100 2n 1  2m 1

Jadi, beasr kuar arus pada pengukuran kelima 960 124,8 835,2 mA 13. Tarif 1km pertama Rp 6.000,

10. Diketahui : b 2a

Sn n2  2 Sm m n  2a  n 1 b Sn m2 Sm 2  2a  m 1 b

Akan dibuktikan :

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino

Rp 2.500, km

Tarif km berikutnya 

Tarif 15 km Tarif 1 km pertama +

Tarif km berikutnya 14 Rp 6 .000 , Rp 2 .500  14 Rp 6.000,Rp 35.000, Rp 41.000, Bab 1 | Page 37

14. Diketahui : n 20

a 15 b 20 15 5 Ditanya : S 20 ? 20 S20   2.15  20 1 5 2 10 30 95 1.250 bangku

15. Selama delapan tahun, populasi jenis tumbuhan bertambah dari 75.230 menjadi 125.280 Penambahan selama 8 tahun S8

125.280 75.230 50.050 S8 50.050

8 2.0  8 1 b 50.050 2 4.7b 50.050 28b 50.050 50.050 b 1.787,5 28 Jadi, rata–rata pertumbuhan populasi adalah 1.788 pohon pertahunnya.

C. Evaluasi Kemampuan Analisis 1. Terdapat dua jumlah deret S1n dan S 2 n

S1 n 3n 8  S2 n 7 n 15 U Tentukan 1n ? U 2n  Jika n 1 a1 3.1 8  a2 7.1 15 a 11 a 1  1  1  a 2 22 a2 2 1 2a1 a2 atau a1  a2 …..(i) 2  Jika n 2 a1  a1 b1  3.2 8  a2  a2 b2  7.2 15 2a b 14  1 1  2 a2 b2 29 Masukkan 2 a1 a2 …..(i) 2a1 b1 14  2 a2 b2 29 Jika

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino

a1 b1 14  2a2 b2 29

29 a2 b1 14 2 a2 b2  29 a2 29b1 28a2 14b2 a2 14b2 29b1 …..(i)  Jika n 3 a1  a1 b1   a1 2b1  3.3 8  a2  a2 b2   a2 2b2  7.3 15 3a 3b1 17  1  3a2 3b2 36 3a1 3b1 17  3a2 3b2 36  36 a1 b1  17 a2 b2  36a1 36b1 17a2 17b2 18a2 36b1 17a2 17b2 a2 17b2 36b1 …..(iii) Masukkan (iii) ke (ii)

17b2 36b1 14b2 29b1 3b2 7b1 7 b2  b1 ….(iv) atau 3 3 b1  b2 …..(v) 7

Masukkan (iv) ke (ii)

a2 14b2 29b1 7 a2 14 b1 29b1 3 98  11  29  b1  b1 3  3 11 3 a2  b1 atau b1  a2 …..(vi) 3 11 Masukkan (v) ke (ii) a2 14b2 29b1 3 a2 14b2 29 b2 7  87  11  14   b2  b2 7  7  7 11 a2  b2 atau b2  a 2 …..(viii) 7 11 U1n a1  n 1 b1  ; masukkan (i), U 2 n a2  n 1 b2 (vi) dan (vii)

Bab 1 | Page 38

1 3 a  n 1 a 11 2 2 2 7 a2  n 1 a 11 2 1 3 a   n 1 22  2 2 11 7 a2  1 11  n 1  22 11 6 n 1  22 14 n 1 11 6n 6  22 14n 14 6n 5  8 14n

2. Diketahui : dua deret aritmetika, dengan jumlah deret masing–masing S1n dan S2 n

dengan

S1 n 7n 1  S 2 n 4n 27

U1n ? U 2n  Jika n 1 a1 7.1 1  a 2 4.1 27 a 8  1  a2 31 8 31 a1  a2 atau a2  a1 …..(i) 31 8  Jika n 2 2a1 b1 7.2 1  2 a2 b2 4.2 27 2 a b 15  1 1  2a2 b2 35 2 a1 b1 3 Jadi,  2a2 b2 7

Ditanya :

Menurut

7 2a1 b1 3 2 a2 b2  14a1 7b1 6a2 3b2 14a1 6a2 3b2 7b1 8  14  a2 6 a2 3b2 7b1 31  112  a 2 3b2 7b1  6  31  74  a2 3b2 7b1 31 93b 217b1 a2  2 74 Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino

 Jika n 3

217b1 93b2 a2  .....(ii) 74

3a1 3b1 7.3 1  3a2 3b2 4.3 27 3 a1 b1  22   3 a2 b2  39

39a1 39b1 22a2 22b2 39 a1 22a2 22b2 39b1 8 39. a2 22a2 22b2 39b1 31 312 682  a2 22b2 39b1    31  470 a 2 22b2 39b1 31 1.209b1 682b2 a2  …..(iii) 470 Masukkan (iii) ke (ii) 1 .209 b1 682 b2 217b1 93b2  470 74 89 .466 b1 50 .468b 2 101.990b1 43.710 b2 12.524b1 6 .758 b2 3.379 6 .262 b1  b2 atau b 2  b1 …..(iv) 6.262 3 .379 Masukkan (iv) ke (ii)

217 93 a2  b1  b2 74 74 217 93  6.262   b1   b1  74 74  3.379 

 733.243 582.366   b1 74  3.379      1.315.609  b1 …..(v) 250.046 Masukkan (iv) ke (ii)

217 93 a2  b1  b2 74 74 217 3.379  93  . b2  b2  74 6.262  74

733.243 582.366    b2   74 6.262    1.315.609  b2 …..(vi) 463.388

Bab 1 | Page 39

U1n a  n 1 b1  1 U 2 n a2  n 2 b2

 b 2kU 1 b 1 5 ... 4k 3  Deret aritmetika dengan

2 . 046 a n 1 1250 . 315. 609 a  2 463. 388 a2  n 1 a2 1. 315 .609 339.512  n 1 250.046  1.315.609  n 1 463.388 250.046n 89.466  463.388n 852.221 8 31

3.

1



a1  a2

1 a2  a3

... 

an 1  a n



a1  a2



a1  a2  a 2  a3 ...  an 1  an



a1  an



a1  an

a1 a 2



a 2  a3

1

a2 a3

... 

an 1  an an 1 a n

b b

Substitusi persamaan (i)  U U1   k   2 k 2 kU1 b  1 4 k 3     2k 1  2   U U 2 k  1 2 k 1

  k  2 kU1 b  4k 2    2   

U U 2 k  1 2kU1 b. k 2k 1 2 k 1  U U 2 k   1 .k . 2U1  2k 1 b 2k 1 U U 2 k  1 .k  U1 U1  2k 1 b 2 k 1 k   U U 2 k   U1 U 2 k  2k 1 1 k  U 2 U 22k 2k 1 1

5. Diketahui : 1, 2 ,.....n barisan aritmetika dengan beda b akan dibuktikan

an 1 an

4. Diketahui : U 1 ,U 2 ,.....U 2 k adalah deret aritmetika yang bukan nol

U U U U ... U k 2 2  U1 U2 k 2k 1 2 1

a 1, b 4, U k 4k 3

2 2

2 3



2 4

2 2k



Bukti

U 2 k U1  2k 1 b U U1  b  2k …..(i) 2k 1 U12 U 22 U32 U 42 ... U 22k 1 U 22k  U1 U 2   U1 U 2   U3 U 4 ...   U 2 k 1 U 2 k   U 2 k 1 U 2 k   U1 U1 b  U1  U1 b  ...   U 1  2k 2 b U1  2k 1 b  U1 2 k 2  b  U1  2 k 1 b  2U1 b  b 2U1 5b   b  ...   2U1  4k 3 b b  2U b 2U1 5b ...   b 1  2U1 4k 3 b    2U b  2U1 5b  ...    b 1   2U1  4 k 3 b  

 2U 2U1 ... 2U1     b 1  b 5b ...  4k 3 b  

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino

 sec 1  sec2  sec 2   sec 3  ...  tan n 1 tan 1  sec n 1   sec n  sin b

Bukti :

 sec 1  sec2  sec 2   sec 3  ...   sec n 1   sec n  sec 1 .sec  1 b    sec 1 b sec  1 2b  ...  sec 1  n 2 b sec 1  n 1 b 1 1  .  cos 1 cos2

Latihan Kompetensi Siswa 5 A. Evaluasi Pengertian atau Ingatan 1. E. U n 22 n 1.3n Yang merupakan barisan geometri adalah n 1 n Un 2 .3 karena bentuk tersebut bisa diubah ke bentuk Un arn 1 sebagai berikut : Bab 1 | Page 40

n 1

U n 2 .3

n n

1 2n 2  2 .2. n  n .2 2  3 3 3  2

n 1

barisan aritmetika dengan beda log

a b

n 1

2  2 4 2  2.  .  .  3  3 3 3 

4. E. 2

a 2 , a 1 , a 7 ,..... adalah barisan

2. D. Aritmetika dengan pembanding 2 log b 2

Karena selisih dua suku yang berurutan selalu tetap, maka barisan tersebut adalah

Geometri Ditanya : rasio r ?

log a, 2 log ab , 2 log ba2 ,..... adalah barisan ?

U U r 1  3 U2 U 2 a 1 a 7  a 2 a 1 a 2 a 7 a 12

a 2  log a b 2log a 2 log b 2 log a

b U 2 U1 2log

2 log b a a b U 3 U 2 2 log 2 2 log b b a 1 a 2log . 2 log b b b a 1 a 2log 2 log 2 log b b b 1 2log 2 log b 1 b 2  log b Karena beda antara dua suku selalu tetap maka barisan tersebut adalah barisan 2 aritmetika dengan beda  log b 3. E. aritmetika dengan beda log 2

a b

3

log a, log ab , log a 2 ,.... b

adalah barisan ?

a2 log a b log a 2 log b log a log a log b a log b a3 a2 U 3 U 2 log 2 log b b 2 a a a2 log . log b a b 2 a a a2 log log log b b a a log b U 2 U1 log

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino

a 7a 2a 14 a 2a 1 5a 2a 14 1 3a 15 a 5 U 2 a 1 r  U1 a 2 5 1 6   2 5 2 3 Jadi, rasio 2 2

2

5. C. 18 Barisan 6, x, y, z , 54 adalah barisan geometri

xz ? y U1 a 6 U2 54 U5 ar 4

Ditanya :

54 6r 4 r 4 9

r 4 9 4 32 3 4 3 2  3 2

1

x U 2 ar 6. 3

 63 18 2

y U3 ar 2 6 3 18 z U4 ar3 Jadi,

3

3

xz 6 3.18 3  18 y 18

Bab 1 | Page 41

8. D. 6 Diketahui : U 2 a 3 , U 3 a k , U 7 a42

16 27

6. D.

Diketahui : l , p , q, r , x adalah geometri

Ditanya : k ?

3 1 p : q  dan q  4 3 Ditanya : x ? p 3 q 3 q 4     jadi r   q 4 p 4 p 3

U7 ar 6  r 5 U 2 ar

U 5 U 3r

2 2

2

1 1 z ? log y log y

9. B. 405 Diketahui : r 3, U 8 10.935

U8 ar

7

U8 ar .r 4

3

U8 U5 .r U 10.935 U5  83  3 U 3 10.935  405 27 3

z log y x log y x log y z log y 1 x log y z log y



   log y  log y   log x. log z log y  log y y

a 12 a 9 a 12a18 a 1218 a 6 Maka k 6

Ditanya : U 5 ?

1 1  log y z log y

y

 2

y z  atau y 2 xz x y y log xz 2 …..(i)



1 5

r a9 U3 U1r 2

Jika x , y , z barisan geometri, maka

x

r5 a42 3 r5 a45

r  a45

7. A. 2 Diketahui : x, y, z barisan geometri x

a 3 U1  9 a U1 a 3 9 U1 a 12



4  1 4  x q.  .  3  3 3  16 16   3.9 27

Ditanya :

U7 a 42  U 2 a 3

U 2 U1 r a 3 U1 .a9

z

z

x

x

ylog x. y log z. z log y ylog x.y log z.x log y

10. C. 4 4 x 52 Diketahui : U 1 a , U 2 a , U 8 a

y log x. y log y. zlog z . y log x.x log y

Dintanya : x ?

y log x. y log y y log z.y log y

U8 U1.r

y log x.1 y log z.1

a

y log x y log z y log xz 2 (dari persamaan (i))

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino

4

7

a .r a 52 r 7  4 a 524 a56 a 52

7

56

r a 7 r 8 r a U 2 U1. a 4 .a 8 a4 Maka x 4

Bab 1 | Page 42

 

11. B. t 2 p 1

U 21 ar 20

2

1



n 1

 

t p 3.t3 p 5 ar p 3 1 ar 3 p 5 1 a r 2

p 4 3 p 4

a r

2 2 p. 2

a r

2 4p

 

ar 2 p

 t 2 p 1 



2

2

12. B. 486 Diketahui : n 13, U t 162, U 3 54 Ditanya : U11 ? Suku tengah U t 162 dengan

n 1 13 1 t  7 2 2 Maka U 7 162 U7 162  U3 54

ar 6 162  ar 2 54 r 4 3 1 r 3 4 U11 U 3 .r 8

 1

13. A. m

m

8

2

Deret geometri a 3 m m 0, U5 m2 Ditanya : U 21 ?

U5 ar 4

m2 3 m.r 4 m2 m 2 r 4 3  1 m m3 1 5 m 23 m3 5 r 4 m3

 5

r m3

20

1 3

100 12

1 25 3

1

25

m

8 23

m8 3 m2

14. C. 1 Persamaan kuadrat 2x 2 x q 0 punya akar x1 dan x2

x1, x2 , 12  x1 , x 2 adalah barisan geometri

Ditanya : q ? Jika persamaan kuadrat 2 x x q 0 2

punya akar x1 dan x2 maka

c x1.x 2  a q x1.x 2  …..(i) 2 b x1 x2  a 1 x1 x2  …..(ii) 2 Dari barisan geometri x1, x2 , 12 x1 ,x 2 maka

54. 3 4 54.32 486 83

5

m 3 .m 3 m 3 26 24 2 m 3 m 3 3

Jika tn adalah suku ke- n dari deret geometri maka tn ar

  m .m

m 3 m 12

t n adalah suku ke- n dari deret geometri Ditanya : t p 3 .t3 p 5 ? untuk p 3

1 4

5

r m12

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino

1 2 x2 x. x1 x2 2 1 2 x2  x1 …..(iii) 2 Masukkan persamaan (iii) ke (ii)

1 x1 x2  2 x1 12 x12 12 0

x12 x1 12 0 2 x12 2 x1 1 0 x1 1 x1 10 x1 1 …..(iv) Masukkan x1 1 ke (ii) 1 x1 x 2  2 1 1 x2  2 1 x2  1 2 1 x2  2 1 2

Bab 1 | Page 43

1 2

Masukkan x1  1 dan x 2  ke (i)

q x1. x2  2 1 q 1.  2 2 Maka q 1

16. E. p p Diketahui : deret geometri

U4 1 p, U2 U8  U6 p Ditanya : U1 ?

U4 ar 3 p  5 p  r 2 p U6 ar

r p 2 …..(i) 1

q3 15. B. 2 p q 2 Barisan geometri U 1 U 3 p,

U2 U 4 q Ditanya : U 4  ? U1 U3 p a ar2 p …..(i) U 2 U4 q ar ar 3 q r a ar 2 q (masukkan (i)) r. p q q r p U1 U3 p a ar 2 p a 1 r2  p 2  q     a 1   p   p     q2  a 1 2   p  p 

1 p 7 ar.ar p1 a 2 r8 p1 a2 p 4 p 1

U 2 U8 

p 1 a 2  4 p 2 a p3 3

1

a p 2 p.p 2

p p 17. B. 2 Diketahui : Barisan geometri U n 2n 2 Ditanya : r ?

U 2n 2 r  n  n 1 2 U n 1 2 2n 2 2n 2  n 3  n 2 1 2 2 .2 1 1  1 2 2 2

p 2 q 2  a  p2  p   p3 a 2 p q 2 U4 ar 3 3

p3 q  p3 q3  2    . 2 2 3  p q 2  p  p q p

q3  2 p q2

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino

18. B. 10 Diketahui : tiga bilangan ar , a , ar adalah barisan geometri jumlahnya 13 dan hasil kalinya 27. Ditanya : U 1 U 3 ?

U1 U2 U 3 13 a a ar 13 …..(i) r U1 .U 2 .U3 27 a .a.ar 27 r a3 27 a3 33 a 3 Bab 1 | Page 44

Masukkan a 3 ke persamaan (i)

untuk a 243 masukkan ke (i)

a a ar 13 r 3 3 3r 13 r 3 3r 10 r 1  3 r 10 r  1 10 r  r 3 1 1 1 1 r  3 atau r 3  r 3 r 3 1 maka r  atau r 3 3 1 untuk a 3 dan r  maka 3 a bilangannya : , a, ar  9, 3,1 r untuk a 3 dan r 3 maka a bilangannya : , a, ar  1, 3, 9 r Bilangan 1 + Bilangan 3 9 1 1 9 10

a ar 244 5 243 243r 244 5 243r 1 r 5 1 5 1 1 1  5 r     243 35 3  1 r 3 untuk a 1 masukkan ke (i) 5 a ar 244 1 r5 244 5 r 243 5 5 r 3 r 3

19. E. 243

U1 U6 244, U 3 U 4 243 Ditanya : r ? U1 U6 244 a ar 244 …..(i) U3 U4 243 5

ar 2 .ar 3 243 a 2 r 5 243 ar5 .a 243 243 ar 5  …..(ii) a Masukkan persamaan (ii) ke persamaan (i)

a ar 244 243 a 244 a a 2 243 244 a 2 a 243 244a 2 a 244 a 243 0 a 243 atau a 1 5

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino

5

20. D. x

y x

Diketahui : U1 x , U11 y Ditanya : U 6 ?

U11 U1.r10 y x.r10 1

10 y y  r   r   x x 

10

5

1 10   y   U 6 Ur x     x    

5

5

1

10 2 x  y  x    x  y  x  

x

y x

B. Evaluasi Pemahaman dan Penguasaan Materi. 1. a. 1, 3, 9,.....

3 r  3 1 b. 2, 6,18,..... 6 r  3 2 c. 12, 6, 3,..... 6 1 r  12 12

Bab 1 | Page 45

d.

n 1

2 , 6 , 3 2,.....

6 2 3   3 2 2 e. 2, 6, 18,..... 6 r 3 2 1 f. 10,1, 101 , 100 ,..... 1 r 10 g. 1, 1,1, 1,..... 1 r  1 1 h. 19 , 13 ,1,..... 1 1 9 9 r 31   3 3 1 3 9 i. 2 14 ,1 12 ,1,..... 11 3 r  21 29 24 4 34 12 2    2 9 18 3 r

2. a. U n 2

 1 c. U n 6    3

U1 211 20 1 U 2 22 1 21 2 U3 23 1 23 4

b. Un 5 3

n 1

U1 5 3 5 3 5.1 5 2 1 1 U 2 5 3 5 3 5 3 15 0

3 1 2 U3 5 3 5 3 5 9 45

U 4 5 3 5 3 5 27   135 4 1

2 1

1

31

2

 1  1 2 U3 6  6    3  3 3 4 1

3

5 1

4

2  1  1 U4 6  6  9  3  3  1  1 2 U5 6  6   3  3  27 Lima suku pertama 6, 2, 23 , 29 , 272 3. a. 1, 3, 9,.....

3 a 1, r  3 1 n 1 Un ar 1.3n 1 3n 1  U n 3n 1 1 3

, 16 , 121 ,..... 1 1 3 1 a  , r 61   3 6 2 3 n 1

U 4 24 1 23 8 U5 25 1 24 16 Lima suku pertama 1, 2, 4,8,16 11

0

 1  1 U2 6  6 2  3  3

b.

n 1

1 1

 1  1 U1 6  6 6  3  3

3

1 1  Un arn 1    3 2  n 1  U n 6 c. 3, 6,12,..... 6 a 3, r  2 3 n 1 n 1 Un ar 3 2  U n 6 n 1 d. 2, 6,18,..... 6 a 2, r  3 2 n 1 Un ar 2 3 n 1  U n 6n 1

5 1 4 U5 5 3 5 3 5.81 405

Lima suku pertama

5, 15, 45, 135, 405

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino

Bab 1 | Page 46

e. 6, 3,1,.....

5. a. 6,12, 24, .....,1.536

3 1 a 6, r   6 2

12 a 6, r  2, U n 1.536 6 n 1 Un ar

n 1

U n ar

n 1

1  6  2 

n 1

1.536 6.2 1.536 n 1 2  256 6 n 1 2 256 2 n 1 28 n 18 n 9



n 1

1n 3.2 2 1 3.2.2 11 n 2 n 3.2 3.2 2 n  Un 3.2 f. 9, 3,1,..... 3 1 a 9, r   9 3 n 1 1  n 1 U n ar 9  3 

Banyak suku adalah 9 b. 3, 6,12, 24....., 768

6 a 3, r  2, U n 768 3 n U n ar 1



n 1

2 1 n 32 31 3 .3 2 1 n 3n 3 3 3 n  U n 3

768 3 2 

n 1

n 1  2  256 n 1 8  2   2

4. Ditanya : r dan U 5 ?

n 1 8 n 9

a. a 6, U4 48

U4 48 U5 ar 4 ar 3 48 6.24 6.16 96 6r 3 48 3 r 8 r 3 8 2 Jadi, r 2 dan U 5 96 b. a 50, U 3 200 U 3 200 Untuk r 2 2 U5 ar 4 ar 200 50r 2 200 r 4 4 r 2 Jadi, r 2 dan U5 800

50.24 800 Untuk r  2 4 U5 ar

50 2 800 4

c. a 20, U 2  10

U2 10 ar 10 20r 10 10 r  20 1 r  2

c.

1 4

1 , 121 , 361 ,....., 8.748 1 1 4 1 1 a  , r 121   , U n  4 12 3 8.748 4

Un ar

4

 1 20   2 1 5 20.  6 4

n 1 n 1

1 1 1    8.748 4 3  n 1

1  4   3  8.748 n 1

1 1    2.187 3  n 1

1  1   7 3 3  n 1

U5 ar 4

1 2

Banyak suku adalah 9

7

1  1      3  3  n 1 7 n 8 Banyak suku adalah 8

5 4

Jadi, r  dan U 5 

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino

Bab 1 | Page 47

2 2 log b 2 log ac  ; masukkan (i) 1 2. log ac 2 1. log ac log ac log a log c 1

d. 2,10, 50, .....,31.250

10 a 2, r  5, U n 31.250 2 n 1 Un ar n 1

31.250 2.5 n 1 5 15.625 n 1 6 5 5 n 1 6 n 7

Karena telah dibuktikan bahwa 2 log b log a log c maka log a, log b, log c adalah barisan aritmetika

Banyak suku adalah 7 6. 2 a b, 6a b,14a b merupakan barisan geometri dengan a 0 a. Ditanya : b dalam a ? Jika 2a b, 6a b,14a b barisan geometri, maka

6a b 2 a b 14 a b 2

36a 12ab b 28a 2ab 14 ab b 2

2

2

2

36a 12 ab 28a 16ab a 36a 12ba 28a 16b 2

2

12b 16b 28a 36a 4b 8a 8a b 4 b 2a Jadi, b 2a

b. Ditanya : r ?

U r 2 U1 6a b  ; masukkan b 2a 2a b 6a 2a  2a 2a 8a  2 4a Jadi, rasio 2 7. Diketahui : a, b, c barisan geometri Akan dibuktikan : log a, log b, log c Merupakan barisan aritmetika, berarti akan ditunjukkan bahwa

2 log b log a log c

Bukti : Karena a, b, c barisan geometri, maka

b ac atau b  ac …..(i) 2

8. Diketahui :

sincos , cos , sin 2 adalah barisan geometri dengan cos0 akan ditunjukkan :

2 cos2  2 cos2 0 Bukt : Jika sin cos, cos,sin 2 barisan geometri, maka

cos sin cos .sin 2 cos. cossin .cos .2 sin .cos  2 1 2 sin  1 2 sin  2 2 2  sin cos 1 1 2 cos 1 2 1 2 cos  .....(i) 2 1 2 cos  2 1 2 cos   2 4 2



1 1 2 2 4 2

1 cos 2 …..(ii) 2 2 2 cos  2 cos2 1 1 2.  2. 2 2 ; masukkan (i) 2 2 1 1 2 2 2 0

dan (ii)

Terbukti

1 2

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino

Bab 1 | Page 48

9. Diketahui :  Bilangan a, b, c adalah barisan bilangan aritmetika maka a c 2b a c 2b 0 …..(i)  Bilangan a, b, c 2 adalah barisan geometri 2 maka b a c 2 …..(ii)  a b c 12 …..(iii) Ditanya : a b c ? Eliminasi (i) ke (iii)

a c 2b 0 a c b 12  3b 12 b 4 Masukkan b 4 ke (i) a c 2b 0 a c 2 4 0 a c 8 a 8 c ….(iv)

Masukkan persamaan (iv) dan b 4 ke (ii)

b2 a  c 2  2 4  8 c  c 2 16 8c 16 c 2 2c c 2 6c 0 c c 60 c 0 atau c 6

Tidak mungkin Masukkan c 6 ke (iv)

a 8 c a 8 6 a 2 Jadi, a 2, b 4, c 6 a b c 2 4 6 48 10. Diketahui :  Bilangan a, b, c adalah barisan aritmetika maka 2b a c a c 2 0 …..(i)  Bilangan a, b 2, c 2 adalah barisan goemetri maka  b 2 a  c 2  …..(ii)  c 2 4 a maka c 4a 2 …..(iii) 2

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino

Masukkan (iii) ke (i)

a c 2 0 a  4a 2 b 0 5a 2b 2 …..(iv)

Masukkan (iii) ke (ii)

2  b 2a  c 2  2  b 2a  4a 22 2  b 24 a2 2 2  b 2 2a 

b 2 2 a 2a b 2 …..(v) Eliminasi (iv) dan (v)

5a 2b 2 1 2a b 2 2

5a 2b 2 4 a 2b 4  a 6

Masukkan a 6 ke (v)

2a 6 2 2.6 b 2 b 14 Maka beda U 2 U1 b a 14 6 8 11. a , b, c barisan aritmetika Maka 2b a c a c 2b 0 …..(i) Diketahui : a b c 5 …..(ii) Eliminasi (i) dan (ii)

a c 2b 0 a c b 51  3b 51 b 17 , maka beda 17 Masukkan b 17 ke persamaan (i) a c 2b 0 a c 2.17 0 a 34 c …..(iii) Diketahui : a ,b 9, c barisan geometri, Maka  b 9 ac 2

2  17 9 4 c  c ; substitusi nilai b

8 2 34c c 2 dan (iii) c 2 34c 64 0 c 32 c 20 c 32 atau c 2  Untuk c 32 , maka a b c 51 a 17 32 51 a 2 Bab 1 | Page 49

 Untuk c 2 , maka

a b c 51 a 17 2 51 a 32

Barisan aritmetikanya adalah 2,17, 32 atau 32,17, 2 jadi, suku pertamanya 2 atau 32 12. a. Barisan aritmetika a1 , a 2 , a3 ,.....

a1 , a2 , a6 membentuk barisan geometri, a22 a1 a6

Maka

a1 b 2 a1 a1 5b a12 2a1b b2 a12 5a1b 2a1b b2 5a1b 0 b 2 3a1 b 0 b b 3a1 0 b 0 atau b 3a1 0 b 3a1 …..(i) Diketahui : a1 a2 a6 42 a1  a1 b a1 5b 42 3a1 6b 42 3a1 6 3a142 3a1 18a1 42 21a1 42 a1 2 Maka (i) b 3a1 b 3.2 b 6 Jadi, beda barisan adalah 6

10  2 a1  10 1 b 2 5 2.2 9.6290

b. S10 

13. a. Barisan geometri U 1 ,U 2 ,U 3 ,.....

Substitusi (ii) ke (i)

a ar 5 244 243 a 244 a a2 243 244 a a2 244 a 243 0 a 243 a 10 a 243 atau a 1  Untuk a 1, maka a ar 5 244 1 1.r 5 244 r 5 243 r 5 35  Untuk a 243 , maka a ar5 244 5 243 243r 24 5 243r 1 1 1 r5  5 243 3 1 r 3 1 Jadi, rasio adalah 3 atau 3 b. untuk a 1, r 3 maka

U 7 ar 1.3 729 1 Untuk a 243, r  3 6

6

6

1  U 7 ar 6 243  3  243 1   729 3 Jadi, suku ketujuh adalah 729 atau

1 3

14. U 1 ,U 2 ,U 3 ,..... barisan aritmetika

U1 U6 244

U p ,Uq ,U r membentuk barisan aritmetika

a ar 244 …..(i) U 3.U 4 243

Maka U q U p .U r

5

ar .ar 243 2 5 a r 243 5 .ar 243 243 5 ar  …..(ii) a 2

3

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino

2

a q 1b2 a p 1 b a r 1 b 2 a 2 2 q 1 ab  q 1b 2 a2  r 1 ab  p 1 ab p 1 r 1 b2 2 b 2 q 1 a  q 1b b r 1p 1 1  p 1 r 1  b 2 q 1 a  r 1  p 1  a 2 p 1 r 1 b  q 1b Bab 1 | Page 50

2q 1r 1p 1 a 2  p 1r 1q 1 b p 1r 1q 12 .b …..(i) a 2 q 1 r 1  p 1 Karena U p , U q , U r barisan geometri, a  q 1 b  U p a p 1 b Uq

maka rasio 

2 p 1  r1 q  1 .b  q 1 b 2 q 1 r 1  p 1  2 p 1r 1  q 1 .b  p 1 b 2 q 1 r 1 p 1 2 p 1  r1 q 1  q 1 2 q 1 r  1  p 1  b  2 q 1 r  1  p 1    2 p 1   r 1  q  1  p 1  2 q 1  r 1  p 1  b  2 q 1 r  1  p 1  

  pr p r 1 q 2q 1 p 1  2q r p pr p r 1 q 2 2q 1  q 1 2q r p 

 

r

xz

1

a x y r   …..(ii) c  Uy b  Uz c



U1 r y 1 b  U1r z 1 c b y z r  c 1

b yz r   …..(iii) c  (i) = (ii) 1

2

2

pr p r q 2q 2q rq pq 2q r p pr p r q2 2 q 2 pq pr p 2 2q r p

q rq pq pr  p 2 q2 2 pq

q q r  p q r   2 2  p q 2 pq



x y  x z 

1 1  x y   a  a xz     x z      x y    b   c     

x z



q r p q 

U x a  U1r

x 1

a

U y b  U1 r y 1 b U z c  U1 r z 1 c Ux a   Uy b U1r x 1 a  U1r y 1 b a r x 1y 1  b 1



a x z c y x  a x y b z x a x z x y c y x b z x a y z b z xc y x …..(iv)

q r p q

15. Barisan geometri

xy a  r   …..(i) b  Ux a  Uz c

U1r x 1 a  U1r z 1 c

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino

x y

a  a      b  c  x z z z a b a xyc y x

 q p   q r   q p  q r    p q  p q   q p p q 

Jadi, terbukti rasio

1

x y a  a xz     b  c 

2

2



a  c

(ii) = (iii) 1

1

x z a  b y z     c  c 

y z

x z

c  b      a  c  y z z y a c b xz cz x b x zc z x a yz  z y c a y z b xz c y x …..(v) (iv) = (v) c y x b z x b x z c y x 1 b zx  zx b

b 1 z x 2

b z x  1 b z x 1

Bab 1 | Page 51

Masukkan ke (iv) a y z b zx .c y x a y z 1 .c y x a y z c yx …..(vi)  y z  log a  z x log b  x y  log c log a yz log b z x log c x y ; (vi) log c

y x

log1 log cyx 1

log c y x o  1 log c y x log c y x log c y x 0 Terbukti

C. Evaluasi Kemampuan Analisis 1. a ,b, c adalah barisan geometri, Maka b2 ac …..(i) Akan dibuktikan :

a 2b c  b a 2b c  1 1   2  b 2b  Terbukti

1 1 1   2 maka a b b c 2b  1 1 1 , , adalah barisan aritmetika a b 2b b c

Karena

3. a,...,..., b adalah barisan geometri

a n 1 b n 1 Jika suku tengah U t  n a b n Maka nilai n yang memenuhi ? Suku tengah barisan geometri

 U t  U1 U n ; U1 a, Un b

a 2 ab b2 a  bc ca ab b

an 1 bn 1   ab a n bn

Bukti :

a n 1 b n 1    an b n   ab  

a 2 ab b2 a 2 ab ac  ; (i) bc ca ab bc b 2 ab a a b c   b a b c  a  b Terbukti 2. a ,b, c adalah barisan geometri, Maka b ac …..(i) Akan dibuktikan : 2

1 1 1 , , barisan aritmetika, a b 2b b c berarti akan dibuktikan

1 1 1   2  a b b c 2b  Bukti :

1 1 b c a b    a b b c a b   b c  a 2b c  2 ab ac b bc a 2b c  ; (i) 2 2 ab b b bc a 2b c  2 ab 2b bc

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino

2



a b 2a n 1 2

n 1 2

n 1 n 1

b

ab a n b 2a b  a 2 n 2 b 2 n 2 2a n 1bn 1 a 2 n b 2 n 2a n bn ab  a2 n 2 b 2 n 2 2 an 1b n 1 a 2 n 1b ab2 n 1 2a n 1b n 1  a2 n 2 b2 n 2 a 2 n 1b ab2 n 1 a2 n 2 a 2 n 1b b 2 n 2 ab2 n 1 0 a.a 2 n 1 b.a 2 n 1 b.b2 n 1 a.b2 n 1 0 a 2 n 1  a b  b2 n 1  b a 0 2 n 1 2 n 1 a  a b  b  a b 0 2 n 1 2 n 1 a b  a b0 2

2n

n n









Maka :

a b 0  a b atau 2 n 1 2 n 1 2 n 1 2 n 1 a b 0  a b Jadi, nilai n yang memenuhi adalah semua nilai n 0 yang positif









4. a 2 b2 x 2 2b a c  x b 2 c 2 0 adalah persamaan kuadrat dengan a ,b, c dan x R akan ditunjukkan bahwa a, b, c adalah barisan geometri dengan x sebagai rasionya untuk mencari nilai x yang memenuhi Bab 1 | Page 52

persamaan kuadrat, perhatikan bahwa untuk nilai x tunggal maka D 0 maka 2 2 2 2ba c  4 a b  b 2 c 2 0

4 a b 4b c 8ab c 4 a b  2 2 4 2 2 4a c 4b 4b c 0 2 2 2 4 8ab c 4a c 4b 0 4 2 2 2 b 2ab c a c 0 b2 ac b2 ac 0 2 2

2 2

2



2 2





Maka b ac 0 2

b ac 2 Karena b ac maka a, b, c adalah barisan 2

geometri sekarang tentukan rasio, sebelumnya diketahui bahwa penyelesaian persamaan adalah

 2b a c   D x 2 2 a b 2 2b a c  0  ; karena x tunggal 2 2 a b2 b a c  b a c   2  a ac a a c  b  a b Karena adalah rasio dari suku kedua a b terhadap suku pertama sedangkan x  , a maka x merupakan rasio barisan geometri









tersebut.

Latihan Kompetensi Siswa 6 A. Evaluasi Pengertian atau Ingatan 1. E.

Sn 2.3 3 n

S1 2.31 3 3  jadi a 3 S2 2.32 3 15 U 2 S2 S1 15 3 12 U 3 S 3 S2





2.33 3 15 51 15 36 Jadi, U 1 3, U 2 12, U 3 36 Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino

Kesimpulan

U2 U1 U3 U2 dan U 2 U3  U1 U2

Maka deret tersebut bukan merupakan deret aritmetika maupun geometri. 2. B.

S n 2n2 n

U1 S1 2.12 1 1 U1 1 U2 S2 S1  2.22 2 1 6 1 5 Maka U2 5 U3 S3 S 2











 2.32 3 2.22 2 15 6 9 Karena U 2 U 1 U 3 U 4 4 Maka deret tersebut merupakan deret aritmetika dengan beda 4 3. A. Deret geometri r rasio a suku pertama U suku ke- n

 

a r n 1 Sn  r 1 arn a  r 1 arn 1 .r a  r 1 U .r a  r 1 4. E. Deret 3 log 2 6log 2 12log 2 ... Apakah deret geometri ? U 2 ? U3

U1

 U2

6

log 2 ? 12 log 2  3 log 2 6 log 2 ? 6 log 2. 2 log 3 12 log 2. 2 log 6 ? 6 log 3 12log 6 Bab 1 | Page 53

1 1 ? 6 log 3.2 log 6.2 1 1  6 3 1  log 2 1  log 2 U U Ternyata 2  3 , maka deret tersebut U1 U2 3

bukan deret geometri apakah deret aritmetika : ?

U 2 U 1 U 3 U 2

? 12 6 log 2 3log 2  log 2 6 log 2 1 2

log 6

2

?

1 log 3

2

1 log12

2

1 log 6

2

log 3 2log 6 ? 2 log 6. 2 log12  2 log 6. 2 log 3 2 log12. 2log 6

2 log 3

2 log 6

?

log 2  log 3log 3 log 2  log 3log 2  log 3 

6

2

2

2

12 2

2

2

2 log 1 ? 2 2  1 2 log 3 2 log 3 2 2 log 3 1 2 log 3



2 log 1

2





1



1 2 log 3 2 log 3







1









2 2log 3 1 2 log 3

Maka deret bukan aritmetika Jadi, deret bukan deret aritmetika maupun geometri





 1 1 2  a 1     117 3 3     9 3 1  a 117  9  13 a. 117 9 1179 a 13 a 81 4 U5 ar 4

1  81 81.  1 3  81 6. A. Deret geometri dengan Sn 3n 1 3

U S S1 r 2  2 U1 S1

3

S3 117 a ar ar 117 …..(i) a 1 r r 2 117 …..(ii) 13 U 4 U5 U 6  3 13 3 4 5 ar ar ar  3 13 3 2 r a ar ar  ; masukkan (i) 3 13 3 r .117  3 2







13

r3  3 117 13 3 r  351 3

1 1  r    27 3 

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino



7. C. Deret geometri

U3 20  ar 2 20 …..(i)

U5 U 6 80 ar4 ar5 80 ar 2 .r 2 ar 2 .r3 80 ; masukkan (i) 20r 2 20r 3 80 0 r3 r 2 80 0 r 2 r 2 r 2 0 Maka r 2 0 r 2 Persamaan (i) ar 2 20 2 a 2 20 a 20



3

2 1



3 311 3 311 3 27 3 9 3  9 3 24 6  3 6 

5. D. Deret geometri



1 3 a 1 r r 2 117

Maka r  substitusi ke (ii)



Bab 1 | Page 54

 

a r 5 1 S5  r 1 5 5 21  2 1 5 33  55 3





8. E. Deret geometri

4 16 U 2  …..(i), U 4  3 27 16 3 U 4 ar  27 16 2 ar.r  27 16 2 U2 .r  ; masukkan (i) 27 4 2 16 .r  3 27 4 2 r  9 2 r  3 2  Untuk r   U 2 ar 3 4 2 a. 3 3 a 2 2  Untuk r   U 2 ar 3 4  2 a  3  3 a 2 2  Untuk a 2, r  3 5 a 1 r S5  1 r 2 5 32 2 1  2 1 243  3   2 1 1 3 3

 





211  422 6  243  81

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino

2 3

 Untuk a  2, r 





2 1  23  S5  1  23  5

6 275  110    5 243  81 422 110 Jadi, S5 adalah atau 81 81 9. D. Deret geometri dengan rasio 2

S n 3 S n 1 U n 3 U n 2  S n 1 S n U n 1

ar n 3 1 arn 2 1  ar n 1 1 ar n 2 ar n 1  ar n ar n r 2 r  r2 r ar n 2 2 2 6





10. D. Deret geometri dengan suku positif

1 U3  …..(i) 8 U 7 2 ar 2 2 4 ar .r 2 4 U3 .r 2 1 4 r 2 8 4 r 16 r 4 24 Maka r  24 Ambil r positif 1 27 1 S7 32 2 1 1 127   128 1 32 32 127 Jadi, S 7  32 6

 

Bab 1 | Page 55

11. C. Jumlah penduduk kota A mengikuti deret geometri U5 4 .....(i)

U1 U3 1,25 …..(ii) U 5 4 ar 4 4 4 r4  a 2 r 2  …..(iii) a Persamaan (ii)

U1 U3 1,25

Periksa bentuk U n ?

U n S n 1 S n 3.4n 11 12 3.4n 1 12 3.4n 2 3.4n 1 3.4n 1  4 1 n 1 3.4 .3 9.4n 1.42 144.4n 1 Maka U n 144.4 n 1 Banyak U n adalah bentuk barisan





geometri dengan rasio 4

a ar2 1,25 2 a a. 1, 25 ; (iii) a a  a .2 1, 25

13. D. Peningkatan hasil produksi pertahun 10% hasil produksi pertahun meningkat

100% 10% 10% 1,1

a 2 a 1,25 0

a 2,5a 0,50 Tidak mungkin

Sn 3.4n 1 12



Persamaan (i)

a 2,5 atau

12. D.

Jadi, hasil produksi tahun berikutnya sebesar  1,1kali lebih besar dari tahun sebelumnya. Sehingga hasil produksi tahun ke tahun merupakan suatu deret geometri dengan rasio r 1,1

a 0,5 1 1 a2  2 2

1  a   2  1 a 4 1 4

Substitusi a  ke (i)

U5 4 ar 4 1 4 .r 4 4 r4 4 r 2 U4 ar 3 1 3 8  2  2 4 4 4



Jadi, banyak penduduk kota A pada tahun keempat sebesar 2 juta orang

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino

Diketahui : U 5 14.641 Ditanya U 3 ?

U5 ar

4

U5 ar .r 2

2

U5 U3 .r 2

2 14.641 U 3  1,1 14.641 U3  12.000 1,21

Jadi, hasil produksi awal tahun ketiga sebesar 12.000 unit 14. B. Seutas tali dipotong menjadi 6 bagian mengikuti barisan geometri

U1 3, U6 96 U 6 ar5 96 3.r5 r 5 32 r 5 32 r 2

Bab 1 | Page 56

 

a r 6 1 S6  r 1 3 2 6 1 3.63   189 2 1 1 Jadi, panjang tali semula 189 cm

 8 5    5   5 4  40  10 4

 

15. A. Deret geometri

U1 327.680 dan m  r   ; m 0 dengan ,  adalah   akar persamaan

x 2  3m 2 x  4 m 12 0 b   3m 2 a Maka 3m 2 3m 2 …..(i)  4 m 12 …..(ii) Diketahui :

m     m …..(iii) m 3m 2  ; masukkan (i) 2 3m m 2 2m …..(iv) Masukkan (iii) dan (iv) ke (ii)

4 m 12 2 2m m 4 m 12 2 2m 2m 4m 12 0 2 m m 6 0 m 3  m 20 Maka m 3 atau m 2 Tidak memenuhi karena m 0

(iv) 2 2m

2.3 8 Jadi, 8 m 3 3 r   r   8 8 6 a r 1 S6  r 1 327. 680 3 6 1  52.283 3 8 1 8

 





327.680  8  261.415       52.283  5  262.144  Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino

16. D. Tabungan awal = uang yang ditabungkan pada 1 januari 2000 = 2.000.000 Besar tabungan akhir tahun pertama Tabungan awal + bunga

2.000.000  20% 2.000.000   1,2  .2.000.000 2.400.000,

Jumlah tabungan Budi pada tahun ke- n mengikuti deret geometri dengan U1 2.400.000 dan r 1,2 Budi menabung sebanyak 10 kali, berarti dari tahun 2000–2009 Total tabungan Budi pada akhir

2009 S10





U r10 1 S10  1 r 1 10 2.400.000 1,2 1  1,2 1 2.400.000  1,210 1 0,2 12.000.000 1,210 1

 

 

Jadi, pada tahun 2010 tabungan Budi sebesar Rp 12.000.000 1,210 1





17. D. Jumlah penduduk kota A dari tahun 1980 – 1990 adalah tetap

A,............,.........................., B. 1980 1981 1982 1990 Persentase pertumbuhan penduduk mengikuti pada deret aritmetika Suku tengah adalah suku ke

1980 1990  1985 2 Jadi, U1985  U 1980, U 1990

 AB Maka banyak penduduk tahun 1985 sebesar

AB

Bab 1 | Page 57

18. E. Pertumbuhan penduduk mengikuti aturan deret geometri 24 96 ? 1984 1985 1986…………1991

n 1

n 3

U3 U1r

2

n 1991  1984 1 n 6 U 6 ar5 24 2 768

96 24r 2

5

r 2 4 r 2  Pertumbuhan penduduk tahun 1991 sebesar 786 orang 19. C. Penjualan suatu barang meningkat 2% perminggu, berarti penjualan minggu berikutnya akan menjadi 100% 2% 1,02 kali banyak Penjualan minggu sebelumnya

U1 500 Jika S n 10.000 maka n  ? S n 10.000

1,02110 n

500

4

1,02 1





500 1,02n 1 104 0,02 1,02n 1 0,4 1,02 n 1,4 log 1,02 n log1,4 n log1,02 log 1,4 log 1,4 n log1,02 log 14 10  102 log 100 log14 log10  log102 log100 log14 1  log102 2 20. C. Deret geometri U 4 54 …..(i)

U 8 4.374

54.r 4.374 4 r 81 4 4 r 3 r 3 U 4 ar 3 4

54 3 54 a.3  a  27 a 2 5 a r 1 S5  r 1 2 35 1  242 3 1

   

Jadi, jumlah 5 suku pertama adalah 242 21. C. Deret geometri

U1 2 1 1 U 4   U1.r 3  4 4 1 2 .r 3  4 1 r3  8 3 1  3 r   2  1 r 2 6 U 1 r  S6  1 1 r 1 6 2 1   1  2  4 1  1 1 2  64  63  252 4  64  64 60 15 3 3 64 16





22. A. Bakteri membelah diri menjadi dua setelah satu detik  r 2 U1 5 2 10 bakteri

U n 320  n ? U1r n 1 320 10.r n 1 320

U4 .r 4 4.374 Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino

Bab 1 | Page 58

n 1

r 32 r n 1 25 n 1 5  n 6

25. C. Deret geometri

r 2



23. C. Populasi hewan A berkurang menjadi setengahnya setiap 10 tahun,

1 2

Jadi rasio r 

U1 ?



2.000 1960

n Maka

1

10

n 5 U5 1 juta 4

1  U1   1 juta 2  U1 1 juta 16 U1 16 juta

24. D. Deret geometri





 

U1 r 1 33U1 r 1  r 1 r 1 10 r 1 33 r 5 1 r 5 1 r 5 1 33 r5 1 5 r 1 33 r5 32 r5 25

S10 33S5 

5

       Maka r 2

U6 U1r 2.2 64 5





3  2 2  3 4 812 Jadi, U 3 U 4 12 3

3 a 1, r  3 1 9 U10 ar

Jadi, pada tahun 1960 populasi hewan A sebesar 16 juta

10



2

B. Evaluasi Pemahaman dan penguasaan Materi. 1. a. 1, 3, 9,..... n 10

U1r 4 1 juta

U1 2



a r 2 r3

2 juta 1 juta 1960 1970………….1990 2000

n 1

 

a r5 1 33 r 1 5 a 21 33 2 1 a 32 1 33 3 a 3 2 3 U 3 U4 ar ar S5 33 

Jadi, bakteri akan menjadi 320 setelah 6 detik

5

Jadi, suku keenam adalah 64

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino

1.3 6.561 1 310 1 S10  9.841 3 1 Jadi, U 10 6.561 dan S10 9. 841 9





b. 128, 64,32,..... n 8

64 1 a 128, r   128 2 7

 1 U8 128.   2 128  1 128 8 128 1  12  S8  1  12 





256  1  256 255  1 .   3  256  3 256 255  85 3 Jadi, U 10 1 dan S10 85

Bab 1 | Page 59

c. 8,16, 32,..... n 7 

16 a 8, r  2 8 6 U 7 8.2 512

 

8 27 1 S7  2 1 8.127 1.016 Jadi, U 7 512 dan S7 1.016 d. 5,15, 45,..... n 9 15 a 5, r  3 5 8 U9 5.3 32.805

 

5 39 1 S9  3 1 5   19.682  49.205 2 Jadi, U 9 32.805 dan S10 49.205 e. 12 , 14 , 18 ,..... n 6  1 1 1 a  , r 41  2 2 2 5

1 1 1 U6  .  2 2 64 6 1 1 1  2 S 6 2 1 12 1 63 1   64 64 1 63 Jadi, U 6  dan S6  64 64 f. 1,1, 1,1,..... n 100 1 a 1, r  1 1 99 U100  1  1 1





1 1 1100  1  1

S100 

 1    1 10  2 Jadi, U 100 1 dan S100 0

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino

g.

, 49 , 278 ,..... n 10  4 2 4 3 2 a  , r 92    3 9 2 3 3 2 3

9

2 2  U10    3 3 

210 1.024  10  3 59.049 2 2 10 1  3 S10 3 1 23  1.024  116.050 2 1   59.049  59.049 1.024 116.050 Jadi, U 10  dan S10  59.049 59.049 h. 12 , 103 , 509 ,..... n 5  3 1 6 3 a  , r  101   2 2 10 5





3

1 3 U4    2 5 1 27 27  .   2 125 250





1 1  35  S4  2 1  35  5  81  5 544   1   . 16  625  16 625 34  125 27 34 Jadi, U 4  dan S4  250 125 i. 1, 2 ,2,..... n 12 4

a 1, r  2



U12 1 2

11

1

25 .2 2 32 2 12 1  2 1   S12   2 1 63 2 1  . 63 2 1 2 1 2 1 Jadi, U 12 32 2 dan S12 63 2 1



   

Bab 1 | Page 60

j. 14, 72, 7,..... n 6 

3. 1 3 9 .....

7 2 1 a 14, r   2 14 2

 

5

1  U 6 4 2  2 

   

 4 2 7  14  32 4 2   6 14 1 12 2     S6   1 1 2 2



 



 

91 14 1 1  1 1 2  1 8  18 . 12 1 2 2 1 2 2 1 2 2





91 1 12 2 91  1   .   1 2  1 8 4 2  2 91  2 2 8 7 91 Jadi, U 6  2 dan S6  2  2 4 8



3 a 1, r  3 1 n a r 1 Sn  r 1 1 3n 1 1 b   3 1 3 1 2 1 n Jadi, S n  3 1 2 S n 39 1 n 3 1 39 2 n 3 1 78 n 3 79 log 3n log 79 n log 3 log 79 log 79 n log 3 n 3,935 Jadi, nilai n terkecil sehingga Sn 39 adalah n 4







2. a. 2 22 ..... 2 n 126

22 a 2, r  2 2 Sn 126

 

2 2 1 126 2 1 2n 1 63 2n 64 2n 26 n 6 Jadi, n 6 b. 3 32 33..... 3n 363 32 a 3, r  3 3 Sn 363 n

 

 

3 3 1 363 3 1 726 3n 1  3 3n 243 3n 35 n 5 Jadi, n 5 n

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino

4. Deret geometri

a 1, r 2

 

a r n 1 Sn  r 1 1 2 n 1  2n 1 2 1 S n 10 7

 

2n 1 107 2 n 107 1 log 2 n log 107 1

  n log 2 log  10 1 log  10 1 n 7

7

log 2 7 n 23,25 0,301 n 23,25 Maka n terkecil adalah 24

Bab 1 | Page 61

5. a. 1 1,1 1,12 ..... 1,120

7. antara

a 1, r 1,1, Un 1,1

20

Un ar

sehingga terjadi deret geometri.

n 1

1,1 1 1,1

n 1

20

1,120 1,1n 1 n 1 20 n 21 21 1 1,1 1 S 21  1,1 1 10 6, 400264,002 2 20 b. 1 1,05 1,05 ..... 1,05 a 1, r 1,05, n 21









1 1,05 1 S 21  1,05 1 1   1,786 35,719 0,05  1  2 20 c. 1 1,05 1,05 ..... 1,05 21

a 1, r  1,05 , n 21 1



 21

1 1 1,051 S 21   1 1  1,05 1,05   1 0,35913,462 0,05 1 2 10 d. 1 1,1 1,1 ..... 1,1 a 1, r 1,11 , n 11

   11

11 1,11 S11  1 1,11 1,1   0,649 7,145 0,1

c d U1  , Un , k banyak sisipan m a c U r k 1 n U1

m1



d c c d

1

2.

2

Maka rasio dari deret geometri tersebut 2

m 1 d  adalah   c 

8. Diantara 1 dan 100 disisipkan k bilangan sehingga terbentuk deret geometri

U1 1, U n 100

100 1 2 k 1  100 10 k 1

r k 1

Berarti, sekarang terbentuk deret geometri 2

dengan U1 1 dan r 10 k 1 dari bilangan 1–100 terdapat k 2 suku





a r k 2 1 S k 2  r 1 k 1 2 k 2 2 110 k 1 1   10 k 1 1     2 2 10 k 1 1 10 k1 1

  k 11 k 1

2

 

 

10 1 10 1  2

10 k 1

n 1 1 0,9 n Sn  10 1 0,9 1 0,9 Sn 10 5

d2 c2

m 1

m1 d m1 d       c  c 

6. Deret geometri

a 1, r 0,9

c d dan disisipkan m bilangan a c

1 k11 2

1

2

10 k 1 1

2 2



Karena nilai suku pertama lebih besar dari 5 pada 10 (ingat a 1 ) maka tidk ada n bulat positif yang memenuhi sehingga Sn 10 5 . Karena tidak ada n yang memenuhi, maka n terkecil pun tidak ada yang memenuhinya.

2

10 k 1 1 10 .10 k 1 1   2  2 1 10 k 1 10 k 1 1 2

2

100.10 k1 1  2 10 k 1 1 2

100.10 k 1 1 Maka Sk 2  2 10 k 1 1 Jika Sk 2 1.000 maka k ? 2

100.10 k1 1 10

2 k 1

1 2

103



2



10 .10 k1 1 103 10 k 1 1 2

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino

Bab 1 | Page 62

2

2

102 .10k 1 1 103.10 k 1 103 2 2 103.10 k 1 102 .10 k1 103 1 2 900.10 k 1 999 2 999 10 k 1  900 2 k 1 10 1,11

Diketahui : Sn 121 maka

 

a r n 1 121 r 1 a r n 2 .r 2 1 121 ; masukkan (ii) r 1



2

log10 k 1 log 1,11 2 .log 10 log 1,11 k 1 2 0,0453 k 1 0,0453 k 12 2 0,0453 k 0,0453 k 43,13 Maka nilai–nilai k yang memenuhi Sk 2 1.000 adalah k 44 9. antara 2

1 dan 80 disisipkan 4 bilangan , 2

sehingga terbentuk deret geometri

5 a  , k 4 2

80 5  32 2 2 12 Banyak suku k 2 4 2 6 6 a r 1 S6  r 1 5 26 1 315 2  2 1 2 r 4 1

 

315 2

10. Deret geometri n suku

U1 U 2 4  a ar 4 …..(i) a 1 r4 4 a …..(ii) 1 r U n 1 U n 108 n 2

27r

2

121

dan (iii)

1

r 1 4 27r 2 1 121 1 r  r 1 2 2 108r 4 121r 121 13r2 117 r 2 9 r2 9 0 r 3 atau r 3 4  Untuk r 3  a  1 r 4  1 1 3 4  Untuk r  3 a 1  3 4  2 2 Jadi , a 1 dan r 3 atau a 2 dan r 3





11. Investasi dengan bunga mejemuk investasi pertahun Rp 100.00,dengan bunga majemuk 10% Investai setelah 5 tahun karena bunga majemuk, maka total investasi setelah 5 tahun mengikuti aturan deret geometri dengan

 

Jadi, jumlah deretnya adalah

4 1r



U1  1,1 100.000 110.000 r 1,1 U r5 1 S5  1 r 1 110.000 1,15 1  1,1 1 Rp 671.561,

Jadi, total uang setelah 5 tahun

Rp 671.561,

n 1

ar ar 108 r n 2  a ar 108 ; masukkan (i) r

n 2

.4 108 r 27 …..(iii) n 2

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino

12. Total pinjaman uang selama n tahun dengan bungan majemuk 8% pertahun mengikuti deret geometri dengan

r 100% 8% 1,08

Bab 1 | Page 63

U1  1,08  2.000.000 2.160.000 Total pinjaman selama 10 tahun





2.160.000 1,0810 1 S10  1,08 1 Rp 27.000.000, 1,1589 Rp 31.290.974,93 13. Uang Rp 200.000, dibungakan selama 14 tahun pertama dan 6 bulan berikutnya dengan bunga majemuk 5% pertahun. Besar uang yang dibungakan selama 14 tahun pertama mengikuti deret geometri dengan

r 100% 5% 1,05 U1  1,05 200.000 Rp 210.000,

Besar uang pada akhir tahun ke-14

U1 .r 210.000 1,05 Rp 395.986,32 13

13

Bunga majemuk untuk 6 bulan berikutnya

5% 0,004166 perbulan 12

sebesar 

Besar uang setelah 14 tahun 6 bulan 6  10,004166besar uang akhir tahun ke-14  1,004167 Rp 395.986.32, 6

Rp 405.989,67, Jadi, setelah 14 tahun 6 bulan, uang sebesar Rp 200.000,yang dibungakan akan menjadi Rp 405.989,67,dengan bunga majemuk 5% pertahun

15. a. 1 12 14 ..... 2125

1 r  , n 26 2 a 1 r n S26  1 r

 



25

1  2   2  20 b. 3 9 27 ..... 3 Merupakan deret geometri dengan

9 a 3, r  3, n 20 3 20 3 3 1 S20  3 1 3  30 1 4



Bukti :



ar

2n



Maka jumlah deret tersebut adalah









3 0   3 1 4 1 c. 1 14 161 ..... 256 1 r  , n 5 4 5 1 1  14  S5  1 14 4  1  4 257   1  . 5  256  5 256 257  640

dengan r 1

  

r 1 r 1 r 1  n  r 1 rn 1 n r 1 2n



C. Evaluasi Kemampuan Analisis 1. U 1 ,U 2 ,.....,U n adalah deret geometri

1

S2 n 1  a rr  n 1  Sn r 1





14. Deret geometri Akan dibuktikan

S2 n rn 1 Sn



26 1 26  1   1 1  2   2 1   1  1 2  2  

n

n

Terbukti

S U1 U2 ..... Un 1 1 1 T   .....  U1 U 2 Un S Akan dibuktikan : U1.Un T Bukti : S U U 2 ..... U n  1 U1U n U1U n U U U  1  2 .....  n U1U n U1U n U1U n

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino

Bab 1 | Page 64

2

1 U1 r U .r 1    1 n 1 .....  n 1 U n U1 .ar U1 .ar U1 1 1 1 1   n 1  n 3 ...  U n ar U1 ar 1 1 1 1   n 11  n 2 2 .....  U n ar U1 ar 1 1 1 1    .....  U n U n 1 U n 2 U1 1

1

 

 

T

2. Jika S1 , S2 , S 3 merupakan jumlah n suku,

2 n suku, dan 3n suku pertama dari deret geometri a. akan dibuktikan 2 S1  S3 S 2  S2 S1 



a a n 2n S1  r 1 , S 2  r 1 , r 1 r 1 a 3n S3  r 1 r 1





 







a a  a 3n   r n 1  r 1  r 2 n 1  r 1 r  1 r  1   a2 n 3n 2n  r 1 r r r 12 

a2

r 12

r 1r r 1

2

n

2n

n

 

2

 

2







2  a  2n n   r r 2  r 1 

  



a  2   r 3 n r n r 2 n 1 r 1  2 2 2n n  a  r r 2       3 n n 2 n r 1  2 r r r 1  





2 4n 2n 3n 2n  a  r r 4 2r 4r     n  3n n 2n r 1  4r 2 r 2 r 2r 2   2





2

 

a    r 2 n r 2 n 2 r n 2 r 1 



a    r n 1 r 2 n r 3 n 2 r 1  a   a n 2n 3n    r 1 r r 2 r 1  r 1  a  a   r n 1  r 2 n r 3 n 1 1  r 1  r 1 



2n 3n



 a  2 n n   r r  r  1   



 2

a   r 2 n r n 2  r 1   2   a  n 2n 2   r 1 r 1  r 1     

n

2





      r 1 a  a       r 1      r 1  r 1    r 1   a r 1   a  r 1     r 1   r 1  a  r 1   r 1 

  

a  n n   r 1 r r 1 

  

2

 

a 2  n 2  r 1 .r 2 n  r 1    2



2

Bukti :

  

2





Terbukti





a a   r n 1  r 2n 1   r 1 r 2   a a  2 r n 1 . r 2n 1  r 1 r 1 

S S  T atau U1Un U1Un T

 



2

  .....  U1 U2 Un

S1  S 3 S2 

b. akan dibuktikan : S12 S 22 S1  S2 S3  Bukti : S12 S 22 a  a   r n 1  r 2 n 1  r 1 r 1    

1



Terbukti 2 Jadi, S1  S3 S 2  S2 S1 

2n



2

a  2n n  r r 1 1  r  1  

n

3n



 





2

a   r 2 n 1 r n 1  r  1  

 

2

a a   r 2n 1  r n 1  r  1 r  1  

S1  S 2 S 3  Terbukti 2 2 Jadi, S1 S2 S1  S 2 S3 

2  S 2 S1

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino

Bab 1 | Page 65

3. barisan geometri dari bilangan real dengan U1 U 2 U3 U 4 30 …..(i)

U12 U22 U 32 U42 340



  U r  U r  U r 340 U  1 r r r 340 2 2

2

1

1

2 1

900

r r 3

2

. 2



r 1

2

3 2

1

4

6

r6 r 4 2 1

340

    900 r r r 1 3 22 340  r r 2r 3 r2 r 1r 12    900 r r r 1 340 r r 2r 2 r r r r  r 2r 1 900 r r r 1 340 r 2r 3r 4r 3r 2r 1 900 r 6 r4 r 2 1 340 r 3 r 2 r 1 6

4

2

6

4

2

6

6

4

5

4

6

4

3

3

2

2

2

2

5

4

3

2

560r 6 680r 5 120r 4 1.360r 3 120r 2 680r 560 0 14r 6 17r 5 3r 4 34r 3 3r 2 17r 14 0

1   r 2 r  14r4 18r 3 28r 2 18r 14 0    2

1 2

maka r 2 0 atau r  0

1 2 ..... 2

Deret tak hingga 2  2 1 

adalah deret geometri tak hingga konvergen

a S  1 r 2 2  2  2 2 12 2



3  3 1 ..... Merupakan deret geometri tak hingga konvergen dengan

3 3

Maka S 4 2 2 3. D. Deret tak hingga 1



1

1

log 2 log 2 log 2 1  1  1        ..... 2  4  8 

2







Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino

log 10 1

2

log 10

1 10 1  10

1 10

Maka a 

U r 2 U1 1  4 1  2

1 log 2 1 log 2

2







1

A. Evaluasi Pengertian atau Ingatan 1. C.

9 3 3 9 3 3  .  6 3 3 3 3 3  3 3 2



4 2 2 42 2  .  4 2 2 2 2  2 2 2  2 4 2 2

log 2 1 a     2 1 2 

Latihan Kompetensi Siswa 7

a S  1 r 3 3  3 3  3 1 3 3

2 2

dengan a 2, r 

2

a 3, r 



adalah deret tak hingga konvergen dengan

1 r 2

r 2



1 3 3 2

2. E.

U1 U1 r U1 r 2 U1 r 3 30 U1 r3 r 2 r 1 30 U12

Maka S 1

2   2  2

2

log 10

1

2

log 10

2

2 log10 10 2  2 log 101  1 10 2 10 1   100 10 1 Maka r  10 a S  1 r 1 1 1  10 1 109  110 10 9 Bab 1 | Page 66

Masukkan ke persamaan (i) nilai r

1 9

Jadi, S  4. D.





Nilai log 25log 2 log 2 log 2 .... ? Perhatikan pangkat Bentuk pangkatnya merupakan deret geometri tak hingga konvergen 2

3

2

log 2 a log 2 dan r  log 2 log 2 a Spangkat  1 r log 2 log 2   1 log 2 log 10 log 2 log 2 log 2  10  log 2 log 5 5 log 2 Maka 25log 2 log

2

5

Maka, suku pertama adalah 4 6. E.

1 1 a 3   ..... 2 4 a merupakan deret dimana suku kedua dan seterusnya maerupakan deret geometri tak

1 2

hingga konvergen dengan U 1  dan 1 1 r 41  2 2

U1 1 r

Maka a 3 

2 log 3 2 ....

25 log 2 5 2 log 2 5 2 5 log 2 22 4 2 3 Jadi 25log 2 log 2 log 2 .... log 4 log 2 2 10 2.log 2 2. log 5 2 log 10 log 5 ; diketahui : 2 1 0,6992 0,301 0,602

a 6 1 r   1 6 1   3 2 6. 4 3

5

1

3  2 1 3 1 4 1 2  a 4 b 2log a 2 log 4 2 log 22 2  b 2 log 5 0,699

5. C. Deret geometri dengan S 6 dan

Sgenap 2

S 6 a 6 1 r a 6 1 r  …..(i) Sgenap 2 ar 2 ; subtitusi (i) 1 r 6 1 r  2 1 r 6r 2 1 r 3

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino

a







log b  a log b  a log b ..... 2

3

adalah deret geometri tak hingga konvergen dengan

U1 a log b 4 log 2 22 log 2 1 2 1  . log 2  .1 2 2 1  2 U dan r  2 U1





1  a log b   a  12 log b 2 1  1  1 4  2 2 U Maka S  1 1 r 1 1 1  2 1 23  1 2  2 3 2

2

Bab 1 | Page 67

9. C. Deret geometri tak hingga

1 3

Jadi, S 

2x 32 x 3log x 2 x 3log2 x .....

konvergen dengan suku-suku negatif untuk mendapatkan suku negatif terdapat dua kemungkinan : 1. a 0 dan r 0 2. a 0 dan r 0 Syarat deret konvergen adalah | r | | Deret di atas memiliki a 2x 3 dan r log x  kemungkinan 1 : a 0 dan r 0 a. syarat a 0

7. D.

p log 5 log 5 log 5 ..... p adalah deret geometri tak hingga 2

3

konvergen dengan 2

log 5 a log 5 dan r  log 5 log 5 a Maka p  1 r log 5 log 5   1 log log 10 log 5 log 5 log 5  10  log 5 log 2

2 x 3 0 3 x  ….. 1 2 b. syarat r 0

Maka p 2 log 5 Nilai 2 p 2 Jadi, 2 p 5

2

log 5

karena deret konvergen maka nilai r dibatasi syarat konvergen | r | | 1 r 1 ; karena r 0 maka

5

1 r 0 1 log x 0

8. C. Deret tak hingga konvergen 1 3

9 x 15 x 2 253 x 3 125 x 4 ..... 12

 x 1 1 S  dengan a  x dan r  2 3 x 1 5 1 3

2

a 1 3   x 1 r 2 5 1 x 1 3  ; | r | | 3 1  5 x  2 1 3

x 1  3 1 5 x 2 1 1 3  x  1  x 3 2 5  1 1 3 x  x 3 2 30 1 3 1  x 3x 10 2 1 1 x 30 2 30 x 2 x 15 Jadi, nilai x yang memenuhi 15

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino

log101 log x log 1 1 x 1 10 0,1 x 1 ….. 2 Syarat numerus : x 0 ….. 3 Dari 1 , 2 , dan 3 maka daerah irisannya himpunan kosong

 kemungkinan 2 : a 0 dan r 0 a. syarat a 0 2 x 3 0 2x 3 3 x  ….. 1 2 b. syarat r 0 0 log x 1 log1 log x log10 1 x 10 ….. 2 c. syarat numerus : x 0 ….. 3 Daerah irisan 1 , 2 , dan 3 adalah

Bab 1 | Page 68

11. E.

3 1 x  2 10. D. Deret tak hingga 2 5

3 x 4 1  log x a 3 x  4 1 r 1 log x Berarti a 3 x 1 r 1 4 log x Diketahui : S 

532 523 434 525 .....

Perhatkan bahwa deret tersebut merupakan penjumlahan dari dua deret geometri tak hinga  Deret suku ganjil

r 4 log x Syarat konvergen deret adalah

r 1

2 2 2  3  5 ..... 5 5 5 Adalah deret geometri tak hingga konvergen dengan 2

2 3 1 a  dan r 52  2 5 5 5 2

S ganjil  5 1 15 2 2 5 245  2 25

1 r 1 ; r 4 log x

1 4 log x 1 4 log 41 4 log x 4log 4 4 1 x 4 1 x 4 4 Maka batas-bats nilai x sehingga deret tersebut konvergen adalah

1 x 4 4

 Deret suku genap

3 3 3  4  6 ..... 2 5 5 5

12. C.

Adalah deret geometri tak hingga konvergen dengan 3

3 4 1 a  2 dan r 53  2 5 5 52 a S genap  1 r 3

3

 5 1 25 1 5 2 24 25 2

3 1   24 8 Sehingga S S ganjil S genap 5 1 40 12    12 8 96 13  24 13 Jadi, jumlah deret tersebut adalah 24

Segitiga OT1 T2 adalah segitiga siku-siku sama dengan OT1 T1 T2 Diketahui : T1 T2 a maka

T1 T2 OT2 a dan OT1  OT2 T1 T1 2

2

 a 2 a 2 a 2  T1 T2 T3 45 Jadi, ∆T1 T2 T3 adalah segitiga siku-siku sama kaki dengan

1 T2 T3 T1 T3  OT1 2 1  a 2 2

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino

Bab 1 | Page 69

Lihat ∆T3 T4 T5 adalah segitiga sama kaki dengan siku-siku di T3

41. A.  Persegi 1 memiliki sisi a

L1 a a a 2  Persegi 2 memiliki sisi

1 T3 T4 T4 T2  OT2 2 1  a 2 Deret T1 T2 T2 T3 T3 T4 .....

2

1 1 a  a 2  a ..... 2 2 Merupakan deret geometri dengan 1

U1 a dan r 2

a 2 1  2 a 2

2

1  1    a  a  2  2  1  a 2 2 1 1 L2  a 2  a 2 2 2 1  a2 2

 Persegi 3 memiliki sisi

Jadi total panjang garis tersebut

2

2

1  1    a 2  a 2  4  4  1  a 2 1 1 L3  a  a 2 2 1 2  a 4

U  1 1 r a a  1 2  2 1 2 2 2 2a 2a   2 2 2 2 13. B. Bola jatuh

Deret luas persegi adalah

1 1 L1 L2 L3 ... a 2  a 2  a 2 ... 2 4 adalah deret geometri tak hingga dengan

a2 1 U1 a dan r  2  a 2 U SLuas  1 1 r a2  1 2 a2 1 2 2

Bola jatuh dari ketingian 10 m dan

3 4

memamtul kembali dengan r 

Lintasan boa sampai berhenti = Bola jatuh pertama + Pantulan pertama + Jatuh kedua + Pantulan kedua +….. = Bola jatuh pertama + 2 {pantula pertama + Pantulan kedua + Pantulan ketiga +…..}

.10   10 2  3 10 2  1 4    10 2.30 70 meter 3 4

30 4 1 4

( karena lintasan Pantulan pertama = Jatuh kedua. Lintasan Pantulan kedua = Jatuh ketiga ) dan seterusnya

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino

1 2

15. A.

1 0 x   2 Deret tak hingga dari

sin x sin x cos x sin x cos2 x ..... adalah deret konvergen dengan

sin x cos x U1 sin x, r  cos x sin x U S  1 1 r sin x sin x   1  cos x  1 cos x

Bab 1 | Page 70

16. E.

 0 x  2

Deret tak hingga dari

cos x cos x sin x cos x sin 2 x ..... adalah deret konvergen dengan

cos x sin x U1 cos x , r  sin x cos x U cos x S  1  1 r 1 sin x 17. D. Deret tak hingga dari

sin x cos x sin x ....., 0 x 

Merupakan deret geometri tak hingga konvergen dengan

cos x sin x a sin x dan r  cos x sin x a sin x S   1 r 1 cos x 18. D.

 0 x  2

sin x cos x sin 3 x cos 3 x sin5 x ..... adalah deret konvergen dengan  Suku-suku ganjil sin x sin 3 x sin5 x ..... sin x sin x S ganjil   2 2 1 sin x cos x  Suku-suku genap cos x cos 3 x cos 5 x ..... cos x cos x S genap   2 2 1 cos x sin x

S Sganjil S genap

sin x cos x  2  2 cos x sin x sin3 x cos3 x  sin 2 x cos 2 x

1 tan 30 tan 30 tan 30 ..... 1 1 1 1    ..... 3 9 27 

4

20. D. Deret geometri tak hingga konvergen dengan U1 a, S 5 syarat deret tersebut konvergen adalah jika | r | |

a S  1 r a 5 a 5 r  ….. 1 1 r 5 | r | | 1 r 1 ; masukkan 1 5 a 1  1 5 5 5 a 5 0 a 10 Maka nilai a berada di 0 a 10 21. A. Deret tak hingga konvergen

a 1 1a a12 ..... 4a 1 U1 a, r  a S  4 U1 4a 1 r a 4a 1 1a a 4a a 1 a 2

19. C. Deret tak hingga 2

1 1 a 1 dan r  3  1 3 a S  1 r 1 1 3  4  1 1  3  3 4



6



Adalah deret goemetri tak hingga konvergen dengan

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino

a 4a a 1 a 2 4a a 1 2 2 a 4a 4a 3 3a 4a 0 a 3a 40 4 Maka a 0 atau a  3 Tidak memenuhi

Bab 1 | Page 71

24. C.

4 3

Jadi, a 

Lingkaran 1 jari-jari R

22. B.

f  x x x ; x R, x 0

Jika didapat deret geometri dengan

3 1 / / U1 f  1; f  x  x2 2 1 3 3  .1 2  2 2 3 1 // // U 2 f  1; f  x  x2 4 3 12 3  .1  2 4 3 U 1 r  2 43  U1 2 2 U S  1 1 r 3

3

 2 1 21 3 1 2 2 Jadi, jumlah deret tersebut adalah 3 23. D Bola pingpong jatuh dan memantul mengikuti pola atursan deret geometri

3 4

dengan r 

Lintasan pantulan ketiga = Lintasan jatuh pertama r 3 3

27 3  2  2. 64 4  27  32

Ternyata R adalah diagonal bidang untuk persegi 1 Jika sisi pesegi 1 a1 , maka diagonal bidang a1 2 Diameter lingkaran 1 = diagonal bidang

2R a1 2

2R 2 2 a1   R R 2 2 2 Keliling pesegi 1 K1 4a1 rR 2 Diagonal persegi 2 sisi pesegi 1 R 2 Misal sisi pesegi 2 a2 Karena diagonal bidang persegi 2 = sisi persegi 1

a2 2 R 2 a2 R Keliling persegi 2 K 2 4a2 4 R Jadi, deret keliling persegi

K1 K 2 ..... 4 R 2 4R ..... adalah deret geometri dengan

4R 1 U1 4R 2 dan r   2 4R 2 2 U SKeliling  1 1 r

4R 2 4R 2   1 12 2 2  2

Maka panjang lintasan dri pantulan ketiga sampai berhenti = lintasan pantulan ke-3 + lintasan jatuh ke-4 + lintasan pantulan ke-4 + lintasan jatuh ke-5 +….. 2 { lintasan pantulan ke-3 + lintasan pantulan ke-4 +…..}

 27  27  32 32   2  3 2  1   1   4 4  27 4 27 2    6,75 meter 32 1 4

8R 2  2 2 Jadi, SKeliling adalah

8R 2 2 2

25. E. Deret geometri tak hingga 2

2 log x 2 log3 x 2 log5 x 2 log 7 x .....  3

Deret tersebut konvergen dengan

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino

Bab 1 | Page 72

2 log 3 x 2 U1 2 log x dan r  2  log 2 x log x U S  1 1 r 2 2 log x  2 2 3 1  log x





2 1 2log 2 x 3 2 log x 2 2 log 2 x 3 2 log x 2 0 2 log x 2 2 2 log x 1 0 2 log x 2 atau 2 2log x 1 1 2 log x 2 log 2 2 2 log x  2 1 2 2 2 x 2 log x  log 2 2 1 1 x x 2 2 4 x 2 Syarat konvergen adalah | r | | 1  Jika x  maka 4 r 2log 2 x 1 2log 2 2 log 22 4 2  log 22 2 log 2 2 2 2 4 1 1 Maka x  tidak memenuhi 4 1  Jika x  2 2 2 maka r 2log 2 x







1

1

1

2log 2 2 2 2 log 2 2 . 2log 2 2 1 1 1    1 2 2 4 Maka x  2 memenuhi Jadi, nilai x yang memenuhi adalah x 2 B. Evaluasi Pemahaman dan Penguasaan Materi. 1. a. 12 13 29 ..... 2 1 6 2 U1  , r 91   2 9 3 3 Karena | r | | maka deret konvergen

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino

U S  1 1 r 1 1 3  2 2 21  1 3 3 2 b. 2 1 12 ..... 1 U1 2, r  2 Karena | r | | maka deret konvergen U S  1 1 r 2 2  1 1 4 1 2 2 c. 1 2 4 ..... 2 U1 1, r  2 1 Karena | r | | maka deret tidak konvergen d. 3 9 27 ..... 9 U1 3, r  3 3 Karena | r | | maka deret tidak konvergen e. 1 1 1 ..... 1 U1 1, r  1 1 Karena | r | | maka deret tidak konvergen f. 1 1 1 1..... 1 U1 1, r  1 1 Karena | r | | maka deret tidak konvergen g. 0,9 0,09 0,009 ..... 0,09 1 U1 0,9, r   0,1 0,9 10 Karena | r | | maka deret konvergen 0,9 0,9 S   1  0,1 1 0,1 0,9  0,818 1,1 h. 1  12 12 .....

1 1 2 U1 1, r  2   1 2 2 Karena | r | | maka deret konvergen 1 1 S  2  2 2 12 2 2 2  2  . 2 2 2 2

Bab 1 | Page 73



 

2 2 2 1   2  2 4 2 1 1 1 i. 4 4 2 43 .....



1 1 U1  , r  4 4 Karena | r | | maka deret konvergen U S  1 1 r 1 1 1  4 1 43  1 4 4 3 j.

49 278 ..... 3 4 4 2 8 U1  , r  3 9    2 9 3 27 2 Karena | r | | maka deret konvergen U S  1 1 r 3 2

3

3

 2 8 352 1  27  27 3 27 81    2 35 70 3 k. 3 1  3 33  313 ..... 3 3 1 . 3 1 3 1 3 3 1   3 3 3 1 2 U 3 3 1 r 2   U1 3 3 3

a





1 1 1   ..... 2  2 2 1 1 U1  , r  2 2 Karena | r | | maka deret konvergen 1

2

3

1

1

S  2 1 21 1 1 2 2 Jadi, S  1 2. a. 1 x8 x64 ..... 3

6

x3 x3 r 8  8 1 Agar deret tersebut konvergen, maka r 1

x3 1  1 8 3 8 x 8 3 3 3  2 x 2 2 x 2 Jadi, batas nilai x agar deret konvergen adalah 2 x 2 4 6 b. x 2 x9 x81 .....



x4 9 2

2

x r  x 9

x2 r 1  <1 9

3 1 3 3 . 3 3 3 3

 

x

Agar deret konvergen, maka r 1

x2 x2 0  1 ; 0 9 9

3 2 2 3  3 9 2 3 1   3 6 3 Karena | r | | maka deret konvergen a S  1 r 1 3  3 12 3  3 2 1  3 3 1 3 3 3 3  2 3 Jadi, S  2



1 l. f  1 f  2 f  3 .....; f  x  2



Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino

0 x 9 x 2 9 0 x 3 x 30 2

3 x 3 Maka nilai x yang memenuhi agar deret menjadi konvergen ada diinterval

3 x 3

Bab 1 | Page 74

3. Deret geometri

2 r  dan S 15 5 a S  1 r a 15  1  25   2 a 15 1   5 7  15 21 5  Jadi, suku pertama adalah 21 4. Deret geometri

1 2 a  dan S  3 3 a S  1 r 1 2  3 3 1 r 1 3 1 r   3 2 1 1 r  2 1 1 r 1   2 2 1 Jadi, rasio  2

1 x 2 1 1 x 3 Batas-batas nilai x yang memenuhi adalah

1 x 3

b. rasio r log  x 2 Agar deret konvergen maka

r 1 log  x 21

1 log x 21 log10 1 log x 2  log10 1 log log x 2  log10 10 1 x 2 10 10 21 x 12 ….. 1 10 Syarat numerus :

x 2 0  x 2 ….. 2

Irisan daerah 1 dan 2 adalah

21 x 12 10 Jadi, batas-batas nilai x yang memenuhi

21 x 12 10 3 c. rasio  log x 1 adalah

Agar deret konvergen maka

r 1 3

5. Deret geometri

1 15 251 ..... adalah deret konvergen 1 Dengan a 1, r  5 n n 1 11  5 1  5  Sn    1  1 15 4 5  





1 maka tidak ada nilai n 1.000

Jadi Sn 

positif terkecil yang memenuhi, karena

1 S1 a 1 1.000 6. a. rasio r x 2 Agar deret konvergen maka

r 1

log x 11

1 3log  x 11 1 3 log 3log  x 13log 3 3 1 x 1 3 3 4 x 4 ….. 1 3 Syarat numerus :

x 1 0  x 1 ….. 2 Irisan daerah 1 dan 2 adalah

4 x 4 3 Jadi, batas-batas nilai x yang memenuhi adalah

4 x 4 3

x 2 1 Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino

Bab 1 | Page 75

7. Deret geometri

2

1 1   LA // B //C //   a sin 60 2 4  1 2 1  a . 3 32 2 1 2  a 3 64 LABC LA/ B / C / LA // B // C // .....

1 1 1 U n  n , maka U1  1  5 5 5 1 U1  5 1 1 U2  2  5 25 1 U 2  25 U2 r U1

1 2 1 2  a 3  a 3 ..... 4 16 Adalah deret geometri dengan

1 U1  a 2 3 4 1 a2 3 16 r 1 2 a 3 4

1 25 1 5

5 1    25 5 1 r  5 U1 S  1 r

4 1   16 4 U SLuas  1 1 r 1 2 a 3 1 2 4  a 3 1 14 3

1 1 1  5 1 54  1 5 5 4 1  S  4

Jadi, jumlah luas segitiga seluruhnya adalah

1 2 a 3 satuan luas 3

8.

9.

gambar di samping merupakan gambar segitiga siku-siku ABC dengan sisi a

1 2  LABC  a sin 60 2 1 21  a . 3 2 2 1 2  a 3 4 1 Sisi segitiga A B C  a 2 /

/

/

2

1 1  LA / B / C /   a sin 60 2 2  1 2 1  a . 3 4 2 1 2  a 3 16 1 // // // Sisi segitiga A B C  a 4 Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino

segienam beraturan

a. sisi-sisi ABCDEF a cm keliling ABCDEF 6a cm sisi-sisi A/ B / C / D / E / F / misalkan a2 maka berlaku aturan kosinus lihat ∆ A/ BB / adalah segitiga sama kaki dengan

A/ 30, B 120, B / 30  1 1 A/ B / a 2 , AB /  a, BB /  a 2 2 / / / AB AB  sin B sin B /

Bab 1 | Page 76

Deret luas seluruhnya :

1 a2 a 2   sin120 sin 30 1 a2 a 2  1 1 3 2 2 1 a2  3a 2 / / / / / / Keliling A B C D E F 6 a2 1 6. 3a 2 3 3a

3 9  a2 3  a 2 3 ..... 2 8 Adalah deret geometri dengan 9 2 a 3 3 3 2 U1  a 3 dan r 8 2  3 2 a 3 4 2

U SLuas  1 1 r 3 2 a 3  2 3 6a 2 3 1 4 Jumlah semua segienam 6a 2 3 cm 2

Deret keliling seluruhnya :

6a 3 3a ..... adalah deret geometri 3 3a 1 dengan U1 6a dan r   3 6a 2 6a S Keliling  1 1 2 3 6a 12a 2  3  2 3 2 12a 2  3  . 2  3 2 3







12a 2  3  12a 2  3 1



Jadi, jumlah semua keliling



12 a 2  3



10. Deret tak hingga

3 x 1x 12 x 1 ..... 1

a x 1 r x 1 S 1 x 1 1 1  x 1 x 1 1 x x 1 x 2x 1 1 x  ..... 1 2 Syarat konvergen adalah

1 b. lihat gambar setiap bagian dari 6 segienam tersebut adalah segitiga sama sisi ( karena sudutnya sama besar yaitu 60) Luas segienam 6 segitiga sama sisi

1 6. S 2 3 4 3 2  S 3 2 3 Luas ABCDEF  a 2 3 2 3 Luas A / B / C / D / E / F /  a2 2 3 2

r 1 1 r 1 1 x 1 1 0 x 2 ….. 2 1 2

Daerah irisan 0 x 

1 2

Jadi, batasan nilai x adalah 0 x  11. Diketahui :

m 1 x x 2 ..... x 1 n 1 y y 2 ..... y 1 2

3 1    3a  3 2 2  3 1  . .3 .a 2 3 2 4 9  a2 3 8 Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino

Akan dibuktikan

mn 1 xy x 2 y 2 x 3 y 3 .....  m n 1 Bukti

 m adalah deret konvergen karena

x 1 dengan a , 1 r x

Bab 1 | Page 77

1 1 m  1 x  ….. 1 1 x m  n adalah deret konvergen karena

y 1 dengan a , 1 r y 1 1 n  1 y  ….. 2 1 y n





2 6  6  3 9 2 2  . 9 2 2 9 2 2

 

2 54 12 2 9 6 4 3 9 3 2 6  73 2 54 12 2 11 6 13 3  73 2 54 12 2 11 6 13 3 Jadi, S   73





Deret tak hingga

1 xy x 2 y 2 x3 y 3 ..... Adalah deret konvergen karena x 1 dan

y 1 maka xy 1 dengan a , 1 r xy

b. 1 





2 1 3 2 2 5 2 7   ..... 8 2 2 16 2

adalah deret geometri tak hingga dengan

2 1 2 1 2  . 2 2 2 2 2 2 2  4

a 1 dan r 

Maka jumlah deret

a 1   1 r 1 xy 1  ; masukkan  1 x   1 y  2 xy x y 1 dan 2

1   1 x   1 y  xy x xy y 1   1 x   1 y  x y 1 y  x 1 1 1 1 m 1 1 n 1 1 .  m   n  m n n m 1 mn 1m 1 n 1  m n 1 mn Terbukti

a S  1 r 1 1  2  2 4 2  2 1 4

4

4 2 2  . 2  2 2 2 42 2  2 2  2 2 Jadi, S 2 2  2



   



2. Jika A 1 r a r 2 a r 3a .....

B 1 rb r 2 b r 3b ..... Akan dibuktikan

C. Evaluasi Kemampuan Analisis

2 1 3 2 2  ..... 12 2 3 a 1 2 1 6 3 r  6 2 3

1. a. 1 

a S 1 r

1 1     3 6  6 3 1 6  6 6

    6 6 6  3  36  6 3 6 2  6 6  6  3 

6 6  6 3  . 6  6  3 6  6 3

 

1

1

A 1a B 1b r   A    B   Bukti : A adalah deret geometri tak hingga dengan

U1 , 1 r ra U A 1 1 r 1 1 a A  1 r  a 1 r A 1 a r 1 A A 1 a r  A 1

A 1 a r  A  

27 6 2

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino

Bab 1 | Page 78

B adalah deret geometri tak hingga dengan U1 1, r r 6 1 1 B  1 r b  b 1 r B 1 r a 1 B B  1 rb  B

Deret : 1 a log sina log 2 sin .....

1

b B 1 r   B 

 0  menjadi 2 2 1  log sin 2 log2 sin .....

Terbukti bahwa 1

1

A 1a B 1b r   A    B   3. Diketahui : S p1 1 r r

e q a  2 d 2 p 4 4   2 4 2 4 8  2 2 .2 Maka a 2

Adalah deret konvergen jika

r 2 log sin1

2p

.....

1 2 log sin1 1 sin2 ; karena nilai 2 1 sin 1 1 sin1 2

S p 2 1 r p r 2 p ..... Akan dibuktikan

S p1 S p 2 2 S p 1 S p 2 Bukti :

1 1 p S p1  atau 1 r  p 1 r S p1

1 1 p S p2  atau 1 r  p 1 r Sp 2 1  1 r p

 

Maka

1 1 S p1 S p 2   p p 1 r 1 r 1 r p 1 1 p 2  1 1 p p 1 r 1 r S p1 . Sp 2

Untuk nilai

 0  maka nilai yang memenuhi 2   adalah  6 2

  



2

2 S p1 S p 2

1 S p1 S p2

 2 n 1 S sec sec 2..... sec 2  secsec 2

Terbukti



4. a lim  2 X 1 4 X 4 X 3 2

x

5. jika 0 



2 x 1 4 x 4 x 3

lim

2

1 sin 1 dan untuk 2

2

x





lim 4 x 2 4x 1  4x 2 4 x 3 x

d e f karena d p maka

p

q

r

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino

Bab 1 | Page 79

a 1 10 1 4 a 0 1 a  12 a 11  a 1 a 5 11 1



Latihan Kompetensi Siswa 8 A. Evaluasi Pengertian atau Ingatan 1. C.

3 6 9 12 ..... 30 10

3k

6. A. 5

3 2

k 1

10 1

 3 k 1

n

3 21 3 22 3 23 

n 1

3 2 4 3 25

k 11 11

1 1 5 13 29 49

3k 3 k 2

7. D.

2. A.

1   .....  12 23 35 .....11 21 Pembilang : 1, 2,3,.....,11 2 3

3 5

2

6

4n 4n

11 21

2

n 1

6

2

n 3

n 1 6

4n2

Adalah barisan aritmetika U i i , n 11 Penyebut : 1, 2, 3,....., 21 adalah barisan aritmetika dengan b 2 U i 2b 1 , maka Notasi sigma deret tersebut 11 i  1 i 1 21 

n 1

4 6  7 13  364 6 8. A. 1 1 1 1   .....  1.2 .3 2 .3.4 3 .4 .5 n n 1  n 2  n

1  i 1  i 2  i 1 i

3. C. 12

122

i3

i 3 2 10

3 5i 3 5i 2

9. B. 3

2

3

2

i1

k

i 1

k 1

 xi y k xi y k

7 5i i1

3

xi  y1 y 2  i 1

4. B. 21

21 1

k 2

k 2  1 20

20

20

k 1

k 1

k 1

3

 y1 y2  xi

5k 6 5k 16

i 1

 y1 y2  x1 x2 x3 

5k 1 5k 1 20. 20 1 2. 20 2 1.050 20 1.030 a 2

38

a 82

a 4   a 8 4

a 8

10. A. 30

a

14

25

i5 30 4

a

25

a

25 ..... 1

1 4 4

5. A. 3

4n2

a 8 8

11 a 10  atau a 0 a 4

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino

i 5 4 26

i

i 1

Bab 1 | Page 80

26

26

26

n

3 ai 3 ai i 1

i 1

2. a. lim

n   k 1

i 1

26 3 25 78 25 53

250

1 250 1 250 k 1 10

10 10 1 55 2 k 1 7 7 7 1 c. k  28 2 k 1 b.

k 

d.

5 1 5  225 k 3   2  k 1 2

5

e.

f.

100

100

100

a 1

a 1

a 1

2a 3 2a 3 100 101 2. 3 100 2 10.100 300 9.800

100

100

i 1

i1 100

2 i 1i 2 2i 1 100

100

i1

i1

2

i 1

100 101 2012  100   101   100  6 2   328.350 4

g.

22 22  k

k 0



1

2

3 4 2   2

1 2 4 8 16 11 3 1 1 1 1 1 h.  a  0  1  2  3 10 10 10 10 a 0 10 1 0,1 0,001 0,001 1,111 4

i.

1

2 k 1

k

1 n k 2  n   n k 1 1 n n 1 lim 2 . n n 2 n 1 1 lim  n   2n 2 n i b. lim  3 n i 1 n 1 n lim 3 i 2 n   n i 1 1 n n 1 2n 1 lim 3 . n n 6 3 2 2n 3n n lim n 6n 3 2 1   6 3 n  a 2  c. lim  1   n n n  a 1 n 2 1  lim  1 a  n n n  a 1

2  1 n n 1    n      n n  n 2   2 3n 1  lim   n n  2  6 n 2 lim n 2n 6  3 2 n  2 k2  2    d. lim 1      n n  k 1 n  2 n 2 n  lim 1  k 2  n n a1 n k 1  lim

i 2i 1



2

lim

B. Evaluasi Pemahaman dan Penguasaan Materi. 1. a.

k

n

1 1 1 1     2 4 8 16 8 4 2 1  16 15  16

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino

2  2 n n 1 2n 1  n      n n 6   2  n 1  2n 1  lim n   n n  6  Pangkat n pembilang lebih besar dari pangkat n penyebut maka nilai limitnya . lim

n

Bab 1 | Page 81

5

3. a.

3

k 1 2 1 2 k 1

f.

k 1

2 1

2

b.

2

41



4. a. S41  3 3 k 1 41

k 1

k 2

22 2 24      2.2 3  2.3 3  2.4 3 25 2.5 3 c.

x

k 1

1 1

x

x

2 1

x

31

x

4 1

x

41.42 413 2 2.583 123 2.706 50

2i 3

b. S50 

i 1 50

50

2 i 3

5 1

i 1

i 1

50.51 3.50 2 2.550 150 2.400

22  k 2 2k 3

3

5

 1  1.x 2 .0 1  1.x 2 .1 1



k 1

3

k 1

d.

41

3k 3

2

2k 3

5

1 11 1 2 1 1 3 1  x  x  x 1 2 3

2

3 1 2 4 1 2 1 2.3 1  1  2.4 1 5 1 1 2.5 12

5

k 1

k 1

 1  2.1 1 1  2.2 1 1 1

1

k x





8

2

c. S8 

2.a 1 2.1 1 2 3 2 .2 1 1x  1x 2 .3 1   2.2 1 2.3 1 4 2. 4 1 1 x 2.3 1 2 1 4 2  e.  1 i 1 2i 

k 1

k 1





1 2 1  43 2 1 7

8

2

d. S8 

i

i 1

 

2 27 1  254 2 1

1 1 2 1  2   2



  2.1 1 2.1 1 3 1 2 241  2.3 1 2.4 1 i 7 1 f.  2 1 i 3 i 

k 0 9

k 1

b. 12 22 33 ..... 10 2 

4

c. 1    .... 



2.0 2 2.1 2 3 2. 3 4 1x  1x 2 .4  2.3 2 2.4 2



2.2 2

1 3

1 4

1 20

1 k 1 k 0 1 1 1 d. 1 3 5 7 .... 391  1 .

5

0 1 2  1x 2 .0  1x 2.1  1x 2 .2



2

k 0

1 2 19

 1  1  1 2 2 2  3 3 4 4 5 5 6 1 17  6 2 6 72 7 i 2i 4 1 x g.  i 0 2i 2 3

8

k 2

5. a. 2 3 4 5 .... 10 

k 2

k 2  1 . k 0



i 1

n

i

1 6. a. 2 32 43 .... n  n 

i 1 n

1

i

b. 1 212 312 .... n12 

i 1

c. Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino

1 2k 1

1 2

2

n

1i1

i 1

2n

14 18 .... 12n  n1

Bab 1 | Page 82

d. 1 4 9 ....  1 n  n 1 2

n

90  cos 21

1 .i

i 1 2

179

91 179  cos 20 ..... 1

i 1

91

n 3

7. a.

k 3 1

 k 3 k 4 n 3

b.

n 3

1

2

1k 3 1 n 3 1k 2



2

2 k 3

k 4 n 3

d.

180  cos 21 Karena periode  Total 0 360 2 0  1 0 1 2.0 0 Fungsi cos 2 

k 3 k 4

c.

k 2  3 k 4 k  n 3

k 3

k 4

1 k 3 k 31

k 4 n3

2

 1  k 3 k 2

2

k 4

360

4

8. a.

3a 2 i 1 11

2a 1

c.

i 1 1

2a 1 i

i 1 4

d.

i 1

1

1

3 a 1 i

i 1

9. a.

10.

i

i 1 4

i1

2. 004

2.004 2. 004  .....  1 2 2 3 2. 0032. 004 1 1 1  2. 400  .....   1 2 2 3 2.003 2.004   2. 003

2. 003

1  1 1  2. 004 2. 004        i i 1 i i 1  i 1 i 1





 1  2. 004 1   2. 003 1  2.003  2. 004 2. 003 2.004  360

b.

cos 2 saling meniadakan 1

i

i 1 4

b.

Nilai

5

1

1 1  2 .003  2 .002 10 1 10 1 10 1 1 1 .....  2.002  2003  10 1 10 1 1 2004 10 1 2 . 004 1   n 1 n 2. 004 10  2 .004

1

2. 004 1 1    10 n 1 101 10 n 1 n 2. 004 n 1



1

2 .004 2 . 004 1 1 1   n   n 1 1 1  n 1 10 1 n 1 10

1 2.004 1 1    n  n  2 n 1  10 1 10 1  1 1 1 n 10 1 1 n 10



sin  ; cos 21 2 sin  2

1 10n 1 10n  1 10 n 10 n

2

1 

360 

1 1   cos2 2 12 360





1 1 360   cos 2 2 1 12 1  1   .360  .0 180 2 2



1

1  n 10 1 10 1 10 n 1   n n 1 10 10 1 10 n 1  1 1 10 n n

89

1 89  cos 20 ..... 1 1

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino

Bab 1 | Page 83



1 2 .004  1 2 n 1 1 1  2.004 2.004 2 2 2. a. C. Evaluasi Kemampuan Analisis n

1. a.

6k

2

2k 1 n

n

k 1

k 1

6k 2k 1 n 1 2n 12 n.n 1n n 6  6 2   n  n 1 2n 12 n 1





n 2n2 3n 1 2 n 1 2n3 n 2 n 1 1 b.  . i 1 i 2 i 1  n 1  1    i 1 i 2  i 1  1 1 1 1     1 1 n 2 2 n 2 n 2 2 n   2 n 2  2 n 2  n 1 c.  2 15k 14 k 1 9k  n 1  3k 1  3k 4 k 1  n 1 1 1     3k 1 3k 4   k 1 3  1 1  1 1      .....   1 4 7  7 70       3  1 1          3 n  1   3 n  4     1 1 1  1 3n 4 4     3 4 3n 4  3 4 3n 4 1 3n n   3 4 3n 4  4 3n 4 n

d.

1

 i  i 1 . i 1

n

 i 1

1 1 1 1   .....  1.5 5.9 9 .13  4 n 4   4 n 1 n

1

4i 34i 1



1  4

2

k 1



i 1

k 1

n



 2 1  3 2    .....  n 1  n     n 1  1  n 1 1

Maka deretnya menjadi :

i  i 1 i  i 1

n i  i 1  i 1  i i  i 1 i 1

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino

n

 1



   4i 3 4i 1  1

i 1

  1 1  1 1       .....  1 1 5  5 9      4  1 1        4n 3 4 n 1      1 1  1 4 n 1 1   1  4  4n 1  4 4 n 1 n  4 n 1

b. 1  3 2 2  5 2 6  7 2 12 ..... n

 2i 12



i i 1

i 1 n

 i  i 1



i 1

 1  0  2 1 .....  n  n 1  n 0 n 1 1 1 1 c.   .....  1 1 2 1 2 3 1 2 3 .... 10 1 1 1 1 1 1 1        3 6 10 15 21 28 1 1 1   36 45 55 10

10 1 2  i i 1 i 1 i  i 1 2





i 1

10



    i i 1 

2

1

1

i1

1 1 1 1 1 1 2     .....    1 2 2 3 10 11   1 20 2 1     11  11

1 3

1 9 5 1 i. i 3 i 1

d. 1 2 3

1 1 1 4 5 27 81 243

Bab 1 | Page 84

4 19 82 325 1.216      3 9 27 81 243 324 513 738 975 1.216  243 3.766  243 k 2 k 1  3 cos cos cos ..... cos 5 2 2 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 20 k b. tan 3 k 1 10

3. a.

cos

 3  3 0  3   3 0 .....  3 14. 3 14 3 n

c.

r



 k    r 1

k 1

n r 1 r  1 2   r r   2 r 1 r 1 2 n n 1  r 2 r 2 r 1 r 1 1 n n 1 2n 1nn 1   2 6 2   1 1  2n 11  n n 1   4 3  1 1   n n 1 2n 4    4 3  1  n n 1  2 n 4  2



n

1 2 2 

 1  1 2  1 2 2  .....   1 2 2 ..... 2   2 1  2 1  2 1 .....  2 1  2 2 2 ..... 2  n 2 2 1  n 2 2 1 n n

d.



2

.... 2

k 1

k 1

2

n 1

2

1

2

3

n

1

2

3

n

n

n

2 1

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino

 1   1  1   1  2   3   4   n 

4. a.  1 2  1 2  1 2  ..... 1 2   

n  1  n k 2 1    1    2    k 2   k  n  k 1 k 1  k 2 k2 2 1  2 1 3 1 3 1  , , 2 2 32  4 1 4 15 1  5 1 , ..... 2 2 4 5  n 11 n 11n 1 n 1 . 2 n2 n 1 3 .1 4 .2 5 .3 6 .4  2 . 2 . 2 . 2 .7.5..... 2 3 4 5 n. n 2  n 1 n 1 2 . n2 n 1 2  n 1 1 n 1  2. 2  . 2 2 n 2 n n 1  2 2n b. 1.n 2 n 1 3 n 2 ..... n.1 1  n n 1 n 2 6  Untuk n genap

1.n 2 n 1 3 n 2  ..... n.1 1.n 2 n 1 3 n 2  ..... 

n 2 . 3  n 1 . 2 n. 1  1.n n. 1  2 n 1 n 1 .2 n n   n n  .....   1 . 1 1.  1  2 2  2 2     n n  2 1.n 2 n 1 .....   1  2 2    n  2n 2  3n 6      n 2 n2 n    4n 12.....  .n      4 2      2  

  n   n 2n .....  . n    2    2   n 2 n    2 6 12        4 2     n  2 n 1 2 .....     2     1 n n 1   2  2   2 6 12 .....     2   

Bab 1 | Page 85

n 2n 2 2 

n 2n 1 2 n 1  3

  n   1  1 . 1 2     2  

2 b. 12 3 2 5 2 .....  2n 1 

n 2n 1 2 n 1 3

n



2 Misal : Pn   2i 1  i 1

Latihan Kompetensi Siswa 9

 Langkah pertama

2i 1 12.1 132.1 1 1

P1 

A. Evaluasi Pemahaman dan Penguasaaan Materi.

2n  n 1 2 n 1 3

2 1. a. 2 2 42 6 2 .....  2n  n

2n  n 1 2n 1 3

2

i1

1

PRK :

2

i 1

2i  

Misal : Pn 

2

i1

 Langkah pertama

2.1 1 1 2.1 1 P1  2i  3 i 1 1 2 .2 .3 2 2 PRK :  2i 2  3 i 1 2.1 1 1 2.1 1  3 1

2

2 .1 1 1  2 .1 1 Jadi, P1   2 i  3 i1 jadi, terbukti benar  Langkah kedua Anggap Pk benar, yaitu 1



k

2

2.k  k 1 2k 1 3

2i 

Pk 

2

i 1

Akan dibuktikan Pk 1 benar k 1

k

2i  2i  2 k 1  

Pk 1 

2

i 1

2

2

i1

2k  k 1 2k 12k 12k 2  3 2 k 12k 2 k 2 k 1 6k 6    3 3 2 k 12k 2 k 6k 6  3 2 2 k 12k 7 k 6  3 2 k 1 k 22k 3  3 2 k 1 k 2 2 k 11  3 Jadi, Pk 1 terbukti benar





 





Kesimpulan :

n 2n  n 1 2n 1 2 Pn  2i  3 i1

1 1  3  3 1 2.1 1  2 .1 2   3

2i 11

2

2i 112.1 132.11 1

Jadi, P1 

2

i 1

 Langkah kedua Anggap Pk benar, yaitu

k k k 1 k 1 2 Pk  2i 1 3 i1 Akan dibuktikan Pk 1 benar

k 1

2i 1

Pk 1 

2

i 1

2i 12k 11 k



2

2

i 1

k 2k 1 2k 1 32k 1   3 3 k 2k 1 2 k 12k 132 k 1  3 2

2k 1 22 k 6k 3



3

2k 1 2k 3 k 1



3

k 1 2 k 11 2 k 11



3

Jadi, Pk 1 terbukti benar Kesimpulan :

n n 2n 1  2 n 1 2 Pn  2i 1 3 i 1

(Terbukti) 3 c. 13 33 5 3 .....  2 n 1n 2 2 n 2 1



  2i 1n  2 n 1 n

misal Pn

3

2

2

i 1

 Langkah pertama 1

P1  2i 1 2.1 1 3

3

i 1

(Terbukti) Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino

Bab 1 | Page 86

1

PRK : P1  2i 1 2.1 1 3

3

 Langkah kedua

i1

1 1 1 2.12 1 3





Jadi, P1 bernilai benar  Langkah kedua Anggap k

2

2

i 1 k 1

2i 1 3

2 k  k 1 2 k 1 

2

2

2

4

2

2 k 2  k 18 k 1 2

3

  2 k 1 k 4k 4 2 k 1k 2 4 k 1 2

2

n





2

2

2 k 8k 12k 8k 2 k 2 k 1



4

3



2

2



2 k 4 k 6 k 4k 1 k 2 k 1

2 k 1 k 1 4

2



2 2  k 1 2 k 1 1 Jadi, Pk 1 benar Kesimpulan :

2i 1n 2n n

3

2

2



1

i 1

(Terbukti)

3

2i 2 n  n 1 

Misal : Pn 

3

2

2

i 1

(Terbukti) 2. a. Pn 1.2 3 .4 5.6 .....  2 n 1  2n n n 1 4 n 1  3  Langkah pertama 1 1 1 1  4 1 1 P1   2i 1  2i   3 i 1 PRK :  2 1 1  2.1 1.2 1 1 1 4 11  3 Jadi, P1 bernilai benar  Langkah kedua Anggap k k k 1 4 k 1 Pk   2 i 1  2i  3 i1 Bernilai benar Akan dibuktikan k 1

 Langkah pertama 1

2i 2i 1

Pk 1 

P1  2i 2.12  1 1 3

2

i 1

k 1 k 2   4 k 1 1

i 1

1

PRK  2i 2.2 2 2.12  1 1 3



2

i 1

3

Bernilai benar k 1

1

1 1benar 2i 2.1 

Jadi, P1 

2



d. 23 43 63 .....  2 n n

3



2 2 2 2 k 1 k 1  k 1 .1



2

i 1

2

2 k 4 8k 3 12k 2 k 2  8 k 2k   2 1  3

2

Pn  2i 2 n2  n 1

3

2 k 4 8k 3 11k 2 6k 1 4

2

3

3

3

ik 1

3

Jadi, Pk 1  2i 2 k 1 k 2  Kesimpulan :

3

i1

2

3

2 k 1 k 2

2i 12k 11 k  2 k 1  2k 2 1 k  2k 1  2 k 1 2 k k  8 k 3 .4 k 3 .2 k 1 3

k 1

i1

2

k

2

3

2

2

i 1

Pn 

k

i 1

3



2

3

2

2i 1k 12k 11

Pk 1 

3

PRK :  2i  2i  2i 

Bernilai benar Akan dibuktikan Pk 

i 1

i 1 k 1



i 1

k

2

2

Benar Akan dibuktikan k 1



3

Pk 1  2i 2 k 1 k 2 

Pk  2i 1k 2 2k 2 1 3

k

2i 2k k 1

Anggap Pk 

3

2

2

i1

2i 2i 1 i 1

k

  2i  2 k 1 1 2 k 1 2i 



i 1

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino

Bab 1 | Page 87

k k 1 4 k 13  k 1 2 2k 1  3 3 2  k 1 4 k k 12 k 6  3  k 1  k 2 4k 3  3  k 1  k 2 4 k 11  3 Kesimpulan : n n n 1 4n 1 Pn   2i 1  2i  3 i 1 (Terbukti) b. Pn 1.3 3.5 5 .7 .....  2n 1  2 n 1











n 4 n 2 6n 1  3 i 1

1.3 3 1 4 .12 6 .1 1  3



 P1 bernilai benar  Langkah kedua



i 1

2

n

i1

Akan dibuktikan k 1

n

k 1 4 k 12 k 11

i

i1

 Langkah pertama 1 1 1 1 1 8 P1     i 2  1.3 1.3 4 2  4 i 1 i 

1 3.1 5   4 1 1  1 2   P1 bernilai benar  Langkah kedua Anggap k 1 k 3k 5 Pk   i 2  4  k 1  k 2  i1 i Bernilai benar Akan dibuktikan k 1 1 k 1  3 k 1  5  Pk 1   i i 2  4  k 2   k 3 i 1 Bernilai benar k 1 1 1   i i 2  i 1 i i 2  k 1 k 1 2 

i 1



k 3k 5 1   4 k 1 k 2 k 1k 3

3

Bernilai benar

3k 3 14k 2 19k 8  4 k 1 k 2 k 3

k 1

2i 12i 1

Pk 1 

k 13k 8  4 k 1 k 2k 3 k 1  3 k 15  4 k 1 1 k 1 2 2

i 1 k

2i 12i 1



 2 k 1 1 2 k 11



k 4k 2 6 k 1   2k 1  2 k 3  3 4 k 3 6k 2 k 3 4k 2 8k 3   3 3 3 2 4 k 18k 23k 9  3 2  k 1 4 k 14k 9  3





n 3 n 5 

ii 24n 1n 2

Pn 



i 1





6n 1 3

(Terbukti) 1 1 1 1 c. Pn    .....  1 .3 2.4 3.5 n n 2  n 3 n 5   4 n 1 n 2 

k 1

2i 12i 1

Pk 1 

i 1

2



3



n 4n 2i  2i 1

Pn 



k

2i 2i 1 k 4 k 6 k 1   benar

Anggap Pk 

3

Kesimpulan :



1

2 1 1 2i 12i 1211

Pn 

k 1 4 k 12 6k 11





n

n 3n 5

ii 24n 1n 2

 Pn 

1

i 1

(Terbukti)



Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino

Bab 1 | Page 88

2 n 3 6  n 1 2 i 1  Langkah pertama 1 2i 1 2  1 1 P1   11 1 6 5 i 1 2 i 1 2 2 1 3 6  11 2  P1 bernilai benar n

2 i 1

2

d. Pn 

i 1



k

2i 1 2 k 3 6  k 1 2 i1 2

 i 1

Benar Akan dibuktikan k 1 2i 1 2 k 1 3 Pk 1  i 1 6  k 1  1 2 i 1 2 Bernilai benar

 k 1

2i 1 k 2i 1 2 k 11   k 11 i1 i1 2 2 i 1 2



Pk 1 

i 1



2k 3 2k 1 6   2 k 1 2k 2 2k 3 2k 1 6  k 2 2k 5 6  2k 2 k 1 3 6  k 11 2

1 2 n 3  Pn  6  n 1 i 2  2 i1 i (Terbukti) n



n

 Langkah pertama

k 1 ak 2 x a x Pk 1 a ix  a x 1 i 1 k 1

k

k 1

i 1

i k 1

PRK : aix aix a ix k 1x

a ak 1x a 1 k 1x x a a x k 1 a 1  a . x a x 1 a 1 k 1x x k 1  x x a a a ak 1 x  a x 1 a k 2 x a x  a x 1 k 1 a k 2 x a x Jadi, Pk 1 aix  a x 1 i 1 a 

x

x

 

Benar Kesimpulan :

n a n 1 x a x Pn aix  x a 1 i 1

Terbukti 3. a. Pn n3 2n habis dibagi 3

(benar)

Adib Pk 1  k 12 k 1 habis dibagi 3 (Benar) 3

 1 1 x

a a 1 i 1 1 a x 1 PRK : aix a x a x x a 1 i 1  11 a x a x  x a 1  11  1 a x a x Jadi, P1 a ix  x a 1 i1 (Benar) 1

Akan dibuktikan bahwa

P1 13 2 11 2 3  habis dbagi 3  P1 benar Anggap Pk k 3 2k habis dibagi 3

an 1 x a x ix a   a x 1 i 1

e. Pn 

k a k 1x a x Pk a ix  x a 1 i1

i 1

 Langkah kedua Anggap Pk 

 Langka kedua Anggap Pk benar, yaitu

a P1 aix a x 

x

x

 

3 Pk 1  k 1 2 k 1

k 3k 3k 1 2 k 2 3 2 k 2k 3k 3k 3 k 3 2k 3 k 2 k 1 3

2





habis dibagi 3 habis dibagi 3

 Pk 1 habis dibagi 3 Kesimpulan :

Pn n3 2n habis dibagi 3 (Terbukti) atau 3 faktor dari n3 2 n

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino

Bab 1 | Page 89

b. Pn 5 3 habis dibagi 4 n

3

P1 51 3 8  habis dibagi 4  P1 benar k Anggap Pk 5 3 habis dibgi 4 Adib Pk 1 5

k 1

Adib Pk 1  k 13 k 12 k 1 habis dibagi 6 (Benar)

(Benar) 3 habis dibagi 4 (Benar)

Pk 1  k 13 k 12 k 1 3 3 2 k 3k 3k 1 3k  6k 3 2k 2 k 3 3k 2 2k 3k 2 9k 6 k 3 3k 2 2k 3 k 2 3k 2 3

Pk 1 5k 1 5.5k 3 15 15





5 5k 3 12  Pk 1 habis dibagi 4

habis dibagi 6

P1 22 .1 1 32.1 1 23 33 8 27 35  habis dibagi 5  P1 benar Anggap Pk 22 k 1 32 k 1 habis dibagi 5 (Benar) Akan dibuktikan

Pk 1 22 k 11 32k 1 1 habis dibagi 5 Pk 1 22 k 11 32k 1 1

(Benar)

Kesimpulan :

Pn n3 3n2 2n habis dibagi 6

2 k 1

2k  1

4. a. 1 2 x 3x ..... nx 2

1 x n nx n  2  1 x  1 x n 1 x n nx n Pn ixi1   2  1 x  1 x i 1 1 1 x1  1 x  1.x 1 P1 1x1 1 1  2  1 x  i 1 1 x1 1.x1   2  1 x  1 x  P1 benar Anggap Pk benar k 1

Pk ix

2 k 1





Pk

habis dibagi 5 habis dibagi

Pk 1 habis dibagi 5 (Benar)

k 1



k

ix

ix i1 

i 1

 k 1 x k 11

i 1

1 xk

kxk   k 1 xk 2 1  x  1 x



1 xk kxk  1 x k 1 xk  2  1 x  2

Kesimpulan : 2 n 1 2 n 1

habis dibagi 5 atau 2 n 1

3 3 2 d. Pn n 3n 2n habis dibagi 6 5 faktor dari 2

1 x k kx k  2   1 x  1 x

k 1 1 x k 1  k 1 x k 1 Pk 1 ixi 1   2  1 x  1 x i 1

i 1

3

i1

Adib

4.2 4.3 5.3 2 k 1 2 k 1 4 2 3 5.32 k 1

Pn 2

n 1



i 1

4.2 9.3 2 k 1 4.2  4 5 32 k 1

2 n 1

habis dibagi 6

Atau 6 faktor dari n3 3n2 2 n

Kesimpulan : Pn 5n 3 habis dibagi 4 (Terbukti) atau 4 faktor dari 5n 3 c. Pn 22 n 1 32 n 1 habis dibagi 5

2 k 1

2

Pk 1 benar

habis dibagi 4 habis dibagi 4

2k 1

2

P1 13 3.12 2.1 6  habis dibagi 6  P1 benar 3 2 Anggap Pk k 3k 2k habis dibagi 6 (Benar) Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino





1 x k kxk 1 2 x x2  k 1 xk  2  1 x  k

k

k

k

1 x kx kx x 2kx. x

k

2 x.x k kx2 .x k x 2 .x k  2  1 x 1 2 kx k 1 2 x k 1 kx.x k 1 x. xk 1  2  1 x

Bab 1 | Page 90

1 kxk 1 kxk 1 x k 1 

Pk 1 k 1 2

x k 1 kx. xk 1 x. xk 1  2  1 x 

k 1 k. x x   2  1 x 1 x k 1  1 x  k 1 x k 1   2 2  1 x  1 x  k 1 1 x k 1xk 1   2 1 x  1 x k 1

1 2.2

k 1

k 1

1x x



k 1

k 1

Jadi, Pk 1 benar Kesimpulan untuk setiap n berlaku

k 1 2.2 k 1  1 k 1 2

 Pk 1 benar Kesimpulan :

n 2 n 1 , n 1 b. Pn n 2 4  n 1 n 2 2

P2 22 4  2 1 8 9 (Benar)  P2 benar 2

Anggap

1 2 x 3x 2 ..... nx n 1 1 x n nx n   2 1 x  1 x 

2 Pk 1  k 1 4 k 2 4 2k 1

 k 12 k 1 k 2 4k 2 2

k 2 4 k 4  k 1 1 2

b. log U1 ,U2 ,U3 .....U n 

2 2 Pk 1  k 1 4  k 1 1 Pk 1 benar

log U1 log U 2 .....log U n n

n

i 1

i1

log U i U i

Kesimpulan :

n 4n 1, n 2

1

1

P1 logUi Ui Ui ; P1 benar i 1

i 1

k

k

U logU

Anggap Pk log

i

i 1

i 1

i

Benar Akan dibuktikan k 1

k 1

i 1

i 1

Pk 1 log Ui logU i (Benar) k 1   k  log Ui logU k 1 Pk 1 log U i     i 1  i 1 





k

log U



i

logU k 1

i 1 k 1

log U



i

 Pk 1 benar Kesimpulan :

log  U1 ,U 2 .....Un  log U1 log U 2 ..... log U n

5. a. Pn n 2

n 1

2

3

2 P3 33  3 1 27 16 (Benar) 2 3 Anggap Pk k  k 1 benar

Adib Pk 1  k 1 k 1 1 Benar 3

2

3  k 1k 3 3k 2 3k 1  2 k 1 3k 2 3k 1 3  k 14 k 2 5k 2







k 2 4k 4 3k 2 k 2

 k 23k k 2 ;  k 2 2

2

0 untuk k 3 3 2 Jadi,  k 1 k 2 Kesimpulan :

Pn n3  n 1dengan n 3 2

d. Pn 2  n 1 ; n 6 2

n

P6 26  6 1 64 49 benar P6 benar 2

1 1

P1 1 2 1 0 (Benar)  P1 benar k 1 Anggap Pk k 2 benar Adib Pk 1 k 1 2

c. Pn n  n 13

2

i 1

n 1

2

2

k 11

benar

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino

Anggap Pk 2k  k 1benar 2

Adib Pk 1 2

k 1

 k 1 1benar 2

Bab 1 | Page 91





2 k 1 2 k 2 2k 1 2 2k 4k 2  k 2 4k 4 k 2 2





Kesimpulan :



0 untuk k 6 2 k 4k 4 k  22 Jadi, Pk 1 benar

Pm, n Sm ,n 2 m n  1

untuk m, n bilangan bulat positif 2. Biaya pos yang dapat menggunakan perangko Rp.1.500 dan Rp. 3.000

Kesimpulan :

2 Pn 2 n  n 1 dengan n 6

B. Evaluasi Kemampuan Analisis 1. 5 ; m n 1

Sm, n 

S m 1 ,n 2 ; n 1 S m, n 12 ; n 1

Pm ,n S m,n 2 m n  1

P1 S1,1 2 1 1 1 PRK : S1,1 5 ; m n 1 4 1 2 1 11

Jadi, P1 benar  Langkah kedua Anggap Pj ,k S j ,k 2 j k 1 (Benar) Adib Pj 1, k 1 S j 1, k 1

2 j 1 k 1 1 S j 1, k 1 S j 1, k 2 ; k 1

 22 2

S j 1, k 1 2 2 j 1, k 2

  S  S



S j 1,1 K .2 ; j 1 j, 1

3n n!, n 6, n  bulat n Misal : Pn 3 n!  Langkah pertama

Untuk m,n bulat positif  Langkah pertama

  S

3. akan dibuktikan

P1 31 1! PRK : 31 3 1! Sehingga 31 1! Jadi, P1 31 1! (Benar)  Langkah kedua k Andai Pk 3 k! Adib : Pk 1 3

k 1

 k 1 ! (Benar)

3 .3 k!.3 ; 3  k 1 Untuk k 6 k!. k 1  1.2.3.....k  .k 1 k  1 ! k 1 Jadi, 3  k 1 ! Pk 1 benar k 1

3

k

Kesimpulan :

Pn 3n n!, untuk n 6 ; n Bulat

2 2 k

j 1 ,1

2 2 2k

S1,1 j .2 2k 5 2 j 2 k ; S1,1 5 2 j 2 2k 2 1 2 j 1k 1 1 Jadi, Pj 1 ,k 1 benar

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino

Uji Kompetensi Akhir BAB 1 A. Pilihan Ganda 1. D.

12 2 2 4 2 ..... 1 1 U1  , U 2  2 , U3 2 4 2

Deret

1 4

Bab 1 | Page 92

merupakan barisan aritmetika dengan

U 2 12 2  1 2 2 U1 4 U3 2 4 1  2 2 2 U2 2 2 2 U U karena r  2  3 konstanta U1 U 2

U1 4, b 8 4 4 Un 148  4  n 1 .4 148 4n 148 n 37 37 S37   4 148  2.812 2

maka deret tresebut adlah deret goematri dengan pembanding sebesar 2 2

 Bilangan antara 1–150 yang habis dibagi 4 dan 7 adalah

28, 56, 84,112,140 S4 28 56 84 112 40 420

2. A.

log 3 5 log 9 5log 27 ..... U1 5 log 3 U 2 5log 9 5 log 32 2 5 log 3 5 5 3 U 3 log 27  log 3 5

Maka jumlah semua bilangan asli antara 1–150 yang habis dibagi 4 tetapi tidak habis dibagi 7 adalah

2.812 420 2.392 6. E.

log 2 log 4 log 8 .....

3. 5 log 3 Periksa bahwa U 2 U 1 U 3 U 2  log 3 Adalah tetap, maka deret tersebut merupakan deret aritmetika dengan beda 5 log 3 . 5

3. A. Deret aritmetika Sn  n 3n 17  U n Sn Sn 1

1 2

1 1    n 3n 17  n 1 3 n 117     2 2     3 17  1 1  n2  n  3n 20  n   2 2 2 2  

3 17 3 2 3  n2  n  n 10n  n 10   2 2 2 2   17 3  n 10 n  n 10 2 2 3n 10 Maka U n 3n 10

4. B. 2 Suatu deret memiliki S n 3n 4n

U10 S10 S9





3.102 4.10 3.92 4.9  260  207  53



Jadi, suku kesepuluh adalah 53 5. B.  Bilangan antara 1–150 yang habis dibagi 4. 4, 8,12,16,.....,148 Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino

Adalah deret aritmetika dengan

a log 2 b log 4 log 2

log 22 log 2 2 log 2 log 2 log 2 n Sn   2a  n 1 b 2 n   2 log 2  n 1 log 2 2 n   n 1log 2 2 1  n n 1 log 2 2 7. D. Mobil meluncur dengan mengikuti aturan barisan aritmetika

d1 40 km jan 1 jam 40 km Pada waktu selama 2 jam

d 2 40 km jam 1 jam 45 km jam 1 jam 40 45 85 Beda d2 d 2 85 40 45 Maka jarak pada waktu setelah t jam adalah dt d1  t 1beda

40  t 1 45 40 45t 45 45t 5 ; t 1

Bab 1 | Page 93

8.B. Suatu deret memiliki S n 2n 5n

11. A. Deret aritmetika

U 5 U6 U 7 U8 S8 S 4 28 5.8 2 4 5.4  296 36260







9. A. Deret geometri tak hingga

8 S 8 dan Sgenap  3 S 8 a 8 1 r a 8 1 r  …..(i) 8 Sgenap  3 ar 8  ; masukkan (i) 2 1 r 3 8 1 r r 8  2 1 r 3 8 1 r  r 8   1 r   1 r 3 24 r 8 8r 16r 8 8 r 16 1 r   a 8 1 r  2  1 8 1  4  2 U 5 ar 4

n 15, U15 47 ; S15 285 n Sn   a Un  2 15 S15   a U15  2 15 285   a 47 2 a 47 38 a 38 47 a 9 Suku pertama adalah –9 12. E. Diantara bilangan 8 dan 112 disisipkan 10 bilangan sehingga terbentuk deret aritmetika U1 8, U n 112, k 10 sekarang, banyak suku n k 2

n 10 2 n 12

12 Sn   U1 Un  2 6 8 12  6 120 720 13. A. Deret aritmetika

S5 20 

5  2 a 2b 20 2 5 a 2b 20 a 2b 4 ….. 1

4

1  1 4  2  4

U 1 .U 2 .U 4 .U 5 324 /

n 0

6

2

n 4

 0 1 1 1 2 1 3 1 2

2

2

2

4 2.4 15 2.5 1 6 2.6 1 2

/

/

4b 4 324

n 1n 2n 1 2

/

U1 U 3  U 2 U 3   U 4 U 3   U 5 U 3 324 2bb b 2b 324

10. A. 3

5 2a 4b20 2

2

2

1 0 1 4 9 16 25 56

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino

Untuk b 3

b 4 81 b 3

 a 4 2b ; lihat persamaan (i) a 4 2.3 a 2 Untuk b  3  a 4 2b 4 2. 3 10 Bab 1 | Page 94

 Untuk a 2 dan b 3

8 S8   2 27.3 2 4 17  68  Untuk a 10 dan b  3 8 S8   2 10 7  3  2 4 1 4 Jadi, S8 adalah 68 atau –4 14. E. tiga buah bilangan a, b, c adalah deret aritmetika, maka 2b a c ….. 1 c 2b a ….. 2 Diketahui : c a 6 maka c 6 a ….. 3 Barisan a, b, c 3 adalah barisan geometri, maka

b 2 a c 3 b 2 ac 3a ; masukkan 2 dan 3 a c    ac a 2  2

a 6 a  6 a  3a  a  2  2 a 3 6a a 2 3a 2

a 2 6a 9 a2 6a 3a 3a 9 a 3 c 6 a 6 3 9  c 9 2b a c 3 9 12 12 b   b 6 2 2 a b 2 c 2 32 6 2 92 126 12. E. 2

x log x, 2 log ,1 adalah deret geometri 4

Konvergen. Karena barisan tersebut adalah barisan geometri, maka

U 22 U1 U 2 2

x 2 2 log   log x.1  4 Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino

log x  log 4  log x log x 2 log x 2

2

2

2

2

2

2

log 2 x 4 2 log x 4 2 log x 0 2 log 2 x 5 2 log x 4 0 2 log x 4 2 log x 1 0 2 log x 4 atau 2 log x 1 2 log x 2 log 24 2 log x 2 log 2 4 x 2 x 2 x 16  Untuk x 16 1 r 2 log 4x 1 1 1 2   1 2 log 164 log 4 2 x 16 memenuhi syarat konvergen  Untuk x 2 1 r 2 log 24 1 1 2  1 log 12 1 2







Karena 1 1 maka x 2 tidak memenuhi Jadi, nilai x yang memenuhi adalah 16 16. D. Deret geometri tak hingga konvergen

U1 2 Sganjil 5S genap a 5ar  2 1 r 1 r 2 1 1 5r  r  5 a S  1 r 2 2 5  1 4  2,5 1 5 5 2 17. D. Akar-akar persamaan kuadrat berikut adalah x1 dan x2

2 x 2  3k 1 x 16 0 c 16 x1 x2    x1 : x2 8 a 2

Bab 1 | Page 95

8 x1  ..... 1 x2

19. C. Kelompok bilangan

 2 , 4, 6 , 8,10,12 , 14,16,18, 20, 22 ,.....

x1 , x2 , x1 x 2 membentuk barisan goemetri,

Suku awal kelompok :

maka

2

x 22 x1 .x1 x2 x 22 x1 . 8

Barisan tingkat 2

x2 x 8x1  x1  2 ….. 2 8 b 3k 1 x1 x2   a 2 3k 1 Maka x1 x2  ….. 3 2 2 2

Pendekatan 1 :

2 2 n n 2 2!

Langkah 1 Awal : n2 :

2 4 8 14 1 4 9 16  Hasil Operasi 1 : 1 0 1 2 1 1 1 1 / Pendekatan 2 : n n 1!

1 = 2

8 x 22  x 2 8 x23 64 x23 43  x2 4 8 8 x1   2 x2 4  x1 2

Langkah 2 Hasil Operasi 1 : 1 0 1 2 n : 1 2 3 4

2

2

2 2



Pendekatan 3 = 2

U n n 2 n 2

Persamaan 3

3k 1 x1 x2  2 3k 1 2 4  2 3k 1 4 3k 5 5 k 3

Nilai k memenuhi adalah

4 8 14 2 4 6 2 2

Suku awal kelompok 15

U15 152 15 2 212 Banyak suku di kelompok tersebut adalah 15 maka U1 212, n 15, b 2

1 15 8 2

Suku tengah adalah suku ke 

U 8 212 7.2 212 14 226 5 3

20. B. Deret sin 2 sin coscos 2 sin 

18. D. n 1

2 3n 1

Suatu deret memiliki Sn 6 

U4 S 4 S3

 2 4 1   23 1   6  4 1  6  3 1       3  3  32 16   27 9 32 48 16   27 27 16 Maka U 4  27 Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino

 3 2 cos sin cos 4 sin .....0  2  Suku-suku ganjil

sincos 2 sincos 4 sin ... a sin , r cos 2  sin  Sganjil  2 1 cos 

 Suku-suku genap

2 sin cos2 cos3 sin  2 cos5 sin..... a 2 sin cos, r cos2 

Bab 1 | Page 96

S Sganjil S genap

Syarat konvergen : r 1

sin  2 sin cos   2 1 cos  1 cos 2  sin 2sin cos  1 cos2  sin  1 2 cos  sin 2  12 cos  sin 21. B.

1 r 1

1 2

2x

1 2

12 3 2 1 12 3 4 . ..... 2 2 1 1 3  12 3 4 .....    2  1  2

Pangkat merupakan deret geometri dengan 2

1  3 a 1 dan r  3   2  4 a S  1 r 1  4 1 34 4

1  1 Perkalian barisan menjadi   2  16

 1 1   2  2n 1  2n 1 2  1 1   2 2 2n 1 2n 1 1 2n   2 2n 1 2 2n 1 n  2n 1 24. C. Deret geometri

a 1, r 3, Un 1 243 U n 1 ar

Deret konvergen jika r 1 maka cari dulu rasio

U r 2 U1 x2 14

n 2 n 2

 n 1  x 2 14 

x 2 1

1 2

Jadi, deret konvergen untuk  x 

n  1  S  2  4i 1  i1  n 1 1   2i 1 2 2i 1 i 1 2 1  1 1  1     .....  2.1 2.3  2.3 2.5 

1 1  . 2 2

2 4 2  0  2 1

1 2

23. A.

Perkalian barisan tersebut

Un 2

2 0 maka



1 1 3  1 3  ,   ,   ,..... 2 2  2  1 3 2 12 3 4 1 1 2 1   ,   ,   ,..... 2 2  2 

22. B.

14

1 2

sin t

sin 4

2

Maka  x 

4



0

1 2 x  0 4 1 1     x   x  0  2  2

1 1  1  ,   ,   ,..... menjadi 2 2  2  sin 2

2

Perhatikan batas atas

 3

sin t

1 ; pangkat 2 0

x 2 14

0 2

Untuk  barisan 2

x 2 14

2 x

2

243 1.3 n 2 3 243 n 2 5 3 3 Maka n 2 5 n 7

14

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino

Bab 1 | Page 97

 

U 20 a 19b 217 17 429  19.  36 18 36

a r 7 1 S7  r 1 1 37 1 1   .2186 3 1 2 1.093

 

2. S n 150  deret geometri

Jadi, jumlah n suku pertama 1.093 25. A. 89

log tan a



a 1

log tan 1log tan 2.... log tan 89 log tan 1. tan ..... tan 89 Untuk 1a 89 0 tan 1





Pecahan log dari pecahan bernilai negatif





S n 2 Sn 1 165 160 5  U n 2 5 Un 1 S n 1 S n 160 150 10 U 2 r n U n 1 5 1   10 2 1 Jadi, rasio adalah 2

log tan 1tan 2..... tan 89

Perkalian pecahan sehingga nilainya mendekati 0 untuk numerus  0 maka nilai lognya mendekati – 60

1

2

17 4a 6b 1 17 2a 7b 2

17 4a 6b 34 4a 14b  17 8b 17 b 18

17 2a 7b 2a 7b 17 17 119 336 7. 17  18 18 217  18 217 a  36

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino

1 

log j 1  log 2     i 1

2  9  log ..... log  3  10  9 1 1 2 3 log  . . ..... log 10 2 3 4 10  1 log 10 1

B. Bentuk Uraian 1. Deret aritmetika

4 S4 17  17   2a 3b 2 17 4a 6b ….. 1 8 S8 68  68   2a 7b 2 17 2a 7b ….. 2

 j 

9

3. a.

1

6

b.

1 

6

 log log i i 1 i i 1  i 1

1

i 1

1  1  1  log log ..... log  1.2  2 .3  6 .7  1 1 1 1 1 1  log . . . . .  1.2 2.3 3.4 4.5 5 .6 6.7  1 1 log log 106. 3,6288 3 .628.800 6 log 3,6288



2 5

c.

k 1

k 1



  2 2 .....2 2 

2 k 2 2 21  3

2

6

5

26 21 62 d. 10 C3 10 C4 10 C5 .....  10 C10  10! 10! 10! 10! 10!       7!3! 6!4! 5!5! 4!6! 3!7! 10! 10! 10!   2!8! 1!9! 0!10! 120 210 252 210  120 45 10 1 968 Bab 1 | Page 98

4.

  22 nn 11 2 522 nn 11 3 ..... Sn  22nn112 322nn113 .....  22nn11Sn 22nn11222nn 112 222nn11 3     1 22nn11Sn 22nn112  1    1 S n  22 nn 3 1

2 n 1 2 2n 1 2n 1 2n 1





2 n 1  2 n 1 2 n 1 2n 1  2n 1 Sn  2 . 2 n 1 2 n 1 2n 1  2 2

2 2 2 n 1  2 n 1 Sn   2 n 1 2 n 1 2n 1

2 2 S n 2 n 1  2 n 1

 



1 2 Sn   2n 1 2 n 1 2 1  4 n 2 4 n 1 2n 1 2 1  4 n 2 2n 2







Jika S n 36 maka akan dibuktikan n 4





1 2 36  4n 2n 2 2 4n 2n 72 0 2 2 n n 36 0 2n 9   n 40 9 n  atau n 4 2 jadi, terbukti nilai n 4 jika Sn 36 5. akan dibuktikan P n n5 n habis dibagi 5  untuk n 1 P 115 1 0 habis dibagi 5

 andaikan P n benar Akan dibuktikan P n  1benar 5 4 P  n n n n n 1 n n 2 1 n 2 1 n  n 1 n 1n2 1

      

P n 1 n 1n 1 5

n 5 5n4 10n3 10n 2  5n 1 n 1 n 5 n 5 n 4 2n 3 2n2 n



P  n benar



kelipatan 5

P n 1benar Kesimpulan :

P n n5 n habis dibagi 5

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino

Bab 1 | Page 99